автореферат диссертации по философии, специальность ВАК РФ 09.00.01
диссертация на тему: Природа и структура революций в математике: философско-методологический анализ

Полный текст автореферата диссертации по теме "Природа и структура революций в математике: философско-методологический анализ"

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖЫ НАРОДОВ

На правах рукописи

ДИМКТРИУ ИРИН14 ПЕТРУ

ПРИРОДА И СТРУКТУРА РЕВОЛЮЦИЙ В МАТЕМАТИКЕ: ФИЛОСОФСКО-МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЯ АНАЛИЗ

( 09.00.01 - диалектика и теория погкаккя )

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата философских наук

Москва - 1994

Работа выполнена на кафедре диалектики и теории познания Российского Университета дружбы народов

Научный руководитель -доктор философских наук, профессор В.М. Найдыш

Официальные оппоненты : доктор философских наук, профессор П.С. Дышлевый кандидат философских наук, доцент А.Т. Шаталов,

Ведущая организация -Московский институт тонкой химической технологии

Защита диссертации состоится " ^ " л/Л^ТСх 139Ц г. в /£. час.00 мин. на заседании специализированного совета К 053.22.24 в Российском Университете дружбы народов по адресу: 117198, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, б, ауд. 267.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Российского Университета дружбы народов по адресу: 117198, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6.

Автореферат разослан " 1994 г.

Ученый секретарь специализированного совета

кандидат философских наук, доцент Е.И. Рачин

Актуальность темы^ссл ед ова н ия•

Одной из обших закономерностей развития современного научного познания является постоянное возрастание в кем рол:-; и значимости математического знания. Это проявляется в тенденции фронтальной математизации естественных и гуманитарных наук, в широком заимствовании или методов, средств, приемов теоретической математики; б бурно« росте влияния прикладных ма* тематических методов, аренде всего вычислительно-кибернетических, аналоговых методов, математического моделирования и "др.; и возрастании влияния математики на общемировоззренческие и методологические установки современной науки, в сближении математики с философскими, социально-гуманитарньши поисками и разработками. Вместе с тем процесс математизации науки и практики существенно изменяет и некоторые ориентиры, ценности, идеалы самого математического познания. В цело« ряде отраслей математического познания всё большую значимость приобретают результату историко-математическик и философско-методологиче-ских исследований. Особенно велика значимость историко-мате-матических и философско-методслогических исследовании в решении фундаментальных вопросов обоснования математики.

Обоснование математики как одновременно философская и математическая проблема имеет долгуш истории (от античности до настоящего времени). й современной философско-методологиче-ской и историко - научной литературе особый интерес вызывает периоды "кризисов в основаниях математики.". Кризис з основаниях либой системы свидетельствует о возможности глубинных революционных её преобразований. А кризисы в основаниях математики являются признаком возможного революционного (в отличие от эволюционного, постепенного) характера развития математики. Поэтому -многогранная проблема обоснования математики имеет в качестве одного из своих важных аспектов вопрос о природе рэволоций в математике, т.е. процессов смены одной системы обоснования математики другой. Исследование революции в математике, выявление их закономерностей имеет особое значение на современном этапе развития математики, когда она пи-видимому, перекивает новую революцию. Об этом свидетельствуют изменения, происходящие в структуре математического познания, в отношениях математики к другим наукам, к производственной деятельности,а таое продолжающийся кризис в её основаниях.

Современная математика существенно расширило сбой предмет, вкльчила в свои объекты исследования образования мало похожие па классические метрические объекта. По-новому выглядит внутренняя структура математики, вступили з нош;й этап отношения теоретической и прикладной математики. Математика существенно повысила свое влияние на другие разделы знания. Все эти изменения в образе математического познания привели к современному, уже третьему кризису в основаниях математики, когда установившиеся в ХУТ11- нач. XIX в.в. основания математики перестали соответствовать предмету и методам "иеклассической" математики XX в. Третий кризис в основаниях математики и но сей час остаётся неразрешённым, актуализируя наряду с другими исследованиями и философско-методологический анализ природы и структуры революций в математике.

Степень разработанности проблемы.

В цикле историко-научных и филосо^ско-методологических исследований исторических, закономерностей развития научного знания проблема истории и логики развития математического познания (частью которой является проблема революций в математике) всегда занимала особое место. Это прежде всего объясняется своеобразием математического познания, такими его чертами, как его дедуктивно-виводной характер, единство открытия и доказательности, особая роль обоснования, особый характер связи с опытом и др. В силу этих ее черт многими авторами принято считать математику отраслыи познания, максимально приближенной к модели исключительно кумулятивного способа развития знания, где нет места глубинным основополагающим скачкам, качественным переходам, научным революциям, ¿месте с тем в гносеологии, в философии, в истории и философии математики, начиная с ШИ в., существовали и иные, противоположные кумулятивным, точки зрения на развитие математического познания (М.Кант, Ф.Энгельс, О.Шпенглер и др.). 3 соответствии с ними история математики не иоает трактоваться как исключительно постеленный, эволюционный, кумулятивный процесс; она содержит в себе и глубинные преобразования, качественные переходы, скачки и научные революции. Причём и последние десятилетия роль и значимость антикумуяятивистских интерпретаций истории математики значительно выросла.

На современном этапе вопрос о революциях в математике возникает прежде всего в русле исследований по "философии катема-

тики" и связан с разработкой проблем природа математического знания, особенностей познавательной деятельности в математике, логики исторического развития математики и др. (работы Александрова Л..Д., Барабашева А.Г., Бет д., Ван Хао, Зейяя V,, Рейтинга А., Гнеденко Б.В., iora 8,И., Калиара Д,, Карнааа Р., Харри X., Хедронского О.'Л., Колмогорова А.Н., Кузина У., Куэ-иецовои-И.С., Лакатоса И., Ледникова S.S., Л.укъянна З.С., Маркова A.A., Новикова П.С., Ны.«ана Да., Панова II.И., Пермино-во ¡З.НРассел?» Б., Ру«и. И., Тарского А,, Уайтхеда А., !'!ре-ге Дж., Чсрча А., и др.).

Второй важной познавательной структурой, где поднимается вопрос о революциях в математике, является история математики. исследования ко истории математики (работы Бешаковой •. Li.Г., Ван дер Зардеиа Б., Выгодского К.К.» Гайдепко Я.П., Демидова G.G., Клайпа М., Медведева i.A., Нейгебауэра 0., Раик A.S., Романского Vi.Л., Розенфельда Б.А., Рыбникова К.А., Стройка Д.Я., Цейтена Г.Г., Хисза Т., Какевича A.n., Яновской С.А. к др.) представляют собой фактуалыю-эмпприческую основу для анализа закономерностей исторического развития математики, в том числе и для выделения эволюционных и революционных этапов в этом развитии. При этом часто в историографии математики вопрос о революционности или нереволюцкониост;< того или иного периода развития математики решается преимущественно оценочным образом.

Наряду с чисто философскими, эмпирическими историко-кате-матичсскими, а такие исследованиями в русле "философии математики" проблема революций в математике зознккает и в той отрасли познания, которая связана с анализом закономерностей исторического развития науки (естествознания) в целок. Иь'ход з свет книги Т.Куна о научных революциях почти на два десятилетия (60-80-е годи) определил "моду" на проблему научных революций . ¡3 работах представителей так называемого постпозитивистского направления в "философии науки" (Т.Кун, К. Иоппер, И.Лакатос, С.Тулмин, Дж.Агасси, И.Коон и др.) особенно много внимания уделялось анализу истории развития познавательной деятельности и вопросу о природе научных революций. 3 многочисленных работах авторов разных стран были проанализированы самые разные аспекты проблемы научных революций, в том числе и вопросы возможности применения понятия "научная революция" к историческому пазвитиь математического познания (работы

3

М. йрошки, Р.Перко и ПДёпфа, Л.йертенса, ¡¿.Кении, к.Кроу, Р.Уайлдера, М.С.Кузнецовой,Д.Даубена и др.). Дисскуссия вол-круг проблемы революций .з математике не ограничилась обсуждением природы революций з математики лишь в свете концепции Т.Купа, а знала за рамки этой концепции, продемонстрировав необходимость расширении концептуального аппарата философско-кетоДолог ического анализа природы и структуры математических резолюций (работы Аиб&рцуыяна Ö.A., Готта З.С., Дышлевого D.Q, Карпинской P.C., Казит«некого В.З., Кедрове Б.М., Лекторского 13.А., Яайдыша В.л., Омельяновскогго М.З., Чудипова Э.М., Степиаа B.C., Фролова И.Т. и др.).

В ходе дискуссии, развернувшаяся под влиянием концепции Т.Куна, вокруг проблемы революций в математике (допустимы ли революции в математике, и если да, то что можно считать революцией в математике), была особо подчеркнута специфичность рай-вития математического познания по сравнении с развитием естественнонаучного познания, которая подчас доводилась до отрицания самоа возможности математических революций. Исследователи, не допускающие возможности существования революций в математике, в большинстве свое» исходили из такого понимания природы научной революции, а котором революция как создание новой парадигмы одновременно предполагает отказ от старой. Такой подход оказывается плодотворным в естествознании, где революция чаще всего проявляется как борьба конкурирующих, несовместимых и несоизмеримых теорий, которая завершается утверждением новой Фундаментальной теории, новой парадигмы. При подобной трактовке понятие "научная революция" оказызается неприемлемым для истории развития математики, где дедуктивность знания заранее предполагает преемственность старого и нового, последовательное накопление знания, верность старым методам, приемам, традициям исследования. С другой стороны, те исследователи, которые допускают возможность сушествования революций в математике, в то не время руководствуются самыми различными представлениями о критериях, признаках математической революции, ö качестве таких признаков называет самые разные стороны, свойства,,черты системы математического познания. Они усматривает такие признаки и в понятийном аппарате математики, и в её объектах, в методах математического исследования, в установках математической деятельности, в таких ярких событиях в истории математики, которые изменили "образ" иатемати-Ц

К'Л, и др.

Цель к задачи исследования. В диссертации поставлена цель расширить концептуальный аппарат философско-методологического анализа природы и структуры математических революций, показать, что з историческом развитии математического познания чётко выделяется определённые периоды, которые с достаточный основанием могут быть отнесены к революциям, реконструировать логику, основные этапы математических революций.

Достииенип этой цели осуществляется ч^пеэ решение следуь-цих задач:

- анализ к уточнение концептуального аппарата фклософско-ме-тодологических реконструкций природы и структуры революций в математическом познании;

- определение критериев, сущности и исторических границ конкретных революций в математике;

- описание на основе историко-научного материала логики, основных этапов развития каждой конкретной математической революции;

- оценка современного состояния математики на основе выявленных закономерностей математических революций.

Теоретико-методологическая основа работы. Базу для описания "механизмов" развития революционных: процессов в истории математики составляют работы по гносеологии, логике, и методологии математического познания, по философским проблемам естествознания.

В нашем диссертационном исследовании революция понимается как особая форма скачка, как качественное изменение основании целостной системы. 13 своём развитии революционные качественные преобразования как целое проходят три основных этапа: формирование предпосылок, образование оснований и утверждение новой системы на базе исходно?! старой. исходим из того, что такое обшее определение может быть конкретизировано к отнесено и к системе математического познания. Научная новизна исследования заклсчается:

- в предложении новой модели реконструкции революционных процессов в историческом развитии математического познания;

- в анализе основных исторических типов (способов) математического познания;

- в выделении в истории математики революционных периодов, и.; содержательном анализе;

- в реконструкции логики развития, основных этапов научных революций в математике;

- в выделении методологических установок каждого исторического способа математического познания и их сравнительно-историческом анализе.

Положения диссертации выносимые на защиту.

1. Анализ показывает, что в исследовании историчесусгл" развития математического познания не только допустимо, но и аела-тельно использование понятийного аппарата концепции научных револьцин. Математическая революция - это качественное изменение системы оснований математического познания, формирование, наряду со старым, нового основания, которое не отрицает абсолютно старое, а дополняет, обогащает его, состоит с ним

б определённых логически эксплицируемых связях и отношениях. Среди признаков математической революции - формирование нового объекта математики, новых методологических установок, кризис оснований, возникновение фундаментальных противоречий и др.

Математическая револсция цроходит три этапа: а) формирование предпосылок нового способа математического познания, б) образование его оснований и в) утверждение нового способа математического познания.

2. В истории математики может быть выделено три целостных способа математического познания, каядый из которых обладает своими пониманием природы математических объектов и математической исследовательской деятельности, своей системой оснований математики и своими познавательными средствами:

й) Математика конкретных количеств. Основными объектами математики конкретных количеств являится число и фигура. Целью этой математики является исследование отдельных величин, а не количественных связей. Математика осознаётся как отвлечённое знание. Отношение к объективной реальности опосредуется логическим обоснованием в форме аксиоматическо-дедуктивного вывода.

б) Математика обобщённых количеств (конкретных отношении). Математика обобщённых количеств направлена на исследование процессов изменения, движения, взаимосвязи математических объектов. Основное понятие 'катематики обобщённых количеств -это понятие функциональной зависимости. Роль фундаментальной теории на этом этапе развития математики играет магематиче-

ский анализ. Целью данной математики является исследование величин в процессе их изменения и их взаимодействия с другими величинами.

в) Математика обобщённых отношений. Основные объекты математики обобщённых отношений - это множество, группа, геометрическое пронстранство. Математика выходит за рамки метрических отношений.

Образование каждого нового способа математического познания происходит в результате математической резолюции. 3. Первая революция в математике привела к генезису теоретической математики, к образованию математики конкретных величин. Центральной идеей данной революции является идея теоретического доказательства. Предпосылки этой идеи начали формироваться в древневосточной математике и выступили в форме первых теорем в творчестве Фалеса. Развитие этих предпосылок до уровня целостной теории происходит в школах Пифагора и Платона. Утверждение нового способа математического познания происходит в александрийской школе. В ходе революции зазер-аается процесс образования абстракций числа и геометрической фигуры, формируются представления о них как особых сущностях. Основной метод сформировавшегося способа математического познания - дедуктивный вывод. Результаты математического знания формулируются в аксиоматической форме.

Вторая революция в математике сформировала математику обобщённых количеств.Центральная идея второй революции это идея исследования изменения. Основные предпосылки этой революции сконцентрировались в формировании аналитической геометрии, в расширении понятия числа в области отрицательных и иррациональных чисел. Из этих предпосылок выросли идеи переменкой величины и бесконечно малой, которые развились до уровня фундаментальной теории з форме математического анализа, основанного на понятии предельного перехода. В результате второй революции исследовательская область математики выходит за рамки статического количества. Новая математика изучает законы изменения определённого количества относительно других количеств. Для нового, подвижного, изменяющегося математического предмета потребовались такие методы исследования, которые давали бы не только статическое представление об объекте, но и динамическое.

5. Третья революция в математике образовала математику обоб-

7

¡ценных отношений. Центральной проблемой данной революции является исследование неметрических объектов. Предпосылки новой математики сложились во второй половине XIX в. в форме понятий группы и геометрического пространства, которые постепенно интегрировались в идею бесконечного множества. Начало формирования основании нового способа математического познания совпадает с этапом формирования теории множеств и программы обоснования математики Кантора. Парадоксы теории множеств привели к отказу от этой программы и к формированию новых программ обоснования - логицизма, формализма, интуиционизма. Исследования Гёделя показали ограниченность этих программ. Вплоть до настоящего времени не сформировалась удовлетворительная программа оснований математики. Третья революция в математике по-видимому ещё не завершилась, она находится на втором этапе своего развития - этапе образования новых оснований.

Практическая и теоретическая значимость работы. Положения и выводы диссертации могут бить использованы для развития теоретического содержания проблем методологии научного познания, историко-математических исследований, а также для экспертных оценок перспектив развития математического познания.

Результат исследования могут использоваться в практике преподавания курса философии, в лекционных и семинарских занятиях для студентов и аспирантов по теории познания, методологии науки, философским проблемам математики и др.

Апробация работы.

Основные результаты диссертации обсуждались на методологических семинарах кафедры диалектики и теории познания отделения философии Российского Университета Дружбы Народов, докладывались на выступлении на Первом Международном симпозиуме

"Запад- Восток: Диалог цивилизаций" (май, 1992).

По теме диссертационного исследования опубликована статья:

"Философско-методологические аспекты проблемы генезиса математики". //Вестник Российского Университета Дружбы Народов, Серия: История, философия. 1993, № I (0,5 п.л.).

Структура работы.

Диссертация состоит из введения, четырёх глав , заключения и списка литературы. Первая глава посвящена истории вопроса, формулированию понятия "математическая революция", разработке модели развития математических революций. Кавдая из последующих глав анализирует логику развития одной из'революций, прои-8

сходивших в математике, описывает способ математического познания, сформированный в результате революции.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТО

Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, определяется цели и задачи исследования, показывается степень разработанности проблемы, излагаются теоретико-методологические основы работы, положения выносимые на защиту, практическая и теоретическая значимость работы, раскрывается научная новизна исследования.

3 перзой главе революция з математике рассматривается как философская и историко-научная проблема. Обосновывается правомерность использования аппарата концепции научных революций для реконструкции исторического развития математического познания, анализируется существовавшие в истории философии, • истории и методологии математики концепции математических революций, описывается та модель реконструкции природы и структуры научных революций, которая применяется в диссертационном исследовании.

В первой главе показано, что наряду с кумулятивистскими трактовками исторического развития математического познания, отрицающими существование в этом развитии глубинных качественных переходов, скачков, научных революций, в истории философии, цикле эмпирических историко-математичесхих исследований, в "философии математики" и в "философии науки" сложилась и устойчивая традиция антикумулятивистскоЯ трактовки развития математического познания, допускающая возможность существования математических революций. Вместе с тем, в вопросе о существенных признаках математических революций единства мнений нет. На каш взгляд, проблема природы математических революций должна быть тесно увязана с проблемой оснований математики, поскольку любая научная революция связана с ломкой старых и выработкой новых оснований науки. Математика в этом отношении не является исключением.

В анализе природы и структуры математических революций мы опирались на тот опыт разработки концепции научных революций, который накоплен в российской и западной философской литературе б 70-80-е годы. На наш взгляд, среди ряда существующих концепций научных революций к анализу закономерностей математических революций вполне прилояима та концепция, в которой научная революция понимается как качественное изменение оснований

9

науки, затрагивающее как когнитивную их составляющую (принципы фундаментальной теории), так и ценностную (нормы, стандарты познавательной деятельности в данной науке). Важнейшим компонентом ценностной составляющей оснований науки являются методологические установки познания. Изменения, ограничивающиеся когнитивной стороной познания, свидетельствуют об эволюционных процессах в развитии науки. Революционные изменения обязательно приводят к изменению ценностной составляющей знания и прежде всего к формированию нозой системы методологических установок познания. 3 своём развитии научные революции проходят три основных этапа:1)формирование предпосылок нового способа познания в недрах старого; 2)образование оснований нового способа познаний; 3)утверждение нового способа познания, подчинение предпосылок новому основанию'1"-'. На наш взгляд, подобная концепция может быть приложима и к теоретической реконструкции истории математического познания, закономерностей математических революций при условии учёта качественного своеобразия математического познания по сравнению с естественнонаучным.

Центральным моментом в развитии революции в математике является кризис в её основаниях. Любое расширение предмета математического знания, изменение представлений математической строгости и т.д. существенно влияет на установившиеся основания математики. Но к кризису в основаниях не сводится все содержание математической революции. В конечном счёте это прежде всего переход от одного исторического типа объектов математического познания к другому, от одного способа математического познания (с соответствующим основанием) к другому. Поэтому при анализе природы математических революций принципиально важно определить исторические типы объектов математического познания, а также основные способы математического познания (с их соотзетстуыцими основаниями).

Проведённый нами анализ позволяет сделать вывод о формировании в истории математики трёх революционных процессов, сформировавших соответственно три качественно своеобразных способа математического познания. Ведущую роль в способе математиком.: Лышлевый П.С,,Найдыш З.М. Материалистическая диалектика и проблема научных революций. Киев, 1981; Найдыш В.М. Научная революция и биологическое познание: философско-методоло-гический анализ. М., 1987; и др.

1С

ческого познания играет объект .. математики, поскольку ему подчиняются методы познания и нормативные требования к познании. Таким образом революции в математике прямо связаны с изменением (расширением) • . объекта .. , математики. В историй математики мы выделили следующие основные способы математического познания: I) математику конкретных количеств;

2) математику обобщённых количеств (конкретных отношений);

3) математику обобщенных отношений.

Вторая глаза посвящена анализу развития первой революции в математике, формированию собственно теоретической математики (генезису математики), образованию математики конкретных количеств.

Начиная с И.Канта, в решении проблемы генезиса математики в ¡качестве теоретико-методологической базы доминировала кумуля-тизистская методология интерпретации истории математики, согласно которой история математики есть процесс непрерывного количественного накопления формализованных математических утверждений вокруг некоторого статического, неизменяющегося структурного ядра. Особенности такого ядра определяют фундаментальные черта, характеристики математического погнаиия, выражают собой существенные, отличительные признаки математики как науки. И потому генезис математики связывался с первым появлением таких признаков, характеристик в исторически развивающейся структуре математического познания. На наш взгляд, генезис математики как науки должен быть представлен не как момент возникновения одной (или нескольких) отдельных (пусть и важных) черт математического познания, а как некоторый переход, скачок, как некоторый целостный развивающийся системный процесс. Генезис математики есть революционный процесс становления качественно нового исторического типа математического познания, который состоит из трёх этапов: I) формирование предпосылок оснований качественно нового способа математического познания; ¿)собственно выработку таких оснований; 3) утверждение оснований.

Все эти три этапа генезиса математики детально анализируются во второй главе. Показывается, что идея математического доказательства является итоговым результатом длительного исторического периода вызревания элементов научной математики в недрах преднаучного математического познания. Идея доказательства явилась высшей формой выражения длительной глубинной тен-

денции систематизации отдельных фрагментарных, постепенно на-капливаваихся знаний о закономерностях количественных и пространственных отношений действительности. Такой процесс систематизации преднаучного математического знания в своей наибон лее яркой, контрастной форме представлен в развитии древневосточной (египетской и вавилонской) и древнегреческой математики.

Предпосылки доказательного способа математического познания продолжают формироваться в творчестве Фалеса. Общая идея теоретизации и систематизации знания первоначально принимает форму идеи доказательства. В творчестве Фалеса доказательство осознаётся как определённая процедура (логическая или наглядная), которая обосновывает некоторое положение, делает . его единственно верным, необходимым. Такое представление об оформлении математических результатов качественно отличается от догреческого самосознания науки. По мнению Б. Ван дер Зар-дена, "характерная и совершенно новая черта греческой математики, заключается именно в постепенном переходе при помощи доказательства от одного предложения к другому. Очевидно, греческая математика имела с самого начала такой характер и этот характер ей был придан Фалесом"^\

Далее'анализируется этап формирования оснований математики конкретных количеств. Для этого идее доказательства предстояло развиться до уровня основополагающих принципов фундаментальной теории нового способа математического познания. Параллельно должны были сформироваться средства, объединяющие принципы фундаментальной теории с новым "языком" теории. Эти задачи были решены в рамках пифагорейской и платоновской фило-•софских школ.

Как показывает анализ формирование оснований математики конкретных величин прошло три стадии: I) Переход от наглядной к логико-теоретической форме доказательства. Именно в своей логико-теоретической форме идея доказательства становится носителем сущности нового способа математического познания. Згу задачу выполнила школа Пифагора, в рамках которой теоретическое доказательство стало частью научной традиции. 2) Критическая стадия. Развитие идеи является сложным, противоречивым процессом. По мере углубления в новую предметную область идея доказательства конкретизируется, на её фоне начинают выявлягь-I) Ван дер Варден £. Пробу вдающаяся наука. 1959, с. 124.

12

ся противоречия в неявно принимавшихся допущениях - проблема парадоксоз несоизмеримости и бесконечности (злеаты). 3) Позитивная стадия. При дальнейшем уточнении идеи доказательства и усовершенствовании её механизмов в школе Платона удалось объяснить эти парадоксы, снять противоречия, что придало идее доказательства статус научного принципа.

Заключительный параграф второй главы посвящен этапу утверждения математики конкретных количеств. Показано, что работа по утверждению математики конкретных количеств шла по трём направлениям: методологическому: уже известное математическое знание и вновь открываемые теории излагаются согласно новым нормативным требованиям ("Начала" Евклида, "Коника" Аполлония Пергского); теоретическому: продолжается работа по объяснению теоретических аномалий и включении их в систему новой фундаментальной теории (евдоксовская теория пропорций); практическому: исследователи обращаются к практике, как в качестве приложения теории, так и в качестве отправной точки для новых математических исследований (труды Архимеда по статике)

Проведённый анализ позволяет выделить основные методологические установки математики конкретных величин: 1) признание объективного ^существования математического мира; 2)приэнание независимости математических объектов друг от друга; 3)призна-ние концептуального атомизма; ^принцип вечности математического объекта; 5)приниип познаваемости математических объектов; б) основа математического познания - интуиция; 7)приэна-ние неизменности математического объекта в процессе математического познания; 8)отрицание принципа обособления элементов математического мира; 9)признание равноправности математических объектов в процедуре познания; 10)принцип получения объективного знания об объекте; П)математизация мира идей;

12) возможность принебречь строением мыслительных процедур;

13)уверенность в том, что структура познания в области математики - неизменна во времени;1^)кокцентрация математической теории в аксиоматической системе.

5 третьей глазе анализируется развитие второй революции в математике, введение в математику переменных величин, образование математики обобщённых количеств.

Прежде всего, исследуется процесс формирования предпосылок математики обобщённых количеств. Основные предпосылки формирования математики обобщённых количеств - следующие: а) оасшире-

13

кие понятия числа з область отрицательных, иррациональных и мнимых чисел; б) развитие алгебраического формализма; выведение координатного метода. Эти предпосылки выражают определённый уровень развития математических теорий и одновременно отражают изменения в методологии математического познания. Они обусловлены существенными изменениями в осмыслении предмета математики, делающими возможным принятие идеи отрицательного, иррационального и мнимого числа и внесение в математику идеи изменения,

Далее показано, что формирование оснований математики обобщённых количеств проходит три этапа. На первом этапе идея функциональной зависимости развивается до уровня образования принципов теории математического анализа (принцип предельного перехода, взаимной обратимости интегрирования и дифференцирования и др.) в творчестве Ньютона и Лейбница. После этого следует критический этап развития оснований математики обобщённых количеств, на котором обсуждается сама идея предела. Третий этап развития оснований новой математики связан с творчеством Коши и является периодом утверждения идеи предела. По сравнению с первой революции в математике, на этом этапе возрастает удельный вес математических средств обоснования.

Утверждение оснований математики обобщённых количеств происходит по нескольким направлениям: а) развитие аппарата математического анализа и порождение новых отраслей математического исследования (теория дифференциальных уравнений, вариационное исчисление); б) проникновение языка и нормативных требований теории математического анализа в уже сложивииеся разделы математики (преобразования в геометрии: аналитическая геометрия, дифференциальная геометрия); в) приложения новой теории вне математики (математическая физика); г) философско-ыировоз-зренческие и методологические исследования (Беркли и др.).Во всех этих направлениях анализируются методологические установки математики обобщённых количеств: I) признание субъективного по форме и объективного по содержанию существование математического мира; 2) признание функциональной зависимости; 3) установка на исследование непрерывности; 4) признание вечности математического познания; 5) признание познаваемости математических объектов; 6) основа математического познания - интуиция, логика, дедукция; 7) неизменяемость объекта в процессе познания; 8)отрицание принципа обособленности объектов в процессе

познания (усложнение структуры отношений, в которых объекты вступают в процессе познания); 9) признание равноправности объектов в процессе познания; 10) принцип получения объективного знания; II) математизация физического мира; 12) возможность принебречь строением мыслительных процедур; 13) неизменяемость во времени структуры познания в области математики; 14) концентрация математической теории в аксиоматической системе. Методологические установки математики обобщённых количеств по сравнении с установками математики конкретных количеств подверглись серьёзным изменениям. Эти изменения затронули представления о природе математических объектов, характере их взаимоотношений, с строении математики, отношении математики к реалъноку миру и к другим сферам познания.

В четвертой главе анализируется развитие третьей математической революции, приведшей к образованию математики обобщённых отношений, обсуждается "образ" современной математики и сравнивается с образом математики обобщённых количеств. Глубина их отличий позволяет говорит о том, что в современной математике, по-видимому происходит научная революция. Сущность этой революции состоит во владении в математику обобщённого (неметрического) отношения. Изучение обобщённых отношений теоретически оформилось з виде теории множеств.

Как показывает анализ, основные предпосылки нового способа математического познания выразились в формировании понятий группы и геометрического пространства, в обнаружении несоответствия между представлениями о функциях и результатами теоретического исследования, свидетельствующими о необходимости пересмотра "языка" математики, в обнаружении пробелов в системе обоснования математики обобщённых количеств. В поисках пути преодоления этих трудностей возникла идея бесконечного множества, как наиболее представительной формы обновлённого объекта математики и как отражение содержания нового направления в обосновании математики*.

На кавз взгляд, революция, происходящая в современной математике, находится на этапе формирования оснований нового способа математического познания. Этап обоснования математики обобщённых отношении оказался структурно сложнее и богаче, чем аналогичные этапы предыдущих революций. Его структура сводится к следующему: I) программа Кантора (теория множеств, основанная на идее актуальной бесконечности; 2) критика теории Канто-

15

ра (парадоксы теории множеств); 3) программы преодоления парадоксов теории множеств (логицизм, формализм, интуиционизм); 4) кризис предложенных программ (теоремы Гёделя); 5) послегё-делевское состояние оснований математики ("эмпиристские" тенденции).

Затишье дискуссий зокруг оснований математики, которое наблюдается в настоящее время, по-видимому, свидетельствует о том, что достигнут определённый баланс между когнитивной и нормативно-регулятивной стороной современного математического познания, который даёт познавательной стороне математики относительно устойчивую основу и одновременно широкий простор для дальнейшего развития.

Формулируются методологические установки математики обобщенных отношений: I) признание в качестве объекта математического познания результатов абстрагирующей деятельности человека; 2) отношения математических объектов определяются выбором аксиоматики; 3) принцип конструируемости математического объекта из некоторых исходных абстракций; 4) изменяемость математического объекта; 5) познаваемость математического объекта;

6)основа математического познания - конструирование отношений;

7) влияние субъекта на объект через принципы теоретизации;

0) зависимость структуры теории от структуры её объекта;9) равноправность математических объектов в процедуре познания; 10) принцип получения объективного знания; II) математизация мира науки; 12) возможность принебречь строением мыслительных процедур; 13) изменяемость структуры познания в области математики; 14) концентрация математической теории в аксиоматической системе (возможны различные аксиоматики). По сравнению с математикой обобщённых количеств, в математике обобщённых отношений существенно возрастает роль субъекта познания, что отражается в изменении представлений о природе математических объектов (субъект "создаёт" математические объекты путём абстрагирования), их взаимоотношений (зависимость математических объектов от выбора аксиоматики) и т.д. Сопровождающие третью революцию в математике изменения в системе методологических установок являются более явными чем аналогичные изменения, имевшие место в ходе второй математической революции.

В заключении сформулирована основные заводы диссертационного исследования, а также некоторые предположения относительно будущего математики.

16

Irene Demetriou ( Cyprus ) "Nature and structure or mathematical revolutions: ■i Philosophical and methodological analysis."

The thesis undertakes a comprehensive ,;analysis of materials on the history and philosophy of mathematics. Concepts of mathematical revolutions, which excated in the history of philosophy, history and methodology of mathematics, have "been subjected to a thorough analysis.

The thesis offers a new"model for the reconstruction of mathematical revolutions, specifies revolutionary periods'in the history of'mathematics, reconstructs the logic in' the de-. velopment of mathematical revolutions, identifies and analy- : ses methodological principles of each pattern of mathematical cognition. ... - - ■ ■ ..

The thesis gives a definition of a mathematical revolution as a qualitative'change in the system of foundations of mathematical cognition, which'does not bring- about the absolute negation of the old, but promotes its development and enrichment. " " -

3aic, 44 OCteM I h.jl Tupax 100

Tnnorpa$Hfi pyjJ.II ,. OpjUKOHHKirose ,3