автореферат диссертации по философии, специальность ВАК РФ 09.00.01
диссертация на тему: Математическое познание как особый способ репрезентации реальности

Полный текст автореферата диссертации по теме "Математическое познание как особый способ репрезентации реальности"

ИНСТИТУТ ФИЛОСОФИИ И ПРАВА НАЦИОНАЛЬНОЙ АКАДЕМИИ НАУК БЕЛАРУСИ

¡ОУ/,/' Л^О^

УДК 100. 7+ 111

РГЗ од / 1 ДЕК 2000

Кикель Павел Васильевич

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПОЗНАНИЕ КАК ОСОБЫЙ СПОСОБ РЕПРЕЗЕНТАЦИИ РЕАЛЬНОСТИ

Специальность 09.00.01 - онтология и теория познания

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора философских наук

Минскг1999

Работа выполнена в Белорусском государственном педагогическом университете имени Максима Танка

Доктор философских наук Сороко Э.М.

Доктор философских наук, профессор Сачков Ю.В.

Доктор философских наук, профессор Жбанкова И.И.

Доктор философских наук, профессор Волчек Е.З.

Оппонирующая организация — Белорусская государственная

политехническая академия

Защита состоится «21» декабря 1999 года в 15С0 часов на заседанш совета по защите диссертаций Д 01.45.02 при Институте философии и прав; HAH Беларуси по адресу: 220072, г.Минск, ул.Сурганова, 1, корп. 2, 8 этаж зал заседаний. Телефон ученого секретаря: (017) 284 29 25.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Институт; философии и права HAH Беларуси.

Автореферат разослан "18" ноября 1999 года.

Ученый секретарь совета по защите диссертаций доктор философских наук

Научный консультант -

Официальные оппоненты:

Трофименко А.П.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Начиная с середины 90-х годов резко возрастает интерес к философско-методологическим проблемам математики. Только монографий за последние десятилетия издано больше, чем за предшествующие 40-80-е годы.

Наиболее значимыми являются труды таких исследователей, как А. Г. Барабашев, С. Н. Вовк, В. Э. Войцехович, О. А. Габриэлян, Б. В. Гнеденко, Н. И. Жуков, О. И. Кедровский, М. Клайн, И.С.Кузнецова, Л. Д. Кудрявцев, А. И. Новиков, А. Н. Ньгсанбаев, Ю. А. Петров,-А. А. Печенкин, Ю. Ф. Протопопов, Г. И. Рузавин, К. А. Рыбников, ¡0. В. Сачков, О. Ф. Теребидов, Г. Фройденталъ и др.

Из авторов коллективных монографий и сборников научных трудов по различным проблемам современной математики отметим А. Д. Александрова,

A. Г. Барабашева, К. А. Беляева, Б. В. Бирюкова, Т. М. Бондаренко, И. М. Гельфанда, Т. А. Горолевич, В. И. Жога, С. Исалиевой, Р. Кадыржанова,

B. Н. Карповича, Д. П. Костомарова, В. И. Левковича, А. Н. Нысанбаева, В. И. Перминова, В. Л. Попова, М. И. Попова, Б. И. Розенфельда, Г. И. Руза-вина, М. В. Салихова, Д. Н. Тихонова, М. А. Шифрина, Г. Г. Шляхина, А. П. Юшкевича и др.

Отличительной особенностью исследований большинства названных авторов является качественно новый уровень решения как традиционных, так и современных проблем математики. В первую очередь это следствие преодоления разграничительных барьеров между математиками, философами, историками математики, специалистами математической логики и других областей знания, наметившегося в последнее время благодаря высокой компетенции и профессионализму ученых. Комплексный подход позволил увидеть, что многие проблемы математики имеют общеметодологический характер. Так, проблема социокультурной детерминации развития математики в настоящее время встает в другом ракурсе, не столь ориентированном на односторонний ответ, даваемый в русле либо интернализма, либо экстернализма. Центральным становится освещение общей социальной истории математики, причем с пониманием того, что вопрос о ее развитии является не только математическим, но и социальным.

В монографиях и научных сборниках из серии публикаций по программе исследования закономерностей и тенденций развития современной математики главный акцент делается на рассмотрение следующих вопросов: связь современной математики с ее истоками; принципы влияния культурной среды на развитие математики; детерминация развития математики ее внутренними

интенциями и внешними факторами; развитие математики как социального института; статус герменевтических методов исследования в истории математики; основные направления и периоды развития математики и критерии их выделения; революции в математике; тенденции развития математического доказательства и самой математики; математическая картина мира, ее методологическое и мировоззренческое начала; математическое творчество; открытие и обоснование; взаимодействие философии и математики; генезис и структура и т. д.

Решение этих вопросов приближает нас к более полному и глубокому Пониманию математики как науки, чем, скажем, рассмотрение ее проблем через призму анализа процесса математизации научного знания, пик которого приходился на 70-80-е годы. В исследованиях того времени главными были проблемы: логическое и гносеологическое обоснование универсальной методологической роли математики в общем развитии науки; причины проникновения математики в другие науки; функции, выполняемые математикой в процессе познания; математика как язык науки и особенности языка математики как средства отражения объективной реальности; место и роль основных разделов математики в научном познании; диалектика взаимосвязи математики с другими науками; основные математические методы познания,- их сущность и роль в математизации научного знания; методологические вопросы математизации важнейших отраслей современного научного знания; 'социальные аспекты проблемы математизации наук; роль процесса математизации в доказательстве истинности математизированных

_теорий и их обосновании; специфика и пути проникновения математики в

различные области знаний и тТл ________

Хотя перечисленные выше проблемы и объединены одним тематико-' философским пространством, тем не менее заметно, что акцент рассмотрения ' математики как науки и выяснения ее роли в научном познании в целом ' сместился в сторону понимания математики как своеобразного "зеркшга", ■' отображающего историю цивилизации, когда анализ ее развития кладут в основу анализа общих тенденций развития современной духовной и материальной культуры. Это более общий подход в исследовании математики как науки, занимающей особое место в целостной системе знаний.

Сегодня количество научно-философских работ, посвященных исследованию роли математики в духовной и материальной культуре современности, исчисляется во всем мире уже десятками тысяч. В таком гигантском массиве публикаций, казалось бы, нет неисследованных, связанных с данной ролью, проблем. Тем не менее это не так. До сравнительно недавнего времени функциональная роль математики практически всеми учеными,

занятыми в данной области знания, воспринималась и истолковывалась вполне однозначно. Однако с 30-х годов XX века, когда стали формироваться школы математиков, чье творчество методологически базировалось на принципиально иных позициях, чем было дотоле (среди них наиболее известная - группа Бурбаки), ситуация резко изменилась.

В сообществе названного круга ученых произошел раскол на "традиционалистов" и "бурбакистов". Главное, что послужило предметом раскола, - проблема онтологической природы математических объектов и более общая проблема математики как средства и способа репрезентации реальности. Споры на эту тему в специальной литературе не только не утихли, а, напротив, приняли более острые и изощренные формы, когда даже известные ученые используют нелицеприятные выражения, свидетельствующие о многом. Например, о том, что зреющие здесь "гроздья гнева" произрастают на почве дефицита аргументов, с помощью которых одна сторона могла бы легко и свободно разделаться с другой. Но сам этот дефицит, поскольку он рожден в отнюдь не слабой интеллектуальной среде, может свидетельствовать также о другом - о принципиальной неразрешимости данной дилеммы, напоминающей знаменитый гамлетовский вопрос: "Быть или не быть".

Разрешение проблемы, возможно, коренится не в признании правоты одной из сторон, а в принятии де-факто существующей расщепленности на две фундаментальные составляющие того, с чем имеет дело математика. Иными словами, речь может идти о диалектической ситуации раздвоенного единства, которое всегда возникает там, где эволюционирующая система достигает определенных рубежей зрелости, нуждаясь в дополнительных источниках и импульсах активизации скрытого в ней потенциала.

Является ли математика способом репрезентации реальности, а если да, то в какой мере и какую реальность она репрезентирует - эта фундаментальная проблема и стала причиной вышеупомянутого раскола. Нет сомнений в том, что она, будучи острой и актуальной в течение десятилетий, остается таковой и сегодня. Определяя дальнейшую судьбу не только математики, но и человеческой культуры вообще, эта проблема концентрирует на себе внимание современной философской мысли.

Позиция автора диссертации в отношении к данной проблеме состоит не в том, чтобы склоняться в ту или другую сторону и приводить соответствующие аргументы. Она заключается в другом - показать, что вышеназванные факты, произошедшие в 30-е годы XX века, есть не "катастрофа рационалистических институтов математической мысли", не предвестник или воплощение кризиса общества, его предсмертной духовной

агонии, не отказ совокупного ума человечества от дальнейшего наращивания техногенного могущества общества посредством вливания в него новых математических идей. Напротив, это событие представляет собой результат естественного процесса диагсектизации знания в его наиболее всеобщей форме, продукт внутреннего развития математики, породившего в лоне одного и того же единства две фундаментальные противоположности, две полярные силы. Взаимодействием их, самокоррекцией каждой при взаимообозрении порождаются новые расстановки сил, иные эпистемологические ситуации в лоне самой математики и вне ее, концептуальные линии и дисциплинарные особенности раскрытия сущности объективных структур и процессов миропорядка, новые смыслы субъекта математического творчества, благодаря чему и рождаются дополнительные импульсы для дальнейшего прогресса на этом поприще.

Исследование диалектической сущности сложившейся ситуации, самой математики как единораздвоенного целого, бинарной оппозиции функционально определившейся на путях репрезентации реальности в лоне современной культуры, и составляет основную направленность данной диссертационной работы.

Связь работы с крупными научными программами, темами. Теоретическая, основа диссертации включает научные принципы в единстве их исторического. и логического, эпистемологического и методологического начал, методы аспекгного и проблемного анализа, системного и диалектического синтеза, восхождения от абстрактного к конкретному и другие,—,позволяют__осмыслить математику в качестве особого способа репрезентации глубочайших областей сущего^реальности-зримой^ актуальной, -с одной стороны, наряду с саморефклексией ее, то есть проникновения ее в собственные недра как царство возможных миров и способов организации реальности потенциальной— с другой. Анализ мировоззренческих аспектов функционирования математики в сфере образования, обобщение ее реальных достижений во взаимосвязи с другими науками позволяют построить модель функционирующей здесь системы общих понятий. Она охватывает мир отражаемый и мир конструируемый как единый объективно реальный, обновляющийся, самоорганизующийся системный объект, включающий и человека в качестве одного из творцов такой самоорганизации.

При этом предполагается взаимосвязь с научными программами, имеющими иные цели, реализация которых обусловливает решение следующих проблем: логико-методологические аспекты взаимодействия современного естествознания и математики; специфика гуманизации и

гуманитаризации последних; методология принятия социальных и оргуправленческих решений; освещение процесса принятия решений н прогнозных ориентиров в парадигме системного подхода и системного анализа; эвристическая функция мысленного эксперимента; математизация, формализация, алгоритмизация в научном познании и др.

В связи с исследуемой проблемой и в русле ее решения автором учтены и критически осмыслены исследования по возникновению науки вообще и математики в частности, становлению философии и диалектики, по структуре и основаниям научных и математических теорий, специфике фундаментальной и прикладной ориентации и путях развития математики, как института, формы мышления о мире и способе емкого, лакотиного, экономного представления его существенных отношений. Принципиальные идеи, касающиеся рассматриваемой проблемы, выражены в исследованиях И. А. Акчурина, А Г. Барабашева, В. Э. Войцехович, В. Э. Габриэляна, Т. А Горолевич, Е.А. Дудко, Н. И. Жукова, В. А.Карпунина, О.ИКедровского, И. С. Кузнецовой, В.Н.Молодшего, А. Н. Нысанбаева, М.И.Панова, В, Я. Перминова, Ю. А. Петрова, Г. И. Рузавина, М. В. Салихова, Г. Г. Шяяхина, С. А. Яновской и др.

Гносеологические и онтологические проблемы развития и функционирования математического знания фундаментально исследованы в работах .зарубежных математиков: Н. Бурбаки, Г. Вейля, К. Геделя, Д. Гильберта, Г. Кантора, М. Клайна, Ф. Клейна, И. Лакатоса, А. Пуанкаре, Б. Рассела, Д. Стройк.

Цель и задачи исследования. Основная цель - изучение диалектически противоречивой природы и динамики становления современной математики в качестве:

- науки и общественного института, обеспечивающего технический, экономический, социальный прогресс;

- особого способа репрезентации реальности при освоении человеком структур миропорядка;

~ глобальной .метасистемы, обеспечивающей процесс функционирования научного познания как такового, осмысления его как целостности и оказывающей существенное воздействие на совершенствование данного процесса.

Поставленная цель определяет следующие задачи:

I, Показать в аспектом плане неоднозначный характер, полинаправленность самозастройки современной математики в ее четырехъяковом статусе: необходимого развитого института, обеспечивающего общественный

и научно-технический прогресс; самостоятельной науки в ряду других наук; особого, используемого человеком при освоении им структур миропорядка, способа интерпретации реальности; важнейшей составляющей современной культуры, оказывающей существенное воздействие на процесс становления познания, направляющей, корректирующей, синтезирующей его в аспекте постижения человеком своего места в мире.

2. Раскрыть сущность математики в диалектическом единстве внешнего и внутреннего, то есть диалектически противоречивую природу становления математики как системы в ее вышеозначенном полифункциональном статусе и как процесса самозастройки в сочетании двух родов импульсов. С одной стороны, это импульсы, поступающие в нее из материальной действительности и ассимилирование превращаемые ею в абстрактные формы, структуры и методы, в важнейшие опорные элементы ее аппарата и содержания; с другой -поступающие в нее из нее же самой, самогенерируемые в качестве отвлеченностей, абстракций более высоких порядков, питающих ее жизненность, могущество, саморазвитие.

3. Выявить и исследовать существенные факты, ставшие уже достоянием истории, критические рубежи внутреннего размежевания, обстоятельства места и времени, приведшие в XX веке к революционным изменениям в характере и содержании математики в ее четырех вышеозначенных ипостасях.

4. Обосновать аргументированно становление современной математики, этого важнейшего фундаментального средства и способа репрезентации реальности,-в-качестве^глобальной, автономно действующей метасистемы, обеспечивающей процесс функционирования "научного познаш1я_как_такового, осмысления его как определенной динамической целостности, оказывающей существенное воздействие на совершенствование соответствующих наук, движение более узких областей знания к их эволюционной зрелости.

5. Осмыслить методологическую, мировоззренческую, эстетическую, проективную функции математики как важнейшей определяющей, явно или неявно задающей направления развития современной компьютеризованной цивилизации, осваивающей миры виртуальной реальности.

Объект и предмет исследования. Объектом исследования является современная наука в лице математики и взаимосвязанный с нею процесс математизации познания; предметом исследования - общее и особенное, тенденции а закономерности динамики в процессе математизации как существенном факторе развития современной науки и технологий, предопределяющем прогресс общества.

Гипотеза. Современная математика представляет собой особый способ репрезентации количественной определенности объективной реальности и по степени общности получаемого знания, проникновения в глубинные области сущего сопоставима с философским.

Методология и методы проведенного исследования. Методологической базой проведенного исследования развития математики как особого способа репрезентации реальности в контексте мировой культуры, ее влияния на процессы познания являются методы диалектики и общей теории систем, как наиболее адекватные основной тенденции развития современной науки. Следует выделить деятельностный, культурологический, аксиологический, прагматический, конструктивный и другие философские подходы, примененные в работе.

Теоретической основой диссертационного исследования явились труды философов, представляющие собой концептуальные обобщения науки в целом и математики в частности. В силу того, что они перечислены выше, здесь отметим тех белорусских философов, которые внесли определенный вклад в данном направлении развития философского знания, оказали влияние на формирование философских взглядов автора. Среди них Т. А. Горолевич, Е. А. Дудко, И. И. Жбанкова, Н. И.Жуков, Э. М. Сороко и др.

Научная новизна и значимость полученных результатов. В диссертации освещено впервые проведенное целостное исследование проблемы функционирования. математического знания в аспекте влияния его методологического инструментария на процесс познания и в качестве особого способа отражения объективной реальности. Научная новизна работы заключается и в том, что методологический анализ математики и математизации науки осуществлен не путем подведения процесса, результатов математизации под известные категориальные системы, а на основе формальных и содержательно-конструктивных достижений, которыми богата и постоянно пополняется сама математика. Приоритетным в работе стал поиск механизмов и следствий взаимодействия собственно научных и собственно математических гносеологических установок, методов, концепций применительно к специфике определяемых в них реальностей.

Научной новизной отличается также проведенный автором анализ процесса развития математики во взаимодействии двух ее ветвей -традиционной, предопределенной нуждами практики, и "бурбакистской", формирующейся на собственной, аксиоматической основе, которые, проявляя математику как диалектически противоречивое целое, - бинарную оппозицию или раздвоенное единство, - составляют тем самым источник ее развития, движущие силовые компоненты которого суть эстетическое и прагматическое,

польза и красота.

В ходе исследования были получены определенные результаты:

- Выявлен и исследован такой аспект проблемы функционирования математического знания в контексте научного познания, который локализует ее и делает существенно определенной. С одной стороны, этому способствует рассмотрение математики как особого способа репрезентации реальности, а с другой - то, что в качестве сферы реализации математики предполагается не научное познание в целом и не отдельные его элементы, а раскрытие многообразия методологических функций математики в развитии категориального аппарата различных наук, анализ ее праксиологической и мировоззренческой функций.

- Рассмотрена подробно и аргументирована диалектическая сущность современной математики, конкретного факта ее внутренней диалектической противоречивости, которая предопределяется двумя сравнительно само-

• стоятельными ветвями, сформировавшимися в ее лоне и обусловливающими существование двух путей наращивания концептуальных построений.

Показано, что внутринаучная рефлексия в современной математике, вызванная к жизни кризисом ее оснований, концентрируется вокруг концептуальных разработок фундаменталистского и нефундаменталистского направлений, принимает формы борьбы идей, установок, позиций, которая ведется с переменным успехом той или другой стороны.

. - Развитая автором концепция математического познания как особого способа репрезентации реальности, включающей несколько родовых ее типов —(математическую реальность, тождественную объективной действительности; „собственную объективнукГреальность-математики,^открываемую последней в сфере высших областей сущего и в мире высокоабстрагированншПформ~и~ многообразий; виртуальную реальность и др.), свидетельствует: 1) об эшело-нцрованности (иерархизованности) этого действия, совершаемого математикой как -системой и метасистемой в непосредственной и опосредствованной формах; 2) о невозможности на поприще математического творчества провести четкую грань между сторонами субъектно-объектного отношения; 3)' о том, что математика представляет собой диалектически развитую самоорганизующуюся целостность, способную к коррекции своих состояний посредством модулирования (вариации) той или иной стороны, которые образуют раздвоенное единство.

" - Вскрыта фундаментальная связь математизации науки (а более общо -культуры всей современной цивилизации) и гуманизации общественных отношений, самой жизнедеятельности людей. Впервые показано, что два

названных полюса, математизация и гуманизация, есть взаимообусловленные стороны одного и того же процесса движения к эволюционной зрелости общества в целом, современного мира как такового, все шире и интенсивнее использующего компьютерные технологии для решения возникающих в нем проблем. В этом и состоит социокультурный аспект математического знания, принявший характер универсальной производительной силы в нынешнем, информационно-сервисном, экономическом укладе общества.

Практическая значимость полученных результатов. Диссертационное исследование расширяет границы традиционного использования понятийного аппарата математики в методологии науки; содержит конкретные логико-методологические и историко-научные результаты, позволяющие по-новому осмыслить развитие концептуального аппарата науки э процессе ее математизации; намечает направления по разработке адекватной современной науке методологии математики.

Постановка и решение ряда проблем, рассмотренных в работе, имеют прямое отношение к развитию теории образования, выступая теоретическим основанием преобразований в сфере обучения и воспитания.

Результаты работы могут быть использованы в преподавании курса философии, спецкурсов по методологии математики и науки в целом, в работе методологических семинаров, при определении отношения фундаментальных и прикладных исследований в математике.

Содержание диссертационного исследования может использоваться и в непосредственной практической деятельности, связанной с функционированием математического знания: в образовании (аспект его содержания и организации) - в средней и высшей школах, мировоззренческом обеспечении научного поиска, при разработке методологических аспектов практического взаимодействия философии, математики, теории образования, педагогики.

Важное практическое значение могут иметь результаты исследования для формирования научного мировоззрения студентов при изучении дисциплин математического цикла.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

1. Процесс математизации научного знания неразрывно связан с имманентным развитием познавательной деятельности человека и является .наиболее перспективным путем совершенствования понятийного аппарата современной науки как познавательного инструментария, обеспечивающего методологическое и категориальное регулирование выработки и оперирования знаниями в данной системе понятий.

2. В современном научном мышлении утвердился и продолжает развиваться общий категориальный подход к математическому познанию реальности. Этот подход, преломляющий в себе в концентрированном риде диалектику концептуальных средств философии и математики в научном познании, регулирует функционирование научного мышления в конкретной математизированной области знаний.

'3. Диалектическое противоречие между содержанием, методами развития и способами обоснования математики, которое обнаружилось в начале столетия благодаря работам Б.Рассела, Г.Фреге, Д.Гильберта и других реконструкторов оснований, носит объективный характер. Попытки его разрушения оказали позитивное влияние на развитие и функционирование математики в контексте ее становления как института мысли, способа постижения мира, метасистемы познания и развития культуры в целом.

4. Философский анализ проблем математики в рамках фундаментализма и нефундаментализма имеет объективные основания, но в то же время неадекватен классической и современной науке и представляет собой способы философской рефлексии математики как науки.

5. Исследование концептуального аппарата математики, реализованное в данной работе, предполагает выход за рамки фундаменталистского и нефундаменталистского направлений с целью осмысления его как особого способа репрезентации реальности и основано на единстве философско-методологической рефлексии математики с ее внутритеоретической и метатеоретической рефлексиями._____

6. Современная математика является особой наукой,—которая, одновременно представляет собой: глобальное образование с укрупненным делением, выступающим как гносеологическое отражение структуры объекта математического познания; растущую и развивающуюся систему с внутренними генетическими взаимосвязями; целостный функционирующий организм с отдельными частями, выполняющими внутриматематические, специфические функции; иерархическую систему, структурированную на многие уровни.

■ 7. Перспективы диалекгизации математического мышления связаны с взаимопроникновением понятийных аппаратов математики и философии, что составляет доминирующую тенденцию их развития, обеспечивающую новую атрибутику и критерии научного знания, новые его позиции в условиях кризиса классического детерминизма и повышения удельного веса нелинейности, фазовости, историзма, эволюционных инвариантов, системно-синергетических идей, аксиоматизированных теорий, принципов целостности

и

и пр.

Личный вклад соискателя. Диссертационное исследование представляет собой итог более чем 25-летней работы над проблемой математизации научного знания. Все результаты исследований получены автором самостоятельно.

Апробация результатов диссертации. Выводы и положения, сформулированные в диссертации, были использованы:

- при чтении спецкурсов по философским проблемам современной математики для преподавателей университетов и институтов Гаваны, Сантьяго-де-Куба, Камагуэй и Сьего-де-Авила (Республика Куба);

- проведении методологических семинаров по проблемам математики с преподавателями математического и физического факультетов Белорусского государственного педагогического университета имени Максима Танка;

- чтении спецкурса "Философские проблемы современной математики" для студентов математического факультета названного вуза;

- подготовке к изданию монографии "Математика и реальность".

Результаты диссертационного исследования апробированы посредством

публикаций и сообщений на 12 международных конференциях: Камагуэй, Республика Куба (1983); Сьего-де-Авила, Республика Куба (1984); Сантьяго-де-Куба, Республика Куба (1984); Камагуэй, Республика Куба (1985); Гавана, Республика Куба (1985); Минск (1990); Минск (1991); Брест (1996); Минск (1997); Минск (1998); Минск (1999) и одиннадцати республиканских: Минск (1989,1990, 1991, 1995, 1996, 1997, 1998,1999).

Опубликованность результатов. Основные положения и результаты исследований по проблеме диссертации опубликованы в 7 книгах, 12 брошюрах и учебных пособиях, 15 научных статьях и 9 изданиях тезисов научных конференций общим объемом 121,7 п. л.

Структура и объем диссертации. Диссертация, структура которой подчинена целям и задачам исследования, состоит из общей характеристики работы, пяти глав, заключения и списка использованных источников.

В первой главе осуществляется теоретическое исследование онтологической природы математических объектов и эмпирического уровня математического познания.

Во второй главе раскрывается специфика математического познания, объективной реальности.

В третьей главе прослеживается диалектика содержательного и формального в гносеологических основаниях математизации науки.

В четвертой главе исследуется методологическая функция математики и развитие категориального аппарата наук в процессе их математизации.

В пятой главе раскрывается праксиологическая и мировоззренческая значимость математики как науки.

В заключении подводятся итоги диссертационного исследования.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ

В первой главе "Онтологическая природа математических объектов и проблема эмпирического уровня математического познания" обсуждается проблема предмета (объекта), на исследование которого ориентирована математика как наука.

Точки зрения специалистов - самые противоречивые: от представлений о том, что математика вообще не имеет своего предмета (причем это едва ли не единственная наука с такого рода ситуацией), до признания в качестве предмета количественных, метрических форм и отношений объективной действительности.

Внимание концентрируется на сущности теоретического знания, а именно такое знание и составляет основную прерогативу математики как науки. Относительно этого также существуют разные точки зрения. Например, известный русский философ В. С. Соловьев полагал, что отвлеченно-научное знание "всегда было и будет праздною выдумкой, субъективным признаком". Отметим исторический момент, для которого данная точка зрения была типичной, - рубеж Х1Х-ХХ веков и изменение представлений на сей счет. Генезис означенных взглядов в течение одного столетия и анализ причин их изменения-— на -этом _таюке_сосредоточено внимание в первой главе как на типичном явлении, а не случайности, артефакте. -----------______

Основная идея данной главы - анализ вызревания самого феномена диалектичности математики как внутренне противоречивого объекта и на этой основе выявление источника ее саморазвития. Он - в противостоянии противоположностей, что предстают как "бинарная оппозиция", раздвоенное единство, в качестве которого и фигурирует математика в фазе своей зрелости как оформившаяся, развитая наука.

Процесс диалектизации, открывающийся лишь с позиций диалектической логики, прослеживается в двух вариантах. Во-первых, на примере античной культуры, где математика в завершающей фазе своего становления достигла состояния отвлеченной науки, абстрактной аксиоматизированной теории; во-вторых, на примере современного ее состояния и процесса, к нему приводящего, когда тот же идеал аксиоматезированной теории воспроизведен с уже известного античного варианта, но на более высоком уровне сложности.

В культуре древнего мира, когда происходило зарождение и становление

науки как таковой, высшим идеалом и одновременно организующим творческие устремления императивом была не практика, не утилитарная ценность, польза, которые нередко считались низким, презренным, достойным лишь рабов уделом, а красота. Наиболее ярко зто проявилось в античности. Красивым же, в собственном смысле данного слова, считалось то, что удовлетворяло критериям гармонии и меры.

Эти критерии определяли смысл и содержание всего создаваемого в науках. Так, математика возникла исторически как реакция мысли на развитие торговли и возросшие потребности общества в совершенствовании счета, исчислении циклов разливов рек, измерении площадей для нужд земледелия. Но наиболее ценным интеллектуальным продуктом на данном поприще стал учебник Евклида "Начата", свободный от какой-либо связи с практикой, реальностью. В нем концентрированно и развдетвленяо изложена абстрактная идея, множественными следствиями прорастающая в виде теорем, которые базируются на нескольких исходных отвлеченных основаниях (аксиомах), принимаемых без доказательства. С появлением "Начал" Евклида процесс формирования математики как науки завершился на том уровне самодостаточности, который был предопределен самой потребностью культуры, экономики, общественных отношений.

Означало ли это, что предыдущие поиски на данном пути стали ненужными, превратились в нонсенс, будучи перечеркнуты тем концентрированным, очищенным от эмпирии выражением геометрической идеи, которое являли собой "Начала" Евклида? Отнюдь нет. Процесс формирования наук приобрел строго выраженные рационалистические черты, завершился рафинированным, свободным от эмпирической зашумленности продуктом, который сосуществовач со всем тем, что являло собой область практической ориентации и "полезной" направленности математического знания. Здесь усматривается, с одной стороны, как бы завершение процесса, его закономерный итог, конечный результат, зрелая форма выражения математической мысли в виде "чистого" рационализированного продукта, а с другой - появление и вызревание "бинарной оппозиции", сторонами которой выступают практицизм и теоретизм, эмпирическое и умопознаваемое, среда прикладного - польза и сфера чистой эстетики - красота.

В математике, размежеванной на две противоположности, исторически завершился процесс становления ее идеи; наука обнажила себя как типичный диалектический объект, в котором смыкаются красота и польза. Но для достижения сторонами, противоположностями, членами оппозиции единства необходимо, чтобы они достигли высокой степени развития каждая в себе самой, то есть предстали вполне сформировавшимися агентами единого

действия.

Пример этот показателен в различных отношениях. Во-первых, в нем, как в фокусе, отразилась диалектическая сущность процесса становления сложного самоорганизующегося организма культуры, а не только математики как таковой. Во-вторых, он демонстрирует то, что высшей ценностью социокультурного становления является не меркантильность, не практика, а красота, хотя изначальным побудительным мотивом, движущей силой бывает первое, а не второе. В-третьих, этот пример показывает, как аналогичные процессы протекают в современной культуре.

В эпоху Просвещения, затем в "век рационализма", когда потребности развития техники, технологии земледелия, торговли, возраставшие по мере того, как капитализм формировался и набирал свое могущество, математика концентрировала собственные концептуально-теоретические средства и орудийное оснащение на решении конкретных задач, которые идейно обеспечивали практическое соответствие общественным потребностям. Но по мере того, как менялся характер общественных отношений, происходило углубление в отвлеченные сферы, имевшие к практике весьма опосредованное отношение. Так, выдающийся русский математик П. Л. Чебышев в свое время сокрушенно заметил: "В древности людям задачи ставили боги, потом полубоги, а теперь их ставят нужда" (Вестник РАН. - 1995. - Т. 65. -.№5.-С. 19).

В этих словах отразилась позиция "всеобщей задавленности" математики прошлого и начала XX века утилитаризмом, практицизмом, запросами развивавшегося капитализма,—который __оплачивал труд специалистов. "Практическая ориентация", "прикладная направленность", "полезность'—суть-критерии, которые политиками выдвигались на первое место при оценке достижений математики как науки. Работали силы инерции, сказывалась недостаточность культуры в осмыслении самой направленности "вектора устремлений" на данном поприще.

Между тем, начиная с 30-х годов, стали появляться оформившиеся математические коллективы, которые базировали математику на предельно отвлеченных основаниях - аксиоматике. Среди них - А. Н. Колмогоров, впервые, по замечанию многих известных математиков, изучавший науку под названием "Теория вероятностей", основываясь на аксиоматическом подходе; коллектив французских авторов, работавших под псевдонимом "Бурбаки". Критерии "пользы", "прикладной ориентации", "практической значимости" отошли на второй план, уступив место критериям красоты, гармонии, целостности, самодостаточности, исполненности математического тела как

совокупности идей, имеющих собственную реатьность.

Математика заявила себя феноменом, производящим "миры", где практика (в частности, физика) стала обнаруживать свой интерес, структуры, знание, хотя изначально не предполагалось открытие таковых, только математике доступных, миров. Появились новые критерии и оценки, с позиций которых определялась ценность математической теории и математического знания: "красивая концепция", "изящное доказательство", "элегантная теорема"...

Вопрос, как формируются математические структуры, до сих пор волнует и философов, и математиков. Выдающийся математик Г. Е. Шилов (псевдоним - Георгий Каривели) отвечает на него так: "Я утверждаю, что их источник - вовсе не материальный мир, а чистое мышление" (Ист.-мат. псслел. ~ 1975,- Вып. 20. - С. 19). Знаменитый П. Л. Чебышев такого высказывания позволить себе еще не мог. Оно стало возможным (причем из уст не дилетанта, а специалиста высокой категории) лишь в наше время, когда изменились идеалы, императивы и математика претерпела тот же процесс, который происходил в античности. Эта наука превратилась в диалектический объект, в "бинарную оппозицию", раздвоенное единство, в котором на одном полюсе - эмпирическая направленность на удовлетворение нужд практики, а па другом - застройка собственного тела на основании высших критериев красоты, гармонии, целостности, безотносительных к какой бы то ни было "пользе", которая в корне чужда ей, Достроив данную противоположность, идеально сформированное тело, и обогатившись аксиоматизмом, чистотой внутренней культуры, математика продемонстрировала фазу своей зрелости, подобно тому как эту миссию в античном мире выполнили "Начала" Евклида, прослужившие две тысячи лет основой педагогического процесса обучения школьников математике во всем мире, и прежде всего в европейских странах.

XX век отмечен острой борьбой между сторонниками "практицизма" (прикладная направленность математики) и "эстетизма" (аксиоматическая, собственно теоретическая направленность, сообразующаяся в первую очередь с чувством прекрасного, законами красоты). И та и другая сторона имеет своих адептов и своих противников, непреклонных в отстаивании собственной правоты. В отечественной математике эти две позиции представлены такими учеными, как В. Арнольд и И. Шафаревич. В первой главе диссертации раскрывается суть их аргументов.

Есть и "примиренческая" позиция - призыв к поиск)' компромисса. Так, американский историк математики Дж. Фанг отмечает: "Наше столетие зашло слишком далеко в разного рода "аксиоматических" разгулах, маниакальном

упорстве в самом суровом ригоризме. Это своего рода похмелье наступило после опьянения "аксиоматическим мышлением" на пороге столетия" (Fang J. Between philosophy and mathematics: The parallel on a "parallax" //Philosophia mathematica. - Ser. 2. - 1989. - Nol. 4. - № 2. - P. 177).

Процесс выделения противоположнностей произошел; начался обратный процесс синтеза их на новом качественном уровне, что, очевидно, произойдет не без помощи компьютерной техники, которая даст импульс этому процессу.

"Алгоритмическое машинообразное мышление", как называет далеко зашедший процесс формализации математических знаний в современной культуре человечества выдающийся русский математик И. Шафаревич, должно быть упрощено. И средством такого упрощения он видит не что иное, как эстетический фактор. Противодействие означенному выше мышлению, на его взгляд, должна оказать та сторона математики, которая "глубоко связана с эстетическим чувством" (Шафаревич И. Р. Математическое мышление и природа // Вопросы истории естествознания и техники. - 1996. - Jfe 1. -С. 78-84).

Процесс "погашения одного другим" объективен: во многих западных университетах технического и естественнонаучного профиля уже более 40% учебных часов занимают науки гуманитарного цикла. Сухость математики "размягчают" и с этой стороны. Математика, усложненная рационализованным стереотипом самозастройки, готова обратиться к .области иррационального. Так было в период становления древнегреческой науки (открытие Гиппасом, -учеником_Пифагора, несоизмеримости стороны и диагонали квадрата), так происходит и теперь, И. Шафаревич открыто поставил высшей целью развития математики - Бога. Не является ли это одним из признаков конца цивилизации, как было в древнегреческой культуре, где "Начала" Евклида, написанные в основном пифагорейцами, стали символом начала конца? Повторяется ли это нынче - вопрос вопросов.

Специфика математического познания объективной реальности составляет содержание второй главы "Математизация научного познания как предмет философской рефлексии". В ней подчеркивается, что философский анализ математики проводится сегодня по двум направлениям: фундаменталистскому (анализ математики подчинен одной целевой установке - выяснению ее сущности независимо от конкретных условий развития) и нефундаменталистскому (его представители стремятся преодолеть ошибки фундаменталистского подхода за счет постановки и решения проблем выявления "концепций развития математики, поиска схем этого развития, включающих в себя не только готовое знание, но и самих математиков с их

образом жизни, а также математические и духовные ценности).

Нефундаменталистский подход к исследованию математики направлен на реконструкцию (исследование, анализ) генезиса предмета математики и закономерностей ее развития, включая группу проблем функционирования математики. Решение этих проблем осуществляется по более широким, чем у фундаменталистов, позициям (основаниям), что позволяет первым лучше адаптироваться к тем бурным изменениям, которые связаны с процессом математизации научного знания, быть ближе к современным исследованиям в математике, к ее истории. Вместе с тем в главе делается аргументированный вывод о том, что проблема предвидения будущего математики, ее развития как науки не может быть достаточно полно решена и в рамках нефундаменталистской философии математики.

Осмыслить новый подход к математике как науке, которая обладает возможностью выделить количественную определенность бытия в "чистом" виде и исследовать количественную сторону субъективно-объективных отношений во всей их полноте и сложности, - эта задача выдвигается в диссертации как основополагающая.

Научный факт: во все времена имело место противоречие между задачей более полного математического познания объективной реальности и тем, что возможность ее осуществления возникала только тогда, когда количественные отношения так отделялись от их содержания, что развивали форму и сохраняли ее отношение (возможность применения) к познанию и углублению понимания содержания специфическими средствами математики. В этом противоречии формы и содержания кроется суть проблемы, которую до сих пор не могут достаточно полно решить как фундаменталисты, так и нефундаменталисты.

Данное противоречие молено рассматривать как основное между субъектом и объектом математического познания, которое определяет другие, производные от него, противоречия, например конечного и бесконечного, дискретного и непрерывного и т. д. В этом основном противоречии заключена и основная трудность философского анализа природы математического познания действительности. Его философское разрешение по своему существу равнозначно решению проблем: о возможностях математики как специфической деятельности отрыва одной определенности (количество) от другой (качество); о возможностях математики как своеобразной науки; об особом виде общественного разделения труда. Для их рационатьного понимания в качестве исходного логико-методологического принципа берется принцип практики.

Математика как феномен человеческой культуры, составляющий единое

целое с конкретно-исторической практикой, связана не только со становлением, развитием методов исследования, разработкой особых, специфически научных методов изучения объективной реальности, основанных на "безразличии" в определенных рамках ее аппарата к содержанию изучаемой предметной области. Сведение математики к методу перехода от истинных суждений к истинным выводам приводит к противопоставлению ее не только какой-то конкретной области знаний, но и знанию как целостной системе. Попытки определить сущность математики как науки путем обращения к одной из сторон диалектического целого, например к форме, в конечном счете обнаружат научную безрезультатность.

Главным (ведущим) методологическим принципом сегодня является объективность рассмотрения всякого предмета в лоне стихии его собственного движения, анализ жизни в "самой сути ее бытия". Все суждения, которые мы можем высказать относительно объекта, все определенности, которые мы можем ему приписать, должны быть основаны исключительно на самоопределении предмета мысли, естественном чуждом какому бы то ни было искусственному его разрезу, на его собственном движении, рассмотренном "в себе и для себя". Абстрактные и всеобщие принципы, сколь бы хороши они ни были, должны подчиняться доминанте собственной, имманентной, внутренней жизни конкретного (всему закономерно обоснованному в этом конкретном) и научно выводиться из него. Главная задача философа - мысленное наблюдение за развитием сути дела, за внутренним движением самого содержания с учетом, разумеется, особенностей организации его собственногопространства.

Вместо понимания объекта научного познания как организованной и расчлененной внутри себя реальности, живой конкретности, устойчивой сущности, независимой от того "угла" зрения, под которым ее рассматривает математика, происходит сомнительный поиск схем, закономерностей, выражающих не собственную специфику объекта познания, а специфику математического описания и его развития, анализа следствий, вытекающих из этого процесса.

Возникновение математики связано с выделением относительно самостоятельной символической деятельности субъекта как специфической, превращенной формы практической деятельности индивида. Именно символическая деятельность человека по освоению количественной определенности действительного мира явилась той основой, на которой сформировалась, функционирует и развивается математическая форма познания объективной реальности. По этой причине научный анашз сущности . и природы математического знания возможен путем включения его в

социальную сферу целенаправленной практической деятельности человека.

На теоретическом уровне математик имеет дело с опосредованным предметом, с особой формой выражения, представляющей собой определенное концептуальное образование, на познание которого непосредственно и направлена его деятельность. В свое время такими концептуальными образованиями выступали числа, величины, порядок, бесконечность, структуры и т, д. Попытки определить предмет математики через такие абстрактные объекты, имевшие место в прошлом, приводили к образованию порочного круга: математик замыкался в границах, им л<е установленных. Именно поэтому, постоянно углубляясь в теорию, он стал воспринимать ее образ как собственно бытие.

Математическое познание представляет собой теоретическое исследование количественной определенности объекгивной реальности. Ее исследование во внутриматематическом плане означает выведение сложной конструкции из определенности ее элементов, исследование отношений выводимости математических конструкций. Сами по себе математические понятия не имеют самостоятельного значения. Собственный математический смысл они обретают только в отношениях с другими понятиями, вне их они лишаются содержания и значения. Постижение рациональной связи математических абстракций возможно только путем углубления всеобщего, логического содержания ее объекта. Выделение реально существующих количественных отношений составляет лишь предпосылку математического познания и не влечет за собой познание объективной реальности. Объект математики нельзя отождествлять с той его особенной, конкретно-исторической формой, в которой выступает ее предмет. В то же время их нельзя противопоставлять.

Следует различать объект и предмет современной математики. Если ее объектом служит количественная определенность явлений действительного мира, с которой субъект имеет дело на конкретном этапе развития общества, то предметом исследования выступают определенные концептуальные образования (число, величина, структура и т. д.). При исследовании их соотношения необходимо учитывать гегелевское различение "чистого" и определенного количества. Количественная определенность неисчерпаема, как и сам мир, и может быть понята через определенное количество, которое составляет изменяющийся во времени предмет математики, ибо процесс математического познания объективной реальности бесконечен.

Только в контексте практической деятельности общества по освоению количественной определенности объективной действительности разрешается основное противоречие математики: происходит отделение, отрыв количества

от качества, формы от содержания; лишь в практической деятельности общественного человека обретает объективный смысл математическая реальность. Но реальность объекта математики не тождественна реальности математической. Научное понимание реальности в философии не ограничивается только вещественной формой отношений, поскольку отношения вещей не есть самостоятельная сущность; они опосредуются другими отношениями, могут быть производны от отношений людей в обществе. А последние не менее реальны, чем создаваемые на их основе вещи.

Реальны не только материальные, но и идеальные явления. Математическая реальность, являясь непосредственным предметом деятельности математика по отношению к объективной действительности, выступает как целостная система знаний ее количественной определенности и представляет собой то логическое пространство, в котором движется математическая мысль. Это движение с необходимостью подчиняется всеобщим законам логики предметно-практической деятельности специалиста.

Подобно тому как в процессе производства человек между собой и предметом труда ставит орудие труда, так и в познании между собой и познаваемым предметом он ставит средства познания - орудие духовного производства. Благодаря орудиям и средствам производства, человек изменяет формы и свойства природных вещей, "очеловечивает" их, творит вторую очеловеченную природу. Точно так же - по образцу (или аналогии) - человек, используя средства и методы научного, математического познания, тэсуществляет субъективную деятельность по моделированию

(воспроизводству, репрезентации)—исследуемой_сферы действительности.

Именно в контексте этой деятельности математика обретает свой "предмет-и— своеобразие'своего метода.

Математическое познание есть деятельность субъекта по освоению количественной определенности явлений действительного мира. Оно (познание), совершающееся в мышлении математика, не есть нечто безразличное к этой определенности действительного мира. Признание данного факта означает, что математика как наука по своему статусу сравнима с философией. В системе знаний она, как и философия, занимает "свое", особое место. Об этом свидетельствуют успехи процесса математизации.

В третьей главе "Диалектика содержательного и формального в гносеологических основаниях математизации науки" на основе исследования перехода от качественного анализа к количественному как объективной закономерности развития науки выяснены математические аспекты познания от простого к сложному, от единичного к общему. Исследование процесса

математизации научного знания и ее роли в переходе науки на новый теоретический уровень позволяет сделаеть вывод о том, что содержательный и формальный уровни научного исследования внутренне взаимообусловлены и составляют одно целое.

Абсолютизация математизации как метода теоретического познания неправомерна в силу принципиальной ограниченности дедуктивной возможности математического языка, неосуществимости полной формализации логического вывода в отдельной системе знания. Эта ограниченность состоит в том, что процесс математизации не может представлять собой абсолютно самостоятельное движение научной мысли, так как с самого начала он развивается в тесной связи с изучением содержания и только потому становится мощным методом познания действительности.

Принимая объективный характер ограниченности математической формализации, ее связь с общим процессом познания и подчиненность последнему, не следует впадать в другую крайность, которая приводит к недооценке значения роли математизации в научном познании. Необходимо учитывать то, что невыводимое в одной дедуктивной теории может оказаться выводимым в другой, более широкой системе научных знаний. Благодаря прогрессу математики, развитию процессов математизации, реализуется эвристическая функция данной науки, которая превращается в универсальный метод изучения более глубокой сущности познаваемых областей действительного мира.

В четвертой главе "Методологическая функция математики и развитие категориального аппарата науки" после освещения вопроса, почему именно математика, а не иная наука способна оказать действенную помощь другим наукам в их развитии, дается анализ процесса математизации как формы развития понятийного аппарата наук. Здесь раскрывается роль математики в устранении расплывчатости, многозначности понятий; прослеживается процесс появления новых понятий на базе старых, диалектика взаимопереходов и их структур, формирование обобщающих понятий; показывается, как в процессе взаимодействия математики с другими науками ее понятия становятся общенаучными.

В отличие от естественных и гуманитарных наук, которые рассматривают действительный мир в системе своих специфических структур, понятий и изучают его с точки зрения аналогии и подобия, математика по своей сути способствует синтезу научных представлений, создает предпосылки и становится базой (основой) для организации единого научного знания. Впервые в этом аспекте делается попытка осмыслить формы и средства

интеграции научного знания в контексте совершенствования форм и способов матемагизиции, внутренней логики развития науки и внешней потребности выражения их в количественных прогнозах. Помогая находить общие законы •развития объективной реальности, исследовать проблемы объекта и субъекта, человека и природы, природы и общества, теории и практики (традиционные проблемы философии), математика в поиске приемов и средств процесса познания выступает в качестве универсальной методологии, логико-методологического основания для разработки внутреннего единства науки как целостной системы. Процесс математизации становится действенной формой объединения научного знания в такую систему, которая позволяет взглянуть на проблемы и в науке, включая науки о живой природе, и в практике с единых логико-методологических позиций, что способствует формированию метоДолЬгичёской культуры исследователя, выработке научного стиля мышления', общенаучного мировоззрения.

"" В' пятой главе "Праксиологическая и мировоззренческая значимость математики как науки" исследуется взаимосвязь и взаимозависимость развития математики и' социального прогресса, существовавшая даже на этапе становления математики как науки. Сегодня эта взаимосвязь влияет на все стороны развития общества, ибо невозможно назвать сферу человеческой деятельности^' На которой не сказалось бы ее революционизирующее воздействий.

' ' Современная математика является теоретической основой научного -мировоззрения субъекта, а процесс математизации - одним из главных факторов социального ^прогресса,—В-соответствии с логикой изложения рассмотрены некоторые стороны этого сложного, многопланового"процесса.-

Без определенного теоретического уровня, которого достигает конкретная наука благодаря экстенсивному и интенсивному изменениям понятийного аппарата в процессе математизации, без интеграции научного знания ' на' основе математики невозможно совершенствовать методы организации и управления, средства передачи и хранения информации, создавать более гибкие системы контроля и повышать их надежность, то есть нельзя; совершенствовать автоматизацию, что составляет основу научного освоения объективной реальности.

Математизация самого процесса труда (использование новой техники и технологий, средств и методов кибернетики, планирование, организация и управление, основанное на методах математики, и т. д.) повышает не только его эффективность, но и культурный, образовательный уровень субъекта, участвующего' в нем. Иначе говоря, благодаря математике происходит

Проблема наглядности современного научного знания связана с тотальным проникновением средств и методов математики в научное исследование, повлекшим резкое возрастание его абстрактности. Что касается повышения уровня абстрактности самой математики, то этот факт возводится в одну из фундаментальных закономерностей ее развития. К сожалению, выведение этой закономерности не основывается на глубоком философском анализе математического познания как отражения количественной определенности объективной реальности, а связано с рассмотрением "движения математической мысли" в лоне интеллекта с помощью различного рода логических методов, приемов, способов построения теоретического знания. Соответственно и уровень абстрактности понимается как принятая математиками определенная система требований к степени общности проводимых рассуждений, формальному выражению математических понятий, формализации доказательства, зависящая только от уровня развития математики на данный период ее эволюции.

Показано, что решение проблемы наглядности современного научного знания невозможно без обращения за помощью к математике, что математические теории, интерпретированные содержательными, представляют собой не какой-то формализм, строго говоря, обладающий пустым содержанием, а четкие приближенные модели объективной реальности, в силу чего и возможна интерпретация сама по себе. А это означает, что в средствах математики отражается количественная определенность явлений действительного мира и ее мировоззренческая функция имеет область определений, эквивалентную области определений одноименной функции самой философии.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Методологический анализ математики и математизации науки позволяет сделать следующие выводы:

1. Математика является неотъемлемым компонентом культуры общества и несет на себе отчетливое влияние ее ценностных ориентаций. Они трансформируются исторически, адекватно содержанию и сущности общественного сознания людей, подобно ступеням социально-экономических укладов, которые общество проходит в своем развитии, имеют фазовый характер становления.

Математика, исторически проявляющаяся в науке, в культуре в целом как организм в организме, побуждает видеть последнюю как диалектически противоречивый метаорганизм. С начала своего возникновения в системе

культуры она проявляется как способ осознания материей себя, способ самоосознания сущего или путь постижения человеком структур, относящихся к "высшим областям сущего" (Аристотель), и отражает мир на уровне "критериальности второго, третьего и более высоких порядков" отвлеченности от всего на предельно высоких степенях абстракции [2; 3].

2. Сущность современной математики, математических и математизированных знаний как таковых предопределяется взаимодействием сравнительно самостоятельных ее сторон, представляющих собой раздвоенное единство, "бинарную оппозицию". Они - суть конкретное, непосредственное, эмпирически насыщенное и абстрактное, опосредованное, - предельно отвлеченное. С одной стороны, верифицируемая объективными данными материального мира система идей, методов, построений, облекаемых в формализованную оболочку, с другой - аксиоматическая теория, система концептов, возводимая рефлексирующей работой рассудка действующих уединенно или в сообществе ("безотносительно" к практике) субъектов-математиков. В историческом плане, в зависимости от характера и содержания общественных отношений, условий развития идеальных форм, институтов мысли, культуры, творчества, познания, "берет верх" то одна, то другая сторона. Превалирование второй означает вступление культуры общества в фазу своей зрелости, что было свойственно античности, когда впервые возник, окреп и стал апробироваться на практике аксиоматический метод. Это же, только в большей степени, свойственно и современной культуре с ее высокоразвитыми институтами мысли, творчества, автогенетации идей, ценностей и установок.

Споры о природе объекта (и предмета) математики как науки колеблются от непризнания его в полном смысле данного слова до предельно четкого указания на количественную определенность вещей и отношений объективной действительности. Эти споры небезосновательны. Реальность отношений, с которыми имеет дело математика, есть рафинированное выражение потенциально мыслимых форм для выявления сущности объективного мира, взятых в предельно абстрактном исполнении, включая мыслимые формы возможного, которое не может быть "узнано" ввиду отсутствия в действительном мире его непосредственно зримых экспликатов в качестве принадлежащих объективному миру структур.

Тем не менее возводимый математикой мир сущностей, который облекается в абстрактную оболочку и представляет собой лишь умопостигаемые вещи, которые открываются (а не изобретаются) на основе свойственного данному способу ресурса (логика, дедукция, аналогия и пр.), есть реальность, столь же объективная, как и мир материальных вещей. Не

признать этого - значит утратить представление о добываемых математикой истинах как действительных структурах данной реальности и оказаться сторонником "чистого умопорождения", что окрашено только в субъективные тона, несет отпечаток чистого вымысла, а следовательно, чуждо объективному миру, бытию как таковому [2; 3].

3. Пространство, в котором "опредмечиваются" математическая рефлексия, математическая концепгуальность, математическое теоретизирование, математическое мышление о сущем, представляет собой превращенную форму структур, посредством которых, природа организует свои порядки, но позволяет человеку выражать их критериальность на более высоких уровнях обобщенности, нежели та, что обнаруживает себя действенной на уровне непосредственно данного. Без эшелонированного обобщения, абстрагирования и построения многозвенной цепи абстракций от абстракций невозможно проникнуть в сущность предмета математики, а также в те цели (или суперцели), которые движут ее развитием, ориентируют ее прогресс [2; 3; 15; 16; 27].

4. Новая математика, основы которой были заложены в начале 30-х годов и которая с того времени сделала гигантский скачок вперед, обогатившись новыми концептуальными разработками, линиями, ветвями, лрирастившись новыми разделами, открыла богатейший мир образов, представлений, форм и систем. Они, обладая четким онтологическим статусом в высших областях сущего, наличествуют де-факто, подобно зримым феноменам чувственно воспринимаемого материального мира. "Субъективная" природа того продукта, который вырабатывала математика, представляя его в символьно-формализованном, знаковом виде, оказалась иллюзией, артефактом, за которым открылись структуры высшего порядка значимости (если исходить из представлений о реальном мире как многосложном организме, обладающем эшелонизированной, фронтально самоуглубляющейся, многокачественной сущностью). "Субъективность" же проявляется лишь изначально, сужаясь до того круга аксиом, выбор которых и есть прерогатива субъекта творческого, разворачиваемого на данном поприще процесса, то есть самого математика. Но и он, ограниченный в своем выборе, не полностью субъективен. Пространство выбора здесь отличается весьма малым числом степеней свободы, поскольку математик при построении аксиоматизированной теории вынужден избирать только то, что детерминировано логикой, самим существом проблемы, так сказать, изначальным, установочным содержательным императивом, который предопределяет эту проблему.

В процессе застройки аксиоматических систем данный путь, который в

новой математике - науке XX века - казался весьма перспективным, вскрыл иные противоречия. Они подтверждали тот факт, что не бывает свободных магистральных путей для того, чтобы разум проявил свое могущество в сфере производства формализованных теорий, концептуальных высокоабстра-гированных систем. Постепенно были утрачены основные идеалы аксиоматического метода, прежде всего категориальность утверждений аксиоматической теории, а также "три кита" этого метода, на которых Д. Гильберт предполагал возвести здание будущей математики. Эти "три кита" - непротиворечивость, полнота и наличие решающей процедуры (Einscheidungsproblem), с которыми пришлось расстаться как с незыблемыми основаниями для возводимых нынешними и будущими математиками теоретических конструктов, - лишь утвердили истину, что только в единстве с эмпирией, конкретными данными практики, новейшими результатами других наук (и в первую очередь физики) возможно дальнейшее развитие и обогащение математики как универсального ключа к постижению тайн бьггия, как целостного суперорганизма [2; 3].

5. Проблема цели развития математического знания до сих пор остается дискуссионным, средоточием различных позиций. Не претендуя на окончательное решение этой трудной во многих отношениях проблемы, обратим внимание лишь на параллель, существующую во взглядах на эволюцию представлений о цели формирования и развития математики как способа осмысления, осознания человеком самого сущего в предельно доступной ему рационализированной форме, с одной стороны, и о цели развития в онто- и филогенезе самого человека, Homo sapiens, - с другой. Своей многогранной деятельностью он возвел - систему_ математического знания, придал ей жизненный импульс "решателя задач", встающих на его пути, и связал с ней свои надежды.

Здесь генезис культуры человечества и генезис, встроенный в нее на правах неотъемлемого компонента математики, точнее, всего комплекса математизированных знаний, если и не совпадают, то во многом однонаправлены. И потому ответ на вопрос о целях математики следует искать в системе, ее содержащей. Будучи более масштабной и в своих границах, и в своей функциональности, она требует то или иное орудийное оснащение для преобразующего мир субъекта практики либо предоставляет свободу творческому процессу, результатом чего является в высшей степени абстрактный продукт как условие и средство дальнейшего обогащения тех же методов практической деятельности.

Практика или Бог, польза (непосредственные нужды общества) или красота, мера, гармония (более высокие духовные ценности и идеалы) - что

является ведущим звеном и основным фактором? Этот вопрос на всех стадиях развития культуры вставал перед математиками при попытках осмыслить ту область, в которой они работали, реализовывая свои профессиональные интересы. Однозначного ответа, универсально пригодного для всех исторических фаз становления культуры, общественного процесса в целом, нет. Здесь имеет место маятниковое движение и перемещение ценностей от одного полюса к другому. Истина состоит, по-видимому, в том, что на каждой фазе развития математики как науки и как системы идей уместно подразумевать мерное соединение, гармонию этих начал [2; 3].

6. В результате проведенного исследования, которому посвящена данная диссертационная работа, было показано, что произошедший в 20-30-е годы XX века раскол математики на традиционную, которая своими корнями уходит в нужды практики, и новую, основой которой является очищенный от всякой эмпирии и конкретики аксиоматический метод, есть естественный диалектический процесс, трактуемый как раздвоение единого. Произошедшее- не "катастрофа" в рамках рационалистических форм и институтов математической мысли, не предвестник или воплощение кризиса культуры общества, его "предсмертной духовной агонии" (как иногда пытаются это представить, интерпретируя снижение значимости математического знания в духовном универсуме человека),. не отказ совокупного ума человечества от дальнейшего продвижения. в глубины познаваемой сущности мира, наращивания технологического могущества общества посредством разработки и введения в оборот новых математических идей. Напротив, данное событие представляет собой результат естественного процесса диалектизации научного знания в его высшей, наиболее всеобщей, математизированной форме. Это- целиком продукт внутреннего развития математики, породившего в лоне одного и того же единства две фундаментальные противоположности, две полярные силы. Их борением и взаимодействием, синергизмом и достигаемой в итоге самокоррекцией, происходящей благодаря взаимоотражению, возникают новые возможности дальнейшего прогресса, рождаются дополнительные импульсы, открываются неизвестные дотоле источники продвижения вперед и наращивания потенциала.

Раскрытие сущности и естественного диалектического механизма данного процесса осуществлено на материале становления современного математического знания с экскурсом в непосредственно примыкающие к XX веку столетия, обеспечившие платформу для произошедших в математике преобразований. И не только в определенную преемственность того, что уже произошло в античности, а в текущем столетии повторилось на более высоком уровне сложности, с более мощным вовлечением в познавательное

пространство (которое, по терминологии Поппера, является отдельным, самостоятельным уникальным методом) рефлексирующих творческих структур, когнитивных устремлений субъектов данного процесса-математиков как творцов новой математической культуры [2; 3].

7. Научное исследование проблемы функционирования математических знаний в плане влияния его методологического инструментария на процесс познания и в качестве особого способа репрезентации реальности возможно благодаря диалектическому подходу, согласно которому научные знания представляют собой продукт взаимодействия творческой деятельности субъекта и познаваемой им реальности. Всеобщий характер математического познания опосредован объективной связью количественной и качественной определенности явлений материальной действительности, и лишь раскрытие ее содержания и глубоких слоев сущности позволяет достичь всестороннего знания о структурах и процессах объективного мира. Поэтому в методологическом плане творческая деятельность математика представляется как особая форма активности познающего субъекта, который посредством абстракции высокого уровня не только конструирует существующие на данный момент состояния объективной реальности, но и прогнозирует их изменение и развитие в будущем.

Математическое познание материального мира представляет собой акт экспликации количественной определенности объективной реальности, ее построения в некоторой данной системе средств, не будучи актом ее описания. Эта экспликация является продуцированием не реального объекта, а его

---математической модели, причем математические понятия, участвующие в

данном процессе, могут~иметь-смысл лишь__постольку, поскольку они рассматриваются в определенных отношениях друг с другом. Неправомерно-ставить вопрос об их объективном значении вне этой системы отношений, так как объективное значение может иметь вся система в целом, но не отдельные ее элементы. Их содержание определяется отношением к другим математическим понятиям и интерпретационными процедурами. Непонимание этого момента лежит в основе положений, в которых утверждается, что математика вообще отвлекается от реального мира [2; 3; 13; 14; 16; 27].

8. В своей практической, познавательной, проективной, прогностической деятельности человек имеет дело с таким многообразием связей и отношений, составляющих количественную определенность вещей, которое не сопоставимо с миром математических объектов, ее репрезентирующих. Это несоответствие разрешается созданием новых математических средств постижения количественной определенности явлений действительного мира.

Характерным для каждого этапа математического познания является отвлечение от качественной определенности. Во все времена имело место

противоречие: математическое познание было осуществимо тогда, когда количественная определенность была отделена от ее материального субстрата, что само по себе невозможно в объективной реальности. Стало быть, математика, совершая такое отделение, осуществляет то, что невозможно другим путем в реальном мире. В этом противоречии и кроется суть проблемы математического познания, которую до сих пор не . могут решить ни фундаменталисты, ни нефундаменталисты.

Основное противоречие математики как особого способа репрезентации реальности оказывается рационально понятным, если в качестве исходного логико-методологического регулятива для его разрешения берется принцип практики. Только в практической деятельности человека обретает объективный смысл математическая реальность - такова квинтэссенция прежней математики, господствовавший в культуре до 30-х годов XX века. Математическая реальность, являясь непосредственным предметом деятельности математика по отношению к объективной реальности, выступает как целостная система знаний о структуре и состоянии последней и представляет собой то логико-семантическое пространство, в котором движется математическая мысль, подчиняющаяся всеобщим законам логики, что господствует также и в предметно-практической деятельности общественного индивида. Математические теории представляют собой не какой-то формализм, обладающий пустым содержанием, а приближенные модели объективной реальности, в силу чего и возможна их содержательная интерпретация.

Математическое познание не сводится к тому, чтобы зафиксировать в сознании количественную определенность или эмпирически установить, при каких обстоятельствах вещь приобретает эту определенность. Как в практической деятельности, так и в математическом познании человек относится к объекту преобразования или исследования не пассивно, а активно, творчески. Не довольствуясь созерцанием сил природы, он овладевает ими, превращая их в орудия, средства, с помощью которых-изменяет ее объекты и приспосабливает их к своим потребностям. Подобно тому как в практической деятельности человек между собой и природой ставит орудия труда, так и в познании он между собой и объектом исследования ставит математику как систему средств выражения и воспроизведения количественной определенности явлений действительности, глубоких структур порядка из высших уровней сущности мира, что является неотъемлемой стороной его познания. Именно в такой деятельности специалиста обретает математика свой предмет, своеобразие собственного метода и тем самым статус особого способа репрезентации реальности [2; 3; 11; 15].

9. Новые подходы и исследования концептуального аппарата математики, основанные на единстве философско-методологической репрезентации науки с ее внутритеоретической и метатеоретической рефлексиями позволили обосновать концепцию процесса математизации как наиболее перспективного пути совершенствования понятийного аппарата современной науки, обеспечивающего методологическое и категориальное регулирование выработай и оперирования знаниями в данной системе понятий. Это, в свою очередь, позволило рассмотреть математизацию и гуманизацию как противоречивые, взаимозависимые, взаимодополняющие и взаимообусловливающие тенденции развития современного научного знания [2; 3; 13; 18].

10. Итогом проведенного исследования явилось обоснование и решение новой научной проблемы - создание-представлений о целостном функционировании математического знания в аспекте влияния его методологического инструментария на процесс познания вообще и аргументация по проблеме математического познания как особого способа репрезентации реальности в частности. Это позволяет сделать обобщающий вывод: математика по статусу и значимости сопоставима с философией и, подобно ей, занимает в науке как целостной системе знаний свое особое, ничем не восполнимое, исторически обусловленное, логически и функционально предопределенное место [2; 3].

СПИСОК ОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

КНИГИ

1. Кикель П. В. Диалектический материализм - методологическая основа современного естествознания. - Республика Куба: Камагуэй, 1986. - 287 с. -На исп. яз.

2. Кикель П. В. Математизация научного знания. - Минск: Университетское, 1989. -130 с.

3. Кикель П. В. Математическое познание действительности. - Минск: БГПУ, 1995.-203 с.

4. Кикель П. В. Философские проблемы естествознания. ~ Республика Куба: Камагуэй, 1985. - 187 с. - На исп. яз.

5. Кикель П. В. Философские проблемы современной математики. -Республика Куба: Камагуэй, 1984. -287 с. - На исп. яз.

6. Кикель П. В., Алонсо Ф. и др. Особенности научного управления обществом Кубы. - Республика Куба: Камагуэй, 1984. - 303 с. - На исп. яз.

7. Кикель П. В., Пино П. Как изучать произведения классиков марксизма-ленинизма. - Республика Куба: Камагуэй, 1985. - 199 с. -На исп. яз.

БРОШЮРЫ, ПОСОБИЯ, СТАТЬИ, ТЕЗИСЫ

8. Кикель П. В. XXVI съезд КПСС - новый этап по пути построения коммунизма. - Минск: Знание, 1981. - 48 с.

9. Кикель П. В. Диалектика поколений и социальный прогресс Н Молодежь Беларуси: прошлое, настоящее, будущее: Материалы Респ. конф: -Минск: БГПУ, 1998. - С. 88-91.

10. Кикель П. В. Интегрирующая роль процесса математизации в научном познании // Материалы науч.-теорет. конф. молодых ученых. - Минск: МГПИ, 1975.-С. 181-189.

11. ЮкельП. В, 1нтэгратыуная функция матэматьга у астэме падрыхтоую вышэйшай школы /У 1нтэграцыйныя тэндэнцьн ва удаскаиаленш падрыхтоуга студэнтау-дэфектолагау ва умовах нацыянальнага адраджэння: 36. матэрыялау Рэсп. навук. канф. - Мшск: МДП1, 1993. - С. 60-64.

12. Кикель П. В. Истинное возрождение и демократическое реформирование // Правда истории и современность. - Минск, 1996. - С. 68-76.

13. Кикель П. В. Математизация знаний и развитие понятийного аппарата наук П Ленинские идеи и развитие общества на современном этапе:

Материалы конф. молодых ученых. - Минск: Наука и техника, 1975. -С. 56-64.

14. КикельП. В. Математизация знаний как выражение перехода наую на новый теоретический уровень //Гуманитарные науки: Сб. ст. аспирантов. -Минск: МГПИ, 1974. - С. 96-107.

15. Кикель П. В. Математизация знаний как существенная сторон; современной научно-технической революции //Философия и научньн коммунизм. - Минск: БГУ, 1974. - Вып. 1. - С. 59-66.

16. Кикель П. В. Математизация как фактор развития научного знани. // Философия и научный коммунизм. - Минск: БГУ, 1975. - Вып. 2. - С. 36-43.

17. КикельП. В. Математика и интеллектуальный потенциал школ! // Формирование мировоззренческой культуры молодежи: Сб. ст. - Минск МГПИ, 1991.-С. 120-125.

18. КикельП. В. Математика и формирование логического мышления ; учащихся средней школы //Актуальные проблемы психологии и педагогию довузовской подготовки: Материалы науч. конф. - Минск: МГПИ, 1990. ■ С. 60-84.

19. Кикель П. В. Математическая подготовка специалистов высше! школы и новое мышление //Совершенствование работы заочных отделени: педагогических ВУЗов: Материалы Респ. науч.-метод, конф. - Минск: МГПИ 1990.-С. 37-42.

20. Кикель П. В. Методическое пособие по курсу философии дл студентов математического факультета. - Минск: БГПУ, 1997. - 67 с.

_ 21. Кикель П. В. Методическое пособие по курсу философии дл

студентов специального факультета управлешш_и социальных технологий. Минск: БГУ, 1999. - 73 с. ^ -—-

22. Кикель П. В. Методическое пособие по курсу философии дл студентов факультета прикладной психологии. - Минск: БГПУ, 1997. - 45 с.

23. КикельП. В. Методическое пособие по курсу философий дл студентов факультета прикладной психологии. - Минск: БГПУ, 1999. - 73 с.

24. Кикель П. В. Методологическая и мировоззренческая значимост математики как науки // Проблемы развития науки и образования современных условиях и укрепление международных связей ученых: Сб. дою междунар. конф. - Минск: БГПУ, 1994. - С. 201-210.

25. Кикель П. В. Методологическая и мировоззренческая значимост математического знания в контексте современного образовани //III Академические чтения "Образование и наука на рубеже XXI век: проблемы и перспективы развития": Материалы междунар. конф. - Мина БГПУ, 1997.-С. 140-142.

26. Кикель П. В. Мировоззренческая культура как фактор профессиональной деятельности учителя //Формирование мировоззренческой культуры молодежи. Сб. ст. - Минск: МГПИ, 1991.-С. 10-16.

27. Кикель П. В. О роли математики в современных методах познания //Гуманитарные науки: Сб. ст. аспирантов. - Минск: МГПИ, 1974. - С. 107-115.

28. Кикель П. В. Путь расцвета и прогресса и путь в никуда // Материалы междунар. конф. - Минск, 1997. - С. 2-10.

29. Кикель П. В. Роль математики в формировании научного мировоззрения // Пути и методы совершенствования коммунистического воспитания учащейся и студенческой молодежи: Материалы науч. конф,-Минск: МГПИ, 1977. - С. 40-43.

30. Кикель П. В. Таблицы и схемы по диалектическому материализму. -Минск: МГПИ, 1986.-Вып. 1.-71 с.

31. Кикель П. В. Таблицы и схемы по диалектическому материализму. -Минск: МГПИ, 1987. - Вып. 2. - 73 с.

32. Кикель П. В. Таблицы и схемы по диалектическому материализму. -Минск: МГПИ, 1988. - Вып. 3. - 75 с.

33. Кикель П. В. Таблицы и схемы по диалектическому материализму. -Минск: МГПИ, 1989. - Вып. 4. - 77 с.

34. Кикель П. В., Воробьева Е. М. XXVII съезд КПСС о повышении благосостояния советского народа в XII пятилетке. - Минск: Знание, 1986. -48 с.

35. Кикель П. В., Марецкий А. И. Методические советы по изучению книги В. И. Ленина "Материализм и эмпириокритицизм". - Минск: МГПИ, 1979.-43 с.

36. Кикель П. В., ОпимахН. А., Павлова Н. В. и др. Методологические рекомендации педагогическим кадрам в контрпропагандистской работе. -Минск: МГПИ, 1985.-61 с.

37. Кикель П. В., СалиховМ. В. Математика и социальный прогресс.-Минск: МГПИ, 1990. - 43 с.

РЭЗЮМЭ

Юкель Павел Ваальев1ч Матэматыка як асобы спосаб рэпрэзентацьи рэальнасщ

Ключавыя словы: дыялектыка, змест, колькасць, логжа, матэматызацыя матэматыка, метад, мета дало пя, навука, пазнанне, паняцце, светапогляд тэорыя, форма, якасць.

Аб'ект даследавання - матэматычнае пазнанне колькаснай акрэсленасц з'яу аб'еклыунай рэальнасщ \ яго уплыу На працэс пазнання. Мэта працы -асэнсаванне матэматым як асобага спосабу адлюстравання аб'ектыуна{ рэальнасш 1 хго функцыянавання у кактзксце навуковага пазнання. Гэты\ прадугледжваецца анал1з статусу паняццяу 1 метаду матэматьт, я< узаемасувяз1 з шшыин навукам!, даследаванне дыялектыи зместу 1 формы ) матэматыцы, працэсе матэматызацьп.

Навуковая нав1зна даследавання заключаецца у тым, што упершынк зроблены фшасофсю анализ функцыянавання матэматычных ведау у аспекш уплыву ¡X метадалапчнага шструментарыя на працэс пазнання, звязаны :: выхадам за межы традьщыйных фшасофсюх напрамкау. Выяулены даследаваны таи аспект праблемы, яю лакашзуе яе 1 робщь сутнаснг акрэсленай. 3 аднаго боку, гэтаму садзеншчае разгляд матэматьш як асобап спосабу адлюстравання аб'ектыунай рэальнасщ, а з другога - тое, што у якасц: сферы рэал1зацьп матэматьга мяркуецца не навуковае пазнанне у цэлым, не асобныя яго элементы, а выяуленне разнастайных метадалапчных функцый_> развщш катэгарыяльнага 1 канвдптуадьнага строю розных навук, аналв яе пракаялапчнай 1 светапогляднай функцый.

Дысертацыйнае даследаванне уключае канкрэтныя лопка-метадалапчныя { тэарэтычныя вынш, яюя дазваляюць па-новаму уразумець праблемы развщця навуы у працэсе яе матэматызацьп, распрацоуку адэкватнай метадалогн матэматьш, светапогляднага забеспячэння навуковага пошуку, метадалапчныя аспекты практычнага узаемадзеяння фшасофп, матэматыга 1 тзорьп адукацьн.

РЕЗЮМЕ

Кикель Павел Васильевич Математика как особый способ репрезентации реальности

Ключевые слова: диалектика, качество, количество, логика, математика, математизация, метод, методология, наука, познание, понятие, содержание, теория, форма.

Объект исследования - математическое познание количественной определенности явлений объективной реальности и его влияние на процесс познания. Цель работы - осмысление математики как особого способа отражения объективной реальности и его функционирования в контексте научного познания. Это предполагает анализ статуса понятий и метода математики, ее взаимосвязи с другими науками, исследование диалектики содержания и формы в математике, процессе математизации.

Научная новизна исследования заключается в том, что впервые проведен философский анализ функционирования математического знания в аспекте влияния его методологического инструментария на процесс познания, связанный с выходом за рамки традиционных философских направлений. Выявлен и исследован такой аспект проблемы, который локализует ее и делает существенно определенной. С одной стороны, этому способствует рассмотрение математики как особого способа отражения объективной реальности, а с друтой - то, что в качестве сферы реализации математики предполагается не научное познание в целом, не отдельные его элементы, а выявление многообразия методологических функций в развитии категориального и концептуального строя различных наук, анализ ее праксиологической и мировоззренческой функций.

Диссертационное исследование содержит конкретные логико-методологические и теоретические результаты, которые позволяют по-новому осмыслить проблемы развития науки в процессе ее математизации, разработку адекватной методологии математики, мировоззренческого обеспечения научного поиска, методологические аспекты практического взаимодействия философии, математики и теории образования.

SUMMARY

Kikel Pavel Vasilievich Mathematics as special means of reflection of reality

Key words: dialectics, quality, quantity, logic, mathematics, mathematization, method, methodology, world outlook, science, cognition, concept, category, contents, theory, form.

The main object of this research is mathematical cognition of quantitative determination of objective reality and its influence on the process of cognition. The purpose of this thesis has been to comprehend mathematics as the special means oi reflection of objective reality and its functioning in the context of scientific epistemology. This involves analysis of the status of concepts and method ol mathematics, its interrelationship with other sciences, and exploration of dialectics o1 the contents and the form in mathematics or in the process of mathematization.

The scientific novelty of this thesis consists in philosophical analysis oi functioning of mathematical knowledge in the aspects of the influence of its methodological tools on the process of cognition which suggests the need to exceed the bounds of traditional philosophical trends. In this research such an aspect of the problem has been developed and studied that allowed to localize and significant!} determine it. On the one hand, this is conductive to consideration of mathematics ai being the special way to reflect the objective reality. On the other hand, the sphere ol realization of mathematics is based not upon scientificjoiowledge as a whole or it: separate elements, but on "demonstration of the diversity of methodological function; in the development of the categorial and conceptual order of different sciences, analysis of praxeological functions and capability to reflect the world outlook.

This dissertation research contains specific logical and methodological anc theoretical results that shed the light on problems of the development of science ir the process of its mathematization. An adequate methodology of mathematics as wel as philosophical support to scientific research and methodological aspects oi practical interaction of philosophy, mathematics and educational theory receivec further elaboration in this thesis.