автореферат диссертации по философии, специальность ВАК РФ 09.00.08
диссертация на тему: "Начала" Евклида в свете философии Платона и Аристотеля

Полный текст автореферата диссертации по теме ""Начала" Евклида в свете философии Платона и Аристотеля"

ИНСТИТУТ ФИЛОСОФИИ РАН

Специализированный совет Д. 002.29.03

РГБ ОД

' иа правах рукописи

С - '

Родин Андрей Вячеславович

"НАЧАЛА" ЕВКЛИДА В СВЕТЕ ФИЛОСОФИИ ПЛАТОНА И АРИСТОТЕЛЯ Сна материале I-IV книг)

Зпециальность 09 00.08 - философские вопросы естествознания и

техники.

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата философских наук

Москва 1995

Диссертация выполнена в секторе "исторических типов научного знания" Института Философии РАН

Научный руководитель -Официальные оппоненты -

Ведуиая организация

кандидат химических наук А. В. Ахутия

доктор философских наук профессор А.Г. Барабашев, дохтор философских наук А. П. Огурцов

Институт Истории Естествознания и Техники РАН, сектор истории математики

Зажита состоится "_" _ 1995 г. в _ часов

в ауд _на заседании специализированного совета Д. 002.29.03 по

присуждена» ученой степени доктора философских наук по специальности 09.00.08 в Институте Философии РАН. Адрес: Москва. Волхонка 14.

С днссертацне* ¡»«но ознакомиться в научной библиотеке института.

Автореферат разослан "_" _ 1995 г.

Ученый секретарь специализированного совета

лп Кияпюнко

1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ

Актуальность темы диссертации.

Эпистемологический бум шестидесятых годов нашего века, вызванный работами Т.Куна1 и его последователей, привел к целому ряду попыток исследовать науку прошлого с точки зрения исторического своеобразия ее целей, методов и критериев научности. Чтобы решить эту задачу, исследователи соотносят науку с другими культурными феноменами соответствующей эпохи, например искусством, религией или социальной жизнью, Однако особую • роль, как представляется, играет соотнесение науки и философии, поскольку только философия дает возможность понимания предпосылок науки соответствующей эпохи, а не просто дает указания на эти предпосылки. В известном смысле философия и история философии соразмеряет "несоизмеримые" по Куну "научные парадигмы". Итак, новые подходы в эпистемологии о одной стороны привносят историчность в саму эпистемологию, а с другой стороны заставляет изменить существующие взгляды на историю науки. Особенно актуальной представляется попытка решить эти две задачи вместе, сохраняя их естественную связь друг с другом, а не по отдельности, как это делалось раньше. Предлагаемая диссертация как раз представляет собой попытху реализации этой двойственной программы по отношению к главному памятнику античной математики - "Началам" Евклида, из которых мы выбрали для исследования первые четыре книги.

Вопрос об актуальности темы нашего исследования имеет и более далекую историческую перспективу. Как известно, древнегреческая математическая традиция первоначально проникла в Европу через посредство арабских математиков, для которых основной математической дисциплиной стала алгебра. Поэтому первые достижения европейских математиков также относятся к алгебре. С другой стороны, когда в эпоху Возрождения в рамках общей гуманистической программы "восстановления античного культурного наследия были сделаны попытки понять смысл античной математики и в частности "Начал" Евклида в контексте античного платонизма, стало ясно, что задачи, которые ставили перед собой античные математики.

Кун Т. Структура научных революций Москва 1977

{

весьма отличны от задач арабских и европейских алгебраистов. В семнадцатом веке Декарт открыто порвал с античной традицией и заложил основы новой философии математики, отвечающей современной ему математической практике, после чего усилия по восстановлению смысла античной математики в контексте античной философии были на долгое время приостановлены. Тем не менее "Начала" Евклида и после Декарта продолжают играть роль учебника математики, подвергаясь все более глубокой модернизации. Опосредованным образом "Начала" играют эту роль и сегодня: например, геометрические задачи "на построение" прямо восходят к Евкляду и являются обязательными для всякого школьного курса геометрии, хотя они и не образуют базис никакой современной математической теории. Таким образом, математика Евклида на протяжении всей европейской истории и до наших дней пребывает в некотором латентном состоянии, играя важную роль в математическом образовании, но оставаясь непроясненной в собственном замысле. Эта непроясненность оэначет непрозрачность для самой себя и европейской математики в целом, включая современное ее состояние. Таким образом, чтобы сегодня ответить на вопрос "что такое математика?", на наш взгляд, необходимо понять, что именно было унаследовано нами у античности и прекде всего -что такое "Начала" Евклида.

Выше мы сказали об анализе математического текста "Начал" с помощью философских текстов. Однако и наоборот, прочтение известных текстов Платона и Аристотеля в контексте "Начал" Евклида приводит к новым неожиданным интерпретациям. Таким образом, заявленная тема имеет и чисто историко-философское измерение.

Степень научной разработанности проблемы.

"Начала" Евклида на протяжении многих веков находились в центре, внимания европейской мысли. Однако попытки осмысления "Начал" в контексте античной философии, как мы уже сказали, были оставлены в конце шестнадцатого века и возобновились только в конце девятнадцатого века. Что касается этих позднейших попыток, то основную проблему для исследователей составляло согласование интерпретации "Начал" с точки зрения современной им математики с интерпретацией этого произведения с точки зрения античной философии. Другими словами, проблема заключается в согласовании философского и математического смыслов "Начал". По отношению к "Началам" в целом эта проблема остается до сих пор нерешенной.

Исследователи были вынуждены говорить о<5 "особой форме", определяемой философскими предпосылками, в которой выражено у Евклида математическое содержание, или рассматривать в связи с историко-философскими соображениями только отдельные моменты математической теории Евклида. В предлагаемой диссертации сделана попытка систематического историко-философского анализа теории, изложенной в первых четырех книгах "Начал". При этом предлагается новое понимание математического смысла этой теории, которое согласуется с нашими реконструкциями философии Платона и Аристотеля. Предлагаемую диссертацию можно рассматривать как шаг на пути к целостному пониманию "Начал" Евклида в контексте античной философии.

Предметом диссертационного исследования является:

- математическая теория, изложенная в первых четырех книгах "Начал" Евклида и

- философские концепции Платона и Аристотеля, применимые к анализу "Начал" Евклида.

Целью исследования является истолкование математической теории, изложенной в первых четырех книгах "Начал" Евклида в контексте философии Платона и Аристотеля. Промежуточной целью является реконструкция интересующих нас моментов философии Платона и Аристотеля.

Методологическая основа исследования требует более обстоятельного обсуждения. В наши дни происходит бурная дискуссия по методологическим вопросам историко-математических исследований, связанная с кризисом той методологии, которая до последнего времени была общепринятой в истории математики. Такая стандартная методология состояла в следующем. Исследователь брал в качестве эталона так или иначе понимаемый им компендиум наличного на сегодняшний день математического знания и сопоставлял с ним старые тексты, предположительно являющиеся математическими. Математическая содержательность этих текстов определялась при таком подходе как мера совпадения с указанным эталоном, то есть старый тест считался математически содержательным постольку, поскольку в нем удавалось вычитать содержание, являющееся нормативным для современной математики. Волроо об

историко-культурном своеобразии источника при таком подходе ставился исключительно в плане "формы выражения" нормативного содержания.

В последнее время эта методология истории математики была подвергнута резкой критике на том основании, что при стандартном подходе содержание старых математических текстов подвергается модернизации и совершенно искажается. Точка зрения, согласно которой модернизация источников недопустима, получила в литературе название "антикваризма", а противоположная точка зрения, защищающая право исследователя на модернизацию источников, стала называться "презентизмом".3, Хотя попытка понимания старого текста, исключающая его модернизацию, является очевидно абсурдной, антикваристская провокация позволила поставить стандартную методологию историко-матемагичеоких исследований под вопрос и искать новые принципы осмысления старых математических текстов.

Данная работа представляет собой попытку осмысления классического текста "Начал" Евклида вне рамок стандартной методологии. Нашим основным принципом является совместное истолкование математического источника и философских источников того же культурно-исторического ареала. Анализируя философские источники, ш пытаемся реконструировать особое понимание математики древними философами и противопоставить его современный подходам. Подчеркнем, что такое "особое понимание" должно быть для нас не просто набором предпосылок (мнения, убеждений) того или иного античного автора, но должно быть именно пониманием, то есть тем, что понятно нам и что мы можем сделать понятным читателю -здесь и сейчас. Вместе с тем, мы стремимся именно к особому пониманию, то есть не просто применяем к текстам свою мерку, но пытаемся сделать своей иную, не известную нам заранее мерку. Когда мы говорим о понимании математики древними философами, мы не имеем в виду только рассуждения этих философов, в которых идет речь о математике. Нас интересует в первую очередь не абстрактное понимание "математики вообае", а понимание нашего источника -"Начал" Евклида. Поэтому, говоря здесь о понимании математики

* Демидов С. С. Презентизм и антиквариат две методологии исследований /V Вопросы Истории Естествознания и Техники N3 1994 г.

древними философами, мы имеем в виду понимание "Начал" Евклида теми способами понимания, которые ыы обнаруживаем у этих философов. Таким образом, наш метод состоит в том, чтобы сначала выявить в анализируемых философских текстах как особые способы поникания вообще, так и специально особые способы понимания математики, а затем понять этими способами наш математический источник.

Научная новизна исследования состоит в том, что предложена новая интерпретация

- системы основных геометрических определений "Начал" Евклида (определения первой книги)

- постулатов и аксиом "Начал", а также понимания различия между теми и другими

- основной задачи, которую Евклид решает в первых четырех клятая "Начал"

- специально - второй книги "Начал", альтернативная существующей алгебраической интерпретации

- родо-видового определения у Платона

- доказательства у Аристотеля

- различения геометрических проблем и теорем у Прокла

Также предложено новое понимание соотношения математики Евклида и эпистемологии Аристотеля.

• На защиту выносятся следующие пбложения:

• 1. Несоответствия системы определений первой книги "Начал" Евклида ,и аналогичной современной системы определений могут быть

рационально объяснены, если рассмотреть евклидову систему определений в контексте теории определения Платона. 2. Различение аксиом и постулатов у Евклида и различение теорем и проблем у Прокла могут быть поняты в контексте платоновского различения' бытия и становления.

3 Главной целью теораа, изложенной в первых четырех книгах "Начал", является построение круга равновеликого произвольному данному многоугольнику. (Эта задача, как теперь известно, при поставленных Евклидом условиях решена быть не может.) Поставленная задача может быть' в рамках платоновской философии понята как "возведение фигуры к своему эйдосу", то есть как "нахождение истинной фигуры", и в рамках аристотелевской эпистемологии - как

"возведение фигуры к своей причине".

4. Теория первых четырех книг "Начал" Евклида соответствует образу науки, описанному Аристотелем во "Вторых Аналитиках". Характер этого соответствия таков, что обобщенному понятию бытия как "присущего" у Аристотеля, у Евклида отвечает специальное математическое понимание бытия как "равного".

Теоретическая и практическая значимость работы. Представленные в диссертации результаты позволяют рассматривать "Начала" Евклида не как устаревшую книгу по математике, имеющую г-лучшем случае образовательное значение, но как математическое воплощение античных философских концепций, по отношению к котсрл.-; понятие устаревания в принципе неприменимо. Те же результаты, с другой стороны, позволяют уточнить важные моменты самих античг-а философских концепций, связанные с математикой. Эти результате могут быть применены в преподавании как истории философии, так и истории математики, что было сделано автором в специальных лекционных курсах, прочитанных в РГГУ и МЮ1.

Апробация диссертации состоялась 22 декабря 1994 г. на заседания сектора "Исторических типов научного знания" ИФ РАН. С докладам:! по материалу' диссертации автор выступал на семинаре кабина истории математики механико-математического факультета МГУ, семинаре сектора истории математики ШЕТ РАН, семинаре по философии математики при кафедре философии и методологии науки естественных факультетов МГУ, семинаре сактора "Аксиологии познания и этики науки" ИФ РАН.

Структура диссертации

Диссертация изложена на 171 страницах машинописного текста и состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.

г. СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

В первой главе мы рассматриваем некоторые моменты философии Платона. Прежде всего мы затрагиваем вопрос о том, как Платон в целом понимает сферу теоретического. В этой связи мы обращаем внимание на платоновскую метафору "касания" теоретической ',х"ш логоса своего предмета. Чтобы уточнить эту метафору, мы вводим понятия гетерономной и автономной речи. Если гетерономная рочь полностью определяется своим предметом, а автономная речь вовсе беспредметна и интересуется только сама • собой, то теоретическая речь-логос свободно касается своего предмета и нанимает в этом смысле промежуточное положение между автономной и птерономной речью.

Чтобы выяснить, как именно реализуется платоновское "теоретическое касание", мы исследуем структуру платоновской диалектики. Мы замечаем, что основной формой диалектического гяироса у Платона является "чгойность" Crt сспО, а основной фориоЛ ответа - определение CopocrD. Таким образом, непосредственной целью, всякого теоретического исследования у Платона оказывается поиск определения. Это резко отличает подход Платона от подхода, развиваемого Карлом Поппером3, который в той или иной степени характерен для всей современной математики. Если в рамках подхода Платона вопрос об определении является вопросом по существу С"эсоечциалиэм"), то в рамках подхода Поппера вопрос об определении является ' только вопросом соглашения ("методологический номинализм").

Критикуя эссенциализм, Поппер говорит о том, что не существует принципа, по которому из ряда конкурирующих определений одного и того же предмета можно было бы выбрать единственное . "правильное" определение. На самом деле Платон пользуется такого [*'да пришитом, который мы назвали принципом "диалектической ргрнфнклщш". Диалектическая верификация Платона является таким способом родо-видового Деления, при котором различаются 'у Остренная Систинная) часть определяемого понятия и несобственная

'тншер К. Открытое общество и его враги Москва 1992

Сложная) его часть. Признак, по которому проашодится такое деление, мы называем "верификатором". Например, когда в диалоге "Протагюр" Платон делит род "смелость" на два вида "мужество" и "бешенство" по признаку "знание военного искусства", "мужество", которому по этому определению присуще необходимое знание, представляет собой "истинную смелость", а "бешенство", которому такое знание не присуще, представляет собой "ложную смелость", то есть только видимость смелости. Назначение таких определений состоит не в том, чтобы за некоторым термином закрепить некоторое понятие, а в том, тоэбы уточнить это понятие: если до того как дать определение мы не умели отличать истинное мужество от его видимости, то имея определение, мы уже умеем отличать одно от другого. Таким образом, диалектическая верификация позволяет Платону содержательно отвечать на вопрос "что это есть?".

Кроме верификаций связанных с различными специальными предметами рассмотрения мы находим у Платона и описание верификации в общем виде. Речь идет о разделении "всего" на "парадигматический эйдос" и "материю" по признаку "тождественное™ себе" С"самости"), которое Платон проводит в диалоге "Тимей". Исходный род "все" (то паиУ здесь понимается двояко - как "всякое" и как "все в целом", то есть - универсум. Поэтому об обобщенной «тарификации здесь нужно говорить, имея в виду не только формально-логическую, но и онтологическую общность.

Далее мы исследуем вопрос о месте математики в системе теоретизирования у Платона. Иерархическую структуру теоретизирования, которую мы находим у Платона, оказываете« возможным осмыслить посредством диалектической верификации. "Истинным" теоретизированием у Платона оказывается диалектика, свободно "касающаяся" своего предмета, а ложным или, точнее, "второсортным" теоретизированием оказывается как раз математика, "принуждаемая" своим предметом. "Математический логос" является но Платону "полугетерогомным": тогда как предмет диалектики есть "негипотетическое начало", предполагающее полную самошчетность, предает математики есть гипотеза, в которой математик не до кони;: отдает сам себе отчет и которая поэтому довлеет е\х> рассуждения).). В то же время предает математики нужно отличать от чувствоат воспринимаемого предмета мнения, который ьсхх5ш,е не предполагай1! никакой собственной деятельности воспринимающею, но наи[>отш щхэднолагаог '¡истую пассивность. Таким образом, математика иг

Платону занимает промежуточное положение между мнением и диалектикой: в отличие от мнения математика предполагает рассуждение, однако математическое рассуждение не является вполне самостоятельным и проясняющим само себя как диалектическое рассуждение. Основное назначение математики Платон видит в том, что она может служить промежуточной ступенью для перехода от мнений к диалектике. В этом случае вообще все диалектические рассуждения могут производится в кваэи-математических терминах: такого рода рассуждения действительно известны в качестве содержания "даписакного учения" Платана. Видами- обойденной верификации при таком подходе оказывается "равное cede единое" и "неопределенная двоица".

Чтобы провести более точную грань между математикой и диалектикой у Платона, мы обращаемся к понятию "равенства" и выясняем, что "равенство" имеет у Платона смысл верификатора, отграничивающего математику от мнения с одной стороны и от диалектики с другой. Если предмет диалектики существует сам по себе Скак тождественный себе), то математический преда лет существует как только равный себе, то есть в виде множества равных друг другу экземпляров. Так, например, существует множество равных друг другу математических единиц, тогда как "эйдетическая единица", образами которой являются все математические единицы, единственна. Лругими словами, если предмет диалектики определяется с точностью до тождества Си найти это определение как раз составляет задачу диалектики), то математический предает определяется с точностью до равенства. Математический предмет -это предмет, рассматриваемый не как самотождественный предмет диалектики, но и не как всегда иной для самого себя чувственно воспринимаемый предмет мнения, не допускавший о себе никакого рассуждения. Положение математического предмета, как мы уже сказали, промежуточно между тем и другим: соответственно своему промежуточному положению математический предмет предполагает рассуждения, которые менее точны чем диалектические рассуждения о вечно тождественном cede, но более точны чем мнения о вечно изменчивом. Такого рода рассуждения Платон и' называет математическими.

Здесь жв мы рассматриваем учение Прокла о "математической материи", которое он развивает в "Комментарии к первой книге "Начал" Евклида". Внутри самой математики Прокл выделяет часть

более близкую к диалектике, то есть собственно теоретическую ее часть, и часть более близкую к мнению. С этой второй частью математики связано воображение (.фатасна), являющееся своего рода материей математического теоретизирования. Именно в такой материи разворачиваются пространственные геометрические образы. Хотя Прокл юворит только о "геометрической материи", такого же рода материя может быть выделена и в других разделах античной математики.

Далее мы вслед за Платоном рассматриваем структуру математики. Платон, следуя пифагорейцам, делит математику на четыре дисциплины: арифметику, геометрию, теорию гармонии и астрономию. ССтруктуру из этих четырех дисциплин принято называть средневековым названием "квадривиум"). Приведенный порядок дисциплин не является случайным и отражает внутреннюю структуру квадривиума. Эта структура также может быть понята на основа диалектической верификации. Именно, арифметика является самой "теоретичной" го математических дисциплин, поскольку »¡вдфметическая материя является самой "тонкой" и не позволяет ]-окорить о "положении" числа также как мы говорим о положении 1-еометрической фигуры. Хотя математическая единица в отличие от "эйдетической" единицы, которую рассматривав диалектика, и?? тождественна, а только равна себе, различные экземпляры математической единицы отличаются друг от друга настолько мало, насколько это вообще возможно для математических предметов: они кп отличаются по положению как геометрические точки, не отличаются своими звуковыми характеристиками как сочетания звуков, изучаемый теорией гармонии, и не отличаются своими характеристиками видимого движения как небесные светила, изучаемые астрономией. Геометрия занимает в структуре квадривиума промежуточное положение между ближайшей к диалектике арифметикой и ближашими к мнению и чувственному восприятию теории гармонии и астрономии. Геометрическая материя в отличие от арифмечической содержит неопределенность "положения", но все же не связана напрямую с чувственным восприятием и изменчивостью как звуковая материя теории гармонии и видимое движение в астрономии. Теория гармонии и астрономия образуют в структуре квадривиума неупорядоченную пару.

Хотя арифметика, как мы сказали, является с точки зрения Платона "самой теоретичной" из математических диоциичин, ее как раз поэтому вряд ли можно считать в рамках рассматриваемого подхода "самой математичной". Действительно, занятия

1П

математикой есть некоторая промежуточная деятельность между истинным диалектическим теоретизированием и высказыванием частных мнений, то такой промежуточностью в наибольшей степени обладает дисциплина, занимаемая промежуточное положение в структуре квадривиума, а именно геометрия. Действительно, и Платон и Аристотель чаще всего, говоря о математике вообще, приводят примеры из геометрии. С другой стороны, если мы спросим "что такое математика?" и подвергнем это понятие диалектической верификации, ■го в качестве самой "истинной" части математики мы будем иметь именно арифметику. Болен, того, можно сказать, что "истинной математикой" будет дажв не ближайшая к диалектике ее часть, а сама диалектика в псевдо-математической своей форме С"математическая диалектика").

Эй а неоднозначность являтся одним из проявлений трудности платоновской верификации, связанной с "ложным видом". Предположим, что в приведенном выше примере верифшгации, взятом га диалога "Протагор", нас интересовало бы не "истинное мужество", а "ложное мужество", которое он там называет "бешенством". Как посредством верификации ответить на вопрос "что такое бешенство?" Как (.южно вообще непротиворечиво ставить вопрос о том, "что такое ложный вид поистине"?

'Трудность ложного вида" мы вслед за Платоном рассматриваем в последнем разделе первой главы. Как можно "казаться, но не быть"? Если существует кажимость. значит существует то, чего на самом деле нет, то есть существует небытие, что нелепо. Таким образом рассуждает Платон в диалоге "Софист". Чтобы разрешить этот парадокс, Платон вводит различение экзистенциального и предикативного смыслов "небытия". Противоречивым оказывается только существование небш'ия в экзистенциальном смысле, тогда как предикативное небытие только указывает на предикат, не относящийся к данному субъекту. С этой новой точки зрения всякая возможная ложь состоит в том, что данному сус5ьекпу приписываются не соответствующие ему предика-™. Такой подход предполатет различение экзистенциального и предикативного смыслов не только для небытия, но и для бшия, однако Платон этого в явном виде не делает. Кроме того, этот новый подход требует реформы всей логики Платона связанной с "диалектической верификацией, поскольку понятие "ложного вида" оказывается с новой точки зрения бессмысленным. Такую реформу, как- мы увидим, осуществляет

Аристотель.

Другую трудность Платона, которую мы рассматриваем в том же разделе, мы назвали "трудностью своего иного". Теоретическое прояснение, достигаемое посредством диалектической верификации, состоит в том, что "собственное" содержание определяемого термина отличается от "несобственного". Однако, как оказывается, реальное объяснение всегда оказывается где-то на грани собственного и несобственного. Например, очевидно бессмысленно обяснятъ теплоту камня "теплотой самой по себе", но зато можно объяснить ее "огнем". В самой диалектической верификации верификатор выступает как нечто иное по отношению к верифицируемому термину. Таким образом, платоновская критика гетерономных объяснений "через иное" оказывается недостаточной, поскольку эта критика уточняет только понятие "своего", но не "своего иного", необходимого для объяснения. Эта трудность также как и предыдущая выводит нас на проблематику Аристотеля, который развивает понятие "своего иного" в понятии причины.

Итак, рассмотренные трудности платоновской философии обращают нас к философии Аристотеля, которой мы посвящаем вторую главу диссертации. Прежде всего мы обращаем внимание на новую речевую форму для знания, которую предлагает Аристотель. Бели для Платона знание проявляется только в диалектической беседе, в ходе вопросов и ответов и принципиально не может быть зафиксировано в виде системы утверждений, то Аристотель, оставляя за диалектикой задачу достижения знания, пытается найти такую утвердительную форму полученного знания, которая не превращала бы знание только в "правильное мнение", йленно такой формой, согласно Аристотелю, является доказательство.

Диалектическое рассуждение идет от того что известно собеседникам к ранее неизвестному. Однако, говорит Аристотель, то известное, с которым имеет дело диалектика - это известное "нам", то есть известное конкретным собеседникам. Существует же более и менее известное в абсолютном смысле или, как говорит Аристотель, "по природе". Доказательство, в форме которого утвердительно высказывается знание, должно идта именно от известного "но природе" Пятому доказагельство по замыслу А} мет юля не является убеждающей речью мнением, но являемся ¡ктшной ¡ючью о сущем, м чюк> слопать, что и теории доказательства Аристотель вслед за П г-пон' и ук11нч»»г понятие те^х.тич^кой речи как "границы"

югертномной и автономной речи: если Платон отталкивается от i-етерономной практической речи- »тения, и его главной заботой является самостоятельность теоретической ре<м, то Аристотель слталкивается ся' автономной софистической речи, и его главная забота заключается в том, чтобы теоретическая речь не была речью ниочем, но была речью о сущем.

Согласно Аристотелю, чтобы истинно высказываться о сущем, нужно отдельно решить два задачи. Во-первых, нужно установить свойства "сущего как сущего", то есть свойства бытия, и в соответствии с эта/ найти необходимую форму всякой речи о сущем. Такова двуединая задача аристотелевской логики и онтологии. После тога как решена эта первая задача, нужно в установленной форме приказываться о всяком конкретном сунем, приникая во внимание спац;фические свойства этого сущего. Такова, согласно Аристотелю, задача каждой частной науки, в тем числе и математики.

Как мы уга сказали, общей формой высказывания о сущем у Аристотеля является доказательство. Что га представляет собой аристотелевское доказательство конкретно? Чтобы ответить на этот conjxx: нулю принять во внимание критику Аристотелем родо видового деления как способа достижения знания. Согласно Аристотелю, всякое родо видовое определение неосновательно С в эссенциалистском смясле), поскольку всякий данный отличительный признак нпсх:новательно приписывается своему виду. Как утверждает Аристотель, для каждого такого приписывания необходимо указывать гтрглту, то есть отве'ить на вопрос "почему?". Например, если дано ощзеделение чэловека |сак "двуногого ятаотного без перьев", то чтбы считать такое' определение основательным, нужно ответить на вопросы "почему человек имеет две ноги?" и "почему человек не иигч.т перьев?". Таким образом, именно вопрос "почему?" становится для Аристотеля основным теоретическим вопросом. Заметим, что пехггаиив :>тот p.onjxx: по поводу некоторою родо-видовою определения и отв<?тив на него, мы будем иметь знание о предмете уw не в фг>[1ме определения, а в форме доказательства.

Вопрос "почему?" по поводу признака, приписываемого данному виду в родо-видовом определении, есть, согласно Аристотелю, вопрос о том, соответствует ли этому виду реальная сущность или данное присоединение произвольно и случайно. Чтобы ответить на итог вопрет;, нужно попытаться понять этот признак как необходимый момент "чтойности единой сущности". Именно эту задачу решает

аристотелевское доказательство. Если доказательство оказывается возможным, это значит, что данный признак является не просто случайно присоединенным, но действительно присущим своей сущности.

41-обы провести доказательство и понять некоторый признак как момент чтойности своей сущности, нужно ликвидировать "онтологический зазор" между признаком и тем, признаком чет он являеэся, то еспъ меаду предикатом и субъектом. Эи/г онтолет ичеосий зазор ликвидируется введением "среднего термина", который невозможно помыслить без этого признака. Например, в определении грома как "шума в облаках" признак "в облаках" на является необходимым, поскольку шум может иметь место и на земле. Пусть в качестве причины этого шума указывается на "внезапное затухание onw в облаках". Если внезапное зачухание огня ш не можем помыслить без сопровождающего его шума и где; либо вне облаков, такое объяснение следует признать достаточным. В противном случае это объяснение следует признать недостаточным, и нужно таким же образом ответить на вопрос "почему огонь в облаках при затухании шумит?" и/или вопрос "почему огонь в облаках внезапно затухает?". Если мы на правильном пути, процедура такого "уплотнения средних терминов", согласно Аристотелю, необходимо должна закончиться, поскольку иначе мы имели бы дело с "нео1раниченной сущность»", что с точки зрения Аристотеля является нелепым.

Рассмотренный способ доказательства является доказательств по "совершенному силлогизму". Именно форк-л совершенного еиллошзма есть, согласно Аристотелю, универсальная онтологическая форма всякой сущности и одновременно форма выказывания о всяком сущем. Совершенный силлогизм наряду с друпши логическими законами (тождества и исключенного третьего) Аристотель называет общими началами доказательства , поскольку они определяют собой любое доказательство независимо от его специального предмета. Сущности, к которым относятся доказательства, Аристотель называет специальными началами, поскольку именно этим агличаются различные доказательства друг от друга. Мы будем называть зти сущности также "начальными объектами". '"Предположительные" сущности, задаваемые родо видовыми определениями, мы будем называть "зпистемическими объектами". ГЪдз'гу эрияеготелевского доклзателютва можно теперь оформулп;л:л.ать как задачу споадеетвления начальных и анистсмнчесих

объектов.

Сказанное выше о доказательстве относилось к доказательству утверждения утоерадения о том, что данный предикат присущ /ушному субъекту. Для обоснования доказательства отрицания (отрицания того, что данный предикат присущ данному субъекту) Аристотель вводит второй, отрицательный вариант совершенного силлогизма. Однако онтологический смысл отрицательного варианта силлопгама остается у Аристотеля неясным. Аристотель пытается спекли всякое отрицание к некоторому утверждении, говоря, что правильно отрицать нечто можно только имея положительное суждение о том же предмете. Например, отрицать присущность предиката "белый" можно на основании доказательства присущности тому га субъекту предиката "черный". Каким, однако, утверждением можно обосновать отрицание наличия цвета вообще? Ведь очевидно, что предикат "не иметь цвета" является "по природе" отрицательным. Гкюбще, говоря о "вторичност" всякого отрицания по отношению к некоторому утверждению, Аристотель не показывает в чем именно состоит эта вторичность и как именно данное отрицание может быть С1;едено к утвервдешгю. Как представляется, Аристотель говорит о вторичности отрицания примерно в том zo смысле, что и Пла'ган о пторичности отрицательного Сложного) вида верификации по отношению к положительному (истинному) виду. Таким образом, просматриваете.«! связь проблемы отрицания у Аристотеля и проблемы "ложного вида" у Платона. Дрбав им, что в качестве "вторичного" Аристотель рассматривает и доказательство "приведением к невозможному", поскольку такое доказательство обязательно содержит отрицательную посылку.

Далее мы рассматриваем вопрос о том, каким образом у Аристотеля организована система различных разделов знания и какое место в этой системе занимает математика. Система знания по Аристотелю содержит три основных раздела: "первую философия" (онтологии), физику и математику. Лотку (аналитику) Аристотель здесь не выделяет; с нашей точки зрения, она может рассматриваться в качестве служебного раздела онтологии. Различение Аристотелем физики и математики связано с тем, что он в огличне от Платона отдельно сгашгг вопросы "чго зто есть?" и "есть ли это?" Разли<к;ние этих двух вопросов определяется различении! индикативного и экзистенциального смыслов "бытия": на пержй вопрос отвечасг предикативные утверждения, а на utojxjî1

акппотенциальные. Хотя всякая наука, согласно Аристотели, имеет дело с обоими этими вопросами, математика в большой степени касается предикации, а физика - экзистенции. Предмет "первой философии" Аристотель в духе Платона определяет как одновременно "самостоятельный" и "неподвижный", но для предметов математики и физики эти диалектические верификаторы выступают у Аристотеля по отдельности: предмет физики самостоятелен, но не неподвижен, а предмет математики неподвшгвн, но не самостоятелен. Таким образом, для Аристотеля математика оказывается не промежуточной ступенью на пути к истинному знании как для Платона, но "боковой опорой", которая при отсутствии другой опоры, а именно физики, может даже увести от истины, а не приблизить ее.

Вопрос о "несамостоятельности" математики мы подробно рассматриваем в следующем разделе второй главы диссертации. Математические предметы Аристотель понимает как абстрактные, то есть как отдельные свойства сущностей, взятые безотносительно к другим свойствам этих сущностей и к этим сущностям в целом так, как если бы эти выделенные свойства существовали отдельно. Например, математическая сущность "число" есть на самом деле "вторичная сущность", то есть свойство "быть- равным по числу", абстрагированное от своих первичных сущностей. "Бьггь точкой" значит на самом деле "икать полоезнио", "бьггь линией" - "иметь длину" и так далее. Именно абстрактности) математических предметов Аристотель объясняет точность математики. Поскольку всякая наука в той или иной ыере должна бьлъ точной, Аристотель рассматривает абстракцию как необходимое условие для построения всякой науки. Существенно, что различение экзистенциального и предикативного смыслов бьггия (первичных и вторичных сущностей) при таком подходе получает двоякий смысл. Во-первых, о таком различении можно говорить в условном смысле, говоря о предмете какой-либо одной науки. Во-вторых, об этом же различении можно говорить, рассматривая систему наук в целом, и тогда всякая первичная сущность всякой отдельной науки Свсякий начальный объект) оказывается вторичной абстрактной сущностью.

Безусловно первичную сущность, по отношению к которой всякий начальный объект выступает в качестве вторичной сущности, Аристотель называет "умом", йиенно ум обеспечивает единство аристотелевской системы знания. ГЬ отношению к начальным объектам ум является "началом начал". 1Ь ум является у ¿¡п-сто-геля и

''началом начал" в другом смысле, а именно по отношению к "общим" началам, то есть по отношению к логическим аксиомам. В этом Ьтношении ум отличается от первичных сущностей, рассматриваемых в (гиециальных науках, тем, что не кто-то иной высказывается о нем, а саг высказывается о себе. Действительно, условный характер .мчальп.гх объектов как первичных сущностей состоит в том, что дли разворачивания их в речи требуются еще иные начала, а именно аксиом 1. В этом отношении начальные объекты остаются несамостоятельными. Ум же мыслит сам себя посредством самого себя, будучи, таким образом, абсолютным, а не относительным тождеством Олтия и логоса. Поэтому и действительные сущности изучаемые Науками, и научное мышление об этих сущностях оказываются моментами деятельности ума ■ - в том смысле, что ум и есть эта двуединая деятельность.

В третьей главе диссертации мы используем сделанные в предыдущих главах реконструкции рассуждений Платона и Арисгиугеля для интерпретации теории "Начал" Евклида.

В первую очзредь мы рассматриваем определения первой книги "Начал". Касаясь вопроса о стандартной интерпретации этих определений, мы замечаем, что современный подход к математическому определению соответствует "методологическому номинализму" ГЪшн цг определите понимается как обозначение некоторой комбинации известных терминов новым термином. При таком подходе определение само по себе не является теоретическим результатом, но является инструментом для получения результатов, а именно инструментом для доказательства теорем. Таким образом, при современном подходе смысл всякого математического определения определяется тем, как это определение используется в доказательствах. Когда такое понимание определения в рамках стандартной прогрессисткой реконструкции применяется к определениям первой книш "Начал", это сразу приводит к несоответствиям, поскольку многие из этих определений не попользуются Евклидом при доказательстве теорем. Особенно интересны в этом отношении евклидовы определения четырехушльников Са тленно, прямоугольника и параллелен рамма), которые сначала ол]х?делк ;.тся С определение 1.32), а затем фшурпруиг в теоремах иод другими наз;:.пнями.

Рели же подходить к определениям с ноаиций Платона, по онс.-и.-му определений первой книги "Начал" нужно понимать как г^.юс.та'пч-чьный результат. Тогда пии[хх: о ■¡гкцхпическом смысл«

I 7

атих определений нужно ставить независимо от вопроса о том, как они используются в доказательствах. Поскольку всякое осмысленное определение Платон понимает как результат диалектической верификации, мы для выяснения платаистского смысла евклидовых определений делаем попытку реконструировать те верификации, которые приводят к этим определениям. Такая попытка оказывается удачной: все определения первой книги кроме последнего (определения параллельных прямых) получаются на основе единой разветвленной системы верификаций. Основным верификатором в этой системе верификаций является "равенство", такжв используются верификаторы "неделимость" и "предел". Благодаря такой реконструкции становятся понятными все те определения первой книги, смысл которых остается неясным при стандартной интерпретации. В частности, это касается евклидова определения прямой линии, являющегося наиболее трудным для стандартной интерпретации. В рамках нашей интерпретации евклидово определение прямой определяет "истинный вид" всякой линии при верификации по "равенству". Также удается полностью объяснить порядок определений первой юшги "Начал" и наличие таких, казалось бы, "лишних" определений, как определения фигуры, полукруга и центра круга С отдельного от определения круга). Подчеркнем, что в рамках нашей интерпретации все эти определения получают точный теоретический, а но "наглядный" смысл. То же самое касается таких, как принято считать, "наглядных" определений как евклидовы определения точки, линии и поверхности. Также удается объяснить кажущуюся "неестественность" евклидовых классификаций многоугольников, не привлекая для этого никаких гипотез ad hoc. Оказывается, что эти классификации полностью соответствуют платоновской "логике верификации" и в этом смысле являются не менее естественными чем современные классификации. Что касается определения параллельных прямых, то оно не укладывается в обшую схему. Возможно, этот факт снязан с тем, что тленно параллельные прямые оказались самым "неудобным" объектом в евклидовой геометрии, и в конце концов именно вопрос о параллельных привел к открытию неевклидовых геомечрий.

В следующем разделе третьей главы диссертации мы 1>асс1.атр!1юс.>м постулаты и аксиомы "Начал". Поскольку в современной tiuivi.cmiKi} любые подсказываемые утверждения шкхгг одинаковый :и!ист«молопг1еский этит/с. нам представляется важным понять

(юяличие между евклидовыми постулатами и аксиомами. Для этого мы используем указание Прокла, согласно которому постулаты отличается от аксиом тем же, чем проблемы отличаются от теорем. Вопрос о соотношении проблем и теорем в античной геометрии имеет с.чмсхггоятельное значение, поскольку он тесно связан с важным вопросом о соотношении конструктивной и собственно теоретической сторон античной математики. В этой связи мы рассматриваем гипотезу Пойтенз, согласно которой геометрические построения, составляющие основное содержание проблем, решают вопрос о существовании спроемых объектов, тогда как доказательства, составляющие основное содержание теорем, устанавливают различные свойства этих объектов. Критикуя гипотезу Цейтена, мы указываем на ее несоответствие тому порядку проблем и теорем, который имеется в "Начанах".

В качестве альтернативы мы подробно рассматриваем тс понимание проблем и теорем, которое предла^ет Прокл. Если пнгатеза Цойтена основывается на аристотелианском подходе, г, рамках которого различается экзистенциальный и предикативный смыслы бытия, и отдельно ставятся вопросы о существовании и о свойствах изучаемого объекта, то П(Х)кл подходит к этому вопросу с полиций платонизма, опираясь на платоновское противопоставление 61ТП1Я и становления. При этом Прокл также использует понятия аристотелевской зпистемолопш, адаптируя их к платонизму. Согласно Проклу, построения в геометрии представляют собой "геометрическсо становление", а доказательства касаются "геометрического бытия". Это "становление" осуществляется в "геометрической матери;?" (воображении) и связано с неопределетюстыо "эктесиса", то есть выбора на чертеже "вот этого" протяженного объекта, заданного с^оим определением.

Прокл также замечает, что проблема всегда формулируется в виде чробовашго (осуществить некоторое построение), а теорема в виде утверждения. Тсшо таким же образом, евклидовы постулаты подставляют собой требования, а аксиомы утверждения. По этому признаку 1тэтметрические построения, проблемы и постулата можно о I нести к диалектической сфере, а доказательства, теоремы и аксиомы -- к сфер>е эпистемы в аристотелевском смысле слова. Лоптеа Аристотеля никак не огшсывает конструктивную сторону математики. Однако ст.! Аристотель высказывается в том смысле, что нужное построение сразу делает ясным утверждение теоремы. Понимание ¡тометрических построений как диалектических разрешает это

кажущееся противоречие и пооваляет снять с Аристотеля обвинения в щзенебрежешш конструктивной стороной математики. Также как в общем случае знание достигается в диалектике и лишь закрепляется в форме доказательств, так и в случае геометрии знание достигается посредством построений и лишь закрепляется в геометрических доказательствах. ,

Далее мы переходим к анализу "постулатов". Первые три постулата задают правила геометрических построений "циркулем и линейкой". Почему Евклид принимает именно эти правила Построений? Каков их теоретический смысл? Пользуясь результатами, полученными нами при анализе определений первой книги, мы можем ответить на эта вопросы. Точка, прямая линия и круг занимают выделенные места в структуре верификаций, приводящих к определениям первой книги: их можно назвать "основными геометрическими эйдосами". Именно этим объясняется зафиксированная в первых трек постулатах особая роль этих объектов. Точка, прямая и круг суть "начала", из которых разворачивается весь геометрический универсум.

Знаменитый пятый постулат также требует некоторого построения, а именно построения точки пересечения двух прямых, при условии, что внутренние углы, образованные при пересечении этих двух прямых третьей, в сумме меньше двух прямых. Этот постулат в отличие от первых трех не связан непосредственно с определениями и заведомо является менее очевидным. Представляется что, введение этого постулата следует объяснять сугубо математическими причинами, как это и делается при стандартном подходе. По-видимому, именно а б ьос-ным характером этого постулата объясняется ют факт, что Евклид поместил его на последнее место в списке постулатов "Начал".

Наконец, четвертый постулат отличается от других тем, что фактически он является утверждением - утверждением о равенстве Друг другу всех прямых углов. СВ соответствующем определении прямой угол определяется из условия равенства двух смежных углов, то есть по отношению к данной паре прямых.) Тот факт, что это утверждение Евклид относит к постулатам, а не к аксиомам, можно объяснить тем, что по своему смыслу четвертый постулат уточняет определение, а определения с точ1Ш зрения Аристотеля также как и постулаты относятся к диалектической сфере. Кроме того, четвертый постулат также как все остальные постулаты имеет чисто 1«ом"гр1ческий характер и не может быть отнесен к арифметике.

"О

Далее мы переходим к анализу аксиом. Опираясь на евклидово название для аксиом ("общие положения"} и на указания Аристотеля, мы понимаем евклидовы аксиомы как утверждения, верные для всех математических наук. Эту общность достаточно проверить для Iчюметрии и арифметики, поскольку другие математические науки имеют характер "приложений" этих двух основных античных математических дисциплин. Применимыми и для геометрии и для арифметики оказываются четыре из пяти4 евклидовых аксиом -исключение составляет "аксиома конгруэнтности", поскольку понятие конгруэнтности является чисто геометрическим. В этой связи мы ставим под сомнение эпистемологический статус аксиомы конгрузнтености. Ставя вопрос о соотношении логических аксиом Аристотеля и математических аксиом "Начал", мы замечаем, что понятая логической и математической аксиомы различны: логическая аксиома у Аристотеля имеет силу для всех наук вообще С в том числе и для физики), а аксиомы Евклида имеют специально математический характер.

Теда соотношения античной математики и аристотелевской логики получает дальнейшее развитие при анализе первой аксиомы "Начал". Как замечали исследователи, эта аксиома по своему виду аналогична аристотелевскому "совершенному силлогизму". Мы пытаемся разьптъ эту аналогию и предать ей точный смысл. Оказывается, что для "перевода" логической аксиомы в математическую или наоборот требуется не изменять предметную область, но производить "онтологическое уточнение", заменяя понимание бьгтия как "присущего" в аристотелевской логике на понимание бытия как "равного" в математике. Интересно, что понимание математической) бытия как "равного" удается различны?/ обрззом оправдать как с точки зрения платоновской "диалектической верификации", так и с ■точки зрения аристотелевской теории абстракции. Заметим, что развитое здесь понимание соотношения логики и математики отлично от отношения "применимости" логики в математике, которое обычно имеют в виду, говоря о "логике математического рассуждения".

Вторая и третья аксиомы "Начал" отличаются от первой аксиом,I

4Аугентичность евклидовых аксиом мы определяем вслед за Гейбергом

С Eue 1 i vte :> Opera omni a ert. Heiberg et Menge Lipsiae 1883-üti),

исключим аксиомы, которые Feiidepr признал позднейшими веганками.

тем, что они связаны со "становительной" частью математики - с операциями прибавления и вычитания чисел в арифметике и операциями "прикладывания" и "отделения" фигур в геометрии. Устанавливая законы сохранения "равенства" при выполнении математических операций, эти аксиомы играет- роль связующего звена между "бытийной" и "становительной" частями математики. С точки зрения Платона это означает, что вторая и третья аксиомы имеют более яизкий онтологический статус чем первая аксиома. По-видимому, именно с этим понижением онтологического статуса связано то обстоятельство, что вторая и третья аксиомы "Начал" в отличие от первой не имеют у Аристотеля логических аналогов.

Пятую аксиому Евклид использует только как отрицательное утверждение о "равенстве", в основном в доказательствах "приведением к невозможному". Если использовать указания Аристотеля на вторичность отрицания и доказательств "приведением к невозможному", эту аксиому также следует понимать как вторичную. Возможно, именно этим объясняется тот факт, что Евклид поместил ее в конце списка.

В последнем разделе третьей главы диссертации мы непосредственно анализируем математическую теорию, содержащуюся в первых четырех книгах "Начал" Евклида. В первых двух книгах Евклид решает задачу построения квадрата равного Св современных терминах - равновеликого) произвольному данному многоугольнику: в первой книге Евклид "приравнивает" произвольный многоугольник прямоугольнику, а во второй книге "исправляет" полученный прямоугольник до квадрата. В рамках стандартного презентизма задача такого "исправления" многоугольника не представляется осмысленной. В этой связи была предложена алгебраическая интерпретация второй книги, независимая от геометрической интерпретации первой книги. В рамках этой интерпретации первые десять предложений второй книги понимаются как алгебраические тождества, выраженные на геометрическом языке. При этом возникает логическая неувязка, состоящая в том, что второе и трегье предложения второй книги оказываются частными случаями первого предложения.

Наша реконструкция философии Платона позволяет понять задачу построения квадрата как осмысленную задачу "возведения" многоугольника к своему "истинному виду" ("эйдосу"). №>1 замечаем, что понимание евклидова "равенства" как современной равновеликости

является неточным хотя бы потому, что равновеликость есть равенство чисел (мер), тогда как у Евклида равенство применяете.-! независимым образом как к числам, так и непосредственно ч геометрическим фигурам. Используя понимание Платоном и Аристотелем математических объектов как "равных себе", можно сказать, чгп приравнивание одной геометрической фигуры другой ест.ъ отождествление этих фигур - в том смысле, в каком в математик, можно вообще говорить о тождестве. Приравнивание неправильного многоугольника правильному квадрату открывает "истинный вид" многоугольника. Поскольку окончательным зйдосом всякой плоское» фигуры в нашей реконструкции системы определений первой книгм выступает не квадрат, а круг, мы интерпретируем содержание третьей и четвертой книг как неудачную попытку вслед за "квадратурой" многоугольника осуществить его "кругатуру", то есть попытку приравнять произвольный многоугольник кругу. Заметим, что прч нашей интерпретации достигается более полная связность содержания, чем при стандартной интерпретации. Если при стандартно;! интерпретации первые четыре книги остаются связанными только ссылками в доказательствах, но не общей задачей, то в рамках наи^п интерпретации мы указываем на такую задачу - задачу нахождения "эйдоса" плоской фигуры.

Далее мы пытаемся проинтерпретировать теорию первых четыре книг "Начал" как эпистему в аристотелевском смысле слон-л Непосредственное применение логики Аристотеля к евклидовы; * доказательствам оказывается вовможным осуществить лишь локально. При этом не удается согласовать цели доказательства, как иг понимает Аристотель, с результатами доказательств Евклида даже для отдельной теоремы. Однако если использовать "онтологическое уточнение" аристотелевской логики, которое мы определили^ сопоставляя первую аксиому "Начал" и совершенный силлогизм, л именно заменить "присущее" бытие силлогизма на математическое "равное" бытие, в теории первых четерех книг "Начал" удается увидеть образ эпистемы "Вторых Аналитик". Тогда круг следует понять как начальный объект этой теории, а многоугольники как эпистемические объекты. Приравнивание многоугольника кругу есть отождествление эписгемических объектов с начальным, что и является целью эпистемы по Аристотелю. При этом круг выступает и как "средний термин", то есть "средоточие чтойности" начального объекта, а многоугольники различных видов как "крайние термины",

то есть его свойства.

Сравнивая платоническую и аристотелианскую интерпретации, ны замечаем, что первая является точной, тогда как вторая требует указанного "онтологического уточнения". В этом смысле можно говорить, что "Начала" Евклида "ближе" к платонизму, чем к аристотелизму. В этом же смысле, а не в смысле личных философских пристрастий (убеждений), моено говорить и о Евклиде как о платонике.

Далее мы приводим подробную интерпретаций второй книги "Начал" Евклида альтернативную принятой алгебраической интерпретации. Главная задача второй книги, согласно нашей интерпретации, это построение квадрата равного (равновеликого) данному прямоугольнику. Хотя формально эта задача решается всего двумя предложениями второй книги (пятым и последним четырнадцатым), в рамках этой задачи могут быть поняты все те предложения этой книги, которые обычно трактуются алгебраически. Так, например, второе и третье предложения дают предварительные варианты "исправления" прямоугольника, не сохраняющие равенства, а одинадцатое предложение дает "исправление", сохраняющее равенство, но только для специального случая. В нашей интерпретации в отличие от алгебраической второе и третье предложения уже не являются частными случаями первого: таким образом нам удается преодолеть ту логическую неувязку, которая возникает при алгебраической интерпретации, не привлекая для этого никаких гипотез ad hoc.

В завершение, мы рассматриваем возможные перспективы нашего способа интерпретации для изучения "Начал" в целом. Задачей "Начал" в целом является изучение правильных многогранников, что наводит на мысль о том, что Евклид стают для шгогоранников задачу аналогичную . ' задаче "нсправя«шя иногоугольника". Однако "исправление многранника" на основ© "равенства" сразу сталкивается с существенными трудностями, что видно на примере неразрешимой циркулем и линейкой задачи удвоения куба, тривиально разрешимой для квадрата. Как мы полагаем, альтернативой "равенству" у Евклида служит геометрическое и арифметическое "тождество отношений", которым он пользуется в стереометрических книгах. Таким образом, главным условием понимания "Начал" в целом с наших позиций является интерпретация евклидова понятия отношения

В "Заключении" подводятся основные итоги проделанной работы. В основу системы определений первой книги "Начал" Евклида может

быть положен платоновский универсальный способ понимания, который ш реконструировали в качестве "диалектической верификации". При этом становятся понятными все основные "странности" евклидовой системы определений, отличающие ее от аналогичной системы определений, которой пользуются в современных учебниках элементарной геометрии. Главной целью теории первых четырех книг "Начал" Евклида является построение круга, равновеликого С в евклидовой терминологии - "равного") произвольному данному многоугольнику. Хотя о современной точки зрения такая постановка вопроса представляетоя надуманной, она может быть обоснована как ь рамках философии Платона, так и в рамках эпистемологии Аристотеля. Что касается эпистемологии Аристотеля, то ее соответствие теории первых четырех книг устанавливается не непосредственно, но посредством специальной процедуры "онтологического уточнения", когда понимание бытия как "присущего" в аристотелевской эпистемологии заменяется на специальное математическое понимание бытия как "равного".

Основное содераание работы опубликовано в следующих печатных изданиях:

1) Родин A.B. Вторая книга "Начал" Евклида и "геометрическая алгебра древних" // Философские исследования N1 1993 г.

2) Родин А.В. К вопросу об определении у Платона // Архэ вып. 2 1995 г.

3) Родин A.B. Совершенный силлогизм и первая аксиома Евклида // Гезисы к 11-му Международному Конгрессу по Логике, Методологии и !>илософии Науки Москва 1993 г,

¿Г