автореферат диссертации по истории, специальность ВАК РФ 07.00.10
диссертация на тему: Развитие общей теории линейных обыкновенных дифференциальных уравнений в действительной области в XVIII-XIX веках

Полный текст автореферата диссертации по теме "Развитие общей теории линейных обыкновенных дифференциальных уравнений в действительной области в XVIII-XIX веках"

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ИСТОРИИ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ И ТЕХНИКИ ИМ. С.И. ВАВИЛОВА

pre т

На правах рукописи

КОНОВАЛОВА Лариса Викторовна

РАЗВИТИЕ ОБШЕЙ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЖШАЛЪНЫХ УРАВНЕНИЙ В ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ОБЛАСТИ В XVIII - XIX ВШХ

07.00.10. - история науки и техники

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1994

Работа выполнена в Институте истории естествознанш и техники им. С.И. Вавилова Российской Академии Науь

Научный руководитель - доктор физико-магематическш

наук С.С. ЙЕЩЦОВ.

Официальные оппоненты:- доктор физико-математическю

наук, профессор Н.Х. РОЗОВ; кандидат физико-математичесю наук, доцент Н.В. АЛЕКСАНДРог

Ведущая организация - математический факультет

Российского государственного педагогического университета им. А.И.Герцена

Защита состоится "¿У" 1994 г. в час

на заседании специализированного совета К 003.11.04. в Мнсч туте истории естествознания и техники им. С.И. Вавилова I по адресу: 103012, Москва, К-12, Старопанский пер., д. 1/5.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Инсч тута истории естествознания и техники им. С.И. Вавилова Р^

Автореферат разослан

1994 г.,

Ученый секретарь

специализированного совета,

кандидат физико-математических наук Б.М. МАРИНИ1

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Со времени своего зарождения на рубеже ЭТ1-ШПвекоо и до нашего времени теория обыкновенных диффе-шциальных уравнений играет вакнуи роль в процессе решения иогочисленных проблем, которые естествознание и техника стают перед математическим анализом. Линейные дифференциальные »равнения привлекли к себе внимание математиков еще в конце ¡VII столетия, а уже в первой половине XVIII века они были «делены в отдельный класс. Спектр проблем, разреааемах с по-ющью линейных уравнений, столь широк, что интерес к ним не юлабевает и по сей день. На протяжении двух столетий - XVIII ! XIX - теория линейных уравнений интенсивно развивалась: с «той стороны, под воздействием все возрастающих запросов грактики, побуждающих математиков к поиску методов решения сонкретных задач ( задача Даламйера о движении нити, нагруженной несколькими грузами, задача Л. Эйлера о распростра-1енш пульсаций в упругой среде и т.д.); с другой стороны, ¡следствие решения своих внутренних проблем. Тоория линейных дафференшальжн уравнений активно взаимодействовала с различ-Ш1 разделами математики (в частности с линейной алгеброй), шрпая из них идеи, следуя которым пополнялась новыми результатами, и, в свою очередь, обогащая другие разделы математики звоими идеями.

Актуальность исследования по истории развития теории шейных обыкновенных' дифференциальных уравнений определяется трежде всего значением, которое линейные уравнения имеют в лагемятике и ее приложениях.

Анализ историко-математической литературы показывает, что ; начала XIX века и по наша время было опубликовано большое юличество исследований, освещающих с разной степенью точности различные аспекты истории развития теории линейных дифференциальных уравнений в действительной области. Однако до сих пор ш прослежен путь ее развития в целом.

Целью работа является воссоздание целостной картшш развития общей теории линейных обыкновенных дифференциальных уравнений в действительной области в XVIII - XIX веках. В связи с этим были поставлены следующие задачи: изучить период зарождения теории линейных обыкновенных дифференциальных уравнений; исследовать методы интегрирования линейных уравнений и систем линейных уравнений в квадратурах, разработанные в XVIII веке, и дать оценку их значимости как с позиции современников, так и с точки зрения современного нам уровня знаний; показать становление основных проблем общей теории дифференциальных уравнений в трудах ведущих математиков XVIII века; определить и уточнить авторскую принадлежность ряда терминов, понятий и теорем; проследить историю формирования фундаментальных понятий теории линейных, дифференциальных уравнений (понятий "линейная зависимость" и "линейная независимость" частных решений линейных однородных уравнений); исследовать процесс качественного изменения понятия "интегрирование дифференциального уравнения", а именно: переход от построения общего решения в квадратурах к решению задачи Кош и изучению аналитических свойств функции,, определяемой дифференциальным уравнением; рассмотреть результаты, полученные в общей теории линейных дифференциальных уравнений в XIX веке, индуцированные аналогичными результатами теории алгебраических уравнений; изучить решение' проблемы интегрирования систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэфйвдиентами, показать ее связь с достижениями в разработке теории систем линейных алгебраических уравнений в XIX веке, теорией определителей, матриц и тесно связанной с ними теорией билинейных форм; выявить приемственность идей в работах ученых XVIII и ПХ веков по теории линейных дифференциальных уравнений; рассмотреть теорию Э.Пикара и Э.Вессио как наиболее важное достижение в разработке аналогии между алгебраическими и линейными дифференциальными уравнениями, разрешившее проблему интегрируемости в квадратурах линейных дифференциальных

уравпений.

В цели настоящей работы не входило рассмотрение следующих вопросов теории линейных дифференциальных уравнений: символических методов решения линейных дифференциальных, уравнений; решения линейных уравнений в виде рядов и специальных функций; исследования методов решения линейных уравнений второго порядка; краевых задач линейных дифференциальных уравнений.

Методы исследования. В соответствии с поставленными целями в работе использовались методы историко-научного и математического анализа.

Работа написана на основе изучения оригинальных математических источников (включая малоизвестные и неизвестные историкам математики), большей частью не переведенных на русский язык.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Определено авторство термина "линейное уравнение".

2. Выявлены истоки одной из самых плодотворных идей теории линейных дифференциальных уравнений - идеи интегрирующего множителя.

3. Проведено полное исследование возникновения и развития метода постоянных множителей Даламбера. Дана оценка метода ДаламОера и метода интегрирования линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэф&щиентахи Эйлера, исходя из современного уровня знаний и с точки зрения математиков ХУШ века. При этом обнаружено характерное для первой половины XVIII столетия негативное отношение к алгебраическому подходу решения дифференциальных уравнений, включая и самого его основателя Эйлера.

4. Обнаружен новый метод интегрирования линейных неоднородных дифференциальных уравнений произвольного порядка с постоянными коэффициентами, разработанный Лагранжем, не упоминающийся ни в современной математической литературе, ни в историко-математических исследованиях.

»

5. Выявлены истоки идеи метода вариации постоянных Лагранжа, и причины, побудившие Лагранка к его созданию.

6. Установлено, что центральные теоремы общей теории линейных дифференциальных уравнений - теоремы о структуре общего решения линейного однородного и линейного неоднородного уравнений были впервые сформулированы и доказаны Даламбером.

7. Прослежена история формирования понятий "линейная зависимость" и "линейная независимость" частных решений линейных однородных дифференциальных уравнений в трудах Даламбера, Брас-сина, Кристоффеля. Установлено, что первая попытка определить существо различий между частными решениями, используемими для построения общего решения, принадлежит Даламбору, а современный критерий был сформулирован и доказан Э.Б.Кристоффелем.

8. Исследовано решение проблемы интегрирования систем линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Выяснено, что проблема полностью разрешена в трудах Вейерштрасса и Жордана. Попутно выявлен следующий факт: Вейерштрасс не был первым, кто ввел в рассмотрение и оценил роль множителей, названных им "элементарными делителями". За 17 лет до него это сделал Д.Д.Сильвестр.

9. Выявлена приемственность идей в трудах Эйлера, Даламбера, Лагранка, Якоби. Показано, как реализация идеи интегрирующего множителя различными учеными привела к созданию эффективных методов интегрирования линейных дифференциальных уравнений.

Научная новизна диссертационного исследования определяется следующим. Воссоздана целостная картина развития общее теории линейных обыкновенных дифференциальных уравнений е действительной области ( в рамках поставленных задач ). Решеш проблема авторской принадлежности важнейших теорем общей теории линейных уравнений: теоремы о структуре общего решенш линейного однородного дифференциального уравнения и теоремы о структуре общего решения линейного неоднородной дифференциального уравнения. Изучена проблема определеш)

существа различий между частными решениями однородного уравнения, которые используются для построения общего решения, в трудах крупнейших математиков XVIII века и установлено, что первая попытка определения их сути принадлежит Даламберу. Показано, что современное толкование этих различий было дано Кристоффелем, который ввел термины "линейнэя зависимость", "линейная независимость" и впервые сформулировал и доказал критерий линейной зависимости и линейной независимости частных решений линейного однородного дифференциального уравнения п-го порядка.

Практическая ценность исследования. Результаты диссертации могут быть использованы:

- в дальнейших исследованиях в оОлвсти истории дифференциальных уравнений;

- при разработке курсов истории математики для студентов университетов и педагогических институтов;

- в учебных курсах теории дифференциальных уравнений.

Апробация работы. Содержание и основные результаты диссертационного исследования докладывались на 26-ЗО-я научных конференциях аспирантов и молодых специалистов по истории естествознания и техники в Институте истории естествознания и техники АН СССР (Москва, 1983-1987 гг.); на Всероссийской конференции, посвященной 40-летию победы в Великой Отечественной войне, проводившейся АН СССР (Ленинград, 1935 г.); на Всесоюзной научно-методической конференции "Актуальные вопросы преподавания математического анализа в вузах" (Ленинград, 1985 г.); на ежегодных научных конференциях "Герценовские чтения" в Ленинградском педагогическом институте им. А.И. Герцена (Ленинград, 1983-1937гг.); на семинаре по истории математики при Институте математики АН УССР ( Киев, 1987г.).

Объем и структура работы. Работа состоит из введения, трех глав и заключения, изложенных на 160 страницах, в также из списка литературы, включающего 119 наименований.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы исследования, определена его цель и основные задачи. Проведен обзор литературы и дана общая характеристика работы.

Первая глава диссертации посвящена развитию теории линейных обыкновенных дифференциальных уравнений в XVIII веке. Глава состаит из четырех параграфов.

Первый параграф содержит историко-научный анализ зарождения теории дифференциальных уравнений. Устанавливается, что Н.Бернулли в 1697 году и его сыном Н.Бернулли в 1726 году были даны методы интегрирования линейного неоднородного уравнения первого порядка: отцом - с переменными коэффициентами, сыном - с постоянными. При этом Н.Бернулли первым из геометров заметил и использовал преимущество, которое дает применение экспоненциальной функции для преобразования линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Выяснено, что наряду с поисками методов интегрирования, возникла и другая задача - проблема определения условий интегрируемости в квадратурах. Определен общий принцип ее решения геометрами первой половины XVIII века. Показано, что мысль о поиске "подходящего множителя", высказанная Эйлером и Клеро, привела к созданию нового метода интегрирования дифференциальных уравнений - метода интегрирующего мнокителя, который, в отличие от метода разделения переменных, применим к уравнениям любых порядков. Более того, идея нового метода оказалась необычайно плодотворной для развития всей теории линейных дифференциальных уравнений.

Второй параграф посвящен линейным уравнениям с постоянными коэффициентами и их системам. Выяснено, что термин "линейное уравнение" ввел Даламбер. Он первым применил понятие "линейности" для характеристики дифференциальных уравнений, содержащих функцию и ее производные только.в первой степени и не содержащих их произведений. Отмечено, что вслед за Даламбером етот термин вводит в употребление Ж.А.Н.Кондорсе, а начиная с

семидесятых годов им пользуется Лагранк, он появляется в широкоизвестных учебниках С.Ф.Лакруа и Ж.А.Кузена. Рассмотрен ме-муар Эйлера "Об интегрировании дифференциальных уравнений высших порядков", в котором разработан ставший классическим метод решения однородных уравнений. Отмечено, что Эйлер полагал недостатком своего метода то, что "он целиком отходит от принципов интегрирования", которые требуют, "чтобы мы интегрировали дифференциальное уравнение более высокого порядка поочередно соответствующее число раз". Именно в алгебраической основе своего метода Эйлер видел его уязвимость. Изложен метод решения и неоднородных уравнений, предложенный Эйлером. Дана оценка обоих методов.

Дан анализ работ Даламбера 1743-1748 годов, в которых им был разработан метод постоянных множителей. Проведено полное исследование развития этого метода, в основе которого лежит идея интегрирующего множителя Эйлера. Дана оценка методов Эйлера и Даламбера с позиций их современников и с точки зрения современных знаний.

Третий параграф посвящен проблеме интегрирования линейных уравнений с переменными коэффициентами. Изложен метод интегрирования линейного неоднородного уравнения с переменными коэффициентами при условии, что известны п или (п-1) частных решений соответствующего однородного уравнения, разработанный . Лагранжем. Рассмотрены приложения этого метода к решению неоднородного уравнения n-го порядка вида:

B-Y + В-(h+k-t)-Y'+ С-(h4-lC't)2-Y"+...+ V.(h4k-t)n-Y(n> = Т (1)

(А, B,...,V, h, к - постоянные, Т - функция от t) и к системам уравнений этого вида. Показано, что применение алгоритма, разработанного Лагранжем для решения уравнения (1), к интегрированию линейного неоднородного уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами привело к появлению нового эффективного метода решения неоднородных уравнений о постоян-

ными коэффициентами.

Рассмотрен метод вариации постоянных Лагранжа, выявлен истоки идеи этого метода. Показано, как идея, положена Лагранжем в основу своего метода, применялась Эйлером.

Четвертый параграф посвящен вопросам общей теории лине! ных дифференциальных уравнений, исследованным в паботах Дг лвмбврв. Установлено, что теоремы о структуре общего решен! линейного однородного и линейного неоднородного уравнений бы: сформулированы Даламбером в 1767 году и доказаны в 1769 год: Показано, что Даламбер первым предпринял попытку выяснит] в чем должна состоять суть различий между частными решения! однородного уравнения, используемыми для построения обще: решения. Установлено, что предложенный Даламбером критер справедлив для уравнений второго порядка.

Вторая глава диссертации посвящена реформе Кот в теор обыкновенных дифференциальных уравнений и состоит из дв параграфов.

В первом параграфе рассматривается эволюция понят "интегрирование дифференциального уравнения": переход гостроения общего решения в квадратурах к определению частно решения, удовлетворяющего заданным начальным условиям. И следуются методы, позволяющие установить существование фун дай, удовлетворявших дифференциальным уравнениям, и вычисли приближенные значения этих функций с заданной степенью точно ти. Рассмотрены методы Коши, впоследствии названные перв и вторым методом Коши. Рассмотрен метод интегрирован дифференциальных уравнений с помощью рядов, породивший трет теорему существования, - метод последовательных приближений.

Во втором параграфе разобрана работа Дж.Пеано, в ь торой решена проблема существования начальной задачи I системы линейных уравнений с помощью введенного им новс понятия - "числового комплекса".

Третья глава диссертации посвящена развитию теории лине ных дифференциальных уравнений в XIX веке й содержит четь

- Ю -

гараграфа.

В первой части первого параграфа рассмотрены результаты \Либри и Э.Брассина, полученные ими на основе аналогии, зуществуадей между свойствами линейных дифференциальных урав-зений и алгебраических уравнений. Отмечено, что успехи, дости-, гнутые при изучении линейных уравнений, более существенные, зем при изучении других классов дифференциальных уравнений, в значительной степени определятся существованием атой аналогии. Изложены основные теоремы общей теории линейных уравнений, полученные Либри и Брассином. Рассмотрена попытка Брассина сформулировать критерий для определения сути различий между честными решениями однородного уравнения, с помощью которых составляется обще^ решение.

Вторая часть первого параграфа посвящена проблеме линейной независимости частных решений линейного однородного дифференциального уравнения. Исследования крупнейших математиков дают основание считать, что их авторы полагали наличие существенных различий между частными решениями линейного однородного уравнения необходимым условием для построения из них общего решения. Попытки выяснить, в чем состоит суть зтих различий предпринимались Даламбером, Муаньо, Брассином. По существу точное понимании различий ( вероятно, идущее от Кони ) имелось лишь у Муаньо, однако форма, в которой оно было высказано, оказалась неудобной для применения. Разрешить эту проблему удалось в 1858 году немецкому математику Э.Б.Кристоффелю. Установлено, что именно ему ми обязаны современным толкованием существа различий между частными решениями линейного однородного дифференциального уравнения.

В работе "О линейной зависимости функций одной переменной" Кристоффель ввел тержшы "линейная зависимость" и "линейная независимость", им были впервые сформулированы и доказаны критерии линейной зависимости и линейной независимости частных решений линейного однородного дифференциального уравнения 11-го порядка.

- ГГ -

Кристоффель поставил задачу следующим образом: найти аналитический критерий, с помощью которого можно было бы установить, является ли данный набор из п частных решений линейногс однородного дифференциального уравнения п-го порядка достаточным для построения общего решения.

Показано, каким образом Кристоффель решил эту проблему с помощью функционального определителя, названного впоследствии определителем Вронского.

В литературе введение понятия линейной независимости связывают с именами двух немецких математиков - О.Гессе и Э.Б.Кристоффеля, указывая на уже упомянутую работу Кристоффеля и на работу О.Гессе "О критериях максимума и минимума простых интегралов" 1857 года.

Анализ работы О.Гессе, посвященной задаче вариационного исчисления, позволил установить, что проблема линейной независимости частных решений линейного однородного дифференциального уравнения ни в коей мере не была затронута автором. Гессе лишь использовал в своих преобразованиях аппарат теории определителей и при доказательстве ряда утверждений опирался на свойства функционального определителя (определителя Вронского), в связи с чем Кристоффель, исследуя в конце своей работы свойства полученного им функционального определителя, и ссылается на статью Гессе, опубликованную годом раньше его работы.

Во втором параграфе исследуется проблема решения линейных дифференциальных уравнений и систем с постоянными коэффициентами. Рассмотрена фундаментальная работа К.Вей-ерштрасса "К теории билинейных и квадратичных форм", в которой им было введено понятие "элементарного делителя", сформулировано и доказано необходимое и достаточное условие приводимости пары билинейных форм к каноническому виду. Отмечено, что за 7 лет до появления работы Вейерштрасса для систем с целочисленными коэффициентами ирландским математиком Г.Смиттом была построена теория, аналогичная его теории

'лементаршх делителей. Выяснено, что Вейерштрасо не был пер-1ым, кто ввел в рассмотрение и оценил роль множителей, названии им "элементарными делителями". За 17 лет до него это сде-шл Д.Д.Сильвестр.

Изложен способ Вейерштрасса решения систем линейных^ даюродных дифференциальных уравнений с постоянными коэф-' зициентами, основанный на применении его теории приведения юры билинейных форм к каноническому виду.

Рассмотрена работа Жордана 18Т4 года "Мемуар о билинейных Еюрмах", посвященная также проблеме приведения пары билинейных рорм к каноническому виду, в которой изучен частный случай, не рассмотренный Вейерштрассом, и показано, что проблема приведе-зия двух билинейных форм к каноническому виду в рамках, рассмотренных Вейерштрассом, идентична проблеме приведения линейной подстановки к каноническому виду, исследованной автором в "Теории подстановок".

Исследована работа Жордана 1871 года "О решении линейных дифференциальных уравнений", в которой изложен метод решения системы линейных однородных уравнений с постоянны)-«! коэффициентами, в случав наличия кратных корней характеристического уравнения.

Установлено, что вопрос об интегрировании систем линейных уравнений с постоянными коэффициентами в действительной области был разрешен Вейерштрассом и Жорданом независима друг от друга и почти одновременно.

В третьем параграфе прослежено развитие метода интегрирующего множителя Эйлера в работах Даламбера и Лагранжа. Рассмотрена работа Якоби "Теория нового множителя системы обыкновенных дифференциальных уравнений ". Показано, что метод Якоби, разработанный им в упомянутой работе, также представляет собой обобщение метода Эйлера.

В четвертом параграфе исследовано решение проблемы интегрируемости линейных уравнений в квадратурах. Рассмотрены работа Э.Пикера "О группах преобразований линейных уравнений"

1883 года и работа Э.Вессио "Об интегрировании линейных дифференциальных уравнений" 1892 года, в которых авторам удалось, опираясь на результаты С.Ли, построить аналог теории Галуэ для класса линейных дифференциальных уравнений и разрешить тем самым вопрос об интегрируемости линейных дифференциальных уравнений в квадратурах.

В заключении диссертации подытожены основные ^:зультаты и сформулированы основные выводы, которые можно сделать на основе проведенного в ней исследования.

Основное содержание диссертации отражено в следующих опубликованных работах автора:

1. Коновалова Л.В. К истории понятия линейной независимости частных решений линейных однородных дифференциальных уравнений. - В кн.: Историко - математические исследования. М: Наука, 1985, вып. 29, с. 77-88.

2. Коновалова Л.В. О методе последовательных приближений в работах Лиувилля. Москва, 1986. - 4 с. - Рукопись представлена Институтом истории естествознания и техники АН СССР, секцией истории математики. Деп. в ВШИТИ 10 ноября 1986, N 7667 - В86.

3. Коновалова Я.В. Даламбер и общая теория линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. - В кн.: Историко-ма-тематические исследования. М.: Наука, 1986, вып. 30, с. 81-87.

4. Коновалова Л.В. К истории развития теории линейных обыкновенных дифференциальных уравнений в XVIII веке. - В кн.: Математическое естествознание в его развитии: Сборник научных трудов. Киев: Наукова думка, 1987, с. 27-32.

5. Коновалова Л.В. Развитие метода интегрирующего множителя Эйлера в трудах французских и немецких математиков XVIII- XIX веков.- В кн.: Исторические традиции и от г развития отечественной науки и техники: Сборник материалов по. науковедению, истории науки и научно-техническому прогнозированию. Киев: Наукова думка, 1988, с. 76-79.