автореферат диссертации по истории, специальность ВАК РФ 07.00.10
диссертация на тему: Развитие символического исчисления во второй половине XIX века - начале XX века

Полный текст автореферата диссертации по теме "Развитие символического исчисления во второй половине XIX века - начале XX века"

1Г> ст>

Г 22

э >== РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НОТ •

3 ИНШТУТ ИСТОРИИ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ И ТЕХНИКИ имени С.И.ВАШЛОМ _ со

На правах рукописи

ЕФИМОВА Елена Анатольевна

РАЗВИТИЕ СИМВОЛИЧЕСКОГО ИСЧИСЛЕНИЯ ВО ВТОРОЙ ПОЛОВИНЕ XIX ВЕКА - НАЧАЛЕ XX ВЕКА

07.00.10 - история науки и техники

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА - 1995

Работа выполнена в'кабиненте истории и методологии математики и механики механико-математического факультета Московского государственного университета имени Н:Б.Ломоносова.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук С. С. ПЕТЕРОМ.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук М.И.МОНАСТЫРСКИЙ, доктор физико-математических наук С.С.ДЕМИДОВ.

Ведущая организация: факультет информатики

Российского государственного гуманитарного университета.

Защита состоится "<Рп 1Ш>Кс? 1995 года в 46" часов, на заседании специализированного совета К 003.11.04. в Институте истории естествознания и техники имени С.И.Вавилова РАН по адресу: 103012, Москва, К-12, Старопгнский пер., д. 1/5.

С диссертацией мсшно ознакомиться в библиотеке Института истории естествознания и техники имени С.И.Вавилова РАН.

Автореферат разослан " к " 1995 года.

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат

физико-математических наук

Б.М.МАРИШЧЕВ

- з. -

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Символическое исчисление, созданное в работах Ж.Лагранжа в конце XVIII века и разрабатывавшееся в XIX веке, в основном, французскими и британскими математиками, являт ется одним из важнейших источников современного операционного исчисления (и, шире, функционального анализа).

Среди приложений символического исчисления к различным областям математики одно из центральных мест занимают символические методы решения дифференциальных уравнений, являющиеся предшественниками операторных методов XX века. Историю символических методов в XIX веке можно разделить на несколько периодов. Первый период (до начала сороковых годов) характеризуется разработкой методов, преимущественно, для уравнений с постоянными коэффициентами и связан,- в первую очередь, с именами Б.Бриссона и О.Коши.

Улсе Б.Бриссон и О.Коши подчеркивали необходимость обоснования символического исчисления и предлагали использовать для этого интегральные преобразования, однако, эта идея в XIX веке не получила своего развития. Зыбкость фундамента, на котором' строились символические методы, послужила причиной их серьезной критики (в первую очередь, со стороны О.Коши) и привела к практическому прекращению разработки этого направления ео Франции.

Однако, оно продолжало развиваться в Великобритании, где эта критика долгое время оставалась, по-видимому, неизвестной. Работы Д.Грегори (1837-1841), способствовавшие большой популяризации этого исчисления, привели к исследованиям Дэс.Буля и его многочисленных последователей, направленным Еа создание символических методов решения дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами и составившим второй период, продолжавшийся до середины 60-х годов.

Последний, третий период, конец которому положили знаменитые работы О.ХевнсяДдд, характеризуется настойчивыми попытками найти обоснование символических методов решения уравнений с постоянными коэффициентами и привлечь к ним внимание более широкого круга исследователей.

Не все из этапов развития символических методов получили достаточную разработку в историко-матекатической литературе. Предыстория и первый период (от истоков в работах Г.В.Лейбница до начала сороковых годов XIX века) получили достаточно подробное освещение в обзорах С.Пинкерле (1906-1912), Г.Т.Девиса (1936) и современных исследованиях, прежде всего, Е.Коппелъман (1971), С.С.Петровой (70-80-е гг.) и М.Пантеки (1992). В современной литературе мы находим подробный аналяз развития символических методов решения дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, созданных во Франции Б.Бриссоном и О.Коши и в Великобритании Д.Грегори и Дх. Булем. Однако, последующие исследования, связанные с разработкой символических методов решения дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, а также история дальнейшего развития символического исчисления (до работ О.Хевисайда) изучены недостаточно.

Что касается второго периода, обзор некоторых результатов (без какого-либо анализа) проведен Е.Коппелъман в работе "Calculus of Operations and the Rise of Abstract Algebra" (1971). Более подробное (впрочем, также не содержащее анализа с позиций современной математики) их изложение сделало М.Пантеки в диссертации "Relationships between Algebra, Differential Equations and-Logic in England, 1800-1860" (19S2). В статьях С.С.Петровой изучен ряд результатов Дд.Вулл и Ч.Харгрева. ..зднако, полученная в результате этих исследований картяна далека от полноты.

Дальнейшее развитие символического исчисления (до работ О.Хевисайда), если не считать отдельных замечаний М.Пантеки о его развитии в Великобритании, практически, изучено не было. Создавалось дат.е впечатление, что вне Великобритании исследования по символическому исчислению, практически, не велись."

Исследования же О.Хевисайда и история последующего развития операционного исчисления достаточно подробно изучены в работах

А.Н.Боголюбова (1972), Дж.Лзотцена (1979), С.С.Петровой (1985) и др.

Таким образом, в диссертации делается - попытка заполнить тлеющийся в литературе пробел. Без полного представления о ходе разработки символических методов в теории дифференциальных уравнений невозможно и адекватное представление об истории теории дифференциальных уравнений в целом. Этим, в первую очередь, и определяется актуальность теш. Актуальность тега подчеркивает и следупцее обстоятельство. Крупные успехи в области дифференциальных уравнений с. переменными коэффициента'®, . полученные в последние десятилетия на базе дальнейшего расширения операционного исчисления - микролокального анализа, вкхваот необходимость воссоздания полной картины предшествующей истории соответствующих понятий и методов.

ЦЕЛЬЮ РАБОТЫ является изучение истории символического исчисления и его приложений, главным образом, к решению дифференциальных уравнений, в период с сороковых годов XIX века до начала XX века; выяснение исторических корней некоторых идей и понятий современного операционного исчисления; выявление роли отечественных ученых в процессе создания символических методов решения дифференциальных уравнений.

- 6 -

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ включают В себя: историко-научный и математический анализ оригинальных работ (более-дваддати авторов);

- историко-методологический ■ анализ использования и развития символических методов в теории дифференциальных уравнений XIX -начале XX веков.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА РАБОТЫ. Все основные результаты диссертации являются новыми. Впервые воссоздана единая картина развития символических методов решения дифференциальных уравнений в период с сороковых годов XIX века до начала XX века.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ РАБОТЫ. Результаты диссертации могут быть использованы:

- для дальнейшего исследования истории символического исчисления;

- при изучении.развития функционального анализа и теории дифференциальных уравнений; • ■ • ...

- при написании истории современного операционного исчисления;

- как штериал для чтения лекций и курсов по истории математики. ,

АПРОБАЦИЯ РЕЗУЛЬТАТОВ И ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации докладывались:

- на XXXV научной конференции молодых специалистов „и аспирантов по истории естествознания и техники в ИИЕиТ РАН в Москве (1993);

- на научно-исследовательском семинаре по истории и методологии математики и механики в МГУ (1994, 1995);

- на семинаре по истории математики ИИЕиТ РАН в Москве (1995);

- на спецсеминаре по истории математики в МГУ (1994).

Основные результаты диссертации опубликованы, в работах автора, указанных в конце автореферата.

ОБЪЕМ И СТРУКТУРА РАБОТЫ. Диссертация Содержит 210 странщ машинописного текста и состоит из введения, трех глав и заключения, а также списка литературы • из 185 наименований.

СОДЕШШЕ И ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАНИМ. Во ВВЕДЕНИИ обосновывается актуальность теш исследования, дается краткий обзор относящейся к ней историко-математической литературы, формулируется цель работа и приводится обзор содержания диссертации с делением на г лат и параграфы.

ПЕЕВАЯ ГЛАВА посвящена символическим методам Дж.Буля и состоит из трех параграфов.

Первый параграф является вводным и содержит историю символических -методов интегрирования дифференциальных уравнений до 1844 г. После описания основной историко-математической литературы, относящейся к ранней истории символического исчисления, дается обзор основных достижений в области его приложения к теории дифференциальных уравнений: операторное разложение Б.Бриссона (1808) й метод Б.Бриссона решения - неоднородного дифференциального уравнения с переменными коэффициентам в виде ряда; основные методы решения дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, созданные Б.Бриссоном и О.Коши, - метод факторизации и метод разложения; метод Кош-Грегори сведения интегрирования уравнения о частными производными к интегрированию обыкновенного ■ уравнения путем замены оператора постоянной; метод С.С.Графит,?- решения одного класса уравнений с частными производными'с переменными коэффициентами, основанный на методе интегрирующего множителя; книга Д.Грегори "Examples of the Processes of the Differential and Integral Calculus" (1841), вклвзчахщая осноБИне результаты, полученные к началу сороковых годов, и ставшая основой для дальнейших исследований но созданию символа-

ческих методов решения уравнений с переменными коэффициентами; выделенные З.Сервуа основные "принципы", на которых строится символическое исчисление- - операторы (дифференцирования, разности и т.п.) подчиняются тем же законам, что и числа - дистрибутивному, коммутативному и "закону индексов? (основанному на выделенном позднее В.Р.Гаыильтоном ассоциативном законе), и метод Д.Грегори решения функциональных уравнений с постоянными коэффициентами, основанный на этих "принципах"; попытки обоснования символического исчисления с помощью интегральных преобразований, предпринимавшиеся Б.Бриссоном и О.Коши, а также критика О.Коши использования радов по целым, положительным и отрицательным, степеням операторов; метод Т.Гаскина решения уравнения цилиндрических функций с целым положительным параметром, удачно использующий символическую запись этого уравнения.

Второй параграф посвящен работам Дж.Еуля 1844-1848 годов. Основная' его работа; по символическому исчислению, написанная ' Ъ 1844 году, стала началом двадцатилетних исследований в Великобритании по разработке символических методов решения дифференциальных уравнений с переменными (практически, только с полиномиальными) коэффициентами. "Основным методом" Дк.Еуля стало сведение интегрирования обыкновенных уравнений с полиномиальными коэффициентами к интегрированию уравнений специального' вида -двучленных (в символическом виде) уравнений и разработка "теории двучленных уравнений" (т.е. поиск основных приемов ш, интегрирования в ксшечпш виде).

В 1845 году Дж.Буль вывел "фаргулы каммут^зш ДЕ$ферзща-' ального оператора с экспонентов", которые исЕйаьзог&нись для решена! двучленных уравнений,-а в 1847 году ео-д-^г еовк£ узтсг, решения одного класса двучленных ураьнс тзй с Д'^оч^слинял! дауа-

метром. Приводятся примеры применения созданных методов к решении уравнений гошщдрических (1844, 1847) и сферических функций (1846-1848).

Отмечается, что после 1848 года и до выхода "Трактата, по дифференциальным уравнениям" Дж.Буль -не публиковал работ по применению символических методов к решению дифференциальных уравнений.

Третий параграф посвящен исследованиям Дх.Буля по символическому исчислению 1359-1854 годов, которые ранее в историко-ма-тематической литературе не рассматривались. Отмечается, что эти исследования были связаны, в основном, с его знаменитыми трактата.«! - по дифференциальны?.« уравнениям (1859, 2-е изд. 1865), и по уравнениям в конечных разностях (I860), а также с подготовкой расширенного издания первого пз этих трактатов, прерванной смертью Дж.Вуля. На основе его рукописей был опубликован "Дополнительный том ..." (1865). Дополнения к предыдущим результатам, сделанные в яти годы были связаны, в основном, с его "теорией двучленных уравнений1,.

ВТОРАЯ ГЛАВА, состоящая из восьми параграфов, посвящена исследованию символических методов решения дифференциальных уравнений с переменными коэффициента!,и в работах исследователей Дж.Буля.

В первом параграфе второй главы приводится обзор^результа-тов Б.Брорвина, написавшего наибольшее количество работ по этой теме, однако, значение этих результатов невелико.

Во втором параграфе изучаются результаты Ч.2аргрева. Отмечаются его обобщение правила Лейбница дифференцирования произведения функций и введение им "механических" замен, ставших пред-

s ,

шественвикаш ваззшх' методов решения дифференциальных уравнений,

приводятся два примера дальнейшего использования такого рода замен - в современном операционном исчислении (переход от уравнения для "оригинала" к уравнению для "изображения", основанный на свойствах интегральных.преобразований, прежде всего, преобразования Лапласа) и в приложениях теории распределений,' где аналогичные методы основаны на свойствах преобразования Фурье (и других аналогичных преобразований) распределений.

В третьем параграфе исследуются работы В.Донкина, который одним из первых начал употреблять коммутаторы операторов и получил при этом некоторые важные разложения, использующиеся в настоящее время в теории дифференциальных уравнений. На основе одного из разложений М.В.Крофтон (1879) привел первый пример использования нумерации порядка действия операторов, при этом разложение В.Донкина стало "распутанным" (по Р.Фейнману, 1951) видом формулы М.В.Крофтона.

При использовании коммутаторов ВДонкин и другие британские • математики обычно брали в качестве одного из операторов дифференциальный оператор, а в качестве другого - оператор умножению на функцию. Прослеживается роль В.Донкина в исследованиях, исторически предварящих создание групп и алгебр Ли. Приводятся оригинальные ^тоды решения уравнений цилиндрических и сферических функций.

Четвертый параграф посвящен работам Р.Кармайкла, который

применил метод Д.Грегори решения функциональных уравнений с

постоянными коэффициентами и, исходя из теоремы Эйлера об одно-

о о

родных " функциях, изучал свойства оператора +"' '

Р.Кармайкл такге написал первый и единственный в XIX веке учебник "Трактат по исчислению операций" (1855), посвященный исключительно символическому исчислению и его приложениям. Дается его

анализ и рассматриваются рецензии, опубликованные на него - первая принадлежит В.Расселу, а две другие - на сам трактат и его немецкий перевод, О.Шлемильху.

В пятом параграфе изучаются работы А.Куртиса и В.Споттисву-да, которые продолжили исследования Р.Кармайкла по созданию символических методов интегрирования уравнений с частными производными и изучали более общие, чем Р.Кармайкл, операторы. Однако, с помощью замены переменных эти операторы можно привести к виду, рассмотренному Р.Кармайклом, а соответствующие уравнения с частными производными - к уравнения!,1 с постоянными коэффициентами. . Приводится метод А.Куртиса решения класса дифференциальных уравнений второго порядка, включающего уравнение цилиндрических функций. Этот класс впервые был выделен Ч.Харгревом. Метод состоит в сведении общего уравнения к уравнению цилиндрических функций с использованием одной из "формул коммутации дифференциального- оператора с экспонентой" Дж.Буля.

Шестой параграф посвящен изучению работ Ч.Грейвса, который впервые исследовал операторное тождество ^гг - згу - I , вывел из него обобщения некоторых формул Дж.Буля и Ч.Харгрева, а также привел свои примеры "механических" замен в символических равенствах. Некоторые из полученных им результатов еошли в известную книгу Г.Т.Девиса "Теория линейных операторов" (1935), который проследил роль этого тождества в квантовой механике.

В седьмом параграфе изучаются работы Г.Грира и С.Робертса, написанные в 1860 году. Отмечается, что к этому времени произошел заметный спад в исследованиях, связанных с символическим исчислением.

Восьмой параграф посвящен исследованию результатов В.Рассела, который ввел для дифференциальных операторов умножение слева

и справа и создал аналогичную алгебре обычных полиномов алгебру полиномов от двух некоммутирующнх операторов, подчиняющихся закону коммутации Дж.Буля. При этом он применил деление операторов, аналогичное делению "уголком", к решению дифференциальных уравнений с полиномиальными коэффициентами по методу факторизации. В связи с "делением" В.Рассела прослеживается история "деления" дифференциальных операторов, связанная с именами Г.Либри, Е.Лцувилля, Е.Брассина, Дж.Буля и С.Пинкерле. Отмечено, что в отличие от В.Рассела, остальные математики использовали метод неопределенных коэффициентов, и что "алгоритмом Брассяна" нахог-дения наибольшего общего внутреннего делителя двух операторов теперь называют метод, аналогичный алгоритму Евклида, в котором "деление с остатком" осуществляется по С.Пинкерле аналогично тому, как в символическом исчислении ото делал Дж.Буль. Приводится содержание ранее неизвестных мемуаров В.Рассела по применению символического исчисления к решению нелинейных дифференциальных уравнений и уравнений с частными цропзводными. Отмечается, что 'В.Рассел впервые'ввел'ойератор', иснолъзующлйся в' современной те- ' ории нелинейных уравнений. Излагается содержание статьи В.Рассела в English Cyclopedia (1873).

В заключительных замечаниях ко второй глазе выделены основные направления рассмотренных исследований по созданию символических методов решения дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, а также рассмотрены основные причины прекращения стих исследований в середине 60-х годов прошлого века, среди которых отмечены следупцие: отсутствие обоснования и строгости из-' ложения; критика как со стороны иностранных ученых, так и со стороны британских математиков; отсутствие крупных результатов; смерть к коьцу 60-х годов наиболее крупных участников етих исс-

ледований.

ТРЕТЬЯ ГЛАВА посвящена развитию символического исчисления с середины 60-х-годов XIX века до начала XX века. Это развитие связано, в основном, с именами российских, немецких, итальянских и британских математиков.

В первом параграфе рассматриваются работы российских математиков. Разбирается магистерская диссертация М.Е.Ващенко-Захар-ченко, посвященная изложению результатов британских математиков. Отмечено, что ранее в историко-математической литературе давались только оценки этой работы, не всегда объективные, и было •неизвестно, имеются-ли в ней собственные результаты автора. Проведенный анализ показал, что в своей диссертации он широко использовал "Трактат по дифференциальным уравнениям" Дж.Буля, отсутствовавший в списке литературе. Выявляется еще целый ряд работ, послуживших основой для написания других разделов его диссертации, а также приводятся отдельные (очень скромные) результаты его собственных изысканий.

Исследуются неизвестные ранее в историко-математической литературе результаты А.В.Леткикова (1878) по символическим методам решения уравнений с постоянными.коэффициентами, получившего удобную формулу для нахождения частного решения неоднородного уравнения. Рассматриваются другие его работы, а также результаты Н.Я.Сонина, - П.А.Некрасова и А.И.Ливенцова, связаннее с ск.еоли-ческим исчислением.

Второй параграф связан с символическим исчислением в Германии, и, креме того, в нем привертел обзор результатов по сакто-ризации (т.е. разложению на линейные мпожители) линейных дифференциальных операторов с переменным коз^гт'дэнгами. Разбирается неизвестная ранее работа Ф.Грелле (1870), в которой он пытается

обосновать символические методы решения уравнений с постоянными коэффициентами, в частности, метода факторизации. В 70-е годы начались .исследования по факторизации линейных дифференциальных операторов; связанные с именами Г.Фробениуса, Г.йлоке, А.Кэли и ЯР-

Третий параграф посвящен работам итальянских математиков. Впервые разбирается работа П.Кадзаниги (1882), который старался привлечь внимание к символическому исчислении и его приложениям к теории дифференциальных уравнений и, в частности, получил обобщение правила Лейбница для операторов с переменными коэффициентами-. Отмечается, что эта работа оказала влияние _на исследования С.Пинкерле, связанные с разработкой теории линейных операторов.

В четвертом параграфе изучается дальнейшее развитие символического исчисления в работах британских математиков. Отмечает-' ся употребление символических методов в учебниках, цреподавание их в .университетах. -Анализируются работы Дж.В.Л.Глейшера • и М.Б.Крофтона. Показано, что . эти методы' широко использовал Э.Р.Форсайт в известном "Трактате по.дифференциальным уравнениям" (1-е изд.1885). Этот трактат оказал большое влияние на О.Хе-висайда, работы которого стали переходными от символического исчисления XIX века к современному операционному исчислению.

В ЗАКЛЮЧЕНИИ приведены основные выводы, полученные ■• в результате проведенного исследования. ■;

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ.

1. Впервые в историко-математической литературе проведен анализ результатов по разработке символических методов решения дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами, полученных британскими математиками . в 40-60-е годы XIX века, дана их ин-

терпретация с точки зрения современной математики (теории дифференциальных уравнений, операционного исчисления).

2. В итоге анализа работ этих математиков установлено, что:

а) эти исследования были направлены, в основном, на разрат ботку символических методов решения дифференциальных уравнений с полиномиальными коэффициентами; .

б) основными работами, на которые опирались эти исследования, бьшг книга Д.Грегори 1841 года и мемуары Дх.Буля 1844-1847 годов;

в) в ходе этих исследований были высказаны некоторые идеи,

' впоследствии забытые и возродившиеся вновь (разумеется, на принципиально ином уровне и в иной форме) уже в настоящее время; прежде всего, это относится к "формулам коммутации дифференциального оператора с экспонентой" Дж.Буля, заменам Ч.Харгрева и коммутаторам и разложениям В.Донкина;

г) "исследования, "в области уравнений с частными производными были связаны, в основном, с использованием метода Д.Грегори решения функциональных уравнений с постоянными коэффициентами и метода Кош-Грегори замены дифференциального оператора постоянной, имешщих (в ином виде) огромное значение в современной теории дифференциальных уравнений;

д) основной причиной прекращения этих исследований стало отсутствие обоснования и, вследствие этого, недоверие к полученным результатам..

3. Впервые изучена история символических методов решения дифференциальных уравнений в период с середины 60-х годов до начала XX века, при этом обнаружены забытые ранее роботы Ф.Грелле, П.Кадзаниги, Д.В.Летникова, П.В.Крофтона и Дж.В.Л.Глейшера. Установлено, что эти исследования были связаны, в основном, со

стремлением привлечь внимание математиков к символическим методам решения дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, что привело, в конечном итоге, к исследованиям О.Хевисай-да.

4. Выяснено, что идея нумерации порядка действия операторов впервые появилась в работе М.В.Крофтона 1879 года.

5. Показано, что одним из важнейших итогов исследований по символическому исчислению в XIX веке явилось "привыкание" к обращению с "символами операций".

Основные результаты опубликованы в следующих работах автора:

1. Ефимова Е.А. О работах В.Рассела по символическому исчислению- //Ист.-мат. исслед. 1994. Вып. XXXV. С. 247-254.

2. Ефимова Е.А. К истории символического исчисления //Вопр. ист. естествозн. и техники. 1994, N.4. С. 144-147.

|

I ! I

1 1