автореферат диссертации по философии, специальность ВАК РФ 09.00.01
диссертация на тему: Природа математического познания и его социально-культурная обусловленность

Полный текст автореферата диссертации по теме "Природа математического познания и его социально-культурная обусловленность"

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА II ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ имени В. II. ЛЕНИНА

Специализированный совет Д 113.08.05

На правах рукописи

МЕЙДЕР Вячеслав Александрович

УДК 510.21 + 15.131.1

ПРИРОДА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПОЗНАНИЯ II ЕГО СОЦИАЛЬНО-КУЛЬТУРНАЯ ОБУСЛОВЛЕН«ЮСТЬ

Специальность 09.00.0i — диалектический и исторический материализм

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора философских наук

Москва 1989

Работа выполнена на кафедре философии в Волгоградского ннженерно-стронтелыюм институте.

О ф и ц и а льн ые оппонент ы:

____доктор философских наук,

профессор САЧКОВ 10. В.

доктор философских наук, профессор СЕМЕНЧЕВ В. М.

доктор философских наук, профессор ПЕТРУШЕНКО Л. А.

Ведущая организация: Кафедра философии АН СССР.

Защита состоится «............» .............................. 1990 г. в 15 часов

на заседании специализированного совета Д 113.08.05 но защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук при Московском ордена Ленина и ордена Трудового Красного Знамени государственном педагогическом институте имени В. И. Ленина но адресу: 119891, ГСП, Москва-435, Малая Пи-ропжская, 29, ауд. 63.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГПИ имени В. И. Ленина но адресу: 119891, ГСП, Москва Г-435, .Малая Пироговская, 1.

Автореферат разослан «............» .............................. 1989 г.

Ученый секретарь специализированного совета

В. В. МИХАЙЛОВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Современная математика является чрезвычайно сложной динамической системой и занимает особое место среди наук. Её трудно отнести к одному из традиционно различаемых направлений в познаний - к наукам гуманитарным, естественным или техническим. Вместе с тем она находится с ними в диалектическом единстве, непосредственно взаимодействует, с экономикой, связана с искусством, этикой, философией и другими формами общественного сознания. Поэтому понять закономерности и движущие силы развития математической науки возможно' лишь при рассмотрении всей совокупности общественных явлений в их единстве н ьза-имодействии, на основе материалистического понимания историк и объективных законов природы и общества.

В математике нашего времени произошли глубокие революционные, изменения: существенно обновились её содержание, категориальный аппарат, методы исследования природных я социальных явлений, символический язык. В силу этого возросло социальное значение этой науки. Наступал новый этап в математизации научного знания. Создание ЭВМ привело к новому пониманию соотношения между математикой и производительными силами общества.

Возрастание роли математической науки в жизни общества и отдельного человека предельно актуализировало требование поиска механизмов её развития. В соответствии с этим усилилось и мото- , дологическое значение марксистско-ленинской философии в осмыслении социального статуса математики, в определении перспективных путей и стимулирующих факторов её развития, в объективации результатов математического познания. Проблема социально-культурной обусловленности математики осознается в настоящее время кпк. важная теоретическая и практическая задача.

Наша обращение к философско-методологическому анализу приводы и социально-культурной обусловленности математического попм-ния связано также с aj некоторым отходом математики от клпсспм:--свой её отрогости и однозначности, обнаружением и построение;,', ч науке "нелогичных" теорий с типа "нечетких" множеств или "нечет-' кой" логики); б) отступлением на"задний плав" представлений о математике как "свода абсолютных истин"; в? максимальным прий-,• лижением математики к материальному производству и технологическим процессам;.г) ролью математики в решении глобальных проблем

J

современности; д; о.:сбкм значением математического знания в фор.'.::розанпи научного, дпалекткко-материалистического ьировоз-зранпя у подрэстеацего поколения; о) наличием идеалистических и ;.:г-тгфиличсоких воззрений на природу математических объектов; к ) осознанием того, что каждый новый этап в развитии математической иьукл, квздоо новое фундаментальное открытие или направленно в ней выязллют в проблеме Лрироды математического познания нське мировоззренческие и методологические аспекты.

Кони-це^ко иоукосмкости современного производства, его широкая математизация и компьютеризация требуют соответствующей ¡.-¿тематической а логической подготовки учаще;:ся молодежи. То есть цель математического образования находится в зависимости от ссглслькшс задач общества, роста производительных сил и ¿ормпрования нодзш: производственных отношений. Причем, концепция возрастания роли математики в "союзе" с электронно-вычислительно,; техникой в решении научно-технических и социальных проедем предполагает особое внимание к естественно-математической подготовке учащихся, студентов.

Вместе с тем № никак не упускаем из виду, что развитие и совершенствование производственных, отношений обусловливают усиление гуманитарного аспекта в математическом познании и образовании. 'Лам представляется, что обращение к истории и философии математики, выявление мировоззренческой и логико-диалек-тичоско]; сторон математической науки, мировоззренческая направленность при обучении математике, реализация при этом законов традиционной формальной логики будут способствовать гуманизации как математического, так и общего образования. Необходимые предпосылки для этого лежат в самой математической науке, ибо, ' с одной стороны, она является "субкультурой" в системе общей культури, а с другой стороны,- самостоятельной "культурной системой ". Математика постоянно испытывает на себе влияние со стороны всех других компонентов культуры, а сама деятельность математиков проходит в конкретной социально-культурной среде.

Степень разработанности проблемы. Проблема природы объектов математики и стимулирующих Факторов её развития в центре внимания ученых со.времен Платона и Аристотеля. Но всякий раз как в математике совершались революционные открытия, качественно' . изменялось её содержание, совершенствовались методы и теории интерес к методологическим проблемам науки всё более и более

возрастал. Они привлекали и привлекают не только материков а

филосо;1)ов, но и фкзиков, биологов, историков, лкигз'лс-'оз, iicii-хологов и других представителей различных наук. В последч;.е два десятилетия.природа математического дознания исследол&лзсь довольно широким кругом специалистов з области taoeo):ск;о: .вопросов естествознания, математики и математической логик-/.. Практически в каждой-работе по философским проблема;.; ^атгкпт::-ки она неизменно находила то или иное отражение.

Выделенная нал® проблема предполагает использование результатов советских ученых, полученных ими при изучении природа математического познания, закономерностей его развития и диалектики математики, с А.Д.Александров, Б .В .Бирюков, Б.З.Гнедек-ко, Б.С.Грязнов, Н.И.Жуков, Н.А.Киселёва, Г.И.Рузавин, И.М.Яг-лом, С.А.Яновская и др.;; исследовании процесса математизации научного знания, формировании математических теории (.".С.Акгга -ров, И.А.Акчурин, А.Г.Барабашев, В.Э.Вонцехович, И.Г.Кодряну, И.С.Кузнецова, А.Н.Нысанбаев, Ю.Е.Петров, М.А.Розов, Г.И.Рузавин, А.К.Сухотин, Г.Г.Шляхин, Н.Н.Яненко и др.;; анализе основных направлений в основаниях математики и критике идеалистических концепций развития математики, природы её объектов л т.п. {Л.Г.Антипенко, Е.А.Беляев, И.Н.Бурова, Л.Д.Гетманова, В.Л.Кар-пунин, О.И.Кедровсгшй, В.СЛукьянец, А.А.Марков, Ы.И.Ноноп, В.Я.Перминов,'Ю.Л.Петров, Г.И.Рузавин, З.А.Сокулер, П.А.Шонкн и др.;; определении путей формирования научного, диалекткко-ма-териалистического мировоззрения учащихся и студентов с Б.В.Гне-денко, А.Г.Конфорович, Б.В.Пясковский, И.Ф.Тесленко, Ю.З.Зома-•ных, А.Я.Хинчин и др.). В той или иной мере рассматриваем^?) нами проблему, затрагивали в своих трудах математики И.О.Александров, В.М.Глушков, А.Н.Колмогоров, Н.Н.Моисеев, А.А.Самарский, А.Н.Тихонов, В.А.Успенский и другие; историки математики (Ф.А.Медведев, В.Н.Молодший, К.А.Рыбников, А.П.Юшкевич и др.;.

Важное значение в анализе и разработке естественнонаучного и математического знания, в исследовании понятийно-категориального аппарата специальных наук, стиля научного мышления, а также новейших интегративных тенденций в науке' имеют работы П.П.Гайденко, В.С.Готта,'Б.М.Кедрова, Л.А.Микепгиной, Ю.З.Сач-кова, В.С.Стёпина, А.Д.Урсула и: других ученик, педагогов.

Широкий круг философских проблем математики отражен а в ра-

ботах зарубежных ученых: Н.Бурбаки ( псевдоним группы Французских .математиков), Г.Вейля, К.Гёделя, Д.Гильберта, Ж.Дъёдонне, Г.Кантора, Х.Карри, М.Клайна, Ф.Клейна, ИЛакатоса, С.Маклей-на, А.Пуанкаре, Б.Рассела, Д.Я.Стройка и других. Одним из примеров обращения к социально-культурным факторам развития математики является книга Д.Я.Строжа "Краткий очерк истории математики". Анализируется предмет математики, особенности её абстракций, методы построения математических теорий, пути обоснования математики и другие философско-мировОззренческие, методологические, логические проблемы математики в работах Дж.Л.Белла, В.Гейтша, С.Слэвкова, Р.Уайлдера, В.Чендова и других. Большая группа зарубежных специалистов ( математиков, философов, логиков, социологов >концентрируется вокруг международного журнала "Философия математики" ("Philoeopbia i.'nt-hematica. An International Journal for the Philosophy of f.'odorn Mathematics"), . издающегося в CliiA i Норфолк ) с 1965 года. В своих работах они исследуют функционирование математики, стремятся определить ' тенденции и закономерности развития математики, её место в общечеловеческой культуре, соотношение мезду "чистой" и прикладное математикой к другие вопросы теории познания.

разработке общей концепции развития науки посвящена книга "Структура научных революций" американского ученого Т.Куна. В предисловии он признает свои "короткие и немногочисленные отступления" относительно роли технического прогресса, экономических и интеллектуальных условиях развития наук. Однако, с его точки зрения, развитие науки определяется внутренними ош-мапзнтшш ) закономерностями, взаимодействием научных сообществ* Т.Куп показывает, что развитие наук идет не путем эволюционного прироста знаний, а через периодически происходящие научные революции. То есть он не разрабатывает проблему соотношения эволюционных л революционных периодов в развитии науки-, проблему возникновения нового знания под влиянием внешних стимулов, оставляет несколько в стороне социально-экономические- факторы развития науки. Нам же представляется, что невозможно осуществить. анализ природы науки, понять её эвристические функции, стиль мышления ученых и другие проблемы теории познания без рассмотрения роли науки в жизни общества и отдельного человека, без анализа социально-культурных и экономических факторов ее развития. Решение подобных проблем предполагает органическое

i :

единство истории науки и гносеологии.

Исходя из того, что современная математика поднялась'нь новую ступень своего развития, что появились новые точки зрения на её предмет и основные направления развития, а процесс математизации научного знания и всех сфер жизнедеятельности человека приобрел новые черты, возникает необходимость как бы вернуться к традиционным философским проблемам математики и рассмотреть их с позиций сегодняшнего дня. При этом, как правило, обнаруживаются новые пути развития математики, новые воздействующие на неё факторы. Причем диалектика требует рассмотрения социально-культурных факторов развития математики во взаимосвязи с самой наукой (оо-циально-культурнне факторыз=математика), что позволяет увидеть активность и относительную самостоятельность взаимодействующих сторон. И ещё .одно обстоятельство направляло и усиливало нэпе внимание к поставленной проблеме. Речь идет о том, что в научно-исторической и учебной литературе по математике ещё довольно неполно раскрыт вопрос о гуманистическом предназначении математики, о месте математической науки в системе воспитания, о её возможностях в деле формирования научного мировоззрения и логического мышления учащихся, студентов.

Цель и задачи диссертационного исследования. Проблема природы математического познания предполагает исследование его сущности и отношения к' объективной реальности, а также характеристику гносеологических особенностей математических форм мышления и установления их связей с другими формами освоения человеком материального мира. Она непосредственно связана с системой факторов -развития математики. Поэтому основная цель настоящей работы -выявить систему факторов развития математики, показать значение математики в решении научно-технических и социальных проблем, в воспитании человека. Её реализация происходит на логико-гносеологическом и философско-ме'тодологическом уровнях, но под мировоззренческим углом зрения. Сама проблема природы математического' познания рассматривается нами как мировоззренческая и гуманиста ческая проблема.

Достижение поставленной цели в диссертации осуществляется пу тем решения следующих задач:

- дать классификацию социально-культурных факторов развития математики путем расчленения всей их совокупности как целого на группы по разным признакам; показать их взаимосвязь,;степень

воздействия и характер этого воздействия на математику;

- проследить реализацию этих факторов при происхождении исходных понятий математики, при развитии её понятийного аппарата, а также при формировании и функционировании1 некоторых современных теорий математики; ■

- раскрыть основные исторические этапы формирования представлений о предаете математики, а в соответствии с этим и изменения стиля математического мышления; выделить особенности современной математики и математического мышления; виявнть философско-' \ методологические и психолого-педагогические аспекты математического мышления;

~ показать основше направлеюш развития современной математики, их связь с практикой, с решением научно-техш1ческих и социальных проблем;

- выявить механизм взаимосвязи философского мировоззрения и математического познания, а тагае мировоззренческую и гуманистическую направленность математической науки;

- выделить основные пути и формы реализации воспитательных возможностей школьного курса математики.

Методология и источники исследования. Методологической осно-' вой исследования являются произведшим основоположшшов марксизма-ленинизма, в особенности "Математические рукописи" К.Маркса, "Анти-Дюринг" и "Диалектика природы" Ф.Энгельса, "Материализм и омиириокрптшшзм" и "Философские тетради" В.И.Лешша,

Материалы ХХУП съезда КПСС, XIX Всесоюзной конференции КПСС, февральского (1988 г.) Пленума ЦК КПСС, Съезда народных депутатов к друх'ие документы партии и государства, в центре внимания которых находятся проблемы перестройки и совершенствования производительных сил и 'производственных отношений нашего общества, определили гуманистическую, философско-кировоззренческую и социально-культурную направленность исследования. Основными источниками фактического материала для философскогми-ровоззренческого осмысления и решения поставленных в диссертации задач послужили, философско-математические. и историко-матема-шческие работы советских и зарубежных ученых.

Научная новизна исследования состоит в следующем:

- предложена новая систематизация и классификация факторов раз-' бйтия математического познания, которая приведена в соответствие с основными принципами диалектики.. На основе выделения дина-

мической система факторов развития математики возникает возможность иметь новый взгляд на природу математического познашы; Этой же системой определяются и место математики, и роль математического знания в исторически изменяющейся культуре;

- исходя из принципа единства исторического и логического и новых достижений в математике, а также диадектико-материалистичь-ского подхода к выявлению сущности предмета науки, определены новые специфические особенности современной матемаипси и выделены наиболее актуальные направления её развития, Показано, что с изменением предмета математики закономерно меняется и стиль математического мышления;

- впервые' раскрыта гуманистическая направленность ряда математических теорий, сформировавшихся во второй половине XX в., а также математики в целом. Гуманизм математики состоит в точ, что она способствует "очеловечиванию" природной и социальной среды, всё полнее удовлетворяет разнообразные потребности человека;

- обоснована объективная необходимость расширения традиционных принципов математического познания: критериев строгости, возможность альтернативных путей в построении математических теорий, в определении стратегических путей развития математики;

- в плане конкретизации языка математики и приближения его к более полному и точному познанию истины впервые построены таблицы значений истинности операций (отрицания, конъюнкции, импликации, дизъюнкции и эквиваленции) в восьмизначной логике;

- на основе анализа взаимосвязи между мировоззрением и математическим творчеством выявлены основные пути формирования диа-лектико-материалистического мировоззрения школьников в процессе обучения их математике; показано, что этой цели будет способствовать подведение школьников к осознанию ряда ключевых методологических положений математики;

- в целях систематической работы учителя математики по развитию логического мышления школьников предложены основные тема куроа логики, которые могут быть реализованы в процессе обучения математике; составлены программы операций (пересечение, вычитание, объединение) с объемами математических понятий для персонального компьютера (на языке "Бейсик" в Вильнюсской версии);

- в плане методической помош учителю математики выявлена перспективность объединения философско-методологических и психоло-го-педэгогяческпх аспектов математического познания в деле гуманизации педагогического процесса.

Кз защиту выносятся следующие положения:

- Понятие социально-культурной обусловленности математического познания, содеркашюм которого является реально существующая система взаимодействующих факторов (закономерностей, движущих сил), которая имеет общественную природу и'способствует прогрессу математики. Система включает в себя дво группы факторов (объективных и субъективных), одна из которых подразделяется как на Пригодные и общественные, так и на внешние (внематематические)

л внутренние (внутхиматематнчеекпе и логико-методологические). Связи между ними сложные и не однозначные. Через эту систему выражается прпрода и механизм происхождения понятий и тоорий мато-маттш, основ!ше направления ее развития, отношение к практике, гуманистическое значение теорий и методов науки. То есть можно говорить об определенной "социологии математики".

- Вывод о том, что замена теории множеств в основаниях математики на теорию категорий приводит к изменению понимания предмета современно;! математики, стиля мышления в ной, к разработке альтернативных подходов уке существующих разделов математики.

- Утверждение о том, что в современной математике (па примере, теорий: катастроф, нестандартного анализа, "нечетких" множеств) усилился гуманистический аспект, который проявляется помимо решения естсственних, технических и общественны:: проблем и во внесении склада в решонио экологических задач современности, а также в воспитаний интаплектуалышх, творческих, логических и особенно мировоззренческих способностей и качеств человека.

- Суждение о том, что "нечеткая" логика по своей сущности близка к многозначным и бесконечнозначннм математическим логикам,

■ что обосновывается построением таблиц истинности основных операций в восьмизначной логической системе.

- Для преодоления отставания от мирового уровня в некоторых областях математики необходимо, в частности, повысить научно-теоретический и методологический уровни подготовки учителя математики. Предлагается выявление следующих основных мотодологичсс- ■ кгос компонентов для такой подготовки: а) взаимосвязь материального и идеального в математическом познании; . б) лроиохоядо-

ние математических абстракций из потреоиостол практики и внутренней логики развития математики; в) характер отражошш математикой определенных сторон окружающего мира; г) значение мате, матического моделирования'в научном познании и в практике.

Теоретическая и практическая значимость работы. Нзушо-тоорв-тическив результаты диссертации имеют значение для укрепления союза между представителями философии, естествознания и математики. Анализ диалектики математического познания и выявление закономерностей его развития позволяют оценивать перспективные исследования в науке, совершенствовать процесс математического образования, а разработка взаимосвязи методологии и мировоззрения на материале математики создает необходимую базу для дальнейшего развития проблем философии. Непосредственно материал исследования может быть1 использован в учебно-педагогической работе при: чтении спецкурса студентам и аспирантам по философским вопроса?,: математики; проведении философских (методологических) соминароц преподавателей естественно-математических и технических дисциплин; изучении в учебных заведениях различного типа курсов философии и обществоведения, а также курсов "Математический анализ", "Вычислительная математика и программирование" в ледагогичсских институтах; освоении темы "Теория и методика преподавания предмета" программы курсов повышения квалификации учителей математики; разработке теш "Научное познание".

Определенные части содержания диссертации самим автором использовались в спецкурсе по "Истории и методология математики", а также в серии лекций (по теме "Математика в формировании у •школьников современной естественнонаучной картины мира, стойких материалистических представлений, атеистических взглядов") для студентов факультета математики и вычислительной техники волгоградского педагогического института им. А.С.Серафимовича, а также для учителей школ города и области по линии Волгоградского областного Института усовершенствования учителей. Материал диссертации нашел отражение в программе "Мировоззренческая подготовка студентов в процессе преподавания общетеоретических и специальных дисциплин" в ВолгЙСИ.

Апробация -работы. Основные положения и содержание диссертации отражены в монографиях, статьях и других публикациях автора, в числе которых монография "Ф.Энгельс и методологические проблемы математики" (Саратов:-СГУ, 1985). Диссертант выступав о доклада-

ш на: У1 Казахстанской мелшузовской научной конференции по математики и механике, посещенной 60-лотию Великой Октябрьской социалистической революции '(Алма-Ата, 1977 г.); межвузовской научно-теоретической конференщш, посвященной 70-летию книги В.К.Ленина "Материализм п эмпириокритицизм" (Пенза, 1979 г.); межвузовской научно-методической конференции "Мировоззренческая подготовка студентов при изучении ббщетеоретических и специальных дисциплин" (Новополоцк, 1963 г.); республиканской научно-методической конференции "Актуальные проблемы преподавания математического анализа в педагогических ВУЗах" (Ленинград, 1905 г.); расишринном теоретическом семинаре "ХХУ11 съезд КПСС и задачи активизации социального нозиания и практики" по линии регионального совета Поволжского отделения Философского об;цества СССР (Пенза, 1986 г.).

.Некоторые положения диссертаций апробировались в докладах автора на объединенном методологическом семинаре преподавателей философии вузов г. Волгограда (1980-1980 гг.), рассматривались они и в Институте повышения квалификации преподавателей общественных наук при Ростовском госуниъсроитете (1983 г.).

Диссертация обсуждалась на.кафедре философии ВолгИСП и на катсдре философии Московского государственного педагогического института имени В.И.Ленина.

Структура диссерттзж. Диссертация объемом в 351 страницу машинописного текста состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографии и двух приложений. Библиография включает 593 наименования, в том числе 78 - на иностранных языках.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, определяются его целк и задачи, научная новизна и практическая .значимость работы,, формулируются исходные методологичеисие .установки, лежащие в со основе.

Проблема, поставленная в центр нашего внимания, чрезвычайно сложна и мчогопланова в силу сложности и динамичности самой математики, многообразия п ней диалектически связанных разделов и теорий. Сложной является и система стимулирующих факторов её развития. Поэтому из этой проблемы ш вычленяем только дан взаимосвязанных центральных вопроса: каковы наиболее устойчп-

вые и существенные социально-культурные факторы развития математики?, .какова социальная роль математики в решении научно-технических и глобальных проблем современности, в воспитании человека?

Глава первая - "Математика и материальная действительность"-состоит из четырех параграфов. В предварительном замечании к главе обосновывается необходимость обращения к интерпретации математических объектов Платоном и Аристотелем: во-первых, идеи Платона имеют самый длительный период "жизни" ( с У-1У вв. до н.э. и до наших дней). Так называемый платонизм, признающий вне, до и независимо от человеческого разума существование математических объектов, сохраняет свою притягательность и в наше время в силу неизбежности объективации-результатов математического творчества. Во-вторых, шля Платона становится известно ужо со школы при изучении обществоведения и математики. Педагогам знаком его метод эвристической беседы, оценка им роли математики в жизнедеятельности каждого человека. От него идут идеи, связанные с разделением математики на "чистую" и "прикладную", ги~ потетико-дедуктивным методом построения знания, обучением детей счету и т.п.

В первом параграфе - "Краткий экскурс к истории вопроса о природе и предмете математики" раскрывается механизм конструирования Платоном математических объектов. При рассмотрении философских концепций Платона и его последователей мы исходим из того, что идеалистические воззрения относительно тех или иных проблем математики и её методологии никак не обусловлены .наукой. Не существует идеалистической или материалистической математики, зато существуют идеалистические и материалистические взгляды математиков.

В своей фклософско-мэтематической системе Платон выделяет мир "идей" ( "эйдосов"; и мир чувственно воспринимаемых человеком вещей. Выделив мир "идей", он как бы ссздэл предпосылку для введения и исследования другого "мира" - мирз идеальных математических объектов (чисел, геометрических фигур). В диссертации показывается, то числа и математические понятич наделяются им объективным существованием, но они имеют разный онтологический статус, представляют два разных вида идеализации: числа - чисто идеальные образования, которые можно только мыслить, а-липки, углы и другие геометрические фигуры - образования "проме-о<точ-

пые", помещенные между миром идеального и чувственно воспринимаемом миром, между числами и вещами. Такая трактовка математических понятий имеет определенное отношение к пониманию Платоном < до и Аристотелем) значимости арифметики и геометрии в жизни человека: арифметика выступает первой среди математических паук, она Солее "простая" и тем самым более достоверная, чем геометрия, для неё наглядность•не является необходимостью. Б геометрии же числа и числовые отношения представляются "зрительно" (."созерцательно") в виде конкретных пространственных-образов ^фигур;. У Платона дано не только онтологическое.объяснение математических объектов, но и гносеологическое - они выступают такими образования;,ш, которые позволяют человеку ориентироваться в окружающем мире.

Первым критиком философско-ыатематических воззрений Платона Сул Аристотель. Осмысливая природу математических объектов, способы их существования, отношение к чувственным вещам и другие, вопросы, он решает их "превосходно, отчетливо, ясно, материалистически" ( В.П.Ленин), его выводы направлены против платонизма. Аристотель правильно сформулировал проблему соотношения математических абстракций и материального мира, проблему "природа-математика". Поскольку кавдая наука имеет своей предмет, рассуждал он, развивая материалистическую "линию Демокрита", то имеет его и математика: предметом математики являются не чувственно воспринимаемые вещи и не то, что существует отдельно от них, а определенные свойства (.т.е. абстракции) вещи (линия, плоскость и т.п.), которые берутся сами по себе. Аристотель близко подошел к пониманию того, что в образовании математических объектов."дополнением" к процессу абстрагирования являзтея идеализация.

В заключительной части параграфа рассматриваются мировоззренческие суздения, имеющие отношение к платонистскому пониманию существования математических объектов. Одним из аргументов, направленных против платонизма (реализма) мозно считать наличие различных логических подходов к определению и введению в математику'тех или иных понятий. Автор дает определение числа 3 с теоретико-множественной точки зрения, по Нейману с точка зрения логицизма), по Лоренцу ( точка зрения представителей конструктивного направления в математике).

Во втором параграфе - "Источники и движущие силы развития

математики" - дана определенная классификация основных, устойчивых и существенных факторов (закономерностей), обеспечивающих прогресс в науке. Исходя из единства и противоположности "пары" категорий "объективное-субъективное", ввделяются две группы факторов - объективные и субъективные. В свою очередь, объективные факторы подразделяются, с одной стороны, па пригодные и общественные группы сна основе существования двух областей бытия - природы и общества), а с другой стороны, на пнет-ние с внематематические; и внутренние с внутриматематпчески-з и логико-мотодологичеокие) группы факторов с если всю их совокупность рассматривать по отношению к математике).

Группа природных факторов выделяется в силу того, что природа скак данное целое, так и отдельные её области) выступает своеобразным "заказчиком" ко отношению к математикам и математике. Природа - это необходимая предпосылка математического познания скак и познания в целом;. Е:о обусловлены онтологические основания математического познания ( материальное единство мира, структурность материи, единство качественных и количественных определенностей объектов действительного мира). С природной группой факторов развития математики мы связываем ко только природу в целом как необходимое данное, но и тс проблемы, которые вызваны активным вмешательством человека в неё: это и грандиозные коммуникационные стройки, сооружение плотин» искусственных морей, исследование планет, звезд и т.п.; это п глобальная интенсификация экономики, требующая использования ЭВМ и создания совершенных математических методов, среди кото--рых особое место занимает экономико-математическое моделирование .. Активных действий со стороны математиков, тщательного обсчёта и анализа ими всевозможных математических моделей, по- , зволяющих увидеть общие тенденции явления, их качествеппо-ко- . личественные определенности, требуют такие проблемы, как бережное отношение к-биосфере, к богатствам земных недр; рациональное ведение сельскохозяйственных работ; возвращение"к жизни" морей, озер и рек,- сохранение мира на планете Земля.

Группу, общественных факторов обусловливают четыре основных сферы общественной жизни: материально-экономическая, социальная, политическая, духовная. С материально-зкопомическими факторами мы связываем те математические вопросы, которые роздены производством и'его-управлением с АСУ, САПР и т.п.), строитель-

отвом, созданием новых машин, отанков ( окажем, о числовым программным управлением) и т.п.; о социальными - контакты ме;кцу учеными-математиками, которые возникают во время проведения Конгрессов, конференций, семинаров, обмен научными идеями при цтих встречах; о политическими - отношения мовду учеными-математиками й математическими сообществами, труд которых проходит п различных социально-политических системах; с духовными -непосредственную деятельность ученых по создании материальных культурных ценностей. Общий социально-культурный "фон" задает математике мощные импульсы, определяет "стратегический" курс её движения, нацеливает на плодотворные "тачки" приложения.

Выделение внешних < внемотематических ) И внутренних с внутри-математических и логпко-мстодопогических у факторов позволяет расширить и конкретизировать круг регулятивов науки. в дополнение к сказанному, к группо вноматемптических факторов мы подключаем "импульсы", которые идут от естественных наук, философии, социологии, истории, лингвиотики и других наук. Например, с (философией связаны анализ и оценка фундаментальных Достижений в математике, решение проблем оснований математики, ывтодология научного поиска и т.п. Через философию математическое познание наполняется мировоззрением, которое также выступает одним из регулятивов развития математики.

О внутриматрматичсских факторах развития математики можно говорить с того времени, когда математика оформилась в дедуктивную Науку, Когда в ней появились собственные проблемы, связанные с систематизацией накопченного знания, с совершенствованием понятийного аппарата науки, созданием методов, теорий, установлением между ним взаимосвязей, с преодолением противоречий на пути к объективной истине и т.п. Только при наличии таких предпосылок и условий математическая деятельность становится особой профессией, особым видом духовного производства, которое осуществляется как но основе общих объективных законов, так и специфических виутринаучных. Эти специфические зиконы определяет и вырадоют внутреннюю погпку науки как общую закономерность развития математического познания, свидетельствуют. об.относительной самостоятельности математика.

В диссертаций рассматриваются характер и степень воздействия на математику таких факторов, кок доказательство.теорем, решение фундаментальных проблем, ооэдшшо методов исочодоиаппл,

процессы дифференциации и интеграции в математике и других, Важнейшим внутренним фактором развития математики выступает разрешение ("снятие") в наука диалектических противоречий. роа-никновение и разрешение Диалектических противоречий - это ещЗ одна общая закономерность развития математического познания, К числу внутриматематических факторов отнесены ташке: разработка символики и техники оперирования о символами, обнаружение новых доказательств теорем и усложнение самих приёмов доказаталь-. ства, создание новых алгоритмов исчислений и приближенных методов решения теоретических и практических задач и другие.

Из группы внутриматематических факторов выделяются логико-методологические регулятивы (выбор путей и методов решения той или иной проблемы, конкретно-исторический стиль мышления, логическая упорядоченность и обоснованность математического -энз-, ния, решение диалектических и .формально-логических противоречий, постоянно возникающих в науке й другие).

Детерминация математического познания складывается из 0611-ективных и субъективных факторов единой системы "субъект-объект", т.е. в йаздом из рассмотренных наш факторов необходимой отороной и важнейшим компонентом процеоса математического познания является субъект. Причем, возрастание относительной • самостоятельности математики, её развитие по законам внутренней логики усиливает и роль субъективного фактора в науке, В группу субъективных факторов развития математики' включаются непосредственная деятельность ученого по созданию математиче» оких ценностей, его научный и общекультурный потенциал, фчло~ ■софско-мировоззренческие принципы, интересы, особенности психического оклада и т.п., а также такие свойства "математическое го ума", как индивидуальный тип математического мышления, стремление к обобщениям, логичность мышления и способность к воображению, выдвижению оригинальных идей, нестандартных решений, целенаправленность, интуиция, чувство красоты и другие личностные качества. В группу субъективных факторов входит и тот "живительный иоточник", который связан с системой "учитель -ученик", действующей на йсех уровнях обучения и деятельности, ' В третьем параграфе -"Историческое логическое в формиро- . вании исходных математических понятий" - на конкретном историческом материале показана социально-культурная обусловленность возникновения перйбйачальных понятий математики - числа,' гео- :

M137p.p1ecr.oi; Фигуру. При формировании понятия целого числа и его г^сьи'.снного изображения человеческому мышлению необходимо было пройти следующие логико-методологические этапы: научиться выделять группы (множества) однородных вещей природы; уметь сравнивать эти группы веще!' путем сопоставления и устанавливать тем са^ым факт их равноколичественности сравномощности);.создавать такое множество, которое бы выполнило роль эталона при сравнении ъе^ей; обрести способность к абстрагированию, к мысленному отделению качественных характеристик вещей от "чистой" их количественной определенности, к созданию первых натуральных чисел; мучиться сравнивать натуральные числа, находить для них обозначения, строить системы счисления. Сформировавшаяся система натуральных чисел стала основой построения новых числовых систем (.систем рациональных, действительных, гипердействительных, комплексных, гиперкомплексных и других чисел).

Современная математическая логика дает два различных ответа на вопрос "Что такое число?", ¿ели рассматривать их в исторической последовательности, то необходимо первый ответ соотнести с именем р.дедекинда. Он определял натуральные числа как ординальные ( порядковые;, связывая их с простыми бесконечными последовательностями, члены которых задаются по определенным правилам ;; удовлетворяют определенным отношениям. Иной ответ давали Г.Фреге и Г.Рассел. Они отождествляли натуральные числа с кардинальными числами, характеризующими множество с точки зрения его элементов - мощности множества.

Хклооофско-млровоззренческие выводы, следующие из рассмотрения формирования исходных понятий математик;!, заключаются в том, что все математические понятия можно объединить с с определенной степенью условности ) в три диалектически связанные группы:1)исходные первоначальные понятия, имеющие непосредственный прообраз в действительном мире; 2)понятия, не имеющие непосредственного прообраза в. действительности, но нашедшие свой опосредо- • ванпыл прообраз в ходе дольне;ццего развития наук; 5; понятия, которое ецё не нашли своего прообраза ни в действительности, ни в других-науках. Однако они логически возможны и имеют право на существование.в математике.

В четвертом параграфе'- "Предает математики и стиль математического мышления" - в исторической последовательности анализируются революционные периоды развития математики. С учетом

современного содержания математики и исследований по истории ■ науки в последние годы автор придерживается периодизации, предложенной академиком Л.П.Колмогоровым в статье "Математика": I) период зарождения математики; 2 J период "элементарной" математики, математики постоянных г','ли чин; 3) период математики-переменных величин; 4 ) период современной математики.

Первый период развития математики, истоки которого теряются в глубине веков, продолжался до У1-У вв. до н.э. Он связан с началом процесса накопления человеком математического знания, созданием приемов счёта, устной а письменной нумерации, систем счисления. Во второй период (с У1-У вв. до н.э. по ХУ1 в. включительно ; осуществляется последовательная систематизация математического познания, математика выделяется в самостоятельную науку, предметом которой стали операции в основном с постоянными величинами. Система Евклида, изложенная в "Началах" i Ш в. до н.э.), была исторически первой математической (точнее, геометрической) системой, положившей шчало формированию математического стиля мышления. Она знаменовала собой и первую п'к-.. тенсивную революцию в математике. качественную перестройку и упорядочение накопленного знания. В третий период ( с ХУЛ в. до первой -половины XIX в.) математика выступает наукой об изменениях величин и геометрических преобразованиях. Формирований принципиально новых понятий (функция, предел, производная, интеграл, дифференциал'и др. ) и теорий (аналитическая геомотрия, дифференциальное и интегральное исчисление, теория ди^брешш-альных уравнений, теория функций действительного переменного и др.} в математике обусловили переход от древнегреческого стиля мышления к новому стилю, характерной которого была диалектика. "Диалектический философ Декарт"( Ф.Энгельс ) внес революционные изменения в содержание математики и её методологию. Это била вторая интенсивная революция в науке. С середины XIX в. наступил четвёртый период развития математики. Возникновение n noil теории .множеств"Г.Кантора знаменует третью интенсивную реполицию в науке и новый iтеоретико-множественный) стиль мышлоиия.

В диссертации анализируется теоретико-множественным стиль мышления,-выделяются'его особенности; рассматривается фплософ-ско-мировоззренческий подход к предмету математики ф.Энгельса и группы П.Бурбаки; выделяются характерные черты современной математики и предпосылки её вступления в пятый период (.период

"всеобщей математизации", "неевклидовой" математики, "нестандартной" математики и т.п.). Современный стиль математического мышления связывается о созданием алгебраической теории категорий (С.Эйлонберг, С.Маклейн), знаменующей дальнейшее развитие структурного подхода к математике и конструктивный характер ■ математической деятельности. В мышлении математика появились такие новые понятия, как "категория", "объект категории", "морфизм категории", "отображение", "функтор" и другие,

С созданием теории множеств и алгебраической теории категорий математика стала наукой о всевозможных абстрактных структурах {системах), законах их функционирования и взаимодействия. Единство исторического и логического подходов к пониманию предмета и методов математики позволяет воссоздать последовательные этапы её развития; наука о числах - геометрических фигурах - постоянных величинах - переменных величинах и геометрических преобразованиях - абстрактных структурах - алгебраических категориях. В этих этапах: а) переход от метрических методов математизации к неметрическим, переход к более глубоким сущностным характеристикам науки, какими являются математические структуры и категории; б) диалектика математики: формирование понятий и теорий науки, их взаимная связь и обусловленность; возникновение и разрешение философско-методологических проблем; взаимодействие о практикой и другими науками, изучающими многообразные формы движения материи; в7 развитие и совершенствование стиля математического мышления.

Глнва вторая - 'Прогресс математики и возрастание её социальной роли" - включает в себя три параграфа.

В первом параграфе - "Основные направления развития современной математики" - прослеживаются две диалектически связан- ■ ные "линии" - решение фундаментальных теоретических проблем и прикладные разработки математики. Они.обусловлены двойственной природой науки. По словам Дж. фон Неймана, "двоякий лик - подлинное лицо математики". Эти два пути развития математики обсуждал С.Маклейн с М.Атия.на конференции в Эр-Рияде (Саудовская Аравия, 1982 г,)', И если Маклейн защищал позиции тех, кто • выступает сторонником дальнейшей аксиоматизации и■ формализации математики.' то Атия предпочитает путь и стиль Физикд-теоретика.. Творчество советских ученых <. Н.Н.Боголюбов, В.С.Владимиров, М.А.Лаврентьев, Н.И.Моисеев, А.А .Самарский, А.Н.Тихонов,

Л.Д.Фаддеев и др.) доказывают плодотворность синтеза этих путей,

В диссертации рассмотрены алгебраическая теория категорий и теория катастроф, что позволило показать основные тенденции в развитии современной математики: а» углубление математического познаний, сопровождающееся созданием "узких" областей науки со -•своими специфическими законами и методами Исследования; б)расширение предметной области математики, стремление синтезировать её различные части на основе обобщающей теории и максимально приблизить их к практическим задачам.

Теория категорий стимулировала исследования в области оснований и методологии математики, поставив перед учеными ряд принципиальных вопросов: может ли теория категорий служить основанием математики? Идти ли в направлении дальнейшего развития теоретико-множественной математики, принимая ео основанием науки? Может лИ теория категорий подменить собою аксиоматическую теорию множеств, вцразить в своих терминах все математические понятия? и т.п. В диссертации прослеживается точка зрения Дж. Л.Белла по существу данных вопросов, выраженная им в статье "Теория категорий и основания математики", Исследования в области оснований математики обусловили возникновение раличпых математик. В настоящоо время становится всё более признанной точка зрения, согласно которой существуют три математики: I) классическая математика, или математика завершенных процессов ( множеств;; 2) конструктивная математика, или математика' тех процессов, которые осуществляются человеком по опредслаиннм алгоритмам; 3) интуиционистская математика, или математики лю-

II

бых, а не только ограниченных алгоритмами, процессов .

В диссертации показывается, что определяющей тенденцией роз- . вития соиремениой математики является её движение в сторону задач практики; рассматриваются важнейший направления развития прикладной математики i математическое моделирование и разработка новых методов математического моделирования, матоматичоокоо ■ моделирование социальных процессов и оптимизационных задач, компьютеризация математики); высказывается возможность создания отечественных высоконадежных и сверхскоростных ЭВМ, основанных

^ См.¡Boll Jib. Category Theory and the Foundationo of Ma-.thcmatico // nritloh Journal the Philosophy of Bolonco, - Aberdeen, 1961. - Vol. 32, N - P. 3^9-350.

H* См.: Панов М.И. Методологические проблемы интуициопиот-" ской математики.- М., Г.Ш.-С. 186-187.

не на дьоичной системе счисления, а на числах Фибоначчи.

Во втщюм параграфе - "Математический язык как "язык" науки и техники" - исследуются специфические особенности языка математики. под которым понимается вся совокупность средств, имеющихся в науке (система символов и знаков, понятийный аппарат,, теории, методы, правила и законы дедуктивных построений и т.д.).

"Алфавит" современного языка математики не поддается точному определению и выражению. Он постоянно расширяется и обогащав ется, включая в себя буквы (слова) естественного языка с скажем, русского;, буквы алфавитов других языков с латинского, греческого и др.), с помощью которых обозначаются математические объекты, операции, отношения, переменные, константы и т.д. При построении формальной математической теории создается специальный "словарь", куда входят символы, правила оперирования ими, основополагающие принципы, логические законы и т.п. Это позволяет устранить громоздкость словесных описаний математических фактов, неопределенность и многозначность выражений, определенийпозволяет "механизировать" математические действия, создать так называемую "машинную математику". С возникновением последней произошли существенные изменения в языке науки, открылись принципиально новые возможности интеллектуальной деятельности человека. Если язык классической вычислительной математики состоял в основном из формул адгебры, геометрии и анализа, ориентировался на описание Непрерывных процессов природы, то современный её .язык - это язык алгоритмов и программ, включающий язык формул в качестве частного случая. Язык современной вычислительной • математики-становится всё более универсальным, способным они-' сать сложные с многопараметрические ) системы.

В диссертации рассматриваются две важнейшие функции языка математики - информационная и исчисленческая. По отношению к другим наукам язык математики позволяет осуществить описание и систематизацию эмпирических' и теоретических данных; сформулировать и в знаковой форме выразить внутринаучные законы; построить математическую модель класса задач, выполнить её peine- ■ ние, доследовать, сверить (по возможности) с натурным экспериментом. Автор показывает связь искусственного языка математики с языком естественным; его производность ( вторичность) от природных и социальных процессов, которые отражаются в языке математики; обосновывает некоторый отход в математическом позна-

нии от критериев точности, однозначности, строгости. В этой ■ связи анализируется язык .нестандартного анализа и "нечеткой"' логики, показывается их практическое значение. Создание подобных языков, теорий есть доказательство проявления разных аспектов функционирования математического знания, проявления • диалектики в математике. В них научное знание повёрнуто в сторону человека, его мышления и тех проблем действительности, в которых качественные и приближенные решения играют доминирующую роль.

Так как "нечёткая" логика в своей сущности близка к многозначным и бесконечнозначным математическим логикам, с помощью . которых можно моделировать истинность человеческих суадений, располагая их на "шкале правдоподобия" от абсолютной истинности до абсолютной ложности, то в диссертации ( в "Приложении I") показывается механизм составления таблиц значений истинности операций отрицания, конъюнкции, дизъюнкции, импликации и эквивалентен в восьмизначной логической системе.

В заключительной части параграфа отмечается роль языка математики в решении естественнонаучных и технических проблем, подчеркивается гуманистическая направленность математики в "союзе" с вычислительной техникой<в частности, компьютерный рентгеновский томограф, ''.меющий исключительное значение дня медицинской диагностики, представляет собой органический синтез математики и техники).

В третьем параграфе - "Математика и научно-технический'прогресс" - показана роль математики в развития производительных сил, в решении глобальных проблем современности. По отношению к математике научно-технический прогресс ставит, по меньшой мере, три задачи - это создание:!) математической теории изучаемого явления и доведение ее до такого уровня, который позполя- ' ет провести уверенные расчёты; 2)математической теории- испыто-. ний, которая позволила бы осуществить проверку соответствия результатов труда'фактическому положению дел; 3) математических методов прогнозирования.

"Союз "-математики и ЭВМ .'становится объективной необходимостью при решении научно-технических и технологических проблем. Вычислительная техника "материализует" математику, делает её .непосредственной производительной силой. Всё'чаще она оказывается в одной "связке" со станком с числовым программным управ]

лением и ЭВМ. .Математическая информация, материализованная в виде строк программы на экране дисплея или на магнитной ленте, становится составной частью технологического процесса. А пакеты программ являются важнейшим моментом "математической технологии". Меняется характер деятельности математика сон, в частности, составитель программы для ЭВМ и её реализатор;. Через сети телекомпьютерних коммуникаций может вступить в общение с другими математиками из разных городов и стран, а в перспекти-. ве и с представителях® других специальностей. Возрастает социальная роль таких профессий, как наладчик и ремонтник автоматизированных систем, оператор и программист, а это, в свою очередь, предъявляет новые требования к логико-математической подготовке выпускников школ и других типов учебных заведений. Изменяется социальный статус и инженера. Всё большее значение приобретают такие его личностные компоненты, как талант изобретателя и физико-математические знания. Иными словами, математическая наука в единстве с ЭВМ оказывается в диалектическом, взаимодействии с. важнейшими элементами производительных сил -человеком и -средствами производства. А формируя научное мировоззрение человека С главного элемента производительных сил), ■ . ех?о гражданственность, нравственные идеалы ("этика не должна противоречить арифметике";, стремление к точным и объективным количественным оценкам и т.п., математика тем самым "входит" в сферу производственных отношений и совершенствует их.

,9 диссертации рассматривается роль математического моделирования и математического эксперимента в исследовании многопараметрических физических и технических систем, в прогнозировании глобальных процессов в биосфере. Математический эксперимент открыл новые возможности душ быстрого внедрения достижений .наук в производство < получение новых монокристаллов, управление высокотемпературными плазменными процессами, разработка и планирование крупномасштабных строек и т.п.)'. Он стимулировал становление новых математических, теорий ( теории разностных схем, теории алгоритмических языков, теории построения устойчивых алгоритмов, теории нелинейных дифференциальных уравнений и др.). А . наличие уже .довольно большого числа работ, по применению математических моделей в решении экологических проблем позволяет го- ' корить о воз.-пскнивеняи новой нгуки математической экологии, объектов йсследоввния которой являются экологические системы, а

метод исследования - математический. Проблемы экологии, с одной стороны, служат источником постановки новых математических задач, разработки новых теорий, а с другой стороны, широко используется в их решении уже имеющийся "арсенал" математических . средств. Поиски решения экологических Проблем и непременное их » решение - это, по существу, новая социальная функция матоматики.

Глава третья - Математика и мировоззрение" - состоит их четырех параграфов.

В первом параграфе - "Соотношение материального и идеального в математическом познании" - показывается, что в объективном мире имеются предпосылки, позволяющие выделить предмет математики в форме идеальных ( идеализированных ) понятий, систем понятий и установить между ниш определенные соотношения. Таковыми выступают количественные характеристики реальных объектов. Перенесенные в сознание и преобразованные в нём, они становятся идеальными представляют- элементы субъективной реальности. Создание идеальных объектов математики осуществляется в процессе идеализации < "умственного эксперимента";: реальная вещь п 'сознании субъекта, заменяется особой абстрактной моделью но только путем отбрасывания второстепенных свойств вещи и выделения каких-то существенных её свойств, но и намеренного с "умиленного"; наделенил модели свойствами, не существующими в действительности. В научном математическом познании метод идеализации и идеальные объекты впервые были'представлены в "Началах" Евклида (. "точка", "прямая", "плоскость", "идеальный циркуль", "идеальная линейка" и др.; как идеальные предельные случаи реальных вещей.

Движение "по лестнице" идеальных математических объектов -это закономерность науки. Создавая идеальные объекты, математик' вырабатывает и всё более совершенные логические правила оперирования ими. Происходит "уплотнение" и "трансформирование" знания с.одновременным пополнением понятийного аппарата . математики, своеобразно и диалектически отражающего объективную реальность. Скажем, в понятии "обобщенная функция" происходит дальнейшее расширение' классического представления о функции,- что позволяет "выражать в математически корректной форме такие идеализированные понятия, как плотность материальной точки (дельта-функция Дирака), плотность простого слоя (поверхностная дельта-пункция), плотность диполя ( производная дельте-

функции ) и г.д. Вместе с тем в понятии обобщенной функции находит отражение и тот факт, что реально нельзя измерить значение физической величины в точке, можно измерить лпь её.средние значения в достаточно малых окрестностях этой точки. Таким образом, понятие обобщенной функции учитывает эту двойственную природу измерений и поэтому является адекватным аппаратом для описания распределений различных физических величин" *.

В диссертации рассматриваются различные идеализированные объекты математики, отмечается их роль в науке, обосновывается объективный характер содержания математических понятий, анализируется подход Г.Кантора, В.Гейтша, М.Маховера и других к проблеме их реальности, отражается точка зрения Т.Тимочко относительно содержания понятий "идеальный математик", "идеальное математическое сообщество", а также некоторые его философ-ско-методологические идеи, представляющие педагогический интерес с преподавание математики, основные преподаваемые курсы, роль'ученого-математика в подготовке кадров и т.п.).

Во втором параграфе - "Мировоззренческая направленность математики" - Ърезде всего выделяются две методологические трудности, которые возникают в ходе реализации мировоззренческих возможностей математики. Первая трудность обусловлена специфическими особенностями предмета математики. Дело в том, что в современной математика различают объект изучения с говорят опо-оредонанннй предмет математики ) и предмет исследования ( непосредственный предает науки >. Под объектом математики понимают существующие независимо от сознания человека количественные отношения и пространственные формы бесконечно многообразного- материального мира. Предмет же математики - это идеальные образы объекта (абстрактные объекты): понятия, системы понятий различной степени общности, аксиомы, теоремы, структуры и т.п., их логический анализ, а также законы функционирования<взаимодействия ) абстрактных объектов и операций над ними. Понимание соотношения между объектом математики и её предметом'позволяет уяснить исходную предпосылку мировоззренческой сущности математики: определенные стороны действительного мира ( количественные отношения и пространственные формы его) создают особый предмет-

* Владимиров '".С., Фаддеев Л.Д. Тенденции развития современной математики // Коммунист.- 1988.- № 12.- С. 100.

ный мир (мир идеальных математических объектов).

Вторая трудность связана с выяснением правомерности постановки вопроса о мировоззренческой направленности математики. Рассматривая данный вопрос, автор исходит из того, что математика является многоуровневым образованием, включающим в себя, наряду с эмпирическими «'теоретическими данными, и определенные философско-мировоззренческие установки, методологические принципы. В её структуре можно выделить три больших гносеологических "блока": а; конкретные утверждения (соотношения в форме определений, аксиом, леглм, теорем и т.п. ; б ) специальные теории; в ) философско-мировоззренческие и методологические выводы. Первые два "блока" составляют "ядро" математической науки и непосредственно не имеют мировоззренческой направленности. Относительно третьего "блока" этого сказать уже нельзя. При глубоком анализе структурных элементов математики обнаруживается, что её аппарат и методы исследования содержат обобщенные философско-мировоззренческие представления о природе изучаемых в ней объектов. Осмысление законов и методов математики с точки зрения их общенаучного гносеологического содержания - одно из важнейших условий выделения мировоззренческих аспектов науки. Через свой опосредованный предмет, связь с естественными и техническими науками, взаимодействие с социологией и философией, а также через свой понятийный аппарат ( диалек-тико-материалистйческий по существу) математика участвует в формировании научного мировоззрения. С помощью своих формул, уравнений, теорий ю в общем случае, математических модолей)она связывает явления и процессы материального мира в единоо целое, способствует созданию целостной картины мироздания.

В диссертации показывается роль математики в (формировании представлений о научной картине мира, подчеркивается, что мировоззренческое содержание математики раскрывается в ходе реализации педагогического,' философско-методологического, политико-' экономического,-морально-психологического и экологического аспектов. В заключительной части параграфа рассматриваются формы проявления принципа партийности в математической деятельности.

В третьем параграфе - "Взаимосвязь философского мировоззрения и математического познания в творчестве ученых" - рассматривается методологическая функция научного мировоззрения на основе анализа философских установок Н.И.Лобачевского и А.Пуанка-

ре. &втор показывает, что научно-философские позиции Лобачьв-скох'о обусловили революционные исследования в геометрии, а его мировоззрение стало важнейшим формообразующим фактором нового стиля математического мышления; что главной причиной "несостоявшегося открытия" < построения теории относительности) для Пуанкаре стали его ошибочные мировоззренческие и методологические установки с конвенционализм и номинализм).

Диссертант отмечает пять случаев "разрыва" мировоззрения в • математическом творчестве, опираясь на анализ А.Г.Барабашевым связки "мировоззрение-действия с деятельность) -результаты" к; приводит факты отступления в сторону религиозного мировоззрения в математическом познании и в преподавании; исследует взаимодействие между математикой и мировоззрением в процессе преодоления трёх основных кризисов основ математики; вццеляет логико-гносеологические и мировоззренческие положения, следующие из теорем К.Гёделя о непротиворечивости и неполноте формализованных систем. Автор показывает, что они имеют отношение- и к педагогической практике, ибо позволяют оценить "бурбакистскую" тенденцию в преподавании математики. Речь, в частности, идет о том, что.попытка аксиоматического построения всего здания математики, предпринятая группой Бурбаки, имела влияние как на развитие математики, так и математического образования. Отрицательные моменты этого влияния по отношению к школьной математике выразились в увлечении формализмом; более формальным, оторванным от жизни стал материал учебников, а соответственно, и его изложение на уроках; увлечение преобразованиями буквенных выражений и решением уравнений уже в начальных классах 'привело к отрыву содержания от формы; переход от арифметики к алгебре привел к потере соответствия мевду речью и письмом, к некоторому сужению целей обучения математике; более формальными • стали определения понятий школьной математики, доказательства.■ теорем и т.н. Всё это не могло не сформировать в сознании учащихся ложного представления о математике как о науке весьма отдаленной от действительности и реальных процессов в ней. .

В четвертом параграф - "Методологическая культура.педагога-математика" -. рассматривается взаимодействие элементов системы "учитель-ученик". Учитель выступает главным "действующим лицом!'

* См.: Оовремепная математика: Методологические и мировоззренческие проблемы.- МосгаагОбнщкж,1987.-Ч.11.- С.305-312.

перестройки народного образования, от него зависит идеГшая направленность обучения и воспитания учащихся, процесс гуманизации и демократизации школы и других типов учебных заведений. Именно исключительно составом лекторов определял В.И.Ленин идейно-политическое направление лекций во всякой школе.

Многолетний опыт работы в школе, техникуме и вузе в качестве преподавателя.математики, физики и философии показывает, что эффективность процесса обучения и воспитания определяется правде всего личностью самого педагога. В понятие "личность педагога" мы включаем органическое единство профессиональных и социальных качеств педагога, "сплав" профессиональных, политических, методологических и других компонентов духовной культуры. Само педагогическое мастерство учителя математики действенно лишь тогда, когда оно базируется на двуедином основании: профессиональных ( математических > знаниях и методологической культуре. .

Методологическая культура педагога - это та сторона ого творческой деятельности, которая связана с а) мировоззренческими принципами, философскими основаниями математики; б> пониманием предмета математики и её места в общей системе наук; в) знанием объективных законов и движущих сил математического познания; г; установлением "каналов" связи математики с объективной реальностью и другими науками; д) прогнозированием социальных последствий применения того или иного метода обучения математике. Она является важнейшей составляющей учителя-исследователя - исследователя в науке, в методике обучения, в психологии. В научно-методическом исследовании учителя математики методологическая культура проявляется, по меньшей мере, в трех формах: I) философской (установление наиболее общих принципов познавательного процесса); 2) концептуальной с Формулировка проблемы, идеи, гипотезы и т.п.); 3) процедурной (оформление исследовательской программы, определение "стратегии" и "тактики" ' решения проблемы й т.п.). В работе с учащимися она реализуется, в единстве с такими важнейшими принципами, как принцип дифференциаций и индивидуализации при обучении математике; принцип гуманизации математического образования; принцип усиления воспитательного характера математики; принцип развития логического и диалектического мшления учащихся средствами математики.

В диссертации намечаются основные пути и средства формирове-

ния методологической культуры учителя - через а 1 сеть учебно-методических учреждений и педагогических учебных заведений, институты усовершенствования учителей; б I специальные методологические семинары на базе ИУУ или пединститута; в) курсы повышения квалификации учителей; г ) изучение опыта работы коллег; д ) самостоятельное изучение философской и исторической литературы но математике. Автор выделяет основные направления работы философского с методологического ) семинара, определяет их тема- • тику.

Основы методологической культуры учителя закладываются в стенах университетов, педагогических Институтов и училищ. И очень важно, чтобы не только преподаватель математики, но и философии в своих лекциях раскрывал борьбу идей в математическом познании. Дидактическое требование к преподаванию математики мы бы сформулировали следующим образом: философское в преподавании математики, соответственно, к преподаванию философии: математическое в преподавании философии. Преподавание математики-и философии на математическом (факультете пединститута должно строиться, во-пе1'!зых, на основе единства и взаимодействия этих наук, а во-вторых, с учетом будущей профессии студентов - профессии учителя, воспитателя. Как в курсе математику так и философии должны найти место методологические проблемы математики, формирующие мировоззрение и.создающие возможности для творческой самореализации будущего педагога-математика.

Четвертая глава - "Воспитательная направленность обучения математике" - включает в себя три параграфа.

В первом параграфе - "Математическое мышление и его особенности" - анализируются филссофско-методологические и психолого-педагоги ческие особенности математического мышления. При этом автор исходит из тех четырех особенностей математического мышления и его конкретно-исторической формы - стиля математического мш'шния. которые выделены А.Я.Хинчиным в его статье "О воспитательном эффекте уроков математики": I; доведенное до предела доминирование логической схемы рассуждения; 2) лаконизм, сознательное стремление всегда находить кратчайший логический путь; 3) чёткая расчлененность хода рассуждений; 4) скрупулёзная точность символики, формул, уравнений.

В диссертации рассматриваются различные типы математического миеяания,,существование которых отмечали Б.Паскаль, Р.Декарт,

¿.Пуанкаре, Ж.Адамар, Д.Пойа, Я.Пиаже и др. Анализ иш "окла-■ да ума" у многих известных математиков позволяет говорить о логическом или интуитивном преобладании в математическом мыш-' леняи, об алгебраической или геометрической направленности ума. Объяснение этому кроется в ассимметрии функций больших полуша- ' рий головного мозга, в факте существования "левополушарного" (более логичного) и "правополушарного" ( более образного» типов математического мышления. Обращается внимание и на то обстоя- с тельство, что в истории математики есть примеры и чисто психологического неприятия учеными-математиками тех или иных разделов своей науки.

Психология позволяет научно подойти к пониманию сущности математического мышления Как специфического воспроизводства абстракции и идеализации науки, оперирования абстракциями и идеализациями по строгим правилам логики. Оно выступает одной из сторон математического познания, другой же является математическое знание. Математическое мышление - это важнейший компонент общественного сознания, а вместе с тем - разновидность профессионального мышления со своими особенностями. В нем отражается культура общества, уровень цивилизации, степень овладения человеком силами природы и техники.

Автор обращает внимание на то обстоятельство, что постоян-нш"разговор" на языке математики оставляет отпечаток на личности человека, что типология математического мышления начинает проявляться уже в школьные годы. Одни школьники легко и с интересом оперируют с числами, другие склонны к логическим рассуждениям, третьих увлекает практическая полезность арифметики. Знакомство с алгеброй и геометрией ещё более дифференцирует школьников по их математическому мышлению. В диссертации рассматриваются основные признаки, характеризующие ыэтематиче- ■ ские способности школьников, которые должны быть в центре внимания педагога в его работе по "выращиванию" талантов.

Во втором параграфе - "Основные направления реализации воспитательных функций школьного курса математики" - раскрывается' одна из важнейших социальных задан, учителя математики - претворять в жизнь требование философского образования учащейся молодежи. Она выражается в том, чтобы I) школьники уяснили диалектический путь познания объективной реальности; 2) утвердить в •их сознании мысль о том, что в мире нет непознаваемых вещей, а

есть вещи ещё непознанные, что объективные закономерности мира могут быть выражены на математическом языке; 3) учить видеть за -общими понятиями математики конкретные образы действительности; 4 ) "красной нитью" проходила через всё обучение мысль о том, что основой возникновения математики является общественная практика, к ней же и возвращается, в конечном итоге, математическое знание; 5 ) убедить школьников и утвердить у них мысль о том, что без математических знаний не могут быть успешно реше-. ны социально-экономические задачи общества.

В диссертации определяются и раскрываются основные направления реализации воспитательных функций школьного курса математики: показ диалектико-материалистических источников происхождения понятий и теорий математики; отражение в содержании преподаваемой науки основных законов и категорий материалистической диалектики; усиление прикладной направленности содержания математики; -установление внутрипредметных и межпредметных, связей; развитие логической, и алгоритмической культуры мышления.учащихся; обращение к творческому наследию классиков марксизма-ленинизма как-в области философии, так и математики; конкретизация общих положений марксистско-ленинской философии, законов и категорий материалистической диалектики на примерах из области математики; ознакомление с жизнью и деятельностью ученых-мате- . матиков. Выделяются т^кже и ооновные темы по самостоятельному исследованию учащимися, студентами философско-методологических проблем математики.

В третьем параграфе -'"Развитие логического мышления школьников в процессе преподавания математики" - автор обосновывает необходимость целенаправленной работы учителя математики по развитию логической культуры учащихся; предлагает программу из пяти центральных теме "Понятие", "Суждение", "Основные законы (принципы; правильного мышления", "Умозаключение", "Доказательство";, каждая из которых постепенно реализуется в школьные года; рассматривает конкретные пути формирования логического мы-' шления школьников на уроках.геометрии (конструирование силлогизмов, определение понятий, оперирование с объемами понятий); выделяет методологические и методические моменты определения понятий, приводит соответствующие примеры.

Определение относится к фундаментальным операциям всякого языка и можно выделить, по меньшей мере, четыре взаимосвязан- ,

ных аспекта, которые характеризуют его гносеологическую функцию: I) мировоззренческий ( определение раскрывает объективное содержание понятия в соответствии с уровнем развития науки); . 2) коммуникативный с через определение понятия человек осуществляет "связь" с предшествующими поколениями людей, использует ■ , полученную ими научную информацию;; 3) лингвистический с вводится новое понятие, расширяется содержание уже известного, уточняется и совершенствуется математический язык и т.п.); 4; дидактический ( введение понятия необходимо в целях развития познавательного математического процесса).

Диссертантом разработаны простые программы операций (пересечение, объединение, вычитание; с объемами понятий Д71я персонального компьютера с Вильнюсским вариантом языка "Бейсик" ("Приложение 2"). Они вполне доступны учащимся 1У класса и 'выступают своеобразной подготовкой к изучению специального предмета - "Основы информатики и вычислительной техники". Привлечение компьютера для выполнения операций с понятиями есть доказательство того,-что с внедрением компьютеров в учебный процесс преподавание пойдет по пути визуализации .абстрактных понятий математики. Работа учителя в этом направлении формирует научное мировоззрение учащихся, новый стиль мышления; воспитывает чувство причастности к научно-технической революции; реализует принцип дифференцированного подхода к содержанию программного материала, а в общем - реализует принцип единства обучения и' воспитания. . ' •

В заключении подводятся итоги исследования, подчеркивается исключительная роль математики в решении гуманистических проблем современности.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Ф.Энгельс и методологические проблемы математики.- Саратов:-Изд-во Сарат. ун-та, 1985.- 6,7 п.л.

2. Математика .и мировоззрение с социально-культурные асиокты).-М.: ИНКОН АН СССР, 1986.- Деп. № 27808 от 31.12.86.- 10 п.л. (Указатель "Новая советская литература по общественным'наукам. Философские науки".- 1387;- № 5).

3. Математика и культура (фияософско-мировоззренческие аспекты;.- М.: ИПИОН АН СССР, 1987.- Деп. & 29692 от 4.06.37.- Юп.л. I Указатель ."Новая советская литература по общественным наукам.

'Философские науки".- 1987.- гё 10).

4. Идеи Ф.Энгельса и некоторые вопросы математики и математической логики // Развитие ф.Энгельсом проблем философии и современность.- М.: Высшая шк., 1975.- X п,л. 1в соавторстве),

5. Об определении предмета математики // Математические науки,- Алма-Ата: Изд-во Казах, пед. ин-та, 1974.-Вып.X,- 0,6 п.л.

6. ф.Энгельс о происхождении и сущности основных математических понятий и современный платонизм // философские.науки,- Алма-Ата : Изд-во Казах, ун-та, 1974.- Вып. У.- 0,4 п.л.

7. 0 современном платонизме в математике // Материалы научной конф. проф.-препод, состава.- Усть-Каменогорск: Изд-во Усть-Камен. пед. ин-та, 1974.- 0,5 п.л.

8. Роль математики в исследовании процессов живой природы(некоторые исторические аспекты) // Материалы науч. конф. проф.-препод. состава,- Усть-Каменогорск: Изд-во Усть-Камен. пед. ин-та, 1974.- 0,4 п.л.

9. О связи категорий противоречия и отрицания в математике // 'Уч.-записки" Азерб. ун-та им. С.Ы.Кирова. Серия.физ,-мат. наук.- Баку, 1974.- № 2-3.- 0,3 п.л. ( в оаавторстве).

10^ Об определении. предмета математики (некоторые, исторические аспекты ) // Методология.научного познания. - М.! Изд-во Моск.

обд. пед. ин-та.им. Н.К.Крупской, 1975.- 0,6 п.л........ .

II. К вопросу о формировании научного мировоззрения в процесое преподавания математики // Матем. в школе,-1977т№ 6.--0,4 п.л. . Л2. Формирование диалектико-материалистического.мировоззрения школьников в процессе обучения математике (метод, реком,).-Волгоград: Волг. обл. ИУУ, 1980.- I, 6 п.л.

13. Гегель об отличительных особенностях философии и математики // Методологические проблемы физики: Материалы конференций. 1976-1978-гг.- М.:Наука, 1980.- 0,6 п.л.

14. К вопросу о формировании диалектико-материалистического мировоззрения школьников в процессе преподавания математики // Профессионально-педагогическая направленность1 в преподавании, математики.-Алма-Ата: Изд-во Казах, пед. ин-та/1982.-0,5 п.л. • 15. Математика и проблема формирования диалектико-материалистического мировоззрения студентов // Тезисы докл. межвуз. на-учно-'методич. конф. "Мировоззренческая подготовка студентов при изучении общетеоретических и специальных дисциплин", 12-14 мая 1983,- Новополоць: Изд-во,Новопол. политех.ин-та,1983.- 0,1 п.л,

Кформирование мировоззрения студентов в курсе математики // Вестник высшей школы.- 1986.- № I.- 0,5 п.л-