автореферат диссертации по истории, специальность ВАК РФ 07.00.10
диссертация на тему: Из истории метода многоугольника Ньютона

Полный текст автореферата диссертации по теме "Из истории метода многоугольника Ньютона"

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ИСТОРИИ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ И ТЕХНИКИ

На правах рукописи Буторина Марика Геннадьевна

л

ИЗ ИСТОРИИ МЕТОДА МНОГОУГОЛЬНИКА НЬЮТОНА

07.00.10 - история науки и техники

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата фияико-уатематических науж

Москва - 1992

Работа выполнена в кабинете истории и методологии математики и механики механико-математического факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор И.Г. Башмакова.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

проф. С.М. Воронин, доктор физико-математических наук, в.н.с. М.й. Монастырский.

Ведущая организация - Московский педагогический государственный университет им. В.И. Лени-

Защита состоится _ 1992г.

в /$ часов на заседании специализированного совета К 003.11.0-по присуждению ученой степени, кандидата физико-математических наук в Институте истории естествознания и техники РАК по адресу: I030I2, Москва, X-I2, Старопанский пер., 1/5.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке института.

Автореферат разослан " ^ " СЬ-О^/О^СС. 1992 г#

Ученый секретарь специализированного совета Б.М. Мариничев

Актуальность теш исследования. Метод многоугольника Ньютона позволяет находить разложения алгебраических функций yfy) » ЗЭД811®1* уравнением вида & »

Qpfa yj - полином, в ряда,' вбЬ'бще говоря, по дробным степеням независимой переменной X '. Члены разложений определяются с помЫцью'выпуклой ломаной, которую называют многоугольником Ньютона.

Метод многоугольника сыграл важную роль в математике ХУ11-- XIX веков. Он был создан Ньютоном в tili веке первоначально-применительно к алгебраическим уравнениям от двух переменных, а затем распространен им на дифференциальные уравнения. В ХУ1П веке этот метод приобрел широкую известность. К нему обращались такие выдающиеся математики, как Б. Тейлор /1685 - 1731/, ' №. Стирлинг /1692 - 1770/, К. Маклорен /1698 - 1746/, Ж.-Л. Лагранж /1736 - 1813/. Особенно плодотворным оказалось использование многоугольника Ньютона в теории алгебраических кривых^ которая в ХУ111 веке переживала бурный расцвет.

В трудах Дк. Стирлинга, Ж.-П. Де Га де Мальва /1712 - 1785/, Г. Крамера /1704 - 1752/ я великого Л. Эйлера /1707 - 1783/ метод многоугольника стал широко применяться дяя изучения особых точек, касательных и бесконечных ветвей алгебраических кривых. XIX век характеризуется тем, что в это время формируется теория функций комплексного переменного. Особую важность приобрело изучение многозначных, в частности, алгебраических функций. Основы теории алгебраических функций заложив* В. Пюизе /1820 - 1883/. Метод многоугольника Ньютона у Пюизе стал одним из основных инструментов исследования таких функций. История дальнейшего развития метода многоугольника в XIX веке связана с именами целого ряда выдающихся ученых, таких как Ш. Врио, К. Лиувилль, К. Гензель, Н.В. ЗЗугаев. Активный интерес к методу игагоугольншса и его обобщению - многограннику Ньютона - сохраняется и в настоящее время.

История многоугольника Ньютона изучена недостаточно. Ряд введений о развитии этого метода имеется в работах А, Брилля и L Нетера, Г. Вилейтнера, А.П. Юшкевича, А.И. Маркушевича» в :борнике d^A^iocze ek* гпсс^Аи^исЬс^б^

■1700-/900 " под редакцией Ж. Дьедонне, а также в некоторых ¡ругих работах. Однако эти сведения изложены конспективно. Наиболее полным исследованием, посвященным применению многоуголь-

г

ника Ньютона в различных областях: математики, является статья Н.Г, Чеботарева "Многоугольник Ньютона и его роль в современном развитии математики" /1943/. Но и в ней пропущены многие интересные факты из истории этого метода, т.к. с рядом книг Чеботарев не мог ознакомиться. Кроме того уже в 70-е годы XI века Д. Уайтсайд издал собрание рукописей и черновиков Ньютона, что позволило по-новому взглянуть на творчество Ньютона в целом.

Гаки/ образом тема выполненного историко-матемагического исследования является весьма актуальной.

Цель работы. I. Провести анализ всех имеющихся сомнений Ньютона, где трактуется метод многоугольника.

2. Проследить историю развития этого метода и применения его в теории алгебраических кривых в ХУШ веке.

3. Показать роль метода многоугольника при создании теории алгебраических функций е XIX веке, а также рассмотреть обобщения его русскими математиками.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Они состоят в следующем:

1. В историко-математической литературе до сих лор отсутствовал анализ всех сочинений Ньютона, где трактуется метод многоугольника. В диссертации проведен такой анализ и показано следующее. Идея метода многоугольника высказана Ньютоном г- 1669 году в работе ЛпОЛ^а Сии^и^Сйпигп- пит1?чо 1х.Чгнс-И&илк 1нр-п1-сОЛ /"Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов"/. Хотя правило многоугольника здесь явно не сформулировано, примеры Ньютона позволяют сделать вывод о том, что он уже применял этот метод.

В диссертации исследовано также знаменитое сочинение ИТАг, гке(&с>о1 ^Ь/хСот ОгшЯм^шЫ 4ехсЦ/"Метод флюксий и бесконечных рядов", 1670 - 1671/, в котором Ньютон впервые излагает аналитическое и геометрическое правила многоугольника для алгебраических уравнений от двух переменных. Показано, что геометрическое правило действительно поясняет аналитическое и представляет собой способ построения первой стороны многоугольника.

Кроме, того дан анализ писем Ньютона к Валлису от 1692 года,

ствует построению только первой стороны многоугольника. Геометрическое правило у Ньютона в данном случае отсутствует.

2. До настоящего момента в историко-математической литературе, посвященной методу многоугольника, не было удовлетворительного анализа и 'РШ&осСиА /"Мзтод приращений", 1715/ Тейлора. В диссертации изучено гто сочинение и установлено, что Тейлор впервые распространил геометрическое правило многоугольника на дифференциальные уравнения того же вида, что и у Ньютона, причем строил многоугольник полностью. Высказано предположение, что это собственная идея Тейлора. Установлено также, что Тейлор доказал, что показатели возможных первых членов искомых разложений определяются наклоном сторон многоугольника.

3. Ранее в историко-математической литературе о многоугольнике Ньютона имя В.Я. С^авесанда не упоминалось. В диссертации показано, что Гравесанд изложил и прокомментировал геометрическое правило многоугольника в книге ,и-тыя-

¿а&А ¿йтЫа!' /"Элементы универсальной математики", 1727/. Благодаря его книге это правило получило более широкое распространение.

4. До сих пор не была ясна роль метода многоугольника в теории алгебраических кривых в ХУ1П веке. Б этой связи упоминались имена Дж. Стирлинга, Ж.-П. Де Га де Мальва и Г. Крамера, но их работы не были достаточно освещены. Отсутствовало также сравнение их результатов. В диссертации рассмотрено сочинение Дж. Стирлинга п аСслЛОи. "Ы^&СС (Гссйи^А

/"Ньютоновы кривые третьего порядка", 1717/ и показано, как именно Стирлинг начал применять метод многоугольника при изучении бесконечных ветвей и асимптот алгебраических кривых.

5. Ж.-П. Де Га де Мальв в книге ^бй^и ¿¿г

М- ТУелаХ-чбы'I"Применение анализа Декарта"/ , изданной в 1740 году, стал использовать метод многоугольника более широко. Установлено, что посредством этого метода он не только получил новые результаты относительно бесконечных ветвей и асимптот алгебраических кривых, но и впервыо исследовал их особые точки и касательные. Убеждение Де Га в гом, что при исследовании кривых

достаточно одного только первого члена разложения

пеням X , было ошибочным.

по сте-

6. Изучен фундаментальный труд Г. Крамера

в анализ алгебраических кривых", 1750/. Показано, что в этом сочинении метод многоугольника стал основным инструментом исследования алгебраических кривых. Г. Крамер развил идеи Де Га, указал на его ошибку ж получил ряд новых результатов. 3 диссерта- ( ции приведена сравнительная таблица результатов Де Га де Мальва, Крамера и Эйлера.

7. Яытует точка,зрения, что Л. Эйлер не применял метод многоугольника. Однако ато не так. В диссертации исследовано сочи- • нение Л, СЩ^Шгко&Л

/третья часть "Дифференциального исчисления"/, которое создавалось около 1750 года, но увидело свет лишь в 1862 году. Показано, что Эйлер применил метод многоугольника в теории алгебраических кривых. Он детально рассмотрел, как соотносится наклон стороны многоугольника Ньютона и расположение касательных к кривой в точках с абсциссой У.^-0 или же асимптотой этой кривой. Асимптоты кривой ^ ^^(х) при Х-**"^ Эйлер считал касательными в бесконечно удаленной точке.

8. Весьма■плодотворным стало применение многоугольника Ньютона при создании теории алгебраических функций в XIX веке. Основы этой теории затожил В. Пюизе. До недавнего времени работы Пюизе оставались в тени. А.И. Маркушевич дал юс историко-ма-тематический анализ, но как именно Пюизе применял метод многоугольника, Маркушевич не разбирал. Б диссертации рассмотрена / статья Пеизо „ -Шх <&А йЗ^-гсрг/гу ' /"Исследования об алгебраических функциях", 1850/ и установлено, что он исследовал поведение алгебраических функций в окрестности их особых точек, .разлагая эти функции в ряда по степеням независимой переменной методом многоугольника. Он показал, что если функция задана неприводимым алгебраическим уравнением от ^ •£: .степени ,относительно , .то этим методом получаются все № искомых разложений. Пюизе доказал, что функции ><<¡^мпредставленные в окрестности точки платный/разложениями, образуют циркулярные системы. Функции каждой такой системы можно занумеровать так, что при обходе точкой В достаточно малой окружности с центром с? —О- значения этих функций претерпевают циклическую перестановку. Кроме того в дис-.сергации рассмотрено доказательство Пюизе сходимости разложений, полученных методом многоугольника.

9. Рассмотрены обобщения метода многоугольника русскими математиками Н.В. Бугаевым и'Д.М. Синцовым. Показано, что Бугаев

не только обобщил его на систему двух алгебраических уравнений с тремя неизвестными, но и применил для разложения на множители полинома от двух переменных, Бугаев привел свое правило только в аналитической форме, а геометрическую интерпретацию этого правила дал Синцов.

Практическая реализация. Результаты диссертации могут быть использованы:

- для дальнейших исследований в области историк теории функций комплексного переменного и смежных дисциплин;

- при разработке учебников, монографий, учебных пособий по истории и методологии математики;

- при чтении курсов истории математики в университетах и педагогических институтах.

Апробация. Материалы диссертации докладывались:

- на XXXIII и ХХХ1У научных конференциях аспирантов и молодых специалистов в Институте истории естествознания и техники Рос-«лской академии наук в Москве /1991, 1992. гг./;

- на научно-исследовательском семинаре по истории и методологии математики и механики в МГУ Д987 - 1991 гг./.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения, изложенных на 149 страницах малино- ■ писного текста, а также списка литературы из 104 наименований. Содержание работы.

Вгедение состоит из двух частей: исторической и математической. В первой части приведен краткий исторический обзор развития метода многоугольника в ХУЛ - XX веке, дан обзор исгори-ко-математической литературы об этом методе и отмечена актуальность теш диссертации. Далее определена цель работы, перечислены положения, выносимые на защиту, и определена структура работы. Во второй -части содержатся необходимые математические сведения о методе многоугольника Ньютона.

Глава I посвящена истории создания метода многоугольника в трудах Ньютона и первым публикациям этого метода Валлисом. Б ней исследованы все сочинения Ньютона, где им приводится метод многоугольника. я л % / В § I рассмотрена работа Ньютона

Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов", 1669/. Показано, что уже в этой работе автором высказана вдоя метода многоугольника. На

' основании приведенных Ньютоном примеров делается вывод, что Ньютон по существу поставил задачу нахождения разложений функции ^ (У) , заданной алгебраическим уравнение от , в ряда по степеням независимой переменной Л . Он не сформулировал общего правила получения членов таких разложений, но его примеры и пояснения позволили реконструировать схему его действий и прийти к заключению о наличии метода многоугольника уже в атой работе. Показано, что в "Анализе" Ньютон наметил также доказательство сходимости полученных рядов, которое однако нельзя считать строгим.

В § 2 цроанализировано знаменитое сочинение Ньютона „TM ncdhoot qf ф^йиъ c^d ¿^Снги ü-гСи" /"Ме-' тод флюксий и бесконечных рядов", 1670 - 167Е/, в котором впервые приводится четкое правило нахождения первого члена разложений ^ по степеням X . Оно сформулировано в двух формах: аналитической и геометрической. Геометрическое правило представляет собой прием построения одного звена выпуклой ломаной /"многоугольника Ньютона"/, посредством которого и определяется первый член искомых разложений. При этом автор применяет прямоугольную таблицу, получившую впоследствии название "параллелограмма Ньютона". Наш отмечены отличия этого приема от современного и показано, как с его помощью можно пояснить аналитическое правило Ньютона. Креме того нами проакализирова-ны все примера Ньютона.

. В § 3 изучено содержание писем Ньютона к Дейбницу от 1676 года, в которых имеэтея сжатое изложение геометрического правила многоугольника. Затем охарактеризована первая публикация этого цравила в ¡г Д af '/"Алгебре",

1685/ Баллиса. ^

- § 4 носит реферативный характер.'В нем излагаются сведения, найденные С.С. Петровой и опубликованные в совместной статье С£. Петровой и автора наст. дисс. Речь идет о рукописи неоконченной работы НьютонаnOfotfuL. evfwfwbdtüit. q£ /"О вычислении рядов"/, относящейся к IS84 году. Эта рукопись впервые увидела свет лишь в конце XX века, а именно в 19?! году, когда ее опубликовал Д.Т. Уайтсайд. Вплоть до недавнего времени считалось, что Ньютон всегда строил только одну сторону многоугольника. С.С. Петрова показала, что у Ньютона имеется пример, где он построил полный многоугольник. Мы приводим здесь

этот бэжный результат для полноты освещения истории метода многоугольника.

В § 5 рассмотрены письма Ньютона к Валлису от 1692 года, в . которых автор излагает аналитический вариант метода многоугольника применительно к дифференциальным уравнениям определенного ви-. да. Этот вариант был опубликован Валлисом в латинском издании "Алгебры" /1693/. Нами прокомментировано правило Ньютона и покаг-зако, что оно позволяет получить только один из возможных пока-, зателей первого члена искомых разложений ^ по степеням X • Геометрическая интерпретация этого правила у Ньютона отсутствует.

В главе II прослеживается история развития метода многоугольника Ньютона в ХУШ веке. . ,

В § I рассмотрена работа Б. Тейлора # Vyl&noewi шеи-приращений", 1715/. Нами показано, что Тейлор впервые распространил геометрическое правило многоугольника на дифференциальные уравнения. Автор поставил задачу найти .. решения дифференциальных уравнений вида . _

в ввдеуряд6ву,пб'' степеням независимой переменной . Он очень

остроумным образом сумел применить метод многоугольника для отыскания показателей первых членов искомых рядов. При этом он определял все такие показатели, т.е. строил многоугольник Ньютона полностью, а не только одну его сторону, как это делал Ньютон для случая дифференциальных уравнений. Есть основания предполагать, что Тейлор пришел к этой важной идее самостоятельно. Кроме того Тейлор четко разъяснил при помощи чертежа, что показатели первых членов искомых рядов определяются наклоном сторон многоугольника Ньютона. ,

§ 2 посвящен исследованию сочинений Дж. Стирлинга ¡, ^¿Мйй.

-¿¿¡¡-¿¿С оъясисл, A&cft&ntb/iae'/^fomoviom кривые третьго порядка", 1717/ и В.Я. с'гравесанда „ "ТЯсЫЖлм&Ь ustfvexAQ-

zJi&tbt&rtt&J' /"Элементы универсальной математики", 1727/. В историко-наудной литературе содержание первого из них освещено недостаточно, о втором же в связи с методом многоугольника вообще не упоминается. Анализ указанных работ позволяет установить следующее. Стирлинг был знаком с трудами Ньютона, Валлиса и Тейлора. Он рассматривал уравнения от У^ ^ того же типа, что и Тейлор, и искал их решения ^ — (¿ffr) в виде ряда по степеням независимой переменной X • Он изложил метод много-

угольника в аналитической и геометрической форме и сопоставил эти правила друг с другом. Кроме того он впервые применил метод многоугольника дои исследования алгебраических кривых, о чем пойдет речь в главе III.

В.Я. с'гравесанд привел метод многоугольника в общем виде, пригодном как для алгебраических, так и для дифференциальных уравнений, и проиллюстрировал его примерами. В его книге имеются ссылки на Ньютона, Тейлора и Стирлинга.

Оба указанных сочинения приобрели широкую известность и способствовали распространению метода многоугольника.

В § 3 проанализирован и & /"Трактат по алгебре", 1748/ К. Маклорена, в котором по существу были подведены первые итоги развития метода многоугольника в ХУЛ - первой половине ХУ111 века. Наш показано следующее. Маклорен подробно и обстоятельно изложил геометрическое правило многоугольника применительно к алгебраическим уравнениям от двух переменных, пояснил его и проиллюстрировал на примерах. Кроме того он впервые высказал идею, как чисто аналитически можно найти все возможные показатели первого члена искомого ряда. Напомним, что его предшественники, в том числе сам Ньютон, умели находить все такие показатели только посредством геометрического правила. п . В § 4 рассмотрена статья Ж.-Л. Лагранжа 4WI OMCbCZ-

СШ> Зчал-Ьош, С£сша ¿¿¿¿ßtal"

/"О приложении непрерывных дробей в интегральном исчислении", 1776/. В научной литературе долгое время была принята точка зрения, что Ньютону принадлежит только геометрическое правило многоугольника, а аналитический вариант этого правила создал Лагранж. Так уже Лакруа в своем известном "Трактате по дифференциальному и интегральному исчислению" /1797/ называл это правило "способом,Лагранжа". Нами показано, что в действительности аналитическое правило многоугольника применительно к дифференциальным уравнениям берет свое начало от Ньютона, но Ньютон умел аналитически находить только один показатель первых членов разложений. Лагранж впервые четко сформулировал аналитическое .правило для нахождения всех таких разложений. Статья Лагранжа получила широкое распространение.

Глава 1^1 посвящена применению метода многоугольника Ньютона в теории алгебраических кривых в ХУШ веке.

В § I рассматривается работа Дж. Стирлинга „ ol&it&JL

■{¿ъШ ¡"У&ттош кривые третьего

порядка", 1717/, где он впервые стал изучать алгебраические кривые при помощи метода многоугольника. Посредством этого метода он находил асимптоты кривых и получил первые результаты относительно расположения их бесконечных ветвей. Особые точки он' не рассматривал. . »

В § 2 изучена книга Ж.-П. Де Га де Мальва # и^а^Ы ^Сска^и. ск Гилелгсб^л ''/"Применение анализа Декарта", 1740/, з которой автор также исследовал алгебраические кривые при помощи многоугольника Ньютона, но применял его более широко, чем Стирлинг.Де Га преобразовал прямоугольную таблицу /"парал-. лелограмм Ньютона"/ в так называемый "алгебраический треугольник". С помощью алгебраического треугольника он получил правило определения кратности произвольной точки (Р; кривой и нахождения касательных к ней в этой точке. Кроме того он сформулировал правило нахождения асимптот гиперболических или осей параболических ветвей кривой. Наряду с несомненными достоинствами работа Де Га имеет недочеты. Утверждение Де Га о том, что для исследования кривой, заданной алгебраическим уравнением от У^

достаточно одного только первого члена разложения по сте-

пеням X , вообще говоря, ошибочно. Доказательства теорем у Де Га нередко отсутствуют.

В § 3 рассмотрен фундаментальный трактат Г. Крамера /"Введение в анализ алгебраических кривых", 1750/. Показано, что в этом трактате основным инструментом исследования алгебраических кривых является метод многоугольника. Крамер был знаком с книгой Де Га де Мальва, рассмотренной нами в § 2 главы III. Он развил идеи Де Га, более четко оформулировал и доказал его утверждения и нашел ряд новых теорем, В частности, Крамер привел правило нахождения всех точек кривой данной кратности. Он рассмотрел зависимость расположения асимптот гиперболических или осей параболических ветвей кривой от наклона стороны многоугольника к горизонтали. Крамер указал также на ошибку Де Га, о которой шла речь выше. В трактате приведено большое количество примеров иллюстрирующих сформулированные правила.

§ 4 представляет, на наш взгляд, особый интерес. Он посвящен анализу работы Л. Эйлера, которая не была зшзершена. Речь идет о третьей части ^/^¿¿¿uidotu/*^ ¿ÜffevMctLQ'fa

Udiolt" / "Дифференциального исчисления"/. Предположительно она создавалась около 1750 года, но увидела свет лишь в 1862

году в посмертном издании рукописей автора. Наш показано, что Эйлер привел метод многоугольника в форме, близкой к изложению Ньютона. Он детально исследовал соотношение между положением стороны многоугольника относительно горизонтали и наклоном касательных к кривой в ее точках с абсциссой X — О или типом бесконечных ветвей кривей. Он выделил 16 случаев такого положения и свел все результаты в таблицу. Кроме того Эйлер указал, что цри изучении алгебраических крьвых одного только первого члена разложения по степеням X , вообще гово-

ря, недостаточно.

В заключение главы III приведена таблица, где наш сопоставлены результаты Де Га де Ма)шва, Крамера и Эйлера.

Глава ГУ посвящена развитию и обобщению метода многоугольника в XIX веке, а также применению его в теории атгебраичес-ких функций.

В § I и § 2 рассмотрена работа В. Пюизе

¡¿есЛ&чи^Лел,

4игг йл ОЛ^Сёп^и^ "/"Исследования об

алгебраических функциях", 1830/. Автор заложил основы теории алгебраических функций. Эту работу Пюизе анализировал А.И. Мар-кушевич. Он установил, что Пюизе сформулировал понятие алгебраической функции и высказал идею аналитического продолжения ее элемента вдоль некоторого пути, не проходящего через особую точку этой функции. Маркушевич отметил также, что Пюизе исследовал поведение алгебраических функций в окрестности их особых точек методом многоугольника Ньютона, но как именно -Маркушевич не разбирал. Мы показали, как Пюизе доказал теорему о разбиении разложений, полученных методом многоугольника Ньютона, на циклы. Кроме того Пюизе показал, что этим методом получаются все разложения данной алгебраической функции в окрестности ее особой точки. Он впервые доказал также сходимость рядов, получаемых методом многоугольника Ньютона.

В § 3 и § 4 рассматриваются обобщения метода многоугольника Ньютона в трудах русских математиков Н.В. Бугаева и Д.М. Синцова. Они называли этот метод "началом наибольших и наименьших показателей".

В § 3 дается анализ статьи Н.В. Бугаева "Различные применения начала наибольших и наименьших показателей в теории алгебраических функций" /1888/. Установлено, что Бугаев сначала обобщил метод многоугольника на систему двух алгебраических уравнений с тремя неизвестными, а затем применил его для

и

разложения на множители полиномов от двух переменных. Он сформулировал свое правило только в аналитической форме.

Геометрическую интерпретацию правила Бугаева дал Д.М. Син-' цов в своей диссертации /1898/, которая рассмотрена нами в § 4. Его геометрический прием обобщает правило Ньютона и позволяет найти все решения системы двух алгебраических уравнений от трех переменных в виде рядов по возрастающим или убывающим степеням независимой переменной.

ВЫВОДЫ

На основании проведенного исследования можно сделать следующие выводы.

1. Метод многоугольника был создан Ньютоном в 1669 - 1671 годах для нахождения разложений функций {*) , заданных алгебраическим уравнением от Xу ^ , в ряды по степеням независимой переменной X . Автор привел его в двух формах: аналитической и геометрической. Первоначально геометрическое правило поясняло аналитическое и представляло собой способ построения первого звена выпуклой ломаной /"многоугольника Ньютона"/. С его помощью Ньютон определял последовательные члены разложений.

Автор неоднократно возвращался к своему метода', разрабатывая и дополняя его. В 1692 году Ньютон применил этот метсд для решения дифференциальных уравнений вида

Для таких уравнений он сформулировал только аналитическое правило, которое позволяло найти лишь один возможный- показатель очередного члена разложения, соответствующий построению первой стороны многоугольника.

2. Б. Тейлор впервые распространил геометрическое цравило многоугольника на дифференциальные уравнения того же вида, что и у Ньютона. Он искал решения таких уравнений в виде рядов по степеням независимой переменной. Он строил полный многоугольник-Ньютона и определял все возможные показатели первых членов искомых рядов. Есть основания предполагать, что к этой важной идее он пришел сам.

3. Метод многоугольника Ньютона изложили и разъяснили

Дж. Стирлинг и В.Я. с'Гравесанд. Их работы были широко известны современникам и несомненно способствовали распространению этого

метода. Определенный, итог развития метода многоугольника Ньютона в ХУЛ - первой половине ХУ111 века подвел К. Маклорен. Он привел обстоятельный комментарий этого метода.

4. ХУ111 век характеризуется тем, что в это время многоугольник Ньютона был применен к исследованию алгебраических кривых. Идею такого применения впервые высказал Дне. Стирлинг. Посредством метода многоугольника он начал изучать асимптоты и бесконечные ветви алгебраических кривых,

Ж.-П,- Де Га де Мальв стал использовать многоугольник Ньютона более широко. Он сформулировал ряд правил, позволяющих с помощью многоугольника Ньютона не только установить тип ветвей кривой и определить ее асимптоты или оси, но и исследовать особые точки алгебраической кривой. Однако его убеждение в том, что при изучении алгебраических кривых достаточно одного только первого члена разложения ^ по степеням X , было ошибочным.

Г. Крамер развил идеи Де Га де Мальва, указал на его ошибку, уточнил и доказал его правила, а также пришел к ряду новых теорем. Все утвервдения он тщательно разъяснил и проиллюстрировал на большом числе примеров. В его трактате метод многоугольника стал основным инструментом исследования алгебраических кривых.

5. Эйлер приманил метод многоугольника к исследованию алгебраических кривых и получил интересные результаты. Эйлер детально исследовал соотношение между наклоном стороны многоугольника к горизонтали и расположением касательных к кривой в точках кривой с абсциссой У — С , а также типом бесконечных ветвей

. этой кривой. Эйлер заметил и продемонстрировал на примерах, что . при исследовании алгебраической кривой одного только первого члена разложения ^ по степеням У , вообще говоря, недостаточно.

6. Важную роль сыграл метод многоугольника Ньютона при создании теории алгебраических функций в XIX веке. Для исследования таких функций его впервые применил В. Пюизе. Изучая поведение

гал такую функцию в ряда по степеням независимой переменной и использовал при этом метод многоугольника Ньютона. Он показал, что если функция "2/задана неприводимым алгебраическим уравнением ог2£, 2 степени Ш- относительно , то методом много-

в окрестности ее особых точек , он разла-

4Ъ

угольника получается все искомых разложений этой функции в окрестности ее особой точки 2 . Пюизе доказал, что

ветви ^¿/т?), /^и/^) рассматриваемой функции, представ- . ленные в окрестности точки В =¿2- найденными разложениями, разбиваются на циркулярные системы. Кроме того он впервые доказал сходимость этих разложений.

7. Обобщения метода многоугольника были получены русскими математиками Н.В. Ёугаевым и Д.М. Синцовым. Бугаев не только распространил этот метод на систему' двух алгебраических уравнений с тремя неизвестными, но и применил его к разложению на множители многочлена от двух переменных. Он дал свое правило только в аналитической форме. Оригинальную геометрическую ин- ' терпретацию этого правила дал Синцов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Петрова С.С., Булычева М.Г. Из истории метода многоугольника Ньютона // Историко-математические исследования. - М., 1989,- Вып. 31. - С. 38 - 51.

2. Буторина М.Г. Метод многоугольника Ньютона у Брука Тейлора // XXXIII научная конференция аспирантов и молодых специалистов по истории естествознания и техники: Тез. докл. - М., 1991. - С. Э - 10.

3. Буторина М.Г. Метод многоугольника Ньютона у Эйлера // Вопросы истории естествознания и техники. - М., 1992. - J5 2.

4. Буторина М.Г. О применении метода многоугольника Ньютона Ж.-П. Де Га де Мальвом // ХХХ1У научная конференция аспирантов и молодых специалистов по истории естествознания и техники: Тез. докл. - М., I9S2.

5. Буторина М.Г. О ранней истории метода многоугольника Ньютона. 3 печати.