автореферат диссертации по истории, специальность ВАК РФ 07.00.10
диссертация на тему: Учение о правильных многоугольниках в историческом развитии

Оглавление научной работы автор диссертации — кандидата физико-математических наук Прояева, Ирина Владимировна

ВВЕДЕНИЕ .Б

1. ОБЩИЙ ОБЗОР ИСТОРИИ УЧЕНИЯ

О ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКАХ

1.1. Правильные многоугольники в древности

1.2. Правильные многоугольники и число тг.

1.3. Правильные многоугольники в античной науке.

1.4. Подход ученых стран ислама к теории правильных многоугольников.

1.5. Правильные многоугольники в Европе

1.6. Правильный многоугольник как элемент правильного многогранника

1.7. Правильные многоугольники в игровых задачах.

2. РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ПРАВИЛЬНЫХ ФИГУР, ДОПУСКАЮЩИХ ТОЧНОЕ ПОСТРОЕНИЕ

С ПОМОЩЬЮ ЦИРКУЛЯ И ЛИНЕЙКИ

2.1. Правильные треугольники и Шестиугольники.

2.1.1. Древняя Греция.

2.1.2. Восточное средневековье.

2.1.3. Европа.

2.1.4. Правильные треугольники и шестиугольники как элементы многогранника.

2.2. Правильные четырехугольники, восьмиугольники и шестна-дцатиугольники.

2.2.1. Древняя Греция.

2.2.2. Страны ислама.

2.2.3. Европа.

2.2.4. Квадрат как грань куба.

2.3. Правильные пятиугольники, десятиугольники и пятнадцати-угольники. 2.3.1. "Начала* Евклида.

2.3.2. "Альмагест" Птолемея.

2.3.3. Построения правильных пяти- и десятиугольника у Абу-л-Вафы ал-Бузджани.

2.3.4. Правильные пяти- и десятиугольники в работах других средневековых математиков.

2.3.5. Правильные пяти- и десятиугольники в трудах европейских ученых.

2.3.6. Приближенные построения правильного пятиугольника А. Дюрера и Леонардо да Винчи.

2.3.7. Правильные пяти- и десятиугольники в природе, архитектуре и искусстве.

2.3.8. Правильный пятиугольник как грань многогранника

3. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ, НЕ ДОПУСКАЮЩИХ ТОЧНОГО ПОСТРОЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ЦИРКУЛЯ И ЛИНЕЙКИ 67 3.1. Задача о построении правильного семиугольника.

3.1.1. Построение правильного семиугольника у Архимеда

3.1.2. Построения правильного семиугольника с помощью конических сечений на средневековом Востоке.

3.1.3. Приближенное построение правильного семиугольника Абу-л-Вафы ал-Бузджани.

3.1.4. Построение правильного семиугольника в Европе

3.2. Построение правильного девятиугольника.

3.2.1. Построения правильного девятиугольника в работах арабских ученых ;.

3.2.2. Вычисление стороны правильного девятиугольника на средневековом Востоке.8,

3.2.3. Приближенные построения правильного девятиугольника в эпоху Возрождения

3.3. Построение правильных одиннадцатиугольников и тринадца-тиугольников.

4. УЧЕНИЕ О ДЕЛЕНИИ ОКРУЖНОСТИ НА РАВНЫЕ ЧАСТИ И ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ СВЯЗАННЫХ С НИМ ИДЕЙ (Х1Х-ХХ ВВ.)

4.1. Теория Гаусса деления окружности на п равных частей

4.2. Дальнейшее развитие теории Гаусса деления окружности на равные части.

4.3. Вклад русских математиков в теорию деления окружности на равные части.

4.4. Деление окружности на равные части с помощью различных геометрических инструментов.

4.5. Деление окружности на равные части в неевклидовых геометриях.

4.6. Разбиение пространства правильными телами.

Введение диссертации2000 год, автореферат по истории, Прояева, Ирина Владимировна

Свое начало учение о правильных многоугольниках ведет из глубокой древности. В орнаментах, обнаруженных археологами, часто встречаются такие фигуры, в том числе, вписанные в окружность. Но если древние художники создавали орнаменты без всякой научной теории, то позднее правильные многоугольники стали предметом внимательного изучения. Построение этих фигур интересовало и ученых, и практиков — представителей искусства и различных ремесленных профессий.

В Древней Греции учение о правильных многоугольниках превратилось в строгую математическую теорию. Задача о построении правильных многоугольников решалась с использованием циркуля и линейки. Евклид (III в. до н.э.) в "Началах" [39] изложил правила построения правильных n-угольников для п — 3,4,5,6,10, и дал метод получения правильного 2п-угольника из данного п-угольника.

Однако для большинства п точное построение правильного n-угольника с помощью циркуля и линейки найти не удавалось. Архимед (ок. 287 — 212 гг. до н. э.) в трактате "Книга о построении круга, разделенного на семь равных частей" [7, с.401-416] дал построение с помощью циркуля, линейки и, вероятнее всего, конических сечений правильного семиугольника, вызвавшее позднее большой интерес у ученых средневекового Ближнего и Среднего Востока.

Древнегреческими математиками делались попытки построить правильные многоугольники приближенно. Герон Александрийский (I в.) вычислил длины сторон правильных многоугольников, не допускающих точного построения [101, т.1, с.335-338].

Сочинения арабских ученых имеются в рукописях, которые находятся в хранилищах разных стран, но исследованы они далеко не полностью. Только недавно переведены и опубликованы многие работы восточных математиков, трактующие вопрос о правильных многоугольниках. Оказалось, что к таким задачам в своих работах обращались самые выдающиеся арабские ученые, в том числе Абу-л-Вафа ал-Бузджани, ас-Сагани, ал-Кухи, ас-Сиджизи и многие другие.

Мы проанализируем указанные работы с тем, чтобы показать роль их авторов в развитии этого геометрического учения. Нередко историки науки недооценивают ее. Например, Б.И. Аргунов и М.Б. Балк утверждают: "Средневековье мало дало в области развития конструктивной геометрии, хотя ею занимались многие математики этого времени." [6, с.6]. рпровержением этому служит целый ряд сочинений арабских ученых о точном построении правильных семиугольников и девятиугольников — задачах, с которыми древнегреческие математики не справились. Хотя средневековые восточные ученые использовали теорию конических сечений, разработанную в Древней Греции, но применение ее к задачам о правильных многоугольниках в их работах встречается впервые.

Целый ряд методов построения правильных многоугольников предложили великие ученые эпохи Возрождения Альбрехт Дюрер (1471-3528) и Леонардо да Винчи (1452-1519). Наряду с точными ими были даны и приближенные методы. Создание этих методов они объясняли стремлением облегчить построение правильных фигур художникам и архитекторам, которые не имели больших познаний в математике, но постоянно встречались с необходимостью строить такие фигуры. Подсчеты погрешностей решений Леонардо да Винчи позволяют утверждать, что их вполне можно было использовать в практической деятельности.

Задача о правильных многоугольниках, рассматривавшаяся на протяжении всей своей истории как чисто геометрическая, в общем виде оказалась разрешимой в области алгебры. Только на рубеже XVIII и XIX вв. К.Ф. Гаусс показал, что построение правильного п-угольника с помощью циркуля и линейки возможно лишь в случае, когда п = 2тр1р2.ри где т > 0, р» — простые различные числа вида 22* + 1; к = 0, 1, 2, 3,. Разработав теорию деления круга, он получил один из наиболее глубоких результатов высшей арифметики.

Но история знаменитой задачи древности в геометрии на этом не оборвалась. После решения К.Ф. Гауссом задачи деления окружности на п равных частей возникли новые подходы к этому вопросу: упрощение полученных решений, отыскание новых точных и приближенных способов решения, перенос задачи в неевклидовы геометрии. В результате дальнейших исследований был получен еще ряд интересных результатов и оригинальных построений правильных многоугольников.

Актуальность темы исследования определяется тем, что математические результаты и методы, полученные при решении задачи о построении различных правильных многоугольниках на протяжении многих веков стимулировали развитие и становление таких математических дисциплин, как алгебра, геометрия и теория чисел.

Цель работы — создать целостную картину развития учения о правильных многоугольниках от древнейших времен до XIX в. Для достижения этой цели решаются следующие задачи:

- исследовать истоки учения о правильных многоугольниках;

- дать обзор результатов, полученных в решении задачи о правильных многоугольниках древнегреческими учеными;

- исследовать все имеющиеся переводы трудов средневековых восточных ученых по вопросу о построении правильных многоугольников;

- упорядочить отрывочные сведения, разбросанные в обширной литературе по рассматриваемой проблеме в трудах европейских ученых ХШ-ХУШ вв.;

- выявить внутренние связи задач о правильных многоугольниках с другими математическими проблемами, решавшимися в ту или иную эпоху;

- выделить разделы математики, в которых нашло применение учение о правильных многоугольниках.

Методы исследования, использованные в работе:

- историко-научный анализ оригинальных работ с привлечением методов современной алгебры и геометрии;

Научная новизна работы. Основные результаты диссертации являются новыми. До настоящего времени не было работ, содержащих общий обзор поставленной проблемы и освещающих вклад математикой различных эпох в развитие учения о правильных многоугольниках.

Практическая ценность. Результаты диссертаций носят теоретический характер. Они могут быть использованы в исследованиях по истории математики, а также в преподавательской практике — в школьном курсе геометрии, при чтении спецкурсов и проведении спецсеминаров по истории математики, во вводных лекциях по высшей математике, а также при рассмотрении отдельных вопросов конструктивной геометрии.

Содержание работы. Диссертация состоит из четырех глав.

В первой главе излагаются общие сведения о возникновении и развитии учения о правильных многоугольниках. Приводятся краткие данные о математиках разных эпох, внесших вклад в решение отдельных вопросов этого учения. Дается общий обзор литературы, относящейся к теме исследования.

Особое внимание уделено работам, посвященным наименее изученному периоду — восточному средневековью. Среди них важное место занимают работы голландского ученого Я.П. Хогендайка, который вперйые обнародовал тексты ряда ранее неизвестных арабских трактатов и, тем самым, сообщил много новых фактов, существенно дополняющих представления об истории развития теории правильных многоугольников.

Вторая глава диссертации посвящена теории правильных многоугольников, допускающих точное построение с помощью циркуля и линейки, а третья — теории правильных многоугольников, не допускающих такого построения.

В каждой из этих глав сначала многоугольник выступает как объект самостоятельного изучения: описываются интересные свойства фигур, разные способы их построения, характеризуется область применения правильных фигур. Результаты изучаются в хронологическом порядке. Сначала освещается сделанное древнегреческими учеными для решения задачи о правильных многоугольниках, затем дается оценка вклада арабских ученых в развитие вопроса и, наконец, приводятся результаты, полученные европейскими математиками.

В последней части каждого параграфа главы соответствующий многоугольник рассматривается как элемент правильного многогранника.

В четвертой главе изложены основные результаты, прлученные в решении задачи о делении окружности на равные части в XIX в. Отмечены заслуги в разработке теории правильных многоугольников как ученых западных стран, так и вклад русских и советских математиков.

РЛАВА 1 •

ОБЩИЙ ОБЗОР ИСТОРИИ УЧЕНИЯ О ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКАХ

Возникшая в глубокой древности задача о построении правильных многоугольников, по словам профессора А.Я. Хинчина, является одной из "наиболее интересных и поучительных во всей истории математики" [89, с.2]. Многочисленные попытки решения привели к ряду глубоких результатов, относящихся к геометрии и теории чисел.

История задачи неразрывно связана с делением окружности на равные части. Арабский ученый Абу-л-Вафа ал-Бузджани (940-988) отмечал, что "ремесленники строят фигуры, вписанные в окружность, путем деления окружностей на сколько угодно равных частей" [51, с.76]. Действительно, если окружность разделена на п равных частей, то последовательное соединение точек деления приводит к построению правильного п-угольника. Верно и обратное: если построен правильный п-угольник, то легко определяется центр описанной около него окружности.

Таким образом, задачу о построении правильного многоугольника можно рассматривать как задачу о делении окружности на соответствующее число равных частей.

Заключение научной работыдиссертация на тему "Учение о правильных многоугольниках в историческом развитии"

ВЫВОДЫ

Проделанная работа позволяет сделать следующие выводы:

-1251. В работе сделана попытка обобщить и проанализировать факты, касающиеся развития учения о правильных многоугольниках.

2. В работе показано, что средневековые учёные стран ислама (Абу-л-Вафа ал-Бузджани, ал-Кухи, ас-Сагани, ас-Сиджизи, Ибн ал-Хайсам и др.) существенно дополнили учение о правильных многоугольниках древнегреческих авторов, разработав геометрические, точные и приближенные, а также вычислительные способы решения задачи о правильных фигурах. В частности, они широко применили теорию конических сечений для построения правильных многоугольников, не допускающих точного построения с помощью циркуля и линейки.

3. В работе показано, что трудности, связанные с точным построением правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки, побудили математиков как восточного, так и европейского средневековья к разработке целого ряда приближённых методов построения.

4. Показано, что возникшая как чисто геометрическая задача о правильных многоугольниках нашла выходы в другие области математики. В частности, ее окончательное решение, данное К.Ф. Гауссом, дало начало теориям, оказавшим большое влияние на развитие алгебры, теории чисел и геометрии.

5. В работе обращено внимание на результаты, полученные в теории правильных многоугольников в XIX в. (современные точные и приближенные построения правильных многоугольников с помощью циркуля и линейки, построения правильных многоугольников различными инструментами, построения правильных многоугольников в неевклидовых геометриях).

6. В работе впервые представлены и проанализированы фрагменты работ Е.С. Фёдорова и В. Я. Буняковского по рассматриваемому вопросу. N

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рассматриваемая тема — история учения о правильных многоугольниках или деления окружности на некоторое число равных частей — затрагивает самые разнохарактерные вопросы, — от простых геометрических до серьезных вопросов алгебры. Чтобы упорядочить достаточно большой материал, прежде всего, потребовалась схема, позволяющая отразить особенности проблемы и дать общий обзор возникающих вопросов.

Наша схема (см. табл. 1) иллюстрирует историю решения задачи о построении правильных п-угольников для каждого конкретного п, начиная с п = 3. В каждом случае прослеживается развитие методов решения от первых древних простых построений до результатов, полученных в XIX в.

Схема показывает, что правильные многоугольники возникли за долго до нашей эры в связи с практической деятельностью человека. На этой основе в школе Пифагора зарождается теория правильных многоугольников, предполагавшая, что построение этих фигур производится с помощью циркуля и линейки. Но уже древнегреческим ученым было ясно, что такое построение может быть проведено не всегда. Задача построения правильного п-угольника для них была равносильна задаче деления окружности на п равных частей.

Рассмотрим построенную схему для конкретного п.

1) п = 3, 6. Благодаря простоте построений и особым свойствам, правильные треугольники и шестиугольники всегда занимали особое место в теоретических и практических работах. Евклид в "Началах" дал построения с помощью циркуля и линейки этих фигур, которые стали традиционными. Правильные шестиугольники были привлечены к решению задачи о квадратуре круга (Гиппократ Хиосский).

Правильные треугольники и шестиугольники (как и другие правильные фигуры) оказались необходимыми античным ученым в качестве вспомогательного средства для решения астрономических задач ("Альмагест" Птолемея). Их результаты способствовали развитию тригонометрии. Значения сторон правильных многоугольников вычисляли для составления тригонометрических таблиц.

Уже в Древней Греции было известно, что правильными треугольниками, квадратами и правильными шестиугольниками можно заполнить плоскость.

Правильный шестиугольник явился предметом специального изучения в трактате Келлера, сыгравшем важную роль в истории теоретической кристаллографии. В этой работе было впервые показано, что кристаллы подчиняются законам геометрии.

Среди кристаллических форм в природе встречаются правильные многогранники, которые были известны еще Платону.

2) п = 4, 8. Большой материал по этому вопросу дает возможность заключить, что квадрат и правильный восьмиугольник имели в истории математики важное теоретическое и практическое значение.

Вписывание квадрата в окружность связано с задачей квадратуры круга. Многие ученые начинали свои попытки найти длину окружности и площадь круга,т.е. определить точное значение тг, с построения этой фигуры, что послужило одной из причин создания учёными разных веков целого ряда разнообразных интересных методов построения квадрата.

Правильные четырех- и восьмиугольники сыграли большую роль в архитектуре. Они послужили основой, на которой зодчие разных времён и народов создавали планы сооружений различных архитектурных стилей.

Квадрат является гранью куба. Платон приписывал форму куба простейшим элементам земли, считая, что из всех многогранников он имеет наиболее твёрдые основания. Древние знали, что с помощью одних кубов можно целиком заполнить пространство. Оказалось, что куб — единственный правильный многогранник, обладающий этим свойством.

3) п = 5, 1Q, 15. Задача о построении правильного пятиугольника занимает особое место в математике с древних времён. Она пользовалась популярностью и в другой формулировке: разделить окружность на пять равных частей.

Звёздчатому пятиугольнику или пентаграмме, впервые обнаруженному при par скопках Древнего Вавилона, издавна придавалось мистическое значение.

Построение правильных пятиугольников тесно связано с задачей о золотом сечении, которая привлекала особое внимание учёных разных веков.

К решению задачи о правильном пятиугольнике подходили как с геометрической точки зрения (построение с помощью пересечения некоторых семейств кривыхпрямых, окружностей, конических сечений), так и с вычислительно-алгебраической (нахождение решения соответствующего квадратного уравнения). Второй подход получил распространение у арабских математиков (Абу Камил ал-Мисри).

Учёные эпохи Возрождения Альбрехт Дюрер и Леонардо да Винчи предположили приближённое построение правильного пятиугольника с помощью линейки и циркуля постоянного раствора для нужд художников и ремесленников.

Правильный пятиугольник часто встречается в природе. Среди кристаллов эта фигура не обнаружена, и очень редко она встречается в строительстве. Как составная часть орнаментов правильный пятиугольник широко используется в архитектуре, живописи, в произведениях гончаров и мастеров-ювелиров.

Двенадцать правильных выпуклых пятиугольников составляют пространственное тело-додекаэдр, геометрия которого связана с "золотым " прямоугольником, игравшим важную роль в математике и архитектуре.

4) В случае п = 7, 9, 11, 13 построить правильный п-угольник точно с помощью циркуля и линейки невозможно. Поэтому уже древние греки стали заниматься получением приближённых способов построения этих фигур.

Для п = 7 они свели задачу к кубическому уравнению, решить которое геометрически можно только с помощью конических сечений. Деление окружности на семь равных частей, предложенное Архимедом и широко использовавшееся математиками последующих веков, основано на делении отрезка В А точками К и О в таком отношении, чтобы имели место равенства АВ • К В = О А2 и • АК = К В2. Точки К а О могут быть найдены точно только с помощью конических сечений, чего не использовал Архимед в своём построении.

Различные способы точного решения задачи о построении правильного семиугольника на основе теории конических сечений были предложены в трудах целого ряда средневековых арабских математиков (ас-Сагани, ал-Кухи, ас-Сиджизи, Ибн ал-Хайсам, Абу-л-Джуд и др.). Их построения отличаются друг от друга в большинстве случаев методом нахождения точек, которые делят отрезок в заданном отношении. Стремясь упростить построение, арабские учёные использовали разные комбинации конических сечений.

В восточных трактатах были найдены и приближённые построения семиугольника (Абу-л-Вафа ал-Бузджани). Появление такого рода построений объясняется необходимостью использования в практике простых и удобных построений, для которых точность не является главным требованием.

Альбрехт Дюрер разработал удобный и приближённый метод решения задачи: в качестве стороны правильного вписанного семиугольника он предложил взять половину стороны равностороннего треугольника, вписанного в окружность.

5) п = 9. Построение правильного девятиугольника или деление окружности на девять равных частей вызывало большой интерес у учёных разных времён, в том числе и у математиков средневекового Востока. Некоторые арабские сочинения содержат оригинальные решения этой задачи, в основе большинства которых лежит идея трисекции угла или дуги. Для деления угла на три равные части восточные математики применяли методы, как заимствованные у греческих геометров, так и свои собственные, основанные на теории конических сечений.

Арабским математикам также было известно, что в алгебре задача построения правильного девятиугольника сводится к кубическому уравнению (равнозначность задач показал Абу-л-Джуд ибн ал-Лайс). Ими же были предложены различные способы вычисления стороны правильного девятиугольника в связи с задачей нахождения значения sin Io необходимого для астрономических подсчетов.

В эпоху Возрождения оригинальные способы приближённого построения правильного девятиугольника были предложены Альбрехтом Дюрером и Леонардо да Винчи. Эта задача интересовала их прежде всего как художников.

6) п = 11, 13. Приближёное построение правильных многоугольников с одиннадцатью и тринадцатью сторонами было дано А. Дюрером.

7) В конце XVIII — начале XIX вв. К. Ф. Гаусс доказал, что с помощью циркуля и линейки задача деления окружности на п равных частей или построения правильных n-угольников разрешима лишь при п = 2mpip2 ■••Ри гДе га > 0, p¿ (¿ = 1,2,. I)) — простые различные числа вида 22* + 1 (к = О,1,2,.). Теория деления круга подробно изложена Гауссом в седьмом разделе "Арифметических исследований".

Список научной литературыПрояева, Ирина Владимировна, диссертация по теме "История науки и техники"

1. Абу-л-Вафа ал-Бузджани. Книга о том, что необходимо ремесленнику из геометрических построений / Пер. и примеч. С.А. Красновой // Физико-математические науки в странах Востока. М.: Наука, 1966. Вып.1 (1.). С.56-140.

2. Адлер А. Теория геометрических построений / Пер. Г.М. Фихтенгольца. М., 1940.

3. Альберти Леон Баттиста. Десять книг о зодчестве / Пер. В.П. Зубова. М.: Йзд-во Всесоюзн. акад. архитектуры, 1935.

4. Аничков Д.С. Теоретическая и практическая геометрия. М., 1870.

5. Аполлоний Пергский. Конические сечения / Пер. Н. Ягодинского // Известия Северо-Кавказского государственного университета. Ростов-на-Дону, 1928. Т.З (15). С. 130-152.

6. Аргунов Б,И., Балк М.В. Геометрические построения на плоскости. М., 1955.

7. Архимед. Сочинения. М.: Гос. изд-во физ-мат. литературы, 1962.

8. Бану Муса. Книга измерения фигур // йсторико-математические исследования. М., 1965. Вып. 16. С.389-417.

9. Барбаро Даниеле. Десять книг об архитектуре Витрувия с комментариями Д. Барбаро / Пер. А.й. Бенедиктова, В.П. Зубова и Ф.А. Петровского. Вступит, статья и коммент. В.П. Зубова. М.: Изд-во Всесоюзн. акад. архитектуры, 1938.

10. Баситханов З.Б. Способы построения некоторых гирихов в памятниках IV -XVII вв. //Из истории искусства великого города. К 250-летию Самарканда.

11. Ташкент: Изд-во лит. и искусства им. Г. Гуляма, 1972.

12. Башмакова И.Г. Лекции по истории математики в Древней Греции // Историко-математические исследования. М., 1958. Вып.XIС.225-438.

13. Белозеров С.Е. Пять знаменитых задач древности. Издательство Ростовского университета, 1975.

14. Березкина Э.И. Математика Древнего Китая. М.: Наука. 1980.

15. Бируни Абу-Райхан. Канон Мае'уда // Избранные произведения. Ташкент: Фан, 1973-76. Т.5. 4.1-2.

16. Ал-Бируни Абу-р-Райхан Мухаммед ибн Ахмед. Собрание сведений для познания драгоценностей / Пер. A.M. Беленицкого. Л., 1963.

17. Ал-Бируни. Трактат об определении хорд в круге при помощи ломаной линии, вписанной в него / Перевод С. А. Красновой и Л. А. Карповой //Из истории науки и техники в странах Востока. М., 1963. Вып.Ш. С.93-147.

18. Булатов М.С. Геометрическая гармонизация в архитектуре Средней Азии IX-XV вв. М.: Наука, 1978.

19. Буняковский В.Я. О правильных многоугольниках, вписанных и описанных около круга // Сочинения В.Я. Буняковского, 1838. Т.4. С.1-13.

20. Ван дер Варден Б.Л. Пробуждающаяся наука. М.: Физматгиз, 1959.

21. Ващенко-Захарченко М.Е. Исторический очерк развития геометрии. Киев, 1883. Т.1.

22. Вейль Г. Симметрия / под ред. Б. А. Розенфельда. М.: Наука, 1968.

23. Веселовский И.Н. Комментарии к работе Архимеда "Книга о построении круга, разделенного на семь равных частей" // Архимед. Сочинения. М., 1962. С.614-617.

24. Витрувий Поллион Марк. Десять книг об архитектуре. М., 1936.

25. Володарский А.И. Ариабхатта (К 1500-летию со дня рождения). М., 1977.

26. Володарский А.И. Очерки истории средневековой индийской математики. М., 1977.

27. Волошинов A.B. Математика и искусство. М.: Просвещение, 1992.

28. Воронец A.M. Геометрия циркуля. М.: Гостехиздат, 1934.

29. Гагге К. Построение правильного семнадцатиугольника // Вестник опытной физики и элементарной математики. 1911. N 536.

30. Граве Д.А. Невозможные задачи и их роль в математике // Граве Д.А. Энциклопедия математики (очерк её современного положения). Киев. 1912. 0.5-44.

31. Гаусс К.Ф. Пояснения возможности построения семнадцатиугольника // йсторико-математические исследования М., 1976. Вып.XXI, С.285-291.

32. Гаусс К.Ф. Труды по теории чисел / Под ред. И. М. Виноградова. М.: Изд-во АН СССР, 1956.

33. Гика М. Эстетика пропорции в природе и искусстве. М., 1936.

34. Гильберт Д. Избранные труды. М., 1998. Т.2.

35. Гюйгенс X. О найденной величине круга // Ф. Рудио. 0 квадратуре круга. М.-Л.: Гостехтеориздат, 1934.

36. Данилов Ю.А. И. Кеплер и его "Гармония мира" // Узоры симметрии / Под ред. Сенешаль, Дж. Флекса. М.: Мир, 1980. С.256-259.

37. Делоне Б.Н. Работы Гаусса по теории чисел // Карл Фридрих Гаусс (К 100-летию со дня смерти) / Под ред. акад. 1. М. Виноградова. Мл йзд-во АН СССР, 1956. С.13-112.

38. Доморяд А.П. Математические игры и развлечения. М.: Гос. изд-во физ-мат. лит-ры, 1961.

39. Дюрер А. Из трактата "Руководство к измерению" / Перевод и коммент. Ц.Г. Нессельштраус // Дюрер А. Дневники, письма, трактаты. Л.-М.: Искусство, 1957. Т.2. С.41-96.

40. Евклид. Начала / Перевод и коммент. Д. Д. Мордухай-Болтовского, при ред. участии М.Я. Выгодского и И.Н. Веселовского. М.-Л.: Гостехтеориздат, 1948. Т. 1-3.

41. Зверкина Г.А., Суфиярова И.И. О методах приближения длины окружности периметрами правильных многоугольников // Историко-математические исследования. М., 1997. Вып.2(37). С.237-262.

42. Зетель С.й. Геометрия линейки и геометрия циркуля. Учпедгиз, 1957.42. йбн ал-Хайсам. Трактаты о зажигательных зеркалах // йсторико-астрономические исследования. М., 1980. Вып.15. С.305-338.

43. Ибн Синан. Книга о построении трёх (конических) сечений // Историко-математические исследования. М., 1965. Вып. 16. С.427-446.

44. История математики с древнейших времён до начала XIX столетия в трёх томах / Под ред. А.П. Юшкевича. М., 1970. Т.1,2. 1973. Т.З.

45. Каган В.Ф. Основания геометрии. М.-Л.: Гос. изд-во технико-теоретич. литры, 1949. Т.1.

46. Кордемский Б. А. Деление окружности // Математика в школе. 1953. N 1. С.50-51.

47. Ал-Каши. Трактат об окружности // Историко-математические исследования. М., 1954. Вып.7. С.327-379.

48. Кеплер Иоганн. О шестиугольных снежинках / Перевод Ю. А. Данилова. М.: Наука, 1982.

49. Кеплер Иоганн. Стереометрия винных бочек. М.—Л.: Гостехтеориздат, 1935.

50. Конвей Дж., Слоэн Н. Упаковки шаров, решетки и группы. М.: Мир, 1990. Т. 1-2.

51. Краснова С.А. Геометрические построения в трудах учёных средневекового Ближнего и Среднего Востока // Физико-математические науки в странах Востока. М.: Наука, 1966. Вып. 1(4). С.42-141.

52. Краснова С.А. Геометрические построения на Ближнем и Среднем Востоке в средние века. Автореферат дис.канд. физ.-мат. наук. М., 1965,

53. Краснова С.А. Построение конических сечений на средневековом Востоке // История и методология естественных наук. М.: Изд-во МГУ, 1966. Вып.5. С. 140-149.

54. Кымпан Ф. История числа тг. М.: Наука, 1971.

55. Ламберт И.Г. Предварительные сведения для ищущих квадратуру и спрямление круга // Ф. Рудио. О квадратуре круга. М-Л., 1934. С.169-196.

56. Лежандр A.M. Доказательство того, что отношение длины окружности к диаметру и квадрат его суть иррациональные числа // Ф. Рудио. О квадратуре круга. М.-Л., 1934. С.199-210.

57. Математика XIX века. Математическая логика. Алгебра. Теория чисел. Теория вероятностей / Под ред. А.Н. Колмогорова и А.П. Юшкевича. М.: Наука, 1978.

58. Матвиевская Г.П. Альбрехт Дюрер — учёный. М.: Наука, 1987.

59. Матвиевская Г.П., Розенфельд Б.А. Математики и астрономы мусульманского средневековья и их труды (VIII-XVII вв.) / Под. ред. А.П. Юшкевича. М.: Наука, 1983. Т. 1-3.

60. Матвиевская Г.П. Очерки истории тригонометрии. Ташкент: Фан, 1990.

61. Матвиевская Г.П. Учение о числе на средневековом Ближнем и Среднем Востоке. Ташкент: Фан, 1967.

62. Мордухай-Болтовской Д.Д. О геометрических построениях в пространстве Лобачевского // 1п тетопат ЬоЬа18с11е\¥8]ш. Казань, 1927. Т.2. С.67-82.

63. Мордухай-Болтовской Д.Д. О геометрических построениях с помощью линейки, при условии, что дана неизменная дуга круга с центром // Вестник опытной физики и элементарной математики. 1910. N 522.

64. Мордухай-Болтовской Д.Д. О штейнеровских построениях на сфере // Математический сборник. М., 1935. Т.42(5).

65. Нейгебауер 0. Лекции по истории античных математических наук. М.-Л., 1937. Т.1.

66. Нейгебауер 0. Точные науки в древности. М.: Наука, 1968.

67. Несторович Н.М. Геометрические построения в плоскости Лобачевского. М,-Л.: Гостехтеориздат, 1951.

68. Несторович Н.М. Квадратура круга и полисекция угла в четырёхмерном пространстве // Ростовский на Дону научный вестник. 1923. N 2. С.39-42.

69. Ожигова Е.П. Заседание, посвященное К.Ф. Гауссу // Вопросы истории естествознания и техники. М., 1978. Вып.З(бО). С.114.

70. Олыпки Л. История научной литературы на новых языках / Перевод Ф.А. Коган-Бернштейна и П.С. Юшкевича. М.-Л., 1933. Т.1. Литература техники и прикладных наук от средних веков до эпохи Возрождения.

71. Пидоу Д. Геометрия и искусство. М.: Мир, 1979.

72. Проблемы Гильберта / Под общей редакцией П.С. Александрова. М.: Наука, 1969.

73. Прояева Й.В. Построения правильного девятиугольника // Годичная научная конференция Института истории естествознания и техники им С.И. Вавилова 1997. М.: Янус-К, 1997. 4.2. С.46-52.

74. Рожанский И.Д. Античная наука. М.: Наука, 1980.

75. Розенфельд Б.А., Рожанская М.М., Соколовская З.К, Абу-р-Райхан ал-Бируни. М.: Наука, 1973.

76. Розенфельд Б.А., Сафаров Р.С. Трактат выдающегося шейха Абу Сахла Вай-джана ибн Рустама ал-Кухи о построении равностороннего пятиугольника в известном квадрате // Историко-математические исследования. М.: Наука, 1986. Вып.30. С.343-351.

77. Рудио Ф.О квадратуре круга. М.-Л., 1934.

78. Сабит ибн Корра. Математические трактаты. Научное наследство. М.: Наука, 1984.

79. Сираждинов С.Х., Матвиевская Г.П. Абу Райхан Бируни и его математические труды. М.: Просвещение, 1978.

80. Смогоржевский А.С, Геометрические построения в плоскости Лобачевского. М.-Л., 1951.

81. Ал-Фараби. Математические трактаты. Алма-Ата: Наука, 1972.

82. Фёдоров Е.С. О делении окружности на равные части лучами из одного центра // Известия Санкт-Петербургского горного института, 1910. Т.2. Вып.5. С.396.

83. Фрибус Е.А. О построении правильных многоугольников в геометрическом трактате А. Дюрера // Учёные записки Моск. обл. пед. ин-та. М., 1967. Вып. 185. С.201-211.

84. Хайям Омар. Первый алгебраический трактат // Историко-математические исследования. М., 1963. Вып. 15. С.445-472.

85. Хрестоматия по истории математики. Арифметика и алгебра. Теория чисел. Геометрия / Под ред. А. П. Юшкевича. М.: Просвещение, 1976.N

86. Цейтен Г.Г. История математики в древности и в средние века. M.-J1.: Госте-хиздат, 1932.

87. Шафрановский И.И. История кристаллографии (с др. времён до нач. XIX ст.). Л.: Наука, 1978.

88. Шафрановский И.И. Кристаллографические представления И. Кеплера и его трактат "О шестиугольном снеге". М.: Наука, 1971.

89. Школьник А.Г. Задача деления круга. Учпедгиз, 1961.

90. Штейнер Я. Геометрические построения, выполняемые с помощью прямой и неподвижного круга. М., 1939.

91. Эйлер JI. Введение в анализ бесконечно малых. Т.1 / Перевод Е. JI. Пацанов-ского. M.-JL: ОНТИ, 1936.

92. Юшкевич А.П. История математики в средние века. М.: Физматгиз, 1961.

93. Юшкевич А.П. Леонард Эйлер о квадратуре круга// Историко-математические исследования. М., 1957. Вып. 10. С. 159-240.

94. Anbouba A. Tasbical-Da>ira (in Arabic). Journal for the History of Arabic Science 1 / 1977 / 284-352. English summary on p.319.

95. Anbouba A. Constructions de l'heptaqone regulier par les Arabes au 4e siecle. Journal for the History of Arabie Sience 2 / 1978 / 264-269.

96. Berggren J.L. Anonymous Treatise on the Régulai Nonagon. Journal for the History of Arabie Science 5 / 1981 / 37-40.

97. Berggren J.L. Episodes in the Mathematics of Médiéval Islam. Spriger-Verlag: New-Jork-Berlin-Heidelberg-London-Paris-Tokyo, 1986.

98. Breidenbach W. Das Delische problem. Leipzig, 1952.

99. Bieberbach L. Ueber die Bewegungsgruppen des n-dimensional EuklidischenN

100. Raumes mit einem endlichen Fundamentalbereich // Gott. Nachr., 1910. C. 75-84.

101. Busard H.L.L. A Thirteenth — Century Adaptation of Robert of Chester's Version of Euclid's Elements. Institut fur Geschichte der Naturwissenschaften. München, 1996.

102. Cantor M. Vorlesungen über Geschichte der Mathematik. Leipzig, 1892. Bd. 1-2.

103. Coolidge J.L. The mathematics of Great Amateurs. Oxford, 1949.

104. Euclidis. Elementa geometriae. Comment. Johannus Companus. Venetiae: Erhard Ratdolt, 1482.

105. Folkerts M. "Boethius" Geometrie II, ein mathematisches Lehrbuch des Mittelalters. Wiesbaden, 1970.

106. Gerhard I.I. Geschihte der Mathematik im Deutschlands. München, 1877.

107. Gunter S. Die geometrischen Näherungskonstruktionen Albrecht Durers: Beilage zum Jahresbericht der Kgl. Studienanstalt Ansbach. Ansbach, 1886.

108. Gunter S. Geschichte des mathematischen Unterricht im deutschen Mittelalter bis zum Jahre 1525. B., 1887.

109. Gunter S. Albrecht Durer als Begründer der neuenen Kurvenlehre. Bibl. math., 1886. N 3.

110. Hankel H. Zur Geschichte der Mathematik in Alterum und Mittelalter, Leipzig, 1874.

111. Heath T.L. A history of Greek Mathematics. Vol. I-II. Oxford, 1921.

112. Hogendijk J. P. Ibn Al-Haytham's "Completion of the Conies". Utrecht: Vniv. press, 1983. New- Jork-Berlin-Heidelberg-Tokio, 1985.

113. Hogendijk J. P. How trisections of the angle were transmitted from Greek to Islamic geometry // Historia mathematica. 1981. Vol.8. N4. P.417-438.N

114. Hogendijk J.P. Al-Kuhi's construction of an equilateral pentagon in a given square. // Zeitschrift für Geschichte der Arabisch-Islamischen Wissenschaften. 1984. Bd.I. S.100-144.

115. Hogendijk J.P. Greek and Arabic Constructions of the Regular Heptagon. // Arch. Hist. Exact Sei. 1984. Vol.30. P.197-330.

116. Hogendijk J.P. On the trisection of an angle and the construction of a regular nonagon by means of conic sections in medieval Islamic geometry. University Vtrecht. Department of mathematics. Preprint. N 113, 1979.

117. Ibn ai-Haitham. Proceedings of the celebrations of 1000-th anniversary held under the auspieces of Hamdard National Foundation // Voi'ce of eastern medicine. 1970. Vol. 13.

118. Kastner A.G. Geschichte der Mathematik. Gottingen, 1796. Bd. 1-2.

119. Kepler I. Harmonices mundi // Kepler I. Opera omnia. Francofurti a. M.; Erlangae: Hejder, Zimmer, 1864. Vol.5.

120. Kutta W.M. Zur Geschichte der Geometrie mit constaner Zirkeloffnung- Abh. Kais. Leop. Carol. Dtsch. Akad. Naturforscer. Halle, 1898. Bd.71. S.71-101.

121. Lietzmann W. Mathematik und bildende Kunst. Breslau, 1931.9

122. Lindemann. Uber die Zahl -k. Mattem. Annalen., 1870. Bd.20. S.213-225.

123. Mascheroni L. Geometrie du compass. Paris, 1890.

124. Molland A.G. An Examenation of Bradwardine's Geomtry // Arch. Hist. Exact. Sei. 1978. Vol.19. P. 113-175.

125. Molland A.G. The Geometría speculativa of Thomas Bradwardine. Cambridge, 1967.

126. Ptolemaus. Handbuch der Astronomie / Ubers. K. Manitius. Leipzig, 1912-1913.

127. Reinhard K. Zur Zerlegung der Euklidischen Ruame in Kongruente Polytope //N

128. Sitzb. preuss. Akad. Wiss., 1928. C.150-155.

129. Rashed Roshdi. La construction de l'heptagone regulier par Ibn al-Haytham // Journal for the History of Arabic Science, 1979. V.3. N 1,2. S.309-422.

130. Sabra A.I. Ibn al-Haytham // Dictionary of Scientific Biography. New-Jork, Charles Scribner's Sons, 1970-1976. Vol.6.

131. Samplonius Y. Die Konstruktion des regelmassigen Siebeneckes nach Abu Sahl al-Quhi Waigan ibn Rustam // Janus 50 / 1963 / 227-249.

132. Sayili A. Al-Kuhi's Trisection of the angle // Actes du X Congres International d'historie du Sciences (Ithaca, 1962). 1964. Vol.l. P.545-546.

133. Sayili A. The trisection of the angle by Abu Sahl Wayjan ibn Rustam al-Kuhi. Belleten 26, 1962. P.693-700.

134. Schoy C. Graeco-arabische Studien nach mathematischen Handschriften der Vizekoniglichen Bibliothek zu Kairo // Isis, 1926. Vol.8. P.35-40.

135. Schoy C. Die trigonometrischen Lehren des persischen Astronomen Abu'l Raihan Muhammed ibn Ahmed al-Biruni dargestellt nach al-Qanun al-Mas'udi. Hannover, 1927.

136. Scriba C. J. Zur Konstruktion des regelmassigen neunecks in der Islamischen weit // Festschrift für Helmuth Gericke (Reihe "Boethius". Bd.12). Stuttgart, 1985. S.87-94.

137. Sezgin F. Geschichte der Arabischen Schrifttums. Bd.5. Mathematik bis ca 430H. Leiden, Brill, 1974.

138. Staigmuller H. Dürer als Mathematiker // Programm Kgl. Realgymnasiums in Stuttgart. Stuttgart, 1891.

139. Steck M. Dürers Gestaltlehre der Mathematik und bildenden Künste. Halle (Saale), 1948.

140. Suter H. Das Buch der geometrischen Konstruktionen des Abu'l Wefa // Abhandlungen zur Geschichte der Naturwissenschaften und Medizin. 4 / 1922 / 94-100.

141. Toomer G.J. Ptolemy's Almagest. London, 1984.

142. Tropfke J. Zur Geschichte der Mathematik. Siebeneckkonstruktion des Archimedes. Neuneckkonstruktion des Albiruni // Zeitscher, mathem. naturwiss. Unterricht, 1928. Bd.59. S.193—198.

143. Tropfke J. Die Siebeneckabhadlung des Archimedes // Qsiris. 1936. Bd.l. S.636-651.

144. Woepcke F. L'Algebra d'Omer Alkhayyami. Paris, 1851.

145. Woepcke F. Trois traites arabes sur le compas parfait // Notices et Extraits de Manuscrits de la Bibliothèque Nationale et autres bibliothèques. Paris, 1874. T.22. Vol.1. P. 1-147.