Основные этапы развития и формирования современной модальной алетической логики

Кадыг-Оол, Хулербен Кок-оолович

автореферат диссертации по философии, специальность ВАК РФ 09.00.07
диссертация на тему: Основные этапы развития и формирования современной модальной алетической логики

Год: 2013
Автор научной работы: Кадыг-Оол, Хулербен Кок-оолович
Ученая cтепень: кандидата философских наук
Место защиты диссертации: Москва
Код cпециальности ВАК: 09.00.07

Диссертация по философии на тему 'Основные этапы развития и формирования современной модальной алетической логики'

Полный текст автореферата диссертации по теме "Основные этапы развития и формирования современной модальной алетической логики"

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА ФИЛОСОФСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи

005538512

КАДЫГ-ООЛ Хулербен Кок-оолович

ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ И ФОРМИРОВАНИЯ СОВРЕМЕЙНОЙ МОДАЛЬНОЙ АЛЕТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

Автореферат

Диссертация на соискание ученой степени кандидата философских наук

Специальность 09.00.07 - Логика

21 НОЯ 2013

Москва-2013

005538512

Диссертация выполнена на кафедре логики философского факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова

Научный руководитель:

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт философии Российской академии наук.

Защита диссертации состоится 11 декабря 2013 г. на заседании диссертационного совета «Д 501.001.37 - онтология и теория познания, логика, философия науки и техники» при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу:

119991, г. Москва, Ломоносовский проспект, д. 27, корп. 4, учебный корпус № 1, философский факультет, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале Отдела диссертаций в Фундаментальной библиотеке МГУ по адресу: Ломоносовский проспект, д. 27, сектор «А», 8 этаж, к. 812. Автореферат разослан «_»_2013 года.

Ученый секретарь Диссертационного совета:

Кандидат философских наук Е. В. Брызгалина

Доктор философских наук, профессор

Ю.В. Ивлев

Официальные оппоненты:

Доктор философских наук, профессор Кандидат философских наук

К. И. Бахтияров Н. Л. Архиереев

Общая характеристика работы

Диссертационная работа представляет собой исследование в области истории модальной логики. Возникновение данного раздела логики первоначально было связано с философскими концепциями. В качестве примеров можно привести выделение Аристотелем двух видов бытия (действительного и потенциального), идею альтернативных миров, «божественных» и «естественных» модальностей в Средние века и т.д. Дальнейшее развитие теории модальностей является процессом, по ходу которого философские аспекты становятся все менее важными. Данный факт обусловлен развитием собственно логического аппарата для модальной логики.

Описать в рамках одной работы все многообразие модальной логики представляется крайне сложной задачей, поэтому акцент сделан на алетические модальности. История поэтапного развития рассматриваемого раздела логики весьма богата, она содержит множество до конца не проясненных вопросов.

Актуальность темы. Модальная логика является одним из самых интересных и перспективных разделов неклассической логики. В результате ее разработки расширяется круг дисциплин, в которых используются те или иные методы логики (от анализа философской аргументации до теоретической информатики). Достаточно привести высказывание Р. Гольдблатта: «модальная логика в наши дни рассматривается шире [чем раньше как наука о необходимой и возможной истинности] как изучение множества лингвистических конструкций, которые определяют условия истинности высказываний, в том числе высказываний о знании, верованиях, рассуждениях о времени и этике»1. Столь интенсивное развитие ставит задачу исторического анализа результатов, которые оказали влияние на формирование современной модальной логики.

История модальной логики занимает значительное место в логико-исторических исследованиях второй половины XX века и начала нынешнего. Отметим, что большинство работ по данной теме принадлежит зарубежным авторам. Несмотря на популярность данной темы, она еще далеко не исчерпана.

В истории модальной логики есть такие теории, которые можно условно назвать вторичными, однако их результаты оказались весьма значимыми для

1 Goldblatt R. Mathematical modal logic: a view of its evolution // Handbook of The History of

Logic. Vol. 7: Logic and Modalities in XX century. Amsterdam. 2006. P. 1

общего развития: их анализ в качестве составных частей целостного подхода в рамках того или иного периода можно обозначить как еще одну актуальную проблему.

Степень разработанности проблемы. Литературу, которая была использована при написании данной работы, можно подразделить на две категории - на литературу о самой логике алетических модальностей и по ее истории. К первой категории можно отнести все монографии, учебные пособия, статьи и прочие исследования, в которых анализируются те или иные свойства модальной логики. Поскольку таких книг большое количество, приведем лишь несколько наиболее известных работ (характерных для разных периодов): Р. Фейс, «Модальная логика»2, Г. Е. Хьюз и М. Дж. Крессвелл, «Введение в модальную логику»3 (а также «Новое введение в модальную логику»4) [35, 36], А. Чагров, М. Захарьящев, «Модальная логика» [34].

Что касается второй категории, то в настоящее время существует несколько основных работ, посвященных истории модальной логике. Прежде всего, стоит отметить работу Я. И. Слинина5, в которой были наиболее подробно рассмотрены исследования в рамках периода, который сейчас принято называть синтаксическим.

Среди современных работ одним из самых полных и подробных является исследование Р. Гольдблатга6. В нем прослежено развитие модальной логики вплоть до 90-х гг. XX века.

Далее стоит упомянуть о совместной работе Р. Буля и К. Сегерберга7. В ней приведена классификация этапов развития модальной логики -синтаксическая традиция, алгебраическая и теоретико-модельная. В той части работы, которая посвящена истории модальной логики, все эти направления достаточно подробно описаны. Проблема этапов развития модальной логики

2 Фейс Р. Модальная логика. Москва. 1974.

3 Cresswell М. J., Hughes G. Е. An introduction to modal logic. Methuen. 1968.

4 Cresswell M. J., Hughes G. E. A new introduction to modal logic. London and New-York. 1996.

5 СлининЯ. А. Современная модальная логика. Санкт-Петербург. 1976.

8 Goldblatt R. Mathematical modal logic: a view of its evolution // Handbook of The History of Logic. Vol. 7: Logic and Modalities in XX century. Amsterdam. 2006.

7 Bull R„ Segerberg K. Basic modal logic // Handbook of philosophical logic. Vol. II: Extensions of Classical Logic. Dordrecht. 1984.

затрагивается в статье А. В. Чагрова8. Краткая история представлена в книге Ю. В. Ивлева9. ■ ¡

Цели И задачи исследования. Главная цель данной работы -исследование истории развития модальной алетической логики. Для достижения указанной цели сформулированы несколько задач:

1) разделение истории модальной логики на несколько основных этапов;

2) выявление в каждом из выделешшх этапов различных направлений и подходов;

3) обособление и анализ отдельных исследований, направлений, ранее не в полной мере изученных.

Кратко поясним задачи. 1) Деление истории модальной логики опирается на идеи Буля и Сегерберга, а также Чагрова, которые выделяют три условных этапа: синтаксический, семантический и "продвинутый" (англ. advanced). 2) В каждом из этапов можно выделить программы исследований, которые предлагали разные логики: Льюис и Гедель, Леммонн и Тарский с Йоннсоном, Крипке и Хинтикка и т.д. 3) В недостаточной мере изучены (по крайней мере в отечественной логико-исторической литературе) работы X Макколла, исследования И. Е. Орлова, формирование семантики возможных миров, история развития квазиматричной логики.

Методологическая основа исследования. В процессе диссертационного исследования при решении поставленных задач использовались методы представления логических систем в виде исчислений и построения семантик, метод Хенкина. Также были задействованы методы и приемы, используемые при алгебраическом подходе.

8 Чагров А. В. К вопросу об обратной математике модальной логики // Логические исследования. Вып. 8. Москва. 2001.

9 Целее Ю. В. Модальная логика. Москва. 1991.

10 Бочаров В.А., Маркин В.И. Введение в логику. Москва, 2008. С. 300

оценка, квалификация ситуаций, взаимосвязей между ними и присущности свойств и отношений предметам в модальных высказываниях. Например, выделяют элегические («необходимо», «возможно», «случайно», «невозможно» и др.), временные («было», «всегда будет» и др.), деонтические («обязательно», «запрещено» и др.), эпистемические («доказано», «опровергнуто» и др.) и другие модальности.

Алетические модальности оценивают некоторую ситуацию или связь признаков с предметами с точки зрения законов науки или природы. Их принято делить на логические и онтологические. Истинность высказываний с логическими модальностями устанавливается относительно некоторого множества логических законов, с онтологическими - относительно некоторых законов природы11.

В статье Чагрова дается два эквивалентных определения модальной логики12:

• «модальной логикой является всякая совокупность модальных формул, содержащая некоторую минимальную совокупность, (например, это минимальная нормальная модальная логика К) и замкнутая относительно некоторого разумного набора правил вывода (в который обязательно входит правило подстановки и правило modus ponens, но по договоренности может быть, например, и правило Геделя)»;

• «модальной логикой является всякая совокупность модальных формул, истинных в некотором классе обобщенных шкал»13.

История модальной логики для удобства при группировке результатов была разделена на несколько этапов на основании той традиции, которая была главенствующей на определенной стадии развития: синтаксическая и семантическая соответственно.

Кроме этой периодизации мы разделим историю логики на два основных периода, которые условно назовем предыстория модальной логики и

"Там же, С. 301

12 Чагров А. В. К вопросу об обратной математике модальной логики // Логические исследования. Вып. 8. Москва. 2001.

13 «Шкала» - русскоязычный термин, используемый в указанной статье, для обозначения фрейма.

современный этап. Переходными работами от одного этапа к другому являются исследования X. Макколла и К. Лыоиса.

Научная новизна работы. Относительно некоторых этапов развития представлена более полная история элегической модальной логики. Например, при описании реляционной семантики введено исследование работ С. Кангера, в описании топологической интерпретации модальной логики — работы Танг Цао Чена и т.д. Описана и проанализирована эволюция теории модальностей X. Макколла, начиная с его самых первых работ в журнале Mind. Кроме того, впервые исследована история развития квазиматричной логики, начиная с идей Ханса Райхенбаха. Проведен сравнительный анализ квазиматричных систем Ивлева с модальной трехзначной логикой Лукасевича и «модализированной» версией трехзначной логики Клини.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Установлено, что К. Льюис использовал идеи X. Макколла при создании своих систем модальной логики. В работах шотландского ученого были проанализированы разные виды импликаций и сформулирована связка, ставшая впоследствии известной как строгая импликация Льюиса. Помимо этого крупного достижения шотландский логик, скорее всего, впервые высказал идею об использовании методов алгебры применительно к логике, в которой содержатся модальности. Макколл одним из первых ввел их точные описания. В его работах используются несколько модальных операторов: необходимость, невозможность, переменность и другие. Таким образом, К. И. Льюис напрямую позаимствовал основные идеи для своих «классических» систем строгой импликации из научных изысканий Макколла.

2. Выявлено, что формирование квазиматричной логики начинается с работ X. Райхенбаха. Далее этот подход был развит Н. Решером. Он сформулировал квази-функциональный вариант трехзначной логики Лукасевича (назовем их для удобства L3quaSi и L3 соответственно) путем обобщения определений логических связок L3. Примерно в это же самое время в работах Ивлева формируется квазиматричный подход в модальной логике. Система Ивлева Sr является модальным «расширением» L3quasj, следовательно, трехзначная модальная логика Лукасевича является фрагментом Sr. Проведен

сравнительный анализ системы Бг Ивлева и расширенными (модальными) версиями трехзначных логик Лукасевича и Клинй.

3. В обзорной части работы, в результате исследования истории алетнческой модальной логики, включающей основные этапы в её развитии (Древняя Греция, Средневековье, исследования Лейбница, современная логика (синтаксический подход с интуитивной семантикой, алгебраический, теоретико-семантический), было также получено несколько результатов. К примеру, концепция возможных миров - не единственный вклад Лейбница в развитие модальной логики. Немецкий ученый дал точные определения операторам "необходимо" и "возможно", а также дал методологические пояснения, как следует трактовать необходимость. Согласно им, некоторые высказывания считаются необходимо истинными, если путем анализа входящих в них терминов можно показать, что мы приходим к тождеству. Анализ идей И. Е. Орлова показал, что задолго до К. Геделя была высказана идея модального расширения логики. Также русским логиком был сформулирован аналог правила Геделя, согласно которому оператор "доказуемо" можно поставить перед любой теоремой или аксиомой.

Научно-практическая значимость работы. Теоретическая значимость работы заключается в систематическом подходе к рассмотрению истории развития модальной алстической логики. Материалы и выводы диссертационного исследования могут иметь практическое применение при разработке спецкурсов по модальной логике и истории логики.

Апробация работы. Полученные в ходе исследования результаты докладывались на ежегодной конференции преподавателей, аспирантов и сотрудников ТывГУ (Кызыл, 2008), на научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых (Кызыл, 2009), на XI Международной конференции «Современная логика: проблемы теории и истории» (заочно, Санкт-Петербург, 2010), ежегодной конференции преподавателей, аспирантов и сотрудников ТывГУ (Кызыл, 2011).

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 3-х глав, заключения и списка использованной литературы.

Основное содержание работы

Во Введении обосновывается актуальность выбранной темы, выявляется степень ее разработанности, формулируются цели и задачи исследования, указывается методологическая основа исследования, а также раскрывается научная новизна работы. '

В первой главе — «История возникновения модальной алетической логики (от Аристотеля до Лейбница)» - рассматриваются основные этапы предыстории модальной логики.

В параграфе 1.1. - «Исследования Аристотеля» - рассматривается модальная теория великого философа. Описаны философские предпосылки, анализ модальностей «необходимо» и «возможно», а также их взаимосвязь. Исследована модальная силлогистика.

В парш-рафе 1.2. — «Исследование модальностей в Средние века» -рассматриваются основные разработки и идеи указанного периода. В частности, речь идет о работах Боэция, Августина, Дунса Скотта, Абеляра и Ансельма Кентерберийского. Кроме того, рассматриваются модальности de re и de dicto.

В параграфе 1.3. — «Исследования Лейбница» - рассматриваются философские предпосылки возникновения семантики возможных миров. С помощью данной концепции немецкий философ дает точные определения модальностей "необходимо" и "возможно".

Во второй главе - "Современный этап: модальные логики, построенные как синтаксические системы" - представлен обобщенный обзор идей К. И. Льюиса, К. Геделя. Рассмотрены основные "нормальные" системы модальной логики, их взаимосвязи на основе работы Леммонна14 (параграф 2.1. - «Обобщенная схема развития»),

В параграфе 2.2. — "Хью Макколл" — рассматривается модальная теория шотландского логика. В серии статей в журнале Mind, начиная с 1880 г., Макколл развивает свою логику модальностей. Задолго до работ К. И. Льюиса он сформулировал строгую импликацию. Макколл предлагает пять

14 Lemmon E. J. New foundations for Lewis modal systems // The Journal of Symbolic Logic. Vol. 22. No 2. 1957.

истинностных значений: истина, ложь, необходимость, невозможность, переменность, или вероятность. Для определения оператора «вероятности» используется та или иная дробь, в зависимости от рассматриваемого случая. Например, дано х = 4, при этом возможные значения - 1, 4 и 7. Тогда истинностное значение выражения будет равно 1/3.

Кроме того, Макколл высказал идеи применения аппарата алгебры для анализа модальной логики, рассматривал проблемы итерированных модальностей.

Идеи X. Макколла вызвали критику со стороны Б. Расселла и Г. Фреге. Последний утверждал, что свойство «быть истинным» не имеет градаций, т.е. некоторая мысль не может быть более истинной, чем другая. Б.Расселл обвинил Макколла в переносе дефектов обыденной речи в логику. Дальнейшее развитие логики модальностей показало правоту шотландского логика.

В параграфе 2.3. - «И. Е. Орлов» - выявлено, что русский логик, скорее всего, одним из первых высказал идею модального расширения классической логики. При этом следует оговориться, что сам он подобную идею считал не состоятельной, считая свою новую систему несовместимой с классической. Кроме того, Иван Ефимович сформулировал ослабленное правило Геделя, согласно которому оператор «доказуемо» (аналог оператора необходимости) можно ставить перед любой аксиомой или уже доказанным высказыванием.

В третьей главе - «Современный этап: семантика алетической модальной логики» - представлены основные разработки в области теоретической семантики для модальной логики.

Параграф 3.1. - «Обобщенная схема развития» - является обзорным рассмотрением основных подходов.

В подпараграфе 3.1.1. - «Алгебраическая семантика» - рассматриваются идеи ряда исследователей. Д. Маккинси предложил доказательства разрешимости ряда систем модальной логики, используя матрицы, в том числе нормальные матрицы. Матрица является нормальной, если

a) если X £ Г>, (х => у) £ £> и у £ тогда у £ £>;

b) если X £ Р и у £ О, тогда X X у € £);

c) если X £ К, у £ X. и (х <=> у) £ Б, тогда* = у.

Б. Йоннсйн и А. Тарский представили булевы алгебры с операторами (БАО)15. Свойство аддитивности: /О + у) = /О) + /(у). / является полностью аддитивным, если /(IX) = 2/(X). / является нормальным, если /(0) = 0. Алгебра Л = (Л0,/;, I е /), в которой все операторы /1 есть операции на булевой алгебре 4, называется булевой алгеброй с операторами. Если все операторы ^ являются нормальными, то алгебра А называется нормальной. Йонисоном и Тарским были доказаны две фундаментальные теоремы: о расширении и представлении.

Еще один оригинальный подход был представлен Э. Д. Леммонном. В его работах пропозициональная логика может быть проинтерпретирована в терминах матриц следующим образом:

• пропозициональным переменным правильно построенной формулы (ппф) соответствуют элементы множества матрицы;

• логические связки интерпретируются как операции, определимые в матрице.

Леммонн доказал теорему Линденбаума:

Пусть I - пропозициональная логика, такая, что замкнуто относительно подстановки вместо пропозициональных переменных. Тогда существует характеристическая матрица логики Ь.

Еще один возможный вариант алгебраической интерпретации модальной логики - топология. Одним из первых топологическую интерпретацию модальной логики предложил Танг Цао-Чен. Он показал, что если операции сложения, вычитания и умножения определены должным образом в логике, то можно показать, что постулаты для этих операций идентичны с подобными им в кольцах. В кольце каждый элемент является идемпотентным, т.е. выполняется постулат: хх — X (или X2 = х). В качестве алгебраического аналога системы Льюиса выступает булево кольцо. Постулаты формулируются следующим образом16:

15 Jonsson B., TarskiA. Boolean algebras with operators (I) // American Journal of Mathematics. Vol. 73, No. 4. 1951.

16 Tang Tsao-Chen. Algebraic postulates and a geometric interpretation for the Lewis calculus of strict implication // Bulletin of the American Mathematical Society. 1938.

A. Сложение является всегда возможным, коммутативным и ассоциативным.

B. Умножение является всегда возможным, ассоциативным и дистрибутивным относительно к сложению.

C. Вычитание всегда возможно. Б. хх = х.

Е. Существует такой элемент 1, что для каждого х, принадлежащему кольцу, выполняется следующее: XI — X.

Вводится новая операция - Хт. С ней связаны два нижеследующих утверждения:

Р]. Для всякого элемента х существует такой элемент х°°, что X = Xе0.

Бг. Дня любых двух элементов х и у верно: (ху)°° = Хтут.

Положения А - Т2 являются алгебраическими постулатами для Э2 и 84.

Также рассматривается топологическая интерпретация Маккинси. Постулаты для топологического пространства (Б и * не определяются)17:

Т1. Множество Б не пусто. Т2. Если а есть любое из подмножеств Э, тогда 'а есть подмножество Я. ТЗ. Если а есть любое из подмножеств в, тогда а с 'а. Т4. Если аир есть любые из подмножеств 8, тогда *(а и Д) = "а и "р. Т5. Если а есть любое из подмножеств Б, тогда "а = 'а. Т6. Если Л есть пустое множество, тогда *Л = Л.

В случае, когда А есть множество, дополнение к нему обозначается «- Л». В случае, когда А и В есть множества, «Л —> В» есть сокращение для «- '(А П -В)». Эквиваленция есть стандартное сокращение для конъюнкции двух импликаций.

Под топологическим выражением понимается любое осмысленное выражение, состоящее из переменных по множествам вместе с символами «Л» и «V»18, построенное путем конечного применения операций *, -, л, и, —» и <-».

17 McKinsey J. С. С. A solution of the decision problem for the Lewis system S2 and S4, with an application to topology // The Journal of Symbolic Logic. Vol. 6. No. 4. 1941

Константы, обозначающие тождественно-ложную и тождественно-истинную формулы соответственно. Они могут быть заменены на х П —х и * U —х соответственно.

Топологическим уравнением (или равенством) является уравнение, по обеим сторонам которого стоят топологические выражения. Топологической формулой является топологическое уравнение, правым членом которого является «V», а в левой части не содержатся константы «Л» и «V».

Уравнение «А — В» является истинным в данном пространстве, если и только если (А и -В) П (В и -А) = V.

Топологическое выражение А соотносится с высказыванием а системы S4, если а есть результат замены в А отдельных переменных по множествам соответствующими пропозициональными переменными, а также символов *, —, П, U, —> и на 0,1, &, V, -3 и <=> соответственно.

В подпараграфе 3.1.2. — "Теоретико-модельная семантика" -рассматривается эволюция указанного типа семантики в работах Р. Карнапа, С. Кангера, Р. Монтегю и Я. Хинтикки до окончательного оформления в виде законченной и весьма плодотворной теории в трудах С. Крипке. В целом, отмечается вклад каждого из упомянутых логиков в развитие реляционной семантики.

Карнап вводит понятие "описание состояния". С помощью описаний состояния он дает определения истинности модальных высказываний, опираясь на идеи Лейбница о возможных мирах.

Стиг Кангер одним из первых ввел и описал отношение достижимости меджу возможными мирами19. Бесконечная последовательность {г1,г2,...) классов является фреймом, если Г1 не пусто и rf £ rt+1. Переменная Г используется для обозначения класса фреймов.

Первичной оценкой является 2-хместная функция V, первым аргументом которой является фрейм, вторым — пропозициональная константа, е или знак множества. V удовлетворяет следующим условиям:

• V(r, Р) = 1 или V(r, Р) = 0, если Р есть пропозициональная константа;

• V(r, е) есть класс конечных упорядоченных множеств из г;

19 Kanger S. Provability in logic // Collected papers of Stig Ranger with essays on his life and work, Vol. 1, Dordrecht, 2001.

• У(г, 5) есть элемент Г1, если 5 есть знак множества типа I.

Упорядоченная пара (Г, V) есть система. Существует и вторичная оценка. Данная оценка Т(г, V, а) приписывает значения всем формулам:

• Формула а является истинной в системе (г, V), если и только если Г(г,7,а) = 1.

С помощью разных классов Я (или по-другому с помощью разных свойств отношения достижимости) можно провести разницу между интерпретациями модальностей. Например, .для аналитической необходимости требуется, чтобы У^ = V. Кроме этого, Кангер указал на то, что разные свойства отношения достижимости соответствуют разным аксиомам модальных логик. Главный результат, который можно получить с помощью семантики Кангера - теоремы о семантической непротиворечивости.

Оригинальный вариант реляционной семантики представил Р. Монтегю20. Моделями называются упорядоченные тройки (б,Я,/), где £) есть индивидная область (непустое множество), /? - функция приписывания значений индивидным константам и конечным предикатам, f является оценкой индивидных переменных в О. Атомарной формулой является предикат с соответствующим его местности количеству аргументов. Далее определяются формулы со связками. Определения истинности являются также стандартными и простыми. Приведем лишь первый пункт для атомарной формулы: на модели (£>,/?,/) удовлетворяется Рп(х1, ...,Хп) если и только если (хг, ...,Хп) Е

Вд).

Для того чтобы определить условия истинности для необходимой формулы, вводятся отношения между моделями для каждого из вида модальностей. Для логической необходимости используется отношение I между моделями (обозначим их для краткости Ж):

• ЖЬЖ! если и только если О = /У и / = f^, где £)/ и -элементы

30 Montague R. Logical necessity, physical necessity, ethics and quantifiers // Formal philosophy. Selected papers of Richard Montague. New Haven and London, 1974

Теперь можно определить условие истинности для логически необходимой формулы:

❖ На модели Ж удовлетворяется □ А, если и только если для каждой модели такой, что MLMна удовлетворяется Л.

Также в работе представлены разработки Я. Хинтикки21. Основное понятие семантики Хинтикка - модельное множество (model set). Модельным множеством является множество формул (для его обозначения используется символ ц), для которого выполняются следующие условия:

- если ц содержит атомарную формулу или равенство, оно не содержит их отрицание (Уся. -]);

- если (р & q) 6 ц, тогда р е ц и q 6 ц (Усл. &);

- если (р V q) е ц, тогда р £ ¡г или q е ц (Усл. V);

- если Зхр е ц, тогда р(а/х) £ М Для, как минимум, одной свободной индивидной константе а. р(а/х) есть результат замены всех вхождений х на а в р (Усл. 3);

- если Vxp е ц, и если b есть свободная индивидная константа, которая содержится, по крайней мере, в одной из формул множества у., тогда

Р(Ь/х) е /< V),

- в ц не содержатся формулы типа -| (а = а).

Хинтикка показывает, как можно применять этот подход к модальной логике. Формулируются конфигурации модельных множеств, которые называются модельными системами. Модельной системой называется множество модельных множеств, на котором определено двузначное отношение. Это отношение альтернативности, таким образом, множества, которые связаны этим отношением с некоторым данным множеством (I, являются альтернативами по отношению к Ц. Дается содержательное описание данного понятия22:

21 Hintikka J. Models for modalities // Selected Essays. Dordrecht, 1969

22 Hintikka J. Models for modalities // Selected Essays. Dordrecht, 1969. P. 72

«на уровне интуиции их можно понимать как частичные описания тех состояний дел, которые могли быть реализованы вместо того состояния дел, обозначенного как ц».

Пусть П - альтернативные модельные системы', связанные с Ц отношением альтернативности. Тогда выполняются следующие условия:

- если ар 6 у. е П, тогда р £ II (Усл. □);

- если 0 р 6 ц е П, тогда в Л есть, как минимум, одна альтернатива по отношению к которая содержит р (Усл. О*);

- если пр £ д £ П, и V есть альтернатива по отношению к ¡г в П, тогда р е V (Усл.

Условие 0* задает стандартное понимание истинного возможного высказывания как истинного в некотором альтернативном мире. Условие а+ говорит о том, что какой бы мир из П ни был взят, высказывание должно быть в нем истинно.

Подпараграф заканчивается рассмотрением широко известных работ С. Крипке. Его идеи детально изучены, в связи с этим обзор ограничен описанием основных результатов. В настоящее время вряд ли найдется кто-нибудь, кто мог бы оспорить вклад Крипке в развитие реляционной семантики. Разумеется, можно найти ряд схожих моментов в исследованиях перечисленных выше (на некоторые из них указывает и сам Крипке, в частности, ссылаясь на работы Кангера). Однако именно американский логик сформулировал основные понятия, полноценные системы семантики для модальной логики. На это указывает и тот факт, что именно после его работ произошел настоящий прорыв в данной области.

В параграфе 3.2. — "Матричные и квазиматричные системы" - основной упор сделан на истории развития квазиматричной логики. В качестве матричных систем приведены трехзначные и четырехзначные модальные логики Я. Лукасевича.

Рассмотрение истории квазиматричной логики начинается с работ X. Райхенбаха. В 1944 г. вышла работа "Философские основания квантовой механики"23, в которой немецкий ученый вводит особое значение -

23 Reichenbach Н. Philosophic Foundations of Quantum Mechanics. Los Angeles. 1944.

неопределенность, чтобы появилась возможность оценивать высказывания, в которых зафиксированы единичные ситуации квантовой физики. Ненаблюдаемая ситуация оценивается как неопределенная, эта неопределенность является третьим истинностным значением. Райхенбах вводит особую импликацию - квази-импликацию:

ЦЦI ЯШ

'0Щ T F

I I I

Как видно, при данной связке невозможны парадоксы материальной импликации.

Данное направление получило свое развитие в работах Н. Решера24, который напрямую ссылается на Райхеибаха. Определение импликации по Решеру:

Hp T F

ijjpj (T,F) (T,F)

(Т,Р) понимается дизъюнктивно, т.е. одно из этих значений может появиться в тех или иных конкретных случаях в зависимости от (иногда неопределенных) обстоятельств. Подчеркивается, что (Т,Р) не является обособленным истинностным значением. С помощью данной пары выделяется альтернатива, что значением может быть как истина, так и ложь в разных случаях.

Решер приводит квази-функциональный вариант трехзначной логики Лукасевича (определения импликации, конъюнкции и дизъюнкции):

24 Rescher N. Many-valued Logic. New-York. 1969.

Параллельно и независимо от исследований указанных логиков, свой вариант предложил Ю. В. Ивлев. Собственно, им был введен термин "квазиматричная логика"25. Табличные определения связок (М - возможно, Ь -необходимо):

р Мр Ьр

и и и/л

л и/л л

Ивлев говорит о естественном смысле необходимости и возможности. Например, если р - истинно, то оно возможно. Отсюда следует, что Мр -истинно. Однако из истинности р не следует истинность Ьр. Если р - ложно, то р не может быть необходимым высказыванием. Соответственно, Ьр в данном случае будет равно Л.

Особенностью логики Ивлева является детальный анализ, когда в таблице некоторое высказывание принимает дробное значение. Рассмотрим пример. Допустим, требуется построить таблицу для формулы ¿р -> М1р. Делается это следующим образом:

Ьр МЬр

и ии

-и и - - и

л л л

ЛЛ и - л л Обратим внимание на первую строку:

Ьр -> МЬр

И ИИ

-ии - - и

л л л

Формула может быть как истинной, так и ложной при р = И. Поэтому, мы имеем два случая:

25 Ивлев Ю. В. Табличное построение пропозициональной модальной логики // Вестник Московского университета. Серия «Философия». №6. Москва. 1973.

(При Ьр

Ьр МЬр

и и и и и и = И, формула МЬр также становится истинной).

Ьр -> МЬр

ли и — л и

Последняя строчка в свою очередь подразумевает еще один случай: когда М1р равна Л:

Ьр МЬр

ли и л л и

В этом параграфе диссертации осуществлено доказательство теоремы о полноте для двух систем: трехзначная модальная логика Лукасевича (Ь3т0С!) и педализированный вариант логики Клин и (К3то(1). Определения связок:

Ранее, Ю. В. Ив лев доказал подобную теорему для своей системы Соответствующая матрица для системы:

О II 1

ЯШ

О 1 J' 0 1 0 > "

111/2

1/2

1)1/2

1/2

0|1/2

Сравнительный анализ трех систем показывает, что система Ивлева Зг является обобщением двух остальных.

В 2008 году вышла статья «Недетерминированные семантики для логических систем»27. В ней представлены п-матрицы — особые обобщения обычных трехзначных матриц. Выбор значений для формул осуществляется из некоторого непустого множества значений. Недетерминированными они являются потому, что истинностное значение некоторой формулы не зависит однозначно от истинностных значений ее подформул (в отличие от "стандартной" логики), т.е. вместо функций вводятся квазифункции (в терминологии Решера и Ивлева). Если рассматривать методологическую составляющую, то данное свойство, согласно мнению авторов, продиктовано тем, что данные объективного мира не являются полными.

N-матрица представляет собой упорядоченную тройку <\\ О, 0>, где V есть непустое множество истинностных значений, Б - множество выделенных значений (подмножество V), О - есть множество функций приписывания истинностных значений формулам: V"—>2У. Т.е. И-матрица - это квазиматрица в терминологии Ивлева Ю.В. Логика Ивлева называется квазиматричной или индетерминированной. В рассматриваемой статье она названа нон-детерминированной. Заметим, что некоторые логики, работающие в области нон-детерминированой логики, явно ссылаются на Ивлева. Так, в материалах конгресса по универсальной логике после тезисов Арнона Аврона

26 Ивлев Ю. В. Модальная логика. Москва. 1991.

27 Атоп Avron, Anna Zamansky. Non-deterministic semantics for logical systems. D. Gabbay and F. Guenthner (eds.), Handbook of Philosophical Logic.Kluwer Academic Publishers. 2008

опубликованы тезисы Luis Farinas del Cerro и Newton Perón28, где излагается преобразование логики Ивлева Sa+ в шестизначную нон-детерминистскую логику.

Публикации по теме диссертации:

Статьи в журналах из рекомендованного списка Высшей аттестационной комиссии:

1. Кадыг-оол X. К. Худойдодов Ф. История развития семантики возможных миров для модальной логики // Известия Академии Наук Республики Таджикистан, Серия «Философия и право», №2, 2011. С. 8-11.

Публикации в материалах международных и всероссийских конференций:

1. Кадыг-оол X. К. Исследования X. Макколла // Современная логика: Проблемы теории и истории (Материалы XI Международной конференции 24-26 июня 2010 г.), Санкт-Петербург, 2010. С. 71-74

Статьи в других изданиях:

1. Кадыг-оол X. К. Истоки квазиматричной логики // Известия Академии Наук Республики Таджикистан, Отделение общественных наук, №2, 2013. С. 71-74.

2. Кадыг-оол X. К. Основные идеи модальной логики К. Льюиса, их краткая предыстория // Научные труды Тывинского государственного университета. Выпуск VI. Том I. Кызыл, 2008. С. 283-285.

3. Кадыг-оол X. К. Квазиматричная логика: Райхенбах, Решер, Ивлев //' Научные труды Тувинского государственного университета. Выпуск IX. Том I. Кызыл, 2011. С. 346-348.

28 Luis Farinas del Cerro, Newton Peron. Handbook of the 4th World Congress and School on UNIVERSAL LOGIC. March 29 - Apriel 7,2013. Rio de Janeire. P. 115

Отпечатано в копицентре « СТ ПРИНТ » Москва, Ленинские горы, МГУ, 1 Гуманитарный корпус, e-mail: globus9393338@yandex.ru тел.: 8 (495) 939-33-38 Тираж 100 экз. Подписано в печать 01.11.2013 г.

Текст диссертации на тему "Основные этапы развития и формирования современной модальной алетической логики"

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА ФИЛОСОФСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

0^201365^? На правах рукописи

ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ РАЗВИТИЯ И ФОРМИРОВАНИЯ СОВРЕМЕННОЙ МОДАЛЬНОЙ АЛЕТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

Диссертация на соискание ученой степени кандидата философских наук

Специальность 09.00.07 - Логика

Москва-2013

Содержание:

ВВЕДЕНИЕ..............................................................................................................3

1. ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ МОДАЛЬНОЙ АЛЕТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ (от Аристотеля до Лейбница).................................................................................9

1.1. Исследования Аристотеля...............................................................................9

1.2. Исследование модальностей в Средние века.............................................19

1.3. Исследования Лейбница................................................................................24

2. СОВРЕМЕННЫЙ ЭТАП: модальные логики, построенные как синтаксические системы.......................................................................................28

2.1. Обобщенная схема развития.........................................................................28

2.2. Хью Макколл..................................................................................................34

2.3. И. Е.Орлов......................................................................................................51

3. СОВРЕМЕННЫЙ ЭТАП: семантика алетической модальной логики.......54

3.1. Обобщенная схема развития.........................................................................54

3.1.1. Алгебраическая семантика.........................................................................54

3.1.2. Теоретико-модельная семантика...............................................................63

3.2. Матричные и квазиматричные системы......................................................79

ЗАКЛЮЧЕНИЕ...................................................................................................105

Список использованной литературы.................................................................107

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Модальная логика является одним из самых интересных и перспективных разделов неклассической логики. В результате ее разработки расширяется круг дисциплин, в которых используются те или иные методы логики (от анализа философской аргументации до теоретической информатики). Достаточно привести высказывание Р. Гольдблатта: «модальная логика в наши дни рассматривается шире [чем раньше как наука о необходимой и возможной истинности] как изучение множества лингвистических конструкций, которые определяют условия истинности высказываний, в том числе высказываний о знании, верованиях, рассуждениях о времени и этике» [41, р. 1]. Столь интенсивное развитие ставит задачу исторического анализа результатов, которые оказали влияние на формирование современной модальной логики.

В истории модальной логики есть такие теории, которые можно условно назвать вторичными, однако их результаты оказались весьма значимыми для общего развития: их анализ в качестве составных частей целостного подхода в рамках того или иного периода можно обозначить как еще одну актуальную проблему.

Степень разработанности проблемы. Литературу, которая была использована при написании данной работы, можно подразделить на две категории - на литературу о самой логике алетических модальностей и по ее истории. К первой категории можно отнести все монографии, учебные пособия, статьи и прочие исследования, в которых анализируются те или иные свойства модальной логики. Поскольку таких книг большое количество, приведем лишь несколько наиболее известных работ (характерных для разных периодов): Р. Фейс, «Модальная логика» [25], Г. Е. Хьюз и М. Дж. Крессвелл, «Введение в модальную логику» (а также «Новое введение в модальную логику»)[35, 36], А. Чагров, М. Захарьящев, «Модальная логика» [34].

Что касается второй категории, то в настоящее время существует несколько основных работ, посвященных истории модальной логике. Прежде всего, стоит отметить работу Я. И. Слинина[23], в которой были наиболее подробно рассмотрены исследования в рамках периода, который сейчас принято называть синтаксическим.

Среди современных работ одним из самых полных и подробных является исследование Р. Гольдблатта [41]. В нем прослежено развитие модальной логики вплоть до 90-х гг. XX века.

Далее стоит упомянуть о совместной работе Р. Буля и К. Сегерберга [32]. В ней приведена классификация этапов развития модальной логики -синтаксическая традиция, алгебраическая и теоретико-модельная. В той части работы, которая посвящена истории модальной логики, все эти направления достаточно подробно описаны. Проблема этапов развития модальной логики затрагивается в статье А. В. Чагрова [29]. Краткая история представлена в книге Ю. В. Ивлева [7].

Цели и задачи исследования. Главная цель данной работы -исследование истории развития модальной алетической логики. Для достижения указанной цели сформулированы несколько задач:

1) разделение истории модальной логики на несколько основных этапов;

2) выявление в каждом из выделенных этапов различных направлений и подходов;

3) обособление и анализ отдельных исследований, направлений, ранее не в полной мере изученных.

Кратко поясним задачи. 1) Деление истории модальной логики опирается на идеи Буля и Сегерберга [32], а также Чагрова [29], которые выделяют три условных этапа: синтаксический, семантический и "продвинутый" (англ. advanced). 2) В каждом из этапов можно выделить программы исследований, которые предлагали разные логики: Льюис и Гедель, Леммонн и Тарский с Ионнсоном, Крипке и Хинтикка и т.д. 3) В недостаточной мере изучены (по крайней мере в отечественной логико-исторической литературе) работы X Макколла, исследования И. Е. Орлова, формирование семантики возможных миров, история развития квазиматричной логики.

Определение модальной логики (и алетической в частности) представляет собой некоторую сложность ввиду разнообразия подходов, а также множества ее ветвей развития. В модальных высказываниях содержится дополнительная оценочная информация относительно ситуаций или взаимосвязей между ними, или присущности признаков предметам [4, стр. 300]. Существуют несколько основных типов модальностей, т.е. терминов, посредством которых осуществляется оценка, квалификация ситуаций, взаимосвязей между ними и присущности свойств и отношений предметам в модальных высказываниях [там же]. Например, выделяют алетические («необходимо», «возможно», «случайно», «невозможно» и др.),

временные («было», «всегда будет» и др.), деонтические («обязательно», «запрещено» и др.), эпистемические («доказано», «опровергнуто» и др.) и другие модальности.

В статье Чагрова [29] дается два эквивалентных определения модальной логики:

• «модальной логикой является всякая совокупность модальных формул, истинных в некотором классе обобщенных шкал»1.

Кроме этой периодизации мы разделим историю логики на два основных периода, которые условно назовем предыстория модальной логики и современный этап. Переходными работами от одного этапа к другому являются исследования X. Макколла и К. Льюиса.

Научная новизна работы. Относительно некоторых этапов развития представлена более полная история алетической модальной логики. Например, при описании реляционной семантики введено исследование

1 «Шкала» - русскоязычный термин, используемый в указанной статье, для обозначения фрейма.

работ С. Кангера, в описании топологической интерпретации модальной логики - работы Танг Цао Чена и т.д. Описана и проанализирована эволюция теории модальностей X. Макколла, начиная с его самых первых работ в журнале Mind. Кроме того, впервые исследована история развития квазиматричной логики, начиная с идей Ханса Райхенбаха. Проведен сравнительный анализ квазиматричных систем Ивлева с модальной трехзначной логикой Лукасевича и «модализированной» версией трехзначной логики Клини.

Основные положения, выносимые на защиту.

2. Выявлено, что формирование квазиматричной логики начинается с работ X. Райхенбаха. Далее этот подход был развит Н. Решером. Он сформулировал квази-функциональный вариант трехзначной логики Лукасевича (назовем их для удобства L3quasj и L3 соответственно) путем обобщения определений логических связок L3. Примерно в это же самое время в работах Ивлева формируется квазиматричный подход в модальной логике. Система Ивлева Sr является модальным «расширением» L3quasj, следовательно, трехзначная модальная логика Лукасевича является фрагментом Sr. Проведен сравнительный анализ системы Sr Ивлева и расширенными (модальными) версиями трехзначных логик Лукасевича и Клини.

3. В обзорной части работы, в результате исследования истории алетической модальной логики, включающей основные этапы в её развитии

(Древняя Греция, Средневековье, исследования Лейбница, современная логика (синтаксический подход с интуитивной семантикой, алгебраический, теоретико-семантический), было также получено несколько результатов. К примеру, концепция возможных миров - не единственный вклад Лейбница в развитие модальной логики. Немецкий ученый дал точные определения операторам "необходимо" и "возможно", а также дал методологические пояснения, как следует трактовать необходимость. Согласно им, некоторые высказывания считаются необходимо истинными, если путем анализа входящих в них терминов можно показать, что мы приходим к тождеству. Анализ идей И. Е. Орлова показал, что задолго до К. Геделя была высказана идея модального расширения логики. Также русским логиком был сформулирован аналог правила Геделя, согласно которому оператор "доказуемо" можно поставить перед любой теоремой или аксиомой.

Научно-практическая значимость работы. Теоретическая значимость работы заключается в систематическом подходе к рассмотрению истории развития модальной алетической логики. Материалы и выводы диссертационного исследования могут иметь практическое применение при разработке спецкурсов по модальной логике и истории логики.

1. ИСТОРИЯ ВОЗНИКНОВЕНИЯ МОДАЛЬНОЙ АЛЕТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ (от Аристотеля до Лейбница)

1.1. Исследования Аристотеля

Аристотель считается основателем логики как науки. Силлогистика, сформулированная великим философом, считается одной из первых дедуктивных логических систем. Кроме этого, Аристотелю, скорее всего, принадлежит первое детальное и значимое исследование модальностей. Например, Р. Фейс вообще считает, что модальности как таковые в логику были введены Аристотелем [24, стр. 16]. Анализ модальностей в работах великого философа невозможен без учета его онтологии. Следует различать онтологические и логические модальности. Первые играют важную роль в метафизике, онтологии. Среди важнейших аспектов анализа аристотелевской теории модальностей следует выделить следующие: а) модальная силлогистика, б) обособленный анализ модальностей «возможно» и «необходимо», а также их соотношение. Помимо указанных двух проблем, по всей видимости, именно Стагириту принадлежит первая попытка разделить модальности de re и de dicto, хотя стоит отметить, что это различение не является четким и последовательным. Это проявляется при анализе модальной силлогистики [4, стр. 307].

Очевидно, что аристотелевская модальная логика оказала огромное влияние на формирование дальнейших взглядов в этой области. Аристотель по праву может считаться основателем и первым серьезным исследователем модальной логики. Подтверждением этого являются рассмотренные ниже модальности «возможно» и «необходимо» в интерпретации Стагирита. Модальная силлогистика (анализ которой будет представлен ниже) и зачатки временной логики являются еще одним подтверждением нашего тезиса.

Опишем философские предпосылки возникновения модальной логики у Аристотеля. В его онтологии различаются две сферы сущего: бытие в возможности и бытие в действительности, или иначе, потенциально сущее и актуально сущее. Эти положения даны в третьей книге «Метафизики» [19, стр. 9]. Более подробно этот тезис выглядит следующим образом: вещи (события), если только они не невозможны, либо действительны «без

возможности» (непреходящи), либо «никогда» не действительны, но только возможны, либо действительны «вместе с возможностью» [там же].

Я. Хинтикка подчеркивает важную роль модальностей в метафизике Аристотеля. По мнению финского логика, Стагирит проводил деление модальностей по разным основаниям: физические и логические, разные виды возможностей, необходимости и т.д. Если говорить об онтологическом значении модальностей, то здесь, согласно мнению финского логика, стоит, прежде всего, отметить их взаимоотношение с важнейшим понятием философии Аристотеля - «субстанцией» [42, р. 77]. Субстанция является единой, она объединяет в себе форму и материю:

«И субстрат есть сущность; в одном смысле это материя (я разумею здесь под материей то, что, не будучи определенным нечто в действительности, таково в возможности), в другом - существо (logos), или форма - то, что как определенное сущее может быть определено [только] мысленно, а третье - это то, что состоит из материи и формы, что одно только подвержено возникновению и уничтожению и безусловно существует отдельно, ибо из сущностей, выраженных в определении, одни существуют отдельно, а другие нет» [Мет�

Полный текст автореферата диссертации по теме "Основные этапы развития и формирования современной модальной алетической логики"

Текст диссертации на тему "Основные этапы развития и формирования современной модальной алетической логики"

Похожие темы диссертаций