автореферат диссертации по истории, специальность ВАК РФ 07.00.10
диссертация на тему: Формирование и развитие аддитивной теории разбиений в XIX столетии
- Год: 2011
- Автор научной работы: Медведева, Наталья Николаевна
- Ученая cтепень: кандидата физико-математических наук
- Место защиты диссертации: Москва
- Код cпециальности ВАК: 07.00.10
Полный текст автореферата диссертации по теме "Формирование и развитие аддитивной теории разбиений в XIX столетии"
48591
На правах рукописи
Медведева Наталья Николаевна
ФОРМИРОВАНИЕ И РАЗВИТИЕ АДДИТИВНОЙ ТЕОРИИ РАЗБИЕНИЙ В XIX СТОЛЕТИИ
Специальность 07.00.10 - История науки и техники
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой стенени кандидата физико-математических наук
1 О НОЯ 2011
МОСКВА-2011
4859112
Работа выполнена на кафедре геометрии Государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Пермский государственный педагогический университет».
Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор, заслуженный работник высшей школы Российской Федерации Малых Алла Ефимовна
Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,
профессор Матвиевская Галина Павловна; кандидат физико-математических наук, доцент Зверкина Галина Александровна
Ведущая организация: Оренбургский государственный университет
Защита состоится 29.11.2011 в 14:00 часов на заседании Диссертационного совета Д 002.051.05 при Учреждении Российской академии наук Институте истории естествознания и техники РАН по адресу: г. Москва, ул. Обручева, д. 30а, корп. В.
С диссертацией можно ознакомиться в Отделе истории физико-математических наук или Дирекции Института истории естествознания и техники им. С. И. Вавилова РАН.
Автореферат разослан 10.2011.
Ученый секретарь Диссертационного совета, кандидат физико-математических наук
]Г
у И. О. Лютер
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Жизнь современного общества наполнена всевозможными компьютерными технологиями, средствами автоматизации производства, системами управления технологическими процессами и т. д. Соответственно все более значимой становится роль математических моделей, некоторые виды которых изучаются в комбинаторном анализе. В нем решаются задачи выбора и упорядочения (в том числе частичного) элементов рассматриваемого дискретного в соответствии с определенными требованиями. В связи с этим решаются проблемы существования различных видов подмножеств, методов и приемов нахождения их числа, разработки и оптимизации алгоритмов построения.
Идеи и методы комбинаторной теории находят разнообразные приложения в таких разделах математики, как теория вероятностей, теория чисел, алгебра, теория графов, теория конечных автоматов и др. Ее методы применяются при планировании и анализе результатов научных экспериментов, построении помехоустойчивых кодов, в линейном и динамическом программированиях, математической экономике, а также во многих других областях науки и техники.
Среди различных направлений в развитии комбинаторного анализа центральной и наиболее ранней в историческом плане является теория перечислений. В ней рассматриваются различные виды соединений конечного множества объектов, удовлетворяющих определенным условиям, находится их число. Одним го таких примеров является проблема распределения каких-либо п частиц в N ячейках, причем как частицы, так и ячейки могут быть различимыми и неразличимыми. В зависимости от этого получаются ее различные решения. Ситуации, в которых частицы и ячейки неразличимы, изучает аддитивная теория разбиений. Ее простейшей интерпретацией является теоретико-числовая задача о подсчете способов представления натурального числа в виде суммы натуральных слагаемых - частей разбиения. Средства этой теории позволяют решать многие практические задачи: при поиске рационального распределения памяти ЭВМ, в физике частиц, непараметрической статистике и др.
Одним из важнейших направлений исследования математических дисциплин является изучение их истории, позволяющей представить основополагающие структурные части математики в развитии и взаимодействии как единого целого. Анализ историко-математической литературы позволяет утверждать отсутствие исследований, посвященных целостной картине истории аддитивной теории разбиений. Вместе с тем, отдельные аспекты процесса ее формирования и развития обсуждались в работах некоторых авторов. Так, в известном «Lehrbuch der Combinatorik» немецкого математика Е. Нетто (Е. Netto, 1848-1919) имеется глава, посвящен-
7
3
ная разбиениям. Автор, излагая материал, привел в ней краткие сведения, не ставя целью представить их историю.
В одной из глав «Истории теории чисел» английского математика Л.Ю.Диксона (L. Е. Dickson, 1874-1954) в хронологическом порядке с краткими аннотациями перечислены работы многих ученых, посвященные разбиениям,. Однако, как писал академик Б. Н. Делоне, она носит справочный характер. Поэтому из столь краткого обзора невозможно получить представление об особенностях формирования и развития теории разбиений.
При изучении научного наследия Леонарда Эйлера (1707-1783) А. В. Киселев, Г. П. Матвиевская и Е. П. Ожигова исследовали его работы по «partitio numerorum» (такое латинское название носила теория разбиений в XVIII в.). Они установили, что ученый был первым, кто стал систематически изучать задачи такого рода.
В докторской диссертации по истории комбинаторного анализа А. Е. Малых указала основные направления его развития со средневековья до середины XX в. В теории разбиений намечены основные пути ее формирования и развития. При этом автор не ставил своей целью выполнение комплексного и системного изложения истории аддитивной теории разбиений. Развитию комбинаторных идей в математике посвящены работы Дж. Кутлумуратова, П. П. Пермякова. Однако в них теория разбиений не представлена.
Из последних изданий, относящихся к теории разбиений, следует назвать монографию Дж. Эндрюса (G. Е. Andrews, род. в 1938 г.) «The theory of Partitions», русскоязычный перевод которой появился в 1982 г. В ней изложена теория и показаны ее приложения в различных областях, поэтому исторические сведения представлены лишь упоминанием имен ученых и их работ.
Во всех вышеуказанных источниках не ставилась проблема комплексного изучения истории аддитивной теории разбиений. Поэтому до настоящего времени отсутствуют историко-математические исследования обобщающего характера, в которых достаточно глубоко и всесторонне были бы рассмотрены истоки и предпосылки ее зарождения, формирования и развития. Отмеченное выше указывает на актуальность темы исследования.
Объект исследования: история комбинаторного анализа.
Предмет исследования: формирование и развитие методов аддитивной теории разбиений в XIX столетии.
Цель диссертации: описание процесса формирования и развития аддитивной теории разбиений в XIX столетии.
Для достижения цели необходимо было решить следующие задачи:
- выявить предпосылки зарождения аддитивной теории разбиений;
- отыскать и рассмотреть задачи, при решении которых использовались разбиения натуральных чисел на слагаемые;
- проследить процесс обобщения и систематизации задач, приведших к понятию такого разбиения;
- выяснить истоки первых теоретических обобщений названных выше задач, решение которых привело к формированию наиболее ранних приемов и методов подсчета разбиений натурального числа; раскрыть вклад ученых (Г. В. Лейбниц, Л. Эйлер и др.), исследования которых послужили отправным пунктом формирования первых теоретических положений;
проследить дальнейшее формирование теории разбиений в исследованиях ученых середины XIX в.: М. Штерна, А. де Моргана, Дж. Гершеля; оценить научные результаты, внесенные в структуру теории разбиений А. Кэли, Дж. Дж. Сильвестром, П. А. МакМагоном, Г. Харди и С. Рамануджаном;
представить основные этапы развития аддитивной теории разбиений. Методы исследования, применяемые в диссертационной работе, включают источниковедческий и историко-научный анализ, историческое и логическое в единстве, анализ и синтез, обобщение, систематизацию, а также реконструирование методов в работах отдельных ученых, историческое и логическое в единстве.
Научная новизна диссертационного исследования заключается в следующих результатах:
1. Выявлены задачи, решение которых привело к возникновению понятия разбиения.
2. Систематизированы сведения относительно формирования и развития теории разбиений на основе содержания теории, методов и задач на разных этапах ее истории.
3. Впервые выделены основные этапы развития аддитивной теории разбиений и определено содержание каждого из них.
4. Впервые оценен вклад ученых (Г. В, Лейбница, Л. Эйлера, М. Штерна, А. де Моргана, Дж. Гершеля, Дж. Сильвестра, А. Кэли, П. А. Мак-Магона, Г. Харди, С. Рамануджана) в развитие аддитивной теории разбиений; показано развитие методов подсчета разбиений в работах указанных исследователей.
5. Впервые выполнена реконструкция методов в работах отдельных ученых (М. Штерн, А. де Морган).
6. Впервые на основе анализа первоисточников установлен тот факт, что становление аддитивной теории разбиений как самостоятельной математической дисциплины произошло в работах Дж. Дж. Сильвестра, А. Кэли и П. А. МакМагона.
На защиту выносятся следующие положения: 1. В формировании и развитии аддитивной теории разбиений выделены четыре основных этапа:
I. Накопление задач на разбиения (VI в. до н. э. - середина XVII в.).
И. Разработка способов и методов подсчета разбиений (середина XVII в. - 60-е годы XIX в.).
III. Систематическое построение теории разбиений (60-е годы XIX в. -20-е годы XX в.).
IV. Расширение понятия разбиения (с 20-х годов XX в.).
2. Начало формированию аддитивной теории разбиений положено в работах Л. Эйлера по partitio numerorum. М. Штерн, А. де Морган, Дж. Гер-шель разрабатывали методы подсчета разбиений для решения практических задач, появившихся в других дисциплинах.
3. Становление аддитивной теории разбиений было положено работами А. Кэли и Дж. Сильвестра. Значительный вклад в процесс ее обобщения и расширения внес П.А. МакМагон, построивший свою комбинаторную доктрину целиком на понятии разбиения числа.
Практическая ценность диссертации состоит в том, что ее результаты могут быть предложены для использования в исследовательской и преподавательской деятельности, касающейся освещения вопросов истории комбинаторного анализа, аддитивной теории разбиений.
Результаты диссертационного исследования и его основные положения докладывались автором на следующих конференциях и семинарах:
• Всероссийском семинаре по истории и методологии математики и механики при МГУ им. М. В. Ломоносова (Москва, 2006, 2007, 2010).
• Международной научной конференции «59-ые Герценовские чтения» (Санкт-Петербург, апрель 2006 г.).
• Международной научной конференции «Современное математическое образование и проблемы истории и методологии математики» (Тамбов, 2006).
• Международной научно-методической конференции, посвященной 90-летию высшего математического образования на Урале «Актуальные проблемы математики, механики, информатики» (Пермь, 2006).
• Региональной научно-практической конференции «Математика. Информационные технологии. Образование» (Оренбург, 2006).
• Семинаре по истории науки при Оренбургском государственном педагогическом университете (Оренбург, 2006).
• Международной научной конференции «Леонард Эйлер и современная наука» (Санкт-Петербург, 2007).
• Международной научной конференции «Проблемы историко-научных исследований в математике и математическом образовании» (Пермь, 2007).
• Международной конференции «Колмогоровские чтения-2009» (Ярославль, 2009).
Публикации. Список работ по теме исследования включает 12 наименований общим объемом 4,72 печатных листа.
Объем и структура диссертации. Работа состоит из введения, двух глав, заключения, библиографического списка, содержащего 154 наименований, а также двух рисунков и шести таблиц, насчитывает 161с.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ
Во введении обоснована актуальность выбранной темы, сформулированы объект и предмет исследования, его цель, а также перечислены задачи, которые нужно решить для ее достижения, дан обзор основной литературы, относящейся к рассматриваемому вопросу, приведена структура работы и ее краткое содержание.
В главе 1 «Формирование аддитивной теории разбиений до середины XIX в.» представлен процесс накопления задач на разбиения, формирования рагШю питегогит в работах Л. Эйлера, разработки методов подсчета разбиений в работах М. Штерна, А. де Моргана и Дж. Гершеля. Выделены основные этапы истории теории разбиений.
В параграфе 1.1. «Накопление сведений о разбиениях натурального числа» представлен обзор материала, относящегося к процессу накопления задач такого рода. Установлено, что первые задачи на разбиения имелись еще у пифагорейцев в связи с изучением свойств фигурных чисел. Исторический интерес представляет задача, связанная с разбиениями чисел, которая сводилась к решению неопределенного уравнения вида а\ХХ +а?*2 +... + атхт =п при условии х, + х2 +... + хт = п. Она встречалась как в работах восточных, так и европейских исследователей. Аналогичные задачи имелись также у Абу Камила (X в.), Бхаскары Акарии (XII в.), Гиясэддина Джемшида ал-Каши (XV в.). В средневековой Западной Европе подобная задача впервые упоминается в сборнике Алкуина (ок.735-804) «Задачи для изощрения ума юношей».
К разбиениям чисел относится и так называемая «задача о взвешивании», т.е. о выборе минимального числа гирь для взвешивания данного фуза. По мнению М. М. Рожанской, в связи с ее решением арабский математик XIII в. ал-Хазини (XII в.) выделил задачу о разбиении натурального числа, но не решал ее.
К середине XVII в. накопилось множество задач на разбиения чисел, в которых присутствовали те или иные ограничения: на выбор слагаемых из определенного множества, величину частей и т.д. Однако к строгой формулировке проблемы никто из исследователей, кроме, возможно, ал-Хазини не подошел. Тем более не было попыток как обобщения такого рода задач, так и поиска общего метода их решения. Каждая решалась индивидуально, чаще всего элементарными методами, заключающимися в переборе вариантов.
Значительный вклад в развитие аддитивной теории разбиений внес знаменитый немецкий ученый Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716), который впервые строго сформулировал основную задачу аддитивной теории разбиений. В «Ars combinatoria» ученый писал о разбиениях произвольного числа на две и более частей, дав этой операции название «Zerfallungen». Он определил разбиения как частные случаи сочетаний: лишь те сочетания являются разбиениями, которые, взятые вместе, равны целому числу. В 1674 г. Лейбниц предположил, что разбиения числа 3(3,2+1,1 + 1+1) могут быть связаны с симметрическими функциями
]Га3,£а26, Однако к этому направлению ученый впоследствии
не возвращался.
Таким образом, к началу XVIII в. было накоплено большое количество разнообразных, разрозненных задач на разбиение чисел, решаемых элементарными способами. К этому моменту возникла потребность в их систематизации, обобщении и развитии методов решения. Тем самым в развитии аддитивной теории разбиений закончился первый этап.
Начало второго этапа связано с деятельностью крупнейшего ученого Леонарда Эйлера (1707-1783), систематически изучавшего разбиения и разрабатывающего методы их подсчета.
В параграфе 1.2. «Становление partido numerorum в работах Л. Эйлера» оценен вклад ученого в развитие теории разбиений.
А. А. Киселев и Г. П. Матвиевская указали, что поводом к занятию ученым разбиениями чисел стало письмо 1740 г. берлинского профессора математики Филиппа Ноде (1684-1745), предложившего Эйлеру две задачи:
1) найти, сколькими различными способами данное число может быть получено путем сложения между собой нескольких неравных целых чисел, количество которых дано;
2) найти, сколькими различными способами данное число т может быть разбито на /л частей, как равных, так и неравных; или найти, сколькими различными способами данное число т может быть получено путем сложения между собой ц целых чисел, равных или не равных.
В ответном письме ученый сообщил, что сформулированные задачи ему очень понравились, и что он сам пришел к ним, но не мог найти удобного и простого решения. Заметим, что подтверждения этому факту исследователями творческого наследия Эйлера не обнаружено. В письме ученый решил обе задачи, используя метод производящих функций.
Задачи на разбиение интересовали Эйлера на протяжении многих лет, а результаты его исследований впоследствии составили XVI главу «Введения в анализ бесконечных». В ней содержатся 14 теорем. Интересно отметить, что при работе над ними он, по сути, подошел к понятию соче-
таний и размещений с определенной суммой, однако не выделил их как объект для самостоятельного изучения.
Занимаясь рагМю питегогиш, ученый сформулировал и доказал знаменитую пентагональную теорему:
п(1-*")=
и=1
1+ Е ИА
к=-оо
3 к2+к
+ х
Это равенство интересно тем, что в процессе поиска его доказательства Эйлер получил рекуррентную формулу для подсчета числа разбиений: р(п)= р{п-\)+ р{п-2)~ р{п-5)~ р{п-1)+ ... ( -> . \ (
И*
3 к1
+ Р
п--
Ъкг+к
Любопытно отметить, что Эйлер пытался получить независимую формулу для нахождения числа разбиений, о чем свидетельствуют материалы его записных книжек. Ученому удалось найти частные результаты для случая, когда нет ограничений на повторение входящих в разбиение слагаемых и число частей не превосходит четырех. Если обозначить через
соответственно количество разбиений на 2, 3, 4 части с их повторениями, а [х] обозначает ближайшее к х целое число, то
(«)(2)=М м(3)=
п
л
Лпр =
г?+Ъп2
144
Я3+ЗИ2-9И
п - четное,
144
, п - нечетное.
Таким образом, в работах Л. Эйлера было положено начало учению о разбиениях как самостоятельного направления математики. В процессе доказательства он широко применял рекуррентные соотношения и метод производящих функций. Последний и до сих пор является одним из самых значимых в теории разбиений.
В параграфе 1.3. «Дальнейшее развитие теории разбиений» установлено, что после Л. Эйлера не угасал интерес других исследователей к разбиениям. Были предложены способы их перечисления, улучшены некоторые его результаты. Постепенно ученые стали пытаться разрабатывать для подсчета разбиений специфические методы, основанные на использовании комбинаторных соединений, решении разностных уравнений и т. д.
В параграфе 1.4. «Разработка методов подсчета разбиений» отмечено, что одна из основных задач аддитивной теории разбиений состоит в соз-
дании способов подсчета всех разбиений данного числа. Как следует из анализа первоисточников, первоначально методы подсчета разбиений разрабатывались не для нужд этой теории, а, скорее, попутно - при рассмотрении других вопросов.
Так, в пункте 1.1.4. «Изучение М. Штерном разбиений с использованием сочетаний» представлен анализ работы 1840 г. «Beitrage zur Corabi-nationslehre und deren Anwendung auf die Theorie der Zahlen» профессора Гетгингенского университета M. Штерна (M. Stern, 1807-1894). Он предложил еще один метод подсчета разбиений, основанный на понятии сочетаний с определенными суммами. Ученый получил независимые формулы для их подсчета как с повторениями элементов, так и без них при помощи неполной индукции. Нами они были проверены и доказаны с использованием полной математической индукции. Штерн установил, что такие соединения являются разбиениями с повторениями элементов и без них соответственно. Он отметил, что в истории математической науки эта зависимость замечена им впервые. Однако, как показал анализ математической и историко-математической литературы, его способ особого распространения не получил, хотя результаты ученого представлены в популярном в конце XIX - начале XX вв. учебнике Е. Нетто.
В пункте 1.4.2. «Использование А. де Морганом разностных уравнений при подсчете разбиений» рассмотрена работа английского математика А. де Моргана (А. Morgan, 1806-1871). В работе 1843 г. «On a new species of equations of differences» он показал особый вид разностных уравнений. Из их решения ученый получил независимые формулы для нахождения числа всех разбиений в случае, когда количество частей не превышает четырех. Его результаты совпали с выводами JI. Эйлера.
В пункте 1.4.3. «Исследования Дж. Гершеля по теории разбиений» дан анализ работы 1850 г. «On the Algebraic Expression of the number of Partitions of which a given number is susceptible» английского ученого Дж. Гершеля (J. Herschel, 1792-1871), который продолжал развивать идею применения теории конечных разностей к подсчету разбиений. Он ввел понятие круговой функции и разработал метод для подсчета разбиений, которые нужны были ему для обработки астрономических наблюдений. Гершелю удалось получить независимые формулы подсчета разбиений для случая, когда количество частей не превышает пяти. Метод Гершеля оказался сложным из-за большого числа преобразований. Тем не менее, он составил основу разработанного впоследствии метода А. Кэли.
Таким образом, из материала, представленного в первой главе, можно получить следующие выводы:
• Задачи на разбиения присутствовали еще в работах пифагорейцев в связи с изучением свойств фигурных чисел. В дальнейшем им уделяли внимание западные и восточные ученые. Ал-Хазини явно вычленил зада-
чу о подсчете способов разбиения натурального числа на такие же слагаемые, но не решал ее.
• Г. В. Лейбниц выделил задачу о разбиении числа, дал этой операции название «2егГа11игщеп», а также высказал предположения о связи разбиений с комбинаторными соединениями и симметрическими функциями.
• В общем виде две задачи на разбиения (с повторением слагаемых и без них) впервые строго сформулировал Л. Эйлер. Ученый предложил использовать для решения производящие функции; он также пытался получить независимую формулу для подсчета разбиений, однако это удалось сделать лишь для случаев, когда число частей не превосходит четырех.
• Ставшие популярными в конце XVIII - начале XIX вв. задачи на разбиения рассматривались многими учеными. Однако их результаты были не очень значительными в сравнении с полученными Эйлером, так как решали частные вопросы.
• М. Штерн предложил принципиально новый способ подсчета разбиений, которые рассматривал как комбинаторные сочетания с определенными суммами.
• А. де Морган предложил для подсчета разбиений использовать разностные уравнения особого вида, которые имели простое решение. Ему удалось получить частные формулы, полностью совпадающие с результатами Л. Эйлера.
• Дж. Гершель ввел понятие круговой функции и предложил метод подсчета разбиений, основанный на теории конечных разностей, однако громоздкий из-за огромного числа преобразований.
• В первой половине XIX столетия интерес ученых к проблемам поисков способов подсчета разбиений не угасал, этому вопросу уделяли внимание многие исследователи. Ученые использовали методы, с которыми были знакомы. Среди них комбинаторные соединения с определенными суммами, уравнения в конечных разностях. Однако ни один из методов, предложенных к середине XIX в., не позволил получить независимой формулы для подсчета разбиений, хотя для случая небольшого количества частей они давали неплохие результаты.
В главе 2 «Развитие аддитивной теории разбиений с середины XIX в.» представлен процесс формирования ее как самостоятельного научного направления в исследованиях А. Кэли, Дж. Дж. Сильвестра и дальнейшее развитие в комбинаторной доктрине П.А. Мак-Магона.
В параграфе 2.1. «Первые работы Дж. Сильвестра и А. Кэли о разбиениях» представлены биографические сведения о названных ученых. Помимо этого указывается, что первоначально разбиения интересовали их как аппарат решения других задач. Дж. Сильвестр и А. Кэли строили тео-
рию алгебраических форм, которую было удобно излагать с использованием разбиений. В мемуаре 1856 г. «A second memoir upon Quantics» Кэ-ли применил разбиения для перечисления всех асизигитивных, т.е. линейно независимых, ковариантов. В работе 1857 г. «А memoir on the symmetric functions of the roots of an equation» ученый выразил любую
комбинацию вида а2ч ...из коэффициентов а1уа2, а3, ...,я„ алгебраического уравнения
х" +аххп~Х +а2х"'2 + ... + ап_хх + ап = О через симметрические функции корней. Ему понадобились разбиения для установления связи симметрических функций с приведенными комбинациями для уравнений. С этой целью Кэли ввел понятие сопряженного и самосопряженного разбиений. При этом он свободно оперировал понятием сопряженного разбиения, которое легко демонстрируется с помощью точечных графов Ферре. Так, граф
ООО • • о о в в
представляет разбиение (з221) числа 9, т.е. 9 = 3 + 3 + 2 + 1. Если же в нем подсчитать точки не по строкам, а по столбцам, то получится разбиение (4 3 2), сопряженное (322l). Графическое представление впоследствии позволило существенно упростить доказательство многих теорем, устанавливающих связи между разными видами разбиений.
Для облегчения подсчета разбиений Кэли разработал аналитический метод, основанный на использовании производящих и круговой функций. Его преимущество по сравнению с предложенными Эйлером, де Морганом и Гершелем состояло в том, что частями разбиений могли выступать любые числа натурального ряда, не обязательно начинающиеся с единицы.
Кэли и Сильвестр на протяжении всей жизни обменивались идеями и результатами. Последнему вскоре удалось разработать свой метод подсчета разбиений, основанный на понятии «волны». С 1857 г. он стал изучать составные разбиения как обобщение обычных. К концу 50-х гг. XIX в. Сильвестр настолько увлекся разбиениями, что в 1859 г. прочитал семь лекций о них, в которых представил результаты исследований Эйлера, других ученых и собственные.
Таким образом, к концу 50-х годов XIX в. закончился второй этап развития аддитивной теории разбиений, в течение которого происходила разработка методов и способов подсчета разбиений: производящие функции (JT. Эйлер), комбинаторные соединения особого вида (М. Штерн), уравнения в конечных разностях (А. де Морган, Дж. Гершель). А. Кэли на основе производящих функций и результатах Гершеля предложил
круговой метод подсчета разбиений, введя простой циркулятор. Дж. Сильвестр рассмотрел понятие «волны» - особого вида производящих функций - и установил ее связь с простым циркулятором.
Итак, можно утверждать, что с этого времени разбиения выделились в объект отдельных исследований. Более того, Сильвестр считал, что вносит важный вклад в развитие этой новой отрасли математики, которая, по его словам, «.. .содержит большую часть будущего чистого анализа...».1
В параграфе 2.2. «Становление теории разбиений в трудах Дж. Сильвестра и А. Кэли» показано, что к с 60-м гг. XIX в. относится формирование третьего этапа в развитии аддитивной теории разбиений. Он продолжался до 20-х годов XX в. В рамках этого временного периода осуществлялось ее систематическое построение в исследованиях, главным образом, А. Кэли и Дж. Сильвестра, хотя тогда же появилось большое число работ этого направления, опубликованных другими авторами. Однако большинство ученых развивали идеи Эйлера, Гершеля, Кэли, Сильвестра, дополняя и уточняя их результаты.
С 60-х гг. XIX в. в работах Кэли и Сильвестр произошло обобщение обычного разбиения на случай и-мерного, был получен способ проверки перечисления всех разбиений, стал разрабатываться графический метод доказательства теорем, устанавливающий связи между различными видами разбиений. В русле этих исследований стало активнее использоваться понятие сопряженного и самосопряженного разбиений. Многие важные моменты теории были изложены Сильвестром в фундаментальном труде «А constructive theory of partitions, arranged in three acts, an interact and an exodion» (1882-1884), явившийся венцом достижений многих ученых в области разбиений. Кэли написал статью, посвященную им, в Encyclopedia Britannica. Этот факт свидетельствует о том, что теория приобрела значительный статус и получила признание математического сообщества.
Наряду с такими известными математиками, как А. Кэли и Дж. Сильвестр, проблемам разбиения чисел уделяли внимание и малоизвестные. Среди них итальянские исследователи Дж. Беллавитис (Giusto Beilavitis 1803-1880) и Ф. Бриоски (Francesco Brioschi, 1824-1897). Они дополняли и уточняли результаты крупных ученых, внося тем самым неоценимый вклад в формирование теории.
В параграфе 2.3. «Аддитивная теория разбиений в творческом наследии П. А. МакМагона» показано, что дальнейшее развитие и обобщение она получила в работах П. А. МакМагона (P. A. MacMahon, 1854-1929), построившего весь комбинаторный анализ на понятии разбиения числа. В его работах были введены новые виды разбиений (совершенные, субсовершенные), произошло обобщение обычного разбиения, которое стало
' Sylvester J, J. On the partition of numbers // The collection mathematical Papers. -Cambridge: at the University press, 1908. - P. 90-99.
Vol. II. -
представляться вектором с натуральными координатами. Он занимался также композициями - упорядоченными разбиениями, решил знаменитую проблему Симона Ньюкомба. МакМагон широко применял графическую интерпретацию разбиений и композиций на основе графов Ферре, обобщив графический метод, разработанный Сильвестром. Ученый подчеркивал, что теория разбиений является ветвью комбинаторного анализа. До этого она считалась одним из разделов теории чисел.
В параграфе 2.4. «Расширение понятия разбиения» повествуется о получении независимой формулы для подсчета разбиений и дальнейшем расширении понятия разбиения.
В 20-х гг. XX в. С. Рамануджаном и Г. Харди была получена независимая формула для подсчета количества разбиений числа п. Они установили, что р(п) является ближайшим целым числом к
| V
2прт
Ач{п)=^сорче 4 , р
причем сумма распространяется на все р , взаимно простые с q и меньшие его, (Орд - некоторые корни степени 24^ из единицы, а
V,
dn
24
Число V зависит от п и имеет порядок 4~п . Более того, считается,
j 00_
Р(п) = Tlz Ü -¡Я Aq («У<? (") • 2V2 9=i
Поскольку p(n) - целое число, можно ограничиться частичной сум-
1
мои этого ряда, отличающейся от суммы всего ряда меньше чем на —, и
взять целое число, ближайшее к значению этой частичной суммы.
К концу 20-х годов XX в. завершился третий этап в формировании и развитии аддитивной теории разбиений, на протяжении которого происходило ее систематическое построение. В этот период времени теория разбиений оформилась в отдельную ветвь комбинаторного анализа.
Были определены и изучены новые виды разбиений: двойные, составные, их обобщение, сопряженные, самосопряженные, совершенные, субсовершенные, композиции и др.; установлены соотношения между ними; введена графическая интерпретация разбиений, позволившая Сильвестру, МакМагону и др. разработать простой и наглядный способ доказательства многих теорем; разбиения стали изучать не только для решения задач из других научных дисциплин, но и как самостоятельную математическую структуру; предпринята первая попытка систематического изложения теории разбиений (Сильвестр, 1859); осуществлено построение комбинаторного анализа, основанное на понятии простого разбиения и его обобщений (МакМагона).
В соответствии с признаками сформированности математической теории, выделенными К. А. Рыбниковым, можно сделать вывод о том, что к концу 20-х гг. XX в. рассматриваемый нами раздел комбинаторного анализа приобрел черты самостоятельной математической теории.
С 20-х годов прошлого столетия наступил четвертый этап в развитии теории разбиений, которая, как и всякая математическая теория, получила расширение и обобщение. Ее, как равноправную часть комбинаторного анализа, стали излагать в учебниках еще начала XX в., присутствует она и в современных учебных пособиях.
Таким образом, к результатам материала второй главы можно отнести: развитие аддитивной теории разбиений с середины XIX в. происходило, главным образом, за счет результатов, полученных Кэли и Сильвестром; дополняли и развивали теорию другие ученые; была построена концепция изложения комбинаторного анализа на основе понятие разбиения и его обобщения; получена независимая формула для подсчета разбиений.
В заключении диссертации обобщены результаты работы и сделаны выводы, подтверждающие положения, выносимые на защиту; отмечены перспективы дальнейшего исследования аспектов и проблем развития аддитивной теории разбиений. В результате выполненного историко-математического исследования были получены следующие результаты:
• систематизирован и обобщен фактический материал первоисточников, относящихся к проблемам возникновения и развития аддитивной теории разбиений;
• представлен исторический процесс обобщения и систематизации задач, приведших к понятию разбиения натурального числа на натуральные слагаемые;
• выяснены истоки первых теоретических обобщения таких задач;
• на основе анализа историко-математического материала раскрыт вклад Г. В. Лейбница, Л. Эйлера и др., стоявших у истоков формирования первых теоретических положений;
• прослежен процесс формирования теории разбиений в исследованиях ученых середины XIX в. в работах европейских математиков: М. Штерна, А. де Моргана, Дж. Гершеля,- не получивших должного освещения в историко-математической литературе;
• оценены научные результаты, внесенные А. Кэли и Дж. Сильвестром в структуру теории разбиений;
• сделан аргументированный вывод о выделении с 80-х гг. XIX в. рассматриваемого направления в отдельную математическую теорию;
• дана оценка значительного вклада в ее развитие А. П. МакМагона, который построил изложение всего комбинаторного анализа на понятии разбиений, тем самым расширил и углубил теорию разбиений;
• установлено, что на протяжении всего развития аддитивной теории разбиений предпринимались поиски независимой формулы для подсчета разбиений. Она была получена только в 20-х гг. XIX столетия;
• предложены четыре этапа ее развития:
I. Накопление задач, относящихся к разбиениям (VI в. до н. э. - середина XVII в.).
II. Разработка способов и методов подсчета разбиений (середина XVII в. - 60-е гг. XIX в.).
III. Систематическое построение теории разбиений (60-е гг. XIX в. -20-е гг. XX в.).
IV. Расширение понятия разбиения (с 20-х гг. XX в.);
На основе анализа полученных нами результатов был сделан ряд выводов:
1. Первые задачи на разбиения появились еще у пифагорейцев. Однако до середины XVII в. их не выделяли в отдельный класс, это сделал только Г. В. Лейбниц, высказавший предположение о методах их подсчета.
2. Впервые разрабатывать способы подсчета разбиений начал JI. Эйлер, применивший производящие функции. Такие задачи он рассматривал в рамках теории чисел под названием partitio nunerorum. В первой половине XIX в. другие методы подсчета разбиений предложили М. Штерн, А. де Морган, Дж. Гершель.
3. Дальнейшая разработка методов подсчета, а также систематическое построение теория разбиений получила с 60-х гг. XIX столетия в работах А. Кэли и Дж. Сильвестра, последний из них впервые систематически изложил ее в своем курсе лекций.
4. Значительный вклад в дальнейшее развитие рассматриваемого направления внес П. А. МакМагон. Он положил понятие разбиения в основу изложения всего комбинаторного анализа, при этом аддитивную теорию разбиений впервые стал считать его структурной частью. Независимая формула для подсчета разбиений была получена Г. Харди и С. Рама-нуджаном в 20-х гг. XX в.
Основные результаты диссертационного исследования отражены в следующих публикациях автора
Статьи в журналах, рекомендованных ВАК:
1. О числах, разбиениях и комбинаторном анализе // История науки и техники. - 2007. - № 7. - С. 3-10.
2. Развитие графического метода аддитивной теории разбиений в трудах Дж. Дж. Сильвестра // Вестник Оренбургского государственного университета. - 2010. - № 9 (115). - С. 44-50.
3. Вклад итальянских ученых в развитие аддитивной теории разбиений // История науки и техники. - 2010. - № 11. - С. 2-9 (соавт. Н. В. Ку-лимеева).
Другие публикации:
4. Вклад М. А. Штерна в развитие комбинаторной аддитивной теории разбиений // Математическое образование и наука в педвузах на современном этапе: сб. науч. тр./ отв. ред. А. Е. Малых. - Пермь: Перм. гос. пед. ун-т, 2006. - С. 52-59 (соавт. Малых А. Е.).
5. Истоки аддитивной комбинаторной теории разбиений в трудах А. Кэли и Дж. Сильвестра // Математика. Информационные технологии. Образование: материалы региональной научно-практической конференции, - Оренбург: ГОУ ОГУ, 2006,- Часть 1,- С. 229-231 (соавт. Малых А. Е.).
6. История доказательства пентагональной теоремы // Актуальные проблемы математики, механики, информатики: материалы Междунар. научно-методической конференции, посвященной 90-летию высшего математического образования на Урале. - Пермь: Пермский государственный университет, 2006. - С. 18-19 (соавт. Малых А. Е.).
7. Основные направления развития аддитивной комбинаторной теории разбиений в XIX веке // Современное математическое образование и проблемы истории и методологии математики: междунар. науч. конф.: 6-я Всероссийская школа по истории математики: Тамбов, 11-15 сентября 2006 г. / отв. ред. A.A. Артемов. - Тамбов: Изд-во Першина Р. В., 2006. - С. 89-92 (соавт. Малых А. Е.).
8. Основные направления развития аддитивной комбинаторной теории разбиений до середины XIX века // Проблемы теории и практики обучения математике: сборник научных работ, представленных на Международную научную конференцию «59 Герценовские чтения». - СПб.: Изд-во РГПУ им. А. И. Герцена, 2006. - С. 24 (соавт. Малых А. Е.).
9. Пентагональная теорема в научном наследии К. Г. Я. Якоби // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского ре-
17
гиона. - Вып. 8. - Киров: Изд-во ВятГГУ, 2006. - С. 27-33 (соавт. Малых А. Е.).
10. Развитие методов аддитивной комбинаторной теории разбиений от Г. В. Лейбница до Дж. Сильвестра // Вестник Пермского университета. - 2007. - № 7(12) - С. 175-182 (соавт. Малых А. Е.).
11. Этапы развития аддитивной комбинаторной теории разбиений// Проблемы историко-научных исследований в математике и математическом образовании: материалы Международной научной конференции (г. Пермь, 7-9 сентября 2007 г.) / отв. ред. А. Е. Малых. -Пермь: Пермский гос. пед. ун-т, 2007. - С. 87-97.
12. Обзор развития аддитивной теории разбиений// Историко-математи-ческие исследования. - Вторая серия. - Вып. 13 (48). - М.: «Янус-К», 2009. -С. 295-307.
Подписано в печать 20.09.2011. Формат60*84 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура Times New Roman. Печать - ризограф. Физ.печ.л. 1,25. усл.пе.ч.л. 1,16. Уч.-изд.л. 1. Тираж 100 экз. Заказ № 171.
Отпечатано в типографии ФГБОУ ВПО «Хакасский государственный университет им. Н. Ф. Катанова» 655017, г. Абакан, Ленина, 90а; тел. 22-51-13; e-mail: izdat@khsu.ru
Оглавление научной работы автор диссертации — кандидата физико-математических наук Медведева, Наталья Николаевна
ВВЕДЕНИЕ.
ГЛАВА 1. ФОРМИРОВАНИЕ И РАЗВИТИЕ АДДИТИВНОЙ ТЕОРИИ РАЗБИЕНИЙ ДО СЕРЕДИНЫ XIX ВЕКА.
1.1. Накопление сведений о разбиениях натурального числа.
1.2. Становление раЛШо пишегогиш в работах Л. Эйлера.
1.3. Дальнейшее развитие теории разбиений.
1.4. Разработка методов подсчета разбиений.
1.4.1. Изучение М. Штерном разбиений с использованием сочетаний.
1.4.2. Использование А. де Морганом разностных уравнений при подсчете разбиений.
1.4.3. Исследования Дж. Гершеля по теории разбиений.
ГЛАВА 2. РАЗВИТИЕ АДДИТИВНОЙ ТЕОРИИ РАЗБИЕНИЙ.
ВО ВТОРОЙ ПОЛОВИНЕ XIX ВЕКА.
2.1. Первые работы Дж. Сильвестра и А. Кэли о разбиениях.
2.2. Становление теории разбиений в трудах Дж. Сильвестра и А. Кэли
2.3. Аддитивная теория разбиений в научном наследии П.А. МакМагона
2.4. Расширение понятия разбиения.
Введение диссертации2011 год, автореферат по истории, Медведева, Наталья Николаевна
Жизнь современного общества наполнена всевозможными компьютерными технологиями, средствами автоматизации производства, системами управления технологическими процессами и т.д. В связи с этим становится все более ощутимым значение математических моделей, некоторые из которых рассматриваются в комбинаторном анализе, где изучаются вопросы, связанные с размещением и взаимным расположением частей конечного множества объектов произвольной природы (а также бесконечных множеств, удовлетворяющих некоторым условиям конечности). Его идеи имеют самое широкое распространение в таких разделах математики, как теория вероятностей, теория.чисел, алгебра, теория графов, теория конечных автоматов и др. Его методы применяются при планировании и анализе результатов научных экспериментов, кодировании сообщений, в-линейном и динамическом про-граммированиях, математической экономике и многих других областях науки и техники.
В развитии комбинаторного анализа- различают несколько, направлений. Наиболее ранним и оформленным в теоретическом^ плане является теория перечислений. В ней рассматриваются все возможные соединения элементов, удовлетворяющих определенным условиям. Одним из таких примеров является проблема распределения- каких-либо п частиц в N ячейках, причем как частицы, так и ячейки могут быть различимыми и неразличимыми. В зависимости от этого она имеет различные решения. Ситуации, в которых частицы и ячейки неразличимы, изучает аддитивная теория разбиений. Ее простейшей интерпретацией является теоретико-числовая задача о подсчете способов представления натурального числа в виде суммы натуральных слагаемых - частей разбиения. Средства этой теории позволяют решать многие практические задачи: при поиске рационального распределения памяти ЭВМ, в физике частиц, непараметрической статистике и др.
Одним из важнейших направлений исследования математических дисциплин является изучение их истории, позволяющей представить основополагающие структурные части математики в развитии и взаимодействии как единого целого. Анализ историко-математической литературы [65; 38, 40, 123] позволяет утверждать, что в настоящее время работы, посвященные целостной картине истории аддитивной теории разбиений, отсутствуют. Некоторые аспекты процесса ее формирования и развития обсуждались в работах отдельных авторов. Так, в известном «Lehrbuch der Kombinatorik» [123] немецкого математика Е. Нетто (Netto) (1848 — 1919) имеется глава,. посвященная разбиениям. В ней приведены краткие справки, так как ученый не ставил цель представить историю теории.
В хронологическом порядке с краткими аннотациями перечислены работы многих ученых, посвященные разбиениям, в одной из глав. «Истории теории чисел» английского математика JI.IO. Диксона:(Ь.К. Dickson). (1874 — 1954) [88]. ©днако; как писал академик Б.Н. Делоне [16], она носит справочный характер: Поэтому из столь краткого обзора невозможно получить представление об особенностях формирования и развития теории разбиений.
Btсвязи с изучением: научного > наел едия» Леонарда*Эйлера; Киселев, Г.П. Матвиевская [23] и Е.П. Ожигова [49] исследовали его работы ¡по «parti-tio numerorum» (такое латинское название носила теория разбиений в XVIII в.). Они установили, что ученый был первым, кто стал систематически изучать задач такого рода.
А.Е. Малых в докторской диссертации по истории комбинаторного анализа [38]: указала основные направления его развития до середины XX в. Что касается теории разбиений, то в ней намечены основные пути ее формирования, а исторический процесс развития не представлен исчерпывающим образом. Истории комбинаторных идей в математике посвящены работы Дж. Кутлумуратова [28], H.H. Пермякова [51].:
Из последних изданий, относящихся к теории разбиений, следует назвать монографию Дж. Эндрюса (G.E. Andrews) (род. в 1938 г.) «Теория разбиений» [65], русскоязычный перевод которой появился в 1982 г. Она представляет собой изложение теории и ее применения в различных областях, поэтому исторические сведения представлены лишь упоминанием имен ученых и их работ.
Во всех указанных выше источниках не ставилась проблема комплексного изучения истории аддитивной теории разбиений. Поэтому к настоящему времени отсутствуют историко-математические исследования обобщающего характера, в которых достаточно глубоко и всесторонне были бы рассмотрены истоки и предпосылки ее зарождения, формирования и развития.
Объект исследования г история комбинаторного анализа.
Предмет исследования: формирование и развитие методов аддитивной теории разбиений в<Х1Х столетии.
Цель диссертации: описание процесса формирования и развития аддитивной теории разбиений в XIX столетии.
Для достижения цели необходимо было решить следующие задачи:
- выявить предпосылки зарождения аддитивной теории разбиений;
- отыскать и рассмотреть задачи, при решении которых использовались разбиения'натуральных чисел на слагаемые;
- проследить процесс обобщения« и> систематизации задач, приведших к понятию такого разбиения;
- выяснить истоки первых теоретических обобщений-названных выше задач, решение которых привело ^ формированию наиболее ранних методов подсчета разбиений натурального числа;
- выяснить вклад ученых (Г.В. Лейбниц, Л. Эйлер и др.), исследования которых послужили отправным пунктом формирования первых теоретических положений;
- проследить дальнейшее формирование теории разбиений в исследованиях ученых середины XIX в.: М. Штерна, А. де Моргана, Дж. Гершеля;
- оценить научные результаты, внесенные в структуру теории разбиений А. Кэли, Дж. Дж. Сильвестром, П.А. МакМагоном, Г. Харди и С. Рамануджаном;
-представить основные этапы развития аддитивной теории разбиений.
Методы исследования, применяемые в диссертационной работе, включают источниковедческий и историко-научный анализ, реконструирование методов в работах отдельных ученых, историческое и логическое в единстве, анализ и синтез, обобщение, систематизацию.
Научная новизна диссертационного исследования заключается в следующих результатах:
1. Выявлены задачи, решение которых,привело к возникновению понятия разбиения.
2. Систематизированы сведения относительно формирования и развития теории разбиений на основе содержания теории, методов и задач на разных этапах ее истории.
3. Впервые выделены основные этапы развития аддитивной теории* разбиений и определено содержание каждого >из них;
4. Впервые оценен вклад ученых (Г.В. Лейбница, Л. Эйлера; М* Штерна, А. де Моргана, Дж. Гершеля, Дж. Сильвестра, А. Кэли, П.А. МакМагона, Г. Харди, С. Рамануджана) в развитие аддитивной теории разбиений; показано развитие методов подсчета разбиений в работах указанных исследователей.
5. Впервые выполнена реконструкция методов в работах отдельных ученых (М. Штерн, А. де Морган).
6. Впервые на основе анализа первоисточников установлен тот факт, что становление аддитивной теории разбиений как самостоятельной математической дисциплины произошло в работах Дж. Дж. Сильвестра, А. Кэли и П.А. МакМагона.
На защиту выносятся следующие положения:
1. В формировании и развитии аддитивной теории разбиений выделены четыре основных этапа:
I. Накопление задач на разбиения (VI в. до н. э. — середина XVII в.). II. Разработка способов и методов подсчета разбиений (середина XVII в. — 60-е годы XIX в.).
III. Систематическое построение теории разбиений (60-е годы XIX в. — 20-е годы XX в.).
IV. Расширение понятия разбиения (с 20-х годов XX в.).
2. Начало формированию аддитивной теории разбиений положено в работах JL Эйлера по partitio numerorum. М. Штерн, А. де Морган, Дж. Гершель разрабатывали методы подсчета разбиений для решения практических задач, появившихся в других дисциплинах.
3. Становление аддитивной теории разбиений было положено работами А. Кэли и Дж. Сильвестра. Значительный вклад в процесс ее обобщения и расширения внес П.А. МакМагон, построивший свою комбинаторную доктрину целиком на понятии разбиения числа.
Практическая ценность диссертации состоит в том, что ее результаты могут быть предложены для использования в исследовательской'и преподавательской деятельности, касающейся освещения вопросов истории комбинаторного анализа, аддитивной теории разбиений.
Результаты диссертационного исследования и его основные положения докладывались автором на следующих конференциях и семинарах:
- Всероссийском семинаре по истории и методологии математики и механики при МГУ им. М.В. Ломоносова (Москва, 2006, 2007);
- Международной научной конференции «59 Герценовские чтения» (Санкт-Петербург, апрель 2006);
- Международной научной конференции «Современное математическое образование и проблемы истории и методологии математики» (Тамбов, 2006);
- Международной научно-методической конференция, посвященной 90-летию высшего математического образования на Урале «Актуальные проблемы математики, механики, информатики» (Пермь, 2006);
- Региональной научно-практической конференции «Математика. Информационные технологии. Образование» (Оренбург, 2006);
- Семинаре по истории науки при Оренбургском государственном педагогическом университете (Оренбург, 2006);
- Международной научной конференции «Леонард Эйлер и современная наука» (Санкт - Петербург, 2007);
- Международной научной конференции «Проблемы историко-научных исследований в математике и математическом образовании» (Пермь, 2007);
- Международной конференции «Колмогоровские чтения-2009» (Ярославль, 2009).
Список печатных работ по теме исследования включает 12 наименований общим объемом 4,72 печатных листа.
Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения, библиографического списка использованной литературы, содержащего 154 наименований, двух рисунков и 6 таблиц. Объем работы — 161 страница.
Заключение научной работыдиссертация на тему "Формирование и развитие аддитивной теории разбиений в XIX столетии"
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Изучение современного состояния проблемы показало актуальность рассматриваемой темы. В ходе историко-математического исследования формирования и развития аддитивной теории разбиений в XIX в. были получены следующие результаты:
1) систематизированы сведения; касающиеся процесса формирования и становления теории разбиений;
2) выяснено, что простейшие разбиения натурального числа присутствовали еще у пифагорейцев в связи с изучением фигурных чисел. Они встречались также и в работах восточных и западных математиков. Ал-Хазини указывал, что задачу разбиения натурального числа на такие же слагаемые нужно рассматривать отдельно: Г.В. Лейбниц не только выделил задачи на разбиения в отдельный:класс, но и предположил, что они связаны с комбинаторными соединениями и симметрическими; функциями. В общем, виде задачи на, разбиения (с повторением слагаемых и без них) впервые строго сформулировал Л'. Эйлер, он использовал для,: решения производящие функции. Ученый впервые стал систематически изучать их в рамках теории чисел и называл рагШо питегогит\
3) установлено, что в первой половине XIX в. в работах европейских математиков были предложены другие методы подсчета, разбиений: М. Штерн использовал комбинаторные соединения с определенными суммами, А. де Морган иДж. Гершель теорию конечных разностей;
4) выявлено, что во второй половине ХГХ столетия ведущая роль в развитии теории разбиений принадлежала А. Кэли и Дж. Сильвестру. Первоначально названные ученые интересовались разбиениями с точки зрения применения для решения других задач. О 60-х гг. XIX в. они стали систематически изучать виды разбиений, взаимосвязи между ними, продолжали развивать методы подсчета. В 80-х гг. того же столетия Сильвестром был разработан графический метод доказательства теорем о разбиениях, специфический для данной теории. Кроме того, он предпринял первую попытку изложения теории разбиений рамках курса лекций; Все это свидетельствует о выделении рассматриваемого направления в отдельную математическую теорию;
5) выяснено, что в конце XIX — начале XX вв. значительный вклад в развитие теории внес А.П. МакМагон, построивший изложение всего комбинаторного анализа на понятии разбиения, тем самым расширив и углубив теорию;
6) установлено, что несмотря на значительный вклад, внесенный в развитие теории; Эйлером; Кэли, Сильвестром, МакМагоном, никому их них не удалось вывести независимой формулы для подсчета разбиений. Такая формула была получена только в 20-х гг. XX в. Харди иРамануджаном;
7) предложены;четыре этапа ее развития:
I. Накопление задач, относящихся к разбиениям (VI в. до н. э. - середина XVII в.).
II; Разработка способов и методов подсчета разбиений (середина XVII в. - 60-е гг. XIX в.).
III., Систематическое, построение теории разбиений (60-е гг. XIX в. — 20-е гг. XX в.).
IV. Расширение понятия разбиения (с 20-х гг. XX в.);
На основе анализа полученных нами результатов сделан ряд выводов:
1. Первые задачи на разбиения появились еще у пифагорейцев. Однако до середины XVII в. их не выделяли в отдельный: класс, это сделал только Г.В. Лейбниц, высказавший предположение о методах их подсчета;
2. Впервые разрабатывать способы подсчета разбиений начал Л: Эйлер, применивший производящие функции; Такие задачи он рассматривал в рамках теории чисел под названием'рагййо пипегогат. В первой половине XIX в. другие методы подсчета разбиений предложили М. Штерн, А. де Морган, Дж. Гершель.
3. Дальнейшая разработка методов подсчета, а также систематическое построение теория разбиений получила с 60-х гг. XIX столетия в работах А. Кэли и Дж. Сильвестра, последний из них впервые систематически изложил ее в своем курсе лекций.
4. Значительный вклад в дальнейшее развитие рассматриваемого направления внес П.А. МакМагон. Он положил понятие разбиения в основу изложения всего комбинаторного анализа, при этом аддитивную теорию разбиений впервые стал считать его структурной частью. Независимая формула для подсчета разбиений была получена Г. Харди и С. Рамануджаном в 20-х гг. XX в.
Список научной литературыМедведева, Наталья Николаевна, диссертация по теме "История науки и техники"
1. Андерсон, Дою. Дискретная математика и комбинаторика/ Дж. Андерсон. - М.; СПб ; Киев : Вильяме, 2004. - 960 с.
2. Баврин, И.И. Занимательные задачи по математике / И.И. Баврин, Е.А. Фрибус. М-: ВЛАДОС, 2003. -208 с.
3. Баранов, В.И. Экстремальные комбинаторные задачи и их приложения / В.И. Баранов. Б.С. Стечкин. — 2-е изд., исправ. и доп. — М. : Физматлит, 2004. 240 с.
4. Башмакова, И.Г. История диофантова анализа от Диофанта до Ферма / И.Г. Башмакова, Е.И. Славутин. — М : Наука, 1984. — 256 с.
5. Башмакова, И.Г. Лекции по истории математики в древней Греции / И.Г. Башмакова // Историко-математические исследования. — М. : Физматлит, 1958.-Вып. XI.-С. 225-438. '
6. Беллавитис, Джусто — карточка личности, досье знаменитости, информация о известной личности электронный ресурс. Электрон, дан. -Режим доступа : http://persons-info.com (дата обращения 17.05.2010).
7. Бирман, K.P. Возможные методы греческой комбинаторики / K.P. Бирман // Вопросы истории естествознания и техники. М., 1963. - Вып. 15. - С.103-105.
8. Бобынин, В.В. Морган Август / В.В. Бобынин // Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза, И.А. Ефрона. — Репринт, изд.-е. — СПб ; Ярославль : Терра-Терра, 1992. Т. 38. - 962 с.
9. Бриоски Франческо— карточка личности, досье знаменитости, информация о известной личности электронный ресурс. — Электрон, дан. -Режим доступа : http://persons-info.com (дата обращения 17.05.2010).
10. Брылевская, Л.И. Алкуин (ок. 735-804 гг.) / Л.И. Брылевская // Математика в школе. 1991. - №5. - С. 68-70.
11. Буняковский, В.Я. Лексикон чистой и прикладной математики / В.Я. Буняковский. Т.1 : А-Д. - СПб : Типография Императорской АН, 1839.-464 с.
12. Веселовский, И.Н. «О многоугольных числах» Диофанта // Диофант Александрийский. Арифметика и книга о многоугольных числах / И.Н. Веселовский ; пер. ИЛЗ. Веселовского. — М. : Наука, 1974. С. 28-34.
13. Вплейтнер, Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия / Г. Вилейтнер ; под ред. А.П. Юшкевича. — 2-е изд. М. : Наука, 1966. - 508 с.
14. Виленкин, Н.Я. Комбинаторика / Н.Я. Виленкин. — М. : Наука; 1969.-328 с.
15. Гаврилов, Г.П. О некоторых тенденциях теории' перечисления / Г.П. Гаврилов, В.А. Лисковец, П.П. Пермяков, Б.И. Селиванов // Перечислительные задачи комбинаторного анализа : сб. статей / под ред. Г.П: Гаврилова. -М. : Мир, 1979. С. 336-362.
16. Демидов, С.С. Историография истории математики в России и СССР / С.С. Демидов // Принципы историографии естествознания: XX век / Отв. ред. И.С. Тимофеев: СПб. : Алетейя, 2001. - С. 254-273.
17. Депман, И.Я. История арифметики / И .Я. Депман. —2-е изд., испр. — М. : Просвещение, 1965.-415 с.
18. Из истории математики XVIII века. К предстоящему 300-летнему юбилею Леонарда Эйлера: сб. науч. статей / отв. ред. Г.П. Матвиевская. — Оренбург : Изд-во Оренбургского гос. пед. ун-та, 2000. — Вып. 1. — 80 с.
19. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия : в 3 томах / И.Г. Башмакова, Э.И. Березкина, А.И. Володарский и др. ;под ред. А.П. Юшкевича. — Т.1: G древнейших времен до начала нового времени. М. : Наука, 1970. - 352 с.
20. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия: в 3 томах. / И.Г. Башмакова, Э.И. Березкина, А.И. Володарский и др. ; под ред. А.П. Юшкевича; — Т.З: Математика XVIII; столетия. — М. : Наука; 1972. — 496 с
21. Клейн, Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. / Ф.Клейн ; пер. Н.М. Нагорного ; под., ред. М:М! Постникова: — Ml: Наука,. 1989.-456 с.
22. Комбинаторный анализ. Задачи; и; упражнения. : учеб. пособие / М.В. Меньшиков, A.M. Ревякин, А.Н. Копылова,. ЮЛ1. Макаров, Б.С. Стечкин:; под ред. К.А. Рыбникова.- — Mi : Наука; 1982. — 368 с. :
23. Кутлумуратов, Дж. О развитии^ комбинаторных методов математики / Дж. Кутлумуратов. Нукус: : .Каракалпакия»; 1964. — 124 с.
24. Ландо, С.К. Лекции о производящих функциях / С.К. Ландо; 2-е изд., испр. - М. : Изд-во МЦНМО, 2004. - 144 с.
25. Левин, В.И. Жизнь и творчество С. Рамануджана / В.И. Левин // Историко-математические исследования. М. : Физматлит, 1960. -Вып. XIII. - С.335-378.
26. Левин, В.И. Рамануджан — математический гений Индии/ В.И. Левин. — М. : Знание, 1968. 48 с. (Серия « Новое в жизни, науке, технике: математика, кибернетика»).
27. Малаховский, B.C. Числа знакомые и незнакомые: учеб. пособие/ B.C. Малаховский. Калининград : Янтарный сказ, 2004. — 184'с.
28. Малых, А.Е. Возникновение и развитие конечных геометрий: авто-реф. дис. . канд. физ.-мат. наук: 07.00.10 / А.Е. Малых. — М. : Изд-во Моск. гос. ун-та, 1983. 16 с.
29. Малых, А.Е. Из жизни и деятельности А. Кэли / А.Е. Малых // История и методология науки. — Пермь : Изд-во Пермского» гос. ун-та, 1995. — Вып. 2.-С.4-17.
30. Малых, А.Е. Из комбинаторного наследия Леонарда Эйлера / А.Е. Малых // История и методология естественных наук. М. : Наука, 1989. - Вып. XXXVI. - С. 66-74.
31. Малых, А.Е. Из комбинаторного наследия Леонарда Эйлера / А.Е. Малых / В кн. «Леонард Эйлер: к 300-летию со дня рождения» / сост. Л.И. Брылевская, М. Маттмюллер, Ж. Сезиано. СПб : Нестор-История, 2008.-С. 69-78.
32. Малых, А.Е. История математики в задачах: в 2 частях. / А.Е. Малых. — Ч. 2: Математика Древней Греции. — Пермь : Изд-во Пермского гос. пед. ин-та, 1993. 90 с.
33. Малых, А.Е. Комбинаторный анализ в его развитии: дисс. . докт. физ.-мат. наук: 07.00.10 / А.Е. Малых Пермь : Изд-во Пермского гос. пед. ин-та, 1992.
34. Малых, А.Е. Развитие комбинаторного анализа математиками гин-денбургской школы на рубеже XVIII-X3X веков / А.Е. Малых, О.Д. Угольникова // История и методология науки. — Пермь : Изд-во Пермского гос. ун-та, 2003. Вып. 10. — С. 17-39.
35. Малых, А.Е. Структура комбинаторного анализа в XIX столетии / А.Е. Малых // История и методология науки — Пермь : Изд-во Пермского гос. ун-та, 2001. Вып. 8. - С. 3-11.
36. Матвиевская, Г.П. Заметки о многоугольных числах в записных книжках Эйлера / Г.П. Матвиевская // Историко-математические исследования. М.: Наука, 1983. - Вып. 27. - С. 27-50.
37. Матвиевская, Г.П. Развитие учения о числе в Европе до XVII века / Г.П. Матвиевская. Ташкент : ФАН, 1971. — 231 с.
38. Математика XIX века. Математическая логика. Алгебра. Теория чисел. Теория вероятностей / И.Г. Башмакова, Б.В. Гнеденко, З.А. Кузичева и др.; под ред. А.Н. Колмогорова, А.П. Юшкевича. — М : Наука, 1978. 256 с.
39. Математика XIX века. Геометрия. Теория аналитических функций / Б.Л. Лаптев, А.И. Маркушевич, Ф.А. Медведев, Б.А. Розенфельд ; под ред. А.Н. Колмогорова, А.П. Юшкевича. М : Наука, 1981. 270 с.
40. Математический энциклопедический' словарь / гл. ред. Ю.в: Прохоров. -М. : Советская энциклопедия, 1988. — 847 с.
41. Микулинский, С.Р: Методологические вопросы историко-научного исследования / С.Р. Микулинский // Проблемы истории и методологии^ научного познания. -М. : Наука, 1974. — С. 20-34.
42. Неопубликованные материалы Л. Эйлера по теории чисел / сост. Г.П. Матвиевская, Е.П. Ожигова, Н.И. Невская, Ю.Х. Копелевич. — СПб : Наука, 1997.-255 с.
43. Ожигова, Е.П. Об истоках символических и комбинаторных методов в конце XVIII начале XIX в. / Е.П. Ожигова // Историко-математические исследования. - М.: Наука, 1979. — Вып. XXIV. — С. 121-157.
44. Ожигова, Е.П. Развитие теории чисел в России / Е.П. Ожигова. — 2-е изд., стереотип. -М. : Едиториал УРСС, 2003. 360 с.
45. Пермяков, 77.77. Некоторые вопросы развития комбинаторного анализа : автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук: 07.00.10 / П.П. Пермяков. — М. : Изд-во Моск. гос. ун-та, 1978. — 22 с.
46. Риордан, Дж. Введение в комбинаторный анализ / Дж. Риордан ; пер. с англ. Л.Е. Садовского ; под ред. Л .Я. куликова- М. : Изд-во иностр. литературы,, 1963. 288 с.
47. Рожанская; М.М: Абу-л-Фатх Абд ар-Рахман ал-Хазинш XII в. / М.М. Рожанская ; отв. ред. Г.П. Матвиевская. М. : Наука, 1991.
48. Рыбников, К. А. Введение в комбинаторный анализ/ . К.А. Рыбников. 2-е изд. — М. : Изд-во Моск. гос. ун-та; 1979. - 128 с.55: Рыбников, К А. Введение в методологию математики/ К.А. Рыбников. -М: : Изд-во Моск. гос. ун-та, 1985. — 308 с.
49. Рыбников; К А. История; математики? .: учеб. пособие/ K:AVPыбникoв.1-M.J.:.№д-вo^M6cк.Foc.^yн-тail•994^-496••c:.
50. Стройк, Д.Я: Краткий очерк истории математики; / Д.Я. Стройк ; пер. с нем. ИБ: Погребысскогог —4-е изд: М1: Наука;, 1984^ - 288 с;
51. Уголышкова, О.Д Формирование и развитие комбинаторного анализа в XVIII веке: дис. . канд. физ:-мат. наук: 07.00:10 / О.Д. Уголышкова. — Пермь : Изд-во Пермского гос. пед. ун-та, 2004. 175 с.
52. Холл, М. Комбинаторика; / пер; с англ. С.А. Широковой1; под ред.
53. A.О. Гельфонда и В.е. Тараканова. М. : мир, 1970. Ел. Разбиения. - С. 4564.
54. Холл, М Комбинаторный анализ/ М. Холл ; мер. с англ. К.А. Рыбникова;-М; : Изд-во иностр: литературы, 1963.,—99 с.
55. Шереметевский, В.П. Очерки по истории математики /
56. B.П. Шереметевский. 2-е изд., стереотип. — М. : Едиториал УРСС, 2004. — 184 с.
57. Эйлер, Л. Введение в анализ бесконечных / Л.Эйлер ;. пер. Е.Л. Пацановского. М.-Л. : ОНТИ, 1936. - Т.1 - 352 с.
58. Эйлер, JI. Переписка. Аннотированный указатель / JI. Эйлер. — JI. : Наука, 1967. 392 с.
59. Эйлер, Л. Письма к ученым / JI. Эйлер ; сост. Т.Н. Кладо, Ю.Х. Копелевич, Т.А. Лукина ; под ред. В.И. Смирнова. — М.-Л. : Изд-во АН СССР, 1963.-398 с.
60. Эндрюс, Г. Теория разбиений / Г. Эндрюс ; пер. Б.С. Стечкина. — М. :Наука, 1982.-256 с.
61. Юшкевич, А.П. Христиан Гольдбах. 1690-1764 / А.П. Юшкевич, Ю.Х. Копелевич. -М. : Наука, 1983. 223 с.
62. Andrews, G.E. Euler's «De partitio numerorum» / Andrews G.E. // Bulletin (New Series) of the American Mathematical Society. Vol. 44. — №4. — P. 561-573.
63. Bachmann, P. Niedere Zahlentheoie / P. Bachmann. T.2: Additive Zahlentheory. — Leipzig : Druck und Verlag von B.G. Teubner, 1910. — 480 c.
64. Baker, H. F. Biographical Notice / H. F. Baker // The collection mathematical Papers. Vol. IV. - Cambridge : at the University press, 1912.— P. I-XXXVII.
65. Baker, H. F. Persy Alexander MacMahon / H. F. Baker // Journal London Mathematical Society. Vol. V, p.4. - № 20. - 1930, october. - P. 307-318.
66. Bellavitis; G. Sulla partizione dei numeri e sul numero degli invarianti / G. Bellavitis // Annali di matematica pura ed applicata. Tomo II : Roma, 1859. -P. 137-147.
67. Brioschi, F. Sulla partizione dei numeri / F. Brioschi // Annali di matemiche e fisiche. — Roma: Tipografa delle Belle Arti, 1857. — P. 5-12.
68. Cayley, A. A problem in partitions // The collected mathematical Papers. — Vol. XI. Cambridge : the University press, 1896. - P. 61-62.
69. Cayley, A. Apropos of partitions // The collected mathematical Papers. — Vol. III. — Cambridge : the University press, 1890. P. 36-37.
70. Cayley, A. A memoir on the symmetric functions of the roots of an equation // The collected mathematical Papers. — Vol. II. — Cambridge : the University press, 1889.-P. 417-439.
71. Cayley, A. A second memoir upon Quantics / A. Cayley // The collection mathematical Papers. Vol. II. — Cambridge : at the University press, 1889. -P. 250-275.
72. Cayley, A. Numbers, partition of / A. Cayley // The collection mathematical Papers. Vol. XI. - Cambridge : at the University press, 1889. — P. 589591.
73. Cayley, A. Numerical tables supplementary to second memoir on Quantics / A. Cayley // The collection mathematical Papers. Vol. II. - Cambridge : at the University press, 1889. - P. 276-281.
74. Cayley, A. On a problem in the partition of numbers / A. Cayley // The collection mathematical Papers. — Vol. III. Cambridge : at the University press, 1890.-P. 247-249.
75. Cayley, A. On a problem of double partitions / A. Cayley // The collection mathematical Papers. — Vol. IV. — Cambridge : at the University press, 1891. — P. 166-170.
76. Cayley, A. Problem and solutions / A. Cayley // The collection mathematical Papers. Vol. VII. - Cambridge : at the University press, 1894. - P. 576577.
77. Cayley, A. Researches on the partition of numbers / A. Cayley // The collection mathematical Papers. — Vol. II. Cambridge : at the University press, 1889.-P. 235-249.
78. Cayley, A. Specimen of a literal table for binare Quantics, otherwise a partition table / A. Cayley // The collection mathematical Papers. — Vol. XI. — Cambridge : at the University press, 1896. — P. 357-364.
79. Cayley, A. Supplementary researches on the partition of numbers / A. Cayley // The collection mathematical Papers. Vol. II. — Cambridge : at the University press, 1889. - P. 506-512.
80. Cayley, A. Theorem in the trigonometry and on partitions / A. Cayley // The collection mathematical Papers. — Vol. X. — Cambridge : at the University press, 1896.-P. 16.
81. Dickson, L.E. History of the theory of numbers / L.E. Dickson — Vol. II. New York : CHELEA PUBLISHING COMPANY, 1971.-804 P.
82. Enciclopedic Dictonary of Mathematics: Second Edition. — Vol. III. — The MIT Press Cambridge, Massachusetts and London, 1987. P. 1230-1232.
83. Jacobi, C.G.J. Beweis des- Sätzen, dass jede nicht fünfeckige Zahl eben so oft in eine gerade als ungerade Anzahl verschiedener Zahlen zerlegt werden kann / C.G.J. Jacobi // Gesammelte Werke. Berlin, 1891'. - Bd. 6. - S. 303317.
84. Jacobi, C.G.J. Elementarer Beweis einer merkwürdigen analitischen Formel. / C.G. Jacobi // Journal für die reine und angewandte Mathematik.— 1840.-Bd. 21.-S. 13-32.
85. Jacobi, C.G.J. Fundamenta nova theoriae functinum ellipticarum / C.G.J. Jacobi // Gesammelte Werke. Berlin, 1881. - Bd. 1. - S. 49-239.
86. Hardy, G.H. Ramanujans asymptotic formulae in combinatorial analysis // Proc.Lond.Math.Soc., 1918. -Vol.2. № 17.-P.75-115.
87. Herschel, J.F.W. On the Algebraic Expression of the number of Partitions of which a given- number is susceptible / J.F.W. Herschel // Philosophical Transactions of the Royal Society of London. 140. - Part. II. - 1850. - P. 399422.
88. MacMahon, P.A. A certain class of generating functions in the theory of numbers / P.A. MacMahon// Philosophical Transactions. —1894.— Vol. 185.— P. 111-160.
89. MacMahon, P.A. Certain special partitions of numbers / P.A. MacMahon// Quarterly Journal of Mathematics. -1886. Vol. 21. - P. 367373.
90. MacMahon, P.A. Collected Parers. — Vol. I. Combinatorics / P.A. MacMahon. Cambridge, Massachusetts and London, England, 1978.
91. MacMahon, P.A. Combinatory analysis / P.A. MacMahon. Vol. I, II.-New York, 1915.
92. MacMahon, P.A. Combinatory analysis: a review of the present state of knowledge / P.A. MacMahon // Proceedings London Mathematical Society. — 1897.-Vol. 28.-P. 5-32.
93. MacMahon, P.A. Dirichlet series and the theory of partitions/ P.A. MacMahon // Proceedings London Mathematical Society (2). 1924. -Vol. 22.-P. 404-411.
94. MacMahon, P.A. Divisors of numbers and their continuations in the theory of partitions / P.A. MacMahon // Proceedings London Mathematical Society (2). -1920.-Vol. 19.-P. 75-113.
95. MacMahon, P.A. Memoir on the theory of composition of numbers. // P.A. MacMahon // Philosophical Transactions. -1894. Vol. 185. - P. 835-901.
96. MacMahon, P.A. Memoir on the theory of partitions of numbers. Part I / P.A. MacMahon // Philosophical Transactions. -1897. Vol. 187. - P. 619673.
97. MacMahon, P.A. Memoir on the theoiy of partitions of numbers. Part II/ P.A. MacMahon// Philosophical Transactions. -1899.- Vol. 192.-P. 351-401.
98. MacMahon, P.A. Memoir on the theory of partitions of numbers. Part III/ P.A. MacMahon// Philosophical Transactions. -1906.- Vol. 205.-P. 37-58.
99. MacMahon, P.A. Memoir on the theory of partitions of numbers. Part IV/ P.A. MacMahon// Philosophical Transactions. -1909.- Vol. 209.-P.153-175.
100. MacMahon, P.A. Memoir on the theory of partitions of numbers. Part V / P.A. MacMahon // Philosophical Transactions. -1912. Vol. 211. - P. 75110.
101. MacMahon, P.A. Memoir on the theory of partitions of numbers. Part VI/ P.A. MacMahon// Philosophical Transactions. -1912.- Vol. 211.-P. 345-373.
102. MacMahon, P.A. Memoir on the theory of partitions of numbers. Part VII/ P.A. MacMahon// Philosophical Transactions. -1917.- Vol. 217.-P. 81-113.
103. MacMahon, P. A. Note on the parity of the number, which enumerates the partitions of a number / P.A. MacMahon // Proceedings Cambridge Mathematical Society. 1921. - Vol. 20. - P. 281-283.
104. MacMahon, P.A. Observations on the generating functions of the theory of invariants / P.A. MacMahon // American Journal of Mathematics. —1887. — Vol. 9.-P. 189-192.
105. MacMahon, P.A. On partitions into4 unequal and into uneven parts / P. A. MacMahon // Quarterly Journal of Mathematics. -1920. Vol. 49. - P. 40-45.
106. MacMahon, P.A. Partition analysis and any systems of consecutive integers / P.A. MacMahon // Transactions Cambridge Philosophical Society. -1900.-Vol. 18.-P. 12-34.
107. MacMahon, P.A. Partition of numbers whose graphs possess symmetry/ P.A. MacMahon// Transactions Cambridge Philosophical Society. -1899,-Vol. 17.-P. 49-170.
108. MacMahon, P.A. The enumeration of partitions of multipartite numbers / P.A. MacMahon // Proceedings Cambridge Mathematical Society. —1925. -Vol. 22.-P. 951-963.
109. MacMahon, P.A. The parity of p(n) the number of partitions of n, when «<1000 / P.A. MacMahon// Journal London- Mathematical Society. -1926. Vol. 1.-P. 215-226.
110. MacMahon, P.A. The partition of infinity with-some arithmetic and'algebraic consequences / P.A. MacMahon // Proceedings Cambridge Mathematical Society. -1923. Vol. 21. - P. 642-650.
111. MacMahon, P.A. The theory of modular partitions / P.A. MacMahon // Proceedings Cambridge Mathematical Society. -1923. Vol. 21. - P. 197-204.
112. MacMahon, P.A. The theory of perfect partitions and the compositions of multipartite numbers / P.A. MacMahon // Messenger of Mathematics. —1891. — Vol. 20.-P. 103-119.
113. Morgan, A. On a new species ofequations of differences / A. Morgan // The Cambredge mathematical Journal. Vol: IV. - London, 1843. - P. 87-90.
114. Netto, E. Lehrbuch der Combinatorik / E. Netto. Leipzig und Berlin: Verlag und Druck von G.Teubner, 1927. — 341 S.
115. Poggendorf, J.C. Biographisch-literarisches Handwörterbuch.-Bd. 8 (1858-1883). — Leipzig : Verlag von Johann Ambrosius Barth, 1898.-S. 1292.
116. Rädemacher, H.A. A convergent series for the partition function p(n) II Proc.Nat.Acad.Scienc., 1937. Vol.23. -P.78-84.
117. Rademacher, H.A. On the expansion of the partition function in a se-rues / Rademacher H.A. // Annals of Mathematic. 44. - 1943. - P. 416-422.
118. Rademacher, H.A. On the partition function p{n) / Rademacher H.A. // Proceedings London Mathematical Society. 2 (43). - 1937. - P. 241-254.
119. Rademacher, H.A. On the Seiberg formula for Ak(n) I Rademacher H.A. // Journal Indian Mathematical Society (N. S.). 21. - 1958. - P. 4155.
120. Rademacher, H.A. Topic in Analytic Number Theory / Rademacher H.A. Berlin, 1973.
121. Stern, M. Aufgaben / M. Stern // Journal fur die reine und angewandte /Mathematik, 1838.-Bd. 18.-S. 100:
122. Stern, M. Beitrage zur Combinationslehre und deren Anwendung auf die Theorie der Zahlen / M. Stern // Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1840.-Bd. 21. -S. 177-192.
123. Stern, M: Beitrage zur Combinationslehre und deren Anwendung auf die Theorie der Zahlen / M. Stern // Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1840. Bd. 21. - S. 91-97.
124. Sylvester, J.J. A constructive theory of partitions, arranged in three acts, an interact and an exodion/ J.J. Sylvester // The collection mathematical Papers. Vol. IV. - Cambridge : at the University press, 1912. - P. 1-83.
125. Sylvester, J.J. An instaneous graphical proof of Euler's theorem on the partitions of pentagonal and non-pentagonal numbers / J.J. Sylvester // The collection mathematical'Papers. Vol. III. — Cambridge : at,the University press, 1909. -P. 685-686.
126. Sylvester, J.J. Généralisation d'un théorème de M. Cauchy / J.J. Sylvester Il The collection mathematical Papers. — Vol. II. Cambridge : at the University press, 1908. - P. 245 - 246.
127. Sylvester, J.J. Note on the .«Enumeration of the contacts of lines and surfaces of the second order» / J.J. Sylvester // The collection mathematical Papers. — Vol. II. Cambridge : at the University press, 1908. — P. 30 — 33:
128. Sylvester, J.J. Note on the equation in numbers of the first degree between any number of variables with positive coefficients / J.J. Sylvester // The collection mathematical Papers. -Vol. II. — Cambridge : at the University press,1908.-P. 110-112.
129. Sylvester, J.J. Note on the graphical method in partitions / J.J. Sylvester // The collection mathematical Papers. —Vol. III. — Cambridge : at the University press, 1908. P. 683 - 684.
130. Sylvester, J.J. On a generalization of a theorem of Cauchy on arrangements •'/ J.J. Sylvester // The collection mathematical Papers. — Vol. II. — Cambridge : atthe University press, 1908. P. 290-293.
131. Sylvester, J.J. On a geometrical proof a theorem in numbers / JJV Sylvester // The collection mathematical Papers. Vol. III. — Cambridge : at the-University press; 1909. - P. 635-639.
132. Sylvester, J.J. On a new theorem in partitions / J.J. Sylvester // The col-^ lection" mathematical Papers. Vol. III. — Cambridge : at the University press, 1909s--P: 680-682.
133. Sylvester, J.J. On a question in partitions / J.J. Sylvester// The collec-titfni mathematical Papers. Vol. III. - Cambridge : at the University press, 1909.'— Pi 634.- • • •.
134. Sylvester, J.J. On Subinvariants, that is, Semi-Invariants to Binary Quantics of an Unlimited Order / J J. Sylvester // The collection mathematical Papers. Vol. III. - Cambridge : at the University press, 1909. -P.605-622.
135. Sylvester, J.J. On the partition* of numbers / J J. Sylvester // The collection mathematical Papers. Vol. II. — Cambridge : at the University press, 1908. -P.90-99:
136. Sylvester, J.J. On the problem of the virgins, and the general theory of compound partition / J.J. Sylvester // The collection mathematical Papers. -Vol. II. Cambridge : at the University press, 1908. - P. 113-117.
137. Sylvester, J.J. On the use of cross-gratings to obtain certain developments connected with the theory of elliptic functions / J.J. Sylvester // The collection mathematical Papers. Vol. III. - Cambridge : at the University press, 1909. -P. 667-671.
