автореферат диссертации по философии, специальность ВАК РФ 09.00.01
диссертация на тему: Философские проблемы математического моделирования

Полный текст автореферата диссертации по теме "Философские проблемы математического моделирования"

Y \ r>

1 5 MAR 1933

ИНСТИТУТ ФИЛОСОФИИ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

На правах рукопяош

ЯРШ Виталий Алексеевич

♦ИЛОСОФСШ ПРОБЛЕМА НАТЕШИ ЧЕСКОГО ИОДЕМРОВА1ШЛ

Специальность 09.00.01 -дяалвганчоокнй и нсторичвскяй материализм

АВТОРЕФЕРАТ диосвртация па ооявканиа зчвной orsпеня кандидата философских hsjk

Москва - I99Z

Работа выполнена е секторе общей методологии науки Института философии Российской академии наук. Научный руководитель - д-р филос.наук, проф. рузаван Г.И. Официальные оппоненты - д-р филос.наук, проф. Петроа Ю.А.

канд.филос.наук, доц. Черная ЕЛ1. Ведущая организация - кафедра философии Московского госуда:

ственного открытого педагогического института

Защита состоится 199 % г. в. ча-

на заседании специализированного Совета Д.002.29«03 ио завд та диссертаций на соискание ученой степени кандадааа наук ; Института философии Российской академии • наук. Адрес: Москва, ул.Волхонка, 14.

С диссертацией можно ознакомиться в научной биЛшоте» Института философии РАН.

Автореферат разослан а -5 " (уСС^р^Л 1999г.

Ученый секретарь спедаалйзировашого совета

канд.филос.наук Ш1' у Д.ШСиящвнвг

^^ Д.П.В

0Б1чАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Характерной особенностью современного научного познания является его математизация. Тенденция наук XX века - это переход от чисто качественных, описательных методов исследования к точный количественным математическим методам. Различные отрасли научного знания постоянно испытывают сткыулируюцее воздействие математики на свои исследования. Такое взаимодействие диктуется самим характером научного познания, ъ котором качественные методы исследования дополняются количественными, математическими методами. При этом, чем глубже раскрывается сущность изучаемых процессов, тем более тонкий и изощренный математический аппарат используется для их анализа.'

Развитие математического моделирования слукит предпосылкой широкого внедрения математических понятий и теорий в конкретные естественные и технические теории, а в последние годи и в социально-экономические и гуманитарные. Этот процосс обусловлен современной научно-технической революцией, благодаря которой математика получила мопщна электронно-вычислительные средства (ЭВМ). Сан метод математического моделирования, как показано ч диссертации, может по праву считаться общенаучным, поскольку его природа обусловлена системой математических понятий, отражающих универсальные количественные связи. Применяемое во многих отраслях знания математическое моделирование приводит к усилению связи между науками.' Иными оловами, это моделирование выступает в качестве как би фокуса интеграции различных наук и инструментом выявления количественно-структурных связей меяду ними. Отсюда возникают и философские проблемы анализа методологической и гносеологической сторон математического моделирования. Философия в данном случае продолжает выполнять свою традиционную функцию систематизатора науки и генератора научного мышления.

Специальному анализу проблем математического познания, включая и вопросы математического моделирования, посвятили свои работы: И.А.Акчурин, Б.В.Бирюков, А.С.Кармин, В.Н.Мо-

- г -

лодпий, 1С.Е.Морозов, А.Н.Нысанбаев, В.Я.Пермиков, Ю.А.Петров, Г.И.Рузавин, Ю.В.Сачков, Г.Г.Шляхин, С.А.Яновская и др. Последнее нремя появилось ряд диссертационных исследований по методологии математического моделировании (Ермоловский H.A. Некоторые гносеологические проблемы математического моделирования: Див... канд.фшшс.наук. - Харьков, 1974; Куприй В.Т. Гносеологические основы построения математических моделей: Дис... канд.филос.наук. - Львов, 1984; Степанович В.А. Методологические проблемы математического моделирования мышления: Дис... канд.филос.наук. - Минск, 1989.)

В специальных монографических публикациях, посвященных моделирование, в основном затрагиваются общенаучные и специальные вопроси, а философская и гносеологическая проблематика не рассматриваются: (см., например, йеуймии ЯЛ'. Модели в наука и технике. I., 1984; Веников В.А. Теория подобия и моделирования. П., 1984; Евин И.А., Яблонский А.И. Модели развития и теория катастроф //Системные исследования. Методологические проблемы. Ы., 1982; Сергиенко И.В. Математические модели и методы решеиия задач дискретной оптимизации. Киев, 1988; Доронин Ю.П. и др. Математические модели океанологических процессов. Л., 1987; Численные методы и математическое моделирование. Сборник научных трудов. И., 1988; Лукашевич В.К. Модели и метод моделирования s человеческой деятельности. Минск, 1983.) Весьма модержательная монография Батороева К.Б. "Аналогии и модели в познании" (Новосибирск: Наука,1987) посвящена логической стороне моделирования. Под этим углом зрения автор рассматривает и математическое моделирование, которое представлено в монографии отдельные параграфом. 3 центре зтих публикаций, на наш взгляд, стоит монография Руза-вина Г. И. "Математизация научного знания" (П., 1984). Автор остановился на ключевых философских вопросах математического моделирования и одновременно здесь же поставлены проблемные вопросы.

До настоящего времени существуют различные точки зрения о месте математического моделирования в структуре иоан&кая.

Остается открытым вопрос о соотношении математической модели и математической теории, проблемы критерия истины в математическом моделировании и ее проверки, а такке соотношение математической модели с такими понятиями гносеологии и логики как отражение, образ, изоморфизм и гомоморфизм, абстрагирование и идеализация. Особо отметим, что вопрос о построении математической теории на базе математической модели в отечественной литературе не обсуддался, хотя работы, посвященные теории как форме знания опубликовали нашими учеными (См. библиографии в тексте второй главы). История науки показывает, что создание таких фундамент:льных теории, как классическая механика и гравитация Ньютона, электромагнитная теория Максвелла, теория относительности и квантовая механика, происходило путем формирования математических моделей, их усовершенствования, обобщения и тщательной проверки с помощью наблюдений и экспериментов.

Сказанным определяется выбор цели и задачи данного исследования.

Цель и задачи исследования

Принимая во внимание современное состояние проблемы и исходя из задач, стоящих в философской и конкретнонаучной литературе, автор став;;т целью своего исследования доказать, что метод математического моделирования, опиравшиеся на гносеологию и методологию современного познания, способен с большей эффективностью быть примененным в общественной практике.

Основная цель определяет следующие задачи диссертационного исследования:

- проанализировать специфику гносеологического отношения "субъект и объект" в математическом моделировании;

- раскрыть диалектический характер развития математического моделирования под углом зрения категорий дискретного и непрерывного;

- рассмотреть проблему истины в математическом моделировании;

- раскрыть механизм перехода математической модели в ма-

- ь

тематическую теорию.

Теоретическая и методологическая основа.'диссертации. Поскольку раскрытие философских проблем математического моделирования основывается на исследованиях по философский вопросам математики, физики (как науки давно вставшей на математический фундамент), то автором исследованы работы ученых по этим областям знаний, отечественных и зарубежных философов, в том числе и специалистов в области логики и методологии научного познания и науковедения.

Б процессе исследования были использованы такие принципы диалекткко-матерцалисткческок гносеологии, как идея об объективном основании научного позшмма, учения об абсолютной и относительной истине, о социальной природе познания, о диалектическом характере развития научного знания. Системный подход в философском анализе объектов познания.

3 диссертации использованы работы выдающихся отечественных и зарубежных физиков, математиков и философов. Кроме уие названных отметим также работы Л.Б.Баженова, А.И.Берга, И.В. Блауберга, Н.Бурбаки, Д.П.Горского, А.Н.Елсукова, П.В.Копни-на, Д.Максвелла, Л.И.Мандельштама, В.С.Степина, В.С.Ишрвва.

Научная новизна диссертации.

Положения, выносимые на защиту, отражают новизну диссертационного исследования и формулируются в следующих тезисах:

- получены новые выводы, касающиеся гносеологии математического моделирования- Математическая модель, выступая crie—-цифическим результатом отражения субъектом объекта, воплощает в себе черты гносеологического образа, который при моделировании проявляет себя ь новом качестве. Отсюда следует вывод, что математическая модель есть специальный гносеологический образ. Диссертационное исследование по-новому ставит вопрос о соотношении таких форм отражения как изоморфизм и гомоморфизм в математическом моделировании. Математические понятия и естественно-научные понятия при математическом моделировании находится в определенном соотношении. В работа выявлена их взаимосвязь;

- исследование показало, что в -снове математической модели. леига идеализированный объект, состоящий из системы структурных элементов: связи- между элементам! представлены в виде законов и. принципов. Математическая модель а математическая теория являвэтся соотносительными понятиями. В диссертации показано, что по мере развития математизации, теория, зарехомевдовавшая себя на практике, может быть использована как модель для доказательства непротиворечивости вновь создаваемой теории;

- исследование развития математических моделей дало новую основу для анализа процесса истины. В диссертации рассмотрена проблема истины, применительно к математическим моделям. IIa материале научных открытий дан новый подход к пониманию абсолютной и относительной жжшы. По-новому рассмотрено соотношение эмпирического д "огическаго критерия истины в математическом моделировании, исходя лз истории развития наука рассмотрена взаимосвязь истины и заблуждения;

- в диссертации дан анализ процесса развития математике-» ского моделирования исходя из диалектики дискретного и непрерывного. Рассмотрение этого процесса проведено на материале математики и ее.последних достижений. Философское исследование развития математического моделирования конкретизировало принцип философии о взаимосвязи дискретных математических i структур. Одновременно была показана неадекватность одностороннего подхода (по принципу "или дискретное - или непрерывное") в методологических вопросах математики.

Научно-практическое значение работы, реализация положений диссертации может иметь широкое применение в организации учебного процесса в ВУЗе. Выводы диссертации могут быть использованы при чтении лекций а проведении семинарских занятий по темам: "Метода и формы научного познания", "Проблема познания в философии и современной науке", "Диалектика как' учение о всеобщей связи и развитии", "Современная немарксистская философия". Материалы исследования могут быть полезна при чтении спецкурсов и спец семинаров до методологии научного

поананин и по философским вопросам математики.

Апробация основных положений диссертации. Основные положения и результаты исследования обсуждались в Институте философии Академии наук России в секторе Обща и методологии науки, на Всесоюзной межвузовской конференции по проо'леме: Диалектика теории и опыта в современной философии, науас а политика (Рязань, радиотехнический институт, кафедра философии, 193I), на научно-практических конференциях в Рязанском педагогическом институте (1384, 1989, 1991, 1992 гг.)- Результаты исследовании включены автором в материалы лекций, читаемых rio курсу философии на физико-математическом факультете Рязанского пединститута.

Структура диссертации. Диссертационная работа состоят ла звзделия, двух глав, заключения и списка литературы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАЬО'Ш

Во введении обосновывается актуальность теми диссертационного исследования, анализируется степень ее разработанности в философской и вонкретнонаучной литературе, формулируются основная цель и задачи исследования, дается характеристика его новизны и научно-практической значимости.

В первой гладе - "Математическая модель как результат отражения субъектом объекта" - рассматривается гносеологическая основа математического моделирования.

Математическая модель по своему происхождению и положению в познавательной процессе выступает идеализированным образом исследуемого объекта. Поскольку ни одна иатеиатичаская Модель не молот быть построена оез предварительной деятельности мышшния, то в атом смысле математическую модель моано отнести к особой форме мысленного образа. Гносеологический образ обеспечивает раскрытие существенных связей, которые обнаруживаются в познавательной процесса. При математическом педалировании образ будет представлять совокупность ватемагических выражений логически связанных шнду собой. Цатериьль--цой формой ьоилосания данного образа Судет выступать матема-

тическая модель исследуемого фраг^еьха действительности. Конкретные задачи, которые ставит перед собой исследозатель, обуславливают структурные и функциональные изменения в гносеологическом образе. В работе на материала {лзики показано, что совокупность физических Ееличин вместе с системой связей, входящих в структуру уравненл;. Максвелла, составляет и структуру нашего знания об электромагнитном поле. Е то яе время эта структура представляет сооой мысленный, математический оо'ра^, в котором находят отражение связи и отношения элементов этого вида. Научная практика,и те задачи, косорке ставгтся исследователем, яьляются той основоЛ, которая вносит структурные и функциональные изменения в познавательный образ.

СдоланныЕ нами вывод модно рассматривать как ссставную часть более обобщенного предстаз::з::ип, заключающегося в том, что гносеологический образ, фориир;.ясь в процессе преобразования человеком природы, предстагляот собой форму зедей, своего рода "печатью", наложенной на естественный природный материал деятельностью человека.

Исследование показало, что математическая модель, выступая в форме познавательного образа, принимает на себя такие свойства как: идеальность, предметность, адекватность, а также функции - эвристическую "и ретроспективную. Математический образ в силу своей специфики позволяет раскрывать существенные особенности прошлого состояния данного объекта, его историю развития, а выступая в форме иодели-гипотозы, математический образ помогает представить будущее состояние объекта.

По завершении рассмотрения образа и модели правомерен вопрос: на каких формах отражения основывается математическое моделирование. Как эти формы соотносятся между собой и в чем заключается их познавательная ценность? Математическое моделирование основывается на определенных объективных соотношениях: изоморфизма и гомоморфизм которые фиксируются при сопоставлении изучаемых объектов. Этими объектами выступают о одной стороны математическая модель, а с другой - исследув-

- а -

1 мый объект. Понятие изоморфизма, первоначально употреблявшееся ь математике, нашло свое применение для выяснения характера гносеологического образования моделей и теп с&иы стало нести теоретическую нагрузку в решении ряда методологических вопросов. Оно обозначает строго однозначное соответствие модели объекту. Аналогично включлше в философский обиход и понятая гомоморфизма, которое означает не взаимно-однозначное соответствие объекта и ¡¿одели, а их приблизительное сходство. При установлении отношения изоморфизма результаты исследовании, полученные на модели, переносятся на исследуемый объект, и их интерпретация становится объективированной - принадлежащей самому объекту. Подобный перенос осуществляется согласно требованиям математической симметрии. Математическая симметричность пркчастна к моделированию не только своей онтологической стороной, но и логической, а также гносеологической. Правомерность переноса знаний с уодеяи на изучаемый объект, регламентированное математической симметрией, обусловлено в конечном счете отношением тождества материальных образований.

В работе доказывается, что понятие изоморфизм и гомоморфизм в математическом моделировании - соотносительные. Различия между ними носят относительный характер и в познавательном процессе они дополняют друг друга. Понятие "изоморфизм" не может исчерпать всей сложности отношений модели и объекта. Вывод теоремы Геделя о невозможности полной формализации содержательного знания говорит о том, что изоморфизм в матьма-тическоы моделировании всегда будет неполным и относительно 1г'шым. Отсюда делается вывод, что если в пределах "чистой" математики вти понятия по отношению друг к другу имеют строго очерченные границы, то в моделировании материальных процессов, сне циника 8тих понятий изменяется. Происходит это потому, что модель есть приближенное, неполное отражение в математической форме постоянно изменяющихся материальных явлений. При математическом моделировании между этими понятиями существует относительная граница и ь определенных условиях они переходят друг в друга. .

Рассмотрение специфики отракан;.л в математическом моделировании предполагает и дальнейшей конкретизацию этого вопроса в отношении роли метода абстрагирования и идеализации. В диссертации отмечается, что процесс образо^ния математических абстракций вцелоы аналогичен общему процессу абстрагирования в ходе теоретического иозналия. Но с предметов математики и ее абстракциями показательная ситуация осложняется: уровень обобщенности и огасредоваяности абстракций в математике более высок, а природа математического познания имеет свои особенности. Первая из них заключается в том, что при исследовании какого-либо фрагмента действительности математики акцентируют свое внимание на количественных характеристиках и пространственных формах, одновременно абстрагируясь от других отношений и связей. Вторая особенность пронвллотся в том, чю математические абстракции имеют более широклй характер обобщений. Тихой подход к позаалию мира, как показывает история науки, оставляет за математикой неоспоримое лидерство. Это объясняется возмоаностью в ходе теоретического освоения действительности продуцировать абстракции, которые по своему содержанию намного превосходят абстракции других неук. С помоеью предельно широких абстрактных понятий осупесгвляет-ся раскрытие наиболее существенных и закономерных количественных основ исследуемой области.

Наряду с методом абстрагирования в математическом моделировании широко применяется метод идеализации. Его использование в теоретических построениях эффективно, ибо создаваемая исследователем математическая модель в своей Структуре запечатлевает необходимые для познания стороны объекта, оставляя как бы в "тени" второстепенные факторы. Поэтому математическая модель выступает результатом и формой абстрагирования и идеализированный объектом. Математическое моделирование в этом случав опирается на ди&чектическов единство абстрактного и конкретного. Математические и естеотзенно-научные понятия в математическом моделировании взаимосвязаны. Анализ открытий з физлке позволяет говорить, чго эти два рода поня-

г

тий находятся в генетической связи, и любые математические преобразования в конечном итоге получают естествекно-научную интерпретацию.

Вторая глава - "Закономерности развития математического моделирования" - рассматривает методологические проблемы, возникающие в ходе построения математических моделей, проверки и развертывании на юс основе теории.

История естествознания показывает, что вывод теории какого-либо процесса основывается на построении и совершенствовании целого ряда математических моделей. Проанализированные многочисленные результаты экспериментов и наблюдений слуват основой создания моделей, в которых сочетаются и эмпирические и теоретические компоненты. Математическая модель исследуемой области среди методологов по праву считается преддверием теории. Путей ряда математлческих преобразований эмпирического материала исследователи целесообразнее построить модель как модно более полную.

Математическая модель перестраивается в математическую теорию посредством системы идеализированных элементарных объектов. Естествознание выработало подобные понятия. Ими могут оыть: абсолютно твердое тело, математический маятник (гармонический осциллятор), единичный электрический заряд, микрообьект. Только системно организованные идеализированные, элементарные объекты могут быть положены в основу теории и представлять ее концептуальное ядро, фундаментальную теоретическую схему. В ходе построения научной теории уточняются в "оикретизируются связи между идеализированными, элементарными объектами. Подобные связи в естественных науках выступают в форме законов и принципов.

В современных математических теориях материальных систем идеализированные объекты выступают как правило в форма математических моделей или совокупности таких моделей. Цатемати-ческие модели,'» свою очередь, выступают интегративным идеализированным образованием и базисом Оудуцей теории. Путем логических операций с идеализированными, абстрактными объекта-

¡и обеспечивается становление теории а превращение ае в ин-:труыент ранения основополагающих задач.

Создание математической теории неныслиао без составления равнений. К магаматической модели мокно подходить в целом :ак к абстрактному, объекту, в которой реильные значения физи-!8ских величин заменены на математические понятия, функции, юстояшше и шремешше величины. Нахождение искомой величи-[Ы осуществляется путей решения данного математического выра-;ения. Поэтому математическая модель, в конечной итога есть 1йчто иное как уравнение или на гама ¿равпанпйк

Уравнения ге снесшим образом связаны с формированием яд-1& теории - идеализированным объектом. 8та связь виранаат [ряиую ^авискиость ызйд5' содержанием, т.о. идеализированный |бъектом и его "оформлением" - матема?ическ!1м уравнением.

В хода углубления научного ноьншшя и распространения го на новыб области действительности происходит изменение и : уормами теоретической деятельности. Существующая математи-[вская теория уже не мо:*ет объяснить новыь научные факты и 18 ее основе создается новая теория. Предшествующая теория 1родолкает оставаться истинной для данного круга явлений. В ювую теорию она уна входит в качестве математической модели.

. "Проблема истины в математическом моделировании и 1в проверка" рассматривается соотнесенность математической юдели и иатеиатической теории к исследуемому объекту. На ма-■ериале научных открытий из области физики и техники доказа-шется, что диалектический характер истины является неотъем-[еноЦ чертой современного научного познзния.

История теоретического освоения действительности чвлове-;оы показывает, какое важное место в научном познании зенима-т правильно выбранный нритерий истины. Следование этому кри-■ерию помогает без особых методологических затруднений отде-тть истинное знание от ложного. Апробированный воем ходом [аучного познания критерий истины позволяет ученому проверять саздый отдельны,1, этап исследования и геи самым приближаться с своей цели минуя тупики ааблузаэния.

Диалектико-материалистическая гносеология в целях правильного решения проблемы истинности теоретического знания предлагает соизмерять полученные в ходе исследования знания о объектом познания. Таким критерием соизмеримости в научной деятельности выступает практика. Как математическая модель, так и теория только тогда обретают свой статус, когда их выводы и рекомендации подтверждаются на практике.

Рассуждая о математических теориях, мы должны учитывать что провела истинности этих теорий носит особый характер. В этой случав истин в форме абстрактно сформулированных утвар ждений даетоя как бы рвньше, т.е. в виде некоторого абстракт ного содержания. И только дальнейшее использование этих теоретических структур на практике подводит окончательную черту под сомнениями в истинности того или иного теоретического положения. Примером может служить тот факт, что разработанные Ньютоном и Лейбницем основы теории дифференциального и интегрального исчисления навли широкое применение в промышленности, в проектирован™ машин, хотя логически не Сыля с^зупреч-

ЕЫМИ.

Системный характер научного знания позволяет осуществлять проверку и другими способами - путем установления логической связи между проверяемыми знаниями и некоторыми предшествующими знаниями, которые достаточно надежны и доказвда в качестве истинных. Проверка научных знаний предполагает яе только анализ практики и ее различных форм в качестве решающего объективного критерия истины, но также и роди логико-теоретических методов доказательства истинности научных утверждений.

Одним из таких методов может случить "принцип соответствия", выступающий в виде формы, содержанием которой является процесо развития новой теории из недр старой. Принцип соответствия позволяет по-особому взглянуть на соотношение модели, теории в проблемы истины. Математическая модель не только одна из форм отражения внешнего мира, но и относительный критерий истинности теории, осуществляемый с помощь»

установления формально-логического совершенства самой модели. Непротиворечивость и полнота математической модели монет выступать достаточным основанием для вывода об адекватности содержательной теории. Таким образом, математическая модель выступает специфический ;:ритарием истины в теоретическом познании к является одним из видов логическою критерия истины.

"Диалектика дискретного и непрерывного в построении математичоских теорий" анализируется развитие и совершенствование математических теорий под углом зрения категорий дискретного и непрерывного. .

Развитие иатемыической теории и опрзделешшя нриамст-венность новых теоретических образований со старыми ставит-вопрос об анализа этого теоретического фекоаона. В зтих условиях вавной задачей философского исследования будет выявление такого исходного принципа, который модаю было бы взять за основу построения математическоп тоорки. Проведенное исследование показало, что таким принципом является диалектика дискретного .и непрерывного.

Теория по своему характеру динамична, то есть она способна изменяться во времени, сообразно изменяющимся условиям. Здесь мы неизбежно сталкиваемся с проймой единства прерывного и дискретного в таоретнчсюкоы позншпш. Поскольку математическая теория имеет тенденцию к изменении, Постольку и мы должны проследить ее поэтапные состояния, находить прерывные момента, которые бы позволили иссл'едователи остановить свое внимание в рамках определенных объективных ограничений. Реальный мир и "непрерывен" а "дискретен". При различных спооо-5ах описания его количественных отношений, понятия прерывного и непрерывного, как определенные абстракции и идеализации, выступают по-разному. При определенной способе поанакия иа • исследуейой области можно условно выделить составляющие ее цискратные часта. В то яе время в данной области можно шде-иить ее непрерывные свойства.

Понятия прерывного суцаствуют постольку, поскольку оу-даотвув! противоположные ш пояятал непрерывного. 8иш пра1и-<

¡вополояным концептуальным образованиям в математике соответствует в объективной действительности неразрывно связанные, взаимообусловленные свойства, стороны, аспекты. Непрерывность не является категорией первичной по отношению к прерывному так же, как ни прерывное, дискретное нельзя считать исходным относительно непрерывного. В математике на отдельных этапах одна из них может превалировав над другой: для того, чтобы теории на страдали формально!' противоречивость», математики прибегают к приему перехода от принципов прерывности на принципы непрерывности ч наоборот, соответственно перестраивая свои конструкции и добиваясь их корректировки. Можно сказать, что на каждом историческом этапе истории математического мышления происходит своп реализация единства прерывного и непрерывного, причем одна из противоположностей в каздс-Й паро начинает играть ведущую роль. Б создании математических теорий ■происходит как бы своеобразная поляризация: то непрерывное выступает на первый план, чем прерывное, то наоборот.

Диалектика рассматриваемых противоположностей вь.окт ваяний вклад в обций баланс математического познания, которое заключается но з статическом, равнозначном синтезе противоположностей, а в разрешения противоречий мояду отвлеченно-абстрактным, формализованной и богатым, содержательным знание;!. Это разрешение проблемы имеет, однако, специфику, определяемую формой отраженна материальной действительности в математическом мышлении. Количественные отношения и пространственные формы материальной действительности, будучи в своей сущности диалектически противоречивыми, отражаются в математических теориях в формальпо-иепротиворечивом вида. Необходимо подчеркнуть, что применение к математике материалистической диалектики приводит к плодотворным'результатам. Если теория иисел имеет дело с дискретными величинами, то в теории рядов, напротив, используются свойства непрерывности. Объединив эти "противоположности" и применив к дискретным величинам метод тригонометрических сумм, И.М.Виноградов решил знаменитую проблему о возможности представления нечетного числа в виде

- b -

зумии трех проспи. чисел, поставленную -зца Гольбахои.

История свидетельствует о том, что в математике, в силу эе формальной не противорвчивости, приходится иногда становиться на пуаъ односторонней фзкс«цаи единства проникающих друг s друга MüiJóнтов, что приводит математическую мисль к абсолю-ризьции отдельных аспектов лого единства. Особенно наглядно зто проявилось a Xíi-XX веках, когда иатеаатшм задумались :ад парадоксами и пропысрзчинаи, свнзыиыии с теорией мно-ísctb Г.Книтора. Разрешение sí íu протиьоречцй прямо или кос-юнио влияло на 1^орл«]юьаиае -osux н о. j ц> :: их яр с д с т ав л & н л Л в ¿етоаатек» и ее прилохелши. С ишнеи Ньютона и ЛеЛбница в ц,:еи.а;/.ки о-лльвновалаш. uOjíüü ыюха - переход к исчислению ¡ескозь .ко .íia^L;:-;. ¡3 г то осотолтбльегьо ириьвло 4 необходимое-•и noptíctpoiíuii аат&кгяшл ¡i& база .юл/Д-ля предела. 3 основном ¡шшйл расоти бш.а зажриена осиль долине ша С.Коши и й.&екьр-¡'jpacca. В качала ьашл'о века вноде ьр;шоаь ло-новоиу взгля-[угь на фмтыват «емн науки в шрастроить его на базе те о-1ии uuosoofs. Полодптеяьиыо следствия не замедлили сказаться: гатеыоткха су^еоч-ваньо изменила своо .'¡нцо и сделалась более ■ибкой (з значительно,! мере благодаря большой своей ао'стракт-остк); получила noaut, ьозмое.чостл прлиэнанли к практике; танулиооаьяа аоиьлвш» kqúux областей иеадиатичбекох'о знь-ия (i}yii:cuaoat.ibiíu« аииаиа, теорля случайных щ.оцвссоь и .д.); открыло пути иоконсгруктшшш* дока&ательетваи я аиро-у радел?*») чистых теорел сукгсгйоаанкя.

йнзвноиия гзорш uhcuuütb стали источником таких капраъ-enníí в математика как икхуецнониза (Э.Брауэр, Г.Банль), орм&ллзи (Д.Гильберт) и яогнцлзи (В.Рассел). Характерным ли эеах мол Сил одноотормнии подход в рзыешш новых ыате-атичеслнх прочем, оедоыших на принципах сериальной логи-и. Последозшша полазало, что современная иатематичзскои рооленатика, оочвлии&нся с ¿btf, иуадается в иной лопшо-озпавательнол ооноье. С ила««и Дх.^оя Н<Н:аакв слизан) эа-оадваие так нь;.и8эеио . юьолтло^ноп лотки, нреднаэлачан-оа ¡тля ушта ьоouotm¡: о-йбсй » лопческях опарьмшх, иод«-

лируемых автоматом. Преимущество вероятностной логик'.: перед обычной, двузначной, состоит в том, что она учитывает разные степени истинности, а не только ее крайние значения - истину и локь. Такая непрерывность в характеристике истины дазт возможность лучше и точнее отображать реальные процессы. Дальнейшие разработки приволи к созденио теории расплывчатой логики -логики непрерывного типа (Логфи А/Заде и его школа). В основе аппарата теории лежит многозначная логика, позволяющая обобщать раздали математики кибернетического профиля и дающая возможность более а-екватного отражения количественных отношений. С именами академика А.Н.Колмогорова и математика П.К. Рашевского связана идея математической теории нового типа, которая в большей стопски будет соответствовать запросам современной физики.

Математика выработала мопкка абстрактные структуры, с помощью которых через дискретное и непрерывное приближается к конкретному в мышлении, вареная в математически терминах диалектическую действительность. В математике имели ¡я ло качественные переходы, которые приводили к обогащению зе содержания, генерации новых идей и изменению логико-.позназатель-ной основы. Это развитие обусловлено разрешением противоречий, вызванных односторонней трактовкой категорий дискретного и непрерывного в математике.

В заключении подводятся итоги исследования, делаются теоретические обобщения и выводы.

Основные положения диссертации отражены в следующих публикациях :

1. Яркин В.А. Гносеологические особенности математического моделирования / Моск.обл.пед.ин-т. - Н., 1984. - I? с,-Деп. в ЙНШН 15.11.84. № 15692.

2. Яркан В. А. Математическая модель как специфический гносеологический образ / Моск.обл.пвд.ин-т. - М., -18 с. - Да п. в И1ШОН 18.Об.66. й 21Ш.

3.- Яркин В. А. Г носеологическиб основы преобразования математической модели в математическую теория. - Институт

илософии АН СССР, и., 1990. - 23 с. - Дап. в ИНИОН 28.01.91.

43765.'

4. Яркнн В.А. Абстрагирование и идеализация в математи-зскоц моделировании /7 Сборник ИФАН, 1991. - 13 о.

5. Яркин В.А. Методологические аспекты преобразования атеыатической модели в математическую теорию // Филоо. нау-л 1991. (сдана в печать). - 12 о.