автореферат диссертации по философии, специальность ВАК РФ 09.00.01
диссертация на тему: Неявное знание в развитии математики

Полный текст автореферата диссертации по теме "Неявное знание в развитии математики"

На правах рукописи

СУЛТАНОВА ЛИНЕРА БАИРАКОВНА

НЕЯВНОЕ ЗНАНИЕ В РАЗВИТИИ МАТЕМАТИКИ

Специальность 09.00.01 - онтология и теория познания Специальность 09.00.08. - философские вопросы науки и техники

Автореферат диссертации на соискание учёной степени доктора философских наук

Москва - 2005

Работа выполнена на кафедре философии и методологии науки факультета государственного управления Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова

Научный консультант: доктор философских наук, профессор

Перминов Василий Яковлевич

Официальные оппоненты: доктор философских наук

Аршинов Владимир Иванович

доктор философских наук, профессор Лебедев Сергей Александрович

доктор философских наук Панченко Александр Иванович

Ведущая организация: кафедра философии Московского педагоги-

ческого государственного университета

Зашита состоится « /т^» февраля 2005 г. в_ч. на заседании диссертационного Совета по философским наукам Д 501.001.58 при Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова по адресу: 11992, Москва, ГСП-2 Воробьёвы горы, 1-й корпус гуманитарных факультетов МГУ, ауд.

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале библиотеки 1-го корпуса МГУ гуманитарных факультетов МГУ.

Автореферат разослан « /У » 2005 г.

Учёный секретарь диссертационного совета

доктор философских наук, профессор Волкогонова О. Д.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертационного исследования вызвана прежде всего заметным усилением в философии науки интереса к исследованию эмоционально-личностного аспекта научно-теоретической деятельности Представляется, что это связано с кризисом позитивистской традиции в теории познания, игнорирующей вопросы истории науки и научного творчества, согласно которой «объективная эпистемология ... может в значительной степени пролить свет на субъективные процессы мышления ученых, но обратное неверно»1. В соответствии с этой традицией, знание, а, точнее, знание в объективном смысле, под которым подразумеваются непосредственно сами научные проблемы и теории как объекты автономного попперовского «третьего мира», -это «знание без того, кто знает, оно есть знание без познающего субъекта»2.

Однако, опираясь на работы аналитического философа первой половины двадцатого века Г. Райла, можно заключить, что не может быть разработано такой научной теории, которая бы учитывала всевозможные особенности понимания всех субъектов познания, все аномалии и частные случаи и целиком в себе содержала все правила по ее применению Как представляется, это происходит по причине того, что в познании, в том числе и научном, необходимо различать «область действия», то есть область научно-теоретических, в том числе и математических построений, имеющих символическую форму, и «область понимания», то есть область осмысления, связанную с «имманентным Я», через которую в «область действия» проникает, говоря словами Р. Декарта, «естественный свет разума»3. Вследствие этого в процессе практического применения теоретических утверждений в научной теории образуются «провалы», которые, в конечном счете, становятся очевидными, и, хотя какая-то часть из них со временем и выявляется, на основе предыдущего опыта возникает опасение, все ли такие неявные утверждения обоснованы Это значит, что «область понимания» и «область действия» взаимосвязаны, и декларируемая К. Поппером автономность объектов «третьего мира», по крайней мере, может быть подвергнута вполне обоснованной критике Позитивистская же стратегия философии науки, не желающая выходить за рамки явного знания, и обращаться к анализу проблем понимания, по сути, означает отказ от стремления к исторически адекватному, то есть подлинному обоснованию научно-теоретического знания

Представляется, что пришло время попытаться на иных теоретико-методологических основаниях не только разобраться в реальной истории развития науки, но и выдвинуть такую концепцию развития научно-теоретического знания с учетом исторических реалий и специфики научного творчества, в которой проблема рационализации предпосылок

Поппер К Объективное знание Эволюционный подход. - М Эдиториал УРСС, 2002 - С. 113

2 Поппер К Логика и рост научного знания -М Прогресс, 1983 -С 439-440

3 Бирюков В «Свет не вне меня, а во мне»// Вейль Г Математическое мышление М Наука, 1989 С 349

научно-теоретического мышления выходила бы на первый план. При этом необходимо понимать, что стремление к научному исследованию неявных элементов знания фактически означает признание возможности рационального изучения результатов деятельности интуитивных механизмов мышления, а также исследования научно-теоретических предпосылок любого характера - собственно научных, онто-гносеологических, а также ценностных.

Актуальность темы диссертационного исследования вызвана и поисками реальных механизмов развития научной и, прежде всего, математической, теории. При этом необходимо учитывать, что специфика математики отнюдь не исчерпывается аксиоматическим способом её исторического формирования. На это, как представляется, явно указывает относительная неудача программы математического формализма. Специфика математики проявляется и в том, что математика как образец теоретической строгости, соответствующий, казалось бы, всем стандартам позитивизма и представляющая собой единственный реально возможный жёсткий идеал научной теории, тем не менее, слывёт самой сложной наукой.

Дело в том, что освоение и применение математики требует не только прочных знаний, но и овладения неким предварительным неформальным доопытным знанием, а также выработки своей личностной эвристики. Необходимость философских предпосылок в математике отмечалась в своё время ещё Д. Гильбертом. Представляется, что такая специфика математики обусловлена тем, что её основания содержат солидный слой теоретически неявного знания, который имеет онто-гносеологический характер и формируется на личностно-индивидуальном уровне. Поэтому важно развивать направление философско-математических исследований, учитывающее личностный аспект формирования математического знания на уровне конкретного субъекта.

Нельзя не отметить, что в философии науки последних десятилетий муссируется тезис о стагнационных процессах, происходящих в философии математики, вызванных как высокой сложностью современной математики, так и многообразием противоречащих друг другу концепций относительно статуса математики и взаимоотношений математики и философии1. Однако, представляется, что исследование проблемы роста математического знания, осуществляемое с опорой на результаты истории математики и концепцию неявного знания, должно способствовать прогрессивному продвижению философско-математических исследований, попытка чего как раз и осуществлена в данной работе. Актуальность подобных исследований возрастает в связи с развитием в современной философии науки социокультурного направления, представитель которого в большинстве своём отрицают априорный статус оснований математики.

Актуальность темы настоящего исследования вызвана и её близостью к проблеме понимания, связанной, в свою очередь, с современными исследованиями в области

1 См, например, Hersh R. А fiesh winds m the philosophy of mathematics// Amer Malh. Monthly-1995-Aug-Sept.-P 590-591, Хао Ван. Процесс и существоваш^/Математическая логика и ее применение - М, 1965

искусственного интеллекта1. Очевидно, что перспективы искусственного интеллекта напрямую зависят от возможности сведения к формальным, иначе говоря, вычислительным механизмам если не самого процесса научного открытия, то хотя бы процесса понимания утверждений и терминов математики, который обязательно предполагает опору на теоретически неявный слой. В этой связи необходимо учитывать роль неявного элемента математической теории на всех этапах её формирования.

Что касается степени разработанности темы настоящего диссертационного исследования, то представляется, что в настоящее время, как в теории научного познания, так и в философии математики, проведена вся необходимая подготовительная работа для получения новых значительных результатов по исследуемой теме, и современная философия науки как никогда близка к выработке адекватной модели научно-теоретического знания и к максимально объективному пониманию законов его исторического развития.

В истории математики важное значение для разработки диссертационной темы имеют, прежде всего, фундаментальные исследования А. П. Юшкевича и И. Башмаковой

- по истории математики ХУП-ХУШ веков; К. А. Рыбникова, Ф. Клейна, Д.Стройка и др.

- по истории математики Х1Х-ХХ веков.

В философии математики диссертант опирался в основном на исследования Ж. Адамара, В. Н. Катасонова, М. И. Панова, В. Я. Перминова, А. Пуанкаре и др. По проблемам оснований математики исходными для диссертационной темы стали исследования крупнейших математиков двадцатого столетия, авторов основных программ обоснования математики - таких, как Л. Э. Я. Брауэр, Д. Гильберт, Б. Рассел и Г. Фреге. Кроме того, представляется, что осмысление результатов развития основных программ обоснования математики невозможно без обращения к работам Г. Вейля, одного из крупнейших математиков двадцатого века, положившего, вместе с А. Гейтингом, начало этому осмыслению.

В своём исследовании проблемы развития и роста научного знания автор опирался на результаты, полученные Т. Куном, И. Лакатосом, Л. А. Микешиной, К. Поппером, М. А. Розовым и др., без учета которых трудно представить себе современную философию науки. Концепция неявного знания в современной философии науки была разработана американским исследователем М. Полани, а синергетический подход в осмыслении проблемы неявного знания в современной философии науки развивается в работах В. И. Аршинова. Этот подход оказался необходимым для уточнения структуры личностно-индивидуального комплекса неявного знания, адекватное представление о которой является ключевым для разработки диссертационной темы. Проблема неявного знания в современной отечественной теории познания разрабатывается Л. А. Микешиной.

1 Пенроуз Р Тени разума в поисках науки о сознании Часть I Понимание разума и новая физика - Москва-Ижевск, Институт компьютерных исследований, 2003

Проблема неявного знания фактически была обозначена одним из крупнейших представителей аналитической философии Г. Райлом1. Аналитическая философия стремилась преодолеть эту проблему в узких рамках логико-эмпирического и лингвистического подходов, что не позволило, в конечном счёте, добиться её адекватного разрешения.

В научно-математическом аспекте проблема неявного знания ранее не ставилась, а концепция неявного знания к философско-математическим и историко-математическим исследованиям ранее не применялась, что было восполнено диссертантом в рамках излагаемого подхода. Кроме того, полученные выводы позволили существенно доработать концепция неявного знания и в научно-теоретическом аспекте. Думается, что на современном этапе развития науки именно эти аспекты исследования проблемы неявного знания наиболее важны.

В принципе, и предпосылочное знание, и основания знания широко исследовались в эпистемологии двадцатого столетия. Наряду с концепцией неявного знания в этом отношении выделяется так называемый тематический анализ оснований науки Дж. Холтона2. Однако указанный подход не предлагает такого эффективного методологического инструмента философско-научного исследования, каким представляется понятие неявного знания, поэтому предпочтение, отдаваемое в современной философии науки подходу, основы которого были разработаны М. Полани, вполне объяснимо.

Идея конституирования понятий, имеющая большое значение для формирования основных выводов при исследовании оснований математики во второй главе диссертации, была в своё время разработана Э. Гуссерлем, а фундаментальные выводы о природе исходных принципов познания разработаны в рамках критической философии Им. Кантом. Соотнесение с ними крайне важно для любых исследований подобного рода. Серьёзный интерес в рамках диссертационного подхода представляют гносеологические исследования по проблеме интуиции и философско-научный анализ принципов математического интуиционизма, принадлежащий К. Попперу.

Современной теории познания и философии науки, в конечном счёте, приходится признать, что «Предпосылочное знание ... является столь же фундаментальным параметром науки, как и эмпирическое знание»3. В том, что проблема неявного знания в научной теории существует, по крайней мере, как проблема рационализации предпосылочного знания, современная философия науки практически не сомневается. Это значит, что декларируемая К. Поппером автономность объектов «третьего мира» в определённом смысле может быть подвергнута вполне обоснованному сомнению. Поэтому современная философия науки склоняется к выводу о том, что редукция научно-

1 Райл Г. Понятие сознания — М Идея-пресс, Дом интеллектуальной книги, 1999

2 Холтон Дж Тематический анализ науки -М Прогресс, 1981

3 Микешина Л А Ценностные предпосылки в структуре научного познания - М изд-во «Прометей» МГПИ им В, И Ленина, 1999 -С 80

познавательной деятельности, а также её результатов, к одним только дискурсивным рассуждениям и к полной элиминации интуитивной составляющей из научной теории, невозможна. В настоящем исследовании в дальнейшем будет доказано, что проблема неявного знания в научной теории не может сводиться только к проблеме выявления научно-теоретических предпосылок, а должна рассматриваться в значительно более широком аспекте, поскольку связана с проблемами понимания смысла научно-теоретических утверждений. Позитивистская же стратегия философии науки, не желающая выходить за рамки явного знания, и обращаться к анализу проблем понимания, по сути, означает отказ от стремления к исторически адекватному, то есть подлинному обоснованию научно-теоретического знания.

В последние годы наличие неявных элементов научной теории, то есть таких её положений и принципов, статус которых существенно отклоняется от привычного статуса научно-теоретического знания, выработанного в рамках философии науки первой половины двадцатого столетия, получает всё более широкое признание в отечественной философии науки, которая приходит к выводу, что неявные элементы в научной теории порождаются прежде всего «синтетическими феноменами», подобными «психологической установке», «способу видения» Т. Куна1, «концептуальной установке» Я. Хинтикки2, «глубинным тематическим структурам» Дж. Холтона3 и т. д. Важная роль в этом смысле, как было отмечено, отводится предпосылочному знанию, которое проникает в научную теорию в виде философско-мировоззренческих и философско-методологических принципов, образующих научную картину мира и стиль научного

4

мышления .

В широком смысле в современной философии науки неявное знание рассматривается как некоторый набор стереотипов, образующих гуссерлевский «жизненный горизонт», на фоне которого разворачивается любая, и прежде всего, познавательная или профессиональная деятельность личности, как «некоторая невербализованная и дорефлексивная форма сознания и самосознания субъекта, как важная предпосылка и условие общения с собой, познания и понимания», возникающая в результате диалога с собственным подсознанием5.

Кроме того, необходимо понимать, что стремление к научному исследованию неявных элементов знания фактически означает признание возможности рационального изучения иррациональных механизмов мышления, и, прежде всего, интуиции, а также возможности исследования научно-теоретических предпосылок любого характера - как собственно научных, так и онто-гносеологических, а также ценностных. В этом смысле «Иррациональное предстаёт как новое, ещё неотрефлектированное, допонятийное, не

1 Кун Т Структура научных революций // Структура научных революций - М • «ACT», 2001

2 Хинтикка Я Логико-эпистемологические исследования -М Прогресс, 1980

3 Холтон Дж Тематический анализ науки - М ., Прогресс, 1981

4 Там же, с 76-78

5 Микешина Л А Опёнков Н Ю Новые образы познания и реальность М РОССПЭН, 1997 С.37

принявшее логически определённые формы знание. Оно ещё проблематично, необоснованно, но уже присутствует как необходимый творческий компонент познавательной деятельности»1. Очевидно, что такой подход существенно расширяет горизонты научно-философского исследования, особенно в теоретико-познавательном аспекте и создаёт в этом смысле вполне реальные позитивные перспективы. Крайне важно, что стремление к исследованию неявно-интуитивных механизмов познания ведёт к изменению самого представления о рациональности, при котором «Рациональность не только не отождествляется с концептуализацией вообще и логизацией в частности, но как

обязательные для её понимания подключает различные факторы и доконцептуального

2

порядка».

Вопросы развития математического знания традиционно находятся в центре внимания как математиков, так и специалистов в области философии и методологии науки, вследствие чего они достаточно хорошо разработаны как в зарубежной, так и в отечественной философско-научной литературе. Однако вызывает сожаление тот факт, что все подходы в исследовании вопросов развития математического знания, как в западной, так и в отечественной философии науки разрабатываются в основном в русле математического эмпиризма и социокультурной философии математики, даже если приводимые факты допускают совершенно иное истолкование. Это замечание относится, прежде всего, к стратегиям развития математического знания, предлагаемым И. Лакатосом и Ф. Китчером, которые критически оцениваются в третьей главе диссертации.

В целом представляется, что выводы, полученные теорией познания и философией науки, осмысленные в аспекте проблемы неявного знания, позволяют разработать новую стратегию философско-научного и историко-научного исследования развития математического знания, что было осуществлено в диссертации и отражено в основных выводах диссертационного Заключения.

Целью настоящего диссертационного исследования является раскрытие роли неявного знания в становлении и обосновании математического знания. Реализация этой цели предполагает выполнение следующих взаимосвязанных задач:

— обобщение и систематизация результатов философско-научных исследований по проблеме неявного знания;

— прояснение проблемы неявного знания и сущности феномена неявного знания в теоретико-математическом и общенаучном аспекта;

— выявление возможностей и механизмов исторической эволюции различных типов неявного знания, содержащегося в математической теории, в явное, а в перспективе — в строгое математическое знание;

1 Микешина Л. А. Опенков Н. Ю. Новые образы познания и реальность. М : РОССПЭН, 1997. С. 18.

2 там же, с. 35.

— прояснение роли неявных элементов в парадоксах канторовской теории множеств и неудачах классических программах обоснования математики (формализм, логицизм, интуиционизм);

— уточнение гносеологического и методологического статуса современной математики с учетом концепции неявного знания.

При реализации цели и задач диссертационного исследования диссертант основывался на следующих теоретико-методологических предпосылках В рамках настоящего диссертационного исследования необходимо опираться на неклассическую философскую установку, согласно которой знание не всегда может быть не только рационализировано, но и вербализировано. Такой подход позволяет включать в область знания и неявные элементы. Понятие неявного знания рассматривается здесь в качестве наиболее эффективного инструмента философско-научного исследования, причем подчеркивается, что такой подход наиболее целесообразен применительно именно к математике, которая не является эмпирической научной дисциплиной, то есть не нуждается в какой-либо опоре на внешний опыт, эксперимент.

При экспликации структуры личностно-индивидуального комплекса неявного знания представляется необходимой опора на синергетический подход, предполагающий, что взаимовлияние всех элементов этого комплекса оказывает воздействие на его функционирование как целостной системы.

Одной из важнейших теоретико-методологических предпосылок диссертационного исследования является утверждение о связи с историей математики. Именно такой подход позволил диссертанту пересмотреть некоторые теоретико-методологические положения, свойственные сугубо М. Полани. В частности, это относится к утверждению М. Полани о принципиальной нерационализируемости неявных элементов знания, в .том числе и научно-теоретического.

Одним из важнейших вопросов, рассматриваемых в настоящем диссертационном исследовании, является вопрос о природе базовых оснований математики. При анализе таковых диссертант опирался на принципы априоризма, а также на концепцию неявного знания. В конечном счете, на основе априористских концепций Им. Канта Э. Гуссерля, а также на основе концепции неявного знания, во второй главе диссертации были исследованы взаимосвязи неявного и априорного знания в математике. Далее было установлено, что именно априористский подход в решении вопроса о природе базовых оснований математики наиболее предпочтителен.

В диссертации на базе концепции дедукции Р. Декарта1, понятия личностно-индивидуального комплекса неявного знания и концепции творческого процесса, разработанной Ж. Адамаром2, сформировано понятие эвристической интуиции. Эвристическая интуиция посредством «озарения» усматривает некое неявно-интуитивное

1 Декарт Р Правила для руководства ума//Соч в двух тт Т 1 -М Мысль, 1989 -С 85

2 Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики. - М Советское радио, 1970

утверждение как «свёрнутое умозаключение», которое впоследствии может быть дедуктивно развёрнуто.

Что касается принятого в диссертационном исследовании статуса математического знания, то представляется, что ни конструктивный, ни интуиционистский подходы, имеющие место в современной математике, в конечном счёте, ничего кардинально не меняют в исторически сложившемся понимании математики как строгой и дедуктивной научной дисциплины, принципиально исключающей эмпирический аспект. Определённые соображения социокультурного характера, привлекаемые в диссертационном исследовании, как представляется, только укрепляют позиции математического априоризма.

Кроме того, в диссертационном исследовании методологически строго осуществляется разграничение эвристических, строгих, и формализованных математических методов, совместное существование которых имеет место на каждом историческом этапе развития математики.

Раскрытые выше теоретико-методологические предпосылки уточнялись и детализировались в настоящем диссертационном исследовании по мере необходимости.

Диссертация имеет эмпирическую основу, которой в данном случае является компендиум оригинальных философских, историко-математических и математических текстов, исследование которых и послужило основным источником диссертационной концепции.

Научная новизна диссертационного исследования в основном связана с применением понятия неявного знания к философским исследованиям в области математики. Ранее проблема неявного знания рассматривалась только в общегносеологическом аспекте. На основе этого подхода в диссертации получены выводы, имеющие значение не только для анализа проблем философии математики, но и для теории познания в целом.

В настоящем диссертационном исследовании:

— выделен специфически математический аспект личностно-индивидуального комплекса неявного знания и обоснована его синергийная многослойность;

— осуществлена классификация неявного знания как неотъемлемого элемента математической теории, в соответствии с которой эксплицированы возможности теоретической рационализации его типов;

— доказано, что математические методы формируются эволюционным путём и выявлены эволюционные закономерности, раскрывающие взаимосвязи явного и неявного знания в математике в рамках аксиоматического типа мышления;

— выявлены закономерности, определяющие историческую динамику взаимосвязей надёжности и строгости как основных характеристик математического знания;

— эксплицированы взаимосвязи неявного знания и априорных онто-гносеологических базовых предпосылок математики, позволяющие уточнить понятие априоризма;

— показана необходимость возникновения проблемы трансляции неявных элементов научной теории от субъекта к субъекту и от поколения и к поколению, а также выявлен её механизм;

— раскрыт социокультурный смысл математического дедуктивизма, а также, с учётом понятия неявного знания, уточнена его специфика;

— выявлен гносеологический механизм обоснования надёжности математического доказательства, заключающийся в исторической экспликации его скрытых лемм;

— обосновано, что классические программы обоснования математики (формализм, логицизм, интуиционизм) фактически предлагают практически приемлемое решение задачи достижения максимальной строгости и максимальной надёжности математического знания;

— показана ограниченность учения И. Лакатоса о значении скрытых лемм в развитии математики;

— доказано, что обращение к актуальной бесконечности в программе гильбертовского формализма ясно обозначает границу математического обоснования.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

1. Формирование и функционирование элементов личностно-индивидуального комплекса неявного знания в целом происходит по законам синергийного взаимодействия. Это значит, что условием формирования и функционирования элементов этого комплекса является их постоянное взаимовлияние, оказывающее воздействие на деятельность всего личностно-индивидуального комплекса неявного знания в целом, а, следовательно, и на сам процесс познания как таковой. Установлено, что личностно-индивидуальный комплекс неявного знания включает в себя следующие элементы: 1) базовые онто-гносеологические предпосылки, часть которых имеет математическую специфику, в совокупности образующие так называемый «инструмент познания» субъекта; 2) социокультурные предпосылки, включающие в себя содержание познавательной установки, в рамках которой осуществляется математическое познание, а также представления о статусе математического знания; 3) индивидуальная общенаучная эвристика, в том числе и специфически математическая.

2. Основными свойствами неявного знания с точки зрения его участия в математической теории следует признать его теоретическую неспецифщируемость, то есть неопределяемость в терминах математики и необоснованность в рамках математической теории. Специфика взаимосвязей неявных элементов математической теории с её обоснованными элементами состоит в том, что при уточнении доказательств не нарушается герметичность таковых, проистекающая из генетической взаимосвязи априорного знания с личностно-индивидуальным комплексом неявного знания. Разработана следующая классификация типов неявного знания как неотъемлемого элемента математической теории: а) эвристические приёмы и методы; б) неявные

предпосылки, которые могут иметь вид скрытых аксиом, скрытых лемм или определений; в) неявный коэффициент математической символизации.

3. Математические методы формируются эволюционным путём из неявно-интуитивных математических эвристик в результате экспликации этих эвристик в процессе их практического применения (алгоритмизации), а при историческом становлении математического знания любая рационализация прежде всего преследует цель вытеснения неявно-интуитивного элемента. Вследствие углубления этой тенденции, вызвавшей в середине девятнадцатого века математические «революции строгости», к началу двадцатого века возникает задача обоснования оснований математики.

4. Неявные предпосылки в структуре математического мышления имеют два уровня: индивидуально-психологический (неявные предпосылки первого рода или эвристика) и интерсубъективный (неявные предпосылки второго рода). Повышение уровня строгости математического рассуждения эксплицирует неявные предпосылки первого рода как скрытые леммы и включает их в структуру доказательства, а также приводит к алгоритмизации строгих математических методов. Основная часть предпосылок второго рода эксплицируется в виде явных аксиом. В классе интерсубъективных предпосылок существует иррациональный компонент, а именно, система неявных предпосылок, не поддающихся устранению и экспликации. Это неявные предпосылки, связанные с установлением смысла математических символов, квалифицируемые в диссертации как неявный коэффициент математической символизации, а также представление об актуальной бесконечности.

5. Интерсубъективные предпосылки не зависят непосредственно от опыта, являются самоочевидными и неустранимыми из содержания мышления и, в этом смысле могут быть квалифицированы как имеющие априорный статус. Априорные предпосылки имеют другую логику становления в индивидуальном сознании: они не являются обобщением какого-либо частного опыта, а представляют собой результат актуализации необходимых механизмов мыслительной деятельности. Аксиомы элементарной математики являются априорными в том смысле, что они исторически появились как экспликация неявного интерсубъективного знания.

6. Необходимость трансляции неявных элементов научной теории, то есть необходимость их передачи от одного субъекта познания к другому, а также отсутствие явных, то есть рационально-логических механизмов такой передачи, приводит к возникновению проблемы трансляции неявных элементов научной теории от одного субъекта познания к другому, а также от одного поколения исследователей к другому. Устная передача является одним из распространённых средств такой трансляции.

7. Строгость и надёжность как две характеристики математического рассуждения не всегда совпадают друг с другом. Если строгость означает меру освобождения доказательства от неявных предпосылок, то надёжность - его гарантированность от контрпримеров. Экспликация неявных предпосылок в математических доказательствах

осуществляется только ретроспективно, исходя из нового, более высокого уровня теоретической строгости, к формированию которого в рамках абстрактного статуса математического знания приводит изменение познавательной установки с творческой на критическую. Однако сам личностно-индивидуальный мыслительный механизм выявления и даже установления наличия неявных предпосылок в математике неалгоритмизируем, поэтому выявление конкретных неявных предпосылок непредсказуемо. После устранения индивидуально-личностных предпосылок из доказательства, которое происходит на уровне его коллективной проверки, оно может считаться надёжным, хотя по-прежнему не является строгим. Дело в том, что интерсубъективные неявные предпосылки эксплицируются без разрушения доказательства, поэтому доказательство, содержащее только интерсубъективыные (априорные) неявные предпосылки, может считаться гарантированным от фальсификации его контрпримерами, т. е. надёжным.

8. Классические программы обоснования математики (формализм, логицизм, интуиционизм) предлагают практически приемлемое решение задачи вытеснения скрытых лемм из математических доказательств, и, следовательно, из ткани математической теории, тем самым фактически решая задачу достижения максимальной строгости и максимальной надёжности математического знания. Существенного прироста знания в результате дальнейшей экспликации уже не происходит, а уровень надёжности эксплицируемой математической теории соответствует eel. практическому применению и перспективе дальнейшего развития математики.

9. Учение И. Лакатоса о скрытых леммах математического доказательства следует считать ограниченным вследствие того обстоятельства, что оно не выделяет уровня априорных неявных предпосылок и не проводит границы между строгостью и надёжностью математического рассуждения. История математики подтверждает тот факт, что математические теории могут быть надёжными и до ясного определения критериев строгости.

10. Исследование классических программ обоснования математики в рамках диссертационного подхода доказывает, что обращение к актуальной бесконечности является единственным непреодолимым препятствием для обоснования непротиворечивости канторовской теории множеств и реализации программы логицизма, а также программы математического формализма в её гильбертовском варианте, тем самым ясно обозначая границу математического обоснования. Классические программы обоснования математики не полностью свободны от неявных элементов, поскольку даже если в них не предполагается обращения к актуальной бесконечности, как в программе математического интуиционизма, то предусматривается осуществление символизации или формализации, неизбежно порождающих неявный коэффициент. При этом выяснено, что указанные особенности программ обоснования математики не разрушают её дедуктивный статус и не являются причиной для отказа математическому знанию в надёжности.

Все выводы по теоретической и практической значимости настоящего диссертационного исследования связаны с осмыслением и развитием в теоретико-познавательном и методологическом аспектах результатов, полученных посредством применения концепции неявного знания к философско-математическим исследованиям.

Важное теоретическое значение имеют выявленные и обоснованные в диссертации закономерности, раскрывающие важнейшую роль неявного знания в развитии математики в рамках аксиоматического типа мышления как на стадии формирования нового знания, содержащего развитый неявно-интуитивный компонент, так и на стадии обоснования и экспликации этого нового знания. Суть обоснования и экспликации в математике в рамках диссертационного подхода должна рассматриваться как вытеснение неявных элементов из математических доказательств и теоретических оснований.

На основе результатов диссертационного исследования необходимо заключить, что математическое знание в своём становлении проходит многоэтапную историческую эволюцию: от неявного неосознаваемого знания на этапе математического открытия, далее через ряд исторических трансформаций - к знанию явному как строгому алгоритму или обратимой процедуре. При этом неявно-интуитивный элемент математической теории неуклонно уменьшается, что особенно заметно становится на этапе алгоритмизации, однако как таковой не может быть элиминирован из математической теории полностью. Представляется, что, независимо от исторической перспективы, потенциал повышения уровня строгости в современной математике исчерпан, но, вместе с тем, адекватен её практическому применению и перспективам её дальнейшего развития. Это позволяет сделать важнейший практический вывод о надёжности современной математики, несмотря на ограниченность формально-теоретической экспликации её оснований.

Проблема понимания в аспекте её взаимосвязи с проблемой неявного знания приобретает особую практическую важность в связи с исследованиями в области искусственного интеллекта. Представляется, что важнейшее практическое значение в этом плане может иметь подтверждение в диссертационном исследовании тезиса о том, что «человеческое математическое понимание несводимо к вычислительным механизмам»1. Это значит, что понятия интеллекта и искусственного интеллекта никогда не станут тождественно верными, какими бы успехами не сопровождались научно-теоретические и технические исследования в области искусственного интеллекта. В исторической перспективе, при качественно более высоком уровне развития компьютерных технологий, когда на повестку дня будет поставлен вопрос о возможности замены человека компьютером, непреодолимая существенная разница между этими понятиями станет принципиальной.

Необходимо признать, что выводы диссертационного исследования в определённой степени корректируют позиции математического эмпиризма, а также социокультурной

1 Пенроуз Р. Тени разума в поисках науки о сознании. Часть I: Понимание разума и новая физика - Москва-Ижевск; Институт компьютерных исследований, 2003. - С. 320 -321.

философии математики. Диссертационный вывод, согласно которому только при условии априорности оснований математики рациональный социокультурный контекст, ими задаваемый, будет сохраняться и развиваться в русле рациональной социокультурной традиции человечества, обусловливает важнейшее социокультурное значение исследований в области философии математики, в частности, изучение оснований этой науки. Полученные выводы доказывают, что концепция неявного знания не только связана с идеей априоризма оснований математики, но и в целом не разрушает математического дедуктивизма как такового.

На основе диссертационных выводов можно заключить, что никакие социокультурные институты передачи знаний и опыта, из структуры которых устранена личность преподавателя как уникального транслятора неявно-интуитивных элементов знания, обычно квалифицируемых как «опыт» в широком смысле слова, накопленный цивилизацией за время своего исторического развития, никогда не будут достаточно эффективными. При этом необходимым является синергийное взаимодействие личностно-индивидуальных комплексов неявного знания преподавателя и его учеников.

В данном исследовании продемонстрировано, что применение концепции неявного знания в качестве инструмента философско-научного исследования имеет неплохие перспективы. В качестве конкретных примеров применения неявного знания в этом аспекте рассмотрена историческая эволюция математического метода интерпретаций и историческое обоснование основной теоремы алгебры.

Выводы, полученные в диссертационном исследовании, позволяют теоретически уточнить представления о природе научного знания в рамках определённой тенденции, сложившейся в последнее десятилетие в отечественной теории познания и философии науки. Сегодня необходимо признать, что неявное знание - это неотъемлемый элемент научной теории, обеспечивающий понимание этой научной теории конкретным субъектом познания, в конечном счёте, существенно ограничивающий претензии научно-теоретического разума на познание абсолютной истины.

Материалы диссертации могут использоваться в высшей школе при разработке специальных курсов для студентов и аспирантов по вопросам теории познания, философии науки и методологии математики.

Апробация работы. Основные положения настоящего диссертационного исследования были апробированы автором в выступлениях на следующих научных конференциях и теоретико-методологических семинарах:

Всероссийская конференция по философии математики, проводимая ежегодно совместно МГУ им. М. В. Ломоносова, РГГУ, ИИЕТ РАН в Красновидово (Подмосковье) в 1997-2003 годах: по теме «Стили математического мышления в социокультурном контексте» (1997-1998 гг.), по теме «Понятие числа» (2002-2003 гг.), в Звенигороде по теме «Трансцендентальная философия математики» (сентябрь 2004);

Второй Российский философский Конгресс «XXI век: будущее России в философском измерении» (7-11 июня 1999 г., Екатеринбург);

Вторые республиканские чтения «Философы XX века: Карл Поппер», состоявшиеся в 1998 г. в Минске, в Республиканском институте высшей школы Белорусского государственного университета;

Всероссийские научные конференции по следующим темам: «Единство онтологии, теории познания и науки» (Уфа, 1996), ««Мировоззренческие основания человеческой деятельности на рубеже XXI века» (Уфа, 1997), к 200-летию со дня рождения О. Конта на тему «Язык науки XXI века» (Уфа, 1998 г.) и др.

Структура работы. Структура работы определяется её целью и задачами. Диссертационное исследование состоит из Введения, трёх глав, десяти параграфов, Заключения и Списка использованной литературы. В тексте имеются ссылки на библиографические источники.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во Введении обосновывается актуальность выбранной темы, характеризуется степень её разработанности в современной философской литературе, формируются цель и задачи исследования, рассматриваются его теоретико-методологические основания, определяется его научная новизна и значимость. Каждую из трёх глав предваряет преамбула, в которой делаются методологические замечания общего характера для всех параграфов и даются необходимые историко-математические справки.

В первой главе «Неявное знание в общенаучном контексте» рассматриваются и обобщаются основные концептуальные подходы в раскрытии феномена и понятия неявного знания, а также основные принципы теории неявного знания, сложившиеся в современной гносеологии и философии науки. Отмечается, что полученные выводы носят подготовительный характер, и являются базой для получения основных диссертационных выводов.

В первом параграфе первой главы «Проблема неявного знания в современной гносеологии» рассматривается концепция неявного знания М. Полани, а также основные концептуальные подходы в понимании неявного знания, содержащиеся в современной философско-научной литературе. Вообще понятие неявного знания обладает совершенно особой спецификой, недостаточно раскрытой к настоящему времени в философии науки, которая эксплицируется на протяжении всего диссертационного исследования.

Согласно взглядам М. Полани, неявное знание - это периферическая часть общего знания личности, образующая «инструмент познания», которая в силу такой специфики скрыта от рационально-активной части мышления субъекта познания и поэтому им не может быть осознана и вербализована в адекватном для конкретной ситуации виде1. В

1 Полани М. Личностное знание. - М.: Про1ресс, 1985.

этом заключается неспецифицируемость неявного знания как его основное свойство, обусловливающее отличие неявного знания от знания явного, то есть «знания из учебников», объективного в традиционном смысле, то есть независимого от какой-либо конкретной личности. Согласно исследованиям М. Полани, в понятии неявного знания целесообразно выделять гносеологическую и личностно-индивидуальную составляющую. Гносеологическую составляющую неявного знания образуют такие его свойства как неспецифщируемость и личностность, а личностно-индивидуальную составляющую образуют такие элементы как интеллектуальная убежденность, вера, воля, страстность. Единство всех элементов личностно-индивидуальной составляющей неявного знания обеспечивается посредством синтезирующей функции интеллектуальной самоотдачи. Именно такое, то есть личностное неявное знание, по М. Полани, и является подлинно объективным, поскольку оно не отягощено какими-либо исторически относительными нормами и предрассудками, а часто идёт вразрез с ними, и поэтому способно адекватно выражать внеисторическую и внесоциальную рациональность окружающего нас мира. Личностному знанию М. Полани противопоставляет отчуждённое, «дистиллированное» знание из учебников, оторванное от личностной интуиции, так называемое «объективное знание» позитивистов. Тезис М. Полани о нерационализируемости неявного знания, а, следовательно, о невозможности преобразования неявного знания в явное, подвергающийся сомнению в отечественной философской литературе, опровергается в настоящем исследовании посредством апелляций к истории математики.

Т. Кун, в основном разделяя идеи М. Полани, отмечает нетрадиционность использования им термина «неявное знание», поскольку субъект познания «не обладает прямым доступом к тому, что знает ...»1. И. Лакатос, сравнивая подходы Т. Куна и К. Поппера, приходит к выводу, что «Исследовательская программа Поппера направлена на описание этого объективного роста науки. Исследовательская программа Т. Куна, по-видимому, стремится к описанию «изменения» в («нормальном») научном мышлении (будь то мышление индивида или целого сообщества)»2. В рамках теории роста

научного знания К. Поппера, точнее, в его «третьем мире» научных идей, нет места никакому неявному знанию вследствие его личностности и, следовательно, субъективности.

Из отечественных исследователей наиболее серьёзное внимание проблеме неявного знания уделяют В. И. Аршинов и Л. А. Микешина. В. И. Аршинов раскрывает прежде всего синергетическую, междисциплинарную суть феномена неявного знания, обусловливающую специфику современных научных исследований. Л. А. Микешина стремится к рассмотрению неявного знания как предпосылочного, содержащего развитый ценностный аспект, посредством которого ценностное отношение к миру внедряется в каждодневную практическую деятельность субъекта.

1 Т Кун. Структура научных революций. М.: «АСТ», 2001. С. 251-252.

2 Там же, с. 376.

На основании этих исследований в параграфе ставится проблема неявного знания, которая состоит в изучении специфики неявного знания в научной теории, а также в определении возможностей его научно-теоретической рационализации и экспликации. Для её разрешения, во-первых, необходимо исследовать принципиальную возможность рационализации неявных элементов научной теории; во-вторых, необходимо определить границы и условия, в рамках которых указанные гносеологические процедуры возможны; и, в-третьих, необходимо выяснить, каким образом неявное знание влияет на общее развитие научной теории. В этой связи также необходимо учесть, что обоснование научной теории, в том числе и математической, осложнено неспецифщируемостью неявного знания. Это значит, что невозможно исследовать проблему неявного знания без изучения взаимосвязей неявного и явного знания в научной теории.

Во втором параграфе первой главы «Типы неявного знания в научной теории и проблема их трансляции» проводится классификация неявных элементов научной теории, раскрывается общая структура личностно-индивидуального комплекса неявного знания, рассматриваются связи неявного знания и эвристической интуиции. Это позволяет раскрыть механизм экспликации неявных элементов научной теории, а также механизм трансляции неявного знания от субъекта к субъекту, и от поколения к поколению.

Непосредственно к неявным элементам научной теории диссертант относит социокультурные нормы в математике (представления о статусе и об идеале математического познания), скрытые предпосылки научной теории (в математике это -скрытые леммы) и личностную эвристику. Формирование неявного знания, присущего отдельному субъекту познания, начинается с образования личностно-индивидуального комплекса неявного знания, элементы которого формируются постепенно, в ранний период жизни личности, на предрациональном уровне.

Выясняется, что в личностно-индивидуальный комплекс неявного знания входят онто-гносеологические предпосылки, которые частично являются базовыми для математики, а также социокультурные предпосылки, образующие идеал математического знания. Онто-гносеологические предпосылки, составляющие содержание «инструмента» познания личности, должны быть очевидными в плане оценки их истинности, и не должны изменяться вместе с социокультурными ориентирами опыта. Выполнение этих условий может быть обеспечено только нерациональной спецификой их формирования как базового элемента личностно-индивидуального комплекса неявного знания. Это значит, что такие предпосылки должны быть априорными. Такие априорные онто-гносеологические предпосылки образуют «инструмент познания» конкретной личности, и формируются последовательно, в комплексе, на основе представлений о пространстве и времени, непосредственно «примыкающих» в общей структуре личностно-индивидуального комплекса неявного знания к бессознательному «комплексу неосознанных ощущений». Априорные онто-гносеологические представления являются интерсубъективными для всех субъектов познания.

Онто-гносеологические представления оказывают действие на весь комплекс неявного знания, присущего личности, и через этот комплекс как бы «внедряются» во все научные теории в качестве основы ее интуитивного элемента, тем самым влияя на ее развитие. В диссертационном исследовании далее устанавливается, что на уровне конкретной личности онто-гносеологические предпосылки, в том числе и априорные механизмы мышления, осуществляют в основном интегративную функцию в познании, то есть синтезируют воедино все впечатления, доставляемые личности «потоком переживаний», и делают возможным познание как таковое.

На базе априорных предпосылок мышления формируются его социокультурные предпосылки, к которым относятся представления о нормах, методах и критериях истинности знания, применяющиеся в математике. Кроме того, к неявному знанию в математике относится индивидуальная эвристика, применяемая каждым математиком в научном исследовании и при решении задач. Популярным эвристическим методом является, в частности, метод дополнительного построения. Важно понимать, что априорные, то есть интерсубъективные предпосылки, не подлежат экспликации в рамках научной теории по определению. Субъективные же, то есть социокультурные, предпосылки, могут быть эксплицированы в ходе исторического развития математики.

Далее в диссертации проводится сравнение подходов к пониманию интуиции Р. Декартом и Им. Кантом, что крайне важно для прояснения концепции эвристической интуиции, а также для прояснения природы связей неявного знания и интуиции и для дальнейшего формирования основных выводов. Между этими подходами имеется весьма существенная разница.

По Им. Канту истинность утверждений математики может быть обоснована уже тем, что эти утверждения являются результатом чистого созерцания, поэтому в математике достаточны лишь демонстративные доказательства1. Это значит, что в рамках кантовского понимания математики нет места неявному знанию. Однако трудно не согласиться с тем, что «... кантовское исключение дискурсивных аргументов из геометрии и арифметики - не просто пробел, а противоречие»2, причем противоречие с реальной историей математики

Отличие гносеологической концепции Р. Декарта от кантовской состоит прежде всего в том, что, по Р. Декарту, кроме интуиции, в математике существенное значение имеет дедукция, доказывающая «отдаленные следствия»3. При этом «путем движения мысли, ясно усматривающей каждую отдельную вещь» , мы узнаем, что последнее звено какой-либо длинной цепи (рассуждений - прим. диссертанта) - соединено с первым ...»5. Можно заключить, что исходная посылка дедукции неявным образом содержит в себе

Кант И Критика чистого разума. - М Мысль, 1998 - С.551

2 Там же

3 Декарт Р Правила для руководства ума//Соч в двух тт Т 1 -М Мысль, 1989 -С 91

4 Там же 5 Тамже

следствие, «хотя мы и не можем обозреть одним взором глаз всех промежуточных

1

звеньев, от которых зависит это соединение ...» , то есть некоторые звенья дедуктивной цепи могут быть упущены. Это значит, что «отдалённые следствия» по Р. Декарту можно рассматривать как «свёрнутые умозаключения», которые неявным образом содержат в себе дедуктивную «цепочку», которая впоследствии может быть дискурсивно развёрнута на основе определённых правил, которые также были сформулированы Р. Декартом. Согласно этим правилам, на каждом шаге обоснования научного знания необходимо стремиться к достижению «полной ясности», необходимой в научном исследовании. Это значит, что все шаги, неявно содержащиеся в дедуктивной цепочке, должны быть выявлены и доведены до состояния интуитивной ясности. Можно заключить, что концепция неявного знания вполне согласуется с гносеологическими принципами Р. Декарта.

Далее в параграфе формируется представление об эвристической интуиции, непосредственно связанной с понятием неявного знания. Эвристическая интуиция близка к рациональной интуиции Р. Декарта, под которой подразумевается «понимание (сопсерШш) ясного и внимательного ума, настолько простое и отчётливое, что оно не оставляет никакого сомнения в том, что мы разумеем ...»2. Посредством личностно-индивидуального комплекса неявного знания на неосознаваемом уровне формируется некое свёрнутое умозаключение, средством усмотрения которого является эвристическая интуиция. Это свёрнутое умозаключение затем необходимо дедуктивно развернуть уже при помощи дискурсивных механизмов мышления. Само это «усмотрение» как таковое не является рационально-логическим, но всё же является рациональным, хотя и не связано с «наличной очевидностью», как рациональная интуиция Р. Декарта. Понятно, что эвристическая интуиция, усматривающая новое знание, является творческой.

С опорой на исследования Ж. Адамара в параграфе обосновывается, что процесс формирования нового знания в математике, движущей силой которого является эвристическая интуиция, осуществляется следующим образом: на этапе подготовки происходит образование нового знания, имеющего неявный характер, а затем, на этапе «озарения» - вербализация некоторой его части в виде интуитивной догадки, и затем -преобразование на этапе проверки этой догадки дискурсивным образом, то есть на основе логико-рационального рассуждения, в первичное теоретическое утверждение.

Специфика математического познания состоит в том, что некоторые математические очевидности могут как бы «сливаться» с «фоном», на котором происходит математическое познание, поскольку фактически как бы примыкают к его личностно-индивидуальному комплексу неявного знания, вследствие чего субъектом рассматриваются как теоретически неявные. Такая ситуация имеет место, если в научном исследовании в нетрадиционном контексте начинает применяться ранее уже

1 там же

2 Декарт Р. Правила для руководства ума// Избранные произведения. Т. 1. - М: Мысль, 1989. - С. 84.

обоснованное научно-теоретическое знание. В этом случае при рационализации научной теории рано или поздно возникает историческая задача отделения таких «неявных» предпосылок от личностно-индивидуального комплекса неявного знания и затем - задача их научно-теоретического обоснования, то есть возникает задача экспликации неявного знания научной теории.

Во втором параграфе первой главы далее устанавливается, что любое конкретное понятие, входящее в систему явного знания, которым обладает личность, может существовать, только будучи связанным с личностно-индивидуальным комплексом неявного знания, присущего личности. Это значит, что знание в конкретно-личностном аспекте необходимо рассматривать как диалектическое единство явных и неявных элементов, которыми эта конкретная личность уже владеет. И только при условии формирования всех необходимых связей нового понятия с личностно-индивидуальным комплексом неявного знания, его осмысление можно считать состоявшимся, а личность -усвоившей это новое знание в процессе познания или обучения.

Поскольку неявное знание личностно, трансляция неявных элементов знания, к которым относятся также навыки и умения, применяемые в математике и выработанные математическим сообществом в результате исторического развития математической науки, может осуществляться только личностным образом, то есть неким субъектом познания, «учителем», Мастером. И от того, насколько эта личность является творческой, профессиональной как математик, во многом зависят успехи другой, обучаемой, личности в освоении и развитии математической науки.

В целом представляется, что личностно-индивидуальный комплекс неявного знания служит, во-первых, средством трансляции неявных элементов научной теории и практических приёмов её применения от одного субъекта познания к другому; во-вторых, средством трансляции таковых от одного поколения к другому, что осуществляется с опорой на социокультурный элемент личностно-индивидуального комплекса неявного знания.

Во второй главе «Специфика неявного знания в математике» исследуются вопросы становления математического метода или теории в контексте концепции неявного знания. При этом математический метод берётся как таковой непосредственно от момента открытия на основе математической интуиции его основной идеи и вплоть до включения нового математического знания в признанный общематематический контекст.

Предпосылочным для получения основных выводов второй главы стал следующий тезис. Поскольку математика исторически формируется в основном в результате становления новых, эффективных, но вместе с тем недостаточно обоснованных методов и теорий, содержащих развитый интуитивный элемент, сосредоточенный, как правило, в основаниях этих теорий, то экспликация этих оснований и ключевых понятий, необходимая для математической теории, по определению тяготеющей к строгости, исторически значительно запаздывает. Это значит, что становится практически

неизбежным вывод о неизбежности внедрения в математическую теорию на основе интуиции неявных предпосылок и необходимости их последующей экспликации Во второй половине девятнадцатого столетия, с открытием неевклидовых геометрий и математической «революцией строгости», стало реальным осознание роли предпосылок в математике и их исследование.

С учетом этого соображения представляется, что математическая теория формируется в результате концептуализации некоторого аспекта реальности, продукт которой впоследствии аксиоматизируется. Процесс аксиоматизации геометрии от момента появления «Начал» Евклида до нашего времени можно разделить на три периода: период содержательной аксиоматизации, период полуформальной аксиоматизации и период формальной или формализованной аксиоматизации1. Фактически, на основе этого принципа во второй главе обосновывается необходимость участия интуиции в открытии и становлении математического знания, а также необходимость последующего уменьшения его неявно-интуитивного элемента. Прежде, чем принять вид безупречной четкости и логичности, обычно представляющихся атрибутивными свойствами математического знания, таковое проходит долгую и сложную историческую эволюцию - от неявного неосознаваемого знания через ряд исторических трансформаций к знанию явному, соответствующему требованиям декартовой дедукции.

В первом параграфе второй главы «Взаимосвязи априорного и неявного знания в математике» исследуются взаимосвязи неявного и априорного знания в математике, для чего выстраивается концепция математического априоризма, в которой учитывается роль неявного знания. В современной философии математики существует целый спектр концепций происхождения и природы базовых оснований математики2, основными из которых являются традиционно противостоящие друг другу эмпиризм и априоризм. В рамках излагаемого подхода доказывается, что базовые основания математики априорны, а эволюционный путь развития математического знания, при котором происходит экспликация его неявных элементов, может и должен получить адекватное объяснение именно на основе априористского подхода в формировании оснований математики, поскольку только такой подход позволяет объяснить историческое повышение уровня теоретической строгости в математике на основе внутриматематических причин, что методологически выглядит более предпочтительным Дело в том, что все разновидности эмпиризма, в том числе и концепция Ф. Китчера, стремятся объяснить эволюцию математики результатом межпрактических переходов исключительно вследствие действия социокультурных факторов3, то есть факторов, внешних по отношению к математической науке.

Молодший В Н Очерки по философским вопросам математики — М «Просвещение», 1969 —С 246-298

2 Барабашев А Г Будущее математики. Методологические аспекты прогнозирования - М изд-во МГУ, 1991, Hersh R Afresh winds in the philosophy ofmathematics // Amer Math. Monthly - 1995 - Aug.- Sept-P 590-591, Hersh R. Wliat is mathematics, really -NY» Moid UP, 1997 Review m. PhilosophyofSaerce -V 66,No3 -P 501, 502.

3 Kitcher Ph The Nature ofMathematical Knowledge Oxford Univ Press, 1983 С 50-56

В основе излагаемого подхода находится идея конституирования априорных принципов математики на базе априорных метафизических предпосылок, причём конституирование здесь берётся в духе Э. Гуссерля1. В этом аспекте показывается, что метафизические предпосылки конституируются на базе «потока переживаний», возможность к генерированию которого изначально присуща личности благодаря врождённой способности психики к синтезу и ретенциальному «сцеплению» впечатлений, доставляемых органами восприятия. Условием возможности самого «потока переживаний» является наличие впечатлений, феноменов внешнего мира, воспринимаемых субъектом. «Поток переживаний» как таковой, по Э. Гуссерлю, представляет собой континуум, поэтому в параграфе делается вывод о том, что интуитивное представление континуума является априорным для личности. Именно на базе интуитивного образа континуума формируется комплекс метафизических предпосылок как общих представлений о мире, присущих личности. Они априорны, так как просто актуализируются из «потока переживаний». Среди них есть и такие метафизические предпосылки, необходимые для дальнейшего формирования априорных принципов математики, которые в отличие от априорных метафизических предпосылок, представляющих собой, по сути, общие интегративные структуры мышления, в дальнейшем эксплицируются в жёсткие теоретические понятия. К таким специфическим представлениям относятся, например, интуитивные представления о возможности сравнения объектов и о количественных характеристиках этих объектов, что необходимо для формирования априорного понятия числа.

Необходимым условием такой экспликации является актуализация априорных принципов математики в результате знакомства субъекта математического познания с началами математической науки. Однако такой подход не приводит к проникновению элементов эмпиризма в диссертационную концепцию, поскольку означенная актуализация, во время которой происходит экспликация априорных принципов математики, осуществляется исключительно на предрациональном, то есть бессознательном уровне. Традиционный эмпиризм не учитывает этот аспект познания2. Такая специфика актуализации базовых принципов математики обеспечивает их независимость от любого социокультурного опыта и делает их действительно априорными. Опыт является не более чем условием актуализации базовых оснований математики. По этой причине априорные основания математики интерсубъективны, то есть общезначимы для всех субъектов познания, и, следовательно, их истинность очевидна для всех математиков. Понятие «очевидности» некоторого предложения здесь трактуется по Л. Витгенштейну, согласно которому очевидность некоторого предложения для нас означает, «что мы уже выбрали, неосознанно, определённый тип

1 Гуссерль Э Феноменология внутреннего сознания времени// Собрание сочинений. Т 1 М РИГ «Логос», изд-во «Гнозис», 1994

2 Бердяев Н А. Философия свободы Часть VI Философия свободы - Харьков «Фолио», Москва «ACT» 2002 С 61

использования такого предложения.» . Именно неосознанность делает такие интерсубъективные представления в тоже время личностными.

Далее в параграфе раскрывается социокультурный смысл математического априоризма, для чего привлекаются результаты когнитивных исследований Ж. Пиаже. Согласно таковым, сохранение оснований мышления является необходимым условием возобновления социокультурной традиции. Это значит, что любые отклонения в сторону социокультурного подхода в понимании природы базовых оснований математики, ставящего их в зависимость от изменчивых социокультурных ориентиров, не согласуются с преемственностью рациональной социокультурной европейской традиции, зародившейся ещё в античности. А ведь такая преемственность имеет место в истории и игнорировать этот факт вряд ли возможно. Учёт этих соображений позволяет сделать вывод о том, что в сохранении оснований математики и состоит социокультурный смысл математического априоризма.

С опорой на труды Р. Декарта, фактически впервые приступившего к теоретическому формированию принципов математического дедуктивизма2, устанавливается, что именно априоризм в объяснении природы базовых оснований математики обеспечивает реализацию этих правил в математике, а также возможность безопасного применения её результатов на практике. Эффективное применение математики в области математического естествознания, при котором интенсивно продуцируются неявные элементы, делающие возможным это применение, фактически опирается на математический дедуктивизм, предполагающий неизменное сохранение и особый статус для оснований математики. Это значит, что концепция неявного знания не только связана с идеей априоризма оснований математики, но, вследствие герметичности математических доказательств, не разрушает общих принципов математического дедуктивизма, хотя в целом осложняет разворачивание и обоснование математической теории.

Во втором параграфе второй главы «Классификация неявного знания в математике» дорабатывается структура личностно-индивидуального комплекса неявного знания с выделением его математической составляющей, на основе чего эксплицируются типы неявного знания в математике. К таковым относятся: а) эвристические приёмы и методы; б) неявные предпосылки, которые могут иметь вид скрытых аксиом, скрытых лемм или определений; в) неявный коэффициент математической символизации.

Математическую специфику личностно-индивидуального комплекса неявного знания, кроме априорных элементов, определяет и часть социокультурных предпосылок, к которым относится представление о нормах и методах математического исследования,

1 Витгенштейн Л. Замечания по основаниям математики// Виттенштейн Л. Философские работы Ч. II, кн. 1. М : «Гнозис» 1994. С. 120-121.

2 Декарт Р. Правиладля руководства ума// Соч. вдвух тт. Т. 1. - М : Мысль, 1989. - С. 77-154.

содержание познавательной установки, а также представление об определённом уровне строгости, принятом в математике в этот исторический период. Далее на этой исходной основе личностно-индивидуального комплекса неявного знания образуются эвристические приёмы и методы, применяющиеся в математике теоретически неявным образом при решении нестандартных задач, для которых не находится готовых алгоритмов.

Непосредственно в самой математической теории неявное знание выступает преимущественно в виде неявных предпосылок, имеющих вид скрытых аксиом, определений или лемм. Как скрытые аксиомы и определения в математике выступают полностью интуитивные теоретические утверждения, которые зачастую имеют физический смысл и явно не указываются в математической теории, хотя прямо влияют на её понимание. Например, в геометрии принимается определённый коэффициент кривизны, в зависимости от которого принимаются аксиомы евклидовой или неевклидовой геометрии.

Приведённый далее пример неявной предпосылки математической теории наиболее ярко иллюстрирует именно неспецифицируемость как основное свойство неявного знания. В евклидовой геометрии совершенно не предусмотрено доказательство того, что всякое «замыкание», то есть кривая линия, по которой можно было бы двигаться в одну сторону до бесконечности, делит плоскость в точности на два множества точек -«внутреннее» и «внешнее», а переход из одного множества в другое обязательно связан с пересечением границ между этими множествами. В рамках этого представления Л. Кэрролл в своё время доказал, что линия, идущая из вершины треугольника, внутри него обязательно пересечет сторону, противолежащую вершине, из которой эта линия выходит. А до Л. Кэрролла этим утверждением в математике пользовались неявным образом, и очень активно1. Вообще трудно найти такую геометрическую задачу, в которой можно было бы обойтись без опоры на этот тезис, однако даже осознание этого факта произошло только во времена Л. Кэрролла. Этот пример показывает, что, хотя неявные предпосылки в геометрии неизбежны, они отнюдь «не бросаются в глаза», а их осознание непредсказуемо.

Вообще, согласно А. Пуанкаре «Число аксиом, скрытым образом введённых в классические доказательства, больше, чем необходимо»2. В геометрии, в частности, неявно предполагается, что геометрические объекты - твёрдые тела, поскольку почти все утверждения евклидовой геометрии предполагают неявное допущение о возможности переноса фигур в пространстве без деформаций, чтобы их можно было, например, совместить между собой. Это может понадобиться в случае доказательства равенства треугольников, или каких-либо других геометрических фигур3. Согласно А. Пуанкаре,

1 Мичи Д, Джонстон Р. Компьютер - творец. - М.: Мир, 1987. - С. 188.

2 Пуанкаре А. О науке. - М: Наука, 1990. - С.46.

3 там же, с. 45.

требование такого допущения может быть выполнено отнюдь не для любой геометрии. В частности, это возможно не для всех неевклидовых геометрий, разработанных Риманом, и под общепринятым названием геометрии Римана обычно подразумевается геометрия, отвечающая требованию о возможности движения неизменяемой фигуры1.

Далее в параграфе рассматривается специфика математической символизации, без осуществления которой математика как наука невозможна как в рамках аксиоматического, так и в рамках конструктивно-символического типа математического мышления. При проведении математической символизации происходит личностное интуитивное отождествление некоторого математического символа с определённым содержанием. По М. Полани, при решении математической задачи «необходимо точно выполнить символизацию... , и правильно интерпретировать результат. Всё это требует понимания, и именно в ходе этих актов понимания обретают смысл использованные в

процессе решения задачи формальные операции, а их результат принимается лицом,

2

которое их выполняет» .

Вообще в математике применяются различные символы - для чисел, переменных, знаков арифметических и алгебраических операций, для обозначения геометрических объектов, а также их отдельных элементов. Кроме того, в математике по необходимости могут использоваться и логические символы. Изо всех перечисленных символов могут конструироваться различные формулы. Как и понятия, символы мы «накапливаем» и учимся понимать в течение всей жизни с самых ранних лет. Математические символы в мышлении каждого математика формируются на базе его личностно-индивидуального комплекса неявного знания в сочетании с «опытом», то есть солидным багажом математической практики в определённых социокультурных рамках, задаваемых социокультурным элементом личностно-индивидуального комплекса неявного знания. Согласно выводам М. Полани и Л. А. Микешиной, при осуществлении математической символизации образуется неявный коэффициент математической символизации, который посредством личностно-индивидуального комплекса неявного знания связывает абстракцию математики с реальностью, и тем самым обеспечивать понимание математического символа конкретным субъектом познания. При осуществлении символизации в математике речь идёт уже о так называемой «триаде неявного знания», суть которой на основании общего положения М. Полани применительно к математике можно определить следующим образом: математик А делает математический термин В обозначением объекта С.

В третьем параграфе второй главы «Специфика основных типов математического мышления» доказывается, что именно неявное знание конкретного субъекта математического познания необходимо признать основным фактором, влияющим на формирование конкретного типа математического мышления. Выполнение указанной

1 там же, с. 47.

2 Полани М. Личностное знание. - М: Процесс, 1985. - С. 123.

задачи позволяет получить аргумент в защиту математического априоризма в дополнение к тезису первого параграфа этой главы, а также определить специфику аксиоматического и конструктивного подходов в математике.

Согласно А. Пуанкаре, существует два основных типа математического мышления: интуитивное и аналитическое. Для представителей интуитивного стиля мышления характерно творчество и большее доверие к результатам работы интуиции. К ним А. Пуанкаре относит, в частности, Ли и Коши. Аналитики, среди которых он отмечает Эрмита и Вейерштрасса, напротив, практически отрицают эффективность математической интуиции и считают логику основным инструментом математики. Среди

аналитиков выделяются обладатели интуиции чистого числа, уникальной интуиции,

1

которую можно отождествить с кантовским «чистым наглядным представлением» . Видимо, таковой обладал автор программы математического формализма Д. Гильберт. М. Полани считает, что и аналитиками, и интуитивистами движет интуиция, поскольку в любом случае необходимо преодоление логического разрыва. Он доказывает этот тезис, выстраивая аналогию между гёделевской процедурой и правилами математического открытия, разработанными А. Пуанкаре2.

Наличие неявных элементов свойственно как интуитивному, так и аналитическому мышлению, хотя аналитическое мышление прежде всего нацелено на преодоление таковых. А чем более мощным слоем неявного знания обладает представитель интуитивного стиля мышления, тем больше оригинальных идей он может высказать. Крайним проявлением интуитивного стиля мышления можно назвать иррационализм, при котором верные результаты теоретически не обосновываются, хотя и проверяются их авторами. Представляется, что причиной указанного иррационализма математического мышления, характерного для С. Рамануджана и Д. Буля, живших в различные исторические периоды развития математики, является специфика этапа проверки как особенность их эвристического процесса. Проверка для иррационалистов не идентична теоретическому обоснованию, а представляет собой средство личного самоубеждения. Представляется, что существование математического иррационализма, можно рассматривать как проявление самодостаточности математического мышления, независимости математики от каких-либо внешних факторов, и даже от рационально-логических механизмов мышления. У Ж. Адамара можно найти и другие примеры проявлений математического иррационализма.

В двадцатом веке, в результате преобразований в самой математике, происходит и трансформация основных типов математического мышления. Можно принять, что интуитивный тип мышления в математике двадцатого века трансформировался в конструктивно-символический, отдающий приоритет не выводимому доказательству, а наглядному. Аналитический тип математического мышления трансформировался при

1 Кант И. Критика чистого разума. - М.: Мысль, 1998. - С. 538-542.

2 Полани М. Личностное знание. - М.: Прогресс, 1985. - С. 263 -270.

этом в аксиоматический, практически ему тождественный. В целом математики разделяются на сторонников традиционного, аксиоматического и конструктивного подходов.

При конструктивном типе математического мышления «все наши умозаключения должны основываться на свидетельствах относительно совершенно ясного и понятного процесса, посредством которого порождаются натуральные числа, а не на каких-то принципах формальной логики, подобных силлогизму и др. Извлечение следствий не есть дело конструктивно мыслящего математика»1. Все объекты при таком типе математического мышления должны предъявляться абсолютно явно, в результате их наглядного построения, вследствие чего никаких сомнений в существовании этих объектов возникнуть не может. Роль неявных элементов при таком подходе в математике уменьшается, однако не может быть элиминирована полностью, поскольку при конструктивном мышлении образуется неявный коэффициент математической символизации.

В четвертом параграфе второй главы «Роль неявных элементов в исторической эволюции математического знания» формируются выводы, связанные с исследованием роли неявного знания в становлении математической теории. Для этого в качестве основного гносеологического инструмента, с опорой на историко-математический материал, дорабатывается и уточняется концепция исторической эволюции математического знания в рамках аксиоматического типа математического мышления, ранее выдвинутая и обоснованная диссертантом2. В соответствии с этой концепцией историческая эволюция математического знания включает в себя несколько этапов, на которых статус развивающегося математического знания несколько раз изменяется. К ним относятся следующие: этап неявной эвристики, этап явной эвристики, этап теоретического осознания явной эвристики, этап алгоритмизации и этап формализации. Все указанные этапы развития новых методов в математике в диссертационном исследовании рассматриваются подробно Выясняется, что основным свойством, отличающим интуитивную в целом эвристику от строгого алгоритма является ее необратимость, то есть невозможность пошагового воспроизведения. Показывается, что признание к новому математическому методу, эволюционным путем развившемуся из неявной эвристики, приходит только на этапе алгоритмизации, который может продлиться не одно столетие. На этом же этапе в основном происходит последовательное выявление большей части имеющихся неявных предпосылок. В каждый конкретный период истории математики имеет место совместное существование математических методов, находящихся на различных этапах эволюции.

В качестве примера применения рассмотренной концепции анализируется историческая эволюция математического метода интерпретаций. Как неявная эвристика

1 Вейль Г Математическое мышление - М Наука, 1989 - С 20

2 Султанова Л Б Неформальная рационализация в математике -Уфа Изд-во УГНТУ, 2001 -С 75-91

этот метод математики применялся ещё в античности, затем в 1637 г. в «Геометрии» Р. Декарта происходит его выявление. Далее уже К. Гаусс в 1811 г. опирается на математический метод интерпретаций при геометрической интерпретации комплексных чисел, а в 1826 г. и в 1868 г. в работах Н. И. Лобачевского и Э. Бельтрами соответственно осуществляется теоретическое осознание метода интерпретаций как признанного математического метода. Его алгоритмизация проводится при построении неевклидовых геометрий, а в 1899 г. Д. Гильберт на основе метода интерпретаций формирует аксиоматический метод - один из важнейших в математике.

Этот конкретный пример показывает, что тезис М. Полани об отсутствии возможности рационализации неявных элементов в математике нуждается в конкретизации в зависимости от типа рассматриваемого неявного знания. На примере экспликации исторической эволюции математического метода интерпретаций продемонстрировано, что формализация позволяет приблизиться к идеалу надёжности и обоснованности в математике. Однако необходимо учитывать, что без неявных эвристик, в которых практически невозможно предвидеть новые эффективные методы, позволяющие решать сложнейшие практические задачи, в математике никогда бы не было и формальных алгоритмов или процедур. В заключение в параграфе даётся оценка идей крупнейшего представителя математического натурализма Ф. Китчера. В частности, делается вывод о недостаточной убедительности объяснения происхождения

«рудиментарной» математической практики из самой же практики, без опоры на идею

1

математического априоризма .

В третьей главе «Роль неявных элементов в математическом обосновании» исследуются роль и значение неявных предпосылок в основных обосновательных процедурах в математике, включая и глобальные программы обоснования, выдвинутые в начале двадцатого века в ответ на парадоксы канторовской теории множеств. Кроме глобальных программ, к обосновательным процедурам математики можно отнести экспликацию доказательств и аксиоматизацию математических теорий. При общей характеристике диссертационного подхода в аспекте обоснования отмечается, что таковой, поскольку он опирается на теорию неявного знания, позволяет получить необходимые дополнения к уже сложившейся в современной философии математики гносеологической оценке основных программ обоснования математики, а также результатов их развития в математике и эпистемологии двадцатого века.

Исходя из специфики внутриматематического подхода доказывается, что с точки зрения аксиоматического типа мышления, в рамках которого фактически развивалась математика со времён Евклида, повышение уровня теоретической строгости в математике становится необходимым. В последнее десятилетие девятнадцатого века проблема обоснования математики обострилась настолько, что назрела необходимость в

1 Kitcher Ph. The Nature of Mathematical Knowledge Oxford Univ. Press, 1983.

построении таких математических процедур, которые позволили бы окончательно обосновать надежность математического знания. Именно об этом «сигнализируют» парадоксы, обнаружившиеся в канторовской теории множеств. Такими математическими процедурами стали глобальные классические программы обоснования математики, выдвинутые крупнейшими математиками в начале двадцатого века. Вопросами обоснования математики и исследования специфики математического знания с точки зрения теории познания, продолжая традиции, заложенные ещё Декартом и Лейбницем, в этот период занимались все крупнейшие математики.

Специфика философии математики как раздела теории познания определяется прежде всего тем, что философия математики - это часть философии, занимающаяся вопросами обоснования математической науки. По отношению к математике философия математики самостоятельна, а её выводы не должны рассматриваться как противоречащие выводам самой математики или вторичные по отношению к ним. Более того, представляется, что окончательную точку в вопросе - можно ли посредством некоторых преобразований получить абсолютно строгую математику - может и должна поставить только философия математики, поскольку это её прямая задача по определению. Ведь философия науки по определению научности должна стремиться к объективности, иначе она рискует превратиться в идеологию. Логический позитивизм фактически заменяет философский подход на узко-формалистический, имеющий смысл только в рамках математического формализма, и поэтому неприменимый к историко-философским исследованиям.

Представляется, что сегодня как никогда справедлив тезис Лакатоса о том, что «Догматы логического позитивизма гибельны для истории и философии математики»1. Действительно, формализм стремится лишить математические утверждения какого-либо содержания, сводя их только к утверждениям языка. При этом для математической науки такой подход в целом положителен, так как исторически способствовал обретению математикой своего подлинного статуса как науки чисто абстрактной, что, несомненно, способствовало интенсивному развитию математики в двадцатом веке. Однако для философии математики это совершенно не так. Поэтому в исследовании вопросов обоснования математики, включая и глобальные обосновательные процедуры, отнюдь небесперспективным представляется путь историко-философского анализа, заключающийся в изучении роли неявных предпосылок в реально развивающемся историко-математическом процессе.

Все вопросы, связанные с исследованием взаимосвязей надежности и строгости в математике, рассматриваются в первом параграфе третьей главы «Динамика уровня теоретической строгости в истории математики», при изучении роли неявных элементов в историческом обосновании математического доказательства. При этом

устанавливается, что, в зависимости от принятого на конкретном этапе развития математики уровня теоретической строгости, в разные периоды истории развития математики надёжными представлялись математические теории, соответствующие различным уровням теоретической строгости. Это значит, что строгой в математике должна считаться такая теория, в которой неявно-интуитивный элемент развит не более, чем это допустимо в рамках уровня теоретической строгости, принятого в данный исторический период в математическом сообществе.

Надёжность математического знания определяется как его гарантированность от контрпримеров. Историческое изменение уровня теоретической строгости в математике, вызывающее пересмотр представлений о надёжности конкретных математических теорий, может быть квалифицировано как «революция строгости». Вследствие осуществления вейершртассовой «революция строгости» более строгое математическое знание начинает рассматриваться и как более надёжное. Такое положение дел в математике и позволило Ф. Клейну назвать XVIII век в математике «творческим, но не критическим»2.

Далее в параграфе выясняется, что представление о надёжности математического знания формируется под влиянием двух факторов: конкретного содержания статуса математического знания и познавательной установки. При абстрактном статусе математического знания более строгое знание считается и более надёжным. При понимании математики как науки, изучающей свойства реальных объектов, вопрос о надёжности математического знания вообще представляется излишним, поскольку математическое знание считается надёжным по определению. Другим фактором, определяющим взаимосвязь надёжности и строгости в математике необходимо назвать познавательную установку. В параграфе показывается, что критическая познавательная установка, сформировавшаяся в математике ко второй половине девятнадцатого века, в отличие от творческой, господствующей в математике ранее, исторически способствовала повышению уровня теоретической строгости.

В параграфе делается замечание относительно того, что в современной философии науки высказывается идея социокультурной детерминированности представлений о строгости математического доказательства3. Однако эта идея не связывается её авторами ни с математическим априоризмом, ни с концепцией неявного знания, что, по мнению диссертанта, обусловливает её ограниченность.

Далее в первом параграфе выясняется, что углубление обоснования в математике оказывается исторически обусловленным в рамках аксиоматического подхода. Это значит, что в девятнадцатом веке математика становится более абстрактной, и, значит, в поисках надёжности уже не может апеллировать к реальности, как раньше. Однако это не

1 Лакатос И. Доказательства и опровержения. - М.: Наука, 1967.

2 Стройк Д. Я. Краткий очерк истории математики. - М.: Наука, 1990. - С. 256.

3 Hersh R. The fresh wind in the filosophy ofmathematics. - P. 590, 591.

означает невозможности эффективного практического применения её результатов. При этом математика становится всё более строгой. Логическим завершением исторической тенденции повышения уровня теоретической строгости в математике становится выдвижение задачи достижения абсолютной строгости, которая, казалось, была решена в канторовской теории множеств. Однако парадоксы, вскоре в ней обнаружившиеся, и необходимость их преодоления вскоре привели к выдвижению глобальных программ обоснования математики - формализма, логицизма и интуиционизма.

Во втором параграфе третьей главы «Гносеологический механизм математического обоснования» на основе концепции неявного знания выявляется общий гносеологический механизм исторического обоснования в математике, обеспечивающий прирост нового математического знания. Этот гносеологический механизм представляет собой экспликацию неявных предпосылок в математических доказательствах, которые обнаруживаются в результате исторического повышения уровня теоретической строгости. Каждое повышение уровня теоретической строгости в математике осуществляется в три этапа. Известно, что историческая эволюция, реально представляющая собой аксиоматизацию математических теорий, включает в себя экспликацию оснований, доказательств теорем, а также алгоритмизацию методов, образованных на базе этой теории. Все обосновательные процедуры в математике осуществляются посредством действия указанного гносеологического механизма. В качестве примера проводится рациональная реконструкция исторической экспликации доказательства основной теоремы алгебры, в которой выделяется несколько исторических этапов, на которых Даламбер, Гаусс и Ф. Клейн последовательно эксплицировали ранее полученные доказательства этой теоремы.

Устанавливается, что экспликация всех неявных предпосылок математического доказательства в процессе его исторического обоснования, по крайней мере, теоретически, не может быть завершена за обозримый промежуток исторического времени, и в исторической перспективе этот процесс вообще никем и ничем не регламентирован. Дело в том, что не только выявление скрытых лемм, но и установление наличия таковых на личностно-индивидуальном уровне имеет интуитивный характер. Это значит, что на формально-теоретическом уровне не могут быть эксплицированы все неявные предпосылки и основания конкретной математической теории. Вместе с тем далее в параграфе подтверждается вывод о том, что сложности, обусловленные наличием феномена неявного знания в математике, вследствие герметичности математических доказательств, не могут разрушить дедуктивную природу математического рассуждения, хотя в целом и осложняют его обоснование.

В заключение в параграфе проводится сравнение диссертационной концепции развития математики с концепцией И. Лакатоса и делается вывод, что диссертационная концепция в некоторых аспектах близка к его теории образования понятий, которая

«соединяет образование понятий с доказательствами и опровержениями»1. Согласно концепции И. Лакатоса, о наличии неявных предпосылок («скрытых лемм») в математической теории «сигнализируют» обнаруживаемые впоследствии «контрапримеры», играющие роль разнообразных «фальсификаторов», что, по мнению И. Лакатоса, роднит математическую теорию с теорией эмпирической. Однако И. Лакатос не учитывает, что «скрытые леммы» в математике носят предпосылочный характер, поэтому конкретные «контрапримеры» для их выявления в конкретных доказательствах лишь в редких случаях могут быть определены рациональным образом. Как показано в диссертации, «скрытые леммы» в конкретную теорию могут привноситься из метафизики, к тому же базовые априорные основания математики неотделимы от онто-гносеологической базы их конституирования. Все эти соображения вполне «укладываются» в строго дедуктивный статус математики. В целом представляется, что И. Лакатос неоправданно сближает математику с эмпирическими дисциплинами, тем самым подрывая её дедуктивный статус, что в корне расходится с выводами настоящего диссертационного исследования и подлинной спецификой математической науки.

В третьем параграфе третьей главы «Неявные элементы в развитии основных программ обоснования математики» с целью выяснения роли неявных элементов анализируются канторовская теория множеств и основные программы обоснования математики {логицизм, формализм и интуиционизм), причём преимущественное внимание уделяется анализу именно формализма и интуиционизма. В начале двадцатого века посредством этих программ обоснования должны были быть преодолены парадоксы теоретико-множественной концепции математики Г. Кантора и окончательно решена задача абсолютного обоснования математики, то есть в рамках математики должна была быть обоснована непротиворечивость основных математических теорий. Авторы программ обоснования математики руководствовались идеей о том, что причины, обусловившие парадоксы теории множеств, проистекают из-за недостаточной ясности понятий математики, которая должна быть устранена посредством сведения математики к логике.

Однако неудача развития логицизма и формализма ясно обозначила то, что неясности языка и математической терминологии нельзя преодолеть обращением к логике, а, значит, причины обнаруженных в математике парадоксов гораздо более глубоки, чем это представлялось логицистам. По Г. Вейлю «Расселовский принцип порочного круга», представлявшийся истинной причиной парадоксов, обнаруженных в начале двадцатого века в теории множеств, является только следствием «превращения одного в другое», то есть следствием превращения представлений об актуальной бесконечности в представления о потенциальной бесконечности, произошедших в интуитивном мышлении математиков. Это значит, что указанное превращение,

приводящее к некорректности применения понятия об актуальной бесконечности в рамках формально-математического контекста, по Г. Вейлю, и является истинным источником антиномии . Этот вывод вполне подтверждает необходимость применения диссертационного подхода для прояснения причин кризиса оснований математики, поскольку именно учет роли неявного знания в развитии математики позволяет принять интерпретацию парадоксов теории множеств, предлагаемую Г. Вейлем.

Исходя из анализа концепции исторической эволюции математических методов, диссертант далее делает вывод о том, что обоснование математики должно предполагать освобождение математической теории от неявных предпосылок в доказательствах, а также экспликацию базовых оснований математики, к которым традиционно относят основные понятия арифметики, теории множеств, а также основные понятия и аксиомы геометрии. Отсюда следует, что, после выявления парадоксов теоретико-множественной концепции Г. Кантора, именно программа Д. Гильберта, предполагающая аксиоматизацию математики на основе формально-теоретического подхода, оказалась наиболее близка к разрешению кризиса оснований математики.

Далее в параграфе с целью поиска неявных элементов анализируется программа математического формализма Д. Гильберта. При ее построении Д. Гильберт исходил из того, что непротиворечивость арифметики можно доказать «финитными», то есть не содержащими апелляций к актуальной бесконечности, средствами, после чего и вся математика станет непротиворечивой. Доказательство непротиворечивости формализованной математики по замыслу Д. Гильберта осуществляется в метаматематике с помощью интуитивно-очевидных умозаключений относительно формул, которые должны быть финитны, то есть обозримы и интерсубъективны2. Сам Д Гильберт сравнивал свои преобразования с теми, которые проводились при переходе от содержательной арифметики к формальной алгебре. Важным объектом математического формализма Д. Гильберта необходимо признать идеальные элементы, не имеющие конкретного математического содержания и вводимые для удобства. Теория, построенная при их участии, должна быть непротиворечива. Такой подход должен был предоставить возможность формализовать любую математическую теорию, что означало бы полное обоснование математики.

Однако согласно методологическому следствию из теоремы К. Геделя о неполноте, в любой достаточно богатой непротиворечивой формальной системе, каковой и является арифметика, всегда возможно построение высказывания, которое невозможно ни доказать, ни опровергнуть3. Фактически это означает, что «всегда найдутся конструктивно очевидные арифметические суждения, не выводимые из аксиом, как бы вы

1 Вейль Г Математическое мышление -М Наука. 1989 -С 87

2 Д. Гильберт О бесконечном//Избранные труды -М изд-во «Факториал», 1998 Т 1 -С 431-448

3 Б В Бирюков, В Н Тростников Жар холодных числ и пафос бесстрастной логика - М Едиториал УРСС, 2004 -С 123-125

их ни формулировали»1. В рамках диссертационного подхода это высказывание Г. Вейля можно интерпретировать как предположение о том, что в математике всегда найдутся интуитивно очевидные и при этом невыводимые из аксиом, то есть неявные, предпосылки. Действительно, таковые не могут быть обоснованы в рамках математики, поскольку обладают двойственностью, то есть, кроме теоретико-математической части, которая выражена посредством математического термина, содержат ещё и неотделимую в интуитивном мышлении метафизическую основу. Дело в том, что математики мыслят посредством интуитивных образов, а не посредством теоретических понятий. В частности, это утверждение относится к бесконечному натуральному ряду, базовое представление о котором формируется априорным образом. Таким образом, в конечном счёте, оказывается, что в рамках метаматематики необходимо обращение к теоретически неявным элементам.

Продолжая исследование вопроса о неявных элементах в программе формализма Д. Гильберта, отмечается, что в ней можно обнаружить ещё один источник неявных элементов. Дело в том, что главное в процедурах формализма - замена содержательных утверждений математики формальными символами, то есть фактическое превращение их в формулы. Для проведения идентификации математических символов, из которых состоят формулы, конкретным субъектом познания, необходимо понимать, что возможны различные способы введения этих математических символов в математический текст. Правила этого понимания нигде и никем не формулируются, а их применение осуществляется только на основе интуитивно транслируемого с опорой на личностно-индивидуальный комплекс неявного знания, личного опыта конкретного субъекта математического познания. Таким образом, в формализованной математике также накапливается неявный элемент в виде неявного коэффициента математической символизации.

Далее в диссертации рассматривается программа математического интуиционизма, выдвинутая Л. Я. Э. Брауэром. Стремясь как можно более глубоко обосновать математику, брауэровский интуиционизм вообще вынужден был ограничиться только наглядно очевидными высказываниями, то есть такими математическими утверждениями, соображения об истинности которых основаны исключительно на интуитивных соображениях или такими, которые могут быть предъявлены в результате непосредственного построения. При этом за рамками брауэровского интуиционизма осталась большая часть исторически общепризнанной математики. Необходимость таких ограничений брауэровского интуиционизма была вызвана необходимостью применения к актуально бесконечным объектам логического закона исключённого третьего, поскольку само понятие актуальной бесконечности трудно признать теоретически корректным. Это значит, что это понятие нуждается в дальнейшей теоретической

экспликации и ограничения брауэровского интуиционизма также вызваны феноменом неявного знания в математике.

Далее в параграфе выясняется, что при конструктивно-символическом подходе, «база» для которого была заложена интуиционизмом, неявный элемент математической теории тождественен неявному коэффициенту математической символизации. Тем самым математика избавляется от необходимости постоянной экспликации неявных предпосылок, что неизбежно при аксиоматическом типе математического мышления. Вместе с тем это значит, что конструктивно-символический подход в математике не может полностью освободить математическую теорию от неявных элементов. Далее в параграфе подчёркивается, что программа логической перестройки математики, разработанная Г. Фреге, также не достигла своей цели вследствие парадоксов, обнаруженных в ней Б. Расселом, в которых также «повинна» актуальная бесконечность.

В результате исследования программ обоснования математики в диссертации делается общий вывод о том, что именно необходимость экспликации представления об актуальной бесконечности обусловила неудачу основных программ обоснования математики. По крайней мере, можно утверждать, что бесконечное как бы «разделяет» математику и логику на несоизмеримые в плане строгости теории, поскольку интуитивное представление о бесконечности, необходимое в математике, отсутствует в логике. Взаимоотношения логики и математики стали объектом внимательного рассмотрения в философии науки двадцатого века. Некоторые исследователи, в частности, И. Лакатос, в итоге пришли к идее о недопустимости отождествления математики и логики, и

некорректности предъявления к утверждениям математики логических критериев

1

строгости .

В начале четвёртого параграфа третьей главы «Гносеологический статус современной математики» отмечается, что формализм и интуиционизм представляют собой гносеологически противостоящие друг другу математические процедуры. Интуиционизм абсолютизирует интуитивные критерии математической истинности, что значительно снижает его практическую ценность. Формализм, напротив, стремится к достижению максимальной строгости в математике, что заставляет его порождать построения, несколько искусственные с точки зрения интуиционизма. Однако практическое приложение математического формализма оказывается чрезвычайно эффективным. Программа обоснования математики, выдвинутая Д. Гильбертом, формализует аксиоматическую традицию в математике, что способствует укреплению рационализма как базового социокультурного принципа современной цивилизации.

При оценке статуса современной математики, сформировавшегося в двадцатом веке в результате развития рассмотренных выше программ обоснования, далее в параграфе делается вывод о том, что после философского осмысления результатов развития

программ обоснования математики, оценка надежности математического знания стабилизировалась и перестала зависеть от уровня экспликации математического доказательства. Этому способствовало и формирование Д. Гильбертом новой концепции надёжности в математике1, отождествившей надежность с финитностью и получившей в итоге признание всего математического сообщества. В итоге в математике двадцатого века достигается, по крайней мере, практически возможный идеал декартова дедуктивизма. Неудача программы математического формализма даёт основание считать, что потенциал повышения уровня теоретической строгости в математике, независимо от исторической перспективы, исчерпан. Можно заключить, что математика в своём историческом становлении, неотделимом от её обоснования, естественным путём определяет границы своей строгости, а также критерии своей надёжности.

Крылатые слова Г. Кантора о свободе математики фактически означают, что для «законного введения математического понятия достаточно лишь его легальности»2, то есть непротиворечивости. Представляется, что в этом смысле математика действительно свободна, Вместе с тем нельзя забывать, что свобода математики обусловлена прежде всего её дедуктивной спецификой в рамках аксиоматического типа мышления, которая не отменяет необходимости экспликации её неявных предпосылок и базовых оснований, особенности которой рассматриваются в диссертационном исследовании. Отмечается, что влияние метафизики оказалось для математики исторически непреодолимым, поскольку математика базируется на априорных основаниях, имеющих двойственную природу, которую обусловливает метафизическая база конституирования этих оснований, вследствие чего априорные основания в математической теории выступают как формально неявные, поскольку неявными, скрытыми в результате оказываются их связи с теоретическими понятиями математики. Это значит, что уверенно-оптимистическая оценка могущества человеческого разума и безграничности математического познания фактически потерпела неудачу вместе со всеми программами обоснования математики, выдвинутыми на рубеже девятнадцатого-двадцатого веков.

В общенаучном аспекте в рамках диссертационного подхода получила своё подтверждение идея о том, что неявное знание является частью любой научной теории как на этапе её становления, так и на этапе её обоснования. При этом нужно учитывать, что формализация научной теории сводит этот неявный элемент к возможному минимуму, поскольку элиминирует неявные предпосылки (неявные леммы в математике). Выяснилось, что и математический разум, и научное познание, вообще говоря, имеют свои пределы, и что одним из центральных вопросов философии науки, а также теории познания должен стать вопрос о границах научного познания. Представляется, что указанные вопросы гносеологии могут быть адекватно исследованы только при условии учёта роли неявного знания, в пользу чего говорит применение концепции неявного

1 Д Гильберт О бесконечном//Избранные труды -М изд-во «Факториал», 1998 Т 1 -С 431-448

2 Катасонов В Н Боровшийся с бесконечным - М Мартис, 1999 - С 67

знания к математике, проведенное в рамках диссертационного подхода. При этом предполагается, что именно феномен неявного знания обусловливает парадоксальность человеческого мышления, и, в конечном счёте, существенно снижает претензии научно-теоретического разума на познание абсолютной истины.

При сравнении диссертационной концепции с теорией развития математики, выдвинутой И. Лакатосом, показывается, что эта теория, в целом учитывающая роль неявных лемм в развитии математики, приводит к неверному выводу о недостаточной надёжности математики, поскольку базируется на принципах эмпиризма. Такой подход ведёт к отождествлению надёжности и строгости в математике, а также к неоправданному сближению математики с эмпирическими дисциплинами и подрыву её дедуктивного статуса, что коренным образом расходится с подлинной спецификой математической науки.

В диссертационном Заключении подводятся итоги исследования и формулируются основные теоретические выводы, а также намечаются перспективы дальнейшей работы.

Основные идеи диссертации отражены в следующих публикациях:

1. Султанова Л. Б. Взаимосвязь неявного знания и эвристической интуиции // Вестник МГУ. Серия 7 - философия. - М.: изд-во МГУ, 1995. - № 3, с. 30-36. (0.4 п.л.).

2. Султанова Л. Б. Гносеология Декарта в свете теории неявного знания // Межвузовский сборник тезисов докладов научной конференции «Единство онтологии, теории познания и науки». - Уфа: Изд-во Башгосуниверситета, 1996. - С. 46-48. (0.2 п.л.).

3. Султанова Л. Б. Ценность молчаливого знания // Материалы научной конференции «Язык науки XXI века». - Уфа: Издательство Башгосуниверситета, 1998. - С. 85-88. (0.12 П.Л.).

4. Султанова Л. Б. Роль неявного знания в развитии науки и общества // Материалы Второго Российского Конгресса «XXI век: будущее России в философском измерении». В 4-х тт. Т. 1. Онтология, гносеология и методология науки, логика. Ч. 4.1. -Екатеринбург: изд-во Урал, ун-та. 1999. - С. 95-96. (0.1 п.л.).

5. Султанова Л. Б. Эволюционная эпистемология К. Поппера как теория роста знания // Материалы республиканских чтений - 2. Философы XX века: К. Поппер. - Минск: РИВШ, 1999.-С. 136-138. (0.15 п.л.).

6. Султанова Л. Б. Роль интуиции и неявного знания в формировании стиля математического мышления (статья и ответ на комментарий) // Стили в математике: социокультурная философия математики. - С. - Пб.: РХГИ, 1999. - С. 66-76 и 78-80. (0.6 П.Л.).

7. Султанова Л. Б. Сила интуиции // Мировое сообщество: проблемы и пути решения. Сборник научных статей. Выпуск № 7(2). - Уфа: изд-во УГНТУ, 1999. - С. 62-68. (0.3 П.Л.).

8. Султанова Л. Б. Личностный аспект научного знания // Современная социальная онтология: итоги и перспективы. Материалы научной конференции, посвященной открытию в БашГУ факультета философии и социологии. - Уфа: Изд-во Башкирск. ун-та, 2001.-С. 117-122. (0.25 п.л.).

9.Султанова Л. Б. Роль христианства в преодолении неявного абсурда современности // Материалы научной конференции «Философия и религия на рубеже тысячелетий». -Уфа: изд-во Башгосуниверситета, 2000. - С. 59-64. (0.2 п.л.).

Ю.Султанова Л. Б. Информация и неявное знание в познании и обучении // Мировое сообщество: проблемы и пути решения. Сборник научных статей. Выпуск № 8-10. - Уфа: изд-во УГНТУ, 2001. - С. 122-126. (0.2 п.л.).

11. Султанова Л. Б. Неформальная рационализация в математике (монография в виде учебного пособия). - Уфа: изд-во УГНТУ, 2001. - 194 с. (12 п.л.).

12. Султанова Л. Б. Социокультурный аспект математического априоризма //Философские исследования. - М.: Московский философский фонд, 2002. - № 3-4, с. 148163. (0.25 п. л.).

13. Султанова Л. Б. Объективно-исторический аспект обоснования научной теории// Вестник Московского университета. Серия 7 - философия. - М.: изд-во МГУ, 2003. - № 2, с. 48-60. (0.45 п.л.).

14. Султанова Л. Б. История развития математического метода интерпретаций в свете концепции эволюции математических методов от неявной эвристики к строгой теории // Актуальные проблемы социогуманитарного знания. Сборник научных труцов кафедры философии МПГУ. Выпуск XIX. - М.: «Прометей», 2003. - С. 184 -199. (0.75 п. л.).

15. Султанова Л. Б. Роль неявных предпосылок в историческом обосновании математического знания. Вопросы философии. - М.: Наука, 2004. -№ 4, с. 102-116. (0.7 п.л.)

16. Султанова Л. Б. Проблема неявного знания в науке. - Уфа: изд-во УГНТУ, 2004. -180 с. (11.6п.л.).

Подписано в печать 12 ноября 2004 г. Заказ 452. Формат 60 х 90/16. Тираж 100 экз Отпечатано в салоне оперативной печати ПКФ Москва, Садовая-Чернофязская, ЗБ. Тел 778-97-47

Оглавление научной работы автор диссертации — доктора философских наук Султанова, Линера Байраковна

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. Неявное знание в общенаучном контексте

§ 1. Проблема неявного знания в современной гносеологии.

§2. Неявное знание в научной теории и проблема его трансляции.

ГЛАВА 2. Специфика неявного знания в математике.

§ 1. Взаимосвязи априорного и неявного знания в математике.

§ 2. Классификация неявного знания в математике.

§3. Специфика основных типов математического мышления.

§4. Роль неявных элементов в исторической эволюции математического знания.

ГЛАВА 3. Неявные элементы в математическом обосновании

§1. Динамика уровня теоретической строгости в истории математики.

§2. Гносеологический механизм математического обоснования.

§3. Неявные элементы в развитии основных программ обоснования математики.

§ 4. Гносеологический статус современной математики.

Введение диссертации2005 год, автореферат по философии, Султанова, Линера Байраковна

Актуальность темы диссертационного исследования вызвана прежде всего заметным усилением в философии науки интереса к исследованию эмоционально-личностного аспекта научно-теоретической деятельности. Представляется, что это связано с кризисом позитивистской традиции в теории познания, игнорирующей вопросы истории науки и научного творчества, согласно которой «объективная эпистемология . может в значительной степени пролить свет на . субъективные процессы мышления учёных, но обратное неверно»1. В соответствии с этой традицией, знание, а, точнее, знание в объективном смысле, под которым подразумеваются непосредственно сами научные проблемы и теории как объекты автономного попперовского «третьего мира», - это «знание без того, кто знает: оно есть знание без познающего субъекта»2.

Однако, опираясь на работы аналитического философа первой половины двадцатого века Г. Райла , можно заключить, что не может быть разработано такой научной теории, которая бы учитывала всевозможные особенности понимания всех субъектов познания, все аномалии и частные случаи и целиком в себе содержала все правила по её применению. Как представляется, это происходит по причине того, что в познании, в том числе и научном, необходимо различать «область действия», то есть область научно-теоретических, в том числе и математических построений, имеющих символическую форму, и «область понимания», то есть область осмысления, связанную с «имманентным Я», через которую в «область действия» проникает, говоря словами Р. Декарта, «естественный свет разума»4. Вследствие этого в процессе практического применения теоретических утверждений в научной теории образуются «провалы», которые, в конечном счёте, становятся очевидными, и, хотя какая-то часть из них со временем и выявляется, на основе предыдущего опыта возникает опасение, все ли такие неявные утверждения обоснованы. Это значит, что

1 Поппер К. Объективное знание. Эволюционный подход. - М.: Эдиториал УРСС, 2002. - С. 113.

2 Поппер К. Логика и рост научного знания. - М.: Прогресс, 1983. - С. 439-440.

3 Райл Г. Понятие сознания. - М.: Идея-пресс, Дом интеллектуальной книги, 1999.

М 4 Бирюков. В. «Свет не вне меня, а во мне»// Вейль Г. Математическое мышление. М.: Наука, 1989. С. 349. область понимания» и «область действия» взаимосвязаны, и декларируемая К. Поппером автономность объектов «третьего мира», по крайней мере, может быть подвергнута вполне обоснованной критике. Позитивистская же стратегия философии науки, не желающая выходить за рамки явного знания, и обращаться к анализу проблем понимания, по сути, означает отказ от стремления к исторически адекватному, то есть подлинному обоснованию научно-теоретического знания.

Представляется, что пришло время попытаться на иных теоретико-методологических основаниях не только разобраться в реальной истории развития науки, но и выдвинуть концепцию развития научно-теоретического знания с учётом исторических реалий и специфики научного творчества, в которой проблема рационализации предпосылок научно-теоретического мышления выходила бы на первый план.

При этом необходимо понимать, что стремление к научному исследованию неявных элементов знания фактически означает признание возможности рационального изучения интуитивных механизмов мышления и исследования научно-теоретических предпосылок любого характера - как собственно научных, так и онто-гносеологических, а также ценностных, что, как представляется, необходимо оценивать позитивно с точки зрения перспективы научно-философского исследования.

Актуальность темы диссертационного исследования вызвана также и поисками реальных механизмов развития научной и, прежде всего, математической, теории. Специфика математики отнюдь не исчерпывается аксиоматическим способом её исторического формирования, на что явно указывает относительная неудача программы математического формализма. Она проявляется ещё и в том, что математика как образец теоретической строгости, соответствующий, казалось бы, всем стандартам позитивизма, представляющая собой единственный реально возможный жёсткий идеал научной теории, тем не менее, слывёт наукой, самой сложной для понимания. В самом деле, решение простейшей математической задачи требует от нас владения неким предварительным неформальным доопытным знанием и определённого уровня развития математической интуиции. Представляется, что эта особенность математики вызвана в основном тем, что её основания содержат солидный слой теоретически неявного знания, который имеет онто-гносеологический характер и формируется на личностно-индивидуальном уровне. Необходимость философских предпосылок в математике отмечалась в своё время ещё Д. Гильбертом. Поэтому исследование неявного знания в математике в любом аспекте, особенно в области оснований математики, представляется крайне важным не только для теории познания или философии науки, но и перспектив развития и применения самой математической науки.

Нельзя не отметить, что в философии науки последних десятилетий муссируется тезис о стагнационных процессах, происходящих в философии математики, вызванных как высокой сложностью современной математики, так и многообразием противоречащих друг другу концепций относительно статуса математики и взаимоотношений математики и философии1. Однако, представляется, что исследование проблемы роста математического знания, осуществляемое с опорой на результаты истории математики и концепцию неявного знания, должно способствовать прогрессивному продвижению философско-математических исследований, попытка чего как раз и осуществлена в данной работе. Актуальность подобных исследований возрастает в связи с развитием в современной философии науки социокультурного направления, отрицающего априорный статус оснований математики.

Актуальность темы настоящего исследования вызвана и её близостью к проблеме понимания, связанной, в свою очередь, с современными исследованиями в области искусственного интеллекта. Очевидно, что перспективы искусственного интеллекта напрямую зависят от возможности сведения к формальным, иначе говоря, вычислительным механизмам если не самого процесса научного открытия, то хотя бы процесса понимания смысла

1 См., например, Heidi R. A fiesh winds in the philosophy of mathematics // Amer. Math. Monthly. -1995. - Aug.-Sept - P. 590-591; Xao Baa lipoid и существование//Магемаяическ^ 1965.

2 Пенроуз Р. Тени разума: в поисках науки о сознании. Часть I: Понимание разума и новая физика. - Москва-Ижевск, Институт компьютерных исследований, 2003. утверждений и терминов математики, который обязательно предполагает наличие неявного слоя. В этой связи необходимо понимать, что неявный элемент научной теории не может быть полностью устранён из неё при самых благоприятных исторических перспективах.

Что касается степени разработанности темы настоящего диссертационного исследования, то представляется, что в настоящее время, как в теории научного познания, так и в философии математики, проведена вся необходимая подготовительная работа для получения новых значительных результатов по исследуемой теме, и современная философия науки как никогда близка к выработке адекватной модели научно-теоретического знания и к максимально объективному пониманию законов его исторического развития.

В истории математики важное значение для разработки диссертационной темы имеют, прежде всего, фундаментальные исследования А. П. Юшкевича и И. Башмаковой - по истории математики ХУИ-ХУШ веков; К. А. Рыбникова, Ф. Клейна, Д. Стройка и др. - по истории математики Х1Х-ХХ веков.

• В философии математики диссертант опирался в основном на исследования Ж. Адамара, В. Н. Катасонова, М. И. Панова, В. Я. Перминова, А. Пуанкаре и др. По проблемам оснований математики исходными для диссертационной темы стали исследования крупнейших математиков двадцатого столетия, авторов основных программ обоснования математики - таких, как Л. Э. Я. Брауэр, Д. Гильберт, Б. Рассел и Г. Фреге. Кроме того, представляется, что осмысление результатов развития основных программ обоснования математики невозможно без обращения к работам Г. Вейля, одного из крупнейших математиков двадцатого века, положившего, вместе с А. Гейтингом, начало этому осмыслению.

В своём исследовании проблемы развития и роста научного знания автор опирался на результаты, полученные Т. Куном, И. Лакатосом, Л. А. Микешиной, К. Поппером, М. А. Розовым и др., без учёта которых трудно представить себе современную философию науки. Концепция неявного знания в современной философии науки была разработана американским исследователем М. Полани, а синергетический подход в осмыслении проблемы неявного знания в современной философии науки развивается в работах В. И. Аршинова. Этот подход оказался необходимым для уточнения структуры личностно-индивидуального комплекса неявного знания, адекватное представление о которой является ключевым для разработки диссертационной темы. Проблема неявного знания в современной отечественной теории познания разрабатывается Л. А. Микешиной.

Проблема неявного знания фактически была вскрыта одним из крупнейших представителей аналитической философии Г. Райлом1. Аналитическая философия стремилась преодолеть эту проблему в рамках логико-эмпирического и лингвистического подходов, фактически ограничивая её исследование рамками лингвистической философии, что не позволило, в конечном счёте, добиться её адекватного разрешения.

В научно-математическом аспекте проблема неявного знания ранее не ставилась, а концепция неявного знания к философско-математическим и историко-математическим исследованиям ранее не применялась, что было восполнено диссертантом в рамках излагаемого подхода. Кроме того, полученные выводы позволили существенно доработать концепция неявного знания и в научно-теоретическом аспекте. Думается, что на современном этапе развития науки именно эти аспекты исследования проблемы неявного знания наиболее важны.

В принципе, и предпосылочное знание, и основания знания широко исследовались в эпистемологии двадцатого столетия. Наряду с концепцией неявного знания в этом отношении выделяется так называемый тематический анализ оснований науки Дж. Холтона. Однако указанный подход не предлагает такого эффективного методологического инструмента философско-научного исследования, каким представляется понятие неявного знания, поэтому предпочтение, отдаваемое в современной философии науки подходу, основы которого были разработаны М. Полани, вполне объяснимо.

1 РаЙл Г. Понятие сознания. — М.:Идея-пресс, Дом интеллектуальной книги, 1999.

Идея конституирования понятий, имеющая большое значение для формирования основных выводов при исследовании оснований математики во второй главе диссертации, была в своё время разработана Э. Гуссерлем, а фундаментальные выводы о природе исходных принципов познания разработаны в рамках критической философии Им. Кантом. Соотнесение с ними крайне важно для любых исследований подобного рода. Серьёзный интерес в рамках диссертационного подхода представляют гносеологические исследования по проблеме интуиции и философско-научный анализ принципов математического интуиционизма, принадлежащий К. Попперу.

Современной теории познания и философии науки, в конечном счёте, приходится признать, что «Предпосылочное знание . является столь же фундаментальным параметром науки, как и эмпирическое знание»1. В том, что проблема неявного знания в научной теории существует, по крайней мере, как проблема рационализации предпосылочного знания, современная философия науки практически не сомневается. Это значит, что декларируемая К. Поппером автономность объектов «третьего мира» в определённом смысле может быть подвергнута вполне обоснованному сомнению. Поэтому современная философия науки склоняется к выводу о том, что редукция научно-познавательной деятельности, а также её результатов, к одним только дискурсивным рассуждениям и к полной элиминации интуитивной составляющей из научной теории, невозможна. В настоящем исследовании в дальнейшем будет доказано, что проблема неявного знания в научной теории не может сводиться только к проблеме выявления научно-теоретических предпосылок, а должна рассматриваться в значительно более широком аспекте, поскольку связана с проблемами понимания смысла научно-теоретических утверждений. Позитивистская же стратегия философии науки, не желающая выходить за рамки явного знания, и обращаться к анализу проблем понимания, по сути, означает отказ от стремления к исторически адекватному, то есть подлинному обоснованию научно-теоретического знания.

1 Микешина Л. А. Ценностные предпосылки в структуре научного познания. - М.: изд-во «Прометей» МГПИ им. В, И. Ленина, 1999. - С. 80.

В последние годы наличие неявных элементов научной теории, то есть таких её положений и принципов, статус которых существенно отклоняется от исторически сформировавшегося привычного статуса научно-теоретического знания (выработанного в рамках философии науки первой половины двадцатого столетия), получает всё более широкое признание в отечественной философии науки, которая приходит к выводу, что неявные элементы в научной теории порождаются прежде всего «синтетическими феноменами», подобными «психологической установке», «способу видения» Т. Куна1, «концептуальной

2 3 установке» Я. Хинтикки , «глубинным тематическим структурам» Дж. Холтона и т. д. Важная роль в этом смысле, как было отмечено, отводится предпосылочному знанию, которое проникает в научную теорию в виде философско- мировоззренческих и философско-методологических принципов, образующих научную картину мира и стиль научного мышления4.

В широком смысле в современной философии науки неявное знание рассматривается как некоторый набор стереотипов, образующих гуссерлевский «жизненный горизонт», на фоне которого разворачивается любая, и прежде всего, познавательная или профессиональная деятельность личности, как «некоторая невербализованная и дорефлексивная форма сознания и самосознания субъекта, как важная предпосылка и условие общения с собой, познания и понимания», возникающая в результате диалога с собственным подсознанием5.

Кроме того, необходимо понимать, что стремление к научному исследованию неявных элементов знания фактически означает признание возможности рационального изучения иррациональных механизмов мышления, и, прежде всего, интуиции, а также возможности исследования научно-теоретических предпосылок любого характера - как собственно научных, так и онто-гносеологических, а также ценностных. В этом смысле «Иррациональное предстаёт как новое, ещё неотрефлектированное, допонятийное, не принявшее

1 Кун Т. Структура научных революций. // Структура научных революций.- М.: «АСТ», 2001.

2 Хинтикка Я. Логико-эпистемологические исследования. - М.: Прогресс, 1980.

3 Холтон Дж. Тематический анализ науки. - М.: Прогресс, 1981.

4 Там же, с. 76-78

5 Микешина Л. А. Опёнков Н. Ю. Новые образы познания и реальность. М.: РОССПЭН, 1997. С.37. логически определённые формы знание. Оно ещё проблематично, необоснованно, но уже присутствует как необходимый творческий компонент познавательной деятельности.»1. Очевидно, что такой подход существенно расширяет горизонты научно- философского исследования, особенно в теоретико-познавательном аспекте и создаёт в этом смысле вполне реальные позитивные перспективы. Крайне важно, что стремление к исследованию неявно-интуитивных механизмов познания ведёт к изменению самого представления о рациональности, при котором «Рациональность не только не отождествляется с концептуализацией вообще и логизацией в частности, но как обязательные для её понимания подключает различные факторы и доконцептуального порядка»2.

Вопросы развития математического знания традиционно находятся в центре внимания как математиков, так и специалистов в области философии и методологии науки, вследствие чего эти вопросы достаточно хорошо разработаны, как в зарубежной, так и в отечественной философско-научной литературе. Однако вызывает сожаление тот факт, что все подходы в исследовании вопросов развития математического знания, как в западной, так и в отечественной философии науки разрабатываются в основном в русле математического эмпиризма и социокультурной философии математики, даже если приводимые факты допускают совершенно иное истолкование. Это замечание относится, прежде всего, к стратегиям развития математического знания, предлагаемым И. Лакатосом и Ф. Китчером, которые критически оцениваются в третьей главе диссертации.

В целом представляется, что выводы, полученные теорией познания и философией науки, осмысленные в аспекте проблемы неявного знания, позволяют разработать новую стратегию философско-научного и историко-научного исследования развития математического знания, что было осуществлено в диссертации и отражено в основных выводах диссертационного Заключения.

Целью настоящего диссертационного исследования является раскрытие роли неявного знания в становлении и обосновании математического

1 Микешина Л. А. Опёнков Н. Ю. Новые образы познания и реальность. М.: РОССПЭН, 1997. С. 18.

2 там же, с. 35. знания. Реализация этой цели предполагает выполнение следующих взаимосвязанных задач: обобщение и систематизация результатов философско-научных исследований по проблеме неявного знания; прояснение проблемы неявного знания и сущности феномена неявного знания в теоретико-математическом и общенаучном аспекта; выявление возможностей и механизмов исторической эволюции различных типов неявного знания, содержащегося в математической теории, в явное, а в перспективе — в строгое математическое знание; прояснение роли неявных элементов в парадоксах канторовской теории множеств и неудачах классических программах обоснования математики (формализм, логицизм, интуиционизм); уточнение гносеологического и методологического статуса современной математики с учётом концепции неявного знания.

При реализации основных задач настоящего диссертационного исследования необходимо основываться на определённых теоретико-методологических предпосылках. В рамках настоящего диссертационного исследования необходимо опираться на неклассическую философскую установку, согласно которой знание не всегда может быть не только рационализировано, но и вербализировано. Такой подход позволяет включать в область знания и неявные элементы. Понятие неявного знания рассматривается здесь в качестве наиболее эффективного методологического инструмента, причём подчёркивается, что такой подход наиболее целесообразен применительно именно к математике, которая не является эмпирической научной дисциплиной, то есть не нуждается в какой-либо опоре на внешний опыт, эксперимент.

При исследовании личностно-индивидуального комплекса неявного знания представляется необходимой опора на синергетический подход, предполагающий, что взаимовлияние всех элементов этого комплекса оказывает воздействие на его функционирование как целостной системы.

Одной из важнейших теоретико-методологических предпосылок диссертационного исследования, несомненно, должно быть утверждение о связи с историей математики с непременным условием обязательного соответствия строящихся здесь методологических концепций фактам, изложенным в историко-математической литературе. Именно такой подход позволил диссертанту пересмотреть некоторые теоретико-методологические положения, свойственные сугубо М. Полани. В частности, это относится к утверждению М. Полани о принципиальной нерационализируемости неявных элементов знания, в том числе и научно-теоретического. В этой связи в диссертационном исследовании было, продемонстрировано, что, например, неявные предпосылки и скрытые леммы математических доказательств могут быть дискурсивно эксплицированы в рамках парадигмы конкретного исторического периода.

Одним из важнейших вопросов, рассматриваемых в диссертации, представляется вопрос о природе базовых оснований математики. При анализе таковых диссертант опирался на принципы априоризма, а также на концепцию неявного знания . В конечном счёте, на основе априористских концепций Им. Канта и Э. Гуссерля, а также на основе концепции неявного знания, во второй главе диссертации исследовался вопрос о взаимосвязи неявного и априорного знания. В результате было установлено, что именно априористский подход в решении вопроса о природе базовых оснований математики наиболее предпочтителен.

В диссертации на базе концепции дедукции Р. Декарта1, понятия личностно-индивидуального комплекса неявного знания и концепции творческого процесса, л разработанной Ж. Адамаром , сформировано понятие эвристической интуиции. Эвристическая интуиция посредством «озарения» усматривает некое неявно-интуитивное утверждение как «свёрнутое умозаключение», которое впоследствии может быть дедуктивно развёрнуто.

Что касается принятого в диссертационном исследовании статуса математического знания, то представляется, что ни конструктивный, ни

1 Декарт Р. Правила для руководства ума// Соч. в двух тг. Т. 1. - М.: Мысль, 1989. - С. 85.

2 Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики. - М.: Советское радио, 1970. интуиционистский подходы, развиваемые в современной математике, в конечном счёте, ничего кардинально не меняют в исторически сложившемся понимании математики как строгой и дедуктивной научной дисциплины, принципиально исключающей эмпирический аспект. Определённые соображения социокультурного характера, привлекаемые в диссертационном исследовании, как представляется, только уточняют, и, следовательно, укрепляют позиции математического априоризма.

В настоящем диссертационном исследовании методологически строго осуществляется разграничение эвристических, строгих, а также формализованных математических методов, совместное существование которых имеет место на каждом историческом этапе развития математики.

Методологически важно, что применение концепции неявного знания как базовой для данной работы позволяет добиться совпадения внутренней логики исторического развития математического знания и логики рациональной реконструкции этой истории при условии учёта указанных здесь ранее теоретико-методологических предпосылок. Такой подход и делает возможным, в конечном счёте, достижение основных целей настоящего исследования.

Все, раскрытые выше, теоретико-методологические предпосылки уточнялись и детализировались в настоящем диссертационном исследовании по мере необходимости.

Диссертация имеет эмпирическую основу, которой в данном случае является компендиум оригинальных философских, историко-математических и математических текстов, исследование которых и послужило основным источником идей диссертационной концепции.

Научная новизна диссертационного исследования в основном связана с применением понятия неявного знания в качестве основного методологического инструмента. В настоящем диссертационном исследовании:

1. Формирование и функционирование элементов личностно-индивидуального комплекса неявного знания в целом происходит по законам синергийного взаимодействия. Это значит, что условием формирования и функционирования элементов этого комплекса является их постоянное взаимовлияние, оказывающее воздействие на деятельность всего личностно-индивидуального комплекса неявного знания в целом, а, следовательно, и на сам процесс познания как таковой. Установлено, что личностно-индивидуальный комплекс неявного знания включает в себя следующие элементы: 1) базовые онто-гносеологические предпосылки, часть которых имеет математическую специфику, в совокупности образующие так называемый «инструмент познания» субъекта; 2) социокультурные предпосылки, включающие в себя содержание познавательной установки, в рамках которой осуществляется математическое познание, а также представления о статусе математического знания; 3) индивидуальная общенаучная эвристика, в том числе и специфически математическая.

2. Определено, что основными свойствами неявного знания с точки зрения его участия в математической теории следует признать его теоретическую неспецифицируемостъ, то есть неопределяемостъ в терминах математики и необоснованность в рамках математической теории, а также такую специфику их взаимосвязей с обоснованными элементами математической теории, которая, при уточнении доказательств не нарушает их герметичности, то есть генетической взаимосвязи с личностно-индимвидуальным комплексом неявного знания. Разработана следующая классификация типов неявного знания как неотъемлемого элемента математической теории: а) эвристические приёмы и методы; б) неявные предпосылки, которые могут иметь вид скрытых аксиом, скрытых лемм или определений; в) неявный коэффициент математической символизации.

3. Показано, что математические методы формируются эволюционным путём из неявно-интуитивных математических эвристик в результате экспликации этих эвристик в процессе их практического применения (алгоритмизации), а при историческом становлении математического знания любая рационализация прежде всего преследует цель вытеснения неявно-интуитивного элемента. Вследствие углубления этой тенденции, вызвавшей в середине девятнадцатого века математические «революции строгости», к началу двадцатого века возникает задача обоснования оснований математики.

4. Показано, что неявные предпосылки в структуре математического мышления имеют два уровня: индивидуально-психологический (неявные предпосылки первого рода или эвристика) и интерсубъективный (неявные предпосылки второго рода). Обосновывается то положение, что повышение уровня строгости математического рассуждения устраняет неявные предпосылки первого рода как скрытые леммы, а также приводит к алгоритмизации строгих математических методов. Основная часть предпосылок второго рода эксплицируется в виде явных аксиом. Выявлено, что в классе интерсубъективных предпосылок существует иррациональный компонент, а именно, система неявных предпосылок, не поддающихся устранению и экспликации. Это неявные предпосылки, связанные с установлением смысла математических символов, квалифицируемые в диссертации как неявный коэффициент математической символизации, а также актуальная бесконечность.

5. Обосновывается положение, что интерсубъективные предпосылки не зависят непосредственно от опыта, являются самоочевидными и неустранимыми из содержания мышления и, в этом смысле, могут быть квалифицированы как имеющие априорный статус. Априорные предпосылки имеют другую логику становления в индивидуальном сознании: они не являются обобщением какого-либо частного опыта, а представляют собой результат конституирования необходимых механизмов мыслительной деятельности. Аксиомы элементарной математики являются априорными в том смысле, что они исторически появились как экспликация неявного интерсубъективного знания.

6. Установлено, что необходимость трансляции неявных элементов научной теории, то есть необходимость их передачи от одного субъекта познания к другому, а также отсутствие явных, то есть рационально-логических механизмов такой передачи, приводит к возникновению проблемы трансляции неявных элементов научной теории от одного субъекта познания к другому, а также от одного поколения исследователей к другому. Устная передача является одним из распространённых средств такой трансляции.

7. Показано, что строгость и надёжность как две характеристики математического рассуждения не всегда совпадают друг с другом. Если строгость означает меру освобождения доказательства от неявных предпосылок, то надёжность - его гарантированность от контрпримеров. Экспликация неявных предпосылок в математических доказательствах осуществляется только ретроспективно, исходя из нового, более высокого уровня теоретической строгости, к формированию которого в рамках абстрактного статуса математического знания приводит изменение познавательной установки с творческой на критическую. Однако сам личностно-индивидуальный мыслительный механизм выявления и даже установления наличия неявных предпосылок в математике неалгоритмизируем, поэтому выявление конкретных неявных предпосылок непредсказуемо. После устранения индивидуально-личностных предпосылок из доказательства, которое происходит на уровне его коллективной проверки, оно может считаться надёжным, хотя по-прежнему не является строгим. Дело в том, что интерсубъективные неявные предпосылки эксплицируются без разрушения доказательства, поэтому доказательство, содержащее только интерсубъективыные (априорные) неявные предпосылки, может считаться гарантированным от фальсификации его контрпримерами, т. е. надёжным.

8. Классические программы обоснования математики (формализм, логицизм, интуиционизм) фактически предлагают практически приемлемое решение задачи вытеснения скрытых лемм из математических доказательств, и, следовательно, из ткани математической теории, тем самым решая задачу достижения максимальной строгости и максимальной надёжности математического знания. Существенного прироста знания в результате дальнейшей экспликации уже не происходит, а уровень надёжности эксплицируемой математической теории соответствует её практическому применению и перспективе дальнейшего развития математики.

9. Учение И. Лакатоса о скрытых леммах математического доказательства следует считать ограниченным вследствие того обстоятельства, что оно не выделяет уровня априорных неявных предпосылок и не проводит границы между строгостью и надёжностью математического рассуждения. История математики подтверждает тот факт, что математические теории могут быть надёжными и до ясного определения критериев строгости.

10. Исследование классических программ обоснования математики в рамках диссертационного подхода доказывает, что обращение к актуальной бесконечности является единственным непреодолимым препятствием для обоснования непротиворечивости теории множеств и реализации программы логицизма, а также программы математического формализма в её гильбертовском варианте, тем самым ясно обозначая границу математического обоснования. Обосновано, что классические программы обоснования математики не полностью свободны от неявных элементов, поскольку даже если в них не предполагается обращения к актуальной бесконечности, как в программе математического интуиционизма, то предусматривается осуществление символизации или формализации, неизбежно порождающих неявный коэффициент. При этом выяснено, что указанные особенности программ обоснования математики не противоречат её дедуктивной специфике, и не являются причиной для отказа математическому знанию в надёжности.

Все выводы по теоретической и практической значимости настоящего диссертационного исследования связаны с дальнейшим осмыслением и развитием применения концепции неявного знания к математической науке в теоретико-познавательном и методологическом аспекте.

Важное теоретическое значение имеют выявленные и обоснованные в диссертации закономерности, раскрывающие важнейшую роль неявного знания в развитии математики в рамках аксиоматического типа мышления как на стадии формирования нового знания, содержащего развитый неявно-интуитивный компонент, так и на стадии обоснования и экспликации этого нового знания. Суть обоснования и экспликации в математике в рамках диссертационного подхода должна рассматриваться как вытеснение неявных элементов из математических доказательств и теоретических оснований.

На основе результатов диссертационного исследования необходимо заключить, что математическое знание в своём становлении проходит многоэтапную историческую эволюцию: от неявного неосознаваемого знания на этапе математического открытия, далее через ряд исторических трансформаций — к знанию явному как строгому алгоритму или обратимой процедуре. При этом неявно-интуитивный элемент математической теории неуклонно уменьшается, что особенно заметно становится на этапе алгоритмизации, однако как таковой этот неявно-интуитивный элемент не может быть элиминирован из математической теории полностью. Представляется, что, независимо от исторической перспективы, потенциал повышения уровня строгости в математике исчерпан, но, вместе с тем, адекватен её практическому применению и перспективам её дальнейшего развития. Это позволяет сделать важнейший практический вывод о надёжности современной математики, несмотря на ограниченность формально-теоретической экспликации её оснований.

Проблема понимания приобретает особую практическую важность в связи с исследованиями в области искусственного интеллекта. Представляется, что важнейшее практическое значение в этом плане может иметь подтверждение в диссертационном исследовании тезиса о том, что «человеческое математическое понимание несводимо к вычислительным механизмам»1. Это значит, что понятия интеллекта и искусственного интеллекта никогда не станут тождественно верными, какими бы успехами не сопровождались научно-теоретические и технические исследования в области искусственного интеллекта. В исторической перспективе, при качественно более высоком уровне развития компьютерных технологий, когда на повестку дня будет поставлен вопрос о возможности замены человека компьютером, непреодолимая существенная разница между этими понятиями станет принципиальной.

1 Пенроуз Р. Тени разума:в поисках науки о сознании. Часть I: Понимание разума и новая физика. - Москва-Ижевск; Институт компьютерных исследований, 2003.-С. 320-321.

Необходимо признать, что выводы диссертационного исследования в определённой степени корректируют позиции математического эмпиризма, а также социокультурной философии математики. Диссертационный вывод, согласно которому только при условии априорности оснований математики рациональный социокультурный контекст, ими задаваемый, будет сохраняться и развиваться в русле рациональной социокультурной традиции человечества, обусловливает важнейшее социокультурное значение исследований в области философии математики, в частности, изучение оснований этой науки. Полученные выводы доказывают, что концепция неявного знания не только связана с идеей априоризма оснований математики, но и в целом не разрушает математического дедуктивизма как такового.

На основе диссертационных выводов можно заключить, что никакие социокультурные институты передачи знаний и опыта, из структуры которых устранена личность преподавателя как уникального транслятора неявно-интуитивных элементов знания, обычно квалифицируемых как «опыт» в широком смысле слова, накопленный цивилизацией за время своего исторического развития, никогда не будут достаточно эффективными. При этом необходимым является синергийное взаимодействие личностно-индивидуальных комплексов неявного знания преподавателя и его учеников.

В данном исследовании продемонстрировано, что применение неявного знания в качестве методологического инструмента философско-научного исследования имеет неплохие перспективы. В качестве конкретных примеров применения неявного знания в этом аспекте рассмотрена историческая эволюция математического метода интерпретаций и историческое обоснование основной теоремы алгебры.

Выводы, полученные в диссертационном исследовании, позволяют теоретически уточнить представления о природе научного знания в рамках определённой тенденции, сложившейся в последнее десятилетие в отечественной теории познания и философии науки. Сегодня необходимо признать, что неявное знание - это неотъемлемый элемент научной теории, обеспечивающий понимание этой научной теории конкретным субъектом познания, обусловливающий ограниченность формализации её оснований, и, в конечном счёте, существенно ограничивающий претензии научно-теоретического разума на познание абсолютной истины.

Материалы диссертации могут использоваться в высшей школе при разработке специальных курсов для студентов и аспирантов по вопросам теории познания, философии науки и методологии математики.

Заключение научной работыдиссертация на тему "Неявное знание в развитии математики"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящем Заключении обобщены и пояснены основные выводы по диссертационной теме «Роль неявного знания в развитии математики», полученные при гносеологическом и методологическом исследовании вопросов становления и обоснования математического знания с учётом концепции неявного знания, а также намечены возможные перспективы дальнейшей работы над вопросами диссертационной темы.

Основные проблемы диссертационного исследования разрабатывались в рамках неклассической антипозитивистской философской установки, поскольку только таковая допускает принципиальную возможность исследования роли неявного знания в развитии математики и обобщение результатов этого исследования в общенаучном плане. К основным диссертационным выводам необходимо отнести следующие:

1. Формирование и функционирование элементов личностно-индивидуалъного комплекса неявного знания в целом происходит по законам синергийного взаимодействия. Это значит, что условием формирования и функционирования элементов этого комплекса является их постоянное взаимовлияние, оказывающее воздействие на деятельность всего личностно-индивидуалъного комплекса неявного знания в целом, а, следовательно, и на сам процесс познания как таковой. Личностно-индивидуальный комплекс неявного знания включает в себя следующие элементы: 1) базовые онто-гносеологические предпосылки, часть которых имеет математическую специфику, в совокупности образующие так называемый «инструмент познания» субъекта; 2) социокультурные предпосылки, включающие в себя содержание познавательной установки, в рамках которой осуществляется математическое познание, а также представления о статусе математического знания; 3) индивидуальная общенаучная эвристика, в том числе и специфически математическая.

2. Основными свойствами неявного знания с точки зрения его участия в математической теории следует признать его теоретическую неспецифицируемость, то есть неопределяемостъ в терминах математики и необоснованность в рамках математической теории, а также такую специфику их взаимосвязей с обоснованными элементами математической теории, которая, при уточнении доказательств не нарушает их герметичности, то есть генетической взаимосвязи с личностно-индимвидуальным комплексом неявного знания. Разработана следующая классификация типов неявного знания как неотъемлемого элемента математической теории: а) эвристические приёмы и методы; б) неявные предпосылки, которые могут иметь вид скрытых аксиом, скрытых лемм или определений; в) неявный коэффициент математической символизации.

3. Посредством применения концепции исторической эволюции математического знания, предполагающей исследование его развития от этапа неявной эвристики до этапа строгого алгоритма или обратимой процедуры, было установлено, что математические методы формируются эволюционным путём из неявно-интуитивных математических эвристик в результате экспликации этих эвристик в процессе их практического применения (алгоритмизации). При историческом становлении математического знания любая рационализация прежде всего преследует цель вытеснения неявно-интуитивного элемента. Вследствие углубления этой тенденции, вызвавшей в середине девятнадцатого века математические «революции строгости», к началу двадцатого века возникает задача обоснования оснований математики.

4. Неявные предпосылки в структуре математического мышления имеют два уровня: индивидуально-психологический (неявные предпосылки первого рода или эвристика) и интерсубъективный (неявные предпосылки второго рода). Обосновывается то положение, что повышение уровня строгости математического рассуждения устраняет неявные предпосылки первого рода как скрытые леммы, а также приводит к алгоритмизации строгих математических методов. Основная часть предпосылок второго рода эксплицируется в виде явных аксиом. Показано, что в классе интерсубъективных предпосылок существует иррациональный компонент, а именно, система неявных предпосылок, не поддающихся устранению и экспликации. Это неявные предпосылки, связанные с установлением смысла математических символов, квалифицируемые в диссертации как неявный коэффициент математической символизации, а также актуальная бесконечность.

5. Интерсубъективные предпосылки не зависят непосредственно от опыта, являются самоочевидными и неустранимыми из содержания мышления и, в этом смысле, могут быть квалифицированы как имеющие априорный статус. Априорные предпосылки имеют другую логику становления в индивидуальном сознании: они не являются обобщением какого-либо частного опыта, а представляют собой результат конституирования необходимых механизмов мыслительной деятельности. Аксиомы элементарной математики являются априорными в том смысле, что они исторически появились как экспликация неявного интерсубъективного знания.

6. Априорные предпосылки математики: 1) генетически связаны с неявным знанием, поскольку элементы личностно-индивидуального комплекса неявного знания могут формироваться только на базе априорных онто-гносеологических, то есть метафизических предпосылок; 2) в математической теории применяются без доказательства, поэтому связи априорных оснований с математической теорией неявны, что методологически сближает таковые с неявным знанием; 3) имеют двойственный характер, поскольку применяются как в рамках онто-гносеологического контекста, то есть в рамках интуитивного математического мышления, так и в рамках формальной теории. Только при условии априорности математических оснований рациональный социокультурный контекст, ими задаваемый, будет сохраняться и развиваться в русле рациональной исторической деятельности человечества.

7. Необходимость трансляции неявных элементов научной теории, то есть необходимость их передачи от одного субъекта познания к другому, а также отсутствие явных, то есть рационально-логических механизмов такой передачи, приводит к возникновению проблемы трансляции неявных элементов научной теории от одного субъекта познания к другому, а также от одного поколения исследователей к другому. Познание как формирование знания, которое конкретный субъект может применять на практике и транслировать далее, развивать, будет максимально эффективным только при условии наличия личности преподавателя как уникального транслятора неявно-интуитивных элементов знания, обычно квалифицируемых как «опыт», накопленный цивилизацией за время своего исторического развития. Устная передача является одним из распространённых средств такой трансляции.

8. В истории математики строгость и надёжность как характеристики математического рассуждения не всегда совпадают друг с другом. Если строгость означает меру освобождения доказательства от неявных предпосылок, то надёжность - его гарантированность от контрпримеров. Экспликация неявных предпосылок в математических доказательствах осуществляется только ретроспективно, исходя из нового, более высокого уровня теоретической строгости, к формированию которого в рамках абстрактного статуса математического знания приводит изменение познавательной установки с творческой на критическую. Однако сам личностно-индивидуальный мыслительный механизм выявления и даже установления наличия неявных предпосылок в математике неалгоритмизируем, поэтому выявление конкретных неявных предпосылок непредсказуемо. После устранения индивидуально-личностных предпосылок из доказательства, которое происходит на уровне его коллективной проверки, оно может считаться надёжным, хотя по-прежнему не является строгим. Дело в том, что интерсубъективные неявные предпосылки эксплицируются без разрушения доказательства, поэтому доказательство, содержащее только интерсубъективыные {априорные) неявные предпосылки, может считаться гарантированным от фальсификации его контрпримерами, т. е. надёжным.

9. Классические программы обоснования математики (формализм, логицизм, интуиционизм) фактически предлагают практически приемлемое решение задачи вытеснения скрытых лемм из математических доказательств, и, следовательно, из ткани математической теории, тем самым решая задачу достижения максимальной строгости и максимальной надёжности математического знания. Существенного прироста знания в результате дальнейшей экспликации уже не происходит, а уровень надёжности эксплицируемой математической теории соответствует её практическому применению и перспективе дальнейшего развития математики. Такая ситуация в развитии математики посредством теорем К. Геделя зафиксирована в программе математического формализма, разработанной в Д. Гильбертом в начале двадцатого столетия. Вследствие этого уровень строгости обоснования оснований, достигнутый в современной математике, должен быть признан математически непроблематичным. С учётом системного подхода и принципа герметичности математических доказательств в рамках конкретных априорных оснований представляется, что уровень строгости современной математики практически стабилизировался и наиболее близок к идеалу декартова дедуктивизма.

10. Учение И. Лакатоса о скрытых леммах математического доказательства следует считать ограниченным вследствие того обстоятельства, что оно не выделяет уровня априорных неявных предпосылок и не проводит границы между строгостью и надёжностью математического рассуждения. История математики подтверждает тот факт, что математические теории могут быть надёжными и до ясного определения критериев строгости.

11. Исследование классических программ обоснования математики в рамках диссертационного подхода доказывает, что обращение к актуальной бесконечности является единственным непреодолимым препятствием для обоснования непротиворечивости теории множеств и реализации программы логицизма, а также программы математического формализма в её гильбертовском варианте, тем самым ясно обозначая границу математического обоснования. Классические программы обоснования математики не полностью свободны от неявных элементов, поскольку даже если в них не предполагается обращения к актуальной бесконечности, как в программе математического интуиционизма, то предусматривается осуществление символизации или формализации, неизбежно порождающих неявный коэффициент. Однако указанные особенности программ обоснования математики не противоречат её дедуктивной специфике, и не являются причиной для отказа математическому знанию в надёжности.

12. Даже при проведении математической формализации, когда можно абстрагироваться от смысла математических символов, практически невозможно отвлечься от необходимости понимания своих действий по интерпретации этих символов, и, следовательно, от опыта, обеспечивающего возможность такой интерпретации, а также от интуиции, на основе которой формируется этот «опыт» в самом широком смысле, проникающий в научно-теоретическое знание в виде скрытых, неявных предпосылок.

13. Знание как в индивидуально-личностном, так и в научно-теоретическом аспекте необходимо рассматривать как диалектическое единство явного и неявного знания, а любое конкретное понятие, входящее в систему явного знания, которым обладает личность, должно быть взаимосвязано не только с явным знанием этой личности, но и с её личностно-индивидуальным комплексом неявного знания.

Список научной литературыСултанова, Линера Байраковна, диссертация по теме "Онтология и теория познания"

1. Абрамова Н. Т. Ценности образования, новые технологии и неявные формы знания// Вопросы философии, 1998, № 6. С. 58-65.

2. Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики. М.: Советское радио, 1970 - 152 с.

3. Аршинов В. И., Свирский Я. И. Философия самоорганизации: новые горизонты // Эпистемология и постнеклассическая наука. М.: ИФРАН. - С. 3-26.

4. Аршинов В. И. Синергетика как феномен постнеклассической науки. Автореферат диссертации доктор наук. М.: ИФРАН, 1999. - 48 с.

5. Аршинов В. И. Синергетика как феномен постнеклассической науки. М.: ИФ РАН, 1999.-203 с.

6. Асмус В. Ф. Проблема интуиции в философии и математике. М.: Изд-во «Мысль», 1965. - 312 с.

7. Барабашев А. Г. Будущее математики. Методологические аспекты прогнозирования. М: изд-во МГУ, 1991- 157 с.

8. Беляев Е. А., Перминов В. Я. Философские и методологические проблемы математики. М.: изд-во МГУ, 1981. - 216 с.

9. Беляев Е. А., Киселёва Н. А., Перминов В. Я. Некоторые особенности развития математического знания. М.: изд-во МГУ, 1975. - 112 с.

10. Ю.Бердяев Н. А. Философия свободы. Часть 1// Философия свободы. Харьков: «Фолио», Москва: «АСТ». 2002. - С. 29-136.11 .Бесконечность в математике: философские и исторические аспекты. — М.: Янус-К, 1997. 400 с.

11. Б. В. Бирюков, В. Н. Тростников. Жар холодных числ и пафос бесстрастной логики. М.: Едиториал УРСС, 2004. - 232 с.

12. Больцано Б. Парадоксы бесконечного// Парадоксы бесконечного. Минск: Издатель Ильин В. П. 2000. - С. 75-196.

13. Будущее искусственного интеллекта. -М.: «Наука», 1991. 302 с.

14. Бунге М. Интуиция и наука. М.: Прогресс, 1967. — 187 с.

15. Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М.: изд-во иностр. лит., 1963. -291 с.

16. Бэкон Ф. Сочинения в двух т. -2-е изд. М.: Мысль, 1978. - 556 с.

17. Ван-дер-Варден. Пробуждающаяся наука. -М.: Физматгиз, 1959.-459 с.

18. Вартофский М. Эвристическая роль метафизики в науке// Структура и развитие науки. М.: «Прогресс», 1978. - 487 с.

19. Васильев А. Роль профессора Вейерштрасса в современном развитии математики. Казань, 1885.

20. Вейль Г. Математическое мышление. М.: Наука, 1989. - 400 с.

21. Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия. -М.: Наука, 1966.-467 с.

22. Винер Н. Кибернетика. М.: Советское радио, 1958. — 215 с.

23. Витгенштейн JI. Замечания по основаниям математики// Витгенштейн JL Философские работы. 4.II, кн. 1. М.: Гнозис, 1994. - 206 с.

24. Гейтинг А. Обзор исследований по основаниям математики. M.-JL: ОНТИ, * 1936.-96 с.

25. Гильберт Д. Основания геометрии. М.-Л.: ГТТИ, 1948. - 491 с.

26. Гильберт Д. Основания математики // Избранные труды. Т. 1. М.: Факториал, 1998.-С. 399-465.

27. Гуссерль Э. Феноменология внутреннего сознания времени// Собрание сочинений. Т. 1. -М.: Гнозис, 1994. 162 с.

28. Гуссерль Э. Идеи к чистой феноменологии и феноменологической философии. М.: Лабиринт, 1994. - 108 с.

29. Гуссерль Э. Кризис европейского человечества и философия// Логические исследования. -Мн.: Харвест, М.: «АСТ», 2000. С. 625-666.31 .ГуссерльЭ. Логические исследования//Логические исследования Мн.: Харвест, М.: «АСТ», 2000. С. 5-288.

30. Горанзон Бу. Практический интеллект. Вопросы философии. М.: «Наука», 1998.-№6.-С. 66-78.

31. Декарт Р. Геометрия. -М.-Л.: ГОНГИ, 1938.-294 с.

32. Декарт Р. Рассуждение о методе // Соч. в двух тт. Т. 1. М.: Мысль, 1989. - С. 250-296.

33. Декарт Р. Правила для руководства ума// Соч. в двух тт. Т. 1. М.: Мысль, 1989.- С. 77-154.

34. Дубровский Д. И. Обман. Философско-психологический анализ. М.: Рэй, 1994.

35. Джеймс У. Введение в философию; Рассел Б. Проблемы философии. М.: Республика, 2000. - 315 с.

36. Зенкин А. А. Ошибка Г. Кантора // Вопросы философии. М.: Наука, 2000. -№2.-С. 45 -48.

37. Ивс Г., Ньюсом К. В. О математической логике и философии математики. -М.: Знание, 1968.-48 с.

38. Ильясов И. И. Система эвристических приёмов решения задач. М.: изд. Российского открытого университета, 1992. - 140 с.

39. История математики с древнейших времён до начала XIX столетия. Т. 2. Математика XVII столетия. М.: Наука, 1970. — 299 с.

40. История математики с древнейших времён до начала XIX столетия. Т. 3. Математика XVIII столетия. -М.: Наука, 1972. С. 249.

41. Кант И. Критика чистого разума. Симферополь: Реноме, 1998. - 528 с.

42. Кант И. Критика чистого разума. М.: Мысль, 1998. - 654 с.

43. Кант И. Пролегомены ко всякой будущей метафизике, могущей появиться как наука// Трактаты. С.- Пб.: Наука, 1996. - С. 157-258.

44. Катасонов В. Н. Метафизическая математика XVII в. М.: Наука, 1993. - 141 с.

45. Катасонов В. Н. Боровшийся с бесконечным. Философско-религиозные аспекты генезиса теории множеств Г. Кантора. М.: Мартис, 1999. — 207 с.

46. Катасонов В. Н. Лестница на небо. Генезис теории множеств Г. Кантора и проблема границ науки// Границы науки. РАН. Институт философии; Отв. ред. Л. А. Марков. М.: ИФ РАН, 2000.

47. Китчер Ф. Математический натурализм// Методологический анализ оснований математики. М., 1989.

48. Клайн М. Математика. Утрата определённости. М.: Мир, 1984. - 434 с.

49. Клайн М. Математика. Поиск истины. М.: Мир, 1988. - 295 с.

50. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. М.: «Наука», 1989.-453 с.

51. Князева Е. Н. Как возможно освобождение от мифов классической науки? // Эпистемология и постнеклассическая наука. М.: изд-во ИФРАН, 1992. - С. 54 - 68.

52. Козлова М. С. Проблема оснований математики // Витгеншейн Л. Философские работы. Часть И. Книга I. М.: Гнозис, 1994. - С. VII - XXX.

53. Колмогоров А. Н. Математика в её историческом развитии. — М.: «Наука», 1991. 223 с.

54. Кричевец А. Н. Априорность и адаптивность. — М.: Российское психологическое общество, 1998. 130 с.

55. Круглов А. Н. О происхождении априорных представлений у И. Канта // Вопросы философии. -М.: Наука, 1998. -№ 10. С. 126-130.

56. Котарбиньский Т. Об умозаключении// Элементы теории познания, формальной логики и методологии наук. Биробиджан: ИП «Тривиум», 2000. -158 с.

57. Кузанский Н. Об учёном незнании // Сочинения в 2-х томах. Т. 1. М.: Мысль, 1979. - С. 147-184.

58. Кулюткин Ю.Н. Эвристические методы в структуре решений. — М.: Педагогика, 1970. 231 с.

59. Кун Т. Структура научных революций. // Структура научных революций. М.: «АСТ», 2001.-С. 9-268.

60. Лакатос И. Доказательства и опровержения. -М.: Наука, 1967. 152 с.

61. Лакатос И. История науки и её рациональные реконструкции // Структура научных революций. М.: «АСТ», 2001. - С.455-524.

62. Лахтин Л. К. О жизни и научных трудах Н. И. Лобачевского. Отд. отт. Из «Учёных записок Императорского Юрьевского Университета», 1893. № 1. -20 с.

63. Левин В. И. Рамануджан математический гений Индии. - М.: Наука, 1968. -47 с.

64. Лейбниц Г. Ф. Сочинения в 4-х томах. Т. 2. -М.: Мысль, 1983. 686 с.

65. Лекторский В. А. Эпистемология классическая и неклассическая. М.: Эдиториал УРСС, 2001. - 255 с.

66. Лосский Н. О. Чувственная, интеллектуальная и мистическая интуиция. М.: Терра-книжный клуб, изд-во «Республика». 1999. - 408 с.

67. Малкей М. Наука и социология знания. М.: Прогресс, 1983. - 256 с.

68. Мамардашвили М. К. Классический и неклассический идеалы рациональности. Тбилиси, 1984. - 82 с.71 .Математика в современном мире. М.: Мир, 1967. - 207 с.

69. Математика и практика; Математика и культура. (Сборник статей) М: Редакция журнала «Самообразование» и МФ :Семигор», 2000. - 200с.

70. Математический энциклопедический словарь. М.: Сов. Энциклопедия, 1988. - 1200 с.

71. Математическая энциклопедия. Т. 1. -М.: Сов. Энциклопедия, 1977. 1151 с.

72. Математическая энциклопедия. Т. 3. М.: Сов. Энциклопедия, 1982. - 1183 с.

73. Математическая энциклопедия. Т. 3. М.: Сов. Энциклопедия. 1985. - 1247 с.

74. Методологические проблемы развития и применения математики. — М.: Центр, совет философских методологических семинаров при Президиуме АН СССР, 1985.-208 с.

75. Методологический анализ оснований математики. М.: Наука, 1988 - 175 с.

76. Мерло-Понти М. Феноменология восприятия. — С.- Пб: «Ювента» «Наука», 1999.-605 с.

77. Микешина Л. А. Ценностные предпосылки в структуре научного познания. -М.: Прометей МГПИ им. В. И. Ленина, 1999. 208 с.

78. Микешина Л. А. Опёнков Г. Ю. Новые образы познания и реальность. М.: РОССПЭН, 1997.-238 с.

79. Мичи Д., Джонстон Р. Компьютер творец. - М.: Мир, 1987. - 255 с.

80. Молодший В. Н. Очерки по философским вопросам математики. М.: Просвещение, 1969. - 303 с.

81. Мулуд Н. Современный структурализм. М.: Прогресс, 1973. - 380 с.

82. Новиков П. С. Элементы математической логики. М.: Наука, 1973. - 399 с.

83. Панов М.И. Интуиция в математическом познании // Философские методологические семинары. М.: Наука, 1984. - С. 300-318.

84. Панов М. И. Методологические проблемы интуиционистской математики. — М.: Наука, 1984.-224 с.

85. Патнэм X. Разум, истина и история. М.: Праксис, 2002. - 296 с.

86. Пенроуз Р. Тени разума: в поисках науки о сознании. Часть I: Понимание разума и новая физика. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований. 2003. 368 с.

87. Перминов В. Я. Проблема обоснования математики с системной точки зрения // Методологический анализ закономерностей развития математики. М., 1989.-С. 141- 156.

88. Перминов В.Я. Развитие представлений о надёжности математического доказательства. М.: изд-во МГУ, 1986. - 239 с.

89. Перминов В. Я. Об аргументах Л. Брауэра против закона исключённого третьего // Бесконечность в математике: философские и исторические аспекты. -М.: Янус-К, 1997.- С. 199-221.

90. Перминов В.Я. О природе доказательного мышления в догреческую эпоху развития математики // Историко-математические исследования. Вторая серия. Вып. 2 (37). М.: Янус-К, 1997. - С. 180-199.

91. Перминов В. Я. Ложные претензии социокультурной философии науки // Стили в математике: социокультурная философия математики / Под ред. А. Г. Барабашева. СПб.: РХГИ. 1999. - С. 235-253.

92. Перминов В. Я. Философия и основания математики. М.: Прогресс-Традиция, 2001. - 320 с.

93. Петросян В. К. Общий кризис теоретико-множественной математики и пути его преодоления. Версия 1.0. М.: Янус-К, 1997. 144 с.

94. Пиаже. Ж. Генетическая эпистемология //Вопросы философии. М.: Наука, 1993. №5.-С. 54-63.

95. Пиаже Ж. Генезис числа у ребёнка //Избранные психологические труды. М.: Международная педагогическая академия, 1994. - С. 237-582.

96. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения. М.: Наука, 1957. - 535 с.

97. Пойа Д. Как решать задачу. М.: Учпедгиз, 1959. - 206 с.

98. Полани М. Личностное знание. М.: Прогресс, 1985. - 344 с.

99. Поппер К. Логика и рост научного знания. М.: Прогресс, 1983. - 605 с. ЮЗ.Поппер К. Объективное знание. Эволюционный подход. - М.: Эдиториал1. УРСС, 2002.-384 с.

100. Поппер К. Все люди философы: Как я понимаю философию; Иммануил Кант - философ Просвещения. - М.: Едиториал УРСС, 2003. - 56 с.

101. Прокл. Комментарий к первой книге «Начал» Евклида. Введение. М., 1994.-222 с.

102. Пуанкаре А. О природе математических доказательств // Сборник научно-популярных статей Пуанкаре, Гельмгольца, Кронекера и др. по основаниям арифметики. Казань, 1906.

103. Пуанкаре А. О науке. М.: Наука, 1990. - 736 с.

104. Райл Г. Понятие сознания. М.: Идея-пресс, Дом интеллектуальной книги, 1999. - 406 с.

105. Рассел Б. Исследование значения и истины. М.: Идея-Пресс, Дом интеллектуальной книги, 1999. - 400 с.

106. Ю.Рассел Б. Философия логического атомизма. Томск: Водолей, 1999. - 192 с.

107. Рид К. Гильберт. М.: Наука, 1977. - 365 с.

108. Родин А. В. Математика Евклида в свете философии Платона и Аристотеля. -М.: Наука, 2003.-211 с.

109. Розов М. А. Наука как традиция // B.C. Стёпин, В.Г. Горохов, М.А. Розов. Философия науки и техники. Учебное пособие. М.: Гардарика, 1996. - С. 70 -190.

110. Рузавин Г. И. Философские проблемы оснований математики. М.: Наука, 1983.-302 с.

111. Рузавин Г. И. Об особенностях научных революций в математике// Методологический анализ закономерностей развития математики. М., 1989. -С. 180-193.

112. Рыбников К. А. История математики. М.: изд-во МГУ, 1974. - 455 с.

113. Серебрянников О. Ф. Эвристические принципы и логические исчисления. — М.: Наука, 1970.-283 с.

114. Стили в математике: социокультурная философия математики. СПб.: РХГИ, 1999. - 552 с.

115. Стройк Д. Я. Краткий очерк истории математики. М.: Наука, 1990. - 256 с.

116. Стяжкин Н. И. Становление идей математической логики. М.: Наука, 1964. - 304 с.

117. Стяжкин Н. И. Формирование математической логики. М.: Наука, 1967. -508 с.

118. Султанова JI. Б. Неформальная рационализация в математике (монография в виде учебного пособия). Уфа: изд-во УГНТУ, 2001. - 194 с.

119. Тулмин С. Человеческое понимание. -М.: Прогресс, 1984. 328 с.

120. Уайтхед А. Наука и современный мир //Избранные работы по философии. -М.: Прогресс, 1990. С. 56-271.

121. Успенский В. А. Теорема Гёделя о неполноте. — М.: Наука, 1982. 111 с.

122. Успенский В. А. Семь размышлений на темы философии математики //Закономерности развития современной математики: методологические аспекты. -М.: Наука, 1987.

123. Священник Павел Флоренский. Сочинения в четырёх томах. Т.1. Философское наследие. М.: Мысль, 1994. - С. 79-128.

124. Фреге Г. Основоположения арифметики. Томск: Водолей, 2000. - 128 с.

125. Философско-религиозные истоки науки. -М.:Мартис, 1997.- 319 с. ИО.Хинтикка Я. Логико-эпистемологические исследования. М.: Прогресс,1980.-448 с.

126. Холтон Дж. Тематический анализ науки. М.: Прогресс, 1981. - 383 с.

127. Цейтен Г. Г. История математики в древности и в средние века. М.-Л.: ГТТИ, 1938.-230 с.

128. Цейтен Г. Г. Исследование по конструктивному анализу (конструирование вещественного числа и точечно-определённые функции). Автореф. дисс. докт. филос. наук. JL, 1968.

129. Проблемно-ориентированный подход к науке: новая философия математики/ Под ред. В.В.Целищева. Новосибирск: Наука, 2001.

130. Чёрч А. Математика и логика // Математическая логика и её применения. — М.: Мир, 1965. С. 209-215.

131. Шпенглер О. Закат Европы. Ростов н/ Д: Феникс, 1998. - 640 с.

132. Эйнштейн А. Геометрия и опыт // Собр. науч. тр. в четырёх томах. Т. 2. М.: Наука, 1966. - С. 83-94.

133. Hersh R. A fresh winds in the philosophy of mathematics// Amer. Math. Monthly. 1995. - Aug.-Sept. - P. 590-591.

134. Hersh R. What is mathematics, really. N.Y.: Oxford UP, 1997. Review in: Philosophy of Science. - V. 66, No 3. - P. 501, 502.

135. Putnam H. Philosophy of mathematics why nothing works? Putnam H. Words and life. - Harvard UP. - P. 499-512.141 .Kitcher Ph. The Nature of Mathematical Knowledge. Oxford Univ. Press, 1983.