автореферат диссертации по философии, специальность ВАК РФ 09.00.08
диссертация на тему: Возникновение теоретического знания в математике

Полный текст автореферата диссертации по теме "Возникновение теоретического знания в математике"

КИЕВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА К ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОк РЕВОЛЩШ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ шл.Т.Г.ШЕВЧЬШЮ

На правах рукописи

НОВИКОВ Анатолий Георгиевич

УДК 1 /3В/ : 51.01

ВОЗНИКНОВЕНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО 31ШЫ В гЛАТШТИКЕ /й ЯЛОСОйСКО-ГНОСЕОЛОГИЩСШ. АНАЛИЗ/

09.00;С8 - философские вопросы естествознания

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора философских наук

Киев - ^91

Диссертация выполнена на кафедре философии Якутского ордена Дружбы народов государственного университета им. М.К.Аммосова

Научные консультанты:

доктор философских наук, профессор П.В.Алексеев доктор философских наук, профессор Б.Н.Кощров

Официальные оппоненты:

доктор философских наук, профессор ! Н .И.-Суков /Минск/ ' доктор философских наук, профессор Л.А.Соловей /Киев/ доктор философских наук, профессор Г.Г'Дляхин /Ногинск/

Ведущее учреждение - кафедра диалектики, логики и методологии философского факультета Ростовского государственного университета

Залита диссертации состоится " ¿У" 1992 г.

на заседании специализированного совета /шифр Д 068.18.09/ при Киевском государственной университете им. Т.Г.Шевченко по адресу: 252017, Киев-17, ул. Владимирская, 60

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Киевского государственного университета

Автореферат разослан " "_;__1991 г.

Ученый секретарь специализированного совета -

В.И.Гусев

К1' '

Г ; ^ ОКШ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТА

■1-""Актуальность теми исследования. С самого своего возникновения ставит целью познание мира, человека и уяснение отношения -етраг'к человеку и человека к :.-лру1. Истина не должна зависеть от того, кому она служит^, но поиск объективной истины есть служение благу человека и интересам народов, классов и человечества.

Во все времена наука стремилась найти пути гармонизации отно- . шений мевду личностями, между личностью и обществом, между природой и обществом. В современную эпоху в условиях ИГР наука становится поистине "плотью" культуры и цивилизации, а потому особенно остро встает вопрос о гуманизации науки. Решение глобальных . проблем современности в очень большой степени зависит от науки, причем не только от темпов ее развития, но и от разумного использования результатов исследования.

Важнейшая роль науки раскрывается в определении путей и методов создания материально-технической базы нашего общества. В условиях компьютерцо-ин^ормаснонной революции возрастает особая роль математической науки вопр -еделении путей и методов создания этой базы. Возрастание роли науки в жизни общества п математизация наук усиливает интерес к изучению природы научного зна-нидЗ. С чего начинается теоретическое знание математики? Каковы истоки и'где Родина математического знания? В современной литера-

идет дискуссия на тему: существовала ли теоретическая наука вообще и математическая, в частности, на Древнем Востоке?

До сих пор обсуждается вопрос: существовала ли древневосточная наука? Если обратиться к современной литературе, то по данной проблеме имеется широкий спектр взглядов: от признания древневосточной науки до полного ее отрицания.

1 Слово "мир" здесь означает не только природу, но и общество.

2 См.: Ленин В.!.. Полн.собр.соч., Т. 18. С. 123. *

3 См., напр., Левин А.Е. Мне]. Технология. Наука.- Природа, 19??, !< 3. С.88-101; Гайденко П.д. Как возникала наука,- Природа, 1977, .'? 1. С.74-В4; Ладенко V..С. «¡ордарование теоретического знания в истории математики. Преприт. Новосибирск, 1989. С. 63.

Высказывалось сомнение: возможно ли в пршщипе на основе сохранившихся текстов решить вопрос о возникновении математики. ¡Ло-жет ли ясследователь-цилософ в принципе выяснить генезис математического знания?

На наш взгляд, здесь перед философом открывается исключительно богатое поле исследований историко-философских фактов, событий и многочисленных оригинальных философских концепций, теорий. Исследование происхождения теоретической мысли в математике не может быть проведено без привлечения этого материала и сравнительного анализа альтернативных философских концепций древнегреческих мыслителей.

На зарождение и развитие научного познания оказывали мощное воздействие философские идеи и системы, борьба материализма и идеализма, проходящая через всю историю развития общенаучного и математического знания. Потому не случаен в наш дни интерес к философским и научнш трудам выдающихся греческих мыслителей -Фалеса, Гераклита, Нарменида, Зенона, Анаксагора, Пифагора, Демокрита, Эпикура, Платона, Евклида, Хрисиппа, Архимеда, Аристотеля.

Начиная уже с античности, происходит проникновение математических методов и средств в другие науки. Актуальность изучения генезиса и становления математического знания, на наш взгляд, определяется к практической необхо,дикостью математизации научного знания, которая неразрывно связала с достижениями НТР а выражает особенности теоретического мышления нашей эпохи. А с другой стороны, особенно ощутимо сегодня проявляется тенденция к гуманизации различных наук, в том числе и математической, ¿ля того, чтобы стать науками точными, гуманитарные науки нуждаются в помощи математики, которой точность свойственна изначально. Математике, в свою очередь, необходимо повернуться лицом к человеку и его проблемам, и в этом ей не обойтись без содеистьия гуманитарных, наук. математизация и гуманизация выступают как две диалектически-противоречивые взаимозависимые и взаимодополняющие тенденции.

Таим образом, исследуемая в диссертант проблема выдвинута также необходимостью обновления всех стоуон нашего общества.

- г -

Состояние и степень разработанности исследуемой проблем, Проблема возникновения теоретической математики давно волнует умы представителей различных отраслей знания. Вопрос генезиса науки и философии занимает одно из ключевая мест в современных философских исследованиях*. Зарубежным и советским ученым удалось установить многие закономерности возникновения и становления науки и философии» подвергнуть анализу структуры и функции научного познания на эмпирическом и теоретическом уровне и в определенной степени получил освещение гносеологический аспект математического знания.

Шесте с тем надо отметить, что в этих работах не било систематического, всестороннего изучения проблемы возникновения теоретического знания . в математике.

Для нас ключевым является вопрос: каково происхождение теоретической математики /?/. Есть мнение, что ее зарождение случайное, незакономерное явление. Защитники этой точки зрения утверждают, что говорить о реконструкции зарождения теоретической математики не имеет смысла, поскольку такой §,акт уяе совершился однажды /И.Г.Башмакоза/. Поэтому построение /восстановление/ как общей схемы генезиса теоретической математики так и раскрытие его механизма абсолютно невозмокно. Однако они допускают возможность описания самого феномена. Сторонники другой точки зрения отстаивают возможность реконструирования п создания различных моделей, схем возникновения теоретической математики /А.Е.Левин и др./

Споры ведутся и по вопросу о происхождении эмпирической пред-математики. Материалисты утверждают, что она обязана своим рождением практическим потребностям людей. Идеалисты, в особенности неоконтианцы убеждены, что предмат»матические знания могли возникнуть в мозгу человека безвлияния внейней среды. Кроме того, остается дискуссионным вопрос о едином и многих центрах зарождения эмпирической предматематики.

Не менее сложной является задача реконструкции возникновения теоретической математики на базе эмпирической. Для выявления ис-

1 Лосева И.И. Проблемы генезиса науки. Кэд-во Ростовского университета. 1979; Надточаев A.C. Философия и наука в эпоху античности. Изд-во ¡ЛГУ. 199G

тины необходимо определить статус и провести сравнительный анализ развития математики Китая, Индии, Ближнего Востока и Древней Греции.

Большинством исследователей, и особенно самими математиками, не раз высказывалось мнение, что изолированное изучение возникновения математшш ошибочно, ¡¿ы уверены, что Появление математики не могло обойтись без влияния философии. Изучение природы математики, ее понятии невозможно и без учета влияния ряда социальных факторов /демократических свобод, политики, различного рода общественных институтов, методов обучения,и т.д./. Исследователи не раз указывали на связь между возникновением философии и воз* ннкновением математики. Влияние философии, так и социальных факторов на развитие математики неоднозначно и многопланово.

5ти соображения дают основание для развертывания исследования ■ общих закономерностей познавательного процесса в математическом знании с тем, чтобы осуществить затем реконструкцию процесса возникновения теоретического знания в математике.

По вопросу о происхоадении теоретической математики существует несколько концепций. Согласно одной из. них, теоретическая математика зародилась как составная часть философии1. Философией- в древности называли' всякое теоретическое знание ¿ Теоретическое .мировоззрение сформировалось в процессе преодоления фантастичности мифологии и ограниченности личного практического опыта. Как мифологическое, так и жизненно-повседневное мировоззрение носят чувственно-конкретный характер. |Мифология основана на бессознательно-художественных представлениях воображения2, а -житейский опытна Представлениях памяти. Теория оперирует абстракциями. Таким образом, по этой концепции, математика становилась теоретической по мере того, как становилась абстрактной. Ь эмпирической предмате-матпке число ц форма неотделимы от воспринимаемых или наглядно-представляемых предметов. В теоретической математике число и форма абстрагируется от предметов-и, тем самым-происходит переход от эмпирического к рациональному. Среди сторонников этой концепции идет спор о том, когда произошел этот переход: Сале-

- - .

См.: Золкоб Г. У колыбели науки. ,1., 1971. С. 33 ' 2 Маркс К., Бнгельс С. Соч., Т. 46. 4. 1. С.'47-46

са1, при 4алесе2 и постепенно с У1 в.по-Ш в. до н.э.3

По мнению сторонников другой концепции, математика теоретяэи-ровалась благодаря целому ряду особенностей культурной и общественно-политической жизни Древней Греции4. Полисная демократия, основанная на частной собственности, обеспечивала свободу дискуссий на любые, з том числе й математические теми. Большее влияние на развитие греческой геометрик оказало, искусство, в частности, скульптура и орнаментика. А.Сабо полагает, что эвклидова арифметика обязана своим щоисхождением теории музыки. Комплекс вопросов, над которыми бьются сторонники второй концепции: когда, кем, в каком культурном контексте была поставлена первая чисто математическая теоретическая задача и какая именно^

Согласно третьей концепций, математика окончательно стала тео-

£

ретической наукой только благодаря воздействию логики Аристотеля Однако следовало бы выяснить, каковы те причины, которые вынудили математиков обратиться к логике и заниматься дедуктивным построением математического знания?.

1 Ван дер Вардей. Пробуждающаяся наука. М., 1959

' 2 Башмакова Н.Г. О возникновении математики как науки // Методологические проблемы развития и применения математики. М., 1985. С. 173-17?. '

3 Левин А.Е. Миф. Технология. Наука.- Природа, 1977, ¡Ь 3, С. 88-101, Гайденко П.П. Как возникала наука,- Природа, 1977, Л 1. С. 74-84. &.<удь Л.Л. Раннегрёческая математика и Восток// Истори-ко-математйческие Исследования, 1985. Вып XXIX. С. 9. .

4 Зайцев А.П. Культурный переворот в Древней Греции ХУШ-У вв. до н.э. Л.; 1985, G. 171-20? '

5 Cmü Кадыржанов Р.К., Пысаноаев А.Н. 0 культурном контеисте генезиса математического знания// Вопросы ф,илософим. 1984. К в.. С. 118

6 Арсеньев A.C., гнблер B.C., Кедров Б.М. Анализ развивающегося знания^ «1., 1967. С. 111—137

7 Панов Истоки идеи, современного интуиционизма в античной науке // Традиции и инновации в духовной жизни общества. М., 1986 С. 103-108

Четвертая концепция состоит в том, что рождение дедуктивной науки■связано с появлением доказательства1. Математика теорети-зировалась тогда, когда в самом математическом знании обнаруни-кили с1 первые противоречия. Необходимость разрешения парадоксов заставила ученых искать убедительные доказательства истинности математических знаний.

Несмотря на все приведенные концепции следует подчеркнуть, что тема возникновения теоретической математики остается до сих пор малоизученной.

Кзвестно, что генезис и развитие математического познания на Востоке и в Древней Греции происходило в рамках различных культурно-семиотических систем. Исключительно важную роль, на наш взгляд, в научном познании играют те предпосылки, с которых начинается теоретическое развитие математического знания. Поэтому мы хотим уделить большое внимание исходным началом развития науки, философии и математики, сформированию и становлению теоретического знания в самой математике. Вне культурного контекста древневосточной математики вряд ли мо-кно уяснить исходные предпосылки зарождения математики как культурного (¡¡еноыела греков.

Предмет, основная цель и задачи исследования. Предмет исследования - изучение диалектики конкретного к абстрактного в процессе перехода от чувственно-наглядных представлений эмпирической предматематики к абстрактным понятиям теоретической ыатемати-

131 • Основная цель - исследовать сущностное противоречие теорети-зации математики, генетически исходные и последующие противоположные /альтернативные/ модели перехода от эмпирических к теоретическим математическим системам в контексте поиска гносеологических математизации гуманитарного познания.

Главная цель исследования обусловила постановку и решение следующих взаимосвязанных задач:

- выявить и проанализировать основные гносеологические уровни эволюции эмпирического математического знания;

1 Барабашев А.Г. К проблеме возникновения теоретической математики // Методологические проблемы развития и применение математики. М., 1985. С. 183.

- раскрыть основное гносеологическое противоречие перехода

от эмпирического знания к теоретическим математическим системам;

- проанализировать качественное своеобразие и формы организаЦии знания, являющиеся "моментами" опосредования в переходе от эмпирического - к теоретическом}' математическому знанию;

- раскрыть природу "скачка" от эмпирического к теоретическому в математическом познании;

- разработать гносеологический критерий распознавания "начала" математической теории;

- выявить базисный гносеологический принцип теоретиэация в математике;

- исследовать мировоззренческий и социально-культурный аспекты построения теоретической математики;

- раскрыть современное гносеологическое значение альтернативных моделей теоретизации математики для математизации гуманитарного познания.

Методология и методика исследования. Основной метод исследования - диалектико-материалпстический анализ, основанный на принципах всеобщей связи и развития, историзма, единства логического и-исторического, системности, и,комплектности.

В процессе исследования применялся ^комплекс конкретных методов, разработанных выдающимися математиками, обществоведами и естествоиспытателями.

При разработке концепции первоисточниками автору послужили дошедшие до наших дней археологические памятники и письменные документы стран Ближнего Востока и труды выдающихся древнегреческих философов и математиков Залеса, Гераклт.та, ~ Пифагора, Парменида, Зенона, Анаксагора, Архита, Платона, Аристотеля, Ьвклида, Хрисиппа, Архимеда, Аполлония.

Вторичными источниками послужили труды по интересующим нас проблемам $илосо;}ов, математиков, логиков, историков, этнографов и естествоиспытателей различных эпох, начиная от Средневековья и до наших дней, как отечественных, так и зарубажных1.

1 См., напр., Павлов В.Т. Логические методы и формы научного познания. Киев, 1284; Соловей Л.Л. Практическая природа идеалов познавательной деятельности. Киев, 1986; Куков Н.И. Философские

Ияуч1 ая новизна исследования заключается в анализе альтернативных форм теорошэашш математического познания в его генезисе, которые но роалиэовшшсь в истории науки, но для современного научного познания обладают методологической и конкретно-нЬучной эвристической ценностью,

В результате разработана концепция многовариантного пути перс-хода от омпиричеакой к теоретической математике, которая выявляет новые идеализации и способы количественного моделирования объективной реальности, адекватные сущностному содержанию социальных оиотем и содержит предпосылки интеграции методов точных наук с содержательными моделями гуманитарного познания.

При разработке и обосновании данной концепции сформулирована следушше /конкретизирующие ее содержание/ новые научные положения, выносимые на защиту:

- Выявлены две качественно своеобразные /и противоположные друг другу своим концептуальным содержанием/ гносеологические модели теоротизации математического познания: а/ концепция Демокрита-Архимеда, методологической особенностью и базисным основанием которой является "атомистическая математика" в синтезе с "методом исчерпывания",. включающий в себя идею использования актуальных бесконечно малых величин; б/ традиционно считавшаяся единственной - Евклидова модель теоретизации математики, основыващей-ся на содержательно-аксиоматическом способе систематизации знания. Проводен сравнительный анализ указанных моделей на всех основных фазах зволзздик эмпирических систем математического знания.

- Определено и раскрыто сущностное содержание основных гносеологических уровней эволюции математического эмпирического знания: а/ исходным является знание в виде отдельных оцытов и наблюдений; б/ классификация наблюдений по группам и обработка опытных данных, позволяющих произвести обобщения эмпирического характера;

в/ обобщенно результатов приводит к умозрительному переходу от знания конечного числа елементов данной группы к представлениям об их бесконечном числе. Эмпирическое знание» характеризующееся пунктами б/ и с/ называется ммюмпирчосшш знанием.

основания математики, Минск, 1990. Шллхин Г.Г, Направления и уровни исследования математического аи£шпя//',1&тодологические проблемы развития и применения математики, М., 1585, С. 57-64

- Осуществлено качественное различив между такими разновидности математического знания как гмшгрическос, операцконашю-технологаческое, прикладное, теоретическое. Показано, что широ-корасиространеннод а гносеологически неоправданное отождествление: вмпиричоского я прикладного, прикладного и технологического, точно такие как непосредственное противопостаапешккЬмпири-чешеого - теоретическом!'», приводит к методологическим ошибкам

п разработке об:дпП теории знания и к антиномиям и парадоксам в с^ере дедуктивно-теоретического познания и формальнологического знания в целом,

- Установлено, что "узловой линией морн", чиксируюпей скачок в эволшил рмгаглурпкогд математического познания /через операционально-технологическое и прикладное/ к теоретическому - является (¿реальная бесконечность*); показано, что з логической математика сам вычислительный процесс ебнаруганзач идею бесконечности, но она оказывалась в противоречия с сущностным принципом микологического мышления и мировоззрения, с одно« стороны, а с другой стороны - бесконечность оказывачась как бы изл1шши и - в операционально-технологическом плане, для системы эмпирического знания такой идеальный конструкт как ((бесконечность» оказывается случайным, но не необходимым. Реальная бесконечность - диалектически раскрывающийся процесс единства противоположностей /определение

и размывание границ, равновесие и его нарушение, пэроход от одного качества к другому и т.д./ Еаука отражает эту реальность в виде определенных представлений, понятий, категории,

- Выработан гносеологический критерий относительно ¿{начала^ математической теории. Обосновано, что математика становится точной наукой /теорией/ лишь тогда, когда вся совокупность приемов доказательств, включая доказательство от противного, применяется к объектам, представляккда бесконечность. До йтого /на стадии эмпирического знания/ математическое познание протекаю /в преимущественной мере/ в худонестзешю-образной форме, предполагающей гносеологическое единство субъекта и объекта, что выражалось операционально-технологически в вьшелнт&шюм процессе, в его наглядьо-зрпчЖ йорме /"счет"/, которая лнлялась исторически первой теоретической деятельность» рассудка, синтезирующего чувственность г. ?.че,;йеаты пбстр;1КТИого кншленяп. В теоретической

математике эта особенность проявляется в органической связи -ее с эстетикой и космологией, ьо взаимосвязи принципов доказательности, простоты, красоты и гармонии наряду с рационально-логическими принципами построения дедуктивно-аксиоматической теории /непротиворечивость, независимость, полнота/.

- Установлено, что процесс теоретизации математики неразрывно связан с имманентным развитием гносеологии. В частности, показано, что, кроме всего прочего, теоретпзация математики порождает гносеологический принцип /конструктивный принцип понимания -например, слово "число" наполняется, ухе в пифагоризме, новым, гносеологическим смыслом: обозначает упорядоченное числом мироздание/. Теоретическая математика привносит в античное гр^ё.пг универсальный идеальный предмет, каким является космос /порядок, гармония, пропорция/, мыслимый ^воплощенным, телесным, пластич-ным$ и который конструируется умозрением посредством ¿телесных единиц^ /гармонии чисел в геометрических 4игур/.

- Обосновано, что для своей теоретизации математика нуждалась в новом типе мировоззрения. Содержание мировоззренческого "скачка" составившего необходимую предпосылку теоретической математики - несводимо к гносеологическим нововведениям /введение раалич-личншс приемов и 40рм обоснования знания, доказательств универсальных "бесконечных" конструктов, аксиоматизации знания и т.д./, поскольку даже в высших формах рационально-теоретического познания сохраняется связь с чувственно-конкретным, а абстрактно-конкРетных логических начал - с интуитивными и эстетичесглми началами математического познавательного процесса,

- Раскрыт социб-кулътуркый аспект теоретизации математики, состоящий в том, что именно благодаря обретению ею дедуктивно-теоретической <|ормы, она становится универсальной производительной силой субъекта. Здесь позназательная активность субъекта выражается не столько в вычислительном процессе, сколько в поиске новых математических структур и гносеологических образов, формализованных и интерпретированных на языке математических символов. Поэтому в методологическом плане творческая деятельность математика представляется как особая оорма активности-познающего субъекта, который посредством предельных абстракций и идеализации конструирует не только существующий мир, но и зсе возможные миры не

- 1С -

только налично данный космос, но п "потенциальной космос".

- Доказано, что историческая, альтернатива двух моделей теоре-тизации математики /Демокрита-Архимеда и Евклидова модель/ обнаруживает себя в основаниях современной математики /даф^еренциа-ция классических и неклассическлх направлений/ и в обобщенно-гносеологической форме выражается в антиномии дискретизации -континуализации, теории дискретности и теории континуума. Обосновано, что это сущностное противоречие современной диалектики математического познания, "порождающее" целый спектр неклассических математических теорий / от теории "катастроф"- до нестандартного анализа и теории топосов/,' адекватных потребности количественного описания поведения сложных социальных систем и использованию приемов математизации в суере гуманитарных наук в процессе интенсивного развития компьютерной революции.

Практическая значимость исследования. Выводы и положения,

сформулированные в диссертации, были использованы:

- при чтении популярных лекций по истории народов и стран 1Ьумера, Вавилонии, Ассирии и Древней Греции по линии общества "Знание";

- при подготовке рукописи учебного пособия "йилосо^ия" /5,25 п.л/ адресованного студентам нкутского государственного универчите-тй им. М.л. Аммосова;

- для оказания полюби студентам, занимающихся самостоятельной и индивидуальной работой при написании рефератов и студенческих работ го истории и методологии научного познания, философским проблемам математики;

- при создании программы для диалогового вычислительного комплекса ДВК-3 по теме "Философское учение о материи и его значение для современной науки";

- при написании брошюры "О логической культуре пропагандиста";

- при проведении занятий методологического семинара математиков по темам "Критерии научного познания", "Генезис математического, знания", "Интуиционизм";

- при подготовке и чтении спецкурса "Философские проблемы обоснования математики" для студентов математического факультета;

- при чтении лекций для партяйянх и советских работников, занимающихся в институте политической культуры рескоыа и Центра пе-регодготовки кадров КП ГСЗСР.

Таким образом, диссертация не только дает новые знания о генезисе теоретической математики, но и пытается определить оптимальные пути развития математики в республике, связанные с противоречивыми тенденциями математизации и гуманизации высшего образования.

Апробация выводов и положений исследования. По теме диссертации были опубликованы следующие работы:"проблема прерывного и непрерывного в пространстве" в соавторстве с В.А.Рыкко /глава П., § 1/, коллективной монографии "Прерывное и непрерывное". Киев. 19ВЗ /1 п.л./; Методические указания к спецкурсу 'Философские 'проблемы обоснования математики". Якутск, 1988 /2 п.л,/; "О логической культуре пропагандиста". Якутск, 1990 /1 п.л./; Учебное пособив "«Зилософия". Якутск. 1991 /9,25 п.л./ Работы получили положительные отзывы в журнале "Философские науки". См.: 1985, К 5. С. 173-175. Опубликованы тшае в разных сборниках статьи общим объемом 18 п.л.

Выводы и результаты исследования были доложены на Всесоюзных и региональные научно-практических конференциях /Иркутск, 1983; Якутск, 1934,1385,1988,1990; :,!оскЕа, 1986; Ленинград, 1987; Новосибирск, 1990; Пермь, 1990; Иркутск, 1991/.

Основные положения диссертации апробированы в лекциях и семинарских занятиях по диалектическому материализму, прц чтении спецкурса "Философские проблемы обоснования математики" в Якутском ордена Дружбы народов государственном университете имени М.К.Ашосова.

Практической апробацией концепции диссертации явились чтение автором цикла лекций /в качестве преподавателя университета марксизма-ленинизма и внештатного лектора Якутского рескома КП РС£СР/ и выступления в периодической печати.

Рассматриваемая в диссертации проблема, начатая в 1983 г. аа К 01.890033310 во ВНИЦ, входит в тематический план научно—исследовательской работы Якутского госуниверситета на 1991 год и выполняется в соответствии с координационным планом МЗ и ССО Р01СР, Многие идеи диссертации бшш использованы в научных отчетах, при выполнении компьютерных работ по историко-философским темаи к при разработке практических рекомендаций для работы методологических се;,¡¡;нарсв математиков.

Результата исследования неоднократно подвергались обсуждению: в рамках деятельности 4илосо(5ских методологических семинаров Якутского Щ СО АИ СССР, в частности сотрудников института космс-фазических исследований и аэронога:«, института физико-технических проблем Севера /г. Якутск, 12 января 1988 г./, на философском /методологическом/ семинаре математиков Якутского госуниверситета /15 мая 1990 г./ и математическом научно-учебном Центре /г. Якутск, 21 карта 1991 г./.

Структура диссертации обусловлена комплексным характером и задачаш: исследования поставленной проблемы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, библиографии.

СОдЬРлЛШЕ 11 ССПОБПиЕ ВЫВОДЫ РАБОТЫ

Во "Введении" обосновывается актуальность теш, степень разработанности проблем*, предмет и об:-ект исследования, его основные цель и задачи; рассматривается методологическая и источниковедческая база и отмечаются теоретические основы исследования, излагаются данные о научной новизне и научно-практической значимости диссертационной работы и ее апробации.

Первая глава - "Предмет и специфика математического знания"

состоит из трех параграфов. В первом параграфе - "Прелматемати-ческое знание" проводится исследование природы математического знания в древности, возникновение его исходных понятий - числа, величины, геометрической фигуры. Предматематическое наблюдение - ровесник человечества. С наблюдением тесно сЕязано возникновение предматематическога эмпирического знания. Первоначальные гносеологические и доматоматические представления о бытии и жизни возникли не без воздействия микологии.

Мифология - дотеоретическое единое нерасчленениое мировоззрение древних, основанное на чувственно-образных представлениях воображения и памяти. В мифологии отсутствуют противопоставления естественного и сверхъестественного, реального и вымышленного, утилитарного и возведенного, природного и социального, образного и понятийного. Одна из функций микологии - обеспечение социальной преемственности, сохранение традиций. Для человека своего времени микология - суша аксиом, регулирующих общественную жизнь /А.К..¡евин/. А субъектом социальной жизни выступает

коллектив в целом /по К.Марксу, община/.

Накопление предматематических знаний происходило в рамках микологии. Представление о началах получило отражение 8 мировоззрении первобытного человека, где образно-микологическое и понятийно-логическое связаны неразрывно. Известно, что числа имели одновременно прагматическое и магическое значение, поскольку в сознании древних людей житейское и религиозное не различались. Предматвматическое знание разрабатывает готовые рецепты для решения подобных задач и интересуется лишь получением утилитарных результатов, оно носит сугубо технологический характер. Технические изобретения совершались сугубо практическим путем без теоретического осмысления. Например, первые колеса были многоугольными. Чтобы они лучше катились число углов постепенно увеличива-' лось и в конце концов колеса приобрели круглую форму. Этот процесс занял несколько столетии. Теоретически предельный переход от многоугольника к кругу был открыт значительно позднее.

Высшего уровня развития эмпирическая предматематика достигла в цивилизациях Ближнего Востока, особенно в Египте и Месопотамии. Разделение труда в ближневосточных государствах привело к появлению чиновников, специализирующихся на предматематическои деятельности. Несмотря на высокое развитие материальной культуры и социальную дифференциацию общества, теоретической науки в Египте и Месопотамии не возникло. Мифология в этих странах осталась господствующим мировоззрением. С ней соперничал наивный материализм, а не философия. Азиатский способ производства основан на государственной собственности на землю. Политической надстройкой над таким базисом бил восточный деспотизм, не допускающий свободы дискуссий. Следовательно, в Египте и Месопотамии отсутствовали социальные предпосылки для зароадения теоретической науки,

Во втором параграфе -."Источник математического знания" -раскрываются культурно-исторические предпосылки возникновения математики. Возникновение первых количественных понятий,счета произошло в эпоху присваиваем хозяйства, т.е. до перехода от охоты, рыболовства и собирательства к земледелию и скотоводству. Счет, по словам К.Маркса,- первое теоретическое открытие. На заре математического знания его развитие непосредственно определялось запросами материального производства. В дальнейшем эта связь стала опосредованной многими факторами,

Первоначально числа не отделялись от предметов счета. Свидетельством тему является сохранившаяся до ныне десятичная система счета. В последствии, в результате развития абстрактного мышления люди стали мысленно отделять численность предметов от самих предметов. Возникло понятие о натуральном ряде. Сто произошло, по-видимому, уже после перехода к производящему хозяйству, т.е. к земледелию и скотоводству, но гораздо ранее образования первых государств.

Слова для обозначения чисел возникли в языке одновременно с появлением счета. Вероятно, тогда же числа стали демонстрироваться на пальцах. В глубокой первобытности люди сталп использовать при счете камешки, папочки и тому подобные предмет, йце до изобретения письменности числа графически изображались точками, черточками, зарубка1,а и другими знаками. В письменную эпоху числа стали записываться прописью-, внгчале только полностью, а затем и сокращенно. Оформление цифрового изображения чисел завершилось через 2000 лет после появления алфавитного представления слов, причем совершенствование этого изображения продолжалось еще несколько веков.

Большое шшянке на развитие предматемагики оказали товарное производство, обмен и кредитные операции. Например, историками отмечается, что в Вавилоне были банки, выдавались чеки, писались долговые обязательства, совершались натуральные сделки. Практические потребности классового общества вызвал!! к жизни теорию чисел. При этом изучались свойства чисел, закономерности числового ряда, все боль-ие совер_енствовались числовые системы. Для ваделения предматемати-ки пз синкретического знания необходимы не только гносеологические, но и социально-культурные с,акторы.

В третьем параграфе - "Особенности и вицы математического знания" - рассматриваются особенности я виды математического знания, а также производится сравнение математики с другими отраслями и формата значил, кап научного, так и вненаучного. Особенностями математического знания являются отражение количественных и пространственных отношений мезду предметам и явлениями, рысокая степень абстракции и выражение бесконечной саязн явлений.

Операции с числами суть отвлеченное выражение практически осуществляемых действий по составлению совокупностей из еданичных предметов. МатяУяткку все г.стьше отличает от естественнонаучного знания г.о сгеп^чь, а природа абстракций, каковыми являются числа и

формы. Простыв операции над числами и простые преобразования геометрических фигур являются абстрактным выражением связей и отношений между теми объектами, которые представлены в виде чисел и фигур. В математике широко применяется идеализация, т.е.. мысленное образование таких понятий /точка, окруаность, прямая • и т.п./, которая отображая реашше объекты, дополняет их такими свойствами, которые отсутствуют у самих объектов.

Как и когда возникла идея бесконечности как математическое понятие? Вавилоняне догадывались, что ряд натуральных чисел не имеет верхнего предела. Это - первый шаг к понятию бесконечности. Но дальше вавилоняне не пошли. Честь открытия бесконечной связи явлений и выражения ее в математических понятиях принадлежит эллинам.

Эмпирическое исследование направлено непосредственно на чувственные объекты и опирается на данные наблюдения и эксперимента, смпирия содержит в себе зародыш теоретического знания. Процесс теоретизации осуществляется как переход от эмпирии к теории. На Ближнем Востоке были созданы исходные понятия и термины математики и, таким образом, зта отрасль знания достигла межзшшраяес-кой ступени развития. Теоретической наукой, т.е. наукой в полном смысле этого слова математика стала благодаря трудам греческих мыслителей.

Математическое познание не может существовать изолирование. Оно неразрывно связано со всеми другими формами познания, как научного, так и вненаучного. Сознание первобытных людей было синкретичным, в дальнейшем разделение труда привело к дифференциации различных форм познания. Однако все они в конечном счете прямо шш косвенно, непосредственно шш через множество, опосредований связаны с материальным производством и должны служить благу человека.

Вторая глава диссертации - "Генезис й основные направления

теоретической математики" - состоит из трех параграфов. В первом "Начало теоретической математики" - вначале обсуждаются две гипотезы о происхождении теоретической математики г 1/ научная математика есть продукт восточной культуры Египта, Вавилона, Китая, древнеарабских государств /П.Таннер, В.д.Ван-дер-Варден, З.И.Бе-резкина/; 2/ научная математика возникла в Древней Греции /П.П. Гайденко, А.Е.Левин, Л.Я.Кмудь/. Вначале древнегреческая матема-

тика не отличалась принципиально от египетской и вавилонской. Приема, используемые при вычислениях, благодаря прямой связи с реальными отношениями, а также эмпирическому характеру происхождения, первоначально не нуждались в теоретическом обосновании. Но с зарождением философии, начиная с У1 века до н.э. в математическом мышлении все больше усиливается такая теоретическая сторона как обоснованность. Теоретическая математика зародилась на почве ионийского рационализма, который ставил не только практический вопрос "как?", но и теоретический-"почему?"

¿стоки науки уходят в глубины микологии. Продолжая начатый своей предшественницей поиск начал всего сущего, синкретическая наука древних - философия создает принципиально новуп картину мира. На смену представлениям о рождении мира по аналоги: с биологическим рождением приходят понятия о происхождении всего сущего. Первый греческий философ Фалес из ¡Дилета считал первоначалом году - конкретное вещество, не обладающее сознанием и, следова- •. тельно, не являющееся личностью.

Основоположник древнегреческой килосо^ии материалист Фалес из Г.'ллета по традиции также считается основоположником древнегреческой астроноши и геометрии. Как показал один из самых больших знатоков древней математики - Б.Л.Ван-дер-Варден для Фалэса характерна именно попытка научного и логического осмысления тех открытий в математике, которые были сделаны в Вавилоне и Египте. Ученик Аристотеля Евдем Родосский впервые в истории человечества доказательства математических утверждений приписывает Фалесу. Евдем Родосский по-видимому использовал доксогра^ическое сочинение -софиста-математика Гиппия. По свидетельству Евдема, Фалес . доказал следующие теоремы: о том, что круг делится диаметром на две равные части; о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника и о равенстве треугольников, у которых равны основания и принадлежащие к нему углы. Как свидетельствует тот же Евдем, Фалес. установил также равенство вертикальных углов, хотя доказательство этого утверждения, ем не было дано. По данным Еам-филы, ¿aiec такие первый вписал, прямоугольный треугольник в окружность. с тот переворот, произведенной Фалесом, области человеческого познания, представляет прищипиально новый шаг но ■ сравнению с восточной математикой, 'что дает повод утверждать нам . как о начале греческой дедуктиьиой математики.

Во втором параграфе - "Формирущаяся математика" - исследуется античное стремление "поиска начал", "космоса" и становление математики в школе Пифагора, именно у пифагорейцев заметен процесс нахождения и накопления абстрактных математических понятий /особенно понятия числа/, их оформление в теоретическую систему, истоки которой мы нашли у Салеса, Г-ифагорейцы, конструируя математические объекты, обращайся к мифологизации как способу создания теоретического математического знания, ¿ля этого, заимствованная от шлетцев идея поисков управляющих первоначал интерпретируется ими как восточное знание мифологической мудрости. Для пифагорейцев особым теоретическим объектом являлись числа, выполняющие функцию первоначала. В сущностном отношении число есть первоначало, к которому "сводится" каждый объект. Иначе, с помощью числа можно измерить Любой объект, поскольку оно /число/ в нем уже содержится.

Приписывание числу роли универсального первоначала дает толчок к возникновению установки на изучение совокупности чисел как новой целостности. Слово "число" теперь обозначает упорядоченное числом мироздание. Пифагорейцы полагают, что внутреннее устройство чисел и структура зашифровывает в себе порядок мироздания /А.Н.Чаншев/. Тем самым развитие математики вызвано не практическими, технологическими причинами, а потребностями философии как единой нерасчлененной науки того времени. Этим и вызван большой интерес философии к математике; обе они сливаются в •единую форму античного теоретического знания - , Глав-

ным предметом 'гр1$€ёл>£ является космос /порядок/, а этот космос всегда мыслится воплощенным, телесным, пластичны», а конструируется он с помощью пластичных /телесных/ единиц. Более того, они увидели в числах свойства и отношения, присущие гармоническим сочетаниям. Античный космос оказывается совершенным произведением искусства'и по мнению, пифагорейцев, гармонию, этого космоса, его красоту /и благо/ можно выразить через гармонию чисел. Иначе говоря, какое-нибудь физическое тело лишь тогда становится прекрасным, когда в основе его построения летат числовая структура. Таким образом, именно гармония выступает как условие уни- .. версального развитая математической теории.

Пифагорейцы создали оригинальную развитую для своего времени теоретическую геометрию, их математическое мышление было "гео- 18 -

метрическим". Поэтому они могли усвоить достижения вавилонской алгебры только геометризируя ее. С точки зрения пифагорейцев /ча&ета.- наука. Они назвали науку о числах математикой, т.е. в буквальном переводе научностью. Поскольку числа считали основой мира, а науку о числах - основой всех наук.

Злеаты впервые последовательно проводят мысль о том, что истинное знание может быть получено только с помощью разума, а чувственное познание всегда недостоверно. Вслед за элеатами Демокрит отличает объекты постигаемые мышлением /таковы атома и пустота/, от тех, которые даны в чувственном восприятии /таковы массы/. "Демокрит полагает-, что вечные /начала/ по своей природе суть маленькие сущности, бесконечно многие по числу. Кроме них он предполагает /истинно сущим/ еще другое - место, бесконечно большое по величине. Называет он /это/ место слсдувдима именами: "пустотой", "ничем", "беспредельным"..Сточки зрения Демокрита геометрические тела распадаются на тончайше слои, присущие только чистой мысли: именно перенесение предела делимости в область недоступных чувствам первичных неделимых элементов является исходным положением математики Демокрита.

Платон впервые пришел к мысли, что число имеет другой онтологический статус, чем чувственные вещи: оно является идеальным образованием. Итак, по-видимому, благодаря Платону, математика оперирует с идеализированными объектами и в этом - основа строгости и определенности ее высказываний.

В третьем параграфе - "Теоретическая математика и обоснование математического знания в древнегреческой ¿зиюсофии" -анализируются основные исходные понятая математики, "Начала" Евклида как классическое выражение изначально аксиоматического знания, офоршге.ние и обоснование математики Архимедом. Становление математики представляет собой длительный процесс: от первых греческих, математиков /конец У1 в. до н.8. до Ш в. до н.э./, когда были написаны "Начала" прошло окрло 300 лет бурного развития греческой науки. Постепенно отчетливо выделяются Исходные понятия и положения математики. В частности А.Сабо отмечает, что математика своим превращением в Дедуктивную науку многим обязана

Материалисты Древней Греции /Сборник текстов/. М.,1955, С.

деятельности древнегреческих мыслителей и появлении в ней таких понятий, как "положение", "доказательство"* "Вывод", "определение", "аксиома" и т.д. Попытки аксиоматического обоснования геометрии предпринимали Пшпокрит, Теодор, Тебтет, а завершением являются "Начала" Евклида /ок. 325 г. до н.з./.

Повышение степени абстрактности, общности, аподиктичности и дедуктивности математических понятий и суждений породило проблему их обоснования. Лишь с превращением математической теории в дедуктивную науку возникает сама проблема обоснования, вероятно вначале как проблема критерия.истины: математика как строго дедуктивная система не могла уже удовлетворяться непосредственным критерием практики. Условиями, сделавшими возможным успешное решение проблемы послужили: 1/ социально-экономический расцвет древнегреческого рабовладельческого общества и соответственно -окончательное отделение умственного труда от физического; 2/ достаточно высокий уровень развития логики и натурфилософии.

Первые методологические принципы аксиоматического построения научного знания были заложены в учении Аристотеля о силлогизме, ставшем основой развития формальной логики, Аристотель строит это учение как одну аз форм дедукции, вводя понятие "начал", т.е. началом для него является то, что "служит исходным пунктом познания, например те предпосылки, которые лежат в основе доказательств"1. Причем, указывает сн, некоторые из "начал" свойственны всем наукам, другие только данной. Общие положения Аристотель называет аксиомами( а в качестве "начал" второго рода, специфических принципов, понятий, присущих конкретной науке, он приводит в арифметике - понятие единицы» а в геометрии - точки а линии. Аристотель подчеркивает, что в каждой науке все понятия долины выводиться из недоказуемых исходных положений.

Идеи Аристотеля оказали огромное влияние на Евклида и четко

прослеживаются в его "Начачах", фундамент которых составляют аксиомы, постулаты и определения. Аксиомы и постулаты суть иедо- , казуемые утверждения, выводимые из логического осмысления и обобщения эмпирических наблюдений. По классификации Евклида различие между аксиомами и постулатами состоит в том, что ахсиош суть суждения общегносеологического Характера, выработанные логикой как составной частью древнегреческой философии и взаикст-

1 Аристотель. Метафизика. М., 1934. С. 78 - 20 -

вованные математикой в готовом виде; постулаты же утверждения О возможности геометрических построений, самостоятельно выработанные математической мыслью с помощью аксиоматически-дедуктивного метода Аристотеля. .

В книге "Начала" Евклид подытожил накопленные к тому времени геометрические знания и попытался дать законченное аксиоматически-дедуктивное изложение этой науки. Точка зрения Евклида на аксиоматически-дедуктивное построение древнегреческой геометрии заключается в следующей: во-первых, перечисляются первоначальные /недоказуемы®/ понятия /определения/; во-вторых, приводится перечень аксиом и постулатов, в которых устанавливаются некоторые связи и взаимоотношения между первоначальными понятиями; в-третьих, с помощью определений вводятся дальнейшие понятия; в-четвертых ? исходя на первоначальных фактов, содержащихся в аксиомах, выводятся, доказываются с помощью некоторой логической системы дальнейшие факты - теоремы. Достоинством аксиоматики Евклида является то, что она сделала геометрию точной наукой, достижение которой мохе? служить руководством в практической деятельности.

Архимед независимо от Евклида построил альтернативную теоретическую математику. Са следовая учению Демокрита, хотя в целях конспирации специально об атом во оговаривается /малые величины расшатывают основу патентика, полагают научные авторитеты/.

Третья глава - "Уехшшзм становления теоретического знания в

математике" - состоят из- двух параграфов. В первом - "Чувственные я рациональны» аспекты математического познания" рассматривается соотношение чувственного 8 рационального, интуитивного в дискурсивного в математическом познании, т.е. через единство, противоречие я взаамопереход етах сторон познания раскрывается механизм сталовлейзя теоретического звания в математике. Выделяются также критерии теоретичности математического знания.

Античная дяалаитнка сыграла огромную роль в становлении математического знания /Аяаксимандр, Анаксимен, Гераклит» Сократ, Еяатон/. Стихлйно-диалэктнческие идеи о космосе выражены.у ато-настов Девка ил, Дйшкрат, Эгшкур, Лукреций/, Великий мыслитель древности Аристотель был непоследовательным диалектиком. Всю природу он рассматривал в виде движения от "материи" к "форме"

и обратно. Именно в античной философии в области математического познания происходило накопление эмпирических /технологических/ фактов. Правильное осмысление этих фактов было достигнуто тогда, когда древнегреческие ученые к ним подошли с пониманием законов диалектического мышления.

Мы знаем,- утверждали классики марксизма,- только одну науку -истории, которая подразделяется на историю природы я историю людей. "Таким образом, история природы и человеческого обшества -вот откуда абстрагируются законы диалектики. Они Как раз не что илое, как наиболее общие законы обет этих фаз исторического развития, а также самого мышления"!. Определение, выделение и характеристика эмпирического к теоретического тесно связаны с проблемами генезиса и структуры научного знания. При этом для анализа познавательного процесса в более общем плане служат категории чувственного и рационального. Именно с переходом от чувственного к рациональному в познавательном пропессе мы связываем становление науки. Выше показано, что человеческое мышление черпает свое содержание из чувственного опыта. До тех пор, пока ляда довольствовались чувственными восприятиями объектов природы^ они руководствовались лишь здравым смыслом. Но как только чувственное познание сталкивается с противоречиями природы явлений и пасует перед ними, то возникает необходимость обратиться к рациональному мышлению.

Происходит переход не только от чувственного познания к рациональному, но и от рационального к чувственному. Рациональное положение невозможности актуальной бесконечности породило представление предела делимости, далее которого деление невозможно. Зти абстракции послужили основой для создания наглядно-чувственного представления о круглых, продолговатых, крючковатых и т.д. атомах /т.е. о неделимых "кирпичиках мироздания"/ различного веса, цвета и вкуса. Лишь спустя более двух тысяч" лет существование атома /который считался неделимым/ было доказано экспериментально, *

Далее анализируется "истинное знание" античных мыслителей /Парменид, Демокрит, Платон, Аристотель/ и е,го значение для обсуждаемой проблемы "чувство-разум" в дальнейшем развитии филосо-

^ Маркс К. и енгельс С. Соч. Т. 20. С.

фии Фейербаха, Гегеля, Канта, Маркса. Понятие среднего звена /Платон, Кант и др./ дает возможность глубже раскрыть генетическую связь чувственного и рационального познания. При этом опосредствующие воображаемые объекты носят внутренне противоречивый двойственный характер. В платоновском, а затем кантонском учении о продуктивном воображении содержится правильное указание на активную роль человеческого мышления. Маркс подчеркивает, что человеческую чувственность надо понимать "как практическую, чело-веческо-чувственнуго деятельность"^.

Подобно тому, как общие логические методы сообщают эстетике определенное изящество и стройность, в математика не исключается эстетическое начало. С возникновением практической потребности в счете, а затем с рождением геометрии неизбежно появились эстетические требования к математике. Искусство устного счета, особенно у вавилонян и шумеров, обладающих высокой вычислительной культурой становится эстетическим явлением. Геометрические фигуры еще в древности использовались для эстетического изображения законов природы и общества. Красотой кривых линий восхищались античные философы. Чем сложнее кривая: крут - эллипс - овал - спираль - волнистая линия - тем ока считалась красивее, /логие математики ЕосхищаютсйгконсТруирования теоретического математического здания. Идеалы красоты направляют мысль математика по нужному руслу, служа ориентиром в его научных исканиях. Синтезируя акустические ощущения и математические понятия, пийагорейвд создали учение о доступной чувственному восприятию гармонии небесных сдор. Согласно этому эстетико-космологическому представлению, космос - это ряд небесных с$«р /луна, солнце, пять планет, неподвижные звезды/, каждая из которых при вращении издает свой музыкальный звук; расстояние между со ерами и издаваемые ими звуки соответствуют гармоническим музыкальным интервалам. Таким образом, в математической эстетике пифагорейцев неразрывно соединены чувственные я абстрактные моменты, причем имеет место как переход от чувственного к абстрактному, так и от абстрактного к чувственному. Создание понятия о геометрических пропорциях на основе ощущений музыкальных интервалов - это переход от чувственного к абстрактному. Создание представления о гармонии небесных

1 Маркс К., елгельс 4> Соч. Т. 3. С. 1.

- 23 -

сфер на основе понятия о единстве музыкальных интервалов и геометрических пропорций - это переход от абстрактного к чувственному.

Изучается также диалектика соотношения интуитивного и логического в математическом познании. Наша интуиция предшествует логическому выводу. Здесь интуиция есть доопытное знание, йце не увидел, а уже знаю. Интуиция противопоставляется созерцанию, А созерцание - это скорее практика. С другой стороны, некоторые мыслители полагают, что интуиция способна подводить исследователя. Геометрическая интуиция постепенно вытесняется: любование кривой многогранника, его красотой уже теперь не обязательно, При этом остаются вычисления и отрезка, которые характеризуют отношения к чему-то внешнему, например, к системе координат Декарта. Логицизм, доведенный до абсурда, пренебрежение к интуиции и созерцашш ведет к культу, абстракции, оторванных от реальности умозрения. А ЭТО) в свою очередь, ведет к убеждению о превосходстве искусственного над естественным, технического над органическим, планового над стихийным, рационального над вшшри-ческиы. Ультралогицизм порождает страстное желание изменить естественный ход социального развитая и переделать общество по заранее составленному плану,

Во втором параграфе - "Критерии теоретичности математическо-

го знания" -. выясняется различие эмпирического и теоретического знания внутри математики, которое существенным образом зависит от того, как определяется сама теория, какие атрибутивные прививки считаются необходимо ей присущими. Прежде всего математическая теория отличается от »мшричэского знания, выражающееся в его внутренней непротиворечивости, В вроцвсое обобщения математик как бы отьдекаетса от массы деталей, присущих единичным вещам ц тем самым отходят от содержания конкретных предметов. В результате чего происходит мысленное выделение каких-нибудь свойств, принадлежа«®* некоторой совокупности объектов и объединение их по атим свойствам в некоторый масс. Далее, логическим выделением из малого числа исходных положений производных Баклю-

чений. Так, В геометрии Евклида выделяется такой привнак теории, как выводимость из невольного числа исходных положений, который четко отличает евклидовскую теорию от предыдущих форм знания.

НО.

Критерием теоретичности математического знанИдУи" всеобщность. Знание всеобщего необходимо, так -как на основе его имеется возможность правильно решать практические задачи, связанные с исследованием единичного и особенного. По мнению многих авторов, к признаку математической теории относится наличие идеализированного объекта. [Лы отмечали заслуги Платона - инициатора соз-

дания идеализированных математических объектов.

Признаком теоретичности математического знания выступает абстрактность. Абстрактному познанию протпвопоста&лется конкретное и осмысливается в соотношении с ним. В процессе абстрагирования, отвлечения человек как бы "очищает" предмет изучения от несущественных признаков, знание которЕИ не является необходимым в Ходе дальнейшего исследования. Чтобы научиться считать, писал Энгельс, надо иметь не только предметы, подлежащие счету, но обладать уже способностью отвлекаться при рассмотрении этих предметов от всех прочих их свойств, кроме численности. Метод восхождения от абстрактного к конкретное/, согласно К.Марксу, есть способ, при помощи которого мышление усваивает себе конкретное, воспроизводит его путем связывания понятий в целостную научную теорию, которая воспроизводит объективную расчлененность объекта в единстве его существенных свойств и Отношений.

Бесконечность тоже считается кр1терием теоретичности и неотъемлемой характеристикой множеств математики. Идеи бесконечности и образование бесконечности в математике тесно связаны с созданием и становлением математических теорий. Поэтому возникает проблема определения бесконечного. Поскольку вся современная математика основана на теории множеств, то общее понятие бесконечности в аксиоматической системе -постулируется, а в каждой конкретной теории /матанатаз,.топология/ уточняется. Бдесь важно отметить, что постулируя бесконечное, можно выделять его отдельные элементы и отношения между ниш. Одни типы /классы/ бесконечного можно определить лишь через другие типы /классы/ бесконечного же. Как подчеркивает Энгельс, постулат бесконечности подобно постулату материального мира может быть доказан, если вообще ио:»ет доказан только долгам и тру дням развитием философии и естествознания. Иначе говоря, существование реальной бесконечности доказывается тем, что мы вынуждены, если хотим

правильно понимать мир, постулировать бесконечность в том или ином ее аспекте, т.е. не молем без нее обойтись. Из этого мы заключаем, что она существует вне и помимо нашей воли и нашего сознания.

Важным элементом теоретического математического познания является теория доказательств. Доказательство осуществляется путем

умозаключения. Из-за скудости доступной информации мы ничего определенного не моаем сказать, применялись ли в Греции"до Салеса теоретические доказательства. С У в. до н.э. философы, начиная с Парменида и его учеников, во многом учась у ораторов,- вычленяют различные приемы перехода от одних истинных утверждений к другим. Парменид формулирует закон "исключенного третьего", а Зенон - его ученик - использует метод приведения к абсурду /противоречию/. Но в математику эти приемы проникают не сразу: по-видимому еще Демокрит, живший в У-1У вв..до н,э. обходился без доказательств. Несомненно, на первых порах доказательство -это логическое сведение неочевидных утверждений к очевидным или уже известным. Аристотель в 1У в. до н.э. проводит формализацию и.каталогизацию правил умозаключений. Его утверждение о конечности и обозримости умозаключений не менее удивительно, чем утверждение о конечности множеств и аксиом. Полнота этих двух каталогов не оспаривалась до XX в. Доказательство возникает как цепочка умозаключений, устанавливающая истинность данного суждения. К этому времена ухе появилась идея максимально ограничить число очевидных утверждений /аксиоц/, истинность которых признается несомненной и из которых остальные утверждения выводятся чисто логически» В "Началах" Евклида грандиозная программа аксиоматизации геометрии полностью решена. По правилам Евклида доказательства должны быть логическими выводами из аксиом, Окончательные геометрические положения оберегались от дополнительных апелляций к очевидности.

В литературе была бысказана идея о том, что приемы доказательства от пготквнога были впервые разработаны в сфере судебного красноречия, а потом были заимствованы философией /элеатами/ и лишь впоследствии стали применяться и в математике. Еще элеа-ты с помощью развертывания тезиса доказывали его ложность. По. мнению Сабо, именно у элеатов математическая наука заимствовала

такой метод доказательства1. Математика становится точной наукой, когда вся совокупность приемов доказательств, включая доказательство от противного, применяется к объектам, представляющим бесконечность, действительно, доказательство от противного имеет дело с объектами, несущими в неявном виде бесконечность, как например, /А.Г.Барабашев/. Итак, рациональное выведение из аксиом и определений и логическое доказательство теоретических положений является необходимым компонентом теоретического знания.

Четвертая глава диссертации - "Социокультурная обусловленность развития математического знания" - состоит из двух параграфов. 3 первом параграфе - "Потребность общества в развитии математического знания" - выясняется обусловленность развития математического знания общественно-исторической практикой, исследуется математическое знание как производительная сила, художественное освоение действительности в математическом познании. Формирование в кедрах феодализма капиталистического уклада послушало причиной Возрождения. Пробудился интерес к духовному наследству античности. 4илосо4ня перестала бцть служанкой церкви и повернулась лицом к человеку и его нуждам.

В ХУ1 веке подымающаяся буржуазия в целях извлечения максимальной прибыли была заинтересована в росте производства. Именно, с этого вреке ¡га производственная практика стала руководствоваться научной теорией, а.наука опираться на практический эксперимент. Дальнейший прогресс математики был связан с развитием естествознания, техники, с. появлением новых общественных потребностей. Крупные результаты были достигнуты в механике и астрономии, гидродинамике и гидравлике, физике., геодезии и других отраслях точного естествознания.

■ К концу ХУШ в. возникла необходимость создания математической теории движения. 3 математику, по словам Бнгедьса,.вопла диалектика. Все большее значение приобретает прикладная математика, теория вероятностей, методы которой послужили основой для развитие количественной теории информации, а также теория игр и принятие, решений. Математическое знание все больше и больше выступает как производительная сила. Если б теоретической математике

'1 См,} ^¿гг/>о -г/ Ье^^/ыслу /яа^Ле/пгг^ссз.

приходится вводить абстракции все более высоких уровней, то в прикладной такие абстракции необходимо исключить, Тем самым математическая мысль вновь обязана спуститься с абстрактных высот на землю и связать идеальные конструкции с материальными объектами. Здесь, т.е. в прикладной математике, допускается-использование менее строгих методов рассуждения и образования понятий. К тому же она имеет дело с конечными, хотя и сколь угодно большими, объектами.

В истории науки субъективный фактор имеет огромное значение. Знание становится производительной силой лишь при наличии субъекта трудовой деятельности. Математическое творчество есть активность, направленная на опережающее отражение и преобразование действительности. Математик мыслит образно. Однако его идеальные образы могут материализоваться лить после перевода на язык математических символов.

Интуитивный способ познания действительности намного древнее логического. Еще на заре человечества наши предки использовали средства искусства для постулирования истины. Объектом же искусства являются истины, справедливость которых не может быть доказана логическим путем. Но среда подобных истин существуют, как мы заметили "научные'', интуитивные положения. Например, аксиомы геометрии или постулаты физики. Именно с правого полушария осуществляется метод постижения такого рада интуитивных истин, недоступных сразу математическому дискурсивному познанию» "Непосредственное усмотрение истины" является достаточно убедительным и необходимым этапом математического познания. Тогда цель и назначение художественного освоения действительности е том, чтобы убедить и принять недоказуемые исходные положения математики.

Что ке .общего между художественном и математическим видами знания? Связывающим звеном монду математическим к художественным творчеством являются категории "простота", "изящество", "гармония" и "симметрия". С помощью гармоник человек питается постигнуть сущность мира и поспроиг,нести порядок, г.рассту и внутреннее совершенстЕО, Чаете в математике используется интуитивное суждение "это прекрасно". Как гоюрил К. ¡арке, человек творит по законам к^ассты, а '¡а создает ятя ?еконн.

Во втором параграфе - "Потребность общественной практики в математизации научного знания" - на основе анализа приемов и средств исследования рассматривается развитие техники и науки, процесс математизации научного знания, производится переосмысление понятийного аппарата методологии науки, определяются условия и пределы математизации. В зарождении научного знания в древнейшие времена неоценимую роль сыграло наблюдение как первичный познавательный процесс. О характере одних и тех же явлений ьрироды античные мыслители создавали различные гипотезы лишь на основе наблюдений.

Современных ученых волнует вопрос о том, существовала ли в античности экспериментальная наука. Мы полагаем, что по причине слабого развития научной техники в античности эксперименты проводились лишь эпизодически, но не систематически. У истоков эксперимента, на наш взгляд, стояла пифагорейская школа. Опыт Пифагора с монохордом отвечает всем требованиям эксперимента.

Эводщия развития вычислительных средств берет начало в глубокой древности. Исторический процесс технического развития включает три основных этапа: орудия ручного труда, машины, автоматы. На ранних стадиях история техника и технология были развиты очень слабо и в производстве преобладал ручной труд. Длительное время развитие техники и науки ало параллельно, без особого воздействия друг на друга. Техника развивалась в основном, опираясь на совершенствование приемов и способов эмпирического опыта, тайн ремесленного искусства, передававшихся строго по канонам наследования. В свою очередь наука развивалась независимо от нужд производства, подчиняясь своей внутренней логике.

Начало научно-технического прогресса датируется ХУ1 веком. Как указывал Энгельс, буржуазия для развития своей промышленности нуждалась в практическом применении науки. Средневековая схоластика, служанка богословия, вытесняется экспериментальной наукой, основоположником которой считается б.Ьэкон. В конце ХУШ в. в Англии началась первая научно-техническая резолюция, результатом которой явилась машинизация производства. С началом научно-технической революции научные идеи материализуются в средствах производства, наука и техника не просто взаимодействуют, но развиваются в неразрывном единстве. Главным направлением второй НТР

начавшейся в XI веке является автоматизация. Новая ступень ШТ, на которую мы поднялись, связана с бурным развитием микроэлектроники , информатики, биотехнологии, созданием робототехники, массовой компьютеризацией и т.д. Наука стала производительной силой, а производство все в большей степени становится технологическим применением науки.

Развитие новых отраслей техники и технологий сегодня немыслимо без использования точных математических методов. Вот почему современная ИГР служит одним из главных стимулов прогресса математического знания. Иод математизацией знания сегодня понимают не только проникновение известных математических методов и средств в другие науки и технику, но и создание новых и гибких математических теорий, адекватных новым предметам исследования. В связи с математизацией науки в эпоху НТР необходимо, переосмысление понятийного аппарата методологии науки. Прежде всего такого рода переосмысление начинается с терт®нов. К современных условиях в принципе может существовать значительная информация, о содержании которой не подозревает никто и которая хранится в "памяти" компьютера. Методология науки вынуждена искать пути утилизации этой информации, ибо ее практическая значимость несомненна. В новом свете предстает и проблема истины. Проблема истинности научного знания всегда вставала при исследовании его производства и передачи другим ученым. Подобные проблемы возникают также в процессах, связанных с компьютеризацией знания, в которых человек непосредственно н.е участвует. При хранении информации, а также при ее преобразовании б процессе работы неизбежны соои, искажения. Существуют ли универсальные средства борьбы с так называемый "компьютерным вирусом", насколько 'эффективны существуйте методы кодирования, исправляющие возможные ошибки - вот некоторое перечисление задач методологии науки,

С проникновением компьютеров в нашу жизнь связаны не только позитивные, но н негативные явления. Чрезмерное увлечение играми наносит вред духовному развитию. Необходимо сочетание самостоятельной работы на компьютере и небольших порций нгр. йце од-' но неписанное правило относллось к научному ?нани» "чем больше его количество, тем лучше", .'н радовались тому, что зкакие растет как снежный ком. Сегодня стаяо очевидным, что большое коля-чество информации является помехой для ее щкгпукпч-ногб исгляь-

зования. Однако необходимость качественного анализа больших, массивов информации, их систематизации и классификации возникает и естественно эта функция передается компьютерам.

Сегодня в нашу жизнь вошли такие понятия как БАЗА и БАНКИ ДАННЫХ, Использование компьютеров требует правильной организации базы и банков данных. Проблема организации научных знаний раньше не занимала умы ученых. Сегодня - это насущная проблема. Наконец, с точки зрения методологии надо взглянуть по-новому и На проблему научного знания. В связи с тем, что большинство научных понятий таких как "моделирование", "эксперимент", "доказательство", "язык", "число", "время" имеют теперь отношение к компьютерам, то проводится изучение их нового статуса.

Говоря об условиях и пределах математизации, необходимо прежде всего отметить такой фактор, как уровень разработки системы частнонаучных понятий, допускающих, как показано Лениным, математическую обработку. Следующий фактор - это выделение в объектах изучения относительно устойчивых и независимых элементов, отношений и структур, которые можно положить в основу некоторой математической модели. При математическом моделировании сознательно отвлекаются от конкретной физической или иной природы процессов и всецело сосредоточиваются на изучении количественных зависимостей между величинами, описывающими эти процессы.

Пятая глава -"Актуальность математических идей древнегреческой философии в современности" - состоит из двух параграфов. В первом'параграфе - "Попытки решить зеноновские апории средствами современной математики" - обсувдаются апории Зенона, попытки их решения средствами теории множеств, с помощью диалектики, выясняется связь апорий, антиномий и парадоксов,

В древнегреческой философии особой известностью пользовались апорий Ьенона Злейского /4ЭС-430 гг до н.э./, обнаруживающие противоречия в.понятиях движения, пространства и времени. Ьенон, используя метод косвенного доказательства, пытался защитить учение Парменида о единстве мира, отсутствии множественности вещей и невозможности движения. По убеждению Зенона признание опыта, множественности, впжеиия и делимости приводит к неразрешимым противоречиям. Под влиянием Зенона античные математики стре-

мились построить геомет]1ш беа использоваш:я понятия движения. 1зенон был основателем субъективной дпалектигл в антично!» философии. Именно его апории свидетельствуют об ограниченности человеческой способности восприятия при делании выразить движение в понятиях.

В связи с апориями Зенона обсуждается так называемый парадокс №;р;>/. Точка не иг;еет размеров. Линия "состоит" из безразмерных точек, не имеет размер - длину. Каким образом небытие может порождать бнтие, каким осразом из ничто может возникнуть нечто? Это одна из основных философских проблем волновавших античных ученых. 13 теории множеств выясняется, что точка монет "входить" в линию /множество/ как элемент, в этом смысле точка не является однородной частью целого. Но протяжение появляется и это его "появление" А.Грганбаум объясняет тем, что "длина или протяженность, определяется как свойство точечного множеству, а не как свойство индивидуальных точек, ..."1. ото свойство, присущее только точечному множеству, есть в своем качестве такая же идеализация, как понятие нульмерной точки. Тем самым зафиксировано рождение в математическом познании новой идеализации, что в конечном итоге означает новый способ освоения реальности. В теории континуума мощность протяженных множеств является несчетной, что является, как представляется, современной модификацией парадоксов Ьенона. Известно, что множество рациональных чисел »счетное, то может возникнуть предположение, что и всякое бесконечное множество также счетно. Но это совсем не так, и здесь мы подходим к понятию несчетности, «¡ножество всех действительных чисел, оказывается несчетно. Принадлежащее Кантору остроумное доказательство этого факта является образцом неконструктивных доказательств в классической математике. В этом случае /несчетности множеств/ теряет смысл вопрос: как получается протяжение из непротяжешш;: точек в арифметическом значении слова "составлять". Согласно теории континуума, мера множества,.состоящего ид конечного или счетного числа точек, равна нулю. Счетное подмножество континуума 10,13 имеет меру 0, т.е. мера множества этих '

1 Грюнбаум А. Философские проблемы пространства и времени. М., 1969. С. 206

точек не раина мере /единице/ этого отрезка. Проще говоря, счетное бесконечное количество точек /не имеющих длины/ не создает длины. Но ухе из несчетного бесконечного количества точек /не имеющих длины/ все-таки, мсжет возникнуть длина, т.е. в результате оригинального сложения №НТ0 может получиться НЕЧТО. Так, мера несчетного подмножества континуума может быть не равна нулю. Например, множество иррациональных или действительных чисел на [0,/] имеет меру 1 /т.е. меру Лебега/, С позиций точечных множеств парадокс меры удается разрешить.

Современные попытки решений апорий Зенона часто проводятся на языке категорий диалектики. Здесь мы сталкиваемся с очень сложной проблематикой диалектики отражения непрерывности и прерывности действительного мара в восприятии. Дело в том, что отображение движения как процесса в понятиях не удается: как только мы начинаем анализировать процесс движения, происходит его немедленная остановка, в интерпретации Зенона "Летящая стрела" неподвижна. Тогда первый опыт изображения движения, на каш езгляи, можно представить так. Абстрактное непрерывное пространство, которое используется в апориях, можно дискретизировать /квантовать/, т.е. разложить на дискретные части. В этом случае тело будет двигаться скачками в дискретном пространстве, т.е. движение, осуществляемое в дискретном пространстве аппроксимируется дискретными понятиями. Без субъективной дискретизации непрерывного невозможно познание сущности вещей. Однако в процессе познания может быть и обратный относительно дискретизации г.глцесс - процесс контннуалл-зации. Объективная диалектика бытия отражается также в мышлении как и дискретно-непрерывностное, когда на определенном уровне познания дискретное отражается с помощью непрерывного, прернвнос-тное субъективно воспринимается как непрерывностное. По-видимому, таким образом, а не иначе, ш получаем свойство "прямизны", где все точки унифицированы, равноправны.

Итак, основываясь на том, как решает диалектический материализм вопроси, к которым относится отражение непрерывности дьиле-ния, представим второй способ изображения движения в понятиях Действительно, в первую очередь, трудности /апории Зенона/ возникают потому, что "мы но можем представить ... движения, но прорвав

непрерывного"1. Ведь движение, которое является непрерывностным, схватывается дискретными понятия;®. Однако, эту трудность можно избежать, если производить", описанную выше, "континуализацию" понятий. Понятия континуалпзируются так: утверждением, что тело находится на данном месте и не находится на том же самом месте вносится расплывчатость в само дискретное понятие. Другими словами, тело "движется и не движется". Тем самым снимается "жесткое" утверждение, что тело находится в данный момент в данном месте, а в другой мпмент - в другом месте. Диалектика понятий заведомо приближает нас к тому, что мы хотим отобразить, а именно к непрерывности движения.

Противоречие между бесконечной сложностью реального мира и ограниченностью нашего мышления - основная гносеологическая причина возникновения апорий Еенона, а в более общем случае, любых заблуждений, парадоксов и антиномий. В этом плане раскрывается связь апорий, антиномий и парадоксов. Слово "антиномия" буквально означает противоречие закона самому себе. В Кодексе 1стиниона /534/ предусматривается случай, когда закон вступает в противоречие с самим собой и это коллизия получила название антиномии, йилософский смысл понятие антинощи приобретает у Канта в "Критике чистого разума". В апория:: Зенона сформулированы антиномические определения пространства, времени, движения.

. Не подложит сомнению, что исследование парадоксов теории множеств также направляет мысль на поиск решения антиномий, интересно отметить, что возникшие в Х1Х-ХХ вв.. парадоксы, связанные с теорией множеств, имеют много общего с античными парадоксами "Лжец" и "Крокодил". Сравнение с парадоксом Б.Рассела о муниципалитетах показывает, что в действительности парадоксы математики оказались частью проблемы, поставленной еще древнегреческими философами и не разрешенной до сих пор. Диачектпчес-кий материализм основой апорий, антиномий и парадоксов, возникающих в процессе развития научного познания, признает объективные диалектические противоречия.

Во втором параграфе - "Древнегреческая традиция и современной математике" - раскрывается преемственность как одоютго прогпво-

1 Ленин В.И. Полн.собр.еоч. Т. 2У. С. 233.

положных элементов /древнегреческого и современного математического знания/, изучается понятия современной математики как аналог идей античного математического знания, определяется роль человеческого фактора в математическом творчестве, гуманизации математики и значение диалектики,

Исчисление бесконечно малых изобретено Ньютоном и Леибницем, но его прообраз можно проследить /найти/ у древних греков. Основная идея разложения фигуры на актуальные бесконечно малые части для вычисления ее площади или объема восходит к Демокриту. Однако Архимед первый выработал методы разложения и суммирования бесконечно малых с помощью строгого предельного перехода. С точки зрения Архимеда бесконечно малые - это переменная величина. 11м было высказано утверждение, что очень малые, но не равные нулю числа становятся скол угодно большими, если складывать их самих с собой достаточно много раз. Теперь оно нам известно как архимедово свойство действительных чисел.

С этого же времени-наблюдается двойственное конкурирующее развитие понятий актуальных бесконечно малых по линии Демокрита и потенциальных бесконечно малых по линии Архимеда. Соглашаясь с точкой зрения Архимеда, крупнейшие ученые Средневековья Омар Хайям и Насреддин Туси считают, что конечные непрерывные величины нельзя рассматривать как множества актуальных бесконечно малых величин. В то же время, как Хайям, так и Насирэддин пытаются определить конкретные пути к выявлению единства противоположностей дискретного и непрерывного.

Уже в эпоху Ренессанса появляется творческая тенденция, желание применять либо неделимые элементы, либо актуальные бесконечно малые, но суть не в названии, а в том, что "характерной чертой этой эпохи была необходимость математического атомизма /учение о бесконечно малых/ для дальнейшего прогресса математи-:си. Кеплер принимал это учение потому, что оно удовлетворяло эго как плодотворная рабочая гипотеза: Галилей не хотел знать теорий, не построенных на математическом атомизме

Таким образом, п]ютотипом теории актуальных бесконечно малых величин явилось учение Демокрита о "математических атомах". В

1 ¿чк-« ЪIII. а,,.! /и //. Поля'(<и1/<*и1 а,ю£уи'£ ЦЗо/с

/■<• О < .V. <;.:,.. ь. А'6\ СМО

Новое время Б.Кавальер! создал понятие о "неделимых", близкое к понятию об актуальных бесконечно малых. Сам термин "актуальные бесконечно малые" был введен в науку Лейбницем. Полное определение этому понятию дано в нестандартном аналз1зе Л.Робинсона. Что же касается теории потенциальных бесконечно малых величин, то их прототипом было учение Архимеда о малых величинах. Б дальнейшем, Ньютон, опираясь на труды Архикеда, создал метод флюксий /производных/. Теория потенциальных бесконечно малых окончательно сложилась в классических трудах Дедекинда, Вейерштрасса и Кантора по математическому анализу. С точки зрения методологии бесконечно малые величины являются тем идеальным инструментом, который помогает познать величины в области бесконечного, обеспечить возможность познания законов, которым подчиняются конечные величины, исходя из законов для бесконечно матах. Сами понятия актуальной и потенцнольной бесконечности являются проявлением закона единства л борьбы противоположностей.

Далее выясняется вопрос о наничии или отсутствии преемственности между современными философскими направлениями в математике /формализм, интуиционизм, логицизм/, которые стараются укрепить фундамент математической науки XX века, и философскими основаниями античной математики, Елваты несомненные предшественники К.Кантора. Как известно, элеатн близко подошли к созданию теории множеств и даже предвосхитил: некоторые ее выводы. Кроме того, элеатн признавали актуальную бесконечность и закон исключенного третьего. Основоположник интуиционизма Э.Л.Брау-зр вслед за Аристотелем отрицая бесконечность и универсальность закона исключенного третьего. Интуиционистская теория среды свободного становления есть не что иное, как применение диалектики Гераклита. При помощи этой идеи становления Ерауэрш строится континуум /непрерывное множество точек/, который созвучен с континуумом Аристотеля,

Вопрос о применимости закона исключенного третьего был предметом спора между стоиками и эпикурейцами. Если эпикурейцы ставили под сомнеше детерминизм, то стоики пркдерзшэлпсь принципа жесткого детерминизма, т.е. датг-ишома. "Второу основатель Стой" Хрисипп создал логику, отличную от аристотелевой. Ьтот философ подвол логический фундамент под идею неумолимой необхо-

_ зв _

димости: принцип двузначности /бивалентности/. По Хрисиппу, всякая аксиома может быть либо истинной, либо ложной. Третьего не дано. Логика Хрисиппа легла в основу современного логицизма. Таким образом, нал интерес к воззрениям элеатон, эпикурейцев и стоиков отнюдь не случаен. И потому является закономерным анализ понятий современной математики /а именно континуальности и дискретности/ как аналог идей древнегреческого математического знания. Критическое отношение к классической теории континуума, обнаружившей парадоксы в основаниях математики, привело к возникновению различных философских школ. Сообразно тому, какие объекты принимают в качестве первоначальных /непрерывные или дискретные/, математики разделяются на две основные группы: формалистов и контаноивистов.

Основная мысль прогрштан формализации математики Д.Гильберта состояла п том, что трансфинитные понятия математики, такие, как понятие континуума, являются идеальными конструкциями человеческого мозга, а тем самым, выходят за прадеды интуитивной ясности. Поэтому Гильберт решил математику изучать новыми простыми средства!,я, а именно определенными "финитными" а. заданными понятиями, С помощью этих, в сроен сущности, дискрет-зых методов Гильберт пытался доказать раз и навсегда непротиворечивость континуальной математики. Однако Гедель /1931/ показал, что программа Гильберта невыполнима.

Если формализм сводит математику к символам, то контенсивизм 1рпзнает, что математика имеет определенное предметная содерка-ше. Контенсивизм в свою очередь состоит из двух линий - плзто-шзма /канторианства/ и интуиционизма. Канториандами являются

{.Бурбаки, к.Адамар, а платонистами - Б.Рассел, Г.чрога, А.Чер7 Гедель. С их точки зрения континуум рассматривается в качест-¡е исходной области, и несмотря на антиномии, построение основания теории множеств, она ни в коем случае не келшг отказаться 1Т концепции непрерывности. При эт<$м они подиоргают новому аяа-!изу само понятие континуума, пюсят в континуум некоторые ре-ормц, в сущности, не изменяя ого основной структуры.

Однако другая разновидность контенсивмэма - интуиционизм является более революционной теорией. Интуиционистн счигпот, что классической теории континуума н во всей математике, есть ие-

что гнилое, что следует отбросить. Они заявили о существенной перестройке всей математики, когда ее нужно начинать "строить" с дискретных, простых понятий, которые осуществляются последовательно, шаг за шагом, конструктивно. Вспомним, знаменитые слова Л. Кронекера о том, что "бог создал целые числа". Таким образом, строятся "натуральные числа", которые универсально применимы в процессе счета и лежат в основании построения анализа /так что источником математики становится арифметика/. Основой такого рода последовательного построения, но мнению А. Брауэра является изначальная априорная истина. Утверждается, что интуиционизм опирается на философию субъективного идеализма, в особенности на доктрину Шопенгауэра и кантовский априоризм. При этом указывается различие между идеями интуиционизма и конструктивизма.

В контексте обсуждаемого для нас наиболее важным является то, что современные трудности самым тесным образом связаны с проблемами древнегреческой математики. А.Френкель и П.Бар-Хиллел считают, что "преодоление пропасти между этими двумя столь различными областями /континуальности и дискретности - А.Н./ - не только главная, но и древнейшая проблема оснований математики и соответствующих разделов философии"!, характер рассуждений сегодня изменился, но они касались тех же проблем, которые казалось бы в свое время преодолены пифагорейцами. Затем те же проблемы вновь возникли в Новое время и как будто бы разрешены. французской и германской школами теории функций. Выясняется, что для решения этой проблематики одних средств математики не достаточно: для изучения природы прерывности и непрерывности требуются широкие философские воззрения, учитывающие происхождение и сущность понятий с- естествознанием й вообще с другими науками. В философских направлениях математики появляется стремление учесть два качества - непрерывности и дискретности. Задача диа-' лектики в данном случае заключается в том, как /каким образом?/ раскрыть диалектическое единство прерывного и непрерывного, Противоречие непрерывного и прерывного преодолевается через борьбу противоположностей, и эта борьба является определяющим фактором развития.

1 Френкель А., Бар-Хиллел П. Основания теории множеств. .'Л., 1966. С. 241.

В развитии математической науки всегда существенное значение имел и имеет субъективный фактор. Так, применительно к античности ш говорили о "платонистском" характере математики, о пифагорейской арифметике и музыке, о субъективных представлениях Архи-та, Архимеда, Хрисиппа, каждый из которых налокил отпечаток своей личности в сволюции научного познания. Показывается, что значение субъективных компонентов математического творчества несколько снизилось в Средневековье, но начиная с Возрождения и до нашх дней неуклонно возрастает. Мы все больше осознаем, что ведущими тенденциями развития наук являются их интеграция и гуманизация. Сегодня происходит отход от деперсонифицированного позитивистского подхода к науке и возврат к "личностному" гуманному идеалу научного познания. Все более пристальное внимание привлекают качества личности ученого, условия совершения того или иного открытия, роль■интуиции, воображения, чувство гармонии и изящности.

Взаимосвязь математического и гуманитарного способов постижения истины осуществляется различным! путяг/и. Во-первых, математическая и гуманитарная деятельность родственны друг другу. К этому выводу приводит сравнение многочисленных трудов по психологии научного и художественного творчества. Достаточно, сослаться на авторитет А.Пуанкаре и Ф.М.Достоевского. Во-вторых, художники изображая предметы в пространстве, интуитивно совершали важные открытия в геометрии. Мировоззрение художников до Возрождения было первобытно-мифологическим: не существовало четкой грани между естественными и сверхъестественным. У художников эпохи Возрождения линия облаков четко разделяла мир естественный и мир сверхъестественный. Художник Возрождения не только предвосхитил закон геометрии - прямую линейную перспективу -но он его математически обосновал. В-третьих, это создание математических моделей для исследования различного рода ситуаций. Сюда относятся попытки построения моделей эволюции биосферы. В ВЦ АН СССР группа исследователем /акад. И.Н.Моисеев и его ученики/ создала математическую систему "Гея" для изучения биосферы как целого. В-четвертых, постановка проблем гуманитарного знания потребовала разработки новых математических методов. Имеются попытки применения логико-математических моделей для исследования различных политологических ситуаций. С помощью приведен- 39 -

кого- выше вычислительного эксперимента "Ядерная зима" получены результаты, имеющие не только этическое и научное, но и политическое значение. Получив широкий резонанс в самых.различных слоях общества, эти выводы способствовали формированию нового политического мышления.

Для того, чтобы стать наукой точной, т.е. наукой в полном смысле'С^ова,гуманитарное познание должно использовать математические методы. С другой стороны, если математика хочет служить благу человека, она должны развиваться в тесном сотрудничестве с гуманитарными науками.

В "Еаключении" подведены итоги исследовании, сформулированы выводы и поставлены новые проблемы, требующие дальнейшего анализа.

Основные положения диссертации изложены автором в следующих публикациях, с общим объемом 35,0 п.л.:

1. Эволюция понятий прерывности и непрерывности в математике //Вопросы методологии наук./Томский гос.ун-т.- Томск, 1973. Вып. 3. С. 91-99.

2. Категория непрерывности в "Критике чистого разума" Канта //Вопросы методологии наук./Томский госун-т.- Томск, 1974. Вып. 4. С. 175-178

3. О двух тенденциях развития понятия непрерывности в истории математического анализа/Дйтериалы 4-й научной конференции по математике и механике. Т. 1./Томский гос.ун-т,- Томск. 1974. С. 25-26.

4. Понятие непрерывности и бесконечности в школьном курсе математики//'Латериаяы 4-й научной конференции по математике и механике. Т. 1»/Томский гос. ун-т,- Томск. 1974. С. 162

5. О единстве понятий непрерывности и прерывности в математи-ке//!'.!агериалы 1-й конференции молодых ученых./Томский гос. ун-т - Томск. 1974. Вып. 1. С. 30-32

6. Категории непрерывности и прерывности в "Науке логики" Гегеля//Проблемы общественных наук в рясогах молодых ученых. Ч* 2./Томский гос.ун-т.- Томск. 'С. 126-135

7. Категории прерывного и непрериьного и их методологическая роль в математическом познании,7 Якутск. 1980.- 13 с. - Отчет по научно-исследовательской работе. Г'.ав. ! 593ЫЫ9.

В. .яетсдические рлзджботки г,о теме "'' клооо.''сксе учение о ¡гате-

- -¡а -

рйи и его значение для современной науки"/ Якутскии гос. ун-т.-Якутск. 1981,- 22 с.

9. План изучения курса "Исторический материализм"//Учебно-ме-тодйческий план для студентов 3 курса математического факультета/ Якутский гос. ун-т.- Якутск. 1981. С. 7-8 .

10 Проблема прерывного и непрерывного в математике//Прерыв-ное и непрерывное.- Киев. Наукова думка. 1983. 0. 205-217 /в соавторстве с Рыжко а.А.

11. Методические указания по теме "Философское учение о материи и,его значение для современной науки"'//Якутски/ гос. ун-т,-Якутск,'1984.- 24 с. .

12. .Методические указания к семинарским занятиям по диалектическому и историческому материализму/лкутский гос. ун-т,-Якутск. 1985.- 43'с./в соавторстве с кшаиловым В.д., Тобуковыы

13. .'/.етодические указания к спецкурсу "Философские проблемы обоснования математики"/Якутский гос. ун-т.- Якутск.- 31 с.

14. Философские проблеш обоснования математики//Программы спецкурсов по общественным наукам./Якутский гос.ун-т.- Якутск. 1988. С. 14-15

15. О мировоззренческой и методологической направленности преподавания специальных дисцишшн//Лреподавание философии: пути перестройки.- Якутск. 1989. С. 14-23

16. Человеческий фактор и демократизация советского общества. Якутск. 1989,- 17 е.- Библиограф:, г 10 назв. Деп. в ИНИОН АЛ -СССР 4.01.90 к 40691

■ .17. Планы семинарских занятий по диалектическому и истори-ческсму материализму/Якутский гос. ун-т.- Якутск'. 1990,- 44 с. /в соавторстве с ¿йхайловым В.Д.,. Винокуровым В.В.

18. Методические рекомендации к семинарским занятиям по марксистско-ленинской, философ ии/Якутский гос. ун-т.- Якутск.1990.54с

19. О .логической культуре пропагандиста.Якутск. 1989. 13 с.

20. Технология и практика самостоятельной работы студентов.// Совершенствование учебного процесса и новые формы обучения в ■ университетах. Тез. докл. на республ. науч. кон>±.. преподавателей университетов /октябрь//пермскмИ гос.ун-т.- Пермь. 1990

21. Совет'кафедр общественных наук и система УИРС-КИРС. -Якутск. 1989.- 14 е.- Библиограф,.: 4 назв. Деп. в ПНИОН АН СССР от 2.01.91. .'i. 7-91.

22. Соотношение чувственного я рационального в математическом познании,- Якутск. 1989.- 11 е.- Библиограф.: 11 назв. Деп. в ИШ0Н АН СССР от 2.01.91, И 43582

23. Н.А.Бердяев о новых категориях бытия: технике, машине// Русская философия и духовная культура современности. Тезисы. Кн. 2.- Иркутск. 1991. С. 28-29

24. Философия. Учебное пособие,- Якутск. 1991.- 149 с.

25. Гуманитаризация высшего образоваш1я//Вопросы непрерывного образования специалиста,- Якутск. 1991. С. 43-44

26. Человек и компьютер: новые взаимоотношения в обучении фююсофии//Вопросы непрерывного образования специалиста.-Якутск. 1991. С. 67-71.

27. Философские проблемы возникновения и начального этапа развития математики./Изд-во Красноярского ун-та,- Красноярск. 1991.- 160 с.