автореферат диссертации по философии, специальность ВАК РФ 09.00.03
диссертация на тему: Философия математики Людвига Витгенштейна

Полный текст автореферата диссертации по теме "Философия математики Людвига Витгенштейна"

На правах рукописи

-А

МЕДВЕДЕВА Евгения Евгеньевна

ФИЛОСОФИЯ МАТЕМАТИКИ ЛЮДВИГА ВИТГЕНШТЕЙНА

Специальность 09.00.03 - история философии

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата философских наук

2 8 ОКТ 2015

005564017

Москва-2015

005564017

Работа выполнена в ФГБОУ ВПО «Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина»на кафедре философии Института гуманитарного и социокультурного образования

Научный руководитель доктор философских наук, профессор

Юдин Александр Ильич

Официальные оппоненты: Арепьев Евгений Иванович,

доктор философских наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Курский государственный университет», факультет философии, социологии и культурологии, кафедра философии, заведующий кафедрой

Сокулер Зинаида Александровна, доктор философских наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова», философский факультет, кафедра онтологии и теории познания, заместитель заведующего кафедрой по научной работе

Ведущая организация ФГБОУ ВПО «Башкирский государствен-

ный университет»

Защита состоится года в -/¿"часов на заседании диссер-

тационного совета Д 212.154.06 на базе ФГБОУ ВПО «Московский педагогический государственный университет» по адресу: 119571, г. Москва, проспект Вернадского, д. 88, ауд. 818.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Московский педагогический государственный университет» по адресу: 119992, г. Москва, ул. М. Пироговская, д.1, стр.1 и на сайте ФГБОУ ВПО «Московский педагогический государственный университет» Ьйр://мгпу.рф

Автореферат разослан Û/cr^U^J^Î- 2015 года

Ученый секретарь

диссертационного совета Кузнецова Светлана Вениаминовна

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. В современном обществе остро ощущается запрос на формирование нового способа мышления, соответствующего духовным потребностям человечества, сложившимся под влиянием изменяющихся социальных, экономических, политических и культурных условий. В этой связи обращение к интеллектуальному наследию Людвига Витгенштейна, разработавшего универсальные логико-грамматические процедуры для устранения концептуальных затруднений в различных областях человеческой деятельности, является весьма актуальной задачей. В настоящее время идеи Витгенштейна в значительной степени определяют содержание и направленность философских дискуссий, служат методологическим основанием для критического осмысления традиционных проблем философии, включая философские проблемы математики.

Несмотря на значительные достижения современной философии математики - разработка классических фундаменталистских программ, аналитических подходов к эпистемологии и онтологии математики, осуществление исследований на пересечении истории и философии математики - специалисты в этой области осознают необходимость развития новых подходов, которые бы уделяли большее внимание математической практике. В этом смысле философия математики Витгенштейна представляет для нас повышенный интерес, поскольку она несет в себе главные черты так называемой неортодоксальной «философии математической практики» (акцент на математическую практику, антифундаментализм, антилогицизм), которая пытается в начале XXI столетия оформиться в самостоятельное направление1.

Людвиг Витгенштейн (1889-1951) - один из самых оригинальных и выдающихся мыслителей XX столетия. При жизни он печатался крайне мало, но сразу после смерти его труды стали активно издаваться и широко обсуждаться. Несмотря на внушительное количество исследований, посвященных анализу идей Витгенштейна, философия математики остается наименее изученной и наиболее недооцененной частью его творчества. По словам П.М.С. Хакера, размышления Витгенштейна о математике являются «наименее влиятельной и наименее понятой» частью его философии.2 Между тем большинство работ Витгенштейна, написанных в период с 1929 года по 1944 год, посвящено как раз философским проблемам математики. Своим главным достижением сам Витгенштейн считал философию математики, о чем он открыто заявил в 1944 году.3 К философии математики Витгенштейн обращался постоянно на протяжении

1 Лолли Г. Философия математики: наследие двадцатого столетия / Пер. с итал. A.JI. Сочкова, С.М. Антакова, под ред. проф. Я.Д. Сергеева. Н. Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского, 2012. С. 13.

2 Hacker Р. М. S. Wittgenstein's Place in Twentieth-Century Analytic Philosophy. Oxford: Blackwell, 1996. P. 295.

3 Monk R. Ludwig Wittgenstein: The Duty of Genius. New York: The Free Press, 1990. P. 466.

всей своей профессиональной карьеры. Несмотря на то, что он писал значительно больше о философских проблемах математики, чем о каком-то другом предмете исследования, специалисты все же уделяют недостаточное внимание данному сегменту его творческого наследия. Видимо, это связано с неверным пониманием и интерпретацией воззрений Витгенштейна о математике, наряду с предвзятым отношением к развиваемой им программе лингвофилософского анализа.

Первые негативно-критические рецензии (Крайзель, Андерсон, Бернайс) на работу Витгенштейна «Замечания по основаниям математики» повлияли на формирование неверного, поверхностного представления об особенностях его подхода к философским проблемам математики. Комментаторы, как правило, подчеркивают значимость вклада Витгенштейна в философию языка, философию сознания или в теорию значения, но при этом нередко игнорируют его рассуждения о философии математики, считая их ошибочными и маловажными. Такая позиция не только неоправданна, но и вредна, так как служит препятствием к правильному пониманию воззрений мыслителя и формированию адекватной оценки предложенной им перспективы для осмысления математического дискурса. Ведь если критики признают истинным и методологически продуктивным философский подход Витгенштейна к обсуждению проблем значения, языка, сознания, то в таком случае его философия математики не должна рассматриваться в отрыве от всей совокупности его логико-семантических взглядов, включая представленную им программу реформирования философии.

Одним из наиболее сложных вопросов при осмыслении философско-математических воззрений Витгенштейна является идентификация занимаемой им позиции в отношении традиционных школ, разрабатывавших в XX столетии проблему оснований математики. В научной литературе можно встретить разные, порой полярные, суждения об основной идейной установке Витгенштейна в философии математики: «полнокровный конвенционализм» (Даммит), «антифилософия математики» (Мэдди), «строгий финитизм» (Крайзель), «радикальный антидескритивизм» (Мейрион), «конструктивизм» (Хинтикка), «антропологизм» (Хао Ван). Различные оценки его философии математики свидетельствуют об отсутствии общепринятой, стандартной схемы интерпретации текстов Витгенштейна. Проблемно-ориентированный, метафорический стиль его философских произведений воплощает и отражает его философскую позицию. С уверенностью можно утверждать, что австрийский мыслитель придерживался мнения, что философия должна быть исключительно описательной и решительно противостоять любому вмешательству в фактическое функционирование математической науки.

Актуальность и особая острота данного исследования обусловлена следующими обстоятельствами: во-первых, историко-философскими потребностями комплексного изучения и адекватной интерпретации философско-математических воззрений Витгенштейна, важностью прояснения роли и места философско-математической проблематики в становлении и развитии его общего философского проекта «критики языка»; во-вторых, необходимостью

преодоления неоправданно пренебрежительного отношения к витгенштейнов-ской философии математики со стороны ученых и философов; в-третьих, возросшей значимостью его логико-методологических, лингвофилософских построений для обсуждения разнообразных философских проблем; в-четвертых, необходимостью критического переосмысления его аналитического подхода в контексте имеющихся достижений в области витгенштейноведения и с учетом обозначившейся практико-ориентированной тенденции в развитии современной философии математики.

Сегодня актуальным остается обсуждение различных аспектов творческого наследия австрийского мыслителя: проблема преемственности философских воззрений Витгенштейна, истоки его дескриптивной, «терапевтической» философии, степень обоснованности предложенных им аргументов для критики платонизма, логицизма, фундаментализма, психологизма и др.

Таким образом, адекватная реконструкция философско-математических размышлений Витгенштейна способна пролить свет на характер взаимосвязи его философии математики с концепцией значения, языка, сознания и вместе с тем продемонстрировать их «громадный интерес и важность»4. Задача осмысления и переосмысления специфики похода Витгенштейна к философским проблемам математики влечет за собой необходимость обсуждения различных сторон его оригинального мышления: понимание природы философии, соотношения философии и математики, прояснение статуса математических предложений, условий достоверности математического знания. Важно понять, каким образом Витгенштейн пришел к своим зрелым воззрениям о природе математики. Какую роль играет математика в его лингвофилософских исследованиях? Какова суть витгенштейновского проекта преобразования традиционной философии математики?

Степень разработанности проблемы. Размышления Витгенштейна о философских проблемах математики содержатся во многих произведениях («Логико-философский трактат», «Философские исследования»), поскольку данная тема была доминирующей в его научном творчестве. В наиболее полном и развернутом виде философия математики Витгенштейна представлена в трудах: «Лекции по основаниям математики», «Замечания по основаниям математики», а также «Философская грамматика» (вторая часть).

В российском научном сообществе интерес к философии математики Витгенштейна приобрел устойчивый, целенаправленный характер сразу после выхода в свет русского перевода его книги «Замечания по основаниям математики» (1994). Текст этой работы предваряет обстоятельная статья известного российского специалиста М.С. Козловой, в которой подчеркивается, что именно «интерес к математике и проблемам ее логических оснований» привел Витгенштейна в философию5.

4 Хинтикка Я. О Витгенштейне / Яаакко Хитикка. Из «лекций» и «заметок» / Людвиг Витгенштейн / Сост. и ред. В.А. Суровцева. М.: «Канон+» РООИ «Реабилитация», 2013. С. 89.

5 Козлова М.С. Проблема оснований математики (К публикации заметок Л. Витгенштейна) // Витгенштейн Л. Философские работы. Часть И. Пер. с нем. М.: Гнозис, 1994. С. VII.

В отечественной литературе тема философии математики Витгенштейна стала объектом анализа в работах Е.И. Арепьева, А.Ф. Грязнова, Г.Б. Гутнера, М.С. Козловой, A.B. Смирнова, К.А. Родина, З.А. Сокулер, В.А. Успенского. В комментариях отечественных авторов выявляются особенности подхода Витгенштейна к философским проблемам математики, акцентируется деятельност-ный характер его философии математики.

Для постижения идей Витгенштейна о математике необходимо ясно представлять особенности и общую направленность его философского мировоззрения. В этой связи большое значение приобретают труды отечественных специалистов Е.И. Беляева, В.В. Бибихина, А.Ф. Грязнова, М.С. Козловой, В.А. Ладова, Н.В. Медведева, В.П. Руднева, З.А. Сокулер, В.А. Суровцева, в которых осмыслены понятия, основные принципы философии Витгенштейна, прослеживаются этапы эволюции его философского мировоззрения.

Большое количество российских публикаций посвящено осмыслению лингвистических, онтологических, гносеологических, логических, методологических, культурологических, этических, эстетических, религиозных идей Витгенштейна. Отметим работы Е.А Баллаевой, A.B. Белобратова, А.Л. Блинова, Л.А. Бобровой, Я.Я. Вейша, К.Э. Галаниной, И.Л. Галинской, Г.П. Григоряна, Н.П. Гринцера, Е.А. Давыденко, Е.Г. Драгалиной-Черной, Д.В. Иванова, В.Г. Кузнецова, Л.А. Микешиной, И.Ф. Михайлова, O.A. Назаровой, Т.Н. Пан-ченко, Е.Д. Смирновой, Т.А. Федяевой, H.A. Цыркун, Е.А. Чичневой, В.П. Шес-такова.

Следует также указать на работы ряда отечественных и зарубежных авторов (К.-О. Апель, Н. Гарвер, П. Кампиц, Г.С. Кнабе, В. Краус, Н. Малкольм, A.C. Колесников, В.А. Лекторский, Р. Рорти, Р. Халлер), в которых воззрения Витгенштейна рассматриваются в расширенном историко-философском контексте, через сопоставление с идеями видных представителей различных философских традиций - аналитической, критической, герменевтической, феноменологической, отечественной.

Что касается рецепции философии математики Витгенштейна западными специалистами, то она выглядит весьма неоднородно. Следует отметить, что поначалу, примерно в середине 1950-х гг., витгенштейновская философия математики была встречена интеллектуальным сообществом крайне настороженно и прохладно, однако со временем, особенно с появлением в 1980-90-е годы новых интерпретаций, негативные оценки философии математики Витгенштейна сменились позитивными отзывами. Когда в 1956 году вышла в свет на английском языке книга Витгенштейна «Замечания по основаниям математики», некоторые исследователи отозвались о ней в крайне резких тонах. Даже те, кто поначалу симпатизировал общей линии мышления Витгенштейна, заняли критическую позицию по отношению к его «Замечаниям...», оценив их как путанные, непоследовательные, математически необоснованные, в лучшем случае малозначимые для философии математики. Так, выдающийся ученый-математик Георг Крайзель осудил Витгенштейна за его увлеченность элементарной математикой, а также за уклонение обсуждать сложные, подлинно инте-

ресные вопросы, возникающие при исследовании оснований математики. Многие восприняли оценку Крайзелем «Замечаний...» — «удивительно незначительный продукт блистательного ума»6 - как неутешительный и окончательный приговор его философии математики. Схожие критические отзывы были даны А. Андерсоном и П. Бернайсом.

Если проанализировать и обобщить все критические замечания о философии математики Витгенштейна, то в них можно выделить два рода претензий к его «Замечаниям...». Первые претензии сводятся к общему утверждению, что предложенный Витгенштейном подход является слишком упрощенным, что философ часто обращается к примерам из элементарной математики и, видимо, не способен компетентно разобрать достижения высшей математики (например, теорему Кантора или теорему Гёделя). Второй род претензий касается отрицания Витгенштейном объективности математических предложений, описывающих математические сущности, поскольку он не признает существования математических фактов. Критики также отмечают, что отрицание Витгенштейном объективной математической реальности неизбежно ведет к безграничному когнитивному релятивизму, к подходу «все дозволено» («anything goes attitude»), который не способен объяснить устойчивость математических утверждений, стабильность концептуальных схем математической науки. Однако противники Витгенштейна, на мой взгляд, исходят из неверного понимания сути его философских установок, что обусловлено двумя главными причинами: во-первых, крайне избирательным подходом к выбору витгенштейновских текстов, что приводит к неудаче в понимании содержания его мыслей, к их отрыву от общего смыслового контекста его рассуждений. Другая причина неверного понимания связана с тем, что математические комментарии Витгенштейна зачастую не отделяются от его философских комментариев относительно статуса математических высказываний. Витгенштейн рассматривал эти два момента раздельно, но критики часто их смешивают, интерпретируя его философские комментарии как математические, итогом чего является неверное понимание воззрений мыслителя.

Началом к открытию широких дискуссий о специфике и направленности философии математики Витгенштейна послужила статья британского философа Майкла Даммита, опубликованная в журнале «The Philosophical Review» в 1959 году. Даммит интерпретировал рассуждения Витгенштейна таким образом, будто в математике мы не следуем никаким строгим правилам и у нас есть возможность свободно выбирать, какие высказывания включать, а какие исключать из математики. Однако такая интерпретация противоречит витгенштейновскому замыслу, основанному на представлении, что доказательство как бы принуждает нас сделать определенный вывод.

Одна из первых попыток систематического анализа философско-математи-ческих воззрений Витгенштейна, направленного на прояснение их продуктив-

6 Kreisel G. Wittgenstein's Remarks on the Foundations of Mathematics // British Journal for the Philosophy of Science. 1958. № 9 (34). P. 158.

ного содержания и преодоление безосновательных нападок на автора «Логико-философского трактата» и «Философских исследований», была предпринята В. Кленком.7

Крупномасштабные изменения в интерпретациях общей философии Витгенштейна, начавшиеся примерно в середине 1980-х годов, в значительной степени были обусловлены обращением исследователей к его философии математики. В зарубежной литературе подробный анализ философии математики Витгенштейна, рассматриваемой в ее исторической эволюции, представлен в монографиях С. Шенкера «Витгенштейн и поворотный пункт в философии математики» (1987) и П. Фрасколлы «Философия математики Витгенштейна» (1994). Помимо этих исследований особого внимания заслуживает книга С. Шенкера «Людвиг Витгенштейн: критические оценки» (1986), а также сборник трудов 15-го международного витгенштейновского симпозиума «Философия математики Витгенштейна» (Вена, 1993). Обе эти книги представляют собой антологию философии математики Витгенштейна, они содержат статьи известных специалистов (Хао Ван, Я. Хинтикка, П. Мэдди, М. Ригли и др.), в которых освещаются важные аспекты философско-математических воззрений австрийского мыслителя.

Необходимо также отметить исследование М. Мейрион «Витгенштейн, финитизм и основания математики» (1998), в котором проводится детальное обсуждение философии математики Витгенштейна в контексте истории фини-тизма как математической традиции.

Социально-акцентированный подход Витгенштейна к языковому употреблению вдохновил ряд исследователей на интерпретацию его идей в русле социально-конструктивистской философии математики. Так, Д. Блур и П. Эрнест предложили современное прочтение философии математики Витгенштейна, содержащее ярко выраженную социологическую окраску.

Следует отметить наличие незначительного количества научных публикаций, посвященных важному вопросу о периодизации философии математики Витгенштейна. Дело в том, что стандартное и широко распространенное в научной литературе деление философии Витгенштейна на раннюю и позднюю (его «ранняя» философия соотносится с «Логико-философским трактатом», «поздняя» - с «Философскими исследованиями» и «Замечаниями по основаниям математики») оказывается непригодным в случае рассмотрения его философии математики. Впервые на это обратил внимание Стив Джеррард8, который предложил различать две основные линии мышления в паст-Трактатовский период: средний, связанный с «концепцией исчисления» и представленный Витгенштейном в «Философской грамматике», и поздний период, определяемый как «концепция языковых игр». В своем исследовании я опиралась на

Klenk V.H. Wittgenstein's Philosophy of Mathematics. The Hague: Martinus Nijhoff, 1976.

8 Gerrard S. A Philosophy of Mathematics Between Two Camps // The Cambridge Companion to Wittgenstein, Sluga and Stern, (eds.), Cambridge: Cambridge University Press, 1996 Pp. 171-197.

предложенную Джеррардом периодизацию философии математики Витгенштейна.

Среди различных тем, обсуждавшихся Витгенштейном, особый интерес у специалистов вызывает проблема «следования правилу» (rule-following). Значимость данной темы для постижения витгенштейновской философии математики впервые была выявлена в работах К. Вригта, Р. Фогелина, С. Крипке. Каждый из этих авторов сформировал свой вариант ответа на высказанную Дам-митом точку зрения о Витгенштейне как «полнокровном конвенционалисте» в вопросе о природе логической необходимости. Проблема «следования правилу» в философии математики Витгенштейна рассматривалась также в исследованиях Г. Бейкера и П. Хакера, К. Даймонд, В.А. Ладова, С. Кейвелла, З.А. Со-кулер, М. Стейнера, Б. Страуда, Дж. Флойд.

Исследование особенностей витгенштейновской философии математики предполагает также знакомство с содержанием рассматриваемых в философии математики XX века проблем, критическое осмысление фундаменталистских программ обоснования математики, наряду с пониманием обозначившихся тенденций в развитии современной философии математики.

Число вышедших в России в последние два десятилетия публикаций (монографий, статей), посвященных проблемам философии математики, не столь велико. Были переведены книги зарубежных классиков и специалистов Г. Вей-ля, К. Гёделя, М. Клайна, С.К. Клини, Г. Крайзеля, Б. Рассела, Т. Рокмора, Г. Фреге, Ш. Фрейсинэ, А. Черча. Особого внимания заслуживает исследование итальянского профессора Габриэле Лолли9, в котором содержится широкий обзор и критический анализ философий математики, развиваемых на Западе в XX столетии.

Среди отечественных исследователей философии математики отметим работы А.Д. Александрова, Е.И. Арепьева, Е.А. Беляева, В.А. Бажанова, А.В. Бессонова, Ю.И. Манина, А.Н. Паршина, В.Я. Перминова, М. Резника, А.В. Родина, Г.И. Рузавина, В.А. Светлова, В.А. Успенского, В.В. Целищева, Б.Л. Яшина.

С момента появления первых комментариев философии математики Витгенштейна прошло более полувека. Современная научная литература по вит-генштейноведению изобилует разнообразными интерпретационными схемами его философских взглядов. Анализ историко-философских исследований, посвященных философии математики Витгенштейна, обнаруживает наличие полярных суждений о данном предмете его философского творчества. По-прежнему актуальной является проблема правильного понимания философско-математических интенций Витгенштейна. Проведенный обзор литературы, посвященной исследуемой теме, показывает, что философия математики Витгенштейна довольно основательно изучена на Западе, тогда как в отечественной историко-философской науке число публикаций сравнительно невелико. До сих пор в российской философии отсутствуют специальные систематические ис-

9 Лолли Г. Философия математики: наследие двадцатого столетия. Н. Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского, 2012. 299 с.

следования, в которых с позиций достижений современной философии математики и витгенштейноведения давалась бы целостная характеристика философ-ско-математических взглядов австрийского мыслителя. Это обстоятельство с очевидностью обусловливает выбор темы, цель и задачи диссертационного исследования.

Объект исследования: философское наследие Л. Витгенштейна.

Предмет исследования: философия математики Л. Витгенштейна.

Основная цель и задачи исследования.

Целью диссертационного исследования является осуществление рациональной реконструкции философии математики Витгенштейна.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

- проанализировать проблему обоснования математического знания в качестве идейной предпосылки философии математики Витгенштейна;

- раскрыть специфику витгенштейновского подхода к проблеме взаимоотношений философии и математики;

- исследовать природу математики в логико-семантической концепции «раннего» Витгенштейна, определить отношение мыслителя к логицизму;

- обосновать преемственность в развитии фипософско-математических воззрений Витгенштейна;

- выявить социальный, практико-ориентированный характер философии математики «позднего» Витгенштейна;

- установить основания критической позиции «позднего» Витгенштейна по отношению к платонизму, реконструировать его подход к определению статуса математических предложений;

- проанализировать витгенштейновское понятие «следование правилу» в контексте обсуждаемых в современной философии математики проблем, раскрыть значение эмпирической повторяемости применительно к вопросу об условиях объективности математического знания.

Теоретико-методологическая основа исследования. Теоретической базой для исследования служат труды Витгенштейна, а также работы отечественных (Е.И. Арепьев, А.Ф. Грязнов, М.С. Козлова, В.А. Ладов, З.А. Сокулер, В.А. Успенский и др.) и зарубежных (П. Мэдди, Б. Страуд, К. Даймонд, Г. Бей-кер и П. Хакер, П. Фрасколла, С. Шенкер, П. Эрнест и др.) авторов, в которых представлены различные интерпретации его философско-математических воззрений. Все это помогло сформировать собственное понимание общего замысла философии математики Витгенштейна, постичь специфику подхода австрийского мыслителя к философским проблемам математики.

Анализ философско-математических воззрений Витгенштейна осуществляется в диссертации в контексте осмысления его общей философской стратегии логико-грамматических исследований, а также в контексте изучения истории становления и развития аналитической философской традиции, аналитической философии математики. Для решения поставленных задач используются в работе следующие методы и подходы:

1. Сравнительно-исторический метод. С помощью этого метода выявляется процесс становления и развития философии математики Витгенштейна, осуществляется постижение содержания, особенностей этапов развития фило-софско-математических взглядов мыслителя.

2. Метод интерпретации. Этот фундаментальный метод используется для работы с текстами произведений Витгенштейна.

3. Междисциплинарный подход. Применение междисциплинарного подхода обусловлено сопряжением в диссертационном исследовании различных областей знания: философии, математики, логики, лингвистики.

4. Системный подход. С помощью этого подхода обеспечивается многоаспектное, аналитическое описание философии математики Витгенштейна.

Для постижения философских идей Витгенштейна, специфики его подхода к философским проблемам математики в диссертации использованы методологические положения А.Ф. Грязнова, М.С. Козловой, З.А. Сокулер, Н. Малколь-ма, М. Мейрион, П. Мэдди, М. Ригли, Я. Хинтикки.

Абсолютистско-фаллибилистская модель объяснения природы математики используется в диссертации в качестве вспомогательного методологического средства для осмыслении особого подхода Витгенштейна к философским проблемам математики.

При разработке темы диссертационного исследования использовался также междисциплинарный подход, привлекались работы по истории философии, математике, логике, языкознанию.

Научная новизна результатов исследования состоит в следующем:

- осуществлен всесторонний анализ основных периодов развития философии математики Витгенштейна в контексте дискуссий по основаниям математики;

- раскрыта специфика подхода Витгенштейна к проблеме соотношения философии и математики;

- выявлены истоки нереференциальной концепции математических предложений Витгенштейна;

- обоснована идея преемственности философии математики Витгенштейна;

- раскрыт социальный, практико-ориентированный характер философии математики «позднего» Витгенштейна, установлено ее значение для становления неортодоксального представления о природе математики;

- выявлено значение витгенштейновского понятия «следование правилу» для разработки теории математического понимания;

- определена позиция Витгенштейна по вопросу об условиях объективности математического знания.

Положения, выносимые на защиту.

- Важнейшей характеристикой философии математики Витгенштейна является акцентированный разрыв рефлексивной взаимосвязи философии и математики, установка рассматривать философию и математику как две автономные области знания. Традиционная философская задача обоснования математи-

ческих принципов и методов изначально не входила в намерение Витгенштейна. Отрицая теоретическую природу математического знания и необходимость его эпистемологического обоснования, Витгенштейн признает в качестве единственно подходящего способа оправдания математических высказываний социальную практику, жизненные формы людей.

- Философия математики Витгенштейна является результатом последовательного развития философско-математических представлений, которые содержатся в «Логико-философском трактате». Несмотря на радикальную трансформацию воззрений Витгенштейна после 1929 года, его философии математики свойственны черты преемственности и целостности. Преемственность носит не поверхностный, а глубинной характер, поскольку затрагивает ключевые аспекты витгенштейновской философии математики.

- Поздняя философия математики Витгенштейна носит социальный, практико-ориентированный характер, она обращена к человеческим формам жизни, к различным видам человеческой деятельности. Инструменталистский подход к языку, проливающий свет на функциональное многообразие языковых средств коммуникации, обоснование роли прагматического аспекта языка в формировании значения слов и предложений, выявление внутренних механизмов работы языка, связанных с конкретными формами социальной деятельности, введение новых понятий «языковая игра», «форма жизни», «следование правилу», - все перечисленное служит основанием для формирования социально-конструктивистского, практико-ориентированного воззрения о математике.

- «Поздний» Витгенштейн занимает позицию «радикального антиплатонизма», что выражается в его отрицании семантического, онтологического и гносеологического принципов концепции математического платонизма. Критика платонизма обусловлена убеждением Витгенштейна в алгоритмической природе математики, целиком состоящей из вычислений. Анализируя математические предложения как правила, а не описания, Витгенштейн представил математическую деятельность как содержащую предположения и решения, а не открытия.

- Предложенный Витгенштейном подход к разрешению концептуальных замешательств подводит нас к заключению рассматривать математику скорее в динамических, а не в статических терминах. Математика - это не столько совокупность знаний, сколько сложная динамическая система, которая управляет нашими мыслями и действиями. Витгенштейн сформировал новое, отличное от традиционного подхода, воззрение о математике как совокупности норм, а не сложившегося набора определений, аксиом и теорем. Согласно Витгенштейну, математическое предложение есть не просто объект знания, а то, что формирует наше поведение.

- Витгенштейн выступал не против объективности математики как таковой, а против необходимости ее «философского» обоснования. Его вариант объяснения надежности математического знания сводится к положению, что арифметические уравнения, математические предложения формируются как особая форма кодификации случайной и в то же время устойчивой, поддающейся объективной проверке эмпирической повторяемости, которая проявляет-

ся в поведении людей. Социальный характер математического знания, выражающийся в освоении и воспроизводстве математической техники оперирования с символами, служит основанием для утверждения интерсубъективного критерия его объективности в виде согласия людей относительно правил применения математических предложений.

Научно-теоретическая и практическая значимость исследования.

Научно-теоретическая значимость результатов диссертационного исследования состоит в рациональной реконструкции философско-математических воззрений Витгенштейна, что позволяет правильно понять и адекватно оценить вклад австрийского мыслителя в современную философию математики, определить место философско-математической концепции Витгенштейна в сложившейся структуре академических школ.

Практическая значимость диссертационного исследования состоит в том, что материалы диссертации могут быть использованы в учебном процессе при подготовке и чтении курсов «История зарубежной философии», «Современная зарубежная философия», «История и философия науки», «Философия и методология науки», «Философские проблемы конкретных дисциплин», «Логика», «Теория и практика аргументации», «Философия языка» в высших учебных заведениях и на курсах повышения квалификации преподавателей.

Апробация диссертационного исследования.

Основные положения и выводы, полученные в ходе работы над диссертационным исследованием, представлены в выступлениях автора на заседаниях кафедры философии Тамбовского государственного университета имени Г.Р. Державина. По содержанию исследования автором сделаны доклады и научные сообщения, представлены тезисы выступлений на общероссийских и международных научных конференциях: VI Российский философский конгресс «Философия в современном мире: диалог мировоззрений» (Нижний Новгород, 27-30 июня 2012 г.); Международная научно-практическая конференция «Духовно-нравственная культура как фактор модернизации российского общества XXI века» (Тамбов, 23 ноября 2012 г.); Третья всероссийская научная конференция «Философия математики: актуальные проблемы. Математика и реальность» (Москва, МГУ имени М.В. Ломоносова, 27-28 сентября 2013 г.).

Проводимые при подготовке и написании диссертации исследования получили поддержку Благотворительного Фонда культурных инициатив (Фонда Михаила Прохорова) в рамках конкурсной программы финансирования трэвел-грантов для студентов старших курсов, аспирантов и молодых преподавателей «Академическая мобильность», программа «Образование как социальный институт», программный блок «Наука, образование, просвещение» за 2014 год.

По теме диссертации опубликовано 13 научных работ, в том числе пять статей в изданиях, входящих в Перечень российских рецензируемых научных журналов, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученых степеней доктора и кандидата наук.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, девяти параграфов, заключения и списка использованных источников и литературы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, анализируется степень разработанности проблемы, определяются объект, предмет, цель и задачи диссертации, формулируется рабочая гипотеза исследования, приводится характеристика теоретико-методологических оснований работы. Излагаются научная новизна и положения, выносимые на защиту, дается оценка научно-теоретического и практического значения диссертации, представляется ее апробация.

Первая глава «Ранний и средний периоды эволюции философии математики Витгенштейна» посвящена анализу философских воззрений Витгенштейна о математике в ранний и средний периоды его творчества.

В первом параграфе «Проблема обоснования математического знания как идейная предпосылка философии математики Витгенштейна» проводится философский анализ проблемы обоснования математики, которая включает в свое содержание вопросы об источнике необходимости математических утверждений и условиях достаточного основания для их принятия. Развернувшиеся дискуссии по данной проблеме в начале XX века мотивировали Витгенштейна на размышления о математике, на разработку им специфической философской программы. Интерес к математике и ее теоретическим проблемам возник у Витгенштейна после знакомства с работой Б. Рассела «Принципы математики» (1903) и после личной встречи с Г. Фреге, посоветовавшего ему пройти школу логики и философии математики у Рассела. Именно труды Фреге и Рассела в значительной мере стимулировали его собственную мысль. Витгенштейн использовал дискуссию по основаниям математики как экспериментальную площадку для своих занятий философией.

В результате проведенного философского анализа проблемы обоснования математического знания как идейной предпосылки философских размышлений Витгенштейна, автор приходит к выводу, что сформированные для ее решения ведущие программы - логицизм, формализм, интуиционизм (шире - конструктивизм) — ориентированы на абсолютистскую установку по поиску абсолютных оснований математического знания и стремятся обеспечить прочное основание математической истины посредством математического доказательства. Каждая из предложенных программ обоснования математики устанавливает, чем именно гарантируется незыблемое основание абсолютной истины: либо это аксиомы логики (логицизм), либо это интуитивно достоверные принципы метаматематики (формализм), либо интуитивные самоочевидные аксиомы и правила вывода (интуиционизм). Однако ни одна из программ оказалась не в состоянии обеспечить абсолютный фундамент математической истины.

Представленная в параграфе позиция абсолютизма соотносится с противоположной фаллибилистской точкой зрения на природу математического знания. Последняя сводится к утверждению, что математическое знание, наряду с другими его формами, подвержено ошибкам и исправлениям в силу его науч-

ной природы и не должно рассматриваться как располагающееся за пределами процедур проверки и исправлений.

Абсолютистско-фаллибилистскую модель, отражающую важнейшее эпистемологическое различие между конкурирующими объяснительными схемами природы математического знания, в параграфе предложено рассматривать как средство для постижения особой установки Витгенштейна по основаниям математики.

Во втором параграфе «О соотношении философии и математики» исследуются позиция Витгенштейна по проблеме взаимоотношений философии и математики. Автор исследования стремится пролить свет на заявление Витгенштейна о том, что философия не должна вмешиваться в математику.

Важнейшей характеристикой философии математики Витгенштейна является четко выраженный разрыв диалектической, рефлексивной взаимосвязи философии и математики, т.е. той самой связи, которая стимулирует взаимодействие и взаимное становление обеих научных дисциплин. В работах Витгенштейна присутствует установка рассматривать философию и математику как две автономные, независимые друг от друга области знания: нет философии, ориентированной на образец математики, равно как нет математики, нуждающейся в философски обоснованном гносеологическом фундаменте. По Витгенштейну, философия нуждается в математике не больше, чем в любой другой форме знания или деятельности. Философия и математика являются независимыми дисциплинами, становление и развитие каждой из которых происходит обособленно друг от друга, по их собственным внутренним законам.

Витгенштейн рассматривает соотношение математики и философии через призму их самодостаточности. Такой вывод мыслителя является следствием осознания безуспешности всех предыдущих попыток обнаружить основания математики в логике. Неизбежная неудача подобных усилий объясняется тем фактом, что базисные арифметические операции независимы от логики.

В конце параграфа делается следующий вывод: линия на сближение философского и математического знания, связанная с модельной функцией математики в отношении философии, явно не прослеживается в работах Витгенштейна, поскольку философ считает, что математика имеет дело не с истинными или ложными предложениями, а с уравнениями. Заявление Витгенштейна о том, что цель философии заключается в «критике языка», или так называемой «языковой терапии», а не в поисках и достижении истины, служит дополнительным аргументом в пользу тезиса Витгенштейна о наличии существенного различия между философией и математикой как научными дисциплинами. Другая линия на сближение философии и математики, а именно философское обоснование математических объектов и методов, также не обнаруживается в рассуждениях Витгенштейна. Несмотря на то, что математики способны разрабатывать метаматематическое основание исчисления, математическая наука является ничем иным, как исчислением. Все, что не является частью исчисления, Витгенштейн объявляет «прозой», которая должна быть элиминирована.

В третьем параграфе «Математика в «Логико-философском трактате» исследуется философия математики «раннего» Витгенштейна.

В параграфе показано, что не-референциальная, или так называемая формальная концепция математических предложений и терминов берет свое начало в «Логико-философском трактате». Ранняя концепции философии математики Витгенштейна создавалась на основе противопоставления математики и математических уравнений подлинным предложениям. Концепция элементарных предложений и классическое определение истины используются Витгенштейном в Трактате для того, чтобы построить теорию логических и математических «предложений».

Представленные в Трактате тавтологии, противоречия и математические предложения не являются ни истинными, ни ложными. Только эмпирические предложения могут быть либо истинными, либо ложными. В отличие от эмпирических предложений, логические тавтологии и противоречия «ни о чем не повествуют», «они ничего не говорят», они «бессмысленны». Математические уравнения являются «псевдопредложениями», потому что их «истинность» или «правильность», характеризует только точку зрения эквивалентности их значений.

В параграфе отмечено, что формальная концепция математики, представленная в «Логико-философском трактате», по существу, является теорией формальных операций. Витгенштейн намечает в общих чертах переход от арифметики чисел к теории операций.

В параграфе выясняются основания для воспроизводства «логицистской» интерпретации витгенштейновской позиции в Трактате, обсуждаются аргументы сторонников и противников данной интерпретации. Логицистская интерпретация концепции математики «раннего» Витгенштейна имеет под собой некоторые основания в виде его собственных суждений. Однако позиция австрийского мыслителя является более сложной. Различия между объектами и числами соответствуют у него различиям между фактуальными предложениями и уравнениями. Неверно истолковывать отдельные высказывания Витгенштейна об уравнениях, предстающих «псевдопредложениями», как развитие логицистской программы. Сам Витгенштейн довольно скоро откажется от предложенной им в Трактате характеристики уравнений и заострит свое внимание на проблеме разграничения уравнений и тавтологий. Очерченное разграничение между логическими и математическими предложениями сохранится в поздней философии Витгенштейна.

В четвертом параграфе «Философия математики Витгенштейна переходного периода: к вопросу о преемственности» обсуждается идея преемственности между витгенштейновскими воззрениями о математике после 1929 года и его ранней философией математики, исследуется «переходный» этап философии математики австрийского мыслителя с момента его возвращения к занятиям философией в 1929 году и примерно до 1933 года.

В философии математики Витгенштейна «переходного» периода произошли два качественных изменения. Первое важное изменение затронуло воззрения Витгенштейна о природе бесконечности. Другое ключевое изменение связано

с его представлением о природе доказательства. Обновленная позиция Витгенштейна сводится к утверждению, что доказательство образует новые концептуальные взаимосвязи, которые убеждают нас принять то или иное решение.

Несмотря на важность произошедших изменений, не все идеи «Логико-философского трактата» были отвергнуты Витгенштейном после 1929 года. Его представление о принципиальном различии между эмпирическими и математическими предложениями сохраняется в средний и поздний периоды эволюции. В своих поздних работах Витгенштейн продолжает отстаивать представление, что математика является нормативной дисциплиной. Он также поддерживает тезис Трактата, что все математические предложения являются уравнениями. Согласно Витгенштейну, в математике мы имеем дело с результатами применения определенных операций в различных комбинациях к некоторым базисным формам. Математическое предложение призвано регистрировать тот факт, что отдельные операции и формы приводят к тому же самому результату, по этой причине оно принимает форму уравнения.

Витгенштейн всегда поддерживал тезис об определяющей роли доказательства в формировании значения. Эта мысль, как основной и постоянный компонент рассуждений Витгенштейна после 1929 года, является результатом последовательного развития тех представлений, которые содержатся в Трактате.

Отмечается, что истоки «исчисляющей картины», развиваемой Витгенштейном в переходный период, обнаруживаются в Трактате. Причина пристального внимания Витгенштейна к арифметике после его возвращения к занятиям философией в 1929 году состояла в том, что он все еще оставался верен своему первоначальному представлению, изложенному в Трактате, об особой базисной роли арифметики, которую она играет по отношению к математике в целом.

Вторая глава «Математика как практика: философия математики «позднего» Витгенштейна» посвящена анализу философско-математических воззрений австрийского мыслителя позднего периода творчества.

В первом параграфе «Социальный, практико-ориентированный характер философии математики «позднего» Витгенштейна» проводится анализ специфики философии математики позднего Витгенштейна, которая выражается в ее сог^апъном, практико-ориентированном характере.

Витгенштейн во второй период своего творчества обратился к анализу повседневного языка. Существенная перемена в позиции Витгенштейна состоит в том, что он отказывается от метафизической предпосылки о единственном точном языке описания мира и заменяет ее новой рабочей гипотезой о безграничном количестве «языковых игр».

Витгенштейн был убежден в том, что вносит философскую ясность в различные аспекты и разделы математики, в математические понятия и философские концепции математики. Испытывая недостаток в подобной ясности и в отсутствии стремления к ней, математики строят новые игры, которые иногда по-

рождаются неправильными представлениями о значении математических предложений и математических терминов.

Математика, по Витгенштейну, содержит языковую игру или скорее набор языковых игр. Он акцентирует «пеструю смесь» математики, привлекая примеры из различных ее разделов для демонстрации многообразия математических языковых игр, которые изобретаются учеными. К уже имеющимся могут быть добавлены новые изобретенные языковые игры.

Языковые игры в математике основываются на формах жизни и не сводятся к чисто лингвистической деятельности. Раннее представление Витгенштейна, что математика есть игра со знаками «в соответствии с определенными правилами» было углублено с помощью понятия «форма жизни», которое послужило опорой при обосновании надежности и достоверности правил. Данный исследовательский шаг определил изменение ранней позиции Витгенштейна, смыкавшейся с конвенционализмом.

Витгенштейн предложил модель математики, в которой математические правила глубоко укоренены в систему человеческой социальной деятельности, в «формы жизни». При следовании правилу, поскольку оно основано на совокупности связанных решений, каждый отдельный шаг не требует независимого решения. Это есть вопрос определенной практики. Правила не являются произвольными решениями. Напротив, их принятие (одобрение) осуществляется в контексте определенных, связанных между собой лингвистических и социальных практик.

Во втором параграфе «Критика платонизма» выявляются основания критической позиции Витгенштейна по отношению к платонизму.

Витгенштейн понимал математику как, по сути, алгоритмическую (вычислительную) деятельность. Он настаивал на том, что не существует математической или логической деятельности, характеризуемой как «описание объектов». Скорее сами знаки «делают» математику.

Витгенштейн был противником платонизма, поскольку для него математик есть «изобретатель, а не открыватель». Мы никогда не обнаруживаем факты об уже спроецированных нами структурах: всякая новая теорема на деле является новым расширением математики. В математике ничего нельзя открыть, как и в грамматике.

Радикальный антиплатонизм пронизывает всю философию математики Витгенштейна. Витгенштейн утверждает, что слова приобретают значение через их употребление в математической языковой игре, поэтому математические знаки не являются обозначением математических объектов. Математические знаки вообще не имеют независимого референта. В области математики не существует знания об объектах, так как не существует ничего из того, к чему такое знание может быть приложено. Аппарат математики лишается онтологического статуса через отрицание референциальной функции математических предложений.

Критика Витгенштейном платонизма связана не с тем, что нельзя рассуждать о «реальности», «соответствии» или «объективной истине» в математике, а с тем, что допускается возможность говорить о них так же, как это делается

в эмпирической науке. Как только такой перевод осуществлен, сразу возникают так называемые серьезные концептуальные проблемы. Витгенштейн обосновывает необходимость рассматривать аналогичное эпистемологическое затруднение как демонстрацию эффекта уничтожения значения в результате недопустимого движения перевода. И тогда уже выясняется, что платонизм - это даже не заблуждение, а замаскированная бессмыслица.

В третьем параграфе «О статусе математических предложений» исследуются воззрения позднего Витгенштейна о статусе предложений математики. Это одна из ключевых проблем, над решением которой долго и напряженно трудился Витгенштейн после возобновления своих занятий философией в конце 1920-х гг.

Интерес Витгенштейна к математическим предложениям состоит в установлении их роли через прояснение разнообразных способов употребления, т.е. посредством проведения «грамматического» исследования. Анализируя математические предложения с «грамматической» точки зрения, точнее с точки зрения их употребления в разнообразных математических системах («играх»), Витгенштейн отталкивается от представления о наличии разнообразных «грамматик» математики. При этом он отрицает существование одной единственной математической «грамматики». Связанные с разными действиями различные математические «грамматики» образуют разнообразные концептуальные схемы. Чтобы понять смысл математических предложений требуется пристальное внимание к контексту, потому что правильное понимание математического высказывания не гарантируется его изолированной словесной формой выражения.

Витгенштейн желал постичь, что именно должно нам показать математическое предложение, почему оно является необходимо истинным и как находит свое применение на практике?

Предложения математики не являются предсказаниями относительно результата, если человек выполняет математические операции, скажем, сложения или вычитания; общеизвестно, что в математике каждый может ошибаться. Конечно, никто из тех, кто настаивает на том, что математические предложения являются необходимо истинными, не имеет в виду, что выполняемый кем-то процесс вычисления, неизбежно гарантирует определенный результат. Скорее речь идет о том, что установленные в математике правила вычисления таковы, что только определенный результат оказывается правильным; те же, кто приходит к какому-то другому результату при подсчете, непременно допускают ошибку.

По Витгенштейну, логическая необходимость математического (логического) знания основана на языковых соглашениях или нормах, которые вплетены в нашу социолингвистическую практику.

Витгенштейновское требование разграничивать математическое предложение и его полезное применение уравновешивается заявлением, что математика имеет применение. Не всякое принятие правила определяется как ход в математической игре. Математические высказывания имеют статус правил, но правила должны применяться, чтобы иметь значение и представлять для нас интерес. Принцип употребления правил математики есть нормативный крите-

рий исчисления. Нормативные критерии исчисления предоставляют стандарты правильности операций вычисления в нематематических контекстах.

Трактуя математические предложения как правила, а не описания, Витгенштейн изобразил математическую деятельность как включающую предположения и решения, а не открытия.

В четвертом параграфе «Следование правилу» рассматриваются высказывания Витгенштейна по проблеме «следования правилу» и последствия ее решения для современной философии математики.

В «Философских исследованиях» Витгенштейна значительная часть рассуждений посвящена анализу понятия «следование правилу» и связанных с ним выражений: «исполнение приказа», «применение формулы правильно». Рассуждения Витгенштейна имеют большое значение для современной философии математики, в частности при разработке теории математического понимания.

Правило выражается через предложение, формулу или знак. Однако эти вещи могут быть по-разному интерпретированы, что и стремится донести до нас Витгенштейн. Это вовсе не означает, что мы никогда не оказываемся под воздействием правил. Скорее их значение фиксируется привычным согласием в действиях тех, кто получил обычные разъяснения и примеры. Всякое обучение подходит к концу, но согласие продолжается. Если в конкретных ситуациях одна часть людей действовала так, а другая иначе, то правила и рецепты не имели бы значения. Без согласия людей правила были бы лишены смысла и вовсе не являлись правилами.

Широко распространенная философская тенденция сводится к тому, чтобы рассматривать понимание как операцию по «овладению» значением, которая каким-то образом «детерминирует» соответствующее употребление слова. Витгенштейн призывает нас сопротивляться описанному менталистскому способу мышления. Скажем, мы можем приписать кому-то способность правильно продолжить последовательность чисел как свидетельство того, что он сумел уяснить предложенный образец правильно. Но замена фразы «уяснение образца правильно» на слово «понимание» для Витгенштейна есть нечто большее, чем обычная игра слов. Соответствующий пример может быть описан через алгебраическую формулу, и поэтому, по крайней мере в отдельных случаях, мы можем объяснить способность продолжать последовательность в терминах знания правильной формулы. Но мы останавливается перед трудностью объяснения того, почему он может применять алгебраическую формулу правильно. Недостаточно сказать, что формула просто «появляется, возникает в его сознании», как только он производит желаемое поведение; возможно, он продолжит думать о формуле и делать что-то совершенно неожиданное на следующем шаге. Поэтому мы просто заменяем проблему объяснения того, что значит понимать, как продолжить последовательность чисел, на проблему объяснения того, что означает понимать, как применять формулу правильно. Здесь могут быть предложены другие пути для обсуждения способности человека продолжить последовательность в соответствии с образцом, который он держит в голове.

Выход из этой проблемы таков — лучше оставить всякие попытки философского объяснения понимания того, как применять ту или иную математическую формулу. Мы просто должны сопротивляться искушению обнаружить подходящий «первоисточник» поведения. Согласно Витгенштейну, задача философа состоит не в том, чтобы объяснять переживание того, что человек понял, или каких-то лежащих в основании ментальных или физических процессов. Проблема скорее состоит в том, чтобы прояснить обстоятельства, при которых мы приписываем человеку понимание.

Проведенный анализ фрагментов витгенштейновских рассуждений о следовании правилу с опорой на философско-математическую перспективу показывает, что нам не стоит полагаться на возможность философского обоснования «значения» математических высказываний в виде теории понимания, поскольку в своем обычном словоупотреблении такие выражения не нуждаются ни в каком оправдании. Смысл (интерпретация) правила нельзя рассматривать как объективный источник всех случаев его последующего применения.

В пятом параграфе «Эмпирическая повторяемость как условие объективности математического знания» анализируется витгенштейновский подход к объяснению условий объективности математического знания. Акцентуация Витгенштейном представления о математике, как вовлеченную в человеческую практику и человеческий язык, не должна расцениваться нами как свидетельство его поддержки определенной формы субъективизма.

Согласно Витгенштейну, мы живем в мире, в котором преобладает эмпирическая повторяемость. Существование такой повторяемости, включая повторяемость человеческого поведения, делает возможной и эффективной арифметическую (шире - математическую) практику. Обнаруживаемая в поведении человеческого сообщества повторяемость формирует основание естественного языка. Такое же согласие в поведении обнаруживается в «математически» опознаваемых ситуациях, когда люди осуществляют классификацию, сортировку, распознавание форм и т.п. и реагируют на эти разнообразные действия естественным образом.

В параграфе показывается, что разговор в терминах согласия в поведении, когда речь идет о понимании математической практики, не должен привести нас к принятию распространенного мнения, будто сам Витгенштейн стремился разрушить представление об объективности математического знания.

Витгенштейн указывает на то, что вопрос об объективности математического знания неотделим от прагматического аспекта, описывающего существование математических вычислений в человеческом сообществе. Он вовсе не рассматривал согласие мнений членов сообщества относительно математических предложений как основание для установления их истинностного значения. Нет прямого свидетельства о приверженности Витгенштейна приписываемой ему позиции, будто истинностное значение математического тождества устанавливается конвенциональным способом.

Согласие людей в действиях выступает предварительным условием существования математической практики. Согласие лежит в основе социальной

практики; оно должно существовать прежде, чем мы сможем рассуждать о «математике». Чтобы мы смогли «продолжить» вычисление, должна присутствовать повторяемость в поведении. Человеческое сообщество объединяет как раз повторяемость в действиях. В своем поведении люди на самом деле не обладают значительной степенью свободы. Правила, выделенные нами на основе повторяемости, являются для нас единственно доступными правилами. Математические тождества не становятся истинными благодаря конвенции, так как они сами по себе являются конвенциями, т.е. правилами, которые приобрели новый статус («заархивированных») на основе изначального условия эмпирической повторяемости. Математические предложения рассматриваются Витгенштейном как грамматические правила. Это объясняется не специфической природой внешних, описываемых ими событий, а тем, что мы называем их необходимыми. При рассмотрении математического предложения эмпирическая повторяемость начинает трансформироваться в нечто особо прочное. Мы как будто закрепили эмпирическое предложение в правило. И теперь мы имеем уже не гипотезу, которая выдерживает проверку экспериментом, а образец, с которым сравнивается и оценивается опыт.

Витгенштейн не отвергает понятия объективности и достоверности по отношению к математическому знанию. Он заново интерпретирует данные понятия, стремясь подвести нас к мысли, что математическое знание основано на несомненном характере наших языковых игр и форм жизни.

В Заключении диссертации резюмируется вклад Витгенштейна в продвижение им новаторского социального, практико-ориентированного подхода в философии математики. Подчеркивается, что Витгенштейн отверг распространенный в его время так называемый прескриптивный подход и выдвинул требование переосмыслить существующую философию математики, сделать ее дескриптивной.

Подводятся общие итоги исследования, формулируются выводы и намечаются перспективы дальнейших исследований по теме.

Основные положения диссертации отражены в следующих публикациях автора (13 публикаций общим объемом 6,05 п.л.)

Статьи, опубликованные по перечню ведущих рецензируемых журналов и изданий, рекомендуемых ВАК РФ

1. Медведева, Е.Е. Витгенштейн и платонизм в математике / Е.Е. Медведева // Вестник Тамбовского университета. Серия: Гуманитарные науки. - 2013. - Вып. 9 (125). - С. 266-272. (0,7 п.л.)

2. Медведева, Е.Е. Формализм в Логико-философском трактате Л.Витгенштейна / Е.Е. Медведева // Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. — 2013. — Т. 18. — Вып. 5. — С. 26052607. (0,3 п.л.)

3. Медведева, Е.Е. Социальная философия математики Витгенштейна / Е.Е. Медведева // Вестник Тамбовского университета. Серия: Гуманитарные науки. - 2013. - Вып. 11 (127). - С. 239-244. (0, 5 п.л.)

4. Медведева, Е.Е. Социальная основа философии языка позднего Витгенштейна / Е.Е. Медведева // Вестник Тамбовского университета. Серия: Гуманитарные науки. - 2013. - Вып. 12 (128). - С. 363-369. (0,7 п.л.)

5. Медведева, Е.Е. Философская проблема обоснования математического знания: от абсолютизма к фаллибилизму / Н.В. Медведев, Е.Е. Медведева // Вестник Тамбовского университета. Серия: Гуманитарные науки. - 2014. - Вып. 8 (136). - С. 20-33. (в соавторстве) (1,0/0,8 п.л.)

6. Медведева, Е.Е. Мысленные эксперименты Людвига Витгенштейна / Е.Е. Медведева // Организационные, информационные и управленческие вопросы стимулирования молодежной инновационной активности в системе высшего профессионального образования: сборник трудов всероссийской научной школы; Томский политехнический университет. - Томск: Изд-во ООО «СПБ Графике», 2011. - С. 41-42. (0,15 п.л.)

7. Медведева, Е.Е. Л. Витгенштейн о «следовании правилу» / Е.Е. Медведева// Философские традиции и современность. -2012. -№ 1. - С. 56-65. (0, 6 п.л.)

8. Медведева, Е.Е. Ранняя философия математики Витгенштейна / Е.Е. Медведева // Философские традиции и современность. - 2013. - № 1 (3). - С.48-55. (0, 5 п.л.)

9. Медведева, Е.Е. Витгенштейн о природе математической достоверности / Е.Е. Медведева // Философия в современном мире: диалог мировоззрений: Материалы VI Российского философского конгресса (Нижний Новгород, 27-30 июня 2012 г.). Т. II. - Н. Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета им. Н.И. Лобачевского, 2012. - С. 101. (0,1 п.л.)

10. Медведева, Е.Е. Витгенштейн versus платонизм в математике / Е.Е. Медведева // Философия математики: актуальные проблемы. Математика и реальность. Тезисы Третьей всероссийской научной конференции; 27-28 сентября 2013 г. - М.: Центр стратегической конъюнктуры, 2013. - С. 140-144. (0,2 п.л.)

11. Медведева, Е.Е. Этические воззрения Людвига Витгенштейна / Е.Е. Медведева // Духовно-нравственная культура как фактор модернизации российского общества XXI века (Третьи Хайкинские чтения): материалы Международной научно-практической конференции 23 ноября 2012 года. - Тамбов: Издательский дом ТГУ им. Г.Р. Державина, 2013. - С. 70-74. (0, 2 п.л.)

12. Медведева, Е.Е. Витгенштейн о статусе математических предложений / Е.Е. Медведева // Философские традиции и современность. - 2014. - № 1 (5). -С. 80-85. (0, 7 п.л.)

13. Медведева, Е.Е. Витгенштейн о соотношении философии и математики / Е.Е. Медведева // Философские традиции и современность. - 2015. - № 1 (7). -

Публикации в научных сборниках, материалы конференций

С. 102-108. (0, 6 п.л.)

Подписано в печать 19.10.2015 г. Формат А5 Бумага офсетная. Печать цифровая.

Тираж 100 Экз. Типография ООО "ПринтСайдАп" 115093, г. Москва, ул. Большая Серпуховская, д.31 к. 11 Тел. 8-495-587-71-31 www.printside.ru