автореферат диссертации по истории, специальность ВАК РФ 07.00.10
диссертация на тему: Формирование и развитие комбинаторного анализа в XVIII веке

Полный текст автореферата диссертации по теме "Формирование и развитие комбинаторного анализа в XVIII веке"

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

УГОЛЬНИКОВ А Ольга Дмитриевна

ФОРМИРОВАНИЕ И РАЗВИТИЕ КОМБИНАТОРНОГО АНАЛИЗА В ХУГП ВЕКЕ

07.00.10 — история науки и техники

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

Пермь 2004

Работа выполнена на кафедре геометрии Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования "Пермский государственный педагогический университет".

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор, Заслуженный работник высшей школы Российской Федерации Малых Алла Ефимовна.

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук,

профессор, Заслуженный деятель науки и техники РСФСР

Рыбников Константин Алексеевич,

кандидат физико-математических наук, доцент

Ревякин Александр Михайлович.

Ведущая организация Государственное образовательное

учреждение высшего профессионального образования "Оренбургский государственный педагогический университет".

Защита состоится 20 апреля 2004 г. в 14 часов на заседании специализированного совета КР 002.051.04 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Институте истории естествознания и техники РАН по адресу: 103012, Москва, К-12, Старопанский пер., 1/5.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института истории естествознания и техники РАК

Автореферат разослан 20 марта 2004 г.

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат физико-математических наук ф*'' Андреев A.B.

216103^

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одна из древнейших и важнейших ветвей математики — комбинаторика -— долгое время оставалась на периферии математической науки. В последние десятилетия произошло стремительное включение комбинаторного анализа в русло современной математики, что связано не только с обновлением аппарата, но и резким расширением области приложений, предмета исследований рассматриваемой дисциплины. Комбинаторные методы проникли в другие науки, в частности, теорию чисел, алгебру, теорию вероятностей, геометрию, теорию графов. Они стали активно использоваться в психологии, медицине, космической технике и радиосвязи. Интерес самих математиков к комбинаторному анализу усилился в связи с изменением статуса дискретной математики при появлении во второй половине XX века информатики и компьютерной техники, используемой практически во всех сферах жизнедеятельности человека. Он обусловлен также попытками ведущих специалистов этой области превратить комбинаторный анализ в составную часть мага трального направления современной математики.

Широкое внедрение комбинаторных методов в науку и практику, производство и экономику при высокой степени их разработанности определяет внимание к истории комбинаторного анализа. Исследования в этом направлении проводили известные ученые Н.Л. Битс, Э. Кноблох, К.Р. Бирман и другие. Из отечественных трудов необходимо отметить работы К.А. Рыбникова, Дж. Кут-лумуратова, А.Е. Малых. Материалы по обсуждаемой тематике имеются в пуб-^ ликациях ГЛ. Матвиевской. Фрагменты истории комбинаторики освещены

также Б.В. Гнеденко, Л.Е. Майстровым, А.П. Юшкевичем.

Вышеуказанные факты свидетельствуют о том, что история комбинатор-► ного анализа постоянно находится в поле зрения ученых, а его развитие с древ-

нейших времен до настоящего времени, процесс формирования многочисленных разделов подробно освещены. Вместе с тем, при более глубоком исследовании этих вопросов обнаруживаются неизвестные ранее имена ученых, занимавшихся разработкой комбинаторной теории, отыскиваются проблемы, послужившие истоками целых современных научных направлений, в частности, дискретной математики; переосмысливается вклад отдельных ученых и научных школ в развитие комбинаторного анализа.

РОС к . ~"\ЛЬНАЯ Б". • ¡СКА

(„11 ' !'Ц/}ОГ

юоСРК

Сказанное выше относится и к XVIII столетию. Исследование первоисточников позволяет сделать вывод о том, что интерес к комбинаторике в то время не угас, более того — усилился. Именно в рассматриваемый нами период изучались некоторые структуры блочно-схемного типа: магические и латинские квадраты, другие конструкции, оперирование с рядами, суммирование числовых последовательностей. Тогда же стал формироваться математический аппарат науки с присущими ему методами: полной математической индукции, производящих функций, рекуррентных соотношений, конечных разностей, включения и исключения. Развитие многих из перечисленных выше вопросов уже нашло освещение в трудах по истории комбинаторного анализа XVIII века: исследования по общей проблематике выполнены К.А. Рыбниковым и А.Е. Малых, ряд важных специальных направлений представлен в работах О.В. Иванова, Дж. Кут-лумуратова, Е.П. Ожиговой, П.П. Пермякова.

Однако, несмотря на пристальное внимание ученых к процессу формирования и развития комбинаторного учения указанного периода, выбранная тематика актуальна. В частности, нераскрытым остался ряд важных историко-научных проблем, в том числе:

- разработки и систематизации основ теории соединений (одного из фундаментальных разделов комбинаторного анализа);

- формирования и развития общих подходов к классу специфических задач с дополнительными ограничениями на позиции рассматриваемых элементов;

- взаимовлияния комбинаторной теории и других естественнонаучных дисциплин, связей между самими разделами комбинаторного анализа;

- оценки результатов деятельности первой комбинаторной школы К.-Ф. Гинденбурга.

Отмеченные выше пробелы частично восполнены в нашей диссертации, что подтверждает ее новизну. В ней среди других исследованы пути разработки теоретической базы комбинаторики, представленной введением понятий и операций над элементами дискретных множеств, доказательством их свойств, разработкой специальной символики. Изучено развитие специфического направления комбинаторной теории, представленного классом задач с занимательной фабулой. Выделены конструктивное и перечислительное направления теории соединений. Рассмотрены вопросы применения полученных результатов к

решению проблем из смежных дисциплин. Выполнен сравнительный анализ работ ученых школы Гинденбурга. Дана оценка ее вклада в формирование и развитие комбинаторного анализа на рубеже XVIII - XIX веков.

Важное значение для установления причин пристального внимания ученых указанной эпохи к комбинаторным вопросам имеет тот факт, что (согласно периодизации А.Н. Колмогорова) XVIII столетие находилось на стыке двух периодов развития математики. С одной стороны, в ХУП-Х\111 веках выдающиеся ученые И. Ньютон, Г.-В. Лейбниц, братья Бернулли, Л. Эйлер и другие предвосхищали развитие науки и закладывали теоретические основы новых математических дисциплин, которые лишь впоследствии оформились в законченные теории с многочисленными приложениями. С другой стороны, изучение и анализ целого ряда первоисточников, опубликованных уже в XIX столетии, позволил отнести изложенные в них результаты к идейным и содержательным достижениям XVIII века. Унаследованные научные ценности в области комбинаторного учения и необходимость поднятия уровня строгости привели к созданию комбинаторной нпсолы. Исследования, активно проводившиеся в ее рамках под руководством К.-Ф. Гинденбурга, были востребованы и широко использовались формировавшимися в то время новыми математическими дисциплинами (теорией групп и алгебраических уравнений, учением о подстановках, определителях, структурах блочно-схемного типа). Однако, деятельность немецкой школы к настоящему времени так и не получила должного освещения, а ее роль в истории математики оказалась заниженной. Высказывания Ф. Клейна и X. Хенкеля о том, что исследования школы Гинденбурга являлись тупиковым направлением развития математической науки, существенно повлияли на ее оценку.

Достижения и открытия современной эпохи позволяют провести новую ретроспективу в этом направлении: приоритеты третьего тысячелетия приводят к переосмыслению значимости комбинаторных исследований и к новой оценке вклада немецкой школы в развитие математики вообще и комбинаторного анализа, в частности.

Целью диссертации является исследование формирования и развития комбинаторного анализа в ХУТО — первой трети ХЕХ столетия. Для этого было необходимо:

- выявить основные идеи, сформули рованные учеными XVIII века, послу-

жившие основой исследований этого периода и приведшие к формированию целых разделов комбинаторного анализа;

- определить пути развития комбинаторного учения;

- представить формирование и структуру учения о соединениях - фундаментального раздела комбинаторного анализа;

- рассмотреть применение его к другим разделам математики, а также отыскать практические приложения;

- выделить и исследовать особое направление развития комбинаторной теории - класс специальных комбинаторных задач с дополнительными ограничениями на позиции рассматриваемых элементов выборки;

- выяснить вклад различных ученых в исследование комбинаторных вопросов;

- реконструировать методы, использованные при подсчете различных видов соединений с ограничениями на позиции их элементов;

- изучить попытки создания "единого комбинаторного учения" в комбинаторной школе К.-Ф. Гииденбурга;

- оценить вклад комбинаторной школы в развитие математики;

- выполнить анализ и представить содержание первых учебников по комбинаторике.

Методы исследования, применяемые в диссертационной работе, включают источниковедческий и исторгосо-научный анализы, которые позволяют реконструировать историю комбинаторного учения, выявить его взаимодействие с широким кругом математических вопросов, оценить научные результаты, полученные в ХУПТ веке, в контексте исторического развития идей и методов.

Научная новизна состоит в том, что в работе представлено состояние комбинаторной теории и ее приложений в XVIII веке, в том числе:

1) дан историко-математический анализ широкого круга вопросов, относящихся к области комбинаторного учения XVIII столетия и его составной части - теории соединений;

2) выявлены задачи, приводящие к формированию основных понятий, приемов и методов этой дисциплины;

3) представлено развитие различных видов соединений, их свойств;

4) установлены теоретические и практические приложения комбтеторики;

5) изложены различные пути разработки ее теоретической базы и систематизации;

6) прослежены попытки усовершенствования комбинаторной символики в ХУП-ХУШ веках;

7) выполнен анализ различных методик решения групп конструктивных задач, позволивших считать проблему перебора всевозможных выборок закрытой;

8) изучены подходы к отысканию обидах правил подсчета различных видов соединений, а также приемов решения более общих задач;

9) оценен вклад в развитие комбинаторики ученых, не получивших до настоящего времени должного признания;

10) пополнены сведения об исследованиях в этой области ряда знаменитых ученых, существенно продвинувших комбинаторную теорию;

11) дана новая оценка деятельности немецкой научной школы и ее вкладу в развитие комбинаторной теории на рубеже XVIII - XIX столетий.

На основе анализа многочисленных первоисточников, относящихся к периоду ХУ1-Х1Х веков, сделана попытка установить причины и стимулы развития комбинаторного учепия, его предмет, структуру; изучить магистральное направление развития теории, выявить ее особенности и достигнутые результаты, оценить вклад ряда ученых, а также целой научной школы в разработку комбинаторной теории. Выполненное нами исследование позволяет представить комбинаторное учение как самостоятельную часть математики XVIII века, нашедшую многочисленные теоретические и практические приложения.

На защиту выносятся следующие утверждения:

1. Тенденции развития математики на стыке двух периодов нашли отражение в общей концепции развития комбинаторного анализа. Постепенное накопление отдельных результатов в этой области теории завершилось несколькими попытками, предпринятыми в XVIII веке, представления законченной теории соединений — важного раздела комбинаторного учения.

2. В силу специфики исследований комбинаторный анализ распался на две составляющие: элементарную комбинаторику (теорию соединений) и комбинаторный анализ, изучающий вопросы высшей математики, в том чис-

ле, учение о рядах. Первая из них (теория соединений) стала одной из ведущих математических дисциплин. Выделены три пути ее развития.

3. Потребности "чистой" науки конца XVIII в. привели к тому, что теория соединений распалась на конструктивную и перечислительную части.

4. Изменения в подходах к обоснованию математических теорий, наряду с задачами практики привели к созданию комбинаторной школы под руководством К.- Ф. Гинденбурга. Состояние, уровень развития самой математики, а также увлечение другим, ставшим впоследствии ее центральным направлением - анализом бесконечно малых величин, - привели к недооценке современниками результатов деятельности этой школы.

5. Выявление полной картины становления комбинаторного анализа как науки предполагает глубокие исследования развитая теории соединений. Вслед за Г.- В. Лейбницем. Якобом I Бернулли. Л. Эйлером, ряд недостаточно известных к настоящему времени ученых таких, как П.- Р. де Монмор, Н. де Бегелен, X. Этгингер внесли существенный вклад в ее развитие.

6. Комбинаторные задачи с занимательной фабулой, в большом количестве рассматриваемые учеными XVIII столетия, являются неотъемлемым составляющим звеном комбинаторной теории. В требованиях строгого обоснования математических дисциплин конца XVIII - начала XIX века не был рассмотрен в качестве самостоятельного этот путь развития специфического и наиболее трудного, как оказалось, раздела математики - комбинаторного анализа.

7. Комбинаторный анализ получил широкое распространение как учебная дисциплина. Первые учебники по высшей математике содержали главы по комбинаторной теории, представленной конструктивными и перечислительными ее разделами.

8. Научные труды по выработке основ и систематизации результатов комбинаторной теории явились завершающим этапом развития теории соединений в XVIII веке.

Практическая значимость. Материалы диссертации могут быть использованы:

- при изучении истории математики,

- для написания очерков по истории комбинаторного анализа и оценки его роли в системе математических знаний,

- в дальнейших исследованиях развития теории соединений,

- при чтении лекций, спецкурсов по истории комбинаторного анализа,

- в разработке лекций и семинарских занятий по дискретной математике.

Апробация рабопгы. Диссертация в целом и ее отдельные части были представлены на научных конференциях аспирантов и стажеров по истории естествознания и техники при ИИЕиТ АН СССР (1981—1988); Всесоюзном Г семинаре по теории графов при СГУ (Самарканд, 1983); конференции моло-

дых ученых и специалистов при Доме техники НТО (Пермь, 1983); семинаре по истории математики при ЛО ИИЕиТ АН СССР (1986); конференции молодых ученых при ПГУ им. A.M. Горького (Пермь, 1988); семинаре по истории комбинаторного анализа при ПГПИ (Пермь, 1988—1992); ежегодных научных конференциях преподавателей ПГПИ (1983—1994); семинаре по истории математики при JII ИИ им. А.И. Герцена (1989—1993); межвузовском семинаре по истории математики при ПГУ им. A.M. Горького (Пермь, 1993—1994) и последующих выступлениях в Уральском центре истории науки и образования УЦИНО (1995—2004); семинаре по истории математики при МГУ им. М.В. Ломоносова (1993, 2003); семинаре по истории математики при ОГПУ (Оренбург, 2004).

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, изложенных на 144 страницах, а также списка использованной литературы, содержащего 108 наименований.

Публикации. По теме диссертационного исследования автором опубликовано 16 работ.

а

СОДЕРЖАНИЕ И ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Во введения обоснована актуальность выбранной темы, отмечен не-К ослабевающий интерес отечественных и зарубежных ученых к истории ком-

бинаторного анализа, сформулированы проблемы, не получившие еще достаточно полного освещения в историко-научных исследованиях, определены цели и задачи диссертации, дано краткое содержание работы.

В Главе I представлено состояние комбинаторного учения, сложившееся к началу XVIII века. На основе изучения большого числа первоисточников и комментариев к ним собраны сведения, полученные учеными XV-XVII веков в области элементарной комбинаторики. Имена предшественни-

ков Г.- В. Лейбница, равно как и их труды, до сих пор известны недостаточно широко. К ним относятся, в первую очередь, Христоф Клавиус ("Комментарии" к сфере деятельности Иоганна фон Сакробоско", 1585) и Марин Мер-сенн ("Истинная наука", 1625). Упомянутые трактаты являются значимыми с точки зрения продвижения комбинаторики при решении в общем виде конкретных задач, в которых определены комбинаторные операции, введены специальные термины для дальнейшей классификации и выполнения действий, собраны известные к тому времени свойства комбинаторных операций, представлены аналитические доказательства некоторых из них. Анализ этих важнейших работ позволяет утверждать, что за четыре десятилетия до появления "Диссертации о комбинаторном искусстве" Г.-В. Лейбница (1666) уже имелись основы новой науки, востребованной теорией делимости, вопросами возведения бинома в степень, разбиением натуральных чисел на такие же слагаемые и другими. В связи с теоретическими комбинаторными разработками молодым ученым была высказана идея создания всеобщей, универсальной науки, подразделами и приложениями которой выступали бы все другие дисциплины, в том числе, и математика (1663). Появление глобальной идеи Лейбница, напрямую связанное с подъемом просвещения и бурным развитием новых отраслей знаний в Европе ХУЛ, предопределило предмет и направление многочисленных исследований ученых как XVII века, так и двух последующих столетий. Неоспоримой его заслугой является также разработка строгой по форме доктрины, в которой представлена структура комбинаторного учения.

Другая глобальная идея была выдвинута несколькими годами позже Якобом I Бернулли в связи с доказательством общего утверждения, известного теперь как закон больших чисел. Для рассмотрения в "Искусстве предположений" вопроса о вероятности отклонения т/п (частоты появления события) от р (вероятности события) больше чем на б при п-> со ученый создавал комбинаторный аппарат - теорию соединений. В тот период она давала возможность количественного описания случайных событий, существенно продвигала проблемы теории вероятностей и служила основным средством их решения. Главу завершает обзор трудов Г.- В. Лейбница и Якоба I Бернулли, в которых освещены вопросы, не рассмотренные другими авторами.

Глава П содержит три раздела. В ней выделены различные пути форми-

и

рования комбинаторного учения в XVIII столетии, развитие которого можно классифицировать следующим образом:

- разработка "чистой" научной дисциплины, представленной самостоятельными трактатами или их важнейшими разделами;

- исследования в области комбинаторной теории для решения теоретических и практических вопросов из других математических дисциплин;

- выделение класса комбинаторных задач с дополнительными ограничениями на позиции рассматриваемых элементов, в том числе, имеющих занимательную фабулу, которые в дальнейшем привели к формированию новых разделов как математики, так и комбинаторного анализа.

В целях получения полной картины состояния комбинаторного учения в Х\ТГТ столетии представлен исчерпывающим образом каждый из выделенных выше путей его развития. Учитывая подробные исследования вопросов разработки комбинаторных методов этого периода, прослежен процесс формирования учения о соединениях и выполнен анализ работ, посвященных задачам с ограничениями на позиции элементов выборок.

Кроме того, нами дана оценка вклада французского ма тематика и богослова П.- Р де Мои мора, известного своими трудами в области теории азартных игр, в продвижение комбинаторной теории. На примере изучения и анализа его творческого наследия сделан вывод о том, что в начале XVIII столетия стимулами для формирования комбинаторики были вопросы теории делимости, обобщения теоремы о биноме для показателя степени из множества рациональных чисел, аддитивной теории разбиений, а также задачи зарождавшейся в то время теории вероятностей. Откликнувшись на предложение Н. Бернулли завершить исследования Якоба I Бернулли, ученый представил новый вариант "Анализа азартных игр", в котором изложил основы комбинаторного учения. С выходом "Доктрины шансов" А. де Муавра (1718), связанной с применением комбинаторики к теоретико-вероятностным задачам, закончился поток исследований, посвященных разработке элементарной комбинаторики. Поскольку основы этой науки были достаточно изучены, то предстояло ожидать появления новых задач, приводящих или дающих толчок к возобновлению приоритета комбинаторной теории.

С середины XVIII века в математике стали применять новые приемы и методы. Д. Бернулли уже в 1738 году использовал элементы дифференциального

исчисления в работе "Попытка новой теории вычисления вероятностей случайных величин", а с выходом другой его работы "Пример применения алгоритма бесконечных к искусству предположений" (1766) дифференциальное исчисление прочно заняло место одного из основных инструментов исследований в теории вероятностей.

Несмотря на отсутствие фундаментальных исследований по комбинаторной теории с середины XVIII века, не следует делать вывода о том, что она не находила достойного применения, и ее развитие остановилось. Из множества всех вопросов, рассматриваемых в теории соединений, был выделен особый класс задач с ограничениями на позиции элементов выборок. Некоторые из них в дальнейшем получили статус классических комбинаторных задач. Их сложность и нестандартность предопределили повышенный интерес со стороны многих известных ученых. Г. де Бюффон, Г. Монж, А. Вандермонд, А. де Му-авр, Дж. Совер, Л. Эйлер и другие посвящали решению простых по формулировке комбинаторных задач специальные трактаты.

При анализе вклада Эйлера в развитие комбинаторики выяснилось, что указанные вопросы были сформулированы им в виде проблем из различных математических теорий в присущих им терминах. К ним ученый возвращался неоднократно на протяжении всей своей более чем полувековой научной деятельности. Однако, эта часть исследований не была подробно изучена, в то время как его внимание к ним было постоянным и устойчивым: он посвятил им в общей сложности около полутора десятка мемуаров, а также многочисленные страницы своих "Записных книжек" и часть научной переписки. Эйлер решал задачи о кенигсбергских мостах, 36 офицерах, о ходе коня на шахматной доске, о встречах, изучал магические и латинские квадраты, а также прямоугольники, разрабатывал методы их построения. Все его работы по комбинаторной тематике связаны с решением конкретных задач, а исследуемые в них вопросы весьма разнообразны. Ученый занимался подсчетами способов перестановки слов в стихах без нарушения определенного строя, разбиением целых неотрицательных чисел на такие же слагаемые, разрабатывал теорию фигурных чисел и решал целый ряд других вопросов.

Комбинаторные задачи о соединениях с ограничениями на позиции их элементов часто рассматривались в специфической интерпретации, сформулированные в терминах финансовых игр (лотерей). Последние проводились в

странах Западной Европы с целью получения денежных займов у населения. Пристальное внимание к разработке математической модели игры и расчетам результатов при заданных суммах затрат объяснялось стремлением устроителей и потенциальных игроков оценить перспективы участия в лотерее. Тщательные поиски оптимальных формулировок привели к нескольким вариантам игры. Для работы над решением указанных проблем привлекались уче-^ ные, имевшие высокий научный авторитет.

Анализ различных решений комбинаторной задачи с ограничениями на позиции элементов, входящих в дискретные множества, и являющейся математической моделью наиболее популярной в ХУЛ—ХУГП веках Генуэзской лотереи, выполнен на основе четырех трактатов. Исследования данной проблемы были опубликованы Л.Эйлером; свои выводы привел Иоган Бернулли. Их подходы к решению сложной проблемы нумерного лото обобщил мало известный в наши дни К де Бегелен в обширном мемуаре "О последовательностях или секвенциях в генуэзской лотерее" (1767). Нами дана оценка его вклада в развитие комбинаторной теории, а также представлены биографические сведения о нем.

В заключении главы отмечено, что введение Л.Эйлером в рассмотрение с общетеоретических позиций задач с ограничениями на позиции элементов дискретных множеств нашло дальнейшее развитие в трудах ученых первой комбинаторной школы в Германии.

В Главе III перечислены характерные особенности развития математики на рубеже ХУГП и XIX столетий, оказавшие влияние на дальнейшее состояние комбинаторного анализа. Одна из важнейших особенностей связана с необходимостью критического пересмотра унаследованных научных ценностей и уровня представленной в них математической строгости. В Германии потреб-^ ность дальнейшего развития глобальных научных идей прошлых столетий но-

выми средствами математики снова привела к необходимости построения универсальной теории — комбинаторного анализа. Идея, сформулированная еще Г.- В. Лейбницем, была подхвачена в конце ХУШ века учеными немецкой научной школы, основанной и возглавляемой К.-Ф. Гинденбургом. Предпринятые в ней попытки создания единого комбинаторного учения закрепили за школой название "комбинаторной".

Анализ результатов деятельности школы Гинденбурга в области разработки и систематизации теоретических основ комбинаторики выполнен нами на

основе работ X. Эггингера, Дж. Вейнгартнера, К. Шталя, А. Эттинхаузена, А. Вейсса и К.-Ф. Гинденбурга. Сделан вывод о том, что научные потребности "чистых" математиков, проводящих исследования в рамках различных научных школ и математических дисциплин, привели к разделению комбинаторного учения на две составляющие: комбинаторику в ее узком понимании (теорию соединений) и комбинаторный анализ. Предметом изучения последнего стали вопросы теории рядов, алгебры, общей теории алгебраических уравнений, теории групп, других, развивающихся и вновь создаваемых теорий. Проведенный нами сравнительный анализ указанных работ по систематизации комбинаторики позволил сделать вывод о том, что выбор подхода к исследованию зависел от направления деятельности ученого школы Гинденбурга. Особенности же задач теории соединений привели к возможности классифицировать их как перечислительные и конструктивные, рассматривая в одноименных самостоятельных разделах.

Активные исследования в области конструктивной теории соединений были вызваны потребностями и самого комбинаторного учения, и других разделов математики. Вопросы наиболее рационального перебора всевозможных выборок занимали важное место в трудах Дж. Вейнгартнера. Выполненный нами анализ его исследований по разработке общих приемов нахождения всех комплексий как с дополнительными ограничениями на позиции элементов, так и без них, позволил представить систему комбинаторных и универсальных способов их построения. Выработанная ученым методика стала важным вкладом в разработку конструктивного направления теории соединений. К числу других работ этой области мы отнесли исследования К.-Ф. Гинденбурга, А. Эгтинхау-зена и Л.- Б. Франковера. Проблемы, поставленные Л. Эйлером и связанные с задачами о выборках с ограничениями на позиции их элементов, привели к перечислительной части теории соединений и стали предметом исследований немецких математиков К. Шталя, Лоренца, Л.-Б. Франковера. Особенно значимые результаты в теории перечислений были получены X. Эттингером. Ученый представил исчерпывающие и строгие доказательства формул для выборок с ограниченными повторениями, разработал методику подсчета любого известного их класса с ограничениями на позиции элементов, предложил ряд практических приложений к другим разделам математики. Разработанный им способ обозначений комбинаторных операций был весьма целесообразен с точки зрения ре-

тения сложных комбинаторных задач. Выполненный нами анализ трудов математиков школы Гинденбурга позволил сделать заключение о значительном вкладе "}гтингера в развитие теории соединений. Им даны исчерпывающие решения проблем, поставленных Якобом I Бернулли, в дальнейшем переформулированных и усложненных Л. Эйлером.

Работая над вопросами из различных областей математики, сотрудники немецкой школы решали проблему разработки комбинаторной теории, остро востребованной математическими дисциплинами того периода. Нами сделаны выводы о том, что результатами ее деятельности стали:

- систематическое изложение теории соединений",

- проведение в жизнь идеи единообразной комбинаторной символики (нами представлено несколько ее вариантов);

- выделение двух самостоятельных разделов теории соединений: консрук-тивного и перечислительного;

- применение комбинаторной теории к решению вопросов из смежных и вновь формирующихся дисциплин;

- проведение доказательств всех известных свойств комбинаторных операций с учетом требуемого уровня математической строгости;

- исчерпывающая разработка универсальных приемов и правил построения выборок как с ограничениями на позиции их элементов, так и без них;

- создание универсальной методики подсчета выборок любого известного класса, а также всех классов в совокупности.

Нами отмечена важнейшая заслуга Гинденбурга: совместное создание с И. Бернулли "Лейпцигского журнала чистой и прикладной математики" в то время, когда еще не существовало специальных периодических математических изданий. Отдельная оценка дана организаторскому таланту Гинденбурга, объединившего ведущих специалистов для работы над идеей, восходящей к гению предыдущего столетия. Основатель комбинаторной школы на многие годы опередил подобную деятельность своего соотечественника А. Крелля по развитию математики в Германии в первой четверти XIX века.

Изучение и анализ дальнейших (после распада школы Гинденбурга) трудов бывших ее сотрудников свидетельствуют о том, что комбинаторные исследования послужили основой их научных успехов. Отмечено, что результаты в области "чистой" комбинаторики оказали заметное влияние на развитие новых

математических теорий, получивших бурное развитие в начале XIX столетия. Показана важность вклада ученых школы Гинденбурга в продвижение комбинаторного анализа на рубеже XVIII - XIX веков.

В заключении подведены итоги проделанной работы, сделаны следующие выводы о результатах проведенного исследования:

- перечислены особенности первоисточников и отмечены причины, стимулировавшие развитие комбинаторики в рассматриваемый период;

- указаны ведущие идеи ученых конца XVII — начала XIX столетий, послужившие основой комбинаторных исследований;

- выделены различные пути формирования комбинаторной теории в XVIII веке, в том числе - особое направление развития комбинаторной теории, представленное классом специальных комбинаторных задач с дополнительными ограничениями на позиции элементов выборки;

-представлено развитие теории соединений в указанный период, объединявшей две различные части — конструктивную и перечислительную;

-дана оценка вклада ученых в продвижение комбинаторной теории, в том числе, Г.-В. Лейбница, Якоба I Бернулли, К.-Ф. Гинденбурга;

- представлены комбинаторные труды П.-Р. Монмора, Л. Эйлера, И. Бернулли, результаты которых в этом направлении не получили должного освещения в историко-математической литературе;

- выявлены имена ученых: Н. де Бегелена, X. Эггингера, Дж. Вейнгартнера, занимавшихся комбинаторной тематикой, дан анализ их работ;

- раскрыто содержание первых учебников по комбинаторике;

- указано взаимовлияние комбинаторного учения и новых '"чистых" математических дисциплин, формировавшихся в начале XIX столетия;

- на основе анализа различных аспектов научной деятельное га школы Гинденбурга дана новая оценка ее вклада в развитие комбинаторной теории.

Согласно перечисленных и других выводов, сформулированных в диссертационном исследовании, сделано заключение о том, что комбинаторика, зародившись в одно время с другими ведущими разделами математики, постоянно находила практические приложения при решении присущих им проблем. Постепенно выкристаллизовываясь из задач теории чисел, музыки, она стала к началу XIX века одним из основных разделов математики. Ей посвящались специальные учебники, трактаты или их важнейшие главы. Не конкурируя с новыми —

дифференциальными и интегральными — методами, прочно вошедшими в математику и смежные дисциплины, комбинаторная теория постоянно находила себе применения. Прежние подходы к изучению новых видов соединений в совокупности с оригинальными рассуждениями авторов позволили не только удовлетвориться решением выдвинутых ХУШ веком комбинаторных задач с дополнительными ограничениями на позиции элементов выборок, но и сформулировать глубокие основы новых математических разделов, таких как: теория конструкций блочно-схемного типа, теория игр, топология, теория конфликтных ситуаций, элементы теории вероятностей и др.

Возникновение новых глобальных научных идей, взаимопроникновение проблем различных математических дисциплин с комбинаторными задачами, сложность и специфика их решения, отсутствие полного и строгого определения предмета исследований комбинаторного анализа, а также другие его особенности привносили трудности не только в "чисто" комбинаторные, но и в ис-торико-научные исследования этого направления. Вместе с тем, изменение статуса дискретной математики в связи с глобальной информатизацией всей человеческой цивилизации, дает основания считать комбинаторный анализ одним из важнейших ее разделов, а исследование вопросов его развития наиболее перспективным направившем историко-няучных изысканий.

Основные результаты диссертационной работы отражены в следующих публикациях автора:

1.0 первых комбинаторных исследованиях Артура Кэли. М.: ВИНИТИ, №3274-81. Деп. 02.07.81.10 с. (соавт. Малых А.Е.).

2. Решение и развитие Эйлером одной из перечислитель« задач комбинатор-ног« анализа, рассматриваемой на шахматной доске. М.:ВИНИТИ, №4028-83. Деп. 18.07.83.16с. (соавт. Малых А.Е).

З.О возникновении и развитии теории конечных геометрических структур /В сб.: Молодые ученые и специалисты—одиннадцатой пятилетке, Пермь: Дом техники НТО, 1983. С. 51-52.

4. Магические квадраты в комбинаторном наследии Леонарда Эйлера. М.: ВИНИТИ, №5823-84. Деп. 19.08.84.19 с. (соавт. Малых А.Е.).

5. Некоторые интерпретации классической задачи о встречах в комбинаторном наследии Л. Эйлера. М.: ВИНИТИ, №1670-85. Деп. 05.03.85. 8 с. (соавт. Ма-

лых А.Е.).

6. О возникновении и развитии некоторых геометрических структур //Труды 23-26 науч. конф. аспирантов и молодых специалистов по истории математи-ки.М.:ИИЕиТ АН СССР,1986.С. 123-135.

7.0 некоторых путях развития комбинаторного анализа в XVIII веке /В сб.: Исследования молодых ученых в области физ.-мат. наук. Пермь: Дом техники НТО, 1988. С. 19-20.

8. О вкладе JI. Эйлера в развитие комбинаторной теории //Труды 27-31 науч. 1бовф.асшфшшзвисшжфовя(>ис1ориив(Л)всш(ЯЮ1&1Я.М.:АНОСХ1Р, 1988.

9. Подготовка студентов к использованию элементов историзма на уроках и во внеклассной работе /В сб.: Проблемы подготовки учителей математики в пединститутах. М.: МГЗПИ, 1989. С. 45-51 (соавт. Малых А.Е.).

10. Некоторые классические задачи в комбинаторном наследии Леонарда Эйлера/В сб.: Актуальные вопросы истории и методики преподавания математического анализа. Дел. в НИИ ВШ, 1990. С. 258-260.

11. Применение комбинаторики к анализу азартных игр, теории чисел и рядов в мемуарах XVTII века /В сб.: Моделирование и системный подход в анализе общественных явлений /Математическое моделирование систем и явлений. Пермь: ЛГУ. 1993. С. 6061.

12. Материалы для семинарских и практических занятий по курсу истории математики (ч. I). Пермь: ПГПИ. 1993; 62 с.

13. Развитие комбинаторной теории в начале XVIII века //В сб.: История и методология науки. Пермь: ПТУ, 1994. Вып. 1.С. 111-117.

14. Использование комбинаторных идей в теоретико-вероятностных исследованиях XVIII века //В сб.: История и методология науки. Пермь: ПГУ, 1994. Вып. 1.С. 117-127.

15. О состоянии комбинаторного учения в XVIII столетии. //В сб.: История и методология науки. Пермь: ПГУ, 2003. Вып. 10. С. 40-54.

16. Развитие комбинаторного анализа математиками гинденбургской школы на рубеже XVIII - XIX веков //В сб.: История и методология науки. Пермь: ПГУ, 2003. Вып. 10. С. 17-39 (соает. Малых А.Е.).

4

\

\ I

Подписано к печати 12 03 00- Формат 60x80 1/16 Ьумига писчая

_ Печать офсетная__Печ_л ] О_Тираж 100 экз Заказ № 51

I СПбГУНиГГГ 191002, Санкт-Петербург, ул Ломоносова, 9

I ИПЦСПбГУНиПТ 191002, Санкт-Петербург, ул Ломоносова, 9

¿7/ OY -OY03

РНБ Русский фонд

2006-4 2978

О 5 ДПР ?lilW

Оглавление научной работы автор диссертации — кандидата физико-математических наук Угольникова, Ольга Дмитриевна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I О ФОРМИРОВАНИИ КОМБИНАТОРИКИ В

XVII ВЕКЕ.

1.1. Источники комбинаторной теории.

1.2. Предшественники Г.-В. Лейбница.

1.3. Формирование комбинаторной теории в трудах Г.-В. Лейбница и ЯЛ Бернулли.

ГЛАВА II ПУТИ РАЗВИТИЯ КОМБИНАТОРНОГО УЧЕНИЯ

В XVIII ВЕКЕ.

2.1 Развитие комбинаторной теории в исследованиях П.-Р. де

Монмора.

2.2 Дальнейшее развитие комбинаторных идей в научном наследии Л. Эйлера.

2.3 Комбинаторные исследования Н. де Бегелена и ИЛИ Бернулли

ГЛАВА III РАЗВИТИЕ КОМБИНАТОРНОГО АНАЛИЗА НА

РУБЕЖЕ XVIII-XIX ВЕКОВ.

3.1. Создание комбинаторной школы.

3.2. Попытки систематизации теоретических основ комбинаторики.

3.3 Конструктивная часть комбинаторного учения.

3.4 Развитие перечислительной части комбинаторного учения.

Введение диссертации2004 год, автореферат по истории, Угольникова, Ольга Дмитриевна

Древнейшая и, возможно, ключевая ветвь математики — комбинаторика — долгое время оставалась на периферии математической науки. В последние десятилетия произошло стремительное включение комбинаторного анализа в русло современной математики, что связано не только с обновлением аппарата, но и резким расширением области приложений, предмета исследований рассматриваемой дисциплины. Комбинаторные методы проникли в другие науки, в частности, теорию чисел, алгебру, теорию вероятностей, геометрию, теорию графов. Они стали активно использоваться в психологии, медицине, космической технике и радиосвязи. Интерес самих математиков к комбинаторному анализу усилился в связи с изменением статуса дискретной математики при появлении во второй половине XX века информатики и компьютерной техники, используемой практически во всех сферах жизнедеятельности человека. Он обусловлен также попытками ведущих специалистов этой области превращения комбинаторного анализа в составную часть магистрального направления современной математики.

Широкое внедрение комбинаторных методов в науку и практику, производство и экономику при высокой степени разработанности теории определяет внимание к ее истории. Такие известные ученые как H.JI. Биггс, Е. Кно-блох, К.Р. Бирман проводили подобные исследования в этом направлении [63], [86], [64]. Из отечественных трудов необходимо отметить работы К.А. Рыбникова [33], [35], А.Е. Малых [15], [16], Дж. Кутлумуратова [10]. Элементы истории комбинаторики освещены J1.E. Майстровым [11], [12], Б.В. Гнеденко [5]. Материал по обсуждаемой тематике имеется в [7], вышедшей под редакцией А.П. Юшкевича. Вопросы, относящиеся к дискретной математике, рассмотрены в публикациях Г.П. Матвиевской, например, в [24]. Среди литературы XIX столетия следует упомянуть исследования И. Тодхан-тера 1102], Е. Нетто [92], В.Я. Буняковского [3].

Вышеуказанные факты свидетельствуют о том, что история комбинаторного анализа постоянно находится в поле зрения ученых. Его развитие с древнейших времен дет настоящего времени, а также процесс формирования многочисленных разделов подробно освещены. Вместе с тем, при более глубоком исследовании этих вопросов обнаруживаются неизвестные ранее имена ученых, занимавшихся разработкой комбинаторной теории, отыскиваются проблемы, служившие истоками целых современных научных направлений, в частности, дискретной математики, переосмысливается вклад научных школ в развитие математики.

Сказанное выше относится и к XVIII столетию. Анализ первоисточников позволяет сделать вывод о том, что в то время интерес к комбинаторике не угасал, более того — усиливался. Именно в рассматриваемый нами период изучались некоторые структуры блочно-схемного типа: магические и латинские квадраты, другие конструкции, изучались операции с рядами, выполнялось суммирование числовых последовательностей и другие. Тогда же стал формироваться и находить применение математический аппарат науки с присущими ему проблемами и методами: полной математической индукции, производящих функций, рекуррентных соотношений, конечных разностей, включения и исключения. Многие из перечисленных выше вопросов уже нашли освещение в трудах по истории комбинаторного анализа указанного периода: исследования по общей проблематике выполнены К.А. Рыбниковым и А.Е. Малых в указанных выше работах, ряд важных специальных направлений представлен О.В. Ивановым [6], Дж. Кутлумуратовым [9], [10], Е.П.Ожиговой [28], П.П. Пермяковым [29].

Однако, несмотря на пристальное внимание ученых к процессу формирования и развития комбинаторного учения, в том числе и в XVIII веке, выбранная тематика остается актуальной. В частности, за пределами опубликованных исследований остались вопросы:

- выяснения структуры комбинаторного анализа в рассматриваемый период;

- разработки и систематизации основ теории соединений (фундаментального раздела комбинаторного анализа);

- развития одного из его направлений - класса специфических задач с дополнительными ограничениями на позиции рассматриваемых элементов дискретных множеств;

- взаимовлияния комбинаторной теории и других математических дисциплин, внутренних связей между разделами комбинаторного анализа;

- оценки результатов деятельности первой комбинаторной школы. Отмеченные выше пробелы в истории математики частично восполнены в диссертации, что подтверждает ее новизну. В ней исследуются пути разработки теоретической базы комбинаторики, представленной введением основных понятий и операций над элементами дискретных множеств, доказательством их свойств, разработкой специальной символики. Изучается развитие специфического направления комбинаторной теории, представленного классом задач с занимательной фабулой. Выделяются конструктивное и перечислительное направления теории соединений. Рассматриваются вопросы применения полученных результатов к решению проблем из смежных математических дисциплин. Выполняется сравнительный анализ работ ученых гин-денбургской школы. Дается оценка ее вклада в формирование новых математических теорий и развитие комбинаторного анализа на рубеже XVIII-XIX в.

Важное значение для установления причин интереса ученых указанной эпохи к комбинаторным вопросам имеет тот факт, что (согласно общематематической периодизации А.Н. Колмогорова) XVIII столетие находилось на стыке двух периодов развития математики. С одной стороны, в XV1I-XVI11 в. выдающиеся ученые Г.-В. Лейбниц, братья Бернулли, JI. Эйлер и другие предвосхищали развитие науки и закладывали теоретические основы новых математических дисциплин, которые лишь впоследствии оформились в закопченные теории с многочисленными приложениями. С другой стороны, изучение и анализ целого ряда первоисточников, опубликованных уже в XIX столетии, позволяет отнести изложенные в них результаты к идейным и содержательным достижениям XVIII века. Однако унаследованные научные ценности в области комбинаторного учения и степень математической строгости, с которой они были представлены, а поэтому и в связи с этим потребовали критического пересмотра, привели к созданию комбинаторной школы. Работы, активно проводившиеся в ее рамках под руководством К.-Ф. Гинденбурга, были востребованы и широко использовались формировавшимися в то время новыми математическими теориями (групп, алгебраических уравнений, подстановок, определителей, структур блочно-схемного типа и др.). Деятельность немецкой школы к настоящему времени так и не получила всестороннего освещения, а ее роль, как показали исследования, крайне занижена. Высказывания Ф. Клейна и X. Хенкеля о научном направлении комбинаторной школы как тупике в развитии математики, стали историческим стереотипом. Достижения и открытия современной эпохи дают основания для новой ретроспективы. Приоритеты третьего тысячелетия приводят к переосмыслению значимости комбинаторных исследований рассматриваемого периода, новой оценке вклада немецкой школы в развитие математики в целом и комбинаторного анализа, в частности.

Целью диссертации является исследование формирования и развития комбинаторного анализа в XVIII — первой трети XIX столетия. Для этого необходимо решить следующие задачи:

- выявить основные идеи, сформулированные учеными XVIII века, послужившие основой исследований математиков этого периода и приведших к формированию целых разделов комбинаторного анализа;

- определить пути развития комбинаторного учения в рассматриваемый период;

- представить развитие в XVIII веке учения о соединениях — фундаментального раздела комбинаторного анализа;

- рассмотреть применение его к другим разделам математики, а также к решению прикладных задач;

- выделить и исследовать особое направление развития комбинаторной теории в XVIII веке - класс специальных комбинаторных задач с дополнительными ограничениями на позиции элементов рассматриваемых множеств;

- выяснить вклад различных ученых в исследование вопросов комбинаторной теории;

- реконструировать методы, используемые при подсчете различных видов соединений с ограничениями на позиции их элементов (определенной суммы, произведения и др.);

- изучить попытки создания "единого комбинаторного учения" в немецкой школе;

- оценить ее вклад в дальнейшее развитие математики;

- выполнить анализ и раскрыть содержание первых учебников по комбинаторике.

Методы исследования, применяемые в диссертационной работе, включают источниковедческий и историко-научный анализы, которые позволяют реконструировать историю комбинаторного учения, выявить его взаимодействие с широким кругом математических вопросов, оценить научные результаты ученых XVIII века в контексте исторического развития идей и методов.

Научная новизна состоит в том, что в работе представлено состояние комбинаторной теории и ее приложений в XVIII веке, в том числе:

1) дан историко-матсматический анализ широкого круга вопросов, относящихся к области комбинаторного учения XVIII столетия и его составной части - теории соединений;

2) выявлены задачи, приводящие к формированию основных понятий и методов этой дисциплины;

3) представлено развитие различных видов соединений;

4) установлены теоретические и практические приложения комбинаторики;

5) изложены различные пути разработки ее теоретической базы и систематизации;

6) прослежены попытки усовершенствования комбинаторной символики в XVII-XVI1I веках;

7) выполнен анализ различных методик решения групп конструктивных задач, позволивших считать проблему перебора всевозможных выборок закрытой;

8) изучены подходы к отысканию числа различных видов соединений, а также к решению более общих задач;

9) оценен вклад в развитие комбинаторики исследователей, не получивших до настоящего времени должного признания;

10) пополнены сведения об исследованиях в этой области ряда знаменитых ученых, существенно продвинувших комбинаторную теорию;

11) дана новая оценка деятельности немецкой научной школы и ее вкладу в развитие комбинаторной теории на рубеже XVIII - XIX столетий.

На основе анализа многочисленных первоисточников, относящихся к периоду XVI-XIX веков, сделана попытка установить причины и стимулы развития комбинаторного учения, его предмет, структуру; изучить магистральное направление развития теории, выявить ее особенности и достигнутые результаты, оценить вклад ряда ученых, а также целой научной школы в разработку комбинаторной теории. Выполненное нами исследование позволяет представить комбинаторное учение как самостоятельную часть математики XVIII века, нашедшую многочисленные теоретические и практические приложения.

На защиту выносятся следующие утверждения:

1. Тенденции в математике на стыке двух периодов нашли отражение и в общей концепции развития комбинаторного анализа. Постепенное накопление отдельных результатов в этой области завершилось несколькими попытками представления законченной теории соединений —- важного разде ла комбинаторного учения (XVIII в.).

2. В силу специфики исследований комбинаторный анализ распался на две составляющие: элементарную комбинаторику (теорию соединений) и комбинаторный анализ, изучающий вопросы высшей математики, в том числе, учение о рядах. Первая из них стала одной из ведущих математических дисциплин: ей посвящались специальные учебники, трактаты или их важнейшие главы. Традиционные комбинаторные подходы к решению задач позволили заложить основы новых разделов математики.

• 3. Потребности «чистой» науки конца XVIII в. привели к тому, что теория соединений распалась на конструктивную и перечислительную части.

4. Комбинаторная теория была средой, в которой развивались и совершенствовались методы построения конструкций блочно-схемного типа, изучались последовательности и фигурные числа, формировались основные понятия теории вероятностей.

5. Для понимания роли и места комбинаторного учения важно учитывать его связь с другими естественно-научными дисциплинами.

6. Кардинальные изменения в подходах к обоснованию математических теорий привели к созданию комбинаторной школы под руководством К.- Ф. Гинденбурга. Состояние, уровень развития самой математики, а также увле

М чение другим, ставшим впоследствии ее центральным направлением — анализом бесконечно малых величин, - привели к недооценке современниками результатов деятельности этой школы.

7. Выявление полной картины становления комбинаторного анализа как науки предполагает исследование развития всех его направлений, в том числе теории соединений. Вслед за Г.- В. Лейбницем, Я. I Бернулли, Л. Эйлером, ряд мало известных к настоящему времени ученых таких, как П.- Р. де Монмор, Н. де Бегелен,. К.-Ф. Гиндепбург, Дж. Вейнгартнер, Л. Эттингер и другие внесли существенный вклад в ее развитие.

8. Комбинаторные задачи с занимательной фабулой, в большом коли-^ честве рассматриваемые учеными XVIII столетия и относящиеся как принято считать в наши дни, к конкретной математике, являются неотъемлемым составляющим звеном комбинаторной теории. В требованиях строгого обоснования математических дисциплин конца XVIII - начала XIX века не был рассмотрен в качестве самостоятельного этот путь развития специфического и наиболее трудного, как оказалось, раздела математики - комбинаторного анализа.

Практическая реализация. Материалы диссертации могут быть использованы:

- при изучении истории математики,

- для написания очерков по истории комбинаторного анализа и оценки его роли в системе математических знаний,

- в дальнейших исследованиях развития теории соединений,

- при чтении лекций, спецкурсов по истории комбинаторного анализа,

- в разработке лекций и семинарских занятий по дискретной математике.

Апробация работы. Диссертация в целом и ее отдельные части были представлены на научных конференциях аспирантов и стажеров по истории естествознания и техники при ИИЕиТ АН СССР (1981—1988); Всесоюзном семинаре по теории графов при СГУ (Самарканд, 1983); семинаре по истории науки при ЛГПИ им. А.И. Герцена (1989—1993); семинаре по дискретной математике при МГУ им. М.В. Ломоносова (1993, 2003), межвузовском семинаре по истории математики при ПГУ им. A.M. Горького (Пермь, 1993—1994) и последующих выступлениях в Уральском центре истории науки и образова-% ния УЦИНО (1995—2003); семинаре по истории комбинаторного анализа при

ПГПИ (Пермь, 1988—1992); ежегодных научных конференциях преподавателей ПГПИ (1983-1994).

Основное содержание диссертации отражено в шестнадцати статьях автора.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, изложенных на 144 страницах, а также списка использованной литературы, содержащего 108 наименований.

Заключение научной работыдиссертация на тему "Формирование и развитие комбинаторного анализа в XVIII веке"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Стремительное проникновение во второй половине прошлого века компьютерной техники и связанных с ней информационных технологий во все сферы человеческой деятельности предопределило пристальное внимание историков науки к дискретной математике, важной составной частью которой является комбинаторный анализ. Вопросы истории его зарождения и развития с древнейших времен до настоящего времени, а также формирование многочисленных разделов к настоящему времени изучены достаточно полно. Однако, анализ архивных материалов и первоисточников, относящихся к периоду конца XVII - начала XIX века, проведенный в свете новых научных достижений, позволяет внести изменения в ретроспективу комбинаторного учения.

В настоящем исследовании сформулирован перечень актуальных вопросов, относящихся к истории его развития в указанный период. При их изучении были приняты во внимание особенности развития науки на рубеже рассматриваемых столетий.

Согласно периодизации комбинаторного анализа, диссертационное исследование целиком охватывает один из выделенных в ней периодов, обозначенный как «оформление комбинаторики до создания комбинаторной школы». Известно, что в силу специфики исследований «чистой» математики комбинаторный анализ распался на две составляющие: комбинаторику (теорию соединений) и комбинаторный анализ, исследующий вопросы высшей математики. За основу проводимых нами исследования были взяты идеи ученых конца XVII - начала XIX столетия и их работы в области систематизации комбинаторного учения. При этом выявлены и рассмотрены различные пути формирования комбинаторной теории. Один из них связан с внутренним развитием теории соединений, представленной в конце XVIII столетия двумя самостоятельными разделами (конструктивным и перечислительным). Ко второму отнесен класс специфических комбинаторных задач с занимательной фабулой. Решение некоторых из них, получивших статус классических комбинаторных задач, привело в дальнейшем к формированию целых научных разделов. Другая их часть стояла у истоков раздела теории перечислений, включающего вопросы пересчета выборок с дополнительными ограничениями на позиции рассматриваемых элементов. Наконец, еще один путь формирования комбинаторного учения был связан с дальнейшим развитием научных идей прошлого столетия новыми средствами математической науки. Он прослеживается в трудах немецкой научной школы, результаты деятельности которой также отражены в данном исследовании.

Каждый из указанных путей развития комбинаторной теории представлен отдельным разделом диссертации. Первый путь проанализирован на примере комбинаторных трудов Г.-В. Лейбница, Я. 1 Бернулли, их предшественников Хр. Клавиуса, М. Мерсенна, а также современников Дж. Валлиса и П.-Р. Де Монмора. Представлена полная картина состояния фундаментального раздела комбинаторного учения — теории соединений, сложившегося в первой четверти XVIII века. Второй путь представлен исследованиями Л. Эйлера, И. III Бернулли, Н. де Бегелена в области класса специфических комбинаторных задач, имеющих занимательную фабулу. Из многочисленных трактатов Эйлера и его научной переписки выявлены серии задач, сформулированных в терминах различных теорий и являвшихся интерпретациями моделей комбинаторных задач с дополнительными ограничениями на позиции элементов. Среди таких задач рассмотрена сложная проблема нумерного лото, полное решение которой было предложено совсем неизвестным сегодня придворным воспитателем Н. де Бегеленом. Выявление новых имен ученых, внесших вклад в продвижение комбинаторной теории - одна из важнейших задач историка науки. Успех талантливого и скромного ученого и его участие в продвижении комбинаторики отмечен в специальном разделе. Здесь же представлены его биографические сведения.

При анализе трудов математиков гииденбургской школы, занимавшихся изысканиями в самых различных научных направлениях, был установлен новый уровень развития комбинаторной теории, а также высокая степень ее влияния на формирование и становление новых математических теорий. Указанные качественные изменения внутри самого комбинаторного учения и оправдывающиеся в тот период времени ожидания Гинденбурга о влиянии комбинаторного учения на развитие математики в целом, дают основания по-новому оценить вклад немецкой школы в развитие математической науки. Предложенная оценка результатов деятельности первой комбинаторной школы базируется на том, что удалось: a) реконструировать и представить систематическое изложение теории соединений, выполненное математиками школы в рамках «чистой» науки, отделенной от прикладных задач; b) выявить различные их подходы к основаниям комбинаторного учения; c) установить различные классификационные схемы вводимой терминологии; d) собрать воедино многочисленные выработанные варианты символики; e) воссоздать различные варианты систематизация комбинаторного учения; f) реконструировать полные и строгие доказательства всех известных свойств комбинаторных операций; g) выделить и рассмотреть как самостоятельные «перечислительное» и «конструктивное» направления теории соединений; h) реконструировать разработанные в полном объеме универсальные правила и приемы построения всевозможных выборок.

В связи с вышеизложенным, мы рассматриваем деятельность гиндеи-бургской школы на рубеже XVIII - XIX веков как важный этап развития математики в целом и комбинаторного учения - в частности.

Кроме того, уже отмечалась необходимость вносить коррективы в ретроспективу математических дисциплин и теорий в связи с новыми открытиями и изменением акцентов в современной науке.

Наконец, важно указать на особенности первоисточников при проведении исследования материалов, составивших основу первых двух глав. Характерной их является не только описательная словесная форма, но и общая пестрота содержания. Подавляющее число рассмотренных сочинений XVII века охватывают различные разделы математики, под которой понимается набор самых различных наук и ремесел, использующих вычисления, математические результаты, приемы и методы. Другой особенностью являются исторические введения в форме обращений к читателю, в которых обсуждаются многочисленные вопросы, не всегда связанные с предметом исследования. Еще одна характерная черта того времени: отсутствие периодических изданий и обширная личная переписка ученых разных стран, в которой они обменивались вопросами из самых различных областей знаний и человеческой жизни. Перечисленные выше некоторые особенности общего состояния науки в XVII веке затрудняли поиски историков математики, пытавшихся оценить вклад ученых в продвижение комбинаторной теории, выявить приоритеты, выделить фундаментальные и прикладные вопросы комбинаторных исследований.

В заключение отметим, что представленный материал подтверждает тот факт, что комбинаторика к началу XIX века стала одним из основных разделов математики: ей посвящались специальные учебники, трактаты или их важнейшие главы. Выделенные пути развития представляют комбинаторику как теорию, на протяжении всей своей истории постоянно находившую применение. Наконец, выскажем очевидное. Повышение статуса дискретной математики, связанное с глобальной информатизацией всей человеческой цивилизации, привели к пониманию того, что комбинаторный анализ являя-ется одним из важнейших научных разделов, а исследование вопросов его развития - наиболее перспективным направлением историко-математических изысканий.

Список научной литературыУгольникова, Ольга Дмитриевна, диссертация по теме "История науки и техники"

1. Бернулли Я. О законе больших чисел. М.: Наука, 1986.

2. Бирман К.Р. Задачи генуэзского лото в работах классиков теории вероятностей //Историко-математические исследования. М.: Наука, 1957. Вып.Х.

3. Буняковский В.Я. Лексикон чистой и прикладной математики. Спб., 1839. Т. I.

4. Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. М.: Физматгиз, 1960.

5. ГнеденкоБ.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1988. 6-е изд.

6. Иванов О.В. Из истории теории симметрических функций ее связей с другими областями математики /Автореферат дисс. на соиск. уч. ст. канд. физ.-мат.наук. М., 1992.

7. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия/Под ред. А.Н.Колмогорова, А.П.Юшкевича. М.: Наука, 1970-1972. T.I-II1.

8. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. М: Наука, 1989. Т.1. Изд.2

9. Кутлумуратов Дж. Накопление в математике комбинаторных задач и методов их решения //Вестник Каракалпакского филиала АН УзССР. Нукус: Каракалпакия, 1964. N 1(15). С. 38-45.

10. Кутлумуратов Дж. О развитии комбинаторных методов математики. Нукус: Каракалпакия, 1964.

11. Майстров Л.Е. Теория вероятностей. Исторический очерк. М.: Наука, 1967.

12. Майстров Л.Е. Развитие понятия вероятности. М.: Наука, 1980.

13. Малых А.Е. О создании Эйлером комбинаторной теории латинских квадратов //Историко-математические исследования /Под ред. А.П. Юшкевича. М.: Наука, 1983. Вып. XXVII. С. 102-123.

14. Малых А.Е. Решение и развитие Эйлером комбинаторных задач, относящихся к перечислению и расположению элементов //Историко-математические исследования /Под ред. А.П. Юшкевича. М.: Наука, 1986. Вып. XXX. С. 199-223.

15. Малых А.Е. Формирование комбинаторного анализа (монография). М.: ВИНИТИ, N 7166-В89. Деп. 01.12.89. 245 с.

16. Малых А.Е. Комбинаторный анализ в его развитии: Дис. на соискание уч. степени доктора физ.-мат. наук. М., 1992.

17. Малых А.Е., Угольникова О.Д. Развитие комбинаторного анализа математиками гинденбургской школы на рубеже XVIII XIX веков //В сб.:История и методология науки. Пермь: ПГУ, 2003. Вып. 10. С.

18. Малых А.Е., Угольникова О.Д. О первых комбинаторных исследованиях Артура Кэли. М.: ВИНИТИ, N 3274-81. Деп. 02.07.81. 10 с.

19. Малых А.Е., Угольникова О.Д. Решение и развитие Эйлером одной из перечислительных задач комбинаторного анализа, рассматриваемой на шахматной доске. М.: ВИНИТИ, N 4028-83. Деп. 18.07.83. 16 с.

20. Малых А.Е., Угольникова О.Д. Магические квадраты в комбинаторном наследии Леонарда Эйлера. М.: ВИНИТИ, N5823-84. Деп. 19.08.84. 18 с.

21. Малых А.Е., Угольникова О.Д. Некоторые интерпретации классической задачи о встречах в комбинаторном наследии Леонарда Эйлера. М.: ВИНИТИ, N 1670-85. Деп. 05.03.85. 16 с.

22. Матвиевская Г.П. Развитие учения о числе в Европе до XVn века. Ташкент: ФАН Узб. ССР, 1971.

23. Матвиевская Г.П. Заметки о многоугольных числах в записных книжках Эйлера //Историко-математические исследования. М.: Наука, 1983. Вып. XXVII. С. 27-50.

24. Математическая энциклопедия. М.: Советская энциклопедия, 19771985. Т. 2.

25. Ньютон И. Математические работы. М.-Л., 1934.

26. Ожигова Е.П. Развитие теории чисел в России. Л.: Наука, 1972.

27. Ожигова Е.П. Об истоках символических и комбинаторных методов в конце XVIII начале XIX вв. //Историко-математические исследования. М.: Наука, 1979. Вып. XXIV. С. 121-157.

28. Пермяков П.П. Некоторые вопросы развития комбинаторного анализа: Дис. на соискание уч. степени канд. физ.-мат. наук. М., 1978.

29. Проблемы комбинаторного анализа /Под ред. К.А. Рыбникова. В серии: Математика. Новое в зарубежной науке. М.: Мир, 1980.

30. Райзер Г.Дж. Комбинаторная математика. М.: Мир, 1966.

31. Риордан Дж. Введение в комбинаторный анализ. М.: ИЛ, 1963.

32. Рыбников К.А. История математики. М.: МГУ, 1974.

33. Рыбников К.А. Введение в комбинаторный анализ. М.: МГУ, 1985.2.изд.

34. Рыбников К.А. История математики. М.: МГУ, 1994.

35. Сачков В.Н. Комбинаторные методы дискретной математики. М.: Наука, 1977.

36. Сачков В.Н. Введение в комбинаторные методы дискретной математики. М.: Наука, 1982.

37. Стенли Р. Перечислительная комбинаторика. М.: Мир, 1990.

38. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. М.: Наука, 1978.3.е изд.

39. Токарева Т.А. Об «Историческом и практическом трактате по алгебре» Джона Валлиса //Историко-математические исследования. М.: Наука, 1983. Вып. XXVII. С. 146-163.

40. Угольникова О.Д. О возникновении и развитии теории конечных геометрических структур /В сб.: Молодые ученые и специалисты одиннадцатой пятилетке. Пермь: Дом техники НТО, 1983. С. 51-52.

41. Угольникова О.Д. О состоянии комбинаторного учения в XVIII столетии//В сб.:История и методология науки. Пермь: ПГУ, 2003. Вып. 10. С.

42. Угольникова О.Д. О некоторых путях развития комбинаторного анализа в XVIII веке /В сб.: Исследования молодых ученых в области физ.-мат. наук. Пермь: Дом техники НТО, 1988. С. 19-20.

43. Угольникова О.Д. О вкладе Л. Эйлера в развитие комбинаторной теории // Труды XXVn-XXXI науч. конф. аспирантов и стажеров по истории естествознания. М.: АН СССР, 1988.

44. Угольникова О.Д. Некоторые классические задачи в комбинаторном наследии Леонарда Эйлера /В сб.: Актуальные вопросы истории и методики преподавания математического анализа. Деп. в НИИ ВШ, 1990. С. 258260.

45. Угольникова О.Д. Использование комбинаторных идей в теоретико-вероятностных исследованиях XVIII века //В сб.: История и методология науки и техники. Пермь: ПГУ, 1994. Вып.1. С. 117-127.

46. Угольникова О.Д. Развитие комбинаторной теории в начале XVIII века //В сб.: История и методология науки и техники. Пермь: ПГУ, 1994. Вып.1. С. 111-117.

47. Холл М. Комбинаторика. М.: Мир, 1970.

48. Цейтен Г.Г. История математики в XVI-XVII веках. M.-JI.: ОНТИ,1938.

49. Шереметевский В.П. Очерки по истории математики. М.,1940.

50. Эйлер JI. Введение в анализ бесконечных. М.: Госиздат, 1961. Т. I.

51. Эйлер JI. Письма к ученым. М.-Л.: АН СССР, 1963.

52. Юшкевич А.П. Блез Паскаль как ученый //Вопросы истории естествознания и техники. М.: Наука, 1959. Вып. 7. С. 75-85.

53. Юшкевич А.П. История математики в средние века. М.: Госиздат,1961.

54. Юшкевич А.П. Николай Бернулли и издание «Искусства предположений» //Теория вероятностей и ее применение. 1986. Т. XXXI. N2.

55. Ahrens W. Mathematische Unterhaltungen und Spiele. Leipzig, 1901.

56. Ball R.W.W. Mathematical recreations and problems of past and present time. London, 1892.

57. Ball R.W.W. Mathematical recreations and essays. N.-Y.: Macmillan, 1947.11-ed. Rev. H.S.M. Coxeter.

58. Bernoulli J. Ars conjectandi. Basilleae, 1713.

59. Bernoulli N. De usu Artis conjectandi injure. Basilleae, 1709.

60. Beguelin N. Sur les suites ou sequences dans la lotterie de Genes //Mem. Ac. Berl., 1765 (1767). P. 231-256,257-280.

61. Biggs N.L. The roots of combinatorics //The History of Mathematics, 1978. P. 1-38.

62. Bicrman K.R. Spezielle Untersuchungcn zur Kombinatorik durch G.W. Leibniz. Forschungen und Forschritte, 1954, H. 12. 1956, H. 6.

63. Buteon Logistica. Lyons, 1559.

64. Cantor M. Vorlesungen Uber Geschichte der Mathematik. Leipzig, 1900-1908. Bd. 1-1V.

65. Dickson L. History of the Theory of Numbers. Washington, 1919-1927.V.I-III.

66. Dictionary of Scientific Biographies. Ed. Gillispie C.C. 1973. V. V, IX.

67. Ettingshausen V.A. Die combinatorische Analysis. Wien, 1826.

68. Euler L. Calcul de la probabilitw dans le jeu rencontre //Opera Omnia. 1923. V.I. P. 53-75.

69. Euler L. De quadratis magicis //Opera Omnia. 1923. V. I. P. 535-539.

70. Euler L. De quadratis magicis //Opera Omnia. 1923. V. I. P. 593-622.

71. Euler L. Observationes circa novum et serierum genus //Opera Omnia. 1923. V.I. P. 85-117.

72. Euler L. Problem de permutationibus //Opera Omnia. 1923. V. I. P. 542545.

73. Euler L. Recherches sur une nowvelle esprce de carrees magiques //Opera Omnia. 1923. V. I. P. 291-392.

74. Euler L. Solution quaestiones curiosae ex doctrina combinationum //Opera Omnia. 1923. V. I. P. 435-440.

75. Euler L. Solution de une question curieuse qui ne paroit soumise aucune analyse //Opera Omnia. 1923. V. I. P. 26-56.

76. Francoeur L. Cours complet de mathematiques pures. Paris, 1819. Т. II.2.ed.

77. Hacking J. Eloge de m. de Montmort //Histoire de l'Academie royale des sciences pour 1' annee. Paris, 1719 (1721). P. 83-93.

78. Hankel H. Die Entwicklung der Mathematik in den letzten Jahrhun-derten. Tubingen, 1869.

79. Hindenburg C.F. Methodus nova et facilis serierum infinitarum ex-hibende dignitates exponentis indeterminati. GCttingen, 1778.

80. Hindenburg C.F. Infinitionomii Dignitatum exponentis indeterminati leges ac formulae, editio pluribus locis austa et passim emendata. Gottingen, 1779.

81. Hindenburg C.F. Novi systematis Pcrmutationum, Combinationum ac Variationum primae lineae. Leipzig, 1781.

82. Hindenburg C.F. Der polunomische Lehrsatz, das wichtigste Theorem der ganzen Analysis. Leipzig, 1796.

83. Klugel G.S. Mathematische Worterbuch oder Erklarung der Begriffe, Lehrsatze, Aufgaben und Methoden der Mathematik mit den nothigen Bevveise. Leipzig, 1803. Abt. I, 1805. Abt. П.

84. Knobloch E. Die mathematischen Studien von G.W. Leibniz zur Kombi-natorik. Wiesbaden, 1973.

85. Leibniz G.W. Dissertatio de arte combinatoria //Leib-Studien, 1847. Abth. I. Bd. I. S. 811-875.

86. Mersenne M. Novarum observationum physico-mathematicarum tomus ternius. Paris, 1647. Cap. XXIV.

87. Moivre A. de. De mensura sortis. London, 1712.

88. Montmort P.R. Essau d'analyse sur les jeux hazard. Paris, 1713. 2 wd. P. 1-72, XXV-XLI.

89. Netto E. Kombinatorik /Encyklopadie der Mathematischen Wissen-schaften. Leipzig, 1898. Bd. I. S. 28-46.

90. Netto E. Lehrbuch der Combinatorik. Berlin, 1927.

91. Ottinger H. Die Lehre von den combinationen. Freiburg, 1837.

92. Ottinger H. Uber den Begriff der Combinationslehre und die Bezeich-nung in derselben und einige neuv Satze uber die Combinationen mit beschrankten Wiedernolungen//Arch. Math. undPhysik. 1850. Bd. 15. S. 241-314.

93. Pascal B. Traite du Triangle Arithmwtique. Oeuvres. Paris, 1908. T. 3.

94. Poggendorff I.C. Biographische-litterarisches Hahdworterbuch. Zur Geschichte der exakten Wissenschaften. Leipzig, 1863. Bd. I (A-L). Bd. 2 (M-Z).

95. Schooten F. Exercitationes mathematicarum. Lugduni Batavorum, 1657.

96. Smith D.E. History of Mathematics. Dover reprint. 1958. 2 vols.

97. Stahl K.D. Grundriss der Combinationalehre nebst Anwendung derselben auf die Analysis. Leipzig, 1800.

98. Stahl K.D. Einleitung in das Studium der Combinationslehre nebst einem Anhange tber die continuirlichen Bruche. Leipzig, 1801.lOl.Sueveys in combinatorics //London Math. Sec., Lect. Notes Ser. /ed. SiemonsJ. 1989. N 141. P. 1-217.

99. Todhuntcr M.A.F.K.S. A history of the Mathematical theory of Probability. Cambridge, London. 1865. Ch. 5, 8.

100. Weingartner J.Ch. Lehrbuch der combinatorischen Analysis. Leipzig,1800. Theil 1.

101. Weingartner J.Ch. Lehrbuch der combinatorischen Analysis. Leipzig,1801. Theil 2.

102. Weiss A. Einige Aufgaben aus der Combinationslehre //J. fur reine und angew. Math. 1847. Bd. 34. S. 225-269; 1849. Bd. 38. S. 109-147.

103. Wieleitner C.R. Das Fortleben der Archimedischen Infinitesimalmeth-oden bis zum Beginndes XVII. Jahrhunderts. — Quellen und Studien. 1930. Bd.l.

104. Zeuthen H.G. Notes sur l'histoire der mathematiques //Bull. De Г Acad. Des Sciences de Danemark. 1895. V. IV. P. 37-80.

105. Zeuthen H.G. Notes sur l'histoire der mathematiques //Bull. De l'Acad.

106. Des Sciences de Danemark. 1897. V. VII. P. 567-606.