автореферат диссертации по истории, специальность ВАК РФ 07.00.10
диссертация на тему: Из истории теории интегральных уравнений

Полный текст автореферата диссертации по теме "Из истории теории интегральных уравнений"

ггз 00

- у пая да

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ИСТОРИИ ЕСТГОТВОЗНАШ И ТЕХШШ

На правах рукописи

АЛЕКСАНДРОМ Ирина Леонидовна -

УДК 517.968(091) ИЗ ИСТОРИИ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 07.00.10 - история науки п техники

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА - 1992

Работа выполнена в кабинете истории и методологии математики и механики механико-математического факультета Московского государственного университета км„М.В .Ломоносова.

Научный руководитель - кандидат физико-математических

наук, доцент А.В.Дорофеева.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

С.С.Демидов,

кандидат физико-математических наук, доцент С.Н.йлехник.

Ведущая организация - Ростовский государственный

университет.

Защита состоится " ^ " мсцттс^ 199 ¿.г. в 15 часов на заседании специализированного совета К 003.11.04 но присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук при Институте истории естествознания и техники Российской Академии наук по адресу: 103012, Москва, К-12, Старопанский.пер., 1/5.

С диссертацией мбжно ознакомиться в библиотеку Института истории естествознания и техники РАН.

Автореферат разослан " » с^-рсид, 199 ^Ь г.

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат физико-математических

наук луЪ?? Б.М.Мариншев

ОВЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теш. Актуальность- исследования по истории теории интегральных уравнений определяется прежде всего той важной ролью, которую эта теория играет п современной математике и ее приложениях» в первую очередь естественнонаучных. Изучение истории теории нктегралышх уравнений - представление о процессе ее зарождения и развития, об источниках ее понятий и задач, о взаимодействии ео с другими разделам! математики - помогает правильно понять современное состояние этой теории и оценить новейшие тенденции в ее развития. Большое значение при этом имеют не только полученнке результаты, но я разработаште для решения интегральных уравнений метода, развитие и обобщение которых привело к появлению новых теорий.

Первые интегральные уравнения возникли в начале XIX века из прикладных задач математической физики, механики, геометрии. Классическая теория интегральных уравнений была построена на рубеже XIX - XI векдв. Претерпев в начале XX века интенсивное развитие, она из одного из источников функционального анализа превратилась в его составную часть. Усиление роет и значимости теории интегральных уравнений стимулирует появление интереса к ео истории.

В то ке время эта проблема относится к числу наименее изученных: в нсторш математики. Теория интегральных уравнений как целостная ^тематическая дисциплина еще не была предметом историко-елучного исследования, в научной литературе освещена лишь некоторые аспекта ее истории.

. Этим и определяется актуальность теш исследования.

Пель иоодедовашя. Цель настоящей диссертации - дать анализ процесса зарождения и развития до начала XX века теории интегральных уравнений как целостной дисциплины. Для этого необходимо решить следующие задачи:

- выявить основные этапы развития теории интегральных уравнений,

- установить взаимосвязь и взаимовлияние этой теории и ' других областей математики и естествознания,

- уточнить вклад отдельных ученых в развитие теории интегральных уравнений,

- проанализировать первые курсы лекций по теории интегральных уравнений.

Другой не менее важной задачей является вополнение некоторых из многих существующих еще пробелов в истории отечественной математики.

Матот исследования. Б*соответствии с поставленными задачами в работе использовались историко-научные и историко -ведческие методы:

- исторшсо-научныЁ анализ, основывающийся на так называемом презентистском подходе: исследуемый материал рассматривается в контексте „¡атематики того времени,

- историко-методологический анализ, на основании которого прослеживается связь теории интегральных уравнений с математикой XIX - XX веков.

Научная новизна. Настоящая диссертация - первое в исто-рико-математической литературе подробное исследование истории зарождения л развития теории.иьтегральных уравнений как цело-

стной дисциплины. Впервые исследована ранняя история теории интегральных уравнений и ее развитие в начале XX века. Среди первоисточников, на основе изучения которых выполнена диссертационная работа, имеются малоизвестные и не изучавшиеся ра~ ■ нее в историко-научной литературе мемуары и статьи. В работе

дан более полный и тщательный анализ классического этапа раз-

%

вития теории интегральных уравнений, уточнен вклад отдельных ученых я использованные ими метода.

Практическая: значимость. Результата диссертации могут быть использованы:

- при написании общих работ но истории математики XIX -IX веков,

- для дальнейшего более углубленного исследования вопросов истории теории интегральных уравнения и функционального анализа,

- в учебных курсах по истории и методологии математики дня студентов университетов и педагогических институтов.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы были доложены автором на:

- научно-исследовательских семинарах кабинета истории

и методологии математики и механики механико-математического факультета ШУ ш.М.В.Ломоносова (йчо2.),

- ежегодных конференциях "Герценовские чтёния" в ЛГПИ -РГПУ им.А.И.Герцена (Ленинград - Санкт-Петербург, 1990,1992),

- ХХХШ - ХХХГУ научных конференциях аспирантов и молодых специалистов по' истории естествознания и техники в ИИЕиТ им.С.И.Вавилова РАН (1991 - 1992),

- семинаре по истории математики в ИИЕиТ им.С.И.Бавило-ва РАН (1992),

- пленуме национального объединения по истории науки и техники (Москва, 1992).

Птбликашш. Основные результаты исследования опубликованы в работах автора, указанных в конце автореферата.

Объем и стттуктура работы. Диссертационная работа изложена на страницах машинописного текста и состоит из введения, пяти глав и заключения. Список литературы включает 1БЯ- названий.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность теш исследования, дается краткий обзор литературы по теме, определяются задачи исследования и приводится обзор содержания диссертации с делением на главы.

Первая глава посвящена ранней истории теории интегральных уравнений, она состоит из четырех разделов.

Первый раздел является вводным. В нем рассмотрены некоторые вопросы терминологии, а также' отмечена связь мезду интегральными уравнениями и обращением интегральных преобразований.

Во втором разделе анализируются первые опыты решения интегральных уравнений в менуарах Пуассона о распределении заряда на поверхности проводника и Фурье о распространении ' тепла в твердых телах (1811). Исследования Пуассона и Фурье способствовали, признании идеи- математизации физики в начале

XIX века. Имена Пуассона и Фурье в литературе по теории интегральных уравнений как правило не упоминаются, а пионером в решении интегрального уравнения частного ввда называется Абель.

В третьем разделе исследуются работы Абеля по теории интегральннх уравнений (1823, 1826). При этом особый интерес представляет первая работа, которая была впервые опубликована в норвежском научно-популярном журнале и оставалась,незамеченной вплоть до издания Полного собрания сочинений Абеля на французском'языке в 1839 и 1881 годах. Именно в этой работе Абель вводит понятия и обозначения производной и интеграла дробного порядка. Он получает формулу для дробной производной, которая затем бала дваящн переоткрыта: Лиувиллем (1832) и Римаяом (1847). Формула обращения Абеля ^

в дальнейшем привлекала внимание многих математиков, ее обоснование, обобщения и приложения можно найти у Шлемилъха, Сомова, Летникова, Бельтрами, Сонина, Ле Ру, Вольтерра, Гурса.

В четвертом разделе рассматриваются ранние работы Лиуви-для по теории дифференцирования с произвольным индексом и «го подход к решению некоторых интегральных уравнений первого рода. Сравниваются решения Абеля и Лиувилля задачи о таутохроне и обосновывается независимость решения Лиувилля.

Во второй главе прослеживается эволюция первого общего метода теории интегральных уравнений - метода последовательных приближений - от Лиувилля (1837) до Банаха (1922).

В первом разделе рассматривается сведение задачи Шур-ма-Лнувилля к интегральному- уравнению второго рода и отыскание его решения в виде сходящегося ряда. Именно с этой работы Лиувшшя (1837) и начинается , применение метода последовательных приближений в теории интегральных уравнений.

Во втором разделе отражено применение этого метода для доказательства существования решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения. Этот аспект освещен в литературе по истории теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Здесь же он необходим для создания целостной картины развития теории интегральных уравнений и ее связей с другими областями математики.

Интегральные уравнения становятся объектом особого внимания математиков в середине XIX века, когда задача Дирихле в теории потенциала была сведена к интегральному уравнению. В третьем разделе дается рнализ метода арифметического среднего, разработанного К.НсПманном (1870,- 1877) для решения . интегрального уравнения второго рода, к которому сводится, задача Дирихле. Рассматривается также работа Беера (1856), в которой метод последовательных приближений применен к интегральному уравнению первого рода.

Основная сложность метода последовательных приближений состоит в доказательстве сходимости. Лиувилль при этом использовал специальный вид функций, входящих в уравнение, Ней-манн строго обосновал сходимость для случая плоской области специального вида, а Беер и вовсе оставил нерассмотренным этот вопрос. Общую форму методу последовательных приближений, придал Пикар (1893).

В четвертом разделе перечислены результаты Ле Ру (1895), Вольтерра (1896 - 1897) и Банаха (1922), подробный анализ которых приведен в следующих главах.

В третьей глдве исследуется классический этап развития теории интегральных уравнений - построение общей теории интегральных уравнений в конце XIX - начале XX вена в работах Вольтерра, Фредгольма, Гильберта и Шмидта.

Особое место занимает первый раздел, в котором отражен вклад Лиувилля в развитие теор1Ш интегральных уравнений с симметризуемым ядром. В 1845 году им опубликованы общие теоремы, переоткрцтые через полвека Гильбертом и Шмидтом.'

Во втором разделе рассматривается построение общих методов решения уравнений Вольтерра (по современной терминологии). Анализируется диссертация Ле Ру (1695).посвященная дифферен- , циальным уравнениям в частных производных, в которой решаются интегральные уравнения общего вида. Подробно рассматриваются классические работы Вольтерра (1896 - 1897), в которых построена общая теория для уравнений вида

и уточняются использованные в юн методы и роль аналогий с линейной алгеброй.

• В третьем разделе рассматривается знаменитые мемуары Фредгольма (1900, 1903), ставшие классическими в поразительно короткие сроки. В них Фредгольм исследует уравнения вида

VfC*^ = 44xv

о

к которым приводят многие задачи математической физики. Интересен подход Фредгольма к решению уравнения как к обращению функционального преобразования.

Четвертый раздел посвящен развитию теории интегральных уравнений с симметричным ядром. Работы Гильберта достаточно полно отражены в нсторико-математической литературе, и изло кение этих результатов носит реферативный характер.

В четвертой главе прослеживается развитие из теории интегральных уравнений некоторых важнейших понятий функционального анализа.

Б первом разделе рассматривается геометрическая структура гильбертовых пространств и геомерический язык, введенный в диссертации Шмидта (1907).

Второй раздел посвящен истории теоремы Рисса-Фишера. Эта теорема имеет большое методологическое значение, т.к. она устанавливает идентичность двух совершенно различных по природе пространств и Z2. .

В третьем разделе анализируется связь дальнейших исследований Ф.Риссом пространств Лр , в которых вводятся некоторые важнейшие понятия функционального анализа, и теории интегральных уравнений.

В четвертом разделе рассматривается диссертация Банаха "Об операциях в абстрактных множествах и их приложении к интегральным уравнениям", которая интересна превде всего использованным в ней абстрактным подходом. В этой работе начато аксиоматическое построение теории полных нормированных про-

странств, названных теперь именем Банаха, и решение интегральных уравнений для широкого класса функций получено методом последовательных приближений как следствие принципа сжимающих отображений.

В пятом разделе отражено распространение Шаудером теории Фредгольма на случай вполне непрерывного оператора в полном пространстве.

Пятая глава посвящена вкладу отечественных математиков в развитие теории интегральных уравнений. В ней рассмотрены работы Сомова, Летникова, Сонина, Урысона, Егорова. Приводится биография Костицына и анализ его работ по теории интегральных уравнений.

В последнем разделе рассматривается становление теории интегральных уравнений как учебной дисциплины. Анализируются первые учебники по теории интегральных уравнений, которые вышли в начале XX века почти сразу же после появления классических работ Вольтерра, Фредгольма, Гильберта и Шмидта.

В заключении приводятся основные выводы диссертации."

НА ЗАЩИТУ ВЫНОСЯТСЯ СЛЕДЯЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ:

I. Теория интегральных уравнений берет начало из задач прикладного характера - математической физики, механики, геометрии. В развитии теориь выделяются три этапа. На первом этапе рассматриваются интегральные уравнения частных видов, нет еще общих методов решения и соответствующей терминологии, интегральные уравнения не выделяются в предмет самостоятельного исследования. Второй этап - построение классической тео-

рии. На третьем этапе теория интегральных уравнений становится неотъемлемой частью функционального анализа.

2. Первые опыты решения интегральных уравнений были предприняты Пуассоном и Фурье (I8II).

3. Первый общий метод в теории интегральных уравнений -метод последовательных приближений впервые был применен Лиу-виллем (1837). Затем он применялся для доказательства существования решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения, решения задачи Дирихле в теории потенциала. Банах рассматривал этот метод как следствие принципа сжимающих отображений абстрактных функциональных пространств.

4. Первые общие теоремы об интегральных операторах с симметризуемым ядром были получены Лиувиллем (1845) за полвека до классических исследований Гильберта и Шмидта.

5. В классических исследованиях Вольтерра (1896 - 1897) использовались исключительно аналитические методы, а аналогии с линейной'алгеброй были привлечены в дидактических целях в лекциях (1912, 1925).

6. Из теории интегральных уравнений были развиты такие важнейшие понятия функционального анализа как сильная и слабая сходимость, сопряженное пространство, норма линейного оператора, вполне непрерывный оператор, собственные значения и собственные функции.

7. Теория интегральных уравнений тесно связана с какими разделами анализа как дробное исчисление, теория потенциала, спектральная теория самосопряженных линейных операторов в гильбертовом пространстве, теория вполне непрерывных линейных операторов в банаховом пространстве.

8. Классические свойства интегральных операторов обусловлены не интегральной структурой, а их полной непрерывностью.

9. В развитие теории интегральных уравнений большой вклад внесли отечественные учёные : Сонин, Урысон, Егоров.

10,- Теория интегральных уравнений стала учебкой дисциплиной ужо в начале XX века.

Основные положения диссертации опубликованы

в следующих работах автору:

1. Работы Абеля по теории интегральных■уравнений и дробное интегрирование и дифференцирование //Тезисы ХШ1 науч. конф. асп. и мол. спец. по истории естеств. и техн. Секция истории математики.- М.: ИИЕиТ АН СССР, 1991,- 0. 3-4.

2. Работы Абеля по теории интегральных уравнений //История и методология естественных наук, вып. 37 (в печати).

3. Метод последовательных приближений в теории интегральных уравнений //Тезисы ХХХ1У науч. конф. асп. и мол. спец. по истории естеств. и техн. Секция истории математики.- М.: ИИЕиТ РАН, 1992.- С. 23 - 24.

4.0 ранней истории теории интегральных уравнений,- М., 1992, 33с.- Рукопись представлена Московским гос. ун-том. Деп. в ВИНИТИ 25 Иг .92, Л ЬС.бО-В92.

5. Интегральные уравнения в функциональном анализе начала XX века.- М., 1992, 2Ъ е.- Рукопись представлена Московским ун-том. Деп в ВИНИТИ А5 .С2.93, .К' Ч - В93.