автореферат диссертации по философии, специальность ВАК РФ 09.00.07
диссертация на тему: Многозначные изоморфы классической пропозициональной логики

Полный текст автореферата диссертации по теме "Многозначные изоморфы классической пропозициональной логики"

УЧРЕЖДЕНИЕ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК ИНСТИТУТ ФИЛОСОФИИ РАН

На правах рукописи

□ □34537 Ю Девяткин Леонид Юрьевич

МНОГОЗНАЧНЫЕ ИЗОМОРФЫ КЛАССИЧЕСКОЙ ПРОПОЗИЦИОНАЛЬНОЙ ЛОГИКИ

Специальность 09 00 07 - логика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата философских наук

? 1 г.ОГ 2

Москва - 2008

003453710

Работа выполнена в секторе логики Учреждения Российской Академии Наук Институт философии РАН

Научный руководитель

Доктор философских наук, профессор АС Карпенко

Официальные оппоненты

Доктор философских наук, кандидат технических наук, профессор К И Бахтияров

Кандидат философских наук, доцент ДВ Зайцев

Ведущая организация

Санкт-Пербургский государственный университет, кафедра логики

Защита состоится 4 декабря 2008 года в 15-00 часов На заседании диссертационного совета Д 002 015 03 В Институте философии РАН по адресу. 119992, Москва, ул Волхонка, 14

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института философии РАН

Автореферат разослан «_»_2008 года

Ученый секретарь диссертационного совета Кандидат философских наук

В И Шалак

ОБЩАЯ ХАРКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования

С самого своего появления и на протяжении всей истории логика была и остается важнейшей частью философии Представляя собой, по сути, формализацию гносеологических интуиции исключительно философского характера, логика не только реализует свою нормативную функцию, задавая критерии правильности рассуждений, но и позволяет получать результаты именно философского характера Примером такого результата может служить, в частности, известная теорема Геделя Таким образом, логика представляет собой не только методологический базис философского дискурса, но действенный инструмент познания

Одновременно с оформлением классической логики в том виде, в котором мы знаем ее сейчас, с появлением метатеорем о непротиворечивости, дедуктивной и функциональной полноте, появляются и первые критические замечания в адрес классической логики Как оказалось, классическая логика сталкивает нас лицом к лицу с целым рядом проблемных моментов Это и парадоксы материальной импликации (истинное высказывание следует из чего угодно, из ложного высказывания следует что угодно), и проблема логического фатализма, и закон исключенного третьего Это обусловило появление и бурное развитие неклассических логик, среди которых одно из центральных мест занимают многозначные логики

В то время как намерения критиков классической логики часто состояли в ограничении классической логики, элиминации ее «неудобных» свойств, результат получился, в определенном смысле, противоположным Как оказалось, многие логики содержат классическую логику в качестве своего фрагмента и являются, таким образом, не результатом ограничения классической логики, но ее расширением Более того, строя логическую

систему в соответствии с принципами неклассической логики мы можем получить не только расширение, но и в точности саму классическую логику в формализации, отличной от стандартной Особенно ярко данный момент проявляется в случае многозначных логик Существуют многоэлементные логические матрицы, класс тавтологий в которых совпадает с классическим Такие матрицы мы будем называть многозначными изоморфами классической пропозициональной логики

Таким образом, мы приходим к тому, что вновь убеждаемся в фундаментальном характере классической логики и ее особом месте среди логических систем Вместе с тем, вопрос различения классической и неклассических логик становится проблемой, требующей отдельного рассмотрения

Учитывая сказанное выше, представляется актуальной проблема изучения взаимосвязи классической и многозначной логик, расширений классической логики, критериев, по которым мы различаем классические и неклассические многозначные логики, описание свойств многозначных логик, являющихся классическими с точки зрения класса тавтологий

Степень разработанности проблемы

В литературе, связанной с проблематикой настоящего исследования, существует немало примеров отдельных изоморфов Первый пример был приведен ДА Бочваром в 1938 году1 Бочваром была построена трехзначная система В3 с двумя типами связок - «внутренними» и «внешними» Область значения функций, соответствующих внешним связкам ограничена классическими истинностными значениями Внутренние связки имеют область значения {1, Уг, 0} Автор показывает, что на базе внешних связок В3 может быть построен фрагмент,

1 Бочвар ДА Об одном трехзначном исчислении и его применении к анализу парадоксов классического расширенного функционального исчисления // Математический сборник -1938 Т 4 №2 С 287-308

2

изоморфный классическому исчислению высказываний Еще один такой фрагмент был построен В К Финном2 В этой же работе был впервые применен термин «изоморф» в интересующем нас смысле Еще один изоморф классической логики высказываний, выразимый в В3 принадлежит А С Карпенко3 Отметим, что ни один из авторов не дает четкого определения изоморфа

Еще одна известная логика, важная для изучения проблемы изоморфов - это трехзначная логика Клини К3 При классе выделенных значен™ {1, 'А} связки сильной логики Клини образуют изоморф классической логики высказываний, однако класс формул, находящихся в отношении логического следования оказывается неклассическим Н Решер и Р Эпштейн приводят два различных доказательства этого факта Однако, как показано в настоящем исследовании, лишь доказательство Эпштейна является корректным

Интересным примером практического применения свойств изоморфов может служить аксиоматизация трехзначной паранепротиворечивой логики принадлежащая И Д'Оттавиано и Р Эпштейну4 Логика Л3 функционально эквивалентна трехзначной логике Лукасевича, но, в отличие от последней, имеет два выделенных значения Набор базовых операции этой логики содержит изоморф классической логики высказываний Аксиоматизация .Тз строиться путем добавления к аксиоматизации классической логики высказываний аксиом, для базовых связок, не входящих в состав изоморфа

2 Финн В К Аксиоматизация некоторых трехзначных исчислений высказываний и их алгебр // Философия в современном мире Философия и логика - 1974 М Наука. С 393-438

3 Карпенко А С Многозначные логики (монография) Логика и компьютер—1997 Вып

4 М Наука

4 Epstein RL The semantic foundations of logic - Vol 1 Prepositional logic - 1990 Dordrecht Kluwer (2nd ed, 1995)

Еще два примера изоморфов приводит Г Малиновский5 Эти примеры он использует как доказательство юго, что многозначность не является достаточным условием для построения неклассической логики Принципиальная важность этой работы для нашего исследования состоит в том, что метод ^-матриц, предложенный в ней, позволяет построить семантику классической логики высказываний не только с тремя истинностными значениями, но и с отношением логического следования, альтернативным классическому.

Наконец, отдельного упоминания заслуживает статья В Комендантского6 Это единственная до настоящего момента попытка систематического исследования интересующей нас проблемы Посредством компьютерной программы автором был получен полный список изоморфов с С-расширяющими базовыми связками и классическим отношением логического следования Как оказалось, всего существует два таких изоморфа с одним выделенным значением и шестнадцать с двумя выделенными значениями

Объект работы

Объектом нашего исследования станут логические матрицы с тремя и более элементами множества-носителя Под логической матрицей мы понимаем структуру вида М = <Ы, Г, С», где V— множество истинностных значений (множество-носитель матрицы), Р - множество операций, заданных на ¿7 и Б - непустое собственное подмножество V, элементы которого называются выделенными значениями и интерпретируются как «истина»

5 Malinowski G On Many-Valuedness, Sentential Identity, Interference and Lukasiewicz Modalities//LogicaTnanguh- 1997 Vol 1-P 61-71

6 Комендантский В E Алгоритм поиска трехзначных изоморфов классической логики// Logical Studies - 2000 No 4 (web)

Предмет работы

Предмет исследования - такие логические матрицы, в которых оказываются общезначимыми все тавтологии классической логики высказываний В качестве базовых операций матрицы будем рассматривать одну бинарную операцию и одну унарную

Цель исследования

Цель исследования состоит в том, чтобы дать ответ на вопрос «при каких условиях логическая матрица с многоэлементным множеством-носителем сохраняет класс тавтологий классической пропозициональной логики и классическое отношение логического следования»

Задачи исследования

В рамках работы над настоящим исследованием были поставлены следующие задачи-

1 Исследовать класс многоэлементных логических матриц, в которых сохраняются все классические тавтологии, а также отношение логического следования

2 Полностью описать класс трехэлементных логических матриц, в которых сохраняются все классические тавтологии, но не сохраняется классическое отношение логического следования Обобщить полученные результаты на и-значный случай

3 Рассмотреть возможность применения определений отношения логического следования, альтернативных классическому, в построении нестандартных семантик классической логики высказываний на базе изоморфов.

Ме1 одологнческая основа исследования

Остановимся более подробно на базовых понятиях и методологии решения поставленных задач

При формулировке и доказательстве теорем мы использовали пропозициональный язык Ь^

Алфавит языка Ь^ содержит в точности следующие символы

1 Пропозициональные переменные р, ц, г, 8, рь яь гь вь , р„,

2 пропозициональные связки п,

3 технические символы ), (

Определение /^-формулы

1 Если А есть пропозициональная переменная, то А есть Ь^--формула,

2 если А и В есть ¿^-формулы, то (А з В) и (-■А) есть ¿^-формулы,

3 ничто иное не есть Х^-формула

Мы будем рассматривать матрицы вида М = <1/, з*, -1* , Б >, где II-непустое множество истинностных значений, з* - бинарная операция на 1], -1* - унарная операция на и множество значений, выделешшх в М,

причем Э а 1/и 0 $ £).

В такой формулировке, матрица для классической логики будет иметь следующий вид М2 = <{ 1, 0}, гэ2, , {1} >, где функции Зг, и -классические импликация и отрицание

Оценку в матрице М определим как отображение множества пропозициональных переменных в /У

Значение ¿^-формулы в матрице М при оценке V определяется индукцией по построению ¿^-формулы

1 |р]" = у(р), если р есть пропозициональная переменная,

2 если В и С есть 1^-формулы, то |(В з С)| ? = |В| ? з* |С| ?,

3 если В есть /^-формула, то ](^В)|" = ->*|В|" Если существует оценка V в М такая, что |А|" е Д будем говорить, что А выполнима в М

Формула А называется общезначимой в М, если и только если при всякой оценке V в М А принимает выделенное значение

Классическое отношение логического следования определим следующим образом в М из множества формул Г логически следует формула В, е т е не существует такой оценки V в М, что каждая формула А из Г принимает выделенное значение и В не принимает выделенное значение

Будем говорить, что отношение логического следования в некоторой матрице является классическим, когда в этой матрице заключение логически следует из посылок, если и только если оно логически следует из посылок в матрице для классической логики

Под многозначным изоморфом классической пропозициональной логики будем понимать такую матрицу М' = <£/, з', , Б >, что С/ содержит не менее трех элементов и все формулы, общезначимые в М' общезначимы в Мг Изоморф М' называется нормальным, если отношение логического следования в М' является классическим Изоморф называется С-расширяющим, если операции з' и совпадают с з2, и соответственно на множестве {1, 0}.

При формулировке условий, которым должна отвечать матрица, чтобы являться изоморфом классической логики высказываний, и их доказательстве широко использовался подход, предложенный В М Поповым7 В его основе лежат понятия замещения оценки и отображения многоэлементного множества-носителя некоторой матрицы М, на

7 Девяткин Л Ю, Карпенко А С, Попов В М Трехзначные характеристические матрицы классической пропозициональной логики // Труды научно-исследовательского семинара Логического центра Института философии РАН - 2007 Вып XVIII М ИФ РАН С 50-62

множество-носитель матрицы М2 - {1, 0} Метод используется как в оригинальной трехзначной формулировке, так и в обобщенном виде

Для всякого отображения V множества всех пропозициональных переменных языка £^ в многоэлементное множество-носитель и некоторой матрицы ЛГ = <С/, -"',£)> назовем ¿-замещением отображения V такое отображение и> множества всех пропозициональных переменных в {0,1}, что для всякой пропозициональной переменной р

[ 1,еслиу(р)еД = <!

I 0, если у(р) й £)

Обозначим через V Аг-замещение отображения V Определим <р* как отображение множества и на множество {0, 1} такое, что = 1, если д: е £) и (р/1х) = 0, если х £ И

Научная новизна исследования

1 Описан ряд классов многозначных изоморфов, как нормальных, так и не являющихся нормальными

2. Полностью описан класс трехзначных изоморфов классической пропозициональной логики

3 Показана возможность построения семантик классической логики на базе изоморфов, не являющихся нормальными или С-расширяющими

4. Приведены примеры трехзначных изоморфов классической логики высказываний, не встречавшиеся ранее в литературе

Основные положения, выносимые на защиту

1 Приведенная ниже теорема описывает обширный класс нормальных многозначных изоморфов классической логики, причем для трехзначного случая он является единственным классом нормальных изоморфов

Теорема 1 Пусть М" есть логическая матрица, где п - число элементов класса II, а т - число элементов класса £) Если :эп, и ->„ отвечают условиям

1)хзп_у й £>етех е Опу <£ Д

2) -"„ х ё £> е т е х е Д

то М" является нормальньм изоморфом классической логики высказываний

Мы можем вычислить количество таких матриц для каждых т и п Их число равно и<»'-<-|м»-"» х („ _ „)-«<»-«')

2 Существуют как нормальные, так и ненормальные изоморфы классической пропозициональной логики, не являющиеся С-расширяющими

3 Три частично пересекающихся класса ненормальных многозначных изоморфов могут быть описаны следующими теоремами

Теорема 2 Если М" - С-расширяюгций и нормальный изоморф классической логики при т= 1, то М" является изоморфом классической логики для любого т

Теорема 3 Если М" отвечает следующим условиям

1) Формулы, не являющиеся элементарными, принимают в М™ только значения из {1,0},

2) Существует матрица Мк„, отличная от М" лишь классом выделенных значений, и Мк„ является нормальным изоморфом,

то М" является изоморфом классической логики

Теорема 4 Если М" отвечает следующим условиям

1) М" является С-расширяющей,

2) еслихзп_у = 1, тол: = 0 тяу = 1, еслих^эпу- О, тох= 1 иу = 0, 1 ете —1П х = 0; —>п л: = 0 е т е. —л: = 1,

верно следующее, матрица М"„'\ отличная от М" лишь классом выделенных значений, является изоморфом классической логики

4 Существуют изоморфы, являющиеся нормальными лишь при использовании нестандартного определения отношения логического следования

5 Некоторые изоморфы могут содержать другие изоморфы в качестве фрагментов Так, в матрице, аналогичной матрице для трехзначной логики Гейтинга, но с двумя выделенными значениями содержатся в качестве подматриц все трехзначные нормальные изоморфы с двумя выделенными значениями

Научно-практическая значимость работы

Как представляется автору, выводы работы представляют научный и философский интерес с двух точек зрения

В первую очередь, это взаимоотношение классической и многозначных логик Отметим, что эта проблема носит в значительной степени философский характер Ведь в основе многих неклассических логик лежала попытка избавиться от парадоксальных и контринтуитивных свойств классической логики. По мнению автора, ответ на вопрос, в каких случаях многозначная логика оказывается в действительности классической логикой высказываний, может лечь в основу эффективного метода, позволяющего определить для любой многозначной логики, является ли она расширением классической логики или нет

Во-вторых, некоторые из наших результатов могут быть полезны не только при осмыслении фундаментального характера классической лотки

10

и ее роли среди множества разнообразных логических систем, но и для исследования природы классической логики самой по себе

На разных этапах развития логики считалось, что двузначность или, позже, С-расширительность базовых операций, а также классическое определение отношения логического следования - необходимые черты классической логики Однако, как показывают полученные результаты, может быть построена характеристическая матрица для классического исчисления высказываний гильбертовского типа, в которой нарушаются все эти принципы. Возникает вопрос означает ли это, что исчисление играет в классической логике приоритетную по отношению к семантике роль'' Положительный ответ на этот вопрос может служить аргументом в пользу того, что базовые философские принципы, лежащие в основе классической логики, на самом деле являются следствием попытки подведения философской основы под уже существующий способ рассуждения

Материал и выводы диссертации могут иметь практическое применение при разработке спецкурсов по неклассическим логикам

Апробация результатов работы

Основные идеи данной работы были изложены автором в публикациях, в том числе, в статье «Отношение логического следования и проблема многозначности» // «Вестник Московского университета» (Серия 7 Философия) №2,2008 С 106-108

Отдельные результаты по теме исследования также были изложены автором в докладах на таких научных конференциях как IV Российский философский конгресс (МГУ, 2005), Смирновские чтения по логике (ИФ РАН, 2007), 10-я всероссийская конференция «Современная логика, проблемы истории, теории и применения в науки» (СПбГУ, 2008)

Структура диссертации

Работа состоит из введения, шести глав, заключения и библиографии

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, описываются объект, предмет, цели и задачи исследования Обсуждается степень разработанности проблемы, дается краткий обзор содержания работы

1. История вопроса

Первая глава посвящена обзору литературы по интересующей нас теме Рассмотрены примеры изоморфов и методы доказательств изоморфности, предложенные Бочваром, Финном, Решером, Эпштейном, Малиновским и другими авторами

2. Трехзначные изоморфы классической пропозициональной логики с классическим отношением логического следования

Во второй главе рассматриваются трехзначные изоморфы с классическим отношением логического следования (нормальные трехзначные изоморфы) В начале главы задаются основные понятия и определения, такие как язык, матрица, оценка. Многие из них остаются актуальными до конца работы

Далее доказываются теоремы, в которых описываются изоморфы с одним и двумя выделенными значениями При доказательстве используются понятия 0-замещения и отображения ф0 (см выше), а также аналогичные им понятия /-замещения и отображения 91

Результатом главы становится обобщенная теорема, в которой формулируется критерий, которому должна отвечать матрица с трехэлементным множеством-носителем, чтобы являться нормальным изоморфом классической пропозициональной логики

Эта теорема позволяет нам сделать несколько важных выводов Во-первых, мы можем дать точный ответ на вопрос о числе трехзначных нормальных изоморфов классической логики - существует 8 трехзначных нормальных изоморфов с одним выделенным значением и 256 с двумя Кроме того, как оказывается, С-расширительность не является необходимым условием для построения изоморфа. Также во второй главе приводится ряд примеров трехзначных изоморфов, не встречавшихся ранее в других работах.

3. Трехзначные изоморфы с некласснческнм отношением логического следования

Третья глава посвящена изоморфам, в которых отношение логического следования не является классическим Такие изоморфы мы называем ненормальными Как и в предыдущей главе, мы поочередно рассматриваем классы матриц с одним и двумя выделенными значениями

В начале третьей главы описан принцип работы разработанной нами программы, при помощи которой были отброшены матрицы, заведомо не являющиеся трехзначными ненормальными изоморфами классической логики Далее, для оставшихся матриц доказываются теоремы о том, что они равны классической логике высказываний по классу тавтологий

Результатом проделанной работы оказывается первый в научной литературе полный список трехзначных изоморфов с неклассическим отношением логического следования Существует всего два таких изоморфа с одним выделенным значением (один из них - фрагмент трехзначной логики Бочвара В") При двух выделенных значениях число подходящих матриц возрастает до 12 Интересно, что матрицы с двумя выделенными значениями, аналогичные матрицам сильной, слабой и двух промежуточных трехзначных логик Клини, оказываются ненормальными изоморфами классической логики

4. Изоморфы, не являющиеся С-расширяющими

В четвертой главе мы отдельно останавливаем внимание на изоморфах, не являющихся С-расширяющими Главной вывод главы состоит в том, что каждый из описанных в предыдущих главах классов изоморфов делится на два подкласса посредством взаимнооднозначного соответствия между элементами этого класса Причем существуют как пары из С-расширяющего и не С-расширяющего изоморфа, так и пары, в которых оба элемента являются С-расширяющими Этот результат может оказаться полезным при дальнейшем изучении функциональных свойств изоморфов

5. Трехзначные изоморфы классической логики и неклассические определения отношения логического следования

В пятой главе мы рассматриваем связь трехзначных изоморфов и неклассических определений отношения логического следования Альтернативные определения строятся на основе д-матриц, предложенных Г Малиновским Наряду с классом выделенных значений, в этих матрицах задается класс анти-выделенных значений, интерпретируемых как «ложь»

Такие матрицы называются ^-матрицами и имеют следующий вид М* = <11, -Р, £)*, 0> Классы Вий* являются подмножествами и и представляют собой классы выделенных и анти-выделенных значений соответственно

Показано, что ненормальный при стандартном определении отношения логического следования изоморф В "становится нормальным, если использовать следующее определение отношения логического следования в матрице М из множества формул Г логически следует формула В, е т е не существует такой оценки V в М, что ни одна формула Л из Г не принимает анти-выделенного значения и В принимает анти-выделенное значение

В пятой главе также приводится ряд других определений отношения логического следования и доказывается теорема о наличии решеточного порядка по включению объема следования среди различных определений логического следования в отдельно взятой произвольной трехэлементной матрице

6. Многозначные изоморфы классической логики

В последней главе мы производим окончательное обобщение полученных ранее результатов Здесь доказывается приведенные выше Теоремы 1, 2, 3 и 4, которые также описывают различные классы многозначных изоморфов

Заключение

В заключении мы подводим общие итоги работы и описываем дальнейшие направления исследования, в некоторых из которых уже сделаны первые шаги Остановимся на них немного подробнее

Первоочередной задачей мы видим завершение описания класса ненормальных многозначных изоморфов Предположительно, эта задача может быть решена с применением метода гипертавтологий, разработанного Я Калицким

Нашей следующей задачей станет глубокое изучение функциональных свойств изоморфов Уже сейчас ясно, что некоторые изоморфы являются более сильными с функциональной точки зрения Возникает вопрос, какую структуру образуют изоморфы с равным числом истинностных и выделенных значений по отношению включения9

Кроме того, представляет интерес проблема построения исчислений для ненормальных изоморфов В то время как неклассическое отношение логического следования в этих изоморфах не играет роли, если мы рассматриваем исчисления гильбертовского типа, некоторые правила вывода в секвенциальных исчислениях потребуется заменить или модифицировать.

Решению этих задач мы собираемся посвятить нашу дальнейшую работу

Публикации по теме диссертации

1 «Трехзначные изоморфы классической пропозициональной логики» // Сборник «Логические исследования» Вып 11 М. Наука, 2004 С 119-125

2 «Изоморфы С2 в трехзначной логике Гейтинга» // IV Российский философский конгресс «Философия и будущее цивилизации» Материалы выступлений Том 1 М Современные тетради, 2005. С 502-503.

3 «К вопросу о трехэлементных характеристических матрицах для классической логики высказываний» // Труды научно-исследовательского семинара Логического центра Института философии РАН - 2007. Вып XVIII М.: ИФ РАН С 43-49

4 Девяткин Л Ю, Карпенко А С , Попов В М «Трехзначные характеристические матрицы классической пропозициональной логики» // Труды научно-исследовательского семинара Логического центра Института философии РАН-2007 Вып XVIII М ИФРАН С 50-62

5 «Неклассические определения отношения логического следования» // Смирновские чтения по логике Материалы 5-й конференции (Москва, 20-22 июня 2007 г) М, 2007 С 26-27

6 «Отношение логического следования и проблема многозначности» // Вестник Московского университета (Серия 7 Философия) 2008 Вып 2 С 106-108

7 «Классическая логика высказываний и многозначные логические матрицы» // Современная логика- проблемы истории, теории и применения в науке. Материалы X Общероссийской научной конференции 26-28 июня 2008 г СПб. Санкт-Петербургский Государственный Университет С 268270.

Подписано в печать 29 10 2008 г Печать на ризографе Тираж ЮОэкз Заказ № 1349 Объем 1,3 п л Отпечатано в типографии ООО "Алфавит 2000", ИНН 7718532212, г Москва, ул Маросейка, д 6/8, стр 1, т. 623-08-10, \vwwalfavit2000 ги

Оглавление научной работы автор диссертации — кандидата философских наук Девяткин, Леонид Юрьевич

Введение

1. История вопроса

2. Трехзначные изоморфы классической пропозициональной логики с 28 классическим отношением логического следования

3. Трехзначные изоморфы с неклассическим отношением логического следования.

4. Изоморфы, не являющиеся С-расширяющими

5.Трехзначные изоморфы классической логики и неклассические 120 определения отношения логического следования

6. Многозначные изоморфы классической логики 132 Заключение 152 Литература

Введение диссертации2008 год, автореферат по философии, Девяткин, Леонид Юрьевич

С самого своего появления и на протяжении всей истории логика была и остается важнейшей частью философии. Представляя собой, по сути, формализацию гносеологических интуиций исключительно философского характера, логика не только реализует свою нормативную функцию, задавая критерии правильности рассуждений, но и позволяет получать результаты именно философского характера. То есть, формализовав исходные философские посылки, мы можем, используя логический аппарат, придти к определенным заключениям, которые могут быть перенесены обратно в область «чистой» философии. Примером такого результата может служить, в частности, известная теорема Гёделя [39]. Таким образом, логика представляет собой не только методологический базис философского дискурса, но действенный инструмент познания.

Появление символической логики в середине ХЕК века обусловило новый виток в развитии логической проблематики. Именно изучению формальной логики в контексте оснований математики и формализации ее базовых понятий мы обязаны множеством результатов, многие из которых, повторимся, имеют принципиальное значение для философской теории познания.

В то же время, одновременно с оформлением классической логики в том виде, в котором мы знаем ее сейчас [34, 56], с появлением метатеорем о непротиворечивости, дедуктивной и функциональной полноте [49], появляются и первые критические замечания в адрес классической логики. Как оказалось, классическая логика сталкивает нас лицом к лицу с целым рядом проблемных моментов. Это и парадоксы материальной импликации (истинное высказывание следует из чего угодно, из ложного высказывания следует что угодно) [44], и проблема логического детерминизма [45], и закон исключенного третьего [27]. Этот факт обусловил появление и бурное развитие неклассических логик, среди которых одно из центральных мест занимают многозначные логики.

В 1920-х годах Я. Лукасевичем [46] и Э. Постом [49] независимо друг от друга были построены первые многозначные логики. В то время как Пост руководствовался в первую очередь соображениями математического характера, основания трехзначной логики Лукасевича полностью принадлежат философской плоскости. В центре внимания Лукасевича находились проблемы детерминизма и модальной логики.

Проблема детерминизма, восходящая еще к Аристотелю, состоит в следующем. В рамках классической логики, любое утверждение о будущем с необходимостью истинно или ложно. Однако, если высказывания о событиях будущего уже истинны или ложны, будущее оказывается столь же однозначным, как и прошлое. То есть, события будущего отличаются от событий прошлого только тем, что они еще не произошли. Это с неизбежностью влечет за собой отрицание наличия в мире свободы. В качестве решения этой проблемы Лукасевич и предложил ввести в логику третье истинностное значение, интерпретируемое как «возможно».

Еще одно соображение, послужившее основой для возникновения многих многозначных логик, заключается в том, что, приняв ряд базовых принципов классической логики, мы вынуждены принять и их следствия, многие из которых контринтуитивны. Ярким примером такого следствия может служить закон Дунса Скота - положение о том, что из ложного высказывания следует любое высказывание. Аналогичным образом, утверждение о том, что логически истинное высказывание следует из любого высказывания также трудно признать интуитивно верным. Борьба с подобными парадоксами сыграла важную роль в становлении многозначных логик.

Предложенная Лукасевичем и Постом методология нашла применение во многих областях логических исследований. Средствами трехзначной логики Лукасевичу удалось дать табличные определения модальных операторов необходимости и возможности. Как известно, нельзя построить двухзначные таблицы истинности для модальных операторов. Также были построены паранепротиворечивые (логики Розоноэра [18], Сетте [53], Д'Оттавиано [29]), интуиционистские (логика Гейтинга [42]) и многие другие многозначные логики.

Первое, ключевое, отличие неклассических логик от классической, которое не может не бросаться в глаза - это их многочисленность. Уже построено огромное количество разнообразных логических систем. Это приводит нас к необходимости изучения уже не отдельных логик, но целых классов. Существует два направления работы с такими классами -синтаксическое направление [35, 55], в рамках которого исследуются и обобщаются дедуктивные системы, и семантическое [31, 32], в рамках которого делаются попытки выработки единого семантического основания для различных логических систем.

Важный момент состоит в том, что в научной литературе доступны также многочисленные результаты, доказывающие континуальность различных классов логик [24, 14, 9, 30, 28]. Это выводит нас на еще более высокий уровень абстракции при изучении логики.

Возвращаясь к проблеме неклассических логик, необходимо отметить следующий факт. В то время как в намерения критиков классической логики состояли, по сути, в ограничении классической логики, элиминации ее «неудобных» свойств, результат, как оказалось, получился, в определенном смысле, противоположным. В первую очередь отметим результаты В. Гливенко [36] и К. Гёделя [37], касающиеся интуиционистской логикой. Как оказалось, интуиционистская логика Н содержит классическую логику в качестве своего фрагмента и является, таким образом, не результатом ограничения классической логики, но ее расширением. Гёдель также предложил метод аксиоматизации модальных систем Льюиса как расширений классической логики [38]. Еще сильнее впечатляет результат О.М. Аншакова и C.B. Рычкова [1, 2, 3], показавших возможность аксиоматизации и-значных логик как расширений классической. Пожалуй, наиболее ранний пример такой аксиоматизации - это аксиоматизация В3, построенная В.К. Финном [33]. Интересно, что уже сам создатель В3 отмечал в 1938 г., что данная логика содержит классическую логику в качестве своего фрагмента [4], откуда и вытекает принципиальная возможность построения 2?з как расширения классической логики. В завершение отметим, что и релевантная логика R [25] может быть построена как расширение классической логики [48].

Из сказанного выше вытекает важное соображение. Строя логическую систему в соответствии с принципами неклассической логики мы можем получить не только расширение, но и в точности саму классическую логику в формализации, отличной от стандартной. Особенно ярко данный момент проявляется в случае неклассических логик. Примеры логических матриц, в которых класс тавтологий является классическим, приводят, в частности Н. Решер [50], Р. Эпштейн [31], Г. Малиновский [47], A.C. Карпенко [12]. Именно такие матрицы мы в дальнейшем и будем называть многозначными изоморфами классической логики. Строгое определение будет дано ниже.

Особенно интересен тот факт, что оказывается возможным построить логическую матрицу, в которой сохраняться все тавтологии и их класс будет замкнут относительно классических правил вывода, но объем логического следования (т.е. пары множеств посылок и заключений, таких, что заключение логически следует из посылок) не будет классическим.

Таким образом, мы приходим к тому, что вновь убеждаемся в фундаментальном характере классической логики и ее особом месте среди логических систем. Вместе с тем, критерий различения классической и неклассических логик становится проблематичным. Учитывая сказанное выше, представляется необычайно актуальной проблема изучения взаимосвязи классической и неклассических логик, расширений классической логики, критериев, по которым мы различаем классические и неклассические многозначные логики, описание класса многозначных логик, изоморфных классической, и их свойств.

Объектом нашего исследования станут логические матрицы с тремя и более элементами множества-носителя. Под логической матрицей мы понимаем структуру вида М = <и, В>, где и - множество истинностных значений (множество-носитель матрицы), Е - множество операций, заданных на и и замкнутых относительно операции суперпозиции, И - непустое собственное подмножество С/, элементы которого называются выделенными значениями и интерпретируются как «истина».

Предмет исследования - такие логические матрицы, в которых оказываются общезначимыми все тавтологии классической логики высказываний. В качестве базовых операций матрицы будем рассматривать одну бинарную операцию и одну унарную.

Цель исследования состоит в том, чтобы дать ответ на вопрос: «при каких условиях логическая матрица с многоэлементным множеством-носителем сохраняет класс тавтологий классической пропозициональной логики и классическое отношение логического следования».

В рамках работы над настоящим исследованием были поставлены следующие задачи:

1. Исследовать класс многоэлементных логических матриц, в которых сохраняются все классические тавтологии, а также отношение логического следования.

2. Полностью описать класс трехэлементных логических матриц, в которых сохраняются все классические тавтологии, но не сохраняется классическое отношение логического следования. Обобщить полученные результаты на и-значный случай.

3. Рассмотреть возможность применения определений отношения логического следования, альтернативных классическому, в построении нестандартных семантик классической логики высказываний на базе изоморфов.

Говоря о степени разработанности проблемы, отметим, что, в то время как отдельных примеров изоморфов существует довольно много, проблема практически не исследована с систематической точки зрения. Единственным примером такой работы может служить статья В. Комендантского [13]. Однако в ней описывается весьма узкий подкласс интересующих нас логик и результат не является конструктивным - он получен перебором с помощью компьютерной программы. В нашей работе будет полностью описан класс трехзначных изоморфов, класс я-значных изоморфов с классическим отношением логического следования, несколько общирных классов п-значных изоморфов с неклассическим отношением логического следования.

Важно отметить также тот факт, что все существующие примеры изоморфов являются С-расширяющими. То есть, при ограничении области определения функций на множестве классических истинностных значений, мы получаем в точности классические импликацию и отрицание. В то же время, существуют многозначные логики, не являющиеся С-расширяющими. Самый яркий пример — многозначная логика Поста [49]. В нашей работе впервые будут рассмотрены многозначные изоморфы классической логики высказываний, не являющиеся С-расширяющими.

В первой главе мы осуществим обзор литературы по интересующей нас теме. Будут рассмотрены примеры изоморфов и методы доказательств изоморфности, предложенные Бочваром, Финном, Решером, Эпштейном, Малиновским и другими авторами.

Во второй главе будут рассмотрены трехзначные изоморфы с классическим отношением логического следования. Будут доказаны теоремы для изоморфов с одним и двумя выделенными значениями. Далее, мы произведем первое обобщение, которое позволит нам сформулировать и доказать теорему о том, какими свойствами должна обладать функциональная система, чтобы являться трехзначным изоморфом классической логики высказываний. Это, в свою очередь, позволит нам получить формулу, по которой мы сможем рассчитать число изоморфов с одним и двумя выделенными значениями. Мы также приведем ряд новых примеров трехзначных изоморфов, не встречавшиеся ранее в литературе. Интересно, что среди них окажутся и некоторые известные трехзначные логики с небольшими модификациями.

Третья глава посвящена изоморфам без классического отношения следования. Нами была написана программа, при помощи которой были отброшены заведомо неверные варианты. Далее, для оставшихся логик доказываются теоремы о том, что они равны классической логике высказываний по классу тавтологий. Результатом оказывается первый в научной литературе полный список трехзначных изоморфов с неклассическим отношением логического следования.

В четвертой главе мы отдельно остановимся на изоморфах, не являющихся С-расширяющими. Как оказалось, все описанные выше классы изоморфов делятся на пары подклассов посредством взаимнооднозначного соответствия между парами элементов этого класса. Причем существуют как пары С-расширяющий изоморф/ не С-расширяющий изоморф, так и пары, в которых оба элемента являются С-расширяющими.

Глава четыре стоит, в определенном смысле, особняком в структуре работы. В ней мы рассматриваем связь трехзначных изоморфов и неклассических определений отношения логического следования. Альтернативные определения строятся на основе модифицированных логических матриц, в которых, наряду с классом выделенных значений, присутствует класс анти-выделенных значений, интерпретируемых как «ложь». Оказывается, что существуют изоморфы с неклассическим отношением логического следования, в которых объем логического следования совпадает с классическим при неклассическом определении следования. Причем, некоторые из этих примеров не С-расширяющие. Также доказывается теорема о наличии решеточного порядка по включению объема следования среди различных определений логического следования в отдельно взятой произвольной трехэлементной матрице.

В последней главе мы производим окончательное обобщение полученных ранее результатов. Здесь будет доказана теорема о том, какими свойствами должны обладать базовые операции произвольной многозначной логики, чтобы она была изоморфом классической пропозициональной логики с классическим отношением логического следования. Также будут обобщены результаты Главы 3, что позволит нам описать три различных класса многозначных изоморфов с неклассическим отношением логического следования.

1. История вопроса

Данный раздел работы мы посвятим обзору результатов, имеющих непосредственное отношение к проблематике нашего исследования.

В 1938 году в работе «Об одном трехзначном исчислении и его применении к анализу парадоксов классического расширенного функционального исчисления» [4] Д. А. Бочваром была построена трехзначная система В3. Основой для ее построения стала попытка формализации соотношений между предикатами истинности, ложности и бессмысленности высказываний. Важнейшим свойством этой теории является возможность решения проблемы анализа парадоксов классической логики путем формального доказательства бессмысленности определенных высказываний.

Начиная построение исчисления высказываний, автор определяет соотношение понятий «предложение» и «высказывание» следующим образом. Высказывание и имеет смысл, если оно истинно или ложно. Высказывание называется предложением, если имеет смысл. Высказывание, не имеющее смысла, называется бессмысленным или бессодержательным. При этом всякое высказывание либо не имеет смысла, либо истинно или ложно. Если же некоторое высказывание А не имеет смысла, то высказывания "А ложно" и "А истинно" имеют смысл и являются ложными. То есть, как указывает автор, «предикаты ложности, истинности и бессмысленности могут со смыслом высказываться о любом высказывании».

Таким образом, можно выделить две группы высказываний:

I II

А" "А верно" не-А" "А ложно"

А и В" "А или Я" "если А, то 5"

А верно и В верно" "А верно или верно В" "если А верно, то В верно "

Типы I и типы II называются, соответственно, внутренними и внешними формами утверждения, отрицания, конъюнкции, дизъюнкции импликации. Легко увидеть, что при подстановке во внутреннюю форму бессмысленного высказывания, результатом всегда будет бессмысленное высказывание. Высказывания же внешней формы всегда имеют смысл. Путь А -бессмысленное высказывание. Тогда внешнее утверждение "А верно" ложно, но не бессмысленно. Очевидно, что, если внешнее утверждение всегда имеет смысл, таким же свойством обладают и остальные внешние формы.

Что же касается предложений, внешние формы становятся формально эквивалентными внутренним. То есть, для предложений соответствующие внешние и внутренние формы становятся одновременно истинными или одновременно ложными.

Бочвар указывает на то, что обычно при содержательной интерпретации основных функций классического исчисления предложений (этот термин обусловлен различием, которое Бочвар проводит между понятиями «высказывание» и «предложение») наряду с внутренними формами применяются также внешние. А именно, для отрицания, дизъюнкции и импликации. Однако классическое исчисление предложений не рассматривает утверждения как функции от переменного предложения. Таким образом, как указывает автор, отмеченная выше двойственность не соответствует действительной природе классического исчисления предложений. На самом деле, его следует содержательно интерпретировать с помощью системы внутренних форм.

Далее, автор отмечает, что «принципиально, при содержательной интерпретации формализма классической логики и математики, система внутренних форм является, конечно, и абсолютно достаточной, поскольку речь идет о символах исчисления предложений».

На этих основаниях, Бочвар предлагает называть внутренние и внешние формы, соответственно, классическими и неклассическими содержательными функциями переменных высказываний.

Перейдем к рассмотрению матричного исчисления высказываний, построенного Д. А. Бочваром.

Основные понятия и определения.

Язык матричного исчисления высказываний Бочвара (1Вг) содержит следующие и только следующие символы:

I) скобки), (,

II) бинарная логическая связка п,

III) унарные логические связки -л, [-, гу) пропозициональные переменные р, я, г, ., р„, я„, г„, в,,, р„, . Сформулируем определение -формулы.

О р, я, г, ., р„, qn, г„, 8„, р„, . есть ЬВ} -формулы, и) Если А есть ЬВ} -формула, то ~А, -А, [-А есть ЬВ) -формулы,

Ш) Если А и В есть -формулы, тоАпВ есть ЬВ) -формула, гу) Ничто иное не является формулой. Условимся, что -I*, }-* есть унарные операции на {О, 1}, определяемые таблицами: ь*

1 0 1 0 1 1

2 Уг У2 0 У"1 0

0 1 0 1 0 0

Также условимся, что п* есть бинарная операция на {О, 1А, 1}, определяемая таблицей: п* 1 Vi 0

1 1 Vi 0

4 Vi Vi

0 0 Vi 0

Руководствуясь приведенными выше соображениями Д. А. Бочвара о содержательной интерпретации основных функций классического исчисления предложений, будем называть формальное внутреннее отрицание и формальную внутреннюю логическую сумму п* классическими функциями, а формальное внешнее отрицание -i* и формальное внешнее утверждение [-* - неклассическими.

Ясно, что М<{0, Vi, 1}, {1}, -■*, п*}> есть матрица. Оценка v в матрице М определяется как отображение множества пропозициональных переменных в носитель матрицы М. Значение -формулы А в матрице М при оценке v (обозначается |А| f) определяется индукцией по построению

L,h -формулы: i) |р| f = v(p), если р есть пропозициональная переменная. ii) |~А| f = ~*|А[ f, если А есть -формула. iii) |-.А| f = -i*|А| f, если А есть ьщ -формула. iv) | \-А\ f = f-*|A| f, если А есть LBj -формула. v) |А n В| f = |А| f n* |В| f, если А и В есть LB} -формулы.

Формула называется тавтологией в матричной логике высказываний, если она имеет выделенное значение при любой оценке v в матрице М. Доказательство заключается в проверке методом построения таблицы истинности для данной формулы.

Прежде чем перейти непосредственно к теореме о том, что построенное выше исчисление высказываний содержит часть, изоморфную с классическим исчислением предложений, определим ряд дополнительных связок.

Р ^ Ф =«и~(~Р п ~q) (Р => Ч) =<и-(Р п

Функция, соответствующая р и ц - классическая дизъюнкция, читается «р или q». Функция, соответствующая р ц - классическая импликация, читается «если р, то д».

Теперь, пользуясь формальным внешним утверждением, определим следующие связки:

-»Р^г-ЬР

Р ^А) =аК ["Р^ЬО

Функции, соответствующие этим связкам - это внешние или, говоря иначе, неклассические функции, читается «р не верно», р иы д читается «р верно или д верно», р читается «если р верно, то д верно». Сформулируем теорему.

Теорема. Матричное исчисление высказываний содержит часть, изоморфную с классическим исчислением предложений, причем формулы этой части исчисления высказываний получаются из формул классического исчисления предложений с помощью преобразования (буквы к.и.п. обозначают ниже классическое исчисление предложений, а буквы и.в. -исчисление высказываний):

1. каждое переменное предложение переходит в переменное высказывание с тем же обозначением.

2. знак -1 к.и.п. переходит в знак и.в.

3. знак а к.и.п. переходит в знак и.в.

4. знак V к.и.п. переходит в знак и.в.

5. знак з к.и.п. переходит в знак зк и.в.

Доказательство. Легко проверить построением матриц, что следующие формулы являются тавтологиями:

1. рзы(рпр)

2. (рпЧ)зк(Чпр)

3. (рз»Ч)з"((рпг)зы(Чпг))

4. (рзыЧ)зм((Чз»г)з*(рзкг))

5. Я^(Р=>*Я)

6. (рп(рзкЧ))^Ч

7. р=>"(римЧ)

8. (р^Ч)зм(Чинр)

9. ((р з* г) п (Ч з* г)) з" ((р я) г)

ШЫ N, N„4

Р=> (Р=5 Я) 12.рик~ыр

Система формул (1)-(12) является изоморфным образом следующей системы формул классического исчисления предложений:

1. рз(рлр)

2. (рдя)з(цлр)

3. (р з ч) з ((р л г) з (я л г))

4. (р з я) з ((я => г) з (р з г))

5. Я=>(Р=эя)

6. (р л (р ч)) з я

7. рэ(руя)

8. (р v ц) з (я v р)

9. ((р з г) л (я з г))з((р V з г)

10. ^рз(рзя)

11. ((р з я) л (р з ~Ч)) з -,р

12. ру^р

Но эта система, как известно [42, 43], может быть избрана как система формальных аксиом для классической логики предложений, если в качестве содержательных аксиом вводятся:

1. прицип вывода: если р и р з я - доказуемые формулы, то я -доказуемая формула.

2. правило соединения: если р и я - доказуемые формулы, то р л я -доказуемая формула.

3. принцип подстановки в обычной форме.

Теперь из матрицы функции р зы я усматриваем, что в матричном исчислении высказываний имеет силу принцип вывода в форме: если р и р зк я - доказуемые формулы, то я - доказуемая формула.

Далее, из матрицы функции р п я видим, что в матричном исчислении имеет силу и правило: если р и я - доказуемые формулы, то р п я -доказуемая формула.

Наконец, очевидно, что принцип подстановки тоже остается в силе для матричного исчисления высказываний. Из всего сказанного следует справедливость теоремы.

Изоморфный образ классической логики предложений, существование которого было доказано в приведенной выше теореме Бочвар называет К\системой. Автор также указывает на еще один изоморф, содержащийся в построенном им матричном исчислении высказываний. Он получается из К\-системы путем замены связки п на связку которой соответствует функция внешней логической суммы. Она пределяется следующим образом: (ргЛ0=<И[-рпЧ)

Изоморф, полученный таким образом автор называет ^-системой.

Остановимся отдельно на одной особенности, проведенного Бочваром доказательства. Автор доказывает, что все тавтологии классического исчисления высказываний остаются таковыми при переводе в ^-систему. Однако остается открытым вопрос, все ли тавтологии ^-системы сохраняют доказуемость при переводе на язык классической логики предложений. Ниже этот вопрос будет рассмотрен более подробно.

Дальнейшее развитие интересующая нас тема получила в работе В. К. Финна «Аксиоматизация некоторых трехзначных исчислений высказываний и их алгебр» [21].

В отличие от Бочвара, в качестве исходных функций Финн рассматривает ~х, |-х и х п у. Множество всех суперпозиций этих функций автор обозначает через В(3). Этому множеству, в частности, принадлежат следующие функции: (х и у) =<и-~(~х г\ ~у), /х х п ~х, —.х |-~х, ^х =с!г~( Ьх и -^х), (х з у) =а г-х и у, (х ->у ) =аг( Ьх 3 Ьу)> (х ^У ) п

У ~х), (х £ у) =аг (X ^ у) п (~х <-> ~у), (х и* у) |-х и |-у), (х и у) ~(~х п ~у), (х => у) =иг~(х п ~у).

Функции ~х, х п у, х и у, х и у, соответственно, называются внутренними - отрицанием, конъюнкцией, дизъюнкцией, импликацией. Функции х —» у, х <-> у, х = у, соответственно, - внешними - импликацией, равносильностью и эквивалентностью. Финн отмечает, что -IX, ^х и ¡-х есть, соответственно, функции (а = 0, Уг, 1) Б. Россера и А. Тюркетта [51].

Отметим еще одно важное отличие формулировки Дз, предложенной Финном, от оригинальной формулировки Бочвара. Во втором случае алфавит 53 содержит переменные двух сортов — пропозициональные и сентенциальные. Первые обозначаются как р, ц, г, ., р„, qп, г„, 8П, рп, вторые - как и, V, ., ип, уп, wn. В то время, как пропозициональные переменные могут принимать значения из {О, И>, 1}, значения сентенциальных переменных принадлежат множеству {0, 1}. Используя подобный нестандартный язык, Финн формулирует еще один изоморф, содержащийся в Въ:

1- К, (" 3 О 3 ")).

2. |=Д] (м з (V => те)) =>((«=>^=э (и =>>*;)),

3. |=йз (~м з -V) з (V з и),

Отдельно отметим, что именно этот случай представляет собой пример первого использования термина «изоморф» в интересующем на смысле.

Ни один из указанных выше авторов не дает четкого определения изоморфа. Однако ясно, что под изоморфом исчисления классической логики высказываний в обоих случаях понимают исчисление, построенное средствами языка логики Бочвара (в той или иной формулировке). Причем, существует перевод языка логики Бочвара в язык классической логики высказываний, такой, что данное исчисление оказывается в точности исчислением классической логики высказываний.

В дальнейшем мы будем рассматривать логику с функциональной точки зрения. В этом случае, представляется верным называть многозначным изоморфом классической логики высказываний такой фрагмент некоторой многозначной логики, что в нем сохраняются все тавтологии и правила вывода классической логики.

Именно в таком смысле пишет об изоморфах, содержащихся в В3, A.C. Карпенко [12]. Предложенный Бочваром изоморф в подобной интерпретации принимает вид

3N 1 х/г 0 X

1 1 0 0 1 0

2 1 1 1 '/а 1

0 1 1 1 0 1

Автор обозначает данный изоморф как В".

A.C. Карпенко также принадлежит новый изоморф классической логики высказываний, выразимый в Въ. Соответствующие операции получаются из внутренних операций Въ при помощи оператора М, дуального [-, а сам изоморф обозначается В f. Мр =df ~|—р. Связки и ~м определяются, соответственно, как Мр =э Mq и ~Мр. Это приводит нас к следующим таблицам:

1 '/2 0 X м ~ X

1 1 1 0 1 0

2 1 1 0 0

0 1 1 1 0 1

Строгое доказательство того, что классы тавтологий В" и В^ совпадают с классическим было впервые построено в [7].

Интересен тот факт, что, в то время как класс тавтологий В% совпадает с классом тавтологий классической логики, неверно, что из р зм я и р логически следует я. Данный пример приводит нас к расширению понятия изоморфа путем отказа от требования сохранения отношения логического следования в изоморфе. В дальнейшем будем называть системы связок, сохраняющие лишь класс тавтологий классической логики, но не классическое отношение логического следования обобщенными изоморфами.

Еще одна известная логика, важная для изучения проблемы изоморфов - это трехзначная логика Клини

Конструируя эту логику, С. Клини, исходил из того факта, что существуют математические утверждения, которые являются истинными или ложными, однако не могут быть доказаны или опровергнуты. Таким образом, в данном случае промежуточное истинностное значение будет интерпретироваться как «неразрешимо».

Н. Решер [50] указывает на тот факт, что связки сильной логики Клини Къ [11] образуют при выделенных значениях (1, 54} - пользуясь нашей терминологией - обобщенный изоморф классической логики высказываний. Более того, автор указывает целый класс «-значных логик, обладающих интересующими нас свойствами.

Решер строит и-значную логику следующим образом:

XV у = тах(д;, у); х л у = тт(.х, у);

XIэ у = ~Х V у.

Значения 1 и 0 интерпретируются как «истина» и «ложь» соответственно. Промежуточные значения обозначаются как -—-—., п п

-———— и интерпретируются как различные степени истинности. п

Ясно, что определения базовых связок совпадают с определениями связок классической логики высказываний. Таким образом, есть ничто иное, как С2.

Трехзначная логика Клини оказывается частным (трехзначным случаем) логики Базовые операции принимают следующий вид: л 1 у2 0 v 1 ХА 0 3 1 0 ~ x

1 1 Уг 0 1 1 1 1 1 1 !/2 0 1 0

1/2 '/2 Уг 0 Уг 1 г/2 Уг !/2 1 '/2 Уг Уг !/2

0 0 0 0 0 1 Уг 0 0 1 1 1 0 1

Решер отмечает, что в при п > 3 не существует тавтологий [57] в классическом смысле. Классическая тавтология есть логическая формула, принимающая значение «истина» вне зависимости от значений пропозициональных переменных, входящих в ее состав. Ясно, что каждая формула принимает неклассическое истинностное значение, если все пропозициональные переменные, входящие в ее состав принимают неклассические значения. Для решения этой проблемы Решер предлагает альтернативное определение тавтологии:

Тавтология — это логическая формула, не принимающая значения «лоэюъ» ни при одной интерпретации пропозициональных переменных, входящих в ее состав.

Далее, автор указывает то, что в таком случае класс тавтологией любой совпадает с классом тавтологий Сг. Отметим, что мы можем просто выбрать в качестве класса выделенных значений {Уг, 1} для достижения аналогичного результата при стандартном определении тавтологии. Нетрудно убедиться, что, если некоторая формула принимает значение 0 при некоторой оценке в С2, она принимает значение 0 при этой же оценке в . Теперь нужно показать, что, если формула принимает значение 0 при некоторой оценке в она не является общезначимой в С2. Решер делает это следующим образом:

Из определений v, =5, ~ очевидным образом вытекает, что эти функции выдают значение 0, лишь при классических значениях аргументов. Причем, в этом случае они функционируют как соответствующие классические операции. Более того, если и только если (е.т.е.) х = 0 или у - О, так что подобный результат будет иметь место и в двузначном случае. Таким образом - заключает Решер - любая формула построенная с помощью полного списка связок, может принять значение «ложь» в е.т.е. она делает это в двузначном случае.

К сожалению, существует пример, демонстрирующий, что сделанное автором утверждение не соответствует действительности.

Заменим операцию з на операцию з', определяемую следующей таблицей: г 1 1Л 0

1 1 1 0

У2 1 1 1

0 1 1 1

Рассуждение Решера полностью соответствует, приведенной выше связке. Функция з' выдает значение 0, лишь при классических значениях аргументов, и, в этом случае, работает как классическая импликация. Однако имеет место: х з' (у з' г)) з' ((х з' у) з' (х з' г)) = 0 при х = 1, у = У2, г = 0.

Альтернативное доказательство изоморфности логики Къ с двумя выделенными значениями (отметим, что при выделенных значениях 1 и /4, мы можем использовать стандартное определение тавтологии) предлагает Р. Эпштейн [31]:

Покажем, что формула А не является классической тавтологией, е.т.е найдется такая оценка е в К3, что е(А) = 0.

Каждая оценка V в С2 есть оценка в Къ, и если формула принимает значение 0 при некоторой оценке в С2, то она принимает значение 0 в К3 при этой же оценке. Теперь пусть найдется оценка е в К3 такая, что е(А) = 0. Определим оценку е в Сг следующим образом: е'(Р) = Ь е.т.е. е(р) е {1, Уг) и е'(р) — 0, е.т.е. е(р) = 0. Легко доказать индукцией по построению формулы, что, если е(В) = 0, то е'(В) = 0, и если е(В) = 0, то е'(В) = 0. Таким образом, е(А) = 0 и неверно, что А общезначима в С2. Эпштейн также отмечает, что внутренний фрагмент трехзначной логики Бочвара обладает аналогичными свойствами, однако не производит построения доказательства, полагая данный факт очевидным.

В этой же работе Эпштейн рассматривает паранепротиворечивую логику ./3, построенную Д'Отгавиано и Да Коста [29] . Она служит хорошей иллюстрацией тому факту, как наличие в логике изоморфа классической логики позволяет построить аксиоматизацию этой логики в виде расширения С2.

Таблицы истинности для элементарных операций /3 имеют следующий вид:

X -я: 3 1 Ут. 0 Л 1 !/2 0

1 0 1 0 1 1 х/2 0 1 1 0

Уг Уг 1/2 0 '/2 1 Уг 0 Ут. '/2 х/2 0

0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0

Выделенные значения - 1 и У2.

Автор также использует ряд дополнительных связок: х =0еГ —1(—з (х л —сс)) л —и(хл —л)));

Х<~>у ^ОеК* з у) л (х з у);

Ох —1(х э(хл —ос)).

Эпштейн показывает, что фрагмент Зъ в языке з, л изоморфен С2. Этот факт вытекает из того, что таблицы для -1, з и л суть таблицы для классической логики высказываний, если мы определяем 1 и Уг как «истина» и 0 как «ложь».

С данной точки зрения, получается из С2 посредством расширения ее операцией

Автор предлагает следующую аксиоматизацию:

К схемам аксиом классической логики, записанным с помощью -i, d и л, добавляются следующие схемы аксиом:

1. (~А а ©А) <-» -iA,

2. ~~А <-» А,

3. ©(-.А),

4. ((А л В) ~©(А а В)) <-» ((А а ©А) л (В а ©В)),

5. (~А а ©А) з ©(А z> В),

6. (В а ©В) 13 ©(А z) В).

Правило вывода - modus ponens.

Заметим, что J3 функционально эквивалентна трехзначной логике Лукасевича ¿3. Операции 0, v, а, ~ в J3 и L3 совпадают, импликация Лукасевича выражается следующим образом: х —> у = (Ojc v у) v 0(~х а у).

Долгое время считалось, что трехзначная логика Лукасевича с двумя выделенными значениями также совпадает с классической логикой высказываний по классу тавтологий, однако А. Тюркетт [51] привел следующий контрпример:

Р ~Р) v Р)

В [33] приводится аксиоматизация (29 аксиом) трехзначной логики Бочвара как расширения Сг, но с двумя видами переменных: внутренними и внешними (см. выше). Как раз посредством внешних переменных и дается аксиоматизация С2.

О. М. Аншаковым и С. В. Рычковым (см. [1, 2, 3]) был предложен общий метод аксиоматизации конечнозначных логик.

Рассмотрим класс n-значных логик Ln сигнатуры

5!=<{Ji| ieVn}5 v, а, z».

Эти логики задаются операциями на множестве истинностных значений V„, причем выполняются следующие условия:

1. Алгебра < Уп; v, л> является квазирешеткой,

2. Логические матрицы являются С-расширяющими, то есть являют собой стандартную матрицу для классической логики высказываний при замене множества-носителя на {1, 0}.

3. Наличие всех/¡-операторов.

Причем все результаты будут иметь место и для более широкого класса логик - таких, что в них функционально выразима сигнатура б^с^) 1еУп}, -I, v, л, з>, удовлетворяющая условиям 1-3.

Суть аксиоматизации состоит в том, что берутся аксиомы классической логики и добавляются аксиомы связи с /¡-операторами.

Задаваясь вопросом о природе многозначности, Г. Малиновский [47] приводит два примера изоморфов классической логики высказываний.

Рассмотрим логическую матрицу М3 = <{0, '/г, 1}, —I, v, л, —>, {у2, 1}>, где операции определяются следующим образом: а 1 '/2 0 v 1 !/2 0 -» 1 '/2 0 X —1 x

1 1 '/2 0 1 1 1 1 1 1 '/2 0 1 0

2 Уг '/2 0 ХА 1 '/2 /2 Уг у2 ]/2 0 '/2 1

0 0 0 0 0 1 '/2 0 0 1 1/2 1 0 1

Малиновский утверждает, что данная матрица определяет как класс тавтологий классической логики, так и классическое отношение логического следования.

Чтобы доказать это, пишет Малиновский, достаточно показать, что, в силу выбора класса выделенных значений, между оценками в М3 и С2 существует взаимно-однозначное соответствие, такое что формула принимает выделенное значение при некоторой оценке в М3, е.т.е она принимает выделенное значение в Сг при соответствующей оценке.

Второй пример, приведенный Малиновским еще более интересен. Автор рассматривает изоморф классической логики В", но с двумя выделенными значениями. В то время как данная логика совпадает с С2 по классу тавтологий, отношение логического следования в ней отлично от классического.

Пусть р = Уг и q = 0 в данной матрице. Тогда р —> ц и р принимают выделенное значение, а ц — нет. Следовательно, неверно, что в этой матрице 9 не следует логически из {р -> Ч, р}- Что, конечно же, не так в классической логике высказываний.

В завершение, отметим работу В. Комендантского [13], явившуюся первым шагом в систематическом изучении интересующей нас проблемы. Посредством компьютерной программы автором был получен полный список С-расширяющих изоморфов с классическим отношением отношения логического следования. Как оказалось всего существует два таких изоморфа с одним выделенным значением и шестнадцать с двумя выделенными значениями.

Заключение научной работыдиссертация на тему "Многозначные изоморфы классической пропозициональной логики"

Заключение

Подводя итоги, кратко просуммируем полученные результаты. Для наглядности формулировки теорем будут приведены в модифицированных формулировках.

1. Следующая теорема описывает обширный класс нормальных многозначных изоморфов классической логики, причем для трехзначного случая данный класс является единственным.

Теорема 14. Пусть Мт„ есть логическая матрица, где п - число элементов класса и, ат~ число элементов класса Если и -¡п отвечают условиям:

1) л; 1эпу <£ £> е.т.е х е £> и у <£ Д

2) ->п х £ £> е.т.е е Д то Мт„ является нормальным изоморфом классической логики высказываний.

Мы можем вычислить количество таких матриц для каждых тип. Их число равно х (л -т)тх{"-т+1).

Эта теорема позволяет нам сделать несколько важных выводов. Во-первых, мы можем дать точный ответ на вопрос о числе трехзначных нормальных изоморфов классической логики - существует 8 трехзначных нормальных изоморфов с одним выделенным значением и 256 с двумя. Кроме того, как оказывается, С-расширительность не является необходимым условием для построения изоморфа.

2. Существуют как нормальные, так и ненормальные изоморфы классической пропозициональной логики, не являющиеся С-расширяющими. Причем существуют как пары из С-расширяющего и не С-расширяющего изоморфа, так и пары, в которых оба элемента являются С-расширяющими.

Этот результат может оказаться полезным при дальнейшем изучении функциональных свойств изоморфов.

3. Три частично пересекающихся класса ненормальных многозначных изоморфов могут быть описаны следующими теоремами:

Теорема 15. Если Мтп - С-расширяющий и нормальный изоморф классической логики при т = 1, то Мтп является изоморфом классической логики для любого т.

Теорема 16. Если Ытп отвечает следующим условиям:

1) Формулы, не являющиеся элементарными, принимают в М" только значения из {1,0};

2) Существует матрица Мкп, отличная от Мтп лишь классом выделенных значений, и Мк„ является нормальным изоморфом, то Мтп является изоморфом классической логики.

Теорема 17. Если Мтп отвечает следующим условиям:

1) Мтп является С-расширяющей;

2) если х у = 1, то х = 0 или у = 1; если х зп у = 0, то х = 1 и у = 0; -1П * = 1 е.т.е. —1П х = 0; —1П х = 0 е.т.е. —х = 1, верно следующее: матрица М"~\ отличная от М" лишь классом выделенных значений, является изоморфом классической логики.

4. Существуют изоморфы, являющиеся нормальными лишь при использовании нестандартного определения отношения логического следования. Так, ненормальный при стандартном определении отношения логического следования изоморф В" становится нормальным, если использовать следующее определение отношения логического следования: в матрице М из множества формул Г логически следует формула В, е.т.е не существует такой оценки V в А/, что ни одна формула А из Г не принимает анти-выделенного значения и В принимает анти-выделенное значение.

5. Некоторые изоморфы могут содержать другие изоморфы в качестве фрагментов. Например, в матрице, аналогичной матрице для трехзначной логики Гейтинга, но с двумя выделенными значениями содержатся в качестве подматриц все трехзначные нормальные изоморфы с двумя выделенными значениями.

Как представляется автору, выводы работы представляют научный и философский интерес с двух точек зрения.

В первую очередь, это взаимоотношение классической и многозначных логик. Отметим, что эта проблема носит в значительной степени философский характер. Ведь в основе многих неклассических логик лежала попытка избавиться от парадоксальных и контринтуитивных свойств классической логики. По мнению автора, ответ на вопрос, в каких случаях многозначная логика оказывается, в действительности, классической логикой высказываний может лечь в основу эффективного метода, позволяющего определить для любой многозначной логики, является ли она расширением классической логики или нет.

Во-вторых, некоторые из наших результатов могут быть полезны не только при осмыслении фундаментального характера классической логики и ее роли среди множества разнообразных логических систем, но и для исследования природы классической логики самой по себе.

На разных этапах развития логики считалось, что двузначность или, позже, С-расширительность базовых операций, а также классическое определение отношения логического следования - необходимые черты классической логики. Однако, как показывают полученные нами результаты, может быть построена характеристическая матрица для классического исчисления высказываний гильбертовского типа, в которой нарушаются все эти принципы. Возникает вопрос: означает ли это, что исчисление играет в классической логике приоритетную по отношению к семантике роль?

Положительный ответ на этот вопрос может служить аргументом в пользу того, что базовые философские принципы, лежащие в основе классической логики, на самом деле являются следствием попытки подведения философской основы под уже существующий способ рассуждения.

Остановимся на предполагаемых направлениях дальнейшего исследования.

Первоочередной задачей автору представляется завершение описания класса ненормальных многозначных изоморфов. Предположительно, эта задача может быть решена с применением метода гипертавтологий, разработанного Я. Калицким.

Нашей следующей задачей станет глубокое изучение функциональных свойств изоморфов. Уже сейчас ясно, что некоторые изоморфы являются более сильными с функциональной точки зрения. Возникает вопрос: какую структуру образуют изоморфы с равным числом истинностных и выделенных значений по отношению включения?

Также представляет интерес проблема критерия, позволяющего определить, содержится ли измороф в качестве фрагмента в произвольной многоэлементной логической матрице.

Кроме того, представляет интерес проблема построения исчислений для ненормальных изоморфов. В то время как неклассическое отношение логического следования в этих изоморфах не играет роли, если мы рассматриваем исчисления гильбертовского типа, некоторые правила вывода в секвенциальных исчислениях потребуется заменить или модифицировать.

Решению этих задач автор предполагает посвятить свою дальнейшую работу.

Список научной литературыДевяткин, Леонид Юрьевич, диссертация по теме "Логика"

1. Аншаков О .M., Рынков C.B. О многозначных логических исчислениях// Семиотика и информатика. 1982. Вып. 19. С. 90-117.

2. Аншаков О.М., Рынков C.B. Об одном способе формализации и классификации многозначных логик // Семиотика и информатика. 1984. Вып. 23. С. 78-106.

3. Аншаков О.М., Рычков C.B. Об аксиоматизации конечнозначных логических исчислений // Математический сборник. 1984. Т. 123(165), №4.

4. Бочвар Д.А. Об одном трехзначном исчислении и его применении к анализу парадоксов классического расширенного функционального исчисления // Математический сборник. 1938. Т. 4. № 2. С. 287-308.

5. Девяткин Л.Ю. Трехзначные изоморфы классической пропозициональной логики // Логические исследования. Вып. 11. М.: Наука, 2004. С. 119-125.

6. Девяткин Л.Ю. К вопросу о трехэлементных характеристических матрицах для классической логики высказываний // Труды научно-исследовательского семинара Логического центра Института философии РАН. М.: ИФ РАН, 2006. С. 43-49.

7. Девяткин Л.Ю., Карпенко А. С., Попов В. М. Трехзначные характеристические матрицы классической пропозициональной логики // Труды научно-исследовательского семинара Логического центра Института философии РАН. М.: ИФ РАН, 2006. С. 50-62.

8. Девяткин Л.Ю. Отношение логического следования и проблема многозначности // Вестник Московского университета (Серия 7. Философия). 2008. Вып. 2. С. 106-108.

9. Максимова JI.JI., Рыбаков В.В. Решетки модальных логик // Алгебра и логика. 1974. Т. 13. С. 105-122.

10. Ю.Лукьяновская Е.Ю. Дипломная работа на тему «Регулярные логики Клини». МГУ.11 .Клини С.К. Введение в метаматематику. М., 1957

11. Карпенко A.C. Многозначные логики (монография). Логика и компьютер. Вып. 4. М.: Наука, 1997.

12. Комендантский В.Е. Алгоритм поиска трехзначных изоморфов классической логики // Logical Studies. 2000. WEB. No.4.

13. Кузнецов A.B. Некоторые свойства структуры многообразий псевдобулевых алгебр // XI Всесоюзный алгебраический коллоквиум. Кишинев, 1971. С. 225-256.

14. Раца М.Ф. Критерий функциональной полноты в интуиционистской логике высказываний // Доклады Академии Наук СССР. 1971. Т. 201, №4.

15. Финн В.К. Аксиоматизация некоторых трехзначных исчислений высказываний и их алгебр // Философия в современном мире: Философия и логика. М., 1974.

16. Розоноэр Л.И. О выявлении противоречий в формальных теориях I // Автоматика и телемеханика. 1983. №6. С. 113-124.

17. Розоноэр Л.И. О выявлении противоречий в формальных теориях II // Автоматика и телемеханика. 1983. №7. С. 97-104.

18. Розоноэр Л.И. О семантике противоречивых формальных теорий // Семиотика и информатика. 1993. Вып 33. С. 71-100.

19. Томова Н.Е. Расширение логики Lisp посредством ./¡-опрераторов // Смирновские чтения по логике. Материалы 5-й конференции М., 2007. С. 41-43.

20. Финн В.К. Аксиоматизация некоторых трехзначных исчислений высказываний и их алгебр // Философия в современном мире: Философия и логика. М.: Наука, 1974. С. 398-438.

21. Черч А. Введение в математическую логику. М.: ИЛ, 1960.

22. Шалак В.И. Об альтернативном определении логического следования // Эпистемология и философия науки. М. : Канон+., 2007.

23. Янков В.А. Построение последовательности сильно независимых суперинтуиционистских пропозициональных исчислений // Доклады Академии Наук СССР. 1968. Т. 181. № 1. С. 33-34.

24. Anderson A.R. & Belnap N.D., jr. Entailment: The logic of relevance and necessity. Vol. 1. Princeton Univ. Press, 1975.

25. Bednova K. Interpolation and Three-valued Logics // Reports on Mathematical Logic. 2005. V. 39, pp. 127-131.

26. Brouwer L.E.J. De onbetrouwbaarheid der logische principes. Tijdschrift voor wijsbegeerte. Vol. 2. 1908. pp. 152-158. (Англ. пер.: The unreliability of the logical principles // Brouwer L. E. J. The collected works -1975. Dordrecht).

27. Chagrov A. &' Zakharyaschev M. Modal logic. 1997. Oxford: Clarendon Press.

28. D'Ottaviano I.M.L., Costa N.C.A. da. Sur un probleme de Jaskowski // Comptes Rendus Acad. Sci. 1970. 270A. pp. 1343-1349

29. Dziobiak W. There are 2K° logics with the relevance principle between R and RM // Studia Logica 1983. Vol. XLII, N 1.31 .Epstein R.L The semantic foundations of logic. Vol. 1: Propositional logic. 1990. Dordrecht: Kluwer. (2nd ed., 1995).

30. Epstein R.L The semantic foundations of logic. Vol. 2: First-order logic. 1994. Dordrecht: Kluwer.

31. Finn V., Grigolia R. Nonsense logics and their algebraic properties // Theoria. 1993. Vol 59, pt 1-3. pp. 39-45.

32. Frege G. Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formalsprache des reinen Denkens. 1879. Haie (Hebert). (Русский перевод: Исчисление понятий // Логика и логическая семантика. М. 2000. С. 65-142).

33. Gabbay D.M. Labelled deductive systems. Vol. 1. 1996. Oxford: Clarendon Press.

34. Gödel К. Zur intuitionistischen Arithmetik und Zahlentheorie // Ergebnisse eines mathematischen Kolloquiums. 1933. Vol. 4. P. 34-38. (Английский перевод: On intuitionistic arithmetic and number theory // Gödel 1986. pp. 287-295).

35. Gödel К. Eine Interpretation des intuitionistischen Aussgenkalkuls // Ergebnisse eines mathematischen Kolloquims. 1933. Bd. 4. pp. 39-40. (Английский перевод: On the intuitionistic propositional calculus // Gödel 1986.

36. Gödel К. Collected works, Vol. 1 ed. S. Fereman et al. 1986. Oxford university Press

37. Gomez-Torrente M. Tarski on Logical Consequence // Notre Dame Journal of Formal Logic. 1996. Vol. 37. pp. 125-151.

38. Gottwald S. A Treatise on Many-valued Logic// Research Studies Press, Baldock. 2001.

39. Heyting A. Die Formalen Regeln der Intuitionistischen Logik // Sitzungsberichte der Preussischen Academie der Wissenschaft zu Berlin. 1930. Berlin, pp. 42-46.

40. Kolmogoroff A. Zur Deutung der intuitionistischen Logik // Math. Zeitschr. 1932. pp. 58-65.

41. Lewis C.I. Implication and the algebra of logic // Mind. 1912. Vol. 21 -pp. 522-531.

42. Lukasiewicz J. On the principle of contradiction in Aristotle // Review of Metaphysics. 1971. Vol. 24. pp. 15-38.

43. Lukasiewicz J. О logice tryjwartosciowey //Ruch Filozoficzny. 1920. T. 5. pp. 170-171. (Английский перевод: On three-valued logic // Lukasiewicz J. 1970. pp. 87-88).

44. Malinowski G. On Many-Valuedness, Sentential Identity, Interference and Lukasiewicz Modalities // Logica Trianguli. 1997. Vol. 1. P. 61-71.

45. Meyer R.K. New axiomatics for relevant logics I // Journal of Philosophical Logic. 1974. Vol 3. pp. 53-86.

46. Post E. L. Introduction to a general theory of elementary propositions. American Journal of Mathematics. 1921. Vol. 43, N 3. P. 163-185. (Переиздано: Van Heijenoort J (ed.) 1967. pp. 264-283).

47. RescherN. Many-valued logic. 1969. N. Y.

48. Tarski A. On the concept of logical consequence // Logics, Semantics, Metamathematics. Second edition. 1983. Hackett, Indianapolis, pp. 409420.

49. Wansing H. Displaying modal logic. 1998. Dordrecht: Kluwer.

50. Whitehead А. & Russell В. Principia Mathematica. 1910-1913. Cambridge (England): Univ. Press. (Переиздано: Cambridge, 1962).

51. Wittgenstein, L. Logisch-philosophiche Abhandlung // Annalen der Naturphilosophie 1921. Vol. 14 - pp. 185-262. Leipzig (Русский перевод: Витгенштейн Л. Логико-философский трактат. М.: Наука, 1958.)