автореферат диссертации по философии, специальность ВАК РФ 09.00.07
диссертация на тему: Полимодальные фрагменты временных логик

Полный текст автореферата диссертации по теме "Полимодальные фрагменты временных логик"

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ МБ. ЛОМОНОСОВА

Диссертационный совет Д. 053.05.20 по философским наукам при МГУ

На правах рукописи ФРИМУЧКОВА ЕКАТЕРИНА ВЛ\ЦИМИРОВНА

ПОЛИМОДАЛЬНЫЕ ФРАГМЕНТЫ ВРЕМЕННЫХ ЛОГИК

Специальность 09. 00. 07 - логика АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата философских наук

Москва -1997

Диссертация выполнена на кафедре логики философского факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова.

Научный руководитель — доктор философских наук

Смирнов В.А.

Официальные оппоненты — доктор философских наук

Кузнецов В.Г.

кандидат философских наук Герасимова И. А.

Ведущая организация — Московский Государственный

Педагогический Университет, кафедра философии

Защита состоится" " 1997 г. в часов на

заседании Диссертационного Совета Д. 053.05.20 по философским наукам при МГУ им. М.В. Ломоносова по адресу:

119899, Москва, Воробьевы горы, 1-й корпус гуманитарных факультетов МГУ, философский факультет, 11 этаж, аудитория

С диссертацией можно ознакомится в читальном зале библиотеки 1-го корпуса гуманитарных факультетов МГУ им. М.В. Ломоносова.

Автореферат разослан" " 1997 года.

Ученый секретарь Диссертационного Совета

Голованова И.П.

1.0бщая характеристика исследования.

АКТУАЛЬНОСТЬ ИССЛЕДОВАНИЯ. Проблема связи модальных и временных понятий имеет давнюю традицию. Можно выделить различные аспекты этой проблемы. В частности, еще в античности предпринимались попытки определить понятия необходимости и возможности с помощью временных терминов. Наиболее известными являются так называемые "аристотелево" и "диодорово" определения модальностей. Так, Диодор Кронос в своем так называемом "главном аргументе" обосновывает свое понимание возможного как того, что

истинно или будет истинным / в современной символике: О А з А V РА/. Соответственно, необходимое - это то, что истинно и всегда будет истинным/ □ А = А & 6А/. В работах Аристотеля можно найти некоторые подтверждения понимания им необходимого как того, что всегда было, есть и будет, а возможного, как того, что когда-то было, или есть, или

когда-нибудь будет/ □ А = НА & А & ОА и О А = РА V А V БА/.1

Эти два различных определения основаны на допущении, что "никакая подлинная возможность не остается нереализованной", называемом "принципом полноты". Подобное понимание возможности ведет к фатализму, так как альтернативы будущего не являются возможными. Поэтому представляются интересными определения модальных терминов через временные, основанные на иных предпосылках, в частности на понимании возможного как того , что

1 Следует отметить, что, конечно же, как бы решительно Аристотель не допускал, что что-то возможно, если и только если оно когда-то случается, он в большинстве случаев не думал об этом как об исчерпывающем понимании возможности.

может и не произойти. Такое определение было предложено В.А. Смирновым в одной из своих работ2: □А=НОА

ОА=РБА

В дальнейшем о диодоровом определении будем говорить как о ВГ 1, об аристотелевом - как о БГ 2 и об определении, данном В.А. Смирновым - как о БГ 3.

Известно, что при рассмотренных выше определениях некоторые модальные логики оказываются фрагментами сответствующих временных логик. В контексте дальнейшего изучения связей модальных и временных понятий представляется актуальным исследовать связи между модальностями различных видов , различающимися по способу их определения в терминах временной логики в различных системах временной логики, а также рассмотреть возможность аксиоматизации полимодальных фрагментов временных логик.

СТЕПЕНЬ РАЗРАБОТАННОСТИ ПРОБЛЕМЫ. Диодорово определение модальностей, будучи связанным с так называемым "главным аргументом" Диодора Кроноса, всегда привлекало внимание исследователей. Еще в античности о диодоровом определении модальностей много писали. Однако наибольший интерес диодорово определение модальностей стало вызывать в последние годы, после того как А.Прайор, пытаясь дать реконструкцию модальных взглядов Диодора Кроноса, создает первую временную логику. Н.Решер, Дж. Сыотула, Б.Мейтс, У. и М. Ниль, А.С.Карпенко, В.А.Смирнов, В.В.Воробьев - это далеко не полный перечень исследователей, которые писали о диодоровом

2 Смирнов В.А. Определение модальных операторов через временные.// Модальные и интенсиональные логики. М , 1982.

определении модальностей, изучая собственно диодорово понимание модальностей или в связи с другими проблемами.

Теория модальностей Аристотеля во все времена вызывала не меньший интерес, чем "главный аргумент" Диодора. Аспект теории модальностей, связанный с рассматриваемым в диссертации "аристотелевым определением модальностей", подробно исследуется Я.Хинтиккой.3 Именно Я. Хинтикка убедительно показывает, что подобное понимание модальностей было одной из парадигм теории модальностей Аристотеля. Аристотелево определение модальностей также изучалось С.Кнуутилой, который отмечает, что связанная с аристотелевым определением модальностей статистическая интерпретация модальных понятий, применяющаяся к временным неопределенным предложениям существенно определяла предпосылки мышления от Аристотеля до конца XIIT в..4

Поскольку модальные понятия выразимы в терминах временной логики, то вопрос о том, какую систему модальной логики содержит в качестве фрагмента та или иная временная логика при некотором определении модальных операторов приобретает важное значение. А.Прайор положил начало определенной традиции изучения этого вопроса, когда, подробно рассматривая рахтичные временные логики, указал, какую модальную логику содержит в качестве фрагмента при диодоровом определении модальностей каждая из них.5

Изучением модальных фрагментов временных логик занимались многие исследователи. Большой вклад в исследование модальных

3 Hintikka J. Time and necessity. Studies in Aristotle's theory of modality. Oxford. 1973.

4 Knuuttila S. Time and possibility in scolasticism. // Reforging the great chain of being: Studies of the history of modal theories. Dordrecht 1981.

5 Prior A. Past, present and future .

фрагментов временных логик внес В.А.Смирнов. Во-первых, им были изучены модальные фрагменты определенных временных логик при различных определениях модальных операторов через временные и, во-вторых, он рассматривает методы доказательства погружения модальных логик во временные.6 Особо следует отмстить, что В.А. Смирнов предлагает новое определение модальных операторов через временные. В основе этого определеш1я лежит понимание возможного как того, что может и не произойти. В этом - принципиальное отличие определения В.А. Смирнова от аристотелева и диодорова определений. Исследование модальных фрагментов временных логик подвели В.А.Смирнова к формулировке следующей проблемы: рассмотреть временную логику с тремя типами модальностей, введенных соответственно трем различным определениям; аксиоматизировать модальный фрагмент при трех различных определениях.7 Эта проблема и является центральной в данном диссертационном исследовании.

ЦЕЛЬ И ЗАДАЧИ ИССЛЕДОВАНИЯ. Целью диссертации является исследование полимодальных фрагментов временных логик, т.е. систем с двумя или тремя типами модальных операторов /различным образом определяемых через временные операторы/.

В соответствии с поставленной целью в работе решаются следующие задачи:

—Выявить допущения, лежащие в основе различных определений модальных операторов через временные.

6 Смирнов В.А. Определение модальных операторов через временные . II Модальные и интенсиональные логики. М., 1982.

7 Смирнов В.А. Логические методы научного познания. М., 1987.

—Установить связи между модальностями , различающимися по способу их определения в терминах временной логики применительно к различным системам временной логики.

—Изучить возможность аксиоматизации полимодальных фрагментов временных логик/ т.е исследовать связи между системами, содержащими модальности различных видов и соответствующими временными логикам.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА ДИССЕРТАЦИИ заключается в том, что в ней исследуется новый аспект связи модальных и временных логик: рассматривается проблема аксиоматизации полимодальпых фрагментов временных логик (т.е. модальных фрагментов при двух или трех различных определениях модальных операторов через временные). Получены следующие результаты, которые выносятся на защиту:

—Выявлены связи между модальностями различных видов. Показано, что в некоторых системах временной логики модальности одного вида выразимы через итерацию модальностей другого вида: в системе временной логики Кс + НА и РА модальности в смысле определения ОГ 3 выразимы через итерацию модальностей в смысле определения БГ 2 и в смысле определения 1, а в рамках временной логики Кь + НА з РА модальности в смысле ОГ 3 выразимы через итерацию модальностей в смысле Df 2.

—На основе выделенных связей аксиоматизирован ряд систем, содержащих модальности различных видов и являющихся дефинициально интерпретируемыми в определенных системах временной логики. Установлено, что ни одна из рассмотренных полимодальных систем не является модальным фрагментом соответствующей временной логики. Отмечается, что не представляется возможным аксиоматизировать

полимодальные фрагменты временных логик со стандартными условиями сопряженности прошлого и будущего.

—Рассмотрены некоторые временные логики с нестандартными условиями сопряженности прошлого и будущего - КГ и КГ Аксиоматизированы бимодальные фрагменты КГ + НА => РА и К^ + НА =э

□ - К

РА при определениях СГ1 и БГ2./Показано, что система Т + Ы А з □ А является модальным фрагментом КГ + НА => РА при БГ 1 и БГ 2 и что система ^ + + ФА - модальный фрагмент КГ + НА гз

РА при этих же определениях. /

Аксиоматизирован бимодальный фрагмент временной логики

О - К

КД при определениях БГ 1 и ОГЗ. / Показано, что система Б4 +8А э

□ А + Л => С $А + О $А => ФЛ V О А погружается в К,4 при ОГ 1 и ОГЗ /.

МЕТОДОЛОГИЯ. При написании работы использовался метод формальных семантик, а также методы сравнения теорий, сформулированных в различных языках.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ ДИССЕРТАЦИИ определяется возможностью использования ее результатов в научно-исследовательской работе, а также в учебно-педагогической работе при чтении спецкурсов по логике.

АПРОБАЦИЯ. Основные положения диссертации отражены в публикациях автора. Результаты исследования докладывались на аспирантских семинарах кафедры логики философского факультета МГУ им. М.В Ломоносова. Диссертация обсуждалась на заседании кафедры логики философского факультета МГУ им. М.В.Ломоносова. Материалы диссертации использовались при чтении лекций в Российском университете дружбы народов

СТРУКТУРА РАБОТЫ.. Структура и объем диссертации определены целью и задачами исследования. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и библиографии.

Н.Основиое содержание работы.

Во введении обосновывается выбор темы , ее актуальность, цели исследования.

В первой главе "Различные определения модальных операторов через временные." рассматриваются три способа определения модальных операторов через временные - так называемое диодорово определение модальностей, так называемое аристотелево определение модальностей и определение модальностей, предложенное В. А. Смирновым.

В первом параграфе первой главы рассматривается способ определетгая, называемый диодоровым . Диодорово определение модальностей связано с известным "главным аргументом" Диодора Кроноса, Единственное достаточно обширное сообщите о "главном аргументе" есть у Эпиктета. Три высказывания считаются несовместимыми:

( 1) Все прошедшее истинное необходимо.

(2) Невозможное не следует из возможного.

( 3 ) Возможное есть то, что не есть истинное и не будет.

Диодор считал несовместимыми первое и второе положения, на основании чего, отрицая третье, получил, что

( 4 ) Ничто не есть возможное, что не есть истинное и не будет истинным. Об определении модальностей Диодором писал также Боэций, опиравшийся на отрывки из произведений Цицерона: " Диодор определяет

"возможность" как то, что либо уже есть, либо может быть истинным / quod aut est aut erit/, "невозможность" как то, что, будучи ложным, не может оказаться истинным / quod cum falsum, non erit verum/, "необходимость" как то, что, будучи истинным, не может оказаться ложным / quod cum verum sit non erit falsum/..."8

Определение модальностей, предложенное Диодором, в современной символике имеет следующий вид: Df 1 □ А = А & GA

ОAv FA

Во втором параграфе первой главы рассматривается способ определения модальных операторов через временные, называемый аристотелевым. При аристотелевом подходе модальности вводятся следующим образом:

Df 2 □ A s НА & А & GA

О А = PA V Av FA Необходимость здесь отождествляется с вечностью, т.е. некая ситуация, представленная высказыванием А, является необходимой, если она имеет место всегда, в любой момент времени. В соответствии с аристотелевым определением возможности, ситуация, представленная высказыванием А, является возможной только если данная ситуация имела место в один из моментов времени, предшествующих настоящему моменту времени, или имеет место в настоящий момент, или будет иметь место в один из моментов, следующих за настоящим моментом.

Следует отметить, что Аристотель нигде не определяет модальные понятия чисто во временных терминах, однако ряд предпосылок, принимаемых им , свидетельствуют о том, что подобное

0 Стяжкин Н.И. Формирование математической логики. M., 1967.

понимание модальностей было одной из парадигм его теории модальностей.

Ряд высказываний Аристотеля показывает, что одним из допущений его теории модальностей является так называемый "принцип полноты" - / Р / : Никакая подлинная возможность не остается нереализоватюй. Т. е., в соответствии с принципом полноты, любая возможность уже реализовалась, реализуется в настоящий момент, или будет реализована в какой-то момент времени: все возможное в конце концов случится.

История этого допущения и его роль в западном мышлении изучалась А.Лавджоем.9 Он, впрочем, полагал, что Аристотель не принимал и не использовал этот принцип. Большой вклад в изучение "принципа полноты" внес Я. Хинтикка. В одной из своих работ он показал несостоятельность утверждения А. Лавджоя об отрицании Аристотелем принципа полноты и обосновал наличие этого принципа среди допущений теории модальностей Аристотеля.

На основании наличия принципа полноты среди допущений теории модальностей Аристотеля можно утверждать, что статистическая интерпретация модальных понятий, применяющаяся к временным неопределенным предложениям - одна из концептуальных предпосылок мышления Аристотеля.

Ранее было охарактеризовано определение модальностей Диодором Кроносом. Очевидно, что он в своем определении дал последовательное применение принципа полноты в логике - "возможное есть то, что либо есть либо будет истинным."

9 Lovejoy A. The great chain of being: A study of the history of an idea. Cambrige 1936.

10 Hintikka J. Time and necessity: Studies in Aristotle's theory of modality. Oxford 1973.

Т.о., в основе аристотелева и диодорова определений лежит "принцип полноты". Подобное понимание возможного ведет к фатализму. Поэтому вызывают интерес определения, основанные на иных предпосылках. Одно из таких определений было предложено В А. Смирновым. Он исходит из понимания возможного как того, что могло бы быть. Если нечто возможно, то не исключается ситуация, когда его не было, нет и не будет Определение модальностей, предложенное В.А. Смирновым, имеет следующий вид: БГЗ □ А = ГЮА 0 А= РБА

В.А. Смирнов поясняет это определение следующим образом. Он предлагает изобразить временную зависимость в виде древовидного графа, путь слева направо - в будущее, путь справа налево - в прошлое.

Пусть а - настоящий момент, Ь - момент, предшествующий а , пусть с - состояние, достижимое из Ь. Тогда не исключается случай, что А истинно в с, но не истинно ни в момент а, ни в один из предшествующих а моментов и ни в один из следующих за а моментов, В этом случае

высказывание 0 А , согласно данному определению, оказывается

истинным, несмотря на то, что А не является истинным ни в одной точке реальной истории. Конечно, если в а истинно "возможно А", то А может быть истинным в точке, лежащей между в и я, или в самой а, или в одной из точек, следующих за а. Но при каждом из этих условий при достаточно естественны* предпосылках истинно РРА.

Во второй главе "Полимодатьные фрагменты временных логик." исследуется возможность аксиоматизации полимодальных фрагментов временных логик и аксиоматизируются полимодальные фрагменты некоторых временных логик с нестандартными условиями сопряженности прошлого и будущего .

В первом параграфе второй главы исследуется взаимосвязи между модальностями различных видов, т.е. между модальностями в смысле определения О Г 1, модальностями в смысле ВГ 2 п модальностями в смысле БГ3 применительно к различным системам временной логики: — минимальной временной логике К( —Кс + НАгэРА/К^ + НАзННА + СА^ввА + НА о РА/ —Кь + НА з РА / Кс + РА & РВ =э Р(А & В) V Р(РА & В) V Р(А & РВ) +НАзРА/

—8Ь /Кь + НА з РА + в А => БА + БА & РВ з Р(А & В) V Б(РА & В) V Р(А & РВ)/

—Рсг /Кс + ОАзНА - ОАэД/.

В работе показано, что уже в минимальной временной логике К( существуют некоторые связи между модальностями трех видов: формулы ®ЛэЯАи^ЛэПА доказуема в К4 при БГ 1, БГ 2, ЭГ 3.

/Здесь и далее: □ ( 0 ) - необходимо( возможно ) в смысле определения ОГ

1, К ( Ф ) - необходимо ( возможно ) в смысле определения ОГ2 , 03 ( Ф ) -необходимо ( возможно ) в смысле определения БГ 3./ По мере перехода к

более сильным системам временной логики обнаруживаются новые связи между указанными модальностями. Так, в системе Кс + НА з РА модальности в смысле 3 выразимы через итерацию модальностей в смысле 2 и в смысле 3 - в Кс + НА => РА при определениях БГ I, ОГ2, ВГ 3 доказуема формула К А £ Ш Л. В системе Кь + НА з РА при определениях 2 и БГ 3 доказуема формула ЕЗ А = Ш А , т.е. применительно к Кь + НА з РА модальности одного вида выразимы через итерацию модальностей другого вида.

Следует отметить, что различение модальностей в смысле 2 и модальностей в смысле БГ 3 имеет смысл в пределах от К, до Кь + НА з РА , так как в системе 8Ь модальности этих двух видов сливаются / в БЬ + ОГ 1 + 2 + ОГ 3 доказуема формула К А 5 N А. / Заметим, что все три вида модальностей сливаются в Рсг./

Наличие связей между модальностями различных видов позволяет сделать предположение о возможности аксиоматизации полимодальных фрагментов временных логик / т.е. фрагментов на основе двух или трех рассмотренных выше определений/.

Сравнение теорий с помощью определений подробно рассматривается в одной из работ В .А. Смирнова." Там вводится, в частности , понятие дефинициальной интерпретируемости одной теории в другой. Пусть Т| - система модальной логики, Т2 - система временной логики, а БГ- определение модальных операторов через временные . Тогда Т| дефинициально интерпретируема в Т2 при выполнении следующего условия: Т] с Т2 + Б Г, т.е., Т] дефинициально интерпретируема в "Г2 если и только если Т) |- А => Т2 + Б Г |- А. Когда говорят, что некоторая система модальной логики Т) есть модальный фрагмент некоторой системы

" Смирнов В А. Логические методы анализа научного познания. М., 1987.

временной логики Т2 вместе с некоторым определением модальных операторов через временные, обычно имеют в виду, что множество теорем Т1 совпадает со множеством теорем Т2, сформулированных в терминах модальных операторов и пропозициональных связок, т.е. что Т2 есть консервативное расширение Т1 . Т.о, Т] - модальный фрагмент Т2 вместе с определением О Г, если и только если выполняются следующие условия:

1. Т1 с Т2 + IX/т.е. Т, 1- Л => Т2 ЯЯ А/

2. Если формула А, сформулированная в терминах языка теории Т1 доказуема в Т2 + то она доказуема в Ть

В указанной работе также предлагается следующий метод сравнения логических теорий, в соответствии с которым логические теории не расширяют за счет добавления определений, а устанавливают правила перевода или погружающие операции. Пусть Т] - система модальной логики, а Т2 - система временной логики. Пусть ср - перевод из Т) в Т2, т.е. Т1 ¡- А => Т2 [- ф (А), а ф - перевод из Т2 в Т1 , т.е. Т2 |- А => Т\ [- ф ( А). Если Т] переводима в Т2, а Т2 переводима в Ть и в Т1 доказуема формула А = ф ( ф ( А)), то Т1 погружается в Т2.

В первом параграфе второй главы строятся аксиоматические

системы с модальностями различных видов Т^Р - Тм^ - Тмй + А\...А„ , / где

Тм° - система модальной логики, являющаяся модальным фрагментом системы временной логики Тв при определении С>Г 1, или, по крайней мере, переводимая в Т» посредством перевода, соответствующего О Г 1;

Тм^ - система модальной логики, являющшося модальным фрагментом Тв при Df 2, или, по крайней мере, переводимая в Тв посредством перевода, соответствующего ОГ 2 ; Тм - система модальной логики, являющаяся модальным фрагментом Тв при Df 3 или, по крайней мере, переводимая в

Тв посредством перевода, соответствующего О Г 3; а А\..Ап - аксиомы, выражающие связь между модальностями различных видов/. Решается

вопрос, будет ли какая-то система Тм^ - Тм^ - Тм^ + А\...Ап полимодальным фрагментом соответствующей временной логики Тв, дополненной определениями 1, Df 2, 3.

Рассматривается система аксиом - ВЕ - В^ + А] + А2 . К аксиомам и правилам вывода КИВ добавляются следующие аксиомы и правила вывода:

1 .□( А з В ) з ( ПА з ШВ )

2.ПАзА

3.К(АзВ)з(ЫАзКВ)

4.К!АзА

5.АзН$А

6.К( А з В ) з ( КА з т)

7.КАзА

8.А з И $А

9.ИИАз&\ /Л)/ 10.13 Аз ПА /А2 /

|- А => |- I) А 0А = ][]ТА

|- а => n а ф а зп м1 а

А => |- й А

Эта система содержит модальную логику Т, которая является модальным фрагментом К, и модальную логику В, которая является модальным фрагментом К( как при ОГ2 так и при Df 3. В работе показано,

что - В^ - ВК + А\ + А2 дефинициально интерпретируема в при ОГ 1,

БГ 2,ШЪ I т.е. выполняется условие 'Г1 - В^ - В^ + А, + Л2 А => К, г БГ 1 + БГ 3 |- А /, или, в терминах погружающих операций, переводима

в ^ посредством перевода, соответствующего определениям БГ 1, БГ 2, БГ 3 / т.е. выполняется условие - ВЫ - ВЯ + А1 + А2 |- А => К{ |- ф ( А ) /. Однако не представляется возможным указать перевод из К1 в - В^ - ВК + А1 + А2 , т.е. выполнить условие К41- А => Т0 - ВК- ВИ + А\ + А2 |- ф (А ) . Т.о. , ТП- В^ - В^ + А\ + А2 не является модальным фрагментов К^ при БГ1, БГ 2 Б£ 3 . Также рассматривается система - В^ - + А.%. Эта система отличается от рассмотренной выше Т -В -В + А] + А2 наличием

аксиомы □ Л з □ □ , а также наличием аксиомы 8 А^ША / А4/ вместо

□ И К

аксиом КСЗАгэКАиНАзПА. Система Б4 - В - В + А4 строится на основе систем 84 и В. Модальная логика Б4 - модальный фрагмент времешюй логики Кс + НА => РА при определении БГ 1. Система модальной логики В дефинициалыю интерпретируема в Кс + НА з РА как при БГ 2, так и при БГ 3 /переводима посредством соответствующего перевода/. Следует отметить, что открытой является проблема, какую модальную логику содержит система Кс в качестве фрагмента при

определении БГ 2 и при определении БГЗ. В работе показано, что 84^ - В13

К

- В + А4 дефинициалыю интерпретируема в Кс + НА з РА при БГ1, БГ 2, БГ 3, но не является модальным фрагментом Кс + НА з РА при этих определениях.

„ „.П „Я , . , , С,П „15

Система ь4 - В - Ь5 + А4 + А$ отличается от системы ь4 - В

- В8 + Л4 наличием аксиом К Л э ХЯ А и ^ А - КЯ А/ Л5/. Эта система строится на основе систем модальной логики 84, В, Б5/. Б4 - модальный

фрагмент Кь + НА з РА при определении ОГ 1, В - дефинициально интерпретируема в Кь + НА з РА при определении О Г 2, а Б5 - модальный фрагмент Кь + НА з РА при определении ВГ З.Нерешенной является проблема, какую модальную логику содержит в качестве фрагмента Кь +

О к

НА з РА при определении Б£ 2. В работе показано, что система Б4 - В -К

Б5 А.\ - /Ь дефинициально интерпретируема в Кь + НА з РА при рассмотренных определениях. Однако она также не является модальным фрагментом Кь + НА з РА при данных определениях. Т.о., в первом параграфе второй главы показано, что, опираясь на наличие связей между модальностями различных видов, можно построить аксиоматические

полимодальные системы/ типа Тм° - Тм^ - Тм^ + А\..А„/, которые были бы дефинициально интерпретируемы в соответствующих системах временной логики при определениях ВГ 1, ВГ 2, БГ 3/ т.е. переводимы в соответствующие системы посредством перевода, соответствующего этим определениям/. Также показано, что никакая из рассмотренных систем

ТМУ - - Тм^ + А]..Ау, не является полимодальным фрагментом

соответствующей временной логики Тв. В частности, не представляется возможным указать такие определения временных операторов через модальные, при которых Тв была бы дефинициально интерпретируема в

ТО ГТ1 ГТ1 К , . .

м -1м - 1м + А]...Ап; иными словами, не представляется возможным

□ НИ указать перевод из Тв в Тм - Тм - Тм + А1..А„.

Интересно, что, если рассматривать системы временной логики без аксиомы А з НБА, то они оказываются дефинициально

„ □ „К ,,, В ,

интерпретируемыми в соответствующих им системах Тм - Тм - Тм -г

А\..Аъ! . Это подводит нас к рассмотрению логик с нестандартными условиями сопряженности прошлого и будущего.

Во втором параграфе второй главы аксиоматизируются полимодальные фрагменты для некоторых временных логик с нестандартными условиями сопряженности прошлого и будущего.

Логики с условиями сопряженности, отличными от стандартных, изучались В.А. Смирновым12 . В указанной работе отмечается , что семантика для временной логики строится на основе модельных структур с двумя отношениями достижимости < X, Ип, Яб > и что в стандартных временных логиках принимается, что Яп есть обращение Кб. Условие Я„аЬ з ЯсЬа детерминирует общезначимость формулы А з НРА, а условие Т^аЬ з КпЬа - общезначимость формулы А з ОРА. В.А. Смирновым приводятся формальные и содержательные соображения относительно изучения логик с нестандартными условиями сопряженности прошлого и будущего: отмечено, что стандартные условия сопряженности устанавливают очень жесткую связь между прошлым и будущим - принятие А з ОТА вызывает сомнения, так как , если нечто имеет место, то это не значит, что всегда было, что оно когда-нибудь будет; также отмечено, что ни одно расширение К( не содержит в качестве модального фрагмента Т, Б4 или 84.3 при определениях Df 2 и БГ 3.

В.А. Смирновым приводятся иные условия сопряжености , например, условие ЗЬ (ЯпаЬ & ЯбЪсО, детерминирующее общезначимость формулы А з РРА.

Изменив условия сопряженности прошлого и будущего, можно получить некоторые интересные результаты. В данном исследовании показано, что для некоторых логик с нестандартными условиями

12 Смирнов В.А. определение модальных оператров через временные.// Модальные и интосиональные логики. М., 1982.

сопряженности прошлого и будущего можно дать аксиоматизацию полимодальных фрагментов при определениях Df 1, Df 2, Df 3. / В первом параграфе второй главы показано, что для временных логик со стандартными условиями сопряженности прошлого и будущего это не представляется возможным несмотря на наличие связей между модальностями трех видов в указанных системах временной логики ./ В частности, аксиоматизируются бимодальные фрагменты системы Kt + НА з РА и системы КГ + НА з РА при определениях Df 1 и Df 2.

Логика Kt= + НА з РА отличается от Kt + НА з РА отсутствием аксиомы А з GPA и наличием аксиомы А з PFA вместо аксиомы А з IIFA. Показано, что КГ + НА з РА при определениях Df 1 и Df 2 содержит в качестве модального фрагмента систему Т^ ^ + А2. К аксиомам и правилам вывода КИВ добавляются следующие аксиомы и правила вывода:

□(Аз В) 3(0 А зП В)

□ АзА

N(A з В) з (IM А з S В)

К Аз А Ы Азй АУЛ2/

А => |- □ А ОА=1П1А

|- А => |- Ы A $As"|N1A

/Эта система является подсистемой ранее рассмотренной системы Г - В - В + А] +А2 ./

Логика КГ + НА з РА отличается от К( + НА з РА наличием

□

аксиомы А з PFA вместо аксиомы А з HFA. Показывается, что система Т

- S л

+- A2 + А з □ vA - модальный фрагмент Kt + НА з РА при

определениях Df 1 и Df 2.

Оригинальная временная логика ÍQ4 была предложена В.А. Смирновым. К аксиомам и правилам вывода КИВ добавляются следующие аксиомы и правила вывода:

1. Н(А з В) з (НА з НВ)

2. G(A з В) з (GA з GB)

3. A3GPA

4. А з PFA

5. FPA з РА v A v FA

6. НАзРА

7. НА з ННА

8. GA з GGA |-А=>|-НА |- А => |- GA

pa^IhIa fa^IgIa

В контексте изучения полимодальных фрагментов временных логик эта система интересна тем, что возможно аксиоматизировать ее полимодальный фрагмент при определениях Df 1 и Df 3. В диссертационном исследовании показывается, что Кк4 содержит в качестве

модального фрагмента систему S4° ~ 8 + Аю + Аи + Ап, которая получается добавлением к аксиомам и правилам вывода КИВ следующих аксиом и правил вывода:

1. Ш(Л з В) з ((1А з □ В)

2. U А з А

3. □ А => UJ А

4. s(adb)D(saDe в)

5jada

6. ¡8 А 3 т А

7. A r>.D $ А /410/

8. К А=> □ А /Л11/

9.0 $ A=3$AvQA /Л 12/ [- А => □ А |- А => |- К А

□ AslOlA Я А = А

В заключении излагаются результаты исследования и отмечаются некоторые проблемы, имеющие отношение к теме исследования.

Публикации. Содержание работы отражено в следующей публикации автора: К вопросу о различных способах определения модальных операторов через временные.// Вестник Моск. Ун-та. сер. Философия. 1993. № 5.