автореферат диссертации по философии, специальность ВАК РФ 09.00.03
диссертация на тему: Формирование и развитие аналитической традиции в философии математики и методологии науки XX столетия

Полный текст автореферата диссертации по теме "Формирование и развитие аналитической традиции в философии математики и методологии науки XX столетия"

На правах рукописи

АРЕПЬЕВ ЕВГЕНИЙ ИВАНОВИЧ

ФОРМИРОВАНИЕ И РАЗВИТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ТРАДИЦИИ В ФИЛОСОФИИ МАТЕМАТИКИ И МЕТОДОЛОГИИ НАУКИ XX СТОЛЕТИЯ

Специальность 09.00.03 - история философии АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора философских наук

Москва - 2003

Работа выполнена на общеуниверситетской кафедре философии Курского государственного университета

Официальные оппоненты: доктор философских наук,

старший научный сотрудник Катлсонов Владимир Николаевич

Ведущая организация: Московский государственный университет

им. М.В. Ломоносова

на заседании диссертационного совета Д 212.154.06 при Московском педагогическом государственном университете по адресу:

117571, Москва, проспект Вернадского, д. 88, ауд. 818.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского педагогического государственного университета по адресу: 119992, Москва, М. Пироговская, д. 1.

Автореферат разослан «_2Л> ^c-^^t 2003 года.

доктор философских наук, профессор Колядко Виталий Иванович

доктор философских наук, профессор Князев Виктор Николаевич

Защита состоится « /Л ж

2003 года в ^ часов

Ученый секретарь диссертационного совета

МИХАЙЛОВ В.В.

^С06 -л А'о/^-нн

ьт 1

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования

Тематика данного исследования связана в первую очередь с интерпретацией проблемы обоснования знания на область математических истин и объектов в аналитической традиции XX столетия, а также логико-методологическими вопросами, разрабатываемыми в рамках подобной интерпретации. В частности, под обоснованием математики подразумевается построение онто-гносеологического истолкования основных, исходных идей, составляющих фундамент этой науки.

Оставаясь актуальной и разрабатываемой практически на протяжении всего исторического развития философской мысли, проблема обоснования человеческого знания приобретает в современную эпоху особую остроту. Это обусловлено несколькими I факторами.

в С одной стороны, разнообразие философских направлений XX

столетия предлагает ряд качественно новых подходов к философской проблематике (это и попытка отождествления философии с точными науками, и рассмотрение философских проблем как проблем языка, и попытки обосновать несостоятельность онтологической проблематики, и многое другое). Это приводит к пересмотру многих устоявшихся представлений и служит причиной оживленной полемики как в самой философии, так и на междисциплинарном уровне.

С другой стороны, научно-технический прогресс необходимым образом обуславливает интенсивное развитие такой области исследований, как философия науки, в которой проблема обоснования знания обладает своей спецификой и которая значительно расширяет круг онтологических и гносеологических вопросов.

Компьютеризация общества, развитие физики, информатики и других наук в настоящее время выводят человечество на качественно новую ступень развития. Гуманитарные отрасли, и в первую очередь философия, не могут не испытывать влияния естественнонаучного знания, точных наук. Ориентир на научную рациональность, математизация, формализация методов исследования и языка науки обуславливает не только преобразование и совершенствование способов рассуждения, обоснования положений, отыскания и построения гипотез, но и предполагает -эпистемологическое осмысление эффективности принципов тех наук, которые служат в настоящее время образцом

РОГ. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА

- С.ПмерОург

точности и стройности, выявление связи этих принципов с реальной действительностью и природой человеческого мышления.

В свете вышеизложенного, на рубеже XX - XXI веков представляется необходимым исследование, систематизация и современная интерпретация творческого наследия мыслителей XX столетия, затрагивающего философские и методологические аспекты науки, в частности - математического знания. Значительную роль в этом должна, на наш взгляд, сыграть история философии, поскольку такое осмысление является ее непосредственной задачей.

Благодаря интенсивной разработке философско-математических проблем, которая происходит в конце ХТХ - начале XX веков, образуется так называемая область «оснований математики», представляющая собой смешанное поле деятельности философов и математиков и вносящая в проблематику обоснования человеческого знания обособленный круг вопросов. Становление этой области исследований приобретает особую значимость, так как в начале XX столетия назревает кризис оснований, причиной которого послужили многочисленные парадоксы теории множеств. Различные подходы к преодолению этого кризиса приводят к образованию направлений (лопшистского, формалистского и интуиционистского), идеи которых ложатся в основу аналитического и конструктивного понимания философии.

Аналитическая традиция, сформировавшаяся в XX веке, представляет собой одно из наиболее крупных направлений современной философской мысли. Предметное поле исследований этого течения включает в себя широкий круг проблем, в том числе и проблем, относящихся к различным вопросам онтологии, гносеологии, методологии и философии науки. Благодаря этому аналитическая традиция выступает в роли одной из основных областей, связывающих философское знание с точными науками.

Актуальность проблемы обоснования математического знания, представляющей собой составную часть проблематики обоснования знания вообще и обоснования научного знания в частности, возрастает в наш век как никогда ранее. Математика, являясь образцом точной науки, в то же время служит универсальным аппаратом исследования для всего естественнонаучного знания Поэтому ее объекты, язык и методология, универсальная применимость и необходимость ее положений служат предметом пристального внимания философов современности.

Аналитическая же традиция вносит в область философеко-математических исследований важнейший вклад, выражающийся в разработке новою подхода к проблемам оснований и реализации

идей мыслителей Нового Времени. Это послужило толчком к развитию многих областей математического и философского знания.

В свете вышеизложенного данная работа представляет собой исследование аналитического подхода к философско-методологическим проблемам математического знания.

Степень научной разработанности проблемы.

Говоря о разработанности проблемы формирования и развития аналитической традиции в философии математики и методологии науки, необходимо выделить целый ряд положений. Прежде всего, следует отметить, что развернутого исследования аналитической философии математики, как целостного направления, не было предпринято до настоящего времени ни в отечественной, ни в зарубежной литературе (но крайней мере в поле обозримости автора данной работы). Тем не менее необходимые предпосылки для подобного исследования вполне сформировались.

Так, можно выделить несколько областей, связанных с темой настоящего исследования, разработанность которых позволяет выделить ряд общепризнанных или вполне обоснованных результатов, вошедших в теоретическую основу данной диссертации. Это области, относящиеся к онтологическим и гносеологическим проблемам математического знания, к логико-методологическим вопросам науки и в частности философии и математики. Сюда относятся также область исследований, посвященных осмыслению роля и сущности аналитической традиции философской мысли XX столетия в целом и истолкованию концепций ее отдельных представителей, исследования наследия Новоевропейской философии, ее вклада в становление современной философии и методологии науки вообще и непосредственно математического знания, труды, целью которых является оценка теоретико-познавательного вклада философских течений прошлого века, и др.

Итак, тематика данной работы связана с вопросами философии, логики и методологии научного знания, исследуемыми в трудах таких отечественных и зарубежных авторов, как Асмус В.Ф., Гайденко П.П., Жог В.И., Князев В.Н., Кочергин А.Н., Купцов В.И., Мелюхин С.Т., Микешина Л.А., Петров Ю.А., Печенкин A.A., Рузавин Г.И., Смирнова Е.Д., Сокулер З.А., Стенин B.C., Суровцев В.А., Яновская С.А., Яшин Б.Л., Вригт Г., Куайн У., Кун Т., Лакатос И., Ньютон-Смит В., ФеЙерабенд П., Хинтикка Я. и Др.

Исследование проблем, связанных с тематикой настоящей работы, предполагает анализ концепций отдельных представителей аналитической философии и представителей области оснований математического знания. В этом плане прежде всего необходимо отметить таких авторов как Бибихин В,В., Бирюков Б.В., исследующий позицию Фреге, Грязно в А.Ф.. Даммит М., труды которого посвящены философскому и философе ко-математическому наследию Г. Фреге, Захаров В.Д., Козлова М.С, Колесников A.C., Коломейцев А.Е., Колядко В.И. исследующий философское наследие Б. Больцано, Кузьмичева A.A., в работах которой дается критический анализ лингвистической доктрины логической и математической истины Р. Кариапа, Кугыркин А.Б., Мадер В.В., который детально излагает и анализирует логико-арифметическую концепцию Г. Фреге, Макаркина С. Б., исследуюшая теорию определений Г. Фреге, Козлова М.С., в трудах которой анализируется ряд важнейших идей позднего Витгенштейна, Нарский И.С., с его исследованиями позиции Рассела, Панченко А.И., Панченко K.M., Перминов В.Я,, Розов М.А., Рузавин Г.И., Самохвалов К.Ф., Смирнов В.А., Смирнова Е.Д,, Сокулер З.А., изучающая философеко-математические разработки Витгенштейна, Поппера и др, Успенский В.А,, рассматривающий связь идей Л. Витгенштейна с основаниями математики, Федоров Б И. и др.

Проблемы философии математики интенсивно разрабатываются зарубежными (США, Великобритания и пр.) исследователями, среди которых можно отметить таких авторов как Бенацерраф П., Булос Д., Голдфарб В„ Даммит М., Дсвис П., Китчер Ф., Куайн У„ Патнем X., Уаилдер Р. и др.

Тема диссертации также связана с исследованиями аналитической традиции XX столетия в целом, которая является предметом изучения таких отечественных авторов, как Боброва Л.А., в трудах которой разрабатываются подходы к определению |

аналитической философии, изучаются различные периоды ее становления и дальнейшие пути развития, Грязнов А.Ф., ряд трудов которого посвящен исследованию позиции аналитиков (Витгенштейна) по философско-математическим вопросам, Даммит М„ Козлова М.С., исследующая идею «языковых игр», Юлина Н.С., Панов М.И., который рассматривает аналитический подход к философии и методологии математики и пути гуманитаризации математического знания, Панченко А.И., исследующий основные тенденции современной аналитической философии, и другие.

Историко-философский характер работы связывает данную тему с исследованиями философского наследия отдельных мыслителей Нового времени. Это труды Быковского Б.Э,, который исследует философскую концепцию Дж Беркли, работы Катасонова В.Н., посвященные вопросам философии математики в концепциях Декарта и Лейбница, Майорова Г.Г., Михаленко Ю.П., Ойзермана Т.И., Соколова В.В., Танхилевич О.М., Умова Н А., Юшкевича А.П., Я| одинского И.И. и др.

На данное исследование значительное влияние оказали также идеи, разрабатываемые в трудах по философским вопросам математического знания и логики. Это работы таких авторов, как Перминов В. Л., разрабатывающий априористскуто концепцию математическо) о знания, Панов М.И., исследующий наследие интуиционистского течения, Рузавин Г.И., анализирующий философские проблемы оснований математики, Мануйлов В.Т., исследующий аналитический и конструктивный подход к философско-математическим вопросам, Кузичева З.А,, разрабатывающая проблемы оснований математики, связанные со спецификой языка математики, Яновская СЛ., с ее исследованиями методологических проблем науки, и в частности математики, Целищез В.В,, Беляев Е.А., Карпович В.Н., Асмус В.Ф., Успенский В.А., Поляков И,В., Сисюк Н.П., Медведев Ф.А., Черепанов С.К. и др.

Ряд диссертаций и монографий указывает, так же как и труды вышеупомянутых авторов, на повышенное внимание к проблемам аналитическою подхода в философии математики. Однако эти исследования не содержат построения общей картины, позволяющей осветить процесс становления и развития аналитической философии математики и предлагающей развитие онто-гносеологических и логико-методологических результатов этого направления.

Данная диссертации призвана до определенной степени заполнить пробел в рассматриваемой области исследований.

Цель и задачи диссертационного исследования Целью диссертационного исследования является раскрытие сущности аналитического подхода к проблемам онто-гносеологического обоснования математического знания, выявление его обусловленности и значимости в историко-философском контексте и контексте человеческого знания в целом, а также истолкование природы математического знания на основе результатов, полученных в аналитической философии математики.

Реализация цели предполагает решение следующих задач:

— обобщение основных характеристических черт аналитической традиции мысли XX века;

— проведение концептуального анализа различных подходов к проблемам философии математики на предмет определения наличия в них существенных признаков, характерных для аналитической традиции, и выявление взаимосвязи аналитической традиции с областью оснований математики, обуславливающей формирование течения аналитической философии математики;

— выделение направления аналитической философии математики как пересечения аналитической традиции с областью оснований математики и выявление его основных характеристик;

— выявление исторической обусловленности и историко-философских предпосылок аналитической философии математики;

— выявление обусловленности возникновения, раскрытие сущности и значения формально-логи чес кого языкового подхода к проблемам оснований математики, определение объективных причин его развития;

— определение роли и значения формально-логического языкового подхода (как части аналитической философии математики) в математическом и философском знании и выявление причин, ограничивающих возможности применения формальных средств познания;

— раскрытие объективных причин возникновения лингвистической тенденции в аналитической философии математики, выявление сущности лингвистического подхода, его значимости в философии математики и в философском знании вообще;

— выявление проблем но-постановочных результатов исследований аналитической философии математики;

— выявление основных онто-гносеологических аспектов логицис^ского истолкования природы математичгских истин;

— экспликация методологических установок аналитической философии математики;

получение ключевых онто-гносеологических аспектов истолкования природы математических истин на основе обобщения и развития результатов аналитической традиции.

Теоретико-методологические принципы и источники исследования

Решение поставленных задач и реализация пели исследования требует соответствующей методологической базы. В диссертации использовался метод историко-философской реконструкции, который включает в себя методики первичного (при изучении источников) и вторичного (при привлечении различного рода критической литературы) исследования, а также методы

интерпретирующего анализа, подразумевающие критическое сопоставление различных концепций и проецирование результатов философского осмысления одной научной области (или их совокупности) на другую. В настоящем исследовании также, на основе результатов аналитической философии математики, разрабатывается и применяется метод «внешнего и внутреннего рассмотрения».

Этот метод предполагает для внешнего рассмотрения проведение сравнительного анализа свойств рассматриваемой научной области (математики) со свойствами и основными особенностями других областей знания и интеллектуальной активности человека. Внутреннее же рассмотрение представляет собой процесс выявления и сопоставления сущностных характеристик объектов и положений, принадлежащих самой рассматриваемой области,

В качестве источников исследования выступают работы отечественных и зарубежных авторов, относящихся к нескольким группам:

— труды, в которых содержатся идейные предпосылки аналитической традиции, и в частности предпосылки аналитической философии математики, а именно, работы Декарта Р., Лейбница Г В., Беркли Дж., Юма Д. и др.;

— работы, относящиеся непосредственно к аналитическому направлению философии математики, то есть работы Фрсге Г., Рассела Б., Витгенштейна Л. и Карнала Р. и др.;

— работы, относящиеся к проблематике оснований математического знания и вопросам математической логики. Это труды следующих мыслителей: Больцано Б., Дедекинда Р.. Кантора Г., Гильберта Д, Уайтхеда А. и др.;

— труды, посвященные исследованию сущности и особенностей аналитической традиции XX века, следующих авторов: Бобровой Л.А., Грязнова А.Ф., Даммита М., Козловой М.С., Панова М.И., Панченко А.И, и некоторых других исследователей данной проблемы;

— помимо этого, в качестве источников были использованы труды отечественных и зарубежных авторов, излагающие содержание не переведенных работ мыслителей последней группы либо излагающие отдельные аспекты их концепций или концепций, непосредственно связанных с их исследованиями. Это работы таких авторов, как Бирюков Б.В., Клайн М., Колесников А.С , Кузьмнчева A.A., Кутыркин А.Б,, Кутюра Л., Мадер В.В„ Царский И.С., Суровцев В.А., Успенский В А. и др.

Научная новизна исследования

Научная новизна диссертационной работы состоит в реализации подхода к изучению философско-математического наследия аналитиков XX столетня, рассматривающего аналитическую тенденцию в области обоснования математического знания как целостное направление. В ходе исследования получены результаты, которые представляют собой новое знание об аналитическом истолковании природы математики и о сущности исходных принципов математического знания вообще. А именно:

— в ходе исследования установлено, что философско-матем этические концепции аналитиков образуют целостное направление, развитие которого подразделяется на два этапа и его важнейшей характеристической чертой служит логико-лингвистическая направленность;

— выявлено, что основная часть теоретических предпосылок аналитической философии математики содержится в концепциях Р. Декарта и Г. Лейбница, в частности, в разработках идеи создания универсального языка науки на логико-математической основе;

— обосновано, что значимая часть приемов и методов, используемых в концепциях аналитической философии математики, может быть упорядочена и подведена под классификацию на основе принципа «внешнего и внутреннего рассмотрения», теоретическое описание которого впервые осуществляется в настоящей работе;

— на основе онто-гносео логических построений аналитиков выдвинуто гипотетическое истолкование математики позволяющее утверждать, что все области математического знания, опирающиеся лишь на производные положения от количественных и порядковых отношений, основываются на исходных, априорно заданных принципах разума, служащих неотъемлемой его составляющей, то есть возможностью его сущее 1вования, и относящихся к свойствам действительности_ (материальной, идеальной, потенциальной), выражающим ее непрерывный и дискретный характер;

— выявлено, что геометрические исходные истины, то есть сама возможность построения системы геометрических истин также является неотъемлемой составляющей разума, отражающей в нем формы существования материального мира;

— обосновано, что все разделы математической логики, то есть области, занимающиеся выражением свойств причинно-следственных связей, свойств функционирования разума, процесса рассуждения основываются на необходимой компоненте разума,

относящейся к отражению в нем самом возможностей построения и функционирования любых систем, в том числе и математических;

— установлено, что все три компоненты основ математического знания имеют обширные производные области, в которых эти основы пересекаются, однако данные составляющие фундамента математики не тождественны, а специфичны. Общим же, определяющим саму принадлежность к математике для всех исходных областей является то, что они отражают универсальные законы не только всего существующего, не только гипотетического, но и всего возможного вообще.

Наконец, обобщением перечисленных новых положений явилась гипотеза о том, что отношение исходных математических истин и объектов к реальности, сущему, исходя из результатов аналитического течения, тождественно отношению к структуре бытия всех возможностей, всех реализованных и потенциальных форм его существования, преобразования и развития.

Теоретическая н практическая значимость работы

Теоретическая значимос1ь диссер)ации определяется тем, что се результаты дополняют картину онтологического и гносеоло] ического истолкования природы математического знания, расширяют методологический аппарат исследования проблем философии науки, способствуют более глубокому и целостному осмыслению философского наследия XX столетия в целом и аналитической традиции в частности. Положения и выводы, полученные в настоящей работе, выявляют основные тенденции одного из наиболее влиятельных направлений философии математики прошлого века, позволяют более полно оценить значимость его результатов, являются продолжением и развитием аналитической интерпретации сущностных основ математики, ее объектов и истин.

Результаты диссертации могут применяться в разработке исследовательских программ, связанных с проблемами обоснования математического и научного знания в целом, программ, затрагивающих историко-философские аспекты осмысления Новоевропейской философии и аналитической традиции XX века, в учебных курсах по истории западной философии, по философии и методологии научного знания, в спецкурсах но философским вопросам математического знания и курсах по истории математики.

Апробация диссертации

Апробация диссертации может быть отражена в нескольких положениях Эти положения связаны с двумя основными формами критического рассмотрения и одобрения идей.

Основная часть задач настоя[цего исследования вошла в содержание научно-исследовательских проектов, получивших поддержку различных фондов по итогам конкурсов фантов. Результаты, полученные автором и входящие в данную диссертацию, отражены в публикациях (в том числе центральных) и отчетах, одобренных экспертными советами фондов. В частности, это 1рант Министерства образования РФ 1997 года по фундаментальным исследованиям в области гуманитарных наук — проект N6 «Концепции конструктивности математического знания в основных направлениях философии науки на пороге XXI века» (завершенный коллективный проект, в котором автор являлся исполнителем); грант РФФИ 2001 года — проект № 01-06-80278 «Конструктивность физико-математического знания в историко-философском аспекте» (продолжающийся коллективный проект, в котором автор является исполнителем); грант РГНФ 2001 года — проект № 01-03-00274 «Аналитическая традиция XX столетия в философии математики и методологии науки» (продолжающийся проект, в котором автор является руководителем).

Диссертация апробирована также в выступлениях автора на научных конференциях и теоретико-методологических семинарах, в частности, на международной научной конференции «Философия в системе духовной культуры на рубеже XXI века» - Курск, 1997 год, международной научной конференции «Илиадиевские чтениям -Курск, 1998 год; международной научной конференции «Вторые илиадиевские чтения» - Курск, 1999 год; научной конференции «Философия 20 века: школы и концепции» - Санкт Петербург, 2000 год; международной научной конференции «Третьи Илиадиевские чтения» - Курск, 2000 год; теоретическом семинаре «Конструктивность физико-математического знания в историко-философском аспекте» - Курск, 2001 год; международной научной конференции «Человек-Культура-Общество, Актуальные проблемы философских, политологических и религиоведческих исследований», посвященной 60-летию воссоздания философского факультета в структуре МГУ им. М.В. Ломоносова - Москва, 2002 год; международной научно-практической конференции «Четвертые Илиадиевские чтения: Цивилизация на рубеже тысячелетий: проблемы, закономерности, тенденции» - Курск, 2002 год, и др.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Философско-математические концепции аналитиков образуют целостное направление, образуемое пересечением аналитической традиции философской мысли и области оснований математики начала XX века.

2. Приоритет формально-логической и лингвистической направленности исследований при решении онто-гносеологических и методологических проблем науки в первую очередь относится к математическому знанию, поэтому понимание «аналитичности» в данном случае подразумевает именно лингвистическую тенденцию, или, учшывая неотъемлемость погических средств в математике, л оги ко -ли н гвисти ческу ю н аправ ленность.

3. Основная часть теоретических предпосылок аналитической философии математики содержится в концепциях Р. Декарта и Г. Лейбница, в частности, в разработках идеи создания универсального языка науки на логико-математической основе. Попытки логического обоснования арифметики и математики в целом представляют собой проекпии идеи универсальной характеристики на отдельные области знания, приобретшие а ходе развития аналитического течения лингвистическую направленность.

4. Несмотря на неоднородность, натуральные числа имеют важнейшую общую особенность, которая состоит в выражении дискретных характеристик действительности. Подобное свойство обуславливает сущностную общность натуральных чисел с целыми, дробными рациональными и иррациональными алгебраическими числами. Эта общность позволяет также сделать вывод о первостепенности выявления онто-гносеологического статуса чисел, выражающих дискретность реального мира (или дискретность нашего восприятия).

5. Вопрос об истолковании действительных чисел не может по своей значимости быть сопоставлен с проблемой перехода от натуральных и целых к дробным и иррациональным алгебраическим числам, так как действительные числа подразумевают выражение уже не дискретности, а непрерывности реального мира. Таким образом, проблемы истолкования натуральных и действительных чисел, натуральной, то есть дискретной, и действительной, то есть непрерывной бесконечностей включают в себя все многообразие вопросов, связанных с переходом от натуральных чисел к целым, от целых к дробным, от ограниченных бесконечных множеств к неограниченным, и других, в том числе формулируемых и разрабатываемых в концепциях аналитиков.

6. Значительная часть приемов и средств, используемых в концепциях аналитической философии математики, может быть упорядочена и подведена под классификацию с помощью принципа, обобщающего ряд методологических установок аналитического истолкования природы математического знания, которому дано название принцип (метод) «внешнего и внутреннего рассмотрения»,

7. Внешнее рассмотрение состоит В использовании сравнительного анализа, подразумевающего сопоставление математики или отдельных ее областей с другими, нематематическими (в общепринятом смысле) сферами интеллектуальной активности человека, например, сравнение математических истин с выводами естественных наук, сравнение математики с естественным языком, логикой, шахматной или другой игрой и т.д.

8. Внутреннее рассмотрение подразумевает обращение к объектам и положениям самого математического знания. Примерами такого обращения могут служить сравнительный анализ положений и объектов арифметики и геометрии, рассмотрение геометрических интерпретаций теорем математического анализа, исследования, посвященные выявлению правомерности подведения теоретико-множественной основы под здание всей математики, философское осмысление проблем, возникающих из-за обнаружения парадоксов, противоречий в тех или иных математических исследованиях.

9. Теоретическое описание метода внутреннего и внешнего рассмотрения позволяет заключить, что внутреннее рассмотрение служит средством, используемым для решения частных вопросов, выбор же общей направленности исследований и разработок, выбор исходных установок и ориентиров, на которые опирается сам процесс создания концепции, осуществляются путем внешнего рассмотрения.

10. Онто-гносеологические построения аналитиков служат подтверждением гипотезы о том, что все области математическою знания, опирающиеся лишь на производные положения от количественных и порядковых отношений, основываются на исходных, априорно заданных принципах разума, служащих неотъемлемой его составляющей, то есть возможностью его существования, и относящихся к свойствам действительности (материальной, идеальной, по унциальной), выражающим ее непрерывный и дискретный характер.

11. Геометрические исходные истины, то есть сама возможность построения системы геометрических истин также является

неотъемлемой составляющей разума, отражающей в нем формы существования материального мира.

12. Все разделы математической логики, то есть области, занимающиеся выражением свойств причинно-следственных связей, свойств функционирования разума, процесса рассуждения основываются на необходимой компоненте разума, относящейся к отражению в нем самом возможностей построения и функционирования любых систем, в том числе и математических.

13. Все три компоненты основ математического знания имеют обширные производные области, в которых эти основы пересекаются, однако данные составляющие фундамента математики не тождественны, а специфичны. Общим же, определяющим саму принадлежность к математике для всех исходных областей является то, что они отражают универсальные законы не только всего существующего, не только гипотетического, но и всего возможного вообще.

14. Отношение исходных математических истин и объектов к реальности, сущему, исходя из результатов аналитического течения, тождественно отношению к структуре бытия всех возможностей, всех реализованных и потенциальных форм его существования, преобразования и развития.

Структура диссертации

Структура диссер1ационного исследования определяется его целью и задачами. Работа состоит из введения, шести глав, включающих в себя по три параграфа, заключения и списка литературы.

Основное содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы, анализируется степень разработанности проблемы, формулируются цель и задачи исследования, указываются методологические принципы, источники, обосновывается новизна, формулируются положения, выносимые на защиту, указывается теоретическая и практическая значимость, апробация, структура работы и публикации, в которых отражены основные идеи.

Первая глава «Аналитическая философия математики как часть аналитической традиции» посвящена выявлению основных характеристических черт аналитической традиции философской мысли XX столетия, выделению важнейших признаков аналитического подхода к философской проблематике и общему описанию развития этого направления. В данной части работы

дается обзор основных концепций, образующих рассматриваемое течение, проводится выявление ключевых идей и методологических установок, служащих теоретической базой исследований аналитиков. В первой главе также рассматривается область оснований математики, в частности разработки периода конца XIX -начала XX столетий, и ее наиболее значимые философские аспекты, связанные с возникновением кризиса оснований на рубеже веков. Здесь же проводится сравнительный анализ теоретико-методологических установок и принципов указанных полей исследования с целью выявления общих черт, позволяющих обосновать целесообразность рассмотрения аналитического подхода к онто-гносеологическим и логико-методологическим проблемам математического знания, исходящего из наличия целостного направления - аналитической философии математики, возникновение которого связано с разработкой путей преодоления кризиса в основаниях математики.

§ 1 первой главы «Основные черты и представители аналитической философии XX столетия» включает в себя обзор критических исследований аналитической философии, выявление основных, наименее дискуссионных положений, характеризующих это направление. Здесь дается описание процесса становления и развития аналитической философии, выделяется принципиальная новизна подходов, позволяющая говорить о переходе традиции редуктивного анализа на новую ступень развития. В частности, отмечается отличие современных форм анализа от предшествующих, заключающееся в акценте на язык, его семантику, синтаксис и прагматику.

В этом же параграфе проводится анализ основных точек зрения на сущность аналитической философии, характеризующих и классифицирующих входящие в нее концепции на основе разграничения методологических установок, на основе определения предмета и задач философии, а также по историко-философскому принципу, связанному с определением основоположников этого течения и выделением фундаментальных идей. Здесь выявляется, что методологическое разграничение базируется, прежде всего, на различии редуктивных и контекстуальных форм анализа, а также на различии формального и неформального подходов к истолкованию роли языка в решении философских проблем.

В качестве основополагающих рассматриваются концепции таких мыслителей как Г. Фреге, Б. Рассел, Дж. Мур, Л Витгенштейн, Р. Карнап, Осуществленный в этой части работы анализ приводит к выводу о том, чю разнообразие трактовок

сущности аналитической традиции, противоположные оценки значения творческого наследия аналитиков, разногласия относительно основателей этого направления - все эти проблемы, характерные для современности, указывают на актуальность исследования данного течения и необходимость более глубокого осмысления и разработки идей, возникших в ходе становления и развития аналитической философии,

§ 2 первой главы «Проблема обоснования математического знания и аналитическая традиция: общность методологических установок, кризис «оснований» на рубеже XIX - XX веков» содержит исследование наиболее значимых проблем, связанных с философскими аспектами разработки оснований математического знания. Здесь анализируется ситуация, сложившаяся в области обоснования математики на рубеже XIX - XX веков, проводится сравнительный анализ тех методологических, общетеоретических и логико-гносеологических установок, которые выявляют взаимосвязь между аналитической философией и философией математики в целом, осуществляется обобщение того, что содержит в себе термин «аналитическая философия», с целью выявления направления в аналитической традиции мысли, которое объединяет исследователей, работающих над философскими вопросами математического знания.

Этот параграф включает в себя также обоснование вывода о том, что возросшая роль языка как сферы исследования, пристальное внимание к семантическим, синтаксическим и прагматическим составляющим языковой действительности - все это находит свое отражение в работах, посвящен и ых непосредственно основаниям математики. Поэтому вполне адекватным является утверждение, что перевод разговора об объектах в разговор о словах и их значениях, об использовании языковых выражений, имеет под собой и логико-математическую основу, в частности — работы Фреге и Рассела по основаниям математики.

В этом же параграфе исследуются методы и теоретические установки аналитиков и обосновывается, что разделение аналитических методов по характеру используемого языка на формальные и неформальные, возникающие на этой основе споры о границах использования формальных методов в философских и научных исследованиях, проблема построения непротиворечивой логической философской теории на основе исходных принципов, построение современного языка по образу языка математической логики, создание «унифицированной области знания» - все эти подходы к решению проблем философского и научного знания в

целом были во многом заимствованы из области оснований математики И собственно математических исследований.

Здесь же выясняется, что проблемы, возникшие в области оснований, в частности парадоксы канторовской теории множеств, вызвали наибольший резонанс не среди непосредственно математиков, а именно среди философов математики. Объяснение этого факта опирается на то, что трудности теории множеств Кантора рассматривались не как крах попытки упорядочить арифметику и геометрию, а в первую очередь как провал того способа подведения онтологической и гносеологической основы под понятие чисаа, который казался наиболее приемлемым.

§ 3 первой главы «Пути преодоления кризиса и становление аналитической философии математики» содержит анализ путей преодоления кризиса в области оснований математики. В нем рассматриваются основные идеи интуиционизма, основанного Дж. Брауэром, ключевые положения формалистского течения, в частности, концепции Д. Гильберта, а также фундаментальные установки и наиболее значимые положения логицистского направления, которое зарождается благодаря исследованиям Г. Фреге и развивается в трудах Б Рассела и А. Уайтхеда.

Здесь выясняется, что взаимосвязь вышеупомянутых направлений обоснования математического знания во многом обуславливается тем, что их возникновение связано с трудностями теории множеств, порожденными недостаточной строгостью этой теории. Обращение к логике, построение формализованных языковых систем, предъявление требований конструктивности доказательства все это преследует одну цель - увеличение строгости и прояснения сомнительных положений системы, предназначенной стать фундаментом математического знания. Выясняется также, что наибольшее влияние на становление и развитие аналитической традиции оказало логицистское направление (мы включаем в него и работы Фреге).

В этом параграфе проводится обобщение тех результатов, которые были получены в ходе рассмотрения указанных вопросов в первой главе В частности, указывается, что под аналитической философией математики нужно понимать течение, объединяющее мыслителей конца XIX - XX веков, которые усматривают свою задачу в разрешении философе ко-методологических проблем математики, связанных с вопросами о достоверности, истинности, строгости и непротиворечивости математических теорий и положений; в выяснении гносеологического статуса математических объектов и отношения этих объектов к реальной действительности;

определении места и роли языка математики а системе математического знания.

Основной чертой, характеризующей эту традицию, можно считать логико-лингвистический акцент ее разработок, поскольку методы разрешения проблем этой обширной области исследований опираются, как правило, на анализ естественного языка, языка математических систем (как содержательных, так и формальных) и языка математики в целом. Помимо этого, исследования данной области носят отпечаток приверженности авторов к научной рациональности и рациональному способу мышления вообще и в их работах можно отметить максимальное внимание к технике аргументации и обоснованности рассуждения.

Вторая глава «Историко-философские предпосылки 1 аналитической философии математики» посвящена выявлению

историко-философских предпосылок аналитической философии 1 математики. Она включает в себя рассмотрение Новоевропейской

( философии, в частности тех вопросов, которые связаны с

проблемами языка науки и метода познания. Данное рассмотрение направлено на выявление наиболее значимых аспектов проектирования названных проблем на область математического знания. Здесь наиболее подробно исследуются концепции таких мыслителей, как Р. Декарт, Г.В. Лейбниц, поскольку их работы вносят наибольший вклад в создание теоретического фундамента аналитической философии математики.

В этой главе выявляются также идейные предпосылки рассматриваемого течения, позволяющие сделать вывод о том, что оно представляет собой новый этап развития рационалистической философии и имеет свои корни в трудах философов различных исторических периодов начиная с Античности.

§ 1 второй главы «Новоевропейская философия: проблемы языка науки и метода познания, их логико-матемагическая интерпретация» содержит исследование вклада представителей философии Нового времени в постановку и разработку проблемы метода познания. В частности, здесь рассматриваются основные идеи Ф. Бэкона, его толкование препятствий, стоящих на пути познания, и способы их преодоления. Основная часть параграфа посвящена выявлению ключевых идей, выдвинутых Р. Декартом и Г.В, Лейбницем, связанных с выработкой единого научного метода,

В этой части работы выясняется, что идея создания научного метода нашла своих последователей именно среди мыслителей аналитической традиции XX века, связанных с философией математики. Совокупность требований и установок, выдвинутых Декартом и Лейбницем, вполне согласуется с теми задачами,

которые ставили перед собой представители аналитической философии математики, такие как Фреге и Рассел (в своих формально-ло! ических построениях и философе ко-математических исследованиях), а также Рудольф Карнап с его идеей о создании унифицированной области знания и языковых каркасов для отдельных областей.

§ 2 второй главы «Гносеологические изыскания Г.В. Лейбница как теоретический фундамент аналитической философии математики» посвящен гносеологическим исследованиям Г.В, Лейбница и их связи с аналитической философии математики. В нем выясняется, что в творчестве Лейбница, так же как и в творчестве Декарта, наблюдается взаимозависимость и взаимодополнение математических изысканий и философских исследований. Эта особенность свойственна и творческой деятельности представителей более позднего течения - аналитической философии математики, "

таких как Бертран Рассел, Выясняется также, что в исследованиях J

Рассела и других мыслителей указанного направления .

(Витгенштейна, Карнапа) влияние математических идей, то есть идей, относящихся к области исследований по обоснованию математического знания, в большой степени служит формированию философских взглядов и по сути является основой общей концепции.

В этом параграфе обосновывается, что объективный характер исходных истин Лейбница вполне соответствует платойистскому пониманию природы математического знания Готлобом Фреге и Бертраном Расселом, а также то, что вместе с тенденцией к логико-математическим методам исследования у Лейбница ясно просматривается идея значимости языка в человеческом познании, развитая позднее в аналити1ческой философии математики. В частности, Лейбниц утверждает возможность употребления естественного языка особым способом, который благодаря внесению в этот язык некоторых правил может служить для точного выражения мыслей и способствовать эффективности мышления. Данное положение указывает, что творчество Лейбница служит '

идейной основой аналитической философии математики не только посредством его связи с логицистами (Фреге, Расселом), но и благодаря своему влиянию на поздние концепции, сменившие логическую направленность исследований лингвистическим акцентом.

Здесь же выясняется, что идея математизации логики неразрывно связана у Лейбница с убеждением о логической природе математических истин, что непосредственно указывает ira зарождение первооснов л о ги цистс кой тенденции. Философия

Лейбница выдвигает для рассмотрения идеи, частично разрабатываемые уже Декартом, которые станут предметом исследования аналитиков XX столетия, и в первую очередь тех из них, кто пытается общефилософскую проблематику интерпретировать на математическом знании.

§ 3 второй главы «Рационалистическая философия как идейная основа аналитической традиции» посвящен общему обозрению наиболее значимых концепций, в которых содержатся идейные предпосылки аналитической философии математики. Здесь выясняется, что истоки этой традиции содержатся и в трудах мыслителей Нового времени, которые не выдвтают на первый план математическое знание как образец точной науки и достоверного знания вообще.

Так, в философии Дж. Беркли мы можем видеть непосредственное указание иа несовершенство нашего знания в силу несовершенства языка. Противоречивость и парадоксальность наших суждений, относящихся к области математического знания, обусловлена, по Беркли, неточностью, нестрогостью языковых средств и неверным использованием знаков языка. Эти положения позволяют говорить о том, что ряд идей Беркли также может быть отнесен к истокам аналитической философии математики. Работы этого мыслителя продолжают в отдельных аспектах линию, образовавшуюся в грудах Р. Декарта и Г.В. Лейбница, Но в отличие от них Беркли акцентирует свое внимание на естественном языке, который используется как в обыденной жизни, так и в философских (и математических) рассуждениях. В этом параграфе выясняется также, что воззрения Д. Юма могут вполне обоснованно быть причислены к идейным предпосылкам аналитической философии математики.

В третьем параграфе подводятся итси и исследований второй главы и формулируются обобщающие их выводы. В частности то, что исчерпывающий перечень идей, являющихся истоками аналитической философии вообще, представить практически невозможно. В трудах многих мыслителей, начиная с Античности и заканчивая XX столетием, можно выявить составляющие компоненты того теоретическою фундамента, который лег в основу концепций этого течения. В числе прочих к таким мыслителям относятся и Платон, и Аристотель, и британские схоласты Дуне Скот и Уильям Оккам, и Томас Гоббс, и Джон Локк, и, конечно же, Иммануил Кант, и многие другие.

Говоря же об аналитической философии математики и учит ьгвая ее специфику, можно утверждать более определенно, что основные предпосылки тгого направления формируются на основе

идей традиции Декарта и Лейбница. Исследования этих мыслителей фактически явились причиной возникновения оформившейся логико-лингвистической тенденции в методологии н обосновании человеческого знания и в частности математического знания.

Возможность сведения математики х логике, возможность построения единой формально-логической языковой системы математического знания, возможность создания на основе такой системы единого алгоритмического метода разрешения математических вопросов, границы применимости естественного языка и перспективы искусственного языка, созданного путем семантических и синтаксических усовершенствований естественною, - все эти проблемы, разрабатываемые в аналитической философии математики, возникают на основе исследований вышеуказанных мыслителей.

Третья глава «Формально-логический подход к философско-математическим и методологическим проблемам» посвящена исследованию формально-логического подхода к проблемам философии математики и исследованию методологических аспектов реализации данного подхода. Здесь выявляются объективные причины, обусловившие необходимость разработки языковых и логических средств исследования в области оснований математического знания на рубеже XIX - XX веков. Здесь также рассматривается формально-логическая доктрина истолкования математики Г. Фреге, кризис »развитие логниистского подхода.

Выявление проблем методологического и общетеоретического характера, послуживших причиной и стимулом развития логико-лингвистического подхода к исследованию вопросов оснований математики, в том числе и философских, опирается на анализ концепций Б. Больцано, Р. Дедекинда и Г. Кантора. Формулировка и обоснование ключевых философско-метод©логических положений становления и развития логицизма включает в себя критическое рассмотрение разработок Г. Фреге, Б, Рассела и А. Уайтхеда.

§ 1 третьей главы «О необходимости и объективной обусловленности разработки языка науки в свете методологических проблем оснований математики на рубеже XIX - XX столетий» посвящен выявлению объективных факторов, возникших на рубеже Х1Х-ХХ столетий в области оснований математики и послуживших причиной формирования логико-лингвистического подхода к исследованию проблем данной области Здесь выясняется на примере рассмотрения идей и построений Б. Больцано, Р. Дедекинда, Г. Кантора, что парадоксы, обусловившие кризис теории множеств, свидетельствуют не о принципиальной противоречивости, коренящейся в онтологическом,

гносеологическом и логико-методологическом фундаменте множественного подхода, а о том, что при построении теории происходит отрыв от этого фундамента. Поэтому сами антиномии носят технический, устранимый харак; ер, что и было подтверждено созданием аксиоматической теории множеств, свободной от противоречий.

В этом параграфе обосновывается утверждение о том, что причину затруднений В области оснований математического знания нельзя свести лишь к недосмотру или недомыслию ученых. Как уже было сказано, здесь налицо отрыв теории от ее изначального фундамента - от онто-1 нос ео л о гич ее кого истолкования природы изучаемых объектов; чисел и множеств. Причем это не только субъективная установка, состоящая в непризнании математиками значимости философских представлений, небрежном отношении исследователей к этим вопросам. Здесь наличествуют и объективные факторы; отсутствие методологического аппарата, способного связать в единое целое теоретические построения с их фундаментом; неразработанность средств универсализации смежных областей исследования. И первое и второе указывает, в первую очередь, на необходимость детальной разработки языка науки.

На примере рассмотрения концепций Дедекинда и Кантора выясняется, что следует учитывать возможность возникновения расхождений и противоречий между онтологическим, г носеологическим, логико-методологическим фундаментом математической (философе ко-математической) концепции и результатами построения исчисления, или модели, реализующей исходные установки. Обосновывается, что это относится и к фрегевским, и к расселовским построениям.

§ 2 третьей главы «Формально-логическая доктрина Г. Фреге в философии математики и методологии пауки» содержит исследование формально-логической концепции математики Г. Фреге, в частности, ее философско-методологическим аспектам. Здесь раскрываются пути реализации идеи Г.В. Лейбница о «всеобщей характеристике» в проекции на арифметику натуральных чисел. В частности, ключевые аспекты построения искусственного символического языка в виде логического исчисления, языка, который, по замыслу Фреге, был бы свободен от всех двусмысленностей, противоречий и неточностей, свойственных естественному языку.

Наиболее значимыми установками, как показано в данном параграфе, являются повышенное внимание к семантическим составляющим языковой системы, неотъемлемость содержательной наполненности логико-матемэтических построений. В этой части

работы обосновывается, что в основе подхода Фреге лежит анализ различных определений натуральных чисел, определений других математических терминов и объектов, анализ формулировок основных положений математики (и логики), данных в естественном языке, позволяющий уяснить природу понятий, выявить сущность того, что является смыслом и значением имен и предложений.

§ 3 третьей главы «Кризис и возрождение логицизма» посвящен анализу проблем, послуживших основой противоречий системы Фреге. Здесь выясняется, что вклад Фреге в развитие философии математики и философии науки в целом заключается, помимо прочего, в том, чю его система арифметики и обнаружение в ней противоречий явились первым этапом обоснования невозможности полного сведения математики к логике и невозможности полной формализации математического знания. Работы этого мыслителя привлекают внимание к проблемам, занявшим центральное место в аналитической традиции XX века. Это вопросы о значении естественного и искусственного, содержательного и формального, логического и интуитивного в языковых средствах познания и методологических средствах науки вообще.

В этом параграфе также проводится анализ логи чисткой концепции Б. Рассела и А. Уайтхеда. Выявляется значение ее основных положений, позволивших преодолеть затруднения, с которыми сталкивается система Фреге В данном параграфе также обобщаются результаты исследования формально-логического периода аналитической философии математики. В частности, обосновывается, что на данном этапе происходит выявление необходимости разработки языковых средств математики и области ее оснований. На эту необходимость указывают объективные причины, связанные с результатами математических и философско-методологических разработок.

Выясняется также, что исследование языка математики и обращение к символической логике обуславливает тенденцию к логизации математического знания, становится одной из важнейших предпосылок зарождения математической логики. Проведенный анализ показывает, что попытки сведения отдельных областей и всей математики в целом к логическим основам выявляют значимость формальных методов исследования в научном знаний, которая не может игнорироваться даже после открытий К. Геделя.

Наконец, обосновывается вывод о том, что вместе с разработкой формальных средств построения теорий происходит переосмысление роли и признание важности естественного языка в теоретических исследованиях. Это обуславливает тенденцию к

совершенствованию языка, используемого на содержательном уровне математики (и философском уровне), и подводит по существу к формулировке идеи и попыткам реализации разработки искусственного неформального языка теории, обладающего необходимой строгостью и свободного от недостатков естественного языка.

Глава четвертая «Лингвистическая трактовка философии математики и методологии науки» посвящена исследованию ряда основополагающих аспектов второго этапа развития аналитической философии математики. В этой главе выявляются ключевые положения философско-математической концепции

Л. Витгенштейна, представляющей собой лингвистическую (логико-лингвистическую) альтернативу логицизма. Здесь анализируются критика, преобразование и развитие идей Г. Фреге, осуществляемые Л. Витгенштейном при построении концепции языковых игр и в логико-семантических исследованиях Р. Карнапа,

Данная часть работы включает в себя интерпретацию онто-гносеологических проблем математики в свете построения неформализованных языковых систем. В частности систем, предлагаемых представителями аналитической философии математики в поздние периоды творческой деятельности. Это идея языковых игр Л. Витгенштейна, концепция языковых каркасов, предложенная Р, Карнапом, и теория Б. Рассела о создании минимальных словарей.

§ 1 четвертой I лавы «Идеи Л. Витгенштейна как философско-математическая альтернатива программе логицизма» посвящен анализу идей, лежащих в основе истолкования природы математических истин и объектов Л. Витгенштейном. Здесь исследуются причины, обусловившие тенденцию отхода от попыток формально-логического обоснования математики.

В этом параграфе обосновывается, что изменение направленности философеко-ма1 сматических исследований было обусловлено рядом причин. Первая причина состояла в том, что системы, разработанные Фреге и Расселом с Уайтхедом, включали в себя достаточно спорные положения, вызвавшие резкую критику со стороны многих выдающихся математиков, логиков и философов. Вторым является то, что результаты Курга Геделя ясно указали на невозможность полной формализации арифметики и всей математики, то есть выявили принципиальную ограниченность формальных методов и несводимость математического знания к логике. И, наконец, внутри самого течения аналитической философии математики происходит некоторая переориентация, связанная с изменением ряда онтологических, логико-

гносеологических и методологических установок, приведшая к выдвижению на первый план лингвистической доктрины.

Исследование, предпринятое в настоящем параграфе, позволяет получить вывод о том, что одной логики недостаточно для обоснования математического знания, что ограниченность формально-логических средств исследования служит аргументом в пользу необходимости содержательного уровня, со всеми относящимися к нему языковыми средствами. Однако успехи математики, связанные с развитием формально-логических языковых методов, и наличие областей математическош знания, полностью построенных формально-логическим путем, указывают на неотъемлемость математической логики и на ее важность как для каждого из разделов математики, так и для всего математического знания в целом.

§ 2 четвертой главы «О значении концепции «языковых игр» Л. Витгенштейна и семантических изысканиях Р. Карнапа: критика и развитие идей Г. Фреге» посвящен анализу преобразования и развития основных положений философско-математической доктрины Г. Фреге, опирающегося на лингвистические установки Здесь обосновывается, что философия Витгенштейна указывает на возможность результативной разработки философско-ма тематических проблем без создания строгой, целостной теоретической системы оснований, что в свою очередь расширяет методологический аппарат исследования в философии вообще и философии математики в частности.

В ходе сравнительного анализа концепций Витгенштейна и Р. Карнапа в этом параграфе выявляется, что философия математики Карнапа имеет лингвистический уклон, подразумевающий также значимость логики. Обосновывается также наличие идейной преемственности в исследованиях этого мыслителя в отношении концепции Г. Фреге, позволяющей отнести творческое наследие Р. Карнапа к аналитической философии математики как характеризующееся прежде всего логико-лингвистической н аправленностью.

В этом параграфе выявляется, что положения концепции, разрабатываемой Кар н ano м. указывают на его стремление, аналогичное устремлениям Фреге. реализовать идеи Г.В. Лейбница путем совершенствования естественного языка логико-семантическими и синтаксическими средствами с целью применения усовершенствованной языковой системы в различных областях научного знания, в частности - математике и ее основаниях.

§ 3 четвертой главы «Интерпретация неформализованных языковых систем, пути совершенствования естественного языка в свете онто-гносеологического истолкования математики и методологии науки: языковые игры - языковые каркасы -минимальные словари» посвящен истолкованию онто-гносеологических основ математики в свете методологической переориентации аналитиков Здесь исследуются основные идеи лингвистического этапа аналитической философии математики, в частности идеи, легшие в основу доктрин языковых игр, языковых каркасов и минимальных словарей.

В этом параграфе формулируются выводы, явившиеся обобщением результатов исследования, предпринятого в настоящей главе. Так, выясняется, что попытка обоснования сводимости онтологических и гносеологических проблем математического знания к практическим, методологическим языковым проблемам обусловила выявление ограниченности средств естественного языка в теоретических исследованиях. Эта ограниченность состоит в том, что ответ на вопрос не может быть более строгим и однозначным, чем сам вопрос.

Здесь обосновывается, что лингвистическая направленность, характерная для более позднего периода развития аналитической философии математики, не может служить причиной отрицания значимости формально-логических методов в магематическом знании, его основаниях и методологии. Напротив, благодаря тем фил ос офско-математическим исследованиям аналитиков, которые носят лингвистический характер, выявляется диалектическая природа математического знания, в котором необходимо сочетается формальное и неформальное, теоретическое и содержательное, естественное и искусственное, причем это относится как к самой математике, так и к ее философским основаниям.

Данный параграф содержит также обоснование тезиса о том, что значение лингвистического подхода и логико-лингвистической традиции философии математики в целом состоит в том числе в обращении к области, являющейся образцом точного знания, что предполагает максимально строгую интерпретацию идей всей аналитической традиции мысли XX столетия.

Пятая глава «Редукция метафизических проблем к логическим» посвящена исследованию основных аспектов логического истолкования философских проблем математического знания. Здесь рассматриваются ключевые положения, на которых базируется отрицание осмысленности метафизической проблематики, выявляются негативные черты, присущие

концепциям и творческой деятельности представителей аналитической философии математики.

В этой главе выявляются наиболее значимые результаты этого течения, носящие проблем но-постановочный характер Проводится обобщение и истолкование положений, отражающих общие тенденции аналитического истолкования онто-гносеологических и логако-методологических вопросов математического знания.

Пятая глава содержит также анализ основных философских аспектов интерпретации математических истин и объектов, базирующейся на тезисе о их логической природе.

§ 1 пятой главы «Метафизический агностицизм и нигилизм аналитических концепций» включает в себя освещение ряда недостатков, присущих творческой деятельности представителей аналитической философии математики. Здесь выявляется, что одним из наиболее серьезных недостатков является непоследовательность, характерная для некоторых аналитиков и серьезно затрудняющая оценку их теоретическою вклада в ту или иную область. В частности выясняется, что Витгенштейн исходит из отрицания необходимости быть строго последовательным в своих рассуждениях.

В рамках критического обозрения аналитической философии математики особо выделяется черта, присущая представителям этого течения, которая состоит в игнорировании и неверном толковании некоторых важных результатов, полученных в теории познания. В частности, привлекает внимание тот факт, что рассмотрение проблем, связанных с критерием истинности знания, страдает именно таким недостатком. Этот факт выражается, например, в неприятии, игнорировании или неверном истолковании роли практики, характерном для Рассела, Витгенштейна и Карнапа. В основу неадекватной трактовки названного гносеологического результата легло, прагматическое юл кование роли практики.

В этом параграфе выявляется также, что агностицизм и нигилизм в отношении онтологических проблем выступает в роли одной из характерных черт, присущих творчеству мыслителей аналитической философии математики, но выступает в основном в виде проявлений непоследовательности и самопротиворечивости. Поэтому было бы неадекватным приписывать этому направлению отсутствие онто-гносеологических результатов.

§ 2 пятой главы «Аналитическая интерпретация вопросов философии математики» посвящен исследованию постановки комплекса проблем и вопросов, предшествующих созданию аналитической модели философского фундамента математики. Здесь выясняется, что постановка новых и конкретизация, преобразование

уже сформулированных вопросов, стоящих на пути осмысления природы математического знания, в аналитической философии математики предполагает опору на логическую и лингвистическую компоненты методологического аппарата. Причем такая установка не сводит роль логики и языка лишь к чисто техническим средствам достижения истины, но и указывает на их сущностную общность с математикой. Это ведет к образованию явной априористской тенденции, которая входит в одну из наиболее влиятельных парадигм математического знания, существующую уже несколько столетий и развивающуюся также в наши дни.

В этом параграфе обосновывается, что само по себе признание априорности математических истин не является окончательным разрешением проблемы онтологического статуса математики. Если исходить из тезиса о том, что математические очевидности, или исходные принципы математики заложены изначально в наш разум и представляют собой доопытные формы мышления (или производные от этих форм), то возникает новый ряд вопросов. Например, вопрос о том, почему заложены в наш разум такие формы восприятия и мышления. То есть являются ли эти формы отражением форм отношений реального мира и, самое главное, является ли это отражение единственным, единственно возможным.

В параграфе также выявляется, что пути разрешения последнего вопроса предполагают по меньшей мере три варианта построения гипотез, опирающихся на априоризм. Первое - это признание математических исходных положений неотъемлемым и необходимым компонентом структуры разума и мышления. Второе - интерпретация природы математики как одной из неотъемлемых, но не единственно возможной априорной составляющей разума. И третье - истолкование математических истин как свойств отношений сущностей реального бытия, действительности, отраженных в исходных формах мышления

Этот параграф содержит расширение и конкретизацию вопросов истолкования математики, относящихся к внутреннему рассмотрению. В частности выявляется, что онто-гносеологическая интерпретация чисел подразумевает по крайней мере четыре компоненты. Первая - подведение основы под натуральные числа, выражающие дискретные свойства реальности, вторая -истолкование натурального ряда, как математической интерпретации дискретной бесконечности, третья - истолкование действительных чисел, отображающих непрерывность, и четвертая — подведение основы под множество всех действительных чисел, служащее выражением непрерывной бесконечности.

§ 3 пятой главы «Математика как часть логики - основные аспекты» посвящен исследованию проблемы онтологического и гносеологического истолкования того типа моделей логического обоснования математического знания, который может быть получен на основе концепции аналитиков и назван моделями Фреге-Расселевского типа. Здесь рассматриваются также перспективы формально-логических методов в математике и ее основаниях в свете результатов К. Геделя (теорема о неполноте).

В этом параграфе выявляется один из возможных ключевых моментов эвристического поиска разрешения этой проблемы. В частности то, что технической стороной наиболее эффективного решения парадоксов теории множеств было не расширение аксиоматики, а запрет на неограниченное применение принципа сводимости, узаконивающего задания множества произвольным свойством. В свете доказанной невозможности пополнения формализованной системы арифметики путем расширения аксиоматики, представляется необходимым рассмотреть гипотезу о возможности устранения неполноты путем ее сокращения, вернее, введения запрета или ряда запретов в логико-методологическом аппарате.

Выясняется также, что даже если отыскание решения этой логико-математической проблемы малоперспективно, модели, предложенные Г. Фреге, Б. Расселом и А. Уайтхедом, не могут считаться лишенными онто-гносеологической основы и не могут однозначно расцениваться как неадекватные и бесперспективные

Шестая, заключительная глава «Общеме годологические средства и онто-гносеоло» ическое истолкование математического знания» содержит основные положения, являющиеся результатом обобщения, реконструкции, развития и дополнения идей, разрабатываемых в аналитической философии математики. Здесь эксплицируются методологические установки, неявно входящие в аппарат исследований этого течения, формулируется методологический принцип «внутреннего и внешнего рассмотрения».

В данной главе проводится сравнительный анализ свойств математического знания, в рамках разработанного метода, осуществляется расширение и дополнение онто-гносеологических и методологических результатов аналитиков. В частности, глава включает в себя истолкование природы математических истин и объектов, основывающееся на обобщении и развитии представлений, выработанных в аналитической философии математики.

§ 1 шестой главы «Методологические подходы к объяснению природы математики: внешнее и внутреннее рассмотрение» содержит выявление тех методологических установок и приемов, которые интерпретируются на разработку онтологических и гносеологических представлений о математическом знании. Здесь эксплицируется способ, который неявно используется аналитиками для получения гипотез онтологического и гносеологического характера и обоснования своих выводов о природе математических истин.

В этом параграфе обосновывается, что значительная часть приемов и средств в исследованиях Г, Фреге, Б, Рассела, Р. Карнапа, Л. Витгенштейна, может быть упорядочена и подведена под определенную классификацию в случае принятия общего тезиса. Этот тезис может быть назван подразделением методологических подходов на «внешнее и внутреннее рассмотрение» свойств математики.

К внешнему рассмотрению относится использование сравни гельного анализа, подразумевающего сопоставление математики или отдельной ее области, с другими, нематематическими (в общепринятом смысле) сферами интеллектуальной активности человека. Процесс выявления характеристических свойств математического знания с использованием внешнего рассмотрения может включать в себя сравнение математических истин с выводами естественных наук, сравнение математики с естественным языком, логикой, шахматной или другой игрой и т.д.

Внутреннее же рассмотрение подразумевает прежде всего взгляд внутрь самого математического знания. В параграфе рассматриваются примеры такого рассмотрения, в качестве которых выступают и сравнительный анализ положений, объектов арифметики и геометрии, и рассмотрение геометрических интерпретаций теорем математического анализа, и исследования, посвященные выявлению правомерности подведения теоретико-множественной основы под здание всей математики, и многое другое. К внутреннему рассмотрению относится также философское осмысление проблем, возникающих из-за обнаружения парадоксов, противоречий в тех или иных матема) ических исследованиях.

§ 2 шестой главы «Сравнительный анализ свойств математики» включает в себя анализ свойств тех сфер интеллектуальной активности человека, сопоставление математики с которыми позволяет получать значимые результаты. Здесь обосновывается, что внешнее рассмотрение, широко применяемое в аналитической философии математики и не получившее до

настоящего времени своего теоретического описания, позволяет тем не менее выделить ряд областей, ряд видов интеллектуальной деятельности человека, сравнительный анализ которых с математикой в тех или иных аспектах представляется перспективным в плане раскрытия ключевых моментов формирования системы философско-математических представлений.

К числу таких областей относятся эмпирические науки, в частности, физическое знание, оперирующее, подобно математике, абстрактными понятиями и идеальными объектами. Основными отличительными чертами, свидетельствующими о различии сущностных основ математики и физики, выступают отсутствие в математическом знании эмпирическою уровня исследования, различные степени абстрагирования, различные степени достоверности, абсолютности и универсальности.

Областью, имеющей сходство с математикой во многих аспектах, является логика. Подобно математическим истинам, законы логики универсальны и абсолютны, не эмпиричны и достоверны Отличительными же чертами математики и логики является большая всеобщность и меньшая абстрактность логических истин и объектов, неявность логической составляющей во многих областях знания.

Еще одной из основных областей интеллектуальной активности человека, сравнимых с математическим знанием, является естественный язык. Близость этих полей исследования состоит и в саморегуляции, и в саморазвитии, и в универсальной применимости, необходимости в научных построениях. Что касается принципиальных отличий, то можно указать на конвенциональную основу естественного языка, его преобразований и развития, на его необходимость и неотъемлемость для любого процесса рассуждения.

Здесь выясняется также, что особой группой полей исследования, в процессе внешнего рассмотрения математического знания, выступают искусственно создаваемые формализованные и неформализованные языковые системы, а также игры, подобные шахматам. Свойства, сближающие названные области с математикой, состоят в предопределенности законов динамики игр и формализованных систем, в значимости формализованных построений для математики, целые разделы которой создаются в виде формально-логических языковых конструкций. Отличие же заключается в содержательности математического знания, его применимости в истолковании действительности.

§ 3 шестой главы «Онто-гносеологическая картина математики» содержит обоснование обших выводов, дополняющих

систему онто-гносеологических оснований математики, базирующуюся на аналитических концепциях. В частности обосновывается, что не только арифметика, но и все области математического знания, опирающиеся лишь на производные положения от количественных и порядковых отношений, основываются на исходных априорно заданных принципах разума, служащих неотъемлемой его составляющей, то есть возможностью его существования, и относящихся к свойствам действительности (материальной, идеальной, потенциальной), выражающим ее непрерывный и дискретный характер.

Здесь выявляется, что геометрические исходные истины, вернее сама возможность построения системы геометрических истин, является неотъемлемой составляющей разума, отражающей в нем формы существования материального мира, а также то, что все разделы математической логики, то есть области, занимающиеся выражением свойств причинно-следственных связей, свойств функционирования разума, процесса рассуждения, основываются на необходимой компоненте разума, относящейся к отражению в нем самом возможностей построения и функционирования любых систем, в том числе и математических.

Формулируется вывод, что все три компоненты основ математического знания имеют обширные производные области, в которых згги основы пересекаются. Однако эти составляющие фундамента математики не тождественны, а специфичны. Общим же. определяющим саму принадлежность к математике, для всех областей является то, что они отражают наиболее общие законы не только всего существующего, не только гипотетического, но и всего возможного вообще

Таким образом, попытки сведения основ математики лишь к логическим законам не могут дат ь обоснованных результатов, кроме тех, которые утверждают неотъемлемость логической составляющей в сущностной природе математического знания. Что же касается вопроса об отношении к бытию разума и вместе с ним основ математического знания, го можно сделать вывод, что объективный разум принадлежит реальности, сущему в той же мере, в которой относятся к реальности все возможности ее развития, преобразования и существования

В заключении подводятся итоги исследования, освещаются основные результаты.

Основные идеи диссертации отражены в следующих публикациях:

1. А репье в Е.И. Аналитическая философия математики. - 2 изд-е, доп. - Курск: Изд-во Курск, гос. пед. ун-та, 2003. - 191 с, (11,9 п.л.) Монография,

2. А репье в Е.И. О методологии аналитической философии математики. // Aima mater Вестник высшей школы. - 2003. - № 1. -С. 41-44. (0,5 п.л.) Статья,

3. Арепьев Е.И. Интерпретация вопросов философии математики Г Фреге. // Философские науки. - M.: Гуманитарий, 2003, - № 2. - С. 114-120. (0,5 п. л.) Статья.

4. Арепьев Е.И. О концепции языковых игр Л. Витгенштейна и * философии математики. И Феномен игры в культуре и образовании: Материалы Четвертой региональной зимней культурно-антропологической школы молодых ученых «Культура Образование - Человек», - Курск: Изд-во Курского гос. пед, ун-та,

2003. -С. 80-83. (0,3 п.л ) Тезисы.

5. Арепьев Е.И. Метафизический агностицизм и нигилизм аналитических концепций. // Актуальные проблемы социогуманитарного знания. Сборник научных трудов кафедры философии МПГУ. Выпуск XVI - М.: «Прометей», 2003. - С. 3-14. (0,7 п.л.) Статья.

6. Арепьев Е.И. К исследованию истоков аналитической философии математики. // Материалы научной конференции «Ломоносовские чтения»: Современные тенденции развития наук об обществе. - М.: Издательство «Университет и школа», 2002. - С. 74-77. (0,2 П.л.) Тезисы

7. Арепьев Е.И. Аналитическая философия математики. - Курск: Изд-во Курск, гос. пед. ун-та, 2002. - 187 с. (11,7 п.л.) Монография

8. Арепьев Е.И. О методологических принципах аналитического истолкования природы математики. - Курск, гос. пед. ун-т. - Курск, 2002. - 15 с. Библиогр. назв. 10. Рук. деп. в ИНИОНРАН от Î 6,12.02. № 57671. (0,7 п.л.) Статья.

9. Арепьев Е.И. Аналитическое истолкование онто- ! гносеологических основ математики. - Курск, гос. пед. ун-т. - „ Курск, 2002. - 16 с. Библиогр. назв. 10. Рук. деп. В ИНИОН РАН от

16.12.02. № 57672. (0,8 п.л.) Статья.

10. Арепьев Е.И. Преодоление кризиса теории множеств и становление аналитической философии математики. И Актуальные проблемы социогуманитарного знания. Сборник научных трудов кафедры философии МПГУ. Выпуск XIV. - М.: «Прометей», 2002. -С. 12-21.(0,7 п.л.) Статья.

3Î

11. Арепьев Е.И. Аналитическая философия математики как этап развития рационалистической традиции. И Актуальные проблемы социогуманитарного знания. Сборник научных трудов кафедры философии МПГУ. Выпуск XIV. -М.: «Прометей», 2002. - С. 5-12. (0,6 п.л.) Статья.

Î 2, Арепьев Е.И. О философе ко-методологи ческой позиции Г, Фреге и аналитической философии математики. // Четвертые Илнадиевские чтения: Цивилизация на рубеже тысячелетий: проблемы, закономерности, тенденции. Материалы международной научно-практической конференции (Курск, 14-15 мая 2002 г.), - Курск: Изд-во Курск, гос. пед. ун-та, 2002. - С. 9-1 К . (0,2 п.л.) Тезисы.

13. Арепьев Е.И Об основных вопросах философии математики. // Человек-Культура-Общество Актуальные проблемы философских, политологических и религиоведческих исследований. Материалы Международной конференции, посвященной 60-летию воссоздания философского факультета в структуре МГУ им. М.В.Ломоносова (13 15 февраля 2002 г.). - Том II. - М.; Изд-во «Современные тетради», 2002. - С. 4.. (0,1 п.л.) Тезисы.

14. Арепьев НИ., Когай Е.А., Левин А,И, Концепции современною естествознания* методическое пособие по изучению курса, - Курск: Изд-во Курск гос. пед. ун-та, 2002. - 56 с. (2,5 п.л.) Брошюра. (Авторство не разделено),

15. Арепьев Е.И Философия математики и ее аналитическая трактовка в свете теоретико-множественного подхода к обоснованию математического знания. - Курск: Изд-во Курск, гос. пед. ун-та, 2001. - С, 1 -22, (J ,3 п.л,) Брошюра.

16. Арепьев Е И. О философско-методологических аспектах конструирования формально-логических языковых систем математики. // Проблема конструктивности научного и философского знания: Сборнок статей: Выпуск первый. - Курск: Изд-во Курск, гос. пед. ун-та., 2001. - С. 68-76. (0,7 п.л.) Статья.

17 Арепьев Е.И Гипотеза четырех красок и раскраска карт с бесконечным числом областей. И Третьи Илиадисвские чтения. Тезисы докладов и выступлений международной научной конференции (г Курск, 4 мая 2000 г.). - Курск: Изд-во Курск, гос. пед ун-та, 2000. - С. 35-36. (0,2 п.л.) Тезисы.

18, Арепьев Е.И Философско-математическис аспекты становления лингвистической традиции 20 столетия. // Философия 20 века: школы и концепции. - СПб.: Издательство Санкт-Петербургского философского общества, 2000 - С. 404-406. (0,3 п.л.) Тезисы.

19. Арепьев Е.И, О роли Фреге в аналитической философии математики. И Россия и внешний мир. - М., 2000. - С. 61-64. (0,3 п.л.) Тезисы.

20. Арепьев Е.И. К задаче четырех красок. // Вторые илиадиевские чтения: Тезисы докладов и выступлений международной научной конференции. - Курск: Изд-во Курск гос, пед, ун-та, 1999. - С. 6870. (0,2 п.л.) Тезисы.

21 Арепьев Е.И. Аналитическая философия математики: язык и математические объекты. // Проблемы истории отечественной и зарубежной философии и современность. - Курск: Изд-во Курск, гос. пед. ун-та, Î999. - С. 90-98. (0,6 п.л.) Статья

22. Арепьев Е.И. Некоторые аспекты философско-математических исследований 19 - начала 20 веков (к проблеме обоснования математического знания в аналитической философии). - Курск: Изд-во Курск. гос. пед. ун-та, 1998. - С. 1-24. (1,2 п.л.) Брошюра.

23. Арепьев Е.И. Язык и объекты математики. Историко-гносеологический анализ. // Илиадиевские чтения: тезисы докладов и выступлений международной научной конференции (3-5 марта 1998 г.),-Курск: Изд-во Курск, гос. пед. ун-та, 1998.-С. 91-94, (0,2 п.л.) Тезисы.

24. Арепьев Ь.И, От фундаментализма к анархизму (к вопросу обоснования матемашческого знания в аналитической философии науки). // Философия в системе духовной культуры на рубеже XXI века: тезисы докладов и выступлений международной научной конференции (20-21 мая 1997 г.). - Курск: Изд-во Курск, гос. пед. ун-та, 1997.-С. 12-15 (0,2п.л.)Тезисы.

Лицензия ИД № 06248 от 12 11.2001 г. Подписано в печать 15.05.2003 1 Тираж ! 00 экз. Зака»№ 9Ы

Изд-во Курского госуниверситета 305000, г. Курск, ул. Радищева, 33

*

Отпечатано в лаборатории оперативной полиграфии Курского госуниверситета

«

I

РНБ Русский фонд

2006-4

37312

1

% \ г

Оглавление научной работы автор диссертации — доктора философских наук Арепьев, Евгений Иванович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФИЛОСОФИЯ

МАТЕМАТИКИ КАК ЧАСТЬ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ТРАДИЦИИ

§ 1. Основные черты и представители аналитической философии XX столетия

§ 2. Проблема обоснования математического знания и аналитическая традиция: общность методологических установок, кризис «оснований» на рубеже XIX — XX веков

§ 3. Пути преодоления кризиса и становление аналитической философии математики

ГЛАВА II. ИСТОРИКО-ФИЛОСОФСКИЕ

ПРЕДПОСЫЛКИ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФИЛОСОФИИ МАТЕМАТИКИ

§ 1. Новоевропейская философия: проблемы языка науки и метода познания, их логико-математическая интерпретация

§ 2. Гносеологические изыскания Г.В. Лейбница как теоретический фундамент аналитической философии математики

§ 3. Рационалистическая философия как идейная основа аналитической традиции

ГЛАВА III. ФОРМАЛЬНО-ЛОГИЧЕСКИЙ ПОДХОД К

ФИЛОСОФСКО-МАТЕМАТИЧЕСКИМ И МЕТОДОЛОГИЧЕСКИМ ПРОБЛЕМАМ

§ 1. О необходимости и объективной обусловленности разработки языка науки в свете методологических проблем оснований математики на рубеже XIX — XX столе

§ 2. Формально-логическая доктрина Г. Фреге в философии математики и методологии науки

§ 3. Кризис и возрождение логицизма

ГЛАВА IV. ЛИНГВИСТИЧЕСКАЯ ТРАКТОВКА ФИЛОСОФИИ МАТЕМАТИКИ И МЕТОДОЛОГИИ НАУКИ

§ 1. Идеи Л. Витгенштейна как философско-математическая альтернатива программе логицизма

§ 2. О значении концепции «языковых игр» Л. Витгенштейна и семантических изысканиях Р. Кар-напа: критика и развитие идей Г. Фреге

§ 3. Интерпретация неформализованных языковых систем, пути совершенствования естественного языка в свете онто-гносеологического истолкования математики и методологии науки: языковые игры - языковые каркасы - минимальные словари

ГЛАВА V. РЕДУКЦИЯ МЕТАФИЗИЧЕСКИХ ПРОБЛЕМ К ЛОГИЧЕСКИМ

§ 1. Метафизический агностицизм и нигилизм аналитических концепций

§ 2. Аналитическая интерпретация вопросов философии математики

§ 3. Математика как часть логики - основные аспекты

ГЛАВА VI. ОБЩЕМЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ СРЕДСТВА И ОНТО-ГНОСЕОЛОГИЧЕСКОЕ ИСТОЛКОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ЗНАНИЯ

§ 1. Методологические подходы к объяснению природы математики: внешнее и внутреннее рассмотрение

§2. Сравнительный анализ свойств математики

§3. Онто-гносеологическая картина математики

Введение диссертации2003 год, автореферат по философии, Арепьев, Евгений Иванович

Актуальность темы исследования

Тематика данного исследования связана в первую очередь с интерпретацией проблемы обоснования знания на область математических истин и объектов в аналитической традиции XX столетия, а также логико-методологическими вопросами, разрабатываемыми в рамках подобной интерпретации. В частности, под обоснованием математики подразумевается построение онто-гносеологического истолкования основных, исходных идей, составляющих фундамент этой науки.

Оставаясь актуальной и разрабатываемой практически на протяжении всего исторического развития философской мысли, проблема обоснования человеческого знания приобретает в современную эпоху особую остроту. Это обусловлено несколькими факторами.

С одной стороны, разнообразие философских направлений XX столетия предлагает ряд качественно новых подходов к философской проблематике (это и попытка отождествления философии с точными науками, и рассмотрение философских проблем как проблем языка, и попытки обосновать несостоятельность онтологической проблематики, и многое другое). Это приводит к пересмотру многих устоявшихся представлений и служит причиной оживленной полемики как в самой философии, так и на междисциплинарном уровне.

С другой стороны, научно-технический прогресс необходимым образом обуславливает интенсивное развитие такой области исследований, как философия науки, в которой проблема обоснования знания обладает своей спецификой и которая значительно расширяет круг онтологических и гносеологических вопросов.

Компьютеризация общества, развитие физики, информатики и других наук в настоящее время выводят человечество на качественно новую ступень развития. Гуманитарные отрасли, и в первую очередь философия, не могут не испытывать влияния естественнонаучного знания, точных наук. Ориентир на научную рациональность, математизация, формализация методов исследования и языка науки обуславливает не только преобразование и совершенствование способов рассуждения, обоснования положений, отыскания и построения гипотез, но и предполагает эпистемологическое осмысление эффективности принципов тех наук, которые служат в настоящее время образцом точности и стройности, выявление связи этих принципов с реальной действительностью и природой человеческого мышления.

В свете вышеизложенного, на рубеже XX - XXI веков представляется необходимым исследование, систематизация и современная интерпретация творческого наследия мыслителей XX столетия, затрагивающего философские и методологические аспекты науки, в частности - математического знания. Значительную роль в этом должна, на наш взгляд, сыграть история философии, поскольку такое осмысление является ее непосредственной задачей.

Благодаря интенсивной разработке философско-математических проблем, которая происходит в конце XIX - начале XX веков, образуется так называемая область «оснований математики», представляющая собой смешанное поле деятельности философов и математиков и вносящая в проблематику обоснования человеческого знания обособленный круг вопросов. Становление этой области исследований приобретает особую значимость, так как в начале XX столетия назревает кризис оснований, причиной которого послужили многочисленные парадоксы теории множеств. Различные подходы к преодолению этого кризиса приводят к образованию направлений (логицист-ского, формалистского и интуиционистского), идеи которых ложатся в основу аналитического и конструктивного понимания философии.

Аналитическая традиция, сформировавшаяся в XX веке, представляет собой одно из наиболее крупных направлений современной философской мысли. Предметное поле исследований этого течения включает в себя широкий круг проблем, в том числе и проблем, относящихся к различным вопросам онтологии, гносеологии, методологии и философии науки. Благодаря этому аналитическая традиция выступает в роли одной из основных областей, связывающих философское знание с точными науками.

Актуальность проблемы обоснования математического знания, представляющей собой составную часть проблематики обоснования знания вообще и обоснования научного знания в частности, возрастает в наш век как никогда ранее. Математика, являясь образцом точной науки, в то же время служит универсальным аппаратом исследования для всего естественнонаучного знания. Поэтому ее объекты, язык и методология, универсальная применимость и необходимость ее положений служат предметом пристального внимания философов современности.

Аналитическая же традиция вносит в область философско-математических исследований важнейший вклад, выражающийся в разработке нового подхода к проблемам оснований и реализации идей мыслителей Нового Времени. Это послужило толчком к развитию многих областей математического и философского знания.

В свете вышеизложенного данная работа представляет собой исследование аналитического подхода к философско-методологическим проблемам математического знания.

Степень научной разработанности проблемы.

Говоря о разработанности проблемы формирования и развития аналитической традиции в философии математики и методологии науки, необходимо выделить целый ряд положений. Прежде всего, следует отметить, что развернутого исследования аналитической философии математики, как целостного направления, не было предпринято до настоящего времени ни в отечественной, ни в зарубежной литературе (по крайней мере в поле обозримости автора данной работы). Тем не менее необходимые предпосылки для подобного исследования вполне сформировались.

Так, можно выделить несколько областей, связанных с темой настоящего исследования, разработанность которых позволяет выделить ряд общепризнанных или вполне обоснованных результатов, вошедших в теоретическую основу данной диссертации. Это области, относящиеся к онтологическим и гносеологическим проблемам математического знания, к логико-методологическим вопросам науки и в частности философии и математики. Сюда относятся также область исследований, посвященных осмыслению роли и сущности аналитической традиции философской мысли XX столетия в целом и истолкованию концепций ее отдельных представителей, исследования наследия Новоевропейской философии, ее вклада в становление современной философии и методологии науки вообще и непосредственно математического знания, труды, целью которых является оценка теоретико-познавательного вклада философских течений прошлого века, и др.

Итак, тематика данной работы связана с вопросами философии, логики и методологии научного знания, исследуемыми в трудах таких отечественных и зарубежных авторов, как Асмус В.Ф., Гайденко П.П., Жог В.И., Князев В.Н., Кочергин А.Н., Купцов В.И., Мелюхин С.Т., Микешина J1.A., Петров Ю.А., Печенкин A.A., Рузавин Г.И., Смирнова Е.Д., Сокулер З.А., Степин B.C., Суровцев В.А., Яновская С.А., Яшин Б.Л., Вригт Г., Куайн У., Кун Т., Лакатос И., Ньютон-Смит В., Фейерабенд П., Хинтикка Я. и др.

Исследование проблем, связанных с тематикой настоящей работы, предполагает анализ концепций отдельных представителей аналитической философии и представителей области оснований математического знания. В этом плане прежде всего необходимо отметить таких авторов как Бибихин В.В., Бирюков Б.В., исследующий позицию Фреге, Грязнов А.Ф., Даммит М., труды которого посвящены философскому и философско-математическому наследию Г. Фреге, Захаров В.Д., Козлова М.С., Колесников A.C., Коломейцев А.Е., Колядко В.И. исследующий философское наследие Б. Больцано, Кузьмичева A.A., в работах которой дается критический анализ лингвистической доктрины логической и математической истины Р. Карнапа, Кутыркин А.Б., Мадер В.В., который детально излагает и анализирует логико-арифметическую концепцию Г. Фреге, Макаркина С.Б., исследующая теорию определений Г. Фреге, Микешина JT.A., в трудах которой анализируется ряд важнейших идей позднего Витгенштейна, Нарский И.С., с его исследованиями позиции Рассела, Панченко А.И., Панченко K.M., Перминов В.Я., Розов М.А., Руднева В.П., Рузавин Г.И., Самохвалов К.Ф., Смирнов В.А., Смирнова Е.Д., Сокулер З.А., изучающая философско-математические разработки Витгенштейна, Поппера и др., Успенский В.А., рассматривающий связь идей JT. Витгенштейна с основаниями математики, Федоров Б.И. и др.

Проблемы философии математики интенсивно разрабатываются зарубежными (США, Великобритания и пр.) исследователями, среди которых можно отметить таких авторов как Бенацерраф П., Булос Д., Голдфарб В., Даммит М., Девис П., Китчер Ф., Куайн У., Патнем X., Уаилдер Р. и др.

Тема диссертации также связана с исследованиями аналитической традиции XX столетия в целом, которая является предметом изучения таких отечественных авторов, как Боброва Л.А., в трудах которой разрабатываются подходы к определению аналитической философии, изучаются различные периоды ее становления и дальнейшие пути развития, Грязнов А.Ф., ряд трудов которого посвящен исследованию позиции аналитиков (Витгенштейна) по философско-математическим вопросам, Даммит М., Козлова М.С., исследующая идею «языковых игр», Панов М.И., который рассматривает аналитический подход к философии и методологии математики и пути гуманитаризации математического знания, Панченко А.И., исследующий основные тенденции современной аналитической философии, и другие.

Историко-философский характер работы связывает данную тему с исследованиями философского наследия отдельных мыслителей Нового времени. Это труды Быховского Б.Э., который исследует философскую концепцию Дж. Беркли, работы Гетмановой А.Д., Катасонова В.Н., посвященные вопросам философии математики в концепциях Декарта и Лейбница, Майорова Г.Г., Михаленко Ю.П., Ойзермана Т.Н., Соколова В.В., Танхилевич О.М., Умова H.A., Юшкевича А.П., Ягодинского И.И. и др.

На данное исследование значительное влияние оказали также идеи, разрабатываемые в трудах по философским вопросам математического знания и логики. Это работы таких авторов, как Перминов В.Я., разрабатывающий априористскую концепцию математического знания, Панов М.И., исследующий наследие интуиционистского течения, Рузавин Г.И., анализирующий философские проблемы оснований математики, Мануйлов В.Т., исследующий аналитический и конструктивный подход к философско-математическим вопросам, Кузичева З.А., разрабатывающая проблемы оснований математики, связанные со спецификой языка математики, Яновская С.А., с ее исследованиями методологических проблем науки, и в частности математики, Целищев В.В., Беляев Е.А., Карпович В.Н., Асмус В.Ф., Успенский В.А., Поляков И.В., Сисюк Н.П., Медведев Ф.А., Черепанов С.К. и др.

Ряд диссертаций и монографий указывает, так же как и труды вышеупомянутых авторов, на повышенное внимание к проблемам аналитического подхода в философии математики. Однако эти исследования не содержат построения общей картины, позволяющей осветить процесс становления и развития аналитической философии математики и предлагающей развитие онто-гносеологических и логико-методологических результатов этого направления.

Данная диссертация призвана до определенной степени заполнить пробел в рассматриваемой области исследований.

Цель и задачи диссертационного исследования

Целью диссертационного исследования является раскрытие сущности аналитического подхода к проблемам онто-гносеологического обоснования математического знания, выявление его обусловленности и значимости в историко-философском контексте и контексте человеческого знания в целом, а также истолкование природы математического знания на основе результатов, полученных в аналитической философии математики.

Реализация цели предполагает решение следующих задач: обобщение основных характеристических черт аналитической традиции мысли XX века; проведение концептуального анализа различных подходов к проблемам философии математики на предмет определения наличия в них существенных признаков, характерных для аналитической традиции, и выявление взаимосвязи аналитической традиции с областью оснований математики, обуславливающей формирование течения аналитической философии математики; выделение направления аналитической философии математики как пересечения аналитической традиции с областью оснований математики и выявление его основных характеристик; выявление исторической обусловленности и историко-философских предпосылок аналитической философии математики; выявление обусловленности возникновения, раскрытие сущности и значения формально-логического языкового подхода к проблемам оснований математики, определение объективных причин его развития; определение роли и значения формально-логического языкового подхода (как части аналитической философии математики) в математическом и философском знании и выявление причин, ограничивающих возможности применения формальных средств познания; раскрытие объективных причин возникновения лингвистической тенденции в аналитической философии математики, выявление сущности лингвистического подхода, его значимости в философии математики и в философском знании вообще; выявление проблемно-постановочных результатов исследований аналитической философии математики; выявление основных онто-гносеологических аспектов логицистского истолкования природы математических истин; экспликация методологических установок аналитической философии математики; получение ключевых онто-гносеологических аспектов истолкования природы математических истин на основе обобщения и развития результатов аналитической традиции.

Теоретико-методологические принципы и источники исследования Решение поставленных задач и реализация цели исследования требует соответствующей методологической базы. В диссертации использовался метод историко-философской реконструкции, который включает в себя методики первичного (при изучении источников) и вторичного (при привлечении различного рода критической литературы) исследования, а также методы интерпретирующего анализа, подразумевающие критическое сопоставление различных концепций и проецирование результатов философского осмысления одной научной области (или их совокупности) на другую. В настоящем исследовании также, на основе результатов аналитической философии математики, разрабатывается и применяется метод «внешнего и внутреннего рассмотрения».

Этот метод предполагает для внешнего рассмотрения проведение сравнительного анализа свойств рассматриваемой научной области (математики) со свойствами и основными особенностями других областей знания и интеллектуальной активности человека. Внутреннее же рассмотрение представляет собой процесс выявления и сопоставления сущностных характеристик объектов и положений, принадлежащих самой рассматриваемой области.

В качестве источников исследования выступают работы отечественных и зарубежных авторов, относящихся к нескольким группам: труды, в которых содержатся идейные предпосылки аналитической традиции, и в частности предпосылки аналитической философии математики, а именно, работы Декарта Р., Лейбница Г.В., Беркли Дж., Юма Д. и др.; работы, относящиеся непосредственно к аналитическому направлению философии математики, то есть работы Фреге Г., Рассела Б., Витгенштейна Л. и Карнапа Р. и др.; работы, относящиеся к проблематике оснований математического знания и вопросам математической логики. Это труды следующих мыслителей: Больцано Б., Дедекинда Р., Кантора Г., Гильберта Д., Уайтхеда А. и др.; труды, посвященные исследованию сущности и особенностей аналитической традиции XX века, следующих авторов: Бобровой Л.А., Грязнова А.Ф., Даммита М., Козловой М.С., Панова М.И., Панченко А.И. и некоторых других исследователей данной проблемы; помимо этого, в качестве источников были использованы труды отечественных и зарубежных авторов, излагающие содержание непереведенных работ мыслителей последней группы либо излагающие отдельные аспекты их концепций или концепций, непосредственно связанных с их исследованиями. Это работы таких авторов, как Бирюков Б.В., Клайн М., Колесников A.C., Кузьмичева A.A., Кутыркин А.Б., Кутюра Л., Мадер В.В., Нарский И.С., Суровцев В.А., Успенский В.А. и др.

Научная новизна исследования Научная новизна диссертационной работы состоит в реализации подхода к изучению философско-математического наследия аналитиков XX столетия, рассматривающего аналитическую тенденцию в области обоснования математического знания как целостное направление. В ходе исследования получены результаты, которые представляют собой новое знание об аналитическом истолковании природы математики и о сущности исходных принципов математического знания вообще. А именно: в ходе исследования установлено, что философско-математические концепции аналитиков образуют целостное направление, развитие которого подразделяется на два этапа и его важнейшей характеристической чертой служит логико-лингвистическая направленность; выявлено, что основная часть теоретических предпосылок аналитической философии математики содержится в концепциях Р. Декарта и Г. Лейбница, в частности, в разработках идеи создания универсального языка науки на логико-математической основе; обосновано, что значимая часть приемов и методов, используемых в концепциях аналитической философии математики, может быть упорядочена и подведена под классификацию на основе принципа «внешнего и внутреннего рассмотрения», теоретическое описание которого впервые осуществляется в настоящей работе; на основе онто-гносеологических построений аналитиков выдвинуто гипотетическое истолкование математики позволяющее утверждать, что все области математического знания, опирающиеся лишь на производные положения от количественных и порядковых отношений, основываются на исходных, априорно заданных принципах разума, служащих неотъемлемой его составляющей, то есть возможностью его существования, и относящихся к свойствам действительности (материальной, идеальной, потенциальной), выражающим ее непрерывный и дискретный характер; выявлено, что геометрические исходные истины, то есть сама возможность построения системы геометрических истин также является неотъемлемой составляющей разума, отражающей в нем формы существования материального мира; обосновано, что все разделы математической логики, то есть области, занимающиеся выражением свойств причинно-следственных связей, свойств функционирования разума, процесса рассуждения основываются на необходимой компоненте разума, относящейся к отражению в нем самом возможностей построения и функционирования любых систем, в том числе и математических; установлено, что все три компоненты основ математического знания имеют обширные производные области, в которых эти основы пересекаются, однако данные составляющие фундамента математики не тождественны, а специфичны. Общим же, определяющим саму принадлежность к математике для всех исходных областей является то, что они отражают универсальные законы не только всего существующего, не только гипотетического, но и всего возможного вообще.

Наконец, обобщением перечисленных новых положений явилась гипотеза о том, что отношение исходных математических истин и объектов к реальности, сущему, исходя из результатов аналитического течения, тождественно отношению к структуре бытия всех возможностей, всех реализованных и потенциальных форм его существования, преобразования и развития.

Теоретическая и практическая значимость работы

Теоретическая значимость диссертации определяется тем, что ее результаты дополняют картину онтологического и гносеологического истолкования природы математического знания, расширяют методологический аппарат исследования проблем философии науки, способствуют более глубокому и целостному осмыслению философского наследия XX столетия в целом и аналитической традиции в частности. Положения и выводы, полученные в настоящей работе, выявляют основные тенденции одного из наиболее влиятельных направлений философии математики прошлого века, позволяют более полно оценить значимость его результатов, являются продолжением и развитием аналитической интерпретации сущностных основ математики, ее объектов и истин.

Результаты диссертации могут применяться в разработке исследовательских программ, связанных с проблемами обоснования математического и научного знания в целом, программ, затрагивающих историко-философские аспекты осмысления Новоевропейской философии и аналитической традиции XX века, в учебных курсах по истории западной философии, по философии и методологии научного знания, в спецкурсах по философским вопросам математического знания и курсах по истории математики.

Апробация диссертации

Апробация диссертации может быть отражена в нескольких положениях. Эти положения связаны с двумя основными формами критического рассмотрения и одобрения идей.

Основная часть задач настоящего исследования вошла в содержание научно-исследовательских проектов, получивших поддержку различных фондов по итогам конкурсов грантов. Результаты, полученные автором и входящие в данную диссертацию, отражены в публикациях (в том числе центральных) и отчетах, одобренных экспертными советами фондов. В частности, это грант Министерства образования РФ 1997 года по фундаментальным исследованиям в области гуманитарных наук — проект N6 «Концепции конструктивности математического знания в основных направлениях философии науки на пороге XXI века» (завершенный коллективный проект, в котором автор являлся исполнителем); грант РФФИ 2001 года — проект № 01-0680278 «Конструктивность физико-математического знания в историко-философском аспекте» (продолжающийся коллективный проект, в котором автор является исполнителем); грант РГНФ 2001 года — проект № 01-0300274 «Аналитическая традиция XX столетия в философии математики и методологии науки» (продолжающийся проект, в котором автор является руководителем).

Диссертация апробирована также в выступлениях автора на научных конференциях и теоретико-методологических семинарах, в частности, на международной научной конференции «Философия в системе духовной культуры на рубеже XXI века» - Курск, 1997 год; международной научной конференции «Илиадиевские чтения» - Курск, 1998 год; международной научной конференции «Вторые илиадиевские чтения» - Курск, 1999 год; научной конференции «Философия 20 века: школы и концепции» - Санкт Петербург, 2000 год; международной научной конференции «Третьи Илиадиевские чтения» - Курск, 2000 год; теоретическом семинаре «Конструктивность физико-математического знания в историко-философском аспекте» - Курск, 2001 год; международной научной конференции «Человек-Культура-Общество. Актуальные проблемы философских, политологических и религиоведческих исследований», посвященной 60-летию воссоздания философского факультета в структуре МГУ им. М.В. Ломоносова - Москва, 2002 год; международной научно-практической конференции «Четвертые Илиадиевские чтения: Цивилизация на рубеже тысячелетий: проблемы, закономерности, тенденции» - Курск, 2002 год, и др.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Философско-математические концепции аналитиков образуют целостное направление, образуемое пересечением аналитической традиции философской мысли и области оснований математики начала XX века.

2. Приоритет формально-логической и лингвистической направленности исследований при решении онто-гносеологических и методологических проблем науки в первую очередь относится к математическому знанию, поэтому понимание «аналитичности» в данном случае подразумевает именно лингвистическую тенденцию, или, учитывая неотъемлемость логических средств в математике, логико-лингвистическую направленность.

3. Основная часть теоретических предпосылок аналитической философии математики содержится в концепциях Р. Декарта и Г. Лейбница, в частности, в разработках идеи создания универсального языка науки на логико-математической основе. Попытки логического обоснования арифметики и математики в целом представляют собой проекции идеи универсальной характеристики на отдельные области знания, приобретшие в ходе развития аналитического течения лингвистическую направленность.

4. Несмотря на неоднородность, натуральные числа имеют важнейшую общую особенность, которая состоит в выражении дискретных характеристик действительности. Подобное свойство обуславливает сущностную общность натуральных чисел с целыми, дробными рациональными и иррациональными алгебраическими числами. Эта общность позволяет также сделать вывод о первостепенности выявления онто-гносеологического статуса чисел, выражающих дискретность реального мира (или дискретность нашего восприятия).

5. Вопрос об истолковании действительных чисел не может по своей значимости быть сопоставлен с проблемой перехода от натуральных и целых к дробным и иррациональным алгебраическим числам, так как действительные числа подразумевают выражение уже не дискретности, а непрерывности реального мира. Таким образом, проблемы истолкования натуральных и действительных чисел, натуральной, то есть дискретной, и действительной, то есть непрерывной бесконечностей включают в себя все многообразие вопросов, связанных с переходом от натуральных чисел к целым, от целых к дробным, от ограниченных бесконечных множеств к неограниченным, и других, в том числе формулируемых и разрабатываемых в концепциях аналитиков.

6. Значительная часть приемов и средств, используемых в концепциях аналитической философии математики, может быть упорядочена и подведена под классификацию с помощью принципа, обобщающего ряд методологических установок аналитического истолкования природы математического знания, которому дано название принцип (метод) «внешнего и внутреннего рассмотрения».

7. Внешнее рассмотрение состоит в использовании сравнительного анализа, подразумевающего сопоставление математики или отдельных ее областей с другими, нематематическими (в общепринятом смысле) сферами интеллектуальной активности человека, например, сравнение математических истин с выводами естественных наук, сравнение математики с естественным языком, логикой, шахматной или другой игрой и т.д.

8. Внутреннее рассмотрение подразумевает обращение к объектам и положениям самого математического знания. Примерами такого обращения могут служить сравнительный анализ положений и объектов арифметики и геометрии, рассмотрение геометрических интерпретаций теорем математического анализа, исследования, посвященные выявлению правомерности подведения теоретико-множественной основы под здание всей математики, философское осмысление проблем, возникающих из-за обнаружения парадоксов, противоречий в тех или иных математических исследованиях.

9. Теоретическое описание метода внутреннего и внешнего рассмотрения позволяет заключить, что внутреннее рассмотрение служит средством, используемым для решения частных вопросов, выбор же общей направленности исследований и разработок, выбор исходных установок и ориентиров, на которые опирается сам процесс создания концепции, осуществляются путем внешнего рассмотрения.

10. Онто-гносеологические построения аналитиков служат подтверждением гипотезы о том, что все области математического знания, опирающиеся лишь на производные положения от количественных и порядковых отношений, основываются на исходных, априорно заданных принципах разума, служащих неотъемлемой его составляющей, то есть возможностью его существования, и относящихся к свойствам действительности (материальной, идеальной, потенциальной), выражающим ее непрерывный и дискретный характер.

11. Геометрические исходные истины, то есть сама возможность построения системы геометрических истин также является неотъемлемой составляющей разума, отражающей в нем формы существования материального мира.

12. Все разделы математической логики, то есть области, занимающиеся выражением свойств причинно-следственных связей, свойств функционирования разума, процесса рассуждения основываются на необходимой компоненте разума, относящейся к отражению в нем самом возможностей построения и функционирования любых систем, в том числе и математических.

13. Все три компоненты основ математического знания имеют обширные производные области, в которых эти основы пересекаются, однако данные составляющие фундамента математики не тождественны, а специфичны. Общим же, определяющим саму принадлежность к математике для всех исходных областей является то, что они отражают универсальные законы не только всего существующего, не только гипотетического, но и всего возможного вообще.

14. Отношение исходных математических истин и объектов к реальности, сущему, исходя из результатов аналитического течения, тождественно отношению к структуре бытия всех возможностей, всех реализованных и потенциальных форм его существования, преобразования и развития.

Структура диссертации

Структура диссертационного исследования определяется его целью и задачами. Работа состоит из введения, шести глав, включающих в себя по три параграфа, заключения и списка литературы.

Заключение научной работыдиссертация на тему "Формирование и развитие аналитической традиции в философии математики и методологии науки XX столетия"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Подводя итоги проведенного исследования, представляется необходимым остановиться на ряде наиболее значимых положений, обобщающих полученные результаты. Указанные положения предполагают освещение историко-философских, методологических и онто-гносеологических вопросов обоснования математического знания, а также некоторых проблемно-постановочных моментов.

Итак, аналитическая философия математики представляет собой пересечение аналитической традиции философской мысли и философии математики, то есть той области исследований, которую принято относить к философским аспектам оснований математического знания. Это пересечение отчасти задает и временные рамки, указывая на период конца XIX - первой половины XX столетия. Если выразиться точнее, то говорить о непосредственном возникновении направления можно лишь с начала XX века.

Основополагающими чертами аналитической философии, опираясь на наиболее общую точку зрения, можно считать языковой акцент, рациональность мышления и строгость аргументации идей, стремящуюся к научной. Рассмотрение этих признаков под углом зрения нашей темы, то есть применительно к философии математики, позволяет отметить, что если в естественнонаучном знании проблемы рациональности и строгости обоснования имеют не меньшую значимость, чем в математике, то приоритет формальнологической и лингвистической направленности исследований при решении философских и методологических проблем науки в первую очередь относится к математическому знанию.

Действительно, если обращаться к естественным наукам, то обоснование гипотез и выведение законов опирается в них, как правило, на экспериментальные данные. Построение формализованных языковых систем, например в физике, не является одной из основных опорных точек развития теории. В большинстве случаев оказывается достаточно неформализованного языка физики, состоящего из смешения естественного языка, символических обозначений, формул и отдельных строго определенных терминов. Для математического же знания, в частности для математической логики, крупных разделов алгебры и геометрии, формализация теории и введение формализованных языковых систем — важнейшая составляющая методологического аппарата.

В связи с этим, говоря об аналитической философии математики, необходимо подчеркнуть, что специфика математического знания выделяет из области исследований философии науки направление, относящееся к собственно философско-математическим проблемам. Это выделение вполне оправданно и вполне естественно еще и потому, что математика со времен Античности и по наши дни была и остается образцом точности и достоверности науки, то есть занимает особое, исключительное место. Что же касается аналитического подхода к проблеме обоснования математического знания, то, исходя из результатов проведенного исследования, можно заключить, что понимание «аналитичности» в данном случае подразумевает именно лингвистическую тенденцию, или, учитывая неотъемлемость логических средств в математике, логико-лингвистическую направленность.

В рамках критического обозрения аналитической философии математики необходимо особо выделить черту, присущую представителям этого течения, состоящую в игнорировании и неверном толковании некоторых важных результатов, полученных в теории познания. В частности, привлекает внимание тот факт, что рассмотрение проблем, связанных с оценкой роли практики как критерия истинности знания, страдает именно таким недостатком.

Необходимо также отметить, что отрицание осмысленности метафизических вопросов и убежденность в невозможности их адекватного разрешения не являются абсолютными принципами, которых последовательно и строго придерживаются аналитики. Тем не менее, агностицизм и нигилизм в отношении онтологических проблем выступает в роли одной из характерных черт, присущих творчеству мыслителей этого направления.

Как было выяснено в ходе исследования, аналитические концепции предполагают априористское истолкование исходных принципов математики. Однако также выясняется, что само по себе признание априорности математических истин не является, по-видимому, окончательным разрешением проблемы их онтологического и гносеологического статуса.

Если исходить из тезиса о том, что математические очевидности, или исходные принципы математики заложены изначально в наш разум и представляют собой доопытные формы мышления (или производные от этих форм), то возникает новый ряд вопросов. Например, вопрос о том, почему заложены в наш разум такие формы восприятия и мышления. То есть являются ли эти формы отражением форм отношений реального мира, и самое главное, является ли это отражение единственным, единственно возможным.

Вопрос о единственности также требует пояснения. Такое пояснение, пользуясь методом Витгенштейна, можно сделать при помощи нового вопроса: возможен ли разум на основе априорно заложенных форм мышления, разум, отображающий и преобразующий действительность, доопытные формы оперирования которого продуцировали бы систему, аналогичную по своим функциям математике, но не редуцируемую к ней?

Пути разрешения последнего вопроса предполагают по меньшей мере три варианта построения гипотез, опирающихся на априоризм. Первый - это признание математических исходных положений неотъемлемым и необходимым компонентом структуры разума и мышления. Второй — интерпретация природы математики как одной из неотъемлемых, но не единственно возможной априорной составляющей разума. И третий — истолкование математических истин как свойств отношений сущностей реального бытия, действительности, отраженных в исходных формах мышления.

Предложенные вопросы и пути их разработки предполагают также уяснение или, хотя бы, конвенциональное принятие того, что считать исходными математическими истинами, понятиями. Аналитическая традиция, несмотря на ряд расхождений во мнениях, противоречивых положений и непоследовательностей, содержащихся в концепциях ее представителей, позволяет, тем не менее, пролить определенный свет на эту проблему.

Прежде всего, привлекает внимание понятие натурального числа и натурального ряда. Полученные в исследованиях Г. Фреге конкретизирующие данную проблему положения, относящиеся к выделению особого статуса чисел 0 и 1, к выявлению неоднородности чисел и др., могут быть дополнены, на наш взгляд, еще несколькими значимыми аспектами.

Действительно, несмотря на неоднородность, натуральные числа имеют важнейшую общую особенность, которая может быть сформулирована как свойство выражать дискретные характеристики действительности. Подобное свойство выявляет сущностную общность натуральных чисел с целыми, дробными рациональными и иррациональными алгебраическими числами. Эта общность позволяет сделать вывод о первостепенности выявления онто-гносеологического статуса чисел, выражающих дискретность реального мира (или дискретность нашего восприятия).

Важнейшим аспектом данной проблемы является также истолкование природы самого натурального ряда, то есть исходного математического выражения дискретной бесконечности. Этот вопрос, разрабатываемый на протяжении длительного времени, не получает исчерпывающего разрешения и продолжает оставаться актуальным, несмотря на пристальное внимание к нему со стороны математиков, философов и логиков.

Следующая проблема, встающая на пути осмысления природы исходных математических понятий, представляет собой вопрос об истолковании действительных чисел, который не может по своей значимости быть сопоставлен с проблемой перехода от натуральных и целых к дробным и иррациональным алгебраическим числам, так как действительные числа подразумевают выражение уже не дискретности, а непрерывности реального мира. В свете данной проблемы встает и вопрос о бесконечности действительных чисел, которая служит математическим выражением непрерывной бесконечности, а не дискретной, как в случае с натуральным рядом.

Проблемы истолкования натуральных и действительных чисел, натуральной, то есть дискретной, и действительной, то есть непрерывной бесконечностей включают себя, таким образом, обширное многообразие вопросов, связанных с переходом от натуральных чисел к целым, от целых к дробным, от ограниченных бесконечных множеств к неограниченным, и других, в том числе формулируемых и разрабатываемых в концепциях аналитиков. Однако это лишь одна из сторон общего проблемного поля философского обоснования математики.

Другим аспектом, или, точнее, другой методологической интерпретацией путей истолкования природы математического знания должен явиться подход, исходящий из целостного осмысления математики или ее отдельной области и подразумевающий дальнейшую детализацию, конкретизацию исследования, опирающуюся на способ рассуждения от общего к частному. Рассел наиболее явно пытается придерживаться именно этого пути, определяя всю «чистую математику» и осуществляя на основе такого определения построение ее отдельных областей - арифметики, алгебры, геометрии — и соответствующих им определений и понятий.

Значительная часть приемов и средств, используемых в исследованиях Г. Фреге, Б. Рассела, Р. Карнапа, Л. Витгенштейна, как, впрочем, и исследованиях ряда других мыслителей, может быть упорядочена и подведена под определенную классификацию в случае принятия общего тезиса. Этот тезис, в частности применительно к разработке философской основы математики, может быть назван подразделением методологических подходов на внешнее и внутреннее рассмотрение свойств математики.

К внешнему рассмотрению мы будем относить использование сравнительного анализа, подразумевающего сопоставление математики или отдельной ее области с другими нематематическими (в общепринятом смысле) сферами интеллектуальной активности человека. Процесс выявления характеристических свойств математического знания с использованием внешнего рассмотрения может включать в себя сравнение математических истин с выводами естественных наук, сравнение математики с естественным языком, логикой, шахматной или другой игрой и т.д.

Что касается внутреннего рассмотрения, то это рассмотрение подразумевает прежде всего взгляд внутрь самого математического знания. Примерами могут служить сравнительный анализ положений и объектов арифметики и геометрии, рассмотрение геометрических интерпретаций теорем математического анализа, исследования, посвященные выявлению правомерности подведения теоретико-множественной основы под здание всей математики, и многое другое. К внутреннему рассмотрению можно отнести также философское осмысление проблем, возникающих из-за обнаружения парадоксов, противоречий в тех или иных математических исследованиях.

Как видно из проведенного исследования, внутреннее и внешнее рассмотрение, применяемые в разработке философских основ математического знания, позволяют выявить важнейшие компоненты, составляющие фундамент целостной системы взглядов, образующих аналитическую концепцию. Можно отметить также, что внутренний и внешний способы рассмотрения вполне применимы и вне философско-математической области.

Полученное в настоящей работе теоретическое описание данного метода позволяет заключить, что внутреннее рассмотрение служит в основном своего рода «тактическим» средством, используемым для решения частных вопросов. Что же касается выбора общей направленности исследований и разработок, выбора исходных установок и ориентиров, на которые опирается сам процесс создания концепции, то эти вопросы обычно решаются путем внешнего рассмотрения.

Становление логико-лингвистического подхода к философско-математическим проблемам выделяет в обширном поле исследований ряд приоритетных направлений, в том числе и в использовании внешнего сравнительного анализа для разрешения вопросов оснований математики. Для аналитических концепций подобный сравнительный анализ подразумевает прежде всего сопоставление математического знания с логикой, естественным языком, естественными науками и создаваемыми человеком игровыми системами (шахматы, языковые игры).

Итак, внешнее рассмотрение, широко применяемое в аналитической философии математики и не получившее до настоящего времени своего теоретического описания, позволяет, тем не менее, выделить ряд областей, ряд видов интеллектуальной деятельности человека, сравнительный анализ которых с математикой в тех или иных аспектах представляется перспективным в плане раскрытия ключевых моментов формирования системы философско-математических представлений.

К числу таких областей относятся эмпирические науки, в частности, физическое знание, оперирующее, подобно математике, абстрактными понятиями и идеальными объектами. Основными отличительными чертами, свидетельствующими о различии сущностных основ математики и физики, выступают отсутствие в математическом знании эмпирического уровня исследования, различные степени абстрагирования, различные степени достоверности, абсолютности и универсальности.

Областью, имеющей сходство с математикой во многих аспектах, является также логика. Подобно математическим истинам, законы логики универсальны и абсолютны, неэмпиричны и достоверны. Говоря об отличительных, специфических чертах математики и логики, следует прежде всего отметить большую всеобщность и меньшую абстрактность логических истин и объектов, неявность логической составляющей в большинстве областей знания.

Еще одной из основных областей интеллектуальной активности человека, сравнимых с математическим знанием, является естественный язык. Близость этих полей исследования состоит и в саморегуляции, и в саморазвитии, и в универсальной применимости, необходимости в научных построениях. Что касается принципиальных отличий, то можно указать на конвенциональную основу естественного языка, его преобразований и развития, на его необходимость и неотъемлемость для любого процесса рассуждения.

Особой группой полей исследования, в процессе внешнего рассмотрения математического знания, выступает искусственно создаваемые формализованные и неформализованные языковые системы, а также игры, подобные шахматам. Свойства, сближающие названные области с математикой, состоят в предопределенности законов динамики игр и формализованных систем, в значимости формализованных построений для математики, целые разделы которой создаются в виде формально-логических языковых конструкций. Принципиальное отличие же заключается в содержательности математического знания, его применимости в истолковании действительности.

Следует отметить, что как перечень областей для сравнительного анализа, так и перечень отличительных аспектов и общих свойств может быть, без сомнения, продолжен. Истолкование результатов внешнего рассмотрения, проводимого в трудах представителей аналитической философии математики, также не может считаться однозначным и исчерпывающим, как и предложенные в данной работе рассуждения. На наш взгляд, в настоящее время вопрос состоит прежде всего в том, насколько продуктивно применение внешнего рассмотрения в философско-математических исследованиях и в том, насколько целесообразна разработка самих методов внутреннего и внешнего рассмотрения в философии науки. И этот вопрос исходя из предложенного выше анализа имеет положительный ответ и по первому и по второму пункту.

Построение системы взглядов на онто-гносеологические проблемы математического знания, опирающейся на наследие аналитической философии математики XX столетия, имеет ряд затруднений. Прежде всего, это тот факт, что представители данного направления нередко расходятся и противоречат друг другу по множеству значимых вопросов. Второе затруднение состоит в том, что каждому из мыслителей, концепции которых послужили основой аналитической философии математики, в большей или меньшей степени свойственна эволюция взглядов, не позволяющая оценить точку зрения автора однозначным образом. Наконец, трудность построения состоит во множестве других факторов, носящих субъективный или объективный характер и рассмотренных в первом параграфе пятой главы настоящей работы: отсутствие установки на необходимость последовательности у Б. Рассела и Л. Витгенштейна, неоправданное игнорирование роли практики в познании, метафизический нигилизм и т.д.

Тем не менее представляется вполне возможным изложение основных положений той онто-гносеологической картины основ математического знания, которая может быть построена на базе разработок аналитической философии математики. Исходным тезисом в данном случае можно считать следующее утверждение Фреге: «Арифметические истины господствуют над областью исчислимого. Это основание является всеобъемлющим, так как ему принадлежит не только действительное, не только созерцаемое, но и все мыслимое». Этот тезис может быть дополнен в ряде аспектов.

Во-первых, не только арифметика, но и все области математического знания, опирающиеся лишь на производные положения от количественных и порядковых отношений, основываются на исходных, априорно заданных принципах разума, служащих неотъемлемой его составляющей, то есть возможностью его существования, и относящихся к свойствам действительности материальной, идеальной, потенциальной), выражающим ее непрерывный и дискретный характер.

Во-вторых, геометрические исходные истины, вернее, сама возможность построения системы геометрических истин также является неотъемлемой составляющей разума, отражающей в нем формы существования материального мира.

В-третьих, все разделы математической логики, то есть области, занимающиеся выражением свойств причинно-следственных связей, свойств функционирования разума, процесса рассуждения, основываются на необходимой компоненте разума, относящейся к отражению в нем самом возможностей построения и функционирования любых систем, в том числе и математических.

Очевидно, что все три компоненты основ математического знания имеют обширные производные области, в которых эти основы пересекаются. Однако эти составляющие фундамента математики не тождественны, а специфичны. Общим же, определяющим саму принадлежность к математике для всех областей является то, что они отражают наиболее общие законы не только всего существующего, не только гипотетического, но и всего возможного вообще.

Таким образом, попытки сведения основ математики лишь к логическим законам не могут дать обоснованных результатов, кроме тех, которые утверждают неотъемлемость логической составляющей в сущностной природе математического знания. Подобные попытки были обусловлены тем обстоятельством, что в данном случае проекция математической логики на естественный язык стала разрабатываться гораздо раньше, чем сама «чистая» (математическая) логика, вернее, последняя начала развиваться в единстве с этой проекцией. Тогда как геометрия, арифметика, алгебра и т.д. в ходе развития отделились от своих проекций на природу и другие области достаточно давно.

Что же касается вопроса об отношении к бытию разума и вместе с ним основ математического знания, то можно сделать вывод, что объективный разум принадлежит реальности, сущему в той же мере, в которой относятся к реальности все возможности, реализованные и потенциальные формы ее существования, преобразования и развития.

Список научной литературыАрепьев, Евгений Иванович, диссертация по теме "История философии"

1. Аналитическая философия XX века. Материалы «круглого стола» // Вопросы философии. М., 1988, № 8. - С. 48-94.

2. Аристотель. Метафизика // Соч. в 4-х т. Т. 1. - М.: «Мысль», 1975. -550 с.

3. Аристотель. Топика // Соч. в 4-х т. Т. 2. - М.: «Мысль», 1975. - 687 с.

4. Асмус В.Ф. Проблема интуиции в философии и математике. М.: «Мысль», 1963 .-312с.

5. Барабашев А.Г. Бесконечность в математике: философские и исторические аспекты. / Ин-т гос. упр. и соц. исслед. МГУ им. М.В. Ломоносова и др.; Под ред. Барабашева А.Г. М.: Янус-К, 1997 - 399 с.

6. Барабашев А. Г. Будущее математики: Методологические аспекты прогнозирования. -М.: Изд-во Моск. Ун-та., 1991. 157 с.

7. Барабашев А.Г. Диалектика развития математического знания: закономерности эволюции способа систематизации. М.: Изд-во Моск. Ун-та., 1983.- 166 с.

8. Барабашев А.Г. Стили в математике: социокультурная философия математики. / Ин-т гос. упр. и соц. исслед. МГУ им. М.В. Ломоносова и др.; Под ред. Барабашева А.Г. СПб.: РХГИ, 1999. - 548 с.

9. Беляев Е.А., Перминов В.Я. Философские и методологические проблемы математики. М.: Изд-во Моск. Ун-та., 1981. - 215 с.

10. Беркли Дж. Беркли Джонсону // Соч. - М.: «Мысль», 1978. - С. 519-527.

11. Беркли Дж. Трактат о принципах человеческого знания // Соч. М.: «Мысль», 1978.-С. 149-248.

12. Беркли Дж. Теория зрения, или зрительного языка // Соч. М.: «Мысль», 1978.-С. 137-148.

13. Беркли Дж. Трактат о началах человеческого знания. СПб., 1905. — 183 с.

14. Беркли Дж. Сочинения. М.: «Мысль», 1978. - 556 с.

15. Бибихин В.В. Язык философии. — М.: «Прогресс», 1993. 403 с.

16. Бирюков Б. В. Готтлоб Фреге: современный взгляд // Готтлоб Фреге Логика и логическая семантика. М., 2000. - С. 8-63.

17. Бирюков Б. В., Бирюкова Л. Г. О становлении конструктивного подхода в математике и логике: (вклад Германа и Роберта Грассманов) // Исследования по логике научного познания. М.: Наука, 1990. - С. 172-186.

18. Бирюков Б.В. О взглядах Г. Фреге на роль знаков и исчисления в познании // Логическая структура научного знания. М.: Наука, 1965. - С. 91— 108.

19. Бирюков Б.В. О работах Фреге по философским вопросам математики // Философские вопросы естествознания. М.: Изд-во Моск. Ун-та, 1958. — С.134-177.

20. Бирюкова Л.Г. Первый опыт конструктивного подхода в математической логике // Методологический анализ оснований математики / Ф. Кимчер, В .Я. Перминов, Б. И. Фёдоров и др. М.: Наука, 1988. - С. 154-163.

21. Бирюков Б.В. Теория смысла Готлоба Фреге // Применение логики в науке и технике. М.: Изд-во АН СССР, 1960. - 559 с.

22. Боброва Л.А. Проблема определения аналитической философии // Современная аналитическая философия. Вып. 2. - М., 1989. - С. 5-24.

23. Боброва Л.А. Фреге или Витгенштейн? О путях развития аналитической философии // Философские идеи Людвига Витгенштейна. М.: ИФ РАН, 1996.-С. 94-108.

24. Больцано Б. Парадоксы бесконечного. Одесса, 1911. - 119 с.

25. Бурбаки Н. Архитектура математики // Математическое просвещение. -№5.-М., 1960.-С. 99-112.

26. Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М.: Изд-во Иностран. лит., 1963.-292 с.

27. Быховский Б.Э. Джордж Беркли. -М.: «Мысль», 1970.-220 с.

28. Бэкон Ф. Великое восстановление наук // Соч. в 2-х т. Т.1. - М.: «Мысль», 1977. - 567 с.

29. Бэкон Ф. Новый Органон // Соч. в 2-х т. Т. 2. - М.: «Мысль», 1978. -575 с.

30. Вейль Г. Математическое мышление. М.: Наука, 1989. - 400 с.

31. Вейль Г. О философии математики. — М,—Л.: Гос. техн.-теор. изд-во, 1934. -128 с.

32. Витгенштейн Л. Голубая книга. М., 1999. - 127 с.

33. Витгенштейн Л. «Голубая книга» и «Коричневая книга» (сокращенный перевод) // Современная аналитическая философия. — Вып. 3. — М., 1991. — С. 179-190.

34. Витгенштейн Л. Дневники (1914-1916) // Людвиг Витгенштейн Дневники 1914-1916 с приложением заметок по логике (1913) и заметок, продиктованных Муру в Норвегии (1914). — Томск: «Водолей», 1988. С. 17-114.

35. Витгенштейн Л. Заметки по логике (сентябрь 1913) // Людвиг Витгенштейн Дневники 1914-1916 с приложением заметок по логике (1913) и заметок, продиктованных Муру в Норвегии (1914). Томск: «Водолей», 1988.-С. 115-132.

36. Витгенштейн Л. Заметки, продиктованные Дж. Э. Муру в Норвегии (Апрель 1914) // Людвиг Витгенштейн Дневники 1914-1916 с приложениемзаметок по логике (1913) и заметок, продиктованных Муру в Норвегии (1914). Томск: «Водолей», 1988. - С. 133-146.

37. Витгенштейн Л. Замечания по основаниям математики // Витгенштейн Л. Философские работы. Ч. II, кн. 1. -М.: Гнозис, 1994. - 521 с.

38. Витгенштейн Л. Из писем Витгенштейна к Расселу (1912-1922) // Людвиг Витгенштейн Дневники 1914-1916 с приложением заметок по логике (1913) и заметок, продиктованных Муру в Норвегии (1914). Томск: «Водолей», 1988.-С. 147-158.

39. Витгенштейн Л. Коричневая книга. М., 1999. - 158 с.

40. Витгенштейн Л. Логико-философский трактат // Людвиг Витгенштейн Философские работы. Ч. I. - М.: Гнозис, 1994. - С. 5-73.

41. Витгенштейн Л. О достоверности // Людвиг Витгенштейн Философские работы. Ч. I. - М.: Гнозис, 1994. - С. 323-405.

42. Витгенштейн Л. Философские исследования // Людвиг Витгенштейн. Философские работы. Ч. I. - М.: Гнозис, 1994. - С. 80-319.

43. Вригт Г.Х. Логико-философские исследования: Избранные труды. М.: Прогресс, 1986.-594 с.

44. Гейтинг А. Интуиционизм. М.: Мир, 1965. - 220 с.

45. Гейтинг А. Обзор исследований по основаниям математики. — М—Л.: ОНТИ, 1936.-96 с.

46. Гетманова А.Д. О взглядах Лейбница на соотношение математики и логики // Философские вопросы естествознания. М., 1958. - 178-212.

47. Гильберт Д. Аксиоматическое мышление // Методологический анализ оснований математики. М.: Наука, 1988. - С. 97-104.

48. Гильберт Д., Бернайс П. Логические исчисления и формализация арифметики. М.: Наука, 1979. - 557 с.

49. Гильберт Д. Наглядная геометрия. М.-Л., 1936. - 302 с.

50. Гильберт Д. О бесконечном // Гильберт Д. Основания геометрии. М.-Л.: Гос. изд-во техн.-теор. литературы, 1948. - С. 365-388.

51. Гильберт Д. Основания геометрии. M.-JL: Гос. изд-во техн-теор. литературы, 1948.-492 с.

52. Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики: Логические исчисления и формализация арифметики. М.: Наука, 1979. - 557 с.

53. Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики: Теория доказательств. -М.: Наука, 1982.-652 с.

54. Гильберт Д. и Аккерман В. Основы теоретической логики. М., 1947. -304 с.

55. Грязнов А.Ф. Феномен аналитической философии в западной культуре XX столетия // Вопросы философии. М., 1996. - № 4. - С. 37—47.

56. Грязнов А.Ф. Философия математики Л. Витгенштейна // Методологический анализ оснований математики. М.: Наука, 1988. - С. 82-93.

57. Грязнов А.Ф. Эволюция философских взглядов Л. Витгенштейна. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1985. - 172 с.

58. Грязнов А.Ф. Язык и деятельность. Критический анализ витгенштейниан-ства. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1991. - 139 с.

59. Дедекинд Р. Непрерывность и иррациональные числа. Одесса, 1923. -44 с.

60. Дедекинд Р. Что такое числа и для чего они служат? Казань, 1905.

61. Декарт в канун XXI столетия: Материалы Междунар. конф. 16-17 апр. 1996 г., Тверь, Россия. / Под общ. Ред. Метлова В.И. М., 1998. - 224 с.

62. Декарт Р. Геометрия. М.-Л., 1938. - 294 с.

63. Декарт Р. Правила для руководства ума // Избранные произведения. — М.: Госполитиздат, 1950. 711 с.

64. Декарт Р. Рассуждения о методе для руководства разума и отыскания истины в науках. -М., 1925.

65. Декарт Р. Рассуждения о методе. Л., 1953.

66. Декарт Р. Сочинения: в 2-х томах. Т. 1. - М.: Мысль, 1989. - 656 е.; Т. 2. -М., 1994.-294 с.

67. Делокаров К.Х., Панченко А.И., Пахомов Б.Я. Философские проблемы квантовой физики: (исследования советских ученых 20-80-х годов): На-учно-аналит. обзор. К XIX Всемир. фил ос. конгр. / РАН. ИНИОН. М.: ИНИОН, 1992.-75 с.

68. Делокаров К. X.: Эйнштейн и квантовая механика//Философские науки, 1988. №8. - С.39-47.

69. Драгалин А.Г. Конструктивная модель интуиционистского анализа. // Философия в современном мире. Философия и логика. М.: Наука, 1974. -С. 55-78.

70. Есенин-Вольпин А. С. Об антитрадиционной (ультраинтуиционистской) программе оснований математики и естественнонаучном мышлении. // Вопросы философии. 1996. -№ 8 - С. 100-136.

71. Жог В.И., Князев В.Н. Концепция супервзаимодействия и единство физического знания. // Философские науки. М., 1991. - № 7. — С. 15-30.

72. Жог В. И., Коломейцев А. Е. Метрические и топологические особенности математического эксперимента в физике//Диалектический материализм и философские вопросы естествознания.- М., 1985. С.45.

73. Закономерности развития современной математики. М.: Наука, 1987. — 335 с.

74. Захаров В.Д., Коломейцев А.Е. Критика математического идеализма Г. Кантора и Б. Рассела. М., 1987. - 30 с.

75. Иве Г., Ньюсом К. О математической логике и философии математики. — М.: «Знание», 1968.-48 с.

76. Избранные отрывки из математических сочинений Лейбница // Успехи математических наук. Т. 3. - Вып. 1 (23). - М.-Л., 1948.

77. Ильин В.В. Теория познания. Эпистемология. М., 1994. - 136 с.

78. Кант И. Критика чистого разума. М.: Мысль, 1994. - 592 с.

79. Кантор Г. К обоснованию учения о трансфинитных множествах // Кантор Георг. Труды по теории множеств. М.: Наука, 1985. - С. 173-246.

80. Кантор Г. К учению о трансфинитном // Кантор Георг. Труды по теории множеств. М.: Наука, 1985. - С. 268-325.

81. Кантор Г. О различных точках зрения на актуально бесконечное // Кантор Георг. Труды по теории множеств. М.: Наука, 1985. - С. 262-268.

82. Кантор Г. Основания арифметики (рецензия на работу Фреге Г. Frege G. Die Grundlagen der Arithmetik.) // Кантор Георг. Труды по теории множеств. М.: Наука, 1985. - С. 325-327.

83. Кантор Г., Дедекинд Р. Переписка Кантора с Дедекиндом // Кантор Георг. Труды по теории множеств. М.: Наука, 1985. - С. 327-372.

84. Кантор Г. Принципы теории порядковых типов. Первое сообщение // Кантор Георг. Труды по теории множеств. М.: Наука, 1985. - С. 246261.

85. Кантор Г. Учение о множествах Георга Кантора // Новые идеи в математике. Сб. 6. - СПб., 1914.ч'

86. Карнап Р. Значение и необходимость. М.: Изд-во иностран. лит., 1959. -382 с.

87. Карнап Р. Значение и необходимость. Исследование по семантике и модальной логике. Биробиджан, 2000.

88. Карнап Р. Значение и синонимия в естественных языках // Карнап Р. Значение и необходимость. Исследование по семантике и модальной логике.- Биробиджан, 2000.

89. Карнап Р. О некоторых понятиях прагматики // Карнап Р. Значение и необходимость. Исследование по семантике и модальной логике. Биробиджан, 2000.

90. Карнап Р. О предложениях мнения. Ответ Алонзо Чёрчу // Карнап Р. Значение и необходимость: Исследование по семантике и модальной логике.1. Биробиджан, 2000.

91. Карнап Р. Постулаты значений // Карнап Р. Значение и необходимость. Исследование по семантике и модальной логике. — Биробиджан, 2000.

92. Карнап Р. Философские основания физики. М.: Прогресс, 1971. - 390 с.

93. Карнап Р. Эмпиризм, семантика и онтология // Карнап Р. Значение и необходимость: Исследование по семантике и модальной логике. — Биробиджан, 2000.

94. Карри X. Основания математической логики. М.: «Мир», 1969. - 568 с.

95. Катасонов В.Н. Метафизическая математика XVII в. М.: Наука, 1993. -139 с.

96. Кезин А. В. Научность: эталоны, идеалы, критерии: критич. анализ мето-дол. редукционизма и плюрализма. М.: Изд-во МГУ, 1985. - 128 с.

97. Клайн М. Математика. Утрата определенности. М.: «Мир», 1984. -446 с.

98. Клини С. К. Введение в метаматематику. М.: Изд-во Иност. лит-ры, 1957.-526 с.

99. Клини С.К. Математическая логика. М.: «Мир», 1973. - 480 с.

100. Князев В. Н. Концепции взаимодействия в современной физике. М.: Изд-во «Прометей» МПГУ им. В.И. Ленина, 1991. — 127 с.

101. Князева Е. Н., Курдюмов С. П. Синергетика как новое мировидение// Вопросы философии. М., 1992. - № 12. - С. 3-20.

102. Козлова М.С. Идея «языковых игр» // Философские идеи Людвига Витгенштейна. М.: ИФ РАН, 1996. - С. 5-24.

103. Козлова М.С. Философские искания Л. Витгенштейна // Людвиг Витгенштейн. Философские работы. Ч. I. - М.: Гнозис, 1994. - С. VII-XXI.

104. Колесников A.C. Философия Бертрана Рассела. Л.: Изд-во ЛГУ, 1991. -229 с.

105. Колмогоров А. Н., Драгалин А. Г. Введение в математическую логику. М.: Изд. Моск. ун-та, 1982. - 120 с.

106. Колядко В.И. Бернард Больцано. М.: Мысль, 1982. - 198 с.

107. Кочергин А. Н. Взаимосвязь методологии и науки в условиях научно-технической революции // Проблемы методологии науки. Новосибирск: Наука, 1982.-272 с.

108. Кочергин А.Н., Егоров А.Г. Наука в системе культуры. Смоленск, 1996.- 134 с.

109. Кочергин А.Н. Научное познание: формы, методы, подходы. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1991. - 79 с.

110. Кочергин А.Н. Специфика и структура философского знания // Структура философского знания. Томск: Изд-во Томск, ун-та, 1986. - 212 с.

111. Коэн П. Дж., Херси Робейн. Неканторовская теория множеств // Математика в современном мире. М.: «Знание», 1969. - С. 20-32.

112. Кузичева 3.А. О некоторых проблемах оснований математики, связанных со спецификой языка математики. М., 1987.

113. Кузьмичева A.A. Лингвистическая доктрина логической и математической истины Рудольфа Карнапа. Иркутск, 1982. - 16 с.

114. Кун Т. Структура научных революций. М.: Прогресс, 1977. — 300 с.

115. Купцов В.И. Роль философии в научном познании. М.: «Знание», 1976.-64 с.

116. Кутыркин А.Б. Логико-семантическая теория Г. Фреге и его концепция природы математического знания. — М., 1991. 34 с.

117. Кутюра Л. Философские принципы математики. СПб., 1913. — 260 с.

118. Кюнг Г. Онтология и логический анализ языка. М.: Дом интеллектуальной книги, 1999. — 237 с.

119. Лакатос И. Бесконечный регресс и основания математики // Современная философия науки: знание, рациональность, ценности в трудах мыслителей Запада: Учебная хрестоматия. 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Издательская корпорация «Логос», 1996.-С. 106-135.

120. Лакатос И. Доказательства и опровержения. М.: Наука, 1967. - 152 с.

121. Лакатос И. История науки и ее рациональные реконструкции // Структура и развитие науки. М.: Прогресс, 1978. - С. 203-269.

122. Лакатос И. Фальсификация и методология научно-исследовательских программ. — М., 1995.

123. Лейбниц Г. В. Об универсальном синтезе и анализе, или об искусстве открытия и суждения // Лейбниц Г. В. Сочинения: В 4 т. М.: Мысль, 1984.-Т.З-с. 115-126.

124. Лейбниц Г.В. Основы исчисления рассуждений // Сочинения: В 4 т. — Т. З.-М.: Мысль, 1984.-С. 501-505.

125. Лейбниц Г.В. История идеи универсальной характеристики // Сочинения: В 4 т. Т. 3. - М.: Мысль, 1984. - С. 412-418.

126. Лейбниц Г.В. Новые опыты о человеческом разумении // Сочинения в 4 т. Т. 2. - М.: Изд-во «Мысль», 1983. - С. 47-545.

127. Лейбниц Г.В. О мудрости // Сочинения: В 4 т. — Т. 3. М.: «Мысль», 1984.-С. 97-100.

128. Лейбниц Г.В. Элементы исчисления // Сочинения: В 4 т. Т.З. - М.: «Мысль», 1984.-С. 514-522.

129. Лейбниц Г.В. Элементы универсальной характеристики // Сочинения: В 4 т. Т. 3. - М.: «Мысль», 1984. - С. 506-513.

130. Людвиг Витгенштейн: человек и мыслитель. — М.: Прогресс, 1993. — 350 с.

131. Ляпунов A.A. О фундаменте и стиле современной математики // Математическое просвещение. № 5. - М., 1960. — С. 113-115.

132. Мадер В.В. О логико-арифметической концепции Готлоба Фреге // Ис-торико-математические исследования. Вып. XXX. — М., 1986.

133. Майоров Г.Г. Теоретическая философия Готфрида Лейбница. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1973. - 264 с.

134. Макаркина С.Б. Теория определений Г. Фреге: Автореферат канд. дис. .-М., 1981.

135. Мануйлов В.Т. Аналитическая и конструктивная философия математики // Наука и философия на рубеже тысячелетий: перспективы и горизонты. Курск, 1995.

136. Мануйлов В.Т. Концепции в философии математики и гуманитаризация математического знания // Человекознание: гуманистические и гуманитарные ориентации в образовании. Тезисы докладов Всероссийской научной конференции. Курск, 1994.

137. Мануйлов В.Т. Методологические проблемы конструктивности в обосновании математического знания. Курск, 1988.

138. Марков А. А. О конструктивной математике. // Труды МИАН им. В.А. Стеклова. -М.-Л.: 1962. Т. 67. - С. 8-14.

139. Маркс. К. Математические рукописи. М.: Наука, 1968. - 640 с.

140. Мелюхин С.Т., Петров Ю.А., Сивоконь П.Е. и др. Философские основания естествознания. -М.: Изд-во Моск. ун-та, 1977. — 343 с.

141. Метлов В.И. Основания научного знания как проблема философии и методологии науки. М.: Высш. шк., 1987. — 143 с.

142. Микешина Л.А. Витгенштейн: проблема веры и достоверности в познании // Философские идеи Людвига Витгенштейна. — М.: ИФ РАН, 1996. -С. 54-66.

143. Микешина Л.А. Детерминация естественнонаучного познания. Л.: Изд-во ЛГУ, 1977. - 104 с.

144. Микешина Л.А. Методология научного познания в контексте современной культуры. М.: Исслед. Центр по пробл. кач-ва подг. специалистов, 1992.-143 с.

145. Микешина JI.А. Ценностные предпосылки в структуре научного познания. M.: Прометей, 1990. - 208 с.

146. Микешина Л.А., Медведев Н.В. Витгенштейн и философская герменевтика // Философия, человек, наука: Межвузовский сборник научных трудов. -М., 1992.

147. Микешина Л.А. Философия познания. Полемические главы. М.: Прогресс-Традиция, 2002. - 623 с.

148. Михаленко Ю.П. Философия Д. Юма теоретическая основа английского позитивизма XX века. - М.: Изд-во АН СССР, 1962. - 151 с.

149. Мур Д.Э. Доказательство внешнего мира // Аналитическая философия: Избранные тексты. — М., 1993. С. 66-84.

150. Нарский И.С. Философия Бертрана Рассела. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1962.-40 с.

151. Ньютон-Смит В, Рациональность науки // Современная философия науки. М.: Наука, 1994. - 252 с.

152. Ойзерман Т.И. Философское учение Рене Декарта // Декарт Р. Рассуждения о методе. Л., 1953. - С. 413-457.

153. Панов М.И. Аналитическая философия и методология математики // Современная аналитическая философия. Вып. 2. - М.: ИНИОН АН СССР, 1989.-С. 45-82.

154. Панов М.И. Закономерности развития современной математики: Методологические аспекты. — М.: Наука, 1987. — 335 с.

155. Панов М.И. (отв. ред.) Методологический анализ оснований математики. М.: Наука, 1988. - 175 с.

156. Панов М.И. Основные направления гуманитаризации современной математики // Проблемы гуманитаризации математического и естественнонаучного знания. М.: ИНИОН РАН, 1991. - С. 44-80.

157. Панченко А.И. Некоторые тенденции в современной аналитической философии // Современная аналитическая философия. Вып. 2. - М.: ИНИОН АН СССР, 1989. - С. 24-44.

158. Панченко А.И. Философия, физика, микромир. / Отв. ред. Моисеев H.H.; АН СССР. М.: Наука, 1988. - 193 с.

159. Панченко K.M. Вокруг теоремы Геделя. Рига, 1981.

160. Перминов В.Я. Математика и концепция научно-исследовательских программ И. Лакатоса // Вопросы философии. М., 1981. - № 7. - С. 7688.

161. Перминов В.Я. Развитие представлений о надежности математического доказательства. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986. — 239 с.

162. Перминов В.Я. Философия и основания математики. М.: Прогресс-Традиция, 2001.-319 с.

163. Печенкин A.A. Взаимодействие физики и химии: (Филос.-методол. пробл.) М.: Мысль, 1986. - 207 с.

164. Печенкин A.A. Обоснование научной теории: Классика и современность / АН СССР. Ин-т истории естествознания и техники. М.: Наука, 1991.-184 с.

165. Платон. Софист // Сочинения: В 3 т. Т. 2. - М.: Мысль, 1970. - 611 с.

166. Поппер К. Логика и рост научного знания. М.: Прогресс, 1983. - 605 с.

167. Пуанкаре А. Гипотеза и наука. М.: тип. Мамонтова, 1904. - 268 с.

168. Пуанкаре А. Математическое творчество. Психологический этюд. — Юрьев, 1909.-24 с.

169. Пуанкаре А. Наука и гипотеза. М., 1904.

170. Пуанкаре А. Наука и метод. СПб.: Карбасников, 1910. - 238 с.

171. Пуанкаре А. О науке. М.: Наука, 1983. - 560 с.

172. Пуанкаре А. Отчет о работах Гильберта, представленных для соискания международной премии имени Лобачевского // Гильберт, Давид. Основания геометрии. Петроград: Изд-во «Сеятель», 1923. - С. 105-136.

173. Рассел Б. Знание-знакомство и знание по описанию // Рассел Б. Человеческое познание: его сфера и границы. — М., 2000.

174. Рассел Б. Исследование значения и истины. М.: Идея-Пресс: Дом интеллектуальной книги, 1999. - 399 с.

175. Рассел Б. История западной философии: В 2 ч. — М., 1993.

176. Рассел Б. Логика и онтология // Рассел Б. Философия логического атомизма. Томск: «Водолей», 1999.

177. Рассел Б. Логический атомизм // Рассел Б. Философия логического атомизма. — Томск: «Водолей», 1999.

178. Рассел Б. Мое философское развитие // Аналитическая философия: Избранные тексты. Гл. 5,7. - М.: Изд. МГУ, 1993. - С. 11-27.

179. Рассел Б, Новейшие работы о началах математики // Новые идеи в математике. Сб. № 1. - СПб., 1913.

180. Рассел Б. О природе истины и лжи // Рассел Б. Человеческое познание: его сфера и границы. — М., 2000.

181. Рассел Б. О пропозициях: Что они собой представляют и каким образом обозначают // Рассел Б. Философия логического атомизма. — Томск: «Водолей», 1999.

182. Рассел Б. Проблемы философии. СПб., 1914.

183. Рассел Б. Философия логического атомизма // Рассел Б. Философия логического атомизма. Томск: «Водолей», 1999. — 192 с.

184. Рассел Б. Человеческое познание: его сфера и границы. — М.: Изд. иностр. лит., 1957. 555 с.

185. Рассел Б. Человеческое познание: его сфера и границы. — М., 2000.

186. Родин A.B. Математика и стиль // Стили в математике: социокультурная философия математики / Под ред. А.Г. Барабашева. — СПб.: РГХИ, 1999.-С. 25-36.

187. Розов М.А. Способ бытия математических объектов // Методологические проблемы развития и применения математики. — М., 1989.

188. Рузавин Г.И. Новый структурный подход к математике и некоторые проблемы ее методологии // Закономерности развития современной математики.-М.: Наука, 1987.-С. 155-169.

189. Рузавин Г.И. О природе математического знания. М.: Мысль, 1968. -302 с.

190. Рузавин Г.И. Философские проблемы оснований математики. — М.: Наука, 1983.-302 с.

191. Садовский В.Н. Аксиоматический метод построения научного знания // Философские вопросы современной формальной логики. — М., 1962.

192. Смирнов В.А. Генетический метод мышления // Философские вопросы современной формальной логики. — М., 1962.

193. Современная аналитическая философия. Вып. 1. - М.: ИНИОН АН СССР, 1988.-197 с.

194. Современные теории познания. — M., 1992.

195. Сокулер З.А. Зарубежные исследования по философским проблемам математики 90-х гг. М.: ИНИОН, 1995. - 83 с.

196. Сокулер З.А. Проблема «следования правилу» в философии Людвига Витгенштейна и ее значение для современной философии математики // Философские идеи Людвига Витгенштейна. М.: ИФ РАН, 1996. - С. 3753.

197. Сокулер З.А. Проблема обоснования знания. Анализ гносеологических концепций Поппера и Витгенштейна. М.: Наука, 1988. - 177 с.

198. Сокулер З.А. Современные зарубежные исследования по философским вопросам математики. М.: ИНИОН, 1983. - 61 с.

199. Степин B.C. Научное познание и ценности техногенной цивилизации // Вопросы философии. М, 1989. - № 10. - С. 3-18.

200. Степин B.C. Философская антропология и философия науки. М.: «Высшая школа», 1992. — 192 с.

201. Страуд Б. Аналитическая философия и метафизика // Аналитическая философия: Избранные тексты. М.: Изд. МГУ, 1993. - С. 159-174.

202. Суровцев В.А. Логический атомизм: источники и перспективы одной коллизии // Рассел Б. Философия логического атомизма. Томск: «Водолей», 1999.

203. Танхилевич О.М. Лейбницева концепция символической науки // Философские науки. 1961.- № 2.

204. Уайтхед А.Н. Избранные работы по философии. М.: Прогресс, 1990. -716 с.

205. Умов H.A. Значение Декарта в истории физических наук. М., 1986.

206. Успенский В.А. Семь размышлений на темы философии математики // Закономерности развития современной математики. М.: Наука, 1987. — С. 137-151.

207. Успенский В.А. Теорема Геделя о неполноте. М.: Наука, 1982. -111 с.

208. Федоров Б.И. Логика Бернардино Больцано. Л.: Изд. ЛГУ, 1980. -159 с.

209. Федоров Б.И. О подходе Б. Больцано к теории логического основания // Вопросы философии. 1969. - №11. - С. 85-90.

210. Фейерабенд П. Избранные труды по методологии науки. М.: Прогресс, 1986.-546 с.

211. Фреге Г. Булев логический формульный язык и мое исчисление понятий // Готтлоб Фреге. Логика и логическая семантика М., 2000. - С. 147152.

212. Фреге Г. Булева вычислительная логика и мое исчисление понятий // Готтлоб Фреге. Логика и логическая семантика М., 2000. - С. 158-193.

213. Фреге Г. Избранные работы. М.: Дом интеллектуальной книги, 1997. -159 с.

214. Фреге Г. Исчисление понятий // Готтлоб Фреге. Логика и логическая семантика. М., 2000. - С. 65-142.

215. Фреге Г. Логические исследования. — Томск: «Водолей», 1997. — 128 с.

216. Фреге Г. Мысль: логическое исследование // Фреге Г. Логические исследования. -Томск: «Водолей», 1997.

217. Фреге Г. Об исчислении понятий господина Пеано и о моем собственном исчислении // Готтлоб Фреге. Логика и логическая семантика. — М., 2000.-С. 201-212.

218. Фреге Г. О научной правомерности исчисления понятий // Готтлоб Фреге. Логика и логическая семантика. М., 2000. - С. 53-157.

219. Фреге Г. О смысле и значении // Готтлоб Фреге. Логика и логическая семантика. М., 2000. - С. 230-247.

220. Фреге Г. Основоположения арифметики. Логико-математическое исследование понятия числа. — Томск: «Водолей», 2000. 127 с.

221. Фреге Г. О цели исчисления понятий // Готтлоб Фреге. Логика и логическая семантика. М., 2000. - С. 194-200.

222. Фреге Г. Понятие и вещь // Семиотика и информатика. Вып. 10. - М., 1978.

223. Фреге Г. Применение исчисления понятий // Готтлоб Фреге. Логика и логическая семантика. М., 2000. - С. 143-146.

224. Фреге Г. Смысл и денотат // Семиотика и информатика. Вып. 8. - М., 1977.

225. Фреге Г. Функция и понятие // Готтлоб Фреге. Логика и логическая семантика. М., 2000. - С. 215-229.

226. Френкель А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. М.: Мир, 1966.-555 с.

227. Хинтикка Я. Логико-эпистемологические исследования. — М.: Прогресс, 1980.-447 с.

228. Целищев В.В. Конвенция // Проблемы логики и методологии науки. — Новосибирск: Наука, Сиб. отд., 1982. С. 7-42.

229. Целищев В.В., Карпович В.Н., Поляков И.В. Логика и язык научной теории. Новосибирск: Наука, Сиб. отд., 1982. - 182 с.

230. Чёрч А. Введение в математическую логику. — Т. 1. — М.: Изд-во иност. лит-ры, 1960.-485 с.

231. Шлик М. О фундаменте познания // Аналитическая философия: Избранные тексты. М., 1993. - С. 33-50.

232. Шлик М. Поворот в философии // Аналитическая философия: Избранные тексты. М., 1993.

233. Юлина Н.С. Новейшие тенденции в современной аналитической философии: Сборник / Отв. ред. Юлина Н.С.; Ред. сот. Порус В.Н.; АН СССР. Ин-т философии. - М., 1985. - 127 с.

234. Юлина Н.С. Очерки по философии в США, XX век / РАН. Ин-т философии. М.: Эдиториал УРСС, 1999. - 301 с.

235. Юлина Н.С. О работе В.А. Смирнова «О достоинствах и ошибках одной логико-философской концепции (критические заметки по поводу теории языковых каркасов Р. Карнапа)» // Философия науки. М., 1998. -Вып. 4.-С. 202-211.

236. Юм Д. Трактат о человеческой природе // Сочинения. М.: Мысль, 1966.

237. Юм Д. Сочинения. М.: Мысль, 1966.

238. Юшкевич А.П. О «Геометрии» Декарта // Декарт Р. Рассуждения о методе. Л.: Изд. АН СССР, 1953.

239. Яловенко А.В. Аналитическая философия языка в XX веке: Монография / Воронеж, гос. техн. ун-т. Воронеж, 2000. - 152. - Библиогр.: с. 143 - 152. Деп. вИНИОНРАН 11.01.01.-№ 56189.

240. Яновская С.А. Методологические проблемы науки. М.: Мысль, 1972. -280 с.

241. Яшин Б.Л. Антиномии и парадоксы теоретического познания как специфический вид противоречия. М., 1992. - 41 с. - Деп. в ИНИОН РАН №46104 от 17.02.92.

242. Benacerraf P. What Numbers Could Not Be? // Philosophy of Mathematics. Selected readings. Second ed. New York, 1983. - P. 272-294.

243. Brouwer L.T.J. Intuitionism and Formalism // In: Brouwer L.TJ. Collected works. Vol. 1. - Amsterdam, 1975.

244. Carnap R. Foundations of Logic and Mathematics. Chicago, 1939.

245. Carnap R. The Logicist Foundations Mathematics. // Philosophy of Bertrand Russell. Ed. by E.D. Klemke. N.Y., 1972.

246. Devis P.J. Fidelity in mathematical discourse. Is one and one really two? // American Mathematical Montly., 1972. Vol. 79, № 3.

247. Dieudonne J. A Panorama of Pure Mathematics (as seen by N. Bourbaki). Transl. from French by I. Mac Donald. N.Y., 1981.

248. Dummett M. Frege: Philosophy of mathematics. Cambridge (Mass): Harvard University Press, 1991.

249. Dummett M. Frege: philosophy of language. N.Y. e.a., Harper & Row, 1973.

250. Dummett M. Origins of Analytical Philosophy. Harvard University Press. -Cambridge, Massachusetts, 1994.

251. Dummett M. The justification of deduction. Oxford, 1974.

252. Dummett M. The logical basis of metaphysics. Cambridge, 1991.

253. Dummett M. With assistance of Munio R. Elements of intuitionism. Oxford: Clarendon Press, 1977.

254. Frege Gottlob. Collected papers on mathematics, logic, and philosophy/Ed. By Mc Guinness B.; Transl.: Black M. Et al. Oxford: Bleckwell, 1984. - VIII, 412 p. - ind.: p. 407-412.

255. Frege G. Grundgesetze der Arithmetik. Bd. 1. - Jena, 1893.

256. Frege G. On the Foundation of Geometry // The Philosophical Review. — 1960.-Vol. XIX.-P. 15-17.

257. Frege G. Posthumous Writings. The University Chicago Press., 1979.

258. Frege G. The Foundations of Arithmetic. Oxford, 1950.

259. Gilles D. Revolutions in Mathematics. Oxford: Clarendon Press, 1992.

260. Godel K. Russells mathematical logic // In: Pears D.F. (ed). Bertrand Russell Collection of critical essays. New York, 1972.

261. Godel K. What is Cantor's continuum problem? // Philosophy of Mathematics. Selected readings. New York, 1964.

262. Gohen L. G. The dialogue of reason: An analysis of analytical philosophy. -Oxford, 1986.

263. Goldfarb W. Poincare against the Logicists // History and Philosophy of Modern Mathematics. Minneapolis, 1988.

264. Heyting A. Intuitionism in mathematics // La philosophie contemporaine. Vol. I / Ed. by Klibansky R. Frenze: La nuova Italia, 1968. - P. 316-324.

265. Kitcher Ph. Mathematical naturalism. // History and Philosophy of modern mathematics. Ed. by E.D. Klemke. N.Y., 1972.

266. Kitcher Ph. The Nature of Mathematical Knowledge. New York, Oxford, 1984.

267. Kitcher Ph. and Asprey W. An Opinionated Introduction // History and Philosophy of Modern Mathematics. Minneapolis, Univ. of Minnesota Press, 1988.

268. Maddy P. The roots of contemporary Platonism // The Journal of Symbolic Logic. 1989. Vol. 54. № 4. - P. 1140.

269. Moss J.M.B. Kreisel's work on the philosophy of mathematics. 1. Realism. // Proceedings of the summer school and colloquium in mathematical logic. Manchester, 1966; Amsterdam, London, 1971.

270. Oliver A. Logic, mathematics, and philosophy // Brit. J. For the philosophy of science. Aberdeen, 2000. - Vol. 51, № 4. - P. 857-873.

271. Putnam H. Mathematics without Foundations // Philosophy of Mathematics. Selected Readings. Second ed. New York, 1983. - P. 295-314.

272. Putnam H. What is Mathematical Truth? // Putnam H. Mathematics, Metter and Method. Philosophical Papers. Vol. 1. Second ed., Cambridge, Mass., 1979. -P. 60-78.

273. Resnik M. Mathematics as a Science of Patterns. — Oxford: Oxford University Press, 1997.

274. Restivo S., Bendegem J.P., Fisher R. Math World. Philosophical and Social Studies of Mathematics and Mathematics Education. Albany: State University of New York Press, 1993.

275. Rozov M.A. The Mode of Existence of Mathematical Objects. // Philoso-phia Mathematica. Second Series. 1998. Vol. 4. № 2. P. 109.

276. Russell B. Introduction to mathematical philosophy. 2-nd ed. London, Allen & Unwin; New York, Macmillan, 1924. VIII, 208 p. (Half title: Library of philosophy. Ed. By J.H. Muirhend).

277. Russell B., Whitehead A. Principia Mathematica. Volume I second edition. - Cambridge At the University press, 1925.

278. Russell B., Whitehead A. Principia Mathematica. Volume III. - Cambridge, 1929.

279. Russell B. The Principles of Mathematics. London. - George Allen & Unwin LTD Museum street second edition 1937 (first published 1903).

280. Tieszen R.L. Mathematical intuition. Dordrecht, The Netherlands, 1989.

281. Wilder R. Mathematics as a Cultural System. Oxford, 1981.