Расширение выразительных возможностей языка современной логики

Яйлеткан, Александр Александрович

автореферат диссертации по философии, специальность ВАК РФ 09.00.07
диссертация на тему: Расширение выразительных возможностей языка современной логики

Год: 2003
Автор научной работы: Яйлеткан, Александр Александрович
Ученая cтепень: кандидата философских наук
Место защиты диссертации: Санкт-Петербург
Код cпециальности ВАК: 09.00.07

Диссертация по философии на тему 'Расширение выразительных возможностей языка современной логики'

Полный текст автореферата диссертации по теме "Расширение выразительных возможностей языка современной логики"

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ЯЙЛЕТКАН АЛЕКСАНДР АЛЕКСАНДРОВИЧ

РАСШИРЕНИЕ ВЫРАЗИТЕЛЬНЫХ ВОЗМОЖНОСТЕЙ ЯЗЫКА СОВРЕМЕННОЙ ЛОГИКИ

Специальность 09.00.07 - логика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата философских наук

Санкт-Петербург 2003

Работа выполнена на кафедре философии Санкт-Петербургского государственного института точной механики и оптики (Технического университета) и Межвузовском центре новых информационных технологий в гуманитарном образовании.

Научный руководитель: доктор философских наук, профессор

Зураб Отарович Джалиашвили

Официальные оппоненты: доктор философских наук, профессор

Фёдоров Борис Иванович кандидат философских наук, доцент Антонова Ольга Аркадьевна

Ведущая организация: Институт философии РАН

Защита состоится " 2003 года в часов на

заседании Диссертационного совета Д.212.232.03 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199034, Санкт-Петербург, В.О., Менделеевская линия, д. 5, философский факультет, ауд. /^у7

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. М. Горького Санкт-Петербургского государственного университета.

Автореферат разослан

Ученый секретарь Диссертационного совета, кандидат философских наук, доцент

Г.П. Любимов

2оо>А

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования

Математическая (символическая) логика является современным этапом развития формальной логики. Ее выразительные возможности представляются синтаксисом, алгеброй и геометрией, образующими неразрывное единство и дополнение друг друга в языке логики.

Синтаксис (лексико-грамматические схемы и формы мышления) обладает наименьшей логической силой.

Алгебра (математическая логика) позволяет установить то общее, что имеется в различных по содержанию мыслях — их логическую силу и слабость, их логическое количество и качество. Тем самым становится возможным классификация особых языково-мыслительных конструкций, их сравнение и сопоставление. Алгебраические формулы легко располагаются в пространстве, образуя решетки, матрицы, таблицы. Алгебра, в отличие от синтаксиса, более научна, объективна, непредвзята. Недостатком алгебры является ее абстрактность, бессодержательность.

Геометрия (схемы, диаграммы) строится на основе алгебры. Средства визуализации придают мышлению определенность, конкретность, осязаемость, наглядный и очевидный характер, благодаря чему достигается наибольшая продуктивность мышления.

Логическая грамотность заключается в свободном отношении к перечисленным выше знаковым системам. Правила применения и сочетания знаковых систем выражают принцип дополнительности (комплементарности), который имеет фундаментальное значение для логики [Григорьев Б.В. Классическая логика: Учебное пособие. - М.: Гуманитарный издательский центр ВЛАДОС, 1996. - 192 с. - С. 16-18].

Противоречие заключается в том, что логические способы и методы обработки информации в алгоритмических языках программирования реализованы всего лишь одним компонентом языка современной логики -синтаксисом, что не позволяет применять методы математической (символической) логики в полной мере. Актуальность исследования заключается в необходимости разрешения противоречия, поиске путей и способов расширения выразительных возможностей языка современной логики. Исторически известно, что основатели математической логики Д.Буль, У.С.Джевонс, И.И.Жегалкин, О.деМорган, Ч.С.Пирс, П.С.Порецкий, Э.Шрёдер до приобретения ее символической письменности в своих исследованиях применяли арифметические операции с логической точки зрения.

логики в алгоритмических языках программирования и расширит выразительные возможности языка современной логики компонентом арифметики логики в дополнение к синтаксису, алгебре и геометрии логики.

Степень разработанности проблемы

Математическая логика до обретения символической письменности обходилась средствами арифметики. Подметив некоторую аналогию в логических и математических операциях, Д.Буль применил алгебраическую символику к логическим выводам. У.С.Джевонс, Ч.С.Пирс и Э.Шрёдер критически отнеслись к излишней математизации, характерной для алгебры логики Д.Буля. П.С.Порецкий также усматривал отличие логики от алгебры в том, что первая изучает "формы качественные", а вторая - "формы количественные", но это отличие не должно заслонить то общее, что характерно для обеих этих наук. Указанное различие не позволяет непосредственно применять принципы и приемы алгебры к логике. Однако, приспособление этих приемов (с полным сохранением всей их точности) к изучению качественных форм возможно.

За построениями формальных систем (Пеано) все арифметические подходы забылись, а математическая логика обрела собственную письменность. В современных изложениях символической логики значения истинностных констант 0 и 1 используются в таблицах истинности при описании функциональных моделей и законов функционирования дискретных автоматов и цифровых систем.

Формулы, предложенные основателями алгебры логики — отрицания, конъюнкции, дизъюнкции и строгой дизъюнкции — с помощью арифметических символов вычитания, умножения, сложения, но строго в логическом смысле, достаточно хорошо известны. Арифметические аналоги формул отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации и эквиваленции предложены В.Н.Касаткиным. Они названы арифметическими моделями логических операций для использования в языках программирования низкого уровня, в которых отсутствуют встроенные логические функции. Поразительно то, что получаемые таким образом результаты арифметических формул логики использовались в дальнейшем формально логически, а не арифметически.

Арифметические подходы к исчислению умозаключений с использованием логических векторов методом диаграмм Кэрролла реализованы К.И.Бахтияровым в программировании. Автор исходит из трехчастного расчленения суждения и, следовательно, записывает посылки и заключение векторами, состоящими из двух троек (Б, Я, Р), соответствующих частноутвердительному и общеотрицательному суждениям. Каждый элемент тройки может принимать одно из трех арифметических значений: "1" -утверждение, "-/"-отрицание, "О"-отсутствие соответствующего элемента. Согласно выявленного Бахтияровым критерия правильности получения

заключения из данных посылок над этими значениями, определяются арифметические действия сложения или вычитания логического характера.

Идее арифметизации логики, применительно к диссертационному исследованию, предшествовало три этапа.

Первый этап основан на том, что любым высказывательным формам можно поставить в соответствие истинностные значения 1 и О арифметического характера, расширяя действия над ними, как с точки зрения логики, так и с точки зрения математики. Если арифметизированную высказывательную форму (простую или составную) обозначить А, то определение, например, некоторой математической функции /(х) на области ее определения, записанной в А(х), можно выразить формулой /(х)хА(х)=(/(х),А(х)), в которой высказывательная форма представляется Д.х,А(х)). В случаях дискретного представления непересекающихся областей допустимых значений математических функций, высказывательная форма примет вид: Р(х)=/¡(х,А¡(х))+/2(х,А2(х))+■■■

На втором этапе анализа и систематизации известных арифметических моделей логических функций относительно таблиц истинности обобщены принципы, заимствованные из аналитической геометрии. С их помощью представлены: логический единичный орт (соответствующий логическому базису) и полнота логической системы (подтверждаемая универсальной формулой логики на основе понятия ранга универсума, определяемого количеством свойств, разбивающих его на классы). Предложен и исследован синтаксис арифметизированной логики, состоящий из арифметических символов (0,1, -, х, +), где:

"О"— арифметизированная интерпретация истинностного значения Ложь, "1"— арифметизированная интерпретация истинностного значения Истина, "-"— арифметизированная интерпретация логической операции дополнения, "х"— арифметизированная интерпретация логической операции пересечения (конъюнкции),

"+" — арифметизированная интерпретация логической операции объединения (строгой дизъюнкции).

На третьем этапе разработаны истинностные таблицы и матрицы суждений. Вводятся понятия альтернативных величин и перспективного расширения арифметизированной логики (0, 1, *, +) до альтернативной арифметизированной логики {0, не-0, -, *, +), где под истинностным значением "не-0" принимается обобщенная арифметизированная интерпретация истинностного значения Истина любого числового значения, отличного от нуля. Это позволяет записывать математические методы с ограничительными условиями параметрами самих математических функций непосредственно.

Арифметизированные подходы позволяют вычислять результирующее логическое значение и, следовательно, расширяют выразительные возможности

языка современной логики.

Цели и задачи исследования

Главная цель диссертационного исследования состоит в разработке теоретической базы (оснований) языка арифметизированной логики для расширения выразительных возможностей языка современной логики.

Достижение главной цели осуществляется постановкой и решением следующих основных задач:

- выявить объективно необходимые предпосылки систематического построения языка арифметизированной логики в контексте главной цели исследования;

- разработать логически обоснованные средства реализации основных схем и форм мышления в языке арифметизированной логики;

- выделить специфические параметры языка арифметизированной логики для разработки средств и методов его автоматизации.

Теоретические и методологические основы исследования Методологическую основу диссертационного исследования составляют идеи классической и современной математической (символической) логики, теории информатики и кибернетики. В разрабатываемой теме нашли свое отражение известные в отечественной и зарубежной литературе отдельные идеи, имеющие к ней непосредственное или косвенное отношение: в области построения основ математической логики с применением заимствованных в арифметике знаков операций для описания действий над классами (И.И.Жегалкин, П.С.Порецкий, Э.Шрёдер); в области компьютерного представления разделов логики (К.И.Бахтияров); в области практики программирования (В.Н.Касаткин). Настоящее исследование предполагает расширить выразительные возможности языка современной логики путем создания и систематического исследования языка арифметизированной логики.

В методологическом плане автор благодарен тем ученым, с чьими трудами имел возможность ознакомиться, деловым встречам на кафедрах и конференциях по логике и философии Санкт-Петербурга и Москвы. Основные положения, выносимые на защиту

Обобщение и систематизация основ формальной логики и символической логики, проведенные в исследовании на основе арифметизированных подходов, позволили представить:

- арифметизированные альтернативные величины;

- синтаксис языка арифметизированной логики;

- универсальную арифметизированную формулу логики;

- уточненные принципы построения диаграмм, истинностных таблиц и матриц;

- отношения порождения и наследственности в истинностных матрицах; \

- векторные арифметизированные методы.

Возможности языка арифметизированной логики расширяют выразительные возможности языка современной логики. Научная новизна исследования Заключается в разработке и внедрении:

- единых арифметизированных подходов к изучению типовых схем логических форм мышления в результате их анализа и систематизации;

- арифметизированных моделей логических форм мышления;

- критериев применимости арифметизированных моделей;

- интерпретаций форм мышления универсальными средствами языка арифметизированной логики;

- синтеза и программной реализации рекурсивно устойчивых алгоритмов линейных способов логической обработки информации;

- практических рекомендаций по повышению быстродействия современной цифровой технологии на основе подходов языка арифметизированной логики;

- использования предложенных средств, способствующих расширению выразительных возможностей языка современной логики.

Практическая значимость диссертации

Определяется новыми возможностями в теоретических и практических исследованиях способов и методов логической обработки информации на основе расширения выразительных возможностей языка современной логики.

Алгоритмизация предложенных методик, выбор оптимальных структур и их компьютерная и техническая реализация явились основой для проектирования интегральных логических модулей и микросхем, а также для разработки принципиально новых линейных способов логической обработки информации. На некоторые из них получены положительные решения ВНИИГПЭ.

Результаты диссертации могут послужить методологическим основанием для представления новых подходов современного языка логики на основе расширения его выразительных возможностей. Апробация работы

Рукопись диссертации обсуждалась и была рекомендована к защите на заседании кафедры философии Санкт-Петербургского государственного института точной механики и оптики (Технического университета) и на заседании кафедры логики Санкт-Петербургского государственного университета.

Основные идеи и результаты диссертационного исследования отражены в публикациях и статьях, выступлениях на научных конференциях, в частности на: III, IV Международных конференциях «Смирновские чтения» (Москва, 2001, 2003 гг.), VIII, IX, X, XI, XIII, XIV Международных конференциях «Применение новых технологий в образовании» (Москва, 1997, 1998, 1999,2000,2002,2003 гг.), Международной научной конференции

молодых ученых (Ишим, 2001), VII Общероссийской научной конференции «Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке» (Санкт-Петербург, 2002), VI межвузовской конференции «Проблемы педагогической инноватики» (Тобольск, 2001).

Диссертационные задачи, связанные с разработкой логических схем и на их основе интегральных электронных схем, нашли отражение в изобретениях (per. №2001117273 от 26.06.2001, per. №2001122666 от 14.08.2001) и полезных моделях (№26710 от 10.12.2002, №29195 от 27.04.2003).

Структура диссертации

В соответствии с целями, задачами и характером исследования выбрана следующая структура диссертации: введение, две главы, заключение, библиография и приложения. Работа изложена на 162 страницах, библиография включает 160 наименований на русском, немецком и английском языках.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во Введении обосновывается актуальность и дается характеристика разработанности темы исследования; с точки зрения анализа проблем формулируются цели, задачи и методология; выдвигаются положения, выносимые на защиту, раскрывается их новизна, оценивается теоретическая и практическая значимость полученных результатов.

Первая глава «Логическая природа альтернативных величин» состоит из четырех параграфов.

В первом параграфе «История выразительных возможностей логики» рассматриваются исторические линии развития математики и логики в контексте главной цели диссертационного исследования. В рамках обобщения проанализированного материала построено генеалогическое дерево математической (символической) логики, на котором представлены пять взаимосвязанных и взаимообусловленных линий: линия развития математики, линия развития логики, линия развития средств визуализации, линия развития логических автоматов и машин, линия развития алгоритмов управления логическими автоматами и машинами. Сделан вывод, что в поисках письменности логика использовала арифметическую символику только с логической точки зрения до приобретения собственной символической письменности, не затрачивая усилий на вскрытие двойственности арифметической символики.

Во втором параграфе «Свойства альтернативных величин»

рассматриваются новые свойства величин - альтернативные свойства.

Раскрывается двойственная природа альтернативных свойств, присущая любым величинам. Альтернативные свойства в первом приближении определяются по правилам действий с 0 и 1, как с категориями истинности:

Таблица 1

а 0 1

(x>z) l-(x>z) 0 1 I 0

первое свойство

второе свойство

х (x>z) 0 X

третье свойство

z(l-(x>z)) z 0

a = SP 0 1 четвертое свойство

I-a — 1-SP I 0

Доказывается, что свойства альтернативности могут проявляться локально или глобально. Локально альтернативные свойства величин проявляются также как характеристические свойства классов, а глобально — как характеристические свойства множеств, универсумов.

В третьем параграфе «Понятие альтернативной величины в логике»

анализируется линия развития понятия величины генеалогического дерева. Истинностные значения Owl являются арифметизированными логическими константами, обладающие свойствами (третье свойство таблицы 1):

ах0=0 - исключение а, ах]=а - включение а. Основной вопрос обсуждения 0 и 1 заключается в том, что в некоторых случаях не различаются значения логических состояний, пустого класса, универсума, развиваемые еще основоположниками алгебры классов. Действительно, возникают такие проблемы при введении понятия арифметизированной логической величины. Кроме выше перечисленных состояний, добавляется еще одно значение 0, как результат исключения универсума. Из последовательного рассмотрения всех подходов следует важный вывод: пересечение классов является не пустым множеством, а границей раздела классов. Эта граница раздела классов является материальной частью диаграммы Венна. В своих диаграммах Доджсон также обращал внимание на действие с этой границей. Пусть на универсуме действительных чисел задано свойство "положительные числа":

Диаграмма 1

Значение границы раздела классов

х<0

Приводится полный список свойств альтернативных величин, удовлетворяющий визуализации диаграммами Венна.

В четвертом параграфе «Методы использования альтернативных величин в логике» представляется арифметизированный вид выполнимых формул математической логики, рассматриваются непосредственные доказательства арифметическими средствами наиболее важных равносильных формул и тождественно-истинных формул. При этом таблиц истинности не требуются: закон де Моргана

Таким образом, равносильные формулы доказываются тождеством, а тождественно-истинные сводимы к 1 простыми алгебраическими преобразованиями. Класс тождественно-ложных формул сводится к 0.

Из первой главы следует, что арифметизированные подходы, основанные на двойственности истинностных значений 0 и /, а также на ^

двойственности арифметических операций, удовлетворяют требованиям логики высказываний. Расширение выразительных возможностей языка \

современной логики заключается не только в возможности вычислять

—¡(алЪ) =—а

1-ахЬ&(1-а)+(1-Ь)-(1-а)х(1- Ъ) = =1-а+ 1-Ь-(1-а-Ь+ахЬ)= = 1-а+1-Ь-1+а+Ь-ахЬ= =1-ахЬ

закон силлогизма (а->Ь)л(Ь->с)->(а-х:)

1-(1-а(1-Ь))(1-Ь(1-с))(1-0-а(1-с)))= =1-(1-а+аЬ)(1-Ь+Ьс)(1-1+а-ас)= =1-(1-а+аЬ-Ь+аЬ-аЬ+Ьс-аЬс+аЬс)(а-ас) = = 1-(]-а-Ь+аЬ+Ьс)(а-ас) = =1-(а-а-аЬ+аЬ+аЬс-ас+ас+аЬс-аЬс-аЬс) = =1

1 результаты логических исследований и применять их на практике в

программировании, но и уточнять известные логические методы.

Вторая глава «Способы арифметизации современной логики» содержит четыре параграфа.

В первом параграфе второй главы «Базис арифметизированной логики» проведен систематический анализ формальной логики и математической логики средствами арифметизированных подходов. Введено понятие ранга универсума, которое имеет определяющее значение при формировании понятий. Рангом универсума называется количество свойств, использующихся при разбиении его на классы.

Содержание и объем понятий на универсуме переменного ранга | подчиняются закону обратного отношения. Отношения между понятиями,

представляемые классами, рассматриваются на диаграммах Венна:

Таблица 2

Отношения между объемами понятий__

тождества пересечения подчинения противоречия соподчинения противоположности

традиционные представления кругами Эйлера

(1->)(1-Ь) 1а(1-Ь1 аЬ )(!-•» ® (1-»И1-Ь) ®

представления диаграммами Венна и арифметизи рованными формулами

(г)-а(1-Ь) = Ь(2,-(1-а)Ь или, точнее 1(1-Ь)-(1-а)Ь-(1-а)(1-Ь) аЬ а(1-Ь)+аЬ аЬ аЬ (1-а)Ь а(1-Ь) (1-а)Ь аЬ (1-а)(1-Ь)

я 7 III ч Л III я £ я

Анализируется и приводится в соответствие теория категорического силлогизма средствами визуализации: логическим квадратом, диаграммами Доджсона и диаграммами Венна, и арифметизированными средствами. Предложены способы векторного вычисления суждений и интерпретации истинностными таблицами. Приведены примеры построения суждений.

Также в данном параграфе вводятся понятия логического орта универсумов первого и второго рангов для построения систем арифметизированных вычислений, аналогичных унарной и бинарной системам исчисления высказываний. Приводится универсальная формула логики, с помощью которой можно получить вид любой формулы языка арифметизированной логики, а также универсальная формула функциональной полноты. Этим обосновывается базис языка арифметизированной логики. Рассматриваются примеры диаграмм Венна арифметизированного вычисления высказываний и предикатов.

Во втором параграфе второй главы «Выразительные возможности арифметизированной логики высказываний» представлена логика высказывательных классов (арифметизированная логика высказываний). Язык логики высказывательных классов: Алфавит:

1) переменные высказывательных характеристических свойств: прописные буквы латинского алфавита с индексами;

2) арифметизированные логические функции (константы): -, х, +, указанные в порядке логического приоритета;

3) вспомогательные знаки: ('-левая скобка,) - правая скобка.

Определение формулы:

1) переменная высказывательного характеристического свойства, определенная на универсуме классом, есть формула;

2) если выражение а - формула класса, то выражение (выделено) I«-» |

(>-"> »

является формулой класса дополнения до универсума;

\хх» Ъ (1-Ь)

а ахЬ ах(1-Ь)

(1-а) (1-а)хЬ (1-а) х( 1-Ь)

являются формулами классов универсума, а выражения, представленные

индексами классов (выделены)

«+» ахЬ - (1) ах(1-Ь) - (2) (1)+(2)

(1-а)хЬ - (3) (1)43) (2)+(3) (1)+(2)+(3)

(1-а)х(1-Ь) - (4) 0)+(4) (2)+(4) (1)+(2)+(4)

(3)+(4) (1)+(3)+(4) (2)+(3)+(4) О)+(2)+(3)+(4)

* являются формулами всех возможных подмножеств универсума;

4) никакое другое выражение формулой не является. I Получаемые таким образом формулы описывают высказывательные

классы, подмножества и универсум, для любого количества пропозициональных переменных, заданных характеристическими свойствами, тремя арифметизированными логическими функциями. Правильно построенная Формула (ППФ):

- всякая альтернативная величина есть ППФ;

- арифметизированные формулы логического орта универсума соответствующего ранга, образованные с помощью альтернативных величин и знаков арифметизированных операций дополнения и пересечения, есть ППФ;

- арифметизированные формулы, полученные в результате объединения арифметизированных формул логического орта, есть ППФ.

Иных ППФ не существует.

Для определения, является некоторое выражение формулой или нет, существует процедура проверки формулы. Пусть задан любой вид выражения. При подстановке в него а=1 должен получиться один из результатов (0, b, 1-b, 1), а при Ь=1 - один из результатов (0, а, 1-а, 1). При получении иных результатов исследуемое выражение не является арифметизированной формулой. Правила вывода:

Непосредственное получение результата.

Арифметизированная логика высказывательных классов соответствует традиционным подходам логики высказываний и расширяет выразительные возможности языка современной логики. Ее подходы вскрывают природу классов формул логики высказываний матрицами состояний:

Диаграмма 2

Радиапьно-симметричные свойства матрицы, элементами которой выступают диаграммы Венна

J } ] Ш / * жssstj-yv С" */ ^ л \х Г" / \ V / /

Ж) ■ / jr ' V Jfl 2

® W)

f'"'""""( / j \ mW J V w^Jy^j s

В третьем параграфе второй главы "Выразительные возможности арифметизированной логики предикатов" представлена логика предикатных классов (иначе, арифметизированная логика предикатов). Технически исполнительный механизм логики предикатных классов так же прост и надежен, как и исполнительный механизм логики высказывательных классов. Матрицы арифметизированных формул логики предикатных классов также обладают радиально-симметричными свойствами, соответствующими матрицам диаграмм:

Диаграмма 3

Радиально-симметричные свойства матрицы,

0 --ГУ (РЧ^Р)—- --

(1/фГ*¥ СГ^ (1-СРГ^<РЧ1-¥)

1-<р ~~~~~ — -——— 1

Радиально-симметричные формулы (р]=(р*у/\\ <р2=1-(1-(р*ч$ равносильны, то есть имеет место <Р1=<Р2■ Других равносильных формул в логике предикатных классов, кроме радиально-симметричных, нет. Такой подход объясняет природу равносильных формул.

Из диаграммы 3 следует, что под природой общезначимых формул надо понимать объединение радиально-симметричных классов. В этой интерпретации закон исключенного третьего становится более понятным, чем через логическую операцию дизъюнкции (которая на унарном универсуме не определена, а на универсуме более 2 ранга представляет сложный вид). Объединение радиально симметричных предикатных классов, определяемых на универсуме соответствующего ранга, дает полный и исчерпывающий набор арифметизированных общезначимых формул, таких же по форме, как арифметизированные тождественно-истинные формулы логики высказывательных классов.

Выразительные возможности логики предикатных классов расширяют выразительные возможности логики предикатов и, следовательно, выразительные возможности языка современной логики.

В четвертом параграфе второй главы «Порождающие схемы арифметизированной логики» представлены новые логические подходы, расширяющие возможности современного языка логики. Гарантируется четкая система координат, выполнение отношений порождений и наследования свойств, получение результата исследования на любом промежуточном этапе средствами арифметизированной логики или символической логики. Для этого разработаны специальные логические схемы, позволяющие производить логическое кодирование (декодирование) в любых направлениях исследования

значений истинностных состояний:

Диаграмма 3

Декодирование дизъюнкции по значению истинностного состояния

0+1=1 1+1=1

сю «D

Ш»< 'rrr.

¡ЩЗ

-сш

Olli =ab + a(l-b) + (l-a)b = ab + a-ab + b-ab = a + b-ab,T.e. дизъюнкция

Для сложных случаев используются матрицы порождений и наследования:

Схема 1

ложной прямой обратной истинной

альтернативы альтернативы

и, на их основе:

Схема 2

Альтернативные свойства логических величин, представленные схемами и

диаграммами, апробированы в программировании.

В Заключении подводятся итоги и намечаются перспективы

исследования по данной теме.

Основные положения диссертации отражены в следующих

публикациях автора:

1. Обработка логической информации. // Язык программирования Basic. Учебно-методическое пособие. Тюмень: ТОГИРРО, 1994. - 223 с.

2. Дополнительные возможности языков программирования альтернативными логическими величинами, операциями, функциями пользователя, подпрограммами. Тюмень: ТОГИРРО, 1995. - 53 с.

3. Логические основы обработки информации. // Язык программирования Pascal. Учебно-методическое пособие. Тюмень: ТОГИРРО, 1995. - 424 с.

4. Логико-математический аппарат альтернативных выражений. Тюмень: ТОГИРРО, 1996.-26 с.

5. Основы арифметизированной логики. Рукопись учебно-методического пособия. Зарегистрировано в РАО в 1997, свидетельство № 1904 о депонировании и регистрации произведения. - 18 с.

6. Основы арифметизированной логики. Часть I. Начала арифметизации логики. Тюмень: ТОГИРРО, 1997. - 58 с.

7. Арифметизированная логика. // Материалы VIII Международной конференции "Применение новых технологий в образовании". Троицк, 1997.-С.34

8. Научно-педагогические основы введение элементов логики в арифметизированном виде в профильных курсах информатики в 10-11 классах. Концепция. // Тема: Структура и содержание курса информатики на базе элементов арифметизированной логики // Подпрограмма: Информатика, информационные и коммуникационные технологии в системе непрерывного образования // Комплексная программа: Информационные и коммуникационные технологии в системе непрерывного образования // План-отчет института информатизации образования РАО. - М.: Институт информатизации образования РАО, 1997-1998 гг. - С. 19

9. Развитие логического мышления элементами арифметизированной логики BFSN. // Материалы IX Международной конференции "Применение новых технологий в образовании". Троицк, 1998. - С. 89

10. К языкам программирования алгоритмический, Basic, Pascal, С путем аналогий: алгоритмы, логические схемы, альтернативные величины, арифметизированная логика. Часть I. Тюмень: ТОГИРРО, 1998. - 73 с.

11. К языкам программирования алгоритмический, Basic, Pascal, С путем аналогий: алгоритмы, логические схемы, альтернативные величины, арифметизированная логика. Часть II. Тюмень: ТОГИРРО, 1998. - 75 с.

12. Экспертные системы на основе логики BFSN. // Материалы X Международной конференции "Применение новых технологий в

I образовании". Троицк, 1999. - С. 113

13. Основы арифметизированной логики. Часть II. Идеальная формула логики

или реальная модель Лейбница. Тюмень: ТОГИРРО, 1999. - 31 с.

14. Порождающие схемы логики BFSN. // Материалы XI Международной конференции "Применение новых технологий в образовании". Троицк, 2000.-С. 164-165

15. Логика BFSN. Рукопись научной работы. Зарегистрировано в РАО в 2000,

свидетельство № 4395 о депонировании и регистрации произведения. - 4 с. I (в соавторстве с Лозицким А.В. - 5%)

' 16. Основы арифметизированной логики. Часть III. Альтернативные

экспертные системы. Тюмень: ТОГИРРО, 2000. - 38 с.

17. Расширение возможностей интерпретатора языка программирования Basic. // Материалы VI межвузовской научно-практической конференции "Проблемы педагогической инноватики". Тобольск: ТГПИ, 2001. - С. 38

18. Основы арифметизированной логики. // Материалы международной научной конференции молодых ученых. Ишим: ИГПИ, 2001. - С. 106

19. Методологические особенности логики BFSN. // Материалы III ' международной конференции "Смирновские чтения". Москва, 2001. - С.

180-181 (в соавторстве с Джалиашвили З.О. - 20%)

20. Логика BFSN или порождающие схемы логики. Тюмень: ТОГИРРО, 2001. -16 с.

21. Заявка на изобретение "Интегральный каскадный логический модуль «Яйлеткан»". per. № 2001117273 от 26.06.2001

22. Заявка на изобретение "Интегральный каскадный динамический модуль I памяти «СИБЛ»". per. № 200112266 от 14.08.2001

23. Конкурсы по решению логических задач (программирование) 1997-2002. I Тюмень: ТОГИРРО, 2002. - 75 с.

24. Проблемы и перспективы арифметизации логики. // Материалы VII Общероссийской научной конференции "Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке". СПб., 2002. - С. 445-446 (в соавторстве с Джалиашвили З.О. - 20%)

25. Новые подходы в логике для олимпиадных и конкурсных задач. // Материалы XIII Международной конференции "Применение новых технологий в образовании". Троицк, 2002. - С. 134

26. Полезная модель "Интегральный каскадный динамический модуль памяти". Свидетельство №26710 от 10.12.2002

i 27. Полезная модель "Селективный интегральный каскадный логический

" модуль". Свидетельство №29195 от 27.04.2003

28. Логика BFSN. Конспекты научно-методологических исследований: , обобщение и систематизация основ математической логики. Тюмень:

ТОГИРРО, 2002. - 35 с.

29. Логика. Сборник методических материалов для преподавателей математики общеобразовательных учреждений. Тюмень: ТОГИРРО, 2002. - 94 с.

30. Обобщение и систематизация основ математической логики. Научно-методологические исследования с точки зрения новых информационных технологий. Тюмень: ТОГИРРО, 2002 - 373 с.

31. Логика ВРБЫ. Отношения в таблицах и матрицах истинности. - Тюмень:

ТОГИРРО, 2003. - 57 с. (в соавторстве с Джалиашвили З.О. -10%)

32. Практические результаты логики ВЕБИ. // Материалы IV международной

конференции "Смирновские чтения". Москва, 2003. - С. 189 (в соавторстве с Джалиашвили З.О. - 20%)

33. Программирование логики арифметикой. // Материалы XIV Международной конференции "Применение новых технологий в образовании". Троицк, 2003. - С. 399

Ответственный за выпуск - Вараксина Т.Е.

Лицензия ЛР № 020144 от 27.01.97 Подписано в печать 12.11.2003 Объем 1 п.л. Тираж 100 экз

* 18 7 9 3

Оглавление научной работы автор диссертации — кандидата философских наук Яйлеткан, Александр Александрович

Введение

Глава 1. Логическая природа альтернативных величин

1.1. История выразительных возможностей языка математической (символической) логики

1.2. Свойства альтернативных величин

1.3. Понятие альтернативной величины в логике

1.4. Методы использования альтернативных величин в логике

Глава 2. Способы арифметизации языка современной логики

2.1. Базис арифметизированной логики

2.2. Расширение выразительных возможностей логики высказываний

2.3. Расширение выразительных возможностей логики предикатов

2.4. Порождающие схемы арифметизированной логики 124 Заключение 139 Библиография 146 Приложение к параграфу 2.2.

1. Таблица логических связок и их арифметизированных аналогов

Введение диссертации2003 год, автореферат по философии, Яйлеткан, Александр Александрович

Предметом исследования является расширение выразительных возможностей языка современной логики.

Актуальность исследования. Математическая (символическая) логика является современным этапом развития формальной логики. Ее выразительные возможности представляются синтаксисом, алгеброй и геометрией, образующими неразрывное единство и дополнение друг друга в языке логики.

Синтаксис (лексико-грамматические схемы и формы мышления) обладает наименьшей логической силой.

Алгебра (математическая логика) позволяет установить то общее, что имеется в различных по содержанию мыслях - их логическую силу и слабость, их логическое количество и качество. Тем самым становится возможным классификация особых языково-мыслительных конструкций, их сравнение и сопоставление. Алгебраические формулы легко располагаются в пространстве, образуя решетки, матрицы, таблицы. Алгебра, в отличие от синтаксиса, более научна, объективна, непредвзята. Недостатком алгебры является ее абстрактность, бессодержательность.

Противоречие заключается в том, что логические способы и методы обработки информации в алгоритмических языках программирования реализованы всего лишь одним компонентом языка современной логики - синтаксисом, что не позволяет применять методы математической (символической) логики в полной мере. Актуальность исследования заключается в необходимости разрешения противоречия, поиске путей и способов расширения выразительных возможностей языка современной логики. Исторически известно, что основатели математической логики Д.Буль, У.С.Джевонс, И.И.Жегалкин, О.деМорган, Ч.С.Пирс, П.С.Порецкий, Э.Шрёдер до приобретения ее символической письменности в своих исследованиях применяли арифметические операции с логической точки зрения.

Идея исследования состоит в предположении, что символические обозначения логических связок можно моделировать арифметическими операциями, что позволит применять методы математической (символической) логики в алгоритмических языках программирования и расширит выразительные возможности языка современной логики компонентом арифметики логики в дополнение к синтаксису, алгебре и геометрии логики.

Цели и задачи исследования. Главная цель диссертационного исследования состоит в разработке теоретической базы (оснований) языка арифметизированной логики для расширения выразительных возможностей языка современной логики.

Достижение главной цели осуществляется постановкой и решением следующих основных задач:

- выделить специфические параметры языка арифметизированной логики для разработки средств и методов его автоматизации. Методологическая основа и разработанность темы исследования.

Методологическую основу диссертационного исследования составляют идеи классической и современной математической (символической) логики, теории информатики и кибернетики. В разрабатываемой теме нашли свое отражение известные в отечественной и зарубежной литературе отдельные идеи, имеющие к ней непосредственное или косвенное отношение: в области построения основ математической логики с применением заимствованных в арифметике знаков операций для описания действий над классами (И.И.Жегалкин, П.С.Порецкий, Э.Шрёдер); в области компьютерного представления разделов логики (К.И.Бахтияров); в области практики программирования (В.Н.Касаткин). Настоящее исследование предполагает расширить выразительные возможности языка современной логики путем создания и систематического исследования языка арифметизированной логики.

Научная новизна заключается в разработке и внедрении:

- арифметизированных моделей логических форм мышления;

- критериев применимости арифметизированных моделей;

- интерпретаций форм мышления универсальными средствами языка арифметизированной логики;

- использования предложенных средств, способствующих расширению выразительных возможностей языка современной логики. Практическая значимость диссертации определяется новыми возможностями в теоретических и практических исследованиях способов и методов логической обработки информации на основе расширения выразительных возможностей языка современной логики.

Апробация работы. Рукопись диссертации обсуждалась и была рекомендована к защите на заседании кафедры философии Санкт-Петербургского государственного института точной механики и оптики (Технического университета) и на заседании кафедры логики Санкт-Петербургского государственного университета.

Международной научной конференции молодых ученых (Ишим, 2001), VII Общероссийской научной конференции «Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке» (Санкт-Петербург, 2002), VI межвузовской конференции «Проблемы педагогической инноватики» (Тобольск, 2001).

Заключение научной работыдиссертация на тему "Расширение выразительных возможностей языка современной логики"

Заключение

Итоги, подтверждающие достижение целей, поставленных в рамках выполненного диссертационного исследования, заключаются в следующем.

Понятие логико-арифметической двойственности значений констант О и 1 является ключевым. Величины, проявляющие подобные свойства, названы альтернативными. С точки зрения выбора одного из возможных значений относительно области (областей) допустимых значений, любые величины альтернативны. Этим свойством объясняется природа универсальных характеристических свойств классов теории множеств. Альтернативные свойства величин расширяют возможности непосредственных практических приложений языка современной логики в естественнонаучных исследованиях.

Арифметические свойства истинностных значений предполагают возможность применения к ним арифметических операций двойственного логико-арифметического назначения. Такие арифметические операции не могут называться альтернативными в контексте выше сказанного, но и не могут называться псевдологическими связками, хотя с их помощью вычисляется (а не исчисляется) именно логический результат. Поэтому арифметические операции, участвующие в определении логического результата, названы арифметизированными. Логико-арифметические функции позволяют вычислять результаты логических исследований и непосредственно использовать современный математический аппарат, расширяющий выразительные возможности языка современной логики.

Приоритет арифметизированньгх операций совпадает с приоритетом не арифметических, а логических операций (—, х, +). Это подтверждает выбор логических подходов арифметическими средствами. Так, характеристические свойства классов универсума определяются с учетом приоритета их логической обусловленности. После определения характеристических свойств, над полученными выражениями производят необходимые действия, соблюдая приоритет выполнения арифметических операций. С другой стороны, приоритет арифметизированных операций совпадает с приоритетом арифметических операций (х, -, +). Анализ таких проявлений двойственности показывает, что уникальные свойства действий с 0 и 7, операций арифметики — не являются очевидными и простыми. Следовательно, математические методы, основанные на применении этих свойств, сталкиваются с проблемами не математического, а логического характера. Вся математика сводима к действиям с 0 и 7, это доказано и находит широкое применение в современных способах и методах обработки информации средствами новых информационных технологий. На основе формулы [2.2.3.] можно показать, что любую математическую формулу (или метод) можно представить выражением: обобщающим логически возможные математические подходы.

Двухчастное представление высказываний позволяет объяснить природу операции отрицания в логике высказываний. На основе трехчастного и четырехчастного представлений высказываний выразительные возможности языка современной логики расширяются до теорий нечетких логик, приближаясь к применению и упорядочению выражений естественного языка. Имея возможность оценивать ситуативно-необходимые и возможные выражения, логика высказывательных классов может найти применение, например, в юриспруденции непосредственно получаемыми указаниями к логически обоснованным действиям (Приложение 2.4.2.).

Анализ отношений между объемами понятий показал, что традиционные подходы можно усовершенствовать, сделать более наглядными с помощью диаграмм Венна, чем посредством кругов Эйлера. На диаграммах хп ХП хп хп

2.1.23. и 2.1.24. отношения между объемами понятий демонстрируют закономерности, связи отношений, однозначность и точность их определений. Такие расширенные представления сопровождаются необходимым аналитическим арифметизированным аппаратом, подтверждающим подходы определения типов отношений по истинности и ложности между формулами (Бочаров, Маркин), расширяющим выразительные возможности языка современной логики в разделах формальной логики.

Показано, что подходы к определению отношений между объемами понятий регламентируют отношения между классами в диаграммах Венна. Кроме того, определены правила индексации классов диаграмм, имеющих прямую и непосредственную связь с истинностными таблицами (таблицы 2.1.1., 2.4.4-2.4.6.). Индексация классов позволяет точно координировать логические исследования, фиксировать пути движения рассуждений, относительно которых возвращаться именно в те позиции, откуда были замечены нужные моменты (матрицы 2.4.10.-2.4.12.). Проиндексированные формулы позволяют без средств визуализации определять такие направления высказывательных рассуждений и прогнозировать перспективные преобразования. Матричные подходы подтверждают возможность и необходимость этих исследований. Они удобны тем, что матрицы любых размеров выражаются обобщенными формулами функциональных (формула [2.1.43.]) или индексно-функциональных (формула [2.2.3.]) моделей. Этими подходами доказывается, что системы, состоящие из большого числа элементов и характеризующиеся двузначными состояниями, являются не бинарными, а многозначными и бесконечнозначными системами, содержащими комбинированные образования разветвленных и итеративно замкнутых конструкций.

Логика высказываний также многозначна, что подтверждается практикой выразительных возможностей естественного языка. Многозначность демонстрируется истинностными состояниями в таблицах и матрицах. Истинностные состояния представляют собой наборы истинностных значений, расположенных в строго определенном порядке и характеризующих этим самым конкретные логические операции. С увеличением количества введения свойств на выбранном универсуме, согласно закона обратного отношения, увеличивается количество истинностных состояний, увеличивая этим самым многозначность состояний рассматриваемой логической модели.

Важным является расширение понятия границ между классами на диаграммах. Под природой границ между классами понимаются промежуточные, наследуемые и порождаемые знания. Промежуточные (нейтральные) знания или свойства можно продемонстрировать на диаграмме 1.З.1., на которой указаны классы положительных и отрицательных чисел, граница раздела которых так же бесконечна, как и указанные множества, в силу симметричности этих чисел по модулю. Наследуемые (сочетаемые) знания или свойства на границе этой же диаграммы основаны на представлении узкого родового свойства универсума и одного из видов (результатами выступают технические представители - самолет, электровоз, а представители животного мира - ожидаемые результаты селекций). Порождаемые (творческие) знания или свойства - основаны на представлении необозримого универсума и одного или нескольких видов (Пегас, конек-горбунок, фантастические и вымышленные объекты или явления).

Другой характеристикой, расширяющей выразительные возможности языка современной логики, является понятие ранга универсума, наглядно демонстрируемого диаграммами 2.4.3. и 2.4.4. Этим понятием объясняются связи наследования и порождений свойств. При анализе указанных свойств сформулирован вывод, что в аналитических логических исследованиях должны использоваться алгебраические преобразования группирования и перегруппирования, но не сокращения элементов формул. Сокращения элементов формул понижают ранг наследования, теряются промежуточные связи, не позволяющие делать последовательные выводы. Примером может служить известная задача, в которой обсуждаются классы, образованные разбиением универсума «студенты» свойствами «отличники», «спортсмены», «участники художественной самодеятельности», - с заданием указать класс, в котором находятся «только отличники». Такой класс отсутствует, в задании не соблюдается закон обратного отношения между содержанием и объемом. Если все же соответствовать заданию, то возникает необходимость удаления свойств, создающих мешающий мышлению фон. Подобное разъяснение можно встретить на примере универсума треугольников со свойствами А=«быть равнобедренным» и В=«быть прямоугольным» в арифметизированном виде. Тогда, свойство А можно представить объединением двух классов: «равнобедренные и прямоугольные» и «равнобедренные, но не прямоугольные»,

- являющееся множеством

А= «равнобедренные прямоугольные и не прямоугольные».

Неверно понимать, что

А=«все (или только)равнобедренные».

Ранг универсума указывается и у величин, принадлежащих ему своими характеристическими свойствами (для последнего рассмотренного примера): ab и а(1-Ъ),

- являющееся множеством а(2)=ab+a(l-b) или просто а(2), где индексом в скобках указан ранг рассматриваемого универсума. Правильная группировка перечисляет приведенные свойства, соответствует принципам наследования свойств, готовит мышление к порождению обусловленных новых свойств. Подходы группировки нашли отражение в понятиях логического орта (свойство 2.4.7.), базиса (свойство 2.4.2.), функциональной полноты (свойство 2.4.9.), подтвержденных всеми известными выразительными возможностями языка современной логики, расширяющими их.

Матрицы истинностных состояний, формул, диаграмм позволяют анализировать весь процесс исследования в целом. У матриц, как и у диаграмм, возникают проблемы пространственного отображения. Но не возникает проблем порядка их представления, в отличие от диаграмм для пяти и более свойств разбиения универсума на классы. Для решения этой проблемы предложены специальные логические схемы (диаграмма 2.4.5., схемы 2.4.1.-2.4.5.), предоставляющие средства визуализации шире, чем диаграммами и матрицами.

Арифметизированные подходы сохраняют все свойства, законы и подходы языка современной логики (матрицы 2.4.13.-2.4.15.). Это необходимый момент, позволяющий проводить аналогию между существующей теорией и практикой, богатыми многовековым опытом, и между вносимыми арифметизированными дополнениями, взаимно обогащающими и дополняющими друг друга. Так, например, показывается, что синтаксис арифметизированной логики высказывательных классов (с. 112-113 диссертационного исследования), арифметизированной логики предикатных классов (с. 120 диссертационного исследования) позволяют представить синтаксис арифметизированной логики классов суждений (с. 103-108 диссертационного исследования) следующим образом:

Алфавит:

1) термины суждений с индексами;

2) арифметизированные логические функции (константы) : —, +;

3) вспомогательные знаки: (-левая скобка,) - правая скобка.

Определение формулы суждений: 1) термины суждения R, р, определенные на универсуме S множествами, есть формулы;

2) если R - формула класса affirmo, то выражение (выделено) R

1-R) является формулой класса ttego дополнением до универсума; 3) если выражения R up - формулы, то выражения (выделены) I Е являются формулами частноутвердительных и общеотрицательных классов, а выражения, представленные индексами классов (выделены) h h I=Ir+I,

Е, A=Ei+Ir

Е=ЕГ+Е, являются формулами всех возможных суждений;

4) никакое другое выражение не является формулой суждения.

Цветом выделены ячейки с формулами, соответствующими логическому квадрату.

Все перечисленные итоги являются началом предполагаемых исследований. Арифметизированная логика может оказаться необходимой математикам и программистам. Логика, понятая ими на языке арифметики, позволит автоматически быть логическими при проведении математических исследований.

Арифметика логики, нашедшая подтверждение в проведенном исследовании, наряду с синтаксисом, алгеброй и геометрией современной логики, расширяет ее выразительные возможности. х» I р (1-P)

R Ir—Rxp irRx(l-p)

1-R) Er=(l-R)xp Ef=(l-R) x(l-p)

Список научной литературыЯйлеткан, Александр Александрович, диссертация по теме "Логика"

1. Арно А., Николь П. Логика, или Искусство мыслить. М., 1991.

2. Аршинов М.Н., Садовский JI.E. Коды и математика. М.: Наука, 1983.- 140 с.

3. Байиф Ж. Логические задачи. М., 1983.

4. Бахман К. Ф. Система логики. М., 1840.

5. Бахтияров К.И. Логическая игра Л. Кэрролла на компьютере // Информатика. М., 1995, №23

6. Бахтияров К.И. Логические основы компьютеризации умозаключений.- М.: Изд. МИИСП, 1986. 95 с.

7. Бахтияров К.И. Массивы и циклы в логике с точки зрения информатики: Учебное пособие для студентов сельскохозяйственных вузов по инженерным специальностям. М.: МГАУ, 1996. - 98 с.

8. Бахтияров К.И. Парадоксальная эффективность математики (с точкизрения информатики) // Информатика. М., 1995. №36

9. Берг Л.С. Наука, ее содержание, смысл и классификация. Пг., 1922

10. Беркли Э. Символическая логика и автоматика. М.: ИЛ, 1961.

11. Беркли Э. Символическая логика и разумные машины. М.: ИЛ, 1961.

12. Бирюков Б.В. Жар холодных чисел и пафос бесстрастной логики. Формализация мышления от античных времен до эпохи кибернетики.- 2-е изд., перераб. и доп. М.: Знание, 1985. - 192 с.

13. Блинов А.Л., Петров В.В. Элементы логики действий. М., 1991.

14. Бойко А.П. Краткий курс логики. М.: Изд. центр "Аз", 1995. - 127 с.

15. Ботвинник М.М. О кибернетической цели игры. М., 1975.

16. Бочаров В.А, Маркин В .И. Основы логики. М.: Космополис, 1994. - 340 с.

17. Бузук Г.Л. Логика и компьютер. М.: Финансы и статистика, 1995. - 208 с.

18. Варга Б., Димень Ю., Лопарин Э. Язык, музыка, математика. / Пер. с венг. Ю.А. Данилова. М.: Мир, 1981. - 248 с.

19. Вейль Г. Математическое мышление. М.: Наука, 1989.

20. Визам Д, Герцег Я. Игра и логика/ Пер. с венг. М.: Мир, 1975. -359 с.

21. Визам Д, Герцег Я. Многоцветная логика: 175 логических задач/ Пер. с венг. М.: Мир, 1978. - 435 с.

22. Винер Н. Кибернетика, или управление и связь в животном и машине. Изд. 2-е. - М.: Наука, 1983. - 340 с.

23. Воднев В.Т. и др. Математический словарь высшей школы: Общ. Часть. / В.Т. Воднев, А.Ф. Наумович, Н.Ф. Наумович.; Под ред. Ю.С. Богданова. Мн.: Выш. Шк., 1984. - 527 с.

24. Войшвилло Е.К., Дегтярев М.Г. Логика. М., 1998.

25. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. Изд. 23-е. -М.: Наука, 1975.-416 с.

26. Гарднер М. Математические головоломки и развлечения. М.: Мир, 1971.-510 с.

27. Гершунский Б.С. Философия образования для XXI века (В поисках практико-ориентированных образовательных концепций). М.: "Интер-Диалект+", 1997. - 697 с.

28. Гетманова А.Д. Логика: Словарь и задачник: Учебное пособие для студентов вузов. М.: Гуманитарный издательский центр ВЛАДОС, 1998.-336 с.

29. Гетманова А.Д. Учебник по логике. 2-е изд. М.: ВЛАДОС, 1995. -303 с.

30. Гжегорчик А. Популярная логика. М.: Наука, 1979. - 112 с.

31. Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики. / Серия: Математическая логика и основания математики. М.: Наука, 1979. - 560 с.

32. Гильде В. Зеркальный мир. / Пер. с нем. под ред. И.И. Шафрановско-го. М.: Мир, 1982.- 120 с.

33. Глушков В.М. Синтез цифровых автоматов. М.: Физматгиз, 1962.

34. Голицын Г.А., Петров В.М. Гармония и алгебра живого. М.: Знание, 1990. - 128 с.

35. Горбатов В.А. Основы дискретной математики. М.: Высшая школа, 1986.-311 с.

36. Горский Д. П. и др. Краткий словарь по логике. М., 1991.

37. Горстко А.Б. В поисках правильного решения (О принципах рациональной деятельности человека). М.: Знание, 1970. - 78 с.

38. Григорьев Б.В. Классическая логика: Учебное пособие. М.: Гуманитарный издательский центр ВЛАДОС, 1996. - 192 с.

39. Грэхем Р., Кнут Д., Паташник О. Конкретная математика. Основание информатики: Пер. с англ. М.: Мир, 1998. - 703 с.

40. Гудстейн P.JI. Математическая логика. М.: изд-во иностранной литературы, 1961.

41. Гусева А.И. Учимся информатике: задачи и методы их решения. М.: Диалог-МИФИ, 1999. - 320 с.

42. Джалиашвили З.О. Экспертная обучающая система как интегрированная база знаний // Материалы Всесоюзного семинара с международным участием "Применение компьютерной техники в преподавании общественных наук". Д.: ЛИТМО, 1990. с. 55-56.

43. Джордж Ф. Мозг как вычислительная машина. М., 1963.

44. Жоль К.К. Логика в лицах и символах. М.: Педагогика-Пресс, 1993. -256 с.

45. Зиновьев А. А. Логика науки. М., 1971.

46. Зуев К.А. Компьютер и общество. М.: Политиздат, 1990. - 315 с.

47. Ивин А. А. Популярная логика. М., 1995.

48. Ивлев Ю.В. Логика. М.: Наука, 1994. - 283 с.

49. Калбертсон Дж. Т. Математика и логика цифровых устройств. М.: Просвещение, 1965. - 268 с.

50. Калужнин JI.A. Элементы теории множеств и математической логики в школьном курсе математики. Пособие для учителей. М.: Просвещение, 1978. - 88 с.

51. Карпенко А.С. Логика на рубеже тысячелетий. / Логические исследования. Вып. 7. М.: Наука, 2000. - 318 с.

52. Карпенко А.С. Логики Лукасевича и простые числа. М.: Наука, 2000. -319 с.

53. Карри Х.Б. Основания математической логики. М.: Мир, 1969.

54. Касаткин В.Н. Информация, алгоритмы, ЭВМ. Пособие для учителя. -М.: Просвещение, 1991. 192 с.

55. Касаткин В.Н. Логическое программирование в занимательных задачах. К.: Техника, 1980. - 80 с.

56. Касаткин В.Н. Через задачи к программированию: Для старшего школьного возраста. - К.: Радяньска школа, 1989.

57. Кемени Дж., Снелл Дж., Томпсон Дж. Введение в конечную математику. / Пер. с англ. под ред. И.М. Яглома. М.: ИЛ, 1963. - 486 с.

58. Кириллов В.И., Старченко А.А. Логика: учебник для юридических вузов. изд. 5-е, перераб. и доп. - М.: Юристъ, 2001. - 256 с.

59. Клайн М. Математика. Поиск истины: Пер. с англ. / Под ред. В.И. Аршинова, Ю.В. Сачкова. М.: Мир, 1988. - 295 с.

60. Клини С.К. Математическая логика. М.: Мир, 1973. - 480 с.

61. Колмогоров А.Н. Теория информации и теория алгоритмов. М.: Наука, 1987. - 304 с.

62. Кондаков Н.И. Логический словарь. М.: Наука, 1975. - 720 с.

63. Котарбиньский Т. Лекции по истории логики // Котарбиньский Т. Избр. произв. М., 1963.

64. Криницкий Н.А. Алгоритмы вокруг нас. М.: Наука, 1984.

65. Курбатов В.И. Логика. Систематический курс. Ростов н/Д: Феникс, 2001.- 512 с.

66. Кэрролл JI. Логическая игра: Пер. с англ. Ю.А. Данилова. М.: Наука, 1991.- 192 с.

67. Лихтарников Л.М. Занимательные логические задачи. (Для учащихся начальной школы) / СПб.: Лань, МИК, 1996. 125 с.

68. Логико-философские труды В.А. Смирнова. / Под ред. В.И. Шалака. -М.: Эдиториал УРСС, 2001. 592 с.

69. Логический словарь: ДЕФОРТ / Под ред. А.А. Ивина, В.Н. Переверзе-ва, В.В. Петрова. М.: Мысль, 1994. - 268 с.

70. Лорьер Ж.-Л. Системы искусственного интеллекта: Пер. с франц. М.: Мир, 1991.-568 с.

71. Лысакова В.Ю., Ракитина Е.А. Логика в информатике. Серия "Информатика в школе". М.: Информатика и образование, 1999. - 144 с.

72. Мантуров О.В., Солнцев Ю.К., Соркин Ю.И., Федин Н.Г. Толковый словарь математических терминов. Пособие для учителей. / Под ред. В.А. Диткина. М.: Просвещение, 1965. - 539 с.

73. Непейвода Н. Н. Прикладная логика: учебное пособие. 2-е изд., испр. и доп. - Новосибирск: НГУ, 2000. - 521 с.

74. Пиотровский Р.Г. Текст, машина, человек. Ленинград: Наука, 1975. - 327 с.

75. Пойя Дж. Математика и правдоподобные рассуждения. М.: Наука, 1975.-464 с.

76. Пойя Дж. Математическое открытие. (Решение задач: основные понятия, изучение и преподавание). М.: Наука, 1970. 452 с.

77. Попов П.С., Стяжкин Н.И. Развитие логических идей от античности до эпохи Возрождения. М., 1974.

78. Пухначев Ю.В., Попов Ю.П. Математика без формул. М.: АО "Столетие", 1995.-512 с.

79. Ракитов А.И. Философия компьютерной революции. М.: Политиздат, 1991. - 287 с.

80. Светлов В.А. Практическая логика. СПб.: Изд-во РХГИ, 1995. -472 с.

81. Смирнов В.А. Логические методы научного познания. М.: Наука, 1987.-220 с.

82. Смирнова Е.Д. Логика в философии и философия логики. / Логические исследования. Вып. 7. М.: Наука, 2000. - 318 с.

83. Столяр А.А. Логическое введение в математику. Мн.: Вышейшая школа, 1971.-224 с.

84. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. / изд. 3-е; пер. с нем. М.: Наука, 1978. - 336 с.

85. Стяжкин Н. И. Силаков В.Д. Краткий очерк истории общей и математической логики в России. М., 1962. 87 с.

86. Стяжкин Н.И. Формирование математической логики. М.: Наука, 1967. - 508 с.

87. Стяжкин Н.И. Становление идей математической логики. М.: Наука, 1964.-304 с.

88. Сэхляну В. Химия, физика математика жизни. Бухарест: Научное издательство, 1966.

89. Упражнения по логике. Учебное пособие. 2-е изд. перераб. и доп. / Под ред. В.И. Кириллова. - М.: Юрист, 1993. - 136 с.

90. Успенский В.А., Верещагин Н.К., Плиско В.Е. Вводный курс математической логики. 2-е изд. - М.: ФИЗМАТ ЛИТ, 2002.

91. Ф£&<пров Б.И, Джалиашвили 3.0. Логика компьютерного диалога. М.: Онега, 1994.

92. Федоров Б.И. и др. Элементы логической культуры: Учебное пособие для старших классов общеобразовательной школы. 2-е изд., перераб. - СПб.: "Иван Федоров". - 152 с.

93. Философский словарь. / Под ред. М.М. Розенталя.; изд. 3-е. М.: Политиздат, 1972.-496 с.

94. Цинман JI.JI. Логические задачи и алгебра высказываний. Квант, 1971, №4.

95. Чернов А.Ф., Чернов А.А. Алгебра высказываний на уроках информатики. / Информатика в уроках и задачах: Приложение к журналу "Информатика и образование". №1-1999. М.: Информатика и образование, 1999. - 96 с.

96. Шенфилд Д. Математическая логика. / Серия: Математическая логика и основания математики. М.: Наука, 1975. - 528 с.

97. Шрейдер Ю.А., Шаров А.А. Системы и модели. М.: Радио и связь, 1982. - 152 с.

98. Юрчук В.В. Современный словарь по логике. Мн.: Современное Слово, 1999. - 768 с.

99. Яворский Б.М., Детлаф А.А. Справочник по физике для инженеров и студентов ВУЗов. изд. 7-е. - М.: Наука, 1977. - 930 с.

100. Яйлеткан А.А. Обработка логической информации. // Язык программирования Basic. Учебно-методическое пособие. Тюмень: ТОГИРРО,1994.-223 с.-С. 51-88

101. Яйлеткан А.А. Дополнительные возможности языков программирования альтернативными логическими величинами, операциями, функциями пользователя, подпрограммами. Тюмень: ТОГИРРО,1995. 53 с.

102. ЮЗ.Яйлеткан А.А. Логические основы обработки информации. // Язык программирования Pascal. Учебно-методическое пособие. Тюмень: ТОГИРРО, 1995. 424 с. - С. 174-206

103. Яйлеткан А.А. Логико-математический аппарат альтернативных выражений. Тюмень: ТОГИРРО, 1996. 26 с.

104. Яйлеткан А.А. Основы арифметизированной логики. Рукопись учебно-методического пособия. Зарегистрировано в РАО в 1997, свидетельство № 1904 о депонировании и регистрации произведения. 18 с.

105. Юб.Яйлеткан А.А. Основы арифметизированной логики. Часть I. Начала арифметизации логики. Тюмень: ТОГИРРО, 1997. 58 с.

106. Яйлеткан А.А. Арифметизированная логика. // Материалы VIII Международной конференции "Применение новых технологий в образовании". Троицк, 1997. С.34

107. Яйлеткан А.А. Развитие логического мышления элементами арифметизированной логики BFSN. // Материалы IX Международной конференции "Применение новых технологий в образовании". Троицк, 1998.- С. 89

108. ПО.Яйлеткан А.А. К языкам программирования алгоритмический, Basic, Pascal, С путем аналогий: алгоритмы, логические схемы, альтернативные величины, арифметизированная логика. Часть I. Тюмень: ТОГИРРО, 1998. 73 с.

109. Яйлеткан А.А. К языкам программирования алгоритмический, Basic, Pascal, С путем аналогий: алгоритмы, логические схемы, альтернативные величины, арифметизированная логика. Часть II. Тюмень: ТО-ГИРРО, 1998. 75 с.

110. Яйлеткан А.А. Экспертные системы на основе логики BFSN. // Материалы X Международной конференции "Применение новых технологий в образовании". Троицк, 1999. С. 113

111. Яйлеткан А.А. Основы арифметизированной логики. Часть II. Идеальная формула логики или реальная модель Лейбница. Тюмень: ТОГИР-РО, 1999.-31 с.

112. Яйлеткан А.А. Порождающие схемы логики BFSN. // Материалы XI Международной конференции "Применение новых технологий в образовании". Троицк, 2000. С. 164-165

113. Яйлеткан А.А., Лозицкий А.В. Логика BFSN. Рукопись научной рабо-^ ты. Зарегистрировано в РАО в 2000, свидетельство № 4395 о депонировании и регистрации произведения. 4 с.

114. Яйлеткан А.А. Основы арифметизированной логики. Часть III. Альтернативные экспертные системы. Тюмень: ТОГИРРО, 2000. -38 с.

115. Яйлеткан А.А. Расширение возможностей интерпретатора языка программирования Basic. // Материалы VI межвузовской научно-практической конференции "Проблемы педагогической инноватики". Тобольск, 2001. С. 38

116. Яйлеткан А.А. Основы арифметизированной логики. // Материалы международной научной конференции молодых ученых. Ишим, 2001. -С. 106

117. Яйлеткан А.А., Джалиашвили З.О. Методологические особенности логики BFSN. // Материалы III международной конференции "Смирновские чтения". Москва, 2001. С. 180-181

118. Яйлеткан А.А. Логика BFSN или порождающие схемы логики. Тюмень: ТОГИРРО, 2001. 16 с.

119. Яйлеткан А.А. Заявка на изобретение "Интегральный каскадный логический модуль «Яйлеткан»". per. № 2001117273 от 26.06.2001

120. Яйлеткан А.А. Заявка на изобретение "Интегральный каскадный динамический модуль памяти «СИБЛ»". per. № 200112266 от 14.08.2001

121. Яйлеткан А.А. Конкурсы по решению логических задач (программирование) 1997-2002. Тюмень: ТОГИРРО, 2002. 75 с.

122. Яйлеткан А.А., Джалиашвили З.О. Проблемы и перспективы арифме-тизации логики. // Материалы VII Общероссийской научной конференции "Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке". СПб., 2002. С. 445-446

123. Яйлеткан А.А. Новые подходы в логике для олимпиадных и конкурсных задач. // Материалы XIII Международной конференции "Применение новых технологий в образовании". Троицк, 2002. -С. 134

124. Яйлеткан А.А. Полезная модель "Интегральный каскадный динамический модуль памяти". Свидетельство №26710 от 10.12.2002

125. Яйлеткан А.А. Полезная модель "Селективный интегральный каскадный логический модуль". Свидетельство №29195 от 27.04.2003

126. Яйлеткан А.А. Логика BFSN. Конспекты научно-методологических исследований: обобщение и систематизация основ математической логики. Тюмень: ТОГИРРО, 2002. 35 с.

127. Яйлеткан А.А. Логика. Сборник методических материалов для преподавателей математики общеобразовательных учреждений. Тюмень: ТОГИРРО, 2002. 94 с.

128. Яйлеткан А.А. Обобщение и систематизация основ математической логики. Научно-методологические исследования с точки зрения новых информационных технологий. Тюмень: ТОГИРРО, 2002 373 с.

129. Яйлеткан А.А., Джалиашвили З.О. Логика BFSN. Отношения в таблицах и матрицах истинности. Тюмень: ТОГИРРО, 2003. - 57 с.

130. Яйлеткан А.А., Джалиашвили З.О. Практические результаты логики BFSN. // Материалы IV международной конференции "Смирновские чтения". Москва, 2003. С. 189

131. Яйлеткан А.А. Программирование логики арифметикой. // Материалы XIV Международной конференции "Применение новых технологий в образовании". Троицк, 2003. С. 399

132. Яснева Г.Г. Логические основы ЭВМ. / Информатика и образование, №2, 1998

133. Яшин Б.Л. Задачи и упражнения по логике. М.: Гуманитарный издательский центр ВЛАДОС, 1997. - 224 с.

134. Agazzi Е. (ed.) Modern logic. A survey. Dordrecht, 1981.

135. Arruda A. I. A Survey of Paraconsistent Logic. Mathematical Logic in Latin America (Ed. by Arruda A. I., Chuaqui R. and Da Costa N. C. A. North—Holland, 1980.).

136. Barwize J. (ed.) Handbook of mathematical logic. Amsterdam, 1977.

137. Barwize J., Etchemendy J. The logic of first-order logic. Stanford, 1990.

138. Bell J. I., Machover M. A course of mathematical logic. Amsterdam, 1977.

139. Boole G. The mathematical analysis of logic. N. Y., 1965.

140. Church A. Introduction to mathematical logic. Prienceton (N. J.), 1956.

141. Copi I. M. Symbolic logic. N. Y., 1973.

142. Dumitriu A. History of logic. Vol. 1—4. Tunbridge Wells, 1977.

143. Feys R., Fitch F. Dictionary of symbols of mathematical logic. Amsterdam, 1973.

144. Frege G. Logical investigations. Oxford, 1977.

145. Goodstein R. L. Development of mathematical logic. L., 1971.

146. Greenstein С. H. Dictionary of logical terms and symbols. N. Y., 1978.

147. Hintikka J. Knowledge and belief: An introduction to the logic of the two notions. Ithaca: Acad. Press. 1962. 450 p.

148. Kleene S. C. Mathematical Logic. New York London - Sydney, 1967.

149. Lewis С. I., Langford С. H. Symbolic logic. N. Y., 1959.

150. Marciszewski W. (ed.) Dictionary of logic as applied in the study of language. Dordrecht, 1981.

151. Monk J. D. Mathematical logic. Berlin, 1976.

152. Quine W. 0. Methods of logic. N. Y., 1972.

153. Reischenbach H. Elements of symbolic logic. N. Y., 1947.

154. Rosser J. B. Logic for mathematicians. N. Y., 1953.

155. Shoenfield J. Mathematical logic. Addison-Wesley publ. сотр., 1967.

156. Smullian R. M. First-order logic. N. Y., 1968.

157. Tragesser R. S. Husserl and realism in logic and mathematics. Cambridge, 1984.

158. Zadeh L. Fuzzy sets. Information and Control. 1965, N8, P. 338-353.названия связок

159. КОНЫОНЩНЯ, логическое "и", логическое прей ледени»1. ФУНКЦИЯ COt П ЭД 6Н ИЯ1. СГ5НДЭрТ«гйдрутие часто испогъз^емые обозначенияиспогь-тсеа-ние в прог-раммзх

160. АРИФМЁТИЗИР08АННЫЕ ДИАЛОГИ СВЯЗОКа оо й1. Ь О 1 О 1логические схемы декод-фоватя связок и ф^эмулы их дсреЕьеетрадшюнные глектрические аналоги связок1. ДЮГрзММЫ Веннэ31. СО-S4J to К)а&ьяпЬ. 3»Ь, ЛЬa and bа'Ь1.8Zll>afib, —i(a Ь),а'Ь1. ООО 11. А %