автореферат диссертации по философии, специальность ВАК РФ 09.00.07
диссертация на тему: Логико-методологический анализ представлений индуктивных рассуждений в современных логических теориях

Полный текст автореферата диссертации по теме "Логико-методологический анализ представлений индуктивных рассуждений в современных логических теориях"

V > и '

РОССИЙСКИЙ; УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ

На правах рукописи

Петров Василий Борисович

ЛОГИКО-МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ИНДУКТИВНЫХ РАССУЖДЕНИЙ В СОВРЕМЕННЫХ ЛОГИЧЕСКИХ

ТЕОРИЯХ

Специальность 09.00.07. - логика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата философских наук

МОСКВА - 1998

Диссертация выполнена на кафедре онтологии и теории познания факультета гуманитарных и социальных наук Российского университета дружбы народов.

Научный руководитель - доктор философских наук

Меськов B.C.

Официальные оппоненты - доктор философских наук

Самохвалов К.Ф. - кандидат философских наук Зайцев Д.В.

Ведущая организация - Московский Государственный

Педагогический Университет, кафедра философии

Защита состоится " " 1998 г. в часов

на заседании Диссертационного Совета Д.053.05.20 по философским наукам при МГУ им. М.В. Ломоносова по адресу:

119899, Москва, Воробьевы горы, 1-ый корпус гуманитарных факультетов МГУ, философский факультет, 11 этаж, аудитория

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале библиотеки 1-ого корпуса гуманитарных факультетов МГУ им. М.В. Ломоносова.

Автореферат разослан " " 1998 года

Ученый секретарь

Диссертационного

Совета

Голованова И.П.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ИССЛЕДОВАНИЯ

Актуальность исследования. Изучение индукции является для философии и логики одним из старейших направлений исследования. Как известно, некоторые из способов индуктивных рассуждений были описаны еще Аристотелем, и, по-видимому, с тех времен возникла традиция рассмотрения индукции как некоего «второсортного» вида умозаключений, который допустим на начальном этапе познания, но впоследствии должен быть дополнен или заменен дедуктивным умозаключением, так как только правильный дедуктивный вывод гарантирует нам истинность заключения при условии истинности посылок. В связи с этим обстоятельством на протяжении истории индукция, как правило, привлекала меньшее внимание по сравнению с дедукцией и интерес к ней возрастал обычно в связи с кризисом господствующих форм рационального познания, тесно связанных с дедуктивными методами обоснования истины, точнее, с дедуктивным априоризмом. В таких случаях она могла рассматриваться не как ступень к дедукции, а как основа альтернативного способа познания истины.

Однако Юм своей аргументацией подорвал веру в законность применения индуктивных приемов рассуждения и тем самым поставил перед философией науки проблему оправдания индукции.

Как известно, в результате многолетней дискуссии по этой проблеме большинство исследователей склонилось к мнению, что подобное оправдание недостижимо, поскольку не удалось сформулировать принципы, которые были бы аналитически истинными и в то же время гарантировали бы логическую правильность индуктивных умозаключений. В связи с этим обстоя-

тельством возможность построения логической теории индукции стала выглядеть весьма сомнительно и возобладал другой подход к проблеме индукции, в рамках которого индуктивные выводы представлялись на базе других логик, обоснованность которых сомнений не вызывала. Основанием для такого представления служили те или иные свойства индуктивных выводов. Так, например, поскольку в индуктивных умозаключениях при исшнности посылок заключение не всегда испито - его истинность только вероятна, - постольку индуктивные выводы получили вероятностную интерпретацию. Их посылки должны повышать вероятность заключения либо гарантировать его высокую вероятность, иначе говоря, подтверждать заключение. Для анализа условий и свойств такого отношения между посылками и заключением были построены логики подтверждения гипотез. В случае, когда вероятность индуктивного заключения близка к 1, заключение можно считать практически истинным, т.е. можно его принять. Для экспликации условий этой процедуры были развиты соответствующие логики принятия гипотез. Другая возможность для представления индуктивных выводов открывается, если обратить внимание на иное важное свойство индукции: при добавлении новых посылок ее заключение может быть изменено. В этом случае базой для соответствующего представления становится немонотонная логика. Аналогично этому и нечеткая логика может претендовать на выразимость в ней индуктивных рассуждений, поскольку информация, которой располагает рассуждающий подобным образом субъект, носит, как правило, неполный и нечеткий характер.

Многовариантность способов исследования индукции при подобном подходе делает актуальной задачу сравнительного анализа получающихся результатов и выявления возможной за-

висимости между ними и содержательными предпосылками, лежащими в основе той логической системы, которая избрана для представления индуктивных выводов.

Развитие немонотонной и нечеткой логик тесно связано со становлением нового направления междисциплинарных исследований, получившего название «искусственный интеллект» (ИИ). Среди проблем, стоящих перед разработчиками ИИ, не последнее место занимают проблемы создания самообучающихся систем, которые были бы способны самостоятельно приобретать, оценивать и использовать знания о тех или иных областях действительности. Ясно, что подобные системы не могут обойтись без использования индуктивных познавательных методов и приемов. Хотя предложенные разработчиками ИИ индуктивные методы являются практически эффективными, тем не менее их теоретические основания далеко не всегда совпадают с распространенными в логике точками зрения на индукцию. В связи с этим обстоятельством исследование тех изменений, которые привносятся в понимание индуктивных выводов и их предпосылок работами по ИИ также становится актуальной задачей.

Степень разработанности проблемы. Следует отметить, что, несмотря на обилие работ по индуктивной логике, исследований обзорного аналитического характера сравнительно немного, и все они, как правило, остаются в рамках одного из упомянутых выше подходов. Так, в известной книге Г. Кайберга «Вероятность и индуктивная логика», анализируются системы индуктивной логики, базирующиеся на вероятностной интерпретации индуктивных выводов, аналогичным проблемам посвящена книга В.А. Светлова «Современные индуктивные концепции», исследование И. Крейга «Машинное обучение и индуктивный вывод» рассматривает реализации индуктивных

процедур в различных компьютерных программах, применяющихся в самообучающихся компьютерных системах и т. д. Однако работ, в которых бы проводился сравнительный анализ достижений и возможностей хотя бы двух подходов, практически нет. Этот факт был не без доли удивления отмечен в статье Я. Тана «Является ли логика умолчаний повторным изобретением индуктивно-статистического вывода?»

Цель и задачи исследования. В диссертации проводится исследование представлений индуктивных выводов, сложившихся в различных системах логики и работах по искусственному интеллекту, и связанных с ними теоретико-познавательных предпосылок в целях определения возможностей и границ предлагаемых интерпретаций индукции, а также в целях создания такой системы индуктивной логики, средства которой давали бы возможность описывать и исследовать наибольшее число типов индуктивных выводов.

В соответствии с поставленными целями в работе решаются следующие задачи:

ш выявить совокупность философско-методологических принципов, обеспечивающих индуктивным выводам возможность осуществления и познавательную ценность;

■ исследовать существующие в логике и работах по искусственному интеллекту интерпретации индуктивных выводов и выявить зависимость полученных теоретических и практических результатов от лежащих в основе этих интерпретаций философских и методологических допущений;

■ изучить возможность построения аксиоматических индуктивных исчислений, которые могли бы адекватно описывать все основные индуктивные процедуры.

Научная новизна диссертации заключается в том, что в ней производится сравнительный анализ существующих в логике и ИИ подходов к представлению индуктивных рассуждений, а также строятся оригинальные системы индуктивной логики, средствами которых можно было бы описывать процедуры индуцирования гипотез, их подтверждения, опровержения и принятия.

При решении поставленных в диссертационном исследовании задач были получены следующие результаты:

• выявлены философско-методологические предпосылки, делающие индукцию необходимым методом познания;

• показана возможность формулирования лотерейного парадокса в немонотонных логиках умолчания при истолковании правил вывода с умолчаниями как правил принятия; в логиках очерчивания при соответствующих условиях; в нечеткой логике;

• сформулированы требования к отношению индуцируемо-сти и отношению подтверждения, тем самым проведено их различение;

•построены некоторые индуктивные аксиоматические исчисления, доказана их непротиворечивость; показана полнота этих исчислений относительно отношения индуцируемости.

Теоретической и методологической основой диссертации являются работы отечественных и зарубежных ученых: B.C. Меськова, К.Ф. Самохвалова, В.К. Финна, В.Н. Костазка, Г.И. Рузавина, Б.Н. Пятницына, В.А. Лифшица, Р. Карнапа, Г.-Х. фон Вригта, Я. Хинтикки, Г. Кайберга, Дж. Маккарти и других исследователей. При написании работы использовались методы современной логики, в частности, построение формальных семантик и аксиоматических исчислений, а также методы сравнительного анализа логшсо-эпистемических теорий.

Практическая значимость диссертации определяется возможностью использования ее результатов в логико-теоретических исследованиях, для решения задач, встающих в связи с разработкой искусственного интеллекта, а также в учебно-педагогической работе при чтении общих курсов по логике и теории познания, спецкурсов по индуктивной логике и логике научного познания.

Апробация. Основные положения диссертации отражены в публикации автора. Результаты исследования докладывались на методологических семинарах кафедры онтологии и теории познания Российского университета дружбы народов. Материалы диссертации использовались при чтении лекций в Российском университете дружбы народов.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении обосновывается выбор темы, ее актуальность и цели исследования.

Первая глава «Индукция как вывод и индукция как метод» содержит два параграфа. В первом параграфе рассматриваются сложившиеся в логике и философии интерпретации индуктивных выводов, которые реализуются в рамках двух подходов:

1) традиционного, рассматривающего индукцию как эмпирическое обобщение и считающего ее одним из видов правдоподобных рассуждений;

2) современного, трактующего индукцию как недедуктивное рассуждение, где между посылками и заключением есть отношение подтверждения.

В этой связи анализируются позиции Р. Карнапа, Д. Юма, Б. Рассела. На основе проведенного анализа показывается возможность иного, более широкого понимания индукции, предпосылки которого складываются в рамках работ по ИИ. Индукцию можно рассматривать как универсальный способ получения нового знания, не только эмпирического, но и теоретического. Это позволяет по новому поставить проблему экспликации допущений, лежащих в основе индуктивных рассуждений: в число посылок индуктивных выводов должны быть включены не только эмпирические данные, но и теоретические утверждения, а также философско-методологические принципы, которые детерминируют выбор гипотезы. Тогда общая схема индуктивного вывода, которая содержит все необходимые виды посылок, выглядит так:

философские принципы, теоретические допущения, эмпирические данные, цель исследования гипотеза (множество гипотез) Множество посылок индукции, конечно, может меняться в зависимости от области применения метода, и тем самым будут получать различные конкретизации этой схемы, наиболее простым случаем которой, очевидно, окажется традиционная индукция: философские принципы, разрешающие индукцию;

A(ai), А(аг).....А(ап) (эмпирические данные)

VxA(x)

Учитывая возрастающую в этом случае роль индукции в познании, решение проблемы Юма становится особенно актуальным. Во втором параграфе первой главы предлагается иная точка зрения на эту проблему: не «оправдывать» индукцию, а исходя из нее как необходимого средства познания, попытаться описать условия, которые делают ее использование неизбеж-

ным. Такой подход позволил выявить несколько групп условий, обеспечивающих существование индукции. Первая группа условий связана с важнейшей характеристикой познаваемого мира -его изменяемостью во времени. Вторая группа условий описывает существенные свойства познающего индивида - его телесную ограниченность и ограниченность познавательных способностей его органов чувств, следствием чего является принципиальная неполнота непосредственного опытного знания. Третья группа условий связана с особенностями языка как средства познания.

Во второй главе «Формализация индуктивных рассуждений в логических теориях и их представление в исследованиях по Искусственному Интеллекту» рассматриваются индуктивные яогики подтверждения и принятия гипотез, а также немонотонные логики. В индуктивных логиках подтверждения отношение подтверждения между гипотезой н свидетельствами определяется, как правило, на базе понятия условной вероятности.

В первом параграфе второй главы показывается, как строится подобное определение в системе индуктивной логики Р. Карнапа. В общем случае функция подтверждения С для сингулярных гипотез выглядит следующим образом:

«• +Л/к

Сф, е) = С(д,(а„+1), е„) = --— , 0 < X < к,

И 4- л

где п, - число индивидов в выборке, выполняющих предикат С>,, п - общее число индивидов в выборке; к - число различных С|-предикатов (различных конъюнкций всех исходных одноместных предикатов языка I либо их отрицаний), а к - так называемый свободный методологический параметр, отражающий степень доверия исследователя опытным данным.

Этот способ введения отношения подтверждения приводит к серьезным теоретическим затруднениям, связанным с неустранимостью субъективного фактора (свободного параметра X) при определении величины априорной вероятности различных гипотез. Его влияние оказывается невозможным рационально обусловить, что связано с принимаемыми в логике подтверждения философскими и методологическими предпосылками, касающимися организации и структуры индуктивного исследования, а также полноты нашего знания о возможных событиях, которые могут наблюдаться в опыте.

Подобное положение сохраняется также при конструировании различных вариантов правил принятия гипотез, которые анализируются во втором параграфе второй главы. Дело в том, что с индуктивным правилом принятия гипотез, основанным на критерии высокой вероятности, связан так называемый парадокс лотереи. Правило обычно звучит так: гипотеза h принимается на основании свидетельства е, если степень подтверждения h этим свидетельством больше некоторой наперед заданной пороговой величины, т. е.

Ac(h, е) Oaf C(h, е) > 1-е, где 0 < s < 0,5

Если s зафиксировано, то можно рассмотреть лотерею, где вероятность выигрыша, т.е. отношение числа выигрывающих билетов ко всем выпущенным билетам, меньше s. Тогда на основании правила принятия оказываются приемлемыми все гипотезы вида «k-ый билет не выиграет», где 1 < к < n, п - число всех билетов, так как их вероятность будет больше 1-е. Тогда по правилу полной индукции получаем, что должна быть приемлема гипотеза «ни один билет не выиграет», что противоречит условию. Величина е в этом правиле характеризует меру осторож-

ности исследователя при принятии гипотезы, следовательно, она также является субъективным параметром, причем связаны ли как-то между собой е и X, остается неясным. Другое правило принятия, сформулированное И. Леви, хотя и избегает лотерейного парадокса, но также несвободно от субъективных параметров, выражающих меру доверия исследователя опытным данным и степень его осторожности. При этом значение этих параметров должно быть определено до всякого исследования, что делает их совершенно произвольными и тем самым значительно снижает ценность соответствующего правила принятия.

Если строить индуктивную логику как логику подтверждения или принятия гипотез, причем использовать в качестве базового понятия вероятность гипотезы (все равно какую), то появление свободных параметров, величина которых определяется произвольно и независимо от целей исследования, представляется неизбежным. Причем чем больше шагов в той или иной процедуре, тем больше независимых субъективных параметров приходится учитывать. Попытка вычленить из рациональных оснований подтверждения и принятия чисто логические приводит к тому, что остаток оказывается совершенно иррациональным и его влияние перечеркивает все достигнутые результаты. Формальные системы оказываются с непоправимым изъяном -их можно постфактум подогнать под результаты любого исследования, но ни в каком настоящем исследовании они не могут быть применимы.

Правила немонотонного вывода и различные способы их обоснования рассматриваются в третьем параграфе второй главы. В последнее время в литературе по проблемам ИИ высказывается точка зрения, что индуктивные выводы являются разновидностью немонотонных, поскольку обладают соответст-

и

вующим свойством: заключение индуктивного вывода может быть изменено при добавлении в него новых посылок; но способы представления индуктивных выводов в немонотонных логиках, как правило, не анализируются. Индуктивная интерпретация этих логик, однако, связана с серьезными затруднениями. Например, немонотонные логики умолчаний обычно формулируются в виде совокупности правил немонотонного вывода, где заключение (гипотеза) выводимо при условии выполнимости некоторой совокупности условий. В простейшем случае речь идет о выполнимости самой гипотезы. Двусмысленность подобных правил очевидна: они могут трактоваться либо как правила выдвижения гипотез, либо как правила их принятия. Если принять вторую интерпретацию, а она более естественна с точки зрения содержательных предпосылок логик умолчания, то тогда в них немедленно возникает парадокс, аналогичный парадоксу лотереи: если большинство билетов не выигрывает, то и все билеты не выигрывают. Точно такой же парадокс возникает и в другой разновидности немонотонной логики - логике очерчивания (circumscription).

Немонотонная логика может рассматриваться как разновидность индуктивной логики, в которой правила выдвижения гипотез формально неотличимы от правил принятия гипотез. В силу этого неразличения какие-то особые правила подтверждения гипотез просто неуместны и не могут быть выдвинуты. Такая ситуация не может считаться удовлетворительной. Ее источником является исследование и формализация свойства немонотонности выводов в отрыве от собственно индуктивного содержания этих выводов.

В последнем, четвертом параграфе этой главы исследуются различные подходы к истолкованию и применению индукции в

работах по искусственному интеллекту. Подходы, которые реализуются здесь исследователями, удобно сгруппировать в зависимости от проблем, которые они призваны решить. Это, во-первых, подходы, реализуемые в машинном обучении, а во-вторых, подходы, реализуемые в моделировании человеческих рассуждений. Естественно, они могут объединяться, но все-таки между ними есть важное отличие. Первые направлены на приобретение знаний, вторые - на его оценку и использование.

В машшшом обучении можно выделить следующие направления: индуктивное обучение понятиям на примерах; обучение эвристикам; обучение по аналогии. Однако хотя работы по машинному обучению и используют такой термин как «индукция», их нелегко связать с соответствующими работами по философии и логике. Вместо того, чтобы оценивать, обучение в основном концентрируется на процессах генерализации, специализации и аналогии и применяемая здесь техника почти всегда носит символьный характер. Другая сложность состоит в том, что машинное обучение в типичных случаях направлено на приобретение и развитие понятий, а отнюдь не теорий, как в индуктивной логике. Кроме того, когда понятие полностью сформировано, оно, как правило, программой сохраняется.

Все подобные методы машинного обучения, как правило, используют традиционное понимание индукции как обобщения опытных данных. Кроме методов приобретения знаний, в ИИ разрабатываются и методы их эффективного использования. Примером здесь может служить индуктивный метод порождения гипотез: так называемые ДСМ-метод, позволяющий формулировать гипотезы о причинных зависимостях между свойствами и структурой объектов, На примере этого метода можно показать, что для формулирования интересных гипотез требуются

не только эмпирические данные, но и некоторые посылки теоретического характера.

В получивших широкое распространение экспертных системах применяются разнообразные методы оценивания гипотез. Эти методы связаны с использованием различных функций, выражающих меры доверия или недоверия исследователей к опытным данным и гипотезам. Однако легко заметить, что любые методы, моделирующие поведение экспертов с помощью тех или иных оценочных функций, будут иметь существенный изъян: эксперт работает с информацией иначе, чем это представлено в модели. Можно попросить эксперта оценить степень надежности того или иного правила в интервале от 0 до 1, и он это сделает. Но это не означает, что сам эксперт при применении данного правила нуждается в подобной оценке.

Что же касается используемых в подобных экспертных системах механизмов вывода, то, как правило, они сформулированы таким образом, что в их дедуктивном характере трудно усомниться. Если одно из важнейших свойств индуктивного заключения - выход за пределы наличного опыта, то экспертная система за пределы заложенных в ней продукционных правил не выходит. Это не является ее недостатком, наоборот, ее задача давать определенные рекомендации в определенных ситуациях. Но вводимые при этом разнообразные коэффициенты надежности посылок и степени уверенности заключений не меняют дедуктивного характера правил. Поскольку все эти виды оценок задаются экспертами - людьми, то изменяться они могут только таким же образом, а не на основе приобретаемого экспертной системой «опыта».

Другой принцип работы, который реализуется в подобных системах - интерпретация нечетких терминов на некотором

множестве величин с той или иной степенью точности. Последнее обычно требует применения теории нечетких множеств и, соответственно, нечеткой логики. Использование нечеткой логики как средства представления индуктивных выводов также сопряжено с трудностями интерпретации нечетко истинных и нечетко ложных формул. Если считать нечетко истинные формулы принятыми гипотезами, то тогда в нечеткой логике также формулируется лотерейный парадокс.

: • Третья глава «Аксиоматизация индуктивной логики» посвящена построению двух аксиоматических систем: индуктивного исчислений высказываний и индуктивного исчисления одноместных предикатов.

В первом параграфе этой главы осуществляется попытка построения индуктивной логики высказываний в виде аксиоматического исчисления, которое получает интерпретацию на модели М= < Рм, Нм >, где

1) Рм - непротиворечивое конечное множество пропозициональных формул, не содержащее тавтологий классической логики высказываний;

2) Нм - произвольное конечное множество пропозициональных формул, не содержащее ни тавтологий, ни противоречий классической логики высказываний;

Рм понимается как множество известных фактов, а Ни - как множество исследуемых гипотез.

Основная идея, которая здесь использована, это идея понимания индукции как обратной дедукции: АсгВ (с - знак обратной материальной импликации)^ ВзА, дополненная следующими соображениями.

Между посылками и заключением в индуктивных выводах должна быть определенная связь по содержанию. В качестве

формального признака такой связи можно предположить наличие общих пропозициональных переменных в посылках и заключении индуктивного вывода. Если этот признак является единственным, то его следует усилить: пропозициональные переменные, не встречающиеся в посылках, не могут встречаться в заключении. Это можно назвать условием консервативности заключения.

Если рассматривать индуктивные выводы как средство уменьшить наше незнание, т.е. как то, что направлено на устранение исходной неопределенности, то конкретизацией этого свойства в условиях логики высказываний будет требование, чтобы гипотезы имели возможность быть истинными в меньшем числе случаев, чем посылки.

К алфавиту языка логики высказываний добавляются следующие символы: - «индуцирует», ~> - «подтверждает», М -«делает приемлемой», =£> - «опровергает», - «доказано в классическом исчислении высказываний». Кроме того, вводятся операторы: Б (факт) и Н (гипотеза).

Понятие индуктивной формулы задается следующим образом:

1) отдельно стоящая пропозициональная переменная есть пропозициональная формула;

2) если А и В - пропозициональные формулы, то А&В, AvB, АзВ, ТА - пропозициональные формулы;

3) всякая пропозициональная формула является индуктивной формулой;

4) если А - пропозициональная формула, то |-А, РА, НА -индуктивные, но не пропозициональные формулы;

5) если А и В - пропозициональные формулы, то (А-+В), (А~>В), (A^IB), (А=ф>В) - индуктивные, но не пропозициональные формулы;

6) если А и В - индуктивные, но не пропозициональные формулы, то А&В, AvB, АзВ, 1а - индуктивные, но не пропозициональные формулы;

7) других индуктивных формул нет.

Аксиоматическое исчисление высказываний ИВИ1 задается следующим образом:

I. Аксиомы дедуктивной логики высказываний.

II. Аксиомы индуктивной логики высказываний:

1. ](([-lA) v (>AvB) v (KAvB)^A))3 ((AvB)->A)

2. ] ((f-lB) v (f-AvB) v ( KAvB)3B)) з ((AvB)-fB)

3.1 ((I-A) v ((-АзВ) v ( |<АзВ)з1А)) з ((АзВ)-Г|А)

4. ] ((1-lB) v (f-Ar>B) v (|-(АзВ)зВ)) з ((АзВ)-»В)

5. ((А->В) & ((-BsC+)) з (А-»С+), где О содержит только те пропозициональные переменные, которые входят в А.

6. (((-А=В+) & (В+—>С)) з (А->С), где В+ содержит только те пропозициональные переменные, которые входят в А.

7. (А-+В) з ((В-+С) з (А-Ю))

8. (А-+В) з (|-ВзА)

9. (А—*В) з 1( [-АзВ)

10. (А—*В) з 1( (-А)

11. (А—*В) з 1( |-1В)

12. ((1-ВзС) v (КЬВ)) & НВ & F(C&D) з ((C&D) ~>В), где C&D может графически совпадать с С.

13. ((}-Аз]В) & FA & НВ) з (А=^В)

14. ((А ~> В) & (f-АзВ)) з (AidB)

15. FA=>A

16. РАзМЛ

17. ((-A)r>lFA

18. (|-А)гЛНА

правило вывода: модус поненс;

Понятая вывода и доказательства в системе обычные.

Построенное исчисление оказывается непротиворечивым относительно заданной семантики. Кроме того, для него можно доказать специфическую теорему полноты. Назовем тавтологию, главным знаком которой является «—►», тавтологией инду-цируемости. Тогда справедлива следующая теорема: всякая тавтология индуцируемости доказуема в ИВИ1.

Во втором параграфе осуществлена попытка построения индуктивного исчисления предикатов, в котором допускаются только одноместные предикатные символы. Полученная аксиоматическая система (ИПИо1) не является простым расширением ИВИ1, поскольку для того, чтобы иметь возможность выразить в индуктивной логике выводы по аналогии и получение сингулярных гипотез, приходится вносить изменения в семантические определения отношений индуцируемости, подтверждения и принятия гипотез. Как и в предыдущем случае, индуктивное исчисление предикатов включает в себя аксиомы дедуктивного исчисления предикатов. Остальные схемы аксиом таковы:

1. ]((f-TA) v (f-AvB) v (¡-(AvB)nA))3 ((AvB) ->A)

2. ] (((-TB) v (t-AvB) v ( KAvB)3B)) => ((AvB)->B)

3. ] ((l-A) v (|-A=>B) v ( КАг>В)з1А)) з ((Аг>В)-ЛА)

4.1 (([-]В) v (f-A^B) v ( КАзВ)=эВ)) з ((Ar>B)—>B)

5. (A-+B) zd 1( |-Аз>В)

6. (А—>В) з ](|-А)

7. (А—>В) з ]((-1В)

8. ((А->В) & ([-В=0)) з (А->С+), где С+ содержит только те пропозициональные переменные и предикатные символы, которые входят в А.

9. (([-А=В+) & (В—>0)) з (А->С), где В+ содержит только те пропозициональные переменные и предикатные символы, которые входят в А.

10. (А—>В) з (((В->С.) &( ^Сг>А) (- АзС))з (А-»С)>

11.((|-А*нВ')&](КА з В))&1(КА з]В))& 1(ЬА) &](НВ)) з (А—»В), где А" и В* - формулы, полученные из А и В заменой всех вхождений индивидных констант на одну и ту же индивидную переменную.

12.(АуС->С)&(С->В)&(|С*=В*))э(А^-+В), где С* и В* -формулы, полученные из С и В заменой всех вхождений индивидных констант на одну и ту же индивидную переменную.

13. ((К=ВуС)& 1(КА&С) з В) &](КА&С) зТВ) &]([€)) з ((А&С)-*В), где В содержит только те дескриптивные символы, что и А.

14. ((Н:*=В*)&(0>В)& 1(КА&С) з В) &1(|-(А&С) з]В)) з ((А&С)—>В), где С* и В* - формулы, полученные из С и В заменой всех вхождений индивидных констант на одну и ту же индивидную переменную.

15. [ ((1-ВзС) V (С -+В)) & НВ & Р(С&Б)] з (С&Э ~>В), где С&Б может графически совпадать с С.

16. (( ЬАзТВ) & БА & НВ) з (А=^В)

17. ((А-*]В) & РА & НВ) з (А=^В)

18. ((А ~> В) & (|-АзВ)) з (А^В)

19. РАгэА

20. РА зТЕЛА

21. ([-А) зэ]РА

22.((-А)з1НА

Правила вывода здесь следующие:

1) модус поненс;

2) правило генерализации.

Кроме того, она также, как и ИВИ1, является непротиворечивой относительно заданной семантики и для нее также доказуема метатеорема, что всякая тавтология индуцируемости доказуема в ИПИо 1.

Среди особенностей предложенной формальной системы необходимо отметить, что правила рассуждения по аналогии (индуцирования гипотез на основании сходства объектов) являются здесь производными, т. е. (А(а)&А(Ь)&В(а))-*В(Ь) есть теорема системы. Но достигается этот результат просто за счет того, что сходство предметов по их признакам не учитывается; высказывание А(а)&А(Ь) содержит бесполезную в рамках данной системы информацию. Подобное положение складывается по той причине, что отношение индуцируемости оказывается чрезвычайно широким. Даже из данных о существовании неизвестного нам объекта, обладающего определенным свойством, мы можем предположить, что и все объекты наделены этим свойством.

Другой особенностью индуктивных исчислений данного типа является то, что они не нуждаются в априорных посылках, касающихся либо структуры универсума, либо наличия в нем каких-либо закономерностей. В самом деле, если мы не связыва-

ем подтверждение и принятие с условной вероятностью гипотез, то нам и не нужно вычислять их безусловную вероятность, требующую априорной информации и априорного же доверия или недоверия к будущему опыту (различных свободных параметров).

Проблемой таких систем является выбор семантического определения отношения индуцируемости между формулами (А—►В). Каждое из определений такого типа оказывается не очень естественным в том смысле, что либо требует очень большой «дедуктивной прозорливости» (знание всех логически эквивалентных формул), либо разрешает индуцировать слишком много гипотез.

В заключении излагаются полученные в исследовании результаты, анализируется их философское и логико-методологическое значение, а также формулируются связанные с ними проблемы, нуждающиеся в дальнейшем исследовании.

Публикации. Содержание работы отражено в следующей публикации автора: Индуктивная логика как логика открытия.// Актуальные проблемы гуманитарных наук: Тезисы всероссийской научной конференции, посвященной 35-летию РУДН. Москва, 1995.

Издательство АО "Диалог-МГУ". ЛРИ 063999 от 04.04.95 Подписано х печати 14.05.98 г. Усл.печл. 1,25. Тираж 80 экз. Заказ 570. Тел. 939-3890, 939-3891, 928-1042. Тел./факс 939-3891. 119899, Москва, Воробьевы горы, МГУ.