автореферат диссертации по философии, специальность ВАК РФ 09.00.08
диссертация на тему: Взаимодействие философии и математики: генезис и структура

Полный текст автореферата диссертации по теме "Взаимодействие философии и математики: генезис и структура"

, I ы

КИЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Т.Г.Шевченко

На правах рукописи ПАНФИЛОВ Валерий Александрович

УЖ 510. I

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ФИЛОСОФИИ И МАТЕМАТИКИ: ГЕНЕЗИС И СТРУКТУРА

Специальность - 09.00.08 -философские вопросы естествознания

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора философских наук

Киев - 1992

Диссертация выполнена на кафедре философии Днепропетровского госудврствешого университета

Официальные оппонента: доктор философских наук, профессор Харьковского государственного университета Цехмистро И.З.

доктор философских наук, профессор Московского государственного универститета Перминов В.Я.

Доктор философских наук, профессор Киевского государственного университета Соловей Л.А.

Ведущая организация - кафедра философии АН Украины

Защита состоится „¿-¿у Гс\ 1992 г.

в " " часов на заседании специализированного совета Д 068.18.09 по философским наукам при Киевском государственном университете им. Т.Г.Шевченко по адресу: 252017, Киев, ул.Владимирская, 60.

С -диссертацией можно ознакомиться в читальном зале научной библиотеки Киевского госуниверситете.

Автореферат разослан _____ фе1992 г.

Учен специализи

I Г.ОЕЕДО ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

• --Актуальность ■ теш. • Философские вопросы математики как исто-рическ5т~так и теоретически являются результатом.взаимодействия философии и математики. Повтор анализ проблем форм и способов, этапов и закономерностей, • тенденций и уровней диалектического осмысления математики на материале истории философии и саморефлексии современной математики создает предпосылки для экспликации истоков и смысла, необходимости существования и возможных границ развития философии математики. .

Анализ фундаментальных концепций философии математики в истории диалектики и.базисных инвариантов внутринаучной рефлексии природы математики с точки зрения генезиса, и структуры, взаимодействия философии и математики актуален для прогноза благоприятных условий плодотворного развития этих наук.

Своевременность диссертации в тематическом пространстве, философии науки обусловлена тем, что проблемы демаркации науки, возникновения кибернетики и синергетики, развития.системного подхода . и информатизации общества могут быть иначе"поставлены, если учесть формы и способы, тенденции и закономерности диалектического ана- ■ лиза математики. Кроме того,, интеграция, и дифференциация современ-.' ных научных направлений является продуктом взаимодействия оснований и методов различных наук, наиболее древней' парадигмой которых. . является взаимное влияние философии и математики.

Исследование генезиса и структуры взаимодействия диалектики '• и математики актуально для истории и теории математики потому, что ответы на вопросы о предмете и методе, „статусе и- идеалах математики, закономерностях ее развития невозможны без использования метафизических установок, гносеологических принципов.. Так, Р.Тома, разрабатывая теорию катастроф, по его мнению,интерпретирует диалектические", положения Гераклита.

Обоснованность актуальности темы работы относительно метафизики и её истории определяется тем, ;что ответы на вопросы о природе и методе философии, специфике истины и красоты не только не могут быть даны, но их невозможно адекватно сформулировать без учета методологии и предметности математического (научного) знания, без уяснения статуса математических и научных истин, красоты формальных выводов в математике и т.д.

Проблема форм и способов, уровней и закономерностей-взаимного влияния философии и математики как в истории диалектики, ..так I! в саморефлексии современной науки представляется актуальной кз-за того, что начиная с Канта и Гегеля происходит дивергенция метафизики и науки, самоотчуждение способов диалектического к математического мышления. Метафизика утрачивает научность, а математика теряет философичность. Не претендуя на синтез современной философии и математики, в диссертации предпринимается попытка "снятия" отчуждения метафизики и науки в конкретном виде уяснения тенденций интеграции теоретических оснований и способов диалектического и рассудочно-формального мышления как в философии, так и в математике

Традиционно декларируемое противостояние гуманитарной и научнс технической культуры, философии и математики большей частью надумано. На самом деле, математика - составная часть феноменологического поля систематического и теоретического философствования любой исторической эпохи, а философия является мировоззренческой основой каждого, имеющего нерреходящее значение,математического исследования. Более нем двухтысячелетия история взаимодействия философии,и математики поэтому является образцом для осмысления взаимосвязи гуманитарного и естественно-научного прогресса, художественной и технической культуры.

Парадигмальная роль взаимного влияния философии и математики обусловлена не только древностью.и отчетливостью форм взаимосвязи диалектики и математики, но и непреходящей метафизической ценное стью, в известном смысле,определяющей значимостью для формирования и судьбы человеческой цивилизации как философского умозрения, так и математического творчества.

Завершая рассмотрение актуальности исследования генезиса и структуры взаимодействия философии и математики хочется отметить особое положение этой темы, которая является частью философских вопросов математики, входящих в пространство логики, методологии к философии науки, соприкасающихся со сферой теории и истории метафизики, математики, науки вообще. Такое место проблемы форм г. способов,тенденций и закономерностей взаимного влияния диалектики и математики в пограничной области многих направлений исследований не только затрудняет теоретический анализ, но и служит источником понимания необходимости решения этой проблемы.

Степень разработанности проблемы. Взаимодействие философии и математика начинается в античности, осознается в превращенной ■Тюрме построения всеобщей науки, универсальной математики в рационализме нового времени и обретает дисциплинарный статус философии и методологии математики в XX веке. Факты теории и истории философии математики обнаруживаются в произведениях выдающихся философов - Платона, Декарта, Башляра; трудах круп-нейиих математиков - Евклида, Кантора, Вейля. Интерпретация и истолкование их да иг в работах по логике и методологии науки, истории философии и математики отечественных и зарубежны} исследователей.

Метафизическое измерение проблемы форм и закономерностей взаимодействия философии и математики связано с тем, что решение многих философских проблем требует учета бытия математики и науки вообще. Теоретическую проблематику философской и научной истины, рассматриваемую в работах Х.Гадамера, Ю.Хабермаса, М.Хай-деггера, Э.М.Чудинола, С.Л.Франка,невозможно правильно поставить вне хотя бы бессознательного представления о природе математической истинности,доказательности, коррелированными со своеобразием математических абстракций. Содержательно-сущностный смысл истины в том, что она является предметом изучения во всякой метафизической концепции в качестве ее гели и идеала. Непосредственным предметом изучения- истина становится в гносеологии - одном из оснований теоретической философии, которая невозможна без обобщения истории науки, математического творечества и т.д. Поэтому исследования В.А.Лекторского, Б.С.Гряэновэ, А.Уайтхеда, М.К.Мамардашвили, Н.Бердяева, П.А.Флоренского и других по вопросам природы познания и предмета философии, логики рациональности и подобным не только сами являются результатом взаимосвязи философии. и науки, но и служат фундаментом для более глубокого осмысления генезиса и структуры диалектической рефлексии математики, впервые становящегося предметом изучения в отечественной литературе.

Онтологический срез проблемы способов и тенденций взаимного влияния философии и математики обнаруживается в том, что именно эти науки в античности и новое время выявили такие возможности человека по теоретическому созерцанию, пониманию и практическбму преобразован™ бытия, которые и до сих пор определяют судьбу рода человеческого как в смысле познавательных перспектив, так и в контексте технологической, природопреобразупшей деятельности.

Проведенный в диссертации анализ опирался на исследования взаимного влияния философии и науки (в какой-то мере математики^, которые осуществлены относительно диалектики общего и частного В.С.Соловьевым, П.Н.Федосеевым, Б.К.Кедровым, В.Гейзенбергом, применительно к восхождению от абстрактного к конкретному А.С.Богомоловым, Э.В.Ильенков™, В.С.Черняком, при рассмотрении объяснения, обобщения, обоснования В.И.Метловым, Е.П.Никитиным, А.П.Огурцовым и другими.

Историко-философский контекст разработки проблем взаимного влияния философии и наукк (математики4 определялся тем, что реконструкция мировидения Пифагора или Спинозы невозможна без ответа на вопрос об их понимании природы математического знания, поскольку оно лехит в фундаменте онтологии, гносеологии и других оснований метафизики этих мыслителей. Следовательно, работы Г.Башшра,

A.КоГре, АЛ.Лосева, Н.В.Мотрошиловой, В.В.Соколова, в которых темсочвсп- т- лр- личностно рассматривается история философии, в некоторой своей части представляются опосредованным продуктом взаимного отношения философии и математики, который учитывался при анализе генезиса диалектического осмысления математики.

Историко-философская рефлексия математического познания относительно проблем интуиции , диалектики множественного и единого, утраты определенности, поиска и экспликации истины, связи с естествознанием, философией и другими науками проводилась

B.Ф.Асмусом, П.П.Гайденко, А.В.Ахутиным, М.Клайном, И.Д.Рожанским, И.З.Цехмистро, Э.М.^диновым, а более конкретно,с точки зрения философии математики, А.Г.Барабашевым, Е.А.Беляевым, В.С.Лукьян-цом, О.И.Кедровским, А.Н.Нысанбаевым, 'М.И.Пановым, В.Я.Перми-новым, Л.А.Соловьем, Г.Г.Шляхиным. Труды этих авторов определили предмет диссертационного исследования.

В истолковании метафизического и историко-философского измерения взаимодействия философии и математики имеется два подхода. Г.Батляр, А.Уайтхед и иные сторонники сциентистского похода исходят в понимании возникновения и связи этих наук из того, что определяющим было и остается влияние математики и ее оснований. А.Койре, А.Сабо и другие адепты гуманитарного подхода полагают основным в генезисе и взаимном влиянии философии и математики воздействие метафизики, риторики, юриспруденции, поэтики и т.д. Противоположность сциентистского и гуманитарного подходов к ин-тепретации истории философии математики снимается исследованием базисных узлов диалектического осмысления математик, в котором-

соединились теоретические основания философии и математики. Выбор в качестве одной из сторон предмета исследования диалектической традиции философского анализа математики обусловлен еше и тем, что в истории метафизики нет направлений более обращен»« к математическому творчеству для конструирования принципов, обоснования концепций, подтверждения основоположений.

Если выделить в генезисе диалектического исследования математики наиболее продуктивные периоды взаимодействия философии и математики, то окажется, что таковыми являются три исторические формы диалектики: античная, нового времени и немецкого классического идеализма. Причем по времени они коррелируются с тремя кризисами оснований математики.

Среди множества мыслителей, создававиих эти формы диалектики, для анализа вычленим ключевые имена, "определяющие дух эпохи. В античной диалектике выбираются Платон и Аристотель - вершины древнегреческой метафизики и философского анализа математики. В рационализме нового времени предпочтение учениям Декарта и Лейбница отдано потому, что они не только философы, но и творцы новой математики - аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчисления. Выделение в немецком классическом идеализме Канта и Гегеля обусловлено тем, что в их учениях философия математики - основная часть фундамента диалектики, гносеологии к методологии, т.е. теоретических оснований их метафизических чщд'епцкй, Форм' врап/одеГствия диалектики и математики, опредмеченные в философских системах этих мыслителей, особенно интересны потому, что интеллектуальные революции, совершенные Гераклитом и Парменидом, Бэконом и Декартом, необходимо было осознать и довести до сознания культурного сообщества, что и было сделано названными гениями.

Завершив метафизическое и историко-философское обоснование выбора темы и предмета исследования, перейдем к рассмотрению состояния разработки проблемы способов и закономерностей взаимодействия философии и математики в литературе по теории, истории и основаниям математики, науки.

В работах по математике и метаматематике, основаниям науки и математической логике существует две тенденции. Сторонники нигилистического отношения к роли метафизики - Л.Виттгенштейн, Дж.Ст.Милль и другие - считают философские вопросы псевдопроблемами. Сторонники другой тенденции - Х.Карри, С.Клини - полагают, что научная мысль неотделима от философских идей, принципов.

Положительное1 отношение к метафизике более справедливо, что и пытается доказать диссертант.

В трудах выдающихся математиков А.Д.Александрова, Н.Бурбаки,

A.Н.Колмогорова, Г.Кантора, Н.Н.Лузина, А.Лебега, А.Пуанкаре проблемы философии математики затрагиваются не только во введениях, заключениях и подстрочных примечаниях, но и в самих творческих размышлениях, доказательствах.

Особо следует отметить исследователей, осознающих взаимное влияние философии и математики, а не просто признающих .его. У них кроме произведений по математике и другим наукам имеются специальные труды по философии математики. Среди авторов,-у которых имеются сопоставимые по значимости результаты как в математике, так и в философии математики можно указать Декарта и Лейбница, Кантора и Вейля, Пуанкаре и Китчера, Куранта и Мак-Лейна. Анализ их взглядов на базисные инварианты сэморефлексии математики -природу и метод, статус и генезис, доказательность и выводимость -представляет специальный интерес для выяснения форм и способов диалектического осмысления математики.

Степень исследованности генезиса и структуры взаимодействия философии и математики в литературе по истории математики обусловлена тем, что труды И.Г.Башмаковой, Н.Бурбаки, С.С.Демидова, Д.Я.Стройка, Г.Г.Цейтена, А.П.Юшкевича и других теснейшим образом связаны с теорией и историей философии математики потому, что реконструкция истории математики вне философских установок, диалектических принципов вообще невозможна. Исторпкп-мг.тематическое оправдание выбора в качестве предмета изучения, с одной стороны, основных эпох, диалектической традиции философского анализа математики, а с другой стороны, базисных инвариантов внутринаучной рефлексии классической и неклассической математики, можно обнаружить в выделении трех этапов развития математики - возникновение теоретической математики в античности, становление математики ..нового времени и развитие современной математики, которые совпадают с анализируемыми нами.

Разработанность темы исследования в литературе по философии, логике и методологии неуки определяется тем, что философские вопросы математики являются составной чрстыо это^о направления исследований. Работы В.А.Лекторского, В.С.Степина, М.А.Розова,

B.С.Швырева, В.С.Черняка, Б.Г.Юдина, С.Г.Юдина, В.П.Визгина, А.Ф.Зотова, В.В.Ильина, М.А.Киссель, А.В.Кезинэ, Л.К.Косаревой, Н.И.Кулнеповой, М.В.Поповича, Д-.Болтона г других, в которых

рассмотрены проблемы специальнонэучного познания, теоретической и эмпирической методологии, осмысления текстов и их интерпретаций, тематического анализа науки, осмысления структуры и смысла, эволюции критериев и идеалов научности и сходные, задают направление и фиксируют общие ориентиры анализа форм диалектической рефлексии математики, проведенного в диссертации.

Специальное исследование взаимного влияния философии и науки приобретает облик изучения научной картины мира, исследовательских программ, аксиоматизации физики, математизации', кибернетизации в статьях и монографиях П.С.Дышлевого, Б.Г.Кузнецова, В.М.Костева, О.М.Канака, А.Т.Лукьянова, В.А.Рыжко, В.Н.Свинцицкого и других. В работах И.А.Акчурина, Л.Г.Антипенко, А.Г.Барабэшева, Б.В.Бирюкова, В.Гейзенберга, С.С.Глушкова, А.Л.Никифорова, З.Пауля, Ю.В.Сачкова изучены типы и уровни интегративных процессов, гносеологические и другие основы дифференциации, наук, процессы интеграции через понятия, идеи,теории. Недостаточно проанализированы тенденции интеграции и дивергенции теоретических оснований и синтеза и дифференциации способов мышления различных наук, особенно применительно к взаимодействию философии и математики.

Литературу по философии математики с точки зрения исследован-ности теш диссертации можно разделить на несколько областей. Философские исследования оснований математики, оценки интуиционизма, формализма, логицизма и конструктивизма как направлений не только в основаниях математики, но и в самом математическом творчестве, осмысления различий математических программ и философских концепций обоснования математики, проведенные в работах Е.А.Беляева, В.А.Карпунина, Ф.Китчера, А.Ф.Кудрягаева, В.С.Лукьянца, А.Н.Ннсанбаева, М.И.Панова, В.Я.Перминова, Ю.А.Петрова, Г.И.Ру-завина, В.Н.Тростникова, Г.Г.Шляхина, являются подтверздением факта существования интеграции теоретических оснований философского и математического знания и требуют осмысления концептуальных форм синтеза диалектики, гносеологии и математической логики.

Сфера проблем природы математического знания, специфики и структуры математических теорий, их отличия от философских и физических, закономерностях систематизации и предмете математического знания, специфики соотношения математических объектов и действительности, гносеологического статуса аксиом и определений, изучаемые в трудах А.Г.Барабашева, В.А.Бажана, С.Н.Зовка, В.Н.Мо-лодгпего, Ю.Е.Петрова, И.З.Цехмистро, ставит задачу осмысления эпистемологических форм диалектической рефлексии математики.

Тематическая область классификации математических методов, операциональной природы доказательства, формальной к интуитивной частей вь-ведения, дедуктивной природы математики, рассматриваемая в работах В.Г.Зойпеховкча, О.А^Габриэляна, А.А.Касьяна, О.И.Кед-ровского, И.С.Кузнецовой, М.В.Салихова, Г.И.Рузавине, ориентирует не необходимость изучения методологических форм диалектического внглгзп математики, исторической дгвергенциг способов матеметиче-гу диалектического мышления для уяснения возможностей их теоротн-теского синтеза.

Цен> у задачи исследования. Главная цель диссертации - анализ форм и способов, уровней и тенденций, этапов и закономерностей взаимодействия философии и математики обнаруженных в ходе исследования генезисе и структуры, во-первых, диалектической тра-Д','Ц1— философского осмысления математ/ги и, во-вторых, внутри-научной рефлексии природа математики как знания или познания.

Главная цель достигается через решение взаимосвязанных конкретных задач:

- определить гносеологические и методологические формы к способ'-1 Д' алеч'тгческого анализа математики,

- устаков'.":ь га!сл "он^епгуельгых схем ! структур диалектической рефле»ски математики кек форм взаимодействия философии и математики в процессе интеррации теоретических оснований этих наук,

- уяснить содер?кание закономерностей взаимного влияния диалектики и математики как изменения типа парадигмальности, уровня рефлексии г приоритетной области проблемзтизацик ;на различных истогичеспс этпах философского осмысления математики,

- выделить тенденции исторической дивергенции и теоретического синтеза способов разумно-диалектического и формально-рассудочного мышления как в философском, так и математическом познании,

- вычленить категориальные инварианты саморефлексии математики в ее классическом и неклассических направлениях и основаниях.

Анализ этих и некоторых других задач определяет основное содержание работы к характеризует ее логику и выводы.

Методологические основы и источники исследования.Диссертант опирается на исторические и теоретические типы диалектики как методологии бытия и познания, принципы единства исторического и логического, эпистемологического и методологического, восхождения от абстрактного к конкретному и другие, которые позволяют осмыслит! переломные пункты генезиса и важнейшие звенья структуры диалектического анализа мэтематики без отрыва от реальной истории философии и саморефлексии математики в современной науке.

Генезис и структура взаимодействия диалектики и математики исследованы на осноЕе двоякого рода источников: первичные источники включают произведения наиболее выдающихся представителей античной диалектики, рационализма нового времени, . немецкого классического идеализма и современной математики. Вторичная источниковедческая база состоит из трудов по метафизике и истории философии, истории V теории математики к ее оснований, истории и методологии науки, философским вопросам математики и других. Переосмысление диалектической традиции философской рефлексии математики было проведено с использованием литературы по возникновению науки и математики, становлению философии и диалектики, структуре и основаниям научных и математических теорий, способам разумного и рассудочного теоретического мышления, современным тенденциям развития математики и метафизики.

Научная новизна. В диссертации разработана концепция интеграции теоретических оснований и способов разумного и рассудочного мышления как в философском, так и в математическом познании.

Оригинальным является обоснование идеи необходимого подобия (изоморфизма} концептуальных форм взаимодействия диалектики и математики, обнаруженных при реконструкции, с одной стороны, философского анализа математики в истории диалектики, а с другой -внутринаучной рефлексии математики современными учеными.

Методологически продуктивным представляется реализация установки на анализ диалектической рефлексии математики через синтез таких различных подходов, как гуманитарный и сциентистский, генетико-исторический и структурно-логический, эпистемологический и методологический.

В процессе применения концепции, идеи и установки к анализу генезиса и структуры взаимодействия философии и математики были сформулированы положения, которые выносятся на защиту. .

Взаимодействие философии и математики впервые интерпретировано как диалектическая рефлексия математики, осуществляющаяся с помощью интеграции теоретических оснований и способов разумного и £*ассудочного мышления этих наук в таких эпистемологических формах, как концептуальные схемы, гносеологические структуры и категориальные инварианта.

Показано, что концептуальные схемы диалектического осмысления математики (дяалектико-количественная Платона, формально-квалита-тивистская Аристотеля, конструктивно-трансцендентальная Канта)

представляют системы особенностей (эйдетячнос^к у. простоты, эпркоггостг и других^ философской рефлексии математики как знания или познания конкретным мыслителем, в которых воспроизводятся метафизические установки их учений. Посредством концептуальных схем и особенностей происходит интеграция теоретических оснований философии и математики.

Разработано новое понятие гносеологической структуры диалектического англгзэ математики в античности, рационализме нового времени и немецком классическом идеализме, которое фиксирует интерсубактивные и существенные черты концептуальных схем различных ученых и характеризует, во-первых, тип парадигмальности, то есть уяснение того,образцом чего является математика - знания, науки или теории, во-вторых, уровень рефлексии, определяющий в интерпретации математики интенцию на созерцание, представление или понимание, в-третьих, приоритетную область проблемами -зэции, обнаруживающую преимущественную ориентацию в изучении математики на предмет или метод; достоверность или идеалы.

Предложено представление о категориальных инвариантах диалектической саморефлексии математики - количество и качество, дедукция и индукция, анализ и т.д., которые не только являются формами имманентно-теоретического осознания природа математики Пуанкаре, Вейлем и другими современном' математиками, но и выступают воспроизведениями базисных фрагментов когнитивных особенностей и концептуальное структур философского анализа математики.

Обосновано оригинальное понимание трансформации гносеологических форм взаимодействия философии и математики б способы взаимного влияния оснований этих паук: схематгз'ация 'и структуризация выступают как отбор и селекция; г5с-регированке и обобщение, погружение в более глубокую сущность математических фактов В соотвествии либо С 'УСТЕНОВКОГ; МЫГЧТ'ТСЛЯ, либо подходом исторической эпох'/ ; конаейтугггяяггя гг^.пстгтаяется как применение и обоснование, редукция и трснсллц: я бг.зкодах фрагментов схем у структур во внутркнаучнуа ре^.-екс: ^ тематик!-..

Выделена закономерное?! вяашо действия. фглософки у. математики, которне складываются из элементов гносеологических структур и описывают: изменение типа пародггмзлькостг ( зкение -- наука -теоркял, углубление уровня рефлексн." (созерцание - представление -понимание^ и эволюции приоритетной области проблематкзации (предмет - метод - достоверность).

Теоретическая и практическая значимость работы. Результаты исследования модно использовать при разработке истории и теории философии математики, проблем теории познания у методологии науки. Основные положения и выводы диссертации могут применяться и были использованы автором в преподавании курса истории и теории философии для студентов Днепропетровского университета, чтении спецкурсов по "Философии математики" для аспирантов кафедры философии АН УкраиныСКиев, 1987), аспирантов Приднепровского научного центра, подготовке сообщений для профессорско-преподавательского состава механико-математического факультета ДГУ.

Апробация работы. Диссертация и автореферат были рекомендованы к защите'на заседаниях кафедры философии Днепропетровского госуниверситета и кафедры философии естественных факультетов.Киевского госуниверситета.

Результаты исследования докладывались на региональном семинаре "Мировоззренческие и методологические проблемы взаимодействия науки и производства"(Днепропетровск,1987'(, конференциях по итогам работы ДГУ (1980-1990), республиканской конференции "Мировоззренческие и методологические проблемы взаимодействия теории и практики" (Киев,1983), Всеосогозном совещании по философским и социальным проблемам науки и техники (Москва,1987), Всеосоюзном семинаре по философии математики (Москва,1989), Всесоюзных симпозиумах "Закономерности и современные тенденции развития математики" (Обнинск, 1985, 1987, 1989, 1991) и других научных форумах.

Структура диссертации. Определяется логикой исследования, заданной целью и задачами, а также обусловленной новизной. Концептуальная установка исследования потребовала выделения двух разделов, в первом из которых многослойное взаимодействие философии и математики рассмотрено в контексте интеграции оснований этих наук, а во втором - изучается взаимоотношение разумно-диалектического и рассудочно-формального способов мышления. Идейная новизна привела к необходимости выделения в каждом из этих разделов двух глав: причем,в первых главах разобраны исто-рико-генеткпеские аспекты диалектической рефлексии математики, а во вторых - структурно-теоретические концепты саморефлексии математики. Примечательно,' что история развития обнаружила теоретическую структуру взаимодействия философии г математ:ки, фрагменты которой были верифицированы в современном самосознании математики. Текст диссертации состоит из введения, двух разделов, четырех глав, 12 параграфов, заключения и списка литературы.

12 ' • ' II.• ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАВ01Ы : '.

Во введении.обосновываются выбор'таи и- ее актуальность, характеризуется степень разработанности проблемы, определяются цель и задачи Исследования, указываются -методологические основы . и источниквведческая база, раскрывается научная новизна концепции и конкретизщпощих /ее положений, выносимых на; защиту, характеризуется теоретическая и практическая значимость,результатев и . проводится обоснование логической структуры, диссертации.

В разделе первом "Интеграция оснований, философского и мате- . матического знания" выясняется многослойность вваимодействия философии и математики, иначеговоря, опосредойанностьего основаниями метафизики - диалектика, гносеология,: методологии - и . основаниями математики - метаматематика, математическая логика, философия и методология математики. ' -V: .

Первая глава "Эпистемологические фостО взаимного влияния философии и математики" посвящена рвссмотрению генезиса диалектического анализа-математики в истории домарксистской философии.

Исследование начинается с.концептуальных схем диалектического осмысления математики Платона и Аристотеля Сгл.1, § I), которые базируются на общем для античности понимании математического как непотаенного и известного заранее. Поатоцу числовой мистицизм религиозного образа жизни пифагорейцев, геометро-количественная мифология диалектического илпления. Платона,при устройстве космоса и стихий, математическая подоплека большей части силлогистики Аристотеля являются наиболее известными фактами, того,что . математику можно рассматривать как феноменальную почву античного '.философствования в .его самых сокровенных основаниях.

, Показано, что концептуальная схема философского анализа ма-. тематики Платоном образуетсяиз системы следующих особенностей. Дкалектико-ноличественный редукционизм (Филеб, 16 с-еУ исходит . из того, что всякое бытие вещей, истины, добра представляет . единство предела-и беспредельного, -единого и многого» Дознание - конкретного объекта связано с количественной определенностью, ко-•- торая ¡фиксирует кислом'единство во.множестве, останавливает кача-• -ние предела, и беспредельного как в бытии, так и. в познании. Этим . обусловлена'срединнстЬ математического умозрения в арифметике, .- •'.' .геометрии: .... ...

Зйдетичность матрматтеского.'у Платона, которая обнарунива-' ется в знаково-символической природе числа* является формой, интеграции диалектики и математики потому, .что созерцание, чисел и

образов, пропорций и фигур задает параметры души, структуру умов зрительных знаний и через причастность устрояет бытие космоса.

Многоаспектная противоречивость числа, оправдание гносеологии "припоминанием" теоремы, обоснование интеллектуального созерцания геометрическими представлениями о круге - это те особенности диалектической рефлексии математики,которые завершают концептуальную схему Платона.

Концептуальная схема диалектического анализа математики Аристотелем начинается с учения о математических предметах - числах и фигурах, которые являются объектами.умопостигаемой материи, существующими только в познании как отвлеченности, которые обозначаются и постигаются при помощи символов.

Такая особенность, как иерархия математических наук строится в соответствии с принципами строгости, общности и ценности. Предмет общей математики - количество как таковое; второй математики - арифметики - число и дроби, и другие отношения дискретного количества, множества. Предмет геометрии - точки, плоскости и подобные величины или непрерывные количества.

Диалектическое видение числа Стагиритоы раскрывается через сущность Сто,что оно единожды) и качество (сложное число), количество и меру, соотнесенность с определенными и неопределенными отношениями и принципы построения числового ряда, свойства (тождество сущностей, сходство качеств и равенство количеств) и т.д. Сущность числа второго порядка обнаруживается в соотнесенности с одним как началом и мерой числа.

Формальность, абстрактность, существование в особом смысле математических предметов и иные особенности метафизического анализа математики, которые входят в квалитативистскую схему Аристотеля, подробно рассмотрены л диссертации.

Сравнительный анализ концептуальных схем Платона и Аристотеля обнаруживает гносеологическую структуру античного осмысления математики как знания, которая включает: тип парадигмальности, который отражает ориентацию на математику как образец непотаенного умозрительного знания, хотя и не самого высокого уровня теоретичности, но наиболее общезначимого и доступного, лежащего в основе дальнейшего движения к истине.

Уровень рефлексии античного осмысления математики является созерцательным. Эйдетический статус чисел и фигур у Платона, умопостигаемый характер математических предметов Аристотеля, связан-

ный с созерцанием их отвлеченности, лежат в основе сакрально-созерцательного истолкования бытия и познания, деления математики на прикладную и философскую.

Приоритетной областью проблематизации анализа математики в древнегреческой диалектике является предметность математического знания, которая приобретает формы уяснения сущности и существования чисел и тел, иерархии математических наук и детерминирована общей направленностью античности на изучение эйдетической или сущностной природы сущего, что невозможно без экспликации статуса математических предметов.

Взаимодействие философии и математики в античности непосредственно потому, что философские понятия не математизируются, а уподобляются, кроме того, математические понятия сакрализуются и потому становятся теоретическими созерцаниями, в ^ем проявляется синкретичноеть знания как видообразование интеграции.

Переход от античного эйдетического видения космоса к эмпирическому осмыслению природы в новом времени приводит к серьезному изменению точки зрения на математику (глД, § 2). Математика искусственно отделяется от метафизики и теологии, десакрализуется, отвлекается от качеств и миросозидания, то есть приобретает статус количественного и формального, общего и абстрактного анализа. Математическая физика, пришедшая на смену метафизике, является синтезом аналитической геометрии и теоретической механики и почвой для возникновения физической социологии и технической логики. Механистичность философии и технократизм культуры являются следствием абсолютизации подхода к математике как образцу рациональности, научности, логичности, философичности и духовности.

Первое произведение по собственно философии математики появляется у Декарта. Диалектическая концепция математики как знания в философии сомнения основывается на представленности математических вещей как синтеза созерцания и понимания. Декарт выделяет в качестве норм научности вообще математические критерии простоты и ясности, отчетливости и очевидности.

Концептуальная схема диалектического осмысления математики Декарта субъективирует отвлеченность и абстрагированность математических истин, вещей в представления рефлексирующего ума. Из остальных особенностей анализа математики Декартом перечислим относительную априорность и независимость от духовного опыта., дихотомию абсолютного равенства и относительного неравенства, различение ясных качеств и темных вещей, выделение поряка и меры, отношений у пропорций как предметов общей математики.

Философия математики Лейбница представляется высшей гармонией во взаимодействии этих наук. Математические истины полагаются необходимыми и случайными, тождественными и фактическими, рацион нальными и чувственными, вечными и возможными, существующими реально и модально.Особенности,перечисленные первыми,больше соответствуют прйроде чистой математики, а вторые - пргаладной.

В требованиях, нормах и идеалах математичности Лейбница завершаются представления об аналитичности необходимых истин. Точность и строгость, достоверность и доказательность, интуитивность и демонстративность, символичность и адекватность математических знаний Лейбниц рассматривает как образец и исток порядка и красоты, правильности и отмеренности природы.

Перечисленные и другие особенности концептуальной схемы диалектического осмысления математики как знания лежат в основе лейб-ницевского понимания предмета Математики. Универсальная характеристическая наука, всеобщая математика имеет, своим предметом величины или количества и подобия или качества, с помощью конкретизации которых осуществляется любое исчисление в алгебре, теории вероятностей и других науках.

Тип- парадигмальности философии математики Декарта и Лейбница фиксирует образцовость математического знания для рациональной науки. Ясность и отчетливость математических абстракций, аналитичность и строгость математических истин, дедуктивкость и демонстративность математики становятся образцом для всех наук, что приводит к попыткам создания универсально всеобщей науки.

Уровень рефлексии в гносеологической структуре диалектического анализа математики в ХУП веке связан с представленностью математических знаний как субъективной рефлексии в свете ума через интерпретацию их как-вещей и истин либо простых и отчетливых у Декарта, либо аналитических и необходимых, интуитивных и доказательных у Лейбница.

Приоритетной областью проблематизации в новое время становится методология математики, которая доминирует среди остальных философских вопросов математики, хотя и в превращенной форме создания всеобщей математики, универсального характеристического языка.

Интеграция теоретических оснований философии и математики приобретает вид экспансии идеалов и норм математических наук, примерами чего являются "Этика, изложенная геометрическим способом" Спинозы, "Математические нечала натуральной философии" Ньютона

и т.д.

Взаимодействие философии и математики в немецком классическом идеализме (гл.1, § 3) обусловлено желанием видеть метафизику наукой, а не любомудрием, претензией трансцендентального идеализма и спекулятивной диалектики на подведение итогов.человеческим исканиям истины, добра и красоты, что неизбежно ведет к философии математики, поскольку без нее выводы относительно ксткры и метрологии очень проблематичны. Кант и Гегель осознают, что математика - образец научности рассудочной, з не разумной. Идеалы г нормы математической рациональности преодолеваются требованиями высшей научности, содержательной диалектики, научного разума.

Концел-туэльная схема трансцендентального анализа математики как науки формируется вокруг предметности пространства и времени как объектов математического созерцания в геометрия к арифметике. Математические понятия и положения не отражают действительность, а задают теоретические контуры ее восприятия через числа и фигуры, происходя"из априорных синтезов чувственности, фундаментальных интуиции трансцендентального субъекта.

Теоретическую математику Кант считает наукой об априорных формах созерцания предметов, но не знанием о самих вещах. Математика априорна потому, что абсолютная безусловность и доказательность, необходимость и достоверность, универсальность и общеобязательность в эмпирическом опыте недостижимы.

Еще одной особенностью научности математики выступает синтетичность как характеристика расширяющегося, нового знания. Интуитивно-созерЦательная природа математики основана на том, что чувственные данные субъект получает в опыте, но орванизу-ются они по априорным схемам рассудка, правилам математики. Математические знания как интуитивные созерцания не могут претендовать на истинность законов естественных наук, а только на правильность.

Априорно-синтетическая, интуитивно-созерцательная нормативная природа пространственно-временной предметности математических знаний у Канта покоится на объективности и идеальности. Эти и другие особенности образуют концептуальную схему диалектической рефлексии математики, предложенную Кантом.

Диалектическая экспликация математики как знания Гегелем включает следующие установки. Общеколичественный подход к предметности математических величин снимается пониманием качественных различий между и внутри любой математической абстракции. Качественно-количественная природа анализа чистой математики исхо-

дит из формальности и внешности на уровне универсального осмысления статуса математики. Но при погружении* в сущность математического привлекается весь категориальный аппарат диалектически противоречивого "раздвоения единого".

Концептуальная схема спекулятивного анализа математики связана с пониманием нормативности математических знаний как абстрактных, внешних и формальных. Однако, анализ числа и переменной, множества и дифференциала как предметов частных математических дисциплин органично дополняется противоположными категориями - конкретностью, внутренней содержательностью и т.д.

Общая рассудочность и конечность математических объектов дополняется частной несоизмеримостью геометрических величин, бесконечностью алгебраических рядов и понятий дифференциального исчисления. Диалектичность осмысления математики обнаруживается в том, что доминирующая особенность математического знания не может существовать без своей противоположности. Философия математики Гегеля, обеспечивая взаимопереходы качества и количества, проясняя природу абсолютного метода, демонстрирует проникновение математического знания в самую глубинную основу спекулятивной философии - диалектику и методологию.

Гносеологическая структура диалектической рефлексии математики в немецком классическом идеализме формируется из типа парадиг-мальности, который связан с преодолением ориентации на математику как единственный образец рациональной научности и выяснением ее рассудочной теоретичности, которая коррелирована с конечностью и чувственностью. Интерпретация математической теории как образца рассудочной рациональности ограничивает сферу действия идеалов и норм математичности, не допуская их прямого пеоенесения в разум.

Уровень рефлексии философского анализа математики Кантом г. Гегелем устанавливается формальной понятийностью математического знания как несодержательной конструктивности, либо подхода к спекулятивности.

Приоритетная область проблематизации диалектического анализа математики в немецком идеализме характеризуется направленностью на изучение абстрактной достоверности идеалов и норм математического, интерпретируемых через априорность к синтетичность, иде- ' альность и рассудочность, конечность и т.д.

Завершая первую главу, укажем некоторые закономерности взаимодействия философии к математики. Гпнезис типов парадигмаль-ности в диалектическом осмыслении математики как знания начина-

ется с исследования математического как образца знания в ентнчнс-ст", науки - в новое время и теории — в немецком классическом идеализме. Закономерность углубления уровня рефлексии математики в диалектической традиции ее осмысления заключается в переходе от созерцательной интерпретации математического в античности к представлению математических вицей и истин в новое время и пониманию границ теоретичности математики как рассудочного знания в немецком классическом идеализме. Изменение объектной направ-леннрсти философского анализа математики заключается в том,что Платон и Аристотель более изучают предмет, Декарт и Лейбниц более углубленно рассматривают метод, а Кант и Гегель ориентируются на осмысление идеалов и норм математической достоверности.

Глава вторая "Инварианты саыорефлексии математического знания" имеет целью проанализировать основные категориальные звенья, с помощью которых осуществляется внутринаучное осмысление природа и предмета, статуса и генезиса-математики как знания. Проведенное ранее уяснение эпистемологических форм и этапов философского освоения математического знания будет дополнено экспликацией форы математического использования диалектических положений.

Обоснование количественной-качественной определенности природы математики как знания (гл.2, § I) проведено на основе анализа взглядов А.Уайтхеда, Г.Вейля, А.Н.Колмогорова и других,чьи высказывания являются фактами взаимодействия философии и математики. Обобщенное представление о смысле ^количественной природы математики сводится к отвлеченности от качественной реальности объектов, абстрагированности от содержательных аспектов, большей общности понятийного аппарата (сравнительно с естествознанием), однозначной строгости и точности аксиоматических конструкций, воспроизведению формального и общего в счете и измерении, порядке и мере, положении и отношении, множестве и бесконечности.

Количественная природа математической реальности является таковой на первом уровне внешнего соотнесения с другими науками. В сущности как внешнего, так и внутреннего содержания математики имеются качественные различия, например, математики дискретной и непрерывной, числа и фигуры, множества и т.д. Существует разветв-вленная классификация и иерархия качественных различий,например, чисел, начиная с иррационального и заканчивая кардинальным.

Количественно-качественная (мерная) определенность математического знания связана не только с вышеизложенным, но и с преодолением представлений о чисто качественной ыат^щхшсе,. уяснением различных уровнеИ мерной определенности математического.

Влияние диалектической традиции анализа природы математики как количественной (пифагорейцы, Платон, Вейль), качественной и количественной (Аристотель, Лейбниц, Пуанкаре), и мерной (Декарт, Гегель) обнаруживается в становлении оснований математики, пред -ыстория которых начинаетсявсодержательной логике Лейбница, Гегеля и конституируется в концепциях Фреге, Рассела, Уайтхеда в формальное уяснение статуса объектов теории множеств и метаматематики, теории категорий и топосов, концепции структур и нечетких множеств.

Категориальный инвариант: качество-количество-мера является формой интеграции оснований философ ии. и математики в том смысле, что нет возможности осмыслить природу математического знания вне этого концепта. Кроме того, степень разработанности диалектики качества, количества и меры, если не прямо, то опосредованно отражается во внутринаучной рефлексии математики.

Рассмотрение формально-содержательной предметности математического знания в контексте взаимодействия философии и математики (гл.2, § 2) обусловлено тем, что уяснение Вейлем систематического символизма математики или роли знаковых форм в надежности и достоверности правильно построенных формул, кроме того, интерпретация Бурбаки аксиоматического метода через абстрактные структуры и, наконец, конвенциональное понимание истинности Пуанкаре б смысле непротиворечивости символизма и операциональное:;,, формы у. содержания математических непрерывностей - связаны с реализацией диалектической установки на интеграцию смысла и образа знаково-симво-лической предметности математического содержания.

Внутринаучная рефлексия предметности математического знания исходит из содержательности формы - строгость, оформленности со -держания - точность, образного, выражения в знаках - формальность, с;тегоч,.^8е:«;го смысла обозначений - сущности, которые характеризуют любое понятие или абстракцию, действие или операцию. Причем, символическая интерпретация математических знаков,например, числа у Платона является эйдетической, а у Аристотеля выступает как абстрактность самых простых отношений количества, что говорит о неоднозначности диалектической р&флексии математики.

Интеграция оснований философии и математики через категориальное звено - форма и содержание - заключается в том, что во внутринаучном самосознании математики неизбежно обнаруживаются понятия внутренней и превращенной формы, которые не проникают, а высвечивают математический формализм на фоне содержательной теоретичности других наук, кроме того, здесь же осознается содержа-

тельность математического в имманентно-смысловой рефлексии.

В диссертации показано, что генезис и статус математического знания с точки зрения диалектической рефлексии математики анализируются с помощью категориальных инвариантов - абстрактное и конкретное, общее и частное, отвлеченное и идеализированное (гл.2, § 3). Происхождение математических знаний связано с отвлечением и конструированием, абстрагированием и обобщением, идеализацией и символизацией, практической деятельностью и умозрением. Такое многомерное объяснение генезиса математических абстракций и операций позволяет найти соответствующее место для ибадой исторической позиции, в которой Платон подчеркивает припоминаемость, Аристотель - отвелченность, Кант - чувственную априорность и т.д.

Понимание Курантом математики как нйужр.абстрактной, дедуктивной и обобщенной, но неотрывной от конкретности, индукции и внимания к частностям,как и представление Бурбаки об иерархии структур как основе деления математических дисциплин по стеиеням общности (теория групп - общая, топологическая алгебра - особенная, теория функций действительного переменного - частная) демонстрирует взаимодействие философии и математики через интеграцию оснований этих наук.

Обосновано, что взаимодействие философии и математики как всеобщего и общего знаний осуществляется через обобщение или редукцию, но с предварительной селекцией или конкретизацией. В математическую теорию или методологию■редуцируется не способ радикального сомнения Декарта или концепция иерархии количественной бесконечности Гегеля, а только некоторые конкретно переосмысленные-' положения.

Значительный интерес представляет не только то, что одни и те же категориальные инварианты характеризуют генезис и структуру, статус и уровень математических знаний, но и то, что они же фигурируют в экспликации предмета и природа, определенности и других параметров математической^ реально сти. Речь идет о том, что.абстрагирование числа представляется двуединым процессом абстрагирования и обобщения. Абстрагирование от конкретного содержания дополняется, обобщение формы (численность - число - положительное - рациональное и т.д.). Все это говорит о многомерной противоречивости математической реальности, которая этими категориальными инвариантами "рассекается" во внутринаучцой рефлексии, воспроизводя при этом базисные фрагменты концептуальных схем и гносеологических структур осмысления.математики в истории диалектики;

Исследование проведенное во второй главе показало, что Инутринаучное осмысление природы-'и генезиса, предмета и статуса математического знания такими выдающимися учеными, как Пуанкаре и Вейль, Уайтхед и другие связано с категориальными инвариантами количество и качество, формальность и содержательность, общее и частное, абстрактное и конкретное, отвлеченней идеализация. Категориальные инварианты как форма взаимодействия философии и математики реализуют интеграцию оснований этих наук через трансляцию метафизической концепции количества илй формы, общего или абстрактного в содержательную рефлексию природа математики конкретным мыслителем и, далее, формируют собственно математическое творчество Брауара или Ньютона (см. работа.М.И.Панова, А.Г.Бара-башева, B.C.Лукьянца и других).

Резюмируя первый раздел диссертации отметим, что рассмотрение генезиса и структуры диалектического осмысления математики как знания (внешнего в истории философии и имманентного в саморефлексии современной математики) показала следующее. Имеются такие формы взаимодействия философии и математики, как концептуальные схемы отдельных мыслителей, гносеологические структуры и категориальные инварианты экспликации некоторых проблем. В каждой из этих эпистемологических форм реализуется тенденция интеграции оснований философского и математического знания. Подобие концептов внешней и имманентной диалектической рефлексии математики говорит о едином понятийном каркасе философских вопросов математики вне зависимости от пути их образования "от философии" или "от математики?;

Взаимодействие философии и математики как интеграция теоретических оснований этих наук представляется взаимным влиянием категориального аппарата диалектики и основоположений гносеологии с принципами метаматематики и постулатами.математической логики при решений проблем природы и предмета, генезиса и статуса математического знания. Причем обобщение математических результатов обычно интерпретируют как однозначное влияние математики на философию. Однако учитывая, что подобное обобщение необходимо для самих оснований философского знания - создания трансцендентальной- аналитики или диалектики количества - следует уточнить, что имеет место именно взаимодействие философии и математики,реализующееся через основания этих дисциплин. Неоднозначное понимание обратного влияния учитывает неизбежность для математического творчества поиска философских оснований своих концепций.

Зо втором разделе "Взаимосвязь способов философского и математического познания" рассмотрены формы и способы, тенденции и уровни взаимного влияния Диалектического и математического мышления.

Третья глава "Уровни и формы диалектического анализа математической методологии" ориентирована на анализ философской рефлексии приемов и способов математического познания в условиях индифферентности, абсолютизации и дивергенции операциональных процедур в этих науках.

Исследование философского видения действий и способов математического познания в концепциях Платона и Аристотеля (гл.3,§ I) показало, что специального анализа математической методологии в античности не проводилось. Математическое познание изучалось привходящим образом в контексте осмысления приемов диалектических рассучдений, выяснения форм силлогистического доказательства.

Концептуальная схема эйдетического видения математического познания Платона систематизирует следующие особенности. Рассудочная природа математики леадгт в основе иерархии видов познания, в соотвествии с которой математические рассуждения срединны между физическим мнением и диалектическим-умозрением истины. Математическое познание как мысленное видение чисел и фигур движется от начал предпосылочных, аксиом к выводам и теоремам, которые не выходят за границы рассудка, начал гипотетических. Математическое видение образов - чертежей, знаков - устремлено к действительному созерцанию фигур, чисел самих по себе, что готовит разумно-диалектическое познание истины.

Геометрические операции - наложение и сравнение фигур, установление подобия или равенства тел - идеальны, мыслимы и не могут быть заменены механическими сопоставлениями. Геометрическое доказательство неопровержимо, тогда как физические 'измерения только правдоподобны и вероятны.

Арифметические действия - с^ет, сложение и другие - лежат в основе любого знания из-за причастности эйдосам. Операции ра. -венства, удвоения позволяют числам менять свойства. Приемы сравнения связаны как с общими утверждениями типа "больше-меньше", так и с уточнением меры количественного отношения: на сколько единиц или во сколько раз больше.

Способы познания в стереометрии, астрономии и музыке связаны с исследованием общих положений в процессе восхождения от единичного к общему (теореме), прехода от частных наблюдений к общему

решению вопроса.

Математические способы исследования не эффективны при решении натурфилософских проблем - причин возникновения предметов, истоков порядка космоса и т.п., хотя и являются фундаментом для диалектического восхождения к беспредпосылочному началу.

Диалектический анализ математического познания Аристотелем начинается с выяснения общего смысла силлогистического доказательства и уяснения специфики доказательства математического. Операции математических рассуждений - построение и принятие, допущение и постулирование, сравнение и доказательство от противного, определение начал и приведение к абсурду - это не предмет исследования, поскольку они общеизвестны, а видовая основа для конструирования и верификации родовых универсальных фигур умозаключений, для которых они оказываются подтверждением, демонстрацией и т.д.

Приемы геометрического доказательства - сравнение и построение, наложения и другие - и действия арифметики - прибавление и отношение, умножение и возведение в степень, перестановки в пропорциях и вычитание - Аристотель не изучает, а упоминает в контексте осмысления метафизических доказательств, топов, устанавливающих тождество, необходимых условий построения определений. С помощью простых и' абстрактных математтеских рассуждений о несоизмеримости; свойствах углов строятсй всеобщие схемы силлогизмов, то есть научно теоретических доказательств и определений, отведений и выводов.

Специфические черты математического доказательства - отвлеченность и общность, формальность и абстрактность - являются фундаментом учения о доказательстве и наведении, аналогиях и определениях, отведениях и топах, которые представляют собой общие схемы видения умом как формализации нёпотаенного бытия и познания.

Инварианты концептуальных схем диалектической рефлексии математической методологии Пхгт^к? и Аристотеля образуют гносеологическую структуру, подобную той которая описана ранее. Поэтому отметим только, что античный анализ математического познания опирается на созерцательный уровень рефлексивной интенция; С:-'с:. о'-:го видения опегг.ц/:': тегатпни; З'мойостигаёмый характер м?те»латкческкх действий связен с созерцск:&м кх простоты и отвлеченное;::, кепотеенност:: и общеизвестности, что объясняет как рассудочную научность; так и аподиктическую достоверность способов математического познания.Отметим индифферентный уровень связей методов математики и философий., Дело в том, что взаимное

влияние диалектики и геометрии, математик- ч метафизики больше относится к теоретическим структурам и понлтгйшк конструкциям, с .нз пргзг-'-з:: способам познания,

3~г:'л>;одэйстзие философского и математического познания в новое время (гл.З, § выходит не ковьгй историиэс..?. уровень г.-„<::.<:• и рационализма;.- эс::о."; .•¡ат.-.-^л-''-.-.:• 'тк выс-ле-

п образца научности в ходе создания всеобщей математики и уни-вереального характеристического языка.

Показано, что труды Декарта демонстрируют полный цикл взаимодействия философии и математики. Влияние математики на философию математики зафиксировано в "Правилах для руководства ума" и, далее, на философия сомнения - в "Рассуждении о методе" Влияние философии на математику обнаруживается в приложениях -"Геометрии". Наличие у одного автора двух конечных результатов взаимодействия -произведений по метафизике и аналитической геометрии, вполне сопоставимых по научной ценности, делают его уникальным для анализа.

Концептуальная схема диалектической рефлексии математического познания Декартом включает несколько уровней. На начальном уровне анализируются частные математические действия - абстрагирование, сравнение и т.д. На этой основе строятся особенные приемы - редукция к простым вещам и восхождение к сложным положениям. Затем формулируются общие правила-требования: индукции и дедукции, интуиции к однозначности.

Знаменитые четыре правила-принципы "Рассуждений о методе" не только обобщают, но и переструктурируют всю систему математической и рационалистической методологии Декарта. Первое правило выявляет критерий истинности - интуитивную очевидность, которая основана на требованиях ясной интуиции и отчетливой дедукции. Второе всеобщее правило об универсальности деления трудностей (вопросов математической физики"1 обобщает и эксплицирует дедукцию. и сведение к простым положениям. Третье правило говорит об упорядочивании мыслей .и опирается на индукцию (имея на втором плане дедукцию) к соединяется с восхождением к сложным истинам. Четвертое правило уясняет необходимость полных и общих перечней, базируется на представлении об однозначности математики и обобщает, синтезирует все правила, настаивая на проверяемости и демонстративности,. наглядности и самонаправленности всех приемов научного выведения, истины.

.Последовательность правил методологии Декарта воспроизводит структуру математического познания, общей схемы решения задач

и доказательства теорем. Первое и последнее правила фиксируют постановку задачи или формулировку теоремы, и проверку правильности решения. Два средних правила указывают средства и нормы выводимости, т.е. операции и приемы действий с исследуемыми суждениями, которые обобщают процедуры по преобразованию алгебраических форм-мул или выполнению геометрических построений.

Взаимодействие диалектики и математики в методологии Лейбница включает несколько узлов. Первый узел диалектической рефлексии математической методологии - открытие доказательства - соединяет искусство открытия, обнаружения неизвестных истин и теорию доказательства, прояснения смутно известного методом определения достоверности. Искусство открытия и теория доказательства обнаруживают единство комбинаторного и аналитического способов познания. Многослойный и асимметричный синтез аналитики и .комбинаторики в дифференциальном и интегральном исчислении, теории игр - это парадигма универсальной характеристической науки.

Второй узел - расположение аргументации в надлежащем порядке или доказательство по форме - раскрывает природу связей абсолют -них, необходимых и случайных, фактических применительно к диалектике общего и частного, гипотетического и достоверного в математической методологии познания истины.

Третий узел - осознание связей и извлечение выводов - обнаруживает соотношение дедуктивного и индуктивного, демонстративно-"■ч :; интуитивного, умозрительно-содержательного к символически-*"-■! сльпого.

Д'талекткчность концептуальной схемы Лейбница особо рельефно выступает в том, что каждая из особенностей обнаруживается во всех узлах. Такая неоднозначность, многосмысленность, мерцатель-ность характерна для философии математики Лейбница, в которой он разрабатывал универсальную методологию рационального познания в виде всеобщей характеристической неук:!.

Сравнительный анализ концептуальных схем диалектической рефлексии математической методологии Декарта и Лейбница обнаружил гносеологическую структуру взаимодействия философии и математики, которая аналогична выясненной ранее-(гл.1, § 2). Отметим только, что если античность считала математику нормой для ЗНАНИЯ и по преимуществу анализировала ее с точки зрения предметности, то новое время полагает математику парадигмой НАУКИ и доминирующей проблематикой является методология. Кроме того, конструирование философии математики как дисциплины связано с переходом от анализа

математических предметов и действий как постоянных и неизменных к рассмотрению математических абстракций и процедур как переменных и вероятных, а истин и операций как аналитических и необходимых, потенциальных и актуальных, непротиворечивых и возможных.

Взаимодействие диалектики и математики в трансцендентальном ученик о методе Канта и концепции абсолютного метода Гегеля (гл.З, § 31 демонстрирует диверненицию философского и математического способов мышления.

Философия математики Канта является фундаментом революционного изменения способа метафизических исследований, который берет пример с математических размышлений к достижений, но и преодолевает традиционную ориентацию на математику как высший образец научной методологии. Представление о математическом познании как рассудочном образце априорного синтеза и интуитивного созерцания лежат в основе трансцендентальной гносеологии и методологии. Преломление главных норм научности - доопытности и синтетичности, общезначимости и интуитивности, идеальности и созерцательности -через такие особенности математического метода как геометрическое и символическое конструирование, демонстративность и другие является фундаментом трансцендентальной схемы диалектического осмысления математики.

Перечислим основные особенности экспликации Кантом математической методологии. Содержанием математического метода является способ познания разумом посредством конструирования понятий. Формой метода математики представляется рассмотрение общего в частном и единичном. Интуитивность конструктивного синтеза в том, что он очевиден, мокет быть продемонстрирован непрсредственно в переходе от понятия к созерцанию. Процедурами математического метода выступают дефиниции, аксиомы и демонстрации. Следствием этих особенностей является ориентация математики как науки на изучение таких предметов, как количество, величина.

.Философ/я математики Гегеля исходит из рассудочности математической методологии, в отличие от разумности диалектики. Противопоставление разумной спекулятивности философии и формальной дис -курсивности логики и математики проводится через оппозиции -внутреннее и внешнее,бесконечное.и конечное, понятийное и абстрактное. Всякий научный метод обладает для Гегеля единством способа и средства, содержания к принципа, формы к пути познания. Применительно к математике это означает что уясняется способ дей-

ствия с математическим материалом, где исследуются процедуры и операции с абстракциям;:, например, способ синтетического доказательства в геометрии. Способ математического познания представляет в процедурно-операциональном аспекте сравнивание или соотнесение алгебраических величин, дифференциалов и т.д. Методология математики опирается на выяснение равенства и неравенства, отношения и сходства, доказательности, непротиворечивости и другие констатации, которые образую фундамент рассудочного познания.

Содержание или направляющий принцип математического познания раскрывается в аналитическом и синтетическом принципах. Содержание математических процедур и операций, действий и приемов адекватно и совершенно, но формально и количественно воспроизводит аналитичность в арифметических действиях, синтетичность в геометрических приемах доказательства, аналитико-синтетический принцип в дифференциальном исчислении и синтетико-аналитические приемы в процедурах интегрирования. Такое развитие содержания математической методологии опирается на переход от количественной ойределенности операций в конечной математике к качественно-.голичественному характеру процедур математики бесконечного, высшего энализа.

Путь развития содержания математических исчислений связан с тем, что форма метода арифметики - это решение задач, форма геометрического познания - доказательство, связанное с дефинициями, членениями и научными положениями. Формой метода высшей математики выступает исичисление дифференциалов и интегралов. Общая форма математической методологии обусловлена внешностью и дис-курсивностью.

Концептуальная схема диалектического осмысления математики Гегелем опирается на исследование методов арифметики и геометрии, алгебры и высшей математики, теории рядов и аналитической геометрии.

Сравнительный анализ концептуальных схем Канта и Гегеля обнаруживает гносеологическую структуру взаимодействия философии и математики подобную изученной ранее (гл.1., § 3 ■. Инварианты гносеологических структур диалектической рефлексии математики демонстрируют те же закономерности взаимодействия философии и математики, которые исследованы ранее.

Исследование генезиса и структуры диалектического осшсления математики как познания показало, что формы взаимодействия трансформируются в способы взаимного влияния философии и математики.

Концептуальная схематизация видения в свете ума Аристотеля (силлогистика^, Декарта (всеобщая математика^, Лейбница (универсальная характеристика■ и других связана с интерпретацией математических фактов, выбором математических иллюстраций, селекцией математических приемов, обобщением математических операций, перенесением действий математики в сферу разработки способов научного и философского познания, в соответствии с общей мировоззренческой установкой конкретного мыслителя.

Гносеологическая структуризация как способ взаимодействия философии и математики означает вычленен;.о общ>:х моментов концептуальных схем реглмчных мыслителей одной исторической эпохи, которые отражают интерсубъективные черты диалектической рефлекси: математики как знания или познания в античности, диалектике : "о ?;'-э:.'2н'/. :: кепзг,-«см класс этезког: гдезхизке.

В главе четвертой "Концепты внутринаучного обоснования математики кгк по'знания" рассмотрены проблемы доказательности, выводи-моет:: '/ достоверности, без решения которых саморефлексия математической методологии просто невозможна.

Взатзгодсгстг-ге диалектэт"' у »ттзматики относительна ^сказ-?.-голькост:: (гл.4, § I' обнаруживается в содержательном анализе дэпукпии и рекурсии, аксиоматики и индукции, проведенном АЛуанка-ре, Р.Курантом, Д.Пойа и другими, который уточняет формальный аспект осмысления этих проблем в метаматематике, индуктивной логике к т.д. .Дедуктивное доказательство связено с оксисматическим методом построения правильных формул, ведущих к истинным выводам. Формалистическое обоснование математики Гильбертом свело истинн-ность к внутренней непротиворечивости дедуктивных теорий,систем. Содержательное доказательство как установление или обоснование истинности включает кроме дедукции связь с опытными утверждениями по правилам индуктивной логики.

Связь математической дедукции и индукции заключается в том, что индуктивное доказательство осуществляется с помощью дедуктивных рассуждений. Однако, многие дедуктивные выводы могут быть доказаны без привлечения индукции или рекурсии. Асимметричность связи дедукции и индукции не устраняет того факта, что дедуктивный и логический формализм не могут объяснить выбор конкретных аксиом теории, структурную организацию знаний, соотнесение их с действительностью, доказательство теорем связанных с бесконечностью. Следует согласиться с Б.Н.Пятницыным, полагающим, что на уровне логики дедукция от индуктивной выводимости не зависит потому,

что доказательность здесь конвенциональна, а выводимость - анали-тична. А на уровне теории, которая связана с фактами, экзистенциальными утверждениями , дедукция без индуктивных обобщений невозможна.

Категориальный концепт: дедукция и индукция обеспечивает переход от гибких взаимосвязей диалектики к правилам рекурсии и дедукции, принципу математической индукции и другим. Происходит это через философскую рефлексию математической доказательности, в ходе которой обнаруживается, что в глубине формальности лехит содержательность, а в сущности индукции лепит дедукция и наоборот. Математическое познание акцентирует формально-рассудочную разграниченность дедуктивного и индуктивного доказательства, но при методологическом осмыслении обнаруживается их взаимное проникновение в конкретных этапах реального выведения теорем и т.д.

Взаимное влияние философии и математики в решении проблемы аналитической и синтетической выводимости (гл.4, § 21 наиболее рельефно выступает у Пуанкаре в том, что в математических рассуждениях невозможно обойтись без взаимопроникновения частностей и соединения обобщений. Взаимодействие способов познавательной деятельности в исследованиях Пойа и Лакатоса заключается в том, что дедукция, как и индукция, раздваиваются на анализ и синтез, где анализ представляется как верификация, а доказательство осуществляется синтетически, а затем происходит оборачивание в методе. Логика математического открытия оказывается многогранно противоречивой и опирается на сложную суперпозицию индукции и дедукции, анализа и синтеза. Причем по справедливому утверждению М.В.Поповича нет общемаивматического анализа или синтеза, а существуют только отдельные интерпретации процедур анализа и синтеза применительно к теории мно-'.йстз или дифференциальному исчисления, теории категорий и другим дисциплинам.

Аналитичность и синтетичность как категориальный инвариант взаимодействия диалектики и математики фиксирует неотрывность методологической рефлексии выводимости от понятий дедукции и индукции, обобщения и редукции, анализа и других. Историческая дивергенция индуктивного и дедуктивного, аналитического и синтетического подходов к пониманию природы математического познания сни-матеся в современной методологии математики как классической, так и неклассической пониманием взаимной дополнительности акал;:."^ " синтеза,^вис-ечнпан;-::; более глубокой сущности си«':ет;;ческсГ г.ьтг.о-д::;.:ос1;; кг. фоне аналитических процедур.

Взаимосвязь философской и математической методологии при уяснении интуитивной и дискурсивной достоверности математического познания (гл.4, § 3) реализуется через категориальные оппозиции - интуиция и дискурсия, прозрение и логика, осознанное и бессознательное, личностное и объективированное, неявное и эксплицитное, аналогия и понимание, демонстрация и умозрение.

Показано, что дискуреивно-демонстративное оформление математических выводов не просто формальная иллюстрация интуиции, а несет существенную нагрузку. Причем, математическая интуиция без дискурсивной достоверности невозможна. А вот дискурсивные рассуждения без интуитивной ясности вполне могут существовать в математической деятельности. Однако если только к ним свести всю достоверную математику, то получим науку, урезанную в большей степени, чем даже в проекте интуиционизма.

Без фундаментальных интуиций, которые лежат в основе всеобщих аксиом и законов, индуктивных и синтетических положений и определений вообще невозможно математическое познание. Внешне доминирующие дедукция и аналитичность, дискурсия и конструктивность охватывают незначительную часть математики, а остальная не может обойтись без противоположных способов познавательной деятельности. Здесь не противоречие с аподиктичность»,а взаимная зависимость. Каздое иное в своей глубине оборачивается другим, и все это комплексное противоречие характеризует математическую методологию в ее сущности более высокого порядка.

Связь способов диалектического и математического познания в методологических основаниях математики обнаруживается в том, что во внешней рефлексии математика представляется формально-рассудочной, логико-дискурсивной, дедуктивно-аналитической, но в фундаменте этих безусловно имеющих место характеристик лежит содержательность и разумность, диалектичность и интуитивность, индуктивность и синтетичность, фиксируемые современной философией математики. Анализ генезиса и структуры диалектического осмысления математики как познания показал, что взаимосвязь ме$цов философии - трансцендентального, спекулятивной диалектики - и математики носит не только внешний, исторически расходящийся характер, но и внутренне синтетическую тенденцию.

В заключении подводятся общие итоги исследования, формулируются выводы, которые конкретизируют концепцию диссертанта и не повторяют положения, вынесенные на защиту.

Основное содержанке работы отражено в публикациях автора.

Монографии:

1. Генезис диалектического осмысления математики. Днпропетровск, Изд-во ДГУ, 1991. - 170 с.

2. Философия математики Декарта и"Лейбница. Днепропетровск, ДГУ, 1988. -201 с. /Депонирована в ИНИОН № 37075 от 30.3.89

3. Философские вопросы математики в немецком классическом идеализме. Днепропетровск, ДГУ, 1984. - 21С е./ Депонирована в ИНИОН Ii 20186 от 2.4.85

Статьи:

4. К характеристике становления понятия бесконечности в античности // Философия и современность. Днепропетровск,' ДГУ, 1976. С.132-135.

5. Проблемы соотношения конечного и бесконечного в работе Ф.Энгельса "Анти-Дюринг" // Философские проблемы современного естествознания. Вып. 45, Киев, КГУ, 1976. С.57-63.

6. Влияние математических идеалов научности на построение отдельшх

фрагментов философии Гегеля // Современная математика: Мировоззренческие и методологические проблемы. Часть II. Математика, методология, мировоззрение. М.-Обнинск, ЦСФМС при Президиуме АН СССР. 1987. С.243-250.

7. О социальной обусловленности философии математики Канта// Философские проблемы современного естествознания, йып.63. Киев, КГУ, 1987. С.52-58.

8. Философские вопросы математики в произведении Ф.Энгельса "Антл-Дюринг"//Диалектика материальной и духовной сфер социализма в процессе ускорения социально-экономического развития общества. Днепропетровск, ДГУ, 1987. C.II6-I23.

9. Философские вопросы науки и основные функции философского знания// Философские проблемы современного естествознания. Вып.65. Киев, КГУ, 1987. С.65-71.

10. Об исследовании Гегелем категории количества как предмета философии к катематики//Проблемы'философии, йот.77.Киев, КГУ, 1908. C.I02-II0.

11. Метаф1зика природи Канта як обгрунтування математики й природознавства//Ф1лософськ1 проблеми сучастного природознав-ства. Вип.75. КИ1в, Либ1дь, 1991. С.84-94.

12. PJ>t£as0/>Atca'£ of ffajtte/rr&Z'/cS ¿/r Afrti-P.M7-/S3.

13. Методолог1чн1 особливостГ досл1дження Гегелем предметов окремих математичных наук// Проблеми ф1лософ11. Вип.90. Ки1в, Либ1дь, 1991. С.34-39.

Рецензии и тезисы:

14. Лукьянец В.С.Философские основания математического познания// Философские науки, № 5, 1982. С.190-192.

15. Проблема в1дношення метод1в и теор1й у ф1лософ11 I математик// Ф1лософська думка, № 6, 1984. С.115-116.

16. Исалиева С., Кадыржанов Р.,Нысанбаев А. Диалектика качества

и количества в математике //Вопросы философии,№ 2,1987.0.169-170.

17. Философские вопросы математики, научная картина мира и формирование мировоззрения//Роль научной картины мира в фундаментали-зации образования. Тезисы докладов.Уфа,Башкир.ГУ,1988.С.151-152.

18. Новое' мышление и философия науки как предмет исследования и преподавания.// Человеческий фактор (Методологические и социальные аспекты). Тезисы докладов. Днепропетровск, ДГУ,

1988. С.40-41.

19. Философия науки в истории философии// Философское знание и новое мышление (тезисы ...). М., МИНХ, 1989.С.20-21. (в соавт.).

20. Значение истории философии математики'для современной математики// Перестройка: философские и социальные аспекты. Тезисы докладов. Днепропетровск, ДГУ, 1989. С.160-162.

21. Мировоззрение и математика: фрагменты истории взаимодействия// Мировоззрение в развитии: сущность, функции, уровни.

Тезисы докладов. Днепропетровск, ДГУ, 1990. С.92-93.

22. Эволюция и границы диалектической рефлексии математики// Философия в современном мире. Тезисы докладов. Днепропетровск, ДГУ, 1991. С.36-37.

Подписано к печати31. 01. 1992г. Усл. печ. листов 2. 1. Тираж 100. Зак. 162. Ротапринт ДГШ, Днепропетровск, Миронова, 15.