автореферат диссертации по истории, специальность ВАК РФ 07.00.10
диссертация на тему: К вопросу о формировании математической науки в древней Греции

Полный текст автореферата диссертации по теме "К вопросу о формировании математической науки в древней Греции"

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА. ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М. В. ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи УДК 510.6(091)

ВАНДУЛАКИС Иоаннис

К ВОПРОСУ О ФОРМИРОВАНИИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ НАУКИ В ДРЕВНЕЙ ГРЕЦИИ.

Специальность: 07.00.10. - история науки и техники.

01.01.06. - математическая логика, алгейра и теория чисел.

Автореферат диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1991

Работа выполнена в кабинете истории и методологии математики и механики механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук, профессор К. А. Рыбников

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, С. С. Демидов;

кандидат физико-математических наук, В. А. Янков

Ведущее предприятие - Вычислительный Центр АН СССР.

. Л/О,

Защита диссертации состоится ^ 1991 г.

в 16 час. на заседании специализированного Совета Д 053.05.05 по математике при Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: Москва 119899, ГСП, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 1408.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ.

Автореферат разослан "Ц/у \//\ 1991г.

/Ученый секретарь специализированного Совета Д 053. Сб. 05 по математике 'при МГУ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ. Дель настоящей работа. В настояаей диссертации мы рассматриваем вопрос формирования математики как науки и ее концептуальных основ. При этом мы исследуем

а) логические особенности математических теорий и логические средства, привлекаемые при их построении;

б) логические представления и понятия, встречаемые в рамках метафизических н натурфилософских учений того времени;

в) взаимоотношение между логическими понятиями, встречаемыми в математических теориях и ссютветствуоаими представлениями, встречаемыми в рамках философких концепций.

Актуальноегь темы. Проблема возникновения математической науки в древней Греции является одной из наиболее активно обсуждаемых. Все чаце объектом историко-математического исследования становится не только сформировавшееся знание, но и процесс его получения, зачастуо связанный с влиянием тех или иных философских взглядов. Этот вопрос привлекает сейчас внимание многих историков математики и слугит источником серьезных дискуссий.

Несмотря на огромное значение этой темы до сих пор еае никто подробно не проследил каковы были первые шаги античной науки. В частности, ее взаимоотношение с развитием логики и философии Сесли не считать весьма спорной книги А.Сабо).

В последнее время, этому вопросу были посвящены две конференции:

а) "Пизаяская Конференция по истории и философии науки" .(Пиза, 1978)'

1 Hintikka J. Gruender D. , Agazzi Б. , 1981. Theory Change, Ancient fixiomtics, tni Galileo's Methodology. Proceedings of the

Специальным предметом дискуссий на этой конференции была концепция А. Сабо о возникновении математики, под влиянием философии эяеатов. Особенное внимание было уделено взаимоотношению между логикой и математикой в доеъклидовское время (К. Берка), соотношению между аксиоматикой геометрии и аристотелевской концепцией структуры доказывающей науки (Я.Хинтикка). 0<3цая картина взаимоотношения между математикой и философией в древности была обрисована В. Кнор-ром. Ф. А. Медведев обратил внимание на неаксиоматические тенденции в древне-греческой науке, а С.С.Демидов касался вопроса взаимоотношения генетического и аксиоматического способов построения математических теорий?

б) Всесоюзный симпозиум "Закономерности и современные тенденции развития математики" (Обнинск,, сентябрь 1985 г.)?

Там рассматривался вопрос становления математики как науки и, в частности, вопрос о том, что надо понимать под "доказательством" в контексте древности и чем обусловлено его возникновение (А. П. Юшкевич, И. Г.Башмакова), роль косвенных доказательств для ВОЗНИКНО-

^в Pis* Conference on the History end Philosophy of Science.

Vols 1,2. Dordrecht: D.Reidel Puhl. Co.

1 см. также Demidov S. S 1971. 'Sur 1' histoire de la methode axlo-Eiatique. Actes du XIIe Congress inttrnitlonei d' Histoire des Sciences, t. IV, pp. 45-47, Paris.

э'ПаНОВ M. И. Сред.) 1985. Лелюдологические проблемы ргввития и применения мгтеяшпшии. М.

вения теоретической математики (А. Г. Барабашев), и другие.

Вопрос о возникновении математики затронут также в ряде книг к статей в советской и зарубежной литературе. Среди них можно выделить следуюиие: *

Обцая методика исследования. В соответствии с поставленной целью при реконструкции источников применяются методы историко-научного анализа в сочетании с методами современной математической логики. Последние необходимы для точной экспликации смысла выражений, записанных на естественном языке.

В частности, для того, чтобы понять содержательно изложенные идеи древних греков, мы строим определенным образом специальные формальные языки, с учетом логической функции слов естественного древне-греческого языка как лингвистических единиц; в этих формальных языках мы выражаем содержательные рассуждения древних греков. Это позволяет нам также сравнить логические представления древних греков с соответствующими математическими теориями.

Прилагаются определенные усилия для сохранения исторической дистанции между древними концепциями и современными подходами. В

4БурбаКИ Н. Очерки по истории матеттки. Пер. И. Г. Башмаковой

под ред. К. А. Рыбникова. М. 1963.

Ван дер Варден Б. Л. 1959 Пробухдакщааси наукя М.

Выгодский М. Я. 1948. "Начала" Евклида ш с. 217-295.

Колмогоров А. Н. 1954. Математика бсэ, изд. 2. т. 26, с. 464-483.

Рыбников К. А. 1974г. История математики М. ИГУ.

Стройк Д. Ж. 1990. Краткий очерк истории матенатики, М. Наука.

Цейтен ' Г. Г. 1938. История математики в древности и в средние века.

Изд. 2 м. - л. гтга.

связи с этим, всегда проводится тщательный анализ древних логических понятий, обсуждаются возможные альтернативные интерпретации, и обосновывается выбор, той или иной интерпретации с учетом исторического контекста, а также обсуждается вопрос неявных допущений, необходимых в ходе логической реконструкции.

Методика формальной репрезентации рассматривается нами подробно в главе 0, так, что бы всегда было возможно ее проследить.

Научная новизна. Новыми являются перечисленные ниже основные результаты:

1. Пифагорейская арифметика дошла до нас в двух вариантах: Никомаха и Евклида. В диссертации рассматривается оба варианта и сделан следующей вывод: вариант Никомаха отражает более древние слон арифметики и строится генетическим путем, не основываясь на предположениях аксиоматического характера.

Более зрелый вариант Евклида строится как интуитивная рекурсивная арифметика, причем не выходящая за рамки финитной установки.

2. Проводится реконструкция логики Парменида и показается, что основные ее принципы также как и семантические взгляды пифагорейцев СФилолая, Прокла) носят явные черты финитного арифметического мышления пифагорейцев.

3. Рассмотрена проблематика бесконечного в древности; с математической точки зренияг она связана с проблемой введения натурального ряда ■ строения континуума, а с логической точки зрения, она связана с проблемой допущения новых логических принципов, в частности с принятием бесконечной индивидной области.

Однако, исследования софистов в области семантики показал!, как мы выясняем, что выполнимость предикатов в произвольной, т.е.

в бесконечной области, не сводится к чисто комбинаторным соображениям, как в случае конечной области.

4. Проводится реконструкция трактовки Платона так называемого парадокса третьего человека. Показано, что Платон отличал понятия класса и свойства. Устанавливается, что в диалоге Платона "Парменид" предлагается, по существу, решение парадокса при помо-ад введения иерархии типов; таким образом, проводится разграничение между классами и их элементами.

5. Показывается, что общая теория отношений Евдокса (теория логосов) строилась аналогично теории эйдосов Платона, однако отличалась от платоновской теории "конструктивным" (в определенном смысле) подходом.

6. Установки математики Евдокса легли в основу логики Аристотеля, который явно сформулировал основные принципы финитной точки зрения древних греков. Этой концепции следовал Евклид и другие математики" классической древности.

Практическая и теоретическая ценность работы. Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты и выводы могут найтн применение и развитие в обобщающих работах по истории античной математики и логики, а также оснований математики; оня могут быть использованы в учебных пособиях по истории математики для высших учебных заведений, в специальных курсах по истории античной математики и логики, в монографической и научно-популярной литературе, освеиащей вопросы истории, логики я математики.

Апробация работы. Основные результаты диссертаций докладывались на XXXII Всесоюзной научной конференции аспирантов в молодык специалистов по истории естествознания и технике а Институте историк естествознания и техники АН СССР (1989), на семинарах по исто-

рии математики и механики, на семинаре по истории математики ИИЕиТ АН СССР, на семинаре по истории математики педагогического института им. Герцена СЛенинград), на всесоюзной школе по истории математики (Каменец-Подольский), на научно-исследовательском семенаре "Основания математики и Информатика" в ВЦ АН СССР, на семинаре по философии математики кафедры философии естественных факультетов.

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах автора, перечень которых приведен в конце автореферата.

Объем работы. Диссертация содержит 194 страницы машинописного теста. В списке литературы 211 наименований.

Структура диссертации, Диссертация состоит из введения, вводной методологической главы, четырех глав, заключения и списка литературы. Нумерация параграфов двойная и иногда тройная. Так, например 53.2 - это второй раздел третьего параграфа, а $9.1.2 - %то вторая часть первого раздела девятого параграфа.

В списке литературы отдельно указаны первоисточник» И исследования.

содержание' диссертации.

Вводная глава, под номером 0, является методологической. Рассматривается метод интерпретации в логике и математике и его логические основания.

Интерпретация текста рассматривается как "перевод" этого текста на некоторый подходящий язык, т.©, как построение адекватной модели. Такая интерпретация должна обязательно сопровождаться "вложением" построенной модели в рассматриваемый исторический контекст. Обсуждается вопрос логического и исторического критерия адекватности модели.

В §1.6 рассматривается вопрос применения критерия Куайна об онтологических допудениях, с целью построения логической интерпретации. Этот критерий связывает введение квантифицируемых переменных с допущением внеязыковых предметов. При помощи этого критерия обосновывается введение квантифицируемых переменных в нашей интерпретации.

В §2 обсуждается вопрос об основаниях математики в Древней Греции и об их исследовании.

В первой главе изучается пифагорейская математика и семантическая концепция Парменида.

Сначала рассматриваются понятия "количества" и "множества", "меры" и "величины", которые лежат в основе пифагорейского понимания дискретного и непрерывного, соответственно, а также понятие бесконечного у пифагорейцев. В результате анализа сделан предварительный вывод, что пифагорейцы ограничивались рассмотрением только таких объектов, которые долускавт финитное содержательное истолкование.

Для обоснования наших утверждений мы обращаемся к конкретному математическому материалу С 533. Рассмотрение определения числа показывает, что основным для пифагорейцев было понятие порядкового числа.

В результате анализа пифагорейской арифметики в варианте Ни-комаха, С53.2) сделан вывод, что характерной чертой пифагорейских, рассуждений является то, что они выступают в виде мысленных экспериментов над конкретно заданными (наглядными) объектами (камушками).

Такую арифметику можно построить генетическим путем, с помощью некоторого исходного объекта (таким у пифагорейцев служит

"монада"} и некоторой операцией поровдекая, фиксированной наглядным образом ("гномон"]. Любое высказывание о числах провозглашает некоторый закон, который подтверждается в каждом конкретном случае чисто комбинаторным путем. Такое построение арифметики можно осуществить независимо от предположений аксиоматического характера.

В варианте Евклида, который рассматривается в $3.4, хотя конструктивная окраска смывается систематическим применением сильных косвенных доказательств принадлежащих, видимо, Теэтету, автор "Начал" не выходит за рамки интуитивной рекурсивной арифметики, т.е. бескванторного фрагмента арифметики.

Выдвинуто предположение, что слабые косвенные аргументы, встречаемые в "Началах" восходят к ранним пифагорейцам, от которых к перешли в элеатскую философию.

В {5 прослеживаются первые логические представления пифагорейцев, извлекаемые из их положения: "все есть число", а также первые семантические взгляды, согласно которым число и отношение чисел сопоставляются с истинностью, а иррациональность, бесконечность с ложью и бессмысленностью. Утверждается, что такие семантические взгляды основаны на отождествлении истинности с эффективной проверяемость!), которая играет важную роль в пифагорейской арифютихе.

В 17 подробно исследуется семантическая концепция Ларменада, которая является первой доведшей до нас теорией такого рода.

Сначала обосновывается возможность логической интерпретации основных понятий парменидовской семантики ("то, что есть" и "ноэ-ма") с помощью средств языка теории определенных дескрипций, а затем обсуждаются логические вопросы, выдвигаемые в тексте: устранение пустых терминов, отождествление предиката с существованием.

отождествление отрицания с ложностью и бессмысленностью.

Показывается, что семантическая концепция Парменида носит таххе черты финитной установки пифагорейского арифметического мышления. С ней связано его затруднение с отрицанием Си тем самым, с законом исключенного третьего), так как отрицание не допускает непосредственного финитного толкования.

Более того, парменидовская семантическая конструкция строится на основе пифагорейской числовой области. Так, дескрипциями, т.е. определениями индивидов с помощью "объема" предиката, пользовались ухе пифагорейцы (например, "наименьшее число, такое что ..."). У Парменида также встречаем отождествление ложности с бессмысленностью, которое характерно для семантик, основанных на понятии эффектности, таких как пифагорейская.

Во второй главе рассматривается дальнейшее развитие логических представлений, связанных с нефинитными рассуждениями, которые возникли в пифагорейской арифметике в связи с открытием несоизмеримости.

Поскольку в арифметике потребность в выходе за пределы финитной точки зрения не является настолько же настоятельной необходимостью, как в геометрии, пифагорейцы постарались отделить финитную арифметику от геометрии; к последней отнесли иррациональность, поставили область непрерывного в основу математики, и даже арифметику строили с помощью геометрии.

Вместе с тем, в рамках натурфилософии начинает развиваться определенная проблематика бесконечного, при которой привлекаются далеко идущие нефинитные гипотезы теорико-множественного характера.

В 12 мы подробно рассматриваем понятие "конечности" и "бесконечности" у Зенона ("О Природе", фр. 3.). Зенон понимал "конечное"

как натуральное число; его понятие "бесконечности" интерпретируется нами так: множество к объектов бесконечно тогда и только тогда, когда существует непустое семейство подмножеств множества и, не имеоцее максимального элемента.

Обсуждаются также парадоксы Зенона "Ахиллес и черепаха" и "Дихотомия".

Отмечено, что проблематика существования незавершаемых процедур в математике привело древних греков к поискам дополнительных логических Сонтологических] принципов.

Древние греки, кажется, знали, как показывает анонимный фрагмент "Двоякие речи", (относящийся приблизительно к V в. до н.э.), что вопрос о выполнимости конкретного предиката в случае конечной индивидной области является фактом, устанавливаемым чисто комбинаторным путем С53.23. 'Однако, они также знали, как показывает "аргумент Горгия о невозможности передачи информации", который мы рассматриваем в $3.3, что в случае произвольной индивидной области вопрос о выполнимости предиката не сводится к чисто комбинаторным соображениям.

Другие трудности возникли в платоновской Академии в связи с квантором "все". Эти проблемы рассматриваются в третьей главе.

Здесь мы рассматриваем вопрос о так называемом "парадоксе третьего человека", изложенном Платоном в Диалоге . "Парменид", в котором принимают участие Парменид и Сократ. Парменид сначала объединяет все вещи, обладающие свойством "быть великим" в один класс. Затем, устанавливает, что предикат Р(х> «-» есть великое" образует новый класс, состоящий из всех великих вещей и их класса Св качестве индивида). Эту процедуру можно продолжать неограничен-

- и -

но и получать цепочку новых классов, каждый из которых шире, чем его непосредственно предыдущий, только одним элементом.

Несмотря на то, что этому вопросу посвящена чрезвычайно обширная литература, в рассуждениях Платона осталось много неясного. Именно недостаточно была исследована логическая структура платоновского аргумента, его связь с математикой. До сих пор считается, что этот парадокс был только поставлен Платоном, но не решен им.

При нашей интерпретации пришлось привлечь формальный аппарат современной логики, чтобы фиксировать тонкие различия платоновской терминологии. "Перевод" аргумента с естественного языка Платона на современный формальный язык I фреге-расселевского типа осуществляется при строгом соблюдении принципа однозначности перевода.

Точный способ репрезентации приводит нас к необходимости различения между "эйдосом" и "идеей" у Платона, которые обычно трактуются как синонимы. При нашей интерпретации "эйдос" трактуется как экстенсиональный объект (класс), а "идея" - как интенсиональный (свойства).

В качестве посылок принимаются принцип сводимости (свертывания), согласно которому по некоторому свойству образуется класс всех вещей, обладающих этим свойством, а также принцип объемности, который мы считаем неявно предполагаемым Платоном.

С современной точки зрения парадокс получается применением принципа свертывания к некоторой первоначальной области индивидов, 1 затем присоединением порожденного класса к первоначальной области с одновременным распространением области действия квантора 'все" и на новый объект, что и приводит, посредством применения финципа сводимости, к новому классу, состоящему из индивидов пер-

воначальной области и порожденного ими класса, в качестве индивида. Таким образом получается непредикативное образование бесконечной последовательности новых классов. При этом нарушается принцип объемности.

Вторая часть Диалога интерпретируется нами как обсуждение семантических соглашений, привлекаемых при формулировке парадокса.

Отмечены два возможных подхода к интерпретации рассматриваемого парадокса:

Первый подход встречается у Аристотеля, который трактует эй-досы как обцие термины и видит корень парадокса в "субстантивиза-ции" общего термина. А второй же - у Прокла, который трактует эй-досы как абстрактные сингулярные термины, образуете следующую иерархию: вещи (индивиды) - идея (общий термин) - эйдос (сингулярный абстрактный термин); корень парадокса он видит на смешение общего термина со своими элементами, что приводит к вырождению иерархии. Новый объект "мысль" (понятие), привлекаемый в рассмотрение обоими собеседниками трактуется как чисто семантический объект. Показано, что этот объект рассматривался таким не только в неоплатонистической традиции (Проклом), но также в перипатетической традиции схоластов в средних веках.

Последний абзац второй части диалога считатется обычно абсурдным. Нами предложено новое чтение, основанное на другой грамматической конструкции, которая делает этот абзац осмысленным. А именно, мы считаем, что обсуждение семантических соглашений привел обоих собеседников к заключению, что при этих соглашениях любой объект может стать элементом класса.

Отмечено, что вся дискуссия во второй части диалога касается не вопроса о широком понимании объекта (под объектом понимается

яе только индивид, во в класс} а вопроса образования классов, т.е. фактически речь идет о верности принципа сводимости.

Проведенный анализ дает нам основания считать, что оба собеседника понимали, что рассматриваемый ими парадокс носит, так сказать, формальный, синтаксический характер и не является результатом нарушения каких-либо семантических соглашений.

Показывается, что Платон решает выдвинутый парадокс путем четкого разграничения двух уровней: уровня индивидов (вещей) и уровня классов (эйдосов), а "идея" играет роль свойства, определяющего класс. Такое расслоение универсума осуществляется с помочью понятия "подобия" (логической однородности), которое допускает формальную интерпретацию с помощью функции г.

Г({г|Лг)),*) jr Яг|*). (читается так: если некоторый г является подобным (логическим однородным) фиксированному *, для которого r(xi имеет место, т.е. если rt(z|Kz)>,jr) , то этот z должен принадлежать тому же классу г, к которому фиксированный * также принадлежит, т.е. будет иметь место rtz|*), где rtz|x) есть результат подстановки фиксированной переменной * вместо г всюду, где du ни встречалась в Р.

Областью определения функции t является набор всех тех аргументов, логически однородных с фиксированной вещью *, с точностью до выполнимости. Иными словами, область определения функции г содержит все такие значения г, которые удовлетворяют тому же самому предикату г, которых также удовлетворяет фиксированная вещь. Таким образом, если а - некоторый С фиксированный) логический объект (вець, эйдос, эйдос эйдосов, я т.д.) то, фактически, функция г выделяет в универсуме, некоторый слой ("тип") логических объектов, однородных с заданным объектом «. "Тип" будет представлять собой

именно область определения функции г, или область значений связанной переменной <а| >. Каждый уровень состоит из "подобных" между собой Слогических однородных) объектов, а смешение этих уровней, которые приводят к парадоксу, ad hoc запрещается. Тем самым, парадокс разрешается.

Отмечено, что исследуемый парадокс встречается также в Principia Mathematica Рассела, в виде примера, а разрешается аналогичным образом. Рассмотрены также два примера разрешения парадоксов подобного рода: у Больцано и Шредера.

В четвертой главе рассмотрены некоторые вопросы логики Платона и ее отношение с математикой того времени.

Отмечено, что стратифицированность платоновского универсума объясняется тесной связью логики Платона и его философии с развитием математических знаний. В этом периоде привычными объектами исследования были также три типа:

а) натуральные числа, что соответствует "вещам" у Платона;

б) "отношения" целых чисел, которые "рассматривались как операторы, определенные на множестве целых чисел или его подмножестве (отношение р к q является оператором, который каждому числу я, кратному q, относит целое число p(N/qЯ и образующие группу по умножению"? Этому, у Платона, соответствует функтор "идея".

в) "иррациональность", т.е. нечто, несводимое к предыдущим известным объектам.

Допущение существования эйдосов (классов) Платоном представляет собой решительный шаг вперед не только с логической точки

Чурбаки Н. Очерн и по истории катентики. Пер.- И. Г. БаШМЭКОВОЙ под ред. К.А.Рыбникова. М. 1963, с. 147.

зрения, но также и с математической точки зрения, так как это связано со способом введения бесконечности в математику.

В §5 мы рассматриваем общую теорию отношений Слогосов) Евдо-кса Ст.е. теорию вещественного числа), изложенную Евклидом в Кн. V "Начал". Показывается, что существует определенная аналогия между конструкцией Евдокса и теорией эйдосов (классов) Платона:

а) область вещей (индивидов) Платона соответствует области однородных архимедовых величин;

б) Евдокс рассматривает отношения г.ь таких величин и определяет свойство "иметь одинаковое отношение", что отвечает "идеям" Платона;

в) Наконец, пропорциональность (логос) выступает как класс пар величин, имеющих одинаковое отношение, что соответствует платоновскому "эйдосу".

С другой точки зрения, существует фундаментальное отличие в подходах двух ученых: Платон предполагает существование эйдосов (классов), а вещи (индивиды) существуют благодаря их "уподобию эЯ-досам", т.е. посредством выполнимости соответствующей пропозициональной функции, указывающей на свойство. У Евдокса же "класс" равных между собой пар архимедовых величин вводится не посредством абстрактного постулирования его существования, а наоборот, новый абстрактный предмет (логос) "строится" исходя из индивидов (однородных архимедовых величин) и их отношений, т.е. из объектов, относящихся к логике первого порядка.

Евдоксовый подход к абстрактному понятию "класса" и бесконечности отражен в натурфилософских взглядах Аристотеля. Последний явно сформулировал основные принципы древне-греческой финитной точки зрения и считал, что математика должна быть построена на ба-

зе только потенциальной бесконечности, проявляемой в интуитивной арифметике.

Работы автора по диссертации:

1. Вандулакнс И. Становление конструктивистских взглядов в античности: Аристотель// Тезисы XXXII Всесоюзной научной конференции аспирантов и молодых специалистов по истории естествознания и технике в Институте истории естествознания в техники АН СССР С1989). М. 190. с. 2-3.

2. Вандулакис И. Превосхищение Платоном простой теории типов. // сдано в печать в Сборнике Историко-ыатематические исследования. 1992 Вып. 35.

3. Вандулакис И. Платоновская семантика теории эйдосов и парадокс третьего человека. // Вопросы истории естествознания и техники. N22 1991 С2 стр.).

4. Вандулакис И. Аристотель. // Математика в школе N21 1911, с.2 обложки и 71-72.