Философские и эстетические аспекты математического знания

Романенко, Юлия Михайловна

автореферат диссертации по философии, специальность ВАК РФ 09.00.08
диссертация на тему: Философские и эстетические аспекты математического знания

Год: 2005
Автор научной работы: Романенко, Юлия Михайловна
Ученая cтепень: кандидата философских наук
Место защиты диссертации: Москва
Код cпециальности ВАК: 09.00.08

Диссертация по философии на тему 'Философские и эстетические аспекты математического знания'

Полный текст автореферата диссертации по теме "Философские и эстетические аспекты математического знания"

На правах рукописи

Романенко Юлия Михайловна

ФИЛОСОФСКИЕ И ЭСТЕТИЧЕСКИЕ АСПЕКТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ЗНАНИЯ

Специальность 09.00.08 -Философия науки и техники

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата философских наук

Москва-2005

Работа выполнена на кафедре философии и социологии Московского государственного института электронной техники (технического

университета)

Научный руководитель:

доктор философских наук, профессор Пирогов Александр Иванович

Официальные оппоненты:

доктор философских наук, профессор Рыжов Олег Алексеевич

Ведущая организация университет

кандидат философских наук Брега Александр Васильевич

- Московский государственный областной

Защита состоится 16 декабря 2005 г. в 15 часов на заседании диссертационного совета Д212.141.12 по философским наукам в Московском государственном техническом университете имени Н.Э.Баумана по адресу: г. Москва, Рубцовская наб., д.2/18, УЛК, ауд.720.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского государственного технического университета имени Н.Э.Баумана.

Автореферат разослан ноября 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

С.А. Власов

1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность

темы

исследования обусловлена

интеграционными процессами в науке. В истории науки математике всегда отводилось особое место: начиная с античности, с ней связывался идеал научной истины, понятия математики служили основой для развития других наук и закладывались как принципы искусства. На протяжении исторического развития математическое знание трактовалось как «божественное знание», как чистая деятельность мышления, как строгое и беспристрастное выведение > заключений из аксиом и т. д.

Математика представляет собой творение человеческого духа и как один из феноменов культуры подвержена действию эстетических факторов. При рассмотрении эстетических факторов математики необходимо учитывать мировоззренческие и гносеологические аспекты, поэтому в данном контексте более правомерно говорить об философско-эстетических аспектах математического знания. О философско-эстетических факторах развития математического знания написано много в Античной философии и философии Возрождения. Интерес к этой проблеме вновь возникает в XX века, в частности в философии позитивизма. Существенный недостаток в фундаментальных исследованиях в отечественной философии по данному вопросу послужил стимулом к написанию данной диссертации.

В диссертационном исследовании предпринята попытка проследить взаимосвязь философско-эстетических категорий и понятий математики на протяжении всей истории развития европейской научной мысли, рассмотреть роль научных и философских теорий античных мыслителей, оказавших значительное влияние на своих последователей, и обосновать значимость философско-эстетического взгляда для развития математического знания в целом. *•

В настоящее время философско-эстетические факторы науки становятся весьма популярной темой исследования. Нельзя отрицать стремление современной философской науки к комплексному осмыслению культуры как социально-духовной целостности. Согласно мнению М. В. Волькенштейна, «единство науки и искусства -важнейший залог последующего развития культуры. Нужно искать и

культивировать то, что объединяет науку и искусство, а не разъединяет их».1

В философской литературе по методологии научного познания несколько неохотно обращались к исследованию социально-культурных аспектов, среди которых важную роль играют философско-эстетические ориентиры. Очевидно, сама практика развития научного знания не вынуждала исследователей к более глубокому анализу проблемы взаимоотношения науки и философско-эстетических аспектов. Лишь начиная со второй половины XIX века, с дальнейшим подъёмом в начале XX века, а также на современном этапе возрастает интерес к анализу роли философско-эстетического в науке, в частности, в математике. Высокий интерес научного сообщества к этой проблеме и недостаток в фундаментальных исследованиях по данной теме обуславливают высокую актуальность предмета исследования данной диссертации.

Степень научной разработанности проблемы. В диссертации использована литература по математике, философии и искусствознанию античного периода и средних веков, по проблемам возникновения философии математики Нового времени, по современным тенденциям развития математики и ее приложений, в том числе и в искусствознании, а также литература по вопросам психологии научного творчества и эстетики науки.

В истории развития математики и естественнонаучного знания об окружающем мире, к красоте в явном виде (т. е. говорили, писали, ссылались на неё) в послегалилеевский период обращались создатели новых открытий, новых гипотез, новых теорий: Н.Х. Абель, Э. Галуа, Р. Декарт, В. Г. Лейбниц, И. Кант, М. В. Ломоносов, Ч. Дарвин, М. Фарадей, Д. Максвелл, А. Майкельсон, А. Эйнштейн, П. Дирак, А. Пуанкаре, В. Паули, Г. Харди, Г. Вейль, Р. Фейнман, В. Гейзенберг, И. Пригожин, Н.Д. Блохинцев, А.Б. Мигдал, X. Юкава, и многие другие. При этом красоту понимали как гармонию, простоту, симметрию, согласованность, порядок, интуитивную очевидность, ясность, легкость восприятия, истину и т.д. Ряду ученых казалось интуитивно очевидным, что представления о красоте могут выступать в качестве исходного начала, первоисточника при создании гипотез, аксиом, научных открытий. О гармонии и красоте Мироздания, диалектике порядка и хаоса идеи для написания диссертации почерпнуты из работ Пифагора, Платона, Диогена Лаэртского, И. Кеплера, Г. Лейбница, М. Гутцвил-

1 Волькенштейн М.В. Познание и творчество //Вопросы философии. -1976. - №12,Л"С4^ л л - 1

2 ' ? ..*» * I

лера, И. Пригожина, И. Стенгерс, В. Татаркевича, Дж. Халлиуэлла, B.C. Асмуса, О.В. Буткевича, В.И. Вернадского, A.B. Волошинова,

A.B. Гулыги, Н.Т. Дмитриевой, И.В. Зотова, В.В. Иванова, И.А. Ильина,

B. И. Коробко, А.Ф. Лосева, Н.В. Мотрошкповой, М.Ф. Овсянникова, И.Д. Рожанского, В.И. Самохваловой, Э.М. Сороко, A.C. Харитонова,

C.Н. Шангина, В.П. Шестакова, Е.О. Яковлева.

На протяжении всей истории развития европейской культуры предпринимались многочисленные попытки математического описания и красоты произведений искусства, и гармонии окружающего мира, в том числе и нашими современниками, вносящими посильный вклад в разработку этой тематики. К этой теме обращались Пифагор, Платон, Аристотель, Витрувий, Поликлет, Диоген Лаэртский, Августин, Боэций, Николай Кузанский, Альберти, Л. Пачоли, Леонардо да Винчи, А. Дюрер, И. Кеплер, Г. Галилей, Г. Вейль, Е. Вигнер, Д. Пидоу, X,-О. Патгейн, П.Х. Рихтер, Ч.П. Сноу., Г.Е. Тиммердинг, У. Хогард, Г.Ф. Хильми, Д. Хэмбидж, Ю.Г. Барабаш, Ю.В. Бромлей, К.П. Бутусов, A.B. Волошинов, H.H. Воробьев, М.Э. Гика, ГА. Голицин, А.Х. Горфункель, В.П. Григорьев, Г.Д. Грим, К.И. Домбровский, И.А. Евин, О.В. Кириченко, Л.В. Константиновская, В.А. Копцик,

A.Ф. Лосев, М.А. Марутаев, Т.М. Махмудов, A.A. Осанов, В.М. Петров, Э.М. Панофский, Ф.А. Пятакович, Б В Раушенбах, Э К. Розенов, Б.А. Рыбаков, Л.А. Сабанеев, В.И. Самохвалова, К.С. Симонян, Ю.Н. Соколов, М.Е. Степанов, И.Ф. Стравинский, В.Н. Топоров, Н.И. Тюленева, О.Н. Ульянова, Ю.А. Урманцев, Е.С. Федер, П.А. Флоренский, ПЛ. Чебышев, Л.В. Чхаидзе, В.А. Цуккерман, В.А. Шапошников, И.Ш. Шевелев, И.П. Шмелев, A.B. Шубников, С.М. Эйзенштейн и другие.

Вопросами математического творчества и исследованием роли интуиции и логики в математике в той или иной степени занимались Ж. Адамар, Р. Арихейнм, M Бунге, Г. Вейль, К. Гедель, Д. Гильберт, М. Клайн, Ж. Лакатос, Д. Пойя, М. Полани, А.Пуанкаре, А. Эйнштейн,

B.Ф. Асмус, А.И. Белоусов, В.Э. Войцехович, Ю.И. Манин, С.Ю. Мас-лов, Г.А. Нуждин, A.C. Родин, О.Ф. Серебрянников, Л.Б. Султанова, Е.Л. Фейнберг, И.Р. Шафаревич, В.А. Шапошников, И.М. Яглом и другие.

История развития математического знания, философские основания математики представлены в работах Р. Декарта, Г. Лейбница, И. Канта, Гегеля, Бурбаки, М. Гарднера, Л. Витгенштейна, К. Кантора, М. Клайна, Ф. Клейна, Ope Остина, X. О. Патгейна, Б. Рассела, П. X. Рихтера, А. Реньи, Д. Стройка, А. Уайтхеда, Г. Фреге, И.А. Акчу-

рина, А.Д. Александрова, В.И. Арнольда, В.Ф. Асмуса, А.Г. Бараба-шева, Е.А. Беляева, В.П. Визигина, В Э. Войцеховича, П.П. Гайденко, Б.В. Гнеденко, А. Дальма, Л.Я. Жмудь, Н.И. Жукова, C.B. Игнатова,

A.Н. Колмогорова, П.В. Копнина, А.Н. Кричевца, Н.Ф. Овчинникова,

B.Я. Перминова, А.И. Ракитова, Г.И. Рузавина, К.Н. Рыбникова, В.А. Стеклова, П.А. Флоренского, А.Я. Хинчина, В.А. Шапошникова, И.М. Яглома.

Для рассмотрении математической истины в философско-эстетическом ракурсе и обоснования взаимосвязи красоты математики и научной истины использовались идеи и произведения Платона, Аристотеля, Прокла, Г. Галилея, Ф. Хатченсона, Ю. Вигнера, В.М. Волькенштейна, М.В. Волькенштейна, Л.П. Воронковой, O.A. Га-бриэлян, В. Гейзенберга, В.В. Глебкина, Д.П. Горского, М.С. Кагана, A.J1. Калантара, J1. Котиной, C.B. Котиной, В.И. Ленина, Ю.И. Мерз-лякова, А.Б. Мигдала, О.П. Мороза, Л.Н. Столовича, С.А. Яновской.

Таким образом, несмотря на давно осознанную и высказанную потребность в раскрытии философско-эстетических аспектов развития математического знания, выявления взаимосвязи между математикой, философией и эстетикой, такая задача до настоящего времени на уровне диссертационных исследований продолжает оставаться актуальной.

Объектом диссертационного исследования является процесс исторического развития математического знания.

Предметом исследования являются философско-эстетические аспекты математического знания.

Задачи исследования:

- проанализировать развитие «математической традиции» в философии и научном знании;

- осмыслить природу математики с философской позиции и провести философско-эстетический анализ исторического развития математического знания;

- исследовать философские аспекты математического творчества как познавательного процесса;

- проанализировать проблему истины в математическом знании в философско-эстетическом контексте.

Методологическая основа исследования.

Теоретическими источниками диссертационной работы послужили результаты, накопленные в естествознании, эстетики, философии математики, психологии, синергетики, культурологии, истории философии и математики, отечественной философской литературе последних лет.

Работа опирается на философско-методологические принципы отражения, объективности, единства исторического и логического в предметно-практической деятельности. Специфика предмета исследования требует комплексного подхода. Принцип объективности, содержащий требования адекватности и конкретности, совместно с системным подходом позволяет рассматривать историю взаимодействия категорий философии, эстетики и математики. В этом плане, принцип историзма позволяет расширить и углубить как представления об эстетическом в математике, о влиянии принципа красоты на развитие математического знания, так и о роли «математической традиции» в философии и эстетике.

Принцип историзма - это мировоззренческий принцип познания, сочетающий в себе научную сторону, ориентированную на объект, с аксиологической стороной, вовлекающей в познание человеческо-ценностный подход и человеческую деятельность. Сравнительно-исторический подход дал возможность расширить горизонт научного исследования и рассмотреть проблему в процессе ее становления и развития, в связи с конкретными историческими условиями. Задачи исследования поставили необходимость сопоставления философских исследований оснований математики, эстетических категорий красоты и гармонии, понятия истины, а также рассмотрения вопросов психологии математического творчества. Принцип единства исторического и логического дает возможность рассуждать о закономерностях развития математического знания без отрыва от реальной истории и современных тенденций в развитии математики.

Структура диссертации обусловлена целью, задачами, внутренней логикой исследования. Диссертация состоит из введения, двух глав и заключения. К работе прилагается список использованной литературы.

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, дается характеристика степени разработанности проблемы, показывается ее значение для развития современного научного знания, определяется объект и предмет анализа, цель и задачи исследования, а также логическая структура и методологические подходы к

исследуемой проблеме, называются теоретические источники исследования, определяется научная новизна и практическая значимость работы, а также приводятся данные об апробации работы.

Первая глава диссертации «Диалектика философско-эстетического и математического познания» состоит из трех параграфов. Главная задача этой части работы определяется как историко-философский анализ основных философско-эстетических понятий - гармонии и красоты, и роли в их формировании математической традиции, идущей от Пифагора.

Первый параграф - «Гармония Мироздания■ философско-ретроспективный анализ» посвящен анализу понятий красоты и гармонии. В нем же дается краткий обзор исторического развития понятия золотой пропорции.

Начиная с Античности, красота и гармония рассматривались с точки зрения понятий, используемых в математике: симметрия, мера и количественные отношения. Кроме того, понятие гармонии неразрывно связано с понятием порядка и упорядоченности.

Категория прекрасного и ее качественные и количественные функции - гармония, мера, симметрия - часто смешивались на протяжении всей истории эстетики. В истории эстетики эти категории часто взаимозаменяются. Будем считать, что красота более широкое понятие, чем гармония.

Идея симметрии в наши дни осознается как важнейшая универсалия, пронизывающая мироздание от микро- до макрокосма. Изначальное понятие о геометрической симметрии (золотой пропорции), как соразмерности зримых геометрических форм, приобретает сегодня универсальный смысл как всеобщая идея инвариантности относительно некоторых преобразований. В настоящее время, в науку о симметрии вошли такие понятия, как статическая и динамическая симметрия.

Второй параграф - «Математическая традиция» в философии и эстетике» и третий параграф - « Число как философско-эстетическая категория» посвящены рассмотрению области использования математических понятий, как в проблемном поле эстетики, так и в философских трудах ученых от Античности до Нового времени.

В эпоху античности закладываются основы современной науки и открываются основные принципы искусства - сохранившие свое непреходящее значение до нынешнего времени. Разработано два значительно отличающихся определения красоты. Одно определяло красоту как правильное согласование частей друг с другом и с целым. 6

Другое, восходящее к Плотину, обходится вовсе без упоминания частей и называет красотой вечное сияние «Единого».

Пифагорейский тезис «все есть число» впервые в истории человечества указал на «математические начала» прекрасного. «Метрический» взгляд на красоту, берущий начало в пифагорейской традиции, проходит через всю историю Европейской культуры. Пантеистическая философия Возрождения слила воедино Бога и человека в гармонии мироздания. В эту эпоху бурно развиваться философия искусства, носящей и обобщающий, и дидактический, и методический характер, в центре которой оказались приемы и методы математики. Затем идея красоты как меры из искусства перекочевала в науку Нового времени. Наука становится главной духовной силой, определяющей мировоззрение человека этой эпохи.

В эпоху рождения профессиональной эстетики история числовой эстетики уступает место философии математики. Это произошло в связи с бурным развитием точных наук и рационализацией эстетического знания. Учение о числе теряет свое онтологическое содержание, переживает глубокий кризис, но при этом оно служит и далее изучению эстетической качественности, пониманию количественных параметров природы и искусства.

Современное развитие гуманитарных наук, в том числе наук об искусстве, все чаще и чаще ставит их перед необходимостью использовать достижения естественнонаучного знания. Человек нуждается в единстве, согласованности своего внутреннего мира, поэтому нахождение точек и граней пересечения науки и искусства требуется духовному миру любого развитого человека. Поиски в области количественных подходов определялись теми моделями, которые предлагала развивающаяся наука. Если предшествующий этап вдохновлялся в основном достижениями кибернетики как науки об организации, то этап последующей связан с активным воздействием на представления ученых той модели, которую предложила синергетика, наука о самоорганизации.

Вторая глава диссертации «Математика■ философско-эстетический ракурс» состоит из трех параграфов. Главная задача этой части работы определяется как философско-эстетический анализ математического знания.

В первом параграфе - «Эволюция философского и математического знания в европейской культуре» - математика рассматривается как своеобразный способ теоретического описания действительности; как область знания, имеющая свой особый статус в

системе наук. Математика и философия занимают особое место в классификации наук: они имеют дело с вторичным уровнем абстракции, и не имеют возможности воспользоваться напрямую таким методом познания, как практический эксперимент или опыт.

Природа и предмет математического знания, начиная еще с античной эпохи, привлекали внимание многих исследователей. Крайняя абстрактность понятий математики и чисто логический способ получения ее выводов не раз вызывали острые дискуссии среди ученых. Еще одна особенность математики - это ее способность трансформировать решение глубоких проблем в стандартизированные логические схемы, при этом в творческом процессе возрастает роль интуиции, которую зачастую противопоставляют логике и не всегда признают в качестве способа достижения новых результатов. Математика по своей сути является концентрацией теоретической мысли.

Познание идет отдельными этапами. Математические теории, став, более общими, не теряют и тех объектов исследования, которые изучались ими ранее. При таком положении дел понятия математики становятся более гибкими, способными охватить более широкий круг объектов. В результате математика и ее средства исследования не остаются на месте, а непрерывно подвергаются процессу совершенствования и обновления.

Открытия в науке, как бы они не были велики, сами по себе не являются вкладом в философию, однако существуют открытия, которые влекут за собой изменения в философии науки, в понимании ее предмета, методов, связи с другими науками. К таким сдвигам в математике, имевшим философское значение, можно отнести: появления самой идеи математики как дедуктивной науки, открытие несоизмеримых величин, открытие дифференциального интегрального исчислений и построение неевклидовых геометрий.

Второй параграф — «Философско-эстетическое измерение истины в математике» посвящен выявлению эстетических особенностей понятия истины в математике, и рассмотрению принципа красоты, как одного из древнейших методологических принципов познания.

Истинность математической теории определяется, в первую очередь, тем, как эта теория работает, т.е. способна ли она давать непротиворечивые ответы на вопросы, выдвигаемые объективной действительностью, и насколько гармонично она вписывается в картину мироздания, предлагаемой наукой на данном историческом этапе. 8

Практика является исходным пунктом математических понятий, но в качестве непосредственного критерия истины суждений математики она обычно не выступает. Точность и непротиворечивость - удовлетворение этим двум критериям - тоже необходимое условие истинности математических построений.

Красота логических построений в математике - аналог одухотворенности в искусстве. Ощущение красоты, эстетическая интуиция помогает проверять правильность результатов и открывать новые законы. Эстетическое чувство, стимулируя стремление ученого к истине, является вместе с тем, критерием завершенности работы. В настоящее время происходит переход от понятия «красоты», то есть пассивного её восприятия, к методологическому «принципу красоты», то есть исследованию факторов, совокупность которых и создает ощущение красоты.

В третьем параграфе — «Философские аспекты математического творчества» исследуются вопросы, относящиеся к особенностям математического творчества и мышления.

Понятие «стиль математического творчества», обозначает целостное единство содержания и формы математического творчества и его результата - научного произведения; единство идеи и ее доказательства (обоснования и изложения); а также особенности индивидуальных проявлений математического творчества. Постановка проблемы стилевой особенности творчества ученых-математиков не может рассматриваться изолированно от вопросов об особенностях математического знания. Поэтому рассмотрение вопроса о существовании и взаимодействии неявного знания, интуиции и логики в математической науке также представляется важным для тематики данной работы.

Рассматривая математическое творчество и истину под эстетическим углом зрения можно обнаружить более глубокую связь между ними, обусловленную тем, что истина является единственной объективной целью математического творчества, которое содержит в себе эстетический элемент. Красота истины определяется в математике единством содержания и формы.

В заключении подводятся общие итоги исследования, формулируются выводы методологического, теоретического и конкретно-практического характера.

2. НАУЧНАЯ НОВИЗНА ИССЛЕДОВАНИЯ И ОБОСНОВАНИЕ ПОЛОЖЕНИЙ, ВЫНЕСЕННЫХ НА ЗАЩИТУ

Научную новизну настоящей работы определяют следующие исследовательские результаты:

• проведен фкпософско-эстетический анализ исторического развития математического знания, что позволило сделать вывод о существовании цикличности во взаимодействии и взаимовлиянии математики, философии и эстетики в истории европейской культуры;

• проанализированы исторически изменяющиеся представления о гармонии мироздания и показана их тесная связь с математическими понятиями в процессе развития европейской культуры;

• показаны особенности математического знания, математического творчества и математической истины в философско-эстетическом контексте, что привело к постановке новых эвристических задач, требующих дальнейшего исследования:

а) образность математики как одна из граней ее красоты;

б) развитие математических образов от античности до современности и их влияние на развитие философской культуры;

в) неадекватность понятий простоты и красоты в математики на современном этапе развития научного знания и другие.

• отражена связь математического знания с философскими дисциплинами на современном этапе развития научного познания.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Результаты анализа взаимодействия и взаимовлияния математики, эстетики и философии в истории европейской культуры.

Во времена античности и средневековья вообще нельзя было отделить математику, философию и эстетику. Примером тому являются Аристотель и Декарт. Им математики обязаны новыми взглядами на логику и на геометрию, которые по своей сути отвечают эстетическим устремлениям конкретной культурно-исторической эпохи. В то же

время эти ученые создали собственные философские учения, тесно связанные с их исследованиями в области математики. И обратно, их математические результаты базируются на их философско-эстетических взглядах и в то же время следуют из них.

Философия Средневековья наследовала основные идеи античности, переосмыслив их на латыни в соответствии со свойственным средневековым монотеистическим миропониманием. Эстетика Средневековья неотступно следовала теологическому пониманию гармонии как отблеска божественной красоты, и, тем не менее, никто из средневековых мыслителей не сомневался, что эта красота имеет адекватное математическое выражение. При ограниченной потребности в математическом знании и его невысокой 1 практичности, Средневековье пассивно сохраняет наследованное им

античное наследие.

Эпоха Возрождения внесла существенный вклад в развитие европейской культуры и науки. Применение математических вычислений при создании произведений искусства было известно с глубокой древности. Неустранимость числа из профессионального мышления живописца, скульптора, музыканта и архитектора, его обязательное участие на всех этапах индивидуального художественного процесса - обеспечило существование некой универсальной математики, ответственной за объяснение любой наблюдаемой закономерности.

Огромный вклад в математическое искусствознание - теорию пропорций человека и теорию линейной перспективы - внесли Леон-Баттиста Альберти, Лука Пачоли, Леонардо да Винчи и Дюрер. Трактат Пачоли «О божественной пропорции», оказал непосредственное влияние как на художников, пробуждая их интерес к «математическим началам» красоты, так и на естествоиспытателей, открывая перед ними красоту и гармонию мироздания. Великий живописец и ученый Леонардо да Винчи не видит в искусстве никакой внутренней специфики: искусство есть наука, так как оно подчиняется ► математическим законам, что, однако, не означало порыва превратить

искусство в свод теорем. Им была предпринята попытка обосновать некую всеобщую «алгебру гармоний», утвердить человеческий микрокосмос как истинную, бытийную необходимость существования Круга Универса. Порождение живописного образа начинается с поиска числового аналога: исчисления света, тени, тональной глубины, с анатомических очертаний модели, - все это в пространстве соотнесенных объемов, рамок и перспектив. Лучшее средство для

такого обобщения Дюрер видел в математике. Он безуспешно пытался получить универсальную формулу красоты, но для этого ему необходимо было отразить бесконечное в конечном и, следовательно, ему была нужна совершенно иная «математика красоты» - математика бесконечно большого числа бесконечно малых изменений. В геометрических попытках Дюрера найти универсальную формулу пропорций человека, зрела идея математики непрерывного, дифференциального и интегрального исчислений. Эта математика родилась только через полтора столетия после Дюрера, в трудах Ньютона и Лейбница.

В эпоху Нового времени наблюдается процесс постепенного обособления различных наук: новые идеи возникают в связи с потребностями практики - математика стала рассматриваться не как врожденное и абсолютное знание, а скорее как знание, зависящее в своей структуре от некоторых внешних реальностей, и эта философская установка предопределила в свою очередь конкретное методологическое мышление. Математика обеспечила основу для интеллектуального воображения, с помощью которого люди науки взялись за наблюдение природы. Это обстоятельство послужило причиной появления принципиально новой философии математики.

Внушительный вклад в математику был связан с философией эмпиризма. Именно в рамках изучения природных процессов стали разрабатываться методы математического описания движения, изменения, текучести, кривизны, измерения объемов, ставших ключевыми в обосновании дифференциального исчисления. Прагматический характер и эмпирическая правильность результатов часто становился для новой философии решающим аргументом для снятия рациональных запретов в математических исследованиях. При этом казалось очевидным, что представления о красоте могут выступать в качестве исходного начала при выдвижении гипотез, принятия аксиом, обосновании научных открытий. Вместе с тем, осторожность и критика со стороны сенсуалистической философии (Беркли) в отношении сомнительных философских «прорывов», послужили 4 началом работы над уточнением и строгим обоснованием оснований новой математики.

Противоположное, рационалистическое воззрение на геометрию и математику в целом, которому суждено было сыграть исключительно большую роль в дискуссиях о природе неевклидовых геометрий, было развито в конце XVIII века выдающимся немецким философом И. Кантом. Согласно Канту, понятия геометрии и арифметики не являются 12

отражением структуры космоса, как думали пифагорейцы, и не извлечены посредством абстракций из опыта, но представляют собой отражение чистого или априорного созерцания, присущего человеку наряду с эмпирическим. Существуют две формы чистого созерцания -пространство и время. Пространство и время - необходимые внутренние представления, которые даны человеку даже при абстрагировании от всего эмпирического. Геометрия, по Канту, есть не что иное, как выраженная в понятиях чистая интуиция пространства, арифметика находится в таком же отношении к чистому представлению времени. Геометрические и арифметические суждения не эмпирические, поскольку они отражают априорное созерцание, но вместе с тем они и не аналитические суждения, не тавтологии, каковыми являются правила логики, поскольку они отражают содержание чувственности, хотя и не эмпирической. Математика, таким образом, может быть определена как система синтетических суждений, выражающая структуру априорных форм чувственности. Как система выводов и доказательств математика должна быть полностью инстинктивно ясной: по Канту, все математические доказательства «постоянно следуют за чистым созерцанием на основании всегда очевидного синтеза». Кант раздвигает границы эстетики до чувственного познания, играющего немаловажную роль в математике.

В XX веке полностью складывается характер требований, связанных со структурой и строгостью обоснования математических теорий, в формировании которых существенную роль сыграла философия. Математика разрабатывается в рамках узко специализированных отраслей, сложившихся в большинстве к концу XIX века и постоянно возникающих вновь на границах смежных с математикой областей. Все это порождает необходимость использования философского аппарата, рассмотрения эстетических аспектов, что в свою очередь подтверждает тесную взаимосвязь математики, философии и эстетики на современном этапе развития научного знания.

2. Результаты исследования влияния философских концепций как

отражения мировоззренческих оснований культуры на

формирование математических понятий.

Философская дискуссия об основах математики имеет непреходящее значение для выявления культурно-мировоззренческих истоков математического знания. Именно в ней (дискуссии) формулируются основные интуиции, определяющие природу,

характер математических понятий, направления их развития. Философия является неизменным спутником исторического развития математики в той степени, в какой это развитие перерастает простую технику счета и становится интеллектуальным творчеством. Рассмотрение математики в философско-эстети ческом ракурсе открывает новые грани и возможности развития научного познания.

Так в античной культуре было рано осознано различие между миром ощущаемым и миром мыслимым и во многих философских моделях реализовано стремление рассматривать мир мысли как самостоятельную реальность, развивающуюся по собственным законам. Кроме того, мыслимому миру придавалось большее ценностное значение, чем видимому миру, и именно с этим миром связывалось представление о подлинном бытии. Обращение к этому миру, восхождение к его вершинам составляло цель жизни философа. Математика осуществляла в платоновско-пифагорейской традиции связь между миром идей и миром объектов, являясь важнейшим средством для приобщения души к идеальному миру. С этим связана теоретичность античной математики. Несмотря на отдельные, хотя и яркие исключения, такой подход с той или иной степенью общности был присущ всей античной математике и сдерживал ее развитие. Таким образом, именно философско-мировоззренческие основания, первоначально стимулирующие развитие античного математического знания и поднявшие его на небывалую высоту, не позволили ему в дальнейшем развиваться в направлении, открытом позже европейской математикой.

Между эпохами Пифагора и Платона и эпохой Нового времени -простирается почти два тысячелетия. Этот длинный интервал ознаменован выдающимися успехами математики. Но прогресс двигался в основном по технической линии. Философия математики также стояла на мертвой точке: она не вышла за рамки пифагореизма в его платонической и неоплатонической интерпретации. Только в XIV-XV веках в Европе началось возрождение творческого математического мышления в арифметике, алгебре и геометрии. Следующие два столетия ознаменовались появлением и развитием совершенно новых 14

математических идей (дифференциального и интегрального исчисления). В эпоху Галилея, Декарта, Спинозы, Ньютона и Лейбница математика снова вышла на передовые позиции по своему влиянию на формирование философских идей.

Математический прогресс был также обусловлен и глубоким изменением философского представления о пространстве и времени. Пространство и Вселенная стали мыслиться как бесконечно протяженные (Декарт). Универсальность и пустота пространства и времени (Ньютон) позволили придать ему посредством координатного метода исчисляемость, что привело к возникновению понятия рационального, а впоследствии - действительного числа. Возникшая вследствие алгебраического подхода к геометрии способность связывать числовыми соотношениями в законах движения время и пространство (и вообще, начала разной природы, что было немыслимо для ученых античности) привела к разработке понятия функции и изучению движения средствами анализа. Главная черта новоевропейской математики - ее числовой характер, объясняющийся, как уже говорилось, общей ориентацией на практические вычислительные и расчетные потребности. Если античная математика созерцает, то новоевропейская - вычисляет.

С середины XIX века развитие математики носит интенсивный характер. Математика приобретает универсальный характер и перестает ассоциироваться с отдельной национальной культурой - она становится мировой. С этого времени не внешние условия обуславливают развитие математики, а она начинает обуславливать общественное развитие: начинается всеобщая математизация культурного мира.

Одной из основных черт XX века становится слияние науки с техникой и производством. Экономические процессы, процессы управления, общественные структуры складываются под непосредственным влиянием математических моделей. Математика становится «метанаукой», твердо удерживая значение неотъемлемого инструмента современной науки.

Примечательная черта современной математики заключается в том, что основное значение в ней приобретают аспекты понятийного, концептуального характера, а моменты вычислительного, формального порядка отходят на второй план. Современный этап математики характеризуется свободой образования направлений внутри уже имеющихся дисциплин. С изменением фактического содержания математики, использованием новых методов исследования и введением нового понятийного аппарата периодически возникает необходимость в

критическом осмыслении и обосновании математики. Особенно необходимо становится использование при таком рассмотрении различных точек зрения и ракурсов (философских, эстетических, социально-культурных и т. д.), что служит дальнейшему развитию и обогащению научного знания.

3. Особенности эпох «кризиса оснований математики» и их роль в формировании и закреплении комплекса современной математической науки.

В истории развития математического знания принято выделять три кризиса оснований математики. Каждый из «кризисов оснований математики», кроме того, что имел задачей подвести итог достигнутого и успешно завершить строение комплекса математического знания, затрагивал философско-эстетические положения на которые оно опиралось.

Первый кризис оснований математики (5 век до н.э.) был вызван открытием несоизмеримых отрезков, т.е. существованием иррациональных чисел. Повышенные требования к строгости теории породили для греков ряд трудностей, заложенных в иррациональных соотношениях. Это, прежде всего, нерешенность основных «античных» математических проблем - задач квадратуры круга, трисекции угла и удвоения куба, над которыми бились поколения математиков еще много столетий спустя. В геометрической теории ограничения вводились использованием циркуля и линейки. Проблемы и ограничения обозначали внутренние границы античной науки, за которые она не могла выходить без того, чтобы не потерять свою идентичность и целостность. Второй причиной, способствующей возникновению кризиса, было обнаружение парадоксов бесконечно малых, открытых в школе элеатов (Зенон). Именно в силу тесной взаимосвязи общих философских представлений с фундаментальными математическими положениями удар, нанесенный Зеноном по философским воззрениям, существенно затронул систему математических знаний.

Преодоление этого кризиса стало возможным в результате создания теории пропорций, изложенной в «Началах» Евклида, и создание Архимедом особого метода исчерпывания (прообраз современных теорий интегрирования). Антиномии, связанные с иррациональными числами, с парадоксами актуальной бесконечности, не позволили античной математике преступить «предел разумности» и пользоваться «запрещенными» методами. В результате она должна была остановиться перед открытиями, составившими будущее европейской 16

математики, такие как исчисление бесконечно малых и начала анализа. Метод исчерпывания, изучение конических сечений, измерение объемов, площадей, кривых, подводившие вплотную к исчислению бесконечно малых, хотя и демонстрировали очевидный прогресс в познании, но грозили разрушению целостности строения античной математики. Вместо дальнейшего развития новых идей последовала потеря к ним интереса.

Эпоха Возрождения демонстрирует яркий пример влияния на математику искусства. Возникновение перспективы, исследование которой в творчестве Альберти и А. Дюрера нашло теоретическое выражение, создало важные предпосылки для развития оптики и проективной геометрии. Архитектурное строительство и его теоретическое осмысление способствуют возрождению интереса к математике. Ключевую роль для открытия новых подходов сыграла идея бесконечности, нашедшая место в понятии «бесконечно малого», «бесконечно удаленной точки» и др. Новая математика представляла собой не просто новые методы решения задач, а прежде всего новые аксиомы, которые обосновывают эти методы. Эти аксиомы имеют онтологический характер: они дают новое, неприемлемое для античности и средневековья, понимание структуры континуума. Превращение зависимостей между величинами в предмет самостоятельного изучения выдвигает на первый план понятие функции, играющую в дальнейшем в математике такую же роль, как и понятие числа. Изучение функциональных зависимостей приводит к основным понятиям математического анализа, вводящим в математику в явном виде идею бесконечного, - к понятиям предела, производной, дифференциала и интеграла.

Третий кризис был спровоцирован чрезмерно свободным оперированием понятием актуальной бесконечности, к которому вернулись с возникновением теории множеств Г. Кантора, отталкивающейся от идеи универсализовать все числовые и пространственные многообразия в единой теоретической модели. Проявлением этого кризиса явилось обнаружение парадоксов (или антиномий) в теории множеств. Что вынудило исследователей обращаться к логическим и

семантическим сторонам языка и активизировать внимание на различении понятий «смысл», «значение», «понимание» и т.п. Кризис оснований возник в результате претензии на «строгое обоснование» математики. Несмотря на ряд достижений, таких как исключение многих спорных представлений, строгое обоснование основных понятий, окончательную разработку формального языка и логических методов, - обоснование математики так и не стало «строгим». Последующие «предложения» предлагали или дополнить теорию множества, или изменить представление о природе числа и математики, или снять проблему. Как и в случае с античной математикой, философский спор о строгости (в XIX - XX веках) задал рамки, в которых было возможно дальнейшее развитие математики. Демонстрируя проблем ность математики, он инициировал ее внутреннее движение и привлек к ней широкое общественное внимание.

На протяжении исторического развития математического знания наблюдается существование зависимости между культурно-социальными, мировоззренческими и эстетическими устремлениями эпохи и темпами развития, выбором приоритетных направлений и линий исследований, выдвижением гипотез и появлением новых открытий в математике. «Кризисы оснований» давали толчок пересмотру не только философских оснований математики (при этом не теряя наработок предшествующих эпох), но и стимулировали поиски новых путей развития самой философской мысли, что в свою очередь оказывало значительное влияние на развитие математической науки. Таким образом, эпохи «кризисов оснований математики» сыграли существенную роль в становлении комплекса современного математического знания.

4. Обоснование тенденции к взаимному сближению математического и философско-эстетического знания в современных условиях, ведущее в перспективе к обогащению объектов и методов каждой из наук.

Вопрос о взаимосвязи математики и философии впервые был задан довольно давно. Аристотель, Бэкон, Леонардо да Винчи, Декарт, Лейбниц, Кант - многие великие умы человечества занимались этим вопросом и достигали выдающихся результатов. Это не удивительно: ведь основу взаимодействия философии с какой-либо из наук составляет потребность использования аппарата философии для проведения исследований в данной области; математика же, несомненно, более всего среди точных наук поддается философскому 18

анализу (в силу своей абстрактности). Наряду с этим прогрессирующая математизация науки, особенно в последние два столетия, оказывает активное воздействие на философское мышление.

Эстетическое в математике имеет глубоко познавательное значение, и его следует рассматривать в том же ряду, что и логическую связь, и внутреннюю согласованность, частей, образующих единую теорию. Эстетические критерии служат реальной основой при оценке значимости теоретического исследования. Одной из причин непреходящей эстетической ценности математики является то, что в организации и функционировании ее структур уже заложена ориентация на выполнение принципа красоты, что подтверждается всей историей развития математического знания.

На основании изученных источников и анализа философско-эстетических категорий красоты и гармонии, рассмотренных с точки зрения понятий, используемых в математике (симметрия, мера и количественные отношения), можно утверждать, что между указанными категориями и понятиями существует тесная взаимосвязь. Об этом свидетельствует исторический обзор использования математических понятий, как в отдельных видах искусства, так и в философских трудах ученых от Античности до Нового времени. Начиная с учения Пифагора, суть которого состояла в том, что математические объекты считаются прообразами эмпирически воспринимаемого мира, их мир наиболее совершенен и, следовательно, самым прекрасным в реальном мире является то, что максимально приближенно к совершенству чисел или геометрических форм, связь категорий философии и эстетики с понятиями математики неразрывно проходит через всю историю европейской культуры.

Взаимосвязь и взаимовлияние эстетики и математики, достигнув своего наивысшего расцвета в эпоху Возрождения, затем теряет достигнутые позиции. В эстетики и искусствознании развиваются и занимают ведущие позиции новые категории и квалификации, несвязанные с количественными соотношениями: живописные пейзажи, прелестные декорации, возвышенная литература. В эпоху Нового времени, эстетика и математика не оказывают никакого заметного влияния на развитие друг друга. На протяжении столетий господствовало убеждение, что произведения искусства прекрасны благодаря своему соответствию правилам, и что только разум способен воспринять их красоту. В теории прекрасного XVIII века вкус вместе с воображением заняли место разума: вкус распознает прекрасное, а воображение его творит. В XIX веке предложен компромисс: вкус и

воображение точно также служат прекрасному, как правила и рациональное мышление. И только в конце XIX - начале XX веков начинается новый этап, новый всплеск интереса к взаимодействию математического знания и эстетики (рациональности и чувственного восприятия).

Аналогия между эстетикой и логикой - это одна из наименее разработанных тем в философии. Подход логического понимания характеризуется тем, что начинают с отдельных деталей и переходят к построению целостной конструкции. Логика начинает с простейших идей и затем сочетает их вместе. Развитие эстетического восприятия происходит в противоположном направлении. Нас захватывает красота здания, мы восхищаемся красотой картины, утонченной структурой предложения. Целое здесь предшествует частностям. В величайших примерах любой формы искусства достигается чудесное равновесие. Тем не менее, примечательно, как часто предварительное изучение деталей, если они сохраняются, оказывается более интересным чем то, как детали окончательно проявляются в законченной работе.

Известно, что изучение математики и ее структур вырабатывает в человеке потребность преодолеть сопротивление между субъективными представлениями и их научным обоснованием. Процесс формирования и развития понятий о математических структурах в основном должен в сжатом виде воспроизводить действительный исторический процесс рождения и становления этих понятий. Тогда при изучении математики происходит воздействие не только на разум человека, но и на его эмоциональную сферу, что способствует лучшему восприятию и более глубокому пониманию самого предмета математики.

Взаимодействие философии, эстетики и математики сыграло значительную роль в разработке и становлении понятий хаоса и порядка, занимающих одну из передовых позиций в современном научном познании. Порядок и неупорядоченность, - объективные свойства действительности. То, что в одной системе выступает как порядок, в другой может вызвать хаос, быть носителем неупорядоченности. Видеть общее в особенном и сохраняющееся в преходящем - такова цель научного мышления. Поэтому естественно, что законы природы - законы порядка - требуют выражения на языке математики.

Важными факторами, обеспечивающими постоянную связь между философией, эстетикой и математикой являются, с одной стороны, наличие внутренних потребностей эстетики в идеях и методах математики, опирающихся на мировоззренческие основания социального

культурной эпохи. Здесь можно выделить несколько направлений поиска математических закономерностей: а) теория перспективы, связанная с возникновением проективной геометрии; б) поиск эмпирических законов красоты, в том числе в исследованиях золотого сечения; в) использование математических образов в технике, конструировании, дизайне; г) экспериментальная эстетика, когнитивная графика и современное компьютерное моделирование объектов. С другой стороны, в самом математическом знании возникают вопросы, выходящие за рамки математических теорий и имеющих отношение к мировоззренческой и эстетической проблематике. Важным моментом этого порядка можно считать педагогические и методические проблемы математики.

Современная эпоха возродила проблему взаимодействия философско-эстетического и математического познания. Исследование этой проблемы служит не только более глубокому пониманию процессов, происходящих в современном научном познании и тенденций в социально-культурной сфере, но ведет к обогащению объектов и методов каждой из наук, открытию новых граней их соприкосновения и взаимопроникновения.

3. НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ ЗНАЧИМОСТЬ ДИССЕРТАЦИОННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ И ЕГО АПРОБАЦИЯ

Идеи, заложенные мыслителями Античности, оказали и продолжают оказывать огромное влияние на развитии культуры и научной мысли человечества.

Изучение тесной связи философии, эстетики и математики позволяет не только получить более глубокое представление об истории развития европейской культуры, но и углубить представление об отдельных видах научного знания, раскрыть законы, которым они подчиняются, выделить особенности их создания и еще немного приблизиться к раскрытию вечной тайны красоты.

Полученные в ходе работы результаты могут быть использованы для улучшения понимания взаимосвязи и взаимопроникновении философии, эстетики и математики, углубления понятия культурообразующих процессов, способствующих развитию математики. Диссертация может представлять интерес для исследовательской работы в области философии, истории и эстетики математики.

Результаты данной работы могут быть использованы для составления учебных программ, общих и специальных курсов по

методологии научного познания; философии, истории и эстетики математики, культурологии.

Апробация работы. Основные идеи диссертации апробированы в докладах на Третьей Международной научно-технической конференции «Электроника и информатика - XXI век» (Москва, МИЭТ, 2000 г.), на Межвузовской конференции студентов и аспирантов (г. Сходня Московской обл. 2001 г. - диплом первой степени), на Международной научной конференции: «Гуманитарные науки и образование: опыт, проблемы, перспективы» (Тольятти, Татищевские чтения: актуальные проблемы науки и практики. - 2004 г.), на 1 межвузовской научной конференции: «Образование, наука и общество в XXI веке» (Москва, МИЭТ, Декартовские чтения - 2005 г.). Диссертация обсуждалась на кафедре философии Московского государственного института электронной техники (технического университета) и рекомендована к защите.

Полученные результаты нашли отражение в научных и методических статьях, тезисах, сообщениях и учебном пособии. Общий объем публикаций по теме диссертации составляет 10,8 п.л.

Основное содержание диссертации изложено в следующих публикациях автора:

1. Романенко Ю.М. Эстетика и математика: Учебное пособие. - М.: Народный учитель, 2005. - 108 с. - 8,2 п.л.

2. Романенко Ю.М. О взаимовлиянии эстетики и математики //Декартовские чтения - 2005: Материалы 1 межвузовской научной конференции «Образование, наука и общество в XXI веке». - М.-МИЭТ, 2005.-С.41-45.-0,3 п.л.

3. Романенко Ю.М. Эстетические аспекты математического знания //Международная научно-практическая конференция «Социально-экономическое развитие общества: система образования и экономика знаний»: Сборник статей. - Пенза, 2004. - С.299-302. -0,15 п.л.

4. Романенко Ю.М. Математика в системе гуманитарного образования //Татищевские чтения- актуальные проблемы науки и практики: Материалы международной научной конференции: «Гуманитарные науки и образование: опыт, проблемы, перспективы». - Тольятти, 2004. - Ч. 1 - С.207-211. - 0,25 п.л.

5. Кузнецова Ю.М. Истоки зарождения музыкальной культуры //Межвузовская конференция студентов и аспирантов «Культура и туризм»: Сборник докладов и сообщений. - М.: Турист, 2001. -С.60-63. - 0,15 п.л.

Кузнецова Ю.М. Развитие категории гармонии от Античности до Нового времени //Философия. Информация. Управление: Сборник научных статей аспирантов. - М.: МИЭТ, 2001. - Вып.2. - С. 16-25. - 0,6 п.л.

Кузнецова Ю.М. Число как эстетическая категория //Восьмая всероссийская межвузовская научно-техническая конференция студентов и аспирантов «Микроэлектроника и информатика -2001»: Тезисы докладов. - М.: МИЭТ, 2001. - С.314 - 317. 0,15 пл. Кузнецова Ю.М. Красота и математика в Древней Греции //Философия. Информация. Управление: Сборник научных статей аспирантов. - М.: МИЭТ, 2000. - Вып.1 - С.38-48. - 0,7 п.л. Кузнецова Ю.М. Математическое творчество и развитие математического знания на современном этапе //Третья Международная научно-техническая конференция «Электроника и информатика - XXI век»: Тезисы докладов. - М.: МИЭТ, 2000. -С.515-518. - 0,15 п.л.

Кузнецова Ю.М. Проблемы образования в период информатизации общества //Седьмая Всероссийская межвузовская научно-техническая конференция студентов и аспирантов «Микроэлектроника и информатика-2000»: Тезисы докладов. - М.: МИЭТ, 2000. - С.255 - 228. - 0,15 п.л.

Подписано в печать:

Формат 60x84 1/16. Уч.-год.л.^. Тираж % 0 экз. Заках14£

Отпечатано в типографии ИПК МИЭТ.

124498, Москва, г.Зеленоград, проезд4806, д.5, стр1, МИЭТ.

РНБ Русский фонд

2006-4 19075

Оглавление научной работы автор диссертации — кандидата философских наук Романенко, Юлия Михайловна

Введение.

Глава 1. Диалектика философско-эстетического и математического познания.

1.1. Гармония Мироздания: философско-ретроспективный анализ

1.2. «Математическая традиция» в философии и эстетике.

1.3. Число как философско-эстетическая категория.

Глава 2. Математика: философско-эстетический ракурс.

2.1. Эволюция философского и математического знания в европейской культуре.

2.2. Философско-эстетическое измерение истины в математике

2.3. Философские аспекты математического творчества.

Введение диссертации2005 год, автореферат по философии, Романенко, Юлия Михайловна

Актуальность исследования обусловлена интеграционными процессами в науке. В истории науки математике всегда отводилось особое место: начиная с Античности с ней связывался идеал научной истины, понятия математики служили основой для развития других наук и закладывались как принципы искусства. На протяжении исторического развития, математическое знание трактовалось как «божественное знание», как чистая деятельность мышления, как строгое и беспристрастное выведение заключений из аксиом и т. д. Математика представляет собой творение человеческого духа, и как один из феноменов культуры подвержена действию эстетических факторов. При рассмотрении эстетических факторов математики необходимо учитывать мировоззренческие и гносеологические аспекты, поэтому в данном контексте более правомерно говорить об философско-эстетических аспектах математического знания. Об философско-эстетических факторах развития математического знания написано много в Античной философии и философии Возрождения. Интерес к этой проблеме вновь возникает в XX в., в частности в философии позитивизма. Существенный недостаток в фундаментальных исследованиях в отечественной философии и эстетики по данному вопросу послужил стимулом к написанию данной диссертации. В работе предпринята попытка проследить взаимосвязь философско-эстетических категорий и понятий математики на протяжении всей истории развития европейской научной мысли, рассмотреть роль научных и философских теорий античных мыслителей, оказавших значительное влияние на своих последователей, и обосновать значимость эстетического взгляда для развития математического знания в целом.

В настоящее время философские и эстетические факторы науки становятся весьма популярной темой исследования. Нельзя отрицать стремление современной философской науки к комплексному осмыслению культуры как социально-духовной целостности. Согласно мнению М.В. Волькенштейна, единство науки и искусства - важнеишии залог последующего развития культуры. Нужно искать и культивировать то, что объединяет науку и искусство, а не разъединяет их» [31, С.138].

В философской литературе по методологии научного познания несколько неохотно обращались к исследованию социально-культурных факторов, среди которых важную роль играют эстетические ориентиры. Очевидно, сама практика развития научного знания не вынуждала исследователей к более глубокому анализу проблемы взаимоотношения науки и философско-эстетических аспектов. Лишь начиная со второй половины XIX века, с дальнейшим подъёмом в начале XX века, а также на современном этапе возрастает интерес к анализу роли философско-эстетического в науке, в частности, в математике. Высокий интерес научного сообщества к этой проблеме и недостаток в фундаментальных исследованиях по данной теме обуславливают высокую актуальность предмета исследования данной диссертации.

В истории развития математики и естественнонаучного знания об окружающем мире, и красоте в явном виде (т. е. говорили, писали, ссылались на неё) в послегалилеевский период обращались создатели новых открытий, новых гипотез, новых теорий: Н. X. Абель, Э. Галуа, Р. Декарт, В. Г. Лейбниц, И. Кант, М. В. Ломоносов, Ч. Дарвин, М. Фарадей, Д. Максвелл, А. Майкельсон, А. Эйнштейн, П. Дирак, А. Пуанкаре, В. Паули, Г. Харди, Г. Вейль, Р. Фейнман, В. Гейзенберг, И. Пригожин, Н. Д. Блохинцев, А. Б. Мигдал, X. Юкава, и многие, многие другие. При этом красоту понимали как гармонию, простоту, симметрию, согласованность, порядок, интуитивную очевидность, ясность, легкость восприятия, истину и др. Ряду ученых казалось интуитивно очевидным, что представления о красоте могут выступать в качестве исходного начала, первоисточника при создании гипотез, аксиом, научных открытий. О гармонии и красоте Мироздания, диалектике порядка и хаоса идеи для написания диссертации почерпнуты из работ Пифагора, Платона, Диогена Лаэртского, И. Кеплера, Г. Лейбница, М. Гутцвиллера, И. Пригожина, И. Стенгерс, В. Татаркевича, Дж. Халлиуэлла, В. С. Асмуса, О. В. Буткевича, В. И. Вернадского, А. В. Воло-шинова, Н. Т. Дмитриевой, И. В. Зотова, В. В. Иванова, И. А. Ильина, В. И. Ко-робко, А. Ф. Лосева, Н. В. Мотрошиловой, М. Ф. Овсянникова, И. Д. Рожанско-го, В. И. Самохваловой, Э. М. Сороко, А. G. Харитонова, С. Н. Шангина, В. П. Шестакова, Е. О. Яковлева.

На протяжении всей истории развития европейской культуры предпринимались многочисленные попытки математического описания и красоты произведений искусства, и гармонии окружающего мира, в том числе и нашими современниками, вносящими посильный вклад в разработку этой тематики. К этой теме обращались Пифагор, Платон, Аристотель, Витрувий, Поликлет, Диоген Лаэртский, Августин, Боэций, Николай Кузанский, Альберти, Л. Пачо-ли, Леонардо да Винчи, А. Дюрер, И. Кеплер, Галилей, Г. Вейль, Е. Вигнер, Д. Пидоу, Х.-О. Патгейн, П. X. Рихтер, Ч. П. Сноу., Г. Е. Тиммердинг, У. Хо-гард, Г. Ф. Хильми, Д. Хэмбидж, Ю. Г. Барабаш, Ю. В. Бромлей, К. П. Бутусов,

A. В. Волошинов, Н. Н. Воробьев, М. Э. Гика, Г. А. Голицин, А. X. Горфункель,

B. П. Григорьев, Г. Д. Грим, К. И. Домбровский, И. А. Евин, О. В. Кириченко, Л. В. Константиновская, В. А. Копцик, А. Ф. Лосев, М. А. Марутаев, Т. М. Махмудов, A.A. Осанов, В. М. Петров, Э. М. Панофский, Ф. А. Пятакович, Б. В. Раушенбах, Э. К. Розенов, Б. А. Рыбаков, Л. А. Сабанеев, В. И. Самохвалова, К. С. Симонян, Ю. Н. Соколов, М. Е. Степанов, И. Ф. Стравинский, В. Н. Топоров, Н. И. Тюленева, О. Н. Ульянова, Ю. А. Урманцев, Е. С. Федер, П. А. Флоренский, П. Л. Чебышев, Л. В. Чхаидзе, В. А. Цуккерман, В.А.Шапошников, И. HL Шевелев, И. П. Шмелев, А. В. Шубников, С. М. Эйзенштейн и другие.

Вопросами математического творчества и исследованием роли интуиции и логики в математике в той или иной степени занимались Ж. Адамар, Р. Ари-хейнм, М. Бунге, Г. Вейль, К. Гедель, Д. Гильберт, М. Клайн, Ж. Лакатос, Д. Пойя, М. Полани, А.Пуанкаре, А. Эйнштейн, В. Ф. Асмус, А. И. Белоусов, В. Э. Войцехович, Ю. И. Манин, С. Ю. Маслов, Г. А. Нуждин, А. С. Родин, Л. Б. Султанова, Е. Л. Фейнберг, И. Р. Шафаревич, В.А.Шапошников, И. М. Яглом и другие.

История развития математического знания, философские основания математики представлены в работах Декарта, Лейбница, Канта, Гегеля, Бурбаки, М. Гарднера, Л. Витгенштейна, К. Кантора, М. Клайна, Ф. Клейна,Ope Остина, X. О. Патгейна, Б. Рассела, П. X. Рихтера, А. Реньи, Д. Стройка, А. Уайтхеда, Г. Фреге, И. М. Яглома, А. Д. Александрова, В. И. Арнольда, В. Ф. Асмуса, А. Г. Барабашева, Е. А. Беляева, В. П. Визигина, В. Э. Войцеховича, П. П. Гайденко, Б. В. Гнеденко, А. Дальма, Н. И. Жукова, C.B. Игнатова, А. Н. Колмогорова, А. Н. Кричевца, Н. Ф. Овчинникова, В. Я. Перминова, Г. И. Рузавина, К. Н. Рыбникова, В. А. Стеклова, П. А. Флоренского, А. Я. Хинчина, В. А. Шапошникова.

Для обоснования взаимосвязи красоты математики и научной истины использовались идеи и произведения Платона, Аристотеля, Прокла, Г. Галилея, Ф. Хатченсона, Ю. Вигнера, В. М. Волькенштейна, М. В. Волькенштейна, Л. П. Воронковой, О. А. Габриэлян, В. Гейзенберга, В. В. Глебкина, Д. П. Горского, А. Л. Калантара, Л. Котиной, С. В. Котиной, В. И. Ленина, Ю. И. Мерз-лякова, А. Б. Мигдала, О. П. Мороза, Л. Н. Столовича, С. А. Яновской.

Методологическая основа исследования. Теоретическими источниками диссертационной работы послужили результаты, накопленные в естествознании, эстетики, философии математики, психологии, синергетики, культурологии, истории философии и математики, отечественной философской литературе последних лет.

Объектом диссертационного исследования является процесс исторического развития математического знания.

Предметом исследования являются философско-эстетические аспекты математического знания.

Цель диссертационного исследования состоит в выявлении и исследовании взаимосвязи математического и философско-эстетического знания в контексте исторического развития европейской культуры. Задачи исследования: проанализировать развитие «математической традиции» в философии и эстетике; провести философско-эстетический анализ исторического развития математического знания; исследовать философские аспекты математического творчества как познавательного процесса; проанализировать проблему истины в математическом знании в фило-софско-эстетическом контексте.

Научную новизну настоящей работы определяют следующие, исследовательские результаты:

• проведен философско-эстетический анализ исторического развития математического знания, что позволило сделать вывод о существовании цикличности во взаимодействия и взаимовлияния математики, философии и эстетики в истории'европейской культуры;

На защиту выносятся следующие положения:

1. Результаты анализа взаимодействия и взаимовлияния математики, эстетики и философии в истории европейской культуры. Во времена античности и средневековья вообще нельзя было разделить математику и философию. Примером тому являются Аристотель и Декарт, которым математики обязаны новыми взглядами на логику и на геометрию. В то же время эти ученые создали собственные философские учения, тесно связанные с их исследованиями в области математики. И обратно, их математические результаты базируются на их философских взглядах и в то же время следуют из них.

Затем наблюдается процесс постепенного обособления различных наук: новые идеи возникают в связи с потребностями практики - математика стала рассматриваться не как врожденное и абсолютное знание, а скорее как знание вторичное, зависящее в своей структуре от некоторых внешних реальностей и это обстоятельство предопределило появление принципиально новой философии математики. Внушительный вклад в математику был связан с философией эмпиризма. Именно в рамках изучения природных процессов стали разрабатываться методы математического описания движения, изменения, текучести, кривизны, измерения объемов, ставших ключевыми в обосновании дифференциального исчисления. Прагматический характер и эмпирическая правильность результатов часто становился для новой философии решающим аргументом для снятия рациональных запретов в математических исследованиях. Вместе с тем, осторожность и критика со стороны сенсуалистической философии (Беркли) в отношении сомнительных философских «прорывов», послужили началом работы над уточнением и строгим обоснованием оснований новой математики.

В XX в. полностью складывается характер требований, связанных со структурой и строгостью обоснования математических теорий, в формировании которых существенную роль сыграла философия. Математика разрабатывается в рамках узко специализированных отраслей, сложившихся в большинстве к концу XIX в. и постоянно возникающих вновь на границах смежных с математикой областей. Все это порождает необходимость использования философского аппарата, и подтверждает тесную взаимосвязь математики и философии на современном этапе развития научного знания. 2. Результаты исследования влияния философских концепций как отражения мировоззренческих оснований культуры на формирование математических понятий.

Философия в сфере математики способствует выработке адекватного понимания математического знания, решению естественно возникающих вопросов о предмете и методе математики, специфики ее понятий. Существует тесная зависимость между математикой и философско-эстетическими устремлениями конкретной социально-культурной эпохи. Так, например, именно философско-мировоззренческие основания, первоначально стимулирующие развитие античного математического знания и поднявшие его на небывалую высоту, не позволили ему в дальнейшем развиваться в направлении, открытом позже европейской математикой.

Между эпохами Пифагора и Платона и эпохой Нового времени - простирается почти два тысячелетия. Философия математики за это время не вышла за рамки пифагореизма в его платонической и неоплатонической интерпретации. В эпоху Галилея, Декарта, Спинозы, Ньютона и Лейбница математика снова вышла на передовые позиции по своему влиянию на формирование философских идей. Но верно и обратное, математический прогресс был обусловлен глубоким изменением философского представления о пространстве и времени. Главная черта новоевропейской математики - ее числовой характер. Если античная математика созерцает, то новоевропейская - вычисляет.

С середины XIX в. развитие математики приобретает интенсивный характер. Математика приобретает универсальный характер и перестает ассоциироваться с отдельной национальной культурой - она становится мировой. С этого времени не внешние условия обуславливают развитие математики, а она начинает обуславливать общественное развитие: начинается всеобщая математизация культурного мира.

Одной из основных черт XX в. становится слияние науки с техникой и производством. Экономические процессы, процессы управления, общественные структуры складываются под непосредственным влиянием математических моделей. Современный этап взаимодействия математики и философии ставит новые задачи (например, философское обоснование проблемы сложности в математике), решение которых позволит плодотворно развиваться каждой из наук.

3. Особенности и роль эпох «кризиса оснований математики» в формировании и закреплении комплекса современной математической науки. Первый кризис оснований математики (V в. до н. э.) был вызван открытием несоизмеримых отрезков, т.е. существованием иррациональных чисел. Второй причиной, способствующей его возникновению, было обнаружение парадоксов бесконечно малых, открытых в школе элеатов (Зенон). Именно в силу тесной взаимосвязи общих философских представлений с фундаментальными математическими положениями удар, нанесенный Зеноном по философским воззрениям, существенно затронул систему математических знаний. Преодоление этого кризиса стало возможным в результате создания теории пропорций, изложенной в «Началах» Евклида, и создание Архимедом особого метода исчерпывания (прообраз современных теорий интегрирования).

Второй кризис оснований математики был порожден противоречивыми результатами в исчислении бесконечно малых, в силу неудовлетворительного обоснования исходных понятий и принципов. Выход из кризиса был связан с отказом от представления об актуально бесконечно малой величине, возвратом к идее потенциальной бесконечности. (Теория пределов О. Коши). Третий кризис был спровоцирован чрезмерно свободным оперированием понятием актуальной бесконечности, к которому вернулись с возникновением теории множеств Г. Кантора. Проявлением этого кризиса явилось обнаружение парадоксов (или антиномий) в теории множеств. Что вынудило исследователей обращаться к логическим и семантическим сторонам языка и активизировать внимание на различении понятий «смысл», «значение», «понимание» и т.п.

4. Обоснование тенденции к взаимному сближению математического и фи-лософско-эстетического знания в современных условиях, ведущее в перспективе к обогащению объектов и методов каждой из наук. Взаимосвязь эстетики и математики, достигнув своего наивысшего расцвета в эпоху Возрождения, затем теряет завоеванные позиции. В эстетике развиваются и занимают ведущие позиции новые категории, несвязанные с количественными соотношениями. В эпоху Нового времени, эстетика и математика не оказывают никакого заметного влияния на развитие друг друга. Современная эпоха возродила проблему взаимодействия философско-эстетического и математического познания. Исследование этой проблемы служит не только более глубокому пониманию процессов, происходящих в современном научном познании и тенденций в социально-культурной сфере, но ведет к обогащению объектов и методов каждой из наук, открытию новых граней их соприкосновения и взаимопроникновения.

Изучение математики и ее структур вырабатывает в человеке потребность преодолеть сопротивление между субъективными представлениями и их научным обоснованием. Процесс формирования и развития понятий о математических структурах в основном должен в сжатом виде воспроизводить действительный исторический процесс рождения и становления этих понятий. Тогда при изучении математики происходит воздействие не только на разум человека, но и на его эмоциональную сферу, что способствует лучшему восприятию и более глубокому пониманию самого предмета математики.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка использованной литературы.

Заключение научной работыдиссертация на тему "Философские и эстетические аспекты математического знания"

4. Результаты исследования проблемы «красоты математики», отраженные в диссертации, косвенно свидетельствует о том, что в настоящее время происходит переход от понятия «красоты» (пассивного её восприятия) к методологическому «принципу красоты» и исследованию факторов, совокупность которых и создает ощущение красоты. Поэтому одна из причин непреходящей эстетической ценности математики связана с тем, что в организации и функционировании ее структур уже заложена ориентация на выполнение принципа красоты, что подтверждается анализом истории развития математического знания.

Заключение

Восходящая к Пифагору идея математического описания Мироздания, получившая новый импульс в труде Исаака Ньютона «Математические начала натуральной философии», достигла ныне своего расцвета. Это связано с процессом взаимного сближения естествознания и гуманитарных наук в XX веке. Не в последнюю очередь возрастание интереса к интуитивно-образной стороне математики связано с исследованиями Ж. Адамара, А. Пуанкаре, В.М. Волькенштейна, В.Э. Войцеховича, В.А. Шапошникова и других.

Высшей целью науки является постижение порядка, управляющего мирозданием и организующего мир в прекрасный Космос, а также постижение гармонии мироздания, определяющей этот порядок. Будучи качественным выражением порядка, гармония играет заглавную роль как в искусстве, так и в науке.

Античность пытается представить и понять мир целостно. Но для того чтобы противостоять напору хаотических стихий вне и внутри человека, необходимо внести в мир идею порядка. Одним из способов онтологической организации мира стало число. Поэтому еще со времен Античности становится очевидным стремление научной мысли связать число с максимально большим количеством проблем, перед которыми останавливался человек на заре философско-научного творчества. Когда же мир уравновешен и его стихии гармонично распределены в пропорционально исчисленных пределах, научное сознание готово к извлечению из него причинно-следственных связей. Идеи, заложенные мыслителями Античности, оказали и продолжают оказывать огромное влияние на развитии культуры и научной мысли человечества.

В истории развития математического знания принято выделять три кризиса оснований математики. Первый кризис оснований математики (V в. до н. э.) был вызван, во-первых, открытием несоизмеримых отрезков, т.е. существованием иррациональных чисел. Во-вторых, обнаружением парадоксов бесконечно малых, открытых в школе элеатов (Зенон). Преодоление этого кризиса стало возможным в результате создания теории пропорций, изложенной в «Началах» Евклида, и создание Архимедом особого метода исчерпывания (прообраз современных теорий интегрирования).

Второй кризис оснований математики был порожден противоречивыми результатами в исчислении бесконечно малых, в силу неудовлетворительного обоснования исходных понятий и принципов. Бесконечно малые стали рассматриваться не как изменяющиеся величины, а как величины актуальные, что привело к тому, что бесконечность выступает не как процесс, а как результат. Выход из кризиса был связан с отказом от представления об актуально бесконечно малой величине, возвратом к идее потенциальной бесконечности.

Третий кризис был спровоцирован чрезмерно свободным оперированием понятием актуальной бесконечности, к которому вернулись с возникновением теории множеств Г. Кантора. Проявлением этого кризиса явилось обнаружение парадоксов (или антиномий) в теории множеств. Что вынудило исследователей обращаться к логическим и семантическим сторонам языка и активизировать внимание на различении понятий «смысл», «значение», «понимание» и т.п.

Каждый из «кризисов оснований математики», кроме того, что имел задачей подвести итог достигнутого и успешно завершить строение комплекса математического знания, затрагивал философско-эстетические положения на которые оно опиралось. Как и в случае с античной математикой, философский спор о строгости (XIX - XX вв.) задал рамки, в которых было возможно дальнейшее развитие математики. Демонстрируя проблемность математики, он инициировал ее внутреннее движение и привлек к ней широкое общественное внимание.

Основные теоретические выводы по теме исследования сводятся к следующим положениям.

1. Щей, заложенные еще мыслителями. Древней Греции, оказали и продолжают оказывать огромное влияние на развитии культуры и научной мысли человечества. Результаты проведенного в исследовании историко-философского анализа являются свидетельством целостного видения античной культуры в ее неразрывных связях с современностью.

2. Тезис о единстве в многообразии красной нитью проходит через всю историю философии и эстетики вплоть до наших дней. Таким образом, следует что, математика, устанавливающая унификацию сущностей в многообразии явлений, обладает огромным эстетическим потенциалом, что дает право говорить о красоте самой математики. Одной из причин непреходящей эстетической ценности математики является то, что в организации и функционировании ее структур уже заложена ориентация на выполнение принципа красоты, что подтверждается всей историей развития математического знания.

3. Между философско-эстетическими категориями красоты и гармонии/ и понятиями математики (число, симметрия, мера, количественные отношения, порядок, хаос) существует тесная взаимосвязь, которая неразрывно проходит через всю историю европейской культуры.

4. Проведенное исследование свидетельствует о существовании цикличности во взаимодействии и взаимовлиянии математики, философии и эстетики в истории европейской культуры, а также тенденции к сближению категорий и методов математики, философии и эстетики в современных условиях, что в перспективе приведет к взаимному обогащению каждой из наук.

5. Важными факторами, обеспечивающими постоянную связь между философией, эстетикой и математикой являются, с одной стороны, наличие внутренних потребностей эстетики в идеях и методах математики, опирающихся на мировоззренческие основания социально-культурной эпохи. Здесь можно выделить несколько направлений поиска математических закономерностей: а) теория перспективы, связанная с возникновением проективной геометрии; б) поиск эмпирических законов красоты в работах Леонардо, Дюрера, Эйлера, Клейна и многих других, в том числе в исследованиях золотого сечения; в) использование математических образов в технике, конструировании, дизайне (Жуковский, Эйфель, Корбюзье); г) экспериментальная эстетика, когнитивная графика и современное компьютерное моделирование объектов.

С другой стороны, в самом математическом знании возникают вопросы, выходящие за рамки математических теорий и имеющих отношение к мировоззренческой и эстетической проблематике. Важным моментом того же порядка можно считать педагогические и методические проблемы математики.

6. Проблемы «красоты математики» и особенностей природы математического знания, математического творчества и математической истины ставят новые исследовательские задачи, которые не представилось возможным раскрыть в данной работе: а) образность математики как одна из граней ее красоты; б) развитие математических образов от античности до современности и их влияние на развитие философской культуры; в) неадекватность понятий простоты и красоты в математики на современном этапе развития научного знания и другие.

Список научной литературыРоманенко, Юлия Михайловна, диссертация по теме "Философия науки и техники"

1. Адамар Ж. Исследование психологии изобретения в области математики. -М.: Советское радио, 1970. - 152 с.

2. Александров А. Д. Математика //Философская энциклопедия. М.: Советская энциклопедия, 1964. - 583 с.

3. Альберти Л.-Б. Десять книг о зодчестве. М.: Военно-воздушная академия, 1935.-318 с.

4. Античные мыслители об искусстве. М.: Издательство П.М., 1938. - 244 с.

5. Аристотель. Сочинения в 4-х тт. М.: Мысль, 1975 -1984.

6. Арнольд В.И. Математика с человеческим лицом //Природа. 1988. - №3. -С.22-26.

7. Асмус В.Ф. Проблема интуиции в философии и математике. М.: Мысль, 1965. - 88 с.

8. Барабашев А.Г. Будущее математики. Методологические аспекты прогнозирования. М. : Наука, 1991. - 187 с.

9. Белоусов А.И. Эстетика и топология //Стили в математике: социокультурная философия математики /Под ред. А.Г.Барабашева. СПб.: РХГИ, 1999. -С. 172-187.

10. Ю.Беляев Е.А., Перминов В.Я. Философские и методологические проблемы математики.-М.: МГУ, 1981.-217 с.

11. Биологическая продуктивность и круговорот химических элементов в растительных сообществах. Л.: Мысль, 1971. - 142 с.

12. Бор Н. Атомная физика и человеческое познание. М.: Наука, 1961. - 122 с.

13. Борн М. Физика в жизни моего поколения. М.: Иностранная литература, 1972.-453 с.

14. Бромлей Ю. В. Очерки теории этноса. М.: Наука, 1983. - 154 с.

15. Бунге М. Интуиция и наука. М.: Мысль, 1967. - 244 с.

16. Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М.: Иностранная литература, 1963.-365 с.

17. Буткевич O.B. Красота. Jl.: Художник РСФСР, 1979. - 440 с.

18. Бутусов К.П. Золотое сечение в Солнечной системе //Проблемы исследования Вселенной. Л.: Наука, 1978. - Вып. 7. - С. 475-499.

19. Вейль Г. Математическое мышление. М.: Наука, 1989. - 438 с.

20. Вейль Г. Симметрия. М.: Едиториал УРСС, 2003. - 192 с.

21. Вернадский В.И. Избранные труды по истории науки. М.: Наука, 1981. -356 с.

22. Вигнер Е. Инвариантность и законы сохранения. Этюды о симметрии. — М.: Едиториал УРСС, 2003. 155 с.

23. Вигнер Ю. Непостижимая эффективность математики в естественных науках //Успехи физических наук. -1968. Т. 94. - Вып. 3. - С.535-546.

24. Визигин В.П. Дирак и проблема взаимосвязи физики и математики //Исследования по истории физики и механики. -М.: Наука, 1988. С. 88-106.

25. Витгенштейн Л. Логико-философский трактат. М.: Гносис, 1994. - 286 с.

26. Витрувий М.П. Десять книг об архитектуре. М.: Искусство, 1936. - 568 с.

27. Войцехович В.Э. Господствующие стили математического мышления //Стили в математике: социокультурная философия математики /Под ред. А.Г. Барабашева. СПб.: РХГИ, 1999. - С.495-505.

28. Волошинов A.B. Математика и искусство. М.: Просвещение, 2000. - 399 с.

29. Волошинов A.B. Онтология красоты и математические начала искусства: Автореф. дисдокт. фил ос. наук. Саратов, 1992. - 48 с.

30. Волькенштейн В.М. Опыт современной эстетики. М.: Искусство, 1931. -188 с.

31. Волькенштейн М.В. Познание и творчество //Вопросы философии. 1976. -№12.-С.137-141.

32. Воробьев H.H. Числа Фибоначчи. М.: Наука, 1984. - 88 с.

33. Воронкова Л.П. В поисках истины и красоты (культурология П.А. Флоренского). -М.: Мысль, 1992. 111 с.

34. Габриэлян O.A. Математика как феномен культуры. Ереван: Академия наук Арм.ССР, 1990. - 198 с.

35. Гайденко П.П. История новоевропейской философии в ее связи с наукой. -М.: Университетская книга, 2000. 456 с.

36. Гайденко П.П. Эволюция понятия науки. М.: Наука, 1980. - 386 с.

37. Галилей Г. Избранные труды. М.: Просвещение, 1964. - 244 с.

38. Галилей Г. Пробирных дел мастер. М.: Наука, 1987. - 108 с.

39. Гарднер М. Математические новеллы. М.: Мир, 1974. - 393 с.

40. Гегель Г. Соч. в 14 тт. М.-Л.: Соцэкгиз, 1929-1959.

41. Гейзенберг В. Значение красоты в точной науке //В.Гейзенберг Шаги за горизонт. М.: Мысль, 1989. -269 с.

42. Гейзенберг В. Смысл и значение красоты в точных науках //Вопросы философии. -1979. № 12. - С.49-60.

43. Гейзенберг В. Физика и философия. М.: Наука, 1989. - 278 с.

44. Гика М. Эстетика пропорций в природе и искусстве. М.: Издательство академии архивов, 1936. - 236 с.45 .Гильберт Д. Математическое мышление //Методологический анализ оснований математики. М.: Мир, 1988. - 468 с.

45. Гнеденко Б.В. Введение в специальность математика. М.: Наука, 1991. -183 с.

46. Гносеологический анализ математической науки //Сборник научных трудов Киев: Наукова думка, 1985. - 130 с.

47. Горский Д.П. О критериях истины //Вопросы философии. 1988. - №2. -С.38.

48. Горфункель А.Х. Философия эпохи Возрождения. М.: Высшая школа, 1980.-376 с.

49. Григорьев В.П. Образ числа //Грамматика идиостиля В. Хлебникова. М.: Наука, 1983.-С. 119-130.

50. Грим Г.Д. Пропорциональность в архитектуре. М., Ленинград,: ОНТИ, 1935.-148 с.

51. Дальма А. Эврист Галуа. Революционер и математик. М.: Политиздат, 1984.-115 с.53 .Диоген Лаэртский. О жизни, учениях и изречениях знаменитых философов. М.: Мысль, 1979. - 422 с.

52. Дмитриева Н. О прекрасном. М.: Мир, 1960. - 177 с.

53. Домбровский К.И. Еще раз о законе планетарных расстояний //Бюллетень ВАГО. -1956. №17. - С.24-32.

54. Дюрер А. Дневники, письма, трактаты в 2-х тт. М.-Л.: Искусство, 1957.

55. Евин И.А. Искусство и синергетика. М.: Едиториал, 2004. - 164 с.

56. Евин И.А. Синергетика мозга и синергетика искусства. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. - 164 с.

57. Жуков Н.И. Философские проблемы математики. Минск: Наука,1977. -95 с.бО.Зотов И. Природа прекрасного. М.: Мир, 1965. - 89 с.

58. Иванов В.В. Категория времени в искусстве и культуре XX в. //Ритм, пространство и время в литературе и искусстве. Сборник статей. - М.: Наука, 1974. - С.76-91.

59. Игнатов C.B. Социально-культурные факторы развития математического знания: Автореф. дис. канд. филос. наук. М., 1999. - 23 с.63 .Ильин И.А. Эстетика гармонии и числа //История искусства и эстетики. М.: Искусство, 1983.-С.221-252

60. Калантар А.Л. Красота истины. Об эстетическом начале научного познания. Ереван: Издательство Академии Наук АрмССР, 1980. - 185 с.

61. Кант И. Сочинения в 6-ти тт. М.: Мысль, 1966.

62. Кеплер И. Гармония мира //Уэвель В. История индуктивных наук. СПб.: Мир, 1986. - Т.З. - С.56-72.

63. Кеплер И. О шестиугольных снежинках. М.: Наука, 1983. - 192 с.

64. Клайн M. Математика. Утрата определенности. М.: Мир, 1984. - 452 с.

65. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XX столетии. М.-Л.: Наука, 1937.-452 с.

66. Колмогоров А.Н. Математика в ее историческом развитии. М.: Мысль, 1991.-398 с.

67. Константиновская Л.В. Положение планет и долгосрочное прогнозирование солнечной активности //Цикл, процессы в природе и обществе. Ставрополь, 1994. - Вып. 3.- С.34-36.

68. Коробко В.И. Золотая пропорция: некоторые философские аспекты гармонии. М.: Издательство ассоциации строительных ВУЗов, 2000. - 204 с.

69. Коробко В.И. Золотая пропорция и проблемы гармонии систем. М.: Издательство ассоциации строительных ВУЗов, 1997. - 373 с.

70. Котина Л. Красота сияние истины. - М.: МФТИ, 1992. - 141 с.

71. Котина C.B. Действие принципа красоты в организации и построении естественнонаучной теории //Философские исследования. 1999. - №2. - С. 132145.

72. Котина C.B. Одна из причин неприходящей эстетической ценности математики //Философские исследования. -1998. №4. - С. 172-195.

73. Котина C.B. Поиск красоты. Роль эстетических ориентиров в формирующейся научной теории. М.: Вестком, 2002. - 223 с.

74. Красота и мозг. Биологические аспекты эстетики. М.: Мир, 1995. - 144 с.

75. Кричевец А.Н. В какой математике возможны стили математического мышления? //Стили в математике: социокультурная философия математики /Под ред. А.Г. Барабашева. СПб.: РХГИ, 1999. - С.49-59.

76. Кузанский Н. Соч. в 2-х тт. М.: Мысль, 1979-1980. - Т.\г 200е., Т2 - 245с.

77. Кузин Ф.А. Кандидатская диссертация. Методика написания, правила оформления и порядок защиты. М.: Ось-89, 2001. - 224 с.

78. Кузнецов Б.Г. Эйнштейн. М.: Наука, 1979. - 262 с.

79. Лейбниц Г. Соч. в 4-х тт. М.: Мысль, 1982.

80. Ленин В.И. Полное собрание сочинений. 5-е изд. - М., 1978.

81. Леонардо да Винчи. Избранные произведения. М.: АСТ, 2000. - 704 с.

82. Лосев А.Ф. Числовая и структурная терминология в греческой эстетике периода ранней классики //Вопросы античной литературы и классической филологии. М.: Наука, 1966. - С.29-44.

83. Лосев А.Ф. История античной эстетики в 8-ми тт. М.: Мир, 1963-1992.

84. Лосев А.Ф. История античной эстетики. Софисты. Сократ. Платон. М.: Искусство, 1969. - Т.З - 313 с.

85. Лосев А.Ф. Музыка как предмет логики //Лосев А.Ф. Самое само. М.: Экс-мо, 1999. -С.63 5-823

86. Лосев А.Ф. Очерки античного символизма и мифологии. М.: Наука, 1930. -340 с.

87. Луи де Бройль. По тропам науки. М.: Издательство иностранной литературы, 1962.-326 с.

88. Манин Ю.И. Теорема Геделя //Природа. -1975. №2. - С.76-82.

89. Маркс К., Энгельс Ф. Сочинения.-Т.20. -М.: Мысль, 1976.-586 с.

90. Мартин К. Гутцвиллер Квантовый хаос //В мире науки. 1992. - №3. -С. 14-21.

91. Марутаев В.М. Приблизительная симметрия в музыке //Проблемы музыкальной науки. М., 1978. - Вып. 4. - С.306-343.

92. Маслов С.Ю. Асимметрия познавательных механизмов и ее следствия. //Вопросы семиотики. -1983. Вып. 20. - С.3-34.

93. Маслов С.Ю. Теория поиска вывода и вопросы психологии творчества. //Вопросы семиотики. -1979. Вып. 13. - С. 17-47.

94. Махмудов Т.М., Петров В.М Вопросы методологии эстетического анализа искусства. Ташкент: Фан, 1984. - 266 с.

95. Мерзляков Ю.И. Послесловие редактора //Дальма А. Эврист Галуа. Революционер и математик. М.: Политиздат, 1984. - С. 109-110.

96. Мигдал А.Б. О красоте науки //Наука и жизнь. №3. - 1983. - С.59-71.

97. Мигдал А.Б. Поиски истины. М.: Молодая гвардия, 1983. - 239 с.

98. Мороз О.П. Прекрасна ли истина? М.: Знание, 1989. - 208 с.

99. Мотрошилова Н.В. Познание и общество. Из истории философии 17-18 вв. М.: Мысль, 1969. - 279 с.

100. Мотрошилова Н.В. Рождение и развитие философских идей. М.: Мысль, 1991.-422 с.

101. Нильс Бор. Жизнь и творчество. М.: Политиздат, 1967. - 216 с.

102. Нуждин Г.А. Математическая деятельность как понимание //Стили в математике: социокультурная философия математики /Под ред. А.Г. Барабаше-ва. СПб.: РХГИ, 1999. - С.213-226.

103. Облолиевский Л.Д. Французский символизм. М. Наука, 1973. - 304 с.

104. Овсянников М.Ф. История эстетической мысли. М.: Высшая школа, 1984.-378 с.

105. Пайтген Х.-О., Рихтер П.Х. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем. М.: Мир, 1993. - 196 с.

106. Панофский Э. Галилей: наука и искусство (эстетические взгляды и научная мысль) //У истоков классической науки. М.: Наука, 1968. - 154 с.

107. Пидоу Д. Геометрия и искусство. М.: Мир, 1979. - 332 С.

108. Пирс Дж. Электроны, волны и сообщения. М.: Физматгиз, 1961. - 300 с.

109. Петров В.М. Количественные методы в искусствознании. Пространство и время художественного мира. М.: Смысл, 2000. - Выпуск 1. - 204 с.

110. Платон. Сочинения в 3-х тт. М.: Мысль, 1968-1972. - Т.З. - Ч. 1. - 495 с.

111. Платон. Филеб. Государство. Тимей. Критий. М.: Мысль, 1999. - 656 с.

112. Поиск методов прогнозирования литературы и искусства /Под ред. Ю.Г. Нигматуллиной. Казань, 1988. - 152 с.

113. Полани М. Личностное знание. М., 1985. - 342 с.

114. Пригожин И. Время, структура и флуктуации (Нобелевская лекция) //Успехи физических наук. -1980. Т. 131. - Вып.2. - С. 185-207.

115. Пригожин И. От существующего к возникающему: время и сложность вфизических науках. М.: Наука, 1985. - 327 с.

116. Пригожин И. Стенгерс И. Возвращенное очарование мифа //Природа. -1986. №2. — С.86-95.

117. Пригожин И. Стенгерс И. Порядок из хаоса: новый диалог человека с природой. М.: Прогресс, 1986. - 432 с.

118. Пригожин И. Философия нестабильности //Вопросы философии. — 1991. — №6. С.46-52.

119. Пуанкаре А. Математическое творчество //Ж. Адамар Исследование психологии изобретения в области математики.- М.: Советское радио, 1970.• С.135-145.

120. Пуанкаре А. О науке. М.: Наука, 1983. - 317 с.

121. Пятакович Ф.А. Циклически управляемая бинокулярная синхроцвето-стимуляция //Циклические процессы в природе и обществе. Золотая пропорция и проблемы гармонии систем. Ставрополь, 1994. - Вып. 3. -С.67-70.

122. Раушенбах Б.В. Пространственные построения в живописи (Очерк основных методов). М.: Наука, 1980. - 288 с.

123. Реньи А. Диалоги о математике. М.: Высшая школа, 1969. - 78 с.

124. Родин А. Математика и стиль //Стили в математике: социокультурная философия математики /Под ред. А.Г. Барабашева. СПб.: РХГИ, 1999. -С.25-37.

125. Рожанский И.Д. Развитие естествознания в эпоху античности. М.: Наука, 1979.-388 с.

126. Розенов Э.К. Динамика музыки и речи М.: Искусство, 1927. - Кн. IV -156 с.

127. Рузавин Г.И. О природе математического знания. М.: Мысль, 1968. -304 с.

128. Рыбаков Б.А. Архитектурная математика древнерусских зодчих //Советская археология. 1957. - № 1. - С.83-112.

129. Рыбников К.Н. Возникновение и развитие математической науки. М.: Наука, 1987.-171 с.

130. Сабанеев Л. Этюды Шопена в освещении закона золотого сечения //Искусство. М.: Искусство, 1923-1927. - %/с.

131. Самохвалова В.И. Красота против энтропии (введение в область мегаэ-стетики). М. Наука, 1990. - 176 с.

132. Семиотика и искусствометрия. (Современные зарубежные исследования) /Под ред. Ю.М. Лотмана, В.М. Перова. М.: Мир, 1972. - 432 с.

133. Симонян К.С. Перитонит. М.: Здоровье, 1971. - 78 с.

134. Сноу Ч.П. Две культуры. М.: Прогресс, 1973. - 278 с.

135. Соколов Ю.Н. Цикл как основа мироздания. Ставрополь: Мысль, 1995. -123 с.

136. Соловьев Вл. С. Сочинения в 2-х тт. М.: Мысль, 1988.- П -Т.г.^3

137. Сороко Э.М. Структурная гармония систем. Минск: Наука и техника, 1984.-365 с.

138. Стеклов В.А. Математика и ее значение для человечества. Берлин: ПГ-М, 1923.-137 с.

139. Стили в математике: социокультурная философия математики /Под ред. А.Г. Барабашева- СПб.: РХГИ, 1999. 552 с.

140. Столович Л.Н. Красота. Добро. Истина. Очерк истории эстетической аксиологии М. Республика, 1994. - 463 с.

141. Стравинский И.Ф. Хроника моей жизни. Л.: Музизд., 1963. - 167 с.

142. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики. М.: Наука, 1984. -288 с.

143. Султанова Л.Б. Роль интуиции и неявного знания в формировании стиля математического мышления //Стили в математике: социокультурная философия математики /Под ред. А.Г. Барабашева. СПб.: РХГИ, 1999. -С.66-76.

144. Татаркевич В. История шести понятий. М.: Дом интеллектуальной книги, 2002.-373 с.

145. Татаркевич В. Относительность двух понятий прекрасного //Философия науки. -1978. № 3. - С. 132-148.

146. Тиммердинг Г.Е. Золотое сечение. Петроград: научное книгоиздательство, 1924. - 86 с.

147. Топоров В.Н. О числовых моделях в архаических текстах //Структура текста. Сборник статей М.: Наука, 1980. - С.3-58.

148. Топоров В.Н. Числа //Мифы народов мира- М., Советская археология, 1982. Т.2. - С.446-464

149. Торшилова Е.М. Можно ли поверить алгеброй гармонию? (Критический очерк экспериментальной эстетики). М.: Искусство, 1988. - 208 с.

150. Тутубалин В.Н., Барабашева Ю.М. Григории A.A., Девяткова Г.Н., Угер Е.Г. Математическое моделирование в экологии. Историко-методологический анализ. М.: Языки русской культуры, 1999. - 456 с.

151. Тюленева Н.И. Модель гармонических рядов //Материалы 3 международной конференции: Циклы природы и общества. Ставрополь, 1995. -С.75-77.

152. Уайтхед А.Н. Избранные работы по философии. М.: Мысль, 1990. -678 с.

153. Ульянова О.Н. Проблемы числа в истории эстетики: Автореф. дис. . канд. философ, наук Ленинград, 1987. - 24 с.

154. Урманцев Ю.А. Симметрия природы и природа симметрии. М.: Мысль, 1974.-229 с.

155. Федер Е. Фракталы. М.: Мир, 1991. - 260 с.

156. Фейман Р. Лейтон Р. Сэндс М. Феймановские лекции по физике. М.: Мир, 1965. - Вып. 4. - 201 с.

157. Фейнберг Е.Л. Взаимосвязь науки и искусства в мировоззрении Эйнштейна //Вопросы философии. -1979. № 3. - С.34-65.

158. Фейнберг Е.Л. Две культуры: интуиция и логика в искусстве и науке.1. M.: Наука, 1992.-288 с.

159. Фейнберг ЕЛ. Роль интуиции //Вопросы философии. 1976. - №12. -С. 122-125.

160. Флоренский П.А. Пифагоровы числа //Практикум по знаковым системам. Тарту: издательство ТГУ, 1971. - Вып. 5. - С.504-512.

161. Фреге Г. Основоположения арифметики (логико-математическое исследование о понятии числа). Томск: Знание,2000. - 165 с.

162. Фуко М. Слова и вещи. Археология гуманитарных наук. М.: Прогресс, 1977.-488 с.

163. Халлиуэлл Дж. Квантовая космология и происхождение Вселенной //В мире науки. -1992. №2. - С. 16-24.

164. Харитонов A.C. Идея гармонии хаоса и порядка как путь к разработкам новых технологий //Экологические системы и приборы. 2001. - №1. -С.61-69.

165. Хатчесон Ф. Юм Д. Смит А. Эстетика. М.: Искусство, 1973. - 302 с.

166. Хильми Г.Ф. Говорящие ночи (поэтическое обобщение научной концепции) //Поэзия науки. М.: Наука, 1980. - С. 176-239.

167. Хинчин А.Я. Частотная теория Мизеса и современные идеи теории вероятностей //Вопросы философии. 1961. - №1. - С.91-102; №2. - С.77-89

168. Хогарт У. Анализ красоты. M.-JL: Искусство, 1958. - 338 с.

169. Хэмбидж Д. Динамическая симметрия в архитектуре. М., 1936. - 156 с.

170. Цицерон. Философские трактаты. М.: Наука, 1985. - 240 с.

171. Чесноков C.B. Основы гуманитарных измерений. М.: Наука, 1985. -122 с.

172. Чхаидзе JT.B. О реальном значении мотива трех карт в Пиковой даме //Пушкин. Исследования и материалы. M.-JL: Издательство Академии Наук СССР, 1960. - Т.З. - С.455-460.

173. Шангин С.Н. Философско-эстетические проблемы гармонии: Автореф. дис. . канд. филос. ннаук-Москва, 1981.-23 с.

174. Шапошников В.А. Математическая мифология и пангеометризм //Стили в математике: социокультурная философия математики /Под ред. А.Г. Бара-башева. СПб.: РХГИ, 1999. - С. 139-161.

175. Шапошников В.А. Математические понятия и образы в философском мышлении: Автореф. дис. канд. философ, наук Москва, 1996. - 24 с.

176. Шафаревич И.Р. Математическое мышление и природа //ВИЕТ. 1996. -№1. -С.23-47.

177. Шевелев И.Ш. Логика архитектурной гармонии. Кострома: Знание, 1973.-244 с.

178. Шевелев И.Ш., Шмелев И.П., Марутаев М.А. Золотое сечение. Три взгляда на природу гармонии. М.: Стройиздат, 1990. - 343 с.

179. Шестаков В. П. Эстетические категории: опыт систематического и исторического исследования. М.: Искусство, 1983. - 358 с.

180. Шпенглер О. Закат Европы: очерки морфологии мировой истории: в 2 тг.-М.: Мысль, 1993-1998. ~ ТУ. ~(3>2Чс\ т.2. -U/SО

181. Шубников A.B. Копцик В.А. Симметрия в науке и искусстве. М.: Наука, 1972.-340 с.

182. Эйзенштейн С. М. Избранные сочинения. М.: Мысль, 1966. - Т.З. -344 с.

183. Эйнштейн А. Собрание научных трудов в 4-х тт. М. Наука, 1965-1967.

184. Эйнштейн А. Физика и реальность //Собрание научных трудов в 4-х тт. -М., 1967.-Т.4.-444 с.

185. Эстетика Ренессанса в 2-х тт. М.: Искусство, 1981.

186. Яглом И.М. Почему высшую математику открыли одновременно Ньютон и Лейбниц? //Число и мысль.- М., 1983. Вып. 6. - С.99-125.

187. Яковлев Е. О системе основных эстетических категорий (опыт теоретического анализа) //Философия науки 1977. - № 1. - С.42-56.

188. Яновская С.А. О роли математической строгости в истории творческого развития математики и специально о «геометрии» Декарта //Исследованиелогических систем. М.: Знание, 1970. - С.27-88.

189. Bergman G. A number system with an irrational base //Mathematics Magazin. 1951.-№31.-P.98-119.

190. Gottlieb C. Harmony and Discord in the visual Arts //Proceedings of the 4 International Aesthetic Congress. Athens. - P.44-78.

191. Graham R.L. Rothschild B.L. Spencer J.H. Ramsey Theory. Oxford: Blackwell, 1978.

192. Grosholz E. Plato and Leibniz against the Materialists //http://muse.jhu.iournal of the history of ideas <1.09.2000>.

193. Hudson R.G. Discoveries, When and By Whom? /ЛЪе British Journal for the PHILOSOPHY OF SCIENCE. march 2001. - Volum 52. - № 1.

194. Osborne H. Aesthetic and other Forms of order //The British Journal of Aesthetics. -1982. Vor 22. - № 1. - р.ф5б