автореферат диссертации по философии, специальность ВАК РФ 09.00.07
диссертация на тему: Логическое следование и интуиционизм (проблема релевантизации интуиционистской логики)

Полный текст автореферата диссертации по теме "Логическое следование и интуиционизм (проблема релевантизации интуиционистской логики)"

1НСТИТУТ Ф1ЛОСОФП 1МЕН1 Г. С. СКОВОРОДИ НАЦЮНАЛЬНО! АКАДЕМП НАУК УКРА1НИ

О Л

ШРАМКО Ярослав Владиславович

УДК 167

АОПЧНЕ СЛ1ДУВАННЯ I 1НТУЩЮН13М

(проблема релевантизацц штущюшстсько! лопки)

Спещальтсть 09.00.06 • лопка

Автореферат дисертацГ1 на здобуття наукового ступеня доктора фиософських наук

Киш - 1998

Дисертациею е рукопис.

Робота виконана в [нституп философа ¡мет Г. С. Сковороди Нацюнально! Академп наук Украши.

Науковий консультант

доктор фь\ософських наук, професор 1шмуратов Анатолш Тем1ргал]йович головний науковий сшвроб1тник 1нституту философы HAH Украши

Офщшш опоненти:

доктор ф1\ософських наук, професор Бурпн Марк Семенович, Центр досмджень науково-техшчного потенщалу та ¡сторп науки Нацюнально! Академн наук Украши, зав1дувач лабораторию

доктор фшэсофських наук, професор Ледшков €вген Евгенович, Московський шститут х!мп тонких технолопй, професор кафедри ф1лософи

доктор фь\ософських наук, професор Соловей Леошд Антонович, Державний торпвельно-економхчний ушверситет, професор кафедри философа

Пров1дна установа

Нацюнальний ушверситет iMeHi Тараса Шевченка, кафедра лопки, м. Кшв

Захист В1дбудеться 27 березня 1998 року о 14.00 годига на зас1данш спещал!30ван01 вчено'1 ради Д 26.161.01 для захисту дисертацш на здобуття наукового ступени доктора (кандидата) наук в 1нституп ф^лософи iMeHi Г. С. Сковороди HAH Украши (252001, Кшв, вул. Трьохсвятительска, 4)

3 дисертащею можна ознайомитись у б^блютещ 1нституту фшэсофп ¡меш Г. С. Сковороди HAH Украши (252001, Кшв, вул. Трьохсвятительска, 4)

Автореферат розкланий „££__!' U^O/T^t*?______ 1998 року

Вчений секретар спещамзованно! вчено! ради кандидат фиюсофських наук старший науковий ствробггаик

Андрос С. Г.

ЗЛГЛЛЬНЛ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИСЕРТЛЦП

Актуальшсть теми дослцження та ступщь розробленосп проблеми. Поняття лопчного сидування (а також tícho пов'язана з ним операщя умовного зв'язку) BiAirpae одну з центральних ролей в лопчному анамз! багатьох важливих фиюсофсько-методолопчних проблем. До таких проблем належать, наприклад, проблема теоретично! експлжаци поняття закону науки, проблема ¡стини, проблема наукового (номолопчного) пояснения та багато ¡нших. Ti чи íhuií властивосэт В1дношення смдування, що використовуеться, великою Mipoio обумовлюють як сам Х1д, так i результата. анал!зу зазначенних проблем. I якщо протягом такого анализу виникають трудной^ та парадоксальна ситуацп, то в1дпов1дальшсть за це несуть також певш характерна риси того в1дношення лопчного оидування, на якому базуеться застосована лопчна Teopin. Таким чином, коли в якосп тако! Teopii використовуеться апарат класично! лопки, рано чи ni3Ho доводиться виршувати проблему усунення ускладнень, пов'язаних з деякими специфгчними рисами класичного в1дношення лопчного смдування. Насамперед мова йде про добре bíaomí властивосп цього в1дношешм, bíaiiobíaho до яких кожне лопчно-1стинне висловлювання (лопчний закон) класично оидуе Í3 будь-якого висловлювання, a Í3 лопчно-хибного висловлювання (лопчно! суперечносп) випливае яке завгодно висловлювання. Под^бну ж ситуащю маемо також на piBHi об'ектно! мови ¡з сполучником матер1ально'1 ¡мплжаци - в класичнш лопщ вал^дними е наступш принципи: .дстина ¡мплжуеться всь\яким висловлюванням" (verum ex quodlibet) i „хибтсть ¡мплжуе все, що завгодно" (ex {also quodlibet).

В лопко-ф1лософсьгай л1тератур! неодноразово зазначалося, що щ принципи не в1дп0в1дають фундаментальним ¡нту'1тивним уявленням про саму природу лопчного смдування i суперечать практищ неформального застосування цього в1дношення в реальних наукових досллдженнях. KpiM того, з розвитком лопчних метод1в анал1зу наукового знания, стало ясно, що i'x наявшсть робить неможливим позитивне виршення багатьох проблем ф1лософп i методолога науки. Тому зазначеш вище принципи отримали назву „Парадокав класичного сл1дування i матер1ально'1 ¡мплжацн". А В1дтак, перед досидниками постало завдання розробки лопки, яка була б вольною bía цих парадокав. Значний внесок

у розробку тако! лопки зробив К. Abioic, який в 1912 рощ розпочав дослгдження поняття „строго! ¡мплжацн", що зшщ1ювало новий напрям у сучаснш лопщ - модальну лопку. Важливу роль з1грали також системи А. Чьорча та Мо Шау Кей, яю опубликовано в 1950 та 1951 роках. Але новий етап дшсно штенсивних дооиджень ще! сфери розпочався з моменту опублжування в 1956 рощ у „Журнал! символ1чно! лопки" CTaTTi В. Аккермана „Засади сильно!' ¡мплжацц" (Ackermann, W. Begründung einer strengen Implikation // Journal of Symbolic Logic, 21, 1956, pp. 113-128). Цю працю продовжили американсыи вчеш А. Андерсон i Н. Белнап, зусиллями яких було створено нову парадигму теоретичного анал1зу в1дношення лопчного оидування - „релевантну лопку" (Anderson, A. R. and Belnap, Nuel D. Jr. Entailment. The Logic of Relevance and Necessity, vol. I, Princeton (Princeton University Press), 1975, Anderson, A. R., Belnap, Nuel D. Jr., and Dunn, J. M. Entailment. The Logic of Relevance and Necessity, vol. II, Princeton (Princeton University Press), 1992).

Релевантна логжа комплексно розглядае проблематику в1дношення лопчного сл!дування i всю низку питань, що пов'язана з щею проблематикою. В межах дооиджень, яю проводяться в загальному pycAi релевантно! лопки, побудована значна гальгасть р1зноман1тних лог1чних числень. Деяи з них отримали широке визнання i стали в певному po3yMiHHi парадигматичними. До таких систем треба перш за все взнести системи Т (ticket entailmentj, Е (of entailment) i R (of relevant implication)- KpiM того, можна в1дм1тити системи RM (mingle) i EM (entailment mingle), а також NR.

Однак, noTpiÖHo зауважити, що щ парадокси сл1дування притаманн1 не т1льки тому в1дношенню сл1дування, яке мае М1сце в класичн1й Aoriui. В багатьох некласичних лопках смдування також е парадоксальним в зазначеному смисл! Таким чином, виникае актуальне питания в1дносно статусу релевантно! лопки в ц1\ому. Чи с релевантна лопка лише одим ¡з численних напрям1в в сучасн1й некласичн1й лопщ? Деяи досидники запропонували б1льш загальний П1дх1д до самого поняття релевантно! лопки. Зокрема в. Войшвшю висунув ¡дею релевантно! лопки як певного етапу в розвитку лопки взагал!. В щлому ця ¡дея е досить обгрунтованою. Припустивши можлив1сть розробки загального поняття релевантного (непарадоксального) сл1дування, правомерно також допустити, що Bei ¡снуюч! Aori4Hi системи, сл1дування яких е

парадоксалышм, можуть бути „релевантнзопаш" за доиомогою замши сл1дування цих систем таким релеваитним в1дношенням лопчного с/идування.

Тиким чином, згадаш вище стандарты! снстеми релевантно! лопки повинт розглядатися як певш спещальш системи, яю можуть претендувати лише на експлжащю лопчного сладування для формул мови, яка е розширенням мови класично¡' лопки. Однак, сл!дування некласичних лопк також потребус в1дпов1дного анализу.

Предмет дослддження полягае у вивченш властивостей в1дношення лопчного с/идування на матер1ал1 тих засоб1в м1ркувань, що мають м1сто в конструктивних (штущюшстських) дедуктивних теор1ях.

Об'ектом досл1дження е штущютстська лопка з точки зору подолання наявних парадокав лопчного суидування 1 операцп ¡мплжацп.

Мета та завдання досмдження. 1нтущюшстська лопка е, без сумшву, одтсю з найважлив1ших серед некласичних логак. Однак добре в1домо, що в нш також мають м1сце аналоги парадокав класичного сллдування. А В1дтак, виникае завдання анал1зу В1Дношення оидування штуТцюшстськоТ лопки з метою його „релевантизацп" та усунення вказанних парадокав. 1ншими словами, метою дисертацшно! роботи е розбудова теорп релевантного штущюшстського лопчного сл1дування.

Для реаМзаци ще! мети ставились 1 виршувались наступш завдання: комплексний анал13 загальнолопчних передумов 1 засад штущютстсько! лопки, а також принцишв, на яких будуеться и семантика;

- розробка ново! семантично! конструкци для шту'щюшстсько! лопки, яка спираеться на таи лопко-методолопчш принципи, що допускають подальшу релевантизащю в1дношення оидування;

- виявлення причин нев1АПов1днооп ¡нтущютстського сл^дування тому в1дношенню оидування, яке реально використовуеться в практищ наукового тзнання;

розробка загальнометодолопчних змютовних 1 формальних принципов усунення зазначено! парадоксальности

- розбудова щлосно'1 семантично'1 1 синтаксично! теорп релевантного оидування першого ступеня для формул штущюшстсько! лопки висловлювань;

- застосування методологи релевантного семантичного анал1зу для розробки синтетично! концепцп операци заперечення штущюшстського

типу, яка е адекватною зипстовним уявленням про властивосп конструктивного заперечення;

- розробка вичерпно! семантично! 1 синтаксично! теорп релевантного ¡нтущюшстського сл1дування б1льш високого, ашж перший, ступеня; и всеб^чне обгрунтування.

Методолопчна основа досл1дження. Загальну методолопчну основу досл!дження складають логжо-методолопчш принципи анализу наукового знания, ям розробленно на сучасному етаги розвитку фъчософи науки. Досл^дження опираеться на аналп-ичну традицпо в лопщ, методологи 1 фЫэсофп науки. Застосовуються методи релевантного ана/изу лопчних систем, яю розроблено в працях А. Андерсона, Н. Белнапа, е. Войшвшю, М. Данна, Р. Мейера, Р. Роупи та шших. В зм1стовному плат суттевим чином зад1яш ¡де! конструктивного (в широкому смислл) шдходу до наукового знания, яга представлен!, зокрема, ¿менами Л. Брауера, А. Гейтинга, А. Маркова, А. Драгалша та шших. При розбудов! семантик лопчних систем застосовано теоретико-модельний метод, розробленний 1 модифжований в працях С. Кршке, К. Сегерберга, А. Гржегорчика, М. Фггтшга, та шших.

Наукова новизна дооидження та тези, що виносяться на захист. В работ1 здшснено всебхчний анал1з в1дношення оидування штущюшстсько! лопки, досллджено причини його парадоксальность Обгрунтована необх1дшсть подолання цих парадокав за допомогою введения в штущюшстську лопку непарадоксального (редевантного) вЦношення лопчного смдування, яке адекватно репродукуе те в1дношення, що реально використовуеться в практищ наукового шзнання. Побудовано теор1ю релевантного штущюшстського смдування як першого, так 1 вишого за перший, ступешв. Визначено загальний напрям релевантизаци дов1льно1' лопки, в1дношення сидування у я гай е парадоксальним. В дисертацп висуну-п 1 аргументоваш наступи! основш положения:

1. 1нтущюшстська ¡мшакащя за своТми властивостями е р!зновидом парадоксально! ¡мплжацп, для яко! мають м1сце принципи „хибне висловлювання ¡мплжуе дов1льне висловлювання", та .дстинне висловлювання 1мшикуеться довмьним висловлюванням".

2. 1з семантично! точки зору причиною парадоксальности штущюшстського в1дношення лопчного сл1дування е неправом1рна екстраполящя (при розбудов! семантики) класичних принцишв про

повноту 1 несуперечлив1сть „можливих сатв" (точок ствв^дношення) на ¡нтущюнистську семантичну модель.

3. В результат! в1дмовн В1д зазначенних передумов 1 включения в сферу розгляду неповних 1 суперечливих теоретнчних конструкцш отримуемо змютовно обгрунтоване семантнчне визначення непарадоксального в1дношення шту'щюшстського лопчного сллдування, яке е основою загально! теорп релевантного сл1дування для штущюшстсько! лопки.

4. Розбудова семантики, яка приймае до уваги 1 дозволяс оперувати з суперечливими теоретичними конструкщями, в1дображас на р1вш точних семантичних визначень суттев1 зм1стовш передумови, що детермшують природу операци заперечення шту'щюшстського типу (конструктивного заперечення).

5. Виходячи ¡з проведеного анал1зу в дисертаци сформульовано нову науково-доаидницьку програму, в1дпов1дно до яко! релевантна лопка е ушверсальним апаратом впровадження непарадоксального лопчного стадування в довш^ну лопчну теорпо. Результати здшснено! в дисертацп релевантизаци штущюшстсько! лопки обгрунтовують можливють релевантизаци (як ушверсального методу) лопки взагал!

Дисертантом отримаш також наступи! результати:

1. На основ! критичного анализу метода опиав сташв Р. Карнапа показана необхЦшсть використання при розбудов1 опиав сташв спещального метазаперечення замють заперечення об'ектно! мови.

2. Введено поняття шту'щюшстського опису стану, яке спираеться на зазначену р!зиицю м1ж запреченням об'ектно! мови 1 метазапереченням.

3. Розроблено новий метод семактичного аналазу штущюшстсько! лопки, на П1дстав! якого розбудовано семантику штущюшстсько! лопки висловлювань в термшах шту'щюшстських опиав сташв.

4. Запропонована конструктивютська ¡нтерпретац!я тверджень, з яких складаються ¡нтущюшстсьга описи сташв, що в!дкривае можливють подальшо! релевантизаци шту'щюшстського в1дношення лопчного сллдупання.

5. В результат! узагальнення принцип!в, що лежать в основ1 шту'щюшстських опиав сташв, сформульовано поняття релевантного лопчного смдування для формул штущюшстсько! лопки висловлювань.

6. Побудована лопчна система, яка аксюматизуе сформульоване поняття релевантного штущюшстського оидування; доведена повнота 1 несуперечлмв1сть ще! системи в1дносно наявно! семантики.

7. Доведена властивють збереження „не-хибност1" як у релевантного класичного оидування, так 1 у релевантного штущюшстського оидування.

8. Сформульована модиф1кована семантика в стам Гжегорчика для релевантного штущюшстського оидування; при цьому ¡нту'щюшстська лопка пооидовно ¡нтерпретуеться як лопка наукового дооидження.

9. Обгрунтована можлишсть застосування методолопчних принципш релевантного анал1зу при досл1джешп семантичних властивостей операцп заперечення штущюшстського типу.

10. Запропоновано новий метод розбудови семантики в стши Кршке для сукупносп систем конструктивних заперечень. Запропоноваш нов1 семантики для систем мпнмально!, штущюшстсько! 1 деяких пром1жних лопк, аж до класичного числення висловлювань, як! дозволяють виявити точний смисл змштовних передумов, що визначають суттсв! особливоеп заперечення штущюшстського типу. Доведена повнота 1 несуперечливють зазначених систем в1дносно сформульовано! семантики.

И. Розроблена загальна стратепя релевантизацп штущюшстсько! лопки шляхом розбудови релевантних шту'щюшстських ситем.

12. Сформульована низка систем релевантного оидування для штуицюшстсько! лопки; проанал1зоваш суттев! властивосп цих систем, що прояснюють важлив1 передумови ф1лософського характеру (зокрема, прийняття в цих системах строгого тлумачення операцп заперечення тощо), на ям вони опираються.

13. Побудоваш семантики для релевантних шту'щюшстських систем, що засноваш на проведеному в дисертаци анал1з1 конструктивних заперечень, в результат чого умови ¡стинносп для сполучника заперечення цих систем задаються за допомогою штупгивно обгрунтованих визначень, яга не використовують операщю типу „з1рка", що е характерним для семантик РоутлЬМейера; доведена повнота I несуперечливють цих семантик в1дносно запропонованих систем.

14. Показана можливють використання релевантно! лопки для анализу деяких важливих проблем методологи 1 ф1л.ософи науки, зокрема

проблеми теоретично!' експлщацп поняття закону науки, проблеми контрфактичних умовних висловлювань тощо.

Теоретична та практична варисть дослцження. Отримаш результати можуть бути використаш для подальшого ана/изу Б1дношення лопчного оидування р1зних напрямт сучасно! некласично! лопки. Розроблений лопчний апарат може знайти застосування в досл1дженш реального процесу наукового тзнання, а також при розбудов1 наукових теорш, як1 були б одночасно як конструктивними, так 1 релевантними. Матер1али дисертацп можуть бути використаш в практищ викладання вищо! школи для розробки курав з некласично'! лопки, лопчно! семантики, методологи ! ф1лософп науки.

Апробащя роботи. Головш положения 1 результати дисертацшного достидження допов1дались на наукових конгресах ! конференщях: на IX М1жнародному конгреа з лопки, методолоп! ! фь\ософи науки (Уппсала, Швещя, серпень 1991); на конференцп „бвропейський л1тшй симпозиум Асощац» символично! лопки" (Веспрем, Угорщина, серпень 1992); на €вропейськш дооидницькш конференцн „Лопка, мова 1 ¡нформащя" (Отранс, Франщя, грудень 1992); на м1жнароднш конференцп „Анал1з ! ексгоикащя каузальних предикапв" (Поель, Шмеччина, травень 1993); на досл1дницькому семшар1 1нституту фшзсофп Берлшського ушверситету ¡м. Гумбольдта (травень 1993); на м1жнароднш конференцп „Онтолопка" (Грааль-Мюрщ, Шмеччина, травень 1994); на м1жнароднш конференцп „Лопка, ф1лософ1я 1 ф1зика часу" (Поель, Шмеччина, травень 1995); на X М1жнародному конгреа з лопки, методологи 1 фиюсофи науки (Флоренщя, 1тал1Я, серпень 1995); на досидницькому семшар1 „Лопка, !! обгрунтування ! застосування" при ушверсите-п ¡м. Нжолая Коперника (Торунь, Полыца, листопад 1995); на м1жнароднш конференцп „Комплексна лопка II (Берлш, ЬИмеччина, вересень 1996); на першому М1жнародному конгреа з паранесуперечливосп (Гент, Бельпя, серпень 1997); на третьому М1жнародному конгреа товариства з аналдтично! фь\ософи „ Ращональюсть, Реализм, Рев1з1я" (Мюнхен, №меччина, вересень 1997). Значну ильгасть результа-пв дисертацп було отримано та обговорено з пров1дними европейсими фах!вцями з лопки та фмософп науки протягом здшснення досидницьюх програм при 1нститут1 фиюсофп ушверсггета ¡м. Гумбольдта (Берлш, Ммеччина, 1996-1997) 1 1нституп фьнософй Уппсальского ушверситету (Уппсала, Швещя, 1997).

Структура дисертацп. Робота складаеться 31 вступу, п'яти роздЫв, висновюв 1 списку мтератури. Перший розд!д мктить ам параграф!в, друтий розд1\ - С1М параграф!в, третей - дев'ять параграф1в, четвертий -п'ять параграф1в 1 п'ятий • чотири параграфи. Порядок викладу матер1алу визначаеться посадовшстю еташв вир1шення головно! проблеми дисертацп.

У Встуш обгрунтовуеться необх1дшсть розробки теори релевантного шту!щошстського сллдування. Ставляться мета 1 завдання досл1дження, визначаються методи 1х вир1шення. Перший розди мютить виклад головних ¡дей ¡нтущюшзму як конструктивного шдходу до анал!'зу паукового знания. На шдстат критичного анал1зу методу опиов сташв пропонуеться нова семантика в термшах опиав сташв для штущюшстсько! логжи. В другому роздш розробляеться теория релевантного штущюшстського сллдувашш першого ступеня. Формулюеться шту!'тивне поняття такого сл1дування, та пропонуеться його формальне визначення як на п1дстав! семантики узагальнених штущюшстських описш сташв, так 1 модифжовано! семантики Гжегорчика. Будуеться лопчна система, що аксиоматизуе це поняття. Третщ розддл е анализом операцп заперечення штущюшстського типу, що необх^дно для впровадження досшдження релевантного штущюшстського оидування б1льш високих ступешв. Будуеться нова семантика для родини лопчних систем, яю репрезентують р1зщ поняття конструктивного заперечення. На П1дстав1 цього анализу в четвертому роздш пропонуеться посл!довна теория релевантного штущюшстського смдування без обмеження ступеня. Формулються мМмальна система релевантного сл1дування, та штущюшстсьска система релевантного с/идування, будуються семантики для цих систем. П'ятий роздм. м] стать досл!дження можливостей застосування релевантно! лопки до анализу деяких важливих питань лопки 1 методологи науки. Зокрема аналазуються проблема експлжацп поняття закону науки, проблема диспозицшних предикапв 1 проблема контрфактичних умовних висловлювань. В Висновках шдводяться пщсумки та обговорюються перспективи досмдження. ГОдкреслюеться р1зниця м1ж подходом, який розвиваеться в дисертацп, 1 шдходами шших автор1в.

ЗАГЛЛЫ 1ИЙ зм1ст ДИСПРТДЦИ

У Вступг обгрунтовуеться актуальшсть проблем», що досиджуеться, визначаються мета роботи та головш завдання дооидження. Вказаш наукова новизна дисертаци, тези, що захищаються, практична та теоретична варт1сть результапв 1 висновшв, обгрунтовано метод досл1дження, описано структуру 1 обсяг роботи.

В першому роздш „1нтущ1он1стська лоНка. Головш ¡де1, синтаксис 1 семантика" даеться загальна характеристика ппущюшстсько! лопки та розробляеться новий спос1б семантичного анализу штущюшстсського числення висловлювань в термшах штущюшстських опиав сташв.

В першому параграф! „1нтущюшзм: конструктивний шдх1д до побудови наукового знания" анал1зуеться суть конструктивносп як загальнонаукового поняття. Зокрема досллджуються поняття конструктивного об'екта, конструктивного доведения 1 конструктивного твердження. Конструктивний об'ект характеризуеться як такий об'ект, що або вже с побудованним, або в1дносно якого ¡снуе ефективна процедура, що дозволяе його побудувати за кшцеву к1\ьюсть крогав. Поняття конструктивного доведения у вузькому розумшш безпосередньо взноситься до екзистенщальних тверджень: доведения висловлювання ЗхР(х) е конструктивним, якщо воно дозволяе отримати споаб побудови конкретного конструктивного об'екта, що мае властив1сть И (або просто вказуе цей об'ект). Конструктивне твердження - це твердження, що е конструктивно доведеним.

1нту1цюшзм опираеться також на деяга важлив1 загальнотеоретичш 1Деал1заци. Так, приймасться принцип збереження, суть якого полягае в тому, що якщо ¡стиншсть деякого висловлювання встановлена (висловлювання е конструктивно доведеним), то воно залишаеться ¡стинним 1 в майбутньому. Використовуеться також абстракщя потенщйно! здшснюваносп (потенцшно! нескшченносп), яка полягае в тому, що ми не приймаемо до уваги (абстрагуемось вад) обмеженосп наших ресурав у простор! ! чась

Другий параграф „Зм1стовний смисл лопчних констант в штущюшзмГ' мктить обговорення неформального розумшня лопчних зв'язок 1 квантор1Б в штущюшстськш лопщ. Головна особлив1сть ¡нтущюшстсько! штерпретацп суджень полягае в тому, що з ¡нтущюшстсько! точки зору кожне твердження А повинно тлумачитись

як твердження „А е (конструктивно) доведении" („Маемо конструктивне доведения, того що А"). Таким чином, в штущюшзг-п приймаеться бьльш жорсткий, ашж в класищ, критер1Й ¡стинносп суджень, i якщо ми на засадах штущюшстсько! лопки будуемо наукову теорию (наприклад, математичну), то ми можемо включити твердження до Ц1С1 теори т1льки тод1, коли маемо його конструктивне доведения.

Складш речення мають в штущюшзм! такий смисл:

(а) Кон'юнктивне твердження А & В е доведеним, якщо е доведеними як А, так i В.

(б) Диз'юнктивне твердження А v В е доведеним, якщо е доведеними або твердження А, або твердження В, причому точно в1домо, який саме член диз'юнкцй е доведеним.

(в) 1мплжативне твердження Ad В е доведеним, якщо маемо cnociö перетворення валякого доведения твердження А в доведения твердження В.

(г) Твердження виду ~А е доведеним, якщо А е спростованим. В1дпов1дно, спростувати А означае показати, що припущення, що А с ¡стинним, призводить до суперечность

(д) Твердження виду Зх F(x) е доведеним, якщо ми можемо вказати конкретний об'ект а, для якого доведено F(a).

(е) Твердження виду Vx F(x) е доведеним, якщо маемо загальний cnociö, який дозволяе переконатися, що для кожного об'екта а ¡з обласп штерпретаци доведено F(a).

В третьому параграф! „Формаллзацш штущюшстсько! лопки" репрезентуеться шту'щюшстське числення висловлювань Гейтинга (I). Як вих1дш сполучники приймаються &, v, п. Система I мае наступи! схеми аксюм i правило виводу:

AI. Аэ (В d А); А2. (А гэ В) э ((А d(Bd С)) э (А п С));

A3. А з (В з (А & В)); A4. (А & В) з А; А5. (А & В) гз В; А6. Ad |Av В);

А7. В z> (А v В); А8. (А э С) з ((В dC)d ((А v В) з С));

А9. (А з В) з ((А з ~В) з ~А) А10. ~А з (А з В); МР. А з В, А / В.

В четвертому параграф! „Семантика Кршке для штущюшстсько! лопки" викладаеться в!домий метод побудови семантики для системи I, що запропонований С. Кршке. Головним поняттям ще! семантики (яка в ¡дома також гад назвою „семантика можливих свтв") с поняття

„модельно! структури". 1нтущюшстська модсльна структура (1. м. с) - це пара < Ш, Я >, де Ш е непустою миожиною „можлнвих свтв", Я -рефлексивне 1 транзитивне в1дношення на (в1дношення досяжносп).

Нехай ТА/а означае „А е ¡стинним в свт а", а РА/а означае „А с хибнним в свт а". Тод1 ¡стиншсть 1 хибшсть пропозицшних змшних повинш визначатись з дотриманням настутших умов (для кожних а, Ь б Ш 1 для кожной змшной р,): Монотонтсть: Тр,/а та ИаЬ => Тр/Ь; Повнота: Тр/а або Рр,/а; Несуперечлив1сть: Нев1рно, що (Тр,/а та Яр/а).

Маемо наступш визначення ¡стинносп 1 хибносп для складних формул:

Визначення 1.4.1.

ТА & В/а о ТА/а 1 ТВ/а; РА & В/а о РА/а чи РВ/а. Визначення 1.4.2.

ТА V В/а о ТА/а чи ТВ/а; РА V В/а о РА/а 1 РВ/а. Визначення 1.4.3,

Т~А/а о УЬ (ЯаЬ => РА/Ь); Р~А/а о ЭЬ (ЯаЬ 1 ТА/Ь). Визначення 1.4.4,

ТА з В/а о УЬ (ЯаЬ => (РА/Ь чи ТВ/Ь)); РА г> В/а о ЗЬ (ЯаЬ и ТА/Ь 1 РВ/Ь).

Може бути запропоновано цшаве зм1стовне витлумачення ще! семантики. Приймаючи до уваги думку А. Гейтинга, що штущютстська логжа е „лопкою знания" (на В1дмшу в!д класично! лопки, яка е „ЛОПКОЮ буТТЯ"), МОЖНа р03уМ1ТИ СукуПШСТЬ МОЖЛНВИХ СВШВ як сукупшсть теоретичних конструкцш. ТА/а тод! повинно трактуватися, як твердження, що А е доведении в межах теоретично! конструкцн а. В1дношення Я може бути ¡нтерпретовано як (можливе) в1дношення в чаи м1ж теоретичними конструкциями. В щлому штущюшстська модельна структура репрезентуе розвиток теоретичного знания. При цьому приймаеться до уваги не ильки актуальний розвиток теори, але й можлив1 потенщальш шляхи розвитку.

П'ятий параграф присвячено критичному анал1зу методу описш сташв як особливому методу критичного анал1зу. На основ1 детального досл1дження формального апарату, запропонованного Р. Карнапом, зроблено висновок, що в тому внгляд1, як цей метод викладено в книз1 „Значения I нсобх!дшсть" вш мае суттевий недолак, а саме - зм1шання метамови 1 об'ектно! мови. Це знаходить свое воображения у тому, що при побудов1 описав сташв застосовуються сполучники об'ектно! мови -кон'юнкщя 1 заперечення. Таким чином, карнатвсьи описи сташв не е чисто семантичними конструкциями. Наприюнщ параграфа робиться висновок, що для побудови опиав сташв замють об'ектно! кон'юнкцп необх1дно використовувати метамовну кому, а замють об'ектного заперечення дощльно ввести особливе семантичне „метазаперечення".

В шостому параграф! „1нту!цюшстсыи описи сташв" вводиться нове семантичне поняття штущюшстського опису стану, на баз! якого будуеться нова семантика для штущюшстсько! лопки. Використовуючи деяк! неформалы« зауваження А. Гейтинга, в яких вш в1докремлюе штущюшстське заперечення в1д так званного „фактичного заперечення", застосовуеться новий символ „метазаперечення", за допомогою якого 1 вводиться поняття штущюшстського опису стану.

Нехай V"1" е множина вс1х пропозицшних змшних мови {р,. р2..... р„,

...}; нехай V" е множина вах пропозицшних змшних з метазапереченнями {—.р,, —>р2, ... , -.р„, ...}. Тод1 штущюнютським описом стану (¡. о. с) - позначаються малими латерами грецького алфавпу -називаеться валяка п1дмножина множини Д/+ о V, яка тдкоряеться наступним умовам: (для кожного р^ (а) р, £ а чи —.р, е а; (Ъ) р, е а чи ->р, <г а.

Змютовно I. о. с. можуть тлумачитись як частковий (на р1вш атомарних висловлювань) метаопис певно! штущюшстсько! теорп (в деякий момент часу). Тод! р, е а означае, що р, е доведеним в теорп, яка детермшована а; -пр, е а означае, що р, не е доведеним в в1Дпов1днш теори. 1нту!цюшстська модельна структура е парою И>, де № с

множина Ь о. е., а Я е б1нарним в^днощешщм на V*/, яке визначаеться наступним чином: Визначення 1.6.1.

ИаР о а с р' [а* (Р+) це та 1 Т1льки та частка а (Р), яка складаеться ¡з змшних без метазаперечень].

Маемо наступну дому: Лема 1.6.2,

Для кожно'1 i. м. с. < W, R > i для кожних а, ß ¡з W: (1) р, е а i Raß => р, е ß; (2) Raa; (3) Raß i Rßy => Ray.

Приймаемо також визначення icTitiraocTi i хибносп пропозицшних змшних:

Визначення 1.6.3.

Tp,/a о P| б a; Fp/a о —.p, s a.

Важливе значения мае така теорема: Теорема 1.6.4.

Для кожно'1 формули А: TA/a i Raß => TA/ß.

В останньому параграф! nepmo'i глави „Чи можна обмежитись одн1ею 'супермоделлю'?" розглядаються наслхдки спроби сформулювати семантику штущюшстсько! лопки за допомогою одше'! „максимально!" модельно'! структури, яка Mic-гить Bei можлив! описи сташв. Нехай множина Bcix можливих опиав стан!в позначаеться за допомогою W"1" . Тод1 маемо змогу роздивитись i. м. с. < W°°, R >, яку назвемо „суперструктурою". Питания, яке потр1бно вир1шити, формулюеться наступним чином: чи достатньо обмежитись суперструктурою, щоб отримати адекватну семантику штущюшстсько! лопки. Можна довести спещальну лему, яка фактично означав негативну в1дпов!дь на це запитання: Лема 1.7.1.

В суперструктур! < W*"", R > валяке речення виду ~р, (де Pi с якою завгодно пропозицшною зм!нною) е хибним у Bcix i. о. с.

Таким чином, зпдно леми 1.7.1,, в суперструктур! заперечення кожно'! пропозицшно! змшно! мае значения „хибн!сть". Це означае, що якщо ми в семантищ для штущюшстсько! лопки спробуемо обмежитись •пльки „суперструктурою", то отримаемо результат, що кожне висловлювання виду ~Pi е завжди-хибним, а кожне висловлювання виду —р, - завжди-ктинним. А це не в!дпов!дае тому, що ми маемо в штущюшстськШ лопщ. Тобто подобна семантична репрезентация була б неадекватною.

Другий роздал „Релевантне лог!чне сл!дування першого ступени для формул 1нту1ц1он1стського числения висловлювакь" присвячена

розбудов1 Teopii першоступеневого непарадоксального оидування для штущюшстських висловлювань.

В першому параграф! „Омдування першого ступеня" пор1вшоютьси pi3Hi тдходи до анализу парадокав логтчного сл1дування. Перш за все даеться детальна характеристика стратеги семантичного анализу парадокс1в, що в ¿дома тд назвою „Американський план" (Н. Белнап). До семантик „Американського плану" належать „щтуп-ивна" семантика Д. Данна (Dunn, J. М. Intuitive Semantics for First-Degree Entailment and 'Coupled Trees' // Philosophical Studies, 29, 1976, pp. 149-168), TeopiH H. Белнапа про те „як повинен м1ркувати комп'ютер" (Belnap, N. D. Jr. How a computer should think // Ryle, G. (ed.) Contemporary aspects of Philosophy. Stockfield (Oriel Press Ltd.), 1977, pp. 30-55), а також семантика S. Войшвглло, що побудована на тдстав1 узагальнено! Teopii семантично! шформаци Карнапа i Бар-Хьллела (Войшвилло Е. К. Философско - методологические аспекты релевантной логики. Москва: Издательство МГУ, 1988). Системою, яка адекватно аксюматизус поняття сл!дування, що формулюеться в цих семантиках е система Eldc. Найб1лыи важливими моментами семантик, що будуються за „Америанським планом", е наступш. Нехай ми маемо семантичну модель класично! лопки у вигляд1 тршки < W, Т, F >, де W е множиною „можливих свгпв", а Т i F - класичними значениями ,детина" i „хибшеть". Н1якого В1дн0шення „досяжносп" м1ж „евггами" не припускаеться. Натом1сть приймаються наступш умови, яи регулюють взасмов1дносини М1Ж ¡стиншсними значениями: (а)' |р,|* = Т или |р,|* = F; (Ь)' |р,|'*Т или |р,|'* F.

Умови icTHHHocTi i хибносп для лопчних сполучниив визначаються стандартним чином. Для того щоб отримати семантику для E[de, noTpi6Ho вхдмовитись В1Д умов (a)' i (b)' i припустити ¡снування евтв, в яких висловлювання можуть бути одразу 1стииними i хибними, а також i не 1стинними i не хибними. Таю евтг отримали назву „неможливих можливих евптв". В даному пapaгpaфi розглядаеться ф1лософський смисл таких CBiTiB, а також ставлення р1зних автор1в до описаного методу виршення парадокс1в. Анал^зуються точки зору Н. Белнапа, €, Войшвьлло, С. Сидоренка, X. Весселя, Н, Теннанта. Робиться висновок, що система ЕИе i в1дпов!дна семантика займае чьльне М1сце серед лопчних числень сучасно! лопки.

Важливою, однак, е та обставина, що сполучники &, V, яю входять до складу фурмул „нульового ступеня систвми Е(,,„ е класичними сполучниками. Таким чином, якщо ця система дшсно щось формал^зуе, то воно е в1дношенням лопчного сллдування м1ж формулами класично! лопки.

У другому роздЫ проионуеться теор1я першоступеневого релевантного сл1дування для формул ¡нтущюшстсько! лопки. Здшснений анализ може бути охарактеризовано як застосування стратеги „Американского плану" для досл^дження ¡нтущюшстського в1дношення оидування.

В другому параграф! „В1дношення смдування в ¡нтущюшстськш лопщ" розглядаеться проблема визначення в1дношення сллдування в шту'!цютзм1. Традицшно розбудова семантики для ¡нтущюшстсько! лопки завершуеться з визначенням загальнозначимих формул, а в1дношення смдування окремо не визначаеться. При цьому маеться на уваз1, що представником цього в1дношення с ¡нтущюшстська ¡мплжащя. Однак, може бути запропонованим й незалежне семантичне визначення в1дношення лопчного смдування. В цьому параграф! пропонуеться наступив визначення: Визначення 2.2.1.

А [=, В о VW Va е W (ТА/a => ТВ/а).

Той факт, що за допомогою цього визначення д!йсно вводиться в1дношення штущюшстського смдування констатуеться в наступшй TeopeMi: Теорема 2.2.2. А В с ЦАз В

Це в1дношення с, однак, парадоксальним в тому смислл, що для кожно! валидно! формули В i для кожно! формули А маемо: А Ц В i ~В Ц А. Таким чином, в1дношення сллдування, що використовуеться в шту!цюшзм1 е ¡ррелевантним.

TpeTifl параграф „Ще раз про смисл метазаперечення" докладно анал!зус змютовний смисл Гейтингського „фактичного заперечення" i запропонованного в дисертацп семантичного поняття „метазаперечення". Вираз —потр1бно штерпретувати як метамовне твердження „р, не е доведении". Розглядаються два можлив1 вар1анти тлумачення цього метамовного твердження: чисто класичний i б!льш

наближений до конструктивного. Останне тлумачсння мае емнел -„спроба довести р, не вдалася", тобто „ми пробували довести р„ але ця спроба була безуспешною". При такому розумшш мае мюце неявна передумова, що перед тим, як отримати доказ, noTpiÖHo спробувати цей доказ здшенити. Саме таке розумшня приймаеться при анал1з1 в1дношення емдування, який здшсшоеться в другш глав!, бо, як демонструеться в наступних параграфах, це найкраще в1дпов1дае цьлям релевантного анализу штущюшстського елддування. Таке розумшня метазаперечення може бути назване „комп'ютерним", бо воно досить близько наближаеться до використовуваного в лопчному програмуванш поняття „заперечення як нов дач!" (negation as failure). Смисл „заперечення як невдач!" як раз i полягае в тому, що комп'ютер приймае „не А", якщо Bei його спроби визначити, чи мае Miaje А виявились невдалими. Така штерпретащя е дуже корисною, приймаючи до уваги обмеженшеть pecypciB валяко! обчислювально! машини.

В четвертому параграф! „1нту!тивне поняття релевантного сл1дування для штущюнютських формул" демонструеться, як, на засадах конструктивного розумшня операци метезаперечення, може бути сформульоване шту!тивно обгрунтоване поняття релевантного inryinioniCTCbKoro сл!дування. Показано, що передумови (a) i (b), яким повинн! в1дпов1дати i. о. е., не ведображають реально! науково! практики функц!онування наших Teopift. Зрозумию, що якщо iHTyiuioHicTCLKi описи статв тлумачаться саме як теоретичн! конструкцй", то зазначеш передумови, в!дпов1дно до яких кожен i. о. с. повинен бути несуперечливим i повним, е занадто жорсткими. В науковш практиц! далеко не кожне твердження попадае в поле зору доемдника, i наш! Teopil часто е також суперечливими. Таким чином, якщо ми маемо нам1р побудувати семантику, яка дшено в1дп0в1дае науков1й практиц!, ми повинш в!дмовитись В1Д предумов (a) i (b) i дозволити описам CTaHiB бути неповними i суперечливими. TaKi HOBi описи сташв здобувають назву „конструктивних onnciB сташв" (к. о. е.). Конструктивш описи стан1в визначаються як вс1ляк1 шдмножини множини V+ и V.

Тепер iHTyi'4ioHicTCbKa модельна структура е парою < G, R >, де G е множиною к. о. с. Bei paiiime прийнятт визначення формально не зазнають змш. Необх1дно лише прийняти нове визначення загальнозначимих формул. Назвемо к. о. е., яю тдкоряються

передумовам (а) 1 (Ь) ¡деальними к. о. с. Тод1 маемо наступив визначення:

Формула А с загальнозначимою, якщо вона с ¡стинною у волякому ¡деальному к. о. с. всъ\яко'1 ¡. м. с.

Таким чином, в1дмова В1Д передумов (а) 1 (Ь) не мае шяких наоидгав для сукупносп закошв шту'щюшстсько! лопки. Але це дае змогу сформулювати непарадоксальне (релевантне) поняття лопчного сл1дування. Таке поняття ми отримаемо, якщо зам1сть множини ь о. с. будемо розглядати множину к, о. е.: Визначення 2.4.1.

А Ь,ы В о УСУа е С (ТА/а => ТВ/а).

В п'ятому параграф! „Релевантне сидування збершае не-хибшеть" визначаеться дуже важлива властившть сформульованого поняття релевантного ¡нтущюшстського сл1дування. В1домо, що для класичного релевантного сладування властивкть сбережения ¡стинносп ¡мгоикус властив1сть сбережения не-хибност1. Це справедливо також 1 для релевантного ¡нтущюшстського сл!дування введенного за допомогою визначення 2.4.1. Ця властивють може бути доведена, з використанням Т1льки наявних семантичнкх визкачень. Лема 2.5.8.

Розглянемо довь\ьну ¡. м. с. С. Перетворимо кожне а б С в деякий к. о. с. р зпдно з наступними умовами:

(1) р, е а 1 —1р, е а => р, б р 1 -.р, а (3; (2) р, г а 1 е а => р, г (3 1 -.р, е Р; (3) р, е а 1 —.р, б а => р, <2 Р 1 -чр, г Р; (4) р, г а 1 -.р, г а => р, б р 1 -.р, 6 Р.

Тод1 ¡снус ¡. м. с. С така, що Р б С 1 для кожно'1 формули А виконуються наступш умови:

(1)' ТА/а 1 не РА/а => ТА/Р 1 не РА/р; (2)' не ТА/а 1 РА/а => не ТА/р 1 РА/р; (3)' ТА/а 1 РА/а => не ТА/р 1 не РА/Р; (4)' не ТА/а 1 не РА/а => ТА/р 1 РА/р. Лема 2.5.9.

Для кожно'1 1. м. с. в, для кожного а б в, ¡снус ¡. м. с. С, ¡снуе р е С таи, що для валяко! формули А виконуються умови (1)' - (4)' леми 2.5.8. Лема 2.5.10.

ЭС За 6 С (не РА/а 1 РВ/а) о ВС Зр б С (ТА/р 1 не ТВ/Р).

Лема 2.5.11.

Для довьлъних А 1 В,

Ув Уа е в (ТА/а ТВ/а) оУС УаеС (РВ/а => РА/а). Лема 2.5.12.

(1) А Ь,е| ВоУа (РВ/а => РА/а); (2) А ВоУа (не РА/а => не РВ/а).

В шостому параграф! „Аксюматизащя штущютстського релевантного сл1дування першого ступеня" будуеться лопчна система Пльбертовського типу, за допомогою яко! формалхзуеться запропоноване семантичне визначення. Система мае назву Iвс1 и теореми мають форму А -> В, де А 1 В е формулами штущюшстського числення висловлювань, як! побудоваш за допомогою сполучниюв &, V,

тобто не мають входжень ¡мплжацп. а1. А ->• А; а2. А & В -> А; аЗ. А & В -> В; а4. А А V В; а5. В -> А V В аб. А & (В V С) -> (А & В) V (А & С); а7. А —А; г1. А -» В, В -» С / А С г2. А В, А -» С / А В & С; гЗ. А С, В -> С / А V В С; г4. А -> В / ~В -> ~А

В параграф! доводиться несуперечливкть ! повнота запропоновано! системи в1дносно визначення 2.4.1. Теорема 2.6.1.

Якщо А-»Ве теоремою 1ЕИе, то А Ц,е, В.

Щоб отримати доказ повноти, необх1дно прийняти деяю додатков! визначення ! позначення.

За допомогою |- А -> В будемо позначати ту обставину, що формула А -> В е теоремою системи 1ЕИв;

за допомогою х, у, т., ш позначимо довьльш множини формул штущюшстсько! лопки висловлювань (яю мають этльки сполучники &, V,

нехай 1 позначае формулу р1 & ~р|г де р, е деякою пропозицшною змшною;

нехай х—>у е: (1) формула А, & ... & А„ В, V ... V В„ , коли х = {А......

А„ }, ! у = {В,.....В„ }; (2) формула А, & ... & А„ 1, коли х = { А, , ...

, А„ } 1 у пуста; (3) формула В, V ... V В„, коли х пуста ! у = { В, , ... , В„}; (4) формула ±, коли як х так ! у пуст!;

за допомогою пер(х)позначаеться множина вах пропозицшних змшних

¡3 х.

Визначення 2.6.2.

Назвемо пару <х,у> несуперечливою, якщо формула х—>у не е теоремою 1Еи..

Визначення 2.6.3.

Пара <х',у'> е розширенням пари <х,у>, якщо хсх'иус у'. Визначення 2.6.4.

Несуперечлива пара <х,у> е максимальною, якщо для кожно! формули А: (¡) А й х о <х и{А},у}> суперечлива; (И) А е уо <х,у ^ {А}> суп. Визначення 2.6.5.

Назвемо множину максимальних пар X оргашзованою множиною пар, якщо для кожних <х,у> 1 <г,т> ¡з X: (¡) пер(х) с пер(г) => х с г; (и) х с г => (~А б т => ~А б у). Визначення 2.6.6.

Назвемо множину пар П каношчною сукупшстю пар, якщо для кожно! <х,у> е П: (1) А & В е х А е х 1 В е х; (2) А V В е х => А е х чи В б х;

(3) ~А е х о У<г,ш> е П (пер(х) с пер(г) эАе ш);

(4)А&Веу=>АеучиВеу; (5)АУВеу=>Аеу1Веу; (6) ~А е у о 3<г,ш> е П (пер(х) с пер(г) 1 А е г).

Лема 2.6.7.

Для кожно! формули А: якщо <х,у> несуперечлива, то несуперечлива також одна ¿з пар - <х и{А},у> чи <х,у и {А}>. Лема 2.6.8.

Розглянемо довь\ьну максимальну пару <х,у>. Тод1 для кожно! формули А: А £ х о А е у. Лема 2.6.9.

Кожну несуперечливу пару <х,у> можна розширити до деяко! максимально! пари. Лема 2.6.10.

Кожна оргашзована множина М е каношчною сукупшстю. Лема 2.6.11. '

Для кожно! канотчно'! сукутшосп X, 1снуе ь м. с. <С, Я > така, що для кожно! <х,у> б X ¡снуе а е в такий, що (I) А е х о ТА/а; (II) А е у о РА/а.

Теорема 2.6.12.

Якщо А -> В не е теоремою системи IEldo, то iieBipiio, що А|=,,0|В.

Сьомий параграф друто! глави мае назву „Формулювання поняття релевантного лопчного сл1дування на подстав] модифжовано! семантики Гжегорчика". В статп Grzegorczyk, A. A philosophically plausible formal interpretation of intuitionistic Logic. // Indagationes Matimaticae, 26, 1964, pp. 596-601 було запропоновано „ф1лософськи правдопод1бну" семантику, яка тримаеться на розумшш штущюшстсько! лопки як лопки наукового досл1дження, на в ¡дм ¡ну В1д класично'1 лопки, що характеризуеться там як лопка „онтолопчного мислення". 3 точки зору А. Гжегорчика, воляке наукове дооидження може бути формально представлене як тршка R = <JR, oR, PR >, де JR е базисною "¡нформацшною множиною" цього дослхдження, тобто множиною можливих сукупностей експериментальних даних, oR - вих^дна (стартова) шформащя, з яко! розпочинаеться досмдження i PR - функщя можливого продовження ¡нформаци. Тобто, для вс1\якого а е JR, PR(a) с JR. Дал1 визначаеться в^дношення >R м1ж елементами JR (b >R а читаеться як b е розширенням а в дооидженш R): Визначення 2.7.1.

(1) Ь>,'аоЬ = а; (2) b >Rn+l а о Be (с >R" a i b б PR(c)); (3) b >R а о 3n

(b >R" a).

Приймаеться також умова, зпдно з якою валяка шформацш с розширенням стартово! шформацй' oR: Умова 2.7.2. а б JR => a >R oR.

А. Гжегорчик використовуе також поняття „примушення" - ||-в. Вираз „а ||-R А" означав: „1нформащя а в досл1дженш R примушуе нас прийняти формулу А".

Гжегорчик характеризуе элемента i3 JR як експериментальш дан1. BiH також пише: „Елементи множини J е кшцево упорядкованними сукупностями атомарних речень: Р,'(а,), Р,2)^, ак), ... , де Р," е n-MicHHMH предикатами, а а|Г ак ... - ¡менами об'екпв" ([Гжегорчик, 1964], стр. 596). Зазначимо, що Р/^), Р,2(а,, ак), ... тлумачаться Гжегорчиком саме як експериментальш даш, тобто як речення, що отримане в результат експериментального досладження. Це е, по суп, „протоколы« речення" в Ayci „В^еньського гуртка". Ц1 даш можуть бути посл1довно

штерпретоваш як зв1ти про результата експеримешзв. Однак експерименти можуть бути як вдалими, так 1 невдалимн. На шдстав1 такого розумшня в дисертацп пропонуеться нове витлумачення елементсв „шформацшно! множини" Л„ Гжегорчика, при якому невдал1 експерименти також приймалися б до уваги.

Центральним моментом модифжацп е введения (разом з в1дношенням примушення ||- ) нового в1дношення - яке зветься в1дношенням (тимчасового) „в1дхилення". Змютовно вираз „а „-Ц А" мае приблизно наступний смисл: шформащя а (в досмдженш Я) не дае нам достатньо даних, щоб прийняти А (не примушуе нас прийняти А), тому ми на цей момент в1дхиляемо А, хоч 4 не виключаемо, що при появ! (в ход1 подальшого досл1дження) нових даних ми „будемо примутцеш" прийняти А. Нехай +р, позначае вдалий експеримент, а -р, - невдалий. Маемо наступив визначення: Визначення 2.7.3.

а ||-я Р1 +Р, е а; а к-||р, о -р, е а.

Розглянемо наступш умови: (а)" -I-р, б а чи -р, е а; (Ь)" неверно, що ( + р| е а 1 -р, е а).

Ц1 умови не обов'язково повинш виконуватись, бо в реальнш практищ наукового досл^дження часто маемо справу з неповними чи навггь суперечливими експериментальними даними.

Приймаються також наступш визначення вуношень примушення 1 в1дхилення для лопчних сполучниив: Визначення 2.7.4.

а ||-„ А & В о а ||-„ А 1 а ||-„ В; а „-|| А & В о а „-Ц А чи а в| В. Визначення 2.7.5.

а ||ц А V В о а А чи а |„ В; а „| А V В о а „-ЦА 1 а „|В. Визначення 2.7.6.

а ||-„ ~А о УЬ (Ь >„ а => Ь К-ЦА); а „| ~А ЗЬ (Ь >к а 1 Ь §-„ А). Визначення 2.7.7.

а Ц-ц А э В о УЬ (Ь >„ а => (Ь „|А чи Ь Ц-„ В)); а к| А э В о ЗЬ (Ь >я а 1 Ь ь А 1 Ь К|В).

В1ДИ0шення релевантного лопчного оидування на шдставг модифжовано\ семантики Гжегорчика визначаеться наступним чином:

Визначення 2.7.8.

А |= В «. VR Va б JK (а ||-R А а fl-R В).

JR повинно М1стити данш про Bei реально виконаш експерименти. Це в1ДИОшення аксиоматизуеться за допомогою системи IEcld.

В третьему роздш „Заперечення 1нтущ1он1стського типу. Релевантн1сть поняття суперечност1" дооиджуються можливосп застосування розроблених в попереднш глав1 метод!в релевантного семантичного анализу до анализу конструктивних заперечень.

В першому параграф! „Попередш зауваження. Позитивна лопка. Iepapxin конструктивних заперечень" вводиться основш поняття i викладаються ociioßiii системи, ям с гпдпрашшм пунктом подальшого анал1зу. Перш за все вводиться позитивна лопка Р, яка задаеться aKciомами AI - А8 i правилом виводу МР (§3, глава I). KpiM того розглядаються наступш додатков! схеми:

PL. ((А эВ)эА]зА; RAA. (А з В) з ((А з -В) з ~А); EFO. ~А з (А з В); TND. А v ~А; DNE. —А з А.

X. Käppi в „Карри X. Основания математической логики. Москва: Мир, 1969" розглянув п'ять систем конструктивного заперечення. Операщю заперечення кожно! ¡з цих систем BiH характеризуе за допомогою термхшв „cnpocTOBaHic-гь" i „абсурдн1сть": Система М = Р + RAA: м!н1мальне заперечення, чи проста спростовашсть; Система I = М + EFQ: iHTyii;ioHicTCbKe заперечення, чи проста абсурдшсть; Система D = М + TND: строге заперечення, чи повна спростовашсть; Система Е = М + PL: класична спростовашсть; Система К = М + DNE: класичне заперечення, чи повна абсурдшсть.

Таким чином, якщо розглядати класичне заперечення як „крайнш" випадок конструктивного заперечення (як це робить Käppi), системи М - К утворюють родину систем для pi3irnx вид!в конструктивних заперечень. В1дношення М1Ж цими системами можуть бути описаш наступним чином: М с I, I с К, М с D, D с Е, Е с К, D n I, Е n I,

Другий параграф „Семантичний анализ в стал! KpinKe" присвячено висв1тленшо головних характерних рис побудови так званно! „семантики можливих CBiTiB". Одна з головних властивостей семантики KpinKe для модально!' лопки полягае в тому, що базисна (нормальна) модальна система Т мае найб!льш загальну модельну структуру, а семантики для ¡нших модальних ситем утворюються при прийнято

дэдаткових умов для В1дношення досяжность Це надае можлив1сть висвнлити важлив1 ф1лософсью аспектм цнх систем. ЕНдома семантика Роутл^-Мейера для релевантно! лопки мае ту ж саму властивкть. Завдання третьо! глави полягае в тому, щоб поширитн цей „кршкевський стиль" семантичного анал!зу на родину систем конструктивних заперечень.

В третьому параграф! „Формальш визначення конструктивного заперечення 1 змктовне тлумачення заперечення в штущюшзм1" пор1внюються формальний 1 неформальний р!вш розумшня заперечення штущюшстського типу. 3 щею метою семантика Крупке для штущюшстсько! лопки переформул!,овусться з ппкорпстаииям в!дношення примушення. Моделлю Кртке для штущюшстсько! лопки е тршка < Я, ||- >, де е непуста множина „можливих евтв", Я -рефлексивне 1 транзитивне в1дношення на Ш, а ||- е в1дношенням примушення, для якого виконуеться наступна умоват Монотоншсть: а р, 1 ЯаЬ => Ь Ц- р, .

Особливий штерес викликас визначення вщношення примушення для операци заперечення. В стандартшй модел! Кршке це шдношення визначаеться наступним чином: Визначення 3.3.1. а |(- ~А о УЬ (ЯаЬ => Ь ||- + А).

Змштовно вираз а |(- А повинен тлумачитись як твердження, що А с конструктивно доведеним в межах теоретично! конструкцп а. Тод1 визначення 3.3.1 мае наступний смисл: -А е доведеним в ■ межах теоретично! конструкцп а, тод1 ! т!льки тод1, коли А не е доведеним в межах валяко! досяжно! конструкцп Ь, тобто А нжоли не буде доведеним. Це тлумачення, однак, зовам не ствпадае з традицшним неформальним розумшням операци заперечення в шту!цюшзм1 (див. §2 першо! глави). Добре в1домо, що з штущюшстсько! точки зору висловлювання ~А змютовно тлумачиться наступним чином: припущення А веде до суперечносп.

Таким чином, можемо зробити висновок, що кршкевське формальне визначення в1дношення примушення для заперечення не репродукуе те змютовне розумшня, яке прийняте в штущюшзм!.

Вельдман (Veldman, W. An Intuitionistic Completeness Theorem for Intuitionistic Predicate Logic // Journal of Symbolic Logic, 41, 1976, pp. 159166) запропонував щкаву модифжацпо визначення в^дношення примушення для штущюшстського заперечення. Головна особливкть його модифжацн полягае у введенш поняття „вибухаючого cBiTy": а е вибухаючим св1том, якщо а ||- 1 (1 шдкоряеться умов11э А для виляко! формули А). В межах семантичного шдходу Вельдмана заперечення може бути визначене наступним чином: Визначення 3.3.2.

а К- ~А о Vb (Rab => (b ||- А => b ||-1)).

В дисертацп пропонуеться ¡нтерпретувати вибухагс™ св1ти як суперечлив1 теоретичш конструкци. В цьому pa3i модифжащя Вельдмана постае не просто „чисто техшчним винаходом" (як вважав BiH сам), але як адекватне воображения штущюшстського 3Mi стовного розумшня заперечення. БЬ\ьш того, в дисертацп демонструеться, яким чином, виходячи i3 запропоновано! Вельдманом схеми визначення заперечення, використовуючи побудову семантики в термшах опиав стан1в, можна сформулювати загальну семантичну конструкц1ю для Bcie'i родини систем конструктивних заперечень.

В четвертому параграф! „Чисто класичне витлумачення ¡нту1'щошстсыах опиав сташв. Позитивна моделъна структура" розглядаеться нова ¡нтерпретац1я метамовного твердження —>Pj е а. На В1ДМ1ну BiA анал!зу попередньо! глави цей вираз (як i твердження р, е а) отримуе тут чисто класичну експл1кащю. В результат! такого тлумачення, ми отримуемо класичн1 описи сташв деяко! iHTyiiiioHicTCbKo'i Teopi'i. Повертаючись до стилю анал1зу першо! глави, таю описи стан1в знову отримують назву штущюшстсьмх опис1в стан1в. В результат додаткового розгляду передумов (a) i (b) §6 гл. I, робиться висновок, що при новому витлумаченщ i. о. с. лише умова (а) повинна залишитись як така, котрш обов'язково п!дкоряються Bci i. о. с. ripaBOMipnicTb же умови (b) е проблематичною нав1ть при чисто класичному витлумачен!п i. о. с. Детальний анал1з призводить до висновку, що таш i. о. с. зовам не обов'язково повинш гпдкорятись цш

yMOBi.

Таким чином, пор1вняно ¡з §6 першо! глави поняття ¡нту'щюшстського огшсу стану мае сутгеву В1дмшшсть: зараз це с нс!ляка шдмиожпиа множини V+ и V', яка шдкоряеться TiAbKi умов1 (а) р, е а чи s а.

Модель для позитивно! лопки Р (Р-модель) е тршка < W, R, |(- >, де W е непуста множина i. о. е., а R е бинарне ведношення на W, що визначаеться як i рашше: Визначення 3.4Л.

Rab о а+ с b+ [а+ (b+ ) е та i тшжи та частка а (Ь), яка складаеться 13 змшних без метазаперечень]. Лема 3.4.2.

Для кожно! Р-модел1 < W, R, Ц- > i для кожних а i b ¡з W: (1) pi е а i Rab => pi s b; (2) Raa; (3) Rab i Rbc => Rae.

Визначення в1дношення примушення: Визначення 3.4.3.

а IF Р, <=> Р, б а; Визначення 3.4.4. а ||- А & В <=> а [)■ А i а J- В; Визначення 3.4.5. а ||- А V В о а |f- А чи а | В; Визначення 3.4.6.

а И- А Г) В о Vb (Rab => (b Ц- А => b ||- В)). Теорема 3.4.7.

Для вс1ляко! формули А: а А i Rab => b ||- А.

Ключовим параграфом даного розд^лу е п'ятий параграф „Семантичш модел! для систем конструктивних заперечень". Показано, що централъну роль у визначент заперечення штущютстського типу Bwrpae поняття суперечносп. Таким чином, якщо ми хочемо, щоб в семантищ знайшло свое воображения зм1Стовне витлумачення ¡нту'щюшстського заперечення, ми повинш припустити ¡снування таких „евтв", в яких суперечносп мають мюце. Назвемо i. о. с. а суперечливим (будемо писати пр(а)), якщо е така пропозищина змшна, що вона сама i '!! метазаперечення належать цьому i. о. с. а.

3.5.1. Система М. Визначення 3.5.1. пр(а) о Зр, (р, е а I —.р; е а).

Тод! отримаемо М-модель якщо додамо до Р-моделл визначення для заперечення: Визначення 3.5.2.

а [■ ~А о \7Ъ (ЯаЬ => (Ь Ц- А => пр(Ь))).

В параграф! розглядаеться ф1лософське значения мппмально! лопки. Система М не е „нашврелевантною" логжою. Хоча багато парадоксальних формул не е теоремами ще! системи, серед них (1) ~Аэ|Аэ В); (2) (А & ~А) з В; (3) ((А & ~А) V В) з В; (4) ((А V В) & ~А) з В; (5) (В V ~В) з (~~В зВ); (6) (~А V В) з (А з В); (7) (А V В) з (~А з В), але в систем! М можно довести, наприклад, наступи! формули: (1)' ~А з (А з -В); (2)' (А & ~А) з ~В; (3)' ((А & ~А) V -В) з ~В; (4)' ((А & ~А) V В) з —В; (5)' ((А V В) & ~А) з —В; (6)' ((А V ~В) & ~А) з ~В; (7)' (~А V В) з (А з ~~В); (8)' (~А V ~В) з (А з ~В); (9)' (А V В) з |~А з —В); (10)' (А V ~В) з (~А з ~В).

Однак, з точки зору релевантно! лопки, формула (~А & А) з ~В е не менш парадоксальною, ашж (~А & А ) з В! Суть мипмально! лопки полягае в тому, що в нш даеться б!льш точне тлумачення операци заперечення. Правило „усунення заперечення" тут е неможливим, заперечення може бути лише „введении" в дискурс. 5.2. Система I.

Щоб отримати семантику для системи I, необх1дно ввести поняття абсолютно суперечливого 1. о. с. а (апр(а)): Визначення 3.5.3. апр(а) о Ур! (р, е а 1 -.р, е а).

1-модель отримуемо ¡з М-модели, прийнявши наступну додаткову умову: Умова 3.5.4.

Уа б V/ (пр(а) => апр(а)).

В!дпов!дно, визначення 3.5.2 перетворюеться в Визначення 3.5.5.

а !)• ~А о УЬ (ИаЬ => (Ь Ц- А => апр(Ь))).

Лема 3.5.6.

Для кожно! 1-модели:

\/а е Ш (не пр(а) о не апр(а)).

Теорема 3.5.7.

Для кожно! формулн А:

УШ Уа е XV (апр(а) => (УЬ (ЯаЬ => апр(Ь)) => а |(- А)). 3.5.3 Система О.

Р-модель отримуемо ¡з М-модел1, додавши наступну умову: Умова 3.5.8.

—>Г>1 е а 1 ЯпЬ —1р, с= Ь. Лема 3.5.9. Для вах Э-моделей: ЯаЬ 1 не пр(Ь) => Шза.

Таким чином, в О-моделях в1дношення Я с не ильки рефлексивним 1 транзитивним (як в М- 1 1-моделях (лема 3.4.2)), але також ! симетричним при умов!, що досяжний св1т не е суперечливим. Теорема 3.5.10.

Для вах Э-моделей, для кожно! формули А: а |[-+ А 1 ЯаЬ 1 не пр (Ь) => Ь Ц-+ А. 3.5.4. Система Е.

Е-модель виходить безпосередньо ¡з М-модел1 при доданш наступно! умови: Умова 3.5.11.

ЯаЬ => апр(Ь).

В Е-моделях умова 3.5.4 не приймаеться. Заперечення системи Е задаеться за допомогою визначення 3.5.2. Розглядаеться ф1лософський смисл системи Е 1 робиться висновок, що вона репрезентуе лопку незмшного знания. Лема 3.5.12.

Для кожно! Е-моделт апр(а) 1 ЯаЬ => апр(Ь). Лема 3.5.13.

Для вах Е-моделей: ЯаЬ 1 не апр(Ь) ЯЬа. Теорема 3.5.14.

Для вах Е-моделей, для валяко! формули А: апр(а) => а |(- А.

3.5.5. Система К. К-модель = 1-модель + умова 3.5.8.

В шостому параграф! доводиться несуперечлив1сть bcîx систем конструктивних заперечень в1дносно запропонованих моделей.

В сьомому параграф! розглядаеться проблема повноти систем конструктивних заперечень в1дносно запропонованих моделей. Це може бути доведено наступним чином. Нехай за допомогою S позначаеться одна i3 систем: M, I, D, Е чи К. Визначення 3.7.1.

Непуста множина формул х е S-Teopifl, тод1 i пльки тод1 коли для всмяких формул A i В: А е х i f-s А э В => В е х, Визначення 3.7.2.

S-Teopin х е простою, якщо АУВех=^АехчиВех. Визначення 3.7.3.

S-TeopÎH х е суперечливою, якщо е формула А така, що А е х i ~А е х. Визначення 3.7.4.

S-Teopin х е абсолютно суперечливою, якщо х = F(S) (де F(S) е множиною bcîx формул мови системи S). Визначення 3.7.5.

S-каношчна родина множин формул (S-кан) е наибь\ъшою множиною формул яка п1дкорясться наступним умовам:

(i) Vx е S-кан х е проста S-Teopifl; (ii) Vx е S-кан Vy е S-кан (пер(х) с пер (у) => х с у), (пер(х) е множиною bcîx пропозицшних змшних i3 х). Лема 3.7.6.

Для валяко'1 S-теорй' х:

(1) множина S-теорем належить х; (2) А е х i В е х :=> А & В е х;

(3)AexiAr)Bex=>Bex.

Лема 3.7.7,

Позначимо за допомогою M, i I, множини М-теорем i 1-теорем в1дпов1дно. Тод1 M, s М-кан i I, е. 1-кан. Лема 3.7.8.

Для кожно! просто! I-Teopiï (i K-Teopiï) х е суперечливою, якщо х е абсолютно суперечливою. Визначення 3.7.9.

М-структурована родина множин (М-с.с.м) х е родина множин формул, де для кожно'1 х s X викорнуються наступи умови:

(1) Л & I? с х о Л i х i В ( х; (2) Л V В < х < > Л > х чп Н i х;

(3) А з В е х о Vy е X (пер(х) с пер(у) => (А е у => В е у));

(4) ~А е х о Vy е X (пер(х) с пер(у) => (А е у => у суперечлива)). Визначення 3.7.10.

I-структуровану родину множин (1-с.с.м) отримуемо ¡з М-с.с.м. додаючи наступну умову: (5) якщо х е суперечливою, то х е абсолютно суперечливою. Визначення 3.7.11.

D-структуровану родину множин(О-с.с.м) отримуемо ¡з М-с.с.м. додаючи наступну умову: (6) пер(х) с пер(у) i у суперечлива => пер(у) с пер(х). Визначення 3.7.12.

Е-структуровану родину множин(Е-с.с.м) отримуемо ¿з М-с.с.м. додаючи наступну умову: (7) пер(х) с пер (у) i у не е абсолютно суперечливою => пер (у) с пер(х). Визначення 3.7.13.

К-структуровану родину множин(К-с.с.м) отримуемо ¡з I-с.с.м. додаючи наступну умову: (8) пер(х) с пер(у) i у несуперечлива => пер(у) с пер(х). Лема 3.7.14. S-кан е S-c.c.m. Лема 3.7.15.

Для кожно'1 S-с.с.м. X юнуе S-модель <W,R>, така, що Vx е X За е W (А е х о а |(- А). Лема 3.7.16

Якщо А не е S-теоремою, то Зх е S-кан така, що А г х. Теорема 3.7.17. Якщо |- + s А, to^sA.

У восьмому параграф! „Узагальнення семантичних моделей для систем конструктив них заперечень" формулюються 61льш загальт семантики для систем, що розглядаються в тре-пй глав!. При цьому не використовуються терм1нолопя onnciB сташв, а будуеться абстрактна семантика можливих свЫв.

Позитивна модель е тршка < W, R, |(- >, де W - непуста множина, R -бшарне В1Дношення на W, що шдкоряеться наступним умовам: Умова 3.8.1. Raa;

Умова 3.8.2.

ЯаЬ 1 ЯЬс Яас;

1 для ||- приймаеться умова:

Умова 3.8.3.

а Ц- р, 1 ЯаЬ => Ь !(■ р, .

Тод1 М-модель е четв1рка < \Л/, И, N. ||- >, де Я, ||- визначеш як више, Ч N с УУ (Ы можливо пусто). ЕИдношення примушення для М-заперечення визначаеться наступним чином: Визначення 3.8.4,

а|~Ао УЬ (ЯаЬ => (Ь Ц- А => Ь е Ы)).

1-модель е четв1рка < Я, п, ||- >, де Ш, И - Т1 сам1, що 1 в М-модел! а п б Ш 1 приймаеться наступна умова: Умова 3.8.5.

(1) (Ь II- р, ) => Ь = п; (2) Ъ = п => Ур, (Н Р, )•

Визначення для заперечення в ситем1 I: Визначення 3.8.6.

а Ц- ~А о УЬ (ЯаЬ => (Ь Ц- А =э Ь = п)). Лема 3.8.7.

Для валякого Ь: КпЬ => Ь = п. Теорема 3.8.8.

Для вс1ляко! 1-модели, для воляко! формули А: п||- А.

О-модель отримуемо 13 М-модеМ прийнявши умову: Умова 3.8.9. ИаЪ 1 Ь г N => Шэа.

Е-модель е п'яттрка < W1 Я, N. п, |{- >, де V/, К, N як 1 в М-модел1, п е N 1 приймаеться умова: Умова 3.8.10. а * Ь ! ИаЬ Ь = п.

Визначення умов ¡стинносп для Е-заперечення е таким же, як 1 в М-моделП

К-модель е 1-модель плюс умова 3.8.10.

В дев'ятому параграф! „Пропозицшш константи „хибшсть" 1 „абсурд" анал1зуеться широко поширений метод розбудови лопчних ситем з використанням пропозицшних констант. Зазаначаеться, що розроблений в дисертаци метод штущюшстських опиав сташв дозволяе

дати семантичне 1 фмософське обгрунтування цнм константам. В1домо, що якщо додати константу просто! хнбност1 - Г до алфашту мовп позитивно! лопки, то безпосередньо отрпмасмо мппмальпу лог1ку, прийнявши наступив визначення для заперечення: Визначення 3.9.1. -АоАзГ,

Позначимо ситему, побудовану таким чином, як Мг. Тобто, маемо: М, = Р + Г. Розглянемо ще раз визначення 3.5.1 (суперечливого 1. о. е.). В дисертацп пропонусться тлумачити константу ( як таку, що репрезентуе таю суперечлив1 ¡. о. с. Тод] маемо наступно гшгшаченпи умов ¡стпнмосп для константи „хибшеть": Визначення 3.9.2. а ||- Г о пр(а).

М,-модель е Р-модель + визначення 3.9.2.

Розглянемо константу „абсурду" - 1. Ця константа шдр1зпястьоя в1д Г тим, що для не! приймаеться наступна схема аксчом: ЕРО\ 1 з> А.

Тод! маемо нове формулювання ¡нтущюшстського числення висловлювань: = Р + ЕРО".

1нту1цюшстське заперечення (заперечення системи I) визначаемо наступним чином: Визначення 3.9.2. ~А»Аэ1.

Приймаемо наступне семантичне визначення для 1: Визначення 3.9.3. а (• 1 о апр(а).

Маемо: 1х-модель = Р-модель + умова 3.5.4 4- визначення 3.9.3.

Числення О, (мова якого мае константу просто! „хибносп") отримаемо додавши до системи М, наступно! аксюмно! схеми: ТЫО- А V (А з

0,-модель = М,-модель + умова 3.5.8.

Числення Е, = М, + РЬ. Е,-модель = М,-модель + умова 3.5.11. Числення отримуемо ¡з при зам1ш ЕРО' на: ЭИЕ* ((А з 1) э 1) э А.

Ki-модель = Ii-модель + умова 3.5.8.

Загальний висновок параграфу полягае в' тому, що, константи „хибносп" i „абсурду" в1др1зняються типом суперечливих „свтв", як! вони репрезентують. Якщо перша репрезентуе просто суперечлив1 i. о. е., то друга - абсолютно суперечливь

Четвертий роздЫ мае назву „Релевантн! 1нтущ1он1стськ1 системи". В нш будуеться загальна TeopiH релевантного ¡нтущюшстського стидування.

В першому параграф! „Оидування вищих ступешв" розглядаеться проблема можливосп i дощльносп анал1зу лопчних систем, що репрезентують в^дношення логичного сидування бмьш високих, ашж перший, ступешв. Через анализ р!зних погляд1в на цю проблему робиться висновок, що розбудова i доемдження таких систем е дощльним як з техшчноУ, так i з загальнотеоретично! точок зору.

В другому параграф! „Позитивна лопка Е + . Загальна стратеггя розбудови релевантних штущюшстських систем типу Е" розроблено узагальнений П1дх!д до релевантного анализу штущюшстського сл1дування. Вих!дним пунктом подальшого анал!зу е позитивна пропозицшна лопка Е+, яка формулюеться в mobi L(E + ) (алфавп1 включае нескшченну множину пропозищйних зм!нних р, q, г ..., лопчн! сполучники Si, V, i лапки). Схеми aKcioM i правил виводу системи Е + : El. А -> А; Е2. (А —> В) —> ((В -» С) ->• (А -> С)); ЕЗ. (А —> (В —> С)) -> ((А -> В) (А С)); Е4. (А ((В -> С) D)) -> ((В С) -» (А D)); Е5. (А & В) —> А; Е6. (А & В) -> В; Е7. ((А —> В) & (А —> С)) (А (В & С)); Е8. А -> (А V В); Е9. В (А V В); ЕЮ. ((А -> С) & (В С)) -> ((А V В) С); Ell. (А & (В V С)) ((А & В) V С); Е12. (NA & NB) N(A & В) [NA е скороченням для (А А) A] RE1. А, А -» В \ В; RE2. А, В \ А & В

Семантика для Е+ розроблена P. PoyTAi i Р. Меером в Routley, R. and Meyer, R. К. The Semantics of Entailment, III // Journal of Philosophical Logic, 1, 1972, pp. 192-208. Модельна структура для лопки Е+ (Е + -м.с.) с тршкою < 0, S, R >, де S непуста множина „можливих свшв", 0 е S, i R е тернарним в!дношенням на S, для якого приймаються HacTynHi постулати (для довыьних а, Ь, с, d, е, ¡з вс!лякого S); pi. ROaa; р2. RaOa; рЗ. (Rabe i Rede) => Зх (Radx i Rbxe) p4. Rabe => Эх (Rabx i Rxbc); p5. (ROad i Rdbc) => Rabe.

IcTHHiiicHi значения пропозицшнпх змишнх riomnmi приписуватись з урахуванням наступно? умови: Умова 4.2.1. ROab i Тр/а => Тр,/Ъ.

Визначення умов ¡стинносп для лопчних сполучнишв: Визначення 4.2.2. ТА & В/а => ТА/а i ТВ/а Визначення 4.2.3. ТА V В/а => ТА/а чи ТВ/а Виз!тчещш 4.2.4.

ТА -» В /а => Vb Vc (Rabe => (ТА /Ь => ТВ/с))

Ус1 акс1оми i правила виводу (а значить i Bei теореми) логжи Е+ е шту'щюшстськи валздними, в тому смислд, що при 3aMini у валякш TeopeMi Е + „стрь\ки" на „подковку" вона перетвориться на теорему ¡нтущюшстського числення висловлювань I. Таким чином, система Е + може слугувати за позитивну частину релевантних систем ¡нтущюшстського типу. Необх!дно доповнити Е+ за рахунок аксюм для заперечення i В1ДП0В1ДН0 модифжувати наявну семантику. Для цього можна використати певш методолопчш тдходи, яю розроблено в попереднш глав!. Зокрема, як ефективний евр1стичний метод використовуеться введения в мову константи f. Для цього окремо будуються системи з щею константою (f-ситеми), i для кожно'1 тако! системи формулюеться в1дпов!дна система з запереченням як вих1дним символом (n-ситема). Це допомагае виявити cyrreBi особливосп побудованих систем i сформулювати адекватш семантики.

Третш параграф мае назву „Мш1мальна система релевантного сМдування". Мову L(Ef) отримаемо 13 мови ЦЕ + ) шляхом додавання константи f до алфав1ту останнього. Тод1 множина теорем системи MEf визначаеться за допомогою схем аксюм i правил виводу системи Е + . Заперечення визначаеться в MEf стандартним чином через (—>) i константу f: Визначення 4.3.1. ~А => А -» f.

МЕ-модельна структура (МЕ-м.с.) е четв1ркою < О, S, N, R >, де S с непустою множиною, 0 е S, N с S (N, можливо, пусто), i R - тернарне

в1дношення на S, яке шдкоряеться постулатам pl.- р5. Умова 4.2.1 продовжуе Д1яти. KpiM того, для МЕ-м.с. необх1дною е наступна умова: Умова 4.3.2. ROab i а е N => b е N.

До визначень 4.2.2. - 4.2.4. додаеться визначення умов ¡стинносп для константи f: Визначення 4.3.3. Tf/a => а б N.

Зм1стовно множина свтв N с множиною суперечливих cBiTiB. Гнакше кажучи, теор1я належить до множини N, якщо ця теор1я с суперечливою.

Важливу роль в подальшому анатиз! мають наступш формули, що е теоремами системи MEf. Вони висв!тлюють деяю важлив1 властивосп м1шмального заперечення визначеного за допомогою визначення 4.3.1. (1) (А -> В) ((В -> f) (А -> f)); (2) (А —> В) -> ((А —> (В —> t)J —♦ (А —> f)); (3) (А -» (А f)) (А f); (4) (А -> f) -> (((А f) -» В) В); (5) (А -> В) (((А —> В) —Г) —f); (6) (А —> f) —> (((А f) -> f) f); (7) (А -> ((В f) -> f)) ((В f) (А f); (8) ((А —> f) & (В -» f)) —» ((А V В) f).

Важливою також е та обставина, шо наступш формули не е теоремами системи MEf:

(9) А —> ((А ->i)-> f); (10) (А (В -> f)) -> (В (А -> f)). Пропозицшне числення МЕ отримаемо, поповнивши систему Е+ за рахунок наступних схем для заперечення:

МЕ13. (А -» -А) ~А; МЕ14. (А -» В) -> (~В -> -А); МЕ15. ~А ((-А В) -> В); МЕ16. (А -> В) -> —(А В); МЕ17. (~А & -В) ~(А V В).

Дал! в параграф! здшснюеться детальний анализ схеми МЕ15, яка е характеристичною для введенного заперечення.

Щоб сформулювати семантику для системи МЕ, потребно замшити визначення 4.3.3 на Визначення 4.3.4.

Т~А/а о Vb Vc (Rabe => (TA/b => с e N)).

Теорема 4.3.5.

ROab i TA/a => TA/b.

Тепер можемо ввести В1ДИОшення релевантного сл1дупання для вс1ляких формул МБ: Визначення 4.3.6.

А К« В о VS Va б S (ТА/а => ТВ/а).

Теорема 4.3.7.

Fme А -> В => А В

Теорема 4.3.8.

Raaa.

Теорема 4.3.9.

RaOb i ТА -> В/а => ТА -» В/Ь.

Теорема 4.3.10.

RaOb i Т~А/а => T~A/b.

Теорема 4.3.11.

Если |-МЕ А, то f=ME А.

Для того, щоб довести повноту необх1дно прийняти додатков1 визначення: Визначення 4.3.12.

1нтенсюнальна МЕ-теор1я (надал1 просто 1нтенсюнальна теор1я) е множиною х формул мови L(ME), для яко! виконуються наступш умови: (i) А е х i |-МЕ А -у В => В е х; (ii) AexiBsx=>A&Bex. Визначення 4.3.13.

1нтенс!ональна теория х е простою, якщо для не! виконуеться наступна умова:

АуВех=>АехчиВбх. Визначення 4.3.14.

1нтенсюнальна теор1я х е суперечливою, якщо ¡снуе формула А така, що А б х i ~А <= х.

Нехай PIT е множиною Bcix простих щтенсюнальних теорш. Для валяких х, у, z 13 PIT визначимо в!дношення R' наступним чином: Визначення 4.3.15.

R'xyz о (А -» В б х => (А е у => В е z)). Визначення 4.3.16.

Визначимо CAN як найбмъшу тдмножину PIT, для яко! виконуеться наступна умова: R'xyz => (~А ex=>(Aey=>z суперечлива)).

Нехай N' с множиною Bcix суперечливих простих штенсюнальних теорш, як1 належать до CAN. Через ME(t) позначимо множину Bcix теорем системи ME. Тод1 четверку <ME(t), CAN, N', R'> будемо називати каношчною структурою. Лема 4.3.17.

Каношчна структура е МЕ-м.с.

Задамо каношчне визначення умов ¡стиносп для пропозицшних змшних наступним чином: для всяко? р„ для кожно! х е CAN Тр,/х => р, 6 х.

Лема 4.3.18.

Для дов1льно1 формули А мови L(ME) i для кожно! х б CAN: ТА/х о А е х. Теорема 4.3.19. Якщо KieA. то [-[иеА.

Наприкшщ параграфа розглядаеться та характерна риса запропоновано! семантики, що для визначення заперечення вона обходиться без функди ', що мае мюце в стандаргшй семантищ РоутлЬ Мейера. Таким чином, сформульована семантика е бмьш натуральною, атж семантика Роуш-Меера.

В четвертому параграф! „Релевантна штущюшстська система IE" дооидження релевантного штущюшстського смдування поглиблюеться i формулюеться в1дпов1дна лопчна система, яка повинна виразити це поняття. Справа в тому, що деяга важлив! формули не е теоремами ME (до таких належать, перш за все, А —A i (А —> ~В) —> (В —> ~А)). Але щ принципи е важливими для воображения принщтв дедукцп, що закладеш в штущюшстськш лопць Тому постае необходшсть розбудови системи релевантного штущюшстського оцдування. f-формулювання qiei системи - IEf отримаемо, якщо додамо до схем аксюм системи Е + наступну схему: fE13. А —> ((А —» f) f].

Система IE, в яко! заперечення е вих^дним сполучником, отримаемо ¡з системи ME, замшивши схеми ME 16 i ME 17 на: IE 16. А —А.

Семантика для IEf i IE: IE-м.с. отримуемо i3 МЕ-м.с., додавши до постулате pi - р5 наступний постулат:

рб. с 2 N i Rabe ■=> Rbac.

Теореми 4.3.5 - 4.3.9 збер1гають свою силу для IE. Теорема 4.4.1. Якщо (-ША, то (=,еА.

Для доведения повноти потребно модифшувати деяю прийнят! вище визначення. Визначення 4.4.2.

1нтенсюнальна 1Е-теор1я визначаеться як в визначенш 4.3.12., з замшою всюди ME на IE. Визначення 4.4.3.

1нтенсюнальна 1Е-теор1я х е суперечливою, якщо icnye IE-теорема L така, що ~L е х.

Проста reopix, вадношення R', множини N' i PIT визначаються як i в другому параграф! дано! глави (з замшою всюди ME на IE). Потр!бно •плыш шше визначення CAN: Визначення 4.4.4.

Множина CAN е HaiöiAbuia тдмножина PIT для якого виконуеться наступна умова (для BCix х, у, z i3 CAN):

Якщо z несуперечлива, то (~А ex=>(Aey=>z суперечлива)) => R'xyz.

Тепер маемо змогу розглянути < IE(t), CAN, N', R' > як каношчну структуру. Лема 4.4.5.

Каношчна структура е 1Е-м.с.

Нехай визначення умов ¡стинност1 для пропозищйних змшних залишаються як в параграф! 3. Лема 4.4.6.

Для воляко! формули мови L(IE) i для кожного х е CAN: ТА/х о А 6 х. Теорема 4.4.7. Якщо ЦеА, то |-шА .

В п'ятому параграф! „Теорема Гл!венко" розглядаеться ситуащя з вломим сшввущошенням М1ж класичною i штущюшстською лопками, яке вадбражаеться в теорем! Пмвенко. Аналопчне твердження сформульоване в1дносно систем Е i IE не е ¡стинним. Так, формула —(—А А) не е теоремою IE (але вона е теоремою системи Е). Це легко перев!рити, використавши наступи! матриц!:

^tL 0LL2-3.4 &|0 1 2 3 4 V[о 1 2 3 4

о| 0 0 0 0 0 0|0 1 2 3 4 010 0 0 0 0

l| 1 0 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 |о 1 2 3 4

21 2 0 0 2 2 212 1 2 1 2 210 2 2 4 4

з| 3 0 3 0 3 313 2 2 3 3 3 ! 0 3 4 3 4

41 4 0 0 0 0 41 4 1 2 3 4 4|0 4 4 4 4

Для заперечення в1зьмемо: ~n = п -> 4 (n = 1, 2, 3, 4). Bei аксюми IE мають в цих матрицях „значения" 0. Однак якщо гпзьмемо n = 1, то маемо —(—1 1) = —(~0 1) = —(4 -» 1) = —1 = ~0 = 4. Таким чином, формула —(—А А) не е теоремою IE. Тобто, маемо змогу розглянути шшу релевантну штущюшстську систему IE', яку отримаемо додавши до IE наступну схему аксюм: IE 17. —(—А А).

В п'ятому роздш, який мае практично-прикладний характер, розглядаються можливосп застосування релевантно!' лопки до деяких актуальних питань методологи i фшэсофп науки.

Зокрема розглядаеться проблема теоретично! експлжацп поняття „закон науки". Традицшно таким законам надаеться форма Vx (А(х) => В(х)). Якщо умовний сполучник е матер1альною ¡мплжащего, виникають icTOTHi трудной^ i парадоксальн! ситуаци. В дисертацй' аргументуеться необх1Д1цсть застосування релевантно! ¡мплшацп, щоб запоб1гти цих труднощ!в.

1ншою проблемою, що розглядаеться, е проблема визначення диспозицшних предикапв. Визначення за топомогою схеми D(x) о Р(х) гз R(x) е також парадоксальним. В дисертацп пропонуеться iHma схема: D(x) о е(х) & ((е(х) & Р(х)) -> R(x)), з застосуванням релевантно! iMnAÎKaniï.

Також анал!зуеться проблема контрфактичних умовних висловлювань. Пропонуеться вир1шення ц\eï проблеми на п!дстав1 використання релевантно! ¡мплжаци. Формулюеться релевантна семантика для контрфактичних умовних висловлювань. Умови ¡стинност! для контрфактично! ¡мшйкацп можуть бути визначеш наступним чином:

Визначення_5._4^3:

Т А > В/а о 3b Зс (Rabc i b * с i TA/b => ТВ/с).

В Висновксис тдводяться тдсумки та обговорюються перспективи досА1дження. ГИдкреслюеться р1зниця М1Ж подходом, який розвиваеться в дисертацй', i шдходами ¡нших aBTopiB. Головш висновки, що робляться, с наступними:

конструктивна альтернатива до класичноЧ лопки, що пропонуеться штущюшзмом, повинна бути доповнена таким чином, щоб отримати дшсно релевантну лопчну Toopiio, яка дала би можлишсть код1к|ккуватп непарадоксалъш способи М1ркувань, що реально иикористовуютвся в практищ наукового шзнання;

семантика штущюшстсько! лопки припускае нетр1в1альне включения до сфери теоритичного розгляду неповних та суперечливих точок стввадношення, що дае змогу змоделюваги вадношення релевантного лопчного сл1дування в1дносно конструктивних теорш;

розбудова семантики, яка приймае до уваги i дозволяе оперувати з суперечливими теоретичними конструкщями, в1Дображае на piBHi точних семантичних визначень cyrTCBi змктовн! передумови, що детермшують природу операцп заперечення штущютстського типу (конструктивного заперечення);

на niACTaBi запененного анал1зу в дисертацй' сформульовано нову науково-доетцдницьку програму, в1дпов!дно до яко! релевантна лопка е ушверсальним апаратом впровадження непарадоксального лопчного сл!дування в дов1льну лопчну Teopiio. Результата зддйснено! в дисертаци релевантизацп щтущютстсько'1 лопки обгрунтовують можлив1сть релевантизаци (як ушверсального методу) лопки взагаль

Головш положения дисертацй опубликовано в двох монограф1ях автора (одна ¡з них у сшвавторств1), статтях, тезах наукових конференцш:

1. Шрамко Я. В. Логическое следование и интуиционизм (проблема релевантизации интуиционистской логики). Киев: ВИПОЛ, 1997, 179 стр.

2. Меськов В. С., Карпинская О. Ю., Ляшенко О. В, Шрамко Я. В. Логика: наука и искусство. Москва: Высшая школа, 1992, 333 стр.

3. Shramko, Y. New semantics for minimal and intuitionistic logics. // Abstracts of the 9th International Congress of Logic, Methodology and Philosophy of Science, vol 1, Uppsala, 1991, p. 165

4. Shramko, Y. Some relevant intuitionistic systems. // Abstracts of the 1992 European Summer Meeting of ASL, Veszprem, 1992, p. 93

5. Shramko, Y. Review of A. Karpenko. // From the Logical Point of View, 2, 1992, pp. 102 • 103

6. Shramko, Y, Some relevant intuitionistic systems // Journal of Symbolic Logic, 58, 1993, pp. 1147 - 1148

7. Shramko, Y. Relevant variants of intuitionistic logic // Bulletin of 1CPL, 2, 1994, pp. 47 - 53

8. Шрамко Я. В. Релевантное следование сохраняет не-ложность (чисто семантическое доказательство) // Вестник Московского Университета. Серия 7: Философия, no. 1, 1994, стр. 61 - 64

9. Шрамко Я. В. Лопчна реконструкция вчення Г. Сковороди про ABi натури // ФЫософська, педагопчна та л!тературно-мистецька спадщина Г. С. Сковороди i сучастсть (матер1али Всеукрашських М1жвуз1вських Сковородинських читань з нагоди 200-р1ччя з дня CMepTi мисмтеля), Кривий Pir, 1994, стор. 44 • 46

10. Shramko, Y. Applying relevant logic to the analysis of some problems of causality // Faye, J., Schettler, U., and Urchs, M. (eds.) Logic and Causal Reasoning. Berlin (Akademie-Verlag) 1994, pp. 109 - 122

11. Shramko, Y. Relevant Properties II Logic and Logical Philosophy, 2, 1994, pp. 103 - 115

12. Shramko, Y. Semantics for Constructive Negations // 10th international Congress of Logic, Methodology and Philosophy of Science, Volume of Abstracts, August 19-25, 1995 - Florence, Italy, p. 174

13. Shramko, Y. Time and Negation // Faye, J., Scheffler, U., and Urchs, M. (eds.) Perspectives of Time. Dordrecht / Boston / London (Kluwer Academic Publishers), 1996, pp. 399-416

14. Shramko, Y. A philosophically plausible modified Grzegorczyk-semantics for first degree relevant intuitionistic entailment. II First World Congress on Paraconsistency, Ghent, 1997, S. 137 - 140

15. Shramko Y. Zustansbeschreibungen als eine Methode der semantischen Analyse für die Intuitionistische Logik // III Internationaler Kongress „Rationalität, Realismus, Revision", München, 1997

Шрамко Я. В. Лопчне смдування i ¡нтущюшзм (проблема релевантизаци ¡нту1цюшстсько'1 AoriKii). - Рукопис.

Дисертащя на здобугтя паукового ступени доктора фшэсофських наук за спещальшстю 09.00.06 - лопка. - 1нститут философа iM. Г.С.Сковороди HAH Украши, Кшв, 1998

Дисертащю присвячено проблем! подолання парадоксов ¡мплжацп i лопчного сллдування штищошстсько! лопки. В робой будуеться теор1я релевантного штущютстського слздування першого i вишого за перший ступешв. Запропоновано новин метод розбудови семантики в cthai Кртке для сукупност! систем конструктиштх зпперечень, Запропонована нова семантика для систем мннмально!, штущюшстсько'1 i деяких пром1жних лопк, аж до класичного числення висловлювань, яка дозволяе виявити точний смисл змютовних передумов, що визначають cyrreBi особливосп заперечення штущютстського типу. В дисертацй сформульовано науково-доойдницьку програму, в1дпов1дно до яко! релевантна лопка е ушверсальним апаратом впровадження непарадоксального лопчного оидування в дов1льну лопчну Teopiio. Результата зддйснено! в дисертацй релевантизаци штущютстсько'1 лопки обгрунтовують можливють релевантизаци' лопки взагал!.

Ключов! слова: лопчне слодування, штущюшстська лопка, конструктивне заперечення, релевантна лопка, парадокси ¡мплжацп.

Шрамко Я. В. Логическое следование и интуиционизм (проблема релевантизации интуиционистской логики). Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора философских наук по специальности 09.00.06 - логика. - Институт философии им. Г.С.Сковороды HAH Украины, Киев, 1998

Диссертация посвящена проблеме преодоления парадоксов импликации и логического следования интуиционистской логики. В работе развивается теория релевантного интуиционистского следования первого и более высоких порядков. Предложен общий метод построения семантики в стиле Крипке для семейства систем конструктивных отрицаний. Построена новая семантика для систем минимальной, интуиционистской и ряда промежуточных логик, вплоть до классического исчисления высказываний, позволяющая выявить точный смысл неформальных предпосылок, определяющих существенные особенности отрицаний интуиционистского типа. В диссертации

формулируется научно-исследовательская программа, в соответствии с которой релевантная логика представляет собой универсальный логико-методологический аппарат анализа отношения следования различных направлений современной логики. Результаты осуществленной в работе релевантизации интуиционистской логики обосновывают возможность релевантизации логики воообще.

Ключевые слова: логическое следование, интуиционистская логика, конструктивное отрицание, релевантная логика, парадоксы импликации.

Shramko Y. V. Logical entailment and intuitionism (the problem of relevantisation of intuitionistic logic). - Manuscript.

Thesis for a doctor's degree by speciality 09.00.06 - logic. - The Institute of Philosophy of National Academy of Science of Ukraine, Kyiv, 1998. The dissertation is devoted to the problem of elimination of paradoxes of implication and logical entailment in the intuitionistic logic. A theory of relevant logical first- (and higher-) degree entailment is developed. A general method for constructing Kripke-semantics for a collection of systems for constructive negations is proposed. A new semantics for minimal, intuitionistic and a number of intermediate logics up to the classical propositional calculus is constructed which allows to spell out the informal preconditions determining essential features of negations of intuitionistic type. A research program is formulated treating relevant logic as a general methodology for analysis of the notion of logical entailment. It is argued that any particular logical system can be relevantise along the line of investigations proposed in the dissertation.

Key words: logical entailment, intuitionistic logic, constructive negation, relevant logic, paradoxes of implication.