автореферат диссертации по философии, специальность ВАК РФ 09.00.01
диссертация на тему: Онтологические основания математики

Полный текст автореферата диссертации по теме "Онтологические основания математики"

На правахтукописи

Букин Дмитрий Николаевич

ОНТОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ: КАТЕГОРИАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

Специальность 09.00.01 - Онтология и теория познания

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора философских наук

2 2 ЯНВ 2015

005557951

Волгоград - 2015

005557951

Работа выполнена в федеральном государственном автономном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Волгоградский государственный университет».

Научный консультант - доктор философских наук, профессор

Токарева Светлана Борисовна.

Официальные оппоненты: Колычев Петр Михайлович -

доктор философских наук, ведущий научный сотрудник Научно-исследовательского института экспериментальной медицины Северо-Западного отделения РАМН;

Кудряшев Александр Федорович -

доктор философских наук, профессор кафедры философии и истории науки Башкирского государственного университета;

Невважай Игорь Дмитриевич -

доктор философских наук, профессор, заведующий кафедрой философии Саратовской государственной юридической академии.

Ведущая организация - Томский государственный университет.

Защита состоится 12 февраля 2015 г. в 11.00 на заседании диссертационного совета Д 212.029.03 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Волгоградском государственном университете по адресу: 400062, г. Волгоград, проспект Университетский, 100, ауд. 2-05 В.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Волгоградского государственного университета.

Автореферат разослан «_» _201_г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

кандидат социологических наук, доцент

Е.Н. Васильева

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования. Построение целостной научной картины мира, объединяющей философию, математику, естественные и гуманитарные науки, представляет собой важную проблему, решение которой призвано помочь человеку найти ответы на актуальные во все времена мировоззренческие вопросы - о смысле жизни, о роли и месте человека в мире, о границах познания и т.д. В значительной степени ответы на эти вопросы связаны с представлениями об онтологических основаниях такой фундаментальной науки, как математика, на языке которой написана «книга природы» (Г. Галилей).

Традиционно изучением оснований математики занимается философия математики, в рамках которой решаются проблемы существования математических объектов, кризиса оснований математики и т.п. Ни по одному из этих вопросов, однако, до сих пор не достигнуто единства понимания. Во-первых, отсутствует единое мнение относительно природы математического объекта; во-вторых, продолжаются споры об универсальных принципах обоснования достоверности математического знания, в качестве которых рассматриваются самоочевидность, интуиция, логическая необходимость, формальная непротиворечивость и т.д. Отвечая на вопрос о природе математики, представители различных направлений либо видят в ней своеобразную «игру ума», порождающего особые конструкции в разуме субъекта (математический конструктивизм), либо связывают с особым трансцендентным миром абстрактных сущностей (платонизм), либо исходят из физикалистской трактовки ее оснований (математический натурализм, операционализм, номинализм).

В настоящее время связь математики с онтологией уже не выглядит столь естественной, как это было несколькими столетиями ранее. С одной стороны, признается, что идеальные по своей природе математические объекты, порождаемые человеческим разумом, имеют статус универсальных, и

общезначимых инструментов эффективного описания различных сторон окружающей действительности; с другой стороны, остается открытым вопрос об онтологической укорененности таких сложных объеетов, как математические категории, функторы, псевдоструктуры и т.п. Представление о сути и роли онтологизации математики значительно изменилось, а современные математики, в отличие от их предшественников, таких, как Н.И. Лобачевский, А. Пуанкаре, Г. Кантор, А.Н. Колмогоров и др., все реже обращаются к философскому осмыслению своей деятельности. Использование сверхмощных ЭВМ в проверке и доказательстве фундаментальных положений теоретической математики подчас создает иллюзию бессмысленности их онтологического обоснования. Величайшая из точных наук утрачивает признаки объективного знания, все больше трансформируясь в некую прикладную научную область, приоритетом которой является инструментальное преобразование мира, но не его осмысление. Особенно это заметно в сфере преподавания математики, где остро стоят проблемы математической дефиниции, интерпретации предмета математики, развития у учащихся аподиктического и вероятностного мышления и т.д.

На фоне пристального внимания к математическому знанию как к эпистемологическому феномену открытым остается вопрос о внутренней логике самого постигаемого бытия, наталкивающий на мысль об онтологической обусловленности внеопытного математического познания мира. На наш взгляд, в современной философии назрела необходимость «возвращения» структур реального мира в процесс обоснования математического знания. В этой связи особую актуальность приобретает тема онтологических оснований математики как формы данности объективной реальности познающему субъекту.

Степень разработанности проблемы. Взаимосвязь математики и реального мира изучена в философии не так глубоко, как, например, вопросы существования математического объекта, кризиса оснований математики или применимости математики в естествознании. Тем не менее, эта тема частично

4

затрагивалась представителями многих философских систем, школ, направлений с древнейших времен до сегодняшнего дня.

Начиная с Античности, основными противоборствующими направлениями, в рамках которых рассматривался вопрос о соотношении математики и объективной реальности, являются априоризм и эмпиризм. Первая традиция восходит к пифагорейцам и Платону, вторая - к Аристотелю. Некритическое развитие «линии» Платона и Аристотеля получают в Средние века. Платону следуют средневековые реалисты, а основные положения математического эмпиризма Аристотеля практически без изменений мы находим у Фомы Аквинского. С опорой на первую линию впоследствии были заложены основы программы всеобщей математизации науки.

В Новое время априористскую традицию продолжили рационалисты. Их оппонентом, стоящим на позициях математического эмпиризма, выступал Дж. Беркли. Оригинальную версию математического априоризма предложил И. Кант, положивший начало конструктивистскому направлению в философии математики.

В Х1Х-ХХ вв. проблема взаимосвязи математики и реального мира частично затрагивается в математическом эмпиризме Дж. Милля и Б. Рассела, неоэмпиризме Д. Пойа, М. Паша, А. Мостовского, Л. Кальмара, квазиэмпиризме И. Лакатоса, математическом натурализме П. Мэдди и <Х>. Китчера, операционализме Ж. Пиаже, математическом номинализме С. Лесневского, Т. Котарбинского, А. Тарского, У. Куайна, Н. Гудмена, Л. Генкина, X. Филда.

Существование объективной математической реальности отстаивает основатель объект-платонизма Г. Фреге, а также математики-платонисты Г. Кантор, К. Гёдель, Н. Гудман, А. Конн, Р. Пенроуз, Г. Харда, И.Р. Шафаревич, Ш. Эрмит. Как науку об абстрактных структурах математику рассматривают структуралисты А. Картан, Ж. Дьёдоне, А. Вейль, К. Шевалле, Л. Шварц, Ж.-П. Серр, А. Гротендик и др., объединившиеся под коллективным псевдонимом Н. Бурбаки. Антиплатонистский вариант математического

5

структурализма предлагают М. Резник и С. Шапиро, отказывающие математическим объектам в онтологической независимости.

Математический конструктивизм получает значительное развитие в интуиционизме JI. Брауэра, Г. Вейля и А. Гейтинга, а также полуинтуиционизме Л. Кронекера, Э. Бореля, А. Лебега, А. Пуанкаре, Ф. Кауфмана и др. К более современным версиям математического конструктивизма можно отнести советскую школу конструктивной математики (А.А. Марков, Н.А. Шанин, А.Г. Драгалин и их ученики), концепцию Э. Бишопа, разработки представителей «брауэровского» (Д. Ван Дален,

A. Троэлстра), предикативного (С. Фефермен, X. Фридман) и либерального (П. Мартин-Леф) конструктивизма, а также исследователей возможностей компьютерного конструирования математических объектов (Т. Тимошко, Р. Херш и др.).

Приблизительно в одно время с интуиционистами формалисты Д. Гильберт, П. Бернайс, В. Аккерман и др. разрабатывают свою программу обоснования математики, сводящую суть последней к созданию формально непротиворечивых конструкций.

Критически восприняв идеи И. Канта и Д. Гйльберта, Э. Гуссерль в своей философско-математической концепции настаивает на недопустимости рассмотрения математических сущностей как вне опыта, так и в качестве «вещей в себе», утверждая, что они становятся доступными нам благодаря интенциональности.

Начиная с XIX века можно отметить тенденцию преодоления крайностей математического эмпиризма и математического априоризма в современной философии. Значительную роль в этом отношении сыграл диалектико-материалистический подход. Идеи К. Маркса и Ф. Энгельса развили и критически дополнили советские математики и философы А.Д. Александров, М.С. Акперов, В.Ф. Асмус, И.Н. Бурова, Б.В. Гнеденко, Н.И. Жуков, О.И. Кедровский, А.Н. Колмогоров, В.А. Мейдер, В.Н. Молодший,

B.C. Лукьянец, А.Н. Нысанбаев, Ю.А. Петров, В.Я. Перминов, И. Ружа,

6

К.А. Рыбников, Г.И. Рузавин, Г.Г. Шляхин, С.А. Яновская и др. Новый взгляд на математическое а priori предложили неоаприористы Г.И. Челпанов, П.С. Юшкевич, Г. Динглер. Наиболее современной концепцией, отличающейся тщательной проработкой онтологического аспекта, выступает праксеологический априоризм В.Я. Перминова, согласно которому математическое знание в своей основе опирается на универсальную онтологию, структура которой определяется деятельностной ориентацией мышления.

Различные аспекты онтологизации математики рассматривались Д.И. Алябьевым, Е.И. Арепьевым, А. Бадью, Н. Гартманом, В.Б. Губиным, Г.Б. Гутнером, C.J1. Катречко, В.Х. Хаханяном, В.В. Целищевым, А.Ю. Цофнасом, А.Г. Черняковым, A.B. Чусовым, В.А. Янковым и др. Проблеме существования математических объектов посвящены работы X. Вана, С.Н. Жарова, К.В. Кирпичникова, В.В. Целищева, Ч. Чихары и др.

Освещение исторического аспекта онтологических проблем математики проводится работах Р. Баума, Е.А. Беляева, М. Бунге, И.Н. Буровой, G.H. Бычкова, Л.Я. Жмудя, С. Кенера, B.C. Лукьянца, В.Я. Перминова, К.А. Рыбникова, В.А. Шапошникова, Г.Г. Шляхина А.П. Юшкевича и др. Акцент на рассмотрение современных школ при этом делают В.А. Бажанов,

A.Г. Барабашев, В.А. Карпунин, В.А. Ладов, Г. Лолли, Н. Мулуд, В.А. Светлов, З.А. Сокулер, Д. Хэлман, Ч. Чихара и др.

Вклад в категориальный анализ оснований математики, берущий начало в работах Г. Гегеля, внесли исследования А.И. Белоусова, В.П. Бранского, И.Н. Буровой, Н. Гартмана, П.М. Колычева, А.Ф. Кудряшева, И.Д. Невважая,

B.Н. Сагатовского, И.С. Тимофеева и др.

О социокультурной природе математического знания писали Р.К. Кадыржанов, А.Н. Нысанбаев, Л. Роджерс, М.А. Розов, Р. Херш и др. Исследования в сфере математического образования^ затрагивающие, в том числе, вопросы онтологии и теории познания, были проведены И.Е. Берлянд, Б.В. Гнеденко, A.A. Ивановым, А.Н. Кричевцом, В.А. Крутецким,

В.А. Мейдером, Ж. Пиаже, Д. Пойа, В.А. Успенским, А. Фоссом, П. Эрнестом и др.

Подводя итог, можно сказать, что обилие работ по философским проблемам математики свидетельствует об очевидном интересе к данной тематике. Вместе с тем, проблема отношения математики и объективной реальности представлена достаточно фрагментарно: ни в одной из программ обоснования математики не было проведено всестороннего философского исследования бытия ее объектов. В современной научной литературе данная проблема не только не получила системной экспликации, но и не была ясно сформулирована на языке философских категорий. Таким образом, на данный момент отсутствует единая концепция онтологических оснований математики. Настоящее диссертационное исследование призвано восполнить эти пробель; и дать содержательную онтологическую интерпретацию древнейшей из наук.

Объект исследования - математика как специфическая форма познания мира.

Предмет исследования - взаимосвязь математического знания й объективной действительности, выраженная в онтологических и модальных категориях.

Цель исследования - используя возможности категориального анализа, выявить онтологические основания математического знания.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие исследовательские задачи:

- проблематизировать отношение между математическим знанием и действительностью в качестве основного вопроса онтологии математики, выявить и эксплицировать отношение между объектами математики как частью объективной реальности и математическими объектами как абстрактными конструкциями сознания;

- исследовать онтологическую природу оснований математики;

- уточнить сложившиеся в онтологии теоретические позиции по вопросу о границах доступности объективного мира математическому мышлению;

8,

- осуществить концептуализацию онтологических оснований математики как формы данности объективного мира математическому мышлению;

- рассмотреть эволюцию представлений об онтологических основаниях математики в философском знании;

- определить социально-антропологический статус объектов математики в контексте их значимости для человека и общества;

- продемонстрировать роль математического образования в формировании объектов математического мышления.

Теоретико-методологическая основа диссертации. В качестве теоретической и методологической базы исследования выступают концептуальные положения, разработанные в трудах отечественных и зарубежных ученых по онтологии математики. Для решения поставленных задач были. использованы принцип объективности рассмотрения, системный подход, а также общенаучные методы анализа, синтеза, абстрагирования. Сравнение подходов и тенденций, сложившихся в истории философии по вопросу об отношении математики и объективной реальности, осуществлялось с помощью историко-философского и компаративного методов. Для исследования структуры и особенностей исторического развития онтологических оснований математики использовались принцип единства исторического и логического, дедуктивный метод, метод восхождения, от абстрактного к конкретному, а также категориальный анализ. В работе применялись междисциплинарный подход и экстраполяция, предполагающие использование философских, логических и математических понятий в контексте математического, естественнонаучного и социально-гуманитарного знания. Кроме того, на всех этапах исследования применялись: принцип диалектической противоречивости, логический анализ, типологизация, дескриптивный метод.

Научная новизна работы определяется тем, что впервые на основе анализа историко-философских, теоретико-методологических и конкретно-научных источников раскрыта сущность и осуществлена концептуализация

онтологических оснований математики. Результаты исследования, имеющие научную новизну, состоят в следующем:

1. Проблематизация основного - вопроса онтологии математики осуществлена посредством выявления способов данности объективной реальности математическому мышлению. Представлена экспликация понятий «предмет математики», «объект математики» и «математический объект», показаны их различия и взаимосвязь.

2. Выявлена онтологическая природа кризисов оснований математики, их обусловленность ограниченностью представлений о действительности и соответствующих символических описаний.

3. Взгляды представителей ведущих философских школ и течений на проблему соотношения математики и действительности проанализированы в контексте оппозиции математический априоризм — математический эмпиризм.

4. Осуществлена концептуализация онтологических оснований математики, определена их роль в качестве фундаментальных принципов, фиксирующих способ данности объективного мира математическому мышлению. Предложен вариант систематизации онтологических оснований математики, определены их инвариантные единицы.

5. Средствами категориального ' анализа выявлена специфика онтологических оснований математики на различных этапах развития математического знания.

6. Определен праксеологический, социокультурный, аксиологический и экзистенциальный статус объектов математики, выявлена связь между формированием онтологических установок и эффективностью преподавания математики.

Научная новизна работы раскрывается в следующих положениях, выносимых на защиту:

1. Основной вопрос онтологии математики как частный случай основного вопроса философии — это вопрос об отношении математического

10 •

знания к объективной реальности, для решения которого необходимо развести понятия «объекты математики» (применительно к которым только и имеет смысл говорить о «данности сознанию») и «математические объекты», представляющие собой абстрактные символические конструкции и системы понятий. Объектом математики как дисциплинарной области знания выступают объективные закономерности и отношения реального мира, принципиально доступные для формализации. Предмет математического знания составляет совокупность объектов, зафиксированных познающим сознанием в виде количественных отношений, пространственных форм и их модальных характеристик.

2. Кризисы оснований математики имеют онтологическую природу: они обусловлены отсутствием в онтологии абстрактных категориальных конструкций, необходимых для описания математических объектов, бытие и становление которых выходит за рамки допустимых в данную эпоху представлений о мире. В этих случаях либо невозможно объяснить существование математических понятий, описывающих объект, либо оказывается неясным, как соотносится с действительностью математический объект, существование которого не доказано.

3. Рассмотрение вопроса о границах доступности объективного мира математическому мышлению в контексте оппозиции математический априоризм —математический эмпиризм позволяет обнаружить ограниченность традиционных для философии математики дихотомических схем платонизм — конструктивизм, логицизм — интуиционизм и раскрыть сущность математического познания как постижения объективных закономерностей, свойств и связей реальности на предельно общем, онтологическом уровне при условии диалектического единства интуитивной и логической сторон мышления субъекта.

4. Онтологическими основаниями математики выступают системы философских категорий, отражающих пространственные формы и количественные отношения объективной реальности и их модальные

11

характеристики. Атрибутивная система представляет собой сетку онтологических категорий, служащих «матрицами» математического познания мира (пространство, количество, качество, мера, целое и т.п.); модальная система включает онтические модальности рационально постигаемого бытия (бытие как сущее, как должное и как возможное).

5. Анализ взаимосвязи между возникновением новых математических объектов и изменениями, происходящими в системе онтологических оснований математического знания, показал, что развитие атрибутивной и модальной систем обусловлено открытиями в математике, связанными с появлением новых смыслов понятий, задающих определенность той или иной категории. Эволюция атрибутивной системы заключается в изменении содержания входящих в нее ключевых онтологических категорий количества (связанной, с понятиями числа, величины, отношения, элемента, дискретности, бесконечности) и пространства. Категория пространства, включающая представления о положении, месте, пространственном отношении, непрерывности, бесконечности и т.п., оформилась благодаря открытиям многомерности, кривизны, анизотропности и т.д.

Развитие модальной системы заключается в последовательной смене преобладающих в осмыслении бытия онтических модальностей: от ассерторической (признание истинными положений, принимаемых на веру) к аподиктической (строгое доказательство необходимости суждений) и далее к проблематической модальности (возможное как вероятное или альтернативное).

6. Объекты математики, становясь составляющими человеческого бытия в форме таких культурных феноменов, как математическая рациональность, математический язык или математическая модель, приобретают ценностное и экзистенциальное измерение, обеспечивая человеку широкие возможности соотносить, соизмерять, исчислять и т.д. При этом эффективность полученного с помощью математики результата обусловлена

онтологическими представлениями о подобии предметов и явлений окружающего мира в том или ином заданном отношении,

7. Осознание онтологической укорененности и категориальной оформленности математического мышления позволило выявить новый ракурс традиционных проблем современного математического образования (дефиниций, наглядности, выводимости, вероятностного мышления и т.д.). Исследование показало, что в постижении арифметики ключевую роль играют категориальные интуиции дискретного и бесконечного количества, в изучении геометрии - категориальные смыслы качества, пространства, непрерывности, а способность учащихся рассуждать, доказывать и прогнозировать фундирована определяющей ролью категорий необходимого и возможного в детерминации модальности математического мышления.

Теоретическая и практическая значимость диссертационного исследования заключается в том, что его результаты дают новую концептуальную основу для дальнейшего изучения математики как многогранного культурного феномена и способа человеческого бытия, а также позволяют снять ряд утративших проблемный характер вопросов. Выводы и основные положения диссертации могут быть использованы в преподавании курса онтологии и теории познания, спецкурсов по истории, философии и методологии науки, философским проблемам техники, методологии научного творчества и т.п., а также при подготовке курсов высшей математики и специальных математических дисциплин.

Апробация работы. Материалы диссертации обсуждались на международных, всероссийских и региональных научных конференциях и конгрессах, . среди которых: Российский философский конгресс (Нижний Новгород, 2012), Международная научно-практическая конференция «Наука и современность - 2012» (Новосибирск; 2012), Международная научная конференция «Современная онтология» (Санкт-Петербург, 2007; 2008; 2010; 2012; 2013), Международная научно-практическая конференция «Новое слово в науке и практике: гипотезы и апробация результатов исследований»

13

(Новосибирск, 2013), Международная научная конференция «Геометрический анализ и его приложения» (Волгоград, 2014), Всероссийская научная конференция «Актуальные проблемы российской философии» (Пермь, 2011), Всероссийская научная конференция «Философия и методология науки» (Ульяновск, 2011; 2012), Всероссийская научно-практическая конференция «Практические задачи философии: ретроспектива и перспектива» (Екатеринбург, 2011), Всероссийская научная конференция «Новые идеи в философии» (Пермь, 2012), Всероссийская научная конференция «Философия математики: актуальные проблемы. Математика и реальность» (Москва, 2013), Региональная научная конференция «Человек, общество, история: методологические инновации и региональный контекст» (Волгоград, 2008).

Положения диссертации прошли апробацию во время чтения лекционных курсов «Высшая математика» и «Понятийный аппарат математики» для студентов гуманитарных специальностей Волгоградского государственного университета и курса «Философские проблемы науки и техники» в Волжском политехническом институте (филиал) Волгоградского государственного технического университета.

Основные положения и результаты исследования отражены в 42 публикациях, в том числе в монографии «Онтологические основания математической рациональности» (Волгоград, 2013) и 16 статьях, опубликованных в изданиях, рекомендованных ВАК при Минобрнауки РФ.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав (девяти параграфов), заключения, списка использованной литературы, включающего 320 наименований (в том числе 46 на иностранных языках) и четырех приложений. Общий объем диссертационного исследования - 334 страницы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, степень ее разработанности, определяются объект, предмет, цель и задачи исследования, характеризуется методология исследования, указываются элементы научной новизны, обозначаются теоретическая и практическая значимость работы, приводятся положения, выносимые на защиту, формы апробации основных результатов.

В первой главе «Теоретико-методологические основы исследования онтологических оснований математики», состоящей из трех параграфов, в качестве ключевой проблемы онтологии математики рассматривается соотношение математики и действительности, рассматривается проблема бытия объектов математики в истории философии, осуществляется экспликация онтологических оснований математики, а также приводится ключевое для дальнейшего исследования определение онтологических оснований математики.

В первом параграфе «Соотношение математики и действительности как ключевая проблема онтологии математики»

центральная проблема онтологии математики формулируется как проблема отношения математического познания к действительности. При этом объектами математики выступают количественные, пространственные и т.п. стороны и аспекты объективной реальности, которые формируют исходный предмет математики. Абстракции, понятийные конструкции и т.п., то есть все то, что может быть названо математическим объектом, играют в исследовании важную, но не главную роль. При этом следует различать объект математики как выделенный фрагмент действительности (в таком случае мы можем употреблять слово «объект» во множественном числе) от объекта математики как научной дисциплины, интерпретация которого крайне редко встречается в философско-математической литературе по теме, подменяясь, по сути, различными дефинициями предмета математики. Восполняя этот пробел,

15

под объектом математики как дисциплинарной области знания мы предлагаем понимать объективные закономерности и отношения реального мира, принципиально доступные для формализации.

Изучение уникальной природы математических объектов как самостоятельной формы бытия стало самоцелью для многих философских направлений, что привело к утрате их связи с реальностью, благодаря которой эти самые объекты становятся возможными. Это значительно усложнило поиски выхода из того критического состояния философии математики, которое возникало в периоды кризисов оснований математики. Между тем, с онтологической точки зрения кризисы в основаниях математики могут быть охарактеризованы как состояния, связанные с отсутствием в математике символических средств, необходимых для описания объектов, существование которых выходит за рамки принятой в данную эпоху научной картины мира. Проблема оснований математики, артикулированная онтологически, предполагает поиск ответа на вопрос: как дана, через какие формы и средства доступна познающему субъекту та объективная реальность, которую изучает математика? Анализу важнейших философских традиций, каждая из которых по-своему попыталась дать ответ на этот вопрос, посвящен следующий параграф.

Во втором параграфе «Объекты математики в истории философии» показано, что, начиная с Античности, основными противоборствующими направлениями, в рамках которых ставился и решался вопрос о соотношении математики и объективной реальности, являются эмпиризм и априоризм.

Математический эмпиризм берет свое начало в концепции Аристотеля. С одной стороны, абсолютизация принципа восхождения от чувственно-конкретного в действительности к абстрактному в математике приводит к иллюзии онтологической значимости последней: само по себе установление изоморфизма между математическими структурами и их эмпирическими моделями не описывает всей сложности взаимосвязи математики и реального мира. С другой стороны, начиная с так называемой «линии Аристотеля»,

16

предмет математики формулируется на языке всеобщих философских понятий, где ключевыми являются категории количества и пространства, что свидетельствует о появлении качественно нового уровня онтологического анализа.

Математическому априоризму в целом свойственно сведение предмета математики к субъективному или трансцендентному миру математических сущностей с неизбежной потерей ее связи с объективной реальностью. Исключение составляют взгляды пифагорейцев, рационалистов Нового времени и советских конструктивистов: все они, так или иначе, признают существование как мира математических объектов, так и реального, объективного мира (не проводя, впрочем, последовательного философского анализа глубинной взаимосвязи этих миров). Количество математических объектов во всех априористских течениях всегда ограничено и либо сводится к числу и геометрической фигуре, либо включает наряду с ними производные от числа и фигуры понятия величины, множества, структуры и т.д.). Основным инструментом их постижения является интуиция, которая понимается по-разному в различных априористских направлениях — от чувственной интуиции до не подверженного случайностям опыта интеллектуального постижения всеобщих и необходимых связей предмета. В любом случае она выступает исходной «точкой отсчета» математического познания, «гарантом» онтологической истинности математических рассуждений.

Критическое переосмысление крайностей математического априоризма и математического эмпиризма было предпринято представителями современных философских школ и направлений — диалектического материализма; неоаприоризма, пракселогического априоризма, для которых проблемы взаимодействия математики и действительности выходят на первый план, В результате совокупных усилий представителей этих направлений свое окончательное закрепление получила позиция, согласно которой предмет математики конституируется на предельно общем, онтологическом, уровне, то есть формулируется в терминах более общих, чем математические понятия.

17

При этом стало ясно, что-крайности априоризма и эмпиризма , в раскрытии сущности математического познания как постижения объективных закономерностей, свойств и связей реальности могут быть преодолены лишь при условии признания диалектического единства интуитивной и логической сторон мышления субъекта.

В то же время проблема онтологических оснований математики, ставящая вопрос о формах доступности, данности объективного мира математическому мышлению, остается открытой. До сих пор неясно, почему и как мы постигаем объекты математики, имеющие ноуменальную природу, в противовес математическим объектам как феноменам. Не менее сложной проблемой при этом является сочетание инвариантности таких объектов математики, как количество, пространство, мера, порядок и т.д. с их изменчивостью, выражающейся в появлении новых математических понятий и моделей.

Восполнению указанных пробелов посвящено дальнейшее исследование.

В третьем параграфе «Онтологические основания математики: концептуализация понятия» проводится концептуальный анализ и приводится дефиниция понятия «онтологические основания математики».

Прежде всего, процесс математического познания представлен как переход от «дологических» установок сознания, опирающихся на категориальную интуицию структур действительного бытия, к завершенным категориальным схемам, представляющим ту или иную аксиоматическую конструкцию.

Онтологическими основаниями математики выступают системы философских • категорий, отражающих пространственные формы и количественные отношения объективной реальности и их модальные характеристики. Атрибутивная система представляет собой сетку онтологических категорий, служащих «матрицами» математического познания мира (пространство, количество, качество, мера, целое и т.п.); модальная

система включает онтические модальности рационально постигаемого бытия (бытие как сущее, как должное и как возможное).

Системы онтологических оснований математики, отражающие объективные математические законы, не являются «неподвижными». Для того чтобы раскрыть сложный противоречивый характер развития атрибутивной системы, необходимо осознавать, что всеобщее содержание всякой онтологической категории выступает органическим единством ее абсолютно-всеобщего и относительно-всеобщего• содержания. Благодаря своему абсолютно-всеобщему содержанию базовые философские категориальные структуры остаются инвариантными во всех философских традициях. Оно фиксирует нечто неизменное, общее, сущностное в содержании категории, - то, что постоянно воспроизводится на всех этапах ее развития как понятия. Относительно-всеобщие понятийные смыслы, возникающие в рамках научных парадигм, философских и социокультурных традиций конкретных эпох, как бы «упаковываются» в рамки базовых онтологических категорий, имеющих для нас внеисторическое, абсолютно-всеобщее значение. Относительно-всеобщее содержание таких категорий выражает предельное для той или иной эпохи развития математики знание.

Основу развития атрибутивной системы онтологических оснований математики составляет появление новых категориальных смыслов, связанное с изменением относительно-всеобщего содержания онтологических категорий, абсолютно-всеобщее содержание которых остается инвариантным. Так, например, понятие числа, конкретизирующее категорию количества, охватывает самые разные по уровню сложности математические объекты, возникшие на различных исторических этапах развития математики натуральное число, иррациональное число, комплексное число, трансфинитное число и т.д.; то же можно сказать и о пространстве и его математических характеристиках - расстоянии, мерности, кривизне и т.п. Вместе с тем, с философской точки зрения, число остается все тем же числом, связанным с

вопросом «сколько?», а пространство - все тем же пространством, связанным с вопросом «где?».

Историческому развитию подвержены не только онтологические категории, но и алетические модальности мышления. Эволюция модальной системы онтологических оснований математики представляет собой смену преобладающих в. математическом мышлении онтических модальностей: от сущего (ассерторическая модальность) к необходимому (аподиктическая модальность) и затем - к возможному (проблематическая модальность). То, как обе рассмотренные системы изменяются вместе с развитием математической практики, продемонстрировано в следующих главах.

Во второй главе «Атрибутивная система онтологических оснований математики: структура и развитие», состоящей из двух параграфов, рассматриваются структурные особенности, а также особенности исторического развития атрибутивной системы онтологических оснований математики.

В первом параграфе «Качество, количество и пространство. как фундаментальные категории, структурирующие математическое мышление» в качестве отправной точки исследования постулируется тезис; существует, бытийствует, есть измеряемое или исчисляемое нечто — объект математики, доступный нашему сознанию как число, множество, отношение, процесс, операция и т.д.

На основе исходного тезиса формулируется положение о качественной определенности математического объекта. Именно качественная определенность очень важна для. математического рационального познания, поскольку она создает сами условия соизмеримости, лежащей в основании математической рационализации. Соизмеримость, таким • образом, есть выражение однокачественности сущего, и ее следует относить прежде всего к качеству, а не к количеству: «быть соизмеримым» еще не значит «быть посчитанным» или «имеющим величину».

Неотделимость качества от бытия предмета не вызывает сомнений, однако очевидно, что в математике качественного отождествления или различения объектов или их сторон явно недостаточно, необходим переход к познанию количества (в том числе, с целью дальнейшего уточнения категории «качество»). Специфика количества в определениях традиционно выражается при помощи математических понятий «число» или «величина». Также утверждается, что всякий количественно и качественно определенный объект математики существует где-то, то есть пространственен.

Во втором параграфе «Историческое развитие атрибутивной системы онтологических оснований математики» с помощью дедуктивного метода и метода категориального анализа показано, как из констатации качественной, количественной и пространственной определенности объекта математики разворачивается атрибутивная система онтологических категорий, изменяющаяся вместе с развитием математической науки. Структура развивающейся атрибутивной системы раскрывается посредством выделения и анализа двенадцати категориальных «блоков»:

1. «Качество-целое-структура». В математике качественное рассмотрение отличается от количественного, прежде всего, тем, что всякий математический объект - фигура, число, операция - воспринимается целостно, неделимо. Фиксируя самость сущего, которому еще только предстоит быть измеренным, посчитанным, квантифицированным и т.п., категория качества как бы очерчивает границы целого (как материального, так и идеального), сохраняющего эту свою самость. Уточнение содержания категории качества также опирается на анализ содержания понятия структуры, выступающей онтологической определенностью для этой категории. На протяжении всей истории своего развития математика качественно обогащается с появлением таких объектов, как целое число, множество, поле и т.п.

2. «Качество-отношение». Рассуждая о математических объектах (числах, множествах, фигурах и т.д.) как о части мира, мы тем самым утверждаем факт того, что они, так или иначе, находятся в отношениях с

21

другими объектами. Более того, многие сложные математические объекты задаются именно как отношения между более простыми, «базовыми» объектами. Наиболее яркими примерами являются: взаимнооднозначное соответствие множеств (математическая' функция), производная функции, числовой ряд и т.д. Основными категориальными характеристиками, определяющими содержание категории отношения, являются «тождество» и «различие». Так, задавая математическое поле или приводя нестрогую дефиницию множества по Кантору, мы проводим различение элементов целого в противовес его тождества самому себе. С другой стороны, выделение математического объекта невозможно без процедуры качественного отождествления. В этом смысле трудно переоценить значение таких математических отношений, как арифметическое равенство, алгебраическое тождество, сравнение по модулю в' теории чисел, отношение непредикативности в теории множеств, конгруэнтность в евклидовой геометрии и т.д. Появляясь на разных этапах развития математики от античности до XIX в., они, в отличие от отношения неравенства типа «больше-меньше», апеллирующего к количеству, являют собой многообразие качества, развивая его содержание.

3. «Количество-число». Понятия «число» и «количество» имеют сложную взаимосвязь. Первое, возникшее как отражение познанного количества, постепенно подвергаясь все большим обобщениям, становится абстрактным предметом математических исследований и в значительной мере уточняет и обогащает содержание второго. Несмотря на то что натуральные арифметические, действительные, комплексные числа, числа в матричном исчислении, кардинальные числа и т.д. существенно различаются в различных числовых системах, они все-таки имеют нечто общее, сохраняют то самое сходство, которое и фиксируется нами благодаря категории количества. Различные подклассы класса чисел на разных этапах развития математической науки участвуют в прояснении содержания онтологической категории количества, демонстрируя многообразие его форм.

22

4. «Количество-величина». «Величина», так же как и «число», имеет количественную природу и является фундаментальным понятием для алгебры, теории функций, теории измерений, теории вероятностей и многих других основных разделов математического знания. Величина уточняет понимание категории «количество» с появлением в истории математики таких абстрактных объектов, как «скалярная величина», «переменная величина», «бесконечно малая величина», «тензор» и т.д.

5. «Количество-отношение». В обогащении категории количества большую роль в разное время сыграли отношения различия (неравенство, неравномощность в теории множеств) и тождества (уравнение, эквивалентность, равномощность, подобие).

6. «Количество-прерывное-непрерывное». Категории прерывного и непрерывного в значительной мере конкретизируют категорию количества, отражая ряд ее важных аспектов. Так, продуктом счета дискретного количества в математике традиционно считается натуральное число. Категория прерывности, начиная уже с античности и средневековья, позволяет охватывать и рационально описывать бесконечные (в потенциальном смысле) последовательности и ряды. Благодаря ей же приблизительно с конца XIX в. математики оперируют понятиями «разрывность функции», «верхняя граница», «нижняя граница» и т.п. Посредством конечного или счетного множества в современной теории вероятностей вводится понятие дискретной случайной величины и т.д. Непрерывность отражает ту сторону количества, которая связана с увеличением или уменьшением в рамках заданного качества (непрерывность функции, континуум, непрерывная случайная величина и т.п.).

7. «Количество-часть-элемент». Количественное рассмотрение математического объекта также предполагает некое «раздробление» его качественно определенной целостности, результат которого выражается посредством категории «часть». Элементы, разъединение объекта на которые предполагает категория «часть» (в противовес целому), характеризуют ее содержание. Наиболее ярким примером того, как развитие рассматриваемых

23

понятий приводит к обогащению содержания онтологической категории количества, является введение в математическую науку понятия множества, состоящего из конечного или бесконечного числа элементов.

8. «Количество-бесконечное-конечное». Начиная с древности, человечество целенаправленно идет по пути конкретизации категории количества с помощью абстракций конечного и бесконечного. Категории «бесконечность» и «конечность» на сегодняшний день — это формы мышления, в которых сконцентрировались многие" достижения математики. Яркими примерами в этом отношении выступают открытия иррационального числа, актуальной и потенциальной бесконечностей и т.д.

9. «Количество-пространство-время». Развитие пространственных представлений — от геометрии древних греков до современного анизотропного анализа - оказало значительное влияние на развитие представлений о количестве в математике. Категория времени также сыграла важную роль в постижении количественных отношений в мире, но эта роль строго ограничена как историческим развитием математики, так и спецификой ее отдельных объектов.

10. «Качество-количество-мера». Мера как философская категория традиционно используется в контексте отображения взаимосвязи количественных и качественных изменений. История меры в математике началась с того самого момента, когда человек начал измерять все то в окружающем его мире, что может быть «схвачено» в числе («землемерие» древних египтян, парадокс Евбулида и т.п.). Однако наибольший интерес в данном вопросе представляет собой математическое понятие меры, в нестрогом смысле именующее неотрицательную величину, интуитивно интерпретируемую как размер (объем) множества. Частным, очень важным случаем конечной меры является вероятность — особая количественная оценка объективной возможности наступления некоторого случайного события.

11. «Пространство-количество». На протяжении всей истории математики понятия количества и количественных отношений дают обширный

24

материал для более глубокого понимания сущности пространства. Понятие «количество» играет большую роль в геометрии, где ему придают различные значения. Простейшие формы (прямые, плоскости, многоугольники, многогранники, шары, пирамиды и т.д.), их площади и объемы были знакомы уже грекам. Вплоть до Нового времени количество продолжает «обслуживать» геометрию практически без изменений. Величайшим событием в истории математики стало открытие Декартом координатного метода, позволяющего сопоставлять точкам наборы чисел и изучать отношения между пространственными формами методами алгебры. Впоследствии в математике окончательно оформляется идея многомерного пространства, по сути своей сводящая последнее к некоторому абстрактному множеству, появляется понятие кривизны, обобщается понятие точки и т.д. Все эти изменения и открытия не только специфицировали математическое понятие пространства, но и помогли сблизить его с философской категорией пространства.

12. «Пространство-прерывность-непрерывность». Глубже проникнуть в содержание категории пространства позволяет неразрывное диалектическое единство категорий прерывного и непрерывного, вкупе с другими важнейшими онтологическими категориями структурирующими математическое мышление. Так, уже элементарная геометрия оперирует не только отрезками, прямыми, плоскостями и т.п., но и точками — неделимыми объектами. Что же касается многомерных пространств, то их «множественная» природа говорит за себя: само выражение «элемент» предполагает делимость, выделение; части из целого. Вместе с тем, в основе множества типа континуум лежит неделимость, непрерывность.

Согласно законам диалектики, противоположные стороны любого объекта, в том числе объекта математики, существуют в объективном единстве, и достичь полного отражения содержания того или иного противоречия с помощью отдельной категории или даже пары категорий, обозначающих две противоположности, невозможно. Математическое познание всеобщей противоречивости мира невозможно без системы категорий количества,

25

качества, пространства, отношения и др., образующих ядро онтологических оснований математики. При этом каждая категория, пара категорий или категориальный «блок», рассмотренные нами выше, отражают определенный аспект реальности на разных уровнях - от нетривиальных математических задач до обыденных, повседневных задач счета, измерения, сравнения и т.п.

В третьей главе «Модальная система онтологических оснований математики: структура и развитие», состоящей из двух параграфов, рассматриваются структурные особенности, а также особенности исторического развития модальной системы онтологических оснований математики.

В первом параграфе «Необходимое и возможное как объекты математики» на основе модального, анализа показано, что наряду с экстенсиональным подходом категориальное постижение математических закономерностей бытия, может быть осуществлено интенсионально, посредством модальных. категорий необходимости, действительности; и возможности. Как и в случае с атрибутивной системой онтологических оснований математики, в качестве отправной точки исследования постулируется тезис о существовании объекта математики как измеряемого или исчисляемого нечто. На основе исходного тезиса формулируются следующие положения: а) объект математики может представать перед нами в виде необходимости существенных свойств и связей реальности («бытие объекта как должное»); б) объект математики может представать перед нами в виде возможности существенных свойств и связей реальности («бытие объекта как. возможное»). Что же касается ассерторических модальных характеристик бытия объекта математики («действительное», «недействительное»), то они не могут быть признанными онтологически самостоятельными: математические закономерности всегда в конечном счете оказываются либо модально необходимыми, либо модально возможными.

. Модальность необходимости является ключевой в постижении объектов математики как науки, в основе своей не зависящей от опыта. Наличие

26

априорных модальных структур метаматематического уровня предполагает формулировку необходимости истин математики, их выводимости из аксиом, теорем, допущений и т.п. Дедуктивно построенное доказательство является основной формой выражения необходимости в математике, делает ее особой отраслью знания. Также как и необходимость, реальное положение дел в мире отражает ее парная противоположность - случайность, под которой подразумевается определенная связь, обусловленная несущественными, внешними для данного явления причинами (в этом смысле случайное противостоит необходимому как закономерному). Математическая случайность вытекает из самой природы объекта математики, являясь как бы «обратной стороной» необходимости. Более того, на необходимости наступления тех или иных событий, а также на корреляционных отношениях, описывающих необходимо имеющуюся связь между случайными величинами, основаны не только причинная, но и функциональная форма обусловленности. Так, согласно фундаментальному закону теории вероятностей - закону больших чисел -совместное действие большого числа однокачественных случайных факторов приводит к результату, в пределе не зависящему от случая.

С понятиями необходимости и случайности в математике тесно связаны понятия равноценности и однозначности. В частности, математическая идея равноценности исходных параметров, характеризующих состояние исследуемого объекта, показывает, что чем сильнее необходимость противопоставляется случайности, тем больше параметров, относящихся к последней, исключается из рассмотрения. Проблема однозначности имеет важное значение для более глубокого понимания необходимости в математике (однозначность доказательства, определения, решения уравнения и т.п.).

Немаловажной особенностью рассматриваемой категориальной пары является ее взаимосвязь с онтологическими категориями единичного и общего. Необходимость, выступая проявлением закономерности, выражает общее, существенное в явлении, в то время как случайное реализуется прежде всего через единичное. Массовые случайные явления могут выступить иллюстрацией

27

диалектического перехода от единичного к общему, и, в снятом виде, обратно к единичному в форме конкретного числового значения того или иного параметра единицы статистической совокупности. .

Менее тривиальным является соотношение пары «необходимость -случайность» с онтологическими категориями причины и следствия. Очевидно, что в каждом конкретном процессе перехода от причины К; следствию реализуется принцип необходимости. Однако не всякая необходимость влечет за собой появление того следствия, у которого есть своя конкретная причина: далеко не все необходимые условия явления или процесса могут являться их причинами. Что же касается следствия, то оно может быть вызвано как случайными, так и необходимыми причинами.

Модальность возможности приобретает в математике значение «неопровержимости» в смысле недоказуемости отрицания, а модальность невозможности - значение опровержимости, указания на то, что возможность чего-либо, -постигаемого в акте математического познания, исключается (аксиомой, правилом и т.п.). Существенную роль в /исследовании онтологических оснований математики играют глубокие взаимосвязи возможного и действительного, возможного и случайного, возможного и необходимого. Наиболее значимые формально-логические отношения между ними могут быть представлены следующим образом: .

.1. Подчинение модуса «бытия как возможного» модусу «бытия как сущего». В логическом смысле действительное первично, поскольку пребывание объекта математики в модусе «быть как сущее» влечет за собой и его проблематическую модальность - «быть как возможное». Так, в случае с принимаемыми «на веру» положениями древневосточной математики, их действительность подразумевает и их возможность (иначе мы бы о них даже не рассуждали). В то же время факт существования всех последующих (альтернативных) доказательств ранее доказанных теорем (например, той же теоремы Пифагора), следует не из того, что они возможны и даже действительны, а из того, что они необходимы.

28

2. Контрарность между модальностями действительного и опровержимого. Если нечто существует как объект математики, то это уже является залогом его неопровержимости. Так, каждое из приведенных доказательств теоремы Пифагора (например, Л. да Винчи, Г. Харди и др.) существует (в силу необходимости), применяется на практике, преподается студентам, и, следовательно, никак не может быть опровергнуто - по крайней мере, до тех пор, пока не будет показано, что в каком-то случае сумма квадратов катетов не равняется квадрату гипотенузы. Обратное также верно: если мы построили треугольник, вписанный в окружность, то сам факт такого построения свидетельствует о возможности и неопровержимости такого построения и, через отношение контрарности, — о существовании данной геометрической конструкции. В математике данное отношение применяется как реализация закона противоречия и, в более широком контексте; позволяет проводить рассуждения о существовании в математике как таковом.

3. Отношение подчинения между модальностями недействительного и опровержимого. Опровержимость чего-либо в математике влечет за собой его недействительность, но не наоборот. Так, например, получаемое . в доказательстве от противного абсурдное положение отбрасывается, прекращает свое существование, уступая место противоположному ему положению, которое, собственно, и формулируется в теореме.

4. Субконтрарность между. модальностями возможного (неопровержимого) и случайного (недоказанного или неподтвержденного). Данное отношение свидетельствует о необходимости принятия хотя бы одной из модальностей в качестве определяющей бытие математического объекта. Так, рассуждая о возможном, мы всегда допускаем случайность: то, что возможно, может и не произойти (данный треугольник может быть и не вписан в данную окружность, хотя в общем случае такое возможно). Согласно свойству субконтрарности, два указанных модуса могут и не исключать друг друга, вместе конституируя положение дел, которое в этом случае будет определяться формулой «может быть, и может не быть». Это хорошо видно из

29

определения фундаментального понятия теории вероятностей - случайного события, - в котором говорится о факте, который может либо произойти, либо не произойти в результате испытания. Другой особенностью этого отношения является то, что противоположность возможного (модальность «опровержимости») влечет за собой модальность недоказанного и наоборот. Так, например, опровержение, демонстрация невозможности какого-либо математического объекта или утверждения о нем открывают пути для поиска чего-то другого, поскольку становится ясно: то, что предлагается изначально, «может не быть».

5. Отношение подчинения между модальностями опровержимого и случайного. Опровержимость (демонстрация невозможности) какой-либо закономерности в математике влечет за собой случайность отдельных единичных проявлений. Обратное неверно.

Кроме того, важной особенностью категорий возможного и действительного является их взаимосвязь с онтологическими категориями причины и следствия. Данная взаимосвязь прослеживается, прежде всего, в переходе возможности в действительность, так или иначе основанном на причинной связи явлений объективного мира.

Рассуждая о взаимосвязи различных типов модальности, невозможно обойти стороной важнейшую математическую категорию вероятности. Помимо онтологических атрибутов количества и меры, классическое определение содержит указание на случаи, случайные события и возможность, за которыми скрываются структуры мысли, выраженные в проблематических категориях случайного и возможного. Вероятность - объект более сложный, чем обыкновенная математическая мера: это не просто мера, заключающая числовые значения, но мера возможности, подразумевающей, что что-то может произойти, не может произойти, может не произойти и т.п. Так, возможность, мера которой равна нулю (невозможность) является вырожденным случаем возможности, а возможность, мера которой равна единице - это необходимая возможность.

30

Другим примером из теории вероятностей, иллюстрирующим модальные связи, является определение условной вероятности — вероятности того; что произойдет заведомо недостоверное событие А при условии, что событие В уже произошло. Утверждая, что такая вероятность равна единице, мы тем самым фиксируем не что иное, как необходимость появления события А по отношению к некоторому событию В. При этом между событиями А и В устанавливается определенная причинно-следственная связь, которая, впрочем, может не выглядеть явной и представлять собой довольно сложную цепочку опосредований и переходов.

Во втором параграфе «Эволюция модальной системы онтологических оснований математики» демонстрируется, как указанная система развивается вместе с зарождением и развитием самой математики.

В странах Древнего Востока (Вавилон, Древний Египет, Древний Китай) решение математических задач приводилось, как правило, без аргументации и было догматичным. На первый взгляд, подобное принятие правил без обоснования со ссылкой на авторитеты, внутреннее озарение или предписания в виде правил «делай то-то, делай так-то» — не что иное, как следствие преобладания в математическом мышлении модальности действительности. В то же время в пользу присутствия в догреческой математике категориальной интуиции необходимого в неразвитом, «зачаточном» виде свидетельствуют многочисленные попытки доказательства ряда теорем.

Уже при Пифагоре конкретные представления в доказательстве уступают место чисто логическим заключениям. Независимость теоретических положений математики от опыта, идеальность ее объектов, истолкование исходных принципов евклидовой геометрии как самоочевидных и незыблемых и т.п., - все это послужило источником античной концепции необходимости математических: истин, удачно гармонирующей с априористской философией платонистского толка. С развитием математики и схоластической логики в средневековье постепенно оформляются и развиваются представления о формальном доказательстве. В Новое время надежность математических

31

доказательств определяется однозначностью исходных формальных определений. XIX в. принес в математику идеи необходимости постулирования некоторых интуитивно очевидных правил, которые формальным способом доказать невозможно (принцип Дирихле, неевклидовы геометрии и т.д.). Становится все более очевидной зависимость доказательства от постулируемых принципов, а значит и ограниченность возможностей аподиктического мышления. XX в. лишь усилил, все эти тенденции, породив множество споров вокруг непротиворечивости и полноты математических теорий. Все чаще под сомнение ставится необходимость исходного положения, сменяясь, по сути дела, его возможностью.

Преобладание в математике проблематической модальности возможного началось благодаря зарождению и развитию теории вероятностей. Вплоть до

XVI в. теоретико-вероятностные интерпретации возможности попросту отсутствуют: античные и средневековые натурфилософы рассуждают скорее о происхождении случайности и ее роли в .природе, связывают вероятность с одобрением авторитета, аргументированностью, доказательностью и т.д. Основы будущего учения о закономерности случайного закладываются в XVI и

XVII вв., а временем окончательного оформления теории вероятностей можно по праву считать XVIII век. В этот период Я. Бернулли впервые предложил определение вероятности случайного события, близкое к классическому, а также открыл закон больших чисел, показывающий, что частота случайного события в серии испытаний не «бессистемна», не принимает какие угодно значения с увеличением числа испытаний, а напротив, стремится к некоему предельному теоретическому значению. С точки зрения модальной структуризации математического мышления закон больших чисел представляет даже больший интерес, чем сама классическая вероятность, поскольку демонстрирует, как совместное действие большого количества независимых случайных факторов приводит к результату, в пределе не зависящему от случая. Так мы фиксируем важнейший переход от случайности («может не быть») к возможности («может быть»), а в граничных вероятностных значениях

32

О и 1 — к невозможности («не может быть») и необходимости («не может не быть») соответственно.

Значительно возрастает роль проблематической модальности в объяснении связи математики и объективной реальности в XIX и XX столетиях: с ростом различных приложений теории вероятностей увеличивается количество объектов математики, которые можно охарактеризовать как возможные или (если доказано обратное) невозможные. Появляются такие прикладные направления, как математическая статистика, изучающая массовые явления на основе проверки гипотез, статистическая физика, теория ошибок измерения, теория случайных процессов, теория информации и т.д. Во многом на вероятностные методы опирается теория микромира в физике, теория наследственности в биологии и т.п.

Таким образом, аподиктическое модальное мышление, начав преобладать в Древней Греции, неотступно сопровождает рождение математических истин по сей день, выражая саму суть математической науки. Вместе с тем; модальность необходимости имеет свои пределы в постижении объективных закономерностей бытия; особенно это касается тех областей, где «лидирующие» позиции принадлежат проблематическим модальностям, без которых немыслимо полное и глубокое познание мира.

В четвертой главе «Объекты математики в жизни человека н общества», состоящей из двух параграфов, раскрывается социально-антропологический аспект существования объектов математики в контексте их значимости для человека и общества.

В первом параграфе «Социально-гуманитарные аспекты бытия объектов математики» рассмотрены праксеологические, социокультурные, аксиологические и экзистенциальные аспекты существования математики, .

Довольно часто обращение к объектам математики связано с внешней необходимостью исчисления, расчета, количественной оценки и т.п., результаты которых предстают в нашем сознании, мышлении и языке в субъективной «очеловеченной» форме - от примитивных символов или

33 .

визуальных образов (зарубок, насечек, узелков, «локтей» и т.п.) до специфических алфавитов и языков (символика дифференциального и интегрального исчислений, булевой алгебры, язык «эпсилон-дельта» и т.д.). Все эти результаты изначально «предполагаются» целенаправленной деятельностью (ргакйкоз) с явно или неявно заданными критериями эффективности, полезности. В то же время, познавая мир математически, мы выходим на уровень постижения не любых предметов или явлений окружающего мира, а лишь тех, которые функционируют и развиваются в соответствии с присущими им повторяющимися, устойчивыми . связями. В таком случае эффективность полученного с помощью математики результата как воплощения какой-либо цели (расчет траектории космического корабля, максимальной прибыли предприятия и т.п.) сама имеет онтологическую укорененность и не сводится к понятию применимости математики во внешних для нее областях деятельности. Понимая под эффективностью математики эффективность ее отношений с объективной реальностью, следует помнить, что математика является частью мира, а не наоборот.

Поскольку результаты количественного анализа, пространственных измерений и т.д., составляющие суть математического познания, должны быть каким-то образом доступны человеку и обществу, математический язык выступает не только как система знаков, но и как важнейшая научная и общекультурная ценность. Помимо языка, общепризнанными культурно-историческими ценностями являются различные способы получения математического знания (математические правила, методы доказательства теорем, интегрирования, интерполирования и т.п.), а также способы и результаты математического описания различных сторон реальности -математические модели (уравнения математической физики, производственные функции, системы эконометрических уравнений и т.д.). В этом отношении заслуживает внимания позиция представителей социально-конструктивистского подхода в философии математики, согласно которому математика является продуктом социальной деятельности и культуры в целом.

34.

Действительно, даже с учетом наличия у таких специфических «негуманитарных» объектов, как математические, онтологически инвариантных структур, не следует забывать, что эти объекты создаются, исследуются и транслируются человеком, с необходимостью включенным в ту или иную социокультурную традицию.

С другой стороны, математические законы укоренены в объективной реальности и в этой связи сфера их детерминированности «коллективным субъектом» строго ограничена. Многие социальные процессы имеют ярко выраженную объективную природу и в основе их описания лежит система онтологических атрибутов, идентичная той, что составляет философский «фундамент» моделирования естественнонаучных процессов (изменение, отношение, дискретность, время, причина, следствие и т.п.). Математическое моделирование процессов и того и другого типа всегда будет сводиться к специфическому описанию, по сути, одних и тех же объектов математики, включенных в различные природные и социальные процессы, явления и т.д. При этом особое внимание следует уделить вероятностному, анизотропному, непредикативному и др. подходам в современном математическом моделировании, поскольку системы онтологических оснований математики не остаются неизменными в ходе развития последней.

Ценность математического знания не сводится к той или иной форме эффективности - физической, методологической, социальной и Т:Д. Количественные закономерности, рациональные и «безликие» по сути, также могут (пусть и не в такой мере, как произведения искусства) быть подвергнуты оценке в эстетических категориях прекрасного и возвышенного. Наибольшую степень возвышенности, граничащую с мистическим экстазом, математике обеспечивает ее укорененность в неком сверхъестественном бытии: уже в религии каменного века «священные» числа и графика приобретают особый магический статус «посредников» между посюсторонней реальностью и труднообъяснимым, пугающим и завораживающим миром природных сил. Однако в наши дни, с общим изменением отношения к науке, изменились и

35

аксиологические (в том числе эстетические) «контуры» объектов математики. На смену идеализации «самоценной» математики и сакрализации ее глубинных основ приходит стремление к «красоте» упрощения, систематизации, информативности и т.п.

На процесс математического познания так или иначе оказывают влияние и различные экзистенциальные факторы. Это своеобразный «наноуровень» бытия математической соизмеримости - соизмеримости в каждый конкретный момент времени, эмоционального состояния, социального и финансового положения и т.д. Математика «живет» вместе с человеком, выступая частью его культуры.

Во втором параграфе «Онтологические проблемы современного преподавания математики» рассматриваются проблемы преподавания математики, связанные с формированием онтологических установок учащегося как познающего субъекта.

С опорой на результаты, полученные в предыдущих главах, было выделено три направления, философская разработка которых позволила глубже понять проблему оснований современного математического образования и наметить пути его совершенствования.

Во-первых, это проблема предмета математики. Корни этой проблемы уходят еще в начальную школу. Обучение математике начинается со знакомства с ее специфическими понятиями, методами и т.д., но совершенно не объясняется, что именно познается с их помощью. Целью обучения математике становится приобретение вычислительных навыков, знание простейших геометрических фигур, арифметических действий и числовых выражений. В этом случае учебное пособие оказывается превосходным проводником в мир расчетов и приложений, но не дает субъекту познания широты восприятия реального мира таким, каков он есть. Отталкиваясь от того, что математика - наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира, необходимо показать учащимся, что числовые

отношения укоренены в конкретной действительности, развить у них пространственное восприятие, геометрическую интуицию.

Во-вторых, это проблема дефиниций. Берущее начало в математическом платонизме постулирование существования трансцендентного мира, «населяемого» особыми абстрактными сущностями, не могло не привести к некоторому «ослаблению» формальной стороны вопроса определения ключевых математических терминов, понятий, конструкций. С другой стороны, практически все исходные арифметические и геометрические понятия в принципе не могут быть определены классическим, родовидовым способом. Уже в преподавании элементарной математики следует учитывать, что понятия числа, фигуры, линии, точки и т.д. не задаются, подобно аксиоме или некоторому теоретическому правилу, учрежденному научным сообществом, а опираются на некоторые «очевидные» абстракции, как бы предпосланные нашему пониманию текста. В этой связи представляется целесообразным развитие у учащихся категориальной интуиции дискретного и бесконечного количества (арифметика), а также качественного, пространственного и непрерывного (геометрия).

В-третьих, это проблема развития у учащихся аподиктического и вероятностного мышления. Корни этой проблемы восходят еще к древневосточным математикам, в мышлении которых преобладала изъявительная модальность сущего («делай так-то и так-то, потому что так есть»). Однако и в наши дни обучающийся зачастую постигает не математику, а всего лишь ее приложения - от элементарного счета и деления «столбиком» в школе до инженерных справочников, содержащих готовые, не требующие осмысления результаты. На этом фоне особую значимость приобретает задача развития у учащегося умения доказывать, логически упорядочивать свои мысли. При этом не стоит упускать из виду, что сама по себе аподиктичность не является свойством мышления - это специфический способ категориального схватывания бытия в одном из его многочисленных возможных модусов. Непростая, но важная задача педагога в этом случае — показать, что

.37

доказательство теоремы, логический вывод, математический анализ ситуации и т.п. являются не менее реальными сущими, чем, скажем, «незыблемые» причинно-следственные связи в естествознании.

Не менее важной задачей современной математической педагогики следует признать задачу развития у обучающегося представлений о мире возможного. Необходимость в таком развитии вызвана не только усложнением мировых (социальных и природных) процессов, управление которыми требует все более точных и информативных прогнозов - речь идет прежде всего о полноценном математическом образовании. Поскольку наше «видение» мира не ограничивается модальностями «как есть» и «как должно», всякий постигающий математическую науку должен иметь представление и о мире «как он может быть».

В заключении подводятся основные итоги работы, делаются выводы о значении проведенного исследования и намечаются перспективы дальнейших изысканий по данной теме.

Основное содержание диссертации отражено в следующих публикациях:

Монографии

1. Букин, Д. Н, Онтологические основания математической рациональности [Текст] ! Д. Н. Букин. - Волгоград : Изд-во ВолГУ, 2013. - 211 с. [10,0 п. л.]

Статьи, опубликованные в периодических изданиях, рекомендованных ВАК

2. Букин, Д. Н. Математическая рациональность и ее онтологические основания [Текст] / Д. Н. Букин // Вестник Волгоградского государственного

университета. Сер. 7, Философия. Социология и социальные технологии. -2010. - № 2 (12). - С. 31-37. [0,5 п. л.]

3. Букин, Д. Н. Математический объект в современном философском дискурсе [Текст] / Д. Н. Букин // Известия Саратовского государственного университета. Сер. Философия. Психология. Педагогика. -2011. - Том 11. -Вып. 2. - С. 18-22. [0,3 п. л.]

4. Букин, Д. Н. Кризис оснований математики как кризис онтологии [Текст] / Д. Н. Букин // Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского. Сер. Социальные науки. - 2011. - № 4 (24). - С. 95101. [0,6 п. л.]

5. Букин, Д. Н. О взаимосвязи математического знания и объективной реальности [Текст] / Д, Н. Букин //. Вестник Томского государственного университета. Сер. Философия, социология, политология. - 2011. — № 356. -С. 48-52. [0,6 п. л.]

6. Букин, Д. Н. Онтологические предпосылки математического моделирования процессов социальной модернизации [Текст] / Д. Н. Букин // Вестник Волгоградского государственного университета. Сер. 7, Философия. Социология и социальные технологии. — 2012. — № 3 (18). — С. 27-32. [0,45 п. л.]

7. Букин, Д. Н. Коррелятивная онтология математики: проблемы и перспективы [Текст] / Д. Н. Букин // Известия Волгоградского государственного технического университета. Сер. Проблемы социально-гуманитарного знания. - 2012. - Вып. 11. - № 8 (95). - С. 5-8. [0,3 п. л.]

8. Букин, Д. Н. Онтологическое обоснование математики: коррелятивный подход [Текст] / Д. Н. Букин // Вестник Волгоградского государственного университета. Сер. 7, Философия. Социология и социальные технологии. -2012. - № 2 (17). - С. 25-28. [0,3 п. л.]

9. Букин, Д. Н. Современный конструктивизм и онтологические основания математики [Текст] / Д. Н. Букин // Вестник Тюменского государственного университета.-2012.-№ 10.-С. 50-58. [0,5 п. л.]

39

10. Букин, Д. Н.. Модальные структуры математического мышления: онтологический аспект [Текст] / Д. Н. Букин // Исторические, философские, политические и юридические науки, "культурология и искусствоведение. Вопросы теории и практики. - 2013. - № 10 (36). - С. 38-42. [0,6 п. л.]

11. Букин, Д. Н. Математический объект в системе социокультурных ценностей [Текст] / Д. Н. Букин II Гуманитарные и социально-экономические науки. - 2013.-№ 4 (71). - С. 14—18. [0,4 п. л.]

12. Букин, Д. Н. Качественная определенность математического объекта: онтологический анализ [Текст] / Д. Н. Букин // Вестник Волгоградского государственного университета. Сер. 7, Философия. Социология и социальные технологии.-2013.-№2(20).-С. 56-61. [0,5 п. л.]

13. Букин, Д. Н. Онтологическая определенность математического объекта: пространственно-количественный аспект [Текст] / Д. Н. Букин // Вестник Ленинградского государственного университета им. А. С. Пушкина: Сер. Философия. -2013. - Том 2, -№ 4-С. 99-107. [0,4 п. л.] .

14. Букин, Д. Н. Число и величина как онтологические определенности категории количества [Текст] / Д. Н. Букин:// Вестник Московского государственного областного университета. Сер. Философские науки. — 2013.-№4.-С. 11-19. [0,5 п. л.]

15. Букин, Д. Н. Объект математики как количественное отношение: онтологический анализ [Текст] / Д. Н. Букин // Омский научный вестник. Сер. Общество. История. Современность. - 2014. -№ I (125). - С. 116-119. [0,45 п. л.]

.16. Букин, Д. Н. К вопросу о существовании объектов математики [Текст] / Д. Н. Букин // Вестник Костромского' государственного университета им. Н. А. Некрасова. - 2014. - Том 20. -№ 1. - С. 115-118. [0,4 п. л.] 17. Букин, Д. Н. К вопросу об онтологических основаниях современной математической педагогики [Электронный ресурс] / Д; Н. Букин // Современные проблемы науки и образования. - 2014. - № 5; Режим доступа:

http://www.science-education.ru/119-14509 (дата обращения: 09.09.2014). [0,4 п. л.]

Статьи, опубликованные в других изданиях

18. Букин, Д. Н. Эволюция рациональности как смена доминирующей модальности в постижении бытия [Текст] / Д. Н. Букин // Современная онтология П: матер, междунар. науч. конф. «Бытие как центральная проблема онтологии». - Санкт-Петербург : Изд. дом СПбГУ, 2007. - С.518-522. [0,2 п. л.]

19. Букин, Д. Н. Перспективы онтологии рациональности в современном «обществе возможностей» [Текст] / Д. Н. Букин // Человек, общество, история: методологические инновации и региональный контекст: матер. Всерос. науч. конф. памяти С. Э. Крапивенского, г. Волгоград, 16-17 апр. 2008 г. - Волгоград : Изд-во ВолГУ, 2008. С. 58-66. [0,3 п. л.]

20. Букин, Д. Н. Субъект-объектная оппозиция в рациональном познании [Текст] / Д. Н. Букин // Вестник Волжского института экономики, педагогики и права. Сер. «Гуманитарные и юридические науки». - 2008. -Вып. 5. - С.58-66. [0,4 п. л.]

21. Букин, Д. Н. Категориальный анализ как основа современного философского исследования [Текст] / Д. Н. Букин // Философские и социальные науки: матер, науч. сессии, г. Волгоград, 21-30 апр. 2008 г. -Волгоград : Изд-во ВолГУ, 2008. - Вып. 2. - С. 6-9. [0,15 п. л.]

22. Букин, Д. Н. Категориальный статус взаимодействия в современном дискурсе [Текст] / Д. Н. Букин // Современная онтология III: матер, междунар. науч. конф. «Категория взаимодействия». - Санкт-Петербург : Изд. дом СПбГУ, 2009. - С. 109-115. [0,3 п. л.]

23. Букин, Д. Н. Онтология математики: контуры проблемного поля [Текст] / Д. Н. Букин // Философские, социальные и исторические науки: матер, науч.

сессии, г. Волгоград, 26-30 апр. 2010 г. - Волгоград : Изд-во ВолГУ, 2010. -Вып. 2. - С. 7-10. [0,1 п. л.]

24. Букин, Д. Н. К вопросу об онтологическом статусе математического объекта [Текст] / Д. Н. Букин // Современная онтология IV: матер, междунар. науч. конф. «Современная онтология - IV: Проблемы метода». -Санкт-Петербург : СПбГУ; ИТМО, 2010. - Т. П. - С. 279-283. [0,3 п. л.]

25. Букин, Д. Н. Поиски новой онтологии математики [Текст] / Д. Н. Букин // Философские, социальные и исторические науки: матер, науч. сессии, г. Волгоград, 22-29 апр. 2011 г. - Волгоград : Изд-во ВолГУ, 2011. - Вып. 5. - С. 20-23. [0,1 п. л.]

26. Букин, Д. Н. Диалектика в исследовании онтологических оснований математики [Текст] / Д. Н. Букин // Актуальные проблемы российской философии: межвуз. сб. научн. тр. (по материалам Всерос. научн. конф., Пермь, 29-30 сент. 2011 г.). - Пермь : Перм. гос. нац. иссл. ун-т, 2011. - Т.1. -С. 133-140. [0,4п. л.]

27. Букин, Д. Н. Математическое знание как объект философской рефлексии [Текст] / Д. Н. Букин // Философия и методология науки: матер, третьей Всерос. науч. конф., г. Ульяновск, 15—17 июня 2011 г. - Ульяновск : Издатель Качалин А. В., 2011 г. - С.80-84. [0,2 п. л.]

28. Букин, Д. Н. Онтология, метафизика и математика: проблема союза и границ [Текст] / Д. Н. Букин // Практические задачи философии: ретроспектива и перспектива: материалы Всерос. научн.-практ. конф., г. Екатеринбург, 4-6 апр. 2011 г. - 2011. - С. 50-52. [0,1 п. л.]

29. Букин, Д. Н. Практика как критерий проверки знания в современной онтологии [Текст] / Д. Н. Букин // Наука и современность - 2012: сборник материалов XVIII Междунар. научн.-практ. конф. - Новосибирск: Издательство НГТУ, 2012. - С. 227-231. [0,3 п. л.]

30. Букин, Д. Н. Математическое знание как объект онтологии [Текст] / Д. Н. Букин // Философия и методология науки: матер, четвертой Всерос. науч:

конф., г. Ульяновск, 4-5 мая 2012 г. - Ульяновск : Издатель Качалин А. В., 2012. - С.141-150. [0,4 п. л.]

31. Букин, Д. Н. Место и роль философии математики в структуре научной философии [Текст] / Д. Н. Букин // Нбвые идеи в философии: межвуз. сб. научн. тр. (по материалам Всерос. научн. конф., Пермь, 19-20 апр. 2012 г.). -Пермь : Перм. гос. нац. иссл. ун-т, 2012. - Т. 1. - С. 73-79. [0,4 п. л.]

32. Букин, Д. Н. Бытие математического объекта как коррелят [Текст] / Д. Н. Букин // Философия в современном мире: диалог мировоззрений: матер. VI Российского философского конгресса, Нижний Новгород, 27-30 июня 2012 г. - Нижний Новгород : Изд-во Нижегородского госуниверситета им. Н. И. Лобачевского, 2012. - Т. II. - С. 13. [0,1 п. л.]

33. Букин, Д. Н. К вопросу о методологии современной философии математики [Текст] / Д. Н. Букин // Философские, социальные и исторические науки: матер, науч. сессии, г. Волгоград, 23-27 апр. 2012 г. -Волгоград : Изд-во ВолГУ, 2012. - Вып.' 5. - С. 32-33. [0,25 п. л.]

34. Букин, Д. Н. Основания математики как онтологическая проблема [Текст] / Д. Н. Букин // Фундаментальная и прикладная наука глазами Молодых ученых. Успехи и перспективы, проблемы и пути их решения: сб, тезисов участников Междунар. молодежи, конф. - Ульяновск : ООО «Колор-Принт», 2012. - С. 15-17. [0,2 п. л.]

35. Букин, Д. Н. Формальная и диалектическая логики в современной онтологии и теории познания [Текст] / Д. Н. Букин // Новое слово в науке и практике: гипотезы и апробация результатов исследований: сб. матер. V Междунар. научн.-практ. конф. - Новосибирск : Издательство ЦНРС, 2013. — С. 110-114. [0,2 п. л.]

36. Букин, Д. Н. Материальная практика в математическом познании [Текст] / Д. Н. Букин // Право и юриспруденция. Философия и социальные науки: матер, науч. сессии, г. Волгоград, 22—26 апр. 2013 г.— Волгоград : Изд-во ВолГУ, 2011. - Вып. 4. - С. 454-456. [0,1 п. л.]

37. Букин, Д. Н. Сущее и сущность как центральные категории онтологии математики [Текст] / Д. Н. Букин // Труды научно-образовательного центра «Экономико-гуманитарные технологии в научно-технической области». -Санкт-Петербург : НИУ ИТМО, 2013. - С. 17-22. [0,3 п. л.]

38. Букин, Д. Н. Язык и реальность в математике: к спору «правых» и «левых» [Текст] / Д. Н. Букин // Философия математики: актуальные проблемы. Математика и реальность. Тезисы Третьей Всерос. научн. конф.; 27-28 сент. 2013 г. - Москва : Центр стратегической конъюнктуры, 2013. -С. 120-123. [0,2 п. л.]

39. Букин, Д. Н. Математический платонизм: от Античности до наших дней [Текст] / Д. Н. Букин // Научный журнал «Апробация». - 2014. - № 1 (16). -

C. 56-57. [0,2 п. л.] .

40. Букин, Д. Н. Пространство как геометрическое понятие и как философская категория [Текст] / Д. Н. Букин II Геометрический анализ и его приложения: матер. II междунар, конф., г. Волгоград, 26-30 мая 2014 г. / Волгогр. гос. ун-т, Ин-т математики им. C.JI. Соболева Сибирского отделения РАН. - Волгоград : Изд-во ВолГУ, 2014. - С. 35-37. [0,1 п. л.],

41. Bukin, D, N. Social and humanitarian being of objects of mathematics , [Text] /

D.N.Bukin // «European Applied Sciences: modern approaches in scientific researches»: Papers of the 8th International Scientific Conference, January 30, 2014. - Stuttgart: ORT Publishing, 2014. - P. 45-50. [0,2 п. л.]

42. Bukin, D. N. Tre miti sulla dialettica moderni [Text] / D. N. Bukin // Italian Science Review. - 2014. -N 3 (12). -P. 7-8. [0,15 п. л.]

Подписано в печать 25.12 2014 г. Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Усл. печ. л. 2,2. Тираж 110 экз. Заказ 227.

Издательство Волгоградского государственного университета. 400062 Волгоград, просп. Университетский, 100. E-mail: izrvolgu@volsu.ru