автореферат диссертации по истории, специальность ВАК РФ 07.00.10
диссертация на тему: Из истории дкофантова анализа на средневековом Арабском Востоке

Полный текст автореферата диссертации по теме "Из истории дкофантова анализа на средневековом Арабском Востоке"

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИИ НАУК

п_л ИНСТИТУТ ИСТОРИИ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ И ТЕХНИКИ

ш?-

На правах рукописи

БАЖШИНА Галиябену Оразовна

Ш ЕСТОРКИ ДЕШДНЕОВД АПДЛШ НА СРЩЩЕВШСОгШ АРАБСКОЙ восток.

07.00.10 - История пауки и техники

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва ~ 1994

Рабата выполнена в кабинета истории и методологии математики и механики механико-математического факультета Московского государственного университета им.Ы.В,Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических

наук, профессор И.Г.Башмакова,

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук, профессор В.А.Исковсхих; кандидат физико-математических наук Т.А.Лавриненко.

Ведущая организация - Институт штеиатики АН РУз

.Защита состоится МОлЯ- 1994 г.-в 15 час. на заседании специализированного совэта К 003.11.04 при Институте истории естествознания и техники РАЯ по адресу: I03012 , Москва, K-I2, Старопакский пер.,д.1/5.

С диссертацией иосно ознакомиться в библиотека Института истории естествознания и техники РАН.

Автореферат разослан °49памеил-1994 г.

Ученый секретарь специализированного совета , кандидат физико-математических наук

Б.М.Мариничев

Актуальность теш. В IX-X вв. на арабском Востоке мы находил первые следа продолжения и развития методов Диофанта. Широкое распространение здесь получши некоторые из книг "Арифметики" Диофанта. Из 13 книг "Арифметики", о которых говорит Диофант во введении к Книге I, до нас дошли шесть книг на греческом, и в 1971 г. в Мешхеде (Иран) была найдена рукопись Костн ибн Луга ал-Ба'лбаки, содержащая, как сказано в ней саыой, арабский текст четырех книг "Арифметики". Естественно,что эта рукопись вызвала в научном мире большой интерес. Узе в 1974 г. Р.Рашед дал ее полное описание', а в 1975 г. опубликовал полный текст рукописи2. В 1975 г. критический арабский текст рукописи, английский перевод и математические комментарии были представлены Й.Сезиано в его докторской диссертации, а в IS82 г. выходят в свет его книга3, которая такзе содержит арабский текст рукописи, ее английский перевод, но в ней проводится более полный анализ текста и делается попытка восстановить историю "Арифметики" от Диофанта до IX-X вв. Его математические комментарии состоят, в-основном, в переводе задач и их условий на язык буквенной алгебра. В 1984 г. Р.Рашед также публикует арабский гекст найденной в Мешхеде рукописи, французский перевод и снабгает его коммента-

' Raehed R. Lee travaux perdue de Diaphonie - Revue Eist. - eol..1974.27,M2,97~122; ¿O.Hl.3-30.

2 Дийуфантус.' Сина а ал-даабр. Тадаама Куста ибн Лука, ха-какахи ва каддама лаху Р.Рашед,Каир,1975

3 Зев taño J. Вoohe IV tо VII о/ Dlophantue* ^rtthwettfca in the АгаЫЬ Translation jittrtbuttffd to Queta tbu Luqa. Springer -Ver lag. Eew-YorM-Eo i del berg-Ber Un, 1932,502p.

ридаи4. Он интерпретирует метода, которыми пользуется автор арабских книг при решении задач, на языке алгебраической геометрии, однако, применяемый им математический аппарат слишком сложен.

При исследовании этих четырех книг арабской версии "Арифметики" Диофанта, прежде всего, встает вопрос, действительно ли эти книги принадлежат Диофанту, и если да, то какое место они занимали среди дошедших до нас греческих книг. До сих пор не существует окончательной точки зрения на найденные арабские книги.

Р.Рашед относит найденные арабские книги к "Арифметике" Диофанта, причем считает, что они шли последовательно за Книгой ill греческого текста. Таким образом, нумерация этих книг в арабской рукописи отвечает истинному положению этих книг в "АрифзетЕке", и греческая книга/ которая имеет номер IV, долзна бы иметь номер vin. Этой se точки зрения придерживается к Е.Сезнано; но если Р.Рашэд приписывает указанные книги непосредственно Диофанту, то в отличие от него, Ж.Сезнано считает, что к первоначальному тексту "Арирдэтики" были сделаны систематические добавления (по-крайней мера, к Книгам l-vii), которые он называет "большим комментарием" (автором ...его могла быть Гшютия). В.Сэзишо предполагает, что позке к этому комментарию были сделаны "несистематические" добавления, после чего был осуществлен арабский перевод.

Я.Сезиано такш предполагает, что мезду арабским переводом и

4 Dlophcnte. lea arlbh'neiiquec. Той® III, i {ого IV; Tome IV, V.VI,VII. Seat etobltet traduit par R.Bashed. Société d'édition "Lea Belles X®tires". Parte,1984.

г

найденной в Мешхеде рукописью, относящейся к 1198 г., существовала еще одна арабская копия .

В отечественной литературе в 1978 г. била опубликована статья И.Г.Башмаковой, Е.И.Славутина, Б.А.Розенфельда "Арабская версия "Арифметики" Диофанта", в ней высказывается точка зрения, что найденные 4 книги не относятся к утерянным книгам "Арифметики" и никаким образом не могут быть размещены среди дошедших до нас греческих книг.

- Средневековые арабские математики в своих трактатах большое место отводили неопределенным уравнениям. Наиболее глубокие исследования по неопределенному анализу у Абу Камила (ок.850-930) мы находим в ого трактате под названием "Китае! масаил аллатй хийа гойр махдуда" ("Книга о неопределенна задачах"). При иследозашш этого трактата возникает проблема,по какому принципу расположил свои задачи Абу Качил. Е.И.Славугин считает5, что кошозиция задач у Абу Канала определяется родом кривой, в этом смысле первые 25 задач посвящены методам нахождения рациональных точек на кривых рода 0, следующие ке 13 задач - методам нахождения рациональных точек на кривых рода 1. Но поскольку понятие рода кривой возникло много веков спустя, то вопрос, по какому принципу классифицировал свои задачи сам Абу Камил остается открытым.

Все вышесказанное свидетельствует об актуальности проведе-дения систематических исследований по истории даофантова анали-лиза, которая еще не изучена. Это особенно относится к средневековому арабскому Востоку, поскольку в последнее время твор-

5 Башмакова И.Г. .Славутин Е.И.История даофантова анализа от Диофанта до Ферма, и.-.Наука,1984, 256 с.

з

чество арабских ученых привлекает довольно большое внимание в связи с интенсивными исследованиями алгебры и арифметики в ¡Х-Х1 вв. на арабском Востоке. Нногие труда математиков арабского Востока до сих тор не исследованы.

Целью работы является изучение на основе алгебро-геомэтри-ческого подхода и историко-математического анализа найденных четырех книг арабской версии "Арифметики" Диофанта; сравнение этих книг с известными греческими книгами. И на основе атого попытаться отвэтить на вопрос, являются ли найденные арабские книги органической частью "Арифметики" Диофанта, и если да, то выявить место арабских книг среди дошедшего до нас греческого текста. В работе сопоставляются метода, применяемые автором арабских книг, с методами Абу Камила и ал-Карадаи. Целью работы является также изучение дальнейшего развития идей Диофанта у математиков арабского Востока - Абу Камила и ал-Карадаи; в том числе - .тщательное исследование трактата Абу Камила , "Китай масаил аллатй зийа гайр махдуда", и на основе этого исследования выявление общего композиционного принципа классификации неопределенных задач у Абу Камила в вышеназванном трактате.

Методы исследования, используемые в диссертации, включают в себя:

- историко-научный анализ арабских трактатов, касающихся неопределенного анализа;

- историко-методологический анализ развития ш обобщения методов Диофанта у математиков арабского Востока;

- интерпретация изучаемые методов с точки зрения алгебраической геометрии. При этом мы ставил себе задачу пользоваться самыми минимальными сведениями из алгебраической гео-

метрии, необходимыми для этого.

Научная новизна работы. Впервые в отечественной литературе всесторонне проанализированы все четыре книги арабской версии "Арифметики" Диофанта; а также "Книга о неопределенных задачах" Абу Камила. Также впервые систематически, с единой точки зрения и во взаимной связи рассмотрены методы решения неопределенных задач, применяемых Диофантом, Абу Камилом, ал-Карадаи и автором арабской рукописи. Все основные результаты работа являются новыми и получены автором на основе изучения оригинальных сочинений, а также многочисленной иностранной литературы, касающейся теш исследования.

Практическая значимость работы. Результаты диссертации могут Сыть использованы как при написании истории неопределенного анализа, так и алгебры в целом; как материал для чтения лекций и курсов по истории математики.

Апробация результатов и публикации. Основные результаты диссертации докладывались:

- на ХХХШ, ХХХ7 научных конференциях аспирантов и молодых специалистов по истории естествознания и техники в ИИЕТ РАН в Москве (1991,1993 гг.);

- на научно-исследовательском семинаре по истории и .методологии математики и механики в МГУ (1992,1994 гг.);

- на спецсеминаре по истории и методологии математики и механики в МГУ (1993 г.).

Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора, указанных в конце автореферата.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения, изложенных на 138 страницах машинопис-

ного текста, а также сшска литературы из 69 наименований и приложения.

Содержание и основные результаты работы. В первой части введения обосновывается актуальность темы исследования, формулируются цели работы, дается краткий обзор относящейся к ней литературы и обзор содержания диссертации с делением на главы. Во второй части введения излагаются чдзаткие сведения из алгебраической геометрии.

Первая глава делится на два параграфа.

В первом параграфе рассказывается об истории открытия арабской рукописи, дается ее описание. Затем дается обзор литература, посвященной исследованию найденных книг; говорится о достоинствах и недостатках каадого из разборов и о том; чем наш разбор будет отличаться от предыдущих. Затем обсуждается арабское введение, предпосланное первой из четырех книг арабской версии "Арафдэтики" Диофанта. Отмечается,что это введение является сокращенным и упрощенным вариантом греческого введения,предшествовавшего Книге I. Диофант все нужные ему сведения помещает в своем введении, которое хорошо продумано, и нигде потом никаких дополнительных определений не дает. В нем он определяет первые шесть полосительных и шесть отрицательных степеней и во всех известных греческих кнагах пользуется только этими стеакняш неизвестного. В арабском ке введении предполагается, что в п^едшесг-вущих книгах были определены только первые две степени/' ^известного и определяются степени неизвестного п=3,4,5,6. ^эсьмая и девятая степени неизвестного определяются не в начале 4(|{ниги 4, а в ходе решения задачи 29 этой книги. В этом же параграфе приводится терминология, употребляемая в арабских книгах.

Во втором параграфе исследуются задачи Книги 4 арабской версии, их связь с задачами пятого раздела известного трактата ал-Карадаи "Посвященный Фахр ал-Мулку трактат об искусстве алгебры и ал-мукабалы" (сокращенно - "ал-Фахри"). Отмечается, что пятый раздел "ал-Фахри" ал-Карадаи почта без изменений повторяет четвертую книгу арабской версии "Арифметики", в Книге 4 имеется тага» группа определенных задач (4.17-4.22), которые автор называет арабским термином "ал-мухайа" (буквально, "подготовленные"). Показывается, что термин "ал-мухайа" соответствует греческому "nAaonGtiaeov" у Диофанта;и что метод решения этих задач опирается на метод Диофанта, разработанный им в задаче lg6.

В атом ае параграфе показывается, что арабская Книга 4 написана на основе греческой Книги II, и „главная ее цель научить работать с высшими степенями неизвестного (i® в Is). В ней очень подробно разобраны все возмошости решения двойных равенств (определящих алгебраическую кривую рода О), что очень характерно для работы комментатора.

. Отмечается, что в греческом тексте встречаются также двойные равенства вида

a^+b^x+c^z2, (1)

(задачи Mi3>,7i>e,IV25,V,_2,VI6_9 22).

"Род пространственной кривой, задаваемой этой системой, может быть равен 1, и поэтому в случае таких задач Диофант находил только одно рациональное решение: увиформизации переменных для кривых рода 1 не существует. Но если задачи Книги II в арабском тексте обобщаются, и на нее имеются ссылки, то задачи Книги III не обобщаются и на нее нет никаких ссылок. В дошед-

шем до нас тексте Диофанта метод решения систем вида (1) не объясняется. Диофант ссылается на то, что объяснение было дано раньше. И в арабском тексте нет ничего на этот счет.

Изучение на основе алгебро-геометрического подхода методов решения, применяемых арабским автором, приводит к выводу, что в Книге 4 нет ни одного нового метода,который бы ухе не встречался в греческих книгах, если не считать метода подстановок для сведения задач, поставленных относительно высших степеней неизвестного, к уравнениям низших степеней.

Вторая глава продолжает исследования арабских книг "Арифметики", Эта глава делится на три параграфа, в каждом из которых обсуждается соответственно Книга 5, Книга 6 и Книга 7 арабской версии "Арифметики" Диофанта.

.. В первом параграфа показывается, что первые 6 задач Книги 5 опираются на решение уравнения

х3г-хг2=а(х2г-хг2), которое мы находим в задаче II греческого текста. До сих пор высказывалась гипотеза, что метод решения задач 5.4-5.6:

ул+Ъз?=г?г

опирается на метод, разработанный в задаче II)б Диофанта;' Ьсгг+а2=2| .

Группа 5.7-5.12 посвящена решению определенных систем уравнений 3-ей степени; такие 'задачи инеатся в греческом тексте - это задачи 1?12. В процессе решения задачи 5.7 явно формулируется правило для куба суммы двучлена. Этим правилом Диофант пользуется свободно, нигде его в греческом тексте не приводит,

считая его,по всей видимости, хорошо известным. В пятой книге используются некоторые элементарные тоздества, например:" для любого квадрата р2 выполняются соотношения: Р2 * 1'Р2 =Р,2 Р2 ♦ 1'Р2 - Р,2

Р2 - 1-Р2 =р/ и- р2 * =р,2 . Анализ задач 5.13-5.16 на основе алгебро-геомеорлчеетсого подхода показал, что в них применяется кетод касательной,которая проводится через бесконечно удалешул точку кубической поверхности, задаваемой системами 5.13-5.16.

Во втором параграфе этой главы исследуется арабская Книга 6. Показывается, что перше задачи этой книги 6.1-6.7 являются частным случаем задач 4.25,4.26а)б),4.33а)б) арабской Книги 4 и получены из последних добавлением некоторых условий. Две задачи этой книги 6.11 и 6.17 сводятся к уравнениям,определяющим соответственно кривые рода 1 и 2. Существенную роль во.многих задачах этой книги играет простейшая пифагорейская тройка (3,4,5), а также кратные ей тройки, что указывает на связь этих задач с вавилонскими задачами и задачами Книги VI греческой версии "Арифметики" Диофанта. Отмечается, что в этой Книге 6 автор ' формулирует и пользуется некоторыми элементарными тождествами,в некоторых случаях он вводит вспомогательные предлогення. Татаке отмечается, что только в процессе решения задачи 6.16 в промежуточных вычислениях появляются отрицательные числа, тогда как в греческом тексте "Арифметики" Диофант вводит отрицательные числа и свободно оперирует с ними. Задачи этой книги таете опираются на метода, разработанные в греческой Книге II.

В третьем параграфе исследуется последняя из четырех книг. Показывается, что эта Книга 7 опирается на греческие Книги II и

III. В задаче 7.7 имеется ссылка на задачу Шб греческого текста с указанием не только номера книги, но и номера задачи. В греческом тексте "Арифметики" имевтся ссылки на ранее решенные задачи, но при этом никогда не дается точная ссылка. В конце задачи 7.II автор говорит о невозможности решения в рациональных числах системы уравнений:

Действительно,суммируя два последних уравнения системы, получим

2z2+(y1-fy2)=3zz =z(2+z22 или 3 - а □' Таким образом, автор арабской рукописи явно знает, что число 3 не предстазико суммою двух квадратов; возмокно, что он здесь пользуется ограничением Диофанта, сформулированным им. при решения задачи Vg, что никакое число вида 4п-1 не представило сум-, мою двух квадратов.

Особый штарес представляют задачи 7.13-7.14:

а2

a?±y2=z22 с?±у3=г3г

После исключения неизвестных у1,у2,у3, они сводятся к задачам совместного решения уравнения и неравенств:

7.13 tä-zf+zZ+z.f 7.14 ^zf+z^+zf zfx? zt2<cP.

Метод решения последних систем в трактате не объясняется. По постановке они близки к задачам V9 ю м J3 и Диофанта. До сих пор высказывалась гипотеза, что эти система автор арабской

рукописи решал методом последовательных приближений, который изложен в греческой Книге 7 в задачах 1д 1 ( и. Если это так, то задачи 7.13-7.14 попали в арабский текст случайно и их можно отнести к "несистематическим", по выражению Ж.Сезиано, добавлениям. Однако, мы приводим реконструкцию, при которой мы получили те же числовые значения, что и в арабском тексте, и которая показывает, что метод решения зтих систем, по-видимому, опирается на метода, разработанные в задачах II8 и Нд Диофанта.

В третьей главе исследуется "Книга о неопределенных задачах" Абу Камила. Эта глава делится на пять параграфов. В первом параграфе содерпатся сведения о жзш и творчестве Абу Камила; приводится наиболее полный список его трудов .Во втором парагра-фв описывается терминология, применяемая Абу Камилом в исслэду-мом трактате и числовая область,в которой он работает.В третьем .. параграфе описываются задачи, помещенные в самом конце трактата и по существу не относящиеся к неопределенному анализу; эти задачи затем появляются у ал-Карадаи в "Достаточной книге" н во II и III разделах "ал-Фахра". Отмечается, что при решении этих задач Абу Кеглил широко пользуется формулами для п-того члена арифметической прогрессии и суммы ее п первых членов; формулами суммирования для ряда квадратов и для п первых членов геометрической прогрессии. Хотя Абу Камил дает их без доказательства, но формулирует вполне общим образом для любого п.

В четвертой параграфе этой главы описываштся методы Абу Камила, применяемые им при решения неопределенных уравнений 2-го порядка и их систем,задающих алгебраические кривые рода 0. Показывается, что при.решении неопределенных уравнений вида

со свободным членом с=0 метод Абу Камила с алгебро-геометри-ческой точки зрения несколько отличается от метода Диофанта и что у ал-Карадаи имеются оба эти метода. Также установлено, что Абу Камил, а ухе вслед за нем ал-Карадаи, впервые поставил вопрос о существовании решения для уравнения

в виде; если то решение существует.

Установлено, что метод решения систем вида

х* +1хг=г12

у Абу Камила совпадает с методом, излсшенным в арабской версии "Арифметики" Диофанта, а с алгебро-геометрической точки зрения проводится тем хе методом.что и решение задачи II 1д Диофанта. В пятом параграфе рассматриваются двойные равенства, определяющие пространственные кривые рода 1. К таким системам у Абу Кашла сводятся последние 13 неопределенных задач.Отмечается, что двойные равенства вида от2 +рх +у= у2 а¡х+у .

Абу Камил решает методом, алгебраически отличным от метода Диофанта. Видимо, уже в поздней античности метод Диофанта был утерян. Двойные равенства вида з? +рх +7= у2 У2

у Диофанта вообще отсутствуют. Отмечается, что ал-Карадки в IV разделе "ал-Фахри" дословно переписал некоторые из этих задач Абу Камила, и задачи III,Ш)7.(а из "Арифметики" Диофанта, при тех же значениях параметров; поэтому у ал-Караджи мы не мо-

жем обнаружить никакой связи мевду двумя алгебраически различными методами решения таких задач. Показывается, что с алгебро-геоыетрической точки зрения оба эти метода совпадают.

В конце главы в результате проведенного исследования выявляется принцип расположения неопределенных задач у Абу Камила. В трактате они расположены так, что наличие общего композиционного принципа следования задач друг за другом далеко не очевидно. Но проведенный нами анализ показал, что их расположение в трактате отвечает строго продуманному плану, который заключается в еле дупцем.Перше 25 задач у Абу Камила допускают бесконечное число решений, причем Абу Камил сам об этом говорит. С ал-гебро-геометрической точки зрения эти задачи посвящены плоским и пространственным кривым рода 0. В следующих 73-ти задачах каждое действие дает Абу Кашлу еще только одно решение. Эти 13 проблем относятся к пространственным кривым рода 1. Таким образом, эти две большие группы выделяет уте сам Абу Камал. Остается выяснить как упорядочены задачи внутри этих групп. На предлагаем следувдуэ реконструкцию.

В саком начале трактата последовательно расположены неопределенные уравнения вида

з?± м ± о = у2 (задачи 1-6), (2) начиная с более простой его форм к уравнении более общего вида и даны все возможные варианты. В следующих задачах 7-9 рассматриваются системы уравнений

лг+ 1гх = у2

IX = д?, , (3)

определяющие рациональные кривые в к3, в процессе решения она сводятся к уравнениям вида (2), метод решения которых был разра-

ботан в предшествующих им задачах 1-6.

В задаче 10 Абу Камил решает уравнение более сложного типа -я2* Ъх ± о = у2, (4)

рассмотрев саму» простух) его форму при о=о. К уравнении вида (4) сводится система

кг = у2

-3?+ IX = у2, &,1е® . (5)

которая рассматривается в следующей задаче 11.

Другую простую форму уравнения (4) ш имеем -при Ь=0: с = у2,

где с=а2+ Ь2, или, переписав его в виде

х2* у2» а2+ Ь2, (6)

получим уравнение, к решению которого сводится задача 12. Абу Камил поместил ее перед группой задач 13-18, так как в этих задачах рассматриваются система одного и того ее тина:

Ъ+х^ Ш¿=2?

и три из них, а именно задачи 14,15,18, в процессе решения сводятся к решению уравнения вида (6).

Более общая форма уравнения (4) рассматривается Абу Камилом в следувдей задаче 19, где он формулирует условие разрешимости уравнения (4) и дает метод его решения.

В следущей задаче 20 решается система вида (5), но в отличие от задачи 11, в ней £¡¿1. Она в процессе решения сводится к уравнению вида (4), а именно к уравнению:

-аг+ 4х + 16 = у2, (7)

которое Абу Камил не решает, а сразу дает ответ, ссылаясь на

то,что это он уже объяснил раньше. То есть уравнение (7) можно решить либо методом, разработанным в задаче 19, либо тем же методом, которым было решено уравнение

2х + 1 = у2, (8)

появившееся в процессе решения задачи 11, а именно подстановкой у =кх -1, которая равносильна проведению пучка прямых через конечную рациональную точку кривой (8). Но поскольку в уравнении (7) свободный член является полным квадратом, то в следующей задаче 21 Абу Камил помещает именно такое уравнение, решение которого он не дает, но акцентирует внимание читателя на том, что с-а2 и что это уравнение имеет тогда бесконечное число решений.

В задаче 20 система имеет различные знаки в уравнениях и в задачах 22 , 23 Абу Камил продолжает рассматривать системы этого же типа с различными знаками в уравнениях, которые определяют пространственные кривые рода 0 и в процессе решения сводятся к уравнению вида (2) .

Абу Камил рассматривает все возможные случаи уравнения (4) и в задачах 24,25 он и дает другие его случаи.

Задачи 26-38, где решаются двойные равенства, определяющее краше рода 1 - наиболее интересная часть трактата. Абу Камил рассматривает все возиозшне случаи этих систем и упорядочил их не столько по методу, сколько по виду самих уравнений: в зависимости от знаков в уравнениях и от коэффициентов.

Таким образом, проведенный нами анализ показал, что распо-лоаевпе задач в "Книге о неопределенных задачах" Абу Какила отвечает строго продуманному плану.

В заключении подытожены результаты проведенного в диссертации исследования.

Основные результата диссертации.

1. На основе тщательного анализа четырех книг арабской версии "Арифметики" Диофанта т приходим к выводу, что арабская рукопись является какой-то переработкой "Арифметики", сделанной на эе основе и включащей как подлинные задачи, так и добавления и комментарии. Основой для этого вывода нам послу-аилз следующие аргументы, полученные наш в результате исследования арабской рукописи.

а) Первая из четырех.книг арабской рукописи снова снабжена введением, которое является сокращенным и упрощенным вариантом греческого введения, предшествовавшего Книге I. Диофант все нужные ему сведения помещает в своем введении, которое хорошо продумано, и нигде потом никаких дополнительных определений не дает. В греческом введении определяются первые шесть положительных и шесть отрицательных степеней и во всех известных греческих книгах Диофант пользуется только ■ этими степенями неизвестного. В арабском же введении предполагается, что в предшествукцих книгах были определены только горше две степени неизвестного и определяются 3-я, 4-ая, 5-ая и 6-ая его степени. Восьмая и девятая степени неизвестного определяются не в начале Книги 4, а в ходе решения задачи 29 этой книги. Таким образом, если бы книги из арабской рукописи составляли часть "Арифметики", то в некоторых ее книгах применялись бы только степени < 6, а в других - более высокие степени неизвестного.

б) Текст решения задач в арабской рукописи более подробный, чем у Диофанта. Он снабжен детальными пояснениями.

в) В арабской рукописи в конца каждой задачи проводится "проверка", после чего еще раз формулируется условие задачи (ни того, ни другого в греческом тексте нет).

г) В большинстве задач исследованы все возможные варианты, что очень характерно именно для работы комментатора.

д) В процессе решения задачи 5.7 явно формулируется правило для куба двучлена. Этим правилом Диофант пользуется свободно, нигде его в греческом тексте не приводит, считая его,по всей видимости, хорошо известным.

е) В арабской рукописи.имоются ссылки на ранее решенные задачи. Причем, в некоторых случаях указывается номер книги, а ..при. решении задачи 7.7 - а номер книги, и номер задачи Шб. В греческом тексте также имеются ссылки к ранее решенным задачам, но при этом никогда, не дается точная ссылка. На номера книги, ни тем более номера задачи Диофант не указывает.

а) При разборе арабской рукописи мы видели, что в промеау-точных вычислениях появляются отрицательные значения только в двух кастах текста, а именно, в процессе решения задач 6.15 и задач группы 3 Книги 7 (задачи 7.8-7.10). Отрицательные степени неизвестного в рукописи вообще не йстречастся.

з) В арабской рукописи имеются задачи, методы' которых излоненн в книгах IV и У греческого текста. Это, например, методы касательных, парабол. Зто лишний раз доказывает, что непосредственно "вдвинуть" арабские книги мезду греческими книгами Щ к IV нельзя.

и) В арабских книгах нет ни одного нового метода, которые бн уке не встречались в греческих книгах, если не считать метода подстановок для сведения уравнений и их систем от более

высоких степеней неизвестного к уравнениям низших степеней. И поскольку наше предположение состоит в том, что арабская рукопись представляет перевод части комментированного издания "Арифметики" и в тот комментарий был сделан еще в Греции, то проведенный нами анализ арабской рукописи показал, что в Греции после Диофанта развитие методов решения неопределенных задач шло по линии чисто алгебраического характера.

к) В арабской рукописи совершенно отсутствуют теоретико-числовые предложения, если не считать некоторых элементарных тождеств н предложений, которые мы описали в главе II. Автор рукописи улавливает один только алгебраический аспект "Ари&гетикн". *

2. Проведенный наш подробный нсторико-иатематический анализ "Книги о неопределённых задачах" Абу Кашла показал, что расположение задач в "Книге о нвоцределанных задачах" Абу Кашла отвечает строго продуманному плану, который заключается в следующем. Во-первых, Абу Камил разбивает эти задачи на две больше группы. В первую группу он помещает первые 25 задач, которые имеют бесконечное число решений. С алгебро-геометри-ческой точки зрения эти задачи посвящены плоским и пространственным кривым рода 0. В следующих 13-ти задачах каждое действие дает АбуКамилу еще только одно решение. Эти 13 проблем относятся к пространственным кривым рода 1. Внутри этих групп Абу Камил расположил задачи, соблюдая следующий логический принцип. Так, в первой группе идут задачи, определяющие плоские алгебраические кривые, начиная от простой формы к уравнениям более общего вида, а затем те задачи, определяющие уже пространственные кривые, которые в процессе решения к ним

сводятся и так далее по такому же принципу. Во второй груше задач Абу Камил, во-первых, рассмотрел все их возможные случаи и .во-вторых,упорядочил их не столько по методу, сколько по виду самих уравнений: в зависимости от знаков в уравнениях и от коэффициентов.

3. Установлено, что при решении двойных равенств вида

аг2 +7= у2 . а(яг+р>а;+7 ,=г2

Абу Камил пользовался алгебраически новыми методами, отличными .

/

от метода Диофанта. Также установлено, что Абу Камил владел методами решения двойных равенств вида х2 +7= у2 у2 +р,у=22. .

Такие, двойные равенства у Диофанта вообще отсутствуют.

4. Впервые систематически, с единой точки зрения и во взаимной связи рассмотрены метода решения неопределенных задач, цршвняеггнх Диофантом, Абу Каналом, ал-Нарадаа и автором арабской рукопнси.

5. Проведенное наш сравнение, трудов ал-Карадеа с "Арифметикой" Диофанта, арабской рукописью и трактатом Абу Намила показало, что заслуга ал-Н,арадш в систематическом изложении методов Абу Катала и Диофанта. В частности, он вслед за Абу Кашлом излагает критерий существования решения неопределенного уравнения. В своих исследованиях ал-Карадая достигает такого теоретического уровня,которого ш не находим у его предшественников. В связи с работами по диофантову анализу он уке вводит бесконечно много степеней неизвестного, как положительных, так и отрицательных.

6. Анализ трудов ал-Карадаи показал, что на арабском Востоке были хорошо известны первые три книги "Арифметики" Диофанта, а из четырех книг арабской версии - только Книга 4. Греческие книги Г7-71 "Арифметики", видимо, на средневековом Востоке вообще не были известны».

7. Исследование трактатов Абу Камила и ал-Карадаи цриводит к выводу, что на арабском Востоке наряду с усвоением алгебры средневековые восточные математики также пытались расширить и обобщить традиционный круг проблем и методов диофантова анализа.

8. Даны реконструкции ряда методов, изложенных в арабской рукописи Косты нбн Луки ал-Ба'лбаки, и методов Абу Камила.

Основные результаты опубликованы в следущих работах автора:

1. Байгожина Г.О. Диофантовы уравнения у Абу Камила . Ы.: ВИНИТИ, 19.01.93, Н 111-В93 Деп., 15 с.

3. Байгожина Г.О. Неопределенные задачи у Абу Камила//Тези-сы докладов XXXIII научной конференции аспирантов и молодых специалистов по истории естествознания и техники. Л., ИИЕТ,1991.

4 20