автореферат диссертации по философии, специальность ВАК РФ 09.00.07
диссертация на тему: Релевантные варианты интуиционистской логики

Полный текст автореферата диссертации по теме "Релевантные варианты интуиционистской логики"

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА

Специализированный совет (Д.053.05.20) по философским наукам в МГУ

На правах рукописи

ШРАМКО Ярослав Владиславович

УДК I ми

РЕЛЕВАНТНЫЕ ВАРИАНТЫ ИНТУИЦИОНИСТСКОЙ ЛОГИКИ

Специальность 09.00.07 — логика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата философских наук

Москва—1990

Диссертация выполнена на кафедре логики философского факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель:

доктор философских наук, профессор Войшвилло Е. К.

Официальные оппоненты:

дсктор философских наук, профессор Коетюк В. Н.,

кандидат философских наук, доцент Куртонина Н. Я.

Ведущая организация — Институт философии АН СССР,

сектор логики ___

Защита состоится « £ .» . 1990 г. в . ча-

сов на заседании специализированного совета (Д.053.05.20) по философским наукам при Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова, по адресу: Москва, Ленинские горы, 1-й корпус гуманитарных факультетов МГУ, философский факультет, II этаж, аудитория 1157,

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале 1-го корпуса гуманитарных факультетов МГУ.

Автореферат разослан «.. » . . 1990 г.

Ученый секретарь

специализированного совета В. С. МЕСЬКОВ

СЩ?Я ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Г?тедкет ^исследования и его актуальность. В релевантной логике решается проблема адонэатной экспликации понятия логического следования, нал связи между высказываниями но содержанию. Предполагается, что зто понятие должно соответствовать некоторым вптуотибнш ггссдстешшнияк,, я это нт:од\:! opee знрсдазние в том, что отвергаются так называемые "парадоксы следования" (как t»w w то«« ^'«г-ита!» *пэ спи црати-нопикет инту.ттрт;; й,;е:отся гавду*!арадоксв дьух видовt для любого закона (общезначимой формулы) В и для произвольной формулы А той или iraofl система, из А следует В и из В следует А. Существующие системы релевантной логики (Е, R, NR'h проч.) свободны от "парадоксов следования". Однако эти системы уместно рассматривать как некоторые частные системы, претсндуиитв i», схсштпгачиы логического с.ойлойан;;;: тд.< 'То ;— '."йка, "отсрц» ярлп<*тс:! саоикррг-ием языка ядосспчесзой -'K'u

>'осКОЛН!У -'TUCEXtlr.O СЛОДОРГ-НМЯ В !ЛГГуИЦИС!1ИСТС::ОЙ лог:;'

.-.с ч'акч-г. t..e £i;ca~.aer сзязч гожчу SLOKüausgjatoni по соде' тл-

(едепоодею здесь столь яе "пар^отеалыю" как д в •'лг-.ссккс), гознжзот еналогтшач зацэтэ "привнасепич" з эту логику релевантного логического следования. Актуальность "•V"4" ""Л* л: обусловлена •Тклоойской " н^учно-прмтической зн:.¡'.mis логики, которая занимает однд»

из центральных мест в ряду логических систем. Исчисления интуиционистского типа играет важную роль при построении

£

конструктивных теорий и находят разнообразные применения в системах искусственного интеллекта. В то же время, как показал Н.Белнап, имеется ряд существенных доводов в пользу необходимости использования при работа с компьютером именно логик с релевантные отношением следования. Возможности применения релевантных логик в computer science далеко еще не исчерпаны, а соединение иптуицинизь с релевантностью наверняка откроет здесь новые перспективы.

Целью работы является исследование отношения релевантного логического следования с точки зрения его возможного использования в логиках интуиционистского типа, В также применение методов релевантной логики к анализу Некоторых собственно интуиционистских проблем.

В соответствии с поставленой целью в работе решаются следующие задачи;

- Выяснить причины парадоксальности отношения следования, имеющегося в интуиционистской логике и сформулировать понятие релевантного логического следования для формул интуиционистского исчисления высказываний;

- Построить аксиоматическую систему, формализующую понятие первопорядкового релевантного следования для таких формул;

- Прояснить содержательное понимание отрицания, имеющееся в интуиционизме;

- Используя определенные методологические приемы, разработанные для нужд релевантного семантического анализ«

••сзледоваг». кекоторие адауигоонпстски приег.тичкз типы отри- -ЧсОГОТ!.'в?Ь РЯД ПГОбЛ-'-М, '.'эзнлкгляфсс 3 связи С РОЗ"

¿.оаыаш решениями вопроса о взаимоотношениях между аетпп-

:гпггл?и зиздекилмя ''Негии-г" « "Лонь'';

- Построить некоторые палев»н*»««» системн ттсчисл-змГ;

■ '.V'": иигу.т::ст'г;'\.'.с>, Очсрмулнглвагь сен?.;г.

лл для этих систем и исследовать их.

2 шукмнми м»ч;""-;"" ¿¿З-глЫ'ахь..

которые выносятся на защиту:

- Выяснены причины парадоксов следования в интуиционистской логике;

- Сформулировано понятие релевантного следования для формул интуиционистского исчисления высказываний;

- Доказано, что это отношение обладает свойством оп-

- Бляснено, что традиционное ^гтт*1 ^^

: отрицания интуиционистского типа, не -воспроиз-

водит содержательное понимание операции отрицания в интуиционизме;

н

На основе использования некоторых методов релевантного анализа разработан отличающийся от традиционного подход к определению условий истинности для отрицаний интуиционистского типа, который воспроизводит интуиционистские соображения относительно отрицания;

- Построена семантика для минимального исчисления высказываний Иоганссона;

- Построена модифицированная семантика для интуиционистского исчисления высказываний;

- Установлено, что минимальная и интуиционистская логики отличаются друг от друга только интерпретацией операции отрицания;

- Разработанный семантический аппарат использован для анализа пропозициональных констант "ложь" и "абсурд", выяснен семантический смысл этих констант;

- Рассмотрены некоторые фундаментальные предпосылки относительно взаимоотношений между истинностными значениями "Истина" и "Ложь", принимаемые при тех или иных логических построениях;

- Предложена некоторая общая стратегия построения интуиционистских релевантных систем типа Е, которая существенным образом опирается на семантический анализ интуиционистского отрицания, осуществленный в диссертации;

- Построена минимальная система релевантного следования (МЕ) и интуиционистская релевантная система (1Е), сформулированы семантики в стиле Роутли-Мейера для этих систем, доказана непротиворечивость и полнота;

- Установлены важные свойства предложенных систем,

-jT—

а такне взаимоотношение мезду ними и системой Е.

Практическая знаадшость райоти зчклпчсется в roa» что подученные в диссертгчря! рззульгати могут быть использованы при ¡:t,~ cTT-ooiíiji: конструктив»« теорий с непарадоксальнш отноше!шеи с~£.-дотанчя, в oomputer ooienre » а -¡ав*е upn разработке курсоь п., релевантной и интуиционистской логике,

Исто-теЕОГЯпеокой и теоретической основой лседецопаь;-;: ...о> „.-íTfoa »рздидепи и истоды релеъантного ссмэкгьче&кого и синтаксического анализа, разработанные в трудах Е.К.Войнгоилто. а тт:-? г ^т-п: ".Гсллали, má.Лат««, Pjweiiep^j Н.Роутки a ¡¡с;алс«рил кругах.

Апробация работы. Основные идеи диссертации излагались з докладах на целвузовскоЛ конференции "Методологические проблещи неклассических логик" (Москва, 1963 г.); на теоретическом семинаре рафедры логики философского факультета МГУ (1990 г.), на X Всесоюзной конференции по логике, методологии и философии науки (Минск, 1990 г.). Нзкожорие важные яряб^чы, uV.us««iovbt» •» íuh.iü, на счккмцхг по ¡ «л»-га.с.к.;'. -<•/•-.!&-., t; ...s! ,

:.y.i.;i:i;(.i.M;.OL;ití на .¡плосо'^т.-ем ; аку:;ы г. '„:ГУ а :io::y;v¡-

Г-'v'j го г;,а под проф. й.К.иэвйЖилдо. По т-.с^-ч-:'.- -

чии д»е ¡шчатиц'з ср-бсге,

c'tFjK'íiTA п ооношоЕ содоъднк работе;

Диссертация состой? ГЬедеьпл. глаь, Зй-ипчсшн и

íx¡ ^^ении &беспоь;:^тел иссле-

дуемой проблематики, наделяются цели и задачи исследования, а также перечисляются полученные научные результаты, выносимые на засшту,

В первой главе рассматривается понятие релевантного йЛОДОЁй-ния первого порядка для интуиционистской логики. Исходным йуштсй анализа является семантика в стиле Крипке для интуп^сКШсТского исчисления высказываний (I) в терминах интуиционистских описаний состояний, которая строится следующим образом. Пусть Л+ - МНояес** во пропозициональных переменных { 4 * • * * *3 11 А" - множество переменных взятых с метаотрицанияМй{-1р^1р2М,м-1рйМ.,} (Нё путать ыетаотрицание ~7 с отрицанием объектного языка "Ов йдауи-ционистское описание состояния (и.о<с.) (обозначаетсй Посредством

Р» У есть некоторое подмножество МНОкества А+иА-| удовлетворяющее следующим условиям: для любого ~р, (Где емь р^ или тр;) (а) р; ё с< или £°<$ (б) или тр^с-с 4

Интуиционистская модельная структура ) есть пара

гдо К - (непустое) множество И.о,с4{ Я - бинарное о^НошйнИй на й определяемое следующим образом:

1.2.1. -г* -<+ь (- та и Только та часИ ^ Которую составляет Переменные без метйотр;ща!В1Й).

Нетрудно убедиться, что Я рефлексивно и транз(т(£»(а4 Ймей; место следующее свойство ("сохранности"7

1,2.2. р^-х: и Н р, с: р «

Пусть ТА/< означает "А истинно й и.о.с. -С " И РА/^ - "А Шх~ но в и.о.с. ,>1 ". Тогда для произвольного г «с из произвольной шм.г, имеем:

1.2.3. Тр^ pL а.^ Рр, /л -

1.1.2. ТА <я- В/гУ ТА/, И ТВ/.„ РАКВ/^ РА/а или РВ/.,

Т, ■ .3., 74 v - ?Л/. или ТВ/,. FAVty^ ^ F-vU « Р^/л Га — 1-: (Л - г- i'V.i или ТО/,.}) ♦ л'-Фд*. npiKocfi и iA/j^ И PB/iO

■ .-.¡w, У , — ■ -Л-л;, )

I , ■ г

fA/(ii ^ и TA/u).

, .г<!;.нпля она,г-!,";С:7'! гму;: у. .'.и,с, " -

^апдсцП'НЫ,

Гг—'^™*" i„„.uüi*aaTejir»Hrt) ИЯ« nra»»m« ----

nm чпйссо знидаг. d некоторый момент времени. Принадлежность некоторому и.о.с. истолковиваетея как "р; доказано". Тогда ~ip; t'.^.c 8.Ц т.е. не доказано. R представляет (возможное) отношение т времени мезду и.о.с,; R^p означает, что и. предшествует и, ,

Понятие следования в I вводится посредством следующего определил!

ваиня ¡3 есть часть информации, которого несет высказывания А

•I-г--—--и^ЬЬопоаппя А по отношению к некоторому MHQ-Еостау возможностей М (1(А,М)) определяется как показатель того, принятие; А. ограничивает шюкествп М. \ Те»«»

, +.Ч.1. роль ИСХОПНОРО Ktmtiw»»« .......... -

с которым соотносятся высказывания, играет базисное множество К. Информация высказыва!шя А по чтношснию к этому множеству ЩА.К)) может трактоваться как пара <Кд,К> , где КД£К и Кд= ¿-Л'-Л^ТА/^}. Определение 1.4.1. может быть переформулировано в терминах теории информации:

1.4.2. А^ В=^1(В,К) часть 1(А,К)^

Конечно («.пользование понятия модельной структура значительш> затрудняет решение вопроса о том, какова информация высказывания А сама по себе, ибо исходное множество возможностей может быть различным. Однако для определения понятия отношения-логического следования нам ваяно не количество информации, которое несет то или иное высказывание, а отношение между высказываниями по информации. Учитывая это, можно определить следование в интуиционистской логике как следование в любой и.м.с., что, с точки зрения теории информации,будет означать следующее: из А следует В е.и т.е-; относительно любого допустимого в интуиционистской логике множества возможностей К, информация В есть часть инфорлаций- А.

1.4.3. АИВ^УК(КдсКв).

Теперь могут быть вскрыты причины парадоксов следования в интуиционистской логике, которые (аналогично тому, как и В' классике) заключаются в том, что при определении информация некоторого высказывания выясняется не информация высказывания самого по себе, но информация, которую высказывание добавляет к совокупности предпосылок о полноте и непротиворечивости миров. Действие тельно, в интуиционистской логике исходное множество возможностей (базисное множество той или иной и.м.с.) всякий раз- оказывается ограничено принятием предпосылок о полноте (а)' и непротиворечивости (б) и.о.с.

Чтобы получить понятие релевантного следования для формул

интуиционистской логики, необходимо при анализе отношения логического следования отвлечение ст ире/посклск (а) и (о). Таким разом, переходид ц поиптич ос;пбг;."многс и.о.с«, которое ес.ь чгюиостео мшбктаа /.ьил", То есть, теперь допускаится и п£в¥ит£вч»£;<о и.о.с. 11.и.о. яипгр:» - ото пара <К',1ч>, К'1 о;.ть любое (непустое) лночсесгво об-' .-.¡пних. л.с.о., • ,• бинй'шоо отношение на л ', спродедямяо как и прежде. Условия истинное,';; и -:ок;:о,'ти 1ормул но ,1:=моням.',сп.

|1::;;лтиы —:—,....„.о слодоьешия для формул I получается из 1.4.3. заменой К "ч Кл

-reí" • l4.vAIUBi Mí v.*. "-vTtí/J.

Далее в первой главо (§5) доказывается, что сформулированное посредством 1.4.4. отношеше релевантного следования обладает свойство!! сохранять не-лояность. Иными словами, шеем:

Если V К'1 У-л ->TB/U), то VK:i'efC^FB/^ ^FA/^).

А.Андерсон и Н.Белнап в книге "Entailment" рассмотрели логику

п-зр;.,-.-. о ,

ill

деикй о следовании, т.е. образованные только с помоцью A ,V,"

аЗ. АйВ-В а4. A -Ay В

аб. А&(В\/С)^(А&В)V (А&С) а7. А-А I. А —В, В—С

II. А— В, А—С А-В&С

1У. А_^В

В-А

А-С III. А-С. В-С

А УВ-С

Доказывается непротиворечивость и полнота относительно

семантики обобщенных и.о.с. и тем самым устанавливается* что 1Бгае аксиоматизирует отношение релевантного следования для формул I (образованных только с помощью связок Л «V,-),' понятие которого было введено посредством оп;>еделения 1.4.4.

Во второй главе диссертации некоторые методологические приемы релевантного семантического анализа, использованные в первой Главе, применяются при исследовании отрицатш интуиционистского типа. Для этого в изложение семантики для I в терминах и.о.с. вносятся некоторые вавдше изменения. А именно, вместо определений условий истинности и ложности формул 1,2.3.,1.1.2. - 1.1,5, принимаются просто определения условий истинности формул в и.о.с.^ £ К.

2.1.1. Тр^ - р,-е и

2.1.2. ТАЙ-В/^- ТА/(Л и ТВ/,Х

2.1.3. ТА/^, или ТВ/^

2.1.4. ТА ов^ ^ V (' ^ (ТА/, -; ТВ/(.))

2.1.5. ТА/^ - у =>не ТА/(,).

Оба эти способа излояешщ эквивалентны при условии принятия предпосылок (а) и (б) (так как в этом случае не ТА/^ ^РА/^).

В диссертации отмечается, что традиционное определение условий истинности для отрицания 2.1,5. (также как и 1,1.5.), если принять во внимание содержательную трактовку семантики для I, непосредствэнно интерпретируется сл едующим образом: А истинно

(ft опровергнуто) в некоторой момент времени,е.и т.е. ни в какой из последующих моментов А не будет доказано (А никогда но будет доказано). Как подробно показывается в §2 второП глав», зто не воспроизводит содержательное понимание операции отрицания в интуиционизме, где утверждение А считается истинным, е.и т.е. принятие высказывания А приводит к противоречию, Именно такое истолкование 8ысказива1гий вида А общепринято в интуиционизме, но крипкепскоо определение 2.1.5. (равно как и I.I.5.) не воспроизводит эту интуиционистскую интуицию относительно отрицания, Построение семантики В терминах и.о,с, позволяет модифицировать определение 2.1.5. с тем, чтобы приблизить его к содержательному понимашпо отрицания, имеющемуся в интуиционизме. Для этого вводится понятие противоречивого и.о.с. (пр(оО):

2.3.1. пр(о<)- -«С ипр^е^).

Далее, при определении того, что такое И.о.с. вообще, «е принимается условие (б) (условие (а) остается). То есть и.o.e. теперь не обязательно удовлетворяет условию (б). Тогда вместо 3.1.5. можно сформулировать следугщее определение условий истин-юсти для формул вида А:

2.3.2. П/^ - VjMR.-'ß ^(TA/j, пр( р ))),

(оторое буквально воспроизводит имеющееся в интушр'онизме содсрка-'елмюе понимание отрицания. Очевидно, что и.и.о. теперь может юдержать как нормальные и.о.с. (полипе и непротиворечив!«)), так 1 противоречивые и.о.с, (хотя и полню).

Однако оказывается, что при таком определении условий истин-ости для отрицания формула А =>(А ^В) не является общезначимой, ¡то же время (А ^3) -э((А=>В) эк) - общезначима. Таким образом, предсленное посредством 2.3.2. отрицание является минимальным грицанием (т.о. отрицанием системы М). Иными слова)™, получена

-/Л-

семантика для минимального исчисления высказываний М. (Это исчисление, предложенное И.Иоганссоном, принадлежит к семейству интуиционистских систем и является одной из важнейших логин интуиционистского типа. Оно получается из интуиционистской системы I посредством исключения из числа ее аксиом cxeuu A^>(A^>ß).)

Чтобы получить семантику для I необходимо ввести понятие абсолютна противоречивого п.о.с. oL. (anp(oO)«

2.4.1. апр(ы) ^ V t и и ~ip,

Кроме того, для всякой и.м.с. К принимается следующее ключевое условие:

2.4.2. V^ t: K(np(ui) =>anp(u)).

Условия истинности для отрицания системы I определяется тог, 1~,сдуациы образам:

2.4.3. ik/t< V (Roi j(TA/p =>апр( (i))).

Имеет место следующая важная теорема (при условии, что для и.м.с. К принято 2.4.2.):

Теорема 2, t К выполняется следующее: если апр(«0,

то или 3jsfclC такое, что Rui.^ и р непротиворечиво, или всякая формула А истинна в и.о.с. и. .

Нетрудно убедиться, что если принято условие 2.4.2, и определение 2.4.3., то формула А=>(А3Б) будет общезначимой (благодаря теореме 2.2.). Таким образом получена модифицированная семантика для системы I. В данной главе доказывается адекватность этой семантики интуиционистскому исчислению высказывсишй I.

Ваянай результат предпринятого анализа заключается в установлении того факта, что с семантической точки зрения системы М и I различается только свойствами отрицания (а не импликации, как полагали многие исследователи).

Далее во второй главе разработанный семантический аппарат

используется ялл анализа пропозициональных констант "лояь" и "абсурд"7 и выяснения сомактического смысла этих констант, Хорога известна» что если добавит?., к алфавиту язияа гговай ису.одкн;> символ константу } , предварительно исключив из алфявитч ежгол отраившя с то отрицание модно ввести по определению 2,5.1» к ^ А => ^ .

Тогда отшимельнов исчисление Н будит задаться только по-срадствоа схак аксиом не содержащих отрицания и все теоремы система М» » й!~?стсе отрщиш» булут №0р*чн, В л^еортацки следующее определенно условий истинности для константы 2.5.2. ^ Зр^е* и7р,е*). В з'Тогг случае посредством 2.5,1» определяется гагенка мини-кзл&ггое отрицание, Необходимо также принять для всяких и,о.с. п/ я р иэ пройзвольной модельной структура следуицеа условие, которое о-бзепечиэао? распространение "принципа сохранности" на константу^ » пь(с£} ;? к.,; р ■ >пр(р,). Ч-тоСе! далучить тгоуицютастское из<":слэн,';о яиекдолтккй, и аместо коистячгр § ("лояь'*), в отлит ?:г.о«стрчтя ("абсурд") гг к схемам аксисн на годарияяпк отряцзмга /рбагшге гея

СХСКЙ

Л!1.1 -•> П,

7с.то0яя чотн; гости для 1 определяется тан: 2.5.4. Т1/ы ;=Л/р{ Ср,.е к 1р, ь"^). Уело«м 2.5,3. остается в еггле. Тогда ггосредстпеа ?.„Г>.Г>. А - А оХ вводится интуиционистское стрицашге (отрицание система I).

Таким образом ( показано, что коггетаьты "ложь" и "абсурд" представляют, на семантическом уровне, противоречивыэ и.о.е., причем над константы зависит от характера нромаоречитости тех

и.o.e., которыо она представляет.

В третьей глаье 'осуществляется синтаксическое и семантическое построение некоторых релевантна? интуиционистских систся; при этой существенны!! обраэоц используются результаты осуществленного во второй главе семантического анализа интуициошштского отрицания.

Предварительно, в §1 рассматривается имекнций важное философское значение вопрос о взаимоотношениях ыежду истинностными значениями "Истина" и "Ложь". На материале различных стратегий построения релевантных сеыантик (Американский и Австралийский плана), а также на материале первих двух глав данной диссертации обсуядается следующая проблема: явлштся ли "Истина" и "Ложь" двуия независимыми сущностями, или жз ,"Лояь" есть простое сокращение выражения "неистина"? Делается вывод, что ответ на этот вопрос не должен быть однозначным и категоричнш, По-видимому правомерно решать проблему по-разному, в зависимости от целей к потребностей анализа» которий необходимо осуществить.

Затеи излагается общая стратегил построения шгукционистскгс; систем типа Е и осуществляется само ото построение. Исходнда пунктом является позитивная логика Е+ и семантика для нес, (Б+ вкллчаат Есе аксиош и теоремц система Е не содеряаи?'.е отрицания -см., напр. Routley R, , Keyer H.K. The sepantica of >entailxaent III// J. of Phlloaophioal logic,1972,v. 1, 3), ЗаТСК И ЙЭ1£< ВВОДИТСЯ константа j и таким образом получается j-формулировка минимальной системы релевантного следования - нечисленна о ранках которого обычным образом может бить определено отрицание;

3.3.1. Ä-A-f.

Семантика для МЕ^ строится так; КЗ-модельна« структура (МЕ-м.с.) есть четверка <О,S , N,R> , где S - непустое множество "возмошшх миров", 0€ S ( N Q .S (N , возможно, пусто) и R - тер)-

ütHoSsciBto Hü 5 , удоййетьорл^ев все« постулатам и условна мявмснм на иодэльнлз ctp^ypy логика Ей Зхи постулаты и

е^Ос/.

рЗ, (fe^y И R) U ÄjJtd}

Pl* ^-Ч'Ч "> d Et**/* 6. и R i. ГЦ' ) t5, (ПСы 5 9 R д ¡" v ) —R <ßfi*

5.2.1, ЙыВ н Tö; / , =>T«. ф,

Уелы.и« «»ГГ-'ЙГ: форЦу'Л с галдел'HÜ:

3.2.2, TAÄß/^ ^ ТА^ и TB/U

9.2.3, iА V ö/rA ^ TA/^ или TB^

3.2.4, ГА-ofy«?- ^pV^R^py =>(W/p=>TB/s)). Крона того, й МЕ-м»с, принимается ДОПолИнтельноо условие: 3,3.2. Röoip и ue

Приамяйтпй следу;™»» спм.-тляпячя уоЛуЗ.-й йетяинлгт» д»я

*:»]'-.п -Ur': | i

Tj /. . --П, г,:c^vtpvu № >• гоуцестг.-ктся В 5ry->) Г';<>t сйоГсгй л?;хца.«ия iг-1 ^-i'-Г; с:::?'.:'-'.::

слр.ли^ап'Лги Исг^лъзопал'е Mirwar,:;.; С Sa с ?t<5>! KOSctRMioJl) rtö лг;сс>е„' пшг.м-'гл hfurl

за^.ишболим приемом, одлегоэадш töitpömtte CKctöM с си»йоЛоЯ

-tj'-; апа-'Ш.ча ¡-:-Ч»г»Ше?с<! 6 :{П8л-?чок»я йа ял.^осгй ко Нет ант U i И «ведений 6 него сййвола отрицания ~ , 3 Получение'! языке ocyiieötfctöeföft й«ф0|яули{явйа ттячаяьноо сйстему роле&а»й>-

Яого следозЫшя - ЙЕ. С »той цель») к схема? eitcttoM слеге»« St- дс-'■'¡¡лляится схем'; дЛя отрипаш'н

_ _ -и-

МЕ13. (А—А) — А МЕН. (А-»В) — (В—А) ИЕТ5. А-ИА-ВЬ-В) ИЕ16. (А—В)-»(А-»В)

Семантику для ИЕ имеем, заменив определение 3.3.3. на

3.3.4. ТА/^ ^ У^УуОира" (ТА/Г; Н).

Содержательный Смысл семантических построений для МЕ^ и МЕ достаточно прозрачен и вполне соответствует проведенному во второй главе семантическому анализу интуиционистски трактуемой операции отрицают и константы "ложь" - ^ . Множество миров N , ввделяе- • коо из .8 , естественно понимать как множество противоречивых миров. Таким образом, определение 3.3.3. интерпретируется следующим образом: ^ истинна в некотором мире, е.и т.е. этот пир противоречив. Соответственно и определение 3.3.4. отражает содержательное понимание отрицания в интуиционизме.

Исчисления МЕ^. и 1Е деф^нццнально эквивалетчш (по существу, это разные формулировки одно!! системы - минимальной системы рйле-ватного следования). Обе эти формулировки могут бить представлены как дефмнициальные расширения другдруга.

Вашюе значение имеет схема аксиом №15., наличие которой в системе МЕ выражает то обстоятельство, что здесь (в отличие от системы Е) допускается перестановочность антецедентов импликатив-ицх формул, если переставляемый антецедент имеет вед А. Хорош известно, что в системе Е формула А—((А—В) —В) не выводима. В систеие Е перестановочность допускается только в случае, когда антецедент сам является ш.шликативной формулой вида А—'В (то есть утверждением о следовании). Иными словами, разрешается переставлять только необходимые высказывания (утверждение о следовании -это всегда утверждение необходимого характера), перестановочность

яв случайных высказываний на допускается (а том число выскакиваний вида А, где - классическое отрицание). Но отрицание систги ',!ь ябляэтся отрицанием интуиционистского типа. А, кал подробно пока-зивается во второй главе, высказывали«, главным энаном котор-ло является интуиционистское отрицание, не является вцсказииаииви фактического характера (случайный высказывании). С калушм унюр. центом вида А в интуиционизме связано осул,сствленпз ийкото^г-о вывода (а именно: из А - противоречия), Таким orfnnw, ч^г""'" ь числе с*ем аксиом ME ME 15. зпалкз праьсаорна, и o.íochooww природой интуиционистского отрицания» Ого обстоятельство становится особенно очевидным, если учесть, что схема MEI5, исчисления НЕ в система МЕ^ соответствует теорема (А-» f > —- С (í А — J )-»В) — В)), которая вполне приемлима и с точки зрения системы Е.

Однако ряд важных формул, которые желательно было бы иметь в качестве Ф^лр^Ч; не наводима в НЕ. Речь идз? о формулах А — А и (А-В) — (З-'А). Поэтому осуцостгитяотсл пароход к ысегбм.-»! If.'j н IE. Первая из roa полагается погри.чегьои дэЗаилвимя к схемаи аксиом систем« Е+ cxiíi'u ST3, А-((А-{ )- j- N.

Система ко [Е, язык которой содортгг символ отрицания s ка-чоствз исходного¡ образуется, если в системе МЕ схему J.ÍST6 заменить на TEI5. А-А.

IE-модельная структура (IS-м.с.) получается иа МЕ-м.с., если к постулатам pl, - р5. добавить

Рб. jji N и .•

Взе другие постулаты и определении остается боз изменений. В третьей глава доказывается непротиворечивость систем МЕ и ТЕ относительно предложенных сомантик, а также доказннается попиота

системы 1Е (полнота МЕ не доказывается, но ее также можно просто получить, слегка преобразовав доказательство для 1Е). В главе рассматриваются некоторые ваяние свойства построетшх систем и ж семантик. Тал, обращается внимание на то, что в этих сеыантиках отсутствует операция * , которая является важным теоретическим ннгридиентом релевантного семантического анализа традиционных релевантных классических систем (Е.РДШ и др.). Посредством операции * в семантиках для Е и И задаются условия истинности операции отрицашш (ТА/^ не ТЛ/чО. Пто вызывало и вызывает многочисленные споры; многие считают, что при таком способе скрывается смысл операции отрицашш в релевантных классических системах и создается впечатление, что отрицание в них не является классическим. Однако все попытки обойтись при определении отрицания классического типа в семантиках для Е,И и т.п. без операции 1 (или какого-нибудь ее заменителя) пока не принесли успеха. Построения третьей главы данной диссертации наглядно демонстрируют тот факт, что если речь идет об отрицают интуиционистского типа, то в * нет никакой необходимости. Посредством 3.3.4. вполне естественно и без привлечения каких-либо "подозрительных" сущностей определяются условия истинности отрицания систем № и 1Е. Таким образом, в релевантном семантическом анализе интуиционистской логики отсутствует по крайней мере одно "темное место", с которым пока приходится мириться модельным структурам релевантных классических Логик -загадочная "звездочка", связанные с ней постулаты и определение условий истинности отрицашш.

Также рассматриваются взаимо отношения между системами 1Е (МЕ) и Е, которые в некоторых важных моментах не аналогичны отношениям, которые имеются между интуиционистской и классической логиками. Множество теорем интуиционистского исчисления высказыва-

нии составляет подмножество множества теорем классического исчисления вцоказываниЧ. Мевду тон, множества тзорен счсто;« IK (!,':К) к Е находятся в отношении пересечения, Кпоме того, относчтелмгг сисс^м Е к ¡.пляотск iienopiua: y:':;-3pv\-нь, Ирм,': .'.ui..с cofu;; аналог хорошо известной теоремы Рливенко, .4 именно, -^и'ула Â —А не коляегся теоремой систсуч IE, хотя А —А т-оцнао а К, Гклтоиу преллагается е;пя одна система релевантного янтутпзкмпгтстгсгг с тсди^ггия 1ЕС( ч'о?ора.'. ползаете/! посредством до^иалгни.-; :: сх'Змщ аксиом исчисления IE схемы

lui /- А —гн.

Вопрос о семантике для IEf" остается пока открмтим, В последнем параграф третьей главы и п Заключении подводятся итоги диссергациониого исследования, выясняются проблемы, которые требуют допол!штельного анализа и намечаются перспективы дальнейших исследоваш!Й в области релевшггной интуиниошютской логики. Основное содержание диссертации отражено в следующих публи-

К«1Г>"А hh't'j |>i;

Г, К iip0WlU'!3 P<J 'Kit ,'и!?Н?ГО СЯедСП.-ПГ,!.! ИИГуККИЭЫЮТГКОй

лигшу !/ "¡скнв и^елндщ-н:';!. h.ai.l - M., ï-0 С0С:\

!QifJ. с. ]'ю-Т7<1.

'¿, Семантический анадчз orpv.uicihr интуиционистского тина»//

X 1«8С0Ю31ЫЯ 1<014«1»1ЩИЯ по ЛОГИК», ШЛОДОЛОПШ :! 4илосо.;ии шукк, Минск, 1990.