автореферат диссертации по философии, специальность ВАК РФ 09.00.07
диссертация на тему: Паранепротиворечивость и релевантность

Полный текст автореферата диссертации по теме "Паранепротиворечивость и релевантность"

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА

Философский факультет

На правахрукописи

КВАРТАЛОВА Наталия Леонидовна ПАРАНЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ И РЕЛЕВАНТНОСТЬ

Специальность 09.00.07 - логика

Автореферат

диссертация на соискание ученой степени кандидата философских наук

Москва - 2004

Работа выполнена на кафедре логики философского факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова

Научный руководитель:

Доктор философских наук А.С. Карпенко Официальные оппоненты:

Доктор философских наук И.А. Герасимова

Кандидат философских наук В.В. Макаров

Ведущая организация:

СПбГУ, философский факультет, кафедра логики Защита состоится_2004 года в 15 часов

на заседании Диссертационного совета Д 501.001.48 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора философских наук в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке МГУ.

Автореферат разослан_2004 года

Ученый секретарь Диссертационного совета Кандидат философских наук /у\А

Д.В.Зайцев

Общая характеристика работы

Актуальность темы. На современном этапе развития научного знания логика оказалась востребованной в новой сфере научного знания - исследований в области компьютерных наук. Основанием актуальности работы в неклассических логиках является факт достаточно успешного практического применения этих логик в рамках различных проектов ведущих компьютерных компаний мира. Неклассические логики, в частности, паранепротиворечивые и релевантные системы, представляют в этой связи особый интерес, поскольку применение их в компьютерных технологиях открывает новые возможности в создании искусственного интеллекта. Связано это, прежде всего с тем, что, в отличие от классической логики, которая взята за основу при создании современных языков программирования, исследуемые неклассические системы дают возможность работать с противоречивыми данными, что позволит в дальнейшем использовать программы, действующие по тому же принципу, что и человеческий мозг. Первым шагом к этому является всестороннее изучение существующих паране-противоречивых систем и, по возможности, их оптимизация.

Помимо столь далеко идущих перспектив стоит отметить и популярную в мире тенденцию систематизации логик, попытки создания иерархии логических систем и установления отношений между различными классами логик. Существует несколько различных методов систематизации логических систем, однако ни один из них не является универсальным. Мы пользуемся самым простым способом, не претендуя на всеохватность, - исходим из аксиом классической логики и путем некоторых модификаций получаем различные системы. Это дает большую наглядность и возможность установить взаимоотношения между системами. Такая парадигма до сих пор полностью не реализована и, таким образом, имеет научную ценность.

Паранепротиворечивые логики и их подкласс, релевантные системы, как формальные исчисления тщательно изучены на Западе. Но в русле традиций отечественной логической науки, предполагающей не просто формальный результат, но и философский анализ данного результата, представляется интересным дать содержательную характеристику понятий пара-непротиворечивости и релевантности.

Такой комплексный подход является, во-первых, достаточно обоснованным и, во-вторых, многообещающим, учитывая и теоретические моменты, и практические возможности применения паранепротиворечивых логик. В этой связи представленное в данной диссертационной работе направление исследований приобретает дополнительную значимость.

Степень разработанности проблемы. И о релевантных, и о паранепротиворечивых логиках в мире существует огромное количество литературы. Классическими трудами по релевантным логикам являются монографии А. Андерсона и Н. Белнапа1, их же совместный труд с М. Данном2, а на русском языке книги Е.К. Войшвилло3 и ЕА. Сидоренко*. По паране-противоречивым логикам существует множество статей, в основном принадлежащих создателям и разработчикам той или иной системы. В обзорном виде паранепротиворечивые логики довольно полно представлены в англоязычном сборнике под редакцией Г. Приста, Р. Раутли и Дж. Нормана5. На русском языке имеется несколько статей6, частично это переводы зарубежных авторов, но нет ни одной работы, где бы систематически описывались па-ранепротиворечивые системы.

По ключевой для нас теме соотношения релевантных и паранепротиворечивых систем имеются работы А. Аврона, где разработан семантический критерий для сравнения паране-противоречивых и релевантных систем и где основной акцент сделан на дизъюнктивный силлогизм. Также попытки сравнить различные системы предпринимались Ж.-И. Безъю, Р. Бреди, Г. Ресталом, но все они носили частный характер.

Научная новизна исследования. Как было отмечено, компаративистика неклассических логических систем является мало разработанной областью. Недостаток внимания, уделяемого паранепротиворечивым логикам, обусловлен некоторым скептицизмом, порожденным несовершенством большинства паранепротиворечивых систем, которое проявляется, прежде всего, в отсутствии необходимого свойства отрицания - контрапозиции. В связи с этим представляется заманчивая возможность реабилитировать паранепротиворечивые логики либо найдя среди них системы, отвечающие требованиям, предъявляемым к логическим системам, либо построить новую паранепротиворечивую логику. Не желая упускать из виду ни одну возможность, мы сначала рассматриваем те системы, которые изначально строились как паранепротиворечивые, затем подкласс паранепротиворечивых систем - релевантные логики, и, наконец, используем метод конструирования систем, который пока мало применяется - построение дуала некоторой системе. В нашем случае паранепротиворечивая логика по-

1 A.R. Anderson, N. D. Belnap. Entailment: The logic of relevance and necessity. VoL 1. Princeton, 1975.

2 A.R. Anderson, N. D. Belnap and J.M. Dunn. Entailment: The logic of relevance and necessity. VoL 2. Princeton, 1992.

3 E. К. Войшвилло. Философские и методологические аспект релевантной логики. М, 1988.

1 Е.А. Сидоренко. Релевантная логика. М„ 2000.

1G. Priest, R. Routley and J. Norman (eds.). Paraconsistent logic. Essays on the inconsistent München, 1989.

6 А. Т. Ишмуратов, А. С. Карпенко иВ.М. Попов. О параиепротиворечивой логике, Синтаксические и семантические исследования неэкстенсиональных логик. M.t 1989. С. 261-284.

лучается как дуал суперинтуиционистской. И, как оказалось, такая система обладает некоторыми весьма интересными свойствами.

Цель и задачи исследования. Основной целью диссертационного исследования является выявление критерия паранепротиворечивости, выработка принципов построения пара-непротиворечивых систем, наиболее оптимальных для дальнейшего использования в логике и смежных областях.

Исходя из сказанного выше, одна из задач состоит в выявлении связей между релевантными и паранепротиворечивыми логиками. Кроме того, мы ставим перед собой задачу дать характеристику самим понятиям "паранепротиворечивость" и "релевантность", а также установить отношения между ними.

Для реализации этого нам потребовалось решить следующие задачи: провести систематический анализ паранепротиворечивых логик; выявить наиболее общий критерий паранепротиворечивости; продемонстрировать паранепротиворечивость релевантных логик;

- дать философскую интерпретацию паранепротиворечивости и релевантности.

Методологической основой исследования является аппарат современной формальной логики и логической семантики, а также подходы, разрабатываемые в современной философии логики применительно к трактовке логического знания. Автор опирается на современные данные, относящиеся к паранепротиворечивым и релевантным логикам.

Основные положения, выносимые на защиту:

- Дан структурно-аналитический обзор основных систем паранепротиворечивой логики.

В рамках этого подхода удалось выявить некоторые особенности соотношения паране-

противоречивых систем:

- показано, что логика Сетте является подсистемой логики VI А. Арруды;

- логика Д'Оттавиано, на самом деле, есть не что иное, как расширение классической логики, содержащее достаточно унарных операторов, чтобы в ней можно было выразить все паранепротиворечивые системы;

- и, наконец, было выяснено, что логика Д. Батенса PI является подсистемой С Н. да Косты.

- Был предложен новый вариант интерпретации логики А. Арруды в духе комбиниро-

ванной логики событий и высказываний ВА Смирнова.

- При сравнении логик выделены некоторые специфические характеристические черты паранепротиворечивых логик, а именно:

- выявлены основные свойства отрицания, характеризующие паранепротиворечи-вые логики;

- показаны возможности построения паранепротиворечивых логик с минимальным отрицанием и отрицанием де Моргана (которые оказались не чем иным, как релевантными логиками);

-Проанализировано соотношение понятий "релевантность" и "паранепротиворечи-вость". Выяснено, что паранепротиворечивость является онтологическим принципом теории. Два понятия оказываются, в конечном итоге, несравнимыми, поскольку они применимы к анализу различных уровней теории.

-Сформулирована паранепротиворечивая система, являющаяся дуалом трехзначной логики Рейтинга. Последний результат представляет особый интерес в силу необычности свойств полученной системы.

Теоретическая и практическая значимость исследования. Полученные результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях по паранепротиворечивым логикам, они могут быть использованы также в научно-исследовательской работе при построении классификации логик. Большое значение имеют полученные результаты и в педагогической практике при чтении курсов по неклассической, и, в частности, паранепротиворечивой логике.

Апробация работы. Основные положения, результаты и выводы диссертационного исследования были опубликованы автором в 4 научных работах (список всех работ прилагается), в том числе в журнале "Философские исследования", а также были представлены диссертантом в виде выступлений и докладов на следующих Всероссийских и Международных научных конференциях и научно-исследовательских семинарах: на II и Г/ Международных конференциях "Смирновские чтения" (Москва, 1999 и 2003); на VI и VII Международных конференциях "Современная логика" (Санкт-Петербург, 2000 и 2002); на научной конференции "Ломоносовские чтения" (Москва, МГУ, 2000). Тезисы докладов и сообщений опубликованы. Текст диссертации обсуждался на заседании кафедры логики философского факультета МГУ им. М.В. Ломоносова 24 июня 2003 года и по результатам обсуждения был рекомендован к защите.

Структура и объем работы.

Диссертационное исследование состоит из введения, двух глав, заключения и библиографии. Первая глава включает шесть параграфов (один из которых вводный), вторая - пять параграфов. Большая часть параграфов имеет подпункты.

Основное содержание работы

Во Введении характеризуются предмет и объект исследований, обосновывается актуальность исследования, степень разработанности проблемы в мировой литературе, формулируются цели и задачи исследования, его методологическая и теоретическая база, подчеркивается научная новизна исследования и артикулируются положения, выносимые на защиту, отмечается теоретическая и практическая значимость работы, описывается структура диссертации. В начале Введения дается обзор конференций, посвященных проблемам паранепроти-воречивости.

В первой главе диссертации - "Паранепротиворечивые логики" - приведены основные системы, построенные как паранепротиворечивые, и в заключение установлены взаимоотношения этих систем и сделаны выводы, касающиеся специфических черт паране-противоречивых логик.

Во вводной части - "Предисловие: закон непротиворечия" - дается краткая характеристика закона непротиворечия, описывается его роль в научном познании. Возможные мнения колеблются в диапазоне от утверждения, что противоречие есть единственный способ существования реальности, до убеждения, что противоречие как таковое не существует, есть только наша недостаточная осведомленность в каком-либо вопросе, либо же несовершенство языка. Наше исследование, будучи связано с логикой, а следовательно, с языком, оказывается актуальным независимо от того, какая позиция импонирует читателю, поскольку наличие противоречивых, но нетривиальных теорий является философской основой для изучения па-ранспротиворечивости.

В параграфе 1.1. - "Предыстория" - намечены некоторые вехи истории закона непротиворечия. Начать изложение можно с эпохи Древней Греции. Еще в то время некоторые мыслители, например Гераклит, не принимали существования этого закона. Сформулировал закон непротиворечия в наиболее известной его форме Аристотель: "Невозможно, чтобы одно и то же в одно и то же время было и не было присуще одному и тому же в одном и том же

отношении"7. Большее внимание в работе уделено развитию этого закона в прошлом веке, когда впервые были сделаны попытки отказаться от закона непротиворечия в логических теориях*. Это отражено в трудах русского ученого НА. Васильева и польского логика Я. Лукасевича. Дальнейшие известные результаты в этой области связаны с именами В А. Смирнова, А. Арруды, Г. Приста.

Параграф \2. - "Классическая логика и основные паранепротиворечивые системы" -включает в себя несколько подпунктов. В начале параграфа приведена аксиоматизация Кли-ни для классической логики, поскольку она является точкой отсчета в выбранном нами методе анализа паранепротиворечивых систем. Далее мы показываем, модификацией какой аксиомы можно получить ту илугиную паранепротиворечивую систему. В этом параграфе собраны ранние паранепротиворечивые логики (12.1. — логики НА. Колмогорова и И. Йохансон, 122. - логика Яськовского D2), а также логики Н. да Косты и Д. Батенса.

Исторически первую формальную систему паранепротиворечивой логики построил НА. Колмогоров в 1925 г. в своей знаменитой статье "О принципе tertiura non datur"9. В этой статье Колмогоров принимает предпринятую Э. Брауэром критику традиционной логики, при

этом обнаруживая в последней еще один уязвимый, но обойденный критикой Брауэра логический 1гоинцип. а именно, закон Дунса Скота

В 1936 г. И. Йохансон независимо от А.Н. Колмогорова строит минимальную интуиционистскую логику J за счет отбрасывания из интуиционистской логики Рейтинга Н аксиомы что позволяет ее рассматривать как паранепротиворечивую. В этой логике выводима слабая контрапозиция Для логики Йохансон построена семантика Крипке, она. приводится в 1.2.1.1.

Логика С. Яськовского (1.2.2.) представляет интерес с содержательной точки зрения. С. Яськовский первым сформулировал критерии паранепротиворечивости и впервые-дал определение паранепротиворечивости, позднее переоткрытое Н. да Костой.

Логика называется паранепротиворечивой, если она может быть положена в основу противоречивых, но не тривиальных теорий. Теория называется тривиальной, если множество ее теорем совпадает с множеством ее формул. Стандартные логические теории не отделяют понятия противоречивости и тривиальности, то есть противоречие в теории ведет к ее

7 Аристотель. Сочинения » чешрех томах. М. 1976. Т.1.1005-в

' I. Lukasiewicz. On the principle of contradiction m Aristotle. Review of Uetaphysia. Vol 24.1971. P. 485-509. H. А. Васильев. Воображаемая логика. Избранны* труды. M. 1989.

* А. H. Колмогоров. О принципе teitinm non datar. Математический сборник, 32, № 4.1925. С 668-677. (Пере-

тривиализации. По мнению Яськовского, паранепротиворечивая логика должна удовлетворять трем условиям:

1) противоречие не должно тривиализировать систему, в ней не должен быть выполним закон Дунса Скота;

2) она должна быть достаточно богатой, чтобы делать в ней выводы,

3) иметь интуитивное объяснение.

Логика С. Яськовского предназначена для выявления логики дискуссии, где участники могут иметь противоречивые точки зрения, Яськовский назвал ее дискуссивной (discussive) и обозначил D2. Яськовский определяет систему посредством подходящей ее интерпретации в модальной логике S5. Эта логика является паранепротиворечивой, поскольку мы можем подобрать такую интерпретацию в S5, что QA И 0—v4 имеют место, но не 02?. Для того, чтобы проходило правило modus ponens, но не проходил закон Дунса Скота, Яськовский следующим образом определяет (дискуссивную) импликацию:

/4=>4BSC!<4DA

Однако в этой системе отсутствует правило введения конъюнкции {А, ß} 1-А&В. Поэтому логика Яськовского и подобные ей называются еще не-адъюнктивными.

В пункте 1.2.3. — "Не истинностно-функциональные логики Н. да Косты С»** - мы обращаемся к одной из наиболее известных и исследованных систем - логике Ст Ньютона да Косты, построенной им в 1963 г. Св не является конечно тривиализируемой, то есть добавление к ней произвольной недоказуемой формулы не влечет выводимость противоречий, как это доказал сам да Коста. От системы Клини систему С» отличает лишь одна аксиома, но за счет ослабления отрицания становится невыводим, например, закон Пирса, который сам при этом не содержит отрицания. То есть позитивный фрагмент Ст совпадает с позитивным фрагментом интуиционистской логики. На самом деле Н. да Коста строит целую иерархию систем, Сп, и во всех, начиная с С1 выводим закон Пирса, то есть все системы Сп содержат классическую импликацию.

В пункте 1.2.4. - "Паранепротиворечивая экстенсиональная логика Д. Батенса РГ" -рассмотрена логика Д. Батенса, которая отличается от С, тем, что строится на основе позитивного фрагмента классической логики.

В этой системе не проходит дизъюнктивный силлогизм (из которого можно вывести закон непротиворечия), ни как теорема, ни в качестве выводимости вида: если |--iA V В и

издано: А. IL Колмогоров. Избранные труды. Математика и механика, М. 1982)

а также контрапозиция.

В пункте 1.2.5. - "Бивалентная (bivalence) семантика" - приведена сравнительно новая и мало известная в нашей стране бивалентная семантика. Мотивировано использование этой семантики, прежде всего, свойствами паранепротиворечивого отрицания.

В семантике классической логики для отрицания справедливо утверждение:

Но в рассмотренных паранепротиворечивых логиках PI и Сш значение —А, как оказалось, может не зависеть от значения А Отрицание Сш удовлетворяет двум условиям:

2. у(-т—>А) = 1 =» У(А) = 1.

Для системы Сх потребуется дополнительное условие:

3. у(А&-1А) = 1=>У(-1(А&-1АХ) = 0.

Отрицание Р1 оказывается слабее, чем отрицание да Косты в системе Сю, поскольку в системе Батенса отрицание обладает только первым из перечисленных свойств.

Такой подход к отрицанию называется не истинностно-функциональным, а семантика такого рода бивалентной {bivalence). Если обычно функцией оценки является алгебраическая оценка, т.е. гомоморфизм алгебры формул в однотипную алгебру истинностных значений, то теперь это ограничение снимается и оценкой является просто функция, которая ассоциирует одно из двух бивалентных значений с каждой формулой, т.е. двузначные оценки рассматриваются как характеристические функции множеств формул.

В параграфе 1.3. - 'Трехзначные паранепротиворечивые системы" - приведены системы,, для которых существует матричная семантика. Этим системам целесообразно оказалось посвятить отдельный параграф, хотя заявленные выше принципы рассмотрения сохранены и здесь. Наиболее простой семантикой для РЬ является трехзначная матричная семантика. Это интуитивно обосновано, поскольку, отказываясь от закона непротиворечия, естественным представляется ввести в семантику некое значение "противоречиво", именуемое также "парадоксально", "антиномично" и обозначение для него - 2 или же Vi. Во всех системах два выделенных значения. В качестве базовой матрицы для импликации чаще всего используется матрица, впервые предложенная С. Яськовским.

Э 1 '/2 О

ТйГо

>Л 1 и о "о 1 1 1

В дальнейшем эта матрица была независимо построена для "логики антиномий" Асе-ньо и Тамбурино, логики Батенса PIs логики Розоноэра PCont и логики Д'Оттавиано J3

В пункте 1.3.1. дано описание исторически первой системы - системы Асеньо и Тамбурино, названной авторами "логикой антиномий".

В пункте 1.3.2.рассмотрена система Розоноэра PCont, наиболее подробно изученная трехзначная паранепротиворечивая система. Логическими связками являются импликация Яськовского, отрицание Лукасевича (инволюция), дизъюнкция (max) и конъюнкция (mm). Аксиоматизация строится на основе аксиом Клини: нет закона приведения к абсурду, но, помимо закона исключенного третьего и снятия двойного отрицания, в явном виде взяты законы де Моргана. Если добавить к этому исчислению формулу (А & —v4) Э В в качестве аксиомы, то получим классическое исчисление высказываний. Хотя закон Пирса не взят в явном виде, он выводим в силу свойств отрицания, а закон Дунса Скота - нет.

Все таблицы для связок, построенные Розоноэром, совпадают с таблицами, приведенными в пункте 1.3.1. Более того, логика Д. Батенса PIs есть не что иное, как полный аналог этих систем10. У Батенса в явном виде доопределяются свойства отрицания. Также Батенс приводит свою аксиоматизацию PI* и адекватную бивалентную семантику.

Пункт 1.3.3. посвящен максимальной логике Сетте Р1.

Как и в случае с Pcont, сразу несколько ученых в разных странах независимым образом пришли к одной и той же паранепротиворечивой логической системе Р1. Впервые истинностные таблицы для таких логических связок использовались для опровержения некоторых тавтологий классической пропозициональной логики С2, которые не имеют места в па-ранепротиворечивой логике да Косты Ci°. Примечательно, что связки конъюнкция и дизъюнкция не являются max и min соответственно, т.е. они не образуют решетку. Также нетрудно показать, что аксиомы логики Сх верифицируются в этих матрицах.

В этой системе интересно то, что промежуточное значение могут принимать только атомарные формулы. Паранепротиворечивой система Pi будет только на атомарном уровне, соответственно на молекулярном уровне это уже классическая логика, что легко показать для любой формулы при помощи истинностных таблиц. Для формульного случая таблицы Сетте редуцируются к двузначным матрицам классической логики, поскольку у формул не может быть значения 1/2.

10 D. Batens. Paraconsistcnt extensional prepositional logics// Logique el Analyst. Vol 90-91. 1980. P. 195-234.

11 N. C. A. da Costa. Calculus propositionnels pour Its systcmcs formels jnconsistants// Comptes Rendus Acad. ScL VoL 257. 1963. P. 3790-3792.

В пункте 1.3.4. - "Логика Арруды VI" - рассмотрена еще одна нетривиальная параие-противоречивая система, требующая всестороннего изучения. В этой системе заданы два вида пропозициональных переменных, один из которых соответствует классическим переменным, второй, так называемые переменные из множества Васильева, обладают одним специфическим свойством, которое проясняется при рассмотрении матриц для отрицания.

Закон Пирса выводим в VI, следовательно, логика Арруды содержит позитивный фрагмент классической логики. Более того, как показала А. Арруда, VI является консервативным расширением классической пропозициональной логики.

Используются фактически два вида отрицания - одно для классических формул,

другое - для формул Васильева, для которых не выполняется закон непротиворечия

Второе отрицание, назовем его отрицанием типа Сетте, позволяет получать на атомарном уровне паранепротиворечивые формулы. Иными словами, формулы Васильева -только атомарные. На молекулярном уровне они будут вести себя как классические. Для них подходят двузначные классические матрицы. Такой фрагмент логики VI полностью эквивалентен логике Сетте.

1.3.4.1. "Интерпретация VI в духе ВА. Смирнова".

Систему, построенную А. Аррудой, можно перестроить по аналогии с комбинированной логикой событий и высказываний В А. Смирнова11, что мы и делаем. Мы получаем интересную систему - на атомарном уровне два разных вида переменных, с различными истинностными значениями для отрицания. Причем формулами Васильева будут те и только те формулы, которые состоят из переменных Васильева. Если в формуле встречается хотя бы одна классическая переменная, то вся формула будет классической. На формульном уровне два фрагмента совпадут. На уровне высказываний возможны противоречивые утверждения, но

"В. А. Смирнов. Утверждение и предикация. Комбинирование исчислении высказываний и событий// Синтаксический и семантический анализ неэкстенсиональных логик. М. 1989. С. 27-35.

сложные высказывания сами уже являются некоторыми событиями и оцениваются наравне с собственно событиями.

Пункт 1.3.5. "Логика Приста LP без modusponens".

Здесь мы обращаемся к системам, в которых не верифицируем modusponens. Отсутствие этого базового правила в ряде логик, которые считаются паранепротиворечивыми, позволяет объединить их в один класс. Из самых известных систем сюда относится логика LP.

За основу взята знаменитая трехзначная логика Клини К313, но с двумя выделенными значениями, которая, как известно, совпадает с классической логикой по классу общезначимых формул.14 Притом, что все логические связки классические и в этой системе доказуема формула на логическое следование наложено ограничение, которое сформу-

лировано явным образом: из А и —и4 не следует произвольная формула В. Очевидно, что так как в логике Приста не проходит правило modus ponens, в ней не работает закон Дунса Скота. В этой логике не проходят и многие другие классические выводимости.

Пункт 1.3.6. - "Логика Д'Оттавиано J3".

В языке J3 три логических связки: V, -, 0. Отрицание ~ слабое, матрица для него такая же, как для отрицания Лукасевича. Дизъюнкция и конъюнкция определены обычным образом. Специфический для этой системы оператор возможности интерпретирован следующим образом:

Этот оператор не что иное, как оператор возможности трехзначной модальной логики Лукасевича, и, конечно, существенно расширяет выразительные возможности системы. Интересно, что сочетание двух унарных связок в одном случае дает оператор отрицания для классических формул в системе А. Арруды. Его также можно ввести в систему напрямую, назвав сильным отрицанием

При таком отрицании доказуемы все тавтологии классической логики. В другом случае можно определить и слабое отрицание для логики Арруды и Сетте

13 Клини С. К. Введение в метаматематику. М. 1957.

14 Логика впервые предложена Ф. Асеньо в докладе 1953 года "La Idea de un Calkulo de Antinomies".

Систему А можно аксиоматизировать как паранепротиворечивую модальную логику, а также как расширение классической.

В параграфе 1.4. - "Соотношения паранепротиворечивых систем" - излагаются некоторые результаты, полученные в ходе анализа паранепротиворечивых систем.

Сначала обобщим имеющуюся информацию относительно логических связок. Так, отрицание Лукасевича, оно же отрицание Клини, использовано в явном виде в системах При-ста, Асеньо, Розоноэра и Д'Оттавиано, где оно названо "слабым". Кроме того, оно выразимо в системе Арруды. Одну и ту же импликацию используют Яськовский, Асеньо и Тамбурино, Розоноэр и Д'Оттавиано; У Арруды и Сетте совпадают интерпретации импликации. Интересно также обратить внимание на то, что выразительные возможности систем напрямую зависят не только от определения отрицания, но и от количества унарных операторов. Наглядный пример тому - логика 13. Это видно из пункта 1.4.1. - "13, Ь3 и классическая логика Сг'\

Логика Д'Оттавиано оказывается самой богатой по выразимости системой. В 13 выразимы все связки остальных систем. Д'Оттавиано строит J3 с пятью унарными операторами: возможность необходимость слабое и сильное отрицание и, для удобства

аксиоматизации, оператором который определен как Специфические

связки Р1 и отрицания логики А. Арруды могут быть выражены в этой системе. Обратим внимание, что логика 13 есть расширение РСоП за счет добавления к последней оператора 0. Из результата Е. Слупецкого о выразимости импликации Лукасевича —^ в сигнатуре V и 0 следует, что 13 функционально эквивалентна логике Лукасевича Ь3.

В этом случае 13 нельзя рассматривать как собственно паранепротиворечивую, это будет некая просто богатая система, имеющая паранепротиворечивый фрагмент. Но на самом деле не просто богатая, а, как уже говорилось, расширение классической логики С%.

Формулировка VI предполагает два вида переменных. Если убрать классические переменные, то логика Сетте и логика Васильева совпадут.

РСоП есть самое сильное расширение Р! и матрицы для РСоП есть модель для Сш. Система, названная Батенсом РР. - это не что иное, как РСоП И, кроме того, в логике Ба-тенса PI отрицание является ослаблением отрицания да Косты.

В.М. Попов" сконструировал систему с инверсным отрицанием, СР"1^, которая оказалась импликативно-негативным фрагментом Р^ (предикативной формулировки Р^, и доказал, что если - отображение на множестве формул, удовлетворяющее некоторым условиям.

Примечательно, что подходы А. Арруды, Д. Батенса и В.М. Попова в своем основании являются несовместимыми, а приходят чуть ли не к одному и тому же. Все эти факты, в особенности прямое совпадение различных систем, говорит о некоторых структурах платоновского типа, которые открываются и переоткрываются.

Эти наблюдения нашли отражение в пунктах 1.4 2., 1.4.3. и 1.4.4.

В параграфе 1.5. - "Некоторые выводы и проблемы" - обобщены результаты этой главы, которые послужили отправной точкой к продолжению исследования в направлении релевантных логик, а также способствовали более детальному философскому анализу паранепро-тиворечивости.

1. Паранепротиворечивые логики могут строиться как на основе позитивного фрагмента классической логики, так и на основе позитивного фрагмента интуиционистской логики. Что любопытно, если брать позитивные аксиомы Клини, это различие незаметно. Отсюда следует, что проблема построения PL заключается в отрицании. А свойства отрицания определяют вид семантики для PL.

2. Если в паранепротиворечивой системе доказуема некоторая формула с отрицанием, то в классической логике она тоже доказуема. Это следует из того факта, что паранепротиво-речивое отрицание является ослаблением отрицания классического.

3. Необходимым условием для импликации в гильбертовских системах при доказательстве закона Дунса Скота оказываются аксиомы

(АэВ)э((ВэС)з(АэС))

и хотя бы ослабленный вариант контрапозиции. Но отсутствие контрапозиции ведет к весьма нежелательным последствиям. В общем случае оказывается неприменимым принцип замены для доказуемых эквивалентностей. Это, в свою очередь, влечет невозможность построения алгебры Линденбаума. Это не только техническая проблема, но и философская, поскольку отсюда следует, что в логиках типа Q нет рекурсивной семантики. Например, бивалентная семантика да Косты определенно не рекурсивная, поскольку истинностные условия для —Л не определяются истинностными условиями для А.

4. Е.К. Войшвилло и Ж.-И. Безъю независимо доказали, что в логике Сетте Р1 имеет место

-Az>(rnAz>B).

15 V. M.Popov. Invers negation and classical implicative logic// Loglque el Analyst. № 16Ы 61-163. 145-154. 1998.

15

С другой стороны, еще С. Яськовским в 1948 г. было обнаружено, что в логике А.Н. Колмогорова (а значит, и в логике И. Йохансон J) выводима формула

А э (-А э -iß).

Отсюда возникает серьезная проблема переопределения понятия паранепротиворечивости. Это требует введения ограничений при отбрасывании принципа, что из противоречия следует, что угодно.

5. Есть паранепротиворечивые системы, свободные от вышеуказанных неприятных выводимостей, например системы да Косты, Батенса и некоторые трехзначные логики. Однако здесь возникает другая трудность, еще более неприятная. Как следует из знаменитого (позитивного) парадокса Карри, при определенных условиях наивная теория множеств становится тривиальной, т.е. в ней доказуемо все что угодно. Эти условия чрезвычайно просты: правило modus ponens и закон сокращения

(А э (Л э В)) э (А D В).

Паранепротиворечивые логики, построенные на базе классической и интуиционистской импликации, обладают обоими этими условиями, но не логика Приста, где не имеет места modusponens.

Наболее распространенный подход к преодолению парадокса Карри лежит на пути ослабления свойств импликации. Так мы приходим к релевантным логикам, хотя хорошо известно, что это направление в логике возникло совсем из других соображений.

Во второй главе - "Паранепротиворечивость и релевантность. Проблема дуальности" -мы даем различные определения паранепротиворечивости, а также пытаемся расширить класс паранепротиворечивых систем в соответствии с нашим пониманием паранепротиворе-чивости как характеристики системы. В этот класс войдут, в частности, релевантные логики и системы, дуальные интуиционистским. Здесь же мы уделим внимание оператору отрицания и его свойствам, поскольку само понятие паранепротиворечивости связано, в первую очередь, с отрицанием. Этот оператор оказался самым слабым местом паранепротиворечивых логик. Попытки избежать сложностей в трактовке отрицания вынуждают нас обратиться к релевантным системам. В этой области мы отходим от тенденции рассмотрения в качестве наиболее интересных так называемых сильных релевантных логик, и обращаемся к менее популярным, но важным для нашей работы слабым релевантным системам. Помимо некоторых формальных результатов, сравнение паранепротиворечивых и релевантных логик открывает новые возможности философского анализа этих логических понятий. В заключение ра-

боты мы обращаем внимание на некоторые современные тенденции и перспективы развития PL, а именно на проблему дуальности, связанную с паранепротиворечивыми логиками.

Параграф 2.1. - "Современные определения паранепротиворечивых систем". Начинается вторая глава рассмотрением определений паранепротиворечивости, принятых во второй половине 20-го века, это как раз то время, которое считается сегодня периодом рождения па-ранепротиворечивых логик. В параграфе приведены современные требования паранепроти-воречивости систем. Минимальное условие паранепротиворечивости системы, по мнению Г. Приста, - отсутствие свойства ex conlradiclione quodlibet - из противоречия выводимо все что угодно [MoNß ({di—lût} |— ß), где ОСИ ß - формулы некоторого языка 2]. Отношение логического следования, обладающее этим свойством, называется explosive'6. В современном понимании паранепротиворечивой называется логика, в которой отношение логического следования не является explosive.

Помимо определений, в параграфе также приведены попытки классификации систем, данные почти в одно время Р. Тузяком", Г. Пристом1* и А.С. Карпенко".

Параграф 2.2.1. - "Отрицание в паранепротиворечивых логиках" - посвящен разбору роли данного оператора в тех системах неклассических логик, которые строятся либо без закона исключенного третьего, либо без закона непротиворечия, либо без того и другого вместе. В интересующем нас случае, если логика не является консервативным расширением классики, то относительно отрицания она будет принадлежать либо классу паранепротиворе-чивых систем, либо двойственному классу интуиционистских логик. Исключение составят релевантные логики. На них существенное влияние оказывает изменение свойств импликации, а изменение при этом характеристик отрицания является следствием.

Как мы уже видели в первой главе, паранепротиворечивость системы чаще всего получается за счет отказа напрямую от закона непротиворечия и связанных с ним аксиом. Такой, наиболее очевидный, способ приводит к тому, что отрицание лишается некоторых своих характеристических черт, и в первую очередь, контрапозиции. Основным поводом для дискуссии является вопрос: будет ли отрицание без закона непротиворечия все еще отрицанием? От того, каким будет ответ на этот вопрос, зависит, будут ли многочисленные системы с неклассическим отрицанием рассматриваться как отдельные системы, или же все они окажутся по-

16 Термин explosive дословно переводится как "взрывоопасный", но поскольку он ранее не использовался в русскоязычной литературе, а также поскольку его перевод не отражает адекватно содержание данного понятия, мы позволили себе оставить этот термин без перевода.

" R. Tuziak. Finitely many-valued paraconslstait systemsil Logic and Logical Philosophy. № 5: 121-127.1997. " G. Priest Paraconsistcnt logic, in: Handbook of philosophical logic (second edition), forthcoming "A. S. Karpenko. Atomic and Molecular Paraconsistent Lo¿cs/l Logical studies. № 2.1999.

зитивными фрагментами некой модальной логики с различными унарными операторами. Мы придерживаемся позиции Ж.-И. Безъю, который, ссылаясь на математику, отмечает, что в математике есть множество унарных операторов с различными свойствами, близкими, но не тождественными свойствам классического отрицания, которые, однако, считаются отрицаниями. Такая точка зрения нам ближе, так как в противном случае из логики должен быть исключен большой класс систем.

На наш взгляд, необходимое и достаточное условие для того, чтобы рассматривать некий оператор как отрицание, следующее: отрицанием мы будем считать унарный оператор, который в семантике значению "истина" сопоставляет значение "ложь", и наоборот.

В параграфе 2.2.2. - "Свойства отрицания" - разобраны основные свойства отрицания, характеристики минимального отрицания, а также сильное и слабое отрицание, присущие неклассическим системам. Становится очевидно, что модификация отрицания - всего лишь один из множества способов избежать закона непротиворечия в системе. Если варьировать только отрицание, то получить паранепротиворечивость можно, как показал А. Хантер20, отказавшись от законов двойного отрицания. Формально логика без законов двойного отрицания останется паранепротиворечивой. Отсутствие формулы A Z) (В 3 А) также делает недоказуемым закон непротиворечия.

Отрицание де Моргана - инволюция, оно же релевантное отрицание, выполняя минимальные требования, является к тому же не сильным и не слабым, вследствие чего оказывается самым подходящим кандидатом на роль "хорошего" паранепротиворечивого отрицания. Но построить паранепротиворечивую логику с отрицанием де Моргана и законом исключенного третьего нельзя, что формально доказал Ж.-И. Безъю21. Поскольку релевантную логику нельзя получить из классической тривиальной модификацией свойств отрицания, мы обратимся к семантикам.

В параграфе 2.3. - "Семантические истоки параиепротиворечивости" - мы рассматриваем вопрос о паранепротиворечивости релевантных систем через призму семантики.

М. Данн22 формулирует способ обобщения классической функции истинности, приводящий к отказу от принципа бивалентности и однозначности. Этот способ состоит в том, что мы продолжаем трактовать истинностную оценку как функцию, но в качестве множества

htpp:/Avww.k)gic.ni/LogStud/02/LS2.html

20 A. Hunter. Paraconsistent Logics.// D. Gnbbay and Ph. Smets (Eds.), Handbook of DefeasibU Reasoning and Uncer-lainllyManagementSislems, Vol 2, Khiwcr AcadcmicPublishers, 1998.P. 17.

21 J.-Y. Beziau. Are paraconsistent negations negations?// Second World congress on Paraconsistcncy, Juquehu, Brazil, May 2000.

n J.M. Dunn. Intuitive semantics for first-degree entailinent and coupied trees // Philosophical Sludies. VoL 29. 1976.

P. 149-168.

значений этой функции выступают теперь не элементы множества |Т,Р|, а подмножества данного множества, включая и пустое множество. Понимаемая таким образом функция истинности названа Я.В. Шрамко23 функцией мультиоценки. В результате применения к какому-нибудь высказыванию мультиоценочной функции получаем следующие возможные приписывания: {Т}, {Р}. {Т,Р}, {}.

Для классической логики очерчен самый узкий класс миров - миры непротиворечивые и полные. То есть относительно произвольной атомарной формулы А все миры делятся на два множества: миры, в которых формула А есть - {Л}, и миры, в которых формулы А нет -

Для того, чтобы отказаться от закона непротиворечия, достаточно допустить еще миры, в которых будет одновременно формула и ее отрицание: {А,—\А}. Зеркально для интуиционизма: миры могут быть не полны относительно формулы, т.е Для релевантных систем потребуется совместить последние два условия, и здесь, за счет разведения пустоты и противоречивости, потребуется уже четыре истинностных оценки - по одной на каждый мир. Дальнейшее увеличение числа возможных значений потребует от нас выхода за рамки семантики обобщенных описаний состояний и обращения к оценкам как к степени вероятности.

Таким образом, оказывается, что основное условие, с которым связана паранепроти-воречивость систем, это интерпретация нелогических символов. Как следствие, в синтаксисе паранепротиворечивость напрямую соотносится с отсутствием фундаментального закона непротиворечия. То есть паранепротиворечивость - в первую очередь семантическая характеристика системы. Тот пункт требований к паранепротиворечивым логикам, который предполагает сохранение как можно большего количества классических, или хотя бы интуиционистских истин, входит в противоречие с требованиями к классическому отрицанию. Главным мотивом к построению логик с "плохим" отрицанием оказался приоритет аксиом, значимых в интуиционизме, или попытка сохранить классическую импликацию.

При рассмотрении гильбертовских систем вариативность свойств отрицания в зависимости от системы не вызывает сомнений. Воздействие этих свойств на импликацию менее очевидно, но оно неизбежно. На примере логики С„ видим, что отказ от аксиомы делает недоказуемым закон Пирса - формулу, не содержащую отрицания. Возникает закономерный вопрос: если можно добиться паранепротиворечивости системы изменением свойств отрицания, то нельзя ли это сделать изменением свойств импликации? Это вопрос приводит к необходимости рассмотрения релевантных систем, как содержащих специфическую импликацию.

23 Я.В. Шрамко. Логическое следование и итунциоишм. Киев. 1997.

В параграфе 2.4. - "Релевантные логики как паранепротиворечивые" - мы остановим' ся на двух видах релевантных систем - сильных релевантных логиках, так называемых системах А. Андерсона и Н. Белнапа, R и Е, о которых говорится в пункте 2.4.1., и на слабых релевантных логиках (пункт 2.4.2.). Вне нашего внимания останутся системы, в которых выводим дизъюнктивный силлогизм (система Парри, sieve positions (логика просеивания) и т.д.), поскольку они не могут претендовать на статус паранепротиворечивых.

В отличие от паранепротиворечивых систем, для которых по сей день нет общепринятого определения, для релевантных логик выработан критерий релевантности.34

От классической формулировки система R принципиально отличается аксиомами для отрицания - нет принципа сведения к абсурду — и отсутствием схемы аксиомы утверждения консеквента - А—* (В—* А). Добавление к аксиомам R последней формулы дает классическую логику.

Система Е получается из R заменой аксиомы перестановочности антецедента {А-*{В на ограниченную перестановочность С) —» (А —* D)), хотя это не единственный возможный способ.

В.М. Попов25 доказал, что система R и всякая ее подсистема, включая систему Е, является паранепротиворечивой пропозициональной системой. Из этого следует, что первоуров-невый фрагмент этой системы тоже будет паранепротиворечивым. А первоуровневый фрагмент для всех релевантных систем один и тот же.

Также интересны некоторые расширения R, в частности, RM, RM3 и RMI, но, прежде всего, укажем параллели между паранепротиворечивыми и релевантными логиками.

Относительно паранепротиворечивости основных релевантных систем имеются следующие результаты.

1. Совершенно неожиданным свойством RM (R + А —* (А —* А)) оказалось, что она не является релевантной, поскольку в ней выводима нерелевантная формула -

(В В). Но эта система остается паранепротиворечивой, поскольку закон Дунса Скота не является в ней теоремой.

Для импликативно-негативного фрагмента RM есть трехзначная матричная семантика, причем изначально эти матрицы были построены для паранепротиворечивой логики Б. Собочинским.

2. Система RM3, полученная из R добавлением двух аксиом

и Критерий релевантности приведен в тексте диссертации в одноименном параграфе. м См. сноску 6.

как доказал А. Аврон2*, идентична трехзначной паранепротиворечивой логике PCont.

3. Кроме того, этим же автором построена паранепротиворечивая релевантная система RMI, которая представляет собой "настоящую релевантную логику". Все бинарные связки системы отвечают критерию релевантности. Что касается дизъюнкции, то для нее оказывается общезначим закон исключенного третьего. Если в системе RMI переопределить импликацию, то система окажется паранепротиворечивой логикой, позитивный фрагмент которой сильнее интуиционистского.

Поскольку есть тенденция к построению универсальной релевантно паранепротиворечивой логики, обратимся к тому, что уже сделано в этом направлении и рассмотрим системы, которые некоторые исследователи относят к "строго паранепротиворечи-вым логикам", эти системы также называют depth relevant logic. Такими системами оказываются, слабые, релевантные логики, которые отличаются от систем А. Андерсона и К. ЕГелнапа, прежде всего, отсутствием аксиомы сокращения—У {А—(сВПЗТаСНП)—► В)L оСС:

эти ^стемы объединяет то, что они удовлетворяют критерию depth relevance — глубокой релевантности

Mil заточку отсчета, берем самую слабую из известных: систему B D, и даем иерархию известных логик, расположенных между BD и R.

Длят систем слабее К оказывается возможным построить адекватную четырехзначную семантику, то есть такяж семантика, возможна, для релевантной системы без аксиомы сокращения. Из этой аксиомы выводимы формулы, не соответствующие критерию глубокой релевантности; Во-вторых, к это основное мотиве построении подобных систем, в таких системах можно избежать парадокса наивной теории множеств, который сформулировал X. Карри в 1941г.

Итак, слабые релевантные системы - лучшие претенденты на то, чтобы оказаться хорошими паранепротиворечивыми логиками. Они удовлетворяют условиям паранепротиворе-чивости, оказываясь противоречивыми, но не тривиальными теориями. В большинстве из них содержится отрицание де Моргана, что снимает вопрос о состоятельности паранепротиворе-чивых логик. В слабых системах, как и в сильных, не проходит дизъюнктивный силлогизм. И, наконец, в них отсутствует парадокс Карри, что делает возможным построение на их ос-

36 A. Awron. On ал implication connective of RM// Notre Dame Journal of Formal logic. Vol.27.1986. P. 201-209. " Критерий depth relevance приаеден в тексте диссертации.

нове альтернативной теории множеств.

Параграф 2.4.3. - "О соотношении терминов "релевантность" и "паранепротиворечи-вость".

В современном понимании основной чертой паранепротиворечивых логик является возможность использовать противоречивые суждения в теориях. Отсутствие закона непротиворечия из основного критерия превратилось в следствие, а характеристической чертой стала возможность делать нетривиальные выводы с использованием противоречивых утверждений, отсюда и деление логических систем на системы, обладающие свойством explosive и не обладающие этим свойством. Переосмысление понятия паранепротиворечивости с учетом понятия выводимости позволило соотнести данное понятие именно с релевантностью. Но осталась незыблемой другая тенденция: считать, что паранепротиворечивость связана с отрицанием. Это результат синтаксического подхода, который предполагает, что закон непротиворечия связан с отрицанием, и изменение свойств отрицания ведет к отказу от закона непротиворечия. Но если следовать синтаксическому подходу, изменение свойств импликации также может сделать систему не-explosive. Следовательно, проблема не просто в отрицании, и синтаксический подход оказался недостаточным, чтобы выявить суть паранепротиворечивости. На наш взгляд, это понятие выразимо на метатеоретическом уровне, то есть оказывается онтологическим принципом теории, следствием отказа от фундаментальных законов.

Критерий релевантности связан с понятиями логического следования и импликации. Принципиальной чертой релевантных систем, дистанцирующей их от всех прочих, является то, что законами таких систем могут быть только формулы, содержащие импликацию.

Понятия релевантности и паранепротиворечивости оказываются различными по сути. Релевантные логики, в силу своего построения, будут паранепротиворечивыми, поскольку они свободны от онтологических допущений. Паранепротиворечивые логики не будут релевантными, поскольку условие паранепротиворечивости не накладывает ограничений на понятия вывода и импликации. Иными словами, отказ от требования непротиворечивости предполагает, что система будет паранепротиворечивой, подобно тому, как отказ от требования полноты приводит к интуиционистской логике, но отсутствие обоих законов не дает релевантных систем, хотя в таких системах этих законов нет.

Параграф 2.5. - "Проблема дуальности" - начинается с исторического экскурса. Впервые к дуальности обратились при изучении секвенциальных исчислений, где стали конструи-

28

роваться исчисления, дуальные интуиционистскои логике .

28 У пас в стране этими исследованиями занимало В. Л. Смирнов. (См.: В. А. Смирнов Логические метпды

22

В работе Урбаса29 строится дуальная интуиционистской логика DLJ со всеми генценов-скими связками. В этой статье обсуждаются свойства дуальных интуиционистским систем, в которых отбрасываются выводимости вида А & —v4 \~В яА\—A D В. Можно идти и с другой стороны, то есть строить логики, дуальные паранепротиворечивым - параполные логики.

В связи с проблемой дуальности мы обращаемся к понятиям параполноты и паранор-мальности. Логика L называется параполной, если существует такая L-теория Т, что Т не является полной L-теорией и всякая полная теория, включающая Т, равна множеству всех формул. Логика L называется паранормальной, если она паранепротиворечива и параполна.

На самом деле дуальность может определяться по-разному. Одним из способов является определение значений логических операций противоположным образом относительно упорядочивания этих самих значений. Этот способ мы рассматриваем подробно на примере знаменитой трехзначной интуиционистской логики Рейтинга G3, для который строится дуальная логика D3. Неожиданно оказалось, что сама D3 в обзоре по трехзначным паранепроти-

30 о

воречивым логикам не встречается. Заметим, что из всех известных трехзначных паране-противоречивых логик D3 является системой с единственным выделенным значением 1.

Полученная система принципиально отличается от уже имеющихся трехзначных па-ранепротиворечивых систем тем, что в ней есть сильная контрапозщия (и, помимо нее, аксиома приведения к абсурду - но нет введения двойного отрицания и аксиомы утверждения консеквента.

В Заключении подводятся итоги исследования и намечается перспектива дальнейших разработок данной темы. Можно считать, что поставленная в диссертации задача решена. Вместе с тем, в ходе исследования возникли новые проблемы, требующие решения.

Результаты диссертации нашли отражение в следующих работах автора:

1. Кварталова Н.Л. Вероятность в релевантной логике. // Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке. Материалы 7-ой всероссийской научной конференции. СПб. 2000.

2. Кварталова Н.Л. Проблема отрицания для подструктурной части паранепротиворе-чивых логик.// Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке. Материалы 7-ой всероссийской научной конференции. СПб. 2002.

анализа научного знания. М. 1987.)

29 LUrbas. Dual- intuicionistic logic// Noire Dame Journal of Format Logic. № 3. Vol. 37.

30 A. S. Karpenko. Tree-Valued Paraconsistcnt Logics// Mullí. VaL Logic. VoL 5. 2000. P. 117-123.

3. Kvartalova N.L. On the system J37/ Смирновские чтения. Материалы 4-й Международной конференции. М. 2003.

4. Кварталова Н.Л. О соотношении терминов "релевантность" и "паранепротиворе-чивость"У/Философские исследования. №1. 2004.

Типография ордена «Знак почета» издательства МГУ 117234, Москва, Ленинские горы Заказ № 1189 Тираж 100 экз.

р-918 7

Оглавление научной работы автор диссертации — кандидата философских наук Кварталова, Наталия Леонидовна

Введение

Глава 1. Паранепротиворечивые логики 0. Предисловие: закон непротиворечия

1.1 Предыстория

1.2 Классическая логика и основные паранепротиворечивые системы

1.2.1. Н.А. Колмогоров и И. Йохансон 1.2.1.1. Семантика

1.2.2. Логика Яськовского В

1.2.3. Не истинностно-функциональные логики Н. да Косты С„

1.2.4. Паранепротиворечивая экстенсиональная логика Д.Батенса Р

1.2.5. Бивалентная (Ыуа1епсе) семантика

1.3. Трехзначные паранепротиворечивые системы

1.3.1. Система Асеньо и Тамбурино

1.3.2. Система Розоноэра РСо^

1.3.3. Максимальная логика Сетте Р

1.3.4. Логика Арруды VI

1.3.4.1. Интерпретация VI в духе В.А. Смирнова

1.3.5. Логика Приста ЬР без тос1и$ ропепв

1.3.6. Логика Д'Оттавиано Jз

1.4. Соотношения паранепротиворечивых систем

1.4.1. Jз, Ьз и классическая логика С

1.4.2. Р1 и VI

1.4.3. РСоп1, Си и Р

1.4.4. Р1Ь, инверсная логика Попова и VI

1.5. Некоторые выводы и проблемы

Глава 2. Паранепротиворечивость и релевантность. Проблема дуальности.

2.1. Современные определения паранепротиворечивых систем

2.2.1. Отрицание в паранепротиворечивых логиках

2.2.2. Свойства отрицания

2.3. Семантические истоки паранепротиворечивости

2.4. Релевантные логики как паранепротиворечивые

2.4.1. Сильные релевантные системы

2.4.2. Слабые релевантные системы

2.4.3. О соотношении терминов «релевантность» и «паранепротиворечивость»

2.5. Проблема дуальности Заключение Приложение Литература

Введение диссертации2004 год, автореферат по философии, Кварталова, Наталия Леонидовна

Актуальность темы. На современном этапе развития научного знания логика оказалась востребованной в новой сфере научного знания - исследований в области компьютерных наук. Основанием актуальности работы в неклассических логиках является факт достаточно успешного практического применения неклассических логик в рамках различных проектов ведущих компьютерных компаний мира. Неклассические логики, а, в частности паранепротиворечивые и релевантные системы, представляют в этой связи особый интерес, поскольку применение их в компьютерных техноло-^ гиях открывает новые возможности в создании искусственного интеллекта.

Связано это, прежде всего с тем, что, в отличие от классической логики, которая взята за основу при создании современных языков программирования, исследуемые неклассические системы дают возможность работать с противоречивыми данными, что позволит в дальнейшем использовать программы, действующие по тому же принципу, что и человеческий мозг. Первым шагом к этому является всестороннее изучение существующих па-ранепротиворечивых систем и, по возможности, их оптимизация.

Помимо столь далеко идущих перспектив стоит отметить и популярную в мире тенденцию систематизации логик, попытки создания иерархии ♦ логических систем и установления отношений между различными классами логик. Существует несколько различных методов систематизации логических систем, однако ни г один из них не является универсальным. Мы пользуемся самым простым способом, не претендуя на' всеохватность, -исходим из аксиом классической логики и путем некоторых модификаций получаем различные системы. Это дает большую наглядность и возможность установить взаимоотношения между системами. Такая парадигма до сих пор полностью не реализована и, таким образом, имеет научную ценность.

Паранепротиворечивые логики и их подкласс, релевантные системы, как формальные исчисления тщательно изучены на Западе. Но в русле традиций отечественной логической, науки, предполагающей не просто формальный результат, но ш философский анализ данного результата, представляется интересным дать содержательную характеристику понятий, па-ранепротиворечивости и релевантности.

Такой комплексный подход является, во-первых, достаточно обоснованным и, во-вторых, многообещающим, учитывая и теоретические моменты, и практические возможности применения паранепротиворечивых логик. В этой связи предпринятое в данной1 диссертационной работе направление исследований приобретает дополнительную значимость.

Степень разработанности проблемы. И о релевантных, и о паранепротиворечивых логиках в мире существует огромное количество литературы. Классическими трудами по релевантным логикам являются моно

1 2 графии А. Андерсона и Н. Белнапа , их же совместный труд с М. Данном , а на русском языке книги Е.К. Войшвилло3 и Е.А. Сидоренко4. По паране-противоречивым логикам существует множество статей, в основном принадлежащих создателям и разработчикам той или иной системы. В обзорном виде паранепротиворечивые логики довольно полно представлены в англоязычном сборнике под редакцией Г. Приста, Р.Раутли и Дж. Нормана5. На русском языке имеется несколько статей6, частично это переводы зарубежных авторов, но нет ни одной работы, где бы систематически описывались паранепротиворечивые системы.

По ключевой для нас теме соотношения, релевантных и паранепротиворечивых систем имеются работы А. Аврона, где разработан семантиче

1 A.R. Anderson, N. D. Belnap. Entailment: The logic of relevatice and necessity. Vol. 1. Princeton, 1975.

2 A.R. Anderson, N. D. Belnap and J.M. Dunn. Entailment: The logic of relevance and necessity. Vol. 2. Princeton, 1992.

3 E. К. Войшвилло. Философские и методологические аспекты релевантной логики. М., 1988.

4 Е.А. Сидоренко. Релевантная логика. М., 2000.

5 G. Priest, R. Routley and J. Norman (eds.). Paraconsistent logic. Essays on the inconsistent. Munchen, 1989. ский критерий для сравнения паранепротиворечивых и релевантных систем и где основной акцент сделан на дизъюнктивный силлогизм. Также попытки сравнить различные системы предпринимались Ж.-И. Безъю, Р. Бреди, Г. Ресталом, но все они носили частный характер.

Научная новизна исследования. Как было отмечено, компаративистика неклассических логических систем является мало разработанной областью. Недостаток внимания, уделяемого паранепротиворечивым логикам, обусловлен некоторым скептицизмом, порожденным несовершенством большинства паранепротиворечивых систем, проявляющимся, прежде всего, в отсутствии необходимого свойства отрицания — контрапозиции. В связи с этим представляется заманчивая возможность реабилитировать па-ранепротиворечивые логики либо найдя среди них системы, отвечающие требованиям, предъявляемым к логическим системам, либо построить новую паранепротиворечивую логику. Не желая; упускать из виду ни одну возможность, мы сначала рассматриваем те системы, которые изначально строились как паранепротиворечивые, затем подкласс паранепротиворечивых систем - релевантные логики, и, наконец, используем метод конструирования систем, который пока мало применяется — построение дуала некоторой системе. В нашем случае паранепротиворечивая логика получается как дуал суперинтуиционистской. И, как оказалось, такая система обладает некоторыми весьма интересными свойствами.

Цель и; задачи исследования. Основной целью диссертационного исследования является выявление критерия паранепротиворечивости, выработка принципов построения паранепротиворечивых систем, наиболее оптимальных для дальнейшего использования в логике и смежных областях.

6 А. Т. Ишмуратов, Л. С. Карпенко и В. М. Попов. О паранепротиворечивой логике, Синтаксические и семантические исследования неэкстенсионачъных логик. М., 1989. С. 261-284.

Исходя из сказанного выше, одна из задач состоит в выявлении связей между релевантными и паранепротиворечивыми логиками. Кроме того, мы ставим перед собой задачу дать характеристику самим понятиям «пара-непротиворечивость» и «релевантность», а также установить отношения между ними.

Для реализации этого нам потребовалось решить следующие задачи: провести систематический анализ паранепротиворечивых логик; выявить наиболее общий критерий паранепротиворечивости; продемонстрировать паранепротиворечивость релевантных логик; дать философскую интерпретацию паранепротиворечивости и релевантности.

Методологической основой исследования является аппарат современной формальной логики и логической семантики, а также подходы, разрабатываемые в современной философии логики применительно к трактовке логического знания. Автор опирается на современные данные, относящиеся к паранепротиворечивым и релевантным логикам.

Основные положения, выносимые на защиту:

Дан структурно-аналитический обзор основных систем паранепро-тиворечивой логики.

В рамках этого подхода удалось выявить некоторые особенности соотношения паранепротиворечивых систем:. показано, что логика Сетте является подсистемой логики VI А. Арруды; логика Д'Оттавиано, на самом деле, есть не что иное, как расширение классической логики, содержащее достаточно унарных операторов, чтобы в ней можно было выразить все паранепротиворечивые системы; и, наконец, было выяснено, что логика Д. Батенса Р1 является подсистемой Сп Н. да Косты.

- Был предложен новый вариант интерпретации логики А. Арруды в духе комбинированной логики событий и высказываний В:А. Смирнова.

При сравнении логик выделены некоторые специфические характеристические черты паранепротиворечивых логик, а именно: выявлены основные свойства отрицания, характеризующие паране-противоречивые логики; показаны возможности построения паранепротиворечивых логик с минимальным отрицанием и отрицанием де Моргана (которые оказались не чем иным, как релевантными логиками); проанализировано соотношение понятий «релевантность» и «пара-непротиворечивость»

Сформулирована: паранепротиворечивая система, являющаяся дуалом трехзначной логики Гейтинга. Последний результат представляет особый интерес в силу необычности свойств полученной системы.

Теоретическая и практическая значимость исследования. Полученные результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях по паранепротиворечивым логикам, они могут быть использованы также в научно-исследовательской? работе при построении классификации логик. Большое значение имеют полученные результаты и в педагогической практике при чтении курсов по неклассической, и, в частности, паранепротиво-речивой логике.

Апробация работы.

Основные положения, результаты и выводы диссертационного исследования были опубликованы автором в 3 научных работах (список всех работ прилагается), в том числе в журнале «Философские исследования», а также были представлены диссертантом в виде выступлений и докладов на следующих Всероссийских и Международных научных конференциях и научно-исследовательских семинарах: на II и IV Международных конференциях

Смирновские чтения» (Москва, 1999 и 2003); на VI и VII Международных конференциях «Современная логика» (Санкт-Петербург, 2000 и 2002); на научной конференции «Ломоносовские чтения» (Москва, МГУ, 2000). Тезисы докладов и сообщений опубликованы. Текст диссертации обсуждался на заседании кафедры логики философского факультета МГУ им. М.В. Ломоносова 24 июня 2003 года и по результатам обсуждения был рекомендован к защите.

Заключение научной работыдиссертация на тему "Паранепротиворечивость и релевантность"

Заключение.

В последнем параграфе мы обрисовали возможные направления дальнейших исследований. Что касается полученных результатов, перечень которых приведен во Введении, с их учетом открываются новые перспективы в исследовании субструктурных логик и построении субструктурных паранепротиворечивых релевантных систем.

Список научной литературыКварталова, Наталия Леонидовна, диссертация по теме "Логика"

1. Арруда, 1989. А. Арруда. Воображаемая логика Васильева. В кн.: Васильев, 1989]. С. 187-208.

2. Белнап, 1981. Белнап Н. Как нужно рассуждать компьютеру. В кн.: Белнап Н., Стал Т. Логика вопросов и ответов. М., 1981. С. 208-239.

3. Белнап, 1981а. Белнап Н. Об одной полезной четырехзначной логике. В кн.: Белнап Н., Стил Т. Логика вопросов и ответов. М., 1981. С. 239-261.

4. Васильев, 1989. Н. А. Васильев. Воображаемая логика. Избранные труды, Наука, М., 1989.

5. Васюков, 1993. В Л. Васюков. Категорная семантика для паранепротиво-речивых логик. Логические исследования. Вып. 2. М., 1993. С. 285-298.

6. Войшвилло, 1988. Е. К. Войшвилло. Философские и методологические аспекты релевантной логики. М., 1988.

7. Войшвилло, 1998. Е. К. Войшвилло. О паранепротиворечивой логике Pi Сетте. Труды научно-исследовательского семинара логического центра Института философии РАН. М., 1998.

8. Войшвилло, 1989. Е. К. Войшвилло. Символическая логика: классическая и релевантная. М., 1989.фон Вригт, 1986. Г. X. фон Вригт. логико-философские исследования. Прогресс, М., 1986.

9. Генцен, 1967. Исследования логических выводов. М., 1967.

10. Зайцев, 1997. Д.В. Зайцев. Релевантная логика как многозначная.// Материалы 1-й международной конференции «Смирновские чтения». М.,1997.

11. Зайцев, 2001. Д.В! Зайцев. Новая философская энциклопедия. Т. 3. Москва. "Мысль", 2001. С. 180.

12. Ишмуратов, Карпенко и Попов, 1989. А. Т. Ишмуратов, А. С. Карпенко и В. М. Попов. О паранепротиворечивой логике, Синтаксические и cellмантические исследования неэкстенсиональных логик. Наука, М., 1989. С. 261-284.

13. Карпенко, 1997. A.C. Карпенко. Многозначные логики. В серии "Логика и компьютер". М., 1997.

14. Карри, 1969. X. Карри. Основания математической логики. М., 1969.

15. Клини, 1957. С. К. Введение в метаматематику. Иностранная литературам., 1957.

16. Колмогоров, 1925. А. Н. Колмогоров. О принципе tertium поп datur. Математический сборник, 32, № 4: 668-677, 1925. (Переиздано: А. Н. Колмогоров. Избранные труды. Математика и механика. М., 1985).

17. Попов, 2002. В.М. Попов. Об одной параполной логике. Логические исследования, № 9. М., 2002.

18. Попов, 2003. В.М. Попов. Об одной паранормальной логике. // 3-я Международная конференция "Смирновские чтения" М., 2003.

19. Розоноэр, 1983. Л.И. Розоноэр. О выявлении противоречий в формальных теориях. I, Автоматика и телемеханика, 6:113-124, 1983.

20. Розоноэр, 1983а. Л.И. Розоноэр. О выявлении противоречий в формальных теориях. II, Автоматика и телемеханика, 7: 97-104, 1983.

21. Розоноэр, 1993. Л.И. Розоноэр. О семантике противоречивых формальных теорий, Семиотика и информатика, 33: 71-100, 1993.

22. Сидоренко, 2000. Е.А. Сидоренко. Релевантная логика. М:, 2000.

23. Смирнов, 1962. В. А. Смирнов. Логические взгляды Н.А.Васильева, Очерки по истории логики в России. Наука, М., 1962. С. 242-257.

24. Смирнов, 1984. В. А. Смирнов. Об одной системе паранепротиворечивой логики. Многозначные, релевантные и паранепротиворечивые логики. Труды научно-исследовательского семинара по логике ИФ АН СССР. М., 1984.

25. Смирнов, 1987. В. А. Смирнов. Логические методы анализа научного знания. М., Наука, 1987.

26. Смирнов (ред), 1989а. Н.А.Васильев. Воображаемая логика. Избранные труды, Наука, М., 1989.

27. Смирнов, 1989b. В. А. Смирнов. Утверждение и предикация. Комбинирование исчисления высказываний и событий, Синтаксический и семантический анализ неэкстенсиональных логик, Наука, М., 1989. С. 27-35.

28. Шрамко, 1997. Я.В. Шрамко. Логическое следование и интуиционизм. Киев, 1997.

29. Anderson & Belnap, 1975. A.R. Anderson, N. D. Belnap. Entailment: The logic of relevance and necessity. Vol. 1. Princeton, 1975.

30. Anderson, Belnap and Dunn, 1992. A.R. Anderson, N. D. Belnap and J.M. Dunn. Entailment: The logic of relevance and necessity. Vol. 2. Princeton, 1992.

31. Arruda, 1977. A. I. Arruda. On the imaginery logic of N.A.Vasil'ev, in: Non-Classical Logics, Model Theory and Computability, North-Holland, Amsterdam, 1977, pp.3-24.

32. Arruda, 1980. A.I. Arruda A survey of paraconsistent logic, in: Mathematical logic in Latin America, Dordrecht, 1980. pp. 1-41;

33. Арруда, 1984. A. I. Arruda. N. A. Vasil'ev: A forerunner of paraconsistent logic, Philosophia Naturalis, 21: 472-491.

34. Asenjo, 1966. F. Asenjo. A calculus of antinomies, Notre Dame Journal of Formal logic, vol.7 (1966), pp. 103-105.

35. Asenjo, Tamburino, 1975. F. Asenjo, J. Tamburino. Logic of Antinomies, in: Notre Dame J. of Formal Logic. Vol. 16. N. 1.

36. Awron, 1986. A. Awron. On an implication connective of RM, Notre Dame Journal of Formal logic, vol.27 (1986), pp. 201-209.

37. Awron, 1986a. A. Awron. On purely relevant logics, Notre Dame Journal of Formal logic, vol.27 (1986), pp. 161-175.

38. Awron, 1987. A. Awron. A constructive analisis of RM, The Journal of Symbolic Logic, 1987, №52, 939-951.

39. Awron, 1990. A. Awron. Relevance and paraconsistensy: A new approach, The Journal of Symbolic Logic, 1990, №2, 707-732.

40. Awron, 2000. A. Awron. Combining paraconsistensy and relevance. On: http://www.math.tau.ac.il/aa/

41. Batens, 1980. D. Batens. Paraconsistent extensional prepositional logics, Logique et Analyse, 90-91: 195-234, 1980.

42. Batens, 2000. D. Batens. Inconsistency-Adaptive Logics. Universitet Gents, (preprints)

43. Belnap, 1977. N.D. Belnap. A useful four-valued logic, Modern uses of multiple-valued logic, Dordrecht, 1977.

44. Belnap & Dunn,.1981. N.D. Belnap, J.M. Dunn. Entailment and disjunctive sil-Iogism, Philosopty of Language/Philosophical Logic, eds. by G. Flistad, G. von Wright. 1981, 337-366.

45. Beziau, 1994. J.-Y. Beziau. Universal logic, Logica-94 — Proceedings of the 8th International Simposium. Prague, 1994, 73-93.

46. Beziau, 1997. J.-Y. Beziau. What is many-valued logic, Proceedings of the 27th International Symposium on Multiple-Valued Logic, Los Alamitos, 1997.

47. Beziau, 1997. J.-Y. Beziau. What is paraconsistent logic, Relatorios de Pesquisa e Desenvolvimento, Dezembro (Preprint 50/97).

48. Beziau, 1999. J.-Y. Beziau. The future of paraconsistent logic, Logical studies,2, 1999. htpp://www.logic.ru/LogStud/02/LS2.html

49. Beziau, 2000. J.-Y. Beziau. Are paraconsistent negations negations? Second

50. World congress on Paraconsistency, Juquehu, Brazil, May 2000.

51. Blaszczyk, 1984. J. Blaszczyk. Some paraconsistent sentential calculi, Studia Logica, 43:5161, 1984.

52. Brady, 1984. R.T. Brady. Depth relevance of some paraconsistent logics, in Studia Logica, 43: 5161, 1984.

53. Bull and Segerberg, 1984. R. A. Bull and K. Segerberg. In D. Gabbay and F. Guenthner, editors. Handbook of Philosophical Logic. Vol. II: Extensions of classical logic, pages 1-88. D. Reidel, Dordrecht, 1984.

54. Curry, 1942. H. Curry. The inconsistency of certain formal logics, The Journal of Symbolic Logic, 7: 115-117, 1942.

55. D'Ottaviano and da Costa, 1970. I. M. L. D'Ottaviano and N. C. A. da Costa. Sur un problème de Jaskowski, Comptes Rendus Acad. Sci, 270A: 13491343, 1970.

56. D'Ottaviano, 1985. L M. L. D'Ottaviano. The completeness and compactness of a three-valued first-order logic, Revista Colombiana de Mathematicas, XIX, 1-2: 31-42, 1985.

57. D'Ottaviano, 1987. I. M. L. D'Ottaviano. Definability and quantifier elimination for Jî-theories, Studia Logica, 46: 37-54, 1987.

58. Dunn, 1966. J.M. Dunn. The Algebra of Intensional Logics. Doctoral Dissertation. University of Pittsburgh. Ann Arbor, 1966 (University Microflms).

59. Dunn, 1971. J.M. Dunn. An intuitive semantics for first degree relevant implications (abstract)//Journal of Symbolic Logic. Vol. 36, 1971. P. 362-363.

60. Dunn, 1976. J.M; Dunn. Intuitive semantics for first-degree entailment and coupled trees // Philosophical Studies. Vol. 29, 1976. P. 149-168.

61. Dunn, 1986. J.M. Dunn. Relevance Logic and Entaiment, in: D. Gabbay and F. Guenter (Eds.), Handbook of Philosophical Logic, Vol. 3. Holland, 1986.

62. Dunn, 1999. J.M. Dunn. A Comparative study of various model-theoretic treatments of negation: a histoiy of formal negation // D.M. Gabbay and H; Wansing (eds.) What is Negation? Applied Logic Series, 13. Kluwer Academic Publishers, 1999. P. 23-51.

63. Epstein, 1990. R. L. Epstein. The semantic foundations of logic. Vol. 1: Pro-positional logic. Kluwer, Dordrecht. (2nd éd., 1995).

64. Epstein, 1993. R. L. Epstein. Multiple-valued logic design: an introduction. Bristol, 1993.

65. Fidel, 1977. M. Fidel; The decidablityof the calculi Cn, Reports on Mathematical Logic, 8:31-40, 1977.

66. Hunter, 1997. A. Hunter. Paraconsistent Logics, in: D. Gabbay and Ph. Smets (Eds.), Handbook of Defeasible Reasoning and Uncertainly Management Sistems, Vol. 2, Kluwer Academic Publishers, 1998.

67. Johansson, 1936. I. Johansson. Der Minimalkalkalkul, ein reduzierter intuition-istischer Formalismus, Compositio Mathematicae, 4: 119-136, 1936.

68. Karpenko, 1997. Л. S. Karpenko. Two three-valued isomorphs of classical pro-positional logic and their combinations, in: First World Congress on Para-consistency, 30 July 2 August 1997, Ghent, pp. 92-94.

69. Karpenko, 1999. A. S. Karpenko. Atomic and Molecular Paraconsistent Logics,1.gical studies, 2, 1999. htpp://www.logic.ru/LogStud/02/LS2.html

70. Meyer, 1971. R.K. Meyer. R-mingle and relevant disjunction, inJornal ofSim-bolic Logic, 1971. Vol. 17, pp. 279-297.

71. Meyer 1978. R.K. Meyer. Why I Am Not a Relevantist. Research paper. No. 2. Australian National University, Logic Group, Research School of the Social Sciences. Canberra, 1978.

72. Meyer, Routley and Dunn, 1978. R. Meyer, R. Routley and J.M. Dunn. Curry's paradox, Analisis, Vol. 39 (1978), pp. 124-128.

73. Mortensen, 1980. C. Mortensen. Every quotient algebra for Cr is trivial, Notre Dame Journal of Formal Logic, xxi: 694-700, 1980.

74. Mortensen, 1989. C. Mortensen. Paraconsistency and Ci, in: Paraconsistentlogic: Essays on the inconsistent (eds. G. Priest, R. Routley, J.Norman). Philosophia Verlag. München, pp. 289-305.

75. Odintsov, 1998. S. P. Odintsov. Maximal paraconsistent extension of Johansson logic, Logique et Analyse, 161-161-163: 107-120, 1998.

76. Parks, 1972. R.Z. Parks, A note on R-mingle and Sobocinnsk's three-valued logic, in: Notre Dame Journal of Formal Logic. Vol. 13,1972.

77. Popov, 1998. V. M. Popov. Invers negation and classical implicative logic, Logique et Analyse, 161-161-163: 145-154, 1998.

78. Priest, 1979. G. Priest. Logic of paradox, Journal of Philosophical Logic, 8: 219-224, 1979.

79. Priest, Routley, 1984. G. Priest, R. Routley. Introduction: Paraconsistent logics, Studia logica, 43, pp. 3-16.

80. Priest, Routley and Norman (eds.), 1989. G. Priest, R. Routley, J.Norman. Paraconsistent Logic: Essays on the Inconsistent, Philosophia Verlag. München, 1989.

81. Priest, Sylvan, 1992. G. Priest, R. Silvan. Simplified semantics for basic relevant logics, Journal of Philosophical Logic, 21: 217-232, 1992.

82. Priest. G. Priest. Paraconsistent logic, in: Handbook of philosophical logic (second edition), forthcoming;

83. Puga and da Costa, 1988. L.Z. Puga and N.C.A. da.Costa. On the imaginery logic of N.A.Vasiliev, Zeitschrift fur mathematische Logic und Grundlagen der Mathematik, 34: 205-211, 1988.

84. Restall, 1993. G. Restall. Simplified semantics for relevant logics (and some of their rivals), Journal of Philosophical Logic. 1993. Vol. 22. pp. 481-511.

85. Restall, 1994. G. Restall. Four-valued semantics for relevant logics (and some of their rivals), Technical Report TR-APR-9-94.

86. Routley, Meyer, 1982. Relevant logics and their rivals, Vol: 1, Ridgeview, California, 1982.

87. Segerberg, 1968. K. Segerberg. Propositional logic related to heyting's and Johansson's, Theoria, 34: 26-61.

88. Sette, 1973. A.M. Sette. On propositional calculus PI, Mathematica Japonica, 16: 173-180,1973.

89. Sette, & Alves, 1996. A.M. Sette and E. H. Alves, On the equivalence between some systems of non-classical logic, Bulletin of the Section of Logic, 25: 68-72, 1996.

90. Slater, 1995. B.H. Slater, Paraconsistent logics? inJornal of Philosophical Logic, 24,451-454.

91. Slupecki, Bryl and Prucnal, 1967. J. Slupecki, J. Bryl and T. Prucnal. Some remarks on the three-valued logic of J. Lukasiewicz, Studia Logica, 21: 4570, 1967.

92. Tuziak, 1997. R. Tuziak. Finitely many-valued paraconsistent systems, Logic and Logical Philosophy, 5: 121-127, 1997.

93. Urbas, 1990. I.Urbas. Paraconsistency, Studies in Soviet Thought, 39: 343-354, 1990.

94. Urbas, 1996. I.Urbas. Dual- intuicionistic logic, in: Notre Dame Journal of Formal Logic. Vol. 37. № 3.

95. Voishvillo 1996. Voishvillo E.K. A theory of logical relevance, Logique et Analyse. Vol. 155-156, 1996. P. 207-228.

96. Wittgenstein, 1964. L. Wittgenstein. Philosophical Remarks. L., 1964.