Структурные описания множеств формальных теорий

Шиян, Тарас Александрович

автореферат диссертации по философии, специальность ВАК РФ 09.00.07
диссертация на тему: Структурные описания множеств формальных теорий

Год: 2008
Автор научной работы: Шиян, Тарас Александрович
Ученая cтепень: кандидата философских наук
Место защиты диссертации: Москва
Код cпециальности ВАК: 09.00.07

Диссертация по философии на тему 'Структурные описания множеств формальных теорий'

Полный текст автореферата диссертации по теме "Структурные описания множеств формальных теорий"

На правах рукописи

шиян

Тарас Александрович

СТРУКТУРНЫЕ ОПИСАНИЯ МНОЖЕСТВ ФОРМАЛЬНЫХ ТЕОРИЙ

(НА МАТЕРИАЛЕ ФОРМАЛЬНЫХ СИЛЛОГИСТИК)

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата философских наук

Специальность 09.00.07 - логика

Оио

Москва 2008

003454622

Диссертация выполнена на кафедре логики философского факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор философских наук,

профессор Вячеслав Александрович Бочаров

Официальные оппоненты: доктор философских наук,

' профессор Камиль Ибрагимович Бахтияров

кандидат философских наук Василий Олегович Шангин

Ведущая организация: Институт философии Российской академии наук

Защита состоится 23 декабря 2008 года в 1625 на заседании диссертационного совета Д 501.001.48 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора философских наук в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119991, г. Москва, Ленинские горы, МГУ, учебный корпус №1, философский факультет, ауд. Е335

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале Отдела диссертаций в Фундаментальной библиотеке МГУ по адресу. Ломоносовский проспект, д. 27, сектор «А», 8 этаж, к. 812.

Автореферат разослан 21 Н03и)р-Х 2008 года Ученый секретарь диссертационного совета /у кандидат философских наук, доцент //ЛгйЦу Д-В. Зайцев

Общая характеристика работы

Актуальность темы. За последний век построено большое количество различных формальных теорий, показано существование различных бесконечных классов формальных теорий. Например, описан счетный класс конечно-значных логик Лукасевича, континуальный класс суперинтуициоиистских логик и т.п. Число индивидуально описанных теорий давно измеряется сотнями. Так, за последние 25-30 лет в русскоязычной литературе описано более 100 формальных силлогистик (и теорий в силлогистических языках). В связи с этим, обзор, систематизация, сравнительный анализ построенных теорий является насущной задачей для более эффективной ориентации в материале и интенсификации дальнейших исследований. Одним из необходимых шагов является «картографирование» пространства уже описанных в литературе теорий. Использование языка графов дает возможность наглядного представления результатов подобных компаративных исследований.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются формальные теории, построенные как формальные варианты тех или иных силлогистических учений, а также теории в одних с ними языках. Основным предметом исследования является соотношение таких теорий по множеству теорем и построение структурных систематизации различных групп таких теорий.

Цель и задачи исследования. Целями работы были: формулирование логико-методологического аппарата, необходимого для построения структурных систематизации теорий и доказательства их адекватности, и исследование группы бескванторных предикатных теорий (формальных силлогистик и сродных с ними систем) с точки зрения их соотношения по

мг

множеству теорем. В качестве задачи бралось исследование сформулированными методами, построение и обоснование адекватности графов формальных силлогистик; при этом, область исследования ограничивалась теориями, удовлетворяющими совокупности следующих условий: построение на базе классической логики высказываний (КЛВ) в языке без кванторов и модальных операторов, формулировка в виде аксиоматического исчисления, наличие описания в русскоязычной литературе (по преимуществу, в достаточно узком круге периодических изданий).

Степень разработанности проблемы. У нас в стране и за рубежом идут активные исследования соотношения формальных теорий, изучаются различные классы теорий, строятся структурные систематизации отдельных ipynn формальных теорий. К сожалению, исследования эти во многом разрозненны, сравнение теорий не перерастает обычно в построение структурных систематизаций. В рамках построения структурных систематизаций часто ограничиваются сравнением чистых пропозициональных логик с неполными наборами связок. Автору известен ряд исследований, в которых соотношение теорий представляется в виде графов теорий, но эти исследования касаются только импликативных и модальных пропозициональных логик.

Если в сравнительном анализе силлогистик автор существенным образом опирался на работы В.И. Маркина, то идеей графического представления соотношений теорий автор обязан работам A.C. Карпенко. Причем, именно под влиянием Карпенко сформировалась установка автора, что получение (и обоснование) графа теорий может быть целью и основным результатом подобного рода сравнительных исследований.

В области изучения предикатных логик вообще и силлогистических теорий, в частности, автору подобные работы не известны. Исключение составляют две работы В.А. Смирнова, в которых он представляет соотношение четырех

формулируемых им теорий (С1, С2, СЗ, С4) в виде графа, но это место в обеих работах является периферийным.

Описаний специальных методик, направленных на доказательство адекватности графа теорий, автору в литературе также не встречалось. Методика, используемая Карпенко, обеспечивает адекватность графа, но нацелена на реализацию несколько других задач, чем простое построение графа теорий и обоснование его адекватности. Часто же ограничиваются доказательством наличия между теориями отношения нестрогого включения по множеству теорем, а строгость порядка (попарное неравенство систематизируемых теорий) и полнота представления на графе отношения включение «по множеству теорем» принимаются как «интуитивно ясные».

Научная новизна исследования. Работа имеет научную новизну в двух аспектах: методологическом и предметном.

Во-вторых, в работе формулируется терминологический аппарат (в основном, за счет перенесения необходимых понятий из различных областей математики), необходимый для описания структурных систематизаций, обсуждения их адекватности, описания используемых при этом логико-методологических процедур.

построения адекватных структурных систематизаций (по множеству теорем) исчислений и формальных теорий, не применимая для систематизации объектов произвольной природы.

Предметный аспект. Основные результаты диссертации состоят в построении структурных систематизаций (на основе отношения включения по множеству теорем) нескольких групп формальных силлогистик и теорий в силлогистических языках. Доказывается адекватность построенных систематизаций. Всего в работе представлены результаты исследования около 50-и формальных теорий. Результаты исследований представлены в виде 5 графов (структурных систематизаций) теорий. До работ автора изученные теории не исследовались с точки зрения построения графов ни на основе их соотношения по множеству теорем, ни по иным основаниям.

В качестве дополнительных предметных результатов можно указать следующие. Построен и изучен ряд расширений «силлогистики Лукасевича» С4, показана расширяемость С4 (следовательно, и всех ее подтеорий, среди которых различные реконструкции силлогистических учений Аристотеля, Уильяма Оккама, Льюиса Кэрролла, Б. Больцано, фундаментальной силлогистики) до теории эквивалентности (равенства). Для этого расширения и ряда других расширений С4 построены силлогистические теоретико-множественные семантики стандартного типа и показана их адекватность. Предлагается способ построения счетного ряда конечно-аксиоматизируемых расширений С4 и силлогистических семантик для этих теорий.

В диссертации уделяется специальное внимание - насколько известно автору, впервые - рассмотрению соотношения языков (классов формул), классов термов и алфавитов формальных теорий. Строятся структурные систематизации 27 алфавитов, 10 классов термов и 28 классов формул (языков); демонстрируется адекватность построенных графов. Хотя это исследование в диссертации носит вспомогательный характер, по мере роста количества

сравниваемых теорий (в разных языках) роль и необходимость таких сравнений будет возрастать. Кроме того, на основании этих систематизации, в работе применяется новый метод классификации, при котором классификация объектов одной группы осуществляется за счет построения структурной систематизации объектов другой группы, сопоставленных объектам первой группы. В частности, построенные структурные систематизации языков (классов формул), классов термов и алфавитов формальных силлогистик могут использоваться для классификации силлогистических формальных теорий (или исчислений) по признаку эквивалентности по языку, по классу термов или по алфавиту, соответственно. Такие разветвленные теоретические классификации являются альтернативой традиционным дихотомическим делениям силлогистик (по классу термов) на позитивные и негативные, сингулярные и чистые (несингулярные) и т.п. или выделению отдельных типов силлогистик (расширенные, обобщенные, васильевского типа, сингулярные аристотелевского типа и т.п.).

Методологические основания. Работа и по предмету исследования, и по применяемым методам относится к области так называемой символической логики. Круг привлекаемых в работе математических дисциплин задается, в первую очередь, объектом исследования и аспектом его изучения. Объектом исследования являются «формальные теории» (термин заимствован мной у В.А. Смирнова, понятие введено А. Тарским), которые понимаются как множества формул (того или иного формального языка), замкнутые относительно некоторого набора правил вывода. Отсюда, помимо аппарата современной символической логики, обращение к теории множеств, топологии, абстрактной алгебре, ориентация на методологию формализма. Формальные теории исследуются с точки зрения наличия между ними отношения включения (по множеству теорем), которое является частным случаем отношения частичного порядка, что обусловливает обращение к теории бинарных

отношений, теории ЧУ множеств, теории решеток. И, наконец, поскольку результаты исследований представляются в виде графов, то необходимо обращение к теории графов.

Центральным методологическим понятием работы стало понятие диаграммы Хассе как особого представления частичного порядка на конечных множествах. Диаграмма Хассе - ациклический ориентированный граф, вершинами которого являются элементы ЧУ множества, а связи соединяют только ближайшие (относительно отображаемого порядка) элементы множества. При этом, направление связей обозначается на графе не стрелками, а считается направленным снизу вверх (если не оговорено иное).

Для того, чтобы показать, что некоторый граф (? является диаграммой Хассе некоторого множества М, частично упорядоченного отношением Е, нужно:

1. Показать, что множество вершин графа С7 есть в точности множество элементов М. Для этого необходимо и достаточно показать, что

a) каждая вершина <7 представляет некоторый элемент М\

b) разные вершины <? представляют разные элементы М\

c) все элементы М представлены вершинами на графе б.

2. Показать, что каждой паре вершин, непосредственно соединенных на графе С связью, соответствует пара элементов М, находящихся в отношении Л.

3. Показать, что каждой паре вершин, между которыми нет пути на графе, соответствует пара элементов М, не находящихся в отношении К.

4. Поскольку диаграмма Хассе является результатом т.н. транзитивной редукции (т.е. изображаются связи только между «ближайшими» элементами ЧУ множества), то необходимо убедиться, что на графе нет связей между вершинами, если между ними есть путь, идущий через другие вершины.

Важным, в методологическом плане, является то, что такие «содержательные» математические объекты как графы, частично упорядоченные множества, структурные описания и некоторые другие имеют

формальные математические модели одного типа: упорядоченная пара <М, 11>, где М - некоторое непустое множество и Лс(МхМ). В разных ситуациях такая пара трактуется то как граф (тогда М - множество вершин, а Я - множество связей), то как упорядоченное множество (тогда К - бинарное отношение на М), то как структурное описание (множества объектов М посредством отношения II). Этот факт активно эксплуатируется в работе, в первую очередь, за счет совмещенного использования терминологии из теории графов, теории бинарных отношений и теории упорядоченных множеств.

Основные положения, выносимые на защиту.

- Построенные в работе структурные систематизации формальных теорий (графы 3.1.1, 3.2.1, 4.1.1, 4.2.1), языков (граф 2.3.1), классов термов (граф 2.2.1) и алфавитов (граф 2.1.1) - адекватны, т.е. являются диаграммами Хассе соответствующих частично упорядоченных (отношением с) множеств объектов.

- Построенные в работе фрагменты матриц операций пересечения и объединения языков, классов термов и алфавитов (таблицы 2.1.3, 2.1.4, 2.2.3, 2.2.4,2.3.4) - корректны, т.е. представленные в них данные верны.

- Теория С4 расширяема до теории эквивалентности (равенства).

- Теории С=, С(2), С(1) адекватны (семантически полны и непротиворечивы) построенным для них семантикам (теорема 3.3.2).

- Теория С- (а значит, и С4) имеет по крайней мере счетное число конечно-аксиоматизируемых гильбертовского типа собственных расширений, для которых существуют экстенсиональные силлогистические семантики стандартного вида.

Теоретическая и практическая значимость исследования. Структурные систематизации (графы) теорий являются удобным наглядным средством представления соотношений между теориями по тем или иным основаниям. Такие представления имеют широкие перспективы применения как в обучении (наглядное компактное представление соотношений изучаемых теорий), так и в научных исследованиях (облегчают понимание уже имеющихся фактов; облегчают выяснение места новых теорий среди описанных ранее; позволяют в ряде случаев результаты, полученные для одних теорий, переносить на другие теории; и выполняют другие функции научных систематизации). В частности, исследование автора имеет значение для такой старейшей области философской логики как силлогистика, устанавливая соотношения (по множеству теорем) примерно 50-и формальных силлогистических теорий.

Методологические и предметные результаты диссертационного исследования нашли практическое применение и дальнейшую разработку при создании в 2003-2005 гг. в Интернете Информационной системы по формальным теориям Theo.ru (грант РГНФ №03-03-12003в).

Апробация описываемых в диссертации идей, результатов и методов состоялась в ходе обсуждений и дискуссий на кафедре логики философского факультета МГУ, на секторе логики Института философии РАН, в ходе научных конференций. Основные идеи, методы и результаты диссертанта докладывались и обсуждались в ходе следующих научных мероприятий:

1) Защита дипломной работы на кафедре логики философского факультета МГУ им. Ломоносова (Москва, 2000).

2) 3-я Международная конференция «Смирновские чтения» (Москва, 2001).

3) Международная конференция «Человек - Культура - Общество. Актуальные проблемы философских, политологических и религиоведческих исследований» (Москва, 2002).

4) VII Общероссийская научная конференция «Современная логика: проблемы

теории, истории и применения в науке» (Санкт-Петербург, 2002).

5) Третий Российский Философский конгресс «Рационализм и культура на пороге третьего тысячелетия» (Ростов-на-Дону, 2002).

6) Ломоносовские чтения 2003 (Москва, 2003).

7) 4-я Международная конференция «Смирновские чтения» (Москва, 2003).

8) Ломоносовские чтения 2004 (Москва, 2004).

9) VIII Общероссийская научная конференция «Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке» (Санкт-Петербург, 2004).

10) IX Общероссийская научная конференция «Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке» (Санкт-Петербург, 2006). Все основные идеи, подходы, методы и результаты диссертанта нашли

отражение в публикациях на русском и английском языках, размещенных как в печатных изданиях, так и в научном электронном журнале «Logical Studies». По теме диссертации автором опубликовано 9 статей и тезисы 7 докладов и сообщений на научных конференциях (см. список публикаций). Из них одна статья в журнале из списка периодических научных изданиях, рекомендованных ВАК России и одна статья в сборнике статей из списка периодических научных изданиях, рекомендованных ВАК Украины.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 4-х глав, заключения, списка литературы, списков сокращений и обозначений и приложения.

Основное содержание диссертации Первая глава «Теоретико-методологические основания» состоит из четырех параграфов и носит вводный характер. В ней вводятся используемые теоретические понятия из различных областей логики и математики: теории бинарных отношений, теории графов, теории формальных теорий, а также ряд

новых понятий, связанных с разрабатываемой автором теорией структурных описаний. Кроме определений, в этой главе приводится ряд утверждений, носящих методологический характер и используемых далее при доказательстве различных теорем в основной части работы.

Вторая глава «Структурное исследование языков формальных силлогистик (алфавиты, классы термов, классы формул)» состоит из четырех параграфов и также носит отчасти вводный характер. В этой главе задаются и исследуются бескванторные немодальные языки формальных силлогистик, причем, не только рассматриваемых в данной работе, но и по тем или иным причинам оставленных за ее пределами. Рассмотрение носит трехступенчатый характер: в трех первых параграфах последовательно рассматриваются 27 алфавитов, 10 классов термов и 28 классов формул силлогистических теорий, описанных в литературе, В каждом из этих параграфов строится граф задаваемых в нем семиотических объектов и доказывается теорема, что построенный граф действительно является диаграммой Хассе соответствующего частично упорядоченного множества. Эти графы можно рассматривать как «структурные классификации» формальных силлогистик по алфавиту, по классу термов и по классу формул, соответственно. Такие структурные систематизации автор считает современной альтернативой традиционным дихотомическим делениям силлогистик на «позитивные» и «негативные», «сингулярные» и «несингулярные (чистые)» и т.п. В главе рассматриваются также вопросы алгебраических операций над алфавитами, классами термов и языками; доказываются теоремы о корректности построенных матриц этих операций. Часть этих результатов используется впоследствии при исследовании соотношения теорий в разных языках.

В рамках данной работы понятие формального языка отождествляется с множеством формул этого языка. Такой ход позволяет нам работать единообразными методами как с «теориями», так и с языками, и многие важные

логические понятая представлять в алгебраическом виде: как результат тех или иных алгебраических (теоретико-множественных и топологических) операций над множествами. Тем не менее, в четвертом параграфе рассматривается другой подход к интерпретации понятия формального языка и формулируется математическая модель сложного системного описания множества языков как объектов, определяемых тройкой: алфавит — класс термов - класс формул.

Третья глава «Чистые позитивные силлогистики в языке ЬБ» состоит из четырех параграфов и является центральным разделом работы. В ней рассматриваются силлогистики, сформулированные в стандартном языке с четырьмя силлогистическими связками и общими простыми термами (в системе обозначений, используемой в диссертации, - язык ЬБ). В первом параграфе рассматривается 13 описанных в литературе теорий, являющихся подтеориями силлогистики Лукасевича С4 (включая и саму С4). В их числе реконструкции так называемых «чистых позитивных» фрагментов таких известных силлогистических учений, как фундаментальная и традиционная силлогистики, силлогистики Аристотеля, Уильяма Оккама, Б. Больцано, Льюиса Кэрролла. Некоторые теории являются результатом разных подходов (и интерпретаций) к формализации одного и того же логического учения. Рассматриваются так называемые формальные силлогистики «аристотелевского типа». Строится граф рассматриваемых теорий и доказывается теорема, что он действительно является диаграммой Хассе соответствующего частично упорядоченного множества формальных теорий. При доказательстве этой теоремы используется тот факт, что данные теории построены в одном языке и задаются исчислениями гильбертовского типа с конечным числом схем аксиом и одинаковым набором правил вывода. Поэтому, анализ соотношения теорий (по множеству теорем) можно свести к анализу сводной таблицы аксиоматик этих исчислений, в которой для каждого исчисления указывается не только факт использования тех или иных формул в качестве аксиом, но и факт

доказуемости или недоказуемости в них различных формул (используемых в качестве аксиом других исчислений таблицы). Основная часть доказательства -лемма о корректности сводной таблицы аксиоматик. В основном, в этой лемме используются семантические рассуждения. Для ряда рассматриваемых в параграфе теорий в литературе описывались семантики экстенсионального типа, но без непосредственного доказательства адекватности. Автором предложено доказательство семантической адекватности для нескольких таких теорий, при этом он существенно опирался на результаты, описанные В.И. Маркиным в книге «Силлогистические теории в современной логике».

Параграфы со второго по четвертый посвящены рассмотрению нескольких собственных расширений (т.е. в том же языке) теории С4. Во втором параграфе приводится обзор таких теорий, введенных в различных работах автора. Особое теоретическое значение, по мнению автора, имеет построение такого расширения С4 (теория С=), которое дефинициально эквивалентно бескванторной теории равенства (эквивалентности). Доказывается соответствующее утверждение. Строится граф рассмотренных расширений С4, формулируется теорема, что он действительно является диаграммой Хассе соответствующего частично упорядоченного множества формальных теорий, и приводится доказательство этой теоремы при условии корректности сводной таблицы аксиоматик. Доказательство корректности таблицы осуществляется в конце третьего параграфа, после построения характеристические семантик для рассматриваемых теорий и доказательства семантической адекватности.

В третьем параграфе строятся характеристические семантики для теорий С=, С(1) (синтаксически полное расширение С4 и С=) и С(2), доказывается теорема о семантической адекватности.

В четвертом параграфе описывается построение счетного класса теорий, находящихся между С= и С(1). Эти теории задаются конечными аксиоматиками гильбертовского типа и имеют экстенсиональные силлогистические семантики стандартного типа (получаются за счет добавления к семантике для С,

дополнительного семантического условия). Первые две теории этого ряда (нумерация идет в порядке ослабления) - рассматривавшиеся в третьем параграфе теории С<1) и С(2>. Цифра в скобках в названии теории указывает на ограничение (сверху) на число элементов в предметной области (в характеристической семантике). Семантическая адекватность в общем виде и попарная неэквивалентность теорий этого ряда не формулируются в виде отдельных теорем.

Четвертая глава «Соотношение силлогистик в других языках» состоит из пяти параграфов и посвящена анализу формальных силлогистик, языки которых включают более широкий набор знаков: дополнительные силлогистические связки, сингулярные термы, знаки операций над термами.

В первом параграфе анализируются так называемые «обобщенные» силлогистики, язык которых содержит силлогистические связки, позволяющие выражать информацию об универсальности (неуниверсальности) терминов. Рассматривается 5 таких теорий, описанных с литературе; выявляются их точные фрагменты в языке ЬБ; строится граф этих теорий и доказывается теорема, что построенный граф действительно является диаграммой Хассе соответствующего частично упорядоченного множества теорий.

Во втором параграфе анализируются негативные несингулярные силлогистики. Рассматривается 7 таких теорий, выявляются их точные позитивные фрагменты, строится граф этих теорий и доказывается теорема о его адекватности.

В третьем параграфе рассматриваются сингулярные силлогистики так называемого «аристотелевского типа» - силлогистики с единичными термами, в которых единичные высказывания трактуются как особый тип (формализуются с помощью других связок), а общие и сингулярные термины синтаксически не могут подставляться в формулы вместо друг друга. Рассматривается 6 таких теорий, при этом особенностью является то, что эти

теории задаются исчислениями с теми или иными дополнительными (не пропозициональными) правилами вывода. Выявляются точные фрагменты ряда этих теорий в некоторых подъязыках; выясняется соотношение этих теорий между собой.

В четвертом параграфе рассматриваются сингулярные силлогистики так называемого «оккамовского типа» - силлогистики, в которых высказывания с единичными термами трактуются как частный вид общих. Рассматривается 6 таких теорий, также сформулированных через исчисления с различными силлогистическими (не пропозициональными) правилами вывода. Выявляются точные фрагменты ряда этих теорий в некоторых подъязыках; выясняется соотношение этих теорий между собой.

В пятом парюрафе приводится обобщенный граф (из 18 теорий) рассмотренных в главе сингулярных и негативных расширений теорий С2, ФС и С4. Теорема об адекватности графа не доказывается, поскольку представленное на графе соотношение нескольких сингулярных (аристотелевского типа) расширений С2 является гипотетическим.

В заключении подводятся итоги работы, ставится ряд новых проблем и вопросов.

Список литературы состоит из трех разделов. В первом приводятся ссылки на работы, не являющиеся непосредственно источниками формирования предмета исследования данной диссертации — множества формальных силлогистик. Этот список содержит 22 библиографических описания. Второй список содержит ссылки на работы, служившие для автора непосредственным источником сведений о формальных силлогистиках и сформировавших то множество языков, теорий и фактов, которое анализировалось в диссертации. Этот список содержит 61 библиографическое описание. Третий список -работы автора по теме диссертационного исследования; содержит 18

библиографических описаний. Список литературы содержит ссылки на печатные и электронные информационные источники, а так же содержит ряд источников на иностранных языках.

Приложение «О некоторых ограничениях формально-математической методологии» содержит критический разбор тех философско-методологических и логико-семиотических сложностей, которые возникли в процессе исследования и связаны с выявлением оснований первичного соотнесения между собой формальных построений, взятых из разных источников. По мнению автора, на этом предварительном этапе работа идет на неформальном, содержательном уровне и является неустранимым элементом и контекстом любых формальных исследований.

Публикации автора по теме диссертации

Публикации в периодических научных изданиях, рекомендованных ВАК

1. Шшн Т.А. О некоторых ограничениях формально-математической методологии // Вестник РГГУ. Серия «Философия». №7/08. М, 2008. 0,6 п л.

Другие публикации

1. Шшн Т.А. Классификация теорий чистой позитивной силлогистики // Электронный журнал Logical Studies. №4 (2000). www.lopic.ru. 0,37 п.л.

2. Shiyan Т.А. A Classification of Syllogistics with Simple Positive Terms // Online Journal Logical Studies. №4 (2000). www.logic.ru. 0,25 п.л.

3. Шшн Т.А. Классификация силлогистических теорий // Смирновские чтения. 3 Международная конференция. М., 2001. 0,07 п.л.

4. Шшн Т.А. Методы классификации формальных теорий и множество силлогистик // Аспекты: Сборник статей по философским проблемам истории и современности. М., 2002. 0,74 пл.

5. Шшн Т.А. О работе по системному математическому описанию предмета

современной символической логики II Человек - Культура — Общество. Актуальные проблемы философских, политологических и религиоведческих исследований. Т. 2. М., 2002. 0,09 п.л.

6. Шиян Т.А. Структурные классификации формальных теорий // Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке: Материалы VII Общероссийской научной конференции. 20-22 июня 2002. СПб., 2002. 0,16 п.л.

7. Шиян Т.А. Принципы построения математического структурно-системного описания предмета современной символической логики // Рационализм и культура на пороге третьего тысячелетия: Материалы Третьего Российского Философского конгресса (16-20 сентября 2002 г.) В 3 т. Т. 1: Философия и методология науки, эпистемология, философская онтология, логика, философия природы, философия сознания, философия техники, философия образования. Ростов н/Д., 2002. 0,1 п.л.

8. Шиян Т.А. Множество формальных силлогистик с простыми «общими» термами (структурное описание и количественный анализ) // Электронный журнал Logical Studies. №8 (2002). www.logic.ru. 1 п.л.

9. Шиян Т.А. Принципы построения структурных описаний множеств формальных теорий // Смирновские чтения. 4 Международная конференция. М., 2003.0,1 п.л.

10.Шиян Т.А. Формально-историческое исследование нескольких групп формальных силлогистик // Электронный журнал Logical Studies. №10 (2003). www.logic.ru. 0,7 п.л.

М.Шиян Т.А. Формально-историческое исследование нескольких групп формальных силлогистик // Логика и В.Е.К. К 90-летию профессора Войшвилло Евгения Казимировича. М., 2003. 0,7 п.л.

И.Шиян Т.А. Систематизация и количественный анализ множества формальных силлогистик с простыми «общими» термами // Эпистемы - 3: Язык. Дискурс. Текст. Екатеринбург, 2004. 1,4 п.л.

ХЪ.Шшн Т.А. Соотношение формальных силлогистик в языке с предикаторами а, е, i // Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке: Материалы VIII Общероссийской научной конференции. 24-26 июня 2004. СПб., 2004. 0,15 п.л.

14.Шиян Т.А. Теория С2.1 В.А. Смирнова в универсуме формальных силлогистик // Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке: Материалы IX Общероссийской научной конференции. 22-24 июня 2006. СПб., 2006. 0,15 п.л.

15 .Шиян Т. А. О некоторых проблемах интерпретации логико-математической символики // До£а / Докса. Збфник наукових праць з фшософй' та фшологй'. Вип. 10. Стратеги штерпретацп тексту: метода i мезю ix застосування. Одеса, 2006. 0,54 пл.

16.Шиян Т.А. О фактических ограничениях формальной методологии // Философия математики: актуальные проблемы. Материалы Международной научной конференции 15-16 июня 2007. М., 2007.0,15 п.л.

17. Шиян Т.А. Моделирование логических знаний и знаниевого вывода средствами СУБД // Логические исследования. Вып. 14. М.: Наука, 2007. 0,6 п.л.

А также:

• Информационная система по формальным теориям Theo.ru. Internet: http://www.theo.ru. 2003-2005. При участии О.М. Григорьева, Е.В. Комендантского, A.B. Шумакова.

Отпечатано в копицентре « СТ ПРИНТ » Москва, Ленинские горы, МГУ, 1 Гуманитарный корпус. www stprint.ru e-mail: globus9393338@vandex ru тел.: 939-33-38 Тираж 100 экз. Подписано в печать 17.11.2008 г.

Оглавление научной работы автор диссертации — кандидата философских наук Шиян, Тарас Александрович

Список сокращений и некоторых обозначений.

Введение.

I. Теоретико-методологические основания

§ 1. Реляционные систематизации.i

§2. Построение структурных описаний.

§3. Основные понятия теории формальных теорий.

§4. Сравнение формальных теорий.

II. Структурное исследование языков формальных силлогистик (алфавиты, классы термов, классы формул)

§ 1. Алфавиты.

§2. Термы.

§3. Формальные языки (классы формул).

Введение диссертации2008 год, автореферат по философии, Шиян, Тарас Александрович

Актуальность темы. За последний век построено огромное количество различных формальных теорий, показано существование счетных и континуальных классов формальных теорий. Например, описан счетный класс конечно-значных логик Лукасевича, счетный класс собственных расширений силлогистики Лукасевича-Смирнова [Шиян 2002е, 2004а], континуальный класс суперинтуиционистских логик [Янков 1968]. Число индивидуально описанных теорий давно измеряется сотнями. Так, за последние 25-30 лет в русскоязычной литературе описано более 100 формальных силлогистик (и теорий в силлогистических языках). В связи с этим, обзор, систематизация, сравнительный анализ построенных теорий является насущной задачей для более эффективной ориентации в материале и интенсификации дальнейших исследований. Одним из необходимых шагов является «картографирование» пространства уже описанных в литературе теорий. Использование языка графов дает возможность наглядного представления результатов подобных компаративных исследований.

Степень разработанности проблемы. У нас в стране и за рубежом идут активные исследования соотношения формальных теорий, изучаются различные классы теорий, строятся структурные систематизации отдельных групп формальных теорий. К сожалению, исследования эти во многом разорваны, сравнение теорий не перерастает обычно в построение структурных систематизаций. В рамках построения структурных систематизаций ограничиваются обычно сравнением чистых пропозициональных логик с неполными наборами связок. Автору известен ряд исследований, в которых соотношение теорий представляется в виде графов теорий, но эти исследования касаются только импликативных и модальных пропозициональных логик.

Если в сравнительном анализе силлогистик автор существенным образом опирался на работы В.И. Маркина ([Маркин 1991] и др. из списка литературы в конце работы), то идеей графического представления соотношений теорий автор обязан работам A.C. Карпенко [Карпенко 1993; 1995; 1997a-b; 1999а-Ь; 2001]. Причем, именно под влиянием Карпенко сформировалась установка автора, что получение (и обоснование) графа теорий может быть целью и основным результатом подобного рода сравнительных исследований. В' области изучения модальных логик можно, например, указать статью Томаса Шнайдера [Schneider, 2005], в которой строился граф (соотношения по дедуктивной силе) 25 нормальных модальных систем.

В области изучения предикатных логик вообще и силлогистических теорий, в частности, мне подобные работы не известны. Исключением составляют две работы В.А. Смирнова [Смирнов 1983b, 4; 2002, 155], в которых он представляет соотношение четырех формулируемых им теорий (Cl, С2, СЗ, С4) в виде графа.

В литературе описаний специальных методик, направленных на доказательство адекватности графа теорий, автору также не известно. Методика, используемая Карпенко в [Карпенко 1993; 1995; 1997а-Ь; 1999а-Ь; 2001], обеспечивает адекватность графа, но нацелена на достижение несколько других задач, чем простое построение графа теорий. Часто же ограничиваются доказательством наличия между теориями отношения нестрогого включения по множеству теорем, а строгость порядка (попарное неравенство систематизируемых теорий) и полнота представления на графе отношения «включение по множеству теорем» принимаются как очевидные.

Научная новизна исследования. Работа имеет научную новизну в двух аспектах: методологическом и предметном.

Методологический аспект. Во-первых, в работе вводится понятие структурной систематизации, как особой интеллектуальной процедуры, систематизирующей объекты через задание на них некоторой структуры решетки, дерева и т.п.), и проводится различение между структурной систематизацией (в общем случае) и классификацией (как процедурой разбиения множества систематизируемых объектов на классы и построения иерархии таких разбиений). Такое различение является важным, поскольку в литературе часто построение структур теорий называют классификацией, хотя никаких разбиений на классы при этом не производится. Вводится представление о частном случае структурных систематизаций, при котором систематизирующего эффекта добиваются путем задания на множестве (систематизируемых) объектов некоторого отношения частичного порядка. Адекватным описанием (представлением) такой систематизации будет граф особого вида, называемый обычно диаграммой Хассе.

В-третьих, сформулированные методы построения структурных систематизаций конкретизируются применительно к формальным теориям. В частности, выделяется особая методика (на основе сводных таблиц аксиоматик) построения адекватных структурных систематизаций (по множеству теорем) исчислений и формальных теорий, не применимая для систематизации объектов произвольной природы.

В диссертации уделяется специальное внимание - насколько известно автору, впервые — рассмотрению соотношения языков (классов формул), классов термов и алфавитов формальных теорий. Строятся структурные систематизации 27 алфавитов, 10 классов термов и 28 классов формул (языков); демонстрируется адекватность построенных графов. Хотя это исследование в диссертации носит вспомогательный характер, по мере роста количества сравниваемых теорий (в разных языках) роль и необходимость таких сравнений будет возрастать. Кроме того, на основании этих систематизаций, в работе применяется новый метод классификации, при котором классификация объектов одной группы осуществляется за счет построения структурной систематизации объектов другой группы, сопоставленных объектам первой группы. В частности, построенные структурные систематизации языков (классов формул), классов термов и алфавитов формальных силлогистик могут использоваться для классификации силлогистических формальных теорий (или исчислений) по признаку эквивалентности по языку, по классу термов или по алфавиту, соответственно. Такие разветвленные теоретические классификации являются альтернативой традиционным дихотомическим делениям силлогистик (по классу термов) на позитивные и негативные, сингулярные и чистые (несингулярные) и т.п. или выделению отдельных типов силлогистик (расширенные, обобщенные, васильевского типа, сингулярные аристотелевского типа и т.п.).

Цель и задачи исследования. Целями работы были: формулирование логико-методологического аппарата, необходимого для построения структурных систематизаций теорий и доказательства их адекватности, и исследование группы бескванторных предикатных теорий (формальных силлогистик и сродных с ними систем) с точки зрения их соотношения по множеству теорем. В качестве задачи бралось исследование сформулированными методами, построение и обоснование адекватности структурных описаний нескольких групп формальных силлогистик; при этом, область исследования ограничивалась теориями, удовлетворяющими совокупности следующих условий: (1) построение на базе классической логики высказываний (КЛВ) в языке без кванторов и модальных операторов, (2) формулировка в виде аксиоматического исчисления, (3) наличие описания в русскоязычной литературе (по преимуществу, в достаточно узком круге периодических изданий).

Методологические основания. Работа и по предмету исследования, и по применяемым методам относится к области так называемой символической логики. Круг привлекаемых в работе математических дисциплин задается, в первую очередь, объектом исследования и аспектом его изучения. Объектом исследования являются «формальные теории" (термин заимствован мной у В.А. Смирнова, в частности, применялся в [Смирнов 2002]; понятие введено А. Тарским, в частности, использовалось в [Тагек! 1956]), которые понимаются как множества формул (того или иного формального языка), замкнутые относительно некоторого набора правил вывода. Отсюда, помимо аппарата современной символической логики, обращение к теории множеств, топологии, абстрактной алгебре, ориентация на методологию формализма. Формальные теории исследуются с точки зрения наличия отношения включения (по множеству теорем), которое является частным случаем отношения частичного порядка, что обуславливает обращение к теории бинарных отношений, теории частично упорядоченных множеств, теории решеток. И, наконец, поскольку результаты исследований представляются в виде графов, то необходимо обращение к теории графов.

Центральным методологическим понятием работы стало понятие диаграммы Хассе как особого представления частичного порядка на конечных множествах. Диаграмма Хассе - ациклический антитранзитивный ориентированный граф, вершинами которого являются элементы ЧУ множества, а связи соединяют только ближайшие (относительно представляемого порядка) элементы множества. При этом, направление связей обозначается на графе не стрелками, а считается направленным снизу вверх (если не оговорено иное).

Для того, чтобы показать, что некоторый граф С является диаграммой Хассе некоторого множества М, частично упорядоченного отношением нужно:

1. Показать, что множество вершин графа С есть в точности множество элементов М. Для этого необходимо и достаточно показать, что a) каждая вершина (7 представляет некоторый элемент М; b) разные вершины (7 представляют разные элементы М; c) все элементы М представлены вершинами на графе С.

3. Показать, что каждой паре вершин, между которыми нет пути на графе, соответствует пара элементов М, не находящихся в отношении Я.

Важным, в методологическом плане, является то, что такие «содержательные» математические объекты как графы, частично упорядоченные множества и некоторые др. имеют формальные математические модели одного типа: упорядоченная пара <М, R>, где М -некоторое множество и Rci(MxM). В разных ситуациях такая пара трактуется то как граф (тогда М - множество вершин, а R - множество связей), то как упорядоченное множество (тогда R - бинарное отношение на М). Этот факт активно эксплуатируется в работе, в первую очередь, за счет совмещенного использования терминологии из теории графов, теории бинарных отношений и теории упорядоченных множеств.

Все рассуждения проводились в рамках классической логики. Для формальных выводов использовался вариант системы натурального вывода, описанный в книге [Бочаров, Маркин 1994], но допускаем также и использование напрямую тех или иных законов классической логики.

Все рассматриваемые силлогистики строятся на базе классической логики высказываний (далее - KJIB). Ее можно задать пропозициональной - частью упоминаемого исчисления натурального вывода из [Бочаров, Маркин 1994] или исчислением со схемами аксиом и единственным правилом вывода modus ponens, например, описанное в [Мендельсон, 49] и расширенное двумя аксиомами для эквивалентности (Мендельсон вводит эквивалентность с помощью определения). В основной части работы этот вопрос больше не оговаривается.

Последовательному введению необходимых понятий и описанию применяемых методик посвящена первая глава.

Основные положения, выносимые на защиту. - Построенные в работе структурные систематизации формальных теорий графы 3.1.1, 3.2.1, 4.1.1, 4.2.1), языков (граф 2.3.1), классов термов (граф 2.2.1) и алфавитов (граф 2.1.1) - адекватны, т.е. являются диаграммами Хассе соответствующих частично упорядоченных (отношением с:) множеств объектов.

- Построенные в работе фрагменты матриц операций пересечения и объединения языков, классов термов и алфавитов (таблицы 2.1.3, 2.1.4, 2.2.3, 2.2.4, 2.3.4) - корректны, т.е. представленные в них данные верны.

- Теория С4 расширяема до теории эквивалентности (равенства).

- Теория С= (а значит, и С4) имеет по крайней мере счетное число конечно-аксиоматизируемых гильбертовского типа собственных расширений, для которых существуют экстенсиональные силлогистические семантики стандартного вида.

Практическая значимость исследования. Структурные систематизации в форме графов являются удобным наглядным средством представления соотношений между теориями по тем или иным основаниям. Такие представления имеют широкие перспективы применения как в обучении (наглядное компактное представление соотношений изучаемых теорий), так и в научных исследованиях (облегчают понимание уже имеющихся фактов; облегчают выяснение места новых теорий среди описанных ранее; позволяют в ряде случаев результаты, полученные для одних теорий, переносить на другие теории; и выполняют другие функции научных систематизаций). В частности, исследование автора имеет значение для такой старейшей области философской логики как силлогистика, устанавливая соотношения (по множеству теорем) примерно 50-и формальных силлогистических теорий.

1) Защита дипломной работы на кафедре логики философского факультета МГУ им. Ломоносова (Москва, 2000).

2) 3-я Международная конференция «Смирновские чтения» (Москва, 2001).

4) VII Общероссийская научная конференция «Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке» (Санкт-Петербург, 2002).

6) Ломоносовские чтения 2003 (Москва, 2003).

7) 4-я Международная конференция «Смирновские чтения» (Москва,

2003).

8) Ломоносовские чтения 2004 (Москва, 2004).

9) VIII Общероссийская научная конференция «Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке» (Санкт-Петербург,

2004).

10) IX Общероссийская научная конференция «Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке» (Санкт-Петербург, 2006).

Все основные идеи, подходы, методы и результаты диссертанта нашли отражение в публикациях на русском и английском языках, размещенных как в печатных изданиях, так и в научном электронном журнале «Logical Studies». По теме диссертации автором опубликовано 9 статей и 7 тезисов конференций (см. список публикаций). Из них одна статья в журнале из списка ВАК России и одна статья в периодическом сборнике статей из списка ВАК Украины.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 4-х глав, заключения, списка литературы, списка сокращений и обозначений и приложения.

Заключение научной работыдиссертация на тему "Структурные описания множеств формальных теорий"

Заключение

В качестве предмета исследования брались формальные силлогистики (и близкие им теории), построенные на базе классической логики в языках без кванторов и модальных операторов. При этом, ставилась цель максимально полно учесть теории, описанные в русско-язычной литературе. В диссертации были проанализированы соотношения около 50 -и таких теорий. Для анализа теории были объединены в несколько групп: силлогистики в классическом языке (ЬБ и две теории в его подъязыках), обобщенные силлогистики, негативные несингулярные силлогистики, силлогистики сингулярные аристотелевского типа и силлогистики сингулярные оккамовского типа. Для основных групп теорий были простроены графы, представляющие соотношение этих теорий по множеству теорем. Исследовались также вопросы о выделении точных фрагментов теорий в тех или иных подъязыках и об алгебраических операциях над теориями. Для нескольких теорий построены адекватные семантики, а для некоторых силлогистик предложены доказательства адекватности уже известных семантик (в ряде случаев, когда в литературе не удалось найти доказательств семантической адекватности, а обращение к семантике было необходимо в процессе доказательства метатеорем). Для ряда силлогистик исследовался вопрос о дефинициальной выразимости одних теорий в других.

Среди наиболее важных дополнительных результатов, полученных в диссертации, на наш взгляд, являются: (1) показ расширяемости теории С4 (а значит и ее подтеорий) до теории эквивалентности (при традиционной семантике — равенства), (2) построение семантик для ряда собственных расширений С4 и (3) построение счетного класса конечно аксиоматизируемых расширений С4.

Но далеко не все собранные мной или построенные (для решения различных задач) силлогистики вошли в данную работу. В первую очередь, по причине ограничения на объем диссертации. Как было указано в заключении к последней главе, остался не исследованным ряд сингулярных и «расширенных» силлогистик и теорий близких бескванторной Онтологии Лесьневского. Осталась не рассмотренной отдельная группа силлогистик, так называемого васильевского типа [Смирнов 1994; 2001b; 2002; 1987; Костюк 1999]. В частности, остались не включены в диссертацию результаты автора, изложенные в [Шиян 2004b]. Практически не рассматривались теории в подъязыках LS (кроме упоминавшихся С2.1 и Саг) и их расширения (например, [Shepherdson 1956; Смирнов 2001b; 2002; и др.]).

Можно и несколько расширить область исследований, например, существуют бескванторные немодальные силлогистики, построенные на базе неклассических логик, например, предложенные в [Колесников 1983] формализации силлогистики Льюиса Кэрролла.

Особый теоретический интерес представляет выделение точных фрагментов в языках с только одной силлогистической связкой. Это позволило бы сравнивать силлогистические связки между собой по формальным свойствам, а также - со стандартными математическими отношениями с, с, =, » и др.

Все эти вопросы нуждаются в дальнейшем исследовании и могут составить поле для дальнейшей работы.

Список научной литературыШиян, Тарас Александрович, диссертация по теме "Логика"

1. Общая литература

2. Бочаров, Маркин 1994. Бочаров В.А., Маркин В.И. Основы логики. Учебник. М.: Космополис, 1994.

3. Бронштейн, Семендяев 1986. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов. М.: Наука, 1986.

4. Васюков 1995. Васюков B.JT. Развивая Тарского: котопос теорий // Логические исследования. Вып. 3. М.: Наука, 1995.

5. Драгалин 1979. Драгалин А.Г. Математический интуиционизм. Введение в теорию доказательств. М.: Наука, 1979.

6. Карпенко 1993. Карпенко A.C. Импликативные логики: решетки и конструкции // Логические исследования. Вып. 2. М.: Наука, 1993.

7. Карпенко 1995. Карпенко A.C. Классификация пропозициональных логик // XI Международная конференция «Логика, методология и философия науки». М.-Обнинск, 1995.

8. Карпенко 1997а. Карпенко A.C. Максимальная решетка импликативных логик // Международная конференция "Смирновские чтения". М., 1997.

9. Карпенко 1997b. Карпенко A.C. Классификация пропозициональных

10. Карпенко 1999а. Карпенко A.C. Булевы каскады импликативных логик // Смирновские чтения. 2 Международная конференция. М., 1999.

11. Карпенко 1999b. Карпенко A.C. Импликации следования, строгая, релевантная, интуиционистская и классическая и их взаимоотношения // Логические исследования. Вып. 6. М.: Наука, 1999.

12. Карпенко 2001. Карпенко A.C. Подструктурные логики: гильбертовские исчисления // Смирновские чтения. 3 Международная конференция. М., 2001.

13. Касьянов, Евстигнеев 2003. Касьянов В.Н., Евстигнеев В.А. Графы в программировании: обработка, визуализация и применение. СПб.: БХВ-Петербург, 2003.

14. Лисовский, Марков 2004. Лисовский К.Ю., Марков A.C. Базы данных. Введение в теорию и методологию. М., 2004.

15. Мендельсон. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М., 1971. И другие переиздания.

16. Расева, Сикорский 1972. Расева Е., Сикорский Р. Математика метаматематики. М., 1972.

17. Смирнов 2001с. Смирнов В.А. Логический анализ научных теорий и отношений между ними // Смирнов В.А. Логико-философские труды. М.: «Эдиториал УРСС», 2001.

18. Смирнов 2002. Смирнов В.А. Логические методы анализа научного знания. М.: «Эдиториал УРСС», 2002.

19. Субботин 2001. Субботин A.JI. Классификация. М., 2001.

20. Френкель, Бар-Хиллел 1966. Френкель A.A., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М., 1966.

21. Янков 1968. Янков В.А. Построение последовательности сильнонезависимых суперинтуиционистских пропозициональных исчислений // Доклады Академии Наук СССР, Т. 181, №1, 1968. С. 3334.

22. Tarski 1956. Tarski A. Foundations of the calculus of system 11 Logic, semantics, metamathematics. Oxford, 1956.

23. Schneider 2005. Schneider T. A Hierarchy of Modal Logics. Режим доступа в Интернете: http://www.minet.uni-jena.de/~thschnei/publ/HierarchyMLex.pdf. 2005.

24. Использованные источники по формальным силлогистикам

25. Аккерман, Гильберт 1947. Аккерман В., Гильберт Д. Основы теоретической логики. М.: «Иностранная литература», 1947.

26. Бочаров 1980. Бочаров В.А. Алгебраические реконструкции силлогистики // Логико-методологические исследования. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1980.

27. Бочаров 1983. Бочаров В.А. Булева алгебра в терминах силлогистики // Логические исследования. М., 1983.

28. Бочаров 1984. Бочаров В.А. Аристотель и традиционная силлогистика. М., 1984.

29. Бочаров 1986. Бочаров В.А. Эктезис в силлогистике С2 // Философские проблемы истории логики и методологии науки (Материалы к Всесоюзной конференции «Методологические и мировоззренческие проблемы истории философии», секция X). Часть I. М., 1986.

30. Бочаров 1987. Бочаров В.А. Силлогистики с сингулярными терминами // Современная логика и методология науки. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1987.

31. Ганиянц, Маркин 1997. Ганиянц И.И., Маркин В.И. Силлогистики с константой исчерпываемости // Международная конференция "Развитие логики в России: итоги и перспективы". Тезисы докладов и сообщений. М., 1997.

32. Ильин 2000. Ильин A.A. Негативная фундаментальная силлогистика // Труды научно-исследовательского семинара Логического центра Института философии РАН 2000. М., 2000.

33. Ильин 2001. Ильин A.A. Негативная фундаментальная силлогистика // Смирновские чтения. 3 Международная конференция. М., 2001.

34. Ильин 2002. Ильин A.A. Негативная силлогистика Л.Кэрролла // Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке: Материалы VII Общероссийской научной конференции. 20-22 июня 2002. СПб., 2002.

35. Ильин 2003а. Ильин A.A. Негативная силлогистика аристотелевского типа // Смирновские чтения. 4 Международная конференция. М., 2003.

36. Ильин 2003b. Ильин A.A. Негативная силлогистика аристотелевского типа // Электронный журнал Logical Studies. №10 (2003). www.logic.ru.

37. Ильин 2003с. Ильин A.A. Негативная силлогистика аристотелевского типа // Логика и B.E.K. К 90-летию профессора Войшвилло Евгения Казимировича. М.: Изд-во «Современные тетради», 2003.

38. Ильин 2003d. Ильин A.A. Силлогистика Б. Больцано // Аспекты: Сборник статей по философским проблемам истории и современности. Выпуск II. М.: Изд-во «Современные тетради», 2003.

39. Ильин 2004. Ильин A.A. Аксиоматизация традиционной силлогистики // Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке: Материалы VIII Общероссийской научной конференции. 24-26 июня 2004. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2004.

40. Ильин 2006. Ильин A.A. Система негативной силлогистики // Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке: Материалы IX Общероссийской научной конференции. 22-24 июня 2006. СПб., 2006.

41. Ишимото 1993. Ишимото А. Логическая грамматика: логико-онтологический обзор // Логические исследования. Вып. 2. М.: Наука, 1993.

42. Ишимото, Сагал 1993. Ишимото А., Сагал П.Т. Интерпретация Онтологии Лесневского: пропозициональный фрагмент Онтологии Лесневского и родственные системы // Логические исследования. Вып.2. М.: Наука, 1993.

43. Клини 1973. Клини С.К. Математическая логика. М., 1973.

44. Колесников 1983. Колесников Н.Г. Формализация силлогистики Льюиса Кэррола // Логические исследования (Труды научно-исследовательского семинара по логике Института философии АН СССР). Москва: ИФ АН СССР, 1983.

45. Костюк 1999. Костюк Т.П. Позитивные силлогистики Васильевского типа// Логические исследования. Вып. 6. М.: Наука, 1999.

46. Костюк, Маркин 1997. Костюк Т.П., Маркин В.И. Проблема реконструкции ассерторической силлогистики H.A. Васильева // Международная конференция: «Смирновские чтения». М., 1997.

47. Кускова 2001. Кускова С.М. Расширение обобщенной фундаментальной силлогистики // Смирновские чтения. 3 Международная конференция. М., 2001.

48. Маркин 1983. Маркин В.И. Семантическое доказательство погружаемости некоторых систем силлогистики в исчисление предикатов // Логические исследования. М., 1983.

49. Маркин 1991. Маркин В.И. Силлогистические теории в современной логике. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1991.

50. Маркин 1993. Маркин В.И. Силлогистические теории и исчисление предикатов//Логические исследования. Вып. 1. М.: Наука, 1993.

51. Маркин 1994. Маркин В.И. Современная реконструкция сингулярной негативной силлогистики Аристотеля // Научная конференция «Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке». СПб., 1994.

52. Маркин 1995. Маркин В.И. Современная реконструкция сингулярной негативной силлогистики Аристотеля // XI Международная конференция «Логика, методология и философия науки». М.-Обнинск, 1995.

53. Маркин 1997а. Маркин В.И. Формализация традиционной сингулярной негативной силлогистики // Международная конференция: «Смирновские чтения». М., 1997.

54. Маркин 1997Ь. Маркин В.И. Сингулярная негативная силлогистика Аристотеля и свободная логика // Логические исследования. Вып. 4. М.: Наука, 1997.

55. Маркин 1998а. Маркин В.И. Системы силлогистики, адекватные двум переводам силлогистических формул в исчисление предикатов В.А. Смирнова // Труды научно-исследовательского семинара Логического центра Института философии РАН 1997. М., 1998.

56. Маркин 1998Ь. Маркин В.И. Формальная реконструкция традиционной сингулярной негативной силлогистики // Логические исследования. Вып. 5. М.: Наука, 1998.

57. Маркин 1999. Маркин В.И. Обобщенная позитивная силлогистика // Логические исследования. Вып. 6. М.: Наука, 1999.

58. Маркин 2001а. Маркин В.И. Традиционная силлогистика как теория отношений между понятиями по содержанию // Смирновские чтения. 3 Международная конференция. М., 2001.

59. Маркин 2001Ь. Маркин В.И. Интенсиональная семантика традиционной силлогистики // Логические исследования. Вып. 8. М.: Наука, 2001.

60. Мчедлишвили 1986. Мчедлишвши Л.И. Позитивная ассерторическая силлогистика и логика одноместных предикатов // Логика и системные' методы анализа научного знания. М., 1986.

61. Мчедлишвили 1999а. Мчедлишвши'Л. Применение лейбницева метода арифметизации к нетрадиционным системам силлогистики // Смирновские чтения. 2 Международная конференция. М., 1999.

62. Мчедлишвили 1999Ь. Мчедлишвши Л.И. К семантике аподиктической силлогистики Аристотеля // Логические исследования. Вып. 6. М.: Наука, 1999.

63. Мчедлишвили 2000а. Мчедлишвши Л.И. К семантике аподиктической силлогистики Аристотеля // Логические исследования. Вып. 7. М.: Наука, 2000.

64. Мчедлишвили 2001. Мчедлишвши Л.И. Исчисление отбрасываемых формул для нетрадиционных систем позитивной силлогистики // Логические исследования. Вып. 8. М.: Наука, 2001.

65. Мчедлишвили 2002. Мчедлишвши Л.И Арифметическая семантика для нетрадиционных систем силлогистики // Логические исследования. Вып. 9. М.: Наука, 2002.

66. Попов 1986. Попов В.М. Силлогистика и квазибулева алгебра // Логикаи системные методы анализа научного знания. Тезисы IX Всесоюзного совещания по логике, методологии и философии науки. М., 1986.

67. Попов 1994. Попов В.М. Диадические семантики для силлогистических систем // Научная конференция «Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке». СПб., 1994.

68. Попов 1997. Попов В.М. Расширение системы С2 В.А. Смирнова и п-полурешетка с нулем // Международная конференция "Развитие логики в России: итоги и перспективы". Тезисы докладов и сообщений. М., 1997.

69. Попов, Хорохорин 1995. Попов В.М., Хорохорин И.И. Диадические семантики в силлогистике // XI Международная конференция «Логика, методология и философия науки». М.-Обнинск, 1995.

70. Попов, Хорохорин 1997. Попов В.М., Хорохорин И.И. Диадические семантики для систем С1 и СЗ формальной силлогистики // Логические исследования. Вып. 4. М.: Наука, 1997.

71. Попов, Хорохорин 1998. Попов В.М., Хорохорин И.И. Диадические семантики для систем формальной силлогистики // Логические исследования. Вып. 5. М.: Наука, 1998.

72. Серебрянников 1970. Серебрянников О.Ф. Эвристические принципы и логические исследования. М., 1970.

73. Смирнов 1983а. Смирнов В.А. Дефинициальная эквивалентность расширенной силлогистики С2Д булевой алгебре // Логические исследования. М., 1983.

74. Смирнов 1983b. Смирнов В.А. Погружение систем позитивной силлогистики в одноместное исчисление предикатов // Логические исследования. М., 1983.

75. Смирнов 1987. Смирнов В.А. Аксиоматизация логических систем H.A. Васильева // Современная логика и методология науки. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1987.

76. Смирнов 1994. Смирнов В.А. Дефинициальная эквивалентность системсиллогистики // Труды научно-исследовательского семинара логического центра Института философии РАН 1993. М., 1994.

77. Смирнов 2001а. Смирнов В.А. Топологическая интерпретация модальной силлогистики // Смирнов В.А. Логико-философские труды. М.: «Эдиториал УРСС», 2001.

78. Смирнов 2001b. Смирнов В А. Логические идеи Н.А. Васильева и современная логика // Смирнов В.А. Логико-философские труды. М.: «Эдиториал УРСС», 2001.

79. Смирнов 2002. Смирнов В.А. Логические методы анализа научного знания. М.: «Эдиториал УРСС», 2002.

80. Shepherdson 1956. Shepherdson J.С. On the Interpretation of Aristotelian Syllogistic // The Journal of Symbolic Logic. Volume 21, Number 2, June 1956.

81. Исследования автора по теме диссертации

82. Шиян 2000а. Шиян Т.А. Классификация теорий чистой позитивной силлогистики // Электронный журнал Logical Studies. №4 (2000). www.logic.ru.

83. Шиян 2000b. Shiyan Т.А. A Classification of Syllogistics with Simple Positive Terms // Online Journal Logical Studies. №4 (2000). www.logic.ru.

84. Шиян 2001. Шиян Т.А. Классификация силлогистических теорий // Смирновские чтения. 3 Международная конференция. М., 2001.

85. Шиян 2002а. Шиян ТА. Методы классификации формальных теорий и множество силлогистик // Аспекты: Сборник статей по философским проблемам истории и современности. М.: Изд-во «Современные тетради», 2002.

86. Шиян 2002b. Шиян Т.А. О работе по системному математическому описанию предмета современной символической логики // Человек -Культура Общество. Актуальные проблемы философских, политологических и религиоведческих исследований. Т. 2. М.: Изд-во

87. Современные тетради», 2002.

88. Шиян 2002с. Шиян ТА. Структурные классификации формальных теорий // Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке: Материалы VII Общероссийской научной конференции. 20-22 июня 2002. СПб., 2002.

89. Шиян 2002е. Шиян Т.А. Множество формальных силлогистик с простыми «общими» термами (структурное описание и количественный анализ) // Электронный журнал Logical Studies. №8 (2002). www.logic.ru.

90. Шиян 2003а. Шиян Т.А. Принципы построения структурных описаний множеств формальных теорий // Смирновские чтения. 4 Международная конференция. М., 2003.

91. Шиян 2003b. Шиян Т.А. Формально-историческое исследование нескольких групп формальных силлогистик // Электронный журнал Logical Studies. №10 (2003). www.logic.ru.

92. Шиян 2003с. Шиян Т.А. Формально-историческое исследование нескольких групп формальных силлогистик // Логика и В.Е.К. К 90-летию профессора Войшвилло Евгения Казимировича. М.: Изд-во «Современные тетради», 2003.

93. Шиян 2004а. Шиян Т.А. Систематизация и количественный анализ множества формальных силлогистик с простыми «общими» термами // Эпистемы 3: Язык. Дискурс. Текст. Екатеринбург, 2004.

94. Шиян 2004b. Шиян Т.А. Соотношение формальных силлогистик вязыке с предикаторами а, е, i // Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке: Материалы VIII Общероссийской научной конференции. 24-26 июня 2004. СПб., 2004.

95. Шиян 2006а. Шиян Т.А. Теория С2.1 В.А. Смирнова в универсуме формальных силлогистик // Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке: Материалы IX Общероссийской научной конференции. 22-24 июня 2006. СПб., 2006. С. 402-405.

96. Шиян 2006b. Шиян ТА. О некоторых проблемах интерпретации логико-математической символики // Aó^a / Докса. Зб1рник наукових праць з фшософй' та фшологп. Вип. 10. Стратегп' штерпретаци тексту: методи i mokí ix застосування. Одеса, 2006.

97. Шиян 2007а. Шиян Т.А. О фактических ограничениях формальной методологии // Философия математики: актуальные проблемы. Материалы Международной научной конференции 15-16 июня 2007. М.: Изд. Савин С.А., 2007.

98. Шиян 2007b. Шиян ТА. Моделирование логических знаний и знаниевого вывода средствами СУБД // Логические исследования. Вып. 14. М.: Наука, 2007.

99. Шиян 2008. Шиян Т.А. О некоторых ограничениях формально-математической методологии // Вестник РГГУ. Серия «Философия». №7/08. М, 2008.