автореферат диссертации по философии, специальность ВАК РФ 09.00.08
диссертация на тему: Реконструкция развития математического знания в методологии научно-исследовательских программ

Полный текст автореферата диссертации по теме "Реконструкция развития математического знания в методологии научно-исследовательских программ"

КАЗАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

РГб од

2 1 ДЕК

Тарзиманова Гульшат Джавадовна

Реконструкция развития математического знания в методологии научно-исследовательских программ

\

09.00.08 - философия науки и техники

•АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата философских наук

Казань - 2000

Работа выполнена на кафедре философии Казанского государственного университета

Научный руководитель -

доктор философских наук, профессор Нугаев Р.М.

Официальные оппоненты - доктор философских наук,

профессор Тайсина Э.А. кандидат философских наук, доцент Разногорский Я.Я.

Ведущая организация -

Казанский государственный технический университет.

Защита состоится « » щяхЯ'_2000г. в

часов на

заседании диссертационного совета К 053.29.11 в Казанском государственном университете.

Адрес: 420008, г. Казань, ул. Кремлевская, 18,2-й учебный корпус, ауд. 215.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Казанского государственного университета.

Автореферат разослан 2000г.

Ученый секретарь

диссертационного совета кандидат философских наук, доцент

Ь.О

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Развитие математического знания представляет собой особо значимый предмет исследования методологии науки. С одной стороны, математические теории образуют универсальные схемы для построения теоретического каркаса естественных наук, а С другой - возникновение этих теорий само ставит перед познанием специфические методологические вопросы. К числу последних относятся вопросы реконструкции развития математического знания.

Реатьная история развития математики дает уникальный материал для методологических обобщений. В свою очередь, методология математики оказывает активное, организующее влияние на ход математических исследований, определяя направления развития и оценивая их результаты. Принципы развертывания математических исследований давно были предметом методологии математики, но, в связи с ростом методологических исследований, эта область познания вступила в пору построения целостных моделей математического развития и сопоставления их с историческими фактами. Эти модели определяют собой предмет философско-методологических исследований, выделяя его в самостоятельную область анализа процесса математического познания.

Исторически. исследование закономерностей развития математического знания оформилось в связи с появлением трудностей, возникших в основаниях математики. Кризис первых программ обоснования математики - логицизма Рассела и Фреге, формализма Гильберта и интуиционизма Брауэра - потребовал философского анализа возникших затруднений. Именно на этом пути математика приобрела в трудах некоторых методологов науки эмпирицистский статус. Последующие попытки построения методологии математики по аналогии с методологией эмпирических наук инициировали соответствующие шаги в методологических исследованиях. Одной из таких методологических концепций, основанных на гипотезе о квазиэмпирицисгском статусе математики, явилась методология научно-исследовательских программ И.Лакатоса. Эта методология обеспечила значительное продвижение в реконструкции роста математического знания и анализе природы его развития. Основной замысел этой концепции, состоящий в попытке понять развитие конкретных наук в контексте общности проблем обоснования нетривиального знания, и поныне сохраняет свое значение. Однако, если в отношении эмпирических наук эта концепция продемонстрировала свою успешность, то в отношении математики она оказалась не в состоянии

выявить собственно математическую специфику. Попытки уложить реконструкцию математического развития в прокрустово ложе оригинальных принципов методологии НИП Лакатоса (Марчи, Хоусон,, Хэллет) обнаружили, с одной стороны, недостаточность основных единиц этой методологии доя учета специфики математического знания, а с другой -неадекватность принципов, определяющих процессы развертывания математического знания в истории самой математики. С этих позиций актуальность исследуемой в диссертации проблемы заключается в развитии методологии НИП Лакатоса с учетом новых деталей современного состояния математического развития, а также выявление новых принципов, вытекающих из осмысления последних.

Актуальность исследуемой в диссертации проблемы, помимо сказанного, подчеркивается еще и некоторыми, давно отмечаемыми особенностями развития математики, которые направляют математические исследования, но при этом все еще не получили должного отражения в методологических концепциях. А именно, процесс специализации математического знания, объективно действующий как следствие индивидуальной инициативы, ведет к дроблению математики на множество относительно обособленных областей. Опасность сверхспециализации в математике до настоящего времени всегда подавлялась предпринимаемыми усилиями по ее унификации. Вместе с тем, для математики отмеченные тенденции являются определяющими в ее развитии. Перед методологией математики встает задача осмыслить эти черты современного .математического развития • в конкретных методологических схемах. Диалектическое видение процессов разрешения методологических противоречий между специализацией и унификацией в конкретных моделях развития математического знания требует, в первую очередь, построения адекватных методологических единиц его анализа. Последующий анализ предполагает выяснение конкретных механизмов отмеченных процессов. Выяснение этих деталей математического. познания представляет особый интерес в философском осмыслении развития: научного знания и также является актуальной задачей методологии науки.

Степень разработанности проблемы. Современные исследования в области философии математики в основном ведутся в двух направлениях. Одно из них, фундаменталистское, характеризуется изучением сущности математики вне связи с ее конкретными историческими состояниями. Исследования этого направления в настоящее время все более отходят от истории, возвращаясь в лоно гносеологии (Е.А.Беляев, Ж.Дьедонне,

О.И.Кедровский, Н.А.Киселева, У.Куайн, Ч.Парсонс, Х.Патнэм, В.Я.Пермянов, А.Г.Рузавин, К.Ф. Самохвалов, В.А.Успенский). Другое, нефундаменталистское, направление исследует математику в ее исторической данности. Это направление строит и исследует модели развития математики, создавая различные реконструкции ее истории (А.Г.Барабашев, Б.В.Бирюков, Т.Коетсиер, И.С.Кузнецова, И.Лакатос, А.Н.Нысанбаев, З.А.Сокулер, М.Хэллет). В настоящее время исторические закономерности развития математики устанавливаются в границах, порожденных той или иной рациональной реконструкцией, заменяя платонисгское истолкование статуса описания исторических закономерностей на иное, модельное, истолкование.

В работах нефундаменталистского направления выявилось исключительно важное для методологических исследований обстоятельство -возможность исследования функционирования математики не требует окончательного решения проблем установления ее сущности. Этот вывод, расходящийся с представлениями, развиваемыми в русле фундаментализма, открыл новые перспективы для методологических исследований. Пионерской работой нефундаменталистского направления стала серия публикаций И.Лакатоса, выполненных в русле исследований исторической школы философии науки (К.Поппер, Т.Кун, И.Лакатос, Д.Агасси, С.Тулмин), заложившей новые историографические традиции методологических исследований.

ИЛакатос предпринял попытку выявить общую схему развития науки, и, в частности, математики. Созданная им методология научно-исследовательских программ была предназначена для анализа роста любого научного знания, а также его реконструкции, в форме взаимодействия различных НИП. Одновременно с появлением этой методологии возникли критические исследования, главным образом, в методологии математики, показывающие недостаточность оригинальных принципов Лакатоса для эффективной реконструкции развития математического знания. Так, были поставлены, а в определенной степени и разрешены, вопросы касающиеся существования НИП в математике (К.Хоусон), критериев оценки роста математического знания (М.Хэллет), возможности квалифицировать развитие математического знания в форме состязательности НИП и некоторые другие . (P.M. Нугаев, В.Я. Перминов). Попытка обрисовать новые контуры методологии НИП в математике в идейном русле философии И.Лакатоса была предпринята в исследованиях Т.Коетсиера. В этих исследованиях был дан всесторонний анализ соответствия методологических принципов Лакатоса специфике математического знания, в результате которого была выявлена необходимость их модификации. А именно, было выявлено

несоответствие некоторых структурных элементов НИП Лакатоса методологии математики, нечеткость в разграничении этих элементов между собой, отсутствие общезначимой конкуренции математических программ и некоторые другие. Эта критика определила направления таких модификаций методологии НИП, которые могли бы в большей степени учитывать специфику математического знания. Данное исследование находится в русле этих попыток.

Подытожим сказанное.

1) Основные принципы .методологии НИП Лакатоса в методологии математике оказались неадекватными реальной истории развития этой науки, хотя замысел концепции в контексте общности проблем обоснования нетривиального знания сохраняет свое значение.

2) Неразработанной оказалась специфика математических НИП в методологии математики, хотя некоторые из отдельных деталей были выработаны в исследованиях В.Я.Перминова. А.И.Панченко, К.Хоусона, МХэллета, Т.Коетсиера и некоторых других.

3) Неразработанной в смысле учета специфики математического знания оказалась и сама методология Лакатоса в математике, что потребовало дальнейшего развития этой концепции в методологии математики.

Таким образом, предметом диссертационного исследования является комплекс вопросов связанных с построением нового модифицированного варианта методологии НИП в математике, а также реконструкция истории отдельных периодов развития математического знания в этой методологии.

Цель и задачи исследования. Цель данной диссертации - построение нового модифицированного варианта методологии НИП в математике, а также проверка его эффективности на основе реконструкции истории отдельных периодов развития математического знания. Эта цель была реализована в следующих задачах:

1) дать критический анализ методологии Лакатоса в математике;

2) на основе выбранных методологических единиц разработать новый вариант методологии НИП в математике для анализа процессов роста математического знания и, в частности, выявить место этой методологии среди иных моделей исторического развития знания;

3) продемонстрировать эвристические возможности предлагаемого варианта методологии в реконструкции развития теоретической математики и, в частности, дать реконструкцию развития геометрического знания в истории создания неевклидовой геометрии.

Теоретико-методологической базой данного исследования явились работы в области философии, методологии и истории науки и математики -работы А.Г.Барабашева, Ж.Дьедонне, В.Ф.Кагана, Т.Коетсиера, И.Лакатоса, В.А.Лекторского, Р.М.Нугаева, В.Я.Перминова, М.А.Розова, В.С.Степина.

Научная новизна исследования. Понятие научно-исследовательской программы вошло в методологию науки после работ И.Лакатоса. Описывая определенные способы и механизмы получения нового знания, этот термин сфокусировал методологический анализ на процессах роста знания, обращаясь, главным образом, к логике внутреннего развития науки. Однако, структура НИП Лакатоса отвечала в большей степени особенностям развития эмпирических наук и, в этом аспекте, недостаточно учитывала специфику математического знания. Поэтому, в первую очередь, возникла необходимость в критериальном уточнении математических НИП и их специфики как будущих единиц методологии НИП в математике.

Исходным пунктом в решении отмеченной задачи, стало наблюдение того, что обычно приводящиеся примеры НИП в математике, такие как формализм Гильберта, логицизм Рассела и Фреге и некоторые другие, являются по сути не математическими, а метаматематическими программами. Целый ряд программ, отражающих практику математического исследовательского поиска, обладал иными характерными чертами. Эти программы, связываемые, как правило, с новыми математическими открытиями, вносили определяющий вклад в развитие математического знания. Выявление этих обстоятельств в свою очередь определило новизну данного исследования.

Выделение собственно математических НИП в математике и разделение класса всех НИП в этой науке на математические и метаматематические, потребовало разработки критериев программной определенности математических НИП. Эти критерии были предложены таким образом, чтобы отобразить в НИП специфику механизма развития математики, понимая под последней определяющие для математики тенденции развития как единого процесса специализации и интеграции получаемого знания. Таким образом, структура математических НИП получила иное, по сравнению с НИП Лакатоса, функциональное определение.

Новые особенности математических НИП потребовали и адекватного построения в этих единицах и самой методологии НИП в математике. В' авторском варианте методологии математических НИП был ослаблен принцип фаллибилизма Лакатоса. Развитие математики предложено

оценивать в соответствии с более слабыми версиями фаллибилизма. Для процессов возникновения, развития и завершения математических НИП в математике предложена единая эволюционная модель, описывающая механизм этих процессов на основе взаимодействия идей из различных исследовательских программ. Отмеченная модель унифицирует механизм роста математического знания, тогда как различия в наблюдаемых в истории математики периодах роста отнесены к особенностям проявления динамики этого роста в соответствии с парадигмой теоретико-катастрофического подхода к их описанию. Рост математического знания в предлагаемой методологии НИП характеризуется двумя стадиями: I) стадия нормального роста, соответствующая исследовательской деятельности в рамках уже созданных ранее программ, и 2) стадия критического роста, определяемая как стадия возникновения новых НИП,:В таком подходе к типологизации роста знания, возникновение одновременно нескольких новых НИП может характеризоваться в теоретико-катастрофическом плане как многообразие катастрофы, отвечающей внутренней структуре исторически сложившегося состояния в системе научного знания.

Наиболее значимые новые результаты исследования заключаются в следующем.

1. На основе анализа исторического развития математики сделан вывод о необходимости разделения научно-исследовательских программ на два качественно различающихся класса - математические и метаматематические НИП - определяющие собой динамику математического развития на современном этапе.

2. Выявлен определяющий характер математических НИП в реконструкции развития математического знания на современном этапе развития и недостаточная адекватность методологии НИП Лакатоса специфике математических НИП.

3. Для анализа развития математического знания разработан новый вариант методологии НИП, использующий математические НИП в качестве основных единиц анализа.

4. Разработаны критерии для выявления НИП в реальной истории математики и на их основе предложена типологизация стадий роста математического знания.

5. На основе предложенной методологии выполнена реконструкция роста геометрического знания в истории создания неевклидовой • геометрии: а) периода открытия геометрии Лобачевского, и б) периода последующего развития неевклидовой геометрии.

6. Для процессов становления математических НИП предложена

эволюционная модель, описывающая механизм взаимодействия математических и метаматематических идей из различных исследовательских программ.

7. В реальной истории развития математики выявлены примеры еще не завершившихся процессов программного оформления исследовательской деятельности в форме математических НИ П, для реконструкции которых предложены дополнительные методологические единицы.

Научно-практическая значимость диссертации. Полученные в исследовании результаты позволяют углубить понимание проблем развития математического знания и его рациональной реконструкции в методологии математики. Помимо этого, полученные в диссертации результаты могут быть использованы для построения спецкурса по основаниям геометрии, входящего в образовательную программу по кафедре геометрии педагогического университета.

Апробация результатов работы. Основные положения диссертации обсуждались па заседании кафедры философии Казанского государственного университета и кафедры геометрии Казанского государственного педагогического университета. Некоторые из результатов диссертации обсуждались на XIX международном конгрессе по истории науки в г. Сарагоса (Испания), международной научной конференции «Лобачевский и современная геометрия» в г. Казани, международном семинаре «Космическое пространство в науке, философии и богословии» в г. Санкт-Петербурге.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, характеризуется степень разработанности проблемы, определяется теоретико-методологическая основа исследования, формулируются предмет, цель и задачи диссертационной работы, ее новизна и научно-практическая значимость.

Первая глава «Критический анализ современных методологических концепций роста математического знания» состоит из трех, параграфов.

В первом параграфе «Критический анализ методологии . НИП Лакатоса» дается обзор оригинальной методологии- НИП Лакатоеа и обосновывается неадекватность" этой методологии процессу развития математического знания. В нем отмечается, что введенный Лахатосом термин

НИП удачно направляет методологический анализ роста научного знания. Однако, сама методология, принимающая НИП в качестве своих единиц, обладает рядом принципиальных недостатков. Отметим главные из них. Во-первых, эта методология создана для анализа роста эмпирического знания. Ее методологической основой является конкуренция фундаментальных, эмпирически эквивалентных, теорий. В математике нет понятия эмпирической эквивалентности, а конкуренция НИП либо отсутствует, либо имеет принципиально иные параметры. Во-вторых, методология Лакатоса по сути отрицает специфику математических НИП. Эмпирицистские НИП Лакатоса представляют собой последовательности модифицируемых теорий, объединенных общими программными установками. Однако, в математике действует идеал завершенного знаниями для модификаций теории не остается места. Соответственно, математические НИП должны иметь другую структуру, фиксирующую другие принципы взаимодействия программных установок с результатами исследовательской деятельности. Результатом данного параграфа является обоснование необходимости разработки нового варианта методологии НИП для анализа развития математического знания.

Во втором параграфе «Критический анализ современных конкретнонаучных моделей роста математического знания» выполнен анализ некоторых современных конкретнонаучных концепций развития знания, возникших в результате новейших исследований в области нелинейной физики, теории катастроф и синергетики. Отмеченные концепции предлагают различные модели внутреннего механизма развития научного знания, фиксирующие свои определенные контексты для анализа внутренней логики его развития. Для целей ретроспективного анализа отмеченные модели различаются своими вариантами демаркации между внутренними и внешними факторами развития. Первые из них с необходимостью должны быть учтены в объясняющем формализме методологии, реконструирующей внутреннюю логику развития знания. Главный результат этого параграфа заключается в том, что, отвергая для методологии математики фаллибилизм Лакатоса, мы принимаем позицию Р.Тома, выраженную в его теории катастроф. В ней развитие математики и, как мы полагаем, ее методологии представляется как процесс формирования структур. Эта позиция будет основой для выработки нового понимания научно-исследовательских программ в математике.

В третьем параграфе «Критический анализ фундаменталистских и ^фундаменталистских концепций в методологии математики» дан обзор иных подходов к реконструкции развития математического знания. Качественкое своеобразие этих подходов связано с тем фактом, что в

современных философско-мето дологических исследованиях развития математического познания выделились два направления исследования -фундаменталистское и нефундаментачистское. Первое из них подчиняет исследование развития математического знания установке на выяснение проблемы сущности математики, вне зависимости от ее конкретных исторических состояний. Второе, напротив, рассматривает историческое развитие математики как закономерно обусловленное и подчиняет свой анализ выявлению этих исторических закономерностей. Реконструкция развития математического знания в русле нефундаменталистской философии представляет собой построение комплекса моделей историко-математического процесса, дающих описание закономерностей развития математического познания, извлекая последние из реальной истории.

В данном параграфе дается обзор некоторых конкретных современных моделей математического развития. Фундаментатистское направление представлено моделью развития математики Ф.Китчера. В ней, согласно авторской концепции, математика рассматривается как индивидуальная и коллективная деятельность, охватываемая понятиями «математической практики» и «межпрактическими переходами» от одной практики к другой. Нефундаментачистское направление представлено моделями А.Г.Барабашева и И.С.Кузнецовой. В первой из них развитие математического знания реконструируется в виде системы взаимодополнительных описаний множества исторических закономерностей развития математики. Эта модель ставит сложные вопросы о причинной обусловленности историко-математических процессов и их отражении в принципах рефлексивного восприятия. Другая модель математического развития, предложенная И.С.Кузнецовой, основана на авторской концепции метаэмпирического понимания природы математического развития. Отмеченная модель, выстраивающая математическое знание в иерархическую, структурно организованную, систему метаэмпирических и метаумозрительных рассуждений, переплетения которых, по И.С.Кузнецовой, и составляют сущность математических исследований, близка к интенциям данной диссертации. Помимо отмеченных, дается обзор попыток адаптации известной куновской модели для анализа математического познания, изложенных в работах М.Ярошки, Р.Перко и П.Шепфа. В заключение параграфа дается обзор некоторых, более частных, исследований, связанных с развитием и экспликацией в методологии науки новых представлений об исследовательской научной деятельности вообще. В этих исследованиях научная деятельность подразделяется на типы, среди которых НИП занимают свое определенное место.

Вторая глава «Новый вариант методологии НИП в математике» состоит из четырех параграфов.

В первом параграфе «Структура и рост математического знания в методологии математических НИП» дается новая экспликация математических научно-исследовательских программ, более адекватных методологии математики, и обосновывается тезис об определяющей роли этих методологических единиц для реконструкции динамики роста математического знания.

Методология науки должна отражать в своих единицах важнейшие тенденции развития научного познания. Ретроспективный анализ развития математического познания позволяет выделить и квалифицировать как определяющую тенденцию в ее развитии взаимодействие двух противоположно ориентированных процессов. Это процессы дифференциации и интеграции математического знания. Взаимодействие этих процессов в настоящее время оценивается как сущность самого механизма развития математического знания. Соответственно, математические НИП должны адекватно отражать отмеченные процессы. В данном параграфе предлагается и обосновывается тезис о том, что именно математические НИП определяют внутреннюю логику развития математического знания. Тем самым логика развития математического знания оказывается предметом методологии математических НИП.

Анализ математических НИП, реконструируемых из истории математического развития, примеры которых представлены в третьей главе, позволяет определять математические НИП как жестко определенные последовательности математических идей и метаматематических основоположений. При этом, основой НИП являются математические идеи, тогда как метаматематические основоположения служат для создания структурной иерархической конструкции НИП. Таким образом в математических НИП реализуется соподчинение одних идей другим, образуя иной вариант структуры НИП, отличный от структуры эмпирицистских НИП Лакатоса. Примером здесь может служить «Эрлангенская программа» Ф.Клейна, в которой принцип симметрии, являясь метаматематическим принципом служит для организации собственно геометрических идей в различные геометрические системы. ■

В отличие от математических, метаматематические НИП не подвержены указанным процессам дифференциации и интеграции.; Они образуются системой метаматематических идей, которые демонстрируют конкурентную борьбу, проявляя эмпирицистский статус метаматематики.

Структура метаматематических НИП аналогична структуре эмпирицистских НИП Лакатоса. Примерами таких НИП служат программы логицизма, формализма и интуиционизма, возникшие на рубеже 19-20 века. В этом параграфе дан сравнительный анализ различий между указанными выше типами НИП в методологии математики.

Во втором параграфе «Генезис математических НИП» на основе анализа реальной истории математического развития уточняется специфика математических НИП, разрабатываются критерии программной определенности исследовательской деятельности математиков и выявляется механизм роста знания в истории математического развития.

Исходным моментом методологического анализа предлагаемой методологии, является реконструкция математических НИП. Этц НИП служат для фиксации качественно различных способов генерации научного знания, и для них должны быть определены соответствующие критерии, позволяющие квалифицировать ту или иную инновационную деятельность как программную. При этом общий механизм развития математического знания с необходимостью будет отражаться в математических НИП, а элементы этого механизма - в структуре самих НИП. Следовательно, критерии программной определенности математических НИП следуем-искать в механизмах реального исторического развертывания процессов роста математического знания.

Реальная динамика развития математического знания, наблюдаемая в истории математики, демонстрирует специфическое взаимодействие идей из различных областей математического знания. Математика не только едина как часть науки в общем значении этого . слова, . но и ее развитие демонстрирует как никогда ранее это единство. При этом прогресс в математике происходит главным образом в результате слияния двух и более различных областей математики. Механизм такого слияния проявляет себя в виде существования: а) центров притяжения, и б) центров излучения математической мысли. Первые образуются нерешенными задачами, ждущими новых методов решения этих задач. Вторые, напротив, образованы методами уже решенных задач и, в силу этого, обладающих некоторым, уже зарекомендовавшим себя, потенциалом.

Математические НИП организуют функционирование отмеченного механизма в виде единого познавательного процесса с единой логикой развития математического знания. Из анализа истории математики были выявлены следующие три определяющих признака математических НИП: а) специализация предмета исследования, состоящая в выделении и обособлении определенной области идей и методов, образующих центры

притяжения математической мысли, б) унификация заявленных целей, задач и методов, в форме единой операционной деятельности, и в) наличие рефлексивности, оформляющей исследовательскую деятельность на программном уровне. В обосновании предложенных в этом параграфе положений рассмотрены три примера из истории математики - проблема теоремы Ферма, возникновение интеграла Лебега и доказательство теоремы Эйлера о многогранниках.

В третьем параграфе «Соотношение . внутритеоретической и метатеоретической рефлексии математического познания в методологии математически НИП» дается анализ соотношения внутритеоретической и метатеоретической рефлексии в методологии математических НИЛ и выявляется место данной методологии в системе рациональных реконструкций исторических закономерностей развития математики.

Развитие математики обнаруживает тенденцию к все более усложняющейся иерархии в переплетении внутринаучных и метанаучных основоположений. В генезисе математических НИП это проявляется в воссоздании структуры НИП, в которой метанаучные основоположения выполняют функцию организации всего комплекса идей в единый программный ориентир исследовательской деятельности. В методологии математических НИП отмеченные конгломераты идей принадлежат различным уровням рефлексии, создавая, проблему их разграничения. В частности, такая проблема возникает при разграничении собственно математических и метаматематических детерминант в причинно-следственных связях наблюдаемых историко-математических процессов. Выдвигаемый в данном параграфе тезис состоит в том, что развитие математики как целостной системы специальных знаний требует от методологии, реконструирующей развитие этой науки, доведения процесса реконструкции до выявления внутренней логики развития математического знания, до воссоздания проекции развития этого знания в мире собственно математических идей. Иначе говоря, для реконструкции развития математического знания принимается принцип математической наблюдаемости, требующий адекватного отображения любых методологических понятий в мире математических идей. Отсюда следует значимость внутринаучной рефлексии для разработки критериев программной определенности математических НИП. Вместе с тем, новые НИП. не сводятся только к собственно математическим идеям. Структура НИП содержит метаматематические основоположения, для обсуждения и анализа которых методология должна вырабатывать более широкий контекст. Тем не менее, до тех пор, пока обособленность отдельных наук от науки о

человеке отождествляется со спецификой этих наук и поддерживается тенденцией к специализации научных знаний, до этих пор для анализа развития спешгальных наук наиболее общий социокультурный контекст должен привлекаться лишь по случаю.

В четвертом параграфе «Диалектика развития знания в методологии математических НИП» раскрывается диалектика методологии математических НИП, рассматриваемой как процесс рефлексии над достигнутым уровнем развития математики. В этом ракурсе анализируются ресурсы методологии и намечаются контуры ее собственной эволюции как системы, реконструирующей все более тонкие детали динамики развития математического знания. В развитие этих идей в четвертой главе исследуются процессы зарождения новых математических НИП, отражающих диалектику процесса методологического анализа математического познания.

В третьей главе «Рациональная реконструкция истории создания неевклидовой геометрии» выполнена реконструкция истории создания неевклидовой геометрии в форме становления и последующей эволюции математических НИП.

В первом параграфе «Рациональная реконструкция истории создания геометрии Лобачевского» на основе ретроспективного анализа исторического материала дана рационааъная реконструкция открытия неевклидовой геометрии. Прослеживая переплетения математических и метаматематических идей, показано развитие представлений об обосновании геометрии с внутригеометрического типа на внегеометрический, определяющий расширения контекста обоснования с внутринаучного уровня рефлексии на метанаучный уровень. В частности, получено обоснование наблюдаемого в истории консерватизма в признании неевклидовой геометрии как результата столкновения метафизических установок евклидовской априористской программы в геометрии и новой, неевклидовской установки математического эмпиризма Лобачевского, Больаи и Гаусса.

Во втором параграфе «Рациональная реконструкция истории создания геометрий Римана, Кэли и Клейна» прослежена история последующего этапа создания неевклидовых геометрических структур в форме реконструкции трех геометрических исследовательских программ. Эти НИП, оформляющих на программном уровне результаты исследований создателей отмеченных геометрий, реконструированы по оригинальным работам этих'• ученых. Методологический анализ посвящен выявлению того множества геометрических идей и сопровождающих их математических '"и •

методологических основоположений, которые определяли проблематику геометрических исследований того времени. Результатом этого параграфа является внутритеоретический анализ адекватности отражения всей проблематики геометрических исследований реконструируемого периода в проблематике исследований указанных трех НИП. Исследуется генезис этих НИЛ в форме преемственности геометрических идей, общематематических и метаматематических основоположений из более ранних, предшествующих НИП Евклида, НИП Э.Галуа, НИП Н.Лобачевского. В развитие этого исследования, в свою очередь, анализируется влияние новых НИП на возникновение последующих математических НИП А.Пуанкаре (Analysis Situs), НШ1 Д.Гильберта (аксиоматический метод) и НИП Н.Васильева (неклассическая логика).

В третьем параграфе «Внутритеоретический анализ адекватности методологии НИП в реконструкции истории создания неевклидовой геометрии» на основе полученных во второй главе критериев дается внутритеоретическое обоснование программного, в смысле предлагаемой методологии математических НИП, характера реконструированных во втором параграфе геометрических НИП Римана, Кэли и Клейна. Отмечается, что возникновение этих НИП сопровождается привнесением в геометрию и новых метатеоретических основоположений. Так, в НИП Римана высказана метаматематическая идея о справедливости допущений его геометрии в бесконечно малом, т.е. в явлениях микромира. Эта идея в дальнейшем получила свое полное оформление в результате создания Эйнштейном общей теории относительности. Метаматематическая идея подчинения всего разросшегося многообразия геометрий классифицирующему принципу симметрии послужила для оформления «Эрлангенской программы» Клейна.

В развитие выполненного анализа в этом параграфе предложена классификация роста математического знания в виде двух его фаз: нормальной, характеризующейся накоплением новых фактов в русле уже созданных НИП, и критической - характеризующейся возникновением новых НИП. Анализ процессов возникновения новых НИП Лобачевского, НИП Римана и остальных геометрических НИП выявляет особенность этих процессов, состоящую в расширении рефлексии над научным познанием с внутритеоретического уровня на метатеоретический. При этом за рефлексией сохраняется функция структурного оформления собственно математической проблематики. Это наблюдение далее исследуется в четвертой главе,

В четвертой главе «Значение методологии математических НИП в современной математике» предпринято исследование • адекватности

предложенной методологии для реконструкции процесса развития всей теоретической математики.

В первом параграфе «Проблема рациональной реконструкции роста знания в современной математике» обосновывается тезис о соответствии методологии математических НИП наблюдаемым тенденциям в развитии современного математического знания и адекватности ее единиц для реконструкции внутренней логики этого развития. Результаты этого параграфа подготавливают постановку исследований в последующих параграфах этой главы.

Во втором параграфе «Внутритеоретический анализ процессов становления фундаментальных НИП в современной математике» выполнен методологический анализ логики развития теоретической математики на примере истории создания аналитической геометрии Декарта, комплексного и функционального анализа. В частности, внутритеоретический анализ истории создания аналитической геометрии Декарта приводит к выводу, что возникновение этого раздела математики не связано с появлением новой математической НИП. Соответственно, сам факт появления содержательных элементов этого раздела математики не следует квалифицировать как рост математического знания. Вместе с тем, этот пример показывает механизм развития математики, который в отмеченном случае привел к усложнению структуры математики в целом. Действительно, главный вклад Декарта заключался в создании новой для того времени методологии и лишь впоследствии повлек за собой рост знания в форме нормальной, по терминологии третьей главы, фазы роста математического знания. Аналогичные процессы происходили и при зарождении комплексного анализа, подтверждая сделанный вывод об эволюционном механизме развития математического знания. Отмеченные примеры позволяют высказать гипотезу об общем характере сделанной в третьей главе типологизации периодов развития математического знания. А именно, нормальная фаза роста знания наблюдается тогда, когда этот рост направляется ранее созданными НИП, а новые результаты относятся к реализации уже . заявленных НИП. Характерной чертой периодов нормального роста является отсутствие новых математических НИП. Пример такого периода развития геометрического знания предоставляет история создания неевклидовых геометрий после появления геометрий Римана, Кэли и Клейна.

Появление новых НИП означает возникновение критического периода роста знания. Эволюция роста знания в этом случае приобретает характер потери устойчивости нормального режима развития и возникновения новых

его ветвей. В критические периоды эволюция развития конкретной области математики оказывается восприимчивой к слабым воздействиям из других областей научного знания. Однако, структура разветвления траектории знания полностью описывается новыми НИП. Такую динамику развития математического знания демонстрирует история создания функционального анализа. Эта НИП оформилась в результате длительной эволюции в подготовке нового математического формализма. В определенной степени можно утверждать, что ее возникновение полностью подготовлено предыдущим развитием математического знания. Действительно, эта НИП возникла тогда, когда технике перехода от конечного к бесконечному, изучаемому в различных разделах математики, была придана ключевая роль в формулировке нового типа математических задач. Иначе говоря, механизм генерации математического знания, в рамках ранее заявленных НИП, уже подготовил новую ветвь эволюции в развитии этого вида знания. Методология .математических НИП реконструирует историю критических периодов роста знания, как потерю устойчивости текущего режима развития, связывая рост знания с возникновением новых математических НИП.

В третьем параграфе «Метатеоретический анализ процессов становления современных математических НИП» предпринят историографический анализ, выявляющий стадию программного оформления исследовательской деятельности. В современном состоянии развития математического знания выявлены примеры математических исследований, обладающих некоторым методологическим своеобразием. Оно заключается в наличии определенного набора эвристических правил, направляющих основной поток исследований по соответствующей тематике. Однако, эти исследования все еще не получили своего окончательного оформления на программном уровне в смысле методологии математических НИП. Такие стадии роста знания квалифицируются как определенные фазы процесса зарождения новых НИП. Для реконструкции таких фаз предложена дополнительная методологическая единица анализа - философия метода -служащая для фиксации отмеченной исследовательской деятельности как качественно определившейся единицы для анализа процессов зарождения новых математических НИП.

В заключении подводятся основные итоги работы, намечаются перспективы дальнейшего исследования.

Основное содержание диссертационного исследования отражено в следующих публикациях:

Оглавление научной работы автор диссертации — кандидата философских наук Тарзиманова, Гульшат Джавадовна

Введение.

Глава 1. Критический анализ современных концепций роста математического знания.

§ 1. Критический анализ методологии НИП И.Лакатоса.

§ 2. Критический анализ современных конкретнонаучных моделей роста математического знания.

§ 3. Критический анализ фундаменталистских и нефундаменталистских концепций в методологии математики.

Глава 2. Новый вариант методологии НИП в математике.

§ 1. Структура и рост математического знания в методологии математических НИП

§ 2. Генезис математических НИП.

§ 3. Соотношение внутритеоретической и метатеоретической рефлексии математического познания в методологии математических

§ 4. Диалектика развития знания в методологии математических НИП.

Глава 3. Рациональная реконструкция истории создания неевклидовой геометрии.

§ 1. Рациональная реконструкция истории создания геометрии Лобачевского.

§ 2. Рациональная реконструкция истории создания геометрий Рима-на, Кэли, Клейна.

Введение диссертации2000 год, автореферат по философии, Тарзиманова, Гульшат Джавадовна

Актуальность темы исследования. Исследования закономерностей развития научного познания всегда принадлежали к важнейшим направлениям философского осмысления мира. Вместе с тем, современное состояние исследований в области философии науки отличает новое богатство проблематики. Появление таких книг как «Порядок из хаоса» И.Пригожина и И.Стенгерс, «Структурная устойчивость и морфогенез» Р.Тома и некоторых других ставит перед философией науки задачу адекватного реагирования на представленные в этих книгах изменения в видении науки и ее последствий. В фокусе новейших исследований оказались проблемы осмысления пути, пройденного познанием, а также проблемы поиска новых оснований в союзе человека и природы, восстанавливающих единство науки, культуры и общества. Сказанное выше относится, в частности, и к развитию математического познания и его философского осмысления.

Одной из наиболее интригующих проблем развития научного знания является проблема предвидения возможных сценариев его развития и поиск адекватных им механизмов методологической рефлексии. В настоящее время эта проблема назрела для своего анализа, особенно в отношении развития математического знания. Так, в книге «Будущее математики» А.Г.Барабашева анализируются возможности исторического подхода к предвидению развития математики, предлагаются принципы его реализации и обсуждается специфика прогнозов. Отмечая, что основной поток предвидений в науке порождается научной практикой и, в силу этого, имеет внутринауч-ный индивидуальный характер, автор книги видит задачу методологии в концептуальной переработке этих сведений. Альтернативой внутреннему подходу оказывается внешняя позиция методолога науки, анализирующего исторические закономерности развития и исследующего условия, при которых выявленные закономерности допускают продолжение в будущее.

В настоящее время важное место в ряду исследований развития научного знания, занимает методология НИП И.Лакатоса. Эта методология, предназначенная для анализа роста любого, в том числе и математического, знания успешно применялась, главным образом, в области эмпирических наук [Лакатос,1970; Захар, 1973; Нугаев,1989, и др.]. Однако, применимость этой методологии для анализа роста математического знания обнаруживает определенные трудности [Перминов, 198 1; Хэллет, 1979, и др.].Эти трудности проистекают, главным образом, из того обстоятельства, что Лакатос рассматривает методологию математики по аналогии с методологией естественных наук. Однако, в настоящее время становится все более ясным, что эта аналогия не отвечает специфике математики. Соответственно, именно специфика математического знания остается за бортом методологии Лакатоса. Вместе с тем, эта методология с ее упором на внутренние факторы развития научного знания, обладает значительным потенциалом для совершенствования. Поэтому развитие этой методологии в направлении адекватного охвата методологическими рамками динамики роста математического знания, является, безусловно, актуальной задачей.

Указанная общая задача приводит к постановке и частных задач, которые могут быть поставлены не только в связи с конкретной методологией. А именно, несомненно актуальными являются и следующие методологические вопросы анализа развития математики: а) в каких методологических единицах следует анализировать развитие этой науки, б) каковы механизмы и движущие силы развития математического познания и каковы возможности адекватной ему философской рефлексии, в) является ли математическое познание саморефлексивным и каковыми могут стать последствия учета обратной связи и т.п. Все эти вопросы не только оказываются актуальными для анализа динамики развития научного знания, но и, по-видимому, могут быть разрешены в рамках современных философских представлений.

Степень разработанности проблемы. Научно-исследовательские программы как методологические единицы философского анализа динамики развития .научного знания, по-видимому, впервые возникли в философских работах И.Лакатоса. Развивая концепцию своего учителя К.Поппера, Лакатос предложил методологию НИП для анализа роста научного знания. Претендуя на универсализм и логико-нормативный характер своей методологии, Лакатос рассматривал рост знания как смену ряда непрерывно связанных теорий, объединенных рамками единой НИП. Сам процесс роста знания он укладывал в схему конкурентной борьбы различных НИП, демонстрируя ее динамику на примерах истории развития, главным образом, эмпирических наук.

В настоящее время имеется обширная философская литература [Барабашев, 199 1; Лакатос, 1970; Нугаев,1989; Перминов, 1986; Пан-ченко,1988; Розов,1987; Рузавин, 1988; Сокулер,1983 и др.], анализирующая различные аспекты как самой концепции НИП, так и ее место в методологии науки. В ней неоднократно отмечалась неуниверсальность конструкций этой методологии и их неадекватность росту математического знания. Основным пунктом критики концепции НИП для математики, по-видимому, являлось неприятие как рядом философов, так и самими математиками квазиэмпирического статуса математики, ставящего математическое познание в один ряд с иными формами научного познания, более характерными для эмпирических наук [Беляев и Перминов Л 98 1; Хэллет,1979, и др]. Эта критика расслаивала подход Лакатоса в двух отношениях: а) отказ от того статуса квазиэмпиричности математики, который был необходим самому Лакатосу для распространения методологии НИП на математическое познание, б) выявление специфики исследовательских программ, вытекающей из особенностей функционирования частных наук, и отражение этой специфики в методологических конструкциях. В каждом из указанных направлений, развивающих концепцию Лакатоса, было получено существенное продвижение. Поэтому рассмотрим сказанное подробнее.

За последние несколько десятков лет в методологии науки, и, в частности, в методологии математики, произошли существенные сдвиги в проблематике исследований. В частности, произошло смещение в акцентах понимания самого термина исследовательской программы. А именно, в работе Розова (1987) отмечалось, что понятие НИП, введенное Лакатосом, не является удачной экспликацией традиционного термина исследовательской программы, широко применяемого в обиходе научных обсуждений. Более широкое понимание НИП, было предложено в Розовым (1987) для философского анализа широкого спектра научных проблем, связанных с перестройками в развитии наук. В то же время это понимание подытоживало ряд уже выполненных исследований, как отечественных, так и зарубежных. Отметим некоторые из них.

В работе Кочергина (1987) с помощью отмеченного расширения объема понятия НИП была поставлена проблема исследования возможностей адекватного охвата тех новаций математического развития, которые были порождены применением ЭВМ. В этом исследовании деятельность, предпринимаемая в форме машинных доказательств математических теорем, квалифицировалась как разработка нетрадиционных НИП в математике. Тем самым динамика роста математического знания эпохи НТР связывалась с фундаментальными процессами развития науки в целом.

В работе Кулакова и Сычевой (1987) была предложена теория физических структур, аналогичных математическим структурам Н.Бурбаки, соподчинявшая научную деятельность в физике возникновению программных деклараций в математике.

Область применения понятия НИП была расширена и в традиционной для этой методологии проблеме выбора. Помимо исследований в физике и химии [Лакатос, 1978; Захар,1973; Мамчур,1987; Нугаев,1989; и другие], аналогичные исследования были выполнены в геологии, биологии, теоретической генетике, лингвистике, социальном прогнозировании [см.35]. Характеризуя указанный круг исследований, можно отметить, что они: а) существенно расширили перспективы развития оригинальной методологии НИП за счет разработки новых принципов, более адекватно учитывающих специфику НИП конкретных наук, б) предоставили новые научные данные для оценки перспектив применения исследовательских программ в качестве методологических единиц для философского анализа процесса познания в целом.

Проблематика развития математического знания расширялась и в направлении изменения подходов к вопросу о статусе математики и значимости последнего для методологического анализа процесса математического развития. А именно, исследование внутренних проблем, встающих перед философией математики, происходит в настоящее время двумя способами. В основном эти проблемы решаются в русле фундаментализма, т.е. направления, которое подчиняет исследование математики установке на выяснение проблемы сущности математики вне зависимости от ее конкретных исторических состояний [Барабашев, 1991]. В отечественной философской литературе это направление представлено работами

A.Д.Александрова, Б.Т.Алексеева, Л.Г.Антипенко, Е.А.Беляева, И.Н.Буровой, Н.А.Киселевой, А.А.Кармина, О.И.Кедровского,

B.Я.Перминова, А.Г.Рузавина, В.А.Успенского и др. Из зарубежных исследователей в русле фундаментализма выполняли свои исследования У.Куайн, Х.Патнем, Ч.Парсонс, Г.Фрейдентал, Ж.Дьедонне и др.

Иной способ решения теоретических проблем философии математики предлагается в нефундамеиталистском направлении. Это направление ориентируется на исторический подход к анализу развития математического знания. Основная проблематика этого направления состоит в определении тенденций развития математики на основе наблюдаемых исторических закономерностей. Как оказалось, исследование функционирования математики может производиться без окончательного решения проблем установления сущности этой науки [Барабашев, 1991]. В свою очередь это раскрыло новые горизонты философских исследований. В настоящее время в этом русле выполнены работы А.Г.Барабашева, Б.В.Бирюкова, В.Э.Войцехович, О.А.Габриэляна, В.А.Карпунина, И.С.Кузнецовой, О.И.Кедровского, А.Н.Нысанбаева, М.И.Панова, В.А.Панфилова, Л.А.Соловьева, М.В.Салихова, З.А.Сокулер и др. Из зарубежных исследователей к этому направлений следует отнести работы И.Лакатоса, М.Хэллет, К.Хоусон, Ф.Китчер, Т.Коетсиер и др. Следует заметить, что разделение самих исследователей по указанным направлениям до некоторой степени условно, т.к. работы одного и того же ученого могут принадлежать как первому направлению, так и второму, в зависимости от предпринятого подхода, целей и задач исследования.

Работы нефундаменталистской ориентации ставят проблему разработки глобальной концепции развития математики и поиска частных схем ее развития [Барабашев, 1991,с.84]. Так, в работе Кузнецовой (1984) было предпринято исследование исторического развития математического знания в форме процесса взаимодействия метаэмпирического и метаумозрительного уровней рефлексии математического познания. В работе Кедровского (1977) была выстроена общая схема исторического взаимодействия философии и математики и указаны типы такого взаимодействия. В работе Панова (1988) рассматривались проблемы интуиционистской математики и исторических этапов ее развития. В работе Карпунина (1983) исследовалось развитие математики в контексте исследования математической интуиции и сущности математического доказательства, рассматриваемого как исторически эволюционирующего. В работе Ба-рабашева (1991) исследовались рефлексивные и саморефлексивные механизмы математического познания в плане предсказательных возможностей исторического подхода. Все эти работы объединены стремлением обнаружить диалектику развития самой математики, утверждая множественность точек зрения на развитие математики и ее различных, уточняемых в ходе математического развития, моделей. При этом проблема реконструкции развития знания приобрела новые черты. Целью реконструкции становится не только построение моделей, воспроизводящих определенные закономерности развития исторических этапов математического познания, но поиск тенденций развития в самой методологии математики, позволяющих объединить анализ прошлого и возможного будущего математики в единой методологии.

Отдельно выделим исследования, не столь радикально ревизующие проблемы реконструкции закономерностей математического развития, исследования, в которых обсуждаются вопросы адекватности методологии НИП развитию математического знания. В них методология НИП анализируется в сопоставлении с реальным историческим процессом. Как правило вопрос о значимости такой единицы как НИП не подвергается критике, но исследуются принципы функционирования математических программ. Так, К.Хоусон (1979, с. 262) утверждает, что непосредственно в математике исследовательские программы существуют и предлагает свои, подтверждающие этот тезис, примеры. Основной вопрос его исследования состоит в том, соответствуют ли принципы, которыми управляются эти программы, тем оригинальным принципам, которые Лакатос установил для программ в эмпирических науках. В работе М.Хэллета

1979) предпринята попытка реконструировать некоторые из эпизодов истории математики в духе методологии НИП в том варианте, который был предложен самим Лакатосом. В ней автор ищет решение традиционных для методологии Лакатоса вопросов о различении стадий роста НИП в суждениях и оценках математического сообщества. В работе Т.Коетсиера (1991) предложена панорама развития математической мысли, начинающаяся с древних времен и наполняющая новым историческим материалом оригинальную версию методологии НИП Лакатоса. Она распространяет в свете сказанного выше, методологию НИП Лакатоса на исследовательские традиции, исследовательские проекты и т.п. Обзор работ зарубежных исследователей данного направления дан Сокулер (1983).

Таким образом, предметом диссертационного исследования является комплекс вопросов связанных с развитием методологии математики и рациональной реконструкцией истории развития математического знания.

Цель и задачи исследования. Общая постановка цели исследования в данной диссертации заключается в развитии методологии НИП в математике и ее применение к реконструкции роста математического знания. В соответствии с этим в работе ставились следующие задачи:

1) на основе анализа реальной истории развития теоретической математики и имеющегося философского понятийного аппарата дать адекватную для методологии математики экспликацию единиц, позволяющих выполнить рациональную реконструкцию истории развития этого знания,

2) на основе выбранных методологических единиц дать реконструкцию роста математического знания в критические этапы его развития и, в частности, дать рациональную реконструкцию роста геометрического знания в истории создания неевклидовой геометрии,

3) на основе анализа результатов реконструкции отдельных периодов развития теоретической математики построить методологию развития математического знания и выявить ее место среди существующих методологических схем.

Теоретико-методологической базой данного исследования явились работы в области философии, методологии и истории математики - А.Г.Барабашева, В.Ф.Кагана, И.Лакатоса, В.А.Лекторского, Р.М.Нугаева, В.Я.Перминова, М.А.Розова.

Научная новизна исследования. Исходной посылкой для создания методологии развития математического знания, определяющей научную новизну как самой диссертации, так и предлагаемой в ней методологии, послужило выявление того обстоятельства, что исследовательские программы Лакатоса по сути являются метатео-ретическими программами, фальсификация которых, подобная эмпирической проверке, не отвечает статусу теоретической математики. Акцентированное расслоение класса собственно исследовательских программ в математике на математические и метаматематические НИИ и соответствующее расслоение проблематики развития математического знания на внутриматематическую и метаматематическую детерминанты, также является новым, определяющим подход данной диссертации. В таком расслоении множества исследовательских программ в математике на два класса получают новое освещение и те кризисные явления, которые имели место в истории математики, связанные с возникновением метаматематических течений интуиционизма, формализма и др. При этом, если метаматематические НИП по существу широко обсуждались в литературе, то математические НИП и их специфика не получили должного освещения. Выявление же определяющего характера именно математических НИП на динамику роста математического знания явилось новым результатом, полученным в данной диссертации.

Далее, в отличии от методологии НИП Лакатоса, в которой развитие знания вкладывалось в рамки конкурентной борьбы уже имеющихся различных НИП, в данной диссертации предложен новый подход, связывающий развитие знания непосредственно с самим фактом возникновения новых НИП. Соответственно этому, приобрела новое содержание и проблема роста знания. А именно, появилась возможность типологизации критических периодов развития знания по количеству возникших новых НИП. Новым содержательным элементом проблемы роста знания в предлагаемой методологии стало выявление программного характера наблюдаемых в истории математики фундаментальных открытий и получение критериев для такой оценки.

Предлагаемая в диссертации методология математических НИП в математике была разработана в результате философской рефлексии на основе внутринаучных оценок и оценочных суждений как философов науки, так и квалифицированного математического сообщества. Если оригинальная методология НИП Лакатоса исходила из фаллибилистической позиции в отношении закономерностей развития знания, то в данном исследовании эта позиция была подвергнута критическому пересмотру. В частности, неадекватность этой позиции наблюдаемой жесткой конструкции математического знания потребовала выработки новой концепции развития. Выбор последней был произведен на основе имеющихся современных концепций как естественнонаучных, так и собственно философских.

Наконец, в плане исследования эвристических возможностей методологии математических НИП в реконструкции роста математического знания, была выполнена реконструкция исторически наблюдаемых ветвей эволюции развития знания в истории открытия неевклидовой геометрии.

Наиболее значимые новые результаты исследования заключаются в следующем.

1. Анализ исторического развития математики позволяет заключить, что научные исследовательские программы в математике разделяются на два качественно различающихся класса - математические и метаматематические НИП - определяющие собой динамику математического развития на современном этапе.

2. Обоснован определяющий характер математических НИП в реконструкции развития математического знания на современном этапе развития и выявлено несоответствие методологии НИП Ла-катоса специфике математических НИП.

3. Для анализа развития математического знания разработан новый вариант методологии НИП в математике, использующий математические НИП в качестве основных единиц анализа.

4. Разработаны критерии для выявления математических НИП в реальной истории математики и на их основе предложена типоло-гизация критических этапов роста математического знания.

5. На основе предложенной методологии выполнена реконструкция роста геометрического знания в истории создания неевклидовой геометрии: а) периода открытия первой неевклидовой геометрии Лобачевского, и б) периода последующего развития неевклидовой геометрии.

6. Для процессов становления математических НИП предложена эволюционная модель, описывающая механизм взаимодействия математических и метаматематических идей из различных исследовательских программ.

7. В реальной истории развития математики выявлены примеры еще не завершившихся процессов программного оформления исследовательской деятельности в форме математических НИП, для реконструкции которых предложены дополнительные методологические единицы.

Научно-практическая значимость диссертации. Полученные в исследовании результаты позволяют углубить понимание проблем

15 развития математического знания и его рациональной реконструкции в методологии математики. Эта диссертация может стать предметом для последующего критического анализа предложенной в ней методологии математического развития в столкновении с фактами реальной истории. Помимо этого, полученные в диссертации результаты могут быть использованы для построения спецкурса по основаниям геометрии, входящего в образовательную программу по кафедре геометрии педагогического университета.

Апробация результатов работы. Основные положения диссертации обсуждались на заседании кафедры философии Казанского государственного университета и кафедры геометрии Казанского государственного педагогического университета. Некоторые из положений диссертации обсуждались на XIX международном конгрессе по истории науки в г. Сарагоса (Испания), международной научной конференции «Лобачевский и современная геометрия» в г. Казани, международном семинаре «Космическое пространство в науке, философии и богословии» в г. Санкт-Петербурге.

Заключение научной работыдиссертация на тему "Реконструкция развития математического знания в методологии научно-исследовательских программ"

Заключение.

В данной диссертации, изложен авторский вариант методологии НИП, предназначенный для анализа и реконструкции роста математического знания. Его разработка заключалась в следующем.

1) В процессе исследования исторического развития математики было выявлено, что научные исследовательские программы могут рассматриваться как основные методологические единицы для оценки роста знания. При этом сами НИП в математике подразделялись на два качественно различающихся класса - математические и метаматематические НИП - определяющие собой различные уровни рефлексии над математическим познанием.

2) Из анализа реальной истории математического развития стало ясным, что выделенный в диссертации класс собственно математических НИП является в настоящее время определяющим для методологии математики. Вместе с тем, оказалось, что специфика таких НИП не отвечает характеру НИП, принятому в исходной версии методологии И.Лакатоса. В свою очередь это и предопределило разработку новой, более адекватной версии методологии НИП в математике.

3) Новый вариант методологии использует математические НИП в качестве основных единиц анализа. В этой связи был предложен критерий для выявления математических НИП в реальной истории математического развития, на основе этого критерия предложена ти-пологизация стадий роста математического знания и дан пример реконструкции роста геометрического знания в истории создания неевклидовой геометрии.

4) Для процессов становления математических НИП была предложена эволюционная модель, механизм которой образует взаимодействие математических и метаматематических идей из различных исследовательских программ. Вместе с тем, выявляя диалектику исторического развития математики, в данном исследовании приведены

137 примеры еще не завершившихся процессов программного оформления научной исследовательской деятельности. Для методологического анализа этих процессов предложены дополнительные методологические единицы.

Результаты проведенного исследования, в свою очередь, ставят новые исследовательские задачи. Одно из направлений исследований связано с применением предложенной методологии для анализа конкретных исторических периодов. Эти исследования должны выявить новую конкретику методологии и дать соответствующее осмысление наблюдаемых деталей исторического развития математики рассматриваемых периодов. Другое направление состоит в детальном развитии механизмов программного оформления исследовательской деятельности в математике. Предложенные в диссертации дополнительные единицы методологического анализа, предназначенные для исследования процессов становления НИП, дают необходимые для этого конструктивные элементы.

Из результатов проведенного исследования вытекает, что разработанный вариант методологии математических НИП дает новую перспективную модель оценки роста математического знания, в котором более адекватно, чем в существующих моделях, учтена специфика математического знания.

Список научной литературыТарзиманова, Гульшат Джавадовна, диссертация по теме "Философия науки и техники"

1. В.И.Арнольд. Теория катастроф. Изд. МГУ, 1983, с.80.

2. В.И.Арнольд. Гюйгенс и Барроу, Ньютон и Гук. М., Наука, 1989, с.95.

3. В.И.Аршинов, Ю.Л.Климонтович, Ю.В.Сачков. Естествознание и развитие: диалог с прошлым, настоящим и будущим. В кн. И.Пригожин, И.Стенгерс. Порядок из хаоса. М., Прогресс, 1986, с.408 423.

4. В.А.Бажанов. Николай Александрович Васильев. М., Наука, 1988, с.145.

5. В.А.Бажанов. О попытках формального представления «воображаемой» логики Н.А.Васильева. В кн. Методологический анализ оснований математики. М., Наука, 1988, с. 142 147.

6. В.А.Бажанов. Наука как самопознающая система. Изд. КГУ, 1991, с. 184.

7. Л.Б.Баженов. Методологические регулятивы в научном исследовании. В кн. Природа научного открытия. М., Наука, 1986, с. 144 -156.

8. А.Г.Барабашев. Диалектика развития математического знания. Изд. МГУ, 1983, с.168.

9. А.Г.Барабашев. Будущее математики. Изд. МГУ, 1991, с.160.

10. А.Г.Барабашев, С.С.Глушков. Об эволюции структуры математического знания. Вестн. МГУ, Сер.Философия, 1983, 2, с.76 85.

11. А.Г.Барабашев, С.С.Глушков. Структура современной математики и некоторые новые интегративные тенденции развития математического знания.// Фил. науки, 1988, 7, с. 15-28.

12. Е.А.Беляев, В.Я.Перминов. Философские и методологические проблемы математики. М., 1981, с.217.

13. Е.А.Беляев, Н.А.Киселева, В.Я.Перминов. Некоторые особенности развития математического знания. Изд. МГУ, 1975, с. 112.

14. Я. Больаи. Аппендикс. В кн. Об основаниях геометрии. М., ГИТТЛ, 1956, с.71 100.

15. В.Н.Борисов. Рефлексия в науке: гносеологическая природа,формы, функции.// Проблемы рефлексии в научном познании. Куйбышев, 1983, с. 172.

16. Н.Бурбаки. Очерки по истории математики. М., 1963, с.292.

17. А.В.Васильев. Николай Иванович Лобачевский (1972 1856). М.: Наука, 1992, с.229.

18. А.В.Васильев. Отчет приват-доцента по кафедре философии о ходе его научных занятий с 1 июля 1911 г. по 1 июля 1912 г. // Научная библиотека КГУ, ОРРК, рук. 6217.

19. Г.Вейль. Математическое мышление. М., Наука, 1989, с.400.

20. Е.Вигнер. Этюды о симметрии. М., Мир, 1971, с.318.

21. В.П.Визгин. Эрлангенская программа и физика. М., Наука, 1975, с.112.

22. Р.Л.Вихалемм. Понятие «логика развития науки» и некоторые методологические вопросы анализа истории науки. Философские науки, 5, 1977, с.105 113.

23. А.И.Володарский. Очерки истории средневековой индийской математики. М., Наука. 1977, с.181

24. Д.А.Воуган. Представления редуктивных групп Ли. В кн. Международный конгресс математиков в Беркли, 1986. М., Мир, 1991, с.363 394.

25. П.П.Гайденко. Эволюция понятия науки: становление и развитие первых научных программ. М., Наука, 1980, с.566.

26. К.Ф.Гаусс. Общие исследования о кривых поверхностях. В кн. Об основаниях геометрии. М., ГИТТЛ, 1956, с.123 160.

27. К.Ф.Гаусс. Отрывки из писем и черновые наброски, относящиеся к неевклидовой геометрии. В кн. Об основаниях геометрии. М., ГИТТЛ, 1956, с.101 122.

28. Д.Гильберт. Основания геометрии. М.-Л., ОГИЗ, 1948, с.491.

29. А.Дальма. Эварист Галуа, революционер и математики. М., Наука, 1984, с.110.

30. К.Х.Делокаров. Эвристическая роль философии в научном открытии. // Природа научного открытия.М., 1986, с. 198.

31. С.С.Демидов. О работе Д.Гильберта «Аксиоматическое мышление». В кн. Методологический анализ оснований математики. М., Наука, 1988, с.104 108.

32. Ж.Дьедонне. О прогрессе математики.// Историко-математические исследования., М., вып. 22, 1976.

33. Ж.Дьедонне. Абстракция и математическая индукция.// Математики о математике. М., 1982.

34. И.А.Евин, А.И.Яблонский. Модели развития и теория катастроф. Системные исследования. Методологические проблемы. Ежегодник. 1982. М., 1982, с.214.

35. Н.В.Ефимов. Высшая геометрия. М., Наука, 1971, с.576.

36. Исследовательские программы в современной науке. Новосибирск, Наука, 1987, с.320.

37. В.Ф.Каган. Основания геометрии. Ч. 1, М.-Л., ГИТТЛ, 1949, с.492.

38. В.Ф.Каган. Основания геометрии. Ч. 2, М., ГИТТЛ, 1956, с. 344.

39. В.Ф.Каган. Система евклидовой геометрии. В кн. Об основаниях геометрии. М., ГИТТЛ, 1956, с.485 510.

40. Т.Л.Калинина. Теория самоорганизации как отрасль науки (фи-лософско-методологический анализ). Автореф. дисс. . канд. фи-лос. наук., Казань, 1995, с.134.

41. В.А.Карпунин. Формальное и интуитивное в математическом познании. Л., 1983, с.151.

42. Э.Картан. Теория групп и геометрия. В кн. Об основаниях геометрии. М., ГИТТЛ, 1956, с.485 5 10.

43. О.И.Кедровский. Методологические проблемы развития математического знания. Киев, 1977, с.230.

44. А.А.Кириллов. Элементы теории представлений. М., Наука, 1978, с.343.

45. М.А.Киссель. Философский синтез А.Н.Уайтхеда. В кн. А.Н.Уайтхед. Избранные работы по философии. М., Прогресс, 1990, с.З 55.

46. Ф.Китчер. Математический натурализм. В кн. Методологический анализ оснований математики. М., Наука, 1988, с.5 32.

47. М.Клайн. Математика. Утрата определенности. М., Мир, 1984, с.446.

48. М.Клайн. Математика. Поиск истины. М., Мир, 1988, с.295.

49. Ф. Клейн. Лекции о развитии математики в XIX столетии.М., Наука, 1989, с.454.

50. Ф.Клейн. Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований («Эрлангенская программа»). В кн. Об основаниях геометрии. М., ГИТТЛ, 1956, с.399 435.

51. Ф.Клейн. Элементарная математика с точки зрения высшей. Т.1, Арифметика, Алгебра, Анализ., М., Наука, 1987, с.432.

52. Ф.Клейн. Элементарная математика с точки зрения высшей. Т.2, Геометрия, М., Наука, 1987, с.416.

53. А.Койре. Очерки истории философской мысли (о влиянии философских концепций на развитие научных теорий). М., 1985, с.286.

54. П.В.Копнин. Гносеологические и логические основы науки. М., 1974, с.568.

55. А.Н.Кочергин. Машинное доказательство как нетрадиционная исследовательская программа в математике. В кн. Исследовательские программы в современной науке. Новосибирск, Наука, 1987, с.70 89.

56. И.С.Кузнецова. Гносеологические проблемы математического знания. Л., 1984, с. 136.

57. Ю.И.Кулаков, Л.С.Сычева. Теория физических структур как программа обоснования физики и как исследовательская программа вматематике. Исследовательские программы в современной науке. Новосибирск, Наука, 1987, с.99 120.

58. Т.Кун. Структура научных революций. М., Прогресс, 1975, с.288.

59. А.Кэли. Шестой мемуар о формах. В кн. Об основаниях геометрии. М., ГИТТЛ, 1956, с.222 252.

60. И.Лакатос. Доказательства и опровержения. М., Наука, 1967, с.152.

61. И.Лакатос. История науки и ее реконструкция. В кн. Структура и развитие науки. М., Прогресс, 1978, с.203 270.

62. И.Лакатос. Бесконечный регресс и основания математики. В кн. Современная философия науки. М., Наука, 1994, с.68 88.

63. В.А.Лекторский, В.С.Швырев. Методологический анализ наукитипы и уровни). // Философия. Методология. Наука. М., 1972, с.7 42

64. Н.И.Лобачевский. Три сочинения по геометрии. М., 1956, с.415.

65. Н.И.Лобачевский. Научно-педагогическое наследие. Руководство Казанским университетом. Фрагменты. Письма. М., Наука, 1976, с.663.

66. Е.А.Мамчур. Проблемы социо-культурной детерминации научного знания. М. Наука, 1987, с. 129.

67. Е.А.Мамчур, Н.Ф.Овчинников, А.И.Уемов. Принцип простоты и меры сложности. М., Наука, 1989, с.302.

68. С.Мак-Лейн. Математическая логика ни основания, ни философия. В кн. Методологический анализ оснований математики. М., Наука, 1988, с.148 - 153.

69. С.Ю.Маслов. Теория дедуктивных систем и ее применение. М., 1986, с.135.

70. Э.Мах. Познание и заблуждение. В кн. Альберт Эйнштейн и теория гравитации. М., Мир, 1979, с.73 85.

71. Ч.Мизнер, Дж.Уилер. Классическая физика как геометрия. В кн. Альберт Эйнштейн и теория гравитации. М., Мир, 1979, с.542 -558.

72. С.Р.Микулинский, Л.А.Маркова. Чем интересна книга Куна «Структура научных революций». В кн. Т.Кун. Структура научных революций. М., 1975, с.265 -282.

73. И.С.Нарский. О месте логики науки среди наук о познании. Философские науки, 5, 1973, с.25 34.

74. Г.Николис, И.Пригожин. Самоорганизация в неравновесных системах. От диссипативных структур к упорядочению через флуктуации. М., Мир, 1979, с. 512.

75. А.П.Норден. Открытие Лобачевского и его место в истории новой геометрии. В кн. Об основаниях геометрии. М., ГИТТЛ, 1956, с.10 24.

76. Р.М.Нугаев. Возникновение и разрешение ситуаций выбора адекватной физической теории. Философские науки, 1982, 2, с.81 89.

77. Р.М.Нугаев. Возникновение и разрешение ситуации выбора адекватной релятивистской теории гравитации. Философские науки, 1988, 3, с.32 42.

78. Р.М.Нугаев. Реконструкция процесса смены фундаментальных научных теорий. Изд. КГУ, 1989, с.208.

79. М.И.Панов. Об одном периоде в творчестве Л.Э.Я.Брауэра. В кн. Методологический анализ оснований математики. М., Наука, 1988, с.1 16 121.

80. А.И.Панченко. О философии математики Имре Лакатоса. В кн. Методологический анализ оснований математики. М., Наука, 1988, с.71 82.

81. В.Я.Перминов. Развитие представлений о надежности математического доказательства. М., 1986, с.239.

82. В.Я.Перминов. Проблема причинности в философии и естествознании. Изд. МГУ, 1979, с.223.

83. В.Я.Перминов. Математика и концепция научно-исследовательских программ И.Лакатоса. Вопросы философии, 7, 1981, с.76 88.

84. В.Я.Перминов. О «математическом натурализме» Ф.Китчера. В кн. Методологический анализ оснований математики. М., Наука, 1988, с.32 36.

85. С.Петров. Мышление со второй производной. Вопросы философии. 1987, 2, с. 34-46.

86. А.А.Печенкин. Функции научной теории. // Философия. Методология. Наука. М., 1972, с.202 219.

87. Л.Пюга, Н.Да Коста. О воображаемой логике Н.А.Васильева. В кн. Методологический анализ оснований математики. М., Наука, 1988, с.135 142.

88. Е.М.Полищук. Софус Ли. Л., Наука, 1983, с.212.

89. К.Поппер. Логика и рост научного знания. М., 1983, с. 605.

90. Т.Постон, И.Стюарт. Теория катастроф и ее приложения. М., Мир, 1980, с.607.

91. И.Пригожин, И.Стенгерс. Порядок из хаоса. М.,Прогресс, 1986, с.431.

92. А.Пуанкаре. Отзыв о работах Д.Гильберта. В кн. Об основаниях геометрии. М., ГИТТЛ, 1956, с.452 478.

93. А.Пуанкаре. О науке. М., Наука, 1990, с.736.

94. П.К.Рашевский. «Основания геометрии» Гильберта и их место в историческом развитии вопроса. В кн. Д.Гильберт. Основания геометрии. М.-Л., ГИТТЛ, 1948, с.6 52.

95. Б.Риман. О гипотезах, лежащих в основании геометрии. В кн. Об основаниях геометрии. М., ГИТТЛ, 1956, с.309 341.

96. Б.А.Розенфельд. История неевклидовой геометрии. М., 1976, с.413.

97. М.А.Розов. О двух аспектах проблемы редукционизма. Пущино, 1986, с.26.

98. М.А.Розов. Понятие исследовательской программы. Исследовательские программы в современной науке. Новосибирск, Наука, 1987, с.7 26.

99. С.С.Розова. Классификационная проблема в современной науке. Новосибирск, 1986.

100. В.Ш.Рубашкин. Представление и анализ смысла в интелекту-альных информационных системах. М., Наука, 1989, с. 192.

101. Г.И.Рузавин. О природе математического знания. М., Мысль, 1968, с.302.

102. Г.И.Рузавин. Математизация научного знания. М., Мысль, 1984, с.207.

103. Г.И.Рузавин. Гильбертовская программа и формалистическая философия математики. В кн. Методологический анализ оснований математики. М., Наука, 1988, с.108 116.

104. К.А.Рыбников. Введение в методологию математики. М., 1979, с.62.

105. К.Ф.Самохвалов. Эпистемологический подход к исследованию основных концепций логики и методологии науки. Автореф. дис. . докт. филос. наук. М., 1989, с.3 1.

106. З.А.Сокулер. Современные зарубежные исследования по философским проблемам математики. М., 1983, с.61.

107. З.А.Сокулер. Гносеологические проблемы математического познания. М, 1984, с.70.

108. З.А.Сокулер. Проблемы обоснования знания. Гносеологические концепции Л.Витгенштейна и К.Поппера. М., 1988, с.175.

109. З.А.Сокулер. Спор о детерминизме во французской философской литературе. Вопросы философии, 2, 1993, с. 140 149.

110. А.И.Смирнов. Об аксиомах геометрии в связи с учением неогеометров о пространстве разных форм и многих измерений. Казань, Изд. Казанского ун-та, 1894, с.57.

111. В.С.Степин. Научные революции как «точки» бифуркации в развитии знания. В кн. Научные революции в динамике культуры. Минск, Изд. БГУ, 1987, с.38 76.

112. Д.Я.Стройк. Краткий очерк истории математики. М., Наука, 1969, с.284.

113. Г.Д.Тарзиманова. Философско-геометрическое наследие профессора Казанского университета А.И.Смирнова. Вопр. ист. есте-ствозн. и техники, 1986, 1, с.88 89.

114. Г.Д.Тарзиманова. Творческое развитие философско-геометрических идей Н.И.Лобачевского в Казанском университете со второй половины XIX века. Междунар.Науч.Конф. «Лобачевский и современная геометрия», Казань, Изд. КГУ, (август) 1992, с.82 83.

115. Г.Д.Тарзиманова. Н.И.Лобачевский и А.Я.Купфер. В кн. «Памяти Лобачевского посвящается» Изд. КГУ, 1992, вып.1, с.87 96.

116. G.D.Tarzimanova. Rational Reconstruction of Non-Euclidean Geometry History of Creation. XlXth Int. Congress of History of Science. Zaragoza (Spain) 1993, M 4 7; 24.

117. Г.Д.Тарзиманова. Научно-исследовательские программы в геометрии и логическая реконструкция эволюции научного знания о пространстве. Материалы VII Междунар. Семин. «Космическое пространство в науке, философии и богословии», С.- П, 1994, с.95 96.

118. О.Тоффлер. Наука и изменение. В кн. И.Пригожин, И.Стенгерс. Порядок из хаоса. М., Прогресс, 1986, с. 11 34.

119. А.Н.Уайтхед. Избранные работы по философии. М., Прогресс, 1990, с.718.

120. Г.Фаццари. Краткая история математики. М., Изд. Колос, 1923, с.114.

121. Р.Холл. Можно ли использовать историю науки при выборе одной из конкурирующих методологических концепций ? В кн. Структура и развитие науки. М., Прогресс, 1978, с.289 302.

122. М.Ш.Цаленко. Моделирование семантики в базах данных. М., Наука, 1989, с.288.

123. Н.А.Черников. Геометрия Лобачевского как физическая наука. В кн. Всесоюзн. науч. конф. по неевкл. геом. «150 лет геометрии Лобачевского». М., ВИНИТИ, 1977, с. 146 154.

124. Д.Чиллингуорт. Структурная устойчивость математических моделей. Значение методов теории катастроф. В кн. Математическое моделирование. М., Мир, 1979, с.248 276.

125. В.И.Шинкарук, В.П.Иванов. Актуальные проблемы исследования мировоззренческих функций диалектического мтериализма. // Вопросы философии., 2, 1981, с.41-57.

126. А.И.Яблонский. Математические модели в исследовании науки. М., 1986, с.351.

127. А.Якушев. Критика релятивистской теории опыта и концепции символизма А.Н.Уайтхеда. Автореф. дис. . канд. филос. наук. М., 1962, с.12.

128. Н.Н.Яненко. Тенденции развития современной математики. В кн. Методологические проблемы научного познания. Новосибирск, Наука, 1977, с.64 71.

129. J.Agassi. Towards а rational philosophical antropology. Martinis Nithoff / Hague, 1977, p.68 71.

130. W.Balzer. On the status of arithmetic. Erkenntnis, Dordrecht etc., 1979, vol. 14, N1, p.57 85.

131. D.T.Campbell. Evolutionary epistemology.// Philosophy of Karl Popper. Ed. P.A.Shilp. LaSalle, 111.: Open Court; reprinted in Plot-kin. 1982, 73 107.

132. M.Courbage, I.Prigogine. Intrinsic Randomness and Intrinsic Irreversibility in Classical Dynamical Systems. Proceedings of the National Akademy of Sciences, vol. 80, April 1983.

133. W.Goffman, G.Harmon. Mathematical approach to the prediction of scientific discovery. Nature, 1971, vol. 229, N5280, p.104 104.

134. K.Hahlweg. The evolution of science: A system approach. Ph.D.diss., Univ. Of Western Ontario, Canada, 1983.

135. M.Hallett. Towards a Theory of Mathematical Research Programmes (1). Brit.J.Phil.Sci., 30 (1979), pp.1 25.

136. M.Hallett. Towards a Theory of Mathematical Research Programmes (11). Brit.J.Phil.Sci., 30 (1979), pp.135 159.

137. C.Howson. Methodology in non-empirical disciplins. In: The structure and development of science/ Ed. By Radnizky G. Et al Dordrecht etc., 1979, p. 257 266.

138. M.Jaroschka. Zur Frage des Erkenntnisfortschrittes in der mathematischen Wissenschuft. In: Probleme der Erkenntnisfertschrittes in der Wissenschuften / Freisitzer K.u.Haller R.(Hrsg).-Wien, 1977, s.l 19 175.

139. T.Koetsier. Lakatos Philosophy of Mathematics. Amsterdam, 1991, p.309.

140. W.Krohn, G.Kuppers. Self-organization: A New Approach to Evolutionary Epistemology.// Issues in Evolutionary Epistemology. State Univ. Of N.Y.Press., 1989, pp.151 170.

141. I.Lakatos. Falsification and the Methodology of Scientific Research Programmes., In: Criticism and the Growth of Knowledge. L., 1970, pp.91 195.

142. P.Marchi. Mathematics as a critical enterprise.- In: Boston studies in the philosophy of science./ Ed. By Cohen R.S. a Wartofsky M.W. Dordrecht etc., 1976,v.39,p.379-393.

143. B.Misra, I.Prigogine, M.Courbage. From Deterministic Dynamics to Probabilistic Description. Physica, vol. 98a, 1979, p.l 26.

144. B.Misra, I.Prigogine. Time, Probability and Dynamics. In: Long -Time Prediction in Dynamics./Eds. C.W.Horton, L.E.Recihl, A.G.Szebehely. N.Y.: Wiley, 1983.

145. W.H.Newton-Smith. The Rationality of Science, Boston, etc., 1981.

146. R.Perko, P.Schopf. Bemerkungen zum Paradigmenbegreff in der Entwicklungsgeschichte der Mathematik. In: Probleme der Erk-enntnisfertschrittes in der Wissenschuften / Freisitzer K.u.Haller R.(Hrsg).-Wien, 1977, s. 175 188.

147. J.Piaget. Genetic epistemology. New York: Columbia Univ. Press, 1970.

148. J.Piaget. Psychology and epistemology, trans. A.Rosin, New York: Viking press, 1971.

149. I.Prigogine, C.George. The Second Low as a Selection Principle: The Microscopic Theory of Dissipative Processes in Quantum Systems. Proceedings of the National Akademy of Sciences, vol. 80, 1983, p.4590 4594.

150. M.Ruse. Taking Darwin seriously. Oxford: Basil Blackwell, 1986.

151. R.Thom. Stabilité structurelle et morphogenese. N.Y., 1972.

152. S.Toulmin. Human understanding. Princeton: Princeton Univ. Press, 1972.

153. C.H.Waddington. The evolution of an evolutionist. Edinburgh: Edinburgh Univ. Press, 1975.

154. A.N.Whitehead. Process and Reality: An Essay in Cosmology. N.Y.,The Free Press, 1969.

155. A.N.Whitehead. Science and the Modern World. N.Y.: The Free Press, 1967, p.55.

156. Wilder R. Mathematics as a Cultural System. Oxford, 1981.

157. E.Zahar. Did Einsteins programm supersede Lorents?-The British Journal for the Philosophy of Science, 1973, vol.24, pp. 95-123, 226262.