автореферат диссертации по философии, специальность ВАК РФ 09.00.07
диссертация на тему: Бивалентные семантики

Полный текст автореферата диссертации по теме "Бивалентные семантики"

УЧРЕЖДЕНИЕ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК ИНСТИТУТ ФИЛОСОФИИ РАН

На правах рукописи

ооьи«4**'""

Преловский Николай Николаевич

БИВАЛЕНТНЫЕ СЕМАНТИКИ: ЛОГИКО-ФИЛОСОФСКИЕ АСПЕКТЫ

Автореферат

Диссертация на соискание ученой степени кандидата философских наук Специальность 09.00.07 - Логика

- 1 ДЕК 2011

Москва -2011

005004560

Диссертация выполнена в секторе логики Учреждения Российской академии наук Института философии РАН

Научный руководитель:

Доктор философских наук, профессор Карпенко Александр Степанович

Официальные оппоненты:

Доктор философских наук, профессор Бахтияров Камиль Ибрагимович

Кандидат философских наук, доцент Архиереев Николай Львович

Ведущая организация:

Московский государственный

университет имени М. В. Ломоносова, кафедра логики философского факультета

Зашита диссертации состоится «20» декабря 2011 года в 15.00 на заседании Диссертационного совета Д 002.015.03 по философским наукам при Учреждении Российской академии наук Институте философии РАН по адресу: 119992, г. Москва, ул. Волхонка, д. 14.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Учреждения Российской академии наук Института философии РАН.

Автореферат разослан «_»_2011 года.

Ученый секретарь Диссертационного совета:

Доктор философских наук

В. И. Шалак

Общая характеристика работы

Диссертационная работа представляет собой исследование в области бивалентных семантик многозначных логик и связанных с ними проблем, носящих логико-философский характер, в частности, проблемы редукции многозначных семантик к бивалентным. Данная предметная область сформировалась под влиянием двух основных источников.

Во-первых, это бурное развитие в 20 веке самой многозначной логики, представленой в настоящее время практически необозримым количеством исследований, статей и монографий.

Во-вторых, по мере безудержного умножения формальных систем различных многозначных логик остро встала проблема интуитивной интерпретации полученных с их использованием результатов. Исследователи осознали необходимость обоснования своих формальных построений посредством сведения (редукции) количественного разнообразия многозначных логик к некоей общей основе, которая позволила бы вновь утвердить пошатнувшееся единство логики в качестве самостоятельной философской и научной дисциплины. Здесь необходимо было дать ответ на назревший вопрос: если систем логики так много, где же то общее, что их объединяет и формирует единство логики, как программы исследований? При поиске этой общей основы всех многозначных логических систем было необходимо учесть и то, что такая основа должна носить интуитивно приемлемый характер в качестве именно логической, что проявляет связь проблемы обоснования единства логики как науки и интуитивной интерпретации результатов этой науки.

В качестве одного из вариантов основы, объединяющей множество различных логических систем, можно рассматривать обычную классическую логику, от которой эти системы были отделены по тем или иным

соображениям. Наиболее ярким представителем данного подхода к редукции различных многозначных логик является польский логик Роман Сушко, предложивший редукционистскую программу сведения «любой» многозначной логики к классической двузначной (так называемый «тезис Сушко» означает, что для любой многозначной логики может быть построена бивалентная семантика), в результате чего могут быть получены бивалентные неистинностно-функциональные семантики соответствующих логик.

Таким образом, можно говорить даже о двух этапах в развитии многозначной логики - аналитическом (до появления тезиса Сушко в 1976 году) и синтетическом (нынешний незавершенный период развития многозначной логики). Если на первом осуществлялось продолжение раздробления первоначального единства, представленного классической логикой, безраздельно господствовавшей до открытия в 1920 году Яном Лукасевичем первой системы многозначной логики, то на втором остро встала необходимость синтеза образовавшейся на предыдущем этапе развития множественности, переосмысления и обобщения на новом уровне всех полученных результатов. Следует отметить, что второй этап нельзя на данный момент считать завершенным, в связи с чем проблематика данной работы приобретает особую актуальность.

Актуальность темы. Многозначную логику на текущем этапе можно охарактеризовать следующими специфическими чертами:

• Широкое применение компьютерных алгоритмов;

• Переход от исследования отдельных логик к изучению классов логик и их свойств;

• Переход к исследованию логических систем на более высоком уровне абстракции.

Все эти специфические черты тесно связаны с проблематикой данной работы. Так, Карлос Калейро в ряде работ занят разработкой компьютерных

алгоритмов построения бивалентных семантик для широкого класса многозначных матричных логик. Идеи Калейро являются основой для выделения в данной работе ранее не рассматривавшегося и обладающего рядом интересных свойств класса некартезианских логик. Переход на более высокий уровень абстракции, заданный универсальной логикой, рассматривающей абстрактные логические структуры в качестве основы для любых дальнейших логических построений, позволяет Жану-Иву Безье сформулировать алгоритм конструирования бивалентных семантик для многозначных логик, а Марсело Тсуджи отыскать необходимый и достаточный критерий наличия у логики подобных семантик. Таким образом, работа находится в русле актуальных современных исследований в области универсальной логики в ее связи с бивалентными семантиками и полемикой вокруг тезиса Сушко.

Степень разработанности проблемы. Вероятно, впервые связь между многозначными и бивалентными семантиками попала в поле зрения исследователей после того, как в 1938 году русский логик Д. А. Бочвар построил многозначную логику Вз, содержащую изоморф классической логики'. Это связано с тем, что для многих многозначных изоморфов классической логики бивалентные семантики могут быть построены тривиальным образом за счет отождествления одного или нескольких значений в соответствующей n-значной матрице с одним из значений множества {1,0}, а всех остальных значений в этой матрице - с оставшимся из двух классических истинностных значений. В дальнейшем данная тема получила развитие в серии работ Л. Ю. Девяткина, где описаны все изоморфы классической логики, содержащиеся в полной трехзначной функциональной системе (трехзначной логике Поста Р3).

Другим источником рефлексии на тему бивалентных семантик многозначных логик и проблемы многозначности в целом могут служить семантики различных неклассических логик, формулировавшихся первоначально

1 См.: Карпенко А. С. Развитие многозначной логики. M.: URSS. 2010. С. 50-55.

5

аксиоматически и лишь потом получивших адекватные семантики. В качестве примера могут быть названы стандартные модальные логики, впервые сформулированные К. И. Льюисом, и их «бивалентные» реляционные семантики возможных миров. Впоследствии подход, связанный с конструированием бивалентных семантик возможных миров, был систематизирован в алгоритме, описанном в работе Р. Роутли и Р. Мейера2. Так, по Роутли и Мейеру любая пропозициональная логика имеет бивалентную семантику возможных миров. Однако их метод ограничен требованием наличия в рассматриваемых системах связок, удовлетворяющих условиям для строгой импликации, что позволяет сделать заключение о его неуниверсальности и необщеприменимости.

За последнее время к числу наиболее интересных исследований по данной теме могут быть отнесены работы Гржегоржа Малиновского, в которых он приводит контр-примеры для тезиса Сушко, а также указывает, что произвольная многозначная логика, вопреки мнению Сушко, является либо логически двузначной, либо логически трехзначной. Данный вывод становится возможным сделать лишь после того, как осуществляется довольно значительный пересмотр определения логического следования и ряда других фундаментальных логических понятий, что несколько снижает ценность аргументации Малиновского в качестве именно контр-примера для тезиса Сушко, однако нисколько не умаляет теоретического и практического значения полученных им результатов. Более того, результаты Малиновского получили переосмысление и развитие в работах М. Тсуджи, Г. Ванзинга и Я. Шрамко.

Отдельного внимания заслуживает алгоритм построения бивалентных семантик, описанный в ряде статей К. Калейро и других авторов3. В этих статьях разработан метод автоматизированного построения бивалентных

2 См.: Routley R., Meyer R. К. Every Sentential Logic Has a Two-Valued Worlds

Semantics //Logique et Analyse. 19, 1976,Pp. 174-194.

^ Caleiro С . Carnielli W , Coniglio M E . Marcos J Two's company: The humbug

of many logical values //J -Y. Bcziau (cd ) Lógica Universalis Birkhauscr Verlas 2005. Pp. 169-189

6

семантик для многозначных матричных логик, позволяющий формулировать системы аналитических таблиц всего с двумя классическими «ярлыками» для формул - «истина» и «ложь». Подобные системы аналитических таблиц для многозначных логик могут быть названы «классикоподобными». Авторы вводят также ряд важных дистинкций, касающихся различных классов многозначных логик. В частности, они различают подлинно п-значные и неподлинно п-значные логики. Под первыми понимаются такие многозначные логики, что минимальная мощность множества истинностных значений в характестических матрицах соответствующих логик равна п. Если же среди множества характеристических матриц некоторой многозначной логики имеются (одна или несколько) матрицы мощностью п, и минимальная мощность множества истинностных значений в множестве всех характеристических матриц строго меньше п, то такая логика называется неподлинно п-значной. Данное различение приобретает важность, поскольку в процессе построения бивалентных семантик имеет смысл оперировать с минимальными по мощности характеристическими матрицами. Более того, алгоритм Калейро применим только к тем логикам, в минимальных по мощности характеристических матрицах которых все значения являются разделимыми (см. ниже). В большинстве случаев наличие в характеристической матрице неразделимых пар значений является свидетельством того, что данная матрица не является минимальной по мощности. То есть, если данная матрица имеет мощность п, то соответствующая логика не является подлинно п-значной. Это утверждение верно для подавляющей части известных в литературе многозначных логик и их многозначных семантик. Однако это имеет место не всегда. Так, можно выделить класс многозначных логик, в минимальных по мощности характеристических матрицах которых имеются неразделимые значения. Такие логики в данной работе получили название некартезианских.

Описание алгоритмов построения бивалентных семантик, представляющих собой попытку конструктивной реализации тезиса Сушко, содержится и в работах Ж.-И. Безье. Данный автор использует предложенный им подход «универсальной логики» для интерпретации проблемы многозначности.

Цели и задачи исследования. Целью данного диссертационного исследования является проведение логико-философского анализа проблемы редукции многозначных логик, сопоставление различных подходов к построению бивалентных семантик многозначных логик, выявление имеющихся у данных подходов специфики и ограничений, выделение различных стратегий возможной конструктивной реализации тезиса Сушко и поиск контр-примеров к ним, ограничивающих данные стратегии в качестве всеобъемлющих и универсальных подтверждений данного тезиса о редуцируемости любой многозначной логики к двузначной.

Для достижения указанных целей в ходе работы над диссертационным исследованием были поставлены следующие задачи:

• Проанализировать философские истоки возникновения проблемы редукции многозначности в логике;

• Исследовать современную интерпретацию тезиса Сушко и выдвигавшиеся к нему контр-примеры;

• Описать основные стратегии конструктивной реализации тезиса Сушко;

• Выявить логико-методологическое и философское значение имеющихся в различных подходах к построению бивалентных семантик ограничений;

• Рассмотреть различные логики, к которым невозможно непосредственное применение алгоритма построения бивалентных семантик Калейро (некартезианских логик);

• Построить гильбертовскую аксиоматизацию некартезианской логики БпгГ, доказать обобщенную теорему дедукции для данной логики, теорему о семантической адекватности;

• Построить квазиматричные трехзначные семантики для рассмотренных некартезианских логик, доказать их эквивалентность с четырехзначными, рассмотреть различия между подлинно трехзначными логиками и подлинно четырехзначными некартезианскими логиками.

Методологическая основа исследования. В процессе диссертационного исследования при решении поставленных задач применялись методы современной символической логики, которые использовались при доказательстве метатеорем и утверждений.

В методологическом плане принципиальной является трактовка термина «логика», что, в свою очередь, непосредственно определяет методологию исследования. Под логикой в данном исследовании будем понимать множество формул с заданным на подмножествах этого множества и отдельных формулах, то есть на элементах этого множества, двухместным отношением, называемым отношением логического следования. Отношение логического следования рассматриваемых в дальнейшем логик является инвариантным относительно эндоморфизмов (правильных подстановок) на множестве формул. Множество всех таких логик может быть отождествлено с множеством матричных логик, поскольку каждая из них имеет, в соответствии с теоремами Войцицкого, характеристическую матрицу, называемую матрицей Линденбаума.

Приведем строгие определения этих и некоторых других существенных для работы понятий.

Определение 1. (Язык, формулы, множества формул)

Языком будем называть пару Ь=<{рь р2, ... }, {С„1, С„2, —, С„т}>, где {рь р2, ... } есть счетное множество пропозициональных переменных, а {С„ь С„2, ..., С„т} — конечное множество поместных логических связок, 1 < 1 < т.

С помощью F будем обозначать множество всех правильно построенных в языке L формул. Формулы из F будем обозначать греческими буквами а, р, у, 5, возможно, с индексами. Для обозначения произвольных множеств формул из F будем использовать заглавные греческие буквы Г, Д, ©, возможно, с индексами.

Определение 2. (Логика, логическая система)

Под логикой будем понимать пару LOG=<F, I-log5', где |-log есть отношение логического следования между множествами формул и формулами, определенное на F.

Логической системой (исчислением), соответствующей (соответствующим) логике LOG, будем называть пару LS(LOG)=<Aa,R>, где ДА есть конечное множество формул из F, называемых схемами аксиом, a R есть конечное множество правил вывода в стандартной Гильбертовской формулировке, такую, что обычным образом определенное в LS(LOG) отношение выводимости |—ls(log) в точности совпадает с отношением следования |-ию.

Определение 3. (Логическая матрица, оценка, семантика)

Под логической матрицей будем понимать упорядоченную тройку M=<V, О, D>, где V есть множество логических значений, D являющееся подмножеством V, есть множество выделенных значений, О есть множество операций на V.

Оценкой § в матрице М будем называть гомоморфное отображение §: F —» V.

В диссертационной работе также используются стандартные понятия выполнимости и общезначимости формул, а также следования в матрице М и характеристической матрицы.

Под матричной семантикой логики LOG будем понимать множество всех оценок SEM(LOG)= F -> V }.

Определение 4. (Различение значений матрицы М) Значения У| и V? матрицы М называются различимыми, если и только если:

• V, е О и неверно, что у2е Б, либо

• в Р имеется формула и(р,), включающая лишь вхождения логических связок и единственной пропозициональной переменной р^ такая, что для всяких §1 и §2 в 8ЕМ(ЬОО) выполняется:

§.(р.) £ {V,, Уз} & §2(р,) £ {V,, У2} & §,(р,) ф §2(Р)) =>

§,Ссх СрО> еВ<=>§2(а(р,)) е \ЛО.

Заметим, что в наименьших по мощности характеристических матрицах большинства известных многозначных логик, как и в классической логике, любая пара значений V, и у2 является различимой в указанном выше смысле. Однако данное свойство не является априорно присущим произвольной многозначной логике. Логики, в наименьших по мощности характеристических матрицах которых имеются неразличимые значения, в данной работе называются (сильно) некартезианскими.

Сильно некартезианские логики играют важную роль в дискуссиях вокруг так называемого тезиса Сушко, согласно которому все логики являются логически двузначными. Эта роль обусловлена тем, что для сильно некартезианских логик невозможно построить бивалентную семантику в соответствии с алгоритмами, приводящимися в серии работ К. Калейро и других авторов.

Научная новизна работы. В диссертационном исследовании впервые проведен сравнительный анализ различных методов построения бивалентных

семантик многозначных логик, выявлены их ограничения и рассмотрены возможные пути их преодоления.

Впервые рассмотрен класс многозначных логик, получивших название некартезианских, выявлена специфика этого класса. В качестве примеров приведены как известные ранее логики - логика, соответствующая матрице Смайли с одним выделенным значением, система V2, логика, соответствующая матрице Белнапа с одним выделенным значением, так и логика Srru , не рассматривавшаяся другими авторами. Найдена гильбертовская аксиоматизация для логики Sm.f. Для данной аксиоматизации доказаны обобщенная теорема дедукции и теорема о семантической адекватности. Установлено, что логика Sm4~ является взрывоопасным (непаранепротиворечивым) расширением аксиоматики системы релевантной логики Е (of Entailment).

Основные положения, выносимые на защиту. В ходе проведенной работы были получены следующие результаты:

• Сформулирована матричная четырехзначная семантика некартезианской логики Sm4~;

• Установлено, что логика Sm4~ представляет собой взрывоопасное расширение системы релевантной логики Е;

• Построена гильбертовская аксиоматизация логики Sm4~;

• Для аксиоматической системы Sm4" доказана теорема дедукции в обобщенной формулировке:

Г, Ма |— р => Г |— Ма —> М|3, где Г есть множество формул, аир — формулы, a М — оператор возможности или необходимости;

• Доказана теорема о семантической адекватности аксиоматизации Sm4~.

Научно-практическая значимость работы. Теоретическое значение данной диссертационной работы состоит в том, что она предлагает понятия и

содержит результаты, совокупность которых вносит вклад в развитие идей современной логики.

Практическое значение работы заключается в том, что она предлагает теоретическую основу для конструирования новых конкретных, имеющих практическую применимость логик в рамках впервые рассмотренного широкого класса некартезианских логик. Материал диссертации может быть использован при чтении спецкурсов по логике.

Апробация работы. Полученные в ходе исследования результаты докладывались на научно-исследовательском семинаре сектора логики Института философии РАН (апрель 2011 года), а также на XI Международной научной конференции «Современная логика: проблемы теории и истории» (Санкт-Петербург, 2010 год).

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 4-х глав, заключения и списка использованной литературы.

Основное содержание работы

Во Введении дается общая характеристика работы, включая актуальность, степень разработанности темы, новизну положений, выносимых на защиту.

В главе 1 «На пути к некартезианским логикам» проводится анализ историко-философских и логических истоков, приведших к рассмотрению специфики некартезианских логик. Проведенное исследование проблематики современных логических разработок выявило: аргументация против тезиса Сушко может быть подкреплена наличием ограничений на применимость некоторых алгоритмов построения бивалентных семантик. Данные ограничения

непосредственно связаны со спецификой логических матриц многозначных семантик некартезианских логик.

Глава 2 «Многозначность и тезис Сушко» рассматриваются понятие логической многозначности в работах Г. Малиновского, а также контраргументация Г. Малиновского в отношении тезиса Сушко. Отмечается, что, руководствуясь подходом универсальной логики, возможно сформулировать необходимые и достаточные условия для наличия у многозначной логики бивалентной семантики. Таким образом, значение контр-аргументации Г. Малиновского в полемике вокруг тезиса Сушко получает новую интерпретацию в рамках подхода универсальной логики.

В главе 3 «Алгоритмы построения бивалентных семантик» посвящена исследованию принципов и возможностей конструктивной реализации тезиса Сушко, выражающейся в формулировании различных алгоритмов построения бивалентных семантик многозначных логик. Проведено сопоставление и анализ алгоритмов К. Калейро, Р. Роутли и Р. К. Мейера, а также Ж.-И. Безье. Показано, что рассмотренные алгоритмы значительно различаются как по области своей применимости, так и по типам получаемых с их помощью бивалентных семантик.

В главе 4 «Некартезианские логики» приводятся конкретные примеры некартезианских логик, как уже встречавшихся в литературе, так и впервые рассмотренных автором. Приводится аксиоматизация ранее не рассматривавшейся системы некартезианской логики, представляющей собой взрывоопасное расширение системы релевантной логики Е.

Для данной аксиоматизации доказывается обобщенная теорема дедукции и семантическая адекватность, построена трехзначная квазифункциональная

семантика данной логики, указываются возможные стратегии построения бивалентной семантики данной логики.

В Заключении подведены итоги и поставлены проблемы дальнейших исследований.

Публикации по теме диссертации

1. Преловский Н. Н. Тезис Сушко и алгоритмы построения бивалентных семантик // Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке: Материалы XI Общероссийской научной конференции. Санкт-Петербург, 24-26 июня 2010 г. - СПб., 2010. С. 368-371.

2. Преловский Н. Н. Об одном некартезианском расширении системы Е // Логические исследования, Выпуск 17, Москва—СПб., 2011. С. 251-255.

3. Преловский Н. Н. Проблема редукции многозначной логики // Эпистемология и философия науки. М.: Альфа-М, 2011. С. 155-164.

Подписано в печать: 17.11.11

Объем: 1,5 усл.п.л. Тираж: 100 экз. Заказ № 477 Отпечатано в типографии «Реглет» 119526, г. Москва, Рождественка, 5/7,стр.1 (495)623-93-06; www.reglel.ru

Оглавление научной работы автор диссертации — кандидата философских наук Преловский, Николай Николаевич

Введение

Глава I. На пути к нскартсзианским логикам

§2. Определения

Глава II. Многозначность и тезис Сушко

§1. Работы Гржсгоржа Малиновского

§2. Необходимые и достаточные условия для наличия бивалентной семантики с точки зрения универсальной логики

Глава III. Алгоритмы построения бивалентных ссман

§1. Алгоритм построения бивалентных семантик Карлоса Калейро

§2. Бивалентные семантики возможных миров по Роутли и Мейеру

§3. Бивалентная семантика логики Де Моргана

Глава IV. Некартезианскис логики

§1. Логика Бслпапа

§2. Логика 5т

§2.1. Обобщенная теорема дедукции для Бт^

§2.2. Непротиворечивость и полнота

Введение диссертации2011 год, автореферат по философии, Преловский, Николай Николаевич

Диссертационная работа представляет собой исследование в области бивалентных ссмантик многозначных логик и связанных с ними проблем, носящих логико-философский характер, в частности, проблемы редукции, многозначных ссмантик к бивалентным. Данная предметная область сформировалась под влиянием двух основных источников.

Во-первых, это бурное развитие в 20 веке самой многозначной логики1, прсдставленой в настоящее время практически необозримым количеством исследований, статей и монографий.

Во-вторых, по мерс безудержного умножения формальных систем различных многозначных логик остро встала проблема интуитивной интерпретации полученных с их использованием результатов. Исследователи осознали необходимость обоснования своих формальных построений посредством сведения (редукции) количественного разнообразия многозначных логик к некоей общей основе, которая

Термин «многозначная логика» используется здесь в двух смыслах Во-первых, для обозначения подхода, в соответствии с которым логика является наукой о логических значениях при условии допущения значений, отличных от классических «Истины» и »Лжи». Во-вторых, для обозначения конкретных логических систем, называемых в этом случае во множественном числе «многозначными логиками» позволила бы вновь утвердить пошатнувшееся единство логики в качестве самостоятельной философской и научной дисциплины. Здесь необходимо было дать ответ на назревший вопрос: если систем логики так много, где же то общее, что их объединяет и формирует единство логики, как программы исследований? При поиске этой общей основы всех многозначных логических систем было необходимо учесть и то, что такая основа должна носить интуитивно приемлемый характер в качестве именно логической, что проявляет связь проблемы обоснования единства логики как науки и интуитивной интерпретации результатов этой науки.

В качестве одного из вариантов основы, объединяющей множество логических систем, можно рассматривать обычную классическую логику, от которой эти системы были отделены по тем или иным соображениям. Наиболее ярким представителем данного подхода к редукции различных многозначных логик к общей основе, которая в этом случае мыслится в качестве интуитивно приемлемого выражения подлинно логической сущности множества систем, является польский логик Роман Сушко, предложивший редукционистскую программу сведения «любой» многозначной логики к классической двузначной (так называемый «тезис Сушко» в первом приближении означает, что для любой многозначной логики может быть построена бивалентная семантика), в результате чего могут быть получены бивалентные неистинностно-функциональные семантики соответствующих логик

Таким образом, можно говорить даже о двух этапах в развитии многозначной логики - аналитическом (до появления тезиса Сушко) и синтетическом (нынешний незавершенный период развития многозначной логики). Если на первом осуществлялось продолжение раздробления первоначального единства, представленного классической логикой, безраздельно господствовавшей до открытия в 1920 году Яном Лукасевичсм первой системы многозначной логики. то на втором остро встала необходимость синтеза образовавшсйся на предыдущем этапе развития множественности, переосмысления и обобщения на новом уровне всех полученных результатов. Следует отметить, что второй этап нельзя на данный момент считать завершенным, в связи с чем проблематика данной работы приобретает особую актуальность.

Актуальность темы. Многозначную логику на текущем этапе можно охарактеризовать следующими специфическими чертами:

• Широкое применение компьютерных алгоритмов,

• Переход от исследования отдельных логик к изучению классов логик и их свойств;

• Переход к исследованию логических систем на более высоком уровне абстракции

Все эти специфические черты тесно связаны с проблематикой данной работы. Так, Карлос Калейро и другие авторы [16] заняты разработкой компьютерных алгоритмов построения бивалентных ссмантик для широкого класса многозначных матричных логик. Идеи Калейро являются основой для выделения в данной работе рапсе не рассматривавшегося и обладающего рядом интересных свойств класса нскартезианских логик2. Переход на более высокий уровень абстракции, заданный универсальной логикой, рассматривающей абстрактные логические структуры в качестве основы для любых дальнейших логических построений, позволяет Жану-Иву Безье сформулировать алгоритм конструирования бивалентных ссмантик для многозначных логик, а Марссло Тсуджи отыскать необходимый и достаточный критерий наличия у логики подобных ссмантик. Таким образом, работа находится в русле актуальных современных исследований в области универсальной логики в ее связи

2Определение нскартсзианской логики см ниже с бивалентными ссмантиками и полемикой вокруг тезиса Сушко.

Степень разработанности проблемы. Вероятно, впервые связь между многозначными и бивалентными ссмантиками попала в поле зрения исследователей после того, как в 1938 году русский логик Д. А. Бочвар построил многозначную логику £?з (см. [6]. стр. 50-55), содержащую изоморф классической логики Это связано с тем, что для многих многозначных изоморфов классической логики бивалентные семантики могут быть построены тривиальным образом за счет отождествления одного или нескольких значений в соответствующей n-значпой матрице с одним из значений множества {1,0}, а всех остальных значений в этой матрице - с оставшимся из двух классических истинностных значений. В дальнейшем данная тема получила развитие в серии работ JI. Ю. Девяткина, например в [2], где описаны все изоморфы классической логики, содержащиеся в полной трехзначной функциональной системе (трехзначной логике Поста Рл).

Другим источником рефлексии на тему бивалентных се-мантик многозначных логик и проблемы многозначности в целом могут служить семантики различных неклассичс-ских логик, формулировавшихся первоначально аксиоматически и лишь потом получивших адекватные семантики. В качестве примера могут быть названы стандартные модальные логики, впервые сформулированные К И. Лыои-сом. и их «бивалентные» реляционные семантики возможных миров Впоследствии подход, связанный с конструированием бивалентных ссмантик возможных миров, был систематизирован в алгоритме, описанном в работе Р. Роутли и Р. Мейера [29]. Так. по Роутли и Мсйсру любая пропозициональная логика имеет бивалентную семантику возможных миров Однако их метод ограничен требованием наличия в рассматриваемых системах связок, удовлетворяющих условиям для строгой импликации, что позволяет сделать заключение о его неуниверсальности и нсобщепримснимости.

За последнее время к числу наиболее интересных исследований по данной теме могут быть отнесены работы Грже-горжа Малиновского, в которых он приводит контр-примеры для тезиса Сушко, а также указывает, что произвольная многозначная логика, вопреки мнению Сушко, является либо логически двузначной, либо логически трехзначной. Данный вывод становится возможным сделать лишь после того, как осуществляется довольно значительный пересмотр определения логического следования и ряда других фундаментальных логических понятий, что несколько снижает ценность аргументации Малиновского в качестве именно контр-примера для тезиса Сушко, однако нисколько не умаляет теоретического и практического значения полученных им результатов. Более того, результаты Малиновского получили переосмысление и развитие в работах М. Тсуджи, Г. Ванзинга и Я. Шрамко.

Отдельного внимания заслуживает алгоритм построения бивалентных ссмаитик, описанный в ряде статей К. Калсй-ро и других авторов. В этих статьях разработан метод автоматизированного построения бивалентных ссмантик для многозначных матричных логик, позволяющий формулировать системы аналитических таблиц всего с двумя классическими «ярлыками» для формул - «Истина» и «Ложь». Подобные системы аналитических таблиц для многозначных логик могут быть названы «классикоподобными»3. Авторы вводят также ряд важных дистинкций, касающихся различных классов многозначных логик. В частности, они различают подлинно п-значные и нсподлинно п-значные логики. Под первыми понимаются такие многозначные логики, что минимальная мощность множества истинностных значений в характестических матрицах соответствующих логик равна п. Если же среди множества характеристических матриц некоторой многозначной логики имеются (од

3В оригинале «с1азз1с-Нкс» на или несколько) матрицы мощностью п, и минимальная мощность множества истинностных значений в множестве всех характеристических матриц строго меньше п, то такая логика называется неподлинно п-значной. Данное различение приобретает важность, поскольку в процессе построения бивалентных семаптик имеет смысл оперировать с минимальными по мощности характеристическими матрицами. Более того, алгоритм Калейро применим только к тем логикам, в минимальных по мощности характеристических матрицах которых все значения являются разделимыми. В большинстве случаев наличие в характеристической матрице неразделимых пар значений является свидетельством того, что данная матрица не является минимальной по мощности. То есть, если данная матрица имеет мощность п, то соответствующая логика не является подлинно п-значной. Это утверждение верно для подавляющей части известных в литературе многозначных логик и их многозначных семантик. Однако это имеет место не всегда. Так, можно выделить класс многозначных логик, в минимальных по мощности характеристических матрицах которых имеются неразделимые значения Такие логики в данной работе получили название некаргпезиапских.

Описание алгоритмов построения бивалентных семантик, представляющих собой попытку конструктивной реализации тезиса Сушко, содержится и в работах Ж.-И. Бсзьс. Данный автор использует предложенный им подход «универсальной логики» для интерпретации проблемы многозначности.

Цели и задачи исследования. Цслыо данного диссертационного исследования является проведение логико-философского анализа проблемы редукции многозначных логик, сопоставление различных подходов к построению бивалентных семантик многозначных логик, выявление имеющихся у данных подходов специфики и ограничений, выделение различных стратегий возможной конструктивной реализации тезиса Сушко и поиск контр-примеров к ним, ограничивающих данные стратегии в качестве всеобъемлющих и универсальных подтверждений данного тезиса о рс-дуцируемости любой многозначной логики к двузначной.

Для достижения указанных целей в ходе работы над диссертационным исследованием были поставлены следующие задачи:

• Проанализировать философские истоки возникновения проблемы редукции многозначности в логике;

• Исследовать современную интерпретацию тезиса Суш-ко и выдвигавшиеся к нему контр-примеры;

• Описать основные стратегии конструктивной реализации тезиса Сушко;

• Выявить логико-методологическое и философское значение имеющихся в различных подходах к построению бивалентных ссмантик ограничений,

• Рассмотреть различные логики, к которым невозможно непосредственное применение алгоритма построения бивалентных ссмантик Калсйро (нскартезианских логик).

• Построить гильбертовскую аксиоматизацию нскарте-зианской логики Бт^, доказать обобщенную теорему дедукции для данной логики, теорему о семантической адекватности

Методологическая основа исследования. В процессе диссертационного исследования при решении поставленных задач применялись методы современной символической логики, которые использовались при доказательстве мстатео-рем и утверждений.

В методологическом плане принципиальной является трактовка термина «логика», что, в свою очередь, непосредственно определяет методологию исследования Под логикой в данном исследовании будем понимать множество формул с заданным на подмножествах этого множества и отдельных формулах то есть элементах этого множества, двухместным отношением, называемым отношением логического следования Отношение логического следования рассматриваемых в дальнейшем логик является инвариантным относительно эндоморфизмов (правильных подстановок) на множестве формул Множество всех таких логик может быть отождествлено с множеством матричных логик, поскольку каждая из них имеет, в соответствии с теоремами Войциц-кого. характеристическую матрицу, называемую матрицей Линдснбаума

Заключение научной работыдиссертация на тему "Бивалентные семантики"

Заключение

В заключение, подведем некоторые итоги Итак, тезис Сушко представляется уязвимым для критики в силу двух основных причин. Во-первых, за счет модификации определений логической матрицы и логического следования (их замены понятиями логической квазиматрицы и квазислсдо-вания в смысле Малиновского) могут быть получены логики, не имеющие бивалентных неистинностно-функциональпых. как и истинностно-функциональных, ссмантик Такие логики являются не логически двузначными, а логически трехзначными, что прямо противоречит тезису Сушко. Во-вторых, данный тезис является неконструктивным, поскольку процедура редукции Сушко не указывает конкретных методов построения бивалентных семантик многозначных логик, а имеющиеся алгоритмы построения таких семантик обладают ограничениями Так. большинство методов редукции неприменимы к квазиматричным логикам Малиновского, а алгоритм Калсйро неприменим к нскартезианским логикам Алгоритм Роутлн-А'Гсйсра требует наличия в логике связок, удовлетворяющих условиям для строгой импликации и строгой эквивалентности, поэтому тоже не может рассматриваться в качестве универсального В связи с вышесказанным, философская обоснованность тезиса Сушко представляется, как минимум, сомнительной

Довольно интересное направление для исследовании представляют собой рассмотренные в данной работе некартези-анекпе логики. В частности, система У2 в ряде работ Мел-вина Фиттинга получила применение для построения логической теории истинности. В связи с этим, можно сформулировать ряд задач для дальнейшей работы.

• Обобщить понятие пскартсзианскоп логики на бесконсчнозначные логики.

• Сформулировать алгоритмы построения бивалентных аналитических таблиц для нскартезианских логик.

• Построить новые системы некартсзианской логики

• Построить кванторпые расширения известных и новых систем нскартезианских логик

• Найти новые области применения нскартезианских логик.

• Исследовать интересные функциональные, алгебраические, теоретико-решеточные свойства нскартезианских логик.

• Выявить связь нскартезианских логик с исследованиями обобщенных логических значений в смысле Шрам-ко и Ванзинга

Список научной литературыПреловский, Николай Николаевич, диссертация по теме "Логика"

1. Ванзинг Г, Шра.чко Я В Логика компьююрных сегеи // Логические исследования 2005 Л» 12

2. Девяткин Л Ю Трехзначные ииолюрфы классической логики // Логические исследования 2004 \г 11 119-12 >

3. Декарт Р Разльышления о первой философии // Декарт Р Сочинения T 2 M Мысль 1994 С 204| Зайцев Д В , Шрамко Я В Логическое следование и выделенные значения // Логические исследования 2004 .V 11 127-138

4. Ивлев Ю В Модалъная логика Издахельство Mockobckoiо университета 1991

5. Карпенко А С Развитие лпюголш чиой логики URSS Москва 2010

6. Фре1е Г Функция и п.снятие // Фреге Г Логика и логическая семантика М 2000 С 215-2298| Фреге Г О смысле и значении // Фре1е Г Логика и jioi ическая семантика М 2000 С 230-246

7. Шрамко Я В Истина и лолсь что такое истинностные значения и для чего они нужны // Лоюс 2009 2(70) 96-121

8. Anderson А , Belnap N Entailment The Logic of Relevance and Necessity Vol I Princeton University Press 1975 Pp 161-162

9. Arieli О , Avron A Ike Value of the foui Values j j Aitificial Intelligence Vol 102 1998 Pp 97-14112| Belnap N How a Compute! Should 'Flunk // G Ryle (ed ) Contemporary Aspects of Philosophyra Stocksfield Oriel Piess LTD 1977 Pp 30-55

10. Beziau J -Y Bivalent Semantics foi De Moigan Logic (The Uselessness of the Four-Valuedness) Pp 392-402

11. Beziau J -Y Nouveaux fcsultats el nouueau legaid svr la logique pai aco risistante Ci // Logique et Analyse No 36 Pp 45-58

12. Beziau J-Y Recheiches sui la logique abstiatte les logiques not males // Acta Uruversitatis Wratislaviensis No 18 Pp 105-114

13. Caleiro С , Carmelli W , Comglio M E , Mai cos J Two's company The humbug of many logical ualves // J -Y Beziau (ed ) Logica Universalis Birkhauser Verlag 2005 Pp 169-189

14. Carmelli VV A Systernatization of the I mite Many-Valued Logics thiough the method of the tableau j. //'llic Journal of Symbolic Logic 52 1987 Pp 473-493

15. Newton da Costa, Jean-Yves Beziau Otavio Bueno Mahnowski and Suszko on Many-Valued Logics On the Reduction of Many- Valuedness to Two-Valuedness // Modern Logic Vol 6 1996 No 3

16. Da Costa N С A Ahes С 11 /1 Semantical Analysis of the Calculi Cn // Notre Dame Journal of Гоппа1 Logic 18 Pp 621-63020| J Michael Dunn, Greg Restall Rcleuance logic In Handbook of Philosophical Logic 2nd Ed Vol 6 2001 Pp 15-22

17. Lukasiewicz J Logika dwuwartosciowa // Pizcgled Filozoficzny 1921 13 189-205

18. Mdlinowski G Many-Valued Logics Oxford Logic Guides 25 Claiendon Press Oxford 1993

19. Malmowski G On Mariy-Vuluedricss, Sentential Identity, Inference and Lukasiewicz Modalities // Logica Triaiiguh 1 1997 Pp 59-71

20. Malmowski G Inferential Manij-Valuedness // J Wolenski (ed ) Philosophical Logic m Poland Kluwer Dordrecht 1994 Pp 75-84

21. Routley R, Meyer R K Eoery Sentential Logic Has a Two-Valued Worlds Semantics // Logique et Analyse 19 1976 Pp 174-19430| Sette A M On the Propositioned Calculus P\ // Malheinatica Japomcae 18 1973 Pp 173-180

22. Marcelo Tsuji Many-Valued Logics and SuszLo's Thesis Reuisited I j Studia Logica Vol 60 No 2 1998 Pp 299-309