автореферат диссертации по истории, специальность ВАК РФ 07.00.10
диссертация на тему: Развитие концепции динамического хаоса в СССР

Полный текст автореферата диссертации по теме "Развитие концепции динамического хаоса в СССР"

На правах рукописи

МУХИН Равиль Рафкатович

РАЗВИТИЕ КОНЦЕПЦИИ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА В СССР. 1950-1980-е годы

Специальность 07.00.10 - История науки и техники (но физико-математическим наукам)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

О 3 0Е8 2011

Москва 2010

4853768

Работа выполнена в Старооскольском технологическом институте (филиале) Национального исследовательского технологического университета «Московский институт стали и сплавов»

Научный консультант: доктор физико-математических наук

Визгин Владимир Павлович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Ведущая организация: Инстшут физики им. Л.В. Киренского СО РАН

Диссертационного совета Д 002.051.05 при Институте истории естествознания и техники им. С.И. Вавилова (ИИЕТ) РАН по адресу: 117861, Россия, г. Москва, ул. Обручева, д. 30 А, корпус В.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Института истории естествознания и техники им. С.И. Вавилова (ИИЕТ) РАН по адресу: 117861, Россия, г. Москва, ул. Обручева, д. 30 А, корпус В.

Автореферат разослан «_»_20_г.

профессор

Лоскутов Александр Юрьевич; доктор физико-математических наук профессор

Ерохин Николай Сергеевич; доктор физико-математических наук профессор

Захаров Анатолий Юльевич.

Защита состоится «_»

20_г. на заседании

Ученый секретарь

диссертационного совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Открытие динамического хаоса явилось одним из крупнейших достижений науки XX в. Прогресс науки обеспечивают не только новые фундаментальные теории, он может происходить при изменении точки зрения на уже сложившиеся области, и это может существенно повлиять на научную картину мира в целом. Такой пример как раз демонстрирует теория хаоса, не только описывающая широкий круг явлений практически во всех разделах современной классической и квантовой физики, но и приведшая к концептуальным изменениям в основаниях научного знания.

Целью настоящей работы является исследование предпосылок, процесса формирования и развития теории динамического хаоса с упором на вклад отечественной науки в данную область.

Актуальность работы. В физике XVII - XIX вв. доминирующее место занимала динамическая базовая модель. Важнейшее место в такой модели отводилось концепции об однозначности причинных связей, всеобъемлющей роли динамических закономерностей (детерминизм Лапласа). Сложился идеал научной рациональности, в основе которой лежат простота описания, регулярность, определенность, полнота информации.

Сквозная линия, проходящая через всю классическую механику и электродинамику вплоть до конца XIX в., заключалась в том, что в основу решаемых задач были положены интегрируемые системы, что непосредственным образом связано с простым поведением. В интегрируемых системах достигался идеал исчерпывающего описания на языке траекторий. Считалось, что на основе таких систем можно было объяснить в главных чертах все многообразие явлений нашего мира. Разнообразие физических задач требовало выхода за рамки интегрируемых систем. Однако подход к такого рода задачам строился на основе интегрируемых систем, а неинтегрируемость рассматривалась в виде поправок. Подавляющее же большинство физических систем неинтегрируемо. Для них характерны неустойчивость, наличие сложных движений, многообразие поведения, недостижимость получения всей полноты информации. Помимо традиционного подхода возможна другая точка зрения. Неинтегрируемые системы рассматривают сами по себе, как самостоятельный объект, не

пытаясь исходить из интегрируемых систем. Главное внимание при этом уделяется не решению как таковому, а качественным характеристикам системы, ее поведению и эволюции, дополненным количественным исследованием. На этом пути произошло открытие явления хаоса. Оказалось, что с хаосом связан тип сложных движений динамических систем, принципиально отличных от известных ранее простых движений, причем хаотическое поведение может быть у систем, описываемых уравнениями с простыми правыми частями.

Исследования хаоса приоткрыли наличие сложности в таких объектах, которые традиционно относили к системам с простым поведением. В этом контексте само явление динамического хаоса представляет хотя и очень важную, но все же частность. Проявление сложности очень многообразно, и изучение этого только начинается.

Хаос представляет собой типичное свойство динамических систем. Системы только с регулярным поведением являются редкими. Новый этап в развитии знаний потребовал принципиально новых взглядов, новой системы понятий и нового языка. Все это оказало глубокое воздействие на наши представления о физическом мире.

Научная новизна. Основные результаты, изложенные в ряде статей и монографии автора, можно сформулировать следующим образом.

Впервые в историко-научной литературе систематически изложены предпосылки, становление и развитие концепций динамического хаоса. В работе показано, что открытие динамического хаоса явилось закономерным результатом перехода от изучения динамических систем с простым поведением к динамическим системам со сложным характером движения. Открытие хаоса явилось сложным и противоречивым процессом. К нему привело несколько линий развития, которые переплелись, воздействуя друг на друга.

Истоком одной из этих линий явилась проблема интегрирования дифференциальных уравнений. Поворотным пунктом в понимании принципиального различия между интегрируемыми и неинтегрируемыми системами стали фундаментальные работы А. Пуанкаре (1881-1899), который вместе с А.М. Ляпуновым за-

дожил основы качественных методов, что означало переход к принципиально иной стратегии исследования. Преобладающими стали топологические, теоретико-групповые и вероятностные методы. Пришло осознание того, что проблемы динамики связаны с качественным поведением траекторий во всем фазовом пространстве, на смену локальному подходу должно прийти глобальное рассмотрение. Дж. Биркгоф ввел понятие динамической системы (ДС). Теория ДС явилась одним из главных факторов, приведших к открытию хаоса. Прикладные задачи - радиотехника и теория автоматического регулирования, главным образом в трудах Нижегородской (Горьковской) школы, - в 1930-е гг. стимулировали создание теории нелинейных колебаний, что стало еще одной линией развития, приведшей к открытию хаоса.

Следующая линия исходит из существования двух фундаментальных моделей - динамической и статистической, описывающих два разных уровня реальности. Поиски универсальных объединяющих основ обусловили стремление представить динамическое описание в качестве первичного, отсюда возникло стремление получить статистические законы исходя из динамики (эргодическая гипотеза). На этом пути возникла эргодическая теория, изучающая статистические свойства ДС. Еще одна линия в открытии хаоса связана с исследованиями турбулентности.

Историю динамического хаоса отнесем к отрезку времени с середины 1950-х до середины 1980-х гг. и выделим следующие три периода:

1. От формулировки Колмогоровым основных положений теории KAM (Колмогорова-Арнольда-Мозера) в 1954 г. до конца 1950-х гг., когда начался мощный взлет теории ДС, появился вычислительный эксперимент, что привело к постановке новых физических задач.

2. С конца 1950-х до конца 1970-х гг. - в этот период произошли основные события. Был твердо установлен феномен хаоса в консервативных (гамильтоновых) и диссипативных физических системах, была обнаружена широкая распространенность хаоса в физических системах; пришло понимание явлений и построена их теория.

3. С конца 1970-х до середины 1980-х гг. - распространение теории, в это время было получено огромное количество результа-

тов по хаотической динамике в конкретных системах, приобрели большую интенсивность экспериментальные исследования хаоса, произошло осознание тесной связи хаоса и упорядоченности.

В исследованиях хаоса можно выделить несколько теоретических программ. Глобальная программа Пуанкаре-Биркгофа предполагала изучение всех возможных типов движений ДС. Программа Андронова-Смейла сосредоточена на изучении типичных свойств ДС; программа Арнольда была направлена на исследование бифуркаций; задача исследования гамильтоновых систем была поставлена в программе Чирикова. Программа Чебышева-Колмогорова базировалась на строгой постановке и решении трудных в математическом плане и представляющих значительный интерес в физическом отношении задач с применением разнообразных методов современной математики, что вело к выявлению всех существенных особенностей исследуемых проблем. Изучение хаоса проходило при взаимодействии и конкуренции этих программ. Сами программы нередко имели более широкий характер, чем исследования только явления хаоса.

Впервые развитие представлений о хаосе рассмотрено в контексте эволюции понятия сложности. Наличие у теории хаоса точек опоры во многих естественнонаучных областях, привлечение идей и методов разных разделов математики, механики, физики, астрономии обусловили междисциплинарность нового подхода. Понятие сложности может стать фундаментом нового синтеза науки в противовес все углубляющейся специализации.

Очень часто, говоря об открытии хаоса, ограничиваются диссипа-тивными системами. Однако не меньшее значение, как для понимания феномена, так и для приложений имеет хаотическое поведение в гамильтоновых системах. Гамильтонову хаосу в исторических и методологических работах обычно уделяется значительно меньше внимания, чем диссипативному. В данной работе автор попытался восполнить этот пробел. Впервые в историко-научной литературе отмечено место и значение понятия динамического хаоса в физике и в науке в целом. Особое внимание уделено отечественному вкладу в теорию хаоса, который столь велик, что в значительной степени определяет современный облик данной области знания.

В свете концепции хаоса наметились новые подходы к вопросу о природе случайности, вероятности. Картина мира, основанная на

строгом детерминизме, оказалась неполной. Определились ограничения на возможности предсказуемости, на соотношение детерминизма - индетерминизма. Изучение хаоса привело к новому взгляду на вопросы устойчивости - неустойчивости, локального описания - глобального подхода, хаотичности - упорядоченности. Представления о динамическом хаосс приобрели общефизический и общенаучный характер. В работе рассмотрены методологические аспекты концепции динамического хаоса. Один из основных итогов в изучении динамического хаоса состоит в том, что в тех случаях, когда фундаментальные уравнения теории давно установлены, получение следствий из них может привести к важным концептуальным изменениям.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Изучение двух фундаментальных проблем классической физики - обоснование статистической механики и возникновение турбулентных течений, а также проблема интегрирования уравнений динамики и нелинейные задачи физики и техники явились предпосылками исследований, приведших к открытию динамического хаоса (1880-е - начало 1950-х гг.).

2. В этот период были развиты качественные методы (А. Пуанкаре, А.М. Ляпунов, Дж. Биркгоф), при использовании которых на первый план вышли описание поведения систем и их эволюции. Качественные методы нашли применение и получили дальнейшее развитие в задачах радиофизики и теории автоматического регулирования (Б. Ван дер Поль, Л.И. Мандельштам, A.A. Андронов), где фундаментальное значение имела нелинейность.

3. Решающее место в открытии и исследованиях хаоса занимают математический формализм, глубокое взаимодействие математики и физики и вычислительный эксперимент.

4. Показано значение теории ДС, составившей математическую основу феномена хаоса, без которой понимание явления было бы невозможно. Бурное развитие теории ДС происходило главньм образом в Германии, СССР, США и во Франции.

5. Огромный вклад в открытие и изучение хаоса внесла отечественная наука, что в значительной степени определяет современный облик рассматриваемой области знания. На характер этого вклада наложили определенный отпечаток социальные, экономические, культурные и другие условия в СССР.

6. Предложена периодизация истории хаоса (1950-е - 1980-е гг.). В первый период были сформулированы основные положения теории KAM (1954) — одной из главных составляющих в фундаменте теории хаоса; поставлены новые физические задачи, обусловившие открытие хаоса; стремительно развивалась теория ДС; появился вычислительный эксперимент, сыгравший ключевую роль в открытии хаоса.

7. Открытие хаоса было сделано в 1960-е гг. относительно независимо в консервативных (гамильтоновых) и диссипативных системах. Оно явилось закономерным итогом развития физики и математики. Открытие хаоса в диссипативных системах можно изобразить цепочкой Э. Лоренц - С. Смейл - Д. Рюэль, Ф. Такенс, хотя феномен хаоса также проявился в ряде других исследований в разных областях физики.

8. В гамильтоновых системах к открытию хаоса привели задачи физики плазмы и физики ускорителей (Б.В. Чириков, Г.М. Заславский), астрофизики (М. Эно, К. Хейлес), биллиардные задачи (Я.Г. Синай), проблемы небесной механики (В.М. Алексеев). Если открытие диссипативного хаоса с некоторой степенью полноты рассмотрено в литературе, то истории гамильтонова хаоса почти не уделено внимания. В работе сделана попытка восполнить этот пробел.

9. Рассмотрены методологические аспекты концепции хаоса, имеющие общефизическое и общенаучное значение, среди которых впервые затронут вопрос о том, как при получении следствий из давно сложившейся фундаментальной теории могут происходить глубокие концептуальные сдвиги. Проблемы хаоса позволили также наметить новые подходы к пониманию случайности и необходимости, их связи с понятием сложности.

Апробация работы. Материалы диссертационной работы докладывались на Международной юбилейной конференции, посвященной столетию В. Гейзенберга (2001) и конференции, посвященной столетию П. Дирака и Ю. Вигнера (2002) в Москве, ИИЕТ РАН; конференции в МПГУ, посвященной столетию A.B. Перышкина (2002) в Москве; Международной конференции "Трансформация волн, когерентные структуры и турбулентность" (2004) в Москве, ИКИ РАН; на семинарах в ИИЕТ РАН, в Физическом институте им. П.Н. Лебедева РАН, в Институте философии

РАН, на общемосковском семинаре "Синергетика" в МГУ, в Институте машиноведения РАН.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, пяти глав, заключения, приложения и списка литературы. Объем диссертации 368 страниц, 26 рисунков, список литературы насчитывает 779 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы исследования, сформулированы цели и задачи работы, показана научная новизна работы, сформулированы выносимые на защиту положения.

ПРЕДЫСТОРИЯ ХАОСА

ГЛАВА I. Предыстория динамического хаоса: физические корни и истоки исследований систем со сложным поведением (1880-1940-е гг.)

1.1. Точка отсчета - качественные методы. А. Пуанкаре и A.M. Ляпунов (1881-1918). К открытию хаоса привели физические задачи (Рис. 1) и среди них - вопросы небесной механики, которые со всей остротой поставили задачу интегрирования дифференциальных уравнений. Традиционные методы были исчерпаны, вследствие чего были созданы качественные методы - изучение свойств решений уравнений без нахождения самих решений (А. Пуанкаре, A.M. Ляпунов, конец XIX в.). Ляпуновым было введено понятие характеристических чисел (1892), что впоследствии привело к формированию показателей Ляпунова, имеющих фундаментальное значение для теории хаоса.

При изучении задачи трех тел Пуанкаре впервые описал гомо-клинические структуры (1890), ставшие одним из основных объектов в теории хаоса. В задачах о фигурах равновесия вращающихся жидких масс появилось понятие бифуркации (А. Пуанкаре, A.M. Ляпунов), имеющее общенаучное значение. Ж. Адамар в задаче о геодезических потоках на поверхностях отрицательной кривизны (1898) впервые обнаружил важнейшую характеристику

хаотического движения - чувствительную зависимость поведения системы от начальных условий.

1.2. Дж. Биркгоф. Теория динамических систем. Теория нелинейных колебаний. Школа А.А. Андронова. Работы Дж. Биркшфа составили новый этап в развитии качественной теории (1912-1935). Основным объектом исследования у Биркгофа становится ДС - система, эволюция которой на основе динамического закона однозначно определяется начальным состоянием. Биркгоф выдвинул глобальную программу изучения ДС (программа Пуанкаре- Биркгофа, 1927) - дать общую классификацию всех типов движений ДС.Теория ДС стала предметом исследований в СССР. Первые шаги были связаны с изучением процессов в ламповом генераторе. Принципиально новый момент состоял в постановке нелинейных задач ("нелинейное мышление" Л.И. Мандельштама, 1930-е гг.). Идеи Мандельштама

Рис. 1. Предпосылки исследований, приведшие к открытию динамического хаоса

воплотились в школе его ученика А.А. Андронова, которой принадлежит главная заслуга в построении новой физической теории - теории нелинейных колебаний (1930-е гг.). Математическим аппаратом новой теории стала теория ДС, которая нетривиальным образом была распространена на диссипативные системы и при этом сама обогатилась новыми значительными результатами. Были сформулированы первичные, базовые нелинейные понятия, среди которых важное место заняло понятие автоколебания. Особое значение приобрели топологи-

ческие методы. Был введен важнейший топологический инвариант -понятие грубости (A.A. Андронов, JI.C. Понтрягин, 1937). Грубые системы - класс ДС, у которых топологическая структура фазовых траекторий не меняется при малых изменениях дифференциальных уравнений. С грубостью тесно связано понятие бифуркации, теория которых получила глубокую разработку в школе Андронова.

Андронов сформулировал программу исследований ДС: изучить структуру разбиения фазового пространства на фазовые траектории и изменения этой структуры в зависимости от значений параметров. Программа Андронова определила развитие теории на многие годы вперед. После изучения систем на плоскости логика развития требовала перехода к многомерным системам (N > 3). В основном эти исследования приходятся на послеандро-новское время.

1.3. Начальный период эргодической теории. Работы Н.С.Крылова. Фундаментальная физическая проблема - обоснование статистической механики - явилась другим истоком открытия хаоса. Эта линия вместе с идеями Пуанкаре об изучении поведения ДС "в целом" (теорема о возвращении) положила в 1930-е гг. начало эргодической теории (Дж. Биркгоф; Дж. фон Нейман; Н.М. Крылов, H.H. Боголюбов) - важнейшей части математической основы теории хаоса.

Помимо эргодического движения имеется более сложный вид движения - перемешивание, когда "капля фазовой жидкости" сложным образом растекается в фазовом пространстве (Дж. Гиббс, 1902; Э. Хопф, 1937). Системы с перемешиванием легли в основу пионерских работ по обоснованию статистической механики Н.С. Крылова (1940-е гг.), оказавших существенное влияние на исследования хаоса в СССР.

1.4. Развитие теории турбулентности. Еще один исток теории хаоса - исследования по турбулентности. Сформировалось два направления: зарождение турбулентности; развитая турбулентность. В описании развитой турбулентности крупнейшей ее частью является статистическая теория турбулентности (JI. Ричардсон, Дж. Тейлор, А.Н. Колмогоров, 1922-1941). В теории Колмогорова получены количественные результаты, допускающие экспериментальную проверку, и на нее ориентировалось все последующее развитие как гидродинамической, так и плазменной турбулентности. Стати-

стическая теория турбулентности внесла новые идейные моменты, получившие отражение в теории хаоса (понятие самоподобия). При потере устойчивости решений уравнений гидродинамики переход к турбулентному движению рассматривается через возникновение и эволюцию неустойчивостей. Линейная теория гидродинамической неустойчивости (В. Гейзенберг, 1924) явилась необходимым первым шагом к построению нелинейной теории неустойчивости, с которой связывается надежда на решение проблемы турбулентности.

ИСТОРИЯ ХАОСА ГЛАВА II. Теория динамических систем (1950-1980 гг.)

2.1. Предварительные замечания. 1950-е гг. представляют заметный рубеж для развития науки вообще. Глубокие изменения претерпела теория ДС. Другой предпосылкой явились внешние условия, что позволило развернуть научные исследования в огромных масштабах: атомный проект, программа управляемого термоядерного синтеза (УТС), освоение космического пространства и др. К числу основных предпосылок относится появление ЭВМ. Положительную роль сыграло изменение политического режима в стране после 1953 г. Ключевое место в истории динамического хаоса занимает А.Н. Колмогоров, чья роль по своему значению сопоставима только с Пуанкаре. Во многом с Колмогоровым связан взлет теории ДС во второй половине XX в.

2.2. Теория Колмогорова-Арнольда-Мозера (теория KAM). В интегрируемой системе в переменных действие - угол (Ш.Делоне, 1860) движение будет происходить на многомерных торах с частотами сок, к=1, ... , N. Теория возмущений приводит к появлению членов с малыми знаменателями 1/кю, если кю = к,(£>,+.. .+kNtoN ~ 0 (условие резонанса). Пуанкаре стал рассматривать неинтегрируе-мую задачу в контексте общих вопросов динамики: как избежать расходимости при действии возмущений на интегрируемую га-мильтонову систему ("основная проблема" динамики). Несмотря на все усилия (Дж. Биркгоф, М. Борн, К. Зигель и др.) до Колмогорова проблема оставалась нерешенной.

Главный результат теории KAM: при малом возмущении и некоторых дополнительных условиях большинство нерезонансных торов не

разрушается, а лишь немного деформируется. Разрушенные резонансные торы, мера которых мала, являются "зародышами" хаоса. Колмогоров не довел до конца доказательство своих результатов. Оно было завершено Ю. Мозером и В.И. Арнольдом. К ранним применениям теории KAM относится обнаружение сложных движений при решении астрофизической задачи М. Эно и К. Хейлесом (1964), что оказалось одним из первых проявлений хаоса. Теория KAM является одним из крупнейших достижений науки XX в. и входит в основы теории хаоса.

2.3. Эргодическая теория. Гиперболические системы. Важнейшее значение для теории хаоса имели работы Колмогорова по эргодической теории (1958-1959), в которых было введено два фундаментальных понятия - K-системы и энтропия ДС. В определение энтропии важный вклад внес Я.Г. Синай. Энтропия Колмогорова-Синая (КС-энтропия) служит мерой экспоненциального сближения или разбегания траекторий ДС. K-системы описывают ДС с самыми слабыми свойствами регулярности и обладают положительной энтропией. Энтропия связана с другой количественной характеристикой неустойчивости траекторий - показателями Ляпунова (Я.Б. Песин и др., 1975). В основе их использования в теории хаоса лежат результаты В.И. Оселедца (1968) и В.М. Миллионщикова (1969) (мультипликативная эргодическая теорема). Показатель Ляпунова к траектории х(0) определяется

cl(t)

m

между траекториями.

Математическим выражением локальной неустойчивости является понятие гиперболичности - сближение траекторий в одном направлении и разбегание в другом с экспоненциальной скоростью. В 1960-е гг. считалось возможным объяснить главные свойства ДС на основе гиперболичности ("гиперболическая революция", основной вклад внесли С. Смейл и Д.В. Аносов). Полагали, что для многомерных ДС характерно простое поведение, как и в двумерном случае. Но Смейл продемонстрировал наличие сложной динамики в двумерном отображении (подкова Смейла, 1961) и показал, что многомерные аналоги двумерных систем с простым поведением нигде не плотны (1966). В многомерном случае типичными являются ДС, обладающие сложным поведением, что является одним из поворотных пунктов в понимании явления хаоса.

как верхний предел А(л(о)) = Um 1 in

t->oof

где d(t) - "расстояние"

2.4. Теория бифуркаций. Гомоклинические структуры. Одним из путей изучения отдельных классов ДС со сложным поведением стала теория бифуркаций. Значительное воздействие на ее разработку оказала проблема турбулентности (сценарий Ландау-Хопфа, 1944-1948), когда через последовательность бифуркаций происходит каскадное развитие неустойчивостей. Другие побудительные мотивы возникли из теории самоорганизации (И. Пригожин, М. Эйген, 1960-е гг.) и теории особенностей гладких отображений (X. Уитни, 1955, В.И. Арнольд и др., 1980-е гг.). В 1970-е гг. относительную завершенность получила теория локальных бифуркаций. В изучение глобальных бифуркаций большой вклад внесли нижегородские математики (Л.П. Шильников и др.). Для многомерных систем эффективен метод точечных отображений Пуанкаре, который в 1950-1960-е гг. предстал в виде законченной теории (Ю.И. Неймарк и др.), что дало возможность рассматривать самые разные задачи (бифуркации, гомоклинические структуры и др.).

Неустойчивость, сложность

КС-энтропия

Показатели Ляпунова

Гиперболичность

Гомоклинические структуры

Физические критерии хаоса (критерий Чирикова, расцепление корреляций)

Рис. 2. Математические и физические показатели хаоса

Гомоклинические структуры - крайне сложно устроенные множества, основные строительные блоки динамического хаоса. Впервые количественные исследования шмоклинической структуры были проведены В.К. Мельниковым (критерий Мельникова, 1963) и В.И. Арнольдом (1964), значительный вклад внесла Нижегородская школа (Ю.И. Неймарк, Л.П. Шильников). Среди ее достижений - математическая модель, демонстрирующая хаотическое поведение (система Шильникова, 1965-1970) и описывающая многочисленные явления в различных физических системах.

2.5. Алгоритмическая сложность. Исследования хаоса заострили внимание на понятии сложности. Колмогоров с помощью теории

алгоритмов формализовал понятие сложности (1965), что открыло новый подход к понятиям случайности и вероятности. За сложность принимается минимальная длина программы, дающей возможность построить данный объект. Случайную последовательность нельзя описать программой более короткой, чем сама эта последовательность. Колмогоровская сложность развилась в большую математическую теорию с многочисленными применениями.

Полученные результаты в теории ДС составили математическую основу в открытии и исследованиях хаоса в физических системах в 1960-1970-е гг.

ГЛАВА III. Хаос в гамильтоновых системах (конец 1950-х - 1980-е гг.)

3.1. Новые задачи теории нелинейных колебаний. Стохастическая неустойчивость. Постановка новых физических задач (УТС, создание новых ускорителей и др.) усилили интерес к гамильтоновым системам. Главным центром исследований стал Институт ядерной физики СОАН СССР, где они группировались вокруг Б.В. Чирикова и Г.М. Заславского. Чириков сформулировал программу исследований - изучение многомерных нелинейных колебаний консервативной системы в целом, т.е. на неограниченном временном интервале и для произвольных начальных условий. Основой анализа стали понятия нелинейного резонанса и взаимодействия нелинейных резонансов - одновременное действие нескольких гармоник возмущения. Взаимодействие резонансов зависит от соотношения между шириной резонанса (ширина сепаратрисы) Дсо и расстоянием до ближайшего соседнего резонанса А= |а>.+1 - coj. Перекрытие резонансов начинается при касании сепаратрис, S=Aco/A > 1 - критерий Чирикова (1959) -общий качественный критерий возникновения хаоса в маломерной гамильтоновой системе, с помощью которого были изучены многочисленные физические задачи.

Значительное влияние на исследования оказала проблема Ферми-Паста-Улама (ФПУ, 1955), затронувшая фундаментальные вопросы физики. Она возникла из задачи о распределении энергии в цепочке из нелинейных осцилляторов. Вместо ожидаемо-

го равномерного распределения энергии между модами система демонстрировала устойчивое квазипериодическое движение. С ФПУ-проблемой связана задача ускорения Ферми о статистическом механизме ускорения космических частиц. В работе Б.В. Чирикова и Г.М. Заславского об ускорении Ферми (1964) был сформулирован еще один критерий возникновения хаоса из условия расцеплений корреляций и найдена область стохастичности. Заложенные в этой работе идеи и методы оказали значительное воздействие на дальнейшие исследования хаоса. В сильнейшей степени обнаружению феномена хаоса и пониманию проблемы способствовал вычислительный эксперимент.

3.2. Проблема зарождения хаоса. Стохастический слой. Стандартное отображение. При разрушении сепаратрисы под действием возмущения возникает область сложных движений (гомоклиническая структура). В Новосибирской школе эта область получила название стохастический слой. К его изучению привела важная задача физики плазмы о разрушении магнитных поверхностей (Г.М. Заславский, Р.З. Сагдеев, H.H. Филоненко и др., 1967). Стохастический слой является зародышем хаоса в га-мильтоновых системах. Полученные результаты вышли далеко за рамки первоначально поставленных задач физики плазмы. Для описания перехода от регулярного движения к хаосу широко использовалось стандартное отображение (отображение Чирикова, 1969), к которому сводятся многие физические задачи.

3.3. Диффузия Арнольда и стохастическая паутина. В многомерных системах (N > 2) возможно объединение слоев в связанную сеть на поверхности постоянной энергии, по которой происходит движение, оставаясь внутри стохастического слоя {диффузия Арнольда, 1964). Доказательство присутствия этого явления в физических системах - крайне сложная задача (Б.В. Чириков с сотрудниками, 1970-е гг.). В настоящее время существование диффузии Арнольда твердо установлено. Во многих задачах теория KAM непосредственно неприменима (нарушение условия невырожденности). Изучение вырожденных систем привело к открытию новых явлений и к расширению представлений о зарождении хаоса (Г.М. Заславский с сотрудниками). Одной из таких задач, имеющих много приложений, является задача о взаимодействии частицы с волновым пакетом в поперечном магнитном поле.

Рис. 3. Физические и математические факторы, приведшие к теории гамиль-

тонова хаоса

Было обнаружено образование сети по механизму, сходному с диффузией Арнольда - паутина Заславского (1986). Для нее N = 1.5, что важно для многих физических задач, и скорость диффузии значительно превышает скорость диффузии Арнольда. Другое принципиальное отличие связано с геометрией паутины. При определенных условиях покрытие фазовой плоскости паутиной Заславского имеет замечательно симметричную форму (кристаллического и квазикристаллического типа), границы образуют фрактальные кривые.

3.4. Биллиардные задачи. Работы Я.Г. Синая. Квазислучайная динамика (В.М. Алексеев). Н.С.Крылов в задаче о перемешивании при столкновении упругих шаров (биллиард) отметил аналогию биллиардов с геодезическими потоками. Задача Крылова была решена Я.Г. Синаем (1963-1970) (Рис. 4). Строгий подход стал возможен после введения Колмогоровым понятия энтропии и К-системы. Я.Г. Синай впервые на примере рассеивающего биллиарда математически строго показал возникновение в системе с небольшим числом степеней свободы хаотического движения без какого-либо внешнего случайного воздействия. Этот результат Я.Г. Синая явился одним из главных достижений в теории хаоса. Открытие хаоса неразрывно связано с именем В.М. Алексеева, изучавшего проблему финальных движений в задаче трех тел - поведение трех материальных точек, взаимодействующих между собой по закону всемирного тяготения, при 1: —со и 1; —►—со (Рис.5). В.М. Алексеев с помощью методов теории ДС обнаружил в финальных движениях хаотические движения (квазислучайные движения,

1968) с чувствительной зависимостью от начальных условий.

В итоге отметим следующее. Хаотическая динамика проявилась в системе Эно-Хейлеса. Исследования Новосибирской школы позволили не только открыть хаос, но изучить его в самых разных физических системах. Строгие результаты Я.Г. Синая и В.М. Алексеева не оставили никаких сомнений в реальности феномена хаоса. Он был понят и осмыслен, выявлены механизмы, ответственные за переход к хаосу.

Рис. 4. Схема исследований, приведшая к открытию биллиардного хаоса

ГЛАВА IV. Диссипативный хаос (1960-1970 гг.)

4.1. Лазерный аттрактор. Открытие хаоса в диссипативных системах связывается с основополагающей работой Э. Лоренца (1963). В начале 1960-х гг. феномен диссипативного хаоса проявился и в других исследованиях. Одна из работ относится к лазерной физике (А.З. Грасюк, А.Н. Ораевский, 1963), в которой изучались процессы в молекулярном генераторе, и полученная система уравнений, как выяснилось позже, была полностью идентична системе Лоренца (Г. Хакен, 1975). Все это вызвало определенный интерес, но истинное значение полученных результатов в то время осталось непонятым. Экспериментальное подтверждение лазерного аттрактора относится к 1980-м гг.

4.2. Состояние вопроса о возможности хаоса в маломерных диссипативных системах к началу 1970-х гг. Несмотря на достижения 1960-х гг., еще не пришло понимание того, что хаос представляет широко распространенную реальность и в диссипативных системах. Представления о сложности и разнообразии нелинейных задач дают материалы 1-й Горьковской школы по нелинейным колебаниям и волнам (1972). Рассматривались возможности хаотического поведения, но не были известны ни кон-

Рис. 5. Схема исследований хаоса в задаче трех тел

кретные проявления, ни место хаоса в нелинейных диссипатив-ных системах. Признание работы Э. Лоренца в середине 1970-х гг. высветило под другим углом зрения всю проблему, началось изучение хаоса широким фронтом.

4.3. Аттрактор Лоренца и другие аттракторы. Результаты Э. Лоренца и А.З. Грасюка и А.Н. Ораевского послужили исходным пунктом для изучения математической структуры аттрактора Лоренца (B.C. Афраймович, В.В. Быков, Л.П. Шильников, 1977). В основу были положены вычислительный эксперимент и методы теории бифуркаций. Данное исследование является реализацией программы Андронова для системы Лоренца: была изучена картина эволюции структуры разбиения фазового пространства на траектории при изменении параметров.

Реальные системы неоднородны, в них области упорядоченности и хаоса не присутствуют в "чистом виде", а переплетаются сложным образом (Рис. 6). В консервативном случае это системы с разделяющимся фазовым пространством (Б.В. Чириков, Г.М. Заславский, Я.Г. Синай, 1968-1970). Для диссипативных систем характерны квазиаттракторы (B.C. Афраймович, Л.П. Шильников, 1985) - хаотическое движение в области странных аттракторов перемежается регулярными движениями. Сосуществование областей с регулярным и хаотическим движением является главным препятствием для математически строгого описания. Простейшую модель странного аттрактора предложил Г.М. Заславский (1979), она вошла в число классических моделей диссипативного хаоса.

4.4. Теория турбулентности, новые подходы, новые надежды (1960-1970 гг.) На формирование нелинейной физики огромное влияние оказали исследования плазмы и плазменной турбулентности. Для колебаний с малой амплитудой была развита теория слабой турбулентности и построена квазилинейная теория плазмы (A.A. Веденов, Е.П. Велихов, Р.З. Сагдеев; В. Драммонд,

Д. Пайнс, 1961). Вывод квазилинейных уравнений возможен без статистического описания (приближение хаотических фаз и др.), а только вследствие нелинейных процессов (Г.М. Заславский и H.H. Филонеяко, 1968,1973).

Рис. 6. Различные характеристики регулярных и сложных движений в реальных системах

Значительное идейное воздействие на развитие теории турбулентности оказал сценарий Ландау-Хопфа. Новый подход, развитый в 1960-е гг., состоял в моделировании турбулентного движения с помощью маломерных ДС. Сценарий Ландау-Хопфа и идеи С. Смейла послужили источником другой концепции (сценарий Рюэля-Такенса, 1971), в которой было введено одно из ключевых понятий нелинейной динамики - понятие странного аттрактора, ставшего математическим образом диссипативного хаоса. Согласно сценарию Рюэля-Такенса, после трех бифуркаций вероятно образование странного аттрактора с чувствительной зависимостью от начальных условий.

Простейшую математическую модель в теории хаоса представляют дискретные отображения (Дж. фон Нейман, С. Улам, 1947). Важное свойство унимодальных отображений установил А.Н. Шарковский (1964), введя отношение, превращающее множество натуральных чисел в другое упорядоченное множество (порядок Щарковского). Частный результат теоремы Шарковско-го был установлен Т. Ли и Дж. Йорке (1975): из существования периода 3 следует существование периодических траекторий любого периода, что было связано с хаотической динамикой. После этой работы появился термин "динамический хаос". Для одномерных отображений от конкретной итерационной схемы не

зависят как качественные (Н. Метрополис и др., 1971), так и количественные особенности (М. Фейгенбаум, 1978). Это легло в основу концепции универсальности в поведении нелинейных систем. При бифуркациях удвоения периода определяющими становятся асимптотические законы с универсальными постоянными и функциями (сценарий Фейгенбаума). Имеется идейное сходство сценария Фейгенбаума с моделями Ричардсона-Колмогорова и Ландау-Хопфа, где объединяющим началом является идея самоподобия. Здесь просматриваются связи с еще одним ключевым понятием хаотической динамики - фракталами (П. Фату, Г. Жю-лиа, 1918; Б. Мандельброт, 1975), характерными для странных аттракторов. Еще один сценарий возникновения турбулентного движения - это переход к хаосу через перемежаемость (И. Помо, П. Манневиль, 1980). При превышении критического значения параметра в системе Лоренца ламинарные движения перемежались турбулентными импульсами, но при иной последовательности бифуркаций, чем в моделях Рюэля-Такенса и Фейгенбаума. Несмотря на все эти успехи, разрешить проблему турбулентности аппроксимацией маломерными ДС не удалось.

Открытие хаоса было подготовлено всем предшествующим развитием физики и теории ДС. При этом и для диссипативного, и для гамильтонова хаоса оказались общими многие физические и математические аспекты (чувствительная зависимость от начальных условий, устойчивость хаоса, образование гомоклини-ческой структуры, показатели Ляпунова, и др.). К концу 1970-х гг. сложились основные представления о хаосе, механизмах перехода от регулярного движения к хаотическому, сформировался математический аппарат. Исследования хаоса охватили самые разные области физики и ее приложений. Одновременно встала другая задача - осмысление феномена хаоса в общей структуре физических и математических знаний.

4.5. Особенности открытия феномена динамического хаоса. Открытие хаоса отличается от других научных достижений, определяющих наше миропонимание. В открытии хаоса отсутствует этап создания новой концептуальной структуры. Центр тяжести переносится на получение следствий, и тут открывается новое поле возможностей для обогащения представлений о мире. Исходный теоретический фундамент был давно установлен - основные положения

классической механики. Развитие прошло два этапа: математический, который питался физическими задачами, и физический, когда новые конструкции были применены для интерпретации конкретных явлений. Говорить об открытии хаоса можно после установления следующих черт: наличие сложного поведения маломерных систем; существование механизма такого поведения - внутренняя локальная неустойчивость системы; устойчивость хаотического поведения; типичность хаоса, его распространенность в разнообразных физических ситуациях. Установление всей совокупности черт и предопределило растянувшийся на восемь десятилетий период, после которого стало возможным говорить об открытии хаоса.

Ландау -Хопф

Рис. 7. Пути перехода к хаотической динамике в диссипативных системах

До открытия хаоса многое было известно, но не было понимания сути новых явлений и места, которое они занимают. Открытие хаоса привело к качественному скачку в сознании научного сообщества, было осознано расширение границ статистического описания. Общеизвестную линию развития в открытии диссипа-тивного хаоса на завершающем этапе можно изобразить цепочкой Э. Лоренц-С. Смейл-Д. Рюэль, Ф. Такенс. Другая линия идет через небесную механику и эргодическую теорию и восходит к Л. Больцману, А. Пуанкаре, Дж. Биркгофу, Э. Хопфу, Н.С. Крылову, А.Н. Колмогорову, Я.Г. Синаю. Эта линия развития привела к открытию хаоса в гамильтоновых системах (Б.В. Чириков и Г.М. Заславский, М. Эно и К. Хейлес, Я.Г. Синай, В.М. Алексеев).

ГЛАВА V. Многообразие аспектов феномена хаоса

5.1. Хаос и неинтегрируемость. Хаотическая динамика тесно связана с нетривиальной проблемой интегрируемости дифференциальных уравнений; оказалось, что неинтегрируемость обусловлена сложным характером поведения ДС (В.В. Козлов, 1983). Первая строгая постановка вопроса об интегрируемости связала интегрирование гамильтоновой системы в квадратурах с существованием достаточно большого набора ее первых интегралов (Э. Бур, Ж. Лиувилль, 1855). Большинство уравнений неинтегрируемо (А. Пуанкаре, 1892). Интегрируемая система может быть "расщеплена" с помощью преобразований координат на совокупность простых ДС (полная интегрируемость, Ж. Лиувилль, 1855; В.И. Арнольд, 1963), когда в системе с п степенями свободы имеется п независимых интегралов в инволюции. В неинтегрируемом случае траектории не ложатся на многообразия малого числа измерений, возможен сложный характер движения. Общим моментом различных подходов к проблеме интегрирования гамильтоновых систем является наличие независимых интегралов - законов сохранения. Каждый добавочный интеграл приводит к существенным ограничениям в поведении траекторий. Для диссипативных систем не существует строгого определения интегрируемости. В этом случае ставится задача определения наиболее характерных, качественных черт при помощи геометрического построения кривых, определяемых самими дифференциальными уравнениями (качественное интегрирование).

5.2. Методологические аспекты динамического хаоса. Издавна доминирует положение, согласно которому устройство мира в главных чертах можно объяснить с помощью нескольких простых фундаментальных принципов. Указанный подход представляет двухуровневую схему: фундаментальные уравнения теории и получение следствий из этих уравнений. Считается, что главные представления об устройстве мира сосредоточены на первом уровне. Такое понимание составляет существенную часть современной теоретико-физической идеологии. Один из главных итогов открытия хаоса, имеющего общенаучное значение, состоит в том, что получение следствий может привести к концептуальным изменениям, сопоставимым с теми, какие обычно связываются с уровнем фундаментальных уравнений. Дина-

мический закон и приблизительное знание начальных условий и параметров уравнений позволяют определить относительно точное поведение системы в области устойчивости. В условиях внутренней неустойчивости системы описание возможно только статистическое, информация о системе не столь детальна, как при динамическом подходе.

Хаотическая динамика привела к разделению классической механики на динамическую и статистическую части (М. Борн, 1958; Б.В. Чириков, 1969). Изменилось понятие предсказуемости поведения системы. Считалось, что возможности предсказания поведения имеют ограничения лишь практического характера, но не в принципиальном отношении. В системах с локальной неустойчивостью однозначное предсказание поведения системы допустимо лишь на коротких временных интервалах (Ю.А. Кравцов, 1989). Сосуществование областей регулярного и хаотического движений еще более осложняет ситуацию. Считалось, что, если теория прошла экспериментальную проверку при двух ситуациях в области ее применимости, ее выводы справедливы при интерполяции на промежуточные случаи. Данный тезис лежит в основе научного метода вообще. Теперь же при наличии, к примеру, точки бифуркации в промежуточной точке становится затруднительным делать выводы о состоянии системы в промежуточных точках. Возможности интерполяции результатов, а тем более экстраполяции, значительно сужаются (Л. Бриллюэн, 1964). Открытие хаоса внесло коррективы в понятие процесса измерения для систем классической механики. Здесь имеются три области движения. В области устойчивого регулярного движения возможно разделение явлений и средств наблюдения, и остается в силе причинное пространственно-временное описание. В неустойчивых системах возмущение, вносимое наблюдением, совершенно меняет движение системы, повторение экспериментов не дает близких результатов о динамической картине. Если в области устойчивого движения можно пренебречь влиянием вмешательства наблюдателя, то в области хаоса это будет справедливо лишь по отношению к статистическим величинам. Наиболее сложен промежуточный случай, когда хаос сосуществует с регулярным движением. К этому типу относится большинство реальных систем.

5.3. Динамический хаос: взаимодействие физического и математического аспектов. В предыстории хаоса, его открытии и последующих исследованиях исключительно велика роль математики. В исследованиях хаоса особое место занимает программа Чебышева-Колмогорова. Постановка задачи в такой форме не была характерной для физики. Пример - работа Лоренца, в которой обстоятельный анализ привел к принципиально новым результатам. Другой пример - теория KAM, которая позволила по-новому взглянуть на поведение широкого класса ДС и выявить их общие черты. Постановка и решение математической задачи о сходимости рядов теории возмущений привели к совершенно другому пониманию проблем динамики в целом, чем просто вычисления с нужной для практических целей точностью. Без строгого анализа математических задач, возникших при решении физических проблем, открытие хаоса вообще было бы невозможно.

5.4. Динамический хаос и случайность. Комплекс проблем, связанных с хаосом, высветил под другим углом зрения понимание случайности и ее связь с необходимостью и закономерностью. Исследования хаоса позволили сформулировать вариант классификации движений гамильтоновых систем по мере усложнения характера движения (Рис. 8): регулярные движения (интегрируемые системы или их аналоги с выраженным простым поведением); эргодические движения (слабейшая степень нерегулярности); движение со слабым перемешиванием; движения с сильным перемешиванием, перемешиванием п-то порядка, K-системы, системы Бернулли (B-системы). Для диссипативного случая простую картину нарисовать не удается, но можно выделить системы с усложняющимся движением. Иерархия случайностей, переход от большей регулярности к меньшей получили развитие с исследованиями хаоса, но понятие случайности намного шире и богаче, чем это традиционно рассматривается. Полное отсутствие закономерностей в появлении отдельных событий, когда случайность выражена максимально сильно, представляет случайность в традиционном виде. Из всего многообразия случайных величин именно такая случайность рассматривается в теории вероятностей, когда удается выявить простые статистические закономерности. Оба предельных случая - регулярность и случайность - подобны в том отношении, что допускают простое описание, но на разных уровнях.

Простое описание на динамическом уровне Сложные движения, но на статистическом уровне описание является простым Сложное сочетание хаоса и упорядоченности

Регулярные системы Эргоди-ческие системы Системы со слабым перемешиванием Системы с сильным перемешиванием Системы с крагшым перемешиванием к- системы в- системы Разделенное фазовое пространство

Увеличение сложностим

Рис. 8. Соотношение между различными видами движения гамильтоновых систем и сложностью

Случайности как отсутствию закономерности можно придать определенность с помощью понятия сложности конечного объекта. Сложность является первичной фундаментальной характеристикой действительности, с помощью которой можно описать

Рис. 9. Схема взаимодействий между различными физическими и математическими аспектами хаоса

Рис. 10. Схема логических взаимосвязей областей физико-математического знания, на основе которых возникла концепция динамического хаоса

с единых позиций регулярность, хаотичность, необходимость, случайность. Наименьшей сложностью обладают системы с регулярным движением.

В большинстве систем регулярная компонента может "неправильным" образом пронизывать области хаоса и сложность проявляется в наибольшей степени. Между регулярностью и случайностью нет пропасти, переход происходит постепенно. Взгляд на проблему под углом зрения меры сложности, связанной с уровнем описания позволяет обнаружить новые моменты и связи, и открываются дополнительные возможности для дальнейшего изучения проблемы.

5.6. Хаос и самоорганизация. Богатство форм взаимодействия порядка и хаоса проявляется в процессах самоорганизации. Здесь имеются классические отечественные результаты, относящиеся к математическим моделям в биологии (А.Н. Колмогоров, И.Г. Петровский, Н.С. Пискунов (КПП), 1937) и к химической кинетике (Я.Б. Зельдович, Д.А. Франк-Каменецкий, 1938). До появления работы КПП почти все виды волновых движений описывались гиперболическими уравнениями. Использование параболического уравнения КПП для описания распространения волн было принципиально новым шагом, оно является одной из базовых моделей для описания автоволновых процессов. Промежуточно асимптотические решения параболических уравнений в виде бегущей волны оказались очень плодотворными для теории горения (Я.Б. Зельдович, Д.А. Франк-Каменецкий).

Яркий пример самоорганизации дают недавние исследования в астрономии (планетные кольца и галактики). В теоретических построениях для понимания всего комплекса проблем, связанных с кольцами, решающая роль здесь принадлежит A.M. Фридману и его ученику H.H. Горькавому (1985-1989). Эта теория не только описывает наблюдаемые свойства колец, но и обладает предсказательной силой — гипотеза о существовании за зоной колец Урана серии неоткрытых спутников (A.M. Фридман, H.H. Горькавый, 1985), которую подтвердил аппарат "Вояджер-2" (1986). Продолжением работ по физике гравитирующих систем явились исследования структуры галактик (A.M. Фридман и др., 1986-2003). Были обнаружены новые вихревые структуры между рукавами галактик, оказавшиеся универсальной принадлежностью спиральных галактик. Было предсказано существование гигантских антициклонических вихрей, что было подтверждено наблюдениями. Хаотическое поведение было обнаружено даже в областях,

которым свойственна регулярность и высокая предсказуемость результатов, - например, в небесной механике (Б.В. Чириков и В.В. Вечеславов, хаотическая динамика кометы Галлея, 1989). Было проанализировано движение кометы Галлея с использованием данных об ее возвращении за период с 240 г. до н.э. и показано, что в динамике кометы имеется хаотическая компонента.

Хаос и упорядоченность не представляют собой антиподы, они существуют совместно. Реальные системы находятся в некотором промежуточном состоянии, в котором присутствует и то и другое.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Традиционно в физике считалось, что статистическое описание возникает при возбуждении большого числа степеней свободы, либо вследствие внешних случайных воздействий, либо случайность присутствует в начальных данных. Историю открытия хаоса в течение восьми десятилетий можно рассматривать как историю пересмотра этих интуитивных представлений.

2. Исследования хаоса привели к пониманию того, что существует тип сложных движений ДС, принципиально отличных от известных простых движений. Хаотическим поведением могут обладать системы небольшой размерности, описываемые уравнениями с простыми правыми частями. Хаос оказался присущим большей части ДС и проявляется практически во всех основных областях современной физики.

3. Открытие хаоса относится к 1960-м гг., и к его открытию привели насущные задачи физики, механики, техники, а также внутренняя логика развития математики. Принципиальную роль сыграл вычислительный эксперимент.

4. Исследования хаоса показали, что классическая механика оказалась далеко не исчерпанной. Математический формализм дал возможность обнаружить принципиально новые явления в рамках существующего физического фундамента.

5. Исследования хаоса имеют междисциплинарный характер. В теории хаоса воплощены понятия и методы разных областей математики и точного естествознания. Идеи теории хаоса вышли

далеко за пределы первоначально очерченных рамок и проникают не только во все естественные науки, но и во все расширяющийся круг разделов техники.

6. Одним из главных факторов в открытии хаоса явились задачи, потребовавшие изучения нелинейных систем. Нелинейность вошла в число основных физических принципов, нелинейные системы стали рассматриваться как самостоятельные сущности с развитием адекватного математического аппарата.

7. В открытии хаоса прослеживаются два главных этапа -математический и физический. На математическом этапе были обнаружены сложные движения в ряде математических моделей и созданы средства для их описания. На физическом этапе такие движения были открыты в реальных физических системах и установлена их широкая распространенность.

8. В открытии и формировании основных понятий хаоса, изучении его свойств выдающееся место занимает отечественная наука, которая в значительной степени определяет современный облик этой области знания. Результаты A.M. Ляпунова, Л.И. Мандельштама, A.A. Андронова, Л.С. Понтрягина, А.Н. Колмогорова, Н.М. Крылова, H.H. Боголюбова, Н.С. Крылова, Л.Д. Ландау, В.И. Арнольда, Я.Г. Синая, Д.В. Аносова, Б.В. Чирикова, Г.М. Заславского, Ю.И. Неймарка, Л.П. Шильникова, В.И. Оселедца и др. во всем мире признаны классическими.

9. Проявления хаотического движения различаются в гамиль-тоновых и диссипативных системах. Для диссипативных систем характерно образование странных аттракторов. В гамильтоновых системах движение можно классифицировать в соответствии с мерой их сложности. В реальных системах сосуществуют области с регулярным и хаотическим движением (системы с разделяющимся фазовым пространством, квазиаттракторы). В этом случае становится затруднительным использование существующих методов, поскольку и динамические, и статистические методы разработаны для однородной упорядоченности и однородного хаоса.

10. Исследования хаоса дополнили существующую естественнонаучную картину мира. Главные представления об устройстве мира сосредоточены не только на уровне физических основ теории. Извлечение следствий из них также может привести к кон-

цептуальным сдвигам без изменения теоретического фундамента. Открытие хаоса явилось составной частью вероятностной революции, преобразившей модель мироздания и всего стиля научного мышления.

11. Исследования хаоса привели к необходимости пересмотра ряда физических положений. Выявились принципиальные ограничения на возможности предсказания поведения системы, которое во многих случаях приобретает статистический характер. В другую плоскость перешли вопросы соотношения объекта и наблюдателя, процесса измерения. Значительно сузились возможности интерполяции, а тем более экстраполяции результатов измерений.

12. Исследования хаоса позволили наметить новый подход к пониманию природы случайности и ее связи с необходимостью и закономерностью. За основу берется понятие сложности, представляющей первичную фундаментальную характеристику явлений действительности. Сделаны первые успешные шаги по формализации понятия сложности. Проявления сложности варьируются в очень широких пределах - от минимального (регулярность, динамическое описание) до сильного проявления (полная нерегулярность, статистическое описание). Сложность выступает в максимальной степени в системах, в которых одновременно присутствуют и регулярность, и хаос.

13. Исследования сложной динамики происходили при взаимодействии и конкуренции нескольких исследовательских программ. Программа Пуанкаре-Биркгофа задала общее направление развития теории динамических систем. Ее конкретизация и сужение, воплощенные в программах Андронова, эргодической теории, гиперболической теории, программе Чирикова, Арнольда, а также в программе Чебышева-Колмогорова привели к построению ряда разделов современной теории ДС и теории нелинейных явлений.

14. Хаос теснейшим образом связан с процессами самоорганизации, что представляет своеобразную форму взаимодействия случайности и упорядоченности. В реальных системах упорядоченность и хаос не существуют в "чистом виде", а в разных пропорциях присутствуют обе компоненты.

16. Представления о хаосе приобрели общефизический и обще-

научный характер. Под другим углом зрения предстали вопросы части и целого, закономерности и случайности, динамического и статистического, устойчивого и неустойчивого и т.д.

17. Отметим то, что не отражено в данной работе или чему уделено недостаточно внимание. Незатронутыми остались вопросы экспериментального изучения хаоса и связанных с этим проблем. Такие исследования интенсивно проводятся в Нижегородском и Саратовском университетах, МГУ, Институте прикладной физики РАН (Н. Новгород), Институте радиотехники и электроники РАН (Москва) и в ряде других исследовательских учреждений. Не затронута история развития исследований квантового хаоса, которая представляет самостоятельную и интенсивно развивающуюся область. В малой степени рассмотрена связь хаоса с процессами самоорганизации. Этот предмет столь обширен, что более или менее его серьезное рассмотрение требует отдельных исследований.

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИИ ИЗЛОЖЕНЫ В СЛЕДУЮЩИХ ПУБЛИКАЦИЯХ АВТОРА:

Статьи в журналах, рекомендованных ВАК

1. Мухин Р.Р. Колмогоров и теория КАМ: заметки к истории ее создания [Текст] / P.P. Мухин // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика.- 2003.-Т. ll.-Ml.-C.3-ll.

2. Мухин Р.Р. Вычислительный эксперимент: что это такое? [Текст] / Р.Р. Мухин // История науки и техники. - 2003. - № 3. - С. 23-29.

3. Мухин Р.Р. Симметрия и хаос [Текст] / Р.Р. Мухин // История науки и техники. - 2004. - № 6. - С. 2-12.

4. Мухин Р.Р. "Для понимания структуры и природы колец старые методы небесной механики оказались неприменимыми". Интервью с А.М.Фридманом [Текст] / Р.Р. Мухин // Вопросы истории естествознания и техники. -2005. - № 3. - С. 157-168.

5. Мухин Р.Р. Хаос и неинтегрируемость в гамильтоновых системах [Текст] / Р.Р. Мухин // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. - 2006. - Т. 14. - № 1. - С. 3-24.

6. Мухин P.P. Турбулентность по Ландау, странные аттракторы и пути перехода к хаосу [Текст] / Р.Р. Мухин // История науки и техники. - 2008. -№ 4. -С. 18-29.

7. Мухин Р.Р. Может ли просто устроенная система вести себя сложно и непредсказуемо? Математические биллиарды [Текст] / Р.Р. Мухин // История науки и техники. - 2008. - № 6. - С. 2-8.

8. Мухин Р.Р. Из истории гамильтонова хаоса: исследования стохастич-ности нелинейных систем в трудах Новосибирской школы [Текст] / Р.Р. Мухин // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. - 2008. - Т. 16.-№5.-С. 67-82.

9. Мухин Р.Р. Из истории гамильтонова хаоса: биллиарды [Текст] / Р.Р. Мухин // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. - 2008. - Т. 16.-№6.-С. 86-98.

10. Мухин Р.Р. Является ли механика Ньютона завершенной? Теория Колмогорова-Арнольда-Мозера [Текст] / Р.Р. Мухин // История науки и техники. - 2010. -№ 4. - С. 46-56.

11. Мухин Р.Р. Предсказание погоды, система Лоренца и лазерный аттрактор [Текст] / Р.Р. Мухин // История науки и техники. - 2010. - № 6. -С. 14-22.

Другие публикации

1. Мухин P.P. Развитие идей А А. Андронова в современной теории нелинейных явлений [Текст] / Р.Р. Мухин // Преподавание физики в высшей школе. - М., 2002. - № 23. - С. 333-342.

2. Мухин Р.Р. Первые математические модели для описания активных сред: волны "заселения" и волны распространения пламени [Текст] / P.P. Мухин // Исследования по истории физики и механики. - М.: Наука, 2002.-С. 277-285.

3. Мухин Р.Р. Развитие В. Гейзенбергом некоторых проблем гидродинамики [Текст] / Р.Р. Мухин // Исследования по истории физики и механики. - М.: Наука, 2003. - С. 129-138.

4. Мухин Р.Р. А.Н. Колмогоров и статистическая теория турбулентности [Текст] / Р.Р. Мухин // Исследования по истории физики и механики. - М.: Наука, 2003. - С. 296-306.

5. Мухин Р.Р. Развитие Колмогоровым энтропийного направления эр-годической теории [Текст] / Р.Р. Мухин // Историко-математические исследования. - 2003. - В. 8(43). - С. 18-26.

6. Мухин Р.Р. Современное развитие представлений о динамике планетных колец [Текст] / Р.Р. Мухин // Историко-астрономические исследования. -М.: Наука, 2003. - В. 28. - С. 34-41.

7. Мухин Р.Р. П. Дирак, скобки Пуассона и проблема интегрируемости

гамильтоновых систем (Текст] / Р.Р. Мухин // Исследования по истории физики и механики. - М.: Наука, 2003. - С. 63-72.

8. Мухин Р.Р. Отечественные школы нелинейной динамики [Текст] / Р.Р. Мухин // Сб. трудов Международной конференции МСС-04 "Трансформация волн, когерентные структуры и турбулентность" / ИКИ РАН, Москва, 23-25 ноября 2004. -М.: УРСС, 2004. - С. 226-231.

9. Мухин Р.Р. Динамический хаос в гамильтоновых системах (по работам Г.М. Заславского 1960-х -1970-х годов) [Текст] / Р.Р. Мухин // Исследования по истории физики и механики. - М.: Наука, 2005. - С. 223-239.

10. Мухин Р.Р. Динамический хаос и физика лазеров [Текст] / Р.Р. Мухин // Исследования по истории физики и механики. - М.: Наука, 2005. -С. 372-385.

11. Мухин Р.Р. Современное развитие динамики и хаос. Об академике Б.В. Чирикове [Текст] / Р.Р. Мухин // Вестник РАН. - 2005. - Т. 75. - № 3.-С. 233-241.

12. Мухин Р.Р. К истории развития нелинейной динамики. Динамический хаос [Текст] / Р.Р. Мухин // Научное сообщество физиков СССР. 1950-1960-е годы. - Вып. 1. - С.-Пб.: Изд-во РХГА, 2005. - С. 433-470.

13. Мухин Р.Р. Структуры и хаос в галактиках [Текст] / Р.Р. Мухин // Историко-астрономические исследования. - М.: Наука, 2006. - С. 10-20.

14. Мухин Р.Р. Физика плазмы и нелинейная динамика [Текст] /' Р.Р. Мухин // Исследования по истории физики и механики. - М.: Наука, 2006.-С. 210-219.

15. Мухин Р.Р. Методологические аспекты динамического хао са [Текст] /Р.Р. Мухин //Вопросы философии.-2006.-№ 11.-С. 85-93.

16. Мухин Р.Р. Качественное интегрирование диссипативных систем. Исторический аспект [Текст] / Р.Р. Мухин // Нелинейный мир. - 2007. -№3.-Т. 5.-С. 113-127.

17. Мухин Р.Р. Возникновение турбулентности, динамические системы и хаос [Текст] / Р.Р. Мухин // Исследования по истории физики и механики. - М.: Наука, 2007. - С. 340-366.

18. Мухин Р.Р. Динамический хаос: взаимодействие физического и математического аспектов [Текст] / Р.Р. Мухин // Вестник РАН. - 2007. - Т. 77.-№3.-С. 227-234.

19. Мухин Р.Р. Очерки по истории динамического хаоса (исследования в СССР в 1950-1980-е годы) [Текст] / Р.Р. Мухин. - М.: ВЕСТ-КОНСАЛТИНГ, 2007. - 390 с.

Равиль Рафкатович Мухин

РАЗВИТИЕ КОНЦЕПЦИИ ДИНАМИЧЕСКОГО ХАОСА В СССР. 1950-1980-е годы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Корректор - Мария Шевлякова Вёрстка - Даниил Бучко

Издательство «РОСА» Российское Общество Современных Авторов 309512, Белгородская обл., г. Старый Оскол, а/я 577 e-mail: 885533@mail.ra, http//art.oskol.info/ .

Отпечатано в типографии «Квадрат». Формат 60x84 1/16. Объём 2 усл. п.л. Бумага офсетная. Гарнитура Times. Сдано в набор 15.11.2010 г. Подписано в печать 22.11.2010 г. Тираж 150 экз. Заказ № 240.

Оглавление научной работы автор диссертации — доктора физико-математических наук Мухин, Равиль Рафкатович

Перечень использованных сокращений.

Введение.

Глава I. Предыстория динамического хаоса: физические корни и истоки исследований систем со сложным поведением (1880-1940-е годы).

1.1. Точка отсчета - качественные методы. А.Пуанкаре и А.М.Ляпунов (1881-1918)

1.1.1. Качественная теория дифференциальных уравнений.

1.1.2. Вопросы устойчивости.

1.1.3. Фигуры равновесия вращающихся жидкостей. Бифуркации.

1.1.4. Ж.Адамар и геодезические потоки на поверхностях отрицательной кривизны (1898).

1.2. Дж.Биркгоф. Теория динамических систем. Теория нелинейных колебаний. Школа А.А.Андронова.

1.2.1. Дж.Биркгоф и теория динамических систем.

1.2.2. Начальный период исследований динамических систем в СССР.

1.2.3. Теория нелинейных колебаний. Школа А.А.Андронова.

1.3. Начальный период эргодической теории. Работы Н.С.Крылова.

1.3.1. Истоки эргодической теории. Первые эргодические теоремы.

1.3.2. Работы Н.С.Крылова по обоснованию статистической механики.

1.4. Развитие теории турбулентности.

1.4.1. Статистическая теория турбулентности. Теория А.Н.Колмогорова.

1.4.2. Зарождение турбулентности. Линейная теория гидродинамической неустойчивости В.Гейзенберга.

1.5. Выводы.

Глава II. Теория динамических систем (1950-1980-е годы).

2.1. Предварительные замечания.

2.2. Теория Колмогорова-Арнольда-Мозера.

2.2.1. Состояние "основной проблемы" динамики до работ Колмогорова (1954 г.).

2.2.2. Формулировка Колмогоровым основных положений теории КАМ.

2.2.3. Проблема доказательства: Ю.Мозер и В.И.Арнольд. Первые применения теории К AM.

2.2.4. Программа Чебышева-Колмогорова.

2.3. Эргодическая теория. Гиперболические системы.

2.3.1. К-системы и метрическая энтропия. Развитие энтропийного направления эргодической теории.

2.3.2. Гиперболические системы. Работы С.Смейла и Д.В.Аносова (1960-е гг.).

2.4. Теория бифуркаций. Гомоклинические структуры.

2.4.1. Теория бифуркаций.!.

2.4.2. Гомоклинические структуры. Работы С.Смейла, Ю.И.Неймарка, Л.П.Шильникова, В.К.Мельникова, В.И.Арнольда (1960-1970-е гг.).

2.5. Алгоритмическая сложность.

2.6. Выводы.

Глава III. Хаос в гамильтоновых системах (конец 1950-х -1980-е гг.).

3.1. Новые задачи теории нелинейных колебаний. Стохастическая неустойчивость.

3.1.1. Начало исследований. Критерий Чирикова.

3.1.2. Проблема Ферми-Паста-Улама. Задача об ускорении Ферми.

3.1.3. Интерпретация ФПУ-проблемы Б.В.Чириковым и Ф.М.Израйлевым.

3.1.4. Вычислительный эксперимент.

3.2. Проблема зарождения хаоса. Стохастический слой. Стандартное отображение.

3.3. Слабый хаос и стохастическая паутина.

3.3.1. Диффузия Арнольда.

3.3.2. Паутина Заславского.

3.4. Биллиардные задачи. Квазислучайная динамика.:.

3.4.1. Гиперболические биллиарды. Работы Я.Г.Синая.

3.4.2. Квазислучайная динамика в финальных движениях в задаче трех тел (В.М.Алексеев, 1960-е гг.).

3.5. Выводы.

Глава IV. Диссипативный хаос (1960-1970-е гг.).

4.1. Лазерный аттрактор (1963 г.).

4.2. Состояние вопроса о возможности хаоса в маломерных диссипативных системах к началу 1970-х гг.

4.3. Аттрактор Лоренца и другие аттракторы.

4.3.1. Аттрактор Лоренца. Работа В.С.Афраймовича, В.В.Быкова и

Л.П.Шильникова.

4.3.2. Квазиаттракторы. Отображений Заславского.

4.4. Теория турбулентности, новые подходы, новые надежды (1960-1970-е гг.).

4.4.1. Плазменная турбулентность.

4.4.2. Гидродинамическая турбулентность. Сценарии перехода к хаосу.

4.5. Выводы.

Глава V. Многообразие аспектов феномена хаоса.

5.1. Хаос и неинтегрируемость.

5.1.1. Интегрируемые системы. Э.Бур, Ж.Лиувилль (1955 г.). Переход к неинтегрируемости. А.Пуанкаре, Дж.Биркгоф (1881-1927 гг), В.И.Арнольд (1963 г.).

5.1.2. Неинтегрируемость в гамильтоновых системах.

5.1.3. Качественное интегрирование в диссипативных системах.

5.2. Методологические аспекты динамического хаоса.

5.3. Динамический хаос: взаимодействие физического и математического аспектов.

5.4. Особенности открытия динамического хаоса.

5.5. Динамический хаос и случайность.

5.6. Хаос и самоорганизация.

5.6.1. Нелинейное уравнение диффузии. Работы А.Н.Колмогорова, И.Г.Петровского, И.Г.Петровского, Н.С.Пискунова (1937 г.), Я.Б.Зельдовича,

Д.А.Франк-Каменецкого (1938 г.).

5.6.2. Структуры и хаос в астрономических объектах (планетные кольца, Галактики, комета Галлея). Работы А.М.Фридмана и Н.Н.Горькавого

1980-е гг.), Б.В.Чирикова и В.В.Вечеславова (1989 г.).

5.7. Выводы.

Введение диссертации2010 год, автореферат по истории, Мухин, Равиль Рафкатович

Открытие динамического хаоса явилось одним из крупнейших достижений науки XX века. Прогресс науки обеспечивают не только новые фундаментальные теории, он может происходить при изменении точки зрения на уже сложившиеся области, и это может существенно повлиять на. научную картину мира в целом. Такой пример как раз демонстрирует теория хаоса, не только описывающая широкий круг явлений практически во всех разделах современной классической и квантовой физики, но и приведшая к концептуальным изменениям в основаниях научного знания.

Целью настоящей работы является исследование предпосылок, процесса формирования и развития теории динамического хаоса с упором на вклад отечественной науки в данную область.

Актуальность работы.

Доньютоновская механика в основном имела качественный характер, еще не были сформулированы законы динамики и не разработаны адекватные математические средства. Новый этап начинается в XVII в. с формулировки этих законов и создания анализа бесконечно малых. За отправную точку примем выход в свет "Начал" Ньютона (1687). После этого начинается блистательный двухвековой период, отмеченный многими крупнейшими достижениями, среди которых главное место занимают количественные методы.

В физике XVII - XIX вв. доминирующее место занимала динамическая базовая модель. Она основывалась на модели физического пространства - континууме, и на классической механике. Классическая механика составила фундамент механистической картины мира, в которой все многообразие физических явлений стремились свести к движению И' взаимодействию материальных точек. Первичной математической структурой при таком описании явились обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка с заданными начальными условиями. Важнейшее место в такой модели отводилось концепции об однозначности связей, всеобъемлющей роли динамических закономерностей, которую традиция связывает с именем Лапласа, сформулировавшего ее в наиболее радикальной форме [291].

В появившейся во второй половине XIX в. электромагнитной картине мира динамическая модель не претерпела кардинальных изменений. Изменения коснулись формы динамического закона (уравнения Максвелла) и динамических переменных. Состояние системы стало задаваться не координатами и скоростями, как в классической механике, а векторами полей или потенциалами. Математическая постановка задач электродинамики свелась к решению дифференциальных уравнений в частных производных с заданными начальными и граничными условиями.

В течение более чем 200-летнего развития точного естествознания Нового времени сложилась фундаментальная физическая парадигма, сохранившая свое значение и по настоящее время. Согласно классической динамической модели: 1) мир можно разложить на отдельные элементы, '2) состояние каждого элемента можно описать через динамические переменные, 3) эволюция состояния во времени задается динамическими законами [99]. Сложился идеал научной рациональности, в основе которой лежат простота описания, регулярность, определенность, полнота информации. Все в мире управляется жесткими, однозначными законами, нет места неопределенности и случайности.

Сквозная линия, проходящая через всю классическую механику и электродинамику вплоть до конца XIX в., заключалась в том, что в основу решаемых задач были положены интегрируемые системы. Интегрируемость дифференциальных уравнений является тонким и сложным понятием, и представления о ней начали складываться лишь в середине XIX в. Не касаясь здесь строгих определений, отметим, что интегрируемость непосредственным образом связана с простым поведением системы. Интегрируемые системы демонстрируют простые движения, такие как, например, периодические и квазипериодические движения. В интегрируемых системах достигался идеал исчерпывающего описания на языке траекторий. Считалось, что на основе таких систем можно было объяснить в главных чертах все многообразие явлений нашего мира.

Разнообразие физических задач требовало выхода за рамки интегрируемых систем. Небесная механика еще в XVIII в. столкнулась с неинтегрирусмой задачей (и далеко не сразу это было понято) - знаменитой проблемой трех тел, остающейся до наших дней неисчерпаемым источником новых задач и новых идей. Однако подход к такого рода задачам строился на основе интегрируемых систем, а неинтегрируемость рассматривалась в виде поправок. В небесной механике для таких случаев были разработаны различные варианты теории возмущений.

С появлением классической электродинамики характер рассматриваемых задач не претерпел коренных изменений. В основу по-прежнему были положены интегрируемые системы. Предсказание электромагнитных волн, многочисленные явления, связанные с ними - отражение, преломление, поляризация света, эффекты Фарадея, Керра, Зеемана, давление света и многое другое - все эти результаты были получены с помощью интегрируемых систем [498].

Хотя данная работа посвящена классической физике, затронутые выше аспекты касаются и квантовой теории. В квантовой механике имеется своя динамическая переменная - волновая функция, которая подчиняется уравнению Шредингера - уравнению динамического типа. Знание динамической переменной (волновой функции) позволяет получить со всей возможной полнотой информацию о состоянии квантовой системы.

Старая квантовая теория была построена на основе интегрируемых систем, и она имеет в своем активе ряд крупных достижений, таких как, например, теория Бора-Зоммерфельда или объяснение эффекта Штарка [754]. Однако последовательные и систематические методы решения квантовых задач смогла дать лишь квантовая механика. Центральной проблемой квантовой механики является решение задач на собственные значения для физической величины. В квантовой механике также существуют системы двух типов. К одному из них относятся системы, для которых задача на собственные значения разрешима, что представляет квантовый эквивалент интегрируемых систем классической механики. Помимо них имеются системы, для которых задача на собственные значения является неразрешимой, по крайней мере, в рамках теории возмущений [430].

На основе разрешимых систем были построены различные варианты квантовомеханической теории возмущений, ставшей основным расчетным методом в квантовой механике, и позволившей решить необозримое множество самых разных задач. Сложные случаи старались свести к одночастичным задачам, к системе невзаимодействующих частиц и полей. Отсюда родились различные теории среднего поля, самосогласованного поля и др. Концепция квазичастиц, играющая огромную роль в современной физике, восходит к идее невзаимодействующих нормальных мод из теории, линейных колебаний. Облик современной физики в значительной степени сложился под воздействием тех задач, в основу рассмотрения которых были положены интегрируемые и разрешимые системы. Интегрируемость и ее аналоги являются некоторым синтетическим принципом, охватывающим значительную часть физики.

Возвращаясь к классической механике, отметим, что интегрируемые системы составляют лишь малую долю физических систем. Подавляющее большинство физических систем неинтегрируемо. Для них характерны неустойчивость, наличие сложных движений, многообразие поведения, недостижимость получения всей полноты информации, когда знание состояния в данный момент времени не позволяет однозначно предсказать все будущее и прошлое системы. Помимо традиционного подхода, когда неинтегрируемость учитывалась в виде поправок к интегрируемым системам, возможна другая точка зрения. Неинтегрируемые системы рассматривают сами по себе, как самостоятельный объект, не пытаясь исходить из интегрируемых систем. Проводится изучение строения всего многообразия решений. Главное внимание теперь уделяется не решению как таковому, а качественным характеристикам системы, ее поведению и эволюции, дополненных количественным исследованием.

Новый подход оказался чрезвычайно плодотворным. На первый план выступили неустойчивые системы. Прошло время простого описания. На • этом пути произошло открытие хаоса. Оказалось, что с хаосом связан тип сложных движений динамических систем, принципиально отличных от известных ранее простых движений, таких как периодические и квазипериодические движения. Причем следует подчеркнуть, что хаотическое поведение может быть у систем уравнений с простыми правыми частями, как, например, в широко известной модели Лоренца.

Понятие сложности обычно ассоциировалось со сложным устройством системы, с большим числом степеней свободы, что характерно для биологических объектов или систем статистической механики. Между интегрируемыми системами и эргодическими системами статистической механики существовал глубокий разрыв. Он свидетельствовал о наличии фундаментальной нерешенной проблемы классической физики: каким образом появляются статистические закономерности? Открытие хаоса способствовало значительному прогрессу в разрешении этих трудностей и углубленному пониманию динамического и статистического описания. Оказалось, что область проявления статистических законов намного шире, чем- это традиционно предполагалось. Хаотическим поведением могут обладать просто устроенные системы. Динамическое и статистическое описание являются не двумя противоположностями, принципиально отличающиеся между собой. Они сосуществуют, дополняют друг друга, характеризуют разные стороны одного и того же объекта. Исследования хаоса приоткрыли наличие сложности в- таких объектах, которые традиционно относили к системам с простым поведением. В этом контексте само явление динамического хаоса представляет, хотя и очень важную, но все же частность. Проявление сложности очень многообразно и изучение этого только начинается. Далеко не все явления допускают адекватную интерпретацию, исходя из небольшого числа фундаментальных законов,- свое воздействие явным образом оказывает внешний мир с его безграничной сложностью. Исследования хаоса способствуют плюралистическому взгляду на" мир, когда сосуществуют явления разных типов. г

Хаос представляет собой типичное свойство динамических систем, он весьма распространен и проявляется практически во всех областях современной физики. Можно сказать, что системы, демонстрирующие только регулярное поведение, являются редкими.

То, что хаотическое поведение не всегда обнаруживается, связано либо с его присутствием в узкой области параметров, либо оно проявляется на очень больших временах, либо экранируется другими, более сильными процессами. Новый этап в развитии знаний потребовал принципиально новых взглядов, новой системы понятий и нового языка. Все это оказало глубокое воздействие на наши представления о физическом мире.

Исследования хаоса по-новому высветили и дали новые импульсы к изучению целого ряда проблем, имеющих общефизическое и общенаучное значение.

Лежащая в основе механистической картины мира динамическая модель обусловила преобладание динамического описания. С другой стороны, статистическая механика привела к появлению статистического описания. Эти два способа описания породили глубинные вопросы о существе законов, лежащих в основе физического мира, соотношении динамического и статистического, что является фундаментальным, первичным, а что производным, вторичным?

Приобрел другое освещение, и наметились новые подходы к имеющему многовековую историю вопросу о природе случайности, вероятности.

Картина мира, основанная на строгом детерминизме, оказалась неполной. Определились ограничения на возможности предсказуемости, на соотношение детерминизма — индетерминизма. Исследования хаоса привели к новому взгляду на вопросы устойчивости - неустойчивости, локального описания - глобального подхода, хаотичности - упорядоченности.

Несколько слов по поводу терминологии. Термин "динамический хаос" в настоящее время является общепринятым. Он был предложен в 1975 г. в работе Т.Ли и Дж.Йорке [673]. Однако, как вспоминает Я.Г.Синай [468,470], еще до появления работы [673] термин "детерминированный хаос" использовался Б.В.Чириковым и Дж.Фордом. В теории динамических систем был распространен термин "эргодичность". По воспоминаниям Ф.М.Израйлева [217], в конце 1960-х гг. обсуждался термин "хаотичность", но он не утвердился. Поэтому остановились на термине "стохастичность", хотя он и не отражает существа дела.

Научная новизна.

Основные результаты, изложенные в ряде статей автора, можно сформулировать следующим образом.

Впервые в мировой историко-научной литературе систематически изложены предпосылки, становление и развитие концепций динамического хаоса. В работе показано, что открытие динамического хаоса явилось закономерным результатом перехода от изучения динамических систем с простым поведением к динамическим системам со сложным характером движения. Открытие хаоса явилось сложным и противоречивым процессом. К нему привело несколько линий развития, которые сложным образом переплелись, воздействуя друг на друга.

Истоком одной из этих линий явилась проблема интегрирования дифференциальных уравнений, которая является важнейшей как для самой математики, так и для ее приложений. Первоначально сам вопрос об интегрируемости не ставился, все задачи подразделялись на проинтегрированные и непроинтегрированные. Поворотным пунктом в понимании принципиального различия между интегрируемыми и неинтегрируемыми системами стали фундаментальные работы А.Пуанкаре (1881-1899) [433,718,434], для которого одним из главных стимулов стали задачи небесной механики. Пуанкаре заложил основы качественных методов в теории дифференциальных уравнений, что оказало глубокое воздействие на всю математику и ее приложения. Наш соотечественник А.М.Ляпунов рассмотрел более частную задачу качественной теории дифференциальных уравнений - устойчивость движения, и развил общую теорию устойчивости (1892) [303]. Качественная теория означала переход к принципиально иной стратегии исследования. Преобладающими стали топологические, теоретико-групповые и вероятностные методы. Пришло осознание того, что проблемы динамики связаны с качественным поведением траекторий во всем фазовом пространстве, на смену локальному подходу должно прийти глобальное рассмотрение. При таком подходе на передний план выходит исследование общей структуры движений системы.

Под влиянием идей Пуанкаре Дж.Биркгоф ввел понятие динамической системы (1912,1927) [576], претерпевшее длительное развитие от механической системы с конечным числом степеней свободы до произвольной системы безотносительно к ее происхождению, эволюция которой однозначно определяется начальными состояниями. С 1930-х гг. теория динамических систем стала одним из направлений исследований Московской математической школы. В настоящее время теория динамических систем является самостоятельным разделом математики и составляет ее заметную часть. Взлет теории динамических систем приходится на 1950-1970-е гг., когда был получен целый ряд очень глубоких результатов. Успехи теории динамических систем явились одним из главных факторов, приведших к открытию хаоса.

Качественные методы, теория динамических систем оказались востребованным математическим аппаратом для нужд прикладных задач - радиотехники и теории автоматического регулирования. Эти задачи, главным образом в трудах Нижегородской

Горьковской) школы в 1930-е гг. стимулировали создание теории нелинейных колебаний, что стало еще одной линией развития, приведшей к открытию хаоса.

В физике существовали нелинейные теории (гидродинамика, небесная механика, релятивистская теория тяготения), но преобладающее место занимал линейный поход, с помощью которого были достигнуты огромные успехи. Вершиной стала теория линейных колебаний с доведенным до совершенства математическим аппаратом. Все линейные системы являются интегрируемыми. Полагалось, что линейного языка достаточно для понимания основных закономерностей. Нелинейности вводились как поправки к линейным системам, им отводилась роль довеска, уточняющего детали. Главная особенность линейных уравнений состоит в том, что линейная комбинация двух решений снова дает решение. На этой основе можно получить описание любой, сколь угодно сложной линейной физической системы.

Совершенно иная ситуация в нелинейных системах, в которых комбинация двух решений не приводит к новому решению. Нелинейную систему нельзя представить в виде суммы независимых частей, ее необходимо рассматривать во всей ее целостности и сложности. Отсюда ясно, что для нелинейных систем адекватным является глобальное рассмотрение. Эволюция нелинейных систем может осуществляться разными путями, на смену однозначности приходит возможность множественности путей развития, многообразия в поведении описываемых объектов. Новые задачи в разных разделах физики привели к необходимости ввести нелинейность в число "первых принципов". Нелинейное мышление, у истоков которого стояли Л.И.Мандельштам и А.А.Андронов [5,144], должно было стать неотъемлемым элементом физико-математической культуры.

Следующая линия исходит из существования двух фундаментальных моделей -динамической и статистической, описывающих два разных уровня реальности. Появление в физике вероятностных представлений и статистических законов связано с созданием статистической механики (Дж К.Максвелл, 1859; Л.Больцман, 1872). Статистический подход по своему стилю и основным идеям радикально отличается от динамического описания. Поиски универсальных объединяющих основ обусловили стремление представить одно из описаний в качестве первичного и таким образом их объединить При доминировании механистической картины мира первенство отводилось динамическому описанию, отсюда возникло стремление получить статистические законы, исходя из динамики (эргодическая гипотеза). На этом пути возникла эргодическая теория, изучающая статистические свойства динамических систем. Эргодическая теория вошла составной частью в теорию динамических систем и играет важнейшую роль в теории хаоса.

Еще одна линия в открытии хаоса связана с исследованиями турбулентности. Две области теории турбулентности - зарождение турбулентности, когда возбуждается небольшое число степеней свободы, и развитая турбулентность, неотъемлемой частью которой стала статистическая теория турбулентности - в значительной степени стимулировали изучение хаотической динамики. Вопросы зарождения турбулентности способствовали формированию понятия сценария перехода от регулярного движения к хаотическому и использованию теории динамических систем, ее идей и понятийного аппарата.

Описанные в литературе истоки и предпосылки хаоса в данной работе значительно расширены и углублены.

До сих пор речь шла о предыстории хаоса. Саму историю хаоса отнесем к отрезку времени с середины 1950-х до середины 1980-х гг. Тогда феномен хаоса был обнаружен в различных физических системах, установлены его характеристики, развита теория и начались экспериментальные исследования. Указанный период представляет заметный рубеж для развития науки вообще. Тогда в одном временном интервале сошлись и переплелись несколько факторов, которые в совокупности оказали мощное воздействие на прогресс рассматриваемой области знания. Во-первых, глубокие изменения претерпела в силу внутренней логики развития математики теория динамических систем. Другой предпосылкой явились внешние условия. В 1940-1950-е гг. были поставлены и начали осуществляться "большие" проекты, позволившие развернуть научные исследования в невиданных ранее масштабах: атомная проблема, управляемый термоядерный синтез (УТС), освоение космического пространства, сверхзвуковая авиация и др. Реализация этих проектов дала жизнь не одному направлению фундаментальной науки, в том числе и в интересующей нас области. Это привело к постановке новых физических задач (создание новых ускорителей, установок для УТС и др.), которые заострили интерес к нелинейным динамическим системам. Огромное значение имело создание ЭВМ и развитие на этой основе вычислительного эксперимента, что позволило изучать системы, недоступные аналитическим методам. Вычислительная техника не только способствовала обнаружению феномена хаоса, но и привела к пониманию проблемы, позволила сделать первые шаги в реализации идеи диалога человек-машина.

Вопросы периодизации всегда являются сложным делом. Предлагаемая ниже периодизация истории 'хаоса может быть неоднозначной, однако каждый из периодов характеризуется отчетливо выделенными тенденциями.

Выделим следующие три периода:

1. От формулировки Колмогоровым основных положений теории KAM (теория Колмогорова-Арнольда-Мозера) в 1954 г. до конца 1950-х гг., когда начался мощный взлет теории динамических систем, появился вычислительный эксперимент, что привело к постановке новых физических задач;

2. С конца 1950-х до конца 1970- гг.- в этот период произошли основные события. Был твердо установлен феномен хаоса в консервативных (гамильтоновых) и диссипативных физических системах, была обнаружена широкая распространенность хаоса в физических системах; пришло понимание явления и построена их теория;

3. С конца 1970-х до середины 1980-х гг. - распространение теории, в это время было получено огромное количество результатов по хаотической динамике в конкретных системах, приобрели большую интенсивность экспериментальные исследования хаоса, произошло осознание тесной связи хаоса и упорядоченности.

Мощный взлет теории динамических систем связан в первую очередь с именем

A.Н.Колмогорова. Два фундаментальных достижения Колмогорова - теория KAM и работы по эргодической теории - в значительной степени определили в последующие десятилетия развитие теории динамических систем во всем мире. Б.В.Чириковым был сформулирован носящий его имя простой физический критерий перехода к хаосу в гамильтоновых системах. В Новосибирской школе начались обширные исследования хаотической динамики. Вычислительный эксперимент наряду с теорией и лабораторным экспериментом стал самостоятельным методом научного исследования.

Второй период можно назвать временем "великих перемен". Установление феномена хаоса в консервативных (гамильтоновых) и диссипативных физических системах связано с именами Э.Лоренца, Б.В.Чирикова и Г.М.Заславского, М.Эно и К.Хейлеса, Я.Г.Синая,

B.М.Алексеева. Происходил бурный рост теории динамических систем, в первую очередь, в Москве (А.Н.Колмогоров, В.И.Арнольд, Я.Г.Синай, Д.В.Аносов В.И.Оселедец, Я.Б.Песин, В.К.Мельников, М.В.Якобсон, А.Б.Каток и др.), Нижнем Новгороде (Ю.И.Неймарк, Л.П.Шильников и их ученики) и на Западе, главным образом в США и во Франции (С.Смейл, Д.Рюэль, Ф.Такенс, Р.Боуэн, Ю.Мозер, Дж.Мезер, С.Ньюхаус, Дж.Палис, М.Пейксото, Р.Том и др.). Была создана теория совершенно необычных математических объектов - фракталов (Б.Мандельброт). Все это легло в основу математического аппарата хаоса. Была обнаружена широкая распространенность хаоса в реальных физических системах, чему в огромной степени способствовало развитие метода вычислительного эксперимента. Начались исследования квантового хаоса.

Для третьего периода характерно распространение теории больше вширь, чем вглубь, когда заложены основы теории и происходит освоение новых территорий. Было получено огромное количество результатов по хаотической динамике в конкретных системах. Некоторые из них имеют принципиальный характер и вошли в основы теории (слабый хаос и стохастическая паутина). На рубеже второго и третьего периодов начались экспериментальные исследования хаоса, которые приобрели большую интенсивность. Еще одна сторона этого периода состоит в осознании, быть может, самой удивительной особенности данной области - тесной связи хаоса и упорядоченности.

В предыстории хаоса, его открытии и последующих исследованиях доминирующую роль сыграла математика. Поэтому место хаоса и его влияние на физику невозможно обсуждать, не имея в виду глубокое взаимодействие математики и физики. В описание хаотической динамики вошли объекты, чуждые классической математике, такие как фрактальные множества, дробные размерности, странные аттракторы. В исследования хаоса стали привлекаться разные области математики: современная дифференциальная геометрия, теория непрерывных групп, топология, символическая динамика, теория, вероятностей, вариационное исчисление в целом и др. До этого некоторые из них находили весьма ограниченное применение для решения физических задач. К открытию хаоса привели обстоятельный и математически строгий анализ задач классической физики. Постановка задачи в такой форме не была характерной для решения проблем"физики, вспомним в этой связи понятие "физический уровень строгости". В итоге были выявлены не просто детали отдельных фрагментов, а пришло совершенно иное понимание ситуации в целом.

В исследованиях хаоса имелось несколько теоретических* программ. Программа Пуанкаре-Биркгофа имеет глобальный ' характер. Она предполагает изучение всех возможных типов движения динамических систем. Другая программа — программа Андронова-Смейла сосредоточена на изучении типичных свойств, которые присущи большей части динамических систем. Программа Чебышева-Колмогорова базировалась на строгой постановке и решении трудных в математическом плане и представляющих значительный интерес в физическом отношении задач с применением разнообразных методов современной математики, что вело к выявлению всех существенных особенностей проблем. Изучение хаоса проходило при взаимодействии и конкуренции этих программ. Сами программы имели более широкий характер, чем исследования только явления хаоса.

Впервые в мировой литературе явления хаоса рассмотрены в контексте понятия сложности. В исследованиях хаоса была выявлена иерархия сложности, открывающая возможность для определенной классификации. В математическом отношении объектом рассмотрения стали неинтегрируемые системы, которые стали изучаться с самых разных сторон (К.Зигель, В.И.Арнольд, Ю.Мозер, В.В.Козлов). При их анализе продуктивно используются методы различных областей математики. Были сделаны первые шаги в формализации самого понятия сложности (А.Н.Колмогоров, П.Мартин-Лёф). Нелинейная динамика в контексте сложности характеризует выход физики на качественно другой уровень развития. Мир интегрируемых систем однообразен и относительно беден событиями. Внимание стало акцентироваться на тех особенностях изучаемых систем, которые ранее игнорировались. Переход к неинтегрируемым системам, рассмотрение с позиций сложности привели к тому, что значительно расширился круг изучаемых явлений.

Наличие точек опоры во многих естественнонаучных областях, привлечение идей и методов разных разделов математики, механики, физики, астрономии обусловили междисциплинарность нового подхода. Понятие сложности может стать фундаментом нового синтеза науки в противовес все углубляющейся специализации.

Очень часто, говоря об открытии хаоса, ограничиваются диссипативными системами. Для таких систем в установлении принципиально новых сложных движений ключевое значение имели три работы - Э.Лоренца [687], С.Смейла [746] и Д.Рюэля и Ф.Такенса [729], причем они были выполнены в течение менее чем одного десятилетия (1963-1971). Однако не меньшее значение, как для понимания феномена, так и для приложений, имеет хаотическое поведение в гамильтоновых системах. Здесь открытие хаоса происходило шаг за шагом в течение длительного времени и заняло период в восемь десятилетий (1890-1969). В эти исследования было вовлечено большое количество ученых, получено много первостепенных результатов, в том числе применимым к любым динамическим системам. Гамильтонову хаосу в историческихи методологических работах уделено значительно меньше внимания, чем диссипативному. Поэтому в данной работе автор попытался восполнить этот пробел.

Впервые в мировой историко-научной литературе отмечено место и значение динамического хаоса в физике и в науке в целом.

Особое внимание уделено вкладу отечественной науки в теорию хаоса. Этот вклад столь велик, что в значительной степени определяет современный облик данной области знания. Не будет преувеличением сказать, что вклад отечественной науки в изучение хаоса сопоставим с тем, что внесли все остальные страны. К примеру, в язык мировой науки прочно вошли такие понятия, как теория Колмогорова-Арнольда-Мозера, энтропия Колмогорова-Синая, диффузия Арнольда, биллиарды Синая, системы Аносова, бифуркация Неймарка, отображение Чирикова, система Шильникова, паутина Заславского. Этот список можно продолжить, тем более, что многие понятия теории хаоса не носят имена первооткрывателей. С другой стороны отметим, что роль отечественной науки в данной области на Западе недооценивается. Этот факт признается и западными историками науки (см., например, [566]).

Представления хаоса приобрели общефизический и общенаучный характер. Хаос привел к новому взгляду на ряд старых фундаментальных вопросов, на соотношение закономерного и случайного, динамического и статистического, устойчивого и неустойчивого и т.д. В работе просуммирован и обобщен ряд методологических аспектов динамического хаоса. Один из основных итогов в изучении динамического хаоса состоит в том, что, хотя фундаментальные уравнения теории давно установлены и не меняются, получение следствий из них может привести к важным концептуальным изменениям.

Основная литература по теории и истории динамического хаоса.

Первое систематическое изложение теории хаоса было дано в диссертации Б.В.Чирикова, опубликованной в 1969 г. небольшим тиражом (100 экз.) в виде препринта [526] и в монографии Г.М.Заславского [180]. В диссертации Чирикова с помощью критерия перекрытия резонансов рассматривается зарождение и развитие хаоса в гамильтоновых системах, и развитые методы применяются для решения многочисленных физических задач. Работа Чирикова была затем издана в ЦЕРН в Женеве (1970). Однако, труднодоступность работы Чирикова затруднила ознакомление с ней широкого круга физиков. Распространению идей хаоса очень способствовали монография Г.М.Заславского [180] и обзор Г.М.Заславского и Б.В.Чирикова [201]. В 1979 г. в Physics Reports был опубликован обзор Чирикова [595], получивший широкую известность во всем мире. В нем дано изложение основ теории хаоса в гамильтоновых системах.

Важное значение в развитии исследований хаоса имели Горьковские школы по колебаниям и волнам, первая из которых была организована в марте 1972 г. Материалы этих школ целиком заняли два »номера журнала Известия вузов. Радиофизика [385,386], а затем стали выходить отдельными сборниками в издательстве Наука [387-393]. Позднее эти сборники стали переиздаваться издательством Springer. В Горьковских школах проблемы хаоса обсуждались во всех аспектах и в самом широком контексте.

Распространению идей хаотической динамики в диссипативных системах очень способствовали обзоры А.В.Гапонова-Грехова и М.И.Рабиновича [144], А.С.Монина [332] и М.И.Рабиновича [439], опубликованные в одном и том же номере Успехов физических наук. Например, по свидетельству Д.И.Трубецкова [494], именно обзор Рабиновича пробудил интерес к хаосу в Саратовском университете, который ныне является одним из центров исследований в этой области в России.

С 1978 г. издательство Springer стало выпускать специальную серию, посвященную вопросам хаоса и самоорганизации. Первой книгой этой серии была Синергетика Г.Хакена, вскоре переведенная на русский язык [509]. В этой книге дано общее введение в предмет. В следующей книге Хакена (тоже переведенной на русский язык [510]) последовательно изложены главные идеи и математический аппарат. Хаос и самоорганизация предстают у Хакена как две составляющие единого целого - нелинейной динамики. В конце 1970-х гг. нелинейная динамика сложилась как самостоятельное направление. В 1980-е гг., особенно во второй половине, нарастет поток литературы по предмету. Остановимся на наиболее примечательных публикациях.

В 1981 г. в издательстве Мир под редакцией Я.Г.Синая и Л.П.Шильникова вышел сборник Странные аттракторы [482], куда вошли основополагающие работы Э.Лоренца, Д.Рюэля и Ф.Такенса, Б.Мандельброта, Дж.Йорке и др. в том же году Springer выпустил сборник Гидродинамические неустойчивости и переход к турбулентности под редакцией Х.Суинни и Дж.Голлаба (русский перевод 1984 г. [154]). Среди авторов - О.Е.Ланфорд, Дж.Гуккенхеймер, Д.Д.Джозеф и др. Оба сборника посвящены хаотической динамике в диссипативных системах. В 1984 г. вышел сборник Синергетика под редакцией Б.Б.Кадомцева [474]. Примечательным из этого сборника является обзор Ж.-П.Экмана [616], посвященный возникновению хаоса при переходе к турбулентности.

Нельзя не упомянуть еще два труда - монографии А Лихтенберга и М.Либермана Регулярная и стохастическая динамика, изданной в 1983 г. (русский перевод 1984 г. [295]) и1 Г.М.Заславского Стохастичностъ динамических систем (1984) [182]. В обеих книгах последовательно представлены основные идеи, математический аппарат, и развитые методы применены к многочисленным физическим задачам. Рассматриваются как гамильтоновы, так и диссипативные системы, но основной упор делается на гамильтонов хаос. Кроме того, в книге Заславского приведены ранние результаты исследований квантового хаоса. Примечательными по теории хаоса являются книга М.Табора [485] и два обзора А.Ю.Лоскутова [297,298].

Очень ясное изложение основных идей, понятий и фактов современной теории динамических систем дано в книге В.И.Арнольда и А.Авец Эргодические проблемы классической механики, изданной в Париже в 1967 г. [563] (русский перевод 1981 и 1999 гг. [65]). Благодаря своим достоинствам эта книга является одной из самых цитируемых в мировой литературе. Изложению некоторых математических аспектов хаотической динамики посвящена книга Ю.Мозера Лекции о гамилътоновых системах, изданная в 1968 г. (русский перевод 1973 г. [329]). Систематическое изложение современного понимания всего круга вопросов о математической структуре уравнений динамики дано в книге Арнольда Математические методы классической механики, изданной в 1974 г. [53]. Книга Арнольда оказала огромное влияние на утверждение теории гамильтоновых систем как самостоятельного раздела теории динамических систем. Современный взгляд на классическую механику с учетом последующих достижений теории динамических систем и краткая история даны во втором издании объемистой книги Р.Абрагама и Дж.Марсдена Основания механики [553]. Она не переведена на русский язык, но на Западе эта книга получила широкую известность. Очень ценным и известным во всем мире пособием по эргодической теории является книга И.П.Корнфельда, Я.Г.Синая и С.В.Фомина [276], в которой эргодическая теория представлена в широком контексте теории динамических систем. Другой примечательный труд - лекции В.М.Алексеева Квазислучайные колебания и качественные вопросы небесной механики на 19-й летней Украинской математической школе в 1971 г., и изданные в Киеве в 1976 г. Эти-лекции-с дополнениями и приложениями были переизданы в 1999 г. [13]. Современное изложение теории динамических систем дано в книге А.Б.Катка и Б.Хассельблата [231]. чОсобое место занимает серия Современные проблемы математики. Фундаментальные направления., издающаяся с 1985 г. под редакцией Р.В.Гамкрелидзе. Серия была задумана-как своего рода энциклопедия современной математики. В предисловии от редколлегии к первому тому говорится: "Тома настоящей серии будут содержать сводное изложение всех основных разделов современной математики* и ее приложений, увиденные глазами-работающих сейчас математиков в системе ценностей последних десятилетий. Статьи серии-будут вполне доступными не только специалистам-математикам в смежных областях, но и физикам, механикам и другим научным работникам, профессионально пользующимся математикой в своей работе и заинтересованным тематикой статьи" [174]. Первый том открывается,обзором-Обыкновенные дифференциальные уравнения. В томах, посвященных теории динамических систем, рассматриваются гладкие динамические системы, эргодическая теория, теория бифуркаций, теория- катастроф, особенности гладких отображений и т.д. [35,66-72,174,175,224]. Среди авторов этих обзоров В.И.Арнольд, Я.Г.Синай, Д.В.Аносов, Ю.С.Ильяшенко, А.М.Вершик, Я.Б,Песин, М.В.Якобсон и другие известные математики. В настоящее время серия насчитывает более ста томов, она вся переведена на английский язык.

Много ценной информации.содержится в трудах и воспоминаниях В.И.Арнольда [55,5864,73], Д.В.Аносова [31-34], Я.Г.Синая [465,466,468,469], Л.П.Шильникова [544], Ю.И.Неймарка [380,381,383], Ю.Мозера [702], М.Эно [645], С.Смейла [750,751], Д.Рюэля [448], Г.М.Заславского [779], С.Улама [500], в комментариях к трудам А.Пуанкаре [434], А.М.Ляпунова [479], А.Н.Колмогорова [263], юбилейном издании Колмогоров [270], в воспоминаниях о М.А.Леонтовиче [4,135], Л.И.Мандельштаме [5,144], Г.И.Будкере [3], Б.В.Чирикове [570], Дж. фон Неймане [765], А.Б.Мигдале [136], Ю.Л.Климонтовиче [237].

Особую ценность представляют письма и устная информация, полученная автором от создателей данной области знания, активных участников описываемых событий -Г.М.Заславского [183-187,189], Б.В.Чирикова [531], Я.Г.Синая [470,472], Ю.И.Неймарка [382], А.М.Фридмана [351,355], Ф.М.Израйлева [217,218], А.Н.Ораевского [409,410].

В целом историко-научной литературы, посвященной нелинейной динамике, имеется немного. Особенно это касается заключительного периода, когда произошло открытие хаоса в конкретных физических системах. В историко-научной литературе главным образом нашла отражение в той или иной степени лишь предыстория хаоса.

Отдельные стороны предыстории и открытия хаоса в разной степени затрагиваются в обзорах и монографиях, посвященных динамическому хаосу и синергетике. Единственное, известное автору, относительно полное изложение предыстории и открытия хаоса дано в работе Д.Обена и А.Д.Дальмедико [566]. Причем отметим, что в этой работе предпринят гораздо более взвешенный подход по отношению к достижениям отечественной науки, чем это обычно бывает в исследованиях, выполненных на Западе. Однако работа-[566] больше 1 исходит из социокультурных позиций и в ней мало уделено внимания проблемам о месте и значении хаоса в физике и в общей структуре научного знания. Кроме того, в этой работе слабо затронут или вообще не затронут целый ряд важнейших вопросов теории динамических систем и, в особенности, гамильтонова хаоса.

По затронутым вопросам примечательна книга Ф.Диаку и Ф.Холмса "небесные встречи" [611], в том числе, по вкладу отечественной науки. Однако развиваемые там положения об открытии хаоса являются весьма дискуссионными (см. п. 4.5). В книге Дж.Глейка "Хаос" [156] дано популярное изложение открытия хаоса. Она написана живо и ярко, переведена на многие языки и получила известность во всем мире, в том числе и в России. В то же время изложение является крайне тенденциозным, и создает искаженные представления об открытии хаоса. Это касается не только европейского и советского вкладов, но и достижений американских ученых.

Заслуживает внимания сборник на французском языке Хаос и детерминизм [591]. Среди авторов, помимо историков науки, такие известные математики, как Я.Г.Синай и Ж.-К.Йоккоз. В статьях сборника рассмотрено творчество Пуанкаре, Адамара, Лапласа, вопросы детерминизма, турбулентности, устойчивости Солнечной системы и др.

Специально достижениям отечественной науки в области хаоса посвящена работа С.Дине [612]. Учитывая тот факт, что в западной литературе достижениям отечественной науки отведено относительно небольшое место, автор сначала знакомит читателя с советскими исследованиями в физике и математике вообще, лишь после этого переходит к самому предмету. Однако вследствие обширности предмета и очень небольшого объема статьи изложение является крайне фрагментарным. В литературе полнее исследована деятельность Нижегородской школы в период жизни А.А.Андронова, как в отечественных, так и в зарубежных исследованиях. В первую очередь это работы Е.С.Бойко, подытоженные в двух монографиях [96,97], и работы [420,605,606]. Систематическое изложение истории динамического хаоса дано в монографии автора [361].

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Изучение двух фундаментальных проблем классической' физики - обоснование статистической механики и возникновение турбулентных течений, а также проблема интегрирования уравнений динамики и нелинейные задачи физики и техники явились предпосылками исследований, приведших к открытию динамического хаоса (1880-е -начало 1950-х гг.).

2. В' этот период были» развиты качественные методы (А.Пуанкаре, А.М.Ляпунов, Дж.Биркгоф), при использовании которых на первый план вышли описание поведения систем и их эволюции. Качественные методы нашли применение и получили дальнейшее развитие в задачах радиофизики и теории автоматического регулирования (Б.Ван дер Поль, Л.И.Мандельштам, А.А.Андронов), где фундаментальное значение имела нелинейность.

3. Решающее место в открытии и исследованиях хаоса занимают математический формализм, глубокое взаимодействие математики и физики.

4. Огромный вклад в открытие и изучение хаоса внесла отечественная наука, который в значительной степени определяет современный облик рассматриваемой области знания. На характер этого вклада наложили определенный отпечаток социальные, экономические, культурные и другие условия в СССР.

5. Предложена периодизация истории хаоса (1950-е - 1980-е гг.). В первый период были сформулированы основные положения теории KAM (1954) - одной из главных составляющих в фундаменте теории хаоса; поставлены новые физические задачи, обусловившие открытие хаоса; стремительно развивалась теория ДС; появился вычислительный эксперимент, сыгравший ключевую роль в открытии хаоса.

6. Открытие хаоса было сделано в 1960 гг. относительно независимо в консервативных (гамильтоновых) и диссипативных системах. Оно явилось закономерным итогом развития физики и математики. Открытие хаоса в диссипативных системах можно изобразить цепочкой Э.Лоренц - С.Смейл - Д.Рюэль, Ф.Такенс, хотя феномен хаоса также проявился в ряде других исследований в разных областях физики.

7. В гамильтоновых системах к открытию хаоса привели задачи физики плазмы и физики ускорителей (Б.В.Чириков, Г.М.Заславский), астрофизики (М.Эно, К.Хейлес), биллиардные задачи (Я.Г.Синай), проблемы небесной механики (В.М.Алексеев). Если открытие диссипативного хаоса с некоторой степенью полноты рассмотрено в литературе, то истории гамильтонова хаоса почти не уделено внимания. В работе сделана попытка восполнить этот пробел.

8. Показано значение теории ДС, составившей математическую основу феномена хаоса, без которой понимание явления было бы невозможно. Бурное развитее теории ДС происходило главным образом в Германии, СССР, США и во Франции.'

9. Рассмотрены методологические аспекты концепции хаоса, имеющие общефизическое и общенаучное значение, среди которых впервые затронут вопрос о том, как при получении следствий из давно сложившейся фундаментальной теории могут происходить глубокие концептуальные сдвиги. Проблемы хаоса позволили также наметить новые подходы к пониманию случайности и необходимость их связи с понятием сложности.

Апробация работы.

Материалы диссертационной работы докладывались на Международной юбилейной конференции, посвященной столетию В.Гейзенберга (2001) и конференции, посвященной столетию П.Дирака и Ю.Вигнера (2002) в Москве, ИИЕТ РАН; конференции в МПГУ, посвященной столетию А.В.Перышкина (2002) в Москве; Международной конференции "Трансформация волн, когерентные структуры и турбулентность" (2004) в Москве, ИКИ РАН; на семинарах в ИИЕТ РАН, в Физическом институте РАН им. П.Н.Лебедева, в Институте философии РАН, на общемосковском семинаре "Синергетика" в МГУ.

Появлению этой работы способствовал коллектив сектора истории физики, механики и астрономии ИИЕТ РАН. Автор имел возможность обсудить отдельные вопросы с рядом ведущих специалистов по теории хаоса, получить от них ценную информацию. Приношу глубокую благодарность уже ушедшим из жизни Г.М.Заславскому, Б.В.Чирикову, А.Н.Ораевскому, А.А.Веденову, Ю.А.Данилову, Г.М.Идлису, а также А.М.Фридману,

Я.Г.Синаю, Ю.И.Неймарку, Ф.М.Израйлеву, А.И.Нейштадту, Д.С.Чернавскому, Д.И.Трубецкову, П.С.Ланда, Вл.П.Визгину, Н.С.Ерохину, Д.Обену, И.Гузевич, А.Д.Дальмедико, В.И.Аршинову, В.И.Когану, Г.М.Идлису, С.С.Демидову, Н.В.Вдовиченко, А.В.Кессениху, А.И.Володарскому, А.А.Печенкину. Структура и объем диссертации.

Работа состоит из введения, пяти глав, заключения, приложения и списка литературы. Объем диссертации 368 страницы, 26 рисунков, список литературы насчитывает 779 наименований.

Заключение научной работыдиссертация на тему "Развитие концепции динамического хаоса в СССР"

5.7. Выводы.

1. Хаос тесно связан с интегрируемостью уравнений движения. Понятие интегрируемости получило точное определение лишь для гамильтоновых систем (Ж.Лиувилль, В.И.Арнольд). В диссипативных системах используются аналогии (качественное интегрирование, А.А.Андронов), имея в виду системы с простым поведением. Неинтегрируемость означает не отсутствие решения, а сложный характер поведения решений.

2. Исследования, хаоса оказали влияние на современное понимание устройства мира. Традиционно в точном естествознании считалось, что устройство мира в главных чертах можно объяснить на основе небольшого числа фундаментальных принципов. Все остальное воспринималось как извлечение следствий. Исследования хаоса показали, что получение следствий может привести к глубоким концептуальным изменениям в науке.

3. Исследования хаоса показали ограниченность понятия изолированной физической системы, возможности ее описания только на динамическом или только на статистическом уровне вследствие присутствия в одной и той же области движений разных типов. В системах с локальной неустойчивостью при известных уравнениях движения имеются принципиальные ограничения в возможности предсказания поведения системы. Значительно сузились возможности интерполяции, а тем более экстраполяции результатов измерений.

4. Новая область привела к формированию нового языка и новой системы понятий. При этом математические и физические аспекты тесно переплелись. Сложность изучаемых задач сделала неизбежной потерю части информации. Менее полное описание потребовало применения качественных методов и других математических структур, что привело к использованию для физических задач нетипичных для них математических понятий и категорий (теоремы существования и единственности, различие между рациональными и иррациональными числами и др.).

5. Открытие хаоса имеет ряд особенностей по сравнению с другими крупными научными достижениями. Поскольку все новые результаты относились к уровню получения следствий, потребовалось значительное время для признания их принципиальной новизны. Создание теории хаоса потребовало установления следующих ее черт: наличия сложных движений, принципиально отличных от известных простых движений в системах небольшой размерности; определения механизма сложного поведения; устойчивости хаоса; широкой распространенности хаоса в самых различных физических системах. Все это обусловило длительный период исследований, после которого стало возможным говорить об открытии хаоса.

6. Исследования хаоса выявили иерархию сложности движений: от динамического описания на языке траекторий к статистическим характеристикам хаотического движения и затем к еще более высокому уровню сложности, когда сосуществуют области регулярности и хаоса. Для гамильтоновых систем классификацию движений удается провести более детально: регулярные движения, эргодические движения, системы со слабым перемешиванием, с сильным перемешиванием, с кратным перемешиванием, К-системы, системы Бернулли, системы с разделенным фазовым пространством. 7. Комплекс проблем, связанных с хаосом, позволил наметить иной подход к пониманию случайности и ее связи с необходимостью и закономерностью. Теория вероятностей рассматривает тот класс случайных явлений, для которых имеет место устойчивость частот, случайность можно охарактеризовать как равномерную. Понятие случайности намного шире и богаче, чем традиционно рассматривалось. При многообразии форм движения их главным отличительным признаком может выступить понятие сложности, которое можно рассматривать в числе первичных фундаментальных характеристик явлений действительности.

7. В процессах самоорганизации происходит выделение небольшого числа параметров порядка (Г,Хакен), определяющих динамику системы. В процессах самоорганизации значительную роль играет нелинейное уравнение диффузии (А.Н.Колмогоров, И.Г.Петровский, Н.С.Пискунов, Я.Б.Зельдович, Д.А.Франк-Каменецкий). Яркий пример самоорганизации дают исследования в астрономии (А.М.Фридман, Н.Н.Горькавый, Б.В.Чириков, В.В.Вечеславов). Имеет место своего рода взаимодействие случайности и детерминизма. В реальных системах не присутствуют в "чистом виде" ни хаос, ни упорядоченность, которые представляют собой предельные состояния. Хаос и упорядоченность сосуществуют, кооперируются и трансформируются друг в друга.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Традиционно в> физике считалось, что статистическое описание возникает при возбуждении большого числа степеней свободы, либо вследствие внешних случайных воздействий, либо случайность присутствует в начальных данных. Историю открытия хаоса в течение восьми десятилетий можно рассматривать как историю пересмотра этих интуитивных представлений.

2. Исследования хаоса привели к пониманию того, что существует тип сложных движений ДС, принципиально отличных от известных простых движений. Хаотическим поведением могут обладать системы небольшой размерности, описываемыми уравнениями с простыми правыми частями. Хаос оказался присущим большей части ДС и проявляется практически во всех основных областях современной физики.

3. Открытие хаоса относится к 1960-м гг. и к его открытию привели насущные задачи физики, механики, техники, а также внутренняя логика развития математики. Принципиальную роль сыграл вычислительный эксперимент.

4. В исследованиях хаоса еще раз проявилась "непостижимая эффективность, математики и аналитической механики". Классическая механика оказалась далеко не исчерпанной, и пример хаоса это ярко демонстрирует. Математический формализм дал. возможность обнаружить принципиально новые явления в рамках существующего физического фундамента.

5. Исследования хаоса имеют междисциплинарный характер. В, теории хаоса воплощены понятия и методы разных областей математики и точного естествознания. Идеи теории хаоса вышли далеко за пределы первоначально очерченных рамок и проникают не только во все естественные науки и все расширяющийся круг разделов техники.

6. Одним из главных факторов в открытии хаоса явились задачи, потребовавшие изучения нелинейных систем. Нелинейность вошла в число основных физических принципов, нелинейные системы стали рассматриваться как самостоятельные сущности с развитием адекватного математического аппарата.

7. В открытии хаоса прослеживаются два главных этапа - математический и физический. На математическом этапе были обнаружены сложные движения в ряде математических моделей и созданы средства для их описания. На физическом этапе такие движения были открыты в реальных физических системах и установлена их широкая распространенность.

8. В открытии и формировании основных понятий хаоса, изучении его свойств выдающееся место занимает отечественная наука, которая в значительной степени определяет современный облик этой области знания. Результаты А.М.Ляпунова, Л.И.Мандельштама, А.А.Андронова, Л.С.Понтрягина, А.Н.Колмогорова, Н.М.Крылова, Н.Н.Боголюбова, Н.С.Крылова, Л.Д.Ландау, В.И.Арнольда, Я.Г.Синая, Д.В.Аносова, Б.В.Чирикова, Г.М.Заславского, Ю.И.Неймарка, Л.П.Шильникова, В.И.Оселедца и др. во всем мире признаны классическими.

9. Проявления хаотического движения различаются в гамильтоновых и диссипативных системах. Для диссипативных систем характерно образование странных аттракторов. В гамильтоновых системах движение можно классифицировать в соответствии с мерой их сложности. В реальных системах сосуществуют области с регулярным и хаотическим движением (системы с разделяющимся фазовым пространством, квазиаттракторы). В этом случае становится затруднительным использование существующих методов, поскольку и динамические, и статистические методы разработаны для однородной упорядоченности и однородного хаоса.

10. Исследования хаоса дополнили существующую естественнонаучную картину мира. Главные представления об устройстве мира сосредоточены не только на уровне физических основ теории. Извлечение следствий из них также могут привести к концептуальным сдвигам без изменения теоретического фундамента. Открытие хаоса явилось составной частью вероятностной революции, преобразившей модель мироздания и всего стиля научного мышления.

11. Исследования хаоса привели« к необходимости пересмотра ряда физических положений. Выявились принципиальные ограничения на возможности предсказания поведения системы, которое во многих случаях приобретает статистический характер. В другую плоскость перешли вопросы соотношения объекта и наблюдателя, процесса измерения. Значительно сузились возможности интерполяции, а тем более экстраполяции результатов измерений.

12. Исследования хаоса позволили наметить новый подход к пониманию природы случайности и ее связи с необходимостью и закономерностью. За основу берется понятие сложности, представляющей первичную фундаментальную характеристику явлений действительности. Сделаны первые успешные шаги по формализации понятия сложности. Проявления сложности варьируются в очень широких пределах - от минимального (регулярность, динамическое описание), до сильного проявления (полная нерегулярность, статистическое описание). Сложность выступает в максимальной степени в системах, в которых одновременно присутствуют и регулярность, и хаос.

13. Исследования сложной динамики происходили при взаимодействии и конкуренции нескольких исследовательских программ. Программа Пуанкаре-Биркгофа- задала общее направление развития теории динамических систем. Ее конкретизация и сужение, воплощенные в программах Андронова, эргодической теории, гиперболической теории, программе Чирикова, Арнольда, а также в программе Чебышева-Колмогорова привели к построению ряда разделов современной теории ДС и теории нелинейных явлений.

14. Хаос теснейшим образом связан с процессами самоорганизации, что представляет своеобразную форму взаимодействия случайности и упорядоченности. В реальных системах упорядоченность и хаос не существуют в "чистом виде", а в разных пропорциях присутствуют обе компоненты.

15. Представления о хаосе приобрели общефизический и общенаучный характер. Под другим углом зрения предстали вопросы части и целого, закономерности и случайности, динамического и статистического, устойчивого и неустойчивого и т.д. •

16. Отметим то, что не отражено в данной работе или чему уделено недостаточно внимания. Незатронутыми остались вопросы экспериментального изучения хаоса и связанных с этим проблем. Такие исследования интенсивно проводятся в Нижегородском и Саратовском университетах, МГУ, Институте прикладной физики РАН (Н.Новгород), Институте радиотехники и электроники РАН (Москва) и в ряде других исследовательских учреждений. Не затронута история развития исследований квантового хаоса, которая представляет самостоятельную и интенсивно развивающуюся область. В малой степени-рассмотрена связь хаоса с процессами самоорганизации. Этот предмет столь обширен, что более или менее его серьезное рассмотрение требует отдельных исследований. То, что вошло в данную работу, тоже не претендует на исчерпывающее описание. Но, думается, что основные, принципиальные моменты изложены с определенной полнотой.

Список научной литературыМухин, Равиль Рафкатович, диссертация по теме "История науки и техники"

1. Абалакин В.К., Гребенников Е.А. Леонард Эйлер и развитие астрономии в России // Развитие идей Леонарда Эйлера и современная наука. М.: Наука, 1988. - С. 238-253.

2. Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики. М.: Советское радио, 1970. - 152 с.

3. Академик Г.И.Будкер. Очерки, воспоминания. Новосибирск: Наука, 1988. - 200 с.

4. Академик М.А.Леонтович. Ученый, учитель, гражданин. М.: Наука, 2003. - 511 с.

5. Академик Л.И.Мандельштам. К столетию со дня рождения. М.: Наука, 1979. -312 с.

6. Александров П.С. Пуанкаре и топология / Пуанкаре А. // Избранные труды: В 3 т. /Т. 2. М.: Наука, 1972. - С. 808-816.

7. Александров П.С., Немыцкий В.В. Вячеслав Васильевич Степанов. М.: Изд-во МГУ, 1956.-60 с.

8. Алексеев В.М. Квазислучайные динамические системы. I, II, III // Математический сборник. 1968. - Т. 76. - № 1. - С. 72-134; 1968. - Т. 77. - № 4. - С. 545601; 1969. - Т. 78.-№ 1.-С. 3-50.

9. Алексеев В.М. Комментарии к "Новым методам небесной механики" Пуанкаре / Пуанкаре А. // Избранные труды.: В 3 т. / Т.1. М.: Наука, 1971. - С. 752-756.

10. Алексеев В.М. Квазислучайные колебания и качественные вопросы небесной механики // Девятая летняя математическая школа. Киев: Институт математики АН УССР. - 1972.-С. 212-341.

11. Алексеев В.М. Предисловие к кн.: Р.Боуэн. Методы символической динамики. -М.: Мир, 1979.-С. 5-8.

12. Алексеев В.М. Финальные движения в задаче трех тел и символическая динамика //УМН.-1981.-Т. 36.-В. 4.-С. 161-176.

13. Алексеев В.М. Лекции по небесной механике. Ижевск: РХД, 1999. 160 с.

14. Андреев A.B. Роль физики в изменении смысла понятия "вероятность" // ИИФМ 1998-1999. М.: Наука, 2000. - С. 214-238.

15. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний.- М.: Физматлит, 1959. -916 с.

16. Андронов A.A. Математические проблемы теории автоколебаний // I Всесоюзн. конф. по колебаниям. Т. I. М.: Гостехтеориздат, 1933. - С. 32-71.

17. Андронов A.A. Теория точечных преобразований Пуанкаре-Брауэра-Биркгофа и теория нелинейных колебаний // Вестник АН СССР. 1944. - № 6. - С. 176-182.

18. Андронов A.A. Собрание трудов. М.: Изд-во АН СССР, 1956. - 540 с.

19. Андронов A.A., Леонтович Е.А. К теории изменений качественной структуры разбиения фазовой плоскости на траектории // ДАН СССР. 1938. - Т.21. - № 9. - С. 247252.

20. Андронов A.A., Леонтович Е.А. Некоторые случаи зависимости предельных циклов от параметров // Ученые записки Горьковского университета. 1939. - В. 6. - С. 3-32.

21. Андронов A.A., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. М.: Наука, 1966. - 568 с.

22. Андронов A.A., Леонтович Е.А., Гордон И.И., Майер А.Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1967. - 488 с.

23. Андронов A.A., Леонтович М.А., Мандельштам Л.И. К теории адиабатических инвариантов // Журнал русского физико-химического общества. 1928. - Т. 60. - № 5. -С. 413-419.

24. Андронов A.A., Понтрягин Л.С. Грубые системы // ДАН СССР. 1937. - Т. 14. -№ 5. - С. 247-252.

25. Аносов Д.В. Грубость геодезических потоков на компактных римановых многообразиях отрицательной кривизны // ДАН СССР. 1962. - Т. 145. - № 4. - С. 707709.

26. Аносов Д.В. Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны // Труды МИАН. М.: Наука, 1967. - С. 3-209.

27. Аносов Д.В. Бернулли автоморфизм // Математическая энциклопедия. Т.1. -М.: Советская Энциклопедия, 1977. - С. 418.

28. Аносов Д.В. Метрическая транзитивность // Математическая энциклопедия. Т. 3. М.: Советская Энциклопедия, 1982. - С. 666-667.

29. Аносов Д.В. Пуанкаре-Бендиксона теория // Математическая энциклопедия. Т. 4.- М.: Советская Энциклопедия, 1984. С. 753-754.

30. Аносов Д.В. О вкладе Н.Н.Боголюбова в теорию динамических систем // УМН. -1994.-Т. 49.-В. 5.-С. 5-20.

31. Аносов Д.В. О развитии теории динамических систем за последнюю четверть века // Студенческие чтения МК НМУ. М.: МЦНМО, 2000. - Вып. 1. - С. 74.

32. Аносов Д.В. Пуанкаре и проблемы Оскара II // ИМИ. 2001. II серия. - В. 6 (41). -С. 57-72.

33. Аносов Д.В. Динамические системы в 60-е годы: гиперболическая революция // Математические события XX века. М.: Фазис, 2003. - С. 1-18.

34. Аносов Д.В. и др. Динамические системы с гиперболическим поведением. // Итоги науки и техники. Совр. пробл. мат. Фундам. направления. Динамические системы- 9. / ВИНИТИ, 1985. Т. 66. - С. 5-248.

35. Аносов Д.В., Синай Я.Г. Некоторые гладкие эргодические системы // УМН. -1967. Т. 22. - В. 5. - С. 107-172.

36. Аппель П. Фигуры равновесия вращающейся однородной жидкости. М.-Л.: ОНТИ, 1936.-372 с.

37. Арнольд В.И. Малые знаменатели. I. Отображение окружности на саму себя // Известия АН СССР. Серия Математика. 1961. - Т. 25. - № 1. - С. 21-86.

38. Арнольд В.И. Об устойчивости положения равновесия гамильтоновой системы обыкновенных дифференциальных уравнений в общем эллиптическом случае // ДАН' СССР. -1961. Т. 137. - № 2. - С. 255-257.

39. Арнольд В.И. О рождении условно периодического движения из семейства периодических движений//ДАН СССР. 1961. -Т. 138. -№ 1. - С. 13-15.

40. Арнольд В.И. О поведении адиабатического инварианта при медленном периодическом изменении функции Гамильтона // ДАН СССР. 1962. - Т. 142. - № 4. -С. 758-761.

41. Арнольд В.И. О классической теории возмущений и проблеме устойчивости планетных систем // ДАН СССР. 1962. - Т. 145. - № 3. - С. 487-490.

42. Арнольд В.И. Доказательство теоремы А.Н.Колмогорова о сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона // УМН. 1963. -Т. 18.-В. 5.-С. 13-40.

43. Арнольд В.И. Малые знаменатели и проблемы устойчивости движения в классической и небесной механике // УМН. 1963. - Т. 18. - В. 6. - С. 91-192.

44. Арнольд В.И. Об одной теореме Лиувилля, касающейся интегрируемых проблем динамики // Сибирский математический журнал. 1963. - Т. 4. - № 2. - С. 471-474.

45. Арнольд В.И. О неустойчивости динамических систем со многими степенями свободы // ДАН СССР. 1964. - Т. 156. - № 1. - С. 9-12.

46. Арнольд В.И. Проблема устойчивости и эргодические свойства классических динамических систем // Труды Международного конгресса математиков. Москва 1966.- М.: Мир, 1968. С. 387-392.

47. Арнольд В.И. Нормальные формы для функций вблизи вырожденных критических точек, группа Вейля для Ak, Dk и Ej< и лагранжевы особенности // Функциональный анализ и его приложения. 1972. - Т. 6. - С. 254-272.

48. Арнольд В.И. Критические точки гладких функций и их нормальные формы // УМН. 1975. - Т. 30. - В. 5. - С. 3-65.

49. Арнольд В.И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. - 304 с.

50. Арнольд В.И. Экспоненциальное разбегание траекторий и его гидродинамичекие приложения // Н.Е.Кочин и развитие механики. М.: Наука, 1984. - С. 185-193.

51. Арнольд В.И. Теория катастроф // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 5. М.: ВИНИТИ, 1986. - С. 219-277.

52. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1989.- 472 с.

53. Арнольд В.И. Гюйгенс и Барроу, Ньютон и Гук. М.: Наука, 1989. - 96 с.ч

54. Арнольд В.И. Теория катастроф. М.: Наука, 1990. - 128 с.

55. Арнольд В.И. ЯБ и математика // Природа. 1992. - № 2. - С. 105-108.

56. Арнольд В.И. Избранное- 60. М.: Фазис, 1997. - XLVIII + 770 с.

57. Арнольд В.И. Некоторые нелинейные задачи / Арнольд В.И. // Избранное-60. -М.: Фазис, 1997. С. 335-334.

58. Арнольд В.И. Математические задачи в классической физике / Арнольд В.И. // Избранное-60. М.: Фазис, 1997. - С. 553-574.

59. Арнольд В.И. Об А.Н.Колмогорове / Арнольд В.И. // Избранное-60. М.: Фазис, 1997.- С. 653-677.

60. Арнольд В.И. От суперпозиций до теории KAM / АрнольдВ.И. // Избранное-60. -М.: Фазис, 1997. С. 727-740.i325

61. Арнольд В.И. От проблемы Гильберта о суперпозициях до динамических систем //Математические события XX века. М.: Фазис, 2003. - С. 19-51.

62. Арнольд В.И. А.Н.Колмогоров и естествознание // УМН. 2004. - Т. 59. - В. 1. -С. 25-44.

63. Арнольд В.И. Недооцененный Пуанкаре // УМН. 2006. - Т. 61. - В. 1. - С. 3-24.

64. Арнольд В.И., Авец А. Эргодические проблемы классической механики. -Ижевск: РХД, 1999. 284 с.

65. Арнольд В.И., Афраймович B.C., Ильяшенко Ю.С., Шильников Л.П. Теория бифуркаций / Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Динамические системы-5. М.: ВИНИТИ, 1986. - 220 с.

66. Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гусейн-Заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений. Классификация критических точек, каустик и волновых фронтов. М.: Наука, 1982. - 304 с.

67. Арнольд В.И., Варченко А.Н., Гусейн-Заде С.М. Особенности дифференцируемых отображений. Монодромии и асимптотики интегралов. М.: Наука,1984.-336 с.

68. Арнольд В.И., Васильев В.А., Горюнов В.В., Ляшко О.В. Особенности. I. Локальная и глобальная теория / Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Динамические системы-6.- М.: ВИНИТИ,1988.-256 с.

69. Арнольд В.И., Васильев В.А., Горюнов В.В., Ляшко О.В. Особенности. II. Классификация и приложения // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Динамические системы-8. М.: ВИНИТИ,1989. 256 с.

70. Арнольд В.И., Гивенталь А.Б. Симплектическая геометрия // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Динамические системы-3. М.: ВИНИТИ, 1985. - С. 5-139.

71. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Динамические системы-3. М.: ВИНИТИ,1985. 304 с.

72. Арнольд В.И., Мешалкин Л.Д. Семинар А.Н.Колмогорова по избранным вопросам анализа (1958-59) // УМН. 1960. - Т. 15. - В. 1. - С. 247-250.

73. Афанасьев В.Л., Фридман A.M. Вихревая структура в газовом диске галактики Mrk 1040 // Письма в "Астрономический журнал". 1993. - Т. 19. - № 9. - С. 787-797.

74. Афраймович B.C. Странные аттракторы и квазиаттракторы // Проблемы нелинейных и турбулентных процессов в физике. Киев: Наукова думка, 1985. - С. 2124.

75. Афраймович B.C., Быков В.В., Шильников Л.П. О возникновении и структуре аттрактора Лоренца // ДАН СССР. 1977. - Т. 234. - № 2. - С. 336-339.

76. Афраймович B.C., Быков В.В., Шильников Л.П. О притягивающих негрубых предельных множествах типа аттрактора Лоренца // Труды Московского математического общества. -1982. Т. 44. - С. 150-212.

77. Бабин A.B., Вишик М.И. Аттракторы эволюционных уравнений с частными производными и оценки их размерности // УМН. 1983. - Т. 38. - В. 4. - С. 133-187.

78. Баренблатт Г.И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика. Л.: Гидрометеоиздат, 1982. - 256 с.

79. Баренблатт Г.И. Уравнение диффузии / Колмогоров А.Н. // Избранные труды. Кн. 1. М.: Наука, 1985. - С. 416-420.

80. Басов Н.Г., Прохоров A.M. Теория молекулярного генератора и молекулярного усилителя мощности //ДАН СССР. 1955. - Т. 101. - № 1. - С. 47-49.•82. Басов Н.Г., Прохоров A.M. Молекулярный генератор и усилитель // УФН. 1955. -Т. 57.-В. З.-С. 481-501.

81. Басов Н.Г., Прохоров A.M. Теория молекулярного генератора и молекулярного усилителя мощности // ЖЭТФ. 1956. - Т. 30. - В. 3. - С. 560-563.

82. Батунин A.B. Фрактальный анализ и универсальность Фейгенбаума в физике адронов // УФН. 1995. - Т. 165. - № 6. - С. 645-660.

83. Баутин H.H., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1976. - 496 с

84. Беркс А. Введение к книге: Дж. фон Нейман. Теория самовоспроизводящихся автоматов. М.: Мир, 1971. - С. 20-48.

85. Берман Г.П., Зеленый Л.М., Мухин P.P., Фридман A.M. и др. Георгий Моисеевич Заславский // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2009. - Т. 17. - № 1. - С. 137-149.

86. Бернулли Я. О законе больших чисел. М.: Наука, 1986. - 176 с.

87. Бетяев С.К. Гидродинамика: проблемы и парадоксы // УФН. 1995. - Т. 165. - № 3. - С. 299-330.

88. Биллингслей П. Эргодическая теория и информация. М.: Мир, 1969. - 240 с.

89. Биркгоф Г. Гидродинамика. М.: Изд-во иностранной литературы, 1963. - 244 с.

90. Боголюбов H.H. О некоторых статистических методах в математической физике.- Киев: Изд-во АН УССР, 1945. 128 с.

91. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: ГИФМЛ, 1958. - 408 с.

92. Боголюбов H.H., Ширков Д.В. Введение в теорию квантованных полей. М.: Наука, 1984. - 597 с.

93. Бойко Е.С. Феномен преемственности в развитии научной школы (на материале истории школы нелинейных колебаний Мандельштама-Андронова) // Школы в науке. -М.: Наука, 1977. С. 319-346.

94. Бойко Е.С. Школа академика А.А.Андронова. М.: Наука, 1983. - 200 с.

95. Бойко Е.С. Александр Александрович Андронов. М.: Наука, 1991. - 256 с.

96. Больцман Л. Лекции по теории газов. М.: ГИТТЛ, 1953. - 556 с.

97. Бом Д. Квантовая теория. М.: Наука, 1965. - 728 с.

98. Бор Н. Теория атома и принципы описания природы / Бор Н. // Избр. труды, т. 2. -М.: Наука, 1971.-С. 62-71.

99. Борис Валерианович Чириков // УФН. 1998. - Т. 168. - № 7. - С. 813-814.

100. Борисов A.B., Мамаев И.С. Пуассоновы структуры и алгебры Ли в гамильтоновой механике. Ижевск: Изд. дом "Удмурт, университет", 1999. - 464 с.

101. Борисов A.B., Мамаев И.С. Современные методы теории интегрируемых систем.- Москва-Ижевск: Инст. компьют. исслед., 2003. 296 с.

102. Борн М. Лекции по атомной механике. Харьков-Киев, 1934. - 316 с.

103. Бриллюэн Л. Научная неопределенность и информация. М.: Мир, 1966. - 272 с.

104. Брудно A.A. Топологическая энтропия и сложность по А.Н.Колмогорову // УМН.- 1974.-Т. 29.-В. 6.-С. 157-158.

105. Брудно A.A. О сложности траекторий динамической системы // УМН. 1978. - Т. 33.-В. 1.-С. 207-208.

106. Брушлинская H.H. Качественное интегрирование одной системы п дифференциальных уравнений в области, содержащей особую точку и предельный цикл // ДАН СССР. -1961. Т. 139. -№ 1.-С. 9-12.

107. Будкер Г.И. Термоядерные реакции в системе с магнитными пробками // Физика плазмы и проблема управляемых реакций. Т. 3. М.: Изд-во АН СССР, 1958. - С. 3-31.

108. Бунимович Л.А., Синай Я.Г. Об основной теореме рассеивающих биллиардов // Математический сборник. 1973. - Т. 90. - № 3. - С. 415-431.

109. Бунимович Л.А., Синай Я.Г. Стохастичность аттрактора в модели Лоренца // Нелинейные волны. М.: Наука, 1979. - С. 212-226.

110. Бунимович Л.А., Синай Я.Г., Чернов Н.И. Статистические свойства двумерных гиперболических биллиардов // УМН. 1991. - Т. 46. - В. 4. - С. 43-92.

111. Бурбаки Н. Архитектура математики // Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М.: Изд-во иностранной литературы, 1965. - С.245 -259.

112. Бурштейн А.И. Возвращение "Интеграла" // Научное сообщество физиков СССР. 1950-1960-е годы. Вып. 1. - С.-Птб.: Изд-во РХГА, 2005. - С. 569-618.

113. Бусленко Н.П., Калашников В.В., Коваленко И.Н. Лекции по теории сложных систем. М.: 1973. - 439 с.

114. Васильев В.А., Романовский Ю,М., Яхно В,Г. Автоволновые процессы в распределенных кинетических системах // УФН. 1979. - Т. 128. - В. 4. - С. 625-666.

115. Вдовиченко Н.В. Развитие фундаментальных принципов статистической физики в первой половине XX века. М.: Наука, 1986. - 160 с.

116. Веденов A.A., Велихов Е.П., Сагдеев Р.З. Нелинейные колебания разреженной плазмы//Ядерный синтез. 1961. - Т. 1. - № 1. - С. 82-105.

117. Веденов A.A., Рудаков Л.И. О взаимодействии волн в сплошных средах // ДАН СССР. 1964. - Т. 159. - № 4. - С. 767-770.

118. Вейль Г. Симметрия. М.: Наука, 1968. - 192 с.

119. Вейль Г. Топология и абстрактная алгебра как два способа понимания в математике / Вейль Г. // Математическое мышление. М.: Наука, 1989. - С. 24-41.

120. Вейль Г. Геометрические идеи Римана, их влияние и связи с теорией групп // ИМИ. В. 32-33. - М.: Наука, 1990. - С. 250-290.

121. Вигнер Е. Инвариантность в физической теории / Вигнер Е. // Этюды о симметрии. М.: Мир, 1971. - С. 9-19.

122. Визгин В.П. Развитие взаимосвязи принципов инвариантности с законами сохранения в классической физике. М.: Наука, 1972. - 242 с.

123. Визгин Вл. П. Математика в квантово-релятивистской революции // Физика XIX-XX вв. в общенаучном и социокультурном контекстах. М.: Янус-К, 1997. - С. 7-30.

124. Визгин Вл.П. Устное сообщение от 23.11.2004.

125. Вильсон К.Дж. Ренормализационная группа и критические явления // УФН. -1983.-Т. 141.-В. 2.-С. 193-220.

126. Вильсон К., Когут Дж. Ренормализационная группа и е-разложение. М.: Мир, 1975.-256 с.

127. Вильяме Р.Ф. Структура аттракторов Лоренца // Странные аттракторы. М.: Мир, 1981.-С. 58-72.

128. Винер Н. Я математик. - М.: Наука, 1964. - 356 с.

129. Виноградов A.M., Красильщик И.С. Что такое гамильтонов формализм? // УМН.- 1975. Т. 30. - В. 1.-С. 173-198.

130. Виноградов A.M., Купершмидт Б.А. Структура гамильтоновой механики // УМН.- 1977. Т. 32. - В. 4. - С. 175-236.

131. Витаньи П., Ли М. Колмогоровская сложность: двадцать лет спустя // УМН. -1988.-Т. 43.-В. 6.-С. 129-166.

132. Волосов В.М. Международный симпозиум по нелинейным колебаниям в Киеве // УМН. 1962. - Т. 17. - В. 2. - С. 215-265.

133. Воспоминания об академике М.А. Леонтовиче. М.: Наука, 1996. - 448 с. 136: Воспоминания об академике А.Б.Мигдале. - М.: Физматлит, 2003. - 256 с.

134. Вул Е.Б., Синай Я.Г., Ханин K.M. Универсальность Фейгенбаума и термодинамический формализм // УМН. 1984. - Т. 39. - В. 3. - С. 3-37.

135. Гаврилов Н.К., Шильников Л.П. О трехмерных динамических системах, близких к системам с негрубой гомоклинической кривой I, II // Математический сборник. 1972.- Т. 88. -№ 4. С. 475-492; 1973. Т. 90. -№ 1. - С. 139-156.

136. Гапонов A.B. О второй (1973 г.) школе по колебаниям и волнам в нелинейных распределенных системах // Известия вузов. Радиофизика. 1974. - Т. 17. - № 4. - С. 427430.

137. Гапонов A.B. О третьей (1975 г.) школе по колебаниям и волнам в нелинейных распределенных системах // Известия вузов. Радиофизика. 1976. - Т. 19. - № 5-6. - С. 631-633.

138. Гапонов-Грехов A.B. Предисловие // Нелинейные волны. М.: Наука, 1979. - С. 34.

139. Гапонов-Грехов A.B., Рабинович М.И. Л.И.Мандельштам и современная теория колебаний и волн // УФН. 1979. - Т. 128. - В. 4. - С. 579-624.

140. Гапонов-Грехов A.B., Рабинович М.И. Нелинейная физика. Стохастичность и структуры // Физика XX века. Развитие и перспективы. М.: Наука, 1984. - С. 219-280.

141. Гаусс К.Ф. Сборник статей: К 100-летию со дня смерти, 1855-1955. М.: Изд-во АН СССР, 1956.-310 с.

142. Гейзенберг В. Жизнь в физике // УФН. 1970. - Т. 102. - В. 2. - С. 303-312.

143. Гейзенберг В. Физика и философия. Часть и целое. М.; Наука, 1990. -400 с.

144. Гельфанд И.М., Колмогоров А.Н., Яглом A.M. К общему определению количества информации // ДАН СССР. 1956. - Т. 111. - № 4. - С. 745-748.

145. Гельфанд И.М., Колмогоров А.Н., Яглом A.M. Количество информации и энтропия для непрерывных распределений // Труды 3-го Всесоюзного математического съезда, Москва, июнь-июль 1956. М.: Изд-во АН СССР, 1958. - С. 300-320.

146. Гельфанд И.М., Яглом A.M. О вычислении количества информации случайной функции, содержащейся в другой функции // УМН. 1957. - Т. 12. - В. 1. - С. 3-52.

147. Гельфрейх В.Г., Лазуткин В.Ф. Расщепление сепаратрис: теория возмущений , экспоненциальная малость //УМН. 2001. - Т. 56. - В. 3. - С. 79-142.

148. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф. М.: Мир, 1984. - Кн. 1. - 350 е.; Кн. 2. - 285 с.

149. Глейк Дж. Хаос. С.-Пб.: Амфора, 2001. - 400 с.

150. Голубев В.В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. -М.-Л.: Гостехиздат, 1950. 436 с.

151. Гольдштик М.А., Штерн В.Н. Гидродинамическая устойчивость и турбулентность. Новосибирск: Наука, 1977. - 262 с.

152. Гонченко C.B., Тураев Д.В., Шильников Л:П. О моделях с негрубыми гомоклиническими кривыми Пуанкаре // ДАН СССР. 1991. - Т. 320. - № 2. - С. 269-272.

153. Горькавый H.H., Фридман A.M. О резонансной природе колец Урана, определяемой его неоткрытыми спутниками // Астрономический циркуляр. 1985. - № 1391. - С. 1-2; Письма в "Астрономический журнал". - 1985. - Т.11. - № 9. - С. 717-720.

154. Горькавый H.H., Фридман A.M. Физика планетных колец // УФН. 1990. - Т. 160. -В. 2.-С. 169-237.

155. Горькавый H.H., Фридман A.M. Физика планетных колец. М.: Наука, 1994. -348 с.

156. Грасюк А.З., Ораевский А.Н. Переходные процессы в молекулярном генераторе // Радиотехника и электроника. 1964. - Т.9. - № 3. - С. 524-532.

157. Григорян A.A. Теория вероятностей Р. Фон Мизеса: история и философско-методологические основания // ИМИ. 1999. - В. 3 (36). - С. 198-220.

158. Гукенхеймер Дж. Странный, странный аттрактор / Марсден Дж, Мак-Кракен М. // Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980. - С. 284-293.

159. Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. Москва-Ижевск: Инст. компьют. исслед., 2003. - 560 с.

160. Данилов Ю.А. Нелинейность // Знание-сила. 1982. - № 11. - С. 34.

161. Данилов Ю.А. Нелинейная динамика: Пуанкаре и Мандельштам // Нелинейные волны. Динамика и эволюция. М.: Наука, 1989: - С. 5-15.

162. Данилов Ю.А. Устное сообщение от 26.06.2002.

163. Данилов Ю.А., Кадомцев Б.Б. Что такое синергетика? // Нелинейные волны. Самоорганизация. М.: Наука, 1983. - С. 5-16.

164. Демидов С., Петрова С.С., Симонов H.H. Обыкновенные дифференциальные уравнения // Математика XIX в. М.: Наука, 1987. - С. 80-183.

165. Джакалья Г. Методы теории возмущений для нелинейных систем. М.: Наука, 1979. - 320 с.

166. Джеммер М. Эволюция понятий квантовой механики. М.: Наука, 1985. 380 с.

167. Динамические системы-1 // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.1. - М.: ВИНИТИ, 1985. - 244 с.

168. Динамические системы-2 // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.2. - М.: ВИНИТИ, 1985. - 312 с.

169. Добрушин P.JI. Теория информации / Колмогоров А.Н. // Теория информации и теория алгоритмов. М.: Наука, 1987. - С. 254-257.

170. Жаботинский A.M. Концентрационные автоколебания. М.: Наука, 1974. - 178 с.

171. Жигулев В.Н., Тумин A.M. Возникновение турбулентности. Новосибирск: Наука, 1987.-280 с.

172. Жуковский Н.Е. Вихри. Теория крыла. Авиация / Жуковский Н.Е. // Полное собрание сочинений. Т. 5. M.-JL, 1937. - 490 с.

173. Заславский Г.М. Статистическая необратимость в нелинейных системах. М.: Наука, 1970. - 144 с.

174. Заславский Г.М. Стохастические волновые процессы. Препринт НИРФИ, Горький, 1973. -№41.

175. Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем. М.: Наука, 1984. - 272 с.

176. Заславский Г.М. Письменное сообщение от 25.11.2003.

177. Заславский Г.М. Письменное сообщение от 02.12.2003.

178. Заславский Г.М. Письменное сообщение от 04.03.2004.

179. Заславский Г.М. Письменное сообщение от 26.03.2007.

180. Заславский Г.М. Письменное сообщение от 06.05.2007.

181. Заславский Г.М. Физика хаоса в гамильтоновых системах. Москва-Ижевск: Инст. компьют. исслед., 2004. - 288 с.

182. Заславский Г.М. Устное сообщение 25.08.2006.

183. Заславский Г.М., Захаров М.Ю., Сагдеев Р.З., Усиков Д.А., Черников A.A. Генерация упорядоченных структур с осью симметрии из гамильтоновой динамики // Письма в ЖЭТФ. 1986. - Т. 144. - В. 7. - С. 349-353.

184. Заславский Г.М., Захаров М.Ю., Сагдеев Р.З., Усиков Д.А., Черников A.A. Стохастическая паутина и диффузия частиц в магнитном поле // ЖЭТФ; 1986. - Т.91. -В. 5.-С. 500-516.

185. Заславский Г.М., Рачко Х.-Р.Я. Особенности перехода к турбулентному движению // ЖЭТФ. 1979. - Т.76. - В. 6. - С. 2052-2064.

186. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. О пределах статистического описания нелинейного волнового поля //ЖЭТФ. 1967. - Т. 52. - В. 4. - С. 1081.

187. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З. Введение в нелинейную физику. М.: Наука, 1988. - 368 с.

188. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З., Усиков Д.А., Черников A.A. Минимальный хаос, стохастическая паутина и структура с симметрией "квазикристалл" // УФН. 1988. - Т. 156.-В. 2.-С. 193-251.

189. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З., Усиков Д.А., Черников A.A. Стохастическая паутина и симметрия структур // Нелинейные волны. Динамика и эволюция. М.: Наука, 1989.-С. 84-106.

190. Заславский Г.М., Сагдеев Р.З., Усиков Д.А., Черников A.A. Слабый хаос и квазирегулярные структуры. М.: Наука, 1991. - 236 с.

191. Заславский Г.М.,Филоненко H.H. Стохастическая неустойчивость захваченных частиц и условия применимости квазилинейного приближения // ЖЭТФ. 1968. - Т.54. -В. 5.-С. 1590-1602.

192. Заславский Г.М.,Филоненко H.H. Статистические свойства энергетического спектра "скользящих" электронов с перемешивающимися классическими траекториями // ЖЭТФ. 1973. - Т.65. - В. 2. - С. 643-656.

193. Заславский Г.М., Чириков Б.В. О механизме ускорения Ферми в одномерном случае // ДАН СССР. 1964. - Т. 159. - № 2. - С. 306.

194. Заславский Г.М., Чириков Б.В. Стохастическая неустойчивость нелинейных колебаний//У ФН.- 1971.- Т. 105.-В. 1.-С. 3-39.

195. Захаров В.Е. Коллапс ленгмюровских волн // ЖЭТФ. 1972. - Т. 62. - В. 5. - С. 1745-1759.

196. Захаров В.Е. Гамильтоновский формализм для волн в нелинейных средах с дисперсией // Изв. вузов. Радиофизика. 1974. - Т. 17. - № 4. - С. 431-476.

197. Захаров В.Е. Колмогоровские спектры в задачах слабой турбулентности // Основы физики плазмы. Т. 2. М.: Энергоатомиздат, 1984. - С. 48-79.

198. Захаров В.Е. Коллапс и самофокусировка ленгмюровских волн // Основы физики плазмы. Т. 2. М.: Энергоатомиздат, 1984. - С. 79-118.

199. Звонкин А.К., Левин Л.А. Сложность конечных объектов и обоснование понятий информации и случайности с помощью теории алгоритмов // УМН. 1970. -Т. 25.-В. 6.-С. 85-127.

200. Зельдович Я.Б., Франк-Каменецкий Д.А. Теория теплового распространения пламени // Журнал физической химии. 1938. - Т. 12. - В. 1. - С. 100-105.

201. Зельдович Я.Б. К теории распространения пламени // Журнал физической химии. 1948.-Т. 22.-С. 27-48.

202. Зельдович Я.Б. Автобиографическое послесловие / Зельдович Я.Б. // Избранные труды. Частицы, ядра, Вселенная. М: Наука, 1985. - С. 435-446. г

203. Зигель К. Лекции по небесной механике. М.: ИЛ, 1959. - 302 с.

204. Зиглин С.Л. Самопересечение комплексных сепаратрис и несуществование интегралов в гамильтоновых системах с полутора степенями свободы // ПММ. 1981. -Т. 45 (3). - С. 564.

205. Знакомый незнакомый Зельдович. В воспоминаниях друзей, коллег, учеников. -М: Наука, 1993. 352 с.

206. Зоммерфельд А. Пути познания в физике. М: Наука, 1973. - 320 с.

207. Зубарев Д.Н. Современные методы статистической теории неравновесных процессов. М.: ВИНИТИ, 1980. - 228 с.

208. Иваницкий Г.Р., Медвинский А.Б., Цыганов М.А. От динамики популяционных автоволн, формируемых живыми клетками, к нейроинформатике // УФН. 1994. - Т. 164. - В. 10. - С. 1041-1072.

209. Идельсон Н.И. Дополнения редактора / Аппель П. // Фигуры равновесия вращающейся однородной жидкости. М.-Л.: ОНТИ, 1936. - С. 317-370.

210. Израйлев Ф.М. Устное сообщение от 2.07.2004 г.

211. Израйлев Ф.М. Письменное сообщение от 17.07.2004.

212. Израйлев Ф.М., Хисамутдинов А.И., Чириков Б.В. Численные эксперименты с нелинейной цепочкой. Препринт 252. Новосибирск: ИЯФ СОАН СССР, 1968. - 38 с.

213. Израйлев Ф.М., Чириков Б.В. Статистические свойства нелинейной струны // ДАН СССР. 1966. - Т. 166. - № 1. - С. 57-59.

214. Израйлев Ф.М., Чириков Б.В. Стохастичность простейшей динамической модели с разделенным фазовым пространством. Препринт 191. Новосибирск: ИЯФ СОАН СССР, 1968.-64 с.

215. Израйлев Ф.М., Чириков Б.В. Некоторые численные эксперименты с простейшей моделью турбулентности // Программирование и математические методы решения физических задач. Дубна, 1974. - С. 266-277.

216. Ильяшенко Ю.С. Слабо сжимающие системы и аттракторы галеркинских приближений уравнения Навье-Стокса // УМН. 1981. - Т. 36. - В. 3. - С. 243-244.

217. Итоги науки и техники. Серия "Современные проблемы математики". Фундаментальные направления. Динамические системы 1-9. М.: ВИНИТИ, 1985-1991.

218. Йоккоз Ж.-К. Недавнее развитие динамики // Международный конгресс математиков в Цюрихе. Избранные доклады. М.: Мир, 1999. - С. 349-380.

219. Кадомцев Б.Б. Турбулентность плазмы // Вопр. теории плазмы. 1964. - Вып. 4. -С. 188-339.

220. Кадомцев Б.Б., Конторович В.М. Теория турбулентности в гидродинамике и плазме // Известия вузов. Радиофизика. 1974. - Т. 17. - № 4. - С. 511-540.

221. Канторович Л.В. Функциональный анализ и прикладная математика // УМН. -1948. Т. 3.-В. 6.-С. 89-185.

222. Капица С.П., Мелехин В.Н. Микротрон. М.: Наука, 1969. - 211 с.

223. Каплан Д.Л., Йорке Дж.А. Предтурбулентность: режим, наблюдаемый в течении жидкости, описываемой моделью Лоренца // Странные аттракторы. М.: Мир, 1981. - С. 213-238.

224. Каток А.Б., Хассельблат Б. Введение в современную теорию динамических систем. М.: Факториал, 1999. - 768 с.

225. Кац М. Вероятность и смежные вопросы в физике. М.: Мир, 1965. - 408 с.

226. Кац М. Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел.- М.: Изд-во иностранной литературы. 156 с.

227. Клейн Ф. Сравнительное обозрение новейших геометрических представлений ("Эрлангенская программа") // Об основаниях геометрии / Под ред. А.П.Нордена. — М.: ГИТТЛ, 1956.- С. 399-434.

228. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. Т. 1. М.: Наука, 1989. - 456 с.

229. Климонтович Ю.Л. Что такое турбулентность? // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1995. - Т. 3. - № 2. - С. 7-37.

230. Ю.Л. Климонтович. Воспоминания коллег и его личные заметки о людях науки / Под ред. В.С.Анищенко, В.Эбелинга и Ю.М,Романовского. Саратов: Изд-во ГосУНЦ "Колледж", 2005.- 118 с.

231. Коган В.И. Устное сообщение от 17.12.2003.

232. Козлов В.В. Несуществование однозначных интегралов и ветвление решений в динамике твердого тела // ПММ. 1978. - Т. 42 (3). - С. 400-406.

233. Козлов В.В. Методы качественного анализа в динамике твердого тела. М.: Изд-во МГУ, 1980.-230 с.

234. Козлов В.В. Интегрируемость и неинтегрируемость в гамильтоновой механике // УМН. 1983. - Т. 38. - В. 1. - С. 3-67.

235. Козлов В.В. Симметрия, топология и резонансы в гамильтоновой механике. -Ижевск: Изд-во Удмуртского университета, 1995. 430 с.

236. Козлов В.В., Колесников H.H. Об интегрируемости гамильтоновых систем // Вестнтник МГУ, серия математика, механика. 1976. - № 6. - С. 88-91.244". Колебания и бегущие волны в химических системах / Под ред. Р.Филди и М.Бургер. М.: Мир, 1988. - 720 с.

237. Колмогоров А.Н. Общая теория меры и исчисление вероятностей // Труды Коммунистической Академии. Раздел математика. 1929. - Т.1. - С. 8-21.

238. Колмогоров А.Н. Основные понятия теории вероятностей. — M.-JL: ОНТИ, 1936. -80 с.

239. Колмогоров А.Н. Упрощенное доказательство эргодической теоремы Биркгофа-Хинчина // УМН. 1938. - № 5. - С. 52-56.

240. Колмогоров А.Н. Локальная структура турбулентности в несжимаемой вязкой жидкости при очень больших числах Рейнольдса // ДАН СССР. 1941. - Т. 30. - № 4. - С. 299-303.

241. Колмогоров А.Н. К вырождению изотропной турбулентности в несжимаемой вязкой жидкости // ДАН СССР. 1941. - Т. 31. - № 6. - С. 538-541.

242. Колмогоров А.Н. Рассеяние энергии при локально-изотропной турбулентности // ДАН СССР. 1941.-Т. 32.-№ 1.-С. 19-21.

243. Колмогоров А.Н. О динамических системах с интегральным инвариантом на торе //ДАН СССР. 1953. - Т. 93. - С. 763-766.

244. Колмогоров А.Н. О сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона // ДАН СССР. 1954. - Т. 98. - № 4. - С. 527-530.

245. Колмогоров А.Н. Общая теория динамических систем и классическая механика // Ргос. Intern. Congr. Math. 1954. Amsterdam, 1954. - V. 1. - P. 315-333.

246. Колмогоров. А.Н. Теория вероятностей // Математика, ее содержание, методы и значение. Т. 2. М.: Изд-во АН СССР, 1956. - С. 252-284.

247. Колмогоров А.Н. Теория передачи информации // Сессия АН СССР по научным проблемам автоматизации производства. М.: Изд. AITCCCP, 1957. - С. 66-69.

248. Колмогоров А.Н. Новый метрический инвариант транзитивных динамических систем и автоморфизмов пространств Лебега // ДАН СССР. 1958. - Т. 119. - № 5. - С. 861-864.

249. Колмогоров А.Н. Об энтропии на единицу времени как метрическом инварианте автоморфизмов // ДАН СССР. 1959. - Т. 124. - № 4. - С. 754-755.

250. Колмогоров А.Н. Три подхода к определению понятия "количество информации" //Проблемы передачи информации. 1965. - Т. 1. -№ 1.- С. 3-11.

251. Колмогоров А.Н. К логическим основам теории информации и теории1вероятностей // Проблемы передачи информации. 1969. - Т. 5. - № 3. - С. 3-7.

252. Колмогоров А.Н. Качественное изучение математических моделей динамики популяций // Проблемы кибернетики. 1972. - Т. 25. - В. 2. - С. 101-106.

253. Колмогоров А.Н. О таблицах случайных чисел // Семиотика и информация. М.: ВИНИТИ, 1982. - В. 18. - С. 3-13.

254. Колмогоров А.Н. Комбинаторные основания теории информации и исчисления вероятностей // УМН. 1983. - Т. 38. - В. 4. - С. 27-36.

255. Колмогоров А.Н. Избранные труды. Кн. 1. Математика и механика. М.: Наука, 1985. - 458 е.; Кн. 2. Теория вероятностей и математическая статистика. - 1986. - 532 е.; Кн. 3. Теория информации и теория алгоритмов. - 1987. - 304 с.

256. Колмогоров А.Н. К работе об уравнении диффузии / Колмогоров А.Н. // Избранные труды. Кн. 1. Математика и механика. М.: Наука, 1985. - С. 416.

257. Колмогоров А.Н. К работам по турбулентности / Колмогоров А.Н. // Избранные труды. Кн. 1. Математика и механика. М.: Наука, 1985. - С. 421.

258. Колмогоров А.Н. К работам по классической механике / Колмогоров А.Н. // Избранные труды. Кн. 1. Математика и механика. М.: Наука, 1985. - С. 433.

259. Колмогоров А.Н. О логических основаниях теории вероятностей / Колмогоров А.Н. // Избранные труды. Кн. 2. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Наука, 1986.-С. 467-471.

260. Колмогоров А.Н. К работам по теории информации и некоторым ее применениям / Колмогоров А.Н. // Избранные труды. Кн. 3. Теория информации и теория алгоритмов. М.: Наука, 1987. - С. 251-253.

261. Колмогоров. Истина-благо. / Под. ред. А.Н.Ширяева. М.: Физматлит, 2003. - 382 с.

262. Колмогоров А.Н., Петровский И.Г., Пискунов Н.С. Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием количества вещества, и его применение к одной биологической проблеме // Бюл. МГУ. Математика и механика. 1937. - Т. 1. - В. 6. - С. 1-26.

263. Колмогоров А.Н., Успенский В.А. К определению алгоритма // УМН. 1958. - Т. 13.-В. 4.-С. 3-28.

264. Колмогоров А.Н., Успенский В.А. Алгоритмы и случайность // Теория вероятностей и ее приложения. 1987. - Т. 32. - В.З. - С. 425-455.

265. Колмогоров в воспоминаниях учеников. М.: Изд-во МЦНМО, 2006. - 472 с.

266. Кондратьев Б.П. Предисловие редактора / Пуанкаре А. // Фигуры равновесия жидкой массы. Москва-Ижевск: РХД, 2000. - С. 6-8.

267. Корнфельд И.П., Синай Я.Г., Фомин C.B. Эргодическая теория.- М.: Наука, 1980. -383 с.

268. Кравцов Ю.А. Случайность, детерминированность, предсказуемость // УФН. -1989. -Т. 158,- В. 1. С. 108.

269. Крайнов В.П. А.Б.Мигдал как педагог // Воспоминания об академике

270. A.Б.Мигдале. М.: Физматлит, 2003. - С. 136-139.

271. Кроновер P.M. Фракталы и хаос. М.: Постмаркет, 2000. - 352 с.

272. Крылов Н.С. Работы по обоснованию статистической физики. M.-JL: Изд-во АН СССР, 1950.-208 с.

273. Кузнецов С.П. Ренормхаос в системах, демонстрирующих удвоение периода // Нелинейные волны. Физика и астрофизика. М.: Наука, 1993. - С. 286-299.

274. Кузнецов С.П. Динамический хаос. М.: Физматлит, 2001. - 296 с.

275. Кузнецова О.В. Исследования Н.С.Крылова по обоснованию статистической механики // ИИФМ. М.: Наука, 1987. - С. 80-96.

276. Кузнецова О.В. История обоснования статистической механики. М.: Наука, 1988.- 184 с.

277. Ламб Г. Гидродинамика. М., Л.: ОГИЗ, 1947. - 928 с.

278. Ланда П.С. Гидродинамическая турбулентность и когерентные структуры // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1995. - Т.З. - № 2. - С. 4-5.

279. Ландау Л.Д. К проблеме турбулентности // ДАН СССР. 1944. - Т. 44. - № 8. - С. 339-342.

280. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. М.: Наука, 1964. - 568 с.

281. Ландау Л.Д., Пятигорский Л. Механика. М.-Л.: Гостехиздат, 1940. - 200 с.

282. Ланфорд O.E. Странные аттракторы и турбулентность // Гидродинамические неустойчивости и переход к турбулентности. М.: Мир, 1984. - С. 22-46.

283. Лаплас П.С. Опыт философии теории вероятностей. М., 1908. - 206 с.

284. Линь Цзя-цзяо Теория гидродинамической устойчивости. М.: ИЛ, 1958. - 196 с.

285. Липманн Г.У. Взлет и падение идей в турбулентности // УФН. 1984. - Т. 143.1. B. 4.-С. 641-656.

286. Литвинов В.Ф., Молочев В.И., Морозов В.Н., Никитин В.В., Семенов A.C. Динамическая неустойчивость полупроводникового лазера при низких температурах // Письма в ЖЭТФ. 1974. - Т. 19. - В. 12. - С. 747-749.

287. ЛихтенбергА. , Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. М.: Мир, 1984. - 528 с.

288. Лоскутов А.Ю., Михайлов А.Ю. Введение в синергетику. М.: Наука, 1990. - 272 с.

289. Лоскутов А.Ю. Динамический хаос. Системы классической механики // УФН. -2007.-Т. 177. -№9. -С. 1-26.

290. Лоскутов А.Ю. Очарование хаоса // УФН. 2010. - В печати.

291. Лошак П. Каноническая теория возмущений: подход, основанный на совместных приближениях // УМН. 1992. - Т. 47. - В. 6. - С. 59-140.

292. Лэндфорд О. Приложение к статье Р.Вильямса "Изображение аттрактора Лоренца, полученное с помощью компьютера" // Странные аттракторы. М.: Мир, 1981. - С. 73-74.

293. Ляпунов A.M. Об усточивости эллипсоидальных форм равновесия вращающихся жидкости. СПб. : Издание Академии Наук, 1884. - IV + 109 с.

294. Ляпунов A.M. О постоянных винтовых движениях твердого тела в жидкости // Сообщения Харьковского математического общества. 1888. - 2-я сер. - Т. 1. - С. 7-60.

295. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. Харьков, 1892. - XI + 250 с.

296. Ляпунов A.M. Об одной задаче Чебышева // Записки Академии Наук по Физико-математическому отделению. 1905. - 8 сер. - Т. 17. - № 3. - С. 1-32.

297. Ляпунов A.M. Избранные труды. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1948. - 540 с.

298. Ляпунов A.M. О форме небесных тел / Ляпунов A.M. // Избранные труды. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1948. - С. 303-322.

299. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики. -М.: Эдиториал УРСС, 2000. 336 с.

300. Мамчур Е.А. Идеалы единства и простоты в современном научном познании // Вопросы философии. 2003. - № 12. - С. 100-112.

301. Мандельброт Б. Фракталы и турбулентность: аттракторы и разброс // Странные аттракторы. М.: Мир, 1981.- С. 47-57.

302. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. М.: Инст. компьют. исслед., 2002. - 656 с.

303. Мандельштам Л.И. Предисловие к кн.: Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний . М.: Физматлит, 1959. - 916 с.

304. Маркушевич А.И. Очерки по истории теории аналитических функций. М., Л.: ГИТТЛ, 1951.- 128 с.

305. Марсден Дж. Соотношение между уравнениями Навье-Стокса и турбулентностью // Странные аттракторы. М.: Мир, 1981. - С. 7-20.

306. Мартин Н., Ингленд Дж. Математическая теория энтропии. М.: Мир, 1988. - 352 с.

307. Мартин-Леф П. О понимании случайной последовательности // Теория вероятностей и ее применения. 1966. - Т. 11.- № 1. - С. 198-200.

308. Маршал К. Задача трех тел. Москва-Ижевск: Инст. компьют исслед., 2004. - 640 с.

309. Маслов В.П., Данилов В.Г., Волосов К.А. Математическое моделирование процессов тепломассопереноса. М.: Наука, 1987. - 352 с.

310. Мезер Дж. Введение ко II тому избранных работ Юргена Мозера / Мозер Ю. // КАМ-теория и проблемы устойчивости. М.: РХД, 2001. - С. 7-27.

311. Мельников В.К. Качественное описание сильного резонанса в нелинейной системе // ДАН СССР. 1963. - Т. 148. - № 6. - С. 1257-1260.

312. Мельников В.К. Об устойчивости центра при периодических во времени возмущениях // Труды Московского математического общества. 1963. - Т. 12. - С. 3-52.

313. Мехра Дж. Рождение квантовой механики// УФН. 1977. - Т. 122. - В. 4. - С. 719-744.

314. Мигдал А.Б. Качественные методы в квантовой теории. М.: Наука, 1975. - 336 с.

315. Мизес Р. фон. Вероятность и статистика. М.-Л.: Гос. изд-во, 1930. - 250 с.

316. Миллер М.А. Избранные очерки о зарождении и взрослении- радиофизики в горьковско-нижегородских местах. Н.Новгород: Изд-во ИПФ РАН, 1997. - 244 с.

317. Миллионщиков М.Д. Вырождение однородной изотропной турбулентности в вязкой несжимаемой жидкости // ДАН СССР. 1939. - Т. 22. - № 5. - С. 236-240.

318. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Гостехиздат, 1957.-512 с.

319. Минлос P.A. Случайная величина // Физическая энциклопедия. Т. 5. М.: Большая Российская Энциклопедия, 1994. - С. 559-560.

320. Мозер Ю. Лекции о гамильтоновых системах. М.: Мир, 1973. - 169 с.

321. Мозер Ю. Некоторые аспекты интегрируемых гамильтоновых систем // УМН. -1981.-Т. 36.-В. 5.-С. 109-151.

322. Молодший В.Н. О.Коши и революция в математическом анализе первой четверти XIX в. // ИМИ. 1978. - Вып. 23. - С. 32-55.

323. Монин A.C. О природе турбулентности // УФН. 1978. - Т. 125. - В. 1. - С. 97-122.

324. Монин A.C. О когерентных структурах в турбулентных течениях // Этюды о турбулентности. М.: Наука, 1994. - 292 с.

325. Монин A.C., Яглом A.M. О законах мелкомасштабных турбулентных движений жидкостей и газов // УМН. 1963. - Т. 18. - В. 5. - С. 93-114.

326. Монин A.C., Яглом A.M. Механика турбулентности // Механика в СССР. 196872. Т. 2. М.: Физматгиз, 1970. - С. 461-505.

327. Монин A.C., Яглом A.M. Статистическая гидромеханика. Т.1. С.-Птб: Гидрометеоиздат, 1992. - 692 с.

328. Моффат Г. Некоторые направления развития теории турбулентности // Современная гидродинамика. Успехи и проблемы. М.: Мир, 1984. - С. 49-76.

329. Мухин P.P. Развитие идей А.А.Андронова в современной теории нелинейных явлений // Преподавание физики в высшей школе. № 23. - М., 2002. - С. 333-342.

330. Мухин Р.Р.Первые математические модели для описания активных сред: волны "заселения" и волны распространения пламени // ИИФМ. М.: Наука, 2002. - С. 277285.

331. Мухин P.P. Развитие В.Гейзенбергом некоторых проблем гидродинамики // ИИФМ. М.: Наука, 2003. - С. 129-138.

332. Мухин P.P. А.Н.Колмогоров и статистическая теория турбулентности // ИИФМ. -М.: Наука, 2003. С. 296-306.

333. Мухин P.P. Колмогоров и теория KAM: заметки к истории ее создания // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2003. - Т. 11. - № 1. - С. 3-11.

334. Мухин P.P. Развитие Колмогоровым энтропийного направления эргодической теории // ИМИ. 2003. - В. 8(43). - С. 18-26.

335. Мухин P.P. Вычислительный эксперимент: что это такое? // История науки и техники. 2003. - № 3. - С. 23-29.

336. Мухин P.P. Современное развитие представлений о динамике планетных колец // Историко-астрономические исследования. М.: Наука, 2003. - С. 34-41.

337. Мухин P.P. П.Дирак, скобки Пуассона и проблема интегрируемости гамильтоновых систем // ИИФМ. М.: Наука, 2003. - С. 63-72.

338. Мухин P.P. Симметрия и хаос // История науки и техники. 2004. - № 6. - С. 2-12.

339. Мухин P.P. Отечественные школы нелинейной динамики // Сб. трудов Межд. конф. МСС-04 "Трансформация волн, когерентные структуры и турбулентность", Москва, 23-25 ноября 2004. М.: УРСС, 2004. - С. 226-231.

340. Мухин P.P. Динамический хаос в гамильтоновых системах (по работам Г.М.Заславского 1960-х 1970-х годов) // ИИФМ. - М.: Наука, 2005. - С. 223-239.

341. Мухин P.P. Динамический хаос и физика лазеров // ИИФМ. М.: Наука, 2005. - С. 372-385.

342. Мухин P.P. "Для понимания структуры и природы колец старые методы небесной механики оказались неприменимыми". Интервью с А.М.Фридманом // ВИЕТ. 2005. - № З.-С. 157-168.

343. Мухин P.P. Современное развитие динамики и хаос. Об академике Б.В.Чирикове // Вестник РАН. 2005. - Т. 75. - № 3. - С. 233-241.

344. Мухин P.P. К истории развития нелинейной динамики. Динамический хаос // Научное сообщество физиков СССР. 1950-1960-е годы. Вып. 1. С.-Пб.: Изд-во РХГА, 2005. - С. 433-470.

345. Мухин P.P. Хаос и неинтегрируемость в гамильтоновых системах // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2006. - Т. 14. - № 1. - С. 3-24.

346. Мухин P.P. Структуры и хаос в галактиках // Историко-астрономические исследования. М.: Наука, 2006. - С. 10-20.

347. Мухин P.P. Физика плазмы и нелинейная динамика // ИИФМ. М.: Наука, 2006. -С. 210-219.

348. Мухин P.P. Методологические аспекты динамического хаоса // Вопросы философии.- 2006. № 11. - С. 85-93.

349. Мухин P.P. Качественное интегрирование диссипативных систем. Исторический аспект // Нелинейный мир. 2006. - Т. 5. - С. 113-127.

350. Мухин P.P. Возникновение турбулентности, динамические системы и хаос // ИИФМ. М.: Наука, 2007. - С. 34-366.

351. Мухин P.P. Динамический хаос: взаимодействие физического и математического аспектов // Вестник РАН. 2007. - Т. 77. - № 3. - С. 227-234.

352. Мухин P.P. Очерки по истории динамического хаоса (исследования в СССР в 1950-1980-е годы). М.: ВЕСТ-КОНСАЛТИНГ, 2007. - 390 с.

353. Мухин P.P. Турбулентность по Ландау, странные аттракторы и пути перехода к хаосу // История науки и техники. 2008. - № 4. - С. 18-29.

354. Мухин P.P. Может ли просто устроенная система вести себя сложно и непредсказуемо? Математические биллиарды // История науки и техники. 2008. - № 6. - С. 2-8.

355. Мухин P.P. Из истории гамильтонова хаоса: исследования стохастичности нелинейных систем в трудах Новосибирской школы // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2008. - Т. 16. - № 5. - С. 67-82.

356. Мухин P.P. Из истории гамильтонова хаоса: биллиарды // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2008. - Т. 16. - № 6. - С. 86-98.

357. Мухин P.P. Является ли механика Ньютона завершенной? Теория Колмогорова-Арнольда-Мозера // История науки и техники. 2010. - № 4. - С. 46-56.

358. Мухин P.P. Предсказание погоды, система Лоренца и лазерный аттрактор // История науки и техники. 2010. - № 6. - С. 14-22.368. "Наука в Сибири". 28 июня 1990. - № 23-24.

359. Научное сообщество физиков СССР. 1950-1960-е годы. / Сост и ред. В.П.Визгин и А.В.Кессених. Вып. 1. С.-Пб.: Изд-во РХГА, 2005. - 720 с.

360. Нейман фон Дж. Теория самовоспроизводящихся автоматов. М.: Мир, 1971. -384 с.

361. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний I, И, III // Известия вузов. Радиофизика. 1958. - № 1. - С. 5-6, 41-66; № 2. - С. 95-117; № 5, 6.-С. 146-165.

362. Неймарк Ю.И. О некоторых случаях зависимости периодических движений от параметров // ДАН СССР. 1959. - Т. 129. - № 4. - С. 736-739.

363. Неймарк Ю.И. Некоторые методы исследования динамических систем // Труды 2-го Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике. В.2. М.: Наука, 1965.-С. 97-111.

364. Неймарк Ю.И. О движениях, близких к двоякоасимптотическому движению // ДАН СССР. 1967. - Т. 172. - № 5. - С. 1021-1024.

365. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний // Механика в СССР за 50 лет. Т. 1. М.: Наука, 1968. - С. 137-156.

366. Неймарк Ю.И. Структура движений динамической системы в окрестности гомоклинической кривой // Труды 5-й летней математической школы, 1967. Киев: Институт математики АН УССР, 1968. - С. 400-433.

367. Неймарк Ю.И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. -М.: Наука, 1972. 472 с.

368. Неймарк Ю.И. Стохастичность в динамических системах // Теория колебаний, прикладная математика и кибернетика. Горький: Изд-во ГГУ, 1973. - С. 3-11.

369. Неймарк Ю.И. О возникновении стохастичности в динамических системах // Известия вузов. Радиофизика. 1974. - Т. 17. - № 4. - С. 602-607.

370. Неймарк Ю.И. Основная математическая модель современной науки и теория колебаний / Неймарк Ю.И. // Математические модели естествознания и техники. В. 3. Н.Новгород: Изд-во Нижегородского университета, 1997. - С. 336-354.

371. Неймарк Ю.И. Сухой остаток. Н.Новгород: Нижегор. Гум. Центр, 2000. - 144 с.

372. Неймарк Ю.И. Письменное сообщение от 16.01.2004.

373. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987.-423 с.

374. Нейштадт А.И. О разделении движений в системах с быстро вращающейся фазой // ПММ. 1984. - Т. 48. - № 2. - С. 197-204.

375. Нелинейные волны // Известия вузов. Радиофизика. 1974. - Т. 17. - № 4.

376. Нелинейные волны // Известия вузов. Радиофизика. 1976. - Т. 19. - № 5, 6.

377. Нелинейные волны / Под ред. А.В.Гапонова-Грехова. М.: Наука, 1979. - 360 с.

378. Нелинейные волны. Стохастичность и турбулентность / Под ред. М.И.Рабиновича. М.: Наука, 1980. - 220 с.

379. Нелинейные волны. Распространение и взаимодействие / Под ред. А.В.Гапонова-Грехова. М.: Наука, 1981.-244 с.

380. Нелинейные волны. Самоорганизация / Под ред. А.В.Гапонова-Грехова и М.И.Рабиновича. М.: Наука, 1983. - 264 с.

381. Нелинейные волны. Структуры и бифуркации / Под ред. А.В.Гапонова-Грехова и М.И.Рабиновича. -М.: Наука, 1987.-400 с.

382. Нелинейные волны. Динамика и эволюция / Под ред. А.В.Гапонова-Грехова и М.И.Рабиновича. М.: Наука, 1989. - 400 с.

383. Нелинейные волны. Физика и астрофизика / Под ред. А.В.Гапонова-Грехова и М.И.Рабиновича. М.: Наука, 1993.-360 с.

384. Нелинейные системы гидродинамического типа. / Под ред. А.М.Обухова. М.: Наука, 1974. - 160 с.

385. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.-Л.: ГИТТЛ, 1947.

386. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения II Математика в СССР за тридцать лет. 1917-1947. М.: Физматгиз, 1948. - С. 481-517.

387. Нехорошее H.H. О поведении гамильтоновых систем, близких к интегрируемым // Функциональный анализ и его приложения. 1971. - Т. 5. - В. 4. - С. 82-83.

388. Нехорошее H.H. Метод последовательных канонических замен переменных / Мозер Ю. // Лекции о гамильтоновых системах. Добавление. М.: Мир, 1973. - С. 150164.

389. Николис Г., Пригожин И. Познание сложного. М.: Мир, 1990. - 344 с.

390. Нитецки 3. Введение в дифференциальную динамику. М.: Мир, 1975. - 304 с.

391. Новиков С.П. Гамильтонов формализм и многозначный аналог теории Морса // УМН. 1982. - Т. 37. - В. 5. - С. 3-49.

392. Новиков С.П. Вторая половина XX века и ее итог: кризис физико-математического сообщества в России и на Западе // ИМИ. 2002. - В. 7 (42). - С. 326356.

393. Новиков С.П. и др. Яков Григорьевич Синай (к 60-летию со дня рождения) // УМН. 1996. - Т. 51.- В. 4. - С. 179-191.

394. Обухов A.M. О распределении энергии в спектре турбулентного потока // ДАН СССР. -1941. Т. 32. - № 1. - С. 22-24.

395. Обухов A.M. Об интегральных инвариантах в системах гидродинамического типа //ДАНСССР. 1969.-Т. 184.-№2.-С. 309-312. '

396. Ораевский А.Н. К теории молекулярного генератора // Радиотехника и электроника. 1959. - Т. 4. - В. 4. - С. 718-723.

397. Ораевский А.Н. Молекулярные генераторы. М.: Наука; 1984. - 296 с.

398. Ораевский А.Н. Динамика одномодовых лазеров и динамический хаос // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1996. - Т. 4. - № 1. С. 3-32.

399. Ораевский А.Н. Письменное сообщение от 25.09.2002.

400. Ораевский А.Н. Устное сообщение от 17.04.2003.

401. Ораевский А.Н., Успенский. A.B. Режим пульсаций мощного излучения квантовых генераторов // Труды ФИАН. 1965. - Т. 31. - С. 96-111.

402. Орнстейн Д. Эргодическая теория, случайность и динамические системы. М.: Мир, 1978,- 168 с.

403. Оселедец В.И. Мультипликативная эргодическая теорема. Характеристические показатели Ляпунова динамических систем // Труды Московского математического общества. 1968. - Т. 19. - С. 179-210.

404. Пайс А. Митчелл Джей Фейгенбаум / Пайс А. // Гении науки. М.: Инститзт коми, исслед., 2002. - С. 110-136.

405. Палис Ж., Ди Мелу В. Геометрическая теория динамических систем. М.: Мир, 1986.-301 с.

406. Песин Я.Б. Характеристические показатели Ляпунова и гладкая эргодическая теория//УМН. 1977. - Т. 32. - В. 4. - С. 55-112.

407. Песин Я.Б. Геодезические потоки с гиперболическим поведением траекторий и связанные с ними объекты // УМН. 1981. - Т. 36. - В. 4. - С. 3-51.

408. Песин Я.Б. Общая теория гладких гиперболических динамических систем // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Динамические системы 2. - ВИНИТИ, 1985. - С. 123-173.

409. Печенкин A.A. Философия Рихарда фон Мизеса через призму его контактов с советскими учеными // Вопросы философии. 2000. - № 3. - С. 43-52.

410. Печенкин A.A. Понятие автоколебаний и развитие теории нелинейных колебаний // ИМИ. 2003. - В. 8(43). - С. 209-240.

411. Пиковский A.C., Рабинович М.И. О странных аттракторах в физике // Нелинейные волны. М.: Наука, 1979. - С. 176-192.

412. Погребысский И.Б. К истории качественных методов в теории дифференциальных уравнений // ИМИ. 1997. - В. 2(37). - С. 283-292.

413. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. М.: Наука, 1975. - 464 с.

414. Полянин А.Д., Вязьмин,А.В., Журов А.И., Казенин Д.А. Справочник по точным» решениям уравнений тепло- и массопреноса. М.: Факториал, 1998. - 368 с.

415. Прандтль Л. Гидроаэромеханика. М.: РХД, R & С Dynamics, 2000. -576с.

416. Предисловие к кн.: Н.Н.Горькавый, А.М.Фридман. Физика планетных колец: -М.: Наука, 1994.-С. 3-11.

417. Пригожин И. Неравновесная статистическая механика. М.: Мир, 1964. - 314 с.

418. Пригожин И. От существующему к возникающему. М.: Наука, 1985. - 328 с.

419. Пригожин И., Николис Ж. Биологический порядок, структуры и неустойчивости //УФН. 1973. - Т. 109. - В. 3. - С. 517-544.

420. Пригожин И., Стенгерс И. Время, хаос, квант. М.: Эдиториал УРСС, 2000. - 240 с.

421. Проблемы Гильберта. М.: Наука, 1969. - 240 с.

422. Прохоров Ю.В. Случайная величина // Математическая энциклопедия. Т.5. М.: Советская Энциклопедия, 1985.- С. 9-10.

423. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.-Л.: ОГИЗ, 1947. - 392 с.

424. Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. / Пуанкаре А. // Избранные труды: В 3 т. М.: Наука, 1971. - Т. 1. - 772 е.; 1972. - Т. 2. - 998 с.

425. Пуанкаре А. Аналитическое резюме / Пуанкаре А. // Избранные труды: В 3 т. Т. 3. М.: Наука, 1974. - С. 580-655.

426. Пуанкаре А. Наука и метод / Пуанкаре А. // О науке. М.: Наука, 1983. - С. 284403.

427. Пуанкаре А. Ценность науки / Пуанкаре А. // О науке. М.: Наука, 1983. - С. 153282.

428. Пуанкаре А. Теория вероятностей. Ижевск: РХД, 1999. - 280 с.

429. Рабинович М.И. Стохастические автоколебания и турбулентность // УФН. 1978. -Т. 125,-В. 1. - С. 123-168.

430. Рабинович М.И., Фабрикант А.Л. Нелинейные волны в неравновесных средах // Известия вузов. Радиофизика. 1976. - Т. 19. - № 5-6. - С. 721-766.

431. Режимы с обострением. Эволюция идеи: Законы коэволюции сложных структур. -М.: Наука, 1998.-255 с.

432. Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики. Т. 2. М.: Мир, 1984.-382 с.

433. Родионов С.Н. Экспериментальная проверка поведения заряженных частиц в адиабатической ловушке // Атомная энергия. 1959. - Т. 6. - В. 6. - С. 623-629.

434. Рохлин В.А. Об основных понятиях теории меры // Математический сборник. -1949.-Т. 25.-№ 1.-С. 107-150.

435. Рохлин В.А. Избранные вопросы метрической теории динамических систем // УМН. 1949. - Т. 4. - В. 2. - С. 57-128.

436. Рохлин В.А. Лекции по энтропийной теории преобразований с инвариантной мерой // УМН. 1967. - Т. 22. - В. 5. - С. 3-56.

437. Рытов С.М. Академик Л.И.Мандельштам // Нелинейные волны. Распространение и взаимодействие. М.: Наука, 1981. - С. 8-30.

438. Рюэль Д. Случайность и хаос. Москва-Ижевск: РХД, 2001. - 192 с.

439. Сагдеев Р.З. Сколько каши было съедено // Академик М.А.Леонтович. М.: Наука, 2003. - С. 287-290.

440. Самарский A.A., Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.: Наука, 1987.-480 с.

441. Самойленко A.M. Н.Н.Боголюбов и нелинейная механика // УМН. 1994. - Т. 49. -В. 5.-С. 103-146

442. Сачков Ю.В. Вероятностная революция в науке. М.: Научный мир, 1999. - 144 с.

443. Сачков Ю.В. Вероятность как загадка бытия и познания // Вопросы философии. -2006.-№1.-С. 80-94.

444. Сигов Ю.С. Вычислительный эксперимент: мост между прошлым и будущим физики плазмы. М.: Физматлит, 2001. - 288 с.

445. Синай Я.Г. О понятии энтропии динамической системы // ДАН СССР. 1959. - Т. 124.-№4.-С. 768-771.

446. Синай Я.Г. Вероятностные идеи в эргодической теории // Proc. Intern. Congr. of Mathematicians. Stockholm, 15-22 August 1962. Stockholm, 1962. - P. 540-559.

447. Синай Я.Г. К обоснованию эргодической гипотезы для одной динамической системы статистической механики //ДАН СССР. 1963. - Т. 153. - № 6. - С. 1261-1264.

448. Синай Я.Г. Несколько замечаний о спектральных свойствах эргодических динамических систем //УМН. 1963. - Т. 18. - В. 5. - С. 41-47.

449. Синай Я.Г. Классические динамические системы со счетнократным лебеговским спектром. II // Известия АН СССР. Серия математическая. 1966. - Т. 30. - № 1. - С. 1568.

450. Синай Я.Г. Асимптотика числа замкнутых геодезических на компактных многообразиях отрицательной кривизны // Известия АН СССР. Серия математическая. 1966. - Т. 30. - № 6. - С. 1275-1296.i

451. Синай Я.Г. Марковские разбиения и У-диффеоморфизмы // Функциональный анализ и его приложения. 1968. - Т. 2. - № 1. - С. 64-89.

452. Синай Я.Г. Построение марковских разбиений // Функциональный анализ и его приложения. 1968. - Т. 2. - № 3. - С. 70-80.

453. Синай Я.Г. Динамические системы с упругими отражениями // УМН. 1970. - Т. 25.-В. 4.-С. 141-192.

454. Синай Я.Г. О законе универсальности Фейгенбаума // Нелинейные волны. Стохастичность и турбулентность. М.: Наука, 1980. - С. 24-28.

455. Синай Я.Г. Случайность неслучайного // Природа. 1981. - № 3. - С. 72-80.

456. Синай Я.Г. Эргодическая теория / Колмогоров А.Н. // Теория информации и теория алгоритмов. М.: Наука, 1987. - С. 275-279.

457. Синай Я.Г. Современные проблемы эргодической теории. М.: Физматлит, 1995.- 202 с.

458. Синай Я.Г. Как математики изучают хаос // Математическое просвещение. Третья серия. 2001. - В. 5. - С. 32-46

459. Синай Я.Г. Как математики и физики нашли друг друга // Математические события XX века. М.: Фазис, 2003. - С. 417-426.

460. Синай Я.Г. Письменное сообщение от 04.03.2005 г.

461. Синай Я.Г. Воспоминания об А.Н.Колмогорове // Колмогоров в воспоминаниях учеников. М.: Изд-во МЦНМО, 2006. - С. 205-207.

462. Синай Я.Г. Письменное сообщение от 26.03.2007.

463. Синай Я.Г., Чернов Н.И. Эргодические свойства некоторых систем двумерных дисков и трехмерных шаров // УМН. 1987. - Т. 42. - В. 3. - С. 153-174.

464. Синергетика. / Под ред. Б.Б.Кадомцева. М.: Мир, 1984. - 248 с.

465. Ситников К.А. Существование осциллирующих движений в задаче трех тел // ДАН СССР. 1960. - Т. 133. - № 2. - С. 303-306.

466. Смарт У .М. Небесная механика. М.: Мир, 1965. - 503 с.

467. Смейл С. Топология и механика // УМН. 1972. - Т. 27. - В. 2. - С. 77-133.

468. Смейл С. Математические проблемы следующего столетия // Современные проблемы хаоса и нелинейности. Москва-Ижевск: РХД, 2002. - С. 280-303.

469. Смирнов В.И. Очерк научных трудов А.М.Ляпунова / Ляпунов A.M. // Избранные труды. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1948. - С. 341-450.

470. Солитоны. М.: Мир, 1983. - 408 с.

471. Сретенский Л.Н. Творчество Анри Пуанкаре // ВИЕТ. 1963. - В. 15. - С. 30-46.

472. Странные аттракторы. / Под ред. Я.Г.Синая и Л.П.Шильникова. М.: Мир, 1981.- 254 с.

473. Стретт Дж. Теория звука. Т. 1. М.: Гостехиздат, 1955. - 503 с.

474. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. М.: Наука, 1964. - 236 с.

475. Табор М. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике. М.: Эдиториал УРСС, 2001.-320 с.

476. Тутубалин В.Н. Теория вероятностей и случайных процессов. М.: Изд-во МГУ, 1992. - 396 с.

477. Техника в ее историческом развитии. 70-е годы XIX начало XX в. - М.: Наука, 1982. -512 с.

478. Тихомиров В.М. Жизнь и творчество Андрея Николаевича Колмогорова // УМН.- 1988.-Т. 43.-В. б.-С. 3-33.

479. Тихомиров В.М. О двух письмах А.Н.Колмогорова к П.С.Александрову // ИМИ.- В. 8(43). М.: Янус-К, 2003. - С. 11-18.

480. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач // ДАН СССР. 1943. - Т. 39. - №5.-С. 195-198.

481. Трофимов В.В., Фоменко А.Т. Алгебра и геометрия интегрируемых гамильтоновых дифференциальных уравнений. М.: Факториал, 1995. - 448 с.

482. Трубецков Д.И. Колмогоров, Петровский, Пискунов, Фишер и нелинейное уравнении диффузии // Известия вузов. Прикладная нелиная динамика. 1997. - Т.5. - №6. С. 85-94.

483. Трубецков Д.И. Письменное сообщение от 06.12.2002.

484. Турбулентные течения. М.: Наука, 1977. - 124 с.

485. Уинтнер А. А. Аналитические основы небесной механики. М.: Наука, 1967. -524 с.

486. Уиттекер Э. Аналитическая динамика. М.: ОНТИ, 1937. - 588 с.

487. Уиттекер Э. История теории эфира и электричества. Москва-Ижевск: РХД, 2001 -512 с.

488. Улам С. Нерешенные математические задачи. М.: Наука, 1964. - 170 с.

489. Улам С. Приключения математика. Москва-Ижевск: РХД, 2001. - 272 с.

490. Успенский В.А. Колмогоров, каким я его помню. / Успенский В.А. // Труды по НЕматематике. М.: ОГИ, 2002. - С. 1068-1163.

491. Успенский В.А. Четыре алгоритмических лица случайности // Математическое просвещение. 2006. - В. 10. - С. 71-108.

492. Успенский В.А., Семенов А.Л. Теория алгоритмов: основные открытия и приложения. М.: Наука, 1987. - 272 с.

493. Успенский В.А., Семенов А.Л., Шень А.Х. Может ли (индивидуальная) последовательность нулей и единиц быть случайной? // УМН. 1990. - Т. 45. - В. 1. - С. 105-162.

494. Файн В.М. Об уравнениях колебаний молекулярного генератора // ЖЭТФ. 1957.- Т. 33. В. 4. - С. 945-947.

495. Фейгенбаум М. Универсальность в поведении нелинейных систем // УФН. 1983. -Т. 141.-В. 2.-С. 343-374.

496. Фейнмановские лекции по физике. Т. 7. М.: Мир, 1966. - 302 с.

497. Фридман A.M., Сагдеев Р,3., Хоружий A.B., Поляченко Е.В. Наблюдаемые проявления хаоса в спиральных галактиках // Труды совещания "Наблюдаемые проявления хаоса в реальных астрономических объектах", Москва, 2002. М.: Изд-во МГУ, 2002. - С. 1-17.

498. Хакен Г. Синергетика. М.: Мир, 1980. - 406 с.

499. Хакен Г. Синергетика. Иерархии неустойчивостей в самооргнизующихся системах и устройствах. М.: Мир, 1985. - 423 с.

500. Халмош П. Лекции по эргодической теории. Москва-Ижевск: РХД, 2001. - 132 с.

501. Хинчин А.Я. Метрические задачи теории иррациональных чисел // УМН. 1936.- В. 1. С. 7-32.

502. Хинчин А.Я. Математические основания статистической механики. М.-Л., 1943. -102 с.

503. Хинчин А.Я. Понятие энтропии в теории вероятностей // УМН. 1953. Т. 8. В. 3. С. 3-20.

504. Хинчин А.Я. Об основных теоремах теории информации // УМН. 1956. - Т. 11. -В. 1.-С. 17-75.

505. Хинчин А.Я. Частотная теория Р.Мизеса и современные идеи теории вероятностей // Вопросы философии. 1961. - № 1. - С. 91-102; № 2. - С. 77-89.

506. Храмов Ю.А. Научные школы в физике. Киев: Наукова думка, 1987. - 400 с.

507. Цытович В.Н. Развитие представлений о плазменной турбулентности // УФН. -1972. Т. 108. - В. 1. - С. 143-176. .

508. Чайковский Ю.В. История науки и обучение науке (на примере понятий "случайность" и "вероятность") // ВИЕТ. 1989. - № 4. - С. 17-28.

509. Чайковский Ю.В. О природе случайности. М.: Центр систем, исслед., 2001. - 272 с.

510. Чайковский Ю.В. Что такое вероятность. Эволюция понятия (от древности до Пуассона) // ИМИ. 2001. - В. 6 (41). - С. 34-56.

511. Чебышев П.Л. Теория механизмов / Чебышев П.Л. // Полное собрание сочинений. Т. 4. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1948. - 255 с.

512. Чернавский A.B. Комментарии "Analysis situs" и дополнения / Пуанкаре А. // Избранные труды: В 3 т. / Т. 2. М.: Наука, 1972. - С. 976-982.

513. Четаев Н.Г. Комментарий к главе I работы "Общая задача об устойчивости движения" / Ляпунов A.M. // Избранные труды. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1948. - С. 451456.

514. Чириков Б.В. Резонансные процессы в магнитных ловушках // Атомная энергия. 1959.-Т. 6.-В. 6.-С. 630-638.

515. Чириков Б.В. Исследования по теории нелинейного резонанса и стохастичности. Препринт 267. Новосибирск: ИЯФ СО АН СССР, 1969. - 314 с.

516. Чириков Б.В. Стохастические волновые процессы. Препринт НИРФИ. Горький, 1973.-№42.

517. Чириков Б.В. Взаимодействие нелинейных резонансов. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1978. - 78 с.

518. Чириков Б.В. Жизнь это творчество // Академик Г.И.Будкер. - Новосибирск: Наука, 1988. - С. 67-77.

519. Чириков Б.В. Аномальная диффузия в микротроне и критическая структура на границе хаоса // ЖЭТФ. 1998. - Т. 110.-В. 4. - С. 1174-1185.

520. Чириков Б.В. Письменное сообщение 17.11.2003.

521. Шарковский А.Н. Сосуществование циклов непрерывного преобразования прямой в себя // Украинский математический журнал. 1964. - Т. 16. - № 1. - С. 61-71.

522. Шарлье К. Небесная механика. М.: Наука, 1966. - 628 с.

523. Шейнин О.Б. Понятие случайности от Аристотеля до Пуанкаре // ИМИ. В. 1(36).-№ 1. -М.:Янус-К, 1995.-С. 85-105.

524. Шеннон К. Работы по теории информации и кибернетике. М.: ИЛ, 1963. - 829 с.

525. Шеннон К. Бандвагон / Шеннон К. // Работы по теории информации и кибернетике. М.: Изд. иностр. лит, 1963. - С. 667-668.

526. Шильников Л.П. Об одном случае существования счетного множества периодических движений //ДАН СССР. 1965. - Т. 160. - № 3. - С. 558-561.

527. Шильников JI.П. О существовании счетного множества периодических движений в четырехмерном пространстве в расширенной окрестности седло-фокуса // ДАН СССР.- 1967.-Т. 172.-№ 1. С. 54-57.

528. Шильников Л.П. О существовании счетного множества периодических движений в окрестности гомоклинической кривой // ДАН СССР. 1967. - Т. 172. - № 2. - С. 298301.

529. Шильников Л.П. Об одной задаче Пуанкаре-Биркгофа // Математический сборник. 1967. - Т. 174. - № 3. - С. 378-397.

530. Шильников Л.П. К вопросу о структуре расширенной окрестности грубого состояния равновесия типа седло-фокус // Математический сборник. 1970. - Т. 81. - № 1.-С. 92-103.

531. Шильников Л.П. Теория бифуркаций и модель Лоренца / Марсден Дж, Мак-Кракен М. // Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980. - С. 317335.

532. Шильников Л.П. Теория бифуркаций и турбулентность // Проблемы нелинейных и турбулентных процессов в физике. Киев: Наук, думка, 1985. - С. 118-124.

533. Шильников Л.П. Гомоклинические траектории: от Пуанкаре до наших дней // Математические события XX века. М.: Фазис, 2003. - С. 465-489.

534. Шильников Л.П., Шильников А.Л., Тураев Д.В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Москва-Ижевск: Инст. компьют. исслед., 2004. - 416 с.

535. Ширяев А.Н. Математическая теория вероятностей. Очерк истории становления. / Колмогоров А.Н. // Основные понятия теории вероятностей. М.: Фазис, 1998. - С. 102129.

536. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Москва-Ижевск: РХД, 2001. -528 с.

537. Эйген М. Молекулярная самоорганизация и ранние стадии эволюции // УФН. -1973.- Т. 109.- В. 3. С. 545-589.

538. Этюды о турбулентности. М.: Наука, 1994. - 291 с.

539. Эшби У.Р. Введение в кибернетику. М.: Изд-во иностранной литературы. 1959.- 430 с.

540. Юшкевич А.П. Исторический очерк / Степанов В.В. // Курс дифференциальных уравнений. М.: ГИТТЛ, 1950. - С. 428-457.

541. Явление чрезвычайное. Книга о Колмогорове. М.: Фазис-Мирос, 1999. - 256 с.

542. Abraham R., Marsden J. Foundations of Mechanics. Reading, Mass.: The Benjamin Publ. Co., 1978.-806 p.

543. Adler R.L., Konheim A.G., McAndrew M.H. Topological Entropy // Trans. AMS. -1965.-V. 114.-N2.-P. 309-319.

544. Afraimovich V.A., Shilnikov L.P. On strange attractors and quasiattractors //Nonlinear dynamics and turbulence. Boston-London-Melbourn: Pitman, 1983. - P. 1-34.

545. Anderson K.G. Poincare's discovery of homoclinic points // Archive for History of Exact Science. 1994. - V. 48. - P. 133-147.

546. Andronov A.A., Vitt A.A., Khaikin S.E. Theory of Oscillations. Princeton, NJ: Princeton Univ. Press, 1949; Oxford: Pergamon / Addison-Wesley, 1966. - 816 p.

547. Aranson I.S., Gaponov-Grekhov A.V., Rabinovich M.I. The onset and spatial development of turbulence in flow systems // Physica D. 1988. - V. 33. - P. 1-20.

548. Arecci F.T., Lapucci A., Meucci R. Poincare versus Bolzmann in Shilnikov phenomena // Physica D. 1993. - V. 62. - P. 186-191.

549. Arneodo A., Coullet P., Tresser C. Possible new strange attractors with spiral structure // Comm. Math. Phys. 1981. - V. 79. - P. 573-579.

550. Arneodo A., Coullet P., Tresser C. Oscillations with chaotic behaviour: an illustration of a theorem by Shilnikov // J. Stat. Phys. 1982. - V. 27. - P. 171-182.

551. Arnold V.I. Kolmogorov's hydrodynamic attractors // Proc. Roy. Soc. London: Ser. A. 1991.-V. 434.-P. 19-22.

552. Arnold V.I., Avez A. Problèmes Ergodiques de la Mecanique Classique. Paris.: Gauthier-Villars, 1967. - II + 243 p.

553. Arnold V., Khesin B. Topological Methods in Hydrodynamics. N.Y.: SpringerVerlag, 1998. - 374 p.

554. Aubin D. From catastrophe to chaos: the modeling practices of applied topologists // Changing Images in Mathematics. L.-N.Y.: Routledge, 2001. - P. 255-279.

555. Aubin D., Dahan Dalmedico A. Writing the history of Dynamical Systems and Chaos // Historia Mathematics 2002. - V. 29. - P. 273-339.

556. Aubin D. Written report 06.02.2004.

557. Barrow-Green J. Oscar II's prize competition and the error in Poincare's memoire on the three body problem // Archive for History of Exact Science. 1994. - V. 48. - P. 107-131.

558. Battimelli G. On the history of the statistical theories of turbulence // Revista Mexicana de Fisica. 1986. - V. 32. - P. 3-48.

559. Bellisard J., Bohigas O., Casati G., Shepelyansky D.L. Classical Chaos and its Quantum Manifestations // Physica D. 29 March 1999. - Special issue.

560. Bendixson I. Sur les courbes définies par des équations différentielles // Acta Math. -1901.-V. 24.-P. 1-88.

561. Berman G.P., Izrailev F.M. The Fermi-Pasta-Ulam problem: 50 years progress // Chaos. 2005. - V. 15. - 015101. - P. 1-49.

562. Bessi U., Cherchia L., Valdinochi E. Upper bounds on Arnold diffusion time via Mather theory // J. Math. Pure Appl. 2001. - V. 80. - N 1. - P. 105-129.

563. Birkhoff G.D. Quelques théorèms sur les mouvements des systèmes dynamiques // Bull. Soc. Math. France. 1912. - V. 40. - P. 305-323.

564. Birkhoff G.D. Proof of Poincaré's Geometric Theorem // Trans. AMS. 1913. - V. 14. -P. 14-22.

565. Birkhoff G.D. Dynamical Systems. Providence, Rhod Island: AMS, 1927. - IX + 295 P

566. Birkhoff G.D. Proof of recurrence theorem for strongly transitive systems and proof of the ergodic theorem // Proc. Nat. Acad. Sci. Amer. 1931. - V. 17. - P. 650-660.

567. Birkhoff G.D. Nouvelles recherches sur les systèmes dynamiques // Memoire Pont. Acad. Sci. Novi Lyncaei. 1935. - V. 53. - P. 85-216.

568. Bohm D., Burshop E. The characteristics of electrical discharges in magnetic field. -N.Y.- 1949.

569. Bolzmann L. Uber der Warmegleichgewicht zwischen meharatomigen Gasmolekulen // Sitzber. Akad. Wiss. Wien. 1871. - B. 63. - S. 397-418.

570. Bour J. Sur l'intégration des équations différentielles de la Mécanique Analytic // J.Math. Pure et Appl. 1855. - V. 20.- P. 185-200.

571. Bruns H.E. Uber der Integrate des Vielkorper-Problems // Acta Math. 1887. - V. 11. -P. 25-96.

572. Campbell D., Rosenau P., Zaslavsky G.M. Introduction: The Fermi-Pasta-Ulam problem The first fifty years // Chaos. - 2005. - V. 15. - 015101. - P. 1-4.

573. Carati A., Galgani L., Giorgilli A. The Fermi-PastaUlam problem as a challenge for the foundations of physics // Chaos. 2005. - V. 15. - 015105. - P. 1-8.

574. Cartwright M., Littlewood J.E. On non-linear differential equations of the second order:

575. The equation y-k(\-y2)y+y-bAkcos(A,t + a), k large//J. London Math. Soc. 1945. -V. 20.-Part3.-N79.-P. 180-189.

576. Cartwright M., Littlewood J.E. On non-linear differential equations of the second order:1.. The equation y+ kf(y,y) + g(y, k) = pit) = px (t) + kp2 (t); k > 0, f(y) > 1 // Ann. Math. 1947. V. 48. - N 2. - P. 472-494; 1949. - V. 50. - P. 504-505.

577. Chabert J.-L., Dahan- Dalmedico A. Les idées nouvelles de Poincaré // Chaos et déterminism. / Sous la direction de la A.Dahan Dalmedico, J.-L.Chabert, K.Chemla. Edition du Seuil, 1992.-P. 274-305.

578. Chabert J.-L. Hadamard et les géodésiques des surfaces à courbures négative // Chaos et déterminism // Chaos et déterminism. Sous la direction de la A.Dahan Dalmedico, J.-L.Chabert, K.Chemla. Edition du Seuil, 1992. - P. 306-330.

579. Chaitin G.J. On the length of programs for computing finite binary sequences: statistical consideration//J. Assos. Comp. Mach. 1969. - V. 16. - P. 145-159.

580. Chaos. 2005. V. 15. - 015101.

581. Chaos et déterminism / Sous la direction de la A.Dahan Dalmedico, J.-L.Chabert, K.Chemla. Edition du Seuil, 1992. - 416 p.

582. Chazy J. Sur l'allure finale de movement dans le problème des trois corps quand le temp croit indéfiniment // Ann. De l'Ecole Norm. Sup., 3 ser. 1922. - V. 39. - P. 29-130.

583. Chernikov A.A., Sagdeev R.Z., Usikov D.A., Zakharov M.Yu., Zaslavsky G.M. Minimal chaos and stochastic webs //Nature. 1987. - V. 326. - P. 559-563.

584. Chierchia L., Gallavotti G. Drift and diffusion in phase space // Ann. de l'Institut Poincaré, B. 1994. - V. 60. - P. 1-144.

585. Chirikov B.V. A universal instability of many-dimensional oscillator systems // Phys. Reps. 1979. - V. 52. - № 5. - P. 263-379.

586. Chirikov B.V. Linear and Nonlinear Dynamical Chaos // Open Sys. and Information Dyn. 1997.-N4.-P. 241-280.

587. Chirikov B.V., Izrailev F.M. Some numerical experiments with a nonlinear mapping: stochastic component // Colloq. Intern, du C.N.R.S. Tousouse, 1973. - P. 409-428.

588. Chirikov B.V., Vecheslavov V.V. Chaotic dynamics of comet Halley // Astron. Asrophys. 1989. - V. 221. - P. 146-154.

589. Church A. On the concept of a random sequence // Bull. AMS. 1940. - V. 46. - N 2. -P. 130-135.

590. Churchill W.S. The Second World War. V. 1. L.: Cassel & Co. ltd.,1949. - 724 p.

591. Contopoulos G. On the existence of a third integral of motion // Astron. -. 1962. V. 67.-N l.-P. 1-14.

592. Contopoulos G. A classification of the integrals of motion // Astron. J. 1963. - V. 138. -N4.-P. 1297- 1305.

593. Dahan Dalmedico A. La renaissance des systèmes dynamiques aux Etats-Unis après la deuxieme guerre mondiale // Suppl. Rendiconti dei circolo math. Palermo. 1994. Ser. II. - Y. 34. - P. 133-166.

594. Dahan Dalmedico A. History and Epistemology of Models: Meteorology (1946-1963) as a Case Study // Arch. Hist. Sci. 2001. - V. 5. - P. 395-422.

595. Dahan Dalmedico A. Andronov's school and the "Chaos" Reconfiguration // Proc. Inter. Andronov Conference. Nizhny Nov. 2002. - V. II. - P. 644-660.

596. Dahan Dalmedico A., Gousevich I. Early Developments of Nonlinear Science in Soviet Russia: The Andronov School at Gorkiy // Science in Context. 2004. - V. 17. - N '/a. - P. 235265.

597. Darwin G.H. Further consideration of stability of the pear-shaped figure of a rotating mass of liquid // Phys. Trans, of the Roy. Soc. of London. 1908. - Ser. A. - V. 207. - P. 1-19.

598. Davydov A.S. The role of solitons in the energy and electron transfer in one-dimensional molecular systems // Physica D. -1981. № 3. - P. 1-22.

599. Delauney C.E. Théorie du Mouvement de la Lune. Paris, 1860.

600. Devaney R.L. An Introduction to Chaotic Dynamical Systems. Reading, Mass.: Addison-Wesley, 1989. - 336 p.

601. Diacu F., Holmes P. Celestial Encounters: The Origin of Chaos and Stability. -Princeton: Princeton Univ. Press, 1996. -XV + 233 p.

602. Diner S. Les voies du chaos déterministe dans l'école russe // Chaos et déterminism. / Sous la direction de la A.Dahan Dalmedico, J.-L.Chabert, K.Chemla. Edition du Seuil, 1992. -P. 331-370.

603. Doob J: The Development of Rigor in Mathematical Probability // Development of Mathematics 1900-1950. / Ed. J.-P.Pier. Basel et al.: Birkhauser, 2000. - P. 157-169.

604. Drummond W.E., Pines D. Nonlinear stabilization of plasma oscillations // Nucl. Fusion Supp. 1962. - N 3. - P. 1049.

605. Duhem P. La théorie physique, son objet, sa structure. Paris : Chevalier et Riviere, 1906. -450 p.

606. Eckmann J.-P. Roads to turbulence in Dissipative Dynamical Systems // Rev. Mod. Phys. -1981. V. 53. - N 4. - Part 1. - P. 643-654.

607. Elliot J.L., Dunham E., Mink D. The rings of Uranus // Nature. 1977. - V. 267. - N 5609. - P. 328-330.

608. Erenfest P., Erenfest T. Begriffische Grundlagen statistischen Auffassung in der Mechanik // Enzyklopedie der mathematischen Wissinschaften. 1911. - B. 4. - S. 32-131.

609. Evans J.W., Fenichel N., Feroe J.A. Double impulse solutions in nerve axon equations // SIAM J. Appl. Math. 1982. - V. 142. - P. 219-234.

610. Feigenbaum M.J. Quantitative universality for a class on nonlinear transformations // J. Stat. Phys. 1978. - V. 19. - N 1. - P. 25-52.

611. Feigenbaum M.J. The universal metric properties of nonlinear transformations // J. Stat. Phys. 1979. - V. 21. -N 6. - P. 669-706.

612. Fermi E. Beweis dass ein Mechnisches Normalsystem in Allgemeinen Quasi-ergodisch ist // Phys. Zs. 1923. - B. 24. - S. 261-265.

613. Fermi E. On the origin of cosmic radiation // Phys. Rev. 1949. - V. 75. - P. 11691174.

614. Fermi E., Pasta J., Ulam S. Study of non Linear Problems // Studies of Nonlinear Problems. I. Los Alamos Report. LA, 1940. - 1955.

615. Filonenko N.N., Sagdeev R.Z., Zaslavsky G.M. Destruction of magnetic surfaces by magnetic field irregularities. Part II //Nucl. Fusion. 1967. - V. 7. - P. 253-266.

616. Fisher R.A. The wave of advance of advantageous genes // Ann. Eugenics. 1937. - V. 7. - P. 355-369.

617. Frisch U., Orszag S. Turbulence: challenges for theory and experiment // Physics Today. January 1990. - P. 24-32.

618. Gardner C.S., Green J.M., Kruskal M.D., Miura' K.M. Method for the solving the Korteveg-de Vries equation // Phys. Rev. Lett. 1967. - V. 19. - P. 1095-1097.

619. Golden Years of Moscow Mathematics // History of Mathematics. V. 6 / Eds. S.Zdravkovska, P.L.Duren. N.Y.-L., 1993. - 272 p.

620. Gollab J.P., Swinney H.L. Onset of turbulence in a rotating fluid // Phys. Rev. Lett. -1975.-V. 35,-P. 927-930.

621. Grasiuk A.Z., Oraevsky A.N. Transient processes in a beam maser // Proc. 4th Intern. Congr. Microwave Tubes. Sheveningen, Holland. 1962. - P. 446-450.

622. Grasiuk A.Z., Oraevsky A.N. The Dynamics of quantum oscillator // Estratto de Rendiconti della Scuola Intrn. Di Fisica « E.Fermi », XXXI Corso. Varenna, Italy. 1963. - P. 192-193.

623. Hadamard J. Les surfaces ä courbures opposees et leurs lignes geodesiques // J. Math, pures et appl. 1898. - V. 4. - P. 27-73.

624. Hadamard J. Lectures on Cauchy's Problem. New Haven, 1923. - 316 p.

625. Haken H. Analogy between higher Instabilities in Fluids and Lasers // Phys. Lett.1975.-V. 53.-N l.-P. 77-79.

626. Hasselblatt В., Katok A. The development of dynamics in the 20th century and the contribution of Jürgen Moser. // Ergod. Th.& Dynam. Sys. 2002. - V. 22. - P. 1343-1364.

627. Hedlund G.A. The dynamic of geodesic flows // Bull. AMS. 1939. - V. 45. - P. 241260.

628. Heisenberg W. Die absoluten Dimensionender Karmanschen Wirbelbewegung // Physik. Zeitschr. 1922. - Bd. 23. - S. 363-366.

629. Heisenberg W. Über Stabilität und Turbulenz von Flissigkeitsströmen // Ann.der Phys. 1924. - Bd.74. -N 15. - S. 577-624.

630. Heisenberg W. Zur statistischen Theorie der Turbulenz // Zs. Phys. 1948. -Bd. 124.-S. 628-651.

631. Heisenberg W. On the theory of statistical and isotropic turbulence // Proc. Roy. Soc. 1948. - Ser. A, - No. 195. - P. 402-406.

632. Heisenberg W. On the stability of laminar flow // Proc. Intern, Congr. of Math. -Cambridge, USA, 1950. V. 2. - P. 292-296. .

633. Heisenberg W. Significance of Sommerfeld's work today // Physics of the one- and two-electron atoms. Amsterdam, 1969. - P. 44-52.

634. Henon M. A two-dimensional mappings with a strange attractor // Com. Math. Phys.1976. V. 50. P. 69.

635. Henon M. This Week's Citation Classic // Current Contents. 1988. - N 4.- P. 18.

636. Henon M., Heiles С. The applicability of the third integral of motion; some numerical experiments // Astron. J. 1964. - V. 69. - N 1. - P. 73-79.

637. Holmes P. Poincare, Celestial Mechanics, Dynamical-systems Theory and "Chaos" // Phys. Rep. 1990.- V. 193.-N3.-P. 137-163.

638. Hopf E. Ergodentheorie. Berlin: Springer-Verl., 1937. - IV + 835 S.

639. Hopf E. Statistik der geodätischen Linien in Mannigfaltigkeiten negativer Krümmung // Ber. Verh. Sachs. Akad. Wiss. Leipzig. 1939. - B. 91. - S. 261-304. / Рус. пер.: Э.Хопф. УМН. - 1949. - Т. 4. - В. 2. - С. 129-170.

640. Hopf Е. Abzweigung einer peridischen Lösung von einer Stationaren Lösung eines Differential systems // Ber. Math.-Phys. Sachsische Akademie der Wissenschaften Leipzig. -1942.-B. 94.-S. 1-22.

641. Hopf E. A mathematical example displaying the features of turbulence // Comm. Pure Appl. Math. 1948. - V. 1. - P. 303-322.

642. Kampe de Feriet J. Les fonction aléatoires stationaires et la théorie statistic de la turbulence homogène // Ann. Soc. Sei. Bruxelles. 1939. - V. 59. - P. 145-194.

643. Kliinchin A.Ya. Zu Birkhoffs Lösung des Ergodeproblems // Math. Ann. 1931. - B. 107. - S. 485-488.

644. Kolmogorov A.N. Une série de Fourier-Lebesgue divergente presque partout // Fund. Math. 1923. - V. 4. - P. 324-328.

645. Kolmogorov A.N. Une série de Fourier-Lebesgue divergente partout // Comt. Rend. -1926.-V. 183.-P. 1327-1329.

646. Kolmogorov A.N. Grundberiffe der Wahrscheinlichkeitsrehung. Berlin: SpringerVerl., 1933.- 62 S.

647. Kolmogoroff A.N. Sulla teoria di Voterra délia lotta per l'esistenzia // G.Ist.ital. attuar. 1936. - V. 7. - P. 74-80.

648. Kolmogorov A.N. On tables of random numbers // Sakhya Ser. A. 1963. - V. 25. - N 4.-P. 369-376.

649. Kolmogorov A.N. On logical foundations of probability theory // Lect. Notes in Math. -1983.-N 1021. P. 1-5.

650. Kolmogorov in perspective. R.I.: AMS, 2000. - 230 p.

651. Koopman B.O. Hamiltonian systems and transformations in Hilbert space // Proc. Nat. Acad. Sei. U.S. 1931. - V. 17. - P. 315-318.

652. Kryloff N., Bogoliouboff N. La théorie générale de la mesure dans son applications a l'étude des système dynamiques de la mécanique non linéaire // Ann. Math. 1937. - V. 38. -P. 65-113.

653. Krylov N.S. Works on the foundations of statistical physics. Princeton, NJ: Princeton Univ. Press, 1977.-284 p.

654. Krylov N.M., Bogoliubov N. Introduction to non-linear mechanics. Princeton, NJ: Princeton Univ. Press, 1943. - 106 p.

655. Lascar J. La stabilité du système solaire H Chaos et déterminism / Sous la direction de la A.Dahan Dalmedico, J.-L.Chabert, K.Chemla. Edition du Seuil, 1992. - P. 170-211.

656. Lax P. Jürgen Moser, 1928-1999. // Ergod. Th.& Dynam. Sys. 2002. - V. 22. - P. 1337-1342.

657. Leauté H. Sur les oscillations a longues périodes dans les machines actionées par des moteurs et sur les moyens de prévenir ces oscillations // J.Ecole Polytechniques. 1885. -Cahier55.-P. 1-126.

658. Leray J. Etude de diverses équations intégrais non linéarais et de quelques problèmes que pose l'hydrodynamique // J.Math. Pures Appl. 1933. - V. 12. - P. 1-82.

659. Leray J. Essai sur le mouvements plans d'un liquide visqueux que limitent des parios // J.Math. Pures Appl. 1934. - V. 13. - P. 341-418.

660. Leray J. Essai sur le mouvements d'un liquide visqueux emplissant l'espace // Acta Math. 1934. - V. 63. - P. 193-248.

661. Levinson N. A second order differential équation with singular solutions // Ann. Math. 1949. -V. 50. -N 1. - P. 126-153.

662. Lewis B., Elbe G. On the theory of flame propagation // J.Chem. Phys. 1934. - V. 2. -N8. - P. 537-546.

663. Li T.-Y., Yorke J.A. Period Three Implies Chaos // Amer. Math. Monthly. 1975. - V. 82. - P. 982-985.

664. Liapounoff A.M. Sur la stabilité des figures ellipsoïdales d'équlibre d'un liquid animé d'un movement de rotation // Ann. de la faculté des sciences de l'Univ. de Toulouse. 1904. - 2 ser.- T. 6.-P. 5-116.

665. Liapounoff A.M. Sur le figures d'équilibre peu différentes des ellipsoides d'une masse liquide homogène douée d'un mouvement de rotation. I partie. Etude générale du problème // St.-Pbg. Imprim. de l'Acad. des Se. 1906. - IV + 225 p.

666. Lin C.C. On the stability of two-dimensional parallel now // Quart. Appl. Math. 1945.-V3. - No. 2. - P. 117-142; No. 3. - P. 218-234; No. 4. - P. 277-301.

667. Liouville J. Remarques nouvelles sur l'équation de Riccati // J.Math. Pures et Appl. -1841.-P. 1-13,36.

668. Liouville J. Note à l'occasion du memoire précident de M. Edmond Bour // J.Math. Pure et Appl. 1855. - V. 20. - P. 201-202.

669. Littlewood J.E. On non-linear differential equations of the second order: III. Theequation y- k{\ y2 ) y+ y = b/j.k, cos(/Jt + a) for large k, and its generalization // Acta Math. - 1957. - V. 97. - N 3-4 - P. 267-308.

670. Littlwood J.E. On the non-linear differential equations of the second order: IV. Thegeneral equation y+ kf(y)y+ g(y) = bkp{(p), <p=t + a II Acta Math. 1957. - V. 98. - N 1-2. -P. 1-110.

671. Littlwood J.E. On the number of stable periods of a differential equation of the Van der Pol type // JRE Trans. Circuit Theory. 1960. - V. 7. - N 4. - P. 535-542.

672. Lo Bello A. On the Origin and History of Ergodic Theory // Bolletino di Storia delle Scienze Mathematiche . 1983. - N. 1. - P. 37-75.

673. Lorenz E. The Statistical Prediction of Solutions of Dynamic Equations // Proc. Intern. Symp. on Numerical Weather Prediction in Tokio, November 1960. Tokio: Meteorol. Soc. of Japan, 1962. - P. 629-635.

674. Lorenz E. Deterministic Nonperiodic Flow // J.Atmosph. Sci. 1963. - V. 20. - P. 130141.

675. Lumley J.L., Yaglom A.M. A Century of Turbulence // Flow: Turbulence and Combustion. 2001. - V. 66. - P. 241-286.

676. Lyapunov A.M. Problème générale de la stabilité du movement. Princeton, NJ : Princeton Univ. Press, 1947. - 375 p.

677. Manneville P. From temporal to spatio-temporal chaos (and turbulence?) // Physics of Earth and Planetary Interiors. 1995. - V. 88. - P. 1-15.

678. Manneville P., Pomeau 'Y. Different ways to turbulence in dissipative dynamical systems // Physica ID. 1980. - P. 219-226.

679. Markov A.A. Sur une propriété générale des ensemble minimaux de Birkhoff // Comp. Ren. Acad. Sci. 1931. - V. 193. - P. 823-825.

680. Martin-Lof P. The definition of random sequences // Information and control. 1966. -V. 9.-N6.-P. 602-619.

681. Mathematical foundation of turbulent viscous flows // CIME summer school Martina Franca, Italy, Sept. 2003. Sci. report. - P. 3-4.

682. McLaughlin J.B., Martin P.C. Transition to turbulence of a statistically stressed fluid // Phys. Rev. Lett. 1974. - V. 33. - P. 1189-1192.

683. Millis R.L., Wasserman L.H., Birch P.V. Detection of rings around Uranus // Nature. -1977.-V. 267.-P. 330-331.

684. Mira C. Some historical aspects of nonlinear dynamics: possible trends for the future // Int. J. Bifurcation and Chaos. 1997. - V. 7. - N 9. - P. 2145-2173.

685. Mors M., Hedlund G.A. Symbolic dynamics, I, II // Amer. J. Math. 1938. - V. 60. - P. 815-866; 1940.-V. 62.-P. 1-42.

686. Moser J. A new technique for the construction of solutions of nonlinear differential equations // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1961. - V. 47. - P. 1824-1831.

687. Moser J. On invariant curves of area-preserving mappings of an annuals // Nachr. Acad. Wiss. Gottingen Math.-Phys. 1962. - Kl. - P. 1-20.

688. Moser J. Dynamical systems past and present // Proc. Intern. Congr. Math, Berlin 1998. - V. 1. - Bielefeld: Univ. Bielefeld, 1998. - P. 381-402.

689. Moser J. Recollections // The Arnoldfest. Proceedings of a Conference in Honour of V.I.Arnold for his Sixtieth Birthday. Providence, Rhode Island: AMS, 1999. - P. 19-21.

690. Neimark Yu.I. Mathematical Models in Natural Science and Engineering. N.Y.: Springer, 2003. - 570 p.

691. Nemytskii V.V., Stepanov V.V. Qualitative Theory of Differential Equations. -Princeton, NJ: Princeton Univ. Press, 1960. 523 p.

692. Neumann J. von. Proof of the quasi-ergodic hypothesis // Proc. Nat. Acad. Sci. Amer. -1932.-V. 18.-P. 70-82.

693. Neumann von J. Matematische Grundlagen der Quanten mechanic. Berlin, 1932. -262 S.

694. Newhouse S. Non-density of axiom A(a) on S2 // Proc. AMS symp. pure math. 1970. -V. 14.-P. 191-202.

695. Newhouse S. Diffeomorphisms with infinetly many sinks // Topology. 1974. - V. 13. -Nl.-P. 9-18.

696. Newhouse S.E., Ruelle D., Takens F. Occurrence of strange axiom A attractors near quasi-periodic flows on Tm (m = 3 or more) // Comm. Math. Phys. 1978. - V. 64. - P. 35-40.

697. Orr W. The stability or. instability of the steady motions of a liquid // Proc. Roy. Irish Acad. 1906. - A 27. - V. 27. - P. 9-68,69-138.

698. Parker M.W. Did Poincare Really Discover Chaos? // Stud. Hist. Phyl. Mod. Phys. -1998.-V. 29.-N4.-P. 575-588.

699. Perron O. Die Ordnungszahlen linearer Differentialgleichungssysteme // Mathem. Zeitschr. 1930. - Bd. 31. - S. 748-766.

700. Peixoto M. Structural stability on two-dimensional manifolds // Topology. 1962. - V. 1.-N2.-P. 101-120.

701. Plancherel M. Beweis der Unmöglichkeit ergodischer mechanischer Systeme // Ann.Phys. 1913. - B. 42. - S. 1061-1063.

702. Plato von J. The method of arbitrary functions // Brit. J. Phil. Sei. 1983. - V. 34. - P. 37-47.

703. Poincaré H. Sur l'équilibre d'un masse fluide animée d'un mouvement de rotation // Compte rendue Acad. Sei. 1885. - V. 100. - P. 346-348.

704. Poincaré H. Sur l'équilibre d'un masse fluide animée d'un mouvement de rotation // Acta Math. 1885. -V.l.- P. 259-380.

705. Poincaré H. Sur le problème des trois corps et les équations de la Dynamique // Acta Math. 1890. -V. 13. - P. 1-270.

706. Poincaré H. Analysis situs // J. Ecole Polytechniques. II sér. 1895. - Cahier 1. - P. 1121.

707. Poincaré H. Sur la stabilité d'équilibre des figures piriformes affectées par une masse fluide animée en rotation // Phylos. Trans. 1902. - Ser. A. - Y. 198. - P. 333-373.

708. Poincaré H. Sur les lignes géodésiques des surfaces convexes // Trans. AMS. 1905. -V. 6. - P. 237-274.

709. Poincaré H. Sur un théorème de géometrie // Rendicont : Circolo mat. Palermo. 1912. -V. 33.-P. 375-407.

710. Pomeau Y., Manneville P. Intermittent transition to Turbulence in Dissipative Dynamical Systems // Comm. Math. Phys. 1980. - V. 74. - P. 189-197.

711. Proceedings of the International Congress of Mathematicians 1954. Amsterdam: North Holland Publ. Co., 1957. - 582 p.

712. Reynolds O. On the dynamical theory of incompressible viscous fluids and the determination of the criterion // Phil. Trans. Roy. Soc. London. 1895. - V. A 186. - P. 123164.

713. Richardson L.F. Weather prediction by numerical process. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1922. - 226 p.

714. Rosenbluth M.N., Sagdeev R.Z., Taylor J.B., Zaslavsky G.M. Destruction of magnetic surfaces by magnetic field irregularities //Nucl. Fusion. 1966. - V. 6. - P. 297-300.

715. Rosental A. Beweis der Unmöglichkeit ergodischer Gassysteme // Ann.Phys. 1913. -B. 42. - S. 796-806.

716. Ruelle D., Takens F. On the Nature of Turbulence // Comm. Math. Phys. 1971. - V. 20.-P. 167-192.

717. Saltzman В. Finite amplitude free convection as an initial value problem I // J.Atmosph.Sci. 1962. - V. 19. - P. 329-341.

718. Schwarzschild К. Zur Quantenhypotese // Berliner Berichte. 1916. - S. 548-550.

719. Shannon C. A Mathematical Theory of Communication // The Bell System Tech. J. -1948. V. 27. - P. 379-423, 623-656.

720. Shechtman D., Blech I., Gratias D., Cahn I.W. Metallic phase with long-rage orientational order and no translational symmetry // Phys. Rev. Lett. 1984. - V. 53. - P. 19511953.

721. Sheynin O.B. On the History of the Statistical Method in Physics // Arch. hist. ex. sei. 1985. - V. 33. - N 4. - P. 352-382.

722. Sheynin O.B. Poincare's Work on Probability // Arch. hist. ex. sei. 1991. - V. 42. - N2.-P. 137-171.

723. Shilnikov L.P. Mathematical problems of nonlinear dynamics: a tutorial // Int. J. Bifurcation and Chaos. 1997. - V. 7. - N 9. - P. 1053-2001.

724. Siegel C.L. On the integrals of canonical systems // Ann. Of Math. 1941. - V. 42. - N3. P. 806-822.

725. Siegel C.L. Über die Normalform analitischer Differentialgleichungen in der Nähe einer Gleichgewichtslösung // Nachr.Akad. Wiss. Gottingen, math.-phys. 1952. - Kl. IIa, Jarg. - S. 21-30.

726. Siegel C.L. Über die existence einer Normalform analytischer Hamiltonischer Differentialgleichungen in der Nähe einer Gleichgewichtslösung // Math. Ann. 1954. - B. 128. - S. 144-170.

727. Sinai Y.G. Development of Krylov's ideas / Krylov N.S. // Works on foundation of the statistical physics. Princeton: Princeton Univ. Press, 1980. - P. 239-281.

728. Sinai Yu.G. Mathematical Problems of Turbulence // Physica A. 1999. - V. 263. - P. 565-566.

729. Singer D. Stable orbits and bifurcations of maps of the interval // SIAM Journ. on Appl. Math. 1978. - V. 35. - N 2. - P. 260-267.

730. Sklar L. Physics and chance. Camb.: CUP, 1993.-438 p.

731. Smale S. Morse inequalities for a dynamical system // Bull. AMS. 1960. - V. 66. - P. 43-49.

732. Smale S. A structurally stable differential homomorphysm with an infinite number of periodic points // Труды Международного симпозиума по нелиным колебаниям. Киев -1961. Киев: АН УССР, 1963. - С. 365-366.

733. Smale S. Structurally stable systems are not dense // Am. J. Math. 1966. - V. 73. - P. 747-817.

734. Smale S. Diffeomorphisms with many periodic points // Differential and Combinatorial Topology. Princeton, NJ.: Princeton Univ. Press, 1965. - P. 63-80.

735. Smale S. Dynamical systems on n-dimensional manifolds // Differential equations and dynamical systems. Proc. intern, symp. Puerto Rico, 1965. N.Y. London: Acad. Press, 1967.- P.483-486.

736. Smale S. Differentiable dynamical systems // Bull. AMS. 1967. - V. 73. - P. 747-817.

737. Smale S. The story of the higher dimensional Poincare conjecture // The Math. Intelligencer. 1990. -V. 12.- P. 44-51.

738. Smale S. Chaos: Finding a horseshoe on the beaches of Rio // The Math. Intelligencer.- 1998. V. 20.-P. 39-44.

739. Solomonoff R.J. A formal theory of inductive inference // Information and control. -1964. N 7. - P. 1-22, 224-254.

740. Sommerfeld A. Ein Beitrag zur hydrodyhamischen Erklärung der turbulenten Flussigkeitsbewegungen. Proc. 4th Int. Congr. Rome. 1908. -P. 116-124.

741. Sommerfeld A. Atombau und Spektrallinien. Braunschweig: Vieweg, 1919.

742. Stäckel P. Über die integration der, Hamilton-Jakobischen Differentialgleichung mittels der Separation der Variabein. Habilationschrift. Halle, 1891.

743. Staude O. Über eine Gattung doppelt reel periodischer Funktionen zweier Varanderlicher // Math. Ann. 1887. - B. 29.- S. 468.

744. Sucker R. On invariant aurfaces and bifurcation of periodic solution of ordinary differential equations // Comm. Pure and Appl. Math. 1965. - V. 18. - N 4. - P. 717-732.

745. Tabor M. Modern dynamics and classical analysis // Nature. 1984. - V. 30. - P. 277285.

746. Taylor G.I. Statistical theory of turbulence // Proc. Roy. Soc. 1935. - V. A151. - N 873.-P. 421-478.

747. Thom R. Sur les travaux de Stephen Smale // Труды Международного конгресса математиков. Москва 1966. М.: Мир, 1968. - С. 25-28.

748. Thom R. Stabilité sructurelle et morphogenèse. Paris: Ediscience, 1972.

749. Thomas L.H. The stability of plane Poiseuille flow// Phys. Rev. 1953. -No. 5.-P. 780-783.

750. Thompson W., Tait P.G. Treatise on Natural Philosophy. The last edition: Univ. of Michigan Library, 2001. - 572 p.

751. Tikhomirov V.M. A.N.Kolmogorov // Golden Years of Moscow Mathematics. N. Y.-L., 1993.-P. 101-127.

752. Ulam S. John von Neumann, 1903-1957 // Bull. AMS. 1958. - V. 64. - N 3. - P. 1-49.

753. Ulam S. On some statistical properties of dynamical systems // Proc. 4-th Berkely Sympos. Math. Prob. Berkely - Los Angeles, 1961. - V. 3. - P. 315.

754. Ulam S., von Neumann J. On combination of stochastic and deterministic processes // Bull. AMS. 1947.-V. 53. -N 11. -P. 1120.

755. Van der Pol B. A Theory of the Amplitude of Free and Forced Triode Vibrations // Radio Review. 1920. - V. 1. - P. 701-710.

756. Van der Pol B., Van der Mark J. Frequency Démultiplication // Nature. 1927. - V. 120. - P. 363-364.

757. Veblen O. George David Birkhoff // Biographical Memoirs. V. 80. Washington, D.C.: The National Academy Press, 2001. - P. 1-14.

758. Xia Z. Arnold diffusion in the elliptic restricted three-body problem // J. Dynamics and Diff. Equations. 1993. - V. 5. - N 2. - P. 219-240.

759. Xia Z. Arnold diffusion and oscillating solutions in the planar three-body problem // J. Diff. Equations. 1994. - V. 110. - P. 289-321.

760. Weiss C.O., Abraham N.B., Hubner U. Homoclinic and heteroclinic chaos in a singlemode laser//Phys. Rev. Lett. 1988. - V. 61.-N 14. - P. 1587-1588.

761. Whitney H. On singularities of mappings of Eucledian spaces I. Mappings of plane into the plane // Ann. Math. 1955. - V. 62. - P. 374-410.

762. Zabusky N.J., Kruskal M.D. Interaction of solitons in a collisionless plasma and the recurrence of initial states // Phys. Rev. Lett. 1965. - V. 15. - P. 240-243.

763. Zaslavsky G.M. The simplest case of a strange attractor // Phys. Lett. 1978. - V. 69A. -N 3. - P. 145-147.

764. Zaslavsky G.M. Chaotic Dynamics and the Origin of Statistical Laws // Physics Today. 1999. - V. 52. - P. 39-45.

765. Zaslavsky G.M. Hamiltonian chaos and fractional dynamics. Oxford: Oxford Univ. Press, 2004.-421 p.

766. Zaslavsky G.M. Long way from FPU-problem to chaos // Chaos. 2005. - V. 15.015103.-P. 1-10.ihjgjg YJW16% et/i.jl/U-^ TV1