Онтологические и гносеологические основания математики в программе формализма

Алябьев, Дмитрий Иванович

автореферат диссертации по философии, специальность ВАК РФ 09.00.08
диссертация на тему: Онтологические и гносеологические основания математики в программе формализма

Год: 2010
Автор научной работы: Алябьев, Дмитрий Иванович
Ученая cтепень: кандидата философских наук
Место защиты диссертации: Москва
Код cпециальности ВАК: 09.00.08

Диссертация по философии на тему 'Онтологические и гносеологические основания математики в программе формализма'

Полный текст автореферата диссертации по теме "Онтологические и гносеологические основания математики в программе формализма"

0У4О1

На правах рукописи

АЛЯБЬЕВ Дмитрий Иванович

ОНТОЛОГИЧЕСКИЕ И ГНОСЕОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ В ПРОГРАММЕ ФОРМАЛИЗМА

09.00.08 - философия науки и техники

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата философских наук

з о СЕН 2010

МОСКВА 2010

004609284

Работа выполнена на кафедре философии факультета философии, социологии и культурологии Курского государственного университета

Научный руководитель:

доктор философских наук, доцент АРЕПЬЕВ Евгений Иванович

Официальные оппоненты:

кандидат философских наук, доцент ЧЕРНЕЦОВ Михаил Михайлович

доктор философских наук, профессор ЯШИН Борис Леонидович

Ведущая организация:

Брянский государственный университет имени академика И.Г.Петровского

Защита диссертации состоится «13» сентября 2010 г в 13 часов на заседании Диссертационного совета Д 212.154.06 при Московском педагогическом государственном университете по адресу 119571, г. Москва, пр-т. Вернадского, д.88. ауд. 818.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского педагогического государственного университета по адресу: 119992, г.Москва, ул. Пироговская, д. 1.

2010

Ученый секретарь

Диссертационного Совета C.B. Кузнецова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования

Тема исследования является актуальной в свете ряда обстоятельств.

Во-первых, математические науки в современном мире приобретают все больше значение для человека и его развития, математика все более полно проникает в естественные, гуманитарные, медицинские, технические и другие научные отрасли и это проникновение оказывается неизменно успешным. В связи с этим, выявление места и роли математики в системе наук, выявление связи математических истин и объектов с действительностью и процессом познания выступает в качестве важнейшей задачи, решение которой вполне способно ускорить процессы математизации и развития науки в целом.

Во-вторых, проблемы оснований математики, в том числе ее онтологического и гносеологического обоснования интенсивно разрабатываются со второй половины XIX века, благодаря чему на сегодняшний день существует обширнейшее наследие философско-математического, методологического характера, оценка, обобщение и выявление позитивных компонент, перспективных тенденций которого является важной и далеко еще не решенной задачей философии науки (философии математики, в частности) и истории философии.

В-третьих, ситуация с программой формализма в основаниях математики и, прежде всего, в ее философской составляющей, оказывается в настоящий момент весьма неоднозначной. С одной стороны, цели формализма, история развития, мнения его представителей по разным, в том числе онтологическим и гносеологическим вопросам обоснования математики достаточно обстоятельно исследованы в работах отечественных и зарубежных авторов. Однако известно, что полностью реализовать программу формализма оказалось невозможным, из чего следует, что философско-методологические установки этого течения, а именно - представления о природе математики, ее связи с действительностью и процессом познания, в интерпретации представителей формализма, не вполне соответствуют настоящему положению дел. В то же время, формализм выступает в качестве одного из наиболее значимых течений, оказавших огромное влияние на дальнейшее развитие математики и ее оснований. В связи с этим естественно возникает вопрос о причине влиятельности формализма, изначально опирающегося, как принято считать, на неточные установки и представления. Этот вопрос в качестве наиболее значимой составляющей, на наш взгляд, включает в себя следующую проблему: как могут быть на сегодняшний день интерпретированы онтологические и гносеологические основы математики посредством анализа способов содержательного введения и

функционирования базисных математических понятий в концепциях формализма, а также посредством анализа развития этого течения?

Данная проблема, на наш взгляд, входит в состав проблем, актуальность которых основывается на вышеперечисленных положениях, и в настоящее время не имеет развернутого решения.

Степень научной разработанности проблемы.

Тема диссертации связана, прежде всего, с различными подходами к осмыслению наследия математического формализма. Программа формализма анализируется во множестве работ отечественных и зарубежных авторов.

Это исследования, направленные на рассмотрение проблем теоретико-множественного обоснования математики, путей преодоления трудностей «наивной» теории множеств, с выявлением позитивного вклада программ формализма, логицизма и интуиционизма. Работы, связанные с проблемами методологии науки вообще и математики в частности, в которых происходит осмысление эволюции аксиоматического метода, осмысление роли метатеории в математических дисциплинах. К числу авторов таких исследований относятся И. Бар-Хиллел, Б.В. Бирюков, Л.Г. Бирюкова, В.Н. Брюшинкин, Ван Хао, М. Даммет, В.Н. Катасонов, В.Я. Перминов, Г.И. Рузавин, Р. Столл, А. Френкель, В.В. Целищев, А. Чёрч, С.А. Яновская и др.

Труды, посвященные логическим, семиотическим и методологическим аспектам развития математики и науки в целом, таких авторов как В.Ф. Асмус, A.B. Бессонов, Н. Бурбаки, Г. Генцен, К. Гёдель, И.Н. Грифцова, A.C. Есенин-Вольпин, A.C. Карпенко, Х.Б. Карри, С.К. Клини, У. Куайн, И. Лакатос, Я. Лукасевич, В.Т. Мануйлов, A.A. Марков, П.С. Новиков, В.Я. Перминов, Е.Д. Смирнова, А.Л. Субботин, В.А. Суровцев, Г. Фреге, В.В. Целищев, А. Чёрч и др.

Работы, посвященные рзработке историко-философских аспектов развития математики, исследованию философско-математических течений и программ обоснования, таких авторов как Б.В. Бирюков, А.Ф. Грязнов, В.Н. Катасонов, М.С. Козлова, В.И. Колядко, А.Ф. Кудряшев, З.А. Кузичсва, Г.Г. Майоров, П. Мартин-Лёф, В.В. Мороз, М.И. Панов, A.A. Побережный, A.B. Родин, В.А. Шапошников, А.П. Юшкевич и др.

Исследования, освещающие современную ситуацию в философии математики, выявляющие перспективы ее дальнейшего развития и, в том числе, роль формализма Гильберта в этом развитии. Это работы таких авторов как А.Г. Барабашев, М. Детлевсон, М.И. Панов, В.Я. Перминов, З.А. Сокулер, В.В. Целищев, С. Шапиро и др.

При разработке темы диссертации использовались результаты, содержащиеся в учениях, работах таких классиков и выдающихся

представителей мировой философии и науки, как Аристотель, П. Бернайс, Г. Вейль, JI. Витгенштейн, А. Гейтинг, К. Гёдель, Д. Гил ьберт, Р. Дедекинд, Р. Декарт, Евклид, И. Кант, Г. Кантор, Р. Карнап, А.Н. Колмогоров, Р. Курант, Г. Лейбниц, А.Ф. Лосев, К. Маркс, Папп, Прокл,

A. Пуанкаре, Б. Рассел, Г. Фрсге и др.

Тема диссертации связана с работами, в которых исследуются проблемы математизации человеческого знания, гуманизации математических дисциплин, связи математики с другими научными областями, с трудами, посвященными философско-методологическим проблемам физических наук и естествознания в целом, таких авторов как

B.В. Аристов, Е. Вигнер, A.B. Волошинов, O.A. Габриелян, В.И. Жог, В.П. Казарян, О.И. Кедровский, В.Н. Князев, А.Н. Кочергин, М.А. Розов, Г.И. Рузавин, В.А. Успенский и др.

Формирование установок и представлений, выступающих основами диссертационного исследования, связано также с результатами отечественных исследователей философско-методологических проблем науки и теории познания. Это работы таких авторов как В.И. Аршинов, В.Ф. Асмус, П.П. Гайденко, Д.П. Горский, И.Т. Касавин, Л.М. Косарева,

A.Н. Кочергин, В.А. Лекторский, Л.А. Микешина, А.П. Огурцов, Б.И. Пружинин, В.Н. Садовский, Ю.В. Сачков, Ю.С. Степанов, B.C. Степин,

B.C. Швырев, Я.С. Яскевич и др.

Наконец, тема диссертации связана с современными отечественными исследованиями, направленными на разработку теоретико-познавательных и онтологических проблем математического знания на настоящем этапе развития науки, философии, методологии. Это труды таких авторов как Е.И. Арепьев, Г.Б. Гутнер, С.Л. Катречко, A.B. Коганов, А.Н. Кричевец, А.Ф. Кудряшев, В.Я. Перминов, В.В. Целищев и др.

Вместе с тем, развернутого исследования бытийных и познавательных установок программы формализма, на основе принятия установки о наличии трех равноправных компонент фундамента математического знания - логической, арифметической и геометрической, а также попыток реконструкции идей этого течения для построения интерпретации, раскрывающей связь логических, арифметических и геометрических истин и объектов с действительностью и процессом познания, до настоящего времени не предпринималось ни в отечественной, ни в зарубежной литературе. Данная диссертация, таким образом, призвана до определенной степени заполнить пробел в рассматриваемой проблемной области.

-б-

Цель и задачи диссертационного исследования

Целью диссертационного исследования является выявление, развитие и реконструкция онтологических и гносеологических оснований математики в программе формализма.

Реализация цели предполагает решение следующих задач:

— раскрытие современной проблемной ситуации в осмыслении онтологических и гносеологических установках программы формализма;

— выявление предпосылок формализма в эволюции математического знания, экспликация историко-философских предпосылок математического формализма;

— интерпретация онто-гносеологических основ содержательного введения логических базисных понятий в формализме;

— истолкование онто-гносеологических основ содержательного введения арифметических базисных понятий в формализме;

— выявление онто-гносеологических основ содержательного введения геометрических базисных понятий в формализме;

— построение интерпретации онтологических и гносеологических принципов формалистского обоснования математики в свете современной ситуации в математическом знании и его философских основаниях.

Научная новизна исследования

В работе реализуется новый подход к осмыслению, развитию и реконструкции философско-математического наследия программы формализма. Он состоит в следующем:

— принята установка о наличии в основах математики как минимум трех сущностно первичных и самостоятельных компонент -арифметической, геометрической и логической;

— выявлено, что возникновение формалистской программы обоснования математики обусловлено теоретическими предпосылками в истории математики и философии, начиная с античности;

— обосновано, что теоретико-познавательное и онтологическое значение логической составляющей математики в формалистской трактовке предполагает, во-первых, априорную заданность и объективность логических истин, неотъемлемость логической компоненты в формировании научных (математических) областей знания; во-вторых, наряду с логической составляющей, необходимость содержательного понятийного аппарата, специфического для самой области; в-третьих, отражение логической компонентой связей между понятиями и принципами, соответствующими фактам, отношениям, объектам и явлениям изучаемой области действительности;

- выявлено, что арифметическая составляющая математического знания в трактовке формализма может быть интерпретирована как равнозначная с логическими и геометрическими фундаментальными компонентами в онтологическом и гносеологическом плане; что исходные арифметические объекты и истины фундаментальны для математики, что они являются абстрактным и априорно заданным отражением объективных свойств действительности;

- обосновано, что содержательные установки формалистского построения математики аргументируют несводимость геометрической компоненты к логической и арифметической компонентам, указывают на то, что она может трактоваться с реалистических позиций, позволяют признать априорность, включенность в структуру разума базисных геометрических понятий, истин и интуидий;

- выявлено, что в философско-методологическом аспекте связь результатов Геделя (теорем о неполноте) с формализмом состоит в том, что они подтвердили уже признанную Гильбертом онтологическую и гносеологическую значимость арифметической и геометрической компонент математики, а также недостаточность логической компоненты, несводимость к ней всех основ математики.

Теоретическая и практическая значимость работы

Теоретическая значимость диссертации определяется тем, что ее результаты дополняют картину онтологического и гносеологического истолкования природы математического знания, расширяют методологический аппарат исследования проблем философии науки, способствуют более глубокому и целостному осмыслению философского наследия программы формализма. Положения и выводы, полученные в настоящей работе, позволяют более полно оценить значимость её результатов.

Результаты диссертации могут применяться в разработке проектов, связанных с проблемами обоснования математического и научного знания в целом, программ, затрагивающих историко-философские аспекты осмысления оснований математики, в исследованиях по истории философии и истории математики.

Апробация диссертации

исполнителем). Результаты, полученные автором и входящие в данную диссертацию, отражены в публикациях (в том числе центральных периодических изданиях, рекомендованных ВАК для публикации результатов диссертационных исследований).

Результаты диссертационного исследования апробированы также на научных конференциях, в частности, на международной научной конференции «Философия математики: актуальные проблемы» - (Москва, 28-30 мая 2009 г.); на международной научной конференции «Философия математики: актуальные проблемы» - (Москва, 15-16 июня 2007 г.); на всероссийской научной конференции «Проблема свободы личности и общества в социально-гуманитарном дискурсе» - (Курск, 16-17 мая 2006 г).

Структура диссертации

Структура диссертационного исследования определяется его целью и задачами. Работа состоит из введения, двух глав, включающих в себя три и четыре параграфа, соответственно, заключения и списка литературы.

Основное содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы, анализируется степень разработанности проблемы, формулируются цель и задачи исследования, указываются методологические принципы, источники, обосновывается новизна, формулируются положения, выносимые на защиту, указывается теоретическая и практическая значимость, апробация, структура работы.

Первая глава «Проблемы и предпосылки формалистского истолкования онтологических и теоретико-познавательных основ математики»

В первом параграфе первой главы, «Проблема осмысления онто-гносеологического наследия программы формалистского обоснования математики», раскрывается и обосновывается наличие проблемной ситуации в осмыслении онтологических и гносеологических установках программы формализма. В частности, устанавливается, что мнения представителей формализма о характере связи математических истин и объектов с действительностью и процессом познания, на основе которых Гильберт и его последователи прогнозировали возможность формализации математического знания и его развития формалистическими методами, оказались не вполне адекватны существующему положению дел. В настоящее время очевидно, что в полной мере реализовать задачи программы формализма не удалось, на что указывает и сама история

эволюции этого течения, и результаты развития других программ обоснования математики, и результаты, полученные К. Геделем. Вместе с тем, выявляется невозможность трактовки формалистских взглядов на природу математики как полностью ошибочных. Программа формализма, ее методы и результаты, образцы постановки и решения проблем прочно входят в структуру математического знания. Таким образом, вполне очевидной становится проблема адекватного истолкования позитивной составляющей в онтологических и гносеологических аспектах формалистского построения математических областей, введения исходных объектов и истин в формалистской программе оснований математики. В параграфе обосновывается, что выявление и развитие указанных позитивных аспектов, возможно и перспективно путем исследования содержательного уровня программы формализма, анализа способов введения и функционирования на этом уровне базисных понятий и объектов математических областей.

В параграфе обосновывается также допустимость принятия установки о наличии, по меньшей мере, трех равнозначных составляющих математики, онто-гносеологические основы которых нетождественны между собой. Это арифметическая, геометрическая и логическая компоненты. Таким образом, в параграфе обосновывается перспективность исследования формалистских способов введения и особенностей функционирования на содержательном уровне базисных понятий и утверждений арифметики натуральных чисел, геометрии и логики.

В этой части работы, помимо всего, предлагается краткое обозрение направлений в других областях науки, в праве, искусстве, и пр., также получивших названия «формализма». Обосновывается специфичность и обособленность математической программы Д. Гильберта, по отношению к другим, не математическим течениям формализма.

Во втором параграфе первой главы, «Предпосылки формалистского истолкования природы математики в истории математического знания», выявляются предпосылки формализма в эволюции математического знания. В частности обосновывается, что идейные истоки формалистского обоснования математики содержатся, начиная с античности, в учениях таких математиков, как Пифагор, в его идеях о том, что математика является универсальным языком выражения законов природы. Предпосылки формализации обнаруживаются и в учении Демокрита, пытающегося конструировать математическое знание исходя из идей атомов как основы бытия, а также Анаксагора с его понятием о бесконечно делимых точках, в учении об отношениях и строгих методах предельных переходов Евдокса, идеях аксиоматического построения геометрии Евклида.

В параграфе выявляется, что зародившиеся в греческой математике предпосылки формализма получают своё развитие в трудах Ферма и

Декарта по созданию аналитической геометрии, в работах Ньютона и Лейбница по дифференциальному и интегральному исчислению, выявивших огромную значимость абстрактных понятий в математике, их необходимость для развития математического знания. Обобщение предпосылок формального истолкования математики обнаруживается в работах предшественников Гильберта, таких как Дедекинд, работы которого были одними из первых, где основные объекты арифметики вводились аксиоматически, Пеано, завершившего аксиоматическое построение арифметики, Лобачевский, открывший «неевклидову» геометрию, Бельтрами который показал, что геометрия Лобачевского вполне совпадает с системой Евклида для особой поверхности, Риман, Дж. Венн, считавший одной из наиболее важных задач символической логики является создание особого языка, благодаря которому можно было бы расширить применение логических процессов, создание языка, основанного на символизации, где в качестве символов использовались фигуры латинского алфавита. Де Морган, работавший в направлении объединения логики и математики. В своих трудах он выдвигает идею выражения мыслей при помощи некоторого языка, который устранят неясности, присущие обыденному языку, то есть идею построения, по сути схожего с формалистским, где основополагающую роль играют бессодержательные символы, оперирование с которыми исключает многозначность в трактовке результатов вывода.

В данной части работы также исследуются предпосылки формализма в работах такого учёного, как Уильям Стэнли Джевонс (1835-1882). Наиболее яркими предпосылками можно назвать идею построения устройства, которое автоматизировало процесс логического вывода, названного «логические счеты». Идея построения такой машины, в которой влияние человека на результат вывода сводилось к минимуму, является непосредственной предпосылкой формального вывода, то есть вывода, получаемого по заранее заданным правилам, путём оперирования над абстрактными объектами. В этом случае получение доказательств и выводов является аналогом арифметических вычислений.

В параграфе выявляются истоки и исторические тенденции символизации математики, впоследствии приведшие к попыткам формализовать не отдельные части математики, а всю математическую теорию. Таким образом, в этой части работы исторический анализ позволяет раскрыть предпосылки формализма, а также выявить его историческую обусловленность развитием математики, развитием взглядов на природу исходных математических объектов.

В третьем параграфе первой главы «Историко-философские предпосылки программы формализма» выявляются предпосылки формализма в истории философского знания. В частности аргументируется, что идейные истоки формалистского обоснования

математики содержатся, начиная с античности, в трудах таких мыслителей, как Аристотель, являющийся основателем формальной логики. Одной из характерных черт его логики выступает анализ не конкретного, а формального компонента вывода, но вывода не только математического, а универсального и приемлемого для любой науки. Также связь трудов Аристотеля с трудами Гильберта можно обнаружить в признании важности символизации при обозначении используемых в выводах объектов и понятий. Помимо этого, Аристотель указывал на всеобщую значимость логических законов, что вполне созвучно идеям Гильберта, который, не утверждая главенствующую роль логики в математическом фундаменте, как например представители лошцистской программы, неявно, все же, признавал её фундаментальность. На наличие предпосылок формализма в идеях античных учёных указывает, в своих работах Майкл Детлефсен, позиция которого также освещается в данном параграфе работы. Таким образом, здесь аргументируется, что основание формалистского представления о природе математики закладывается уже в период расцвета античной науки.

Помимо вклада в развитие математических предпосылок формалистской программы оснований математики, Р. Декарт внёс значимый вклад и в философские предпосылки формализма. В его трудах методологической направленности формулируются описания методов анализа и синтеза, формулируются предпосылки требований полноты теории, выдвигается критерий «ясности в разуме», развитием которого можно назвать и принцип непротиворечивости у формалистов. В работах Декарта зарождается идея фундаментализма, утверждающая возможность выведения из исходного, безусловно истинного тезиса (cogito ergo sum), при помощи универсального метода, всего человеческого знания вообще. Это также выступает определенной предпосылкой требований и установок, принятых явно и имплицитно в программе Гильберта.

Важные философские предпосылки формализма обнаруживаются в трудах Лейбница, который, помимо переменных, использовал символизацию для выражения логических постоянных. Таким образом, он старался максимально абстрагироваться не только от реальных объектов, но и от повседневного языка, который хотя и необходим, но содержит много двусмысленностей. Он же является автором идеи построения нового символьного языка, который помог бы придать точность и ясность процессу умозаключения. Таким образом, общая идея универсального символьного языка, или «универсальной характеристики», на основании которой должна строиться вся система знания, обретающая, фактически, вид формализованной теории, возникает именно у Лейбница. Несомненный интерес для настоящего исследования представляет мнение Лейбница относительно бесконечности. В своих доказательствах он указывал на невозможность «идти до бесконечности», то есть, фактически,

допускал возможность использования в выводах только понятия потенциальной бесконечности.

Помимо этого, в параграфе аргументируется наличие формалистских предпосылок в трудах И. Канта (в работах критического периода), который придерживался мнения о полной бессодержательности формальной логики. Здесь присутствуют обращения к ряду критических исследований таких авторов как Целищев, Виганд, Смирнова и др., в той или иной форме указывающих на большое количество близких идей у Канта и Гильберта, относительно природы математических объектов и истин.

В качестве наиболее поздних трудов, в которых выявляются предпосылки установок и принципов формализма, в диссертационном исследовании рассматриваются работы Г. Грассмана, имеющие непосредственную связь с трудами Д. Гильберта. К таким работам относится, например, «Очерк общего учения о формах», где Грассман говорит о порождении усложнённых форм посредством синтетической операции. Сущностная общность между работами Грассмана и Гильберта, отмечаемая и Б.В.Бирюковым, обнаруживается в том, что они, с одной стороны, выступают за абстрактность и бессодержательность математических конструкций, и, с другой стороны, признают реальность объектов математики.

В данном параграфе аргументируется закономерность и эволюционная обусловленность философских взглядов представителей формалистского течения, аргументируется, что идея формализации знания не является исключительно идеей Гильберта, а представляет собой эволюционирующую совокупность взглядов, уходящих корнями в античность. Таким образом обосновывается, что идеи Гильберта являются не чем иным, как закономерным эволюционным витком в развитии представлений об онтологическом и гносеологическом статусе фундамента математики и составляющих его объектов.

Вторая глава «Интерпретация онтологических и гносеологических основ математического знания: выявление, развитие и реконструкция результатов формализма»

Первый параграф второй главы, «Бытийные и теоретико-познавательные аспекты логической составляющей математики в программе формализма», посвящен выявлению онто-гносеологических основ содержательного введения логических базисных понятий в формализме. В этой части работы обосновывается, что теоретико-познавательное и онтологическое значение логики, или логической составляющей математики в формалистской трактовке предполагает, во-первых, неотъемлемость логической компоненты в формировании и развитии научных (математических - прежде всего) областей знания, во-

вторых, недостаточность одной лишь логической компоненты, то есть необходимость понятийного содержательного каркаса, специфического для самой области, и, в-третьих, предполагает объективность логических истин, отражение логической компонентой связей между понятиями, соответствующих фактам, отношениям между объектами и явлениями изучаемой области действительности.

В данной части работы обосновывается, что формалистская трактовка сущностного значения логической компоненты основ математики не сводится лишь к признанию ее гносеологической универсальности, необходимости для построения всех систем знания вообще, логическая составляющая математики выступает одновременно и как самостоятельный бытийно-значимый компонент. На онтологическую значимость логической компоненты в математике и науке в целом указывает признание Гильбертом того, что возможности и границы аксиоматического метода вообще демонстрируются при его реализации в программе логицизма. Онтологический статус логической составляющей математики в программе формализма может быть интерпретирован как объективный, реальный. Это подтверждается многими содержательными положениями программы Гильберта.

В параграфе выявляется также наличие противоречий в содержательном и онто-гносеологическом обосновании, подводимом Гильбертом под свою программу. Так, Гильберт утверждает, в некоторых работах, что теория чисел и теория множеств в конце концов редуцируемы к логике, с другой стороны, при более глубоком рассмотрении этого вопроса он признает недостаточность одной лишь логической компоненты. Объективное рассмотрение этой ситуации однозначно приводит к признанию недостаточности логической составляющей, что подтверждает адекватность начальной установки диссертационного исследования о наличии трех (логической, арифметической и геометрической) сущностно первичных и равнозначных компонент математики.

Второй параграф второй главы «Формалистское истолкование онто-гносеологического статуса арифметической компоненты математики» посвящен выявлению онто-гносеологических основ содержательного введения арифметических базисных понятий в формализме. В этой части работы обосновывается, что арифметическая составляющая математического знания в трактовке формализма может быть интерпретирована как равнозначная с логической компонента. Гильберт

признает несводимость арифметической составляющей математики к логической, признает бытийную и теоретико-познавательную значимость, фундаментальность арифметической компоненты.

Учитывая то, что математика с позиций формализма трактуется большинством исследователей не как учение о мире, а как совокупность логических структур, в параграфе выявляется наличие противоречий в содержательной части программы, аргументируется фактическое признание Гильбертом наличия по крайней мере двух равнозначных составляющих основ математики - арифметической и логической, что в определенном смысле противоречит общепринятым представлениям о позиции формализма. Выявление недостаточности одной лишь логической компоненты подчёркивает плодотворность установки диссертационного исследования о существовании как минимум трёх компонент в основаниях математики, находящей подтверждение в трудах представителей программы формализма.

В данном параграфе выявляются исходные арифметические понятия в трактовке формализма. Это, прежде всего, единица, выступающая началом натурального ряда чисел, отношение равенства и операция порождения. При построении элементарной арифметики Гильберт говорит о ней, как о теории цифр, которые являются фигурами простого вида. В данной части работы выявляется противоречие, связанное с тем, что в большинстве высказываний Гильберт утверждает главенство в фундаменте арифметики порядковой характеристики числа. Но в работе «Об основаниях логики и арифметики» им обнаруживается недостаточность такого подхода, и выделяется важность количественной характеристики числа, которую, по мнению Гильберта, невозможно выразить посредством законов логики. В связи с тем, что сами числа, по его словам, выступают абстрактными конструкциями, их гносеологическое значение определяется связью между цифрами и понятием количества. То есть, несмотря на абстрактность понятия числа, в формалистском истолковании арифметики значение чисел состоит именно в их связи с реальными процессами действительности, выражающимися в количественных характеристиках.

В третьем параграфе второй главы «Интерпретация основ геометрической составляющей математики, их отношения к действительности и процессу познания в программе формализма» выявляются онто-гносеологические установки содержательного введения геометрических базисных понятий в формализме. Здесь раскрываются положения, позволяющие утверждать несводимость геометрической компоненты к логической и арифметической компонентам, утверждать сущностную самостоятельность базисных понятий геометрии. В этой части работы обосновывается, что геометрическая составляющая математики в программе формализма может также трактоваться с объективистских позиций. Высказывания Гильберта об абстрактном

отражении геометрией свойств протяженности материальных тел указывают на реалистическую позицию в этом вопросе. Что же касается гильбертовской аналогии между геометрией и физикой, то здесь необходимо признать, что эмниристское истолкование геометрической компоненты математики противоречит как множеству аргументов (прежде всего - отсутствие случаев подтверждения или опровержения геометрических истин эмпирическим путем), так и общей картине содержательного обоснования программы формализма. Такое противоречие возникает из-за традиционной для математиков небрежности Гильберта в терминологии и строгости рассуждений, относящихся к онтологическим и гносеологическим вопросам. В параграфе обосновывается, что признание объективности геометрических истин сочетается с указанием на их априорность, их включенность в структуру разума.

В данной части работы выявляются исходные объекты, выступающие в качестве базиса формалистского построения геометрии, среди которых можно выделить «точки», «прямые» и «плоскости». Помимо этого Гильбертом задаются исходные отношения между данными вещами, которые выражаются понятиями «принадлежит», «между» и «конгруентен». О данных понятиях говорится лишь то, что они удовлетворяют аксиомам, для них не даётся никаких прямых определений. На основании этих понятий происходит построение всей геометрии. Выделенный статус указанных понятий, то есть объектов и отношений, позволяет предположить их онтологическую и гносеологическую значимость. Остальные же положения теории выводятся по законам формальной логики из аксиом. Логика играет значительную роль при построении Гильбертом оснований геометрии, хотя это не говорит о возможности сведения геометрических истин к истинам логическим. В формалистской программе выявляются положения, позволяющие утверждать несводимость геометрической компоненты к логической и арифметической, говорить о сущностной самостоятельности базисных понятий геометрии. Аргументируется, что геометрическая составляющая математики в программе формализма может трактоваться с объективистских позиций. На справедливость данной точки зрения указывают, например, высказывания Гильберта об абстрактном отражении геометрией свойств протяженности материальных тел, что и означает реалистическую позицию в этом вопросе.

Таким образом, результаты, полученные в третьем параграфе, подтверждают исходные предположения о взаимной независимости логической, арифметической и геометрической составляющих, а также позволяют утверждать реалистичность трактовки объектов и истин математики (геометрии) представителями формалистского течения.

В четвертом параграфе второй главы «Онто-гносеологические аспекты оснований математики в программе формализма: итоги и перспективы, развитие и реконструкция», - заключительном параграфе работы, дается обобщенное и упорядоченное описание новой интерпретации онтологических и гносеологических установок формалистской программы обоснования математики. В данном параграфе предлагается интерпретация связи математических истин с действительностью и процессом познания, основанная на выявлении, реконструкции и развитии онто-гносеологических установок формализма. Здесь описываются выявленные бытийные и познавательные аспекты содержательного уровня формалистской программы, а также осуществляется развитие и реконструкция данных представлений. Выявляется, что фундаментальной значимостью в формалистской трактовке математики обладают, по меньшей мере, три ее составляющие: логическая, арифметическая и геометрическая. В параграфе аргументируется недостаточность и несводимость каждой из компонент к двум другим или какой-либо одной сущностно значимой компоненте. Таким образом, обосновывается их равнозначность. В данной части работы предлагается также теоретико-познавательная и онтологическая интерпретации этих компонент математики, основывающиеся на установках содержательной части программы формализма. Обосновывается, что в гносеологическом плане логическая, арифметическая и геометрическая компоненты математики трактуются в программе формализма с позиций априоризма.

Данная часть работы содержит также интерпретацию онтологического статуса составляющих математического знания, являющуюся реконструкцией и развитием установок формализма. Логическая, арифметическая и геометрическая составляющие математики, то есть их исходные истины и объекты, могут быть истолкованы как объективные, как некое, наиболее абстрактное отражение свойств действительности.

Логические исходные истины и отношения могут интерпретироваться как априорно заданное в разуме отражение свойств отношений между объектами и явлениями действительности, выраженными в законах и понятиях различных областей знания.

Геометрические исходные истины и отношения служат априорно заданным в разуме наиболее абстрактным отображением пространственных свойств материального мира.

Учитывая признание формализмом сущностной равнозначности арифметической составляющей и других компонент математики, арифметические исходные истины и отношения могут быть истолкованы как наиболее абстрактное априорно заданное в разуме отображение

количественных и порядковых свойств объектов и явлений действительности.

В параграфе дается описание противоречивых положений в онто-гносеологических представлениях Гильберта. В частности, описание противоречивости взглядов на роль логической компоненты в математическом знании. Раскрывается необоснованность высказываний Гильберта об эмпирическом характере геометрических и математических истин, поскольку эти высказывания не находят каких-либо оснований, подтверждений или следствий ни на содержательном, метатеоретическом уровне программы формализма, ни в формализованных теоретических разделах этой программы, ни в истории развития математики, поскольку они не имеют весомых аргументов в философии и методологии науки, а, напротив, противоречат многим убедительным аргументам.

В параграфе предлагается также истолкование значимости результатов К. Геделя для программы формалистского обоснования математики, опирающееся на построенную онто-гносеологическую интерпретацию установок этой программы. Оно состоит в том, что результаты Геделя (теоремы о неполноте) лишь подтвердили наглядно уже признанную Гильбертом онтологическую и гносеологическую значимость арифметической и геометрической компонент математики, недостаточность логической компоненты, несводимость к ней всех основ математики.

В заключении подводятся итоги исследования, освещаются основные результаты.

Приложение включает в себя схемы, наглядно отражающие результаты диссертационного исследования и их аргументацию.

Основные идеи диссертации отражены в следующих публикациях:

1. Алябьев Д.И. Об онтологических и гносеологических аспектах истолкования логики в направлении формализма / Д.И. Алябьев // ВЕСТНИК ОГУ №7(101)/июль 2009 - Оренбург: Изд-во Оренбургского ун-та, 2009.- С. 113-118. (Статья, 0,5 пл.)

2. Алябьев Д.И. О теоретико-познавательном и онтологическом статусе основных понятий арифметики в программе Д. Гильберта / Д.И. Алябьев // Проблемы онто-гносеологического обоснования математических и естественных наук № 2 - Курск, гос. ун-т. - Курск, 2009. - С. 6-14. (Статья, 0,5 п.л.)

3. Алябьев Д.И. К проблеме осмысления философско-математического наследия программы формализма / Д.И. Алябьев //

Философия математики: актуальные проблемы: Тезисы Второй международной научной конференции; 28-30 мая 2009 г. / Редкол.: Маркин В.И. и др. -М.: МАКС Пресс, 2009. - С. 4-6. (Тезис, 0,2 п.л.)

4. Алябьев Д.И. Онтологические и гносеологические аспекты формалистского истолкования логических основ математики / Д.И. Алябьев // Проблемы онто-гносеологического обоснования математических и естественных наук: сб. статей / под общ. ред. Е. И. Арепьева; Курск, гос. ун-т. - Курск, 2008. - С. 179-185. (Статья, 0,5 п.л.)

5. Алябьев Д.И. О программе формализма и проблемах обоснования математики / Д.И. Алябьев // Философия математики: актуальные проблемы. Материалы Международной научной конференции 15-16 июня 2007. - М„ Изд. Савин С.А., 2007. - С. 363-365. (Тезис, 0,2 п.л.)

6. Алябьев Д.И. Об онтологических и гносеологических аспектах оснований математики в программе формализма / Д.И. Алябьев // Проблема конструктивности научного и философского знания: Сборник статей: Выпуск шестой / Предисловие В.Т. Мануйлова. - Курск: Изд-во Курск, гос. ун-та, 2006. С. 109-113 с. (Статья, 0,4 п.л.)

7. Алябьев Д.И. О некоторых основных понятиях сущностного фундамента дифференциального и интегрального исчисления / Д.И. Алябьев И Проблема свободы личности и общества в социально-гуманитарном дискурсе: материалы всероссийской научной конференции (Курск, 16-17 мая 2006 г.). - Курск: Курск, гос. ун-т, 2006. - С. 374-376. (Тезис, 0,2 п.л.)

Подп. к печ. 25.06.2010 Объем 1 п.л. Заказ № 80 Тир 100 экз. Типография МИГУ

Оглавление научной работы автор диссертации — кандидата философских наук Алябьев, Дмитрий Иванович

Введение.

Глава 1. Проблемы и предпосылки формалистского истолкования онтологических и теоретико-познавательных основ математики

§1. Проблема осмысления онто-гносеологического наследия программы формалистского обоснования математики.

§2. Предпосылки формалистского истолкования природы математики в истории математического знания.

§3. Историко-философские предпосылки программы формализма.

Глава 2. Интерпретация онтологических и гносеологических основ математического знания: выявление, развитие и реконструкция результатов формализма

§1. Бытийные и теоретико-познавательные аспекты логической составляющей математики в программе формализма.

§2. Формалистское истолкование онто-гносеологического статуса арифметической компоненты математики.

§3. Интерпретация основ геометрической составляющей математики, их отношения к действительности и процессу познания в программе формализма.

§4. Онто-гносеологические аспекты оснований математики в программе формализма: итоги и перспективы, развитие и реконструкция.

Введение диссертации2010 год, автореферат по философии, Алябьев, Дмитрий Иванович

Актуальность темы исследования

Тема исследования является актуальной в свете ряда обстоятельств.

В-третьих, ситуация с программой формализма в основаниях математики и, прежде всего, в ее философской составляющей, оказывается в настоящий момент весьма неоднозначной. С одной стороны, цели формализма, история развития, мнения его представителей по разным, в том числе онтологическим и гносеологическим вопросам обоснования математики достаточно обстоятельно исследованы в работах отечественных и зарубежных авторов. Однако известно, что полностью реализовать программу формализма оказалось невозможным, из чего следует, что философско-методологические установки этого течения, а именно — представления о природе математики, ее связи с действительностью и процессом познания, в интерпретации представителей формализма, не вполне соответствуют настоящему положению дел. В то же время, формализм выступает в качестве одного из наиболее значимых течений, оказавших огромное влияние на дальнейшее развитие математики и ее оснований. В связи с этим естественно возникает вопрос о причине влиятельности формализма, изначально опирающегося, как принято считать, на неточные установки и представления. Этот вопрос в качестве наиболее значимой составляющей, на наш взгляд, включает в себя следующую проблему: как могут быть на сегодняшний день интерпретированы онтологические и гносеологические основы математики посредством анализа способов содержательного введения и функционирования базисных математических понятий в концепциях формализма, а также посредством анализа развития этого течения?

Степень научной разработанности проблемы.

Это исследования, направленные на рассмотрение проблем теоретико-множественного обоснования математики, путей преодоления трудностей «наивной» теории множеств, с выявлением позитивного вклада программ формализма, логицизма и интуиционизма. Работы, связанные с проблемами методологии науки вообще и математики в частности, в которых происходит осмысление эволюции аксиоматического метода, осмысление роли метатеории в математических дисциплинах. К числу авторов таких исследований относятся И. Бар-Хиллел, Б.В. Бирюков, Л.Г. Бирюкова, В.Н. Брюшинкин, Ван Хао, М. Даммит, В.Н. Катасонов, В.Я. Перминов, Г.И. Рузавин, Р. Столл, А. Френкель, В.В. Целищев, А. Чёрч, С.А. Яновская и др.

Труды, посвященные логическим, семиотическим и методологическим аспектам развития математики и науки в целом, таких авторов как В.Ф. Асмус,

A.В. Бессонов, Н. Бурбаки, Г. Генцен, К. Гёдель, И.Н. Грифцова, А.С. Есенин-Вольпин, А.С. Карпенко, Х.Б. Карри, С.К. Клини, У. Куайн, И. Лакатос, Я. Лукасевич, В.Т. Мануйлов, А.А. Марков, П.С. Новиков, В.Я. Перминов, Е.Д. Смирнова, А.Л. Субботин, В.А. Суровцев, Г. Фреге, В.В. Целищев, А. Чёрч и др.

Работы, посвященные разработке историко-философских аспектов развития математики, исследованию философско-математических течений и программ обоснования, таких авторов как Б.В. Бирюков, А.Ф. Грязнов,

B.Н. Катасонов, М.С. Козлова, В.И. Колядко, А.Ф. Кудряшев, З.А. Кузичева, Г.Г. Майоров, П. Мартин-Лёф, В.В. Мороз, М.И. Панов, А.А. Побережный, А.В. Родин, В.А. Шапошников, А.П. Юшкевич и др.

A.Г. Барабашев, М. Детлевсон, М.И. Панов, В.Я. Перминов, З.А. Сокулер,

B.В. Целищев, С. Шапиро и др.

При разработке темы диссертации использовались результаты, содержащиеся в учениях, работах таких классиков и выдающихся представителей мировой философии и науки, как Аристотель, П. Бернайс, Г. В ей ль, Л. Витгенштейн, А. Гейтинг, К. Гёдель, Д. Гильберт, Р. Дедекинд, Р. Декарт, Евклид, И. Кант, Г. Кантор, Р. Карнап, А.Н. Колмогоров, Р. Курант, Г. Лейбниц, А.Ф. Лосев, К. Маркс, Папп, Прокл, А. Пуанкаре, Б. Рассел, Г. Фреге и др.

О.А. Габриелян, В.И. Жог, В.П. Казарян, О.И. Кедровский, В.Н. Князев,

A.Н. Кочергин, М.А. Розов, Г.И. Рузавин, В.А. Успенский и др.

B.А. Лекторский, А.П. Огурцов, Б.И. Пружинин, В.Н. Садовский, Ю.В. Сачков, Ю.С. Степанов, B.C. Степин, B.C. Швырев, Я.С. Яскевич и др.

Наконец, тема диссертации связана с современными отечественными исследованиями, направленными на разработку теоретико-познавательных и онтологических проблем математического знания на настоящем этапе развития науки, философии, методологии. Это труды таких авторов как Е.И. Арепьев, Г.Б. Гутнер, С.Л. Катречко, А.В. Коганов, А.Н. Кричевец, А.Ф. Кудряшев, В.Я. Перминов, В.В. Целищев и др.

Вместе с тем, развернутого исследования бытийных и познавательных установок программы формализма, на основе принятия установки о наличии трех равноправных компонент фундамента математического знания -логической, арифметической и геометрической, а также попыток реконструкции идей этого течения для построения интерпретации, раскрывающей связь логических, арифметических и геометрических истин и объектов с действительностью и процессом познания, до настоящего времени не предпринималось ни в отечественной, ни в зарубежной литературе. Данная диссертация, таким образом, призвана до определенной степени заполнить пробел в рассматриваемой проблемной области.

Цель и задачи диссертационного исследования

Реализация цели предполагает решение следующих задач: раскрытие современной проблемной ситуации в осмыслении онтологических и гносеологических установках программы формализма; выявление предпосылок формализма в эволюции математического знания, экспликация историко-философских предпосылок математического формализма; интерпретация онто-гносеологических основ содержательного введения логических базисных понятий в формализме; истолкование онто-гносеологических основ содержательного введения арифметических базисных понятий в формализме; выявление онто-гносеологических основ содержательного введения геометрических базисных понятий в формализме; построение интерпретации онтологических и гносеологических принципов формалистского обоснования математики в свете современной ситуации в математическом знании и его философских основаниях.

Теоретико-методологические основы исследования

К методам, используемым в диссертации, относится логико-лингвистический анализ, элементы системного подхода, герменевтическая интерпретация. Значительное место в работе занимают методы историко-философского анализа, историко-философская реконструкция, сравнительный и интерпретирующий анализ, благодаря которым появляется возможность прояснить природу оснований математики через раскрытие ее генезиса, через описание эволюции ее философского осмысления, через реконструкцию элементов содержательного уровня программ обоснования математики.

В силу того, что работа связана с раскрытием теоретико-познавательных и онтологических аспектов, в ней используются методы контекстуального анализа и абстрагирования, которые служат для выявления смысловых вариаций математических понятий в естественном языке.

Научная новизна исследования

- принята установка о наличии в основах математики как минимум трех сущностно первичных и самостоятельных компонент - арифметической, геометрической и логической;

- выявлено, что возникновение формалистской программы обоснования математики обусловлено теоретическими предпосылками в истории математики и философии, начиная с античности;

- обосновано, что теоретико-познавательное и онтологическое значение логической составляющей математики в формалистской трактовке предполагает, во-первых, априорную заданность и объективность логических истин, неотъемлемость логической компоненты в формировании научных (математических) областей знания; во-вторых, наряду с логической составляющей, необходимость содержательного понятийного аппарата, специфического для самой области; в-третьих, отражение логической компонентой связей между понятиями и принципами, соответствующими фактам, отношениям, объектам и явлениям изучаемой области действительности;

Теоретическая и практическая значимость работы

Апробация диссертации

Основная часть задач настоящего исследования вошла в содержание научно-исследовательского проекта «Онтологические и гносеологические основы математического знания в направлениях философии математики конца XIX-XX столетия», получившего поддержку РГНФ, грант № 08-03-00049а продолжающийся коллективный проект, в котором автор является исполнителем). Результаты, полученные автором и входящие в данную диссертацию, отражены в публикациях (в том числе центральных периодических изданиях, рекомендованных ВАК для публикации результатов диссертационных исследований).

Заключение научной работыдиссертация на тему "Онтологические и гносеологические основания математики в программе формализма"

Заключение

В заключении мы можем сформулировать ряд результатов, полученных в ходе диссертационного исследования.

Так, мы можем считать обоснованным наличие проблемной ситуации в осмыслении онтологических и гносеологических установках программы формализма. В частности, мы установили, что мнения представителей формализма о характере связи математических истин и объектов с действительностью и процессом познания, на основе которых Гильберт и его последователи прогнозировали возможность формализации математического знания и его развития формалистическими методами, оказались не вполне адекватны существующему положению дел. В настоящее время очевидно, что в полной мере реализовать задачи программы формализма не удалось, на что указывает и сама история эволюции этого течения, и результаты развития других программ обоснования математики, и результаты, полученные К. Геделем. Вместе с тем, выявляется невозможность трактовки формалистских взглядов на природу математики как полностью ошибочных. Программа формализма, ее методы и результаты, образцы постановки и решения проблем прочно входят в структуру математического знания. Таким образом, вполне очевидной становится проблема адекватного истолкования позитивной составляющей в онтологических и гносеологических аспектах формалистского построения математических областей, введения исходных объектов и истин в формалистской программе оснований математики.

В работе обосновано, что выявление и развитие указанных позитивных аспектов возможно и перспективно путем исследования содержательного уровня программы формализма, анализа способов введения и функционирования на этом уровне базисных понятий и объектов математических областей. Можно также считать вполне обоснованной допустимость принятия установки о наличии, по меньшей мере, трех равнозначных составляющих математики, онто-гносеологические основы которых нетождественны между собой. Это арифметическая, геометрическая и логическая компоненты. Мы, таким образом, утверждаем перспективность исследования формалистских способов введения и особенностей функционирования на содержательном уровне базисных понятий и утверждений арифметики натуральных чисел, геометрии и логики.

Проведенное исследование позволяет заключить, что идейные истоки формалистского обоснования математики содержатся, начиная с античности, в учениях таких математиков, как Пифагор, в его идеях о том, что математика является универсальным языком выражения законов природы. Предпосылки формализма обнаруживаются у Демокрита, пытающегося конструировать математическое знание исходя из идей атомов как основы бытия, а так же Анаксагора с его концепцией о бесконечно делимых точках, в учении об отношениях и строгих методах предельных переходов Евдокса, идеях аксиоматического построения геометрии Евклида.

Зародившиеся в греческой математике предпосылки формализма получают своё развитие в трудах Ферма и Декарта по созданию аналитической геометрии, в работах Ньютона и Лейбница по дифференциальному и интегральному исчислению, выявивших огромную значимость абстрактных понятий в математике, их необходимость для развития математического знания. Обобщение предпосылок формального истолкования математики обнаруживается в работах предшественников Гильберта, таких как Дедекинд, работы которого были одними из первых, где основные объекты арифметики вводились аксиоматически, Пеано, завершившего аксиоматическое построение арифметики, Лобачевский, открывший «неевклидову» геометрию, Бельтрами который показал, что геометрия Лобачевского вполне совпадает с системой Евклида для особой поверхности, Риман, Дж. Венн, считавший одной из наиболее важных задач символической логики создание особого языка, благодаря которому можно было расширить применение логических процессов, де Морган, работавший в направлении объединения логики и математики. Таким образом, в развитии математического знания просматриваются истоки и исторические тенденции символизации математики, впоследствии приведшие к попыткам формализовать не отдельные ее части, а всю математическую теорию. Раскрытие предпосылки формализма указывает на его историческую обусловленность развитием всей математики, развитием взглядов на природу исходных математических объектов.

Идейные истоки формалистского обоснования математики содержатся также, начиная с античности, в эволюции философии, в трудах таких мыслителей, как Аристотель, являющийся основателем формальной логики. Одной из характерных черт его логики выступает анализ не конкретного, а формального компонета вывода, но вывода не только математического, а универсального и приемлемого для любой науки. Также связь трудов Аристотеля с трудами Гильберта можно обнаружить в признании важности символизации при обозначении используемых в выводах объектах. Можно отметить, что помимо вклада в развитие математических предпосылок формалистской программы оснований математики, Р. Декарт внёс значимый вклад и в философские предпосылки этого течения. В его трудах методологической направленности формулируются описания методов анализа и синтеза, предпосылки требования полноты теории, выдвигается критерий «ясности в разуме», развитием которого можно назвать и принцип непротиворечивости у формалистов.

Важные философские предпосылки формализма обнаруживаются у Лейбница, который, помимо переменных, использовал символизацию для выражения логических постоянных. Таким образом, он старался максимально абстрагироваться не только от реальных объектов, но и от повседневного языка, который, хотя и необходим, содержит много двусмысленностей. Лейбниц является автором идеи построения нового символьного языка, который помог бы придать точность и ясность процессу умозаключения. Таким образом, общая идея универсального символьного языка, или «универсальной характеристики», на основании которого должна строиться формализованная теория, возникает именно у Лейбница. Мы можем отметить также наличие формалистских предпосылок в философских трудах И. Канта (в работах критического периода), который придерживался мнения о полной бессодержательности (аналитичности) формальной логики.

В ходе диссертационного исследования выяснено, что теоретико-познавательное и онтологическое значение логики, или логической составляющей математики в формалистской трактовке предполагает, во-первых, неотъемлемость логической компоненты в формировании и развитии научных (математических - прежде всего) областей знания, во-вторых, недостаточность одной лишь логической компоненты, то есть необходимость понятийного содержательного каркаса, специфического для самой области, и, в-третьих, предполагает объективность логических истин, отражение логической компонентой связей между понятиями, соответствующих фактам, отношениям между объектами и явлениями изучаемой области действительности.

В содержательной части построений Гильберта выявлены положения, позволяющие утверждать, что при построении логического базиса математики Гильберт приходит не только к признанию неотъемлемости и нередуцируемости логических компонент в основаниях математики, но и к признанию их недостаточности, к признанию необходимости других составляющих, имеющих сущностную значимость. Формалистская трактовка сущностного значения логической компоненты основ математики не сводится лишь к признанию ее гносеологической универсальности, необходимости для построения всех систем знания вообще, логическая составляющая математики выступает одновременно и как самостоятельный бытийно-значимый компонент. На онтологическую значимость логической компоненты в математике и науке в целом указывает признание Гильбертом того, что возможности и границы аксиоматического метода вообще демонстрируются при его реализации в программе логицизма. Онтологический статус логической составляющей математики в программе формализма может быть интерпретирован как объективный, реальный. Это подтверждается многими содержательными положениями программы Гильберта.

Можно отметить также наличие противоречий в содержательном и онто-гносеологическим обосновании, подводимом Гильбертом под свою программу. Так, Гильберт утверждает, в некоторых работах, что теория чисел и теория множеств в конце концов редуцируемы к логике, с другой стороны, при более глубоком рассмотрении этого вопроса, он признает недостаточность одной лишь логической компоненты. Объективное рассмотрение этой ситуации однозначно приводит к признанию недостаточности логической составляющей, что подтверждает адекватность начальной установки диссертационного исследования о наличии трех (логической, арифметической и геометрической) сущностно-первичных и равнозначных компонент математики.

Исследование показало, что арифметическая составляющая математического знания в трактовке формализма может быть интерпретирована как равнозначная с логической компонента. Гильберт признает несводимость арифметической составляющей математики к логической, признает бытийную и теоретико-познавательную значимость, фундаментальность арифметической компоненты. Учитывая, что математика с позиций формализма трактуется большинством исследователей не как учение о мире, а как совокупность логических структур, нами выявляется наличие противоречий в содержательной части программы, аргументируется фактическое признание Гильбертом наличия по крайней мере двух равнозначных составляющих основ математики - арифметической и логической, что в определенном смысле противоречит общепринятым представлениям о позиции формализма. Мы выявили также исходные арифметические понятия в трактовке формализма. Это, прежде всего, единица, выступающая началом натурального ряда чисел, отношение равенства и операция порождения.

Можно также считать обоснованной несводимость геометрической компоненты к логической и арифметической компонентам, то есть утверждать сущностную самостоятельность базисных понятий геометрии. Геометрическая составляющая математики в программе формализма рассматривается с объективистских позиций. Высказывания Гильберта об абстрактном отражении геометрией свойств протяженности материальных тел указывают на реалистическую позицию в этом вопросе. Что же касается гильбертовской аналогии между геометрией и физикой, то здесь необходимо признать, что эмпиристское истолкование геометрической компоненты математики противоречит как множеству аргументов (прежде всего — отсутствие случаев подтверждения или опровержения геометрических истин эмпирическим путем), так и общей картине содержательного обоснования программы формализма. Такое противоречие возникает из-за традиционной для математиков небрежности Гильберта в терминологии и строгости рассуждений, относящихся к онтологическим и гносеологическим вопросам. Признание формализмом объективности геометрических истин сочетается с указанием на их априорность, их включенность в структуру разума.

В итоге мы можем предложить интерпретацию связи математических истин с действительностью и процессом познания, основанную на выявлении, реконструкции и развитии онто-гносеологических установок формализма. Главное внимание привлекают бытийные и познавательные аспекты содержательного уровня формалистской программы, выявляемые и включаемые нами в развитие и реконструкцию данных представлений.

Итак, фундаментальной значимостью в формалистской трактовке математики обладают, по меньшей мере, три ее составляющие: логическая, арифметическая и геометрическая. Можно считать обоснованной недостаточность и несводимость каждой из компонент к двум другим или какой-либо одной сущностно значимой компоненте. Таким образом, обоснована их равнозначность. Теоретико-познавательная и онтологическая интерпретации этих компонент математики, основывающиеся на установках содержательной части программы формализма, состоит в том, что в гносеологическом плане логическая, арифметическая и геометрическая компоненты математики трактуются в программе формализма с позиций априоризма. Онтологический же статус составляющих математического знания, на основе реконструкции и развития установок формализма можно описать следующим образом: логическая, арифметическая и геометрическая составляющие математики, то есть их исходные истины и объекты, могут быть истолкованы как объективные, как некое, наиболее абстрактное отражение свойств действительности.

В связи с вопросом об истолковании значимости результатов К. Геделя для программы формалистского обоснования математики, опираясь на построенную онто-гносеологическую интерпретацию установок этой программы, мы можем заключить, что результаты Геделя (теоремы о неполноте) лишь подтвердили наглядно уже признанную Гильбертом онтологическую и гносеологическую значимость арифметической и геометрической компонент математики, недостаточность логической компоненты, несводимость к ней всех основ математики.

- 112

Список научной литературыАлябьев, Дмитрий Иванович, диссертация по теме "Философия науки и техники"

1. Антонова О.А. Соловьев С.В. Аксиоматика и очевидность // Логико-философские штудии. СПб., 2006. - Вып.4. - С. 3-11.

2. Апестов С.М. Парадоксы Брауэра антиномии чистого разума: приближение к трансцедентально-логическому источнику интуиционизма // Вестник Нижегородского университета. Сер.:Соц.науки. Н.Новгород, 2005. - Вып. 1. - С.445-462.

3. Арепьев Е.И. Преодоление кризиса теории множеств и становление аналитической философии математики // Актуальные проблемы социогуманитарного знания. Сборник научных трудов кафедры философии МПГУ. Выпуск XIV. М.: «Прометей», 2002.

4. Арепьев Е.И. Философия математики и ее аналитическая трактовка в свете теоретико-множественного подхода к обоснованию математического знания. Курск: Изд-во Курск, гос. пед. ун-та, 2001.

5. Арепьев Е.И. О сущностном фундаменте математики и ее арифметической составляющей / Е.И. Арепьев // Философская Россия 1/2006. -М.: Изд-во РУДН, 2006. С. 99-108.

6. Арепьев Е.И. Онтологические и гносеологические компоненты оснований математики: геометрическая составляющая / Е.И. Арепьев // Философская Россия 3/2007. -М.: Изд-во РУДН, 2007. С. 144-151.

7. Аристов В.В. Связь математики и физики и новые математические проблемы, определяемые конструкцией реляционно-статистического пространства-времени // Философия математики: актуальные проблемы.

8. П.Аристотель. Топика // Соч. в 4-х т. Т. 2. - М.: «Мысль», 1975. - 550 с.

9. Арнольд И.В. Теоретическая арифметика — М.: Гос. уч.-пед. изд-во, 1938. -481 с.

10. Аршинов В.И., Свирский Я.И. На пути к рекурсивному этосу постклассической науки // Этос науки. М., 2008. - С.234-254.

11. Асмус В.Ф. Проблемы интуиции в философии и математике. — М., 1965.

12. Асмус В.Ф. Учение логики о доказательстве и опровержении. М.: Госполитиздат 1954. - 88 с.

13. Башмакова И.Г. Древняя Греция // История математик. T.I. Под. ред. А.П. Юшкевича. М.: Изд-во «Наука», 1970. — 352 с.

14. Башмакова И.Г. Эллинистические страны и Римская империя //История математик. T.I. Под. ред. А.П. Юшкевича . -М.: Изд-во «Наука», 1970. -352 с.

15. Безобразов М.В. Критика применимости теоремы Гёделя к вычислительное™ разума // Актуал. Пробл. Соврем. Науки. М., 2005. -№ 2. - С. 58-60.

16. Белл Э.Т. Творцы математики // Пер. В.Н. Тростникова, С.Н. Киро, Н.С. Киро. М.: Изд-во «Просвещение», 1979. - 256 с.

17. Белоусов А.И. Категория количества в «Науке логики» Гегеля и её интерпретация в свете современной математики // Число: Сб. статей. -М.: МАКС Пресс, 2009. С. 35-65.

18. Белякин Н.В. О несуществовании больших кардиналов // Число: Сб. статей. -М.: МАКС Пресс, 2009. С. 169-192.

19. Берестов И.В. Возможные отношения между онтологией, гносеологией и аксиологией // Актуальные проблемы гуманитарных и социальных исследований. — Новосибирск, 2006. С 95-100.

20. Берлянд И.Е. «Числа бывают разные» // Число: Сб. статей. М.: МАКС Пресс, 2009. - С. 66-78.

21. Бирюков Б.В. У истоков отечественных исследований по поиску логического вывода // Вопросы философии. М. 2006. - №12. С. 99-119

22. Бирюков В.Б. Жар холодных чисел и пафос бесстрастной логики. Формализация мышления от античных времён до эпохи кибернетики. 2-е изд., перерад. и дополн. — М.: Изд-во «Знание», 1985. - 192 с.

23. Бонч-Осмоловская. Раймон Кено: писатель-математик // Число: Сб. статей. -М.: МАКС Пресс, 2009. С. 249-250.

24. Брюшинкин В.Н., Ходикова Н.А. Рациональная реконструкция происхождения теории поиска вывода из гильбертовской теории доказательств // Модели рассуждений 1: Логика и аргументация. -Калининград, 2007. С.205-218.

25. Бурбаки Н. Теория множеств // Пер. Г.Н. Поварова, Ю.А. Шихановича. -М.: Изд-во «Мир», 1965. 456 с.

26. Ван Хао, Мак-Нотон Р. Аксиоматические системы теории множеств //Перевод И.Б. Погребысского, под ред. JI.A. Калужина. — М.: Изд-во иностранной литературы, 1963. 56 с.

27. Васюков B.JI. Проблема структуры универсальной логики // Логические исследования = Logical investigations. М., 2006. - Вып. 13. - С. 95-113.

28. Веденова Е.Г. Граница, континуум и число // Число: Сб. статей. — М.: МАКС Пресс, 2009. С. 79-98.

29. Вейль Г. О философии математики. М. — Л.: Гос. техн.-теор. изд-во, 1934.- 128 с.

30. Виганд О. «Знаки in concreto» к кантовскому «формалистическому» обоснованию математики (пер. с нем. A.M. Сологубова) // Логическое кантоведение-4: Труды международного семинара / Калинингр. ун-т. -Калининград, 1998. - С. 216-238.

31. Вико Д.Б. Основания новой науки об общей природе наций. Л.: ГИХЛ, 1940.-619 с.

32. Витгенштейн Л. Философские работы. Ч. II. Замечания по основаниям математики.—М.: 1994.

33. Войцехович В.Э. Математика в предчувствии перемен // IX Всесоюзная конференция по логике, философии, методологии науки. Минск, 1989.

34. Войцехович В.Э. Антропный принцип как философско-математическая проблема: существует ли число человека? // Вестник Тверского государственного университета. Серия «Философия». № 3 (31). 2007. С. 23-32.

35. Волошинов А.В. Математика и искусство. М.: "Посвещение", 2006. -399 с.

36. Воропаева Е.В. Назначение языка в символической модели познания // Вести. Оренбургский государственный университет. Оренбург, 2006. -Спец.выпуск 4.г. - С.444-449.

37. Габриелян О. А. Математическое познание : Диалектика объективного и субъективного / О. А. Габриелян; АН АрмССР, Ин-т философии и права -Ереван: Изд-во АН АрмССР 1987.

38. Гайденко П.П. Прорыв к трансцендентному. Новая онтология XX века. — М.: Республика, 1997.

39. Гёдель К. Об одном еще не использованном расширении финитной точки зрения //Математическая теория логического вывода. Сборник переводов под. ред. А.В. Идельсона и Г.Е. Минце. М.: Изд-во «Наука», 1967. - 351 с.

40. Генцен Г. Исследования логических выводов // Математическая теория логического вывода. Сборник переводов под. ред. А.В. Идельсона и Г.Е. Минце. -М.: Изд-во «Наука», 1967. 351 с.

41. Генцен Г. Непротиворечивость чистой теории чисел //Математическая теория логического вывода. Сборник переводов под. ред. А.В. Идельсона и Г.Е. Минце. М.: Изд-во «Наука», 1967. - 351 с.

42. Гильберт Д. Аккерман В. Основы теоретической логики // Пер. А. А. Ерофеева. М.: Изд-во иностранной литературы, 1947. - 306 с.

43. Гильберт Д. Аксиоматическое мышление // Гильберт Д. Избранные труды. Т. I. Пер. Ю. А. Данилова. М.: Изд-во «Факториал», 1998. - 575 с.

44. Гильберт Д. Бернайс П. Основания математики. Т. I // Пер. Н. М. Нагорного. М.: Изд-во «Наука», 1979. - 557 с.

45. Гильберт Д. Бернайс П. Основания математики. Т. II // Пер. Н. М. Нагорного. М.: Изд-во «Наука», 1982. - 652 с.

46. Гильберт Д. Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия // Пер. С.А. Каменецкого. М.: НКТП СССР, 1936. - 304 с.

47. Гильберт Д. Логические основания математики // Гильберт Д. Избранные труды. Т. I. Пер. 3. А. Кузичевой. М.: Изд-во «Факториал», 1998. - С. 418-430.

48. Гильберт Д. Математические проблемы //Проблемы гильберта. Пер. М.Г. Шестопал, А.В. Дорофеевой. -М.: "Исфара", 2000.-238 с.

49. Гильберт Д. О бесконечном // Гильберт Д. Избранные труды. Т. I. Пер. Н. М. Нагорного. М.: Изд-во «Факториал», 1998. - С. 431-448.

50. Гильберт Д. Об основаниях логики и арифметики // Гильберт Д. Избранные труды. Т. I. Пер. 3. А. Кузичевой. М.: Изд-во «Факториал», 1998.-С. 399-408.

51. Гильберт Д. Основания геометрии // Пер. А.В. Васильева. Петроград.: "Сеятель", 1923.- 152 с.

52. Гильберт Д. Основания геометрии // Пер. И.С. Градштейна. М.: Гос. изд-во технико-теорет. лит-ры, 1948. -491 с.

53. Гильберт Д. Познание природы и логика // Гильберт Д. Избранные труды. Т. I. Пер. Н. М. Нагорного. -М.: Изд-во «Факториал», 1998. С. 457-468.

54. Гильберт Д. Проблемы обоснования математики // Гильберт Д. Избранные труды. Т. I. Пер. 3. А. Кузичевой. М.: Изд-во «Факториал», 1998.-С. 449-456.

55. Глебкин В.В. Число у Плотина и Августина // Число: Сб. статей. — М.: МАКС Пресс, 2009. С. 264-290.

56. Гнеденко Б.В. Математика и научное познание. -М.: "Знание", 1983.

57. Горский Д.П. Роль языка в познании // Мышление и язык / Под редакцией Д. П. Горского. М.: Государственное издательство Политической литературы, 1957. — С. 73-117.

58. Григорян А. А. Закономерности и парадоксы развития теории вероятностей. Философско-методологический анализ. М.: Изд. Едиториал УРСС, 2004. - 120 с.

59. Грифцова И.Н. Логика как теоретическая и практическая дисциплина. К вопросу о соотношении формальной и неформальной логики. М., 1998. - 110с.

60. Грифцова И.Н. Логический анализ научной теории и не-фрегевская логика //Логика и системные методы анализа научного знания. Харьков 1986.

61. Грязнов А.Ф. Аналитическая философия — М.: Высшая школа, 2006. — 375 с.

62. Гудсейн Р.Л. Математическая логика //Перевод B.C. Чернявского, под. ред С.А. Яновской. — М.: Изд-во иностранной литературы, 1961. 164 с.

63. Гутнер Г.Б. Онтология математического дискурса.

64. Гутнер Г.Б. Философия языка: учеб. пособие / Г.Б. Гутнер. М. : Изд-во УРАО, 2001.

65. Гутнер Г.Б. Число и онтологические допущения // Число: Сб. статей. — М.: МАКС Пресс, 2009. С. 99-115.

66. Данилов Ю.А. Джон фон Нейман. -М.: Изд-во «Знание», 1990. 64 с.

67. Дедекинд Р. Что такое числа и для чего они служат? Казань, 1905. -34 с.

68. Декарт Р. Рассуждения о методе. Л., 1953. - 665 с.

69. Декарт Р. Сочинения: в 2-х томах. Т.1. М.: Мысль, 1989. - 654 с.

70. Декарт Р. Сочинения: в 2-х томах. Т.2. М.: Мысль, 1994. - 654 с.

71. Демидов С.С. О работе Д. Гильберта "Аксиоматическое мышление" //Методологический анализ оснований математики. Под. ред. М.И. Панова. -М.: Изд-во «Наука», 1988. 176 с.

72. Добронравов С.В. Платон о природе числа // Число: Сб. статей. М.: МАКС Пресс, 2009. - С. 291-304.

73. Доманова О.А. субъективность и формальные символические системы // Актуальные проблемы гуманитарных и социальных исследований — Новосибирск, 2008 С.99-102.

74. Дьедонне Ж. Основы современного анализа -М: Мир, 1964.

75. Дьедонне Ж. Линейная алгебра и элементарная геометрия -М.:Наука, 1972.

76. E.Д. Смирнова. Логика и философия. М.: Изд-во «Российская политическая энциклопедия» (РОССПЭН), 1996. — 304 с.

77. Евклид. Начала. Книги I-VI //Перевод и комент. Д.Д. Мордухай-Болтовского. — М-Л.: ОГИЗ гос. изд. Технико-теоретической лит-ры,1948.-447 с.

78. Евклид. Начала. Книги VII-X //Перевод и комент. Д.Д. Мордухай-Болтовского. М-Л.: ОГИЗ гос. изд. Технико-теоретической лит-ры,1949.-511 с.

79. Евклид. Начала. Книги XI-XV //Перевод и комент. Д.Д. Мордухай-Болтовского. — М-Л.: ОГИЗ гос. изд. Технико-теоретической лит-ры,1950.-331 с.

80. Еремеев В.Е. Числовая структура древнекитайской системы люй // Число: Сб. статей. М.: МАКС Пресс, 2009. - С. 305-314.

81. Жог В.И., Канке В.А. Проблема реальности и статуса форм времени и пространства // Философские науки, М., 1981

82. Зайцев Е.А. Задача Эйлера о мостах и «геометрия (рас)положения

83. Лейбница» // Число: Сб. статей. М.: МАКС Пресс, 2009. - С. 315-325. 88.3енкин А.А. Эпистемология и мифология числа // Число: Сб. статей. — М.:

84. МАКС Пресс, 2009. С. 193-211. 89.Зиновьев А.А. Логический интеллект// Московский гуманитарный университет. Шк. Методологии социальных исследований А.А. Зиновьева. - 2-е изд., испр. — М., 2006. — 282 с.

85. Иванов Е.М. О геделевском аргументе против искусственного интеллекта // Философия математики: актуальные проблемы. Материалы международной научной конференции 15-16 июня 2007. -М.: Изд. Савин С.А., 2007.-С. 142-144.

86. Ивлев Ю.В. Логика и реальность // Философии и общество Philisophi а societyio - М., 2007. - №4. С. 164-174.

87. Ивс Г., Ньюсом К. О математической логике и философии математики. — М.: «Знание», 1968. 48 с.

88. Ильичёв Л.Ф. Философия и научный прогресс: Проблемы естествознания и обществознания. — М.: "Наука", 1977.

89. Каган В.Ф. Вступительные статьи //Геометрические исследования по теории парралельных линий. М.-Л.: Изд-во академии наук СССР, 1945. -176 с.

90. Казарян В.П. Понятие времени в структуре научного знания. М.: Изд-во МГУ, 1980.

91. Казимиров Н.И. Введение в аксиоматическую теорию множеств. -Петрозаводск: Изд-во «не опр.», 2000. 104 с.

92. Кановей В.Г. Определимость с помощью степеней конструктивности //Исследования по теории множеств и неклассическим логикам. — М.: Изд-во «Наука», 1976. 329 с.

93. Кант И. Критика чистого разума. — М.: Мысль, 1994. — 592 с.

94. Кантор Г. Основания арифметики // Кантор Георг. Труды по теории множеств. -М.: Изд-во «Наука», 1985.

95. Карпенко А.С. Логика в России. Вторая половина XX века // Вопросы философии, № 9, 1999. С. 148-158.

96. Карпенко А.С. Импликации следования, строгая, релевантная, интуиционистская и классическая и их взаимоотношения // Логические исследования. Вып. 6. М.: Наука, 1999. С. 76-80.

97. Карпунин В.А. Формальное и интуитивное в математическом познании. Л., изд-во ЛГУ, 1983.

98. Карри Б.Х. Основания математической логики // Пер. В.В. Донченко, под. ред. Ю.А. Гасгева. -М.: "Мир", 1969. 568 с.

99. Касавин И. Т. О дескриптивном понимании истины. — «ФН», 1990, № 8; Ayer A. Language, Truth and Logic. L., 1958.

100. Катасонов B.H. Метафизическая математика XVII в. М.: Изд-во «Наука», 1993. - 139 с.

101. Катасонов В.Н. О внутренних границах науки // Наука. Философия. Религия.- М., 2007. -Кн.2. С. 165-185.

102. Катасонов В.Н. Боровшийся с бесконечным. Философско -религиозные аспекты генезиса теории множеств Г.Кантора. М., 1999.

103. Катречко C.JI. О (концепте) числе(а): его онтологии и генезисе // Число: Сб. статей. М.: МАКС Пресс, 2009. - С. 116-132.

104. Катречко C.JT. Трансцедентальная философия математики // Вестн. Московского университета. Сер.7, Философия. — М.,2008. №2. — С.88-105.

105. Кедровский О.И. Взаимосвязь философии и математики в процессе исторического развития. Киев, 1974.

106. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии // Пер. Б. Лившица, А. Лопшица, Ю. Рабиновича, Л. Тумермана. М.: НКТП СССР, 1937.-433 с.

107. Клини С.К. Введение в метаматематику //Пер. А.С. Есенина-Вольпина. М.: Изд-во иностранной литературы, 1957. - 527 с.

108. Клини С.К. Весли Р. Основания интуиционистской математики с точки зрения теории рекурсивных функций // Пер. Ф.А Кабакова, Б.А. Кушнера. -М.: Изд-во «Наука», 1978. 271 с.

109. Клини С.К. Математическая логика //Пер. Ю.А. Гастаева. — М.: "Мир", 1973.-480 с.

110. Клини С.К. Перестановочность применений правил в генценовских исчислениях LK и LJ //Математическая теория логического вывода.

111. Сборник переводов под. ред. А.В. Идельсона и Г.Е. Минце. М.: Изд-во «Наука», 1967. - С. 208-236.

112. Князев В.Н. Философия физики // Философия. Методология. Наука. М.: Прометей МПГУ, 2004.

113. Когай Е.А. Человек и природа: ценностные регулятивы экологического сознания. -М.: Прометей, 2001.-188 с.

114. Коганов А.В. Парадоксы принципа произвольной композиции и корректность определения объекта в математике // Число: Сб. статей. -М.: МАКС Пресс, 2009. С. 212-234.

115. Козлова М.С. Размышления о феноменах сознания в трудах позднего Л.Витгенштейна // Проблема сознания в западной философии XX века. М.: Наука, 1989.

116. Козлова М.С. Специфика философских проблем. Позиция Л.Витгенштейна // X Всесоюзная конференция по логике, методологии и философии науки. Тез. докл. и выступлений. Минск, 1990. С. 78.

117. Козлова М.С. Философия как деятельность. Мысли Л.Витгенштейна // Аналитическая философия. Вып. 3. М., 1991.

118. Колядко В.И. Бернард Больцано. М.: "Мысль", 1982. - 198 с.

119. Косарева Л.М. Рождение науки Нового времени из духа культуры — М.: Ин-т психологии РАН, 1997. 360с.

120. Кочергин А.Н. Математика и математизация науки // Проблемы онто-гносеологического обоснования математических и естественных наук: сб статей / под общ. ред. Е.И. Арепьева; Курск.: Изд-во Курск, гос. ун-та, 2008. - С. 55-79.

121. Кричевец А.Н. Значение числовой переменной и смысл действительного числа // Число: Сб. статей. М.: МАКС Пресс, 2009. - С. 133-142.

122. Кричевец А.Н. Проблемы идеального в контексте математики // Ильенковские чтения. М., 2007. - Ч. 1. - С. 26-32.

123. Кричивец А.Н. О врожденных способностях. От Канта к Ильенкову //Ильенковские чтения. -М., 2002. -4.1. С. 188-196.

124. Крушинский А.А. Числа и китайское коррелятивное мышление // Число: Сб. статей. М.: МАКС Пресс, 2009. - С. 326-340.

125. Куайн, У. Слово и объект / Пер. с англ. А. 3. Черняк, Т. А. Дмитриев. — М.: Праксис; Логос, 2000. — 386 с.

126. Кудряшев А.Ф. Актуальные проблемы онтологии // Парадигма. -СПб., 2006. Вып. 6. - С.34-43.

127. Кудряшев А.Ф. Лейбниц, Декарт и идея всеобщей математики //"Философские науки", №1 -М.: "Философские науки", 1980.

128. Кудряшев А.Ф. О формах идеального бытия числа: конструктивно-описательный подход // Число: Сб. статей. М.: МАКС Пресс, 2009. - С. 143-150.

129. Кудряшев А.Ф. Проблема обоснования знания: вехи исследования // Научное обоснование и здравый смысл. — Уфа., 1996.

130. Кудряшев А.Ф. Социально-философские концепции в аспекте обоснования // Фихте, Платон, Макиавелли и идея правового общества: Материалы международной научной конференции. Уфа, 2006. С. 122127.

131. Кузнецова И.С. Гносеологические проблемы математического знания. Л., изд-во ЛГУ, 1984.

132. Курант Р. Гильберт Д. Методы математической физики. Т. I. — 525 с.

133. Курант Р. Гильберт Д. Методы математической физики. Т. II. 620 с.

134. Куслий П.С. Число как абстрактное понятие // Число: Сб. статей. -М.: МАКС Пресс, 2009.-С. 151-156.

135. Лакатос И. История науки и её рациональные реконструкции // Прил. к кн.: Кун Т. Структура научных революций. М.: ACT, 2001.-124142. Лейбниц Г.В. История идеи универсальной характеристики // Сочинения: В 4 т. Т.З. -М.: Мысль, 1984.

136. Лейбниц Г.В. Основы исчисления рассуждений // Сочинения: В 4 т. Т.З. -М.: Мысль, 1984.

137. Лейбниц Г.В. Элементы исчисления // Сочинения: В 4 т. Т.З. М.: Мысль, 1984.

138. Лейбниц Г.В. Элементы универсальной характеристики // Сочинения: В 4 т. Т.З. -М.: Мысль, 1984.

139. Лекторений В.А. Вера и Знание в современной культуре // Вопросы философии. -М., 2007. №2. - С. 14-19

140. Лекторский В.А. Трансформации научного знания в современной культуре // синергетическая парадигма. Синергетика образования. М., 2007.-С. 103-113.

141. Лекторский В.А. Эпистемология классическая и неклассическая. -М., Эдиториал УРСС Изд-во 2001.- 103 136 сс.

142. Лобачевский Н.И. Геометрические исследования по теории парралельных линий. -М.-Л.: Изд-во академии наук СССР, 1945. 176 с.

143. Лосев А.Ф. Проблема символа и реалистическое искусство. — М.: «Искусство», 1976.

144. Лукасевич Я. Аристотелевская силлогистика с точки зрения современной формальной логики //Перевод Н.И. Стяжкина, А.Л. Субботина. М.: Изд-во иностранной литературы, 1959. - 313 с.

145. Майоров Г.Г. Философия как искание Абсолюта. Опыты теоретические и исторические. М.: Едиториал УРСС, 2004. 416 с.

146. Макаров А.Б. Конструирование и объективация научных миров изв. Самар. Научного центра РАН. Самара, 2005. - Т. Спец. Выпуск., №1. С.41-47.

147. Маневич Л.И. Числа и физика // Число: Сб. статей. М.: МАКС Пресс, 2009.-С. 157-166.

148. Мануйлов В.Т. Интуиционистская конструктивность математического знания // Проблемы конструктивности научного и философского знания: Сб. статей: Выпуск шестой / Предисловие В.Т. Мануйлова. —Курск.: Изд-во Курск, гос. ун-та, 2006. С. 43-62.

149. Мануйлов В.Т. Конструктивность существование в математическом знании // Проблемы онто-гносеологического обоснования математических и естественных наук: сб статей / под общ. ред. Е.И. Арепьева; Курск.: Изд-во Курск, гос. ун-та, 2008. - С. 80-99.

150. Марков А. А. О конструктивной математике М.: Тр. МИАН СССР, 1962,67, 8-14.

151. Мартин-Лёф П. Очерки по конструктивной математике // Пер. Г.Е. Минца, под. ред. А.Г. Драгалина. -М.: Изд-во «Мир», 1975. 136 с.

152. Микешина Л.А. Особенности создания абстракций и теорий в гуманитарных науках // Человек. Наука. Цивилизация: К 70-летию акад. B.C. Степина. -М., 2004. -С.511-530.

153. Микешина Л.А. Философия науки: Современная эпистемология. Научное знание в динамике культуры. Методология научного исследования : учеб. пособие / Л.А. Микешина. М. : Прогресс-Традиция : МПСИ : Флинта, 2005. - 464 с.

154. Микешина Л.А. Человек интерпретирующий, или синергетические и герменевтические контексты образования // синергетическая парадигма. Синергетика образования. М., 2007. - С. 137-160.

155. Молодшин В.Н. Очерки по вопросам обоснования математики. -М.: Гос. уч.-пед. изд-во министерства про-я РСФСР, 1958. 231 с.

156. Мордухай-Болтовской Д.Д. Философия. Психология. Математика. -М.: "Серебряные нити", 1998.

157. Нагель Э., Ньюмен Р. Теорема Гёделя // Сокр. Пер. с английского Ю.А. Гастаева. М.: Изд-во «Знание», 1970. - 62 с.

158. Непейвода Н.Н., Бельтюков А.П. Манифест прикладного конструктивизма // Философия математики: актуальные проблемы. Тезисы Второй международной научной конференции; 28-30 мая 2009 г. М.: МАКС Пресс, 2009. - С. 39-42.

159. Новиков П.С. Конструктивеая математическая логика с точки зрения классической. -М.: Изд-во «Наука», 1977. 328 с.

160. Новиков П.С. Элементы математической логики. М.: Изд-во «Наука», 1973.-399 с.

161. Овчинников Н.Ф. Новый взгляд на логику и интуицию // Социология, психология межличностные отношения: человек, коллектив, общество. -М., 2007. С. 10-15.

162. Огурцов А.П. Наука: власть и коммуникация. "Вопросы философии", 1990, № 11, с.3-23.

163. Пензов Ю.Е. Элементы математической логики и теории множеств. -М.: Изд-во Саратовского ун-та., 1968. 143 с.

164. Перегрин Я. «Естественное» и «формальное» // Философия науки. -Новосибирск, 2005. № 3. -С. 20-51.

165. Перминов В.Я. Проблема причинности в философии и естествознании. -М.: Изд-во Московского ун-та., 1979. 224 с.

166. Перминов В.Я. Развитие представлений о надёжности математического доказательства. — М.: Изд-во «Едиториал», 2004. — 240 с.

167. Перминов В.Я. Философия и основания математики. М.: Изд-во «Прогресс-традиция», 2001. - 320 с.

168. Плотников В.В. Онтологические основания математической последовательности // Философия математики: актуальные проблемы. Материалы международной научной конференции 15-16 июня 2007. -М.: Изд. Савин С.А., 2007. С. 53-55.

169. Позер X. Математика и Книга Природы. Проблемы применимости математики к реальности // Человек. Наука. Цивилизация: К 70-летию акад. B.C. Степина. М., 2004. - С. 163-178. перевод В.А. Колпанова и1. A.JI. Никифорова.

170. Попов А.И. Введение в математическую логику. — Л.: Изд-во Ленинградского ун-та., 1959. 109 с.

171. Пружинин Б.И. Ratio serviens? Контуры культурно-исторической эпистемологии / Б. И. Пружинин. М. : РОССПЭН, 2009. - С. 184-80.

172. Пуанкаре А. Наука и метод.

173. Пуанкаре А. О науке. -М.: Изд-во «Наука», 1983. 560 с.

174. Пуанкаре А. Отчет о работах Гильберта, представленных для соискания международной премии имени Лобачевского. Гильберт, Давид. Основания геометрии. Петроград.: "Сеятель", 1923. - 152 с.

175. Расёва Е., Сикорский Р. Математики метаматематики //Перевод

176. B.А. Янкова. -М.: Изд-во «Наука», 1972. 591 с.

177. Рассел Б. Введение в математическую философию. Избранные работы //Пер. В.В. Целищева. Новосибирск: Сиб. Унив. изд-во, 2007. -264 с.

178. Рассел Б. Избранные труды //Пер. В.В. Целищева. Новосибирск: Сиб. Унив. изд-во, 2007. - 260 с.

179. Рассел Б. История западной философии. 2-е изд. -Ростов-на-Дону: "Феникс", 2002.

180. Рассел Б. Человеческое познание: его сфера и границы // Статьи Б. Рассела. -М.: "Терра", 2000.

181. Рид К. Гильберт // Пер. И.В. Долгачева, под. ред. Р.В. Гамкрелидзе.- М.: Изд-во «Наука», 1977. 363 с.

182. Родин А.В. Категорификация и формальный аксиоматический метод // Философия математики: актуальные проблемы. Материалы Международной научной конференции 15-16 июня 2007. М.: Изд. Савин С.А., - С. 59-60.

183. Родин А.В. Математика Евклида в свете философии Платона и Аристотеля. М.: Наука, 2003. - 211с.

184. Розов М.А. К методологии анализа эпоса науки // Философия науки.- М., 2005. Вып.П. - С. 137-154.

185. Розов М.А. О структуре теории // Человек, наука, цивилизация: К 70-летию акад. B.C. Степина. -М., 2004. С.148-162.

186. Рузавин Г.И. Гильбертовская программа и формалистическая философия математики //Методологический анализ оснований математики. Под. ред. М.И. Панова. -М.: Изд-во «Наука», 1988. 176 с.

187. Рузавин Г.И. Математизация научного знания. М.: "Мысль", 1989.

188. Рузавин Г.И. О природе математического знания. М.: Мысль, 1968.-302 с.- 129199. Рузавин Г.И. Стохастические законы, детерминизм и самоорганизация // Вестн. Рос. Гуманит.научного фонда. М., 2007. №1. -С. 85-93.

189. Садовский В. Н., Основания общей теории систем, М., 1974.

190. Самченко В.Н. «Бытие» Парменида и логика существования // Философия науки. Новосибирск, 2007. - №1. С. 3-15.

191. Серебрянников О.Ф. Эвристические принципы и логическое исчисление// Отв. ред. Б.В. Бирюков. — М.: Изд-во «Наука», 1970. -285 с.

192. Смагин Ю.Е. Идея формализма в историко-философском контексте // Универсум платоновской мысли. Платоновская и аристотелевская традиции в античности и Европейской философии. СПб., 2005. - С.9-15.

193. Смирнова Е.Д. Логика и философия. М.: «Российская политическая энциклопедия» (РОССПЭН), 1996. - 304 с.

194. Смирнова Е.Д. Некоторые логико-семантические аспекты аргументации // Модели рассуждений 1: Логика и аргументация. — Калининград, 2007. С. 11-16.

195. Сокулер З.А. Современные исследования по философским вопросам математики. -М.: ИНИОН, 1983. 61 с.

196. Спиноза Б. Избранные произведения T.I. — М.: Гос. изд. Политической литературы, 1957. 631 с.

197. Спиноза Б. Избранные произведения Т.Н. М.: Гос. изд. Политической литературы, 1957. - 726 с.

198. Степанекнко А. С. Искусственный интеллект в контексте философии техники // Изд. вузов. Сев.кавк. регион: обществ. Науки. -Ростов на Дону, 2006. № Ю. - С. 27-35.

199. Стёпин B.C. Научная рациональность в человеческом измерении -М„ 1991.

200. Степин B.C. О философских основаниях синергетики // синергетическая парадигма. Синергетика образования. — М., 2007. — С. 97-102.

201. Стёпин B.C. Становление теории как процесс открытия // Природа научного открытия М., : Наука, 1986. - 130 -144 сс.

202. Сткорский Р. Булевы алгебры //Перевод А.С. Мищенко. М.: "Мир", 1969.-376 с.

203. Столл Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории //Перевод Ю.А. Гастаева и И.Х. Шмаина. М.: Изд-во «Просвещение», 1968. - 232 с.

204. Стяжкин Н.И. Формирование математической логики. -М.: Изд-во «Наука», 1967. 508 с.

205. Таванец П.В. Философские вопросы современной формальной логики. -М.: Изд-во академии наук СССР, 1962. -365 с.

206. Тимофеева М.К. Философские основания деления языков на естественные и формальные // Изв. Самарского научного центра РАН. -Самара, 2003. — Т. Спец. Выпуск., № «Гуманит. иссл.». -С.38-44.

207. Уатхед А.Н. Избранные работы по философии. Пер. с английского. М.: Изд-во «Прогресс», 1990. - 716 с.

208. Уёмов А.И. Математические и логические формализмы общей теории систем // Философия математики: актуальные проблемы. Материалы международной научной конференции 15-16 июня 2007. — М.: Изд. Савин С.А., 2007. С. 75-77.

209. Успенский В. Апология математики, или о математике как части духовной культуры // Новый мир. М., 2007. - №12. - С.123-149.

210. Успенский В. Математическое и гуманитарное преодоление барьера // Знамя. -М., 2007. №12. - С. 165-173.

211. Успенский В.А. Теорема Гёделя о неполноте. — М.: Изд-во «Наука», 1982.- 112 с.

212. Фалькао В. К основаниям теории множеств // Философия математики: актуальные проблемы. Материалы международной научной конференции 15-16 июня 2007. -М.: Изд. Савин С.А., 2007. С. 78-81.

213. Фреге Г. Булев логический формульный язык и мое исчисление понятий // Готтлоб Фреге. Логика и логическая семантика. М., 2000.

214. Фреге Г. Логика и логическая семантика: Сборник трудов / Пер. с нем. Бирюкова Б. В. М.: Аспект Пресс, 2000. - 512 с.

215. Френкель А., Бар-Хиллел И. Основания теории множемтв. М.: "Мир", 1966.-555 с.

216. Харин Н.Н. Математическая логика и теория множеств // Под ред. Я.Л. Харапанского. -М.: Изд-во «РОСВУЗИЗДАТ», 1963.-192 с.

217. Хаханян В.Х. Один подход к вопросу обоснования теории множеств // Философия математики: актуальные проблемы. Тезисы Второй международной научной конференции; 28-30 мая 2009 г. М.: МАКС Пресс, 2009.-С. 146-148.

218. Целищев В.В Наука, рационализм и политика //Философия образования. Новосибирск, 2007. - №3. - С. 18-24.

219. Целищев В. В. Логическая истина и эмпиризм / Отв. ред. М. В. Попович. Изд. 2-е, испр. — М.: КРАСАНД, 2010. — С. 112.

220. Целищев В.В. Интуиция, финитизм и рекурсивное мышление. -Новосибирск: Параллель, 2007. 220 с.

221. Целищев В.В. Непротиворечивость и полнота как нормы дедуктивного мышления в свете теорем Гёделя о неполноте арифметики // Философия науки. — Новосибирск, 2005. № 2. - С. 33-52.

222. Целищев В.В. Онтология математики: Объекты и структуры. -Новосибирск: Нонпарель, 2003. -240 с.- 132236. Целищев В.В. Примитивно-рекурсивные функции, финитизм вычисления // Вестн. НГУ. Сер.: Философия и право — Новосибирск, 2007. -Т.5. вып. 1.-С.З-7.

223. Целищев В.В. Рациональность и математическая интуиция //Вести. НГУ. сер.: Философия и право. Новосибирск, 2007. - Т.5, вып.2. - С.3-8.

224. Целищев В.В. Философия математики. Ч. 1. Новосибирск: Наука, 2002.-212 с.

225. Целищев В.В. Эпистемические критерии доказательства // Философия науки. Новосибирск, 2006. - №4. С. 20-44.

226. Целищев В.В., Бессонов А.В., Хлебалин А.В. Математическая интуиция и трансформация эпистемологии // Философия образования. -Новосибирск, 2007. №2. - С.114-120.

227. Цехмистро И.И. Первая и вторая проблемы Гильберта в свете современной философии науки // Философия математики: актуальные проблемы. Материалы международной научной конференции 15-16 июня 2007. М.: Изд. Савин С.А., 2007. - С. 284-286.

228. Черняков А.Г. Математика как формальная онтология // Философия математики: актуальные проблемы. Материалы международной научной конференции 15-16 июня 2007. -М.: Изд. Савин С.А., 2007. С. 87-89.

229. Чёрч А. Введение в математическую логику // Пер. B.C. Чернявского, под. ред. В.А. Успенского. М.: Изд-во иностранной литературы, 1960. -485 с.

230. Чусов А.В. А. Пуанкаре: конвенция и реальность // Философия математики: актуальные проблемы. Тезисы Второй международной научной конференции; 28-30 мая 2009 г. М.: МАКС Пресс, 2009. - С. 66.

231. Чусов А.В. Обоснование математики: логическая норма или предметно-конструктивная реальность // Философия науки: исторические эпохи и теоретические методы. Воронеж, 2006. - С. 175-230.

232. Шанин Н.А. Труды математического института имени В.А. Стеклова. XLIII // Отв. ред. И.Г. Петровский. — М.: Изд-во академии наук СССР, 1955.- 113 с.

233. Шапошников В.А. Категория числа в конкретной метафизике Павлв Флоренского // Число: Сб. статей. -М.: МАКС Пресс, 2009. С. 341-367.

234. Шапошников В.А. Московская философско-математическая школа: проблема состава и идейной общности // Институт истории естествознания и техники им. С.И.Вавилова. Годичная научная конференция. -М., 1997.

235. Шапошников В. А. Тема бесконечности в творчестве П.А.Флоренского // Бесконечность в математике. М., 1997.

236. Шапошников В.А. Три парадигмы в философии математики // Эпистемология и философия науки. -М., 2008 — Т. 15,№1. С. 124-131.

237. Швырёв В. С. Неопозитивизм и проблемы эмпирического обоснования науки. — М., 1966.

238. Швырёв В. С. Теоретическое и эмпирическое в научном познании. — М., 1978.

239. Швырёв В. С. Научное познание как деятельность. — М., 1984.

240. Шиян Т.А. О фактических ограничениях формальной методологии // Философия математики: актуальные проблемы. Материалы международной научной конференции 15-16 июня 2007. — М.: Изд. Савин С.А., 2007. С. 134-136.

241. Янков В.А. Математика и язык // Число: Сб. статей. М.: МАКС Пресс, 2009.-С. 235-248.

242. Яновская С.А. Методологические проблемы науки. М.: "Мысль", 1972.-280 с.

243. Яновская С.А. Предисловие //Математическая логика. Перевод B.C. Чернявского, под. ред С.А. Яновской. М.: Изд-во иностранной литературы, 1961. - 164 с.

244. Яскевич Я.С. Философия и методология науки. Вопросы и ответы. -Мн., 2007.

245. Яшин Б.Л. Диалектическая и формальная логика и их взаимоотношение // Диалектический материализм и философские вопросы естествознания. М., 1981.

246. Яшин Б.Л. Неклассическая логика и классическая диалектика // Научные труды Московского государственного педагогического университета. Серия "Социально-исторические науки". -М., 1996.

247. Яшин Б.Л. Неявное знание в математике // Философия математики: актуальные проблемы. Материалы международной научной конференции 15-16 июня 2007.-М.: Изд. Савин С.А., 2007. С. 184-186.

248. Яшин Б.Л. Спецификация понимания истины в математике // Философия математики: актуальные проблемы. Тезисы Второй международной научной конференции; 28-30 мая 2009 г. М.: МАКС Пресс, 2009.-С. 151-153.

249. Bellotti L. Formalization, syntax and the standard model of arithmetic // Synthese. -Dordnecht, 2007. Vol. 154, №2. P. 199-229.

250. Bernays P. Hilbert's signicance for the philosophy of mathematics // Die Bedeutung Hilberts fur die Philosophie der Mathematik, Die Naturwissenschaften 10, 1922, pp. 93-99.

251. Blanchette P.A. Frege on consistency and conceptual analysis // Philosophia mathematica = Philosophy of mathematics, its learniny, a. its application. Ser.3. North York, 2007. Vol.15, №3. P.321-346.

252. Curry H.B. Outlines of a formalist philosophy of mathemtics. North-Holand publishing company Amsterdam, 1951. p. 75.

253. De Morgan, A. On the Study and Difficulties of Mathematics, Chicago, Open Court, 1898. First published as a paper in London in 1831 and as a book in London in 1832 under the superintendence of the Society for the Diffusion of Useful Knowledge.

254. Detlefsen M. Formalism // The Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic. Editor S. SHAPIRO. Oxford: university press,2005. pp. 236-317.

255. Dummett M A. Frege. London, Duckworth, 1974; Dummett M.A. What is a theory of meaning? (II) — In: "Truth and Meaning" (G Evans and J. MacDowell (eds)), Oxford University Press, 1976.

256. Ewald W. B. From Kant to Hilbert: A Sourse Book in the Foundations of Mathematics. V. I. Clarendon press: Oxford, 1999. - 676 p.

257. Ewald W. B. From Kant to Hilbert: A Sourse Book in the Foundations of Mathematics. V. II. Clarendon press: Oxford, 2005. - 1340 p.

258. Grassmann H. Die Wissenschaft der extensiven Grosse oder die Ausdehnungslehre. Thl. 1: Die Lineare Ausdehnungslehre. -Leipzig, 1844.

259. Hawthorne J. Epistemicism and semantic plasticity // Oxford studies in metaphysics. Oxford, 2006, - Vol. 2. P.289-322.

260. Hilbert D. Gesammelte abhandlungen. B.I. Berlin: Verlag von julius springer, 1932. - 542 p.

261. Hilbert D. Gesammelte abhandlungen. B.II. Berlin: Verlag von julius springer, 1933. - 456 p.

262. Hilbert D. Gesammelte abhandlungen. В .III. Berlin: Verlag von julius springer, 1935. - 438 p.

263. MoEvoy M. Kitcher, mathematical intuition, and experience // Philosophia mathematica = Philosophy of mathematics, its learniny, a. its application. Ser.3. North York, 2007. Vol.15, №2. P.227-237.

264. Moncosu P. Programma di Hildert ei teoremi di incompletezza di Godel //Riv. Di hilosohia neo-scolastica. Milano, 2006. - A98. №3. - P.489-531.

265. Reflections on Frege and Hilbert. Dordrecht, 2005. - 188 p.

266. Rodriguez-Consuegra F. Two unpublished contributions by Alfred Tarski // Histiri of logic. -L. etc., 2007. Vol.28. №3. -Р/257-264/

267. Woodger J.H. The Axiomatic Method in Biology. Cambridge: Cambridge University Press, 1937. - 174 p.

268. Zach R. Hilbert's Program Then and Now // Dale Jacquette, ed., Philosophy of Logic. Handbook of the Philosophy of Science, vol. 5. (Elsevier, Amsterdam, 2006), 411-447.

269. Zach R. Hilbert's Verungliickter Beweis, the first epsilon theorem, and consistency proofs // History a. philosophy of logic. L.ect., 2004. - Vol. 25, №2.-P. 79-94.

Полный текст автореферата диссертации по теме "Онтологические и гносеологические основания математики в программе формализма"

Оглавление научной работы автор диссертации — кандидата философских наук Алябьев, Дмитрий Иванович

Введение диссертации2010 год, автореферат по философии, Алябьев, Дмитрий Иванович

Заключение научной работыдиссертация на тему "Онтологические и гносеологические основания математики в программе формализма"

Список научной литературыАлябьев, Дмитрий Иванович, диссертация по теме "Философия науки и техники"

Похожие темы диссертаций