автореферат диссертации по философии, специальность ВАК РФ 09.00.08
диссертация на тему: Коммуникативные аспекты математической деятельности

Текст диссертации на тему "Коммуникативные аспекты математической деятельности"

У" /

А 4 & и} $ „л

^ / " \/ \ " .. . / V

московский государственный университет

Институт Государственного Управления и Социальных Исследований

Специализированный совет Д.053.05.72

На правах рукописи

НУЖДИН Георгий Александрович

КОММУНИКАТИВНЫЕ АСПЕКТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

Научный руководитель - профессор, доктор философских наук а.Г. Барабашев

Специальность 09.00.08 - философские вопросы естествознания и техники

Диссертация на соискание ученой степени кандидата философских наук

Москва 1998

СОДЕРЖАНИЕ

СОДЕРЖАНИЕ ........................................... 2

Введение ............................................. 3

ГЛАВА 1 Математика как система значений............16

I. Причины рассмотрения математической деятельности.1 б

II. Какими средствами рассмотрения математической деятельности мы располагаем .......................... 2 0

III. Событие понимания ............................. 35

IV. Мерцание события ............................... 4 6

Глава 2. Доказательство.............................62

I. Релятивистская модель знания .................... 62

II. Точность доказательства ........................ 68

III. Фиксация понимания доказательства ............. 88

Глава 3. Разговор..................................105

I. Определение разговора .......................... 105

II. Структура цикла разговора (вопрос-ответ-соглашение) .........................................129

III. Причины отказа от разговора .................. 136

Список литературы .................................. 143

Введение

Актуальность_темы_исследования. Рассмотрение

математической деятельности в рамках философии и методологии математики - достаточно новая область исследования. Попытки такого рассмотрения связаны с развитием нефундаменталистских течений в философии математики 70-90-х гг. Среди основоположников этого течения следует назвать в первую очередь Р. Уайлдера, Ф. Дэвиса и Р. Херша, Дж. Фанга и Ф. Китчера!. Основная особенность этого течения - переход от интерналистской модели математики как таковой к рассмотрению деятельности субъекта, практикующего математику. При этом вопросы основания математики отходят на второй план, уступая место проблемам понимания, схватывания, фиксирования и передачи математического знания в социуме. Эта глобальная проблема распадается на ряд частных проблем, среди которых наиболее важные:

1) Каково "местообитание" математического знания?

2) Как возможна точность передачи математического знания, без которой это знание перестает быть "математичным"

3) Как возможна стабильность передачи математического знания, без которой нельзя говорить о математике как о науке.

Наиболее близко к постижению математической точности и стабильности, на наш взгляд, подошла феноменология, разработавшая теорию значения. Центральный ее тезис признание особого статуса математического значения, который обеспечивает аподиктичность математических утверждений. Однако представление о стабильности математических значений

Среди предтеч этого направления следует безусловно выделить А. Пуанкаре. Анализу некоторых его положений будет посвящена значительная часть первой и второй глав

идет вразрез с эмпирически наблюдающимися фактами непонимания, ошибок, ложного понимания и т.д - так по Гуссерлю понимание ошибочных утверждений вообще невозможно. Еще одним серьезным возражением, заставляющим нас обратиться к пересмотру феноменологического обоснования математики является атомарность значения у Гуссерля, что делает невозможным представление о прагматическом, ориентированном на конкретные цели, рассуждении.

Напротив, представление о понимании в рамках коммуникативной ситуации, восходящее к герменевтической школе и разработанное современной лингвистикой, достаточно четко объясняет эту серию феноменов (не давая, однако, философского их обоснования). Вопрос, на который лингвистика не может дать четкого ответа парадоксальным образом является оборотной стороной феноменологического вопроса: как и за счет чего вообще возможно точное и стабильное понимание?

Наиболее радикально этот вопрос ставится в отношении математического понимания. Задачей настоящей работы является попытка объединить два этих взгляда, ответив на два ключевых вопроса, без решения которых каждый из двух подходов в отдельности не имеет объяснительной силы:

1) Как возможно и каковы необходимые условия понимания математических рассуждений, какая структура обеспечивает стабильность понимания?

2) Что обуславливает непонимание, какие сущностные черты препятствуют абсолютной стабильности и интерсубъективности математической деятельности?

Степень разработанности темы. Поскольку данная работа является попыткой лингвистического рассмотрения

математической деятельности, по сути, мы сталкиваемся здесь с двумя традициями. Первая - философско-математическая восходит к рационалистическому и феноменологическому подходам

к обоснованию математики. В рамках этой традиции был разработан и соотнесен с математическими утверждениями концептуальный аппарат смысла и значения. С одной стороны, эта традиция представлена исследователями, рассматривавшими математику как язык, подлежащий логической формализации, - Г. Фреге, Б. Расселом, К. Геделем; с другой - восходит к работам Э. Гуссерля, связанным с теорией значения и понятием идеальных объектов.

Присущая этим школам абсолютизация математического значения вскоре была поставлена под сомнение в трудах А.Пуанкаре. Он утверждал, что смысл доказательства отличен от формального набора посылок и следствий, подчиненных логическим законам, более того, одно и то же доказательство может быть осмыслено по-разному. Наиболее радикальный шаг совершили философы-нефундаменталисты, пытавшиеся показать, что математическая деятельность (а, стало быть, и смысл утверждений) существенно зависит от научного сообщества, языка описания и практикуемых норм и целей исследования. Были предприняты попытки выявить социальные структуры, влияющие на математическую деятельность (известный спор о существовании революций в математике), что послужило базой для предпринятого в диссертации обоснования коммуникативного способа протекания математической деятельности.

Лингвистическая традиция рассмотрения языковой деятельности связана с именем В. фон Гумбольдта и разработана такими лингвистами, как A.A. Потебня и Н. Трубецкой. В последние десятилетия интерес к рассмотрению языковой деятельности как соответствующей исходным структурам сознания и конституирующей сознательную жизнь обязан в первую очередь работам Н. Хомского. Прагматические аспекты деятельности были разработаны Дж. Остином и Дж. Серлем в их теории речевых актов, а также Р. Якобсоном. Когнитивная школа, изучающая структуру языковых актов так, как она конституирована

"глубинными" структурами, представлена работами Дж. Фодора, Т. Винограда, Э. Рош, Дж. Лакова, и др. В отечественной традиции следует назвать работы лингвистов Н.Д. Арутюновой, P.M. Фрумкиной, И.А. Мельчука, В.Г. Гака и др.

Попытка представления математического знания через предложения языка, обладающего однозначностью, восходит к трудам венского кружка и разрабатывалась аналитической философией в лице Л. Витгенштейна, А.Айера, Дж. Остина, Д. Дэвидсона, У. Куайна, Д. Льюиса, Н. Гудмена, Дж. Мейланда, X. Патнема. В отечественной традиции сходные вопросы изучали А.Л. Блинов, А.Ф. Грязнов, В.В. Петров, З.А. Сокулер, и др.

Используемое в диссертации понятие разговора восходит еще к греческой классической философии и вновь становится актуальным в связи с трудами М. Хайдеггера 30-х годов, рассматривающего разговор как основу нашего бытия, Х.-Г. Гадамера, трактующего разговор как способ осуществления понимания, Ю. Хабермаса и др. Огромный вклад в осознание существа разговора как сферы возможного понимания внес М.М. Бахтин.

Цель и Задачи исследования. Основная цель исследования описать математическую деятельность как систему актов понимания (структурирования материала) , реализующуюся в интерсубъективной общности исследователей - разговоре. Этапы реализации этой цели таковы:

1) Описать решение конкретной задачи и доказательство в терминах понимания (разрешения) коммуникативной ситуации

2) Обосновать понятие "событие" как этапа разрешения коммуникативной ситуации (деятельное понимание)

3) Объяснить феномены непонимания, неполного воспроизведения, ложного и ошибочного понимания, используя представление о "мерцании" - способе осуществления события

4) Построить типологию точности и классифицировать точность математической деятельности, формального доказательства, рассуждения на естественном языке

5) Дать типологию и описать причины возникновения ошибок в доказательстве. Описать и обосновать процесс усвоения, фиксации и воспроизводства доказательства

6) Описать разговор как сферу интерсубъективного взаимодействия исследователей и выявить свойства математического разговора. Обосновать утверждение о том, что разговор является той сферой, в которой только и может разворачиваться математическая деятельность

Методологические основания исследования. В первую очередь мы будем ориентироваться на взгляды Э. Гуссерля, представляющие деятельность как процесс конституирования, неизбежно влекущий полагание определенных смысловых связей (интендирование). Тем самым математические объекты получают свое единственное бытие как "единства смысла"2. Однако вслед за герменевтами мы отрицаем изолированный смысл: смысл существует только в оппозиции альтернатив и определяется вопросно-ответным контекстом деятельности. Таким образом мы отказываемся от онтологизации смысла.

Подход к решению поставленных проблем значения в коммуникативном аспекте, в частности, замена абсолютного (буквального) смысла на сферу конституирующих смысл интенций, заимствован нами из лингвистической философии, которая особенно во второй половине XX века - детально разрабатывала прагматические и когнитивные (по сути, "понимательные") аспекты языковой деятельности.

2 Э. Гуссерль, Идеи к чистой феноменологии и феноменологической философии//Язык и Интеллект, М, 1995, с. 57

Вплотную с нашим исследованием смыкается неориторика -наука, изучающая нематематические способы убеждения и доказательства и их языковые корреляты (некоторых тезисов неориторики мы коснемся в 3-й главе). Однако эта наука центрируется прежде всего не непосредственно языковом материале, корпусе текстов, в то время как анализ субъективного акта убеждения и понимания остается вне рассмотрения.

Попытка тотального описания математической деятельности состоит в признании двух уровней рассмотрения: материала (математика в сообществе и в текстах, составляющих корпус знания) и математической системы (представленной в сознании субъекта, практикующего математику), в рамках которой корпус знания усваивается и создается (при этом вопрос о "врожденности" и "универсальности" этой структуры не обсуждается). Это разделение соответствует введенному Бенвенистом различению науки о языках и науки о ЯзыкеЗ. Такое высказывание дает нам право свести проблемы понимания, создания, фиксации и воспроизведения математических значений к аналогичным проблемам в отношении математического языка.

В отношении математики в текстах мы опираемся на традицию семиотики, заложенную Ю.М. Лотманом и A.M. Пятигорским, отчасти восходящую к работам Ч. Морриса и утверждающую конвенциональность текста в любом культурном контексте. Это означает, что математический текст воспринимается как таковой лишь за счет интендирования его "математичности" - то есть, особого способа прочтения этого текста. Этот способ мы назовем "исполнением" по аналогии с исполнением инструкции, учитывая основную особенность такого текста быть направленным на одну единственную цель и не реферировать никаких иных сущностей, кроме этой цели.

3 Э. Бенвенист, Общая лингвистика, М, 1974, сс. 21-22

8

Мы попытались показать, что представление о разговоре как о структуре, имманентно присущей любой намеренной деятельности, естественно вытекает из феноменологического описания трансцендентального субъекта. Тем самым мы заложили основы для социального рассмотрения такой, на первый взгляд, монологической, деятельности, как деятельность

математическая.

Научная новизна.

1. Обоснован лингвистический подход к математике как системе асемантических значений. Разработана оригинальная концепция математической деятельности как системы актов понимания (структурирования материала), реализующейся в интерсубъективной общности исследователей - разговоре. Показано, что математическая деятельность существенно диалогична, то есть, обязательно включена в определенную традицию постановки и исследования математических проблем.

2. Представлена концепция математических объектов как конституируемых научным сообществом интерсубъективных, но ограниченно воспроизводимых мет (целей) исследования.

3. В рамках отказа от понятия истинности исследована точность понимания. Представлена типология точности в отношении естественных и искусственных языков по критериям целостности и непрерывности. Показана порочность трактовки понимания как отождествления и показано, что механизм понимания обязательно включает в себя этапы фиксации определенной структуры, "выключения" привычного функционирования этой структуры, генерации новой структуры на базе исходной и включения полученной структуры в систему значений.

4. Рассмотрена нестабильность математического понимания. Описан механизм фиксации математического понимания и последующего его (стабильного) воспроизведения в форме

практики. Обоснована проблема следования правилу Л. Витгенштейна.

5. Проведено феноменологическое рассмотрение

доказательства как деятельности по пониманию (наделению смыслом) , выявлены условия такого понимания. Показано, что реальный процесс доказательства является последовательным раскрытием первоначально выявленной целостности задачи, поэтому никогда не протекает как дедуктивный вывод. Дана классификация ошибок в доказательстве и продемонстрирована потенциальная неполнота понимания любого доказательства.

Краткое содержание работы.

Первая глава диссертации будет посвящена тому, чтобы сформулировать лингвистический (когнитивный) взгляд на описание математической деятельности и выработать недостающий понятийный аппарат.

Первый параграф первой главы целиком посвящен постановке и обоснованию вопроса о математической деятельности и критике представления о математике как результате.

Во втором параграфе разработан общий подход к изучению деятельности, и сформулировано представление об "объекте" этой деятельности (ответ на первый из поставленных вопросов о "местообитании" математического знания).

Анализ прагматического аспекта математического текста связан с определяющей чертой математики конституировать предмет своего изучения. Здесь мы должны существенно разграничить область становления математики как науки (деятельность понимания и созидания) и прикладную область. Первая направлена на обновление математического языка, вторая - на поддержание его (ср.: каждое употребление поддерживает языковую конвенцию"). Обновление системы математического языка происходит за счет не-ассертивных языковых актов

[Эеаг1е] , в то время как поддержание этой системы - есть практика, при которой отсутствуют "иллокутивные" причины и цели и которая состоит в актуализации математической системы без ее воспроизводства. Мы будем рассматривать преимущественно первый тип деятельности как "собственно-научный", однако и деятельность поддержания математической системы будет рассмотрена нами во втором параграфе второй главы.

В итоге мы приходим к определению созидательной математической деятельности как "деятельности, направленной на изменение индивидуальной системы математических смыслов и выраженной в исполнении математических текстов" (ср. описание языковой деятельности [Якобсон] и языкового новаторства [Хомский2]).

В третьем и четвертом параграфах вводятся такие фундаментальные понятия, как событие, исполнение инструкции, мерцание, и проводится их детальный анализ. Здесь мы формулируем основы взгляда на предмет математической деятельности как коммуникативную ситуацию [Виноград]. Любая конкретная задача, взаимодействие с текстом, представленная как коммуникативная ситуация - это система альтернатив, возникающая при попытках достичь тех или иных коммуникативных целей. Эта система по сути представляет собой план решения задачи - последовательность промежуточных "ключевых" этапов решения. Такое представление вполне соответствует реальной математической практике, где решение задачи - это "борьба" с препятствиями на пути ее осуществления.

Каждый реальный выбор, возникающий на пути решения, называется собы