автореферат диссертации по философии, специальность ВАК РФ 09.00.08
диссертация на тему: Логико-гносеологический анализ понятия математического объекта

Полный текст автореферата диссертации по теме "Логико-гносеологический анализ понятия математического объекта"

МОСКОВСКИ! ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИЗЕРСЛЕБГ имен и М, В. ЛОМОНОСОВА

Р Г Б ОД

2 -г > •. ■ На правах рукописи

КУТаЕКШ Александр Борисович

лог;ко-гносеолог?]ческ:й аншз понят :-н :/!атемат;неского объекта

Специальность 09.00.08 - философские вопросы

естествознания и техники

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата философских наук

Москва - 1996

Работа выполнена на кафедре философии и методологии науки естественных факультетов Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова.

Научный руководитель - доктор философских наук,

профессор Перминов В.Я.

Официальные оппоненты - доктор философских наук

Сокулер З.А.,

кандидат физико-математических наук Кречевец А.Н.

Ведущая организация - Московский педагогический

государственный университет.

Защита состоится " 18 " декабря 1996 г. в " 15 " часов на заседании специализированного Совета по философским наукам /Д. 053.05.72/ в Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова.

Адрес: II7234, Москва, Ленинские горы, МГУ, 1-й корпус гуманитарных факультетов, аудитория 1157

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале Научной библиотеке МГУ /1-й корпус гуманитарных факультетов/.

Автореферат разослан "_"_1996 г.

Ученый секретарь специализированного Совета кандидат философских наук,

доцент З.В. Миронов

0Е;1АЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Анализ понятия объекта научной теории занимает о,.дно из иеотраяьннх ¡.¡ест в счтлосо-фии и методологии науки. Это обусловлено прежде всего тем местом, которое что понятие занимает в обеспечении единства теории и в постановке вопроса об истинности научного утверэдения. Проблема философского прояснения данного понятия связана с характе-ризацией адекватной этим целям концепции существования и выявлением тех философских предпосылок, в рамках которых эта концепция призвана обнаруживать свою методологическую и гносеологическую правомочность.

В контексте философии математики указанная проблемы приобретает особую значимость з связи с тем, что значительная часть математических утверждений является именно утверждениями существования, Та ил;: иная трактовка математического существования зачастую выступает в качестве рубежа, разделяющего различные подходы к философскому истолкованию математики. С .другой стороны, она мочгет осмысляться з чисто мргодологической плоскости, как это делает, например, Поль Бернайс, полагающий, что математический платонизм и интуиционизм суть две крайние методологические позиции, адекватные конкретным областям математики. Содержание упомянутых доктрин в таном случае сводится к выдвигаемая.! иди критериям существования: свобода от противоречий, с одной стороны, и актуальная исполненность некоторого построения - с .другой, Однако, непротиворечивость как критерий существования и "чистые" теоремы существования допускались такими существенно разными авторами, кале Гильберт и Кантор. При этом они исходили

из весьма различных философских установок и помещали данный критерий в не совпадайте методологические контексты. Таким образом, чисто методологическое прочтение математического существования и, следовательно, проблемы математического объекта не является адекватным.

Исследуемая проблема имеет широкий выход в области онтологических и гносеологических рассмотрений. С ней увязан целнй ряд ключевых вопросов философии математики, таких как проблема генезиса математического знания, уяснение способа отнесенности математики к физическому миру, анализ роли интуиции к логики в производстве и функционировании, математического знания, а такте места, занимаемого в ятих процессах процедурами формализации и т.д. Она мотет быть помещена в рамки фундаментальных тем философского анализа, как это сделано, например, Куайном, считающим логицизм, интуиционизм и формализм - т.е. направления, расходящиеся пре>хде всего в трактовке способа бытия математического объекта, - современными версиями трех традиционных подходов к проблеме универсалий.

Среди направлений в философии математики особый интерес в контексте рассматриваемой проблемы вызывает математический реализм. Это обусловлено, во-первых, тег:., что классическая математика, по крайней мере со времени оформления дифференциального исчисления, наиболее полно отвечает методологическому аспекту реализма. Во-вторкгх, тем, что такие направления, как интуиционизм и отчасти и в некотором отношении формализм, - т.е. направления, существенно сказавшиеся в складывании картины развития математической практики XX столетия, - во многом определяли себя в отталкивании от гносеологических и методологических установок реализма. В-третьих, тем, что математический реализм,

являясь стихийным убеждением значительной части работачщих математиков, как таковой должен быть учтен и осмыслен, а не просто отброшен по причине его философской наивности. Это требует /

уяснения того, что в самой математике является ответственным за провоцирование такого убеждения. С другой стороны имеющиеся на сегодняшний день подхода к осмыслению математического реализма - онтологический, гносеологический, семантический и методологический - не приведены к концептуальному единству. Это выражается, в частности, в несовпадении точек зрения на правомочность приписывания реалистической позиции ряду крупнейших представителей философии математики, например, Фреге и Расселу.

Выявление концептуальных основ математического реализма, так 15се как и других типов философствования о математике, исходящих из того или иного понимания онтологического и гносеологического статусов математического объекта, представляет актуальную задачу философии математики.

Все изложенные обстоятельства обусловили выбор темы диссертации и определили общий вектор и логику проведенного исследования.

Степень разработанности проблемы. Особенностью отчествен-ной традиции философии математики является то, что анализ понятия математического объекта предпринимался ею в контексте развития математического знания. Здесь следует назвать имена С.А.Яновской, А.Н.Насанбаева, Г.И.Рузавина, В.С.Владимирова, Е.А.Беляева, В.Я.Перминова, А.Д.Ллександрова, Л.Д.чЗДцеева, В.Л.Кураева, В.Э.Зойцеховича, 'Л,С.Кузнецовой, А.Г.Барабаше-ва и др.

Представляют интерес работы, нацеленные на анализ места интуитивных и формальных элементов в построении и обосновании

математики. Эта тема освещена в работах В.Ф.Асмуса, В.Я.Пермино-ва, В.А.Карпунина.

Рассмотрение проблемы математического объекта в контексте логической семантики нашло отражение в работах ряда отечественных/А.В.Бессонова, В.В.Петрова, В.А.Смирнова, Е.Д.Смирновой, П.В.Таванца, В.В.Целищева, Е.Е.Ледникова, К.В.Кирпичникова и др./ и зарубежных/К.Врайта, Д.Берру, Дж.Булоса, К.Доннелана, М.Даммита, С.Крипке, Ф.Китчера, В.Куайна, Х.Шилда, Н.Уайта и др./ авторов.

В зарубежной, прежде всего англо-американской, литературе можно выявить устойчивую традицию, обсуждения проблемы онтологического статуса математического объекта в рамках контроверзы между реалистическим и антиреалистическим подходами к этой проблеме. Эта традиция представлена в настоящее время работами П.Бе-нацеррафа, Д.Бигелоу, М.Штейнера, М.Резника, П.Мэдци, Ч.Парсон-са, Д. Таккера, Б.Хайле и др.

Отдельного упоминания заслуживают работы, посвященные творческому наследию крупнейших представителей философии математики XX века, прежде всего $реге, Рассела, Гильберта и Брауэра. Среди отечественных авторов необходимо назвать Б.В.Бирюкова, В.В. Мадера, Я.С.Нарского, М.И.Панова, Г.И.Рузавина, Е.Д.Смирновой. Среди зарубежных исследований своей фундаментальностью выделяются работы М.Даммита о 2>реге. Значительный интерес представляют также посвященные упомянутым персоналиям работы Е.Д.Клемке, Ч.Парсонса,^Е.-Н.Клюге, В.Куайна, Г.Крайзеля, Х.Патнэма, М.Хал-лета и др.

Во всех этих работах имеются существенные результаты, касающиеся онтологических, гносеологических и методологических предпосылок ведущих линий философии математики XX века. В то же вре-

мя, задача выявления тех концептуальных горизонтов, в пределах которых философия математики исторически ставила проблему способа бытия математического объекта и в пределах которых, с .другой стороны, сама математическая практика осуществляла себя в соответствии с имплицитным пониманием способа бытия своего объекта, остается еде нерешенной.

Цель и задачи исследования. Цель настоящего диссертационного исследования состоит в выявлении концептуальных основ, к которым могут быть приведены имплицитно или эксплицитно выраженные представления о способе бытия математического объекта, обнаруживаемые в значительной части исторически оформившейся математики, с опцой стороны, и в ряде направлений в философии математики - с другой. Данная цель потребовала постановки и решения следующих задач:

Г. Приведение к концептуальному единству различных имеющихся в литературе подходов к проблеме математического реализма.

2. Анализ возможности концептуализировать тезис реалисти-тического - т.е. не зависящего от субъекта познания и предшествующего теории - существования математического объкта. Подобная концептуализация требует помещения указанного тезиса в такой заданный философски значимыми и математически адекватными положениями теоретический контекст, в котором он был бы подтверждаем или однозначно опровергаем.

3. Выявление фундаментальных философских предпосылок, обусловивших согласуемость значительной части исторически оформившейся математики с методологическим аспектом реализма и видимость возможности интерпретировать математическую деятельность в соответствии с его основными метафизическим положениями.

4. Анализ способа конституирования математического объекта в логицистских программах реконструкции математики Фре-ге и Рассела и в формалистски ориентированной философии математики.

'Методологической основой исследования послужили труда отечественных и зарубежных философов математики, востребованные в контексте руководящего принципа единства онтологического, гносеологического и логико-семантического подходов к понятию математического объекта.

Диссертант также опирался на труда классиков философии математики XX века/Г. Кантора, Г.С>реге, Б.Рассела, К.Гёделя, Д.Гильберта/ и на историко-математические исследования.

Научная новизна диссертации состоит в выдвижении и обосновании следующих положений:

1. Подлинным концептуальным содержанием математического реализма является не предметная интерпретация математического объекта, при которой он полагается существующим независимо от налшх познавательных ресурсов, но предметная интерпретация математической истины. Эта интерпретация имплицирует различение внутреннего строя обоснования математики, развернутого в системе доказательств и внешнего по отношению к нему строя "реальности", чья конституция полагается в качестве первичного и фундирующего по отношению к генезису и обоснованию математики фактора.

2. Дано обоснование того, что в реализме снимается различие мечду логической истинностью и эмпирически значимой констатацией. Это приводит к тому, что никакой сверхлогической^ интуитивной отнесенности к объекту реализм не предполагает: эта доктрина во всем своем существенном содержании может быть

реконструируема без указанного допущения. Тем самым реалистический постулат независимого существования математического объекта оказывается "пустым тезисом", имеющим лишь чисто метафизическое значение.

3. Показано, что этот тезис не находит подтверждения, равно как и однозначного опровержения, аргументацией, опирающейся на анализ строения математического Знания или на специфику его производства и социального функционирования. Показано также, что он не находит концептуального выражения средствами семантического анализа.

4. Показано, что конститу^ование математического объекта в рамках логико-семантической концепции фреге может быть осмыслено в философской перспективе, заданной элейской метафизикой. Дано обоснование того, что присущая системе Рассела онтологизация категорий внутреннего и внешнего вводит чту систему в реалистическую парадигму в философии математики.

5. Анализ гильбертовской программы обоснования математики позволяет сделать вывод, что дуализм внутреннего и внешнего был удержан в ней в виде двух радикально различных способов конституирования математического объекта: на уровне "реальной" математики и на уровне метаматематики. Стушевываяне же этого различия явилось, в конечном счете, причиной ее философской неадекватности и математической нереализуемости.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, двух глаз/семи параграфов/, заключения и списка литературы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНЖ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность теш исследования

- е -

дается характеристика степени ее разработанности, определяются гели и задачи исследования и раскрывается научная новизна работы.

Глава!. Реализм: математика в контексте аналогии.

В первой глазе выявляется концептуальное содержание математического реализма, уясняются философские предпосылки его формирования и дается анализ возможностей концептуально развернуть тезис независимого существования .латематического объекта.

51, математический реализм. Постановка проблемы.

В литературе, посвященной математическому реализму, мо^ко выявить' несколько существенно различных подходов к чтой проблеме. Обычно реализм определяют как доктрину, утверждающую независимое от субъекта познания и от познавательных процедур существование "математических" сущностей. Эти сущности находятся во вполне определенных отношениях друг к .другу, обнаружение которых в математических теориях представляет собой как бы "открытие" фрагментов некой самобытной, внутри себя завершенной реальности. Такое, "стандартное", определение реализма обычно связывает его с постулированием особой познавательной способности, некоего "узрения", позволяющего математику адекватно отнестись к "открываемой" им реальности.

Наряду с таким стандартным определением реализма необходимо отметить подход к проблеме, связанный с анализом конкретных проце.цур, допускаемых в самой математике. Речь идет о понятии "тотальность". С этим понятием связано отрешение зафиксировать некоторые способы рассуждений, часто встречающиеся в различных областях классической математики и весьма любопытные в философском плане. .:5.{снно, с каждым выразимым в терминах данной теории

свойством сшзнвается некоторый факт: либо существует элемент тотальности, обладающий этим свойством, либо ни один из ее элементов им но обладает; и, с другой сторож, - либо все все элементы обладает данным свойством, либо есть хотя бы один элемент, который им не обладает. Эти альтернативы обычно разрешаются посредством косвенных рассуждений, путем "доказательства от противного"; при этом так косвенно заданный объект полагается в той же мере приемлемым, как и любой другой - прямо предъявленный или заданный алгоритмически.

Использование идеи тотальности отмечает собственно методологический аспект реализма, и некоторые авторы, например Поль Вернайс, склонны рассматривать ее, а, значит и всю проблему математического реализма, в чисто методологическом ключе, полагая, что косвенное, посредством идеи тотальности, конституи-рование математического объекта "подходит" для теории континуума, тогда как конструктивизм отвечает методологии теории чисел"1.

В то же время, тот факт, что принцип тотальности подразумевает возможность замыкания открытой совокупности по отношению к любому генеративному принципу ее задания, указывает на то, что здесь имеется выход к онтологической проблематике. С другой стороны, рассмотрение идеи тотальности делает уместной постановку вопроса о той роли, какую в реализме играет принятие закона исключенного третьего.

Как известно, в интуиционизме, являющемся по почти единодушному мнению исследователей антагонистом реализма, всеобщий характер этого закона отвергается. Однако этому закону

I. Ср. методологическое прочтение принципа тотальности в: Френкель А., Бар-хиллел И. Основания теории множеств. - М. 1965. СС. 399-400.

может быть предана форма, при которой он окажется приемлемым и для интуиционизма. Так, мы можем понимать утверждение "А истинно" как "имеется или когда-нибудь будет найдено доказательство для А", а утверждение "А ложно" как "доказательство для •А не будет найдено никогда". Однако, ясно, что это не та форма, которая востребована в реализме, поскольку такое понимание истинности и отредактированный в соответствии с ним закон исключенного третьего не позволяют получать утверждения о существовании объекта с данным свойством в отсутствии процедуры его построения; конечно, если доказательство в случае экзистенциального утверждения понимать как предъявление конкретного построения, а не просто как приведение к противоречию утверждения о несуществовании.

Таким образом, реализм должен принимать логический принцип, позволяющий от установления ложности отрицания некоторого утверждения переходить к признанию истинности самого утверждения. Этот принцип, заключающий в себе абсолютное понимание истинности, называют, вслед за предложившим этот термин М.Даммитом, "принципом бивалентности": кавдое утверждение определено в своем истинностном значении - оно либо истинно, либо лото. 1-Змен-но этот принцип является, по мнению Даммита, исходной "догмой реализма".

Таким образом, мы имеем различные подходы к проблеме математического реализма при ясно ощутимом единстве теш. Эти подходы помещают проблему в различные философские сферы: стандартный подход - в области онтологии и гносеологии; подход, исходящий из принципа тотальности, делает акцент на методологическом аспекте; наконец, принцип бивалентности звучит прежде всего как принцип логический. Пытаясь выявить внутреннее

родство этих подходов, обязанное самотождественности реализма как некоей единой стратегии мысли, мы прежде всего можем заметить, что в первых двух из указанных подходов речь идет, в различных контекстах, об аналогии: в первом случае об аналогии чувственной и сверхчувственной предметных сфер, а также об аналогии чувственного восприятия и сверхчувственного, или, по крайней мере, неравного чувственному, узрения; во втором - о конкретных процедурах, допускающих аналогию конечного и бесконечного. Некая аналогия должна стать характеристикой реализма и при третьем подходе.

Искомая аналогия может быть охарактеризована, как аналогия логических ситуаций "истинности" и "ложности", означающая фактическое тождество ж познавательных содержаний. В самом деле, в соответствии с принципом бивалентности, мы должны одновременно и на равных эпистемологических основаниях полагать один из членов дизъюнкции AVTA истинным, а другой - ложным.

Специфика реализма в этом отношении может быть прояснена, если обратиться к постановке вопроса об истине и лжи в пределах интуиционистской математики. Здесь познавательное содержание ситуации "ложности" существенно зависит от характера утверждения. Если А есть экзистенциальное утверждение, то "А ложно" удостоверяет отсутствие объекта, его логическую невозможность. Если же А есть отрицание экзистенциального утверждения, то "А ложно", говоря о логической возможности объекта, не удостоверяет ни его наличия, ни его отсутствия. Напротив, "истинность" всегда является удостоверением: в одном случае наития объекта, в другом - его отсутствия. Нарушение аналогии между познавательными содержаниями ситуаций "истинности"

и "ложности" может быть пояснена указанием на то, что ситуация "не-истинности" вообще лишена в интуиционизме логического статуса и является лишь некоторой эмпирической констатацией, именно, констатацией актуального положения дел в науке, взятой в ее историческом бнтии. -Напротив, в реализме "не-истивдоеть" и "ложность" - синонимичны.

Картина интуиционистски оправданной математики предстает как картина становящегося знания. Эмпирический и логический планы внутри этой картины разведены, как несмешиваеше моменты процессуально развертыватощегося знания. Напротив, реализм, отождествляя познавательные содержания ситуаций "истинности" и "ложности" и не находя суверенного места для ситуации "не-истинности" в картине развертывания знания, помещает эту картину во вневременное царство "истин в себе", что исключает усвоение ей исторического измерения.

Вся эпистемичесная стратегия реализма может быть реконструируема при перенесении в "план вечности" интуиционистской картины бытования математического знания при презумпции совпадения "с точки зрения вечности" эмпирического и логического планов этой картины. При этом, вследствие снятия ее процессуального характера, снимается и процессуальный характер доказательств существования: они становятся "предметностями", действительными кояституеиташ "иатеткгческой реальности", о которой говорит реализм, гипостазхфованными истинами. Предметная интерпретация истин, дополненная законом исключенного третьего как принципа ориентации в сфере этих "предметностей", - и составляет подлинное концептуальное содержание математического реализма, его действительную метафизическую предпосылку.

- 13 -

Положение о независимом существовании математического объекта только тогда может быть принято как имеющее какую-либо действительную значимость, когда выполнено хотя бы одно из двух условий:

1. ^то положение обладает объяснительной силой по отношению

к тем или иным особенностям математического знания, его структуре, а такте семантическим особенностям языка математики;

2. Оно необходимо оказывается востребованным при реконструкции фактического построения отвечающей методологическому аспекту части математики

Однако пта реконструкция возможна помимо обращения к этому положения. Обращение при этом к интуиционизму обязано тому обстоятельству, что здесь логическая возможность объекта и эмпирически значимая констатация его действительного наличия принадлежат к двум неемеашваемым - логическому и •■эмпирическому -планам картины развертывания знания. Тот же факт, что реалистическая эпистемическая стратегия реконструируема по "матрице интуиционизма" при презумпции совпадения указанных: планов, как раз и показывает, что в -этой стратегии вопрос о сверхлогшеской отнесенности к объекту, неравному предметно интерпретированной истине, и, значит, весь тезис независимого существования объекта - не играют сколько-нибудь значимой роли, ?тот тезис оказывается "пустым", имеющим лишь чисто метафизическое значение.

Обсуждение второго условия входит в содержание двух, последующих параграфов.

Указанное снесение двух планов развертывания знания является коррелятом определенной традиции западной метафизики - традиции философствования в духе тождества бытия и мышления. Яшь после мысленного разведения этих планов получается картина "ре-

альности", чья конституция детерминирует истинность математических утверждений. Эта реальность в таком случае мыслится по аналогии с физической реальностью. Она предстает как открытая для некоторого "обзора", аналогичного чувственному восприятию. Аналогия между двумя этими типами "обозримости" и образует то концептуальное ядро, к которому приводятся все обсуждения математического реализма: говоря об онтологическом его аспекте, мы обсуадаем аналогию сверхчувственной и чувственной предметных сфер, а также об аналогии математической интуиции и чувственного восприятия; обсуждая принцип тотальности, мы тем самым затрагиваем вопрос о методологической оправданности аналогии бесконечного и конечного; наконец, связывая реализм с принятием принципа бивалентности, мы констатируем снятие реализмом дихотомии логического и эмпирического, т.е. логически и эмпирически значимых способов идентификации условий истинности предложений.

Вопрос об объяснительных возможностях аналогии между чувственным восприятием и математическим "ведением" входит в со-деркание четвертого параграфа настоящей главы.

§2. Математический реализм: проблема концептуализации» Математический аспект.

Реалистический тезис независимого существования цатемати-ческого объекта не подкрепляется никакими аргументами, учитывающими структурные особенности математического знания. Прежде всего, так понятый объект должен бн обладать индивидуальностью, отличающей его от других подобных объектов. Причем, поскольку реализм предполагает референциальную трактовку терминов языка, то специфике конкретного объекта должно соответствовать специфическое использование знака в системе знаков,

отличное от той роли, какую знак играет в репрезентации общеструктурных свойств систеш. Но, как показал Поль Бенацерраф, тленно это и не может быть обосновано в случае такой, например, системы, как арифметика. Тот факт, что некоторая система знаков случит для выражения арифметических утверждений, означает ровно то, что она организована в рекурсивную прогрессию. Специфицируются только структурные свойства системы, и никакой спецификации отдельного объекта средствами самой систеш получено быть не может.

Аналогично, ш не можем специфицировать объект, например, число 3 способом, прибегающим к теоретико-множественной редукции. Дело в том, что имеются различные, адекватные всем арифметическим целя»* варианты сведения арифметики к теории множеств, которые, в то же время, не эквивалентны, т.е. допускают утверждения об объектах редукции, непереводимые из одного варианта в другой с сохранением значения истинности.

Неадекватными представляются также попытки обосновать тезис реалистического существования, прибегающие к апелляции к таким особенностям, математического знания, как чрезвычайно высокая степень его устойчивости - что было предпринято Хилари Патнэмом; или к факту его "изобильности", т.е. представленности одного и того же математического понятия в разных математических теориях. К последнему аргументу прибегает Парк Штейнер.

В то же время, в пределах самой математики г..ы но находи;,; средств для однозначного опровержения реализма. Одной из попыток подобного рода является обрал^ение к теореме Лёвенгейма-Ско-лема, утвервдающей, что, если теория тлеет какую-либо модель, то она имеет и счетную модель. Оту теорему можно бы рассмотреть

как свидетельство математической неадекватности принципа тотальности, позволяющего получать несчетные множества. Несчетность означает отсутствие двуместного предиката, устанавливающего взаимно-однозначное соответствие между данным множеством и множеством целых чисел. Поэтому указанный аргумет имеет силу, только если требовать выразимости нужного предиката в терминах системы. Если же совершить, как выражается Джон Таккер, привычный "маневр реалистов" - примыслить недостающую сущность, невыразимый в системе предикат, осуществляющий требуемое соответствии, рассматривая ситуацию как бы "извне", - то аргумент устраняется.

'Весьма, любопытным представляется то, что сходное с вышеприведенным рассуждение позволяет «ютлонить эту теорему как аргумент в пользу пифагорейского тезиса "всё есть число", который в случае его обоснованности можно было бы рассматривать кот подкрепление реалистической позиции,

Шаче говоря, реалистический постулат внешюй по отношению к знашга "реальности", детерминирующей его истинность и, в то же вре;.1я, в силу своего "богатства" не выразимой до конца в познавательных процедурах, в том числе и в процедурах моделирования, уводит реализм за пределы какой-либо концептуализации математически адекватными средствами: как в плане концептуального подтверждения, так и в плане однозначного опровержения.

§3, Математический реализм: проблема концептуализации.

Семантический аспект.

Защита реализма в его теоретико-множественной форме наталкивается на факт альтернативности различных представлений арифметики в терминах теории множеств. Решение считать числа самостоятельными сущностями, отличными от множеств, оставляет нас,

как замечает Эилипп Китчер, в неведении относительно того, как мн можем находить теоретико-множественные заместители для арифметики. Пытаясь обойти эту трудность, реалист мог бн предположить, что числительные термины отсылают не к определенным единичным объекта!/!, но к разделяемой всеми соответствующими системами абстрактных объектов структуре. В этой перспективе должен быть востребован некий подход к числительным, сходный с тем, который предложил Николас Уайт в работе "Что такое числа": числительные не сингулярные, а общие термины. Однако анализ этой концепции, задуманной тленно для преодоления трудности, связанной с фактом альтернативности различных теоретико-мно-жественннх редукций арифметики, показывает, что эта цель не достигнута. Отрицание "базисной", приоритетной по отношению к другим, модели для арифметики не является здесь последовательно реализованным: эта модель имплицитно присутствует в предлагаемой интерпретации операции счета. Технически это выражается кал невозможность предъявить теоретико-множественную эксп-кацкю понятия упорядоченной пары, обходящую указанный факт альтернативности.

Итак, семантика языка, требуемая реализмом, приводит к допущению множества абстрактных структур, в равной мере ответственных за истинность арифметики. И мы не тлеем концептуально оформленных оснований совершить выбор между ними, который не был бы полностью произвольным. Это в значительной степени обесценивает объяснительное значение реалистического тезиса существования, делая его поистине "пустым".

§4. Аналогии математического и естественно-научного з?ганяя.

Аналогия математического и естественно-научного знания, как аргумент в пользу реалистического постулата существования пред-

ставлена исходно в философских сочинениях Курта Гёделя. Основная его посылка состоит в том, что допущение независимо существующих математических объектов в той же мере необходимо для объяснения математики, в какой физические тела необходим для объяснения чувственного восприятия.

В работах Гэделя мокно выявить две линии аргументации в защиту реалистического тезиса существования. Первая линия связана с аргументам,ией от факта "принудительности" математического знания к существованию объектов, как его причине. Эта линия не включается в контекст обсуедаемой аналогии в силу того, что понятие причинности, выполняющее в пределах методологии естественных наук двойную работу - конституирование связи меаду физической реальностью и процессом ее познания, с одной стороны, и задание фундаментальной рамки для систематического единства теории, с другой, - не "встраивается" в пределы математики. Здесь единство теории обеспечивается логической связностью.

Вторая линия связала со отрешением Гёделя осмыслить математическое знание как знание о непосредственно не данных нам объектах, получаемое на основе "данных второго типа", отличных от ощущений и являющихся абстрактными элементами восприятия. Этот аргумент не является адекватным, поскольку полагание таких "данных" в основание математжи, соединенное с полученным самим же Гёделем результатом о неполноте аксиоматизации достаточно богатой теории, устраняющим возможность сообщения интуитивно данной абстрактной структуры посредством некоторого формализма, - делает так понятое математическое знание несообщаемым.

Модификация обсуждаемой аналогии предложена Пенелопой

Мэдци. Она пытаотся дать объяснение того, как мл можем получать знание о "пространственно локализованных множествах", которое бы отвечало требованием каузальной теории знания. При этом Мэдди исходит из того, что в действительности ми не взаимодействуем с теыпорально развернутым физические объектом, а лишь с его "аспектом" - мгновенным срезом -этой длящейся во времени реальности. Ее главная идея состоит в том, что отношение элемента ко множеству аналогично^ точки зрения каузальной теории знания, отношению "аспекта" ве'ци к самой вещи. Поэтому, коль скоро мы принимаем каузальное объяснение знания о физических телах, то мы должны согласиться и с каузальным объяснением знания множеств. Однако Мэдци не удается удовлетворительно объяснить "первоначальное крещение" множеств, что требуется каузальной теорией референции. Кроме того, в нашем действительном опыте г,и не находим места для выработки представления о репрезентации элементом множества, которая в контексте каузальной теории знания была бы аналогична выработке представления о репрезентации "аспектом" вещи: во втором случае имеется необходимая, неотклоняе-:.:ая для нас связь, тогда как в первом случае неустраним момент произвола. Тем самым рулится вся концепция параллелизма отношений элемент/множество и "аслект"/вещь.

§5. Проблема философских оснований математического реализма.

Материал историко- математических исследований свидетельст-вз^ет о том, что на складывание методологической базы математики как дедуктивной науки существенное влияние оказали ряд принципов философии Элейской сколы*". Исторически конкретно это про-

I. Сабо А. О превращении математики в дедуктивную науку//Ясто-рико-математическне исследования. вып.ХИ. - М. 1959.

изошло у пифагорейцев. При этом были усвоены два важных урока, данных математике со стороны элейской философии. Первый состоял в применении косвенных методов рассуждений, В математике это отозвалось принятием непротиворечивости как условия допустимости сущностей. Первым применением этого принципа стало открытие несоизмеримости. Второй урок, тесно связанный с первым, состоял в отказе от чувственной наглядности. Принцип антинаглядности означал замещение чувственной очевидности, к которой ранее приводилось всякое математическое построение, очевидностью логической, логическим "показом": "Одним из наиболее часто встречающихся выражений греческого математического языка является,.. показывать"^.

Правильно организованное мышление "показует" конституцию истинно сущего бытия. Но это еще не есть в точном смысле ситуация умо-зрения, поскольку последнее предполагает непосредственность, тогда как логический "показ" осуществляется посредством многообразия определений и логических ходов. Однако он может посредничать между двумя - чувственным и сверхчувственным -способами непосредственной отнесенности к соответствующим сущностям.

Такое понимание ¿г было представлено во всей традиции античного платонизма, в которой "срединности математических родов и видов"" отвечало представление о математической деятельности как о посредствующем эвене мевду чувственным восприятием и сверхчувственным эйдетическим созерцанием.

Если влиянием, элейской философии отмечено складывание мето-

1. Сабо А. указ, соч. С.331.

2. Прокя, Комментарий к первой книге "Начал" Евклида. Введение. - М. 1994. С.47.

дологической базы классической математики - введение бесконечных объектов, многообразные•процедуры аналогизирования, - то метафизический аспект математического реализма был спровоцирован общекультуршк воздействием платонизма, где последней целью и предельным основанием познавательного процесса полагается созерцаемый эйдос. Этому способствовало то, что методологический аппарат классической математики, посредством процедур аналогизирования, сводил в единую методологическую плоскость понятия разных типов: соотносимые с идеей конечного или с идеей бесконечного, устанавливаемые в связь с физической реальностью и неустакавливаемие.

Яри этом "срединный" характер математических понятий утрачивался, что отвечало забвению адзнестроительного пафоса платонизма. Математическая "реальность" предстала кал-; аналогичная физической реальности, как открытая для "видения", аналогичного чувственному восприятию. В этой идейной перспективе мочет быть осмыслен реализм как стихийное убеждение математиков и кап концепция, прибегающая к "аналогии наблюдения".

Глава II. Проблема конституирования математического объекта. Во второй глазе дается анализ способов конституирования математического объекта в пределах концепций, увязывающих построение и обоснование математики либо с логической очевидностью, либо с чувственной очевидностью эмпирических констатация, §1. Логическое конотитуировалие математического объекта. 3 основу характериэации именующих единиц точного "идеального" языка основателем логицистского направления в философии математики Готтлобом Фреге были положены понятия "насыщенности" и "иенасыщенносги". Этому различию придается онтологический смысл: весь логический универсум распадается на "насыщенные"

объекты к "ненасыщенные" функции. Объекты и функции определяются друг через друга: объекты суть "пробеги значений" функций, введение которых, в своп очередь, обусловлено приыеишостыэ ко всем объектам, Определение такого "отделегшого" объекта, как конкретное число, основывается Шреге на понятии "равночисден-ность". К этому определению ш моэдк подойти только из анализа числовых равенств, т.е. через уяснание 'Шособов вхождения имен числительных в -числовые равенства: понимание скисла тершша возможно только при предъявлении способов детерминации денотатом истинностных значений содержащих термин предложений. 3 этом состоит введенный Фреге контекстуальный пришил в семантике. Л хотя объекты задаются у йреге путем явных определений, но, поскольку понимание смысла термина, т.е. способа указания на денотат, - контекстуально, то мы не имеем прямой отнесенности к объекту. Это исключает какой-либо момент интуитивности в обосновании математики. Так, по крайней мере, считал £реге.

Поскольку равенство является выражением доя двухместной Функции, то понимание способов вхоящения числительных в равенства означает прояснение через категориальную структуру языка категориальной структуры универсума, т.е. сферы бытия-истины.

Все это позволяет осмыслить систему Фреге в философской перспективе, заданной элейской метафизикой. Введение уникальной денотации для всех истинных предложений, отрицание обосновывающей силы интуиции, семантический принцип контекста, не затрагивающий у Шреге области референции, - все это может быть осмыслено как концептуализация элейского тезиса о неявном отнесении к истинному бытию, "настигаемом" лишь в логическом мышлении.

Обращаясь к Расселу, еле,дует сказать, что характерная для реализма дихотомия внешнего порядка реальности и внутреннего по-

рядка знания трансформируется у него в виде различения аналитического характера построения математики и эмпирического ее оправдания. Это реаллзуется посредством введения неочевидного принципа - оксиож сводимости, являющегося следствие;.: того, что семантический пр:шиип контекста служит у Рассела средством решения определенной метафизической задачи: отправляясь от онтологического прочтения категорий "внутреннее" и "внешнее", систематически заместить все внутренние отношения внешними. Такая категоризация физической реальности привела к то;лу, что весь аспект "внутреннего", понятый в противоположность внешней функциональной окоординированностн, был смещен в сферу интенсиональных сущностей, неустранимо присутствующих в системе Рассела.

Аксиома сводимости может быть в этой связи истолкована как "суммарное" представление всего устраняемого внутреннего аспекта. ТакшА образок, в системе Рассела не получено представление о математическом объекте, которое выводило бн за пределы реалистической парадигш в философии математики.

§2. Эгямричеоное конституирование математического объекта.

Анализ гильбертовской программы обоснования математики показывает, что она в вопросе конституирования математического объекта покоится на двух смешиваемых философских установках: тран-сценденталистского понимания объекта на уровне "реальной" математики и эмпирического конституирования на уровне метаматематики. Внешний "обзор" графем формальной математики не позволяет прийти к установлению непротиворечивости математики, поскольку внешний обзор представляет собой обеднение действия, ответственного за истинность конечной арифметики. Здесь обозреваемые исходные предметности являтэтея репрезентациями объекта, сгенерированного во внутреннем созерцании.

йленно совместимость комплекса действий во внутренней активности субъекта, данная ему с абсолютной убедительностью, является в свете "конечной установки" стандартом легитимности строимой математики. И внешний обзор графем, как предзаданшх объектов, этому стандарту не удовлетворяет. .Именно это, в конечном счете, обусловило математическую нереализуемость програмш Гильберта обоснования математики.

В заклячении диссертации излагаются общие выводы исследования и намечаются дальнейшие пути философского анализа проблемы математического объекта.

ТЕОРЕГЖСКАЯ И ПРАКГЖЕСШ ЗНАЧЖОСТЬ

1. Результаты проведенного исследования открывав новые возможности анализа концептуальных основ различных направлешШ в философии математики.

2. Основные вывода работы могут быть учтены при разработке учебных курсов по философским основаниям науки.

АПРОЕАЦЖ РАБОТЕ Диссертация обсуждена и рекомендована к защите на заседании кафедры философии и методологии науки естественных факультетов МГУ от 22 февраля 1995 года.

Основное содержание диссертации отражено в. следующих публикациях автора:

1. О математическом реализме К.Гёделя. - Рукопись деп. в ИНЮН РАН, №43668 от 07.02.91 г.

2. Логико-семантическая' теория Г.Фреге и его концепция природа математического знания. - Рукопись деп. в ЖИОН РАН, №44183 от 20.03.91 г.

3. Формирование теории значения Б.Рассела. - Рукопись деп. в ЭДЮН РАН, №47556 от 13.01.93 г.