автореферат диссертации по философии, специальность ВАК РФ 09.00.07
диссертация на тему: Семантический анализ простых паранормальных логик

Полный текст автореферата диссертации по теме "Семантический анализ простых паранормальных логик"

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова Философский факультет

На правах рукописи

БАТАШЕВ ДЕНИС ВЯЧЕСЛАВОВИЧ СЕМАНТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПРОСТЫХ ПАРАНОРМАЛЬНЫХ ЛОГИК

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата философских наук Специальность 09.00.07 - логика

Москва-2005

Работа выполнена на кафедре логики философского факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова

Научный руководитель:

Кандидат философских наук, доцент

В.М. Попов

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук, профессор

А.В.Чагров

Кандидат философских наук

ВЖШалак

Ведущая организация: Государственный университет - Высшая школа экономики кафедра онтологии, логики и теории познания

заседании Диссертационного совета Д 501.001.48 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора философских наук в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу:

119899, Москва, Воробьёвы горы, 1-ый корпус гуманитарных факультетов МГУ, философский факультет, 11 этаж, ауд._

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке 1-го гуманитарного корпуса

Защита состоится

2005 года в

на

МГУ.

Автореферат разослан

2005 года

Ученый секретарь Диссертационного совета

Кандидат философских наук

Д.В. Зайцев

¿Мб-* /72 Г 6

Общая характеристика работы

В диссертационном исследовании проводится семантический анализ ряда простых

вопрос дан в первой главе диссертации. Во введении диссертационного исследования отмечено, что простые паранормальные логики являются разновидностью паранормальных логик, т.е. логик, которые одновременно являются паранепротиворечивыми и параполными. При этом, как указано во введении, паранепротиворечивая логика, - это логика, для которой существует паранепротиворечивая теория, основывающаяся на этой логике (т.е. такая противоречивая теория, основывающаяся на этой логике, которой (теории) не принадлежит некоторое высказывание, сформулированное в языке этой теории), а параполная логика это -логика, для которой существует параполная теория, основывающаяся на этой логике (т.е. такая неполная теория Т, основывающаяся на этой логике, что всякая полная теория, сформулированная в языке теории Т, основывающаяся на этой же логике и включающая Т, является множеством всех высказываний языка теории Т).

Как замечено в диссертации, часто употребляемый в логической литературе термин «паралогика» используется для обозначения любой логики, которая является паранепротиворечивой или\и параполной логикой. Таким образом, всякая паранормальная (а значит и всякая простая паранормальная) логика есть паралогика.

Актуальность темы обусловлена тем, что в настоящее время веб большее значение приобретает применение неклассических логик при решении вопросов философского, методологического и конкретно-научного характера. При этом плодотворным оказывается использование специального типа неклассических логик - паралогик.

Общеизвестно, что при изучении логических систем важную роль играет исследование проблемы их семантической харакгеризации. В предлагаемой работе проведен семантический анализ ряда хорошо мотивированных с дедуктивной точки зрения паранормальных логик.

Степень разработанности проблемы

У истоков исследований паралогик стоят H.A. Васильев и ЯЛукасевич, пионерские работы [Васильев H.A. Воображаемая (неаристотелева) логика // Журнал министерства народного просвещения. Новая серия. 1912. с.206-246] и [Lukasiewicz J. Uber den Satz von Widerspruchs bei Aristoteles// Bull. Intern. Acad. Sei. Cracov. Cl. Philos. 1910. Vol. 24], которых в области паралогик относятся к 10-м годам XX столетия. С полным основанием

1 Согласно словарю (Советский энциклопедический словарь М., 1964) термин «пара» происходит от греческого слова «para», означающего около, возле, мимо, вне. _____

паранормальных логик1. Что такое простая паранормальная логика? Точный ответ на этот

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА /

паралогиками могут быть названы логика построенная в [Орлов И.Е. Исчисление совместности предложений // Математический сборник. 1928. Т. 35 Вып. 3/4.] И.Е.Орловым (1928), логика построенная Д.А Бочваром в [Бочвар Д.А. Об одном трёхзначном исчислении и его применении к анализу парадоксов классического расширенного функционального исчисления // Математический сборник. 1938. Т.4. № 2] (1938), и, конечно, дискуссивная логика, построенная С.Яськовским в [Jas'kowski S. Rachuneck zdan día systemow dedukcyjnych sprzecznych. Studia Soc. Sei. Torun. 1948 pp.55-77] (1948). Изучение паралогик принадлежит сфере научных интересов: австралийских логиков Р.К.Мейера (R.K.Meyer), Г.Приста (G.Prist), Р.Роутли (R.Routley), Д.Хайда (D.Haid), австрийского логика П.Вайнгартнера (P.Weingartner), бельгийского логика Д.Батенса (D.Batens), бразильских логиков Е.Алвеса (E.H.Alves), А.Арруды (A.Arruda), Н.Да Косты (N.C.A.Da Costa), И.М.Л.Д'Оттавиано (LM.LD'Ottaviano), А.М.Сетте (A.M.Sette), немецких логиков В.Аккермана (W.Ackermann), В.А.Карниелли (W.A. Camielli), Г.Вансинга (H.Wansing), грузинского логика Л.И.Мчедпишвили, испанского логика Л.Пена (L.Pena) , израильского логика А.Аврона (A.Avron), мексиканского логика Х.Санчеса, польских логиков Е.Зарнецка-Биали (E.Zarnecka-Bialy) Г.Малиновского (G.Malinowski), Е.Пежановского (J.Perzanowski), логиков из США А.Р.Андерсона (A.R.Anderson), Н,Д.Белнапа (N.D.Belnap), Дж.М.Данна (J.M.Dunn), Г.Минца (G.Mints), Д.Фауста (D.Faust), А.Чёрча (A.Church), украинских логиков

A.Т.Ишмуратова и Я.Шрамко, японских логиков С.Акама (S.Akama) , К.Нахаматсу (K.Nakamatsu), Х.Оно (Н.Опо), Т.Сугихара (T.Sugihara). В России паралогики изучались

B.А.Бажановым, П.И.Быстровым, В.Л.Васюковым, Е.К.Войшвилло, В.В.Донченко, Н.М.Ермолаевой, Д.В.Зайцевым, А.А.Ивиным, Ю.В.Ивлевым, А.С.Карпенко, Л.Л.Максимовой, А.А.Мучником, С.П.Одинцовым, В.М.Поповым, О.В.Поповым, М.И.Семененко, О.Ф.Серебрянниковым, Е.А.Сидоренко, А.В.Смирновым, В.А.Смирновым, ЕДСмирновой, В.И.Шалаком.

Исследование паралогик конституировалось в самостоятельный раздел современной логики во второй половине 70-х годов XX века. Особенно интенсивно идет изучение паранепротиворечивых логик. К настоящему времени массив работ по паранепротиворечивым логикам труднообозрим, работ по паралогикам значительно меньше, а работы, специально посвящённые анализу паранормальных логик единичны.

Цель и задачи исследования

Целью работы является проведение семантического анализа простых паранормальных логик.

Для достижения указанной цели решены следующие задачи:

(1) задача, состоящая в доказательстве адекватности варианта семантики обобщённых описаний состояния, сформулированного в [В.М.Попов Об одой паранормальной логике// Смирновские чтения.ГУ.Тез. док. М., 2003], паранормальной логике 1о из [Popov V.M. On the logics related to A.Arruda's system VI // Logic and Logical Philosophy. Vol.7,1999, pp 87-90];

(2) задача, состоящая в доказательстве адекватности варианта семантики квазиописаний состояния, предложенного В.М.Поповым, построенной в [В.М.Попов «Паралогики: секвенциальные формулировки и семантика». Доклад, сделанный 16.03.04. на заседании Объединённого семинара кафедры логики философского факультета МГУ и сектора логики Института философии РАН] паранормальной логике WP;

(3) задача, состоящая в доказательстве адекватности четырёхзначной матрицы Мо из [Popov V.M. On the logics related to A.Arruda's system VI // Logic and Logical Philosophy. Vol.7,1999, pp 87-90] логике Io;

(4) задача, состоящая в доказательстве того, что не существует конечной

i

характеристической матрицы для логики WP;

(5) задача, состоящая в доказательстве адекватности предложенной в [В.М.Попов, Г.Н.Шуклин Интуиционистски приемлемая паранормальная логика // Логические исследования. Вып. 11 стр 243-246] семантики, основанной на понятии AIP-модели, построенной в [В.М.Попов, Г.Н.Шуклин Интуиционистски приемлемая паранормальная логика // Логические исследования. Вып. 11 стр 243-246] паранормальной логике AIP;

(6) задача, состоящая в доказательстве адекватности предложенной в [В.М.Попов «Интуиционистски приемлемые паралогики». Доклад, сделанный на заседании Объединённого семинара кафедры логики философского факультета МГУ и сектора логики Института философии РАН.] семантики, основанной на понятии 1АР-модели, паранормальной логике LAP.

Научная новизна исследования состоит в следующем:

(1) проведён семантический анализ паранормальных логик Io, WP, AIP и IAP, являющихся важнейшими логиками в классе всех простых паранормальных логик, и установлены (посредством аналогов теоремы В.И.Гливенко) связь логики 1в с логикой AIP и логики WP с логикой LAP;

(2) доказана адекватность варианта семантики обобщённых описаний состояния логике 1о и доказана адекватность варианта семантики квазиописаний состояния логике WP;

(3) доказано, что логика 1о имеет четырёхзначную характеристическую матрицу, а ни одна из логик WP, AIP и IAP не имеет конечной характеристической матрицы;

(4) доказана адекватность семантики базирующейся на понятии AIP-модели, логике AIP, и доказана адекватность семантики, базирующейся на понятии IAP-модели (которое, наряду с понятием AIP-модели, является обобщением понятия модели Крипке для интуиционистской пропозициональной логики) логике IAP.

Методологическая основа исследования.

В ходе исследования применяются классическая математическая логика первого порядка с равенством и теоретико-множественные принципы не выходящие за рамки системы ZFC.

Используются методы построения семантик, основывающихся на различных понятиях родственных понятию описания состояния, метод построения семантик крипкевского типа, алгебраический метод изучения логики с помощью её характеристической матрицы, а также методы изучения логик посредством соответствующих гильбертовских и секвенциальных исчислений.

Основные положения, выносимые на защиту:

(1) предложено доказательство теоремы1 адекватности варианта семантики обобщённых описаний состояния логике 1о;

(2) предложено доказательство теоремы адекватности варианта семантики квазиописаний состояния логике VVP;

(3) предложено доказательство теоремы о четырёхзначной характеристической матрице логики 1о;

(4) предложено оригинальное доказательство теоремы о несуществовании конечной характеристической матрицы логики WP;

(5) предложено доказательство теоремы адекватности семантики, основанной на понятии AIP-модели, логике AIP;

(6) предложено доказательство теоремы адекватности семантики, основанной на понятии IAP-модели, логике LAP.

(7) предложено доказательство2 следующего аналога теоремы В.И.Гливенко, доказанной им в [Glivenko V. Sur quelques points de la Logique de M. Brouwer // Academie

' Теорема сформулирована в [Popov V.M. On the logics related to A.Arruda's system VI // Logic and Logical Philosophy. Vol.7,1999, pp 87-90]

2 Теорема сформулирована в [Баташев Д.В. О связи паранормальных логик // Философия и будущее цивилизации: Тезисы докладов и выступлений IV Российского философского конгресса (Москва, 24-28 мая 2005 г.) Т.1 с. 493-494.]

Royale de Belgique, Bulletins de la classe des sciences, ser. 5, 15, 1929, p. 183-188. Русский перевод см. в [В.Гливеико О некоторых аспектах логики Брауэра // Труды научно-исследовательского семинара логического центра ИФРАН 1997. M., 1998]]:

формула принадлежит логике 1о тогда и только тогда, когда двойное отрицание этой формулы принадлежит логике AIP;

сформулирован и доказан также ещё один аналог указанной теоремы В.И.Гливенко: формула принадлежит логике WP тогда и только тогда, когда двойное отрицание этой формулы принадлежит логике IAP.

Практическая значимость работы

Описанные в диссертации подходы к построению семантик паранормальных логик могут применяться при конструировании семантик и для других паралогик. Изученные здесь семантики находят применение при решении вопроса о принадлежности формулы логикам, соответствующим этим семантикам. Результаты диссертационного исследования можно использовать при чтении спецкурсов по неклассическим логикам.

Апробация работы Результаты диссертационного исследования отражены в трёх публикациях автора, и обсуждались на заседании кафедры логики философского факультета МГУ им. М.В.Ломоносова, а также, на заседании сектора логики Института Философии РАН Структура диссертации Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы.

Основное содержание работы Во введении обосновывается актуальность выбранной темы, определяются цели и задачи исследования, раскрывается научная новизна работы, указана методологическая основа исследования, а также формулируются основные результаты работы.

В первой главе, которая называется - «Простые паранормальные логики le, WP, AIP и IAP », описаны исчисления HIo, HVVP, H AIP и HIAP гильбертовского типа и логики 1о, WP, AIP и IAP - логики, семантический анализ которых является центральной темой предлагаемого диссертационного исследования.

Параграф 1.1 «Исчисления HIo, HWP, НАЛ" и ШАР и аксиоматизируемые ими логики Io, WP, AIP и IAP» посвящён описанию исчислений HIo, HWP, HAIP и HIAP и логик le, WP, AIP и IAP. В этом параграфе определён язык всех изучаемых в диссертации логик, даны, необходимые для-понимания дальнейшего текста, определения, а также определены

множества Io, WP, AIP и IAP и доказано утверждение о том, что даные множества являются логиками.

Языком всех изучаемых в диссертации логик является стандартно определяемый пропозициональный язык iE, алфавит которого есть множество {&, V, Э,->, ),{,р\,рг,рг, •••} символов. Первый из написанных в фигурных скобках символов принято называть в диссертации конъюнкцией, второй - дизъюнкцией, третий - импликацией, четвёртый -негацией, пятый и шестой - круглыми скобками, а все другие символы, принадлежащие

алфавиту языка £, принято называть пропозициональными переменными; при этом символы &, V, Э и -1 принято называть логическими связками языка £. Определение формулы в языке £ индуктивно:

(1) всякая пропозициональная переменная есть формула в языке £,

(2) если А и В есть формулы в языке то (А & В), (А V В), (А О В), (-. А) есть формулы в

языке £.

В диссертации везде, где не оговорено противное, термины «формула» и «логическая связка» используются как сокращения терминов «формула в языке £у> и «логическая связка языка £у> соответственно.

Нижеследующие определения Df 1.1.1 - Df 1.1.20, приведённые в диссертации, заимствованы из работ [Popov V.M. On the logics related to A.Arruda's system VI // Logic and Logical Philosophy. Vol.7, 1999, pp 87-90], [В.М.Попов Об одной четырёхзначной паранормальной логике// Логика и B.E.K. Сб. науч.тр.: К 90-летию со дня рождения Войшвилло Евгения Казимировича.М.2003] и доклада В.М.Попова «Паралогики: секвенциальные формулировки и семантика» сделанного им 16.03.04. на заседании Объединённого семинара кафедры логики философского факультета МГУ и сектора логики Института философии РАН.

Определение Df 1.1.1: квазиэлементарной формулой называем формулу, в которую не

входит ни одна из логических связок &, V, Э.

Определение Df 1.1.2: элементарной формулой называем формулу, которая является пропозициональной переменной или имеет вид (-> р), где р есть пропозициональная переменная.

В диссертации принято обозначать: множество всех формул - через Form, множество всех элементарных формул - через EForm, множество всех квазиэлементарных формул через

- QForm, правило модус поненс в £ - через MP, множество всех пропозициональных I переменных - через Prop.

Определение Df 1.1.3: логикой называем непустое множество формул замкнутое > относительно Sub и MP.

Определение Df 1.1.4: теорией логики L (¿-теорией) называем множество Т формул, включающее логику L и замкнутое относительно MP.

Ясно, что для любой логики L множество Form есть теория логики L. Множество Form называется в диссертации тривиальной теорией.

Определение Df 1.1.5: противоречивой теорией логики L (противоречивой ¿-теорией) называем такую теорию Г логики L, что 3 А (А е Г и (-> А) е Т).

А есть формула

Определение Df 1.1.6: непротиворечивой теорией логики ¿ (непротиворечивой ¿-теорией) называем такую теорию Т логики L, что Т не является противоречивой теорией логики L.

Определение Df 1.1.7: паранепротиворечивой теорией логики ¿ (паранепротиворечивой I-теорией) называем такую противоречивую теорию Т логики L, что Т не есть тривиальная теория.

Определение Df 1.1.8: простой паранепротиворечивой теорией логики L (простой паранепротиворечивой I-теорией) называем такую паранепротиворечивую теорию Т логики L, что V А ((А е Гя(-пА) еГ)=>А е QForm).

Определение Df 1.1.9: паранепротиворечивой логикой называем такую логику L, что существует паранепротиворечивая теория логики L.

Определение Df 1.1.10: простой паранепротиворечивой логикой называем такую паранепротиворечивую логику L, что всякая паранепротиворечивая теория логики L является простой паранепротиворечивой теорией логики L.

Определение Df 1.1.11: полной теорией логики L (полной ¿-теорией) называем такую теорию Глогики L, что VA (А е Т или (-. А) е Т).

А есть формул»

Определение Df 1.1.12: неполной теорией логики L (неполной I-теорией) называем такую » теорию Глогики L, что Гне является полной теорией логики L.

Определение Df 1.1.13: параполной теорией логики L (параполной ¿-теорией) называем такую неполную теорию Г логики L, что V Г' (Т' есть полная теория логики I и Г с 7" => 7" есть тривиальная теория).

Определение Df 1.1.14: простой параполной теорией логики L называем такую параполную теорию Г логики L, что 3 q (q i Ги (-, q) г Т).

q с QForm

Определение Df 1.1.15: параполной логикой называем такую логику L, что существует параполная теория логики L.

Определение Df 1.1.16: простой параполной логикой называем такую параполную логику L, что всякая параполная теория логики L является простой параполной теорией логики L.

Определение Df 1.1.17: паранормальной логикой называем логику, которая является паранепротиворечивой и параполной логикой.

Определение Df 1.1.18: простой паранормальной логикой называем логику, которая является простой паранепротиворечивой и простой параполной логикой.

Определение Df 1.1.19: паралогикой называем логику, которая является паранепротиворечивой или параполной логикой.

Определение Df 1.1.20: простой паралогикой называем логику, которая является простой паранепротиворечивой или простой параполной логикой.

Логики Io, WP, AIP, IAP, С1 и Int определяются в диссертации с помощью предварительно построенных исчислений НТо, HWP, HAIP, HIAP, HCL и Hint гильбертовского типа. Язык каждого из этих исчислений есть описанный ранее язык £. Множество всех правил вывода любого из этих исчислений есть {MP}. Таким образом, как отмечено в диссертации, для построения любого из исчислений HIo, HWP, HAIP, HIAP, HCl и Hint остаётся задать множество всех его аксиом и определить соответствующее понятие доказательства.

Пусть Ах1 есть множество всех формул вида ((А Э В) D ((В Э С) Э (A D С))), где А, В и С есть формулы;

Ах2 есть множество всех формул вида (A D (А V В)), где An В есть формулы;

АхЗ есть множество всех формул вида (В Э (А V В)), где А и В есть формулы;

Ах4 есть множество всех формул вида ((А Э С) D ((В Э С) Э ((А V В) Э С))), где А, В л С есть формулы;

Ах5 есть множество всех формул вида ((А & В) D А), где АиВ есть формулы;

Ахб есть множество всех формул вида ((А & В) Э В), где А и В есть формулы;

Ах7 есть множество всех формул вида ((С ГЭ А) Э ((С Э В) Э (С 3 (А & В)))), где А,ВиС есть формулы;

Ах8 есть множество всех формул вида ((А Э (В Э С)) Э ((А & В) О С)), где Л, Я и С есть формулы;

Ах9 есть множество всех формул вида (((Л & В) Э С) 3 (А 3 (В Э С))), где Л, Л и С есть формулы;

Ах 10 есть множество всех формул вида (((А 3 В) ЗА) 3 А), где А и В есть формулы;

Ах11 есть множество всех формул вида ((-¡В) 3 (В 3 /4)), где Л и В есть формулы;

Ах 11' есть множество всех формул вида ((-¡В) Э (В 3 А)), где А и В есть формулы и 5 не есть пропозициональная переменная;

Ах 11" есть множество всех формул вида ((-.5) Э(ЗЭ А)), где Л и В есть формулы и В не есть квазиэлементарная формула;

Ах 12 есть множество всех формул вида ((В 3 (-п (А 3 А))) 3 (->5)), где А и В есть формулы;

Ах 12' есть множество всех формул вида ((В 3 (-, (А 3 А))) 3 (~>В)), где А я В есть формулы и В не есть пропозициональная переменная;

Ах 12" есть множество всех формул вида ((В 3 (-, (А 3 А))) 3 (-¡В)), где А я В есть формулы и В не есть квазиэлементарная формула.

Множество всех аксиом исчисления Шо есть Ах 1 и Ах 2 и Ах 3 и Ах 4 и Ах 5 и Ах 6 и Ах 7 и Ах 8 и Ах 9 о Ах 10 и Ах 11'и Ах 12';

множество всех аксиом исчисления НУУР есть Ах 1 и Ах 2 и Ах 3 и Ах 4 и Ах 5 и Ах 6иАх7иАх8иАх9иАх10иАхИ"иАх 12";

множество всех аксиом исчисления НА1Р есть Ах 1 и Ах 2 и Ах 3 и Ах 4 и Ах 5 и Ах 6 и Ах 7 и Ах 8 и Ах 9 и Ах 11'и Ах 12';

множество всех аксиом исчисления ШАР есть Ах1иАх2иАхЗиАх4иАх5иАх6 и Ах 7 и Ах 8 и Ах 9 и Ах И" и Ах 12";

множество всех аксиом исчисления НС1 есть Ах 1 ^ Ах 2 и Ах 3 и Ах 4 и Ах 5 и Ах 6 иАх7иАх8иАх9иАх10иАх11иАх12;

множество всех аксиом исчисления Hint есть AxluAx2uAx3uAx4uAx5uAx6 uAx7uAx8uAx9uAxlluAxl2.

Определение доказательства во всех формулируемых исчислениях стандартно.

Так, в диссертации, задаются исчисления Ш», HWP, HAIP, HIAP, HCl и Hint.

Посредством Io в диссертационном исследовании обозначено множество {А I (-щ. А}, посредством WP - множество {А | Hhwp Л}, посредством AIP - множество {А I ННа» А}, посредством IAP - множество {А I Ьныр Л}, посредством С1 - множество {А | I-hci Л}, посредством Int - множество {A I I—Hint А}.

В диссертации показано, что множества IAP, AIP, WP и Io попарно различны и IAP q AIP с I0, IAP с WP q I0

Также, в параграфе 1.1 доказано, что множества Io, WP, AIP и IAP являются логиками и указано на тот факт, что С1 и Int являются, соответственно, множеством формул, которое

принято называть «классической пропозициональной логикой в языке X», и множеством формул, которое принято называть «интуиционистской пропозициональной логикой в языке £».

В параграфе 1.2 «Простая паранормальность логик Io, WP, AIP и IAP» доказано, что логики I«, WP, AIP и IAP принадлежат классу всех простых паранормальных логик (теорема 1.2.9), а также доказано, что существуют паранормальные логики не являющиеся простыми паранормальными логиками.

Для доказательства теоремы 1.2.9 потребовалось рассмотреть матрицу Мо, построенную в [Popov V.M. On the logics related to A.Arruda's system VI // Logic and Logical Philosophy. Vol.7, 1999, pp 87-90]. Эта матрица играет существеную роль и во втором параграфе второй главы.

Мо есть матрица ({0, 1, f, t}, {t}, {&+, V+, Э+, ->+}) с четырёхэлементным носителем,

двуместные операции &+, V+, которой и одноместная операция -i+ которой определяются следующими таблицами:

Х&+У 1 0 t f xV*y 1 0 t f x Э у 1 0 t f + —1 X

1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1

0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0

t 1 0 1 0 t 1 1 1 1 t 1 0 1 0 1 t

f 0 0 0 0 f 1 0 1 0 f 1 1 1 1 0 f

Определение оценки языка £ в матрице Мо обычно: оценкой языка £ в матрице Мо называют отображение множества Prop в носитель матрицы Мо. Значение формулы А при оценке v языка £ в матрице Мо (символически \а | ,мо) определяется индуктивно:

(1) \А I vMo = v (А), если А есть пропозициональная переменная,

(2) Ы,мо= | В | „мо &+ | СI vMo, если 5 и С есть формулы пА = (В & С),

(3) UlvMo= |b|„moV+ I С | vMo, если ВиС есть формулы и Л = (В V С),

(4) ЫД= IВ | „мо Э+ IСIЛ если ВшС есть формулы иА=(ВЭ С),

(5) |л|,мо = -т+ IВ | Л, если В есть формула иА = (->В). В параграфе 1.2 доказана следующая теорема 1.2.1. Теорема 1.2.1

УЛ VГ(ГНньЛ => V v (( VЯ |в|,мое {l,t})=> UI,Moe {l,t}))

А есть формула Г есть множество формул v есть оценка азыка X в матрице Мо В £ Г

Следствиями теоремы 1.2.1 являются теоремы 1.2.2 .1.2.3. Теорема 1.2.2

V^(I-hi.^=>VV U|„Mo = l).

А есть формула уесть оценка азыка £ а матрице Мо

Теорема 1.2.3

V^(^eIe=>Vv М„мо=1).

А есть формула * есть оценка азыка £ в матрице Мо

Теоремы 1.2.1,1.2.2 и 1.2.3 использованы в параграфе 2.1.

Также, в параграфе 1.2 приведён пример паранормальной логики не являющейся простой паранормальной логикой.

В параграфе 1.3 «Погружающие отображения, устанавливающие связь логик 1е и WP с классической пропозициональной логикой и логик AIP и LAP с интуиционистской пропозициональной логикой. Аналог теоремы В.И.Гливенко, устанавливающий связь логики 1о с логикой AIP и логики VVP с логикой IAP» проведено изучение вопроса о связи рассматриваемых простых паралогик с классической и интуиционистской логиками, изложены мотивы выбора логик I«, WP, AIP и IAP в качестве предмета изучения, доказаны теоремы устанавливающие связь логики 10 с логикой AIP и логики VVP с логикой IAP.

Посредством надлежащего отображения, в диссертации установлена связь логик Ig и WP с классической пропозициональной логикой CI и логик AIP и IAP с интуиционистской пропозициональной логикой Int.

В диссертации подчеркивается, что можно доказать существование и единственность отображения, называемого ф, которое удовлетворяет следующим условиям:

(1) Vpy(p)=p,

ре Prop

(2) V AV В <р((А & В)) = (ер (А) & ср (В)),

А, В ест* формулы

(3) V A4 В ф ((А V В)) = (ф (А) V ф (Я)),

А, В есть формулы

(4) V A4 В ф ((A D В)) = (ф (А) О Ф (В)),

А, В есть формулы

(5) V А ф ((-, А)) = (ф (А) Э Ь (Pi Э />,))).

А есть формула

В параграфе 1.3 доказаны следующие теорема 1.3.3 (о связи логик 1о и WP с классической пропозициональной логикой и логик AIP и LAP с интуиционистской пропозициональной логикой) и теорема 1.3.4 (о том, что позитивный фрагмент логики CI равен позитивному фрагменту логики 1о и позитивному фрагменту логики WP, а позитивный фрагмент логики Int равен позитивному фрагменту логики AIP и позитивному фрагменту логики IAP).

Теорема 1.3.3

Пусть Л есть формула.

Тогда: (Г) А е С1 о ф (А) е I«,

(П) Л е С1 о ф (Л) е WP,

(Щ|Л е Int О ф(А) е AIP,

(IV) Л е Int <» q> (Л) е IAP . Теорема 1.3.4

Пусть СГ есть позитивный фрагмент логики С1, Int+ есть позитивный фрагмент логики Int, 1»+ есть позитивный фрагмент логики I«, VVP+ есть позитивный фрагмент логики WP, А1Р+ есть позитивный фрагмент логики AIP, 1АР+ есть позитивный фрагмент логики IAP. Тогда: (I) СГ= 1о+ , (П) СГ= WP+, (Ш) Int+ = А1Р+, (IV) Int+ = 1АР+.

Теорема 1.3.4 используется и в параграфе 3.3.

Также в параграфе 1.3 доказаны следующие аналоги теоремы В.И.Гливенко. Теорема (аналог теоремы В.И.Гливенко) 1.3.7.

А е 1о о (-. (-! А)) е АЛР. Теорема (аналог теоремы В.И.Гливенко) 1.3.8. А е WP о (-1 (-1 А)) 6 IAP.

Во второй главе - «Семантический анализ логик 1о и WP» дано доказательство адекватности варианта семантики обобщённых описаний состояния, сформулированного в [Popov V.M. On the logics related to A.Arruda's system VI // Logic and Logical Philosophy. Vol.7, 1999, pp 87-90], простой паранормальной логике Io; предложено использующее эту семантику доказательство того, что логическая матрица с четырёхэлементным носителем, построенная в [Popov V.M. On the logics related to A.Arruda's system VI // Logic and Logical Philosophy. Vol.7,1999, pp 87-90], является характеристической матрицей логики Io; доказана теорема адекватности варианта семантики квазиописаний состояния простой паранормальной логике WP;

доказано, что никакая конечная логическая матрица не является характеристической матрицей для логики WP.

В параграфе 2.1 «Семантика обобщённых описаний состояния для логики Io и четырёхзначная характеризация этой логики» дано доказательство адекватности варианта

I

семантики обобщённых описаний состояния простой паранормальной логике 10, а также предложено использующее эту семантику доказательство того, что логическая матрица с четырёхэлементным носителем, является характеристической матрицей логики 1о.

В диссертации дано следующее определение: обобщённым описанием состояния (оос) называется отображение множества всех элементарных формул в {О, I}1.

Также в диссертации отмечено, что можно доказать существование и единственность

(для каждого оос V) отображения ||у (называемого означиванием при V) множества всех формул в {0,1}, удовлетворяющее условиям (а), (б), (в), (г) и (д):

(а) Ур (|р|, = уф) и |(-,р)|, = К(-,р))),

р- проп пер.

(б)ул(|ьл)|у=юи|г=0)

/4»формула, которая не является проп. пер

(в) УЛ УВ (|(Л & В)|г = 1 о \А\У = 1 и |В|» = 1),

А, В- формулы

(г) ЧА УВ (\{А V В)|„ = 1 о \А\, = 1 или |В|„ = 1),

А, В-формулы

(д) VА УВ (\(А О В)|„ = 1 о \А\Г = 0 или |В|У = 1).

А, В-формулы

В параграфе 2.1 доказаны следующие теоремы 2.1.3 и 2.1.7 Теорема 2.1.3

УЛ УГ (Г НнцЛ о УУ ((УВ |В|У = 1) => \А\,= 1))

А есть формула г есть множество формул V есть оос В е г

Теорема 2.1.7

У Л УГ (Г ЬШ.А о Уу ((УВ |в|„мое {М})=> М |умо е {1,1}>)

Л есть формула г есть множество формул V есть оценка языка £ в матрице м0 В е г

Следствиями данных теорем 2.1.3 и 2.1.7 являются следующие теорема 2.1.5 и теорема 2.1.10 соответственно.

1 Понятие обощвнного описания состояния введено Е.К.Войшвилло (см.,например, [Е.К.Войшвилло Философско-методологические аспекты релевантной логики. М 1989]). Здесь воспроизводится определение оос, данное в [В.М.Попов Об одной четырехзначной паранормальной логике// Логика и В.Е.К Сб. науч.тр.: К 90-летию со дня рождения Войшвилло Евгения Казимировича.М.2003].

Теорема 2.1.5 (об адекватности логики 1о семантике обобщенных описаний состояния) ЧА о Уу И1»=1)

А есть формула V есть оос

Теорема 2.1.10

УЛ (А е1»оУу |л|Д = 1).

А есть формула т есть оценка азыка £ в патрице Мо

В параграфе 2.2 называемом «Семантика квазиописаний состояния для логики УУР» приведено доказательство теоремы адекватности варианта семантики квазиописаний состояния простой паранормальной логике УУР.

В параграфе 2.2 диссертации дано следующее определение: квазиописанием состояния (кос) называется отображение множества всех квазиэлементарных формул в {0,1}.

Там же отмечено, что можно доказать существование и единственность (для каждого кос

у) отображения ||» (называемого означиванием при V) множества всех формул в {0, 1}, удовлетворяющее условиям (а), (б), (в), (г) и (д):

(а) V? (|9|у = у(?) и |(-1 <?)|, = г<Ь ?))), д е QForm

(б)У^(|(-тЛ)|г=1оМ|у = 0)

.¿-формула, которая не шляется квазиэлементарной формулой

(в) УА УВ (|(А & В)|, = 1 о \А\У = 1 и \В\У = 1),

А, В- формулы

(г) УА УЯ(|(Л V 5)|»= 1 о \А\,= 1 или |Я|У = 1),

А% В - формулы

(д) УА УЯ (|(А Э Д)|у = 1 о = 0 или |5|у = 1).

А, В- формулы

Для доказательства адекватности логики УУР семантике основанной на понятии квазиописания состояния доказаны следующие теорема 2.2.3 и теорема 2.2.5.

Теорема 2.2.3 (об адекватности исчисления НУУР семантике квазиописаний состояния) УА УГ (Г НнуурЛ о Уу ((УВ |Д|„= 1)=> \А\,= 1))

А есть формула Г есть множеспо формул уестькос 8 с Г

Теорема 2.2.5 (об адекватности логики УУР семантике квазиописаний состояния) \/А (А е УУР о Уу ии= 1)

А есть формула у есть кос

В параграфе 2.3 «Несуществование конечной характеристической матрицы для логики WP» доказано, что никакая конечная логическая матрица не является характеристической матрицей для логики WP. С этой целью доказана следующая теорема 2.3.1.

Теорема 2.3.1

Не существует конечной характеристической матрицы для логики WP.

В третьей главе - «Семантический анализ логик AIP и IAP» введены понятия AIP-модели и IAP-модели, а также доказаны теоремы об адекватности логик AIP и IAP семантикам основанным на понятиях AIP-модели и IAP-модели, соответственно, кроме того констатируется факт несуществования конечной характеристической матрицы как для логики AIP, так и для логики IAP.

В параграфе 3.1 «Семантика в стиле С.Крипке для логики AIP» вводится, следуя [В.М.Попов, Г.Н.Шуклин Интуиционистски приемлемая паранормальная логика // Логические исследования. Вып. 11 стр 243-246], понятие AIP-модели, являющегося обобщением понятия модели Крипке для интуиционистской пропозициональной логики, и предлагается доказательство адекватности семантики, основанной на понятии AIP-модели, логике AIP.

В диссертации, следуя [В.М.Попов Интуиционистски приемлемая паранормальная логика // Логические исследования. Вып. 11 стр 243-246], AIP-моделью названа такая

упорядоченная тройка (G, R, 1=), что G есть непустое множество, R есть рефлексивное и

транзитивное бинарное отношение на G, t= есть подмножество множества G X Form, и выполняются следующие условия:

(1) для всякой элементарной формулы е и всяких а и ß из G, верно, что если а N е и aRß.Toß 1= е,

(2) для всяких формул А и В, всякой формулы С, не являющейся пропозициональной переменной и всякого а из G верно, что

(2.1) а1=(Л&Я)«а1=Лиа(=В,

(2.2) <х^(ЛУ.В)оа!=Лшша»=Я,

(2.3) а 1= (А Э В) о V р (Р t=A => ß N В),

aRß

(2.4) a t= (-1 С) о V ß (ß £ С),

aRß

Для всякой AIP-модели называем носителем этой AIP-модели ei первый член (всякая AIP-модель есть упорядоченная тройка), называем отношением достижимости в этой AIP-модели её второй член и называем отношением вынуждения в этой AIP-модели её третий член.

Как указано в диссертаци, в [Chagrov A., Zakharyaschev М. Modal logic. Oxford University Press, 1997] модель Крипке для интуиционистской логики высказываний Int определяется

как такая упорядоченная тройка (G, R, И), что G есть непустое множество, R есть рефлексивное и транзитивное бинарное отношение на G, (= с G X Form, и выполняются следующие условия:

(1) для всякой пропозициональной переменной р и всяких а и ß из G, верно, что если а 1= р и а R р, то р N р,

(2) для всяких формул А и В и всякого а из G верно, что

(2.1) аИ(Л&В)»а1=ЛиаН.В,

(2.2) al= (A Vff)oat=A или а t= 5,

(2.3) а 1= (A D В) о V р (ß t= А => ß 1= В),

aRß

(2.4) а И (-1 Л) о V ß (ß £ Л).

aRß

Известно ,что имеет место следующее утверждение: (G, R, (=> есть модель Крипке для Int1 =>V^VaVß(at=^naRß=>ßt=S).

А £ Form а, ß Е С

В диссертационном исследовании отмечено, что опираясь на это утверждение, нетрудно доказать, что всякая модель Крипке для Int3 является AIP-моделью, а также указано на очевидность того, что не всякая AIP-модель является моделью Крипке для Int3.

Таким образом, понятие AIP-модели является обобщением понятия модели Крипке для Int3.

1 Здесь, конечно, модели Крипке для Int понимаются в смысле данного выше определения.

Следующие теоремы 3.1.7, 3.1.8 и 3.1.9 обеспечивают справедливость основного результата параграфа 3.1 - доказательство адекватности семантики, основанной на понятии AIP-модели, логике AIP. Теорема 3.1.7

М Hhaip А о из М AIP-следует А. Теорема 3.1.8

I-haiM <=>Л есть AIP-общезначимая формула. Теорема 3.1.9

А е AIP о А есть AIP-общезначимая формула.

В параграфе 3.2 «Семантика в стиле С.Крипке для логики IAP» определяется ещё одно обобщение понятия модели Крипке для интуиционистской пропозициональной логики -понятие IAP-модели, и предлагается доказательство адекватности семантики, основанной на понятии IAP-модели логике IAP.

В диссертации, следуя [В.М.Попов, Г.Н.Шуклин Интуиционистски приемлемая паранормальная логика // Логические исследования. Вып. 11 стр 243-246], 1АР-моделью

названа такая упорядоченная тройка (G, R, t=), что G есть непустое множество, R есть

рефлексивное и транзитивное бинарное отношение на G, t= есть подмножество множества G X Form, и выполняются следующие условия:

(1) для всякой квазиэлементарной формулы q и всяких а и ß из G, верно, что если о t= q и а R ß, то ß q,

(2) для всяких формул А и В, всякой формулы С, не являющейся квазиэлементарной формулой и всякого а из G верно, что

(2.1) а 1= (А & В) о а 1= А и а t= В,

(2.2) а(=(ЛУВ)»аНЛилиа(=5,

(2.3) а 1= (А Э В) <» V ß (ß t= А => ß t= В),

aRß

(2.4) а 1= (-, Q V ß (ß Dt Q.

aRß

В диссертации отмечено, что имеется следующее соотношение, аналогичное соотношению между AIP-моделью и моделью Крипке для интуиционистской логики

высказываний Int: всякая модель Крипке для Int3 является IAP-моделью, но не всякая IAP-модель является моделью Крипке для Int3.

Таким образом, понятие IAP-модели является обобщением понятия модели Крипке для Int4.

Доказательство адекватности семантики, основанной на понятии IAP-модели логике IAP аналогично соответствующему доказательству адекватности семантики, основанной на понятии AIP-модели логике AIP, и основывается не следующих теоремах 3.2.7,3.2.8 и 3.2.9.

Теорема 3.2.7

М ЬнырЛ о Из М 1АР-следуетЛ.

Теорема 3.2.8

t-HiAP А<аА есть IAP-общезначимая формула.

Теорема 3.2.9

А е IAP о А есть IAP-общезначимая формула

В параграфе 3.3 «Несуществование конечных характеристических матриц для логик AIP и IAP» доказано, что никакая конечная характеристическая матрица для логик AIP и IAP не является характеристической.

В диссертации показано, что можно доказать теорему (теорема 3.3.1) о несуществовании конечной характеристической матрицы ни для логики AIP ни для логики IAP используя принадлежащий К.Гёделю метод доказательства. Также параграфе 3.3 отмечено, что несуществование конечной характеристической матрицы для логики IAP можно доказать, не опираясь на результат о несуществовании конечной характеристической матрицы для Int+, но используя метод, применённый при доказательстве теоремы 2.3.1 - о несуществовании конечной характеристической матрицы для логики VVP - из параграфа 2.3.

В заключении подведены итоги проделанной работы и определены возможные направления дальнейших исследований:

(1) изучение логик, находящихся между логикой 1о и логикой WP, а также логик, находящихся между логикой AIP и логикой IAP (исследование вопроса о мощности соответствующих классов логик и вопроса о семантической характеризации логик принадлежащим этим классам);

(2) конструирование удобных для поиска доказательства секвенциальных исчислений и аналитических таблиц аксиоматизирующих простые паранормальные логики;

(3) исследование функциональных свойств конечнозначных простых паранормальных логик;

(4) применение кванторных расширений простых паранормальных логик при построении теории множеств и формальной арифметики.

Результаты диссертационной работы нашли отражение в следующих публикациях автора:

1. Баташев Д.В. О связи паранормальных логик // Философия и будущее цивилизации: Тезисы докладов и выступлений IV Российского философского конгресса (Москва, 24-28 мая 2005 г.) Т.1 с. 493-494.

2. Баташев Д.В. Семантический анализ простых паранормальных логик 1о и WP. Рукопись депонирована в ИНИОН РАН №_

3. Баташев Д.В. Семантический анализ простых паранормальных логик АТР и IAP. Рукопись депонирована в ИНИОН РАН № _

»20 9 9/

РНБ Русский фонд

200^4 17256

Отпечатано в учебной типографии философского факультета Москва, ГСП-2, Ленинские горы, МГУ, 1-й корпус гуманитарных факультетов Тираж 100 экз. Подписано в печать 28.10.2005

Оглавление научной работы автор диссертации — кандидата философских наук Баташев, Денис Вячеславович

Введение.

Глава 1 Простые паранормальные логики I0, VVP, AIP и IAP.

§ 1.1 Исчисления HI0, HVVP, HAIP и HIAP и аксиоматизируемые ими логики I0, VVP, AIP и IAP.

§ 1.2 Простая паранормальность логик I0, WP, AIP и IAP.

§ 1.3 Погружающие отображения, устанавливающие связь логик 1о и WP с классической пропозициональной логикой и логик AIP и IAP с интуиционистской пропозициональной логикой. Аналог теоремы В.И.Гливенко, устанавливающий связь логики Iq с логикой AIP и логики

VVP с логикой IAP.

Глава 2 Семантический анализ логик 10 и VVP.

§ 2.1 Семантика обобщённых описаний состояния для логики 10 и четырёхзначная характеризация этой логики.

§ 2.2 Семантика квазиописаний состояния для логики WP.

§ 2.3 Несуществование конечной характеристической матрицы для логики WP.

Глава 3 Семантический анализ логик AIP и IAP.

§ 3.1 Семантика в стиле С.Крипке для логики AIP.

§ 3.2 Семантика в стиле С.Крипке для логики IAP.

§ 3.3 Несуществование конечных характеристических матриц для логик AIP и IAP.

Введение диссертации2005 год, автореферат по философии, Баташев, Денис Вячеславович

В предлагаемом диссертационном исследовании проводится семантический анализ ряда простых паранормальных логик \ Что такое простая паранормальная логика? Точный ответ на этот вопрос будет дан в главе 1. Здесь укажем только на то, что простые паранормальные логики являются разновидностью паранормальных логик, т.е. логик, которые одновременно являются паранепротиворечивыми и параполными. При этом паранепротиворечивая логика - это логика, для которой существует паранепротиворечивая теория, основывающаяся на этой логике (т.е. такая противоречивая теория, основывающаяся на этой логике, которой (теории) не принадлежит некоторое высказывание, сформулированное в языке этой теории), а параполная логика это - логика, для которой существует параполная теория, основывающаяся на этой логике (т.е. такая неполная теория Т, основывающаяся на этой логике, что всякая полная теория, сформулированная в языке теории Т, основывающаяся на этой же логике и включающая Т, является множеством всех высказываний языка теории Т).

Заметим, что часто употребляемый в логической литературе термин «паралогика» используется для обозначения любой логики, которая является паранепротиворечивой или\и параполной логикой. Таким образом, всякая паранормальная (а значит, и всякая простая паранормальная) логика есть паралогика.

У истоков исследований паралогик стоят Н.А. Васильев и Я.Лукасевич, пионерские работы [11] и [48], которых в области паралогик относятся к 10-м годам XX столетия. С полным основанием паралогиками могут быть названы логика, построенная И.Е.Орловым в [29], логика, построенная Д.А. Бочваром в [8], и, конечно, дискуссивная логика, построенная С.Яськовским в [46]. Изучение паралогик принадлежит сфере научных интересов: австралийских логиков Р.К.Мейера (R.K.Meyer), Г.Приста (G.Prist), Р.Роутли (R.Routley), Д.Хайда (D.Haid), австрийского логика П.Вайнгартнера (P.Weingartner), бельгийского логика Д.Батенса (D.Batens), бразильских логиков А.Арруды (A.Arruda), Н.Да Косты (N.C.A.Da Kosta), И.М.Л.Д'Оттавиано (I.M.L.D'Ottaviano), А.М.Сетте (A.M.Sette), грузинского логика Л.И.Мчедлишвили, израильского логика А.Аврона (A.Avron), испанского логика Л.Пена (L.Pena), немецких логиков

4)1 Согласно словарю (Советский энциклопедический словарь. М., 1964) термин «пара» происходит от греческого слова «рага», означающего около, возле, мимо, вне.

В.Аккермана (W.Ackermann), ВА.Карниелли (WA. Carnielli), Г.Вансинга (H.Wansing), польских логиков Е.Зарнецка-Биали (E.Zarnecka-Bialy) Г.Малиновского (G.Malinowski), Е.Пежановского (J.Perzanowski), логиков из США А.Р.Андерсона (A.R.Anderson), Н.Д.Белнапа (N.D.Belnap), Дж.М.Данна (J.M.Dunn), Г.Е.Минца (G.Mints), Д.Фауста (D.Faust), А.Чёрча (A.Church), украинских логиков А.Т.Ишмуратова и Я.Шрамко, японских логиков С.Акама (S.Akama) , К.Накаматсу (K.Nakamatsu), Х.Оно (Н.Опо), Т.Сугихара (T.Sugihara). В России паралогики изучались В.А.Бажановым, П.И.Быстровым, В.Л.Васюковым, Е.К.Войшвилло, В.В.Донченко, Н.М.Ермолаевой, Д.В.Зайцевым, А.А.Ивиным, Ю.В.Ивлевым,

A.С.Карпенко, Л.Л.Максимовой, А.А.Мучником, С.П.Одинцовым,

B.М.Поповым, О.В.Поповым, М.И.Семененко, О.Ф.Серебрянниковым, Е.А.Сидоренко, А.В.Смирновым, В.А.Смирновым, Е.Д.Смирновой, В.К.Финном,В.И.Шалаком.

Исследование паралогик конституировалось в самостоятельный раздел современной логики во второй половине 70-х годов XX века. Особенно интенсивно идет изучение паранепротиворечивых логик. К настоящему времени массив работ по паранепротиворечивым логикам труднообозрим, работ по паралогикам значительно меньше, а работы, специально посвященные анализу паранормальных логик, единичны.

Актуальность темы обусловлена тем, что в настоящее время всё большее значение приобретает применение неклассических логик при решении вопросов философского, методологического и конкретно-научного характера. При этом плодотворным оказывается использование специального типа неклассических логик - паралогик.

Общеизвестно, что при изучении логических систем важную роль играет исследование проблемы их семантической характеризации. В предлагаемой работе проведен семантический анализ ряда хорошо мотивированных с дедуктивной точки зрения паранормальных логик.

Целью работы является проведение семантического анализа простых паранормальных логик.

Для достижения указанной цели решены следующие задачи:

1) задача, состоящая в доказательстве адекватности варианта семантики обобщённых описаний состояния паранормальной логике 10 (этот вариант семантики обобщённых описаний состояния и логика 10 сформулированы в [49]);

2) задача, состоящая в доказательстве адекватности варианта семантики квазиописаний состояния паранормальной логике VVP (этот вариант семантики квазиописаний состояния и логика VVP сформулированы в [32]);

3) задача, состоящая в доказательстве адекватности четырёхзначной матрицы М0 из [49] логике 10;

4) задача, состоящая в доказательстве того, что не существует конечной характеристической матрицы для логики VVP;

5) задача, состоящая в доказательстве адекватности семантики, основанной на понятии AIP-модели, паранормальной логике AIP (эта семантика и логика AIP сформулированы в [33]);

6) задача, состоящая в доказательстве адекватности семантики, основанной на понятии IAP-модели, паранормальной логике IAP (эта семантика и логика IAP сформулированы в [33]).

Научная новизна исследования состоит в следующем:

1) проведён семантический анализ паранормальных логик Io, VVP, AIP и IAP, являющихся важнейшими логиками в классе всех простых паранормальных логик, и установлены (посредством аналогов теоремы В.И.Гливенко) связь логики 1<> с логикой AIP и логики VVP с логикой IAP;

2) доказана адекватность варианта семантики обобщённых описаний состояния логике 10 и доказана адекватность варианта семантики квазиописаний состояния логике VVP;

3) доказано, что логика 1о имеет четырёхзначную характеристическую матрицу, но ни одна из логик VVP, AIP и IAP не имеет конечной характеристической матрицы;

4) доказана адекватность семантики базарующейся на понятии AIP-модели, логике AIP, и доказана адекватность семантики, базирующейся на понятии IAP-модели, которое, наряду с понятием AIP-модели, является обобщением понятия модели Крипке для интуиционистской пропозициональной логики, логике IAP.

Методологическая основа исследования.

В ходе исследования применяются классическая математическая логика первого порядка с равенством и теоретико-множественные принципы, не выходящие за рамки системы ZFC.

Используются методы построения семантик, основывающихся на различных понятиях родственных понятию описания состояния, метод построения семантик крипкевского типа, алгебраический метод изучения логики с помощью её характеристической матрицы, а также методы изучения логик посредством соответствующих гильбертовских и секвенциальных исчислений.

Основные результаты, полученные в диссертации:

1) предложено доказательство сформулированной в [49] теоремы адекватности варианта семантики обобщённых описаний состояния логике 10;

2) предложено доказательство теоремы адекватности сформулированного В.М.Поповым варианта семантики квазиописаний состояния логике VVP;

3) предложено доказательство сформулированной в [49] теоремы о четырёхзначной характеристической матрице логике 10;

4) предложено оригинальное доказательство теоремы о несуществовании конечной характеристической матрицы логики VVP;

5) предложено доказательство сформулированной в [33] теоремы адекватности семантики, основанной на понятии AIP-модели, логике AIP;

6) предложено доказательство сформулированной в [33] теоремы адекватности семантики, основанной на понятии IAP-модели, логике IAP.

7) предложено доказательство следующего аналога теоремы В.И.Гливенко , доказанной им в [44]: формула принадлежит логике 10 тогда и только тогда, когда двойное отрицание этой формулы принадлежит логике AIP; сформулирован и доказан также ещё один аналог указанной теоремы В.И.Гливенко: формула принадлежит логике VVP тогда и только тогда, когда двойное отрицание этой формулы принадлежит логике IAP.

Практическая значимость работы

Описанные в диссертации подходы к построению семантик паранормальных логик могут применяться при конструировании семантик и для других паралогик. Изученные здесь семантики находят применение при решении вопроса о принадлежности формулы логикам, соответствующим этим семантикам. Результаты диссертационного исследования можно использовать при чтении спецкурсов по неклассическим логикам.

Символы «V», «3», «=»> и «о» используются в метаязыке в качестве сокращения для «все», «некоторые», «если., то.» и «тогда и только г) Данный аналог теоремы В.И.Гливенко сформулирован в [2]. тогда, когда» соответственно, а символ «N» - для обозначения множества всех натуральных чисел, отождествляемого со множеством всех целых положительных чисел. Остальная символика вводится в основном тексте диссертации. Допускается автонимное употребление символов.

Автор приносит глубокую благодарность заведующему кафедрой логики философского факультета МГУ им. М.В.Ломоносова профессору В.И.Маркину за предоставленную автору возможность прочитать 27.09.05 доклад по теме диссертационного исследования на заседании кафедры, заведующему сектором логики ИФРАН профессору А.С.Карпенко за необходимые автору консультации по библиографии паранормольных логик и за предоставленную автору возможность выступить с докладом по теме диссертации на заседании сектора логики ИФРАН 20.09.05, профессору Ю.В.Ивлеву и кандидату философских наук В.О.Шангину за ценные указания по оформлению текста диссертации, профессору В.А.Бочарову и доценту Д.В.Зайцеву, прочитавшим текст диссертации и давших автору ряд полезных советов, научному руководителю диссертационного исследования доценту В.М.Попову за интеллектуальную помощь и моральную поддержку.

Заключение научной работыдиссертация на тему "Семантический анализ простых паранормальных логик"

Заключение

В работе изучены семантики ряда простых паранормальных логик -логик, принадлежащих естественному подклассу класса всех паранормальных логик. Описанные в диссертации подходы к конструированию семантик для простых паранормальных логик I0, WP, AIP и IAP могут быть использованы и при изучении других простых паралогик. Например, представляет интерес изучение возможности использования этих подходов при построении семантик для кванторных расширений простых паралогик.

Возможные направления дальнейших исследований:

1) изучение логик, находящихся между логикой Io и логикой WP, а также логик, находящихся между логикой AIP и логикой IAP (исследование вопроса о мощности соответствующих классов логик и вопроса о семантической характеризации логик принадлежащим этим классам);

2) конструирование удобных для поиска доказательства секвенциальных исчислений и аналитических таблиц аксиоматизирующих простые паранормальные логики;

3) исследование функциональных свойств конечнозначных простых паранормальных логик;

4) анализ возможности применения кванторных расширений простых паранормальных логик при построении теории множеств и формальной арифметики.

Список научной литературыБаташев, Денис Вячеславович, диссертация по теме "Логика"

1. Бажанов В.А. К вопросу о развитии параконсистентной (паранепротиворечивой) логики (общие соображения по поводу статьи Н.да Косты и Д.Маркони // Философские науки 1989 №9 с.63-64.

2. Баташев Д.В. О связи паранормальных логик // Философия и будущее цивилизации: Тезисы докладов и выступлений IV Российского философского конгресса (Москва, 24-28 мая 2005 г.) Т.1 с. 493-494

3. Баташев Д.В. Семантический анализ логик AIP и IAP. Рукопись депонирована в ИНИОН РАН № 59500.М., 2005

4. Баташев Д.В. Семантический анализ логик 1о и VVP. Рукопись депонирована в ИНИОН РАН № 59501. М., 2005

5. Баташев Д.В. О несуществовании конечной характеристической матрицы для одной паранормальной логики // Логические исследования. Вып.12. М., 2006 (в печати)

6. Баташев Д.В., Попов В.М. Об одной девятизначной паранормальной логике // Логические исследования. Вып.12. М., 2006 (в печати)

7. Баташев Д.В., Попов В.М. Паранормальная подлогика интуиционистской логики // Логические исследования. Вып.12. М., 2006 (в печати)

8. Бочвар Д.А. Об одном трёхзначном исчислении и его применении к анализу парадоксов классического расширенного функционального исчисления // Математический сборник. 1938. Т.4. № 2

9. Бочвар Д.А., Финн В.К.О многозначных логиках, допускающих формализацию анализа антиномий // Исследования по математической лингвистике, математической логике и информационным языкам. М., 1972

10. Быстров П.И. Нестандартный метод табличных конструкций для модальных и релевантных логик // Логические исследования. Вып.1. М., 1993

11. Васильев Н.А. Воображаемая (неаристотелева) логика // Журнал министерства народного просвещения. Новая серия. 1912. с.206-246

12. Васюков В. J1. Категорная семантика для паранепротиворечивых логик // Логические исследования. Вып.2. М., 1993

13. Войшвилло Е.К. Философско-мето дологические аспекты релевантной логики. М., 1988

14. Генцен Г. Исследования логических выводов // Математическая теория логического вывода. М., 1967

15. Драгалин А.Г. Конструктивная теория доказательств и нестандартный анализ. М., 2003

16. Донченко В.В. Некоторые вопросы, связанные с проблемой разрешения для исчисления строгой импликации Аккермана // Проблемы логики. М., 1963

17. Ермолаева Н.М. О логиках, родственных исчислению Хао-Вана // Научно-техническая информация. Серия 2. М., 1973

18. Ермолаева Н.М., Мучник А. А Модальные расширения логических исчислений типа Хао-Вана // Исследования по формализованным языкам и неклассическим логикам. М., 1974

19. Зайцев Д.В. Теория релевантного следования I: Аксиоматика // Логические исследования. Вып.5. М., 1998

20. Зайцев Д.В. Теория релевантного следования II: Семантика // Логические исследования. Вып.6. М., 1999

21. Зайцев Д.В. Теория релевантного следования III: Комбинаторная семантика ТЕ // Логические исследования. Вып.8. М., 2001

22. Ивин А.А. Модальности и импликация. М., 2004

23. Ишмуратов А.Т., Карпенко А.С., Попов В.М. О паранепротиворечивой логике // Синтаксические и семантические исследования неэкстенсиональных логик М., 1989

24. Карпенко А.С. Дуал трёхзначной логики Гейтинга // Труды научно-исследовательского семинара по логике Института философии РАН М., 2004

25. Клини С.К. Введение в метаматематику М., 1957

26. Логика и компьютер. Доказательство и его поиск. Вып.З М., 1996

27. Логико-философские труды В.А.Смирнова. М., 2001

28. Максимова Л.Л. Интерпретация и теоремы отделения для исчислений Е и R // Алгебра и логики 1971 Т. 10, № 429