автореферат диссертации по истории, специальность ВАК РФ 07.00.10
диссертация на тему: Из истории теории симметрических функций и ее связей с другими областями математики

Полный текст автореферата диссертации по теме "Из истории теории симметрических функций и ее связей с другими областями математики"

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ИСТОРИИ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ И ТЕХНИКИ

На правах рукописи

ИВАНОВ Олег Валентинович

УДК 512 (092) +519.11(091;

ИЗ ИСТОРИИ ТЕОРИИ СИММЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ И ЕЁ СВЯЗЕЙ С ДРУГИМИ ОБЛАСТЯМИ МАТЕМАТИКИ

07.00.10 - история науки и техники

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математические наук

Могква 1992

Работа выполнена в Московском государственном университ< им. Ы. Е Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор К. А. Рыбников •Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

Ведущая организация - Российский государственный

педагогический университет им. Герце! Санкт-Петербург '

Защита состоится 15 октября 1992 г. в 15 часов на заседали специализированного совета К 003.11.04 по присуждению учено степени кандидата физико-математических наук в Институте истори естествознания и техники РАН по адресу: 103012, Москва, К-12 Старопанский пер., 1/5.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Институте истории естествознания и техники РАЕ

Автореферат разослан 14 октября 1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат Б. М. Мариничев

профессор ЕЕ Латышев,

доктор физико-математических наук

С. С. Демидов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

В процессе развития математики любая теория оказывается свя-анной с другими, иногда весьма удаленными по своему содержании методам. Такие связи возникали1 в различные периоды времени, од воздействием самых разных причин. Спустя некоторый срок не-юторые из них перестают быть заметны или утрачиваются совсем, .оскольку в них отпадает необходимость, а некоторые становятся 1Тправной точкой для новых математических теорий. Совершенно ютественно, что изучение отдельной теории, истории ее вовникно-юния и развития возможно проводить лишь в ее взаимосвязи с дру-'ими областями.

В полной мере это относится к теории симметрических функций, face первый взгляд на нее позволяет понять, что она связана со многими разделами математики: алгебраической теорией уравнений, теорией чисел, комбинаторикой, представлениями групп, теорией инвариантов. Один из важных вопросов заключается в том, как могло случиться, что теория симметрических функций получила столь широкую "географию" применений, как происходило ее возникновение и развитие. »

Дж. К. Рота , цитируя Хигмана, отмечает, что "каждое поколение вновь открывает их [симметрические функций и излагает на новейшем жаргоне. Сегодня это К-теория, вчера - категории и функторы, а позавчера - представления групп. За этими и некоторыми другими привлекательными теориями стоит один неиссякаемый источник - заурядное, грубое определение симметрических функций и тождества, которым они удовлетворяют".

Как известно, сааютряческоЗ называют функцию от нескольких аргументов, которая не изменяет своего значения при произвольных перестановках аргументов., Принято выделять несколько часто

1. Мао Mahon P.A. Collected papers, ed. Q. E. Andrews, Massachusetts Institute of Technology, Vol. 1 - 1978, Vol. 2 -1986. Cambridhge, Massachussets, London, серия "Математики нале-го времени", общая ред.. предисл. Д*.К.Рота. с. nil.

испольэуеыых классов симметрических функций. Пусть X - раэбиени произвольного целсго числа И на слагаемые: А «■ -Тогда мономиальные симметрические функции - это многочлены о переменных Х{ вида

- 22 ^ хсл ... Х1п ^ уОЛ ").

элементарные симметрические функции:

а„ = 22 х^ ... аг.^ ая=ал,...алй

полные однородные симметрические функции:

где сумма берется по всем возможным разбиениям а числа Я ; степенные суммы: .

-¿а,..

»

выделяют и другие классы симметрических функций, например, функ ции Щура.

Существуют соотношения, которые связывают меаду собой раз личные классы симметрических функций.. Например, соотношение, на вываемое рекуррентной формулой Ньютона:

^ а, зя_, + ... + пал = о ,

Основная теорема теории утверждает, что любая симметрическа функция может быть выражена через элементарные, другими словами элементарные симметрические функции образуют базис в алгебр симметрических функций. Несложно показать, что любой из назван ных выше классов симметрических функций также образует базис.

1Ь сути, сказанное выше представляет собой краткое описана теории симметрических функций. Очевидно, что в "чистом виде" о* вряд ли смогла бы претендовать на значительное место в ряду другими, математическими теориями. Все основные ее достоинств состоят в большом числе приложений, которые возникали в разлив ные периоды времени, н оказывались важны для определенного мс мента развития математической теории.

Актуальность темы связана, прежде всего с тем, что в истор!

развития симметрических функций имеется еще довольно много страниц, которые могут быть использованы современными математиками. Это подтверждается частыми обращениями комбинаториков (Рота. Стенли, Эндрюс). к наследию Е А. Мак-Магона, алгебраистов к результатам Якоби, Щура, КИга по теории представлений, и т.п. Часто такие обращения затрагивают и историко-математичесгай материал. который однако оказывается .трудно доступен и поэтому почти всегда недостаточен для ответов на конкретные вопросы.

Цель работы состоит в том. чтобы:

- исследовать, какие проблемы и математические теории стали основой для возникновения симметрических функций:

- изучить содержание теории в различные периоды ее становления и развития, возникновение основных понятий, постановку 'проблем и используемые методы:

- проанализировать связи симметрических функций с другими математическими областями: как они возникли и развивались;

- в частности, выяснить роль, которую сыграли симметрические функции в Х1Х-ХХ вв. в комбинаторном анализе, начиная от работ Мак-Шгона

И, наконец, общей целью работы является изучение места теории симметрических функций в процессе развития математического знания, в различные периоды и под воздействием различных причин.

Методы исследования, используемые в диссертации, включают в себя:

- историко-научный анализ работ, в которых изучаются симметрические функции, и их применения к решению различных математических проблем в разные периоды времени,

- историко-методологический анализ развития теории симметрических функций во взаимосвязи с развитием других теорий,

- обзор современного состояния теории и областей ее использования.

Научная новизна История развития, симметрических функций еще не была предметом целенаправленного изучения. Некоторые важные вопросы поднимались, но в связи с исследованием других более общих либо специальных историко-математических вопросов.

2 3 4)

Следует выделить работы Я Г. Башмаковой ' * , а. П. Шке-вича а также работу Е А. Никифоровского 6Л в которых освещался процесс возникновения сишетрических функций и их использования для нахождения корней алгебраических уравнений (ХУИ-Ш.И в.в.).

Вопросы развития симметрических функций в XIX в. не изучались, хотя довольно подробные сведения автору удалось почерпнуть в ряде курсов по алгебре и теории чисел, изданных в XIX веке, в частности з "Курсе высшей алгебры" ЕА.Серре , работе "Элементы теории уравнений" Л. Е. Диксона Ф , "Теории чисел" Е. Доки , а также в математических энциклопедиях , изданных

на рубеяз Х1Х-ХХ веков.

Названные издания помогли нам определить направления исследований, проведенных в настоящей работе, а также оказали некоторое влияние на ее содержание. Так, ыы сочли возможным не повто-

2. Еашмакова IL Г. О некоторых особенностях развития алгебр XYIII века/ Ист.-шт. исследования, вып. 17. Ы.: Наука. 1066.

3. Еашыакова И. Г. О доказательстве основной теоремы алгебрь Ист.-мат. исследования, вып. 10, Ы.: Наука, 1957.

4. Вашмакова И. Г. Алгебраические уравнения у Ньютона и Варив га/ Ист.-мат. исследования, вьш. 12. М.: Наука. 1959,

5. История математики с древнейших времен до начала XIX век£ Под ред. йлкевича А. П. / М.: Наука, т. 2. 1970.

6. Ннкифоровский RA. Из истории алгебры XYI - XYII bi Л: Наука. 1979.

7. Serret J. А. Algebra super!eure, 2Aufl - Leipzig, 1878. 5< - Paris. 1885. На русск. яз. - перевод Ю, Н. Росевича, под pej JL Л. Левенстерна, С. -Петербург-Шсква, год изд. не указан.

8. Dlckson LE. Elements thaory of equatlons, 1914.

9. Lucas E. Theorie des nombres. Paris. 1891.

\0. Encyklopadle der wathewatiscben Hlissenschaften, LöipzV 1898-1904. bd. 1, teil 1, h. 1-4.

11. Enoyclopedle des scienoes mathematlque pures appllques. t. 1, v. 2-3, 1907-1908.

рять подробного изложения Диксона , относящегося к првлоязни-ям симметрических функций к теории чисел, поскольку работа Диксона исчерпывающе раскрывает эти вопросы, доступна для любого исследователя. Есть и другие особенности, которые мы отметин нн-иэ. *

Приведенные в настоящей работе выводы, полнота рассмотрения процесса развития теории являются новыми, нигде ранее не встречавшимися, что свидетельствует о новизне настоящей работы. Автор не претендует однако на новизну сведений об используемых им фактах. Ряд исторических и методологических фактов и комментарии к ним взяты из историко-математической и математической литературы, их источники указаны в тексте.

Практическая ценность работы. Результаты диссертации могут быть использованы:

- при разработке учебников, монографий, курсов по истории и методологии математики;

- для дальнейших исследований в истории алгебры, теории инвариантов, теории симметрических функций, комбинаторном анализе;

- в, целях получения методологических выводов из истории симметрических функций и областей математики, с которыми они связаны.

Апробация работа Штериалы диссертации докладывались:

- на научных конференциях аспирантов и молодых специалистов по истории естествознания и техники ИИЕиТ АН СССР (1987,91 гг.),

- на семинарах по истории и методологии математики и механики ЫГУ и ИИЕиТ АН СССР, .

- на семинаре по комбинаторному анализу ЫГУ.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора, перечень которых приведен з конце автореферата.

Объем работы. Диссертация содержит 145 страниц машинописного текста В списке литературы 103 наименований.

12. Dickson L. Е. History of the theory of numbers, v. 1-3, N. Y. , 1934.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литература В качестве приложения приводится также полный библиографический перечень работ П. А. Цак-Иагона.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

1. Решение алгебраических уравнений в радикалах являлось не единственной проблемой, которая положила начало формированию понятия симметрических функций, как это представлялось ранее. В диссертации показано, что еще в XVII веке, то есть в начальный период формирования понятия симметрической функции, это понятие появилось при изучении другой важной проблемы: подсчета числа разбиений числа на слагаемые, изучавшегося в работах Лейбница, Эйлера. Тем самым, более точно указано время возникновения связей между теориями разбиений и симметрических функций. Как известно, эти связи ¿шеют длительную и яркую историю, продолжаются и в современной математике.

2. Период формирования общего понятия симметрических функций и возникновение основных контуров теории симметрических функций завершились к началу XIX в. К этому времени:

- появились представления об основных классах: элементарных, полных, мономиальных симметрических функциях, степенных суммах корней;

- доказала основная теорема о симметрических функциях - о возможности выразить любую симметрическую функцию через элементарные;

- возникли устойчивые связи симметрических функций с алгеброй, разбиениями, другими разделами математики, что оказало влияние на дальнейшее развитие теории и ее место в ряду других теорий в последующем.

3. Связи симметрических функций с проблемой решения алгебраических уравнений в радикалах перестали активно изучаться в конце XIX в. Это было вызвано тем, что результаты теории Галуа даги ответы на большинство вопросов, ответы на которые ранее отыскивались через изучение симметрических функций корней алгебраических уравнений. К этому времени симметрические функции уже

>формились в самостоятельное направление, тесно связанное с (ругими разделами математики.

4. Применение симметрических функций к другим разделам мате-'лтики оказалось предопределено тем местом, которое они занимали I алгебре середины XIX в.

5. Симметрические функции, наряду с операторами Хаммонда и гроизводящими функциями, оказались одним из главных источников сомбинаторной доктрины, развитой П. А. Мак-Ыагоном в ряде работ юнца XIX в. и получившей наиболее полное изложение в двухтошш-се "Комбинаторный анализ" [М-1221, изданном в 1915-1916 гг.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дана общая характеристика работы, обоснована актуальность темы, сформулированы цели исследования, указана науч-¡ая новизна работы, перечислены основные положения диссертации, заносимые на защиту, дан обзор литературы по теме, приведено шисание содержания диссертации с делением на глава

В первой главе рассмотрен период формирования теории симметрических функций. Изучается возникновение симметрических функций 1ри решении алгебраических уравнений в радикалах, а тага© при юдсчете числа разбиений в ряде работ Эйлера

В §1 показано, как при решении алгебраических уравнений в заботах Кардано, Жирара, Ньютона попытки выражения корней урав-¡ения через коэффициенты привели к возникновению начальных 1редставлений о симметрических функциях: было установлено, в частности, что корни можно представить как симметрические выражения от коэффициентов, рассмотрены степенные суммы, Ньютоном получены рекуррентные соотношения между элементарными симметрическими функциями корней (коэффициентами) уравнения и степенными суммами.

В §2 подробно рассмотрены исследования Эйлера, посвященные подсчету различных способов, которыми число А/ может быть разбито на Л- слагаемых. При этом Эйлер использует производящие функции в виде бесконечных произведений:

С 1 + ах)И &х)(1+ сх) ..

Специальный подбор коэффициентов в этом произведении и разложение его по степеням £ приводит к решению проблемы перечисления разбиений, а заодно и к выявлению целого ряда важкыз свойств симметрических функций.

§3 содержит материал о работах Барикга, в которых он доказывает формулы, получившие впоследствии его имя, а также метод, который позволяет выразить произвольную симметрическую функцш корней алгебраического уравнения через его коэффициента Это; метод стал первым доказательством основной теоремы теории сим метрических функций, доказанной впоследствии Гауссом, Лагранжем В целях более полного и конекретного воссоздания истории разви тия теории, в атом же параграфе упоминаются работы Крамера, Ван дермонда, Гирша, связанные с изучением симметрических функций.

§4 содержит основные выводы о периоде формирования понятн симметрических функций и результатах, которые были уже получен к началу XIX века

Ей второй главе изучается развитие в XIX в. собственно тео рии симметрических функций, в "чистом виде", без обсуждения при ловэний к другим областям математики.

В §1 подробно описан метод Кош, позволяющий выражать проиг вольную симметрическую функцию в функцию от коэффициентов мете дом исключений. Приведен еще один результат Кош, относящийся симметрическим функциям, оставшийся незамеченным.

В §2 описан весьма распространенный до конца XIX в. мете производящих функций для выражения симметрических функций чер< элементарные, предложенный Борхардом. Показана, в частности, ч: идея использования производящих функций к выражению произвольна симметрической функции через элементарные в неявном ви, присутствует в работах Коши, а результат Борхарда является е) обобщением. Отмечено также, что Ворхарду принадлежит заслуга изучении базисов в алгебре симметрических функций, отличных I базиса из элементарных функций или степенных суш. Вэрхард опр делил понятие базиса : в его терминологий - Фундамеитальн системы. -

В §3 рассматривается вклад Кэлн и Сильвестра в теорию си метрических функций. Ими были улучшены терминология и обознач

ния, используемые при изучении симметрических функций. Проведена классификация симметрических функций на основе введенных характеристик: их степени и веса Изучались свойства таблиц симметрических функций. Было продолжено изучение разбиений числа на слагаемые. для чего использованы известные свойства симметрических функций.

§4 посвящен дифференциальным метода)!' исследования свойств симметрических функций. В основе этих методов оказалась идея рассматривать одну и ту яе симметрическую функцию последовательно как функцию от корней уравнения, 8атем как функцию от степенных суш, и ватем как функцию от коэффициентов. Это позволило выявить ряд общих уравнений в частных производных, и использовать эти уравнения для вычисления симметрических функций, выражения одного их типа через другой.

Указанные уравнения в частных производных сыграли важную роль для развития дифференциальных операторов Хвмшнда, впоследствии используемых Мак-Нагоном, Пойа

Третья глава посвящена описанию приложений теории симметрических функций к другим ыагематическиы областям.

В §1 речь идет об особенностях развития.алгебры в середине XIX в. Показано, что структура алгебры и место в ней симметрических функций в тот период во штагом определили современную "географию" их приложений, в частности прилогзгния к представлениям групп, а такяэ к обизрй теории инвариантов.

В §2 рассматривается возникновение одного из специальных классов симметрических функций - функций Щура Появившеся в работах Еронского, Якоби, они впоследствии оказались применимы для изучения неприводимых представлений группа

В §3 дан краткий обзор истории теории алгебраических инвариантов. показано, что алгебраические инварианты с момента их возникновения оказались неразрывно связаны с симметрическими функциями.

В четвертой главе исследуется роль, которую сыграли симметрические функции в комбинаторике, в частности в работах П. А. Ыак-Магона

В §1 приведены краткие биографические св дения о 'П. А. как-Ыа-

гоне, дана общая характеристика его математического наследия.

В §2 описан вклад Мак-Магона в изучение симметрических функций. Проведен анализ ранних работ ЬЬк-Магона, который подтверждает, что симметрические функции были одним из основных объектов. которые он изучал с разных точек зрения, получил ряд важных результатов. Показано, что к достижениям Мак-Ыагона следует отнести:

- разработку техники использования операторов Хаммонда для нахождения симметрических функций, выражения одного их классе черев другой;

- эакон алгебраического обращения, полученный на основе изучения свойств таблиц симметрических функций;

- обобщение целого ряда результатов, полученных ранее (формул Варинга, Ньютона и т.п.).

В §3 подробно рассмотрено изучение Мак-Шгоном операторо! Хаммонда. Эти операторы впоследствии использованы им в комбинаторной теории. В собственно теории симметрических функций операторы Хаммонда использовались Мак-Магоном для выражения одню классов симметрических функций черев другие.

§4 раскрывает содержание работ Мак-Нагона о разбиениях. Продолжая изучение разбиений, Ыак-Магон вводит понятие разделения, доказывает закон алгебраической выражаемости, являющийся обобщением закона симметрии таблиц симметрических функций Кзли-Бетти.

В §5 анализируются истоки комбинаторного анализа Мак-Магона. Приведено несколько характерных комбинаторных проблем, решаемы: Иак-Кагоном, и на этой основе раскрыты источники его комбинаторной доктрины: синтез операторов Хаммонда, теории симметрически: функций, метода производящих функций.

В заключении нашли- отражение пути развития симметрически: функций в комбинаторном анализе, тот вид, который приобрели ош в современном изложении.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Иванов О. а 0 развитии связей, теории сшметричесю функций с другими математическими теориями, в сб. тезисов XXXI

научной конференции аспирантов и шлодых специалистов по истории естествознания и техники. ИИЕиТ АН СССР. 1991, с. 18-19.

2. Иванов О. Е Симметрические функции в комбинаторной доктрине Е А. 11зк-Уагона. препринт ИИЕиТ АН СССР. N52. 1991.

3. Иванов О. Е Формирование теории сишетрических функций, ИМЕН, вып. 37, (в печати с 1990).

Подл, в печ. 5.08.92 г. Тираж 100 экз. Заказ № 175^6 Централизованная типография ГА "Союэстройиатериалов"