автореферат диссертации по философии, специальность ВАК РФ 09.00.08
диссертация на тему: О специфике научных революций в математике

Полный текст автореферата диссертации по теме "О специфике научных революций в математике"

АКАДЕМИЯ НАУК СССР Ордена Трудового Красного Знамени Институт философии

На правах рукописи

АБДУЛАГАТОВ ЗАИД МАГОМЕДОВИЧ

О СПЕЦИФИКЕ НАУЧНЫХ РЕВОЛЮЦИЙ В МАТЕМАТИКЕ

(На примере возникновения и развития анализа бесконечно малых)

Специальность 09.00.08 философские вопросы естествознания

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата философских наук

Москва — 1990

Работа выполнена в Отделе диалектики, логики и теории познания Института философии АН СССР.

Научный руководитель — доктор филосовских наук, профессор

РУЗАВИН Г. И.

Официальные оппоненты — доктор философских наук Панов М. И.

каы^иуцг .^д^р^р философских наук Курбанов Р. О.

Ведущее учреждение — кафедра философии естественных факультетов Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.

Защита состоится «. года в _» часов

на заседании специализированного совета Д 002.29.03 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора философских наук при Институте философии АН СССР по адресу: Москва, Волхонка, 14.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института философии АН СССР.

Автореферат разослан » Ш^с*^. щсю года.

Ученый секретарь специализированого совета, кандидат философских наук

Аршинов В. И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Одной из особенностей развития современного научного знания является усиление исследований закономерностей его собственного развития. Если раньше эти вопросы поднимались в основном отдельными учеными и лишь в определенные периоды развития науки, то современные исследования по этим проблемам приобрели систематический характер, в которых принимают участие целые научные коллективы. Все это определено важностью научного подхода к организации научных исследований, усилением его практической направленности, превращением науки в непосредственную производительную силу. Не менее важной является и та сторона проблемы, которая связана с борьбой философских идей в интерпретации реальных фактов и закономерностей развития науки. Особенно остро эти вопросы встают перед философией в связи с тем, что в западной философии науки нет недостатка в предлагаемых решениях существующих проблем, которые, как правило, игнорируют достижения материалистической диалектики. Характерным для нынешнего состояния исследовании по теории развития науки является то, что даются модели развития отдельных наук. И это естественно: наметившаяся тенденция к формированию общей теории науки предполагает выявление закономерностей развития отдельных научных направлений. В настоящее время такого рода работа не проведена в достаточно!'! степени даже в отношении развитых наук, в том числе и математики — одной из фундаментальных отраслей развития человеческого знания.

Как появляются в математике новые проблемы, понятия теории, каковы критерии их отбора, как одни теории порождают другие, происходят ли революции в математике, если да, то каков их характер? — вот далеко не полный перечень вопросов, которые волнуют сегодня исследователей. Проблема научных революций в математике является и этом перечне одной из мало изученных. Особый интерес к революциям в математике вызывается не только тем, что наука математика имеет своеобразные отношения с реальной действительностью, но и тем, что среди наук она занимает особое положение. Являясь действенным инструментом научного познания, математика все интенсивнее начинает использоваться другими науками. Тем самым она провоцирует исследования принципиально нового характера в других науках, что немаловажно для их кореного обновления.

Степень изученности проблемы. Данная проблема имеет две тесно взаимос вязанные стороны. Во-первых, это общие проблемы на\-чных революций, в контексте которых только и возможно фи-

лософское осмысление революции в математике. Во-вторых, это специфические проблемы научных революций в математике. Последние по характеру делятся на исследования исторического и методологического характера.

Общие вопросы научных революции разрабатывались главным образом на историческом материале естественных наук, в особенности физики. Глубокое философское исследование такого характера было проведено В. И. Лениным в работе «Материализм и эмпириокритицизм». В дальнейшем разработка этих проблем велась в работах советских ученых Б. М. Кедрова, М. Э. Омельяновского, Б. С. Грязнова, Э. М. Чудинова, В. Л. Гинзбурга, Е. А. Мамчур, С. Р. Микулинского, A.A. Марковой, П. С. Дышлевого, В. М. Най-дыша и многих других. Наибольший интерес у исследователей проблемы научных революций вызвали, начиная с конца 60-х годов. В этот период особое внимание уделяется проблемам социологии и психологии научного творчества, возникают отдельные теоретические модели развития науки, научных революций. Среди зарубежных ученых особый интерес в этом аспекте представляют исследования Т. Куна, К. Поппера, И. Лакатоса, С. Тулмина, Фейе-рабенда и др. В их исследованиях и в исследованиях советских ученых в научный оборот были введены новые важные понятия, схемы развития науки, дан методологический анализ описательно-историческим данным, даны новые подходы к истолкованию старых исторических фактов из истории науки, даны критерии научных революций, их классификация, сделаны небезуспешные попытки выявить природ}' научных революций, дать им формальные определения.

Научная революция в математике XVII века в течение длительного времени является предметом исследования историков математики, философов, методологов. Исторического характера исследования представлены в работах А. П. Юшкевича, И. Г. Башмако-вой, Г. Вилейтнера, Вандер Вардена, Ф. А. Медведева, Г. Г. Мат-виевской, Д. Я. Стройка и многих других исследователей. Эти исследования стали необходимой базой для философских н методологических обобщений. Такого рода обобщения проводились в философских работах, например, С. А. Яновской, В. Н. Молодшего, О. И. Кедровского, Л. Карно, К. А. Рыбникова, В. Гливенко и других. Характер этих обобощений относительно развития представлений о революциях в математике можно выразить философской категорией особенного. В этом аспекте выдающееся место занимают работы К. Маркса и Ф. Энгельса. Особо нужно отметить роль «Математических рукописей» К. Маркса, где показано диа-

лектическое развитие математики постояннных величин в математику переменных величин, показаны философские предпосылки тех или иных творческих исследований в анализе бесконечно малых.

Несмотря на все это в философской литературе вплоть до середины 60-х годов не ставились вопросы об общей природе научных революций. В частности, так обстояло дело и в отношении научных революций в математике. Этот пробел в какой-то мере начал устраняться в исследованиях советских и зарубежных ученых, например, Р. Уайлдера, М. Кроу, Е. Коппельмана, Г. И. Рузавнна, В. С. Лукьянца, И. С. Кузнецовой и других. Несмотря на это еще рано говорить о том, что существует единая, общепринятая точка зрения на природу революций в математике. Более того, не является общепризнанным само существование революционных изменений в математике.

Цель и задачи исследования — дать диалектико-материалнсти-чсский анализ специфики научных революции в математике. Цель исследования определяется следующими задачами:

— показать роль взаимодействия различных форм изменений в процессе развития научного знания;

— дать анализ современных моделей развития науки с целью определения возможности их использования для характеристики революций в математике;

— сформулировать содержание дналектико-матерналистическо-го понимания научных революций;

— показать ¡¡а историческом материале возникновения и становления анализа бесконечно малых диалектику кумулятивных и пекумулятивных изменений в математике;

— показать роль проведенного Марксом философского анализа кризиса математики в XVIII в. для диалектико-материалистичес-кого понимания революций в математике;

— показать на примере перехода от математики постоянных величин к математике переменных величин специфические особенности революции в математике.

Теоретико-методологической основной диссертации являются основополагающие идеи диалектико-материалистической философии о природе научного знания, о единстве и борьбе противоположностей, в частности о единстве количественных и качественных изменений, т. е. о преемственности в развитии знаний и коренных качественных изменениях. В ходе работы автор широко опирало:: на работы советских философов и на диалектнко-материалистичес. кие идеи в работах зарубежных ученых, посвященных проблемам развития науки.

Новизна и научная ценность исследования заключается в том, что в нем впервые дается философский анализ научной революции в математике XVII века с целью выявления общих закономерностей и специфики научных революций в математике. В диссертационной работе получены следующие основные результаты:

— показано существование научных революций в математике;

— дано определение научных революций вообще и научных революций в математике — в особенности;

— дан анализ моделей развития науки, предложенных Т. Куном, К. Попперм, И. Лакатосом в аспекте их применимости к революционным изменениям в математике. При этом сделан вывод о том, что указанные модели не точно описывают как причины, так и сами коренные качественные преобразования в развитии математики;

— показано, что одной из главных специфических особенностей революционных изменений в математике является более сильная, чем в естественных науках, выраженность элементов кумуля-тивизма;

— показано, что революционный, антикумулятивный характер развития математики в большей степени проявляется в необходимости коренных качественных изменений в собственно математических и философских основаниях математики, с помощью которых ломаются старые представления о содержании и природе математического знания;

— специфическая особенность революционных изменений в математике проявляется и в том, что революции в математике приводят к расширению сферы приложения математических методов;

— выявлена двоякая роль философии в развитии математики. Высокая эвристическая роль философии в ходе революционных преобразований, до появления новых философских оснований. Новые философские основания главным образом стимулируют развитие нового состояния «нормальной науки». В этом смысле они выполняют определенную консервативную роль.

Практическая ценность диссертационного исследования.

Полученные основные результаты способствуют как более широкому и глубокому пониманию проблемы научных революций, так г конкретизации ее структуры на специфическом материале матема тической науки. Материал диссертации может широко нспользоваг при изучении мировоззренческих и методологических проблем на учного познания, для спецкурсов и методологических семинаров дл? студентов, аспирантов и преподавателей по философским вопросам математики, истории математики, для чтения лекций курег диалектического материализма.

Апробация работы. Основные научные положения диссертации прошли апробацию на научной конференции аспирантов и соискателей Института философии АН СССР «Некоторые методологические вопросы современной философии» (Москва, 1988 г.), на всесоюзной научной конференции «Мировоззрение в системе общественного сознания» (Воронеж, 1988), на V научно-практической конференции молодых ученых Дагестана «Молодежь и общественный прогресс» (Махачкала, 1981 г.), па IV конференции молодых ученых Дагестанского филиала АН СССР (Махачкала, 1982 г.), на V конференции молодых ученых Дагестанского филиала АН СССР (Махачкала, 1985 г.), на I конференции молодых ученых Института ИЯЛ Дагестанского филиала АН СССР (Махачкала, 1985 г.) Диссертация обсуждалась на заседании сектора общей методологии науки Института философии АН СССР.

СТРУКТУРА И ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка цитируемой литературы. Во введении обосновывается актуальность темы исследования, рассмотрены проблема существования революций в математике, степень разработанности проблемы, определены цели и задачи исследования.

В первой главе — «Проблема революционных изменений в науке»—рассмотрены общие вопросы революционных изменений в процессе научного познания, дан философский анализ современным моделям развития науки, сформулированы основные положения диалектико-материалистического понимания научных революций.

В первом параграфе — «Взаимодействие различных форм изменений в процессе развития научного познания»—подвергнуты философскому анализу наиболее существенные факторы, определяющие ход процесса познания.

Наиболее крупномасштабной характеристикой качественно различных сторон развивающегося знания является выделение внешних и внутренних факторов его развития. Такое разделение есть продукт исторического развития научного знания. Первоначально наука как совокупность накопленных человечеством знаний возникла под непосредственным воздействием объективной действительности в процессе практической деятельности человека. Математика, как и все другие науки, возникла из практических потребностей люден. Длительное время проблемы практики выступали ^ качестве единственного источника развития научного, в том числе и математического, знания. Позднее, с возникновением теоретической науки, появляется еще один мощный фактор — внутренние

потребности самой науки. Начиная с VI в до н. э. усложнения, связанные с количественными накоплениями эмпирических фактов, привели к появлению элементов дедуктивного метода. С этого момента перехода практической математики в теоретическую начинают действовать внутренние факторы развития.

К внешним факторам развития науки (в том числе и математики) относятся прежде всего потребности общественного производства, экономики, техники, методологическая роль философии, духовный климат эпохи и вообще состояние культуры, а если речь идет отдельно о математике, то и запросы естественных и социально-гуманитарных наук.

Среди внутренних факторов развития математической науки наиболее важны следующие: установление логической связи между отдельными результатами математики, объединение этих результатов в рамках аксиоматических теорий; дифференциация существующего математического знания, которая приводит к появлению но. вых разделов и дисциплин; интеграция математического знания, которая, будучи противоположна"! процессу дифференциации, приводит к синтезу двух или более теорий или научных дисциплин; концептуальные обобщения (обобщения понятий и теорий).

В вопросе оценок роли внешних и внутренних факторов развития науки существуют две противоположные точки зрения. Одна из них утверждает, что определяющую роль в развитии науки имеют внутренние факторы. Эта позиция несколько смягчается тем, что внешние факторы считаются определяющими лишь в самом начале возникновения науки. В случае же математики, пауки весьма отвлеченной от конкретных свойств и связей материальных вещей, легко Придти к выводу о ее развитии исключительно под воздействием внутренних факторов. Такая точка зрения развивается, например, Ж. Дьедонне, Д. Т. Уайтсайдом. Противоположная точка зрения считает определяющими внешние факторы развития науки. Эта диалектико-материалистическая позиция поддерживается многими выдающимися математиками, например, П. Л. Чебышевым, Д. Гильбертом и др. История математики и се современная практика представляют примеры, где выявление новых понятий или даже целых теорий не поддается объяснению иными побудительными причинами, кроме как чисто логического развития математических сведений. Прогресс математики невозможен без внутреннего саморазвития, без переноса идей и методов из одних областей в другие, без интереса к возникающим в ней самой задачам. Тем не менее внутренние потребности математики без соответствующих внешних стимулов не всегда концентрируют внимание на существующих проблемах. Так, отсутствие соответст-

вующих социально-экономических условии надолго затормозило развитие инфинитезимальных методов после Архимеда. Вообще, одним из важных условий прогресса математического знания является не просто существование внешних и внутренних факторов ее развития, а их соответствие. Постоянное взаимодействие внешних и внутренних факторов является основой прогресса математики. Именно такое взаимодействие служит решающей предпосылкой для коренных качественных изменений в математике, которые обычно называют революциями в математическом познании.

Параграф второй — «Современные модели развития науки». В данном параграфе рассматриваются широко известные модели развития науки, разработанные К. Поппером, И. Лакатосом, Т. Куном. Эти модели «примеряются» к революционным ситуациям в математике с целью выявления адекватности их описания.

Характерной чертой анализируемых концепции развития науки является то, что все они возникли в противовес логическому позитивизм}'. Постпозитивизм в лице К. Поппера, И. Лакатоса, Т. Куна отвергает кумулятивистское истолкование развития науки, как следствие чрезмерного преувеличения роли формально-логических методов в становлении научного знания. Тем не менее их концепции развития науки, научных революций можно рассматривать лишь как относительно истинные, имеющие серьезные недостатки, которые не позволяют их использование в качестве методологической основ:,' для анализа революционных изменений в математике. Это выражается в том, что главным в развитии научного знания считаются внутренние факторы. Так, в концепции Поппера научные революции — это переход от одних проблем к другим, «проблемам возрастающей глубины». Источником движения науки от одних проблем к другим, согласно Попперу, служит принцип фальсифи-цируемостп. Никаких социальных факторов, влияющих на прогресс науки, Поппер не видит. Это не удивительно, так как общественная практика как критерий истины им не признается. Ввиду этого революция в науке становится сменой теоретических систем, которая может использовать любую фантастическую идею, оторванную от объективной реальности, для решения возникающих проблем. Недооценка роли внешних факторов наблюдается и у Лакатоса. Разделение внешних и внутренних факторов проводится Лакатосом в терминах «внешняя история» и «внутренняя история». Для него внутренняя история является первичной, а внешняя — вторичной. Рациональный аспект роста науки, по его мнению, целиком объясняется некоторой логикой научного исследования. В

этом же духе выдержана концепция Куна. Кун полагает, что в понятии истины для анализа науки нет надобности, так как последовательно идущие теории вовсе не обязаны адекватно отражать объективную реальность.

Принцип фальсифицируемости Поппера — одно из центральных понятий его концепции — оказывается несостоятельным решить проблему перехода от одних теорий к другим. Ни одна теория в математике не может быть фальсифицируема в смысле Поппера, т. е. в смысле наивного фальсификационнзма. Следовательно, вопрос о смене теорий в математике, следовательно, и научной революции в математике у Поппера остается открытым.

По признанию Лакатоса, выдвигаемая им концепция заимствует существенные черты фальснфнкационизма и конвенционализма. Вводя в научный оборот новые понятия: «научно-исследовательская программа», «жесткое ядро», «защитный пояс», «конт'пример» и другие, Лакатос старается показать, что увеличивающееся число контрпримеров приводит в конце концов к разрушению «жесткого ядра» и тем самым к смене «научно-исследовательской программы», к научной революции. В действительности, некоторая увлечен ность Лакатоса содержательной стороной развития математического знания приводит к недооценке результатов применения формальных, дедуктивных методов. Так, никакие контрпримеры не могут опровергнуть Евклидову геометрию, которая основывается на полной системе аксиом. Так же нельзя объяснить действием каких-либо контрпримеров появление действительно революционной геометрии Лобачевского. Ввиду этого революция в математике может происходить, не вытесняя, как требует того концепция Лакатоса, старую программу, формированием новой программы.

Многие положения концепции Т. Куна в общем верно отражают процесс революционных изменении в математике. Так, в общем верно, что в каждый период развития математики имеются принципы, которые определяют выбор проблем, способы их решения. Верно, что выбор парадигмы определяется не только критериями логического порядка, но и определенной верой в возможности новой парадигмы. Верно, что революции в математики не могут происходить без коренных изменений интерпретации хорошо известных старых факторов, т. е. имеет место определенная несоизмеримость до и послереволюционных теории, понятии.

В то же время попытки подробного анализа революционных изменений в математике с позиций Купа приходят в противоречие с известными историческими фактами ее развития. В этом смысле нельзя обойти проблему преемственности знания в математике. Кун является ярким представителем антикумулят'ивизма. Понятие некумулятпвности используется Куном в высшей степени катего-

рично. Эта категоричность заключается в том, что две последующие одна за другой парадигмальные теории абсолютно несоизмери" мы. Это положение, являющееся главным в кумовском понимании научных революций, для математики не приемлемо. Элементы ку-мулятивизма, которые свойственны всей наукб, в математическом познании выражены особенно отчетливо.

В делом анализируемые концепции неприемлемы, без критического выбора отдельных положений, для характеристики революций в математике. Элементы диалектики и материализма, которые име ются в них, не возрастают до основополагающих принципов методологии развития науки. Ввиду этого попытки рационального объяснения развития науки упираются в узловых моментах на иррациональное: на веру (Кун), на случайные догадки (Лакатос), на иррациональное возннкноиенпе проблем (Поппер).

Параграф третий — «Диалектико-материалистическое понимание научных революций».

Основополагающие работы но вопросам научных революций были написаны еще классиками марксизма. В становлении дналек-тнко-матсриалистической концепции научных революций большую роль сыграли такие работы, как «Математические рукописи» К. Маркса, «Анти-Дюринг», «Диалектика природы» — Ф. Энгельса, «Материализм и эмпириокритицизм», <0 значении воинствующего материализма» — В. И. Ленина.

В основу научной разработки проблем развития науки, в том числе п проблем, возникающих в переломные моменты, ученые-марксисты поставили принцип объективности научного знания.

Этот принцип, критикующий недостатки релятивистских, субъек-

1 длист „

тивно идеэгю^ических толковании изменении научного знания последовательно развивался В. И. Лениным при анализе кризиса в физике начала XX века. Проблемы практики и связанные с ними представления о научной истине определяют одну из главных черт диалектико-материалистических представлений о научных революциях — их объективность.

Другим, не менее важным диалектико-материалпстнческим положением о научных революциях является их диалектический характер. В ленинской интерпретации это означало относительность наших знаний, отсутствие фиксированных разграничительных линий и различий, неподвижности и абсолютности. Важно и то, что диалектический подход позволяет найти правильное соотношение между коренными изменениями и преемственностью в периоды революций. Революции в науке, так же как и социальные революции, ломают старое в самом основном и коренном, а не переделывают

его осторожно, стараясь ломать как можно меньше. В этом выражается некумулятивный характер научных революций. В то же время диалектический материализм признает наличие преемственности в до и послереволюционных системах знаний, так как движение к абсолютной истине идет через накопление, сумму, развитие относительных истин.

Конкретизация основных диалектнко-материалистическнх положений о характере научных революций в последующем проводилась в исследованиях таких философов как Б. М. Кедров, Э. М. Чудинов, В. С. Степин, М. Э. Омельяновский, П. С. Дышлевый, В. М. Найдыш, Ю. В. Сачков и др. Была проведена классификация научных революций как по форме, так и по содержанию, даны их критерии. Были выявлены этапы развития научных революций. Правда, в этих вопросах среди философов-марксистов еще нет единого мнения. В вопросах поэтапного развития научных революций автор придерживается того, что на нервом этапе появляются их предпосылки. Они возникают как изменения во внешних или во внутренних факторах развития науки или как их взаимодействие. Второй этап приводит к коренному изменению содержания науки, изменению его предмета, появлению принципиально новых понятий, методов, теории — это кульминация научной революции. На третьем этапе происходит изменение социально-практической роли науки, ее обратное воздействие на внешние факторы. На четвертом этапе (который, в зависимости от обстоятельств, может предшествовать предыдущему) решаются проблемы обоснования собственно научного и философского характера, в результате которого могут появиться внутренние предпосылки новых революционных изменений.

Весьма сложный вопрос — вопрос о критериях научных революций. В советской философской литературе здесь также нет единого мнения. В качестве критериев выдвигаются изменения стиля мышления, разрешение фундаментальных диалектических противоречий материального мира, ломку методологического каркаса и картины мира, крупные открытия в данной научной области и др. Автор исходит из того, что специфика науки определяется ее предметом и методом. Ввиду этого под научными революциями целесообразно понимать такие изменения в науке, которые характеризуются новизной, связанной с созданием принципиально нового концептуального аппарата . (понятий, методов, теорий), т. е, научная революция есть коренное, качественное изменение концептуального аппарата науки. По своим масштабам научные революции бывают глобальные, региональные и локальные.

Во второй главе — «Возникновение и развитие анализа бесконечно малых как революция в математике» — анализируется процесс становления математики переменных величин.

В первом параграфе — «Исторические предпосылки анализа бесконечно малых»—рассматриваются исторические предпосылки возникновения анализа бесконечно малых. Научная революция в математике Нового времени подготавливалась длительное историческое время. Предпосылки нового исчисления можно усмотреть в тру дах великого философа-атомиста Демокрита (V—IV вв. до н. э.) который, используя метод неделимых, впервые вычислил объем пирамиды и конуса. Введение бесконечно малой, первое примитивное их суммирование некоторые историки математики связывают с проблемами древней архитектуры. В то же время в возникновении проблемы бесконечно малых большую роль сыграли представления античных математиков о строгости математических доказательств. Допущение бесконечного ставило проблемы философского, логического, математического характера. Классической формой выражения проблем бесконечного и бесконечно малых стали известные апории Зенона Элейского (V в до и. э.). Несмотря на свои недостатки концепция математического атомизма содержала в себе плодотворную мысль о том, что тела можно составлять из большого числа малых частиц, резмеры которых известны. В методическом, доказательном смысле важно было обоснование переноса некоторого свойства многоугольной фигуры на криволинейную. Пользуясь идеей Анаксогора о потенциально бесконечно малой, Евдокс Кнпдскин (V—IV вв. до н. э.) создает своеобразный метод «предельных-переходов», который известен как «метод исчерпывания».

Метод исчерпывания в дальнейшем был существенно улучшен Архимедом. Заслугой Архимеда является и то, что он впервые вводит в рассмотрение не только вписанные, но и описанные многоугольные фигуры. Архимед не только ввел верхние и нижние интегральные суммы, умел вычислять отдельные предельные переходы, но и ввел в рассмотрение метод сведения отдельных задач на экстремумы к определению касательных. Архимед в своих частных решениях находит необходимое условие экстремума для функций вида У = >'2 (а—х). Все же это были отдельные, не имеющие достаточной общности решения, так как древние не только^обладалп общим понятием функции, но и не имели необходимой для выраже пия этих отношений символики. Это объясняется в определенной степени, и господством геометрической алгебры. После Архимеда длительное время инфинитезимальные методы находились в забвении. Причиной тому были не только факторы внутреннего порядка. Внешние, социальные факторы также не способствовали развитию

I

инфинитезимальных методов древних. Так, распад рабовладельчс ского общества, возникновение христианской религии, которая вра ждебно относилась к науке, приучавшей людей к критическому мышлению и трезвому анализу фактов, господство в философски: основаниях математики Аристотелевского тезиса о несовместимое ти математических понятий с идеей движения, наконец, отсутствш каких либо потребностей общественного производства не стимулп ровали исследования подобного характера.

До начала XII века предметом математики оставались постоянны! величины. В возникновении математики постоянных величин поло жительную роль сыграли идеи о функциональных зависимости: французского ученого Н. Орер(а, развитие математической сим воли ки Ф. В петом (до него, еще в III в. к. э. зависимость двух неизвест ных величин символически выражалась Диофантом). Наиболс! важно то, что на рубеже XVI—XVII вв. в связи с многообразным] задачами астрономии, естествознания, новой техники возрождаете; интерес к инфинитезнмальным методам древних. Первым ново* слово после древних сказал И. Кеплер. При выведении законо: движения планет Кеплер рассматривал элементарные дуги, суммы в которых фигурировали бесконечно малые, переходя к пределу вычислял площади криволинейных фигур. Кеплер впервые посл< Архимеда ставит задачу отыскания максимумов функций, формулирует характерное свойство таких точек. Метод Кеплера по су ществу был возвращением нестрогого, но позволяющего быстро i просто найти ответ на поставленный вопрос метода математическо го атомизма древних. Более систематически свой метод недели мых, основанный на идеях Кеплера, разработал Б. Кавальери. Не которые последователи Кавальери (Торричелли и др.) начал: трактовать неделимые элементы фигур как однородные с ними бес конечно малые. Это открывало пути к возрождению метода интег ральных сумм.

В параграфе втором — «Переход от математики постоянны величин к математике переменных величин как революция в мате матике» — даны определение научных революции в математике критика кумулятивистских концепций развития математическог знания, показаны коренные, качественные изменения, составляющие суть революции в математике, выделены специфические особенности научных революций в математике.

В оценках развития математического знания наблюдаются дв крайности. Во-первых, некритически перенимая понятия, которы выражают специфические особенности естественных наук (напри мер, понятие «научная картина мира»), стараются показать, чт научные революции в математике совершаются точно таким же о С

разом, как в естественных науках. Во-вторых, попытки превращения специфических характеристик революции в естествознании во всенаучные приводят к отрицанию революций в математике, к чисто кумулятивистской трактовке процесса математического познания.

Революция в математическом познании сводится к коренным качественным -изменениям существующего концептуального аппарата, т. е. ее основных понятий, методов, теорий. Более конкретно суть коренных качественных изменений в концептуальной системе математики выражается в: а) обобщениях понятий, б) возникновении новых понятий, в) синтезе теорий, г) появлении принципиально новых методов, д) изменении собственных оснований, е) появлении новых философских оснований математики. Как следствие этих изменений революции в математике приводят к расширению сферы приложения математических методов. Другая особенность заключается в более сильном, чем в естествознании, кумулятивном характере революций в математике. Ни одна математическая теория, если она логически непротиворечива, не отбрасывается как неверная. Но коренные изменения в концептуальном аппарате приводят к неизбежной смене собственно математических и философских оснований математики. Тем самым происходит пересмотр, переоценка, переосмысление всего «багажа» математического знания. В этом проявляется некумулятиппый характер роста математического знания.

Переход от математики постоянных величин к математике переменных величин подтверждает приведенные выше высказывания о характере революционных изменений в математике.

Одна из важнейших идей математики переменных величин заключалась в синтезе алгебры и геометрии. Суть ее в том, что если какая-то точка описывает некоторое геометрическое место точек, то между ее координата ми X, У должно быть определенное соотношение, которое может быть выражено алгебраически. Обратно, каждому уравнению между X и У соответствует «геометрический образ». Эта идея впервые начала использоваться в трудах Р. Декарта, П. Ферма. С этого момента анализ линий переносился в принципиально новую область — алгебру.

Идея синтеза алгебры и геометрии не могла быть реализована без разработки соответствующей системы понятий. В этой системе революционизирующая роль принадлежит понятию переменной. Как писал Ф. Энгельс, поворотным пунктом в математике была пе. ременная величина. Вместе с переменной в математику вошла целая сеть новых понятий — производная, интеграл, предел, диф-

ференциал, непрерывность и многие другие, отношения которы дали жизнь не только дифференциальному и интегральному исчт лению, но и другим новым направлениям математических исследо ваний. Если говорить о некоторых из них, то в первую очередь ну; но отметить аналитическую геометрию, дифференциальную геоме-рию, дифференциальные уравнения, уравнения в частных произво; ных, варриационное исчисление, теория функций комплексной пе ременной и другие, которые не могли появиться и функциониро вать в условиях требований математики постоянных величин. Вс эти направления вошли в научную жизнь благодаря возникновени принципиально новых методов дифференциального и интегральн< го исчислений. Появление математики переменных величин оказ; ло значительное влияние на расширение области применения мат! матических методов. Суть этих изменений сводится к тому, что м; тематика дала возможность естествознанию изображать математ: чески не только состояния, но и процессы,движение.

/

Характерной особенностью обобщений единичных, отдсльнь приемов решения инфенитезимальных задач в социально-эконом, ческих условиях Нового времени явилось то, что они первоначал но проводились в тесном контакте с решениями проблем естеств! знания. В Новое время почти все выдающиеся математики одне временно занимались проблемами математики и естествознани Так, одновременно с решениями задач с использованием бе$скон( но малых, Кеплер, Торричели, Кавальери, Декарт, Гюйгенс, Нь* тон, Лейбниц изучали проблемы механики и оптики. Через естес вознание многие насущные проблемы общественной практш трансформировались в математические проблемы. Введение удо ной символики (особенно в работах Декарта и Лейбница) дaJ возможность включения внутренних стимулов, способствуют! глубоким обобщениям. Ньютон и Лейбниц, смело экспериментиру математической символикой, опираясь на многочисленные резул таты, полученные различными содержательными рассуждениям открыли формальные методы вычисления производных. Тем самы они открыли единообразный метод решения задач дифференцир вання и интегрирования.

Революция в математике XVII века перестроила традициош сложившиеся представления о системе математического знания, этом смысле существенны радикальные изменения в собственно-м тематических и философско-методологических основаниях матем тики. Изменения в собственно-математических основаниях свели* к тому, что Декарт с самого начала, противореча положениям ге метрической алгебры, создал аналитическую геометрию. Тем самь: алгебра, а не геометрия, ставилась в основу математики. Так к; Декарт предложил правила буквенного исчисления подобно де

И

:твиям с числами в арифметике, порывалась восходившая к антич-юсти традиция, считавшая разнородными объекты арифметики г геометрии. Наконец, потребности обоснования анализа бесконеч-ю малых поставили вопросы арифметики в основу развития всей математики.

Философские основания, в отличие от собственных, в которых фиксируются основные математические принципы и законы построения теорий, определяют более общие, имеющие мировоззренчес-сое, металогическое значение для развития математики, фнлософ-:кие принципы. Характерной особенностью новых философских ос-юваний математики переменных величин стал их стихийно диалектическим характер. Как писал Ф. Энгельс, известное замешатель-:твс вызвала высшая математика тем, что затвердевшие категории )асплавились. Декарт, в отличие от древних традиций, видит в математике общий метод исследования пространственных образов и IX движения. Все это показывает, что изменения собственно магматических и философских оснований математики носят аити-сумулятпвный характер.

Возникновение новых оснований было достаточно длительным териодом. Особенно интенсивно оно происходило в конце XVII и 1ачале XVIII веков, то есть в период второго крупного кризиса в математике.

В параграфе третьем — «Кризис в основаниях математики в <VIII в. и его философский анализ К. Марксом» — показаны фи-юсофские проблемы, их решения, в связи с кризисными явлениями юсле введения математических инноваций. К кризису привели по аеныией мере три причины. Во-первых, математики мыслили дифференциал функции как бесконечно малое приращение, но вычис-1яли лишь главную часть этого приращения, линейную относитель" ю Ах = Дх. Во-вторых была преобладающей предметная точка на юнятие дифференциала, т. е. точка зрения, согласно которой дифференциал отображает некоторую внешнюю реальность. В недос-■аточной мере осознавался оперативный характер дифференциала. 3 третьих, главная причина кризиса заключалась в том, что исчис. тения Ньютона и Лейбница содержали в себе формально логичес-сие противоречия: дифференциалы Ду одновременно принима-шсь не равными и равными нулю. Острота кризиса усиливалась чем, что эти математически необоснованные, логически противоре-швые приемы давали возможность получать открытия точных ре-¡ультатов.

Объяснением этих фактов до Маркса занимались многие фило-:офы. Среди них особо надо отметить позицию Гегеля. Гегель ис-

ходил из того, что метод дифференциального исчисления вообцг чужд математике, так как внутри нее не может быть найден диалектический переход между элементарной математикой и анализом. Ввиду этого методы анализа бесконечно малых могут бьт по Гегелю, введены в математику лишь внешним образом. Эт, точка зрения первоначально была характерна и для самих матема тиков.

Результаты философского анализа кризиса в математике, про веденного Марксом, можно свести к следующему:

— Маркс показал существование алгебраических корней анали за бесконечно малых, т. е. показал неизбежность преемственност: в революционном развитии математического знания;

— Маркс рассматривает качественные изменения в математи ке как ее концептуальное обновление;

— одна из причин кризиса Марксом видится в метафизнческо! представлении изменений переменной, т. е. в отстуствии диалекти ческого мышления, в чрезмерном формальном и даже метафизиче ском использовании переменной;

— рассматривая дифференциальный метод как диалектическ развивавшийся метод обычной алгебры, Маркс дал лишенное фор мальных противоречий понятие алгебраического дифференциро вания;

— Марксом подчеркивается высокая роль математического экс периментирования, индуктивных методов в творческом развитн математики;

— Маркс дал исчерпывающее объяснение оперативного хараь тера дифференциальных символов;

— Маркс открыл явление «оборачивания метода», которое мож но рассматривать как состояние качественного скачка в становлс нни математических понятий. Была выявлена природа процесс становления символических исчислений. Исследование К. Маркс стало важным вкладом в формировании дналектико-материалнет! ческих философских оснований математики переменных величин.

В заключении диссертации коротко сформулированы основны выводы исследования.

Результаты исследования представлены в следующих публика циях:

1. Первая революция в математике и коренной перелом в пост; новке проблемы отображения движения в математике ,!/1\' конф( ренция молодых ученых/Тезисы докладов. — Махачкала, 1982.

2. Особые периоды в развитии математического знания//У конвенция молодых ученых/Тезисы докладов. — Махачкала, 1985.

3. Теоретическое и эмпирическое в математическом познании /I конференция молодых ученых Института ИЯЛ/Тезисы докла-,ов. — Махачкала, 1985.

4. Роль диалектических противоречий в развитии математиче-кого знания. //Методологический анализ математической теории. - М„ 195?. — 1 п. л.

5. Роль философии в революционные периоды развития матс-[атического знания//Мировоззрение в системе общественного соз-ания /Тезисы докладов всесоюзной научной конференции. — Во-онеж, 1988.

6. О природе научных революций в математике//Некоторые ме-одологические вопросы современной философии/Тезисы докладов еоретической конференции аспирантов и соискателей ИФ АН :ССР. — М„ 1988.