автореферат диссертации по философии, специальность ВАК РФ 09.00.01
диссертация на тему: Философские проблемы отражения диалектики бесконечности в науке

Полный текст автореферата диссертации по теме "Философские проблемы отражения диалектики бесконечности в науке"

/у рз

. КУЙБЫШЕВСКИЙ Г0СУДОРСГВЕ11ШЙ УНИВЕРСИТЕТ

Специализированный совет Д ОбЗЭЮТ

ФЮЮОЗгСКИЕ ПРОБЛЕМЫ ОТРАЖЕНИЯ ДИАЛЕКТИКИ БЕСКОНЕЧНОСТИ В НАУКЕ

09.00.01 - диалектический и исторический материализм

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени доктора философских наук

и

На правах рукописи

Бурова Ирина Николаевна

УДД 100.4

Куйбышев - 1988

Работа выполнена на кафедре философии Академии наук СССР

Официальные оппоненты

Доктор философских наук, профессор АСКИН ЯЛ, Доктор философских наук, профессор ДШШЕШй П.И. Доктор философских наук, профессор ЗОТОВ кЛ.

Ведущая организация - Институт истории естествознания и техники Академии наук СССР

Защита состоится " "_- ' года

в_часов на заседании специализированного совета

Д 0639401 по философским наукам при Куйбышевском государственном университете. .

Адрес: 443011, Куйбышев, ул. Академика Павлова, I, Аудитория 203.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке куйбышевского государственного университета. .

Автореферат разослан _ ГОД®»

Учёный секретарь специализированного совета, кандидат ,

философских наук (Уои-^*!*I г Синъбухова В,Ц.

ОНЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИИ

Актуальность темы исследования. О значении диалектики для теоретического мышления, как известно, писал еще Ф.Энгельс Но углубление и развитие содержания диалектики необходимо не только для науки, а также и для 'практического строительства и обновления социальной жизни. "Новое мышление, которым всем надо овладеть, - го-

о

ворит М.С.Горбачев, - это диалектическое мышление .

Процесс теоретического совершенствования диалектики может идти различными путями. Во-первых, такой путь лежит через анализ историй философии и истории науки. В.И.Ленин придавал большое значение диалектическому изучению истории науки, считая, что это "чрезвычайно благодарная задача", что история науки должна входить в теорию познания и диалектику. Он писал: "Продолжение дела Гегеля и Маркса должно состоять в диалектической обработке истории человеческой мысли, науки и техники . Во-вторых, развитие диалектики . происходит тогда, когда анализируют процесс отражения в науке, его сложные, противоречивые стороны. При этом диалектика обнаруживается как в самом этом процессе, так и в сущности изучаемого предмета. Анализ процесса отражения может быть расчленен как в зависимости от его уровня', так я от его предмета. В-данной работе анализ процесса отражения будет ограничен теоретическим уровнем отражения, который осуществляется в научном познании. Лишь в историческом плане будет затронут вопрос о донаучном и вненаучном уровне отражения. Предмет отражения здесь также ограничен содержанием бесконечности, ее диалектикой. Этот предмет выбран потому, что бесконечность является одной из существенных проблем в науке. Она содержит в себе одно из наиболее общих диалектических противоречий, делающих ее внутренней-движущей силой развития тех наук, в которых она является необходимой. Например, даже далекий от диалектики ученый Г.Вейль (13851955) писал, что противоречие конечного и бесконечного всегда определяло и определяет "ход развития теоретического познания" 4.

1 Маркс К. и Энгельс Ф. Соч., 2-е изд. - Т.20. С.382.

2 Горбачев М.С. Речь на Всесоюзном совещании заведующих кафедрами общественных наук // Избр. речи и статьи. - М.: Политиздат, 1987 _ Т 4 С 112

3 Ленин В.и! Полн.собр.соч. - Т.29. - М,, 1969. С.131.

4 Вейль Г. 0 философии математики. - М.; Л.: ГТТИ, 1934.С.9. См. также // Вейль Г. Избр, труды. - М.: Наука, 1984. С.274.

О необходимости решать проблему отражения объективной бесконечности в математической науке, в связи с "возникающими здесь трудностями" писал А.Н.Колмогоров, поскольку, как он считал, "вопрос о характере и, так сказать, механизме этого отражения, недостаточно разработан" Бесконечность изучается таете в физике, где она в основном предстает в настоящее-время как проблема структуры материи, как соотношение прерывного и непрерывного, волновых и корпускулярных свойств материи и т.п. В космологии, в астрономии бесконечность также является с давних пор предметом изучения - при постановке вопроса о пределах окружающего мира и т.д.

Проблема бесконечности является одной из центральных в самой философии, так как она - одна из главных характеристик самого объективного бытия и потому является практически неисчерпаемой для познания. При этом важно, что закономерности отражения конечного и бесконечного являются общими для отражения и других диалектических противоречий, и потому также исследование их в данной конкретной $орме имеет значение для становления диалектики, в частности, для'познания диалектики самого отражения, не только по отношению к данным категориям, а и для всех категорий вообще.

Поскольку бесконечность является такой категорией, которая обогащается многими науками б течение многих веков, то уже поэтому она достойна подробного и специального рассмотрения. Вопросы истинности, адекватности, методов познания бесконечности философией и частными науками стоят постоянно.

Актуальность проблемы отражения бесконечности обусловлена также и большой сложностью этого процесса. Причины этой сложности заключаются в том, что, во-первых, объективная бесконечность диалектически противоречива, как противостоящая конечному в различных аспектах. Во-вторых, бесконечность недоступна непосредственной практике человека и может познаваться лишь косвенно, через конечные объекты. В-третьих, сложность отражения объективной бесконечности заключается еще и в том, что многие ученые до сих пор не принимают диалектических противоречий, в том числе и противоречия конечного и бесконечного.

Противоречия бесконечности конкретизируются, обогащаются

I Колмогоров А.Н, Аксиома // Большая советская энциклопедия.

2-е изд. - 1949. - Т.1. С.616.

через многие концепции по поводу нее. Через историю появления и борьбы этих концепций постепенно обнаруживается историческое становление диалектической природы бесконечности в познании. Анализ станоапения диалектики в науке через развитие проблемы бесконечности дает возможность показать на конкретном материале историческую необходимость утверждения диалектики в науке,.

Степень разработанности проблемы. Проблема бесконечности в различных ее аспектах' исследуется многими советскими философами. Так, в диссертациях О.АЛЛухамедзянова, Г.Ш.Хуцишвили, В.А.Панфилова, в монографиях таких авторов, как Н.И.ЗДков, П.П.Гапденко, М.А.Парник, А.С.Кармин, Т.А.Горолевич, А.Н.Нысанбаев и других спе--циально рассматриваются вопроси, связанные с проблемой.конечного и бесконечного. При этом высказывается много интересных и плодотворных мыслей. Так, в работе О.А.Мухамедзянова убедительно показана глубокая связь категорий конечного и бесконечного, сделан вывод о том, что если упрощенно понимать конечное, то бесконечное приходится лишь постулировать . В некоторых работах подробно показаны различные аспекты конечного и оесконечного, исследованные в различных науках В диссертации В,А.Панфилова отражена та вазшая мысль, что в историческом процессе развития проблемы ко-, нечного и бесконечном происходит определенное продуктивное взаимодействие философии и других наук , В ряда работ дается анализ содержания понятий потенциальной и актуальной бесконечности . Вопросы истории проблемы конечного и бесконечного затрагиваются во многих работах, но в них отсутствует попытка найти и обнаружить закономерности,, характерные длк развития не только данных категорий, но и для всех подобных категорий, отражающих такие же "вечные" проблемы;

1 См» Мухамедзлнов O.A. Проблемы диалектики понятий конечного и бесконечного: Автореф. дис. ... канд. филос. наук. - М.,1979. С 5—7

2 См. Конечное и бесконечное. - Киев: Наук, думка, 1982; С.153-274; Городевич Т.А. Современные концепции бесконечности и-реальность. - Минск: Наука и техника, 1984. C.60-I53.

3 Панфилов В.А. Связь философии и ма?ематики в познании пробле-. ш бесконечности: АвЯореф. дис. ... канд. филос, наук. -Киев,

1980; Конечное и бесконечное. - Киев, 1982."0.279-282. „ .

4 Хуцишвили Г.Ш. Проблема бесконечности в свете современной науки. - Тбилиси: Мепниерйба, 1981. С.76-88; Конечное и бесконечное. - Киев, 1982. С.88-100..

Ни в одной работе, содержащей изложение истории бесконечного и конечного в различных науках, не сделан вывод о том, что необходимо ввести, "узаконить" специальную область в истории науки и философии - область истории взаимодействия философии и других наук.

В ряде исследований актуальная бесконечность почти приравнивается к потенциальной, на вскрывается глубокая диалектическая природа актуально-бесконечного ■ .

Интересный аспект анализа парадоксов теории множеств через категории дискретного и непрерывного есть в монографии Н.И.Еуко-ва. Однако в данной работе этот анализ дается в несколько ином аспекте и более подробно.^

Никто из вышеупомянутых авторов не поднимает' вопро^о статусе конечного и бесконечного как философских категорий. Никто из них не отходит от традиционного понимания конечного и бесконечного как противоположных по своему содержанию. Б то ке время все эти вопросы, частично или полностью упущенные или недостаточно разработанные, имеют большое научное значение для развития как самой философии, так и для тех наук, в содержание которых входат понятия конечного и бесконечного»

Цели и задачи исследования. Главной целью данного исследования является обнаружение того, какие вопросы и почему возникают в связи с диалектикой бесконечности в процессе ее познания в науке и как работает в их решении диалектико-материалистическая методология. Для достижения этой основной цели в работе ставятся и по мере сил решаются следующие задачи, вопросы:

- какая из двух видов бесконечности, признанных в науке, -актуальная или потенциальная, - является более глубокой, отражающей диалектическую противоречивость бесконечности более полно;

- какова история понимания сооЯношения потенциальной и актуальной бесконечностей в науке;

- каковы закономерности исторического развития проблемы бесконечности; '

- какова взаимосвязь законов формальной логики;

1 Хуцишвили Г.Ш. Проблема бесконечности в свете современной науки. - Тбилиси, 1981. С.66-67; Конечное и бесконечное. -Киев. 1982. С.Ээ-96.

2 5|ков Н.И^^П]эоблеыа сознания. - Минск: изд."Университетское",

- в чем логическая и философская сущность парадоксов "еорга множеств, т.е. парадоксов актуально бесконечного;

- чем обусловлены границы формальной логики, обнаруживающиеся при отражении диалектики бесконечного;

- каков критерий статуса философских категорий;

. - каковы виды всеобщности философских "категорий;

- является ли категория "конечное" диалектически противоположной по содержанию категории "бесконечное";

- какая категория: является действительно противоположной категории "бесконечное";

*- в чем заключается сущность категории "развитие";

- какие проблемы и почему являются "вечными", почему категория "бесконечность" относится к тйковым;

- в чем сущность философского аспекта категории- "бесконечность" ;

- в чем сущность некоторых современных философских и логических теорий, связанных с попытками устранить понятие бесконечности 9 ее противоречиями.

Попутно решаются и некоторые другие вопросы.

Теоретические источники и методологическая основа работы.

Методологической основой данной? исследования служили принципиальные положения классиков марксизма, как общего характера, так и те, которые относятся непосредственно к рассматриваемой проблеме, В первую очередь сюда должно быть включено известное положение -о необходимости проникновения диалектического материализма в процессе исследования каждой специальной проблемы любой науки в- качестве осознанной и принятой методологии, для чего имеется уже достаточно материала во всех науках Исходной методологической посылкой является также положение о принципиальной познаваемости

объективной реальности и, в частности, познаваемости диатектичес-

?

ких противоречии, в том числе - меяду конечным и иесконечнш . В основу исследования положены также принципиальные высказывания

См. Энгельс Ф. Анти-Дюринг. - Маркс К., Энгельс Ф. Соч., 2-е изд. - Т.20. С.22, 89.

См. Энгельс Ф. Диалектика природы. - Маркс К., Энгельс Ф. Соч., 2-е изд. - Т.20. С.547-550; Ленин В.И. Материализм и эмпириокритицизм. - Поли.собр.соч. - Т.18. C.I33-I38; Ленин В.И. филос,тетради. - Поли.собр.соч. - Т.29. С.98-99, 107-108, 163164,- 309 , 230-231, 252 и др.

классиков марксизма об огромном значении истории науки для исследования проблем теории познания1.

Опираясь на фундаментальные марксистские положения, автор использует также те труды советских и зарубежных авторов, которые в той или иной степени имеют отношение к поставленным в диссертации задачам.

В целом использованный научный материал можно разделить по следующим направлениям: I) современная советская и зарубежная марксистская литература по философским проблемам отражения диалектики бесконечности; 2) современная марксистская литература по анализу категорий вообще и категорий конечного и бесконечного, в частности; 3) марксистская литература по истории науки вообще;

4) марксистская литература по истории проблемы бесконечности;

5) труды классиков истории философии о бесконечности, начиная с Древней Греции и кончая Гегелем; 6) труды классиков математической науки.

Научная новизна диссертационного исследования заключается в следующем:

- доказывается, что понятие актуальной бесконечности выражает диалектику бесконечного глубже, чем понятие потенциальной бесконечности, которое относится к первому лишь как частное. В потенциальной бесконечности подразумевается процесс становления и снятия различного конечного; в актуальной же - становление и снятие бесконечного различного вида и различных степеней. Общее в понятиях потенциальной и актуальной бесконечности - то, что и в той, и в другой подразумевается утверждение и снятие количественных характеристик, а различное, даже противоположное, - то, что

в первом случае ставятся и отрицаются только конечные величины, а во втором - бесконечные;

- обнаруживаются закономерности исторического развития дискуссии вокруг цроблемы бесконечности как "сквозной" проблемы, содержащей в себе диалектические противоречия. Происходит расщепление на противоположные концепции. Историческое развитие "расщепившихся" концепций происходит по закону отрицания отрицания, проявляющемуся в двух основных, формах;

I См. Энгельс Ф. Анти-Дюринг. - Маркс К., Энгельс Ф. Соч., 2-е • изд. - Т.20. С.138-139 и др.; Ленин В.и. Филос. тетради. -Полн.собр.соч. - Т.29. С.88, 131, 155-156, 159, 191, 298, 314.

- показаны единство и взаимосвязь законов формальной логики. Дается обобщение тех случаев, когда формальная логика обнаруживает свои границы в связи с отражением бесконечности!

- обосновывается новый вариант критериев для установления статуса диалектических философских категорий, и тем самым дается основание для определения понятий бесконечного и конечного как категорий диалектики:, _

- показано, что "троичность" присуща и категории бесконечного с дзуш примыкающими к ней категориями. При этом доказывается,, что категория "конечное" в строгом диалектическом смысле не является противоположной категории "бесконечное". Таковой является на самс-л деле понятие "нисколько" (или "ничто", а в математическом аспекте - "нуль");

- доказывается, что имеется четыре типа всеобщности: I) всеобщность понятий, отражающих в себе обе противоположности всеобщего диалектического противоречия; 2) всеобщность понятий, отражающих в себе лишь одну из сторон всеобщего диалектического противоречия; 3) всеобщность понятий, являющихся непосредственной конкретизацией категорий первого и второго • типа всеобщности;

4) всеобщность понятий, имеющих всеобщность объекта отражения.

В связи с решением основных проблем в работе подняты и по-новому освещены также и другие вопросы.

Практическое значение исследования определяется тем, что в нем дана конкретизация, - на основе .диалектико-материалистичес-кого анализа, - одной из самых главных философских проблем современной науки, и это создает условия для дальнейшей разработки и конкретизации проблемы отражения диалектических противоречий в науке. , ■ ■

В процессе учебной работы по усвоению марксистской философии, как всеобщей методологии и мировоззрения, данная работа может служить тем конкретным путем, через который студенты и аспиранты легче усвоят содержание диалектического материализма, поскольку он частично излагается с помощью истории и современного содержания науки.

В пропаганде идей марксистской философии данное исследование может быть использовано как основа для дискуссий в работе методологических семинаров, а также в лекционной пропаганде для

аудиторий различных институтов и отделений.

Апробация работы. Диссертация была обсуждена и одобрена на кафедре философии Академии наук СССР (1974 и 1981 гг.) и на кафедре диалектического материализма Куйбышевского государственного университета.

Монографии и другие работы, содержащие идеи, изложенные в диссертационной работе, были обсукцены и одобрены: в секторе истории математики Института истории естествознания и техники АН СССР (1975, 1981 гг.); в постоянно действующем симпозиуме по диалектической логике при Президиуме правления Московского отделения Философского общества СССР (1977, 1982, 1984 гг.); на научных конференциях в Перми (1985 г.), в Новосибирске (1985. г.), в Обнинске (1985 г.') и в Москве (1985 г.).

По теме диссертации опубликованы три монографии и несколько статей общим объемом более 40 печатных листов.

Объем и структура диссертации. Работа состоит из введения, трех глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации составляет 315 страниц, а перечень использованной литературы -650 источников.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, анализируется степень разработанности проблемы, поставленной в диссертации, определяются цель и задачи работы, методологические и теоретические предпосылки решения основных вопросов, научная новизна и практическая значимость полученных результатов, выделяются основные положения, выносимые ija защиту.

• В первой главе - "История проблемы бесконечности и некоторые предварительные замечания" - семь параграфов.

В первом параграфе - "философский аспект понятий конечного и бесконечного" - показано, что философски) аспект понятий и проблемы конечного и бесконечного включает в себя следующие вопросы: I) об объективности их содержания; 2) об их познаваемости; 3) о закономерностях исторического развития их философского содержания; 4) о диалектических противоречиях, отражаемых этими понятиями; 5) о видах конечного и бесконечного; 6) о соотношении понятий конечного и бесконечного с понятием "ничто", "нисколько"; 7) о

методах отражения диалектического противоречия конечного и бесконечного в науке; 8) о категориальной, сущности данных понятий;

9) о соотношении различных видов бесконечного и их содержания;

10) о роли формальной логики в отражении диалектики конечного и бесконечного.

• Во втором параграфе - "Методологическое значение анализа развития "вечных" проблем" - исходя из того, что движущей внутренней силой развития познания является проблема. потому что в ней содержится диалектическое противоречие познанного и непознанного, автор анализирует признаки тех проблем, которые являются "вечными" или "сквозными". К такому типу проблем относится и проблема конечного и бесконечного, поскольку она обладает всеми признаками, относящимися к "вечным" проблемам, постоянно присутствующим в научном обсуждении. Во-первых, эта проблема "имеет большое значение для изучения и природы, и обществ, и даже самой науки; во-вторых, бесконечность содержит всеобщее диалектическое противоречие, которое латается неисчерпаемым для познания, обнаруживая на каждом его этапе все новые аспекты и новые уровни глубины.

Для того, чтобы в дальнейшем изложении исторического развития проблемы конечного и бесконечного исходить из определенного понимания сущности категории "развитие", дан краткий анализ имеющихся точек зрений по вопросу о содержании этой категории и изложена та точка зрения, которой придерживается автор. Под развитием здесь понимается саморазвитие определенного рода явлений, совершающееся по таком закономерному, специфическому, конкретному диалектическому противоречию, которое с необходимостью приво-. , дат к воспроизведению данного рода явлений. Понятие развития, по мнению автора, относится как к прогрессивному направлению изменений, так и к регрессивному; как к объективным явлениям природа и общества, так и к явлениям тознания. Эти положения обоснованы как теоретическим анализом, так и рядом примеров.

Вокруг проблемы бесконечности идет многовековый спор между представителями различных пар концепций, на которые "расщепляются." мнения ученых - в соответствии с объективными противоречиями, содержащимися в явлениях конечного и бесконечного, а также'в соответствий с противоречиями гносеологического характера. Всё

положения данного параграфа наглядно подтверждаются историческим материалом, анализируемым в следующих параграфах первой главы.

Р третьем параграфе - "Происхождение представления и понятия бесконечности" - используется материал мифологии аборигенов Австралии, а также свидетельства исследователей мифов древних народов- Индии, Египта, Китая и других стран. На этом материале показано, что представления о "вечных" людях, о первоначальном хаосе и т.п. обнаруживают зарождение представления о бесконечном в очень далекие времена. Характерно, что в этих первоначальных представлениях, аналогичных по содержанию понятию бесконечности, присутствует обычно некоторая неопределенность, бесформенность. Время и пространство представляли также как вечные, бессодержательные и пустые вместилища, которые были равнозначны по отсутствию какого бы то ни было содержания ничему, нулю'-'-. Платон в "Тимее" и Аристотель в "Физике" обнаруживают связь своего представления о хаосе с мифологическим То же самое можно сказать и о древнекитайской и древнеиндийской философии 3. Таким образом, щоисхожденио представления о бесконечности уходит своими корнями в глубокую древность. Ко времени Пифагора уже существовали "от века" понятия беспредельности, бесконечности - в виде представлений о вечном и беспредельном хаосе, о судьбе как "аналоге вечности"

В рассуждениях о бесконечности философия опередила математику, поскольку в философии можно было ограничиться абстрактными рассуждениями о ней, тогда как в математике древнего времени употреблялись обычно практические формулы, рецепты вычислений, которых по отношению к бесконечности не могло еще быть в течение очень долгого времени.

1 Лосев А.Ф. // Мифы народов мира. - Т.2. - М.; изд. Сов. энц., 1982. С.579, См. также: рифтин Б.Л. Китайская мифология // Мифы народов мира. - Т.1. С.652.

2 Аристотель. Соч. Т.З. - М.: Мысль," 1981. С.124; Платон. Соч. - Т.З. 4.1. ~М.: Мысль, 1971. С.49Г.

3 Древнекитайская философия, - Т.2. - М.: Мысль, 1973. С.53-54, ИЛ '1956* да^хак-рткан С' Индийская философия. - Т.1. - М.:

4 См! Гайденко В*П.. Тема судьбы и представление о времени в древнегреческом мировоззрении // Вопросы филос. - 1969. № 9.

Таким образом, представление о бесконечности появилось тогда, когда практика людей была еще чрезвычайно ограниченной. Однако именно это могло дать толчок для "экстраполяции" на беспредельность, ибо никакими знаниями или религиозными предрассудками воображение не было еще ограничено., так как это можно было видеть уже в период, скажем,'.христианства. Возможно, тут есть некоторая закономерность:- и в начальном периоде существования, и на весьма высокой стадии своего развития человек одинаково оказывается свободным, чтобы порождать представления, а позже - понятие бесконечности. К тому же можно отмстить, что и при первоначальном развитии, культуры, и на теперешнем уровне в содержание представлений и понятий г большей степени включают социальные условия бытия чем в' промежуточный период. ■

Возможность мыслить конечное тлеется вовсе не по контрасту с бесконечным. Скорее конец противопоставлялся началу, с которым и был всегда в соотношении в любой человеческой практике^.

В четвертой параграфе - "Первоначальное развитие проблемы бесконечности" - показано разнообразие первоначальных подходов к решению и анализу проблемы бесконочного и конечного. Правда, уже в рассматриваемый период разнообразные концепции четко разбиваются по парам: финитиэм и инфинитизм и т.д. Охарактеризовано содержание финитизма Пифагора, атомистический подход к бесконечности у Демокрита, учение о конечном и бесконечном Аристотеля. Анализируется процесс столкновения абстрактной диалектики древних греков с конкретными задачами в математике и в общественной практике. Выявлена сущность процесса формирования законов логики и несовместимость их с открытием бесконечного в форме апорий Зенона, а также в форме иррациональных отношений в геометрии. Дана характеристика понимания в Древней Греции актуальной бесконечности, в частности и в особенности, - Аристотелем. Анализируется понимание Аристотелем и Платоном соотношений конечного и бесконечного. Отмечено, что уже в этот период 'был поднят вопрос о различ-

1 См. Ленинская теория отражения как методология научного познания, - Минск: изд. БГУ, 1985. С.124; Принципы материалистической диалектики как теория познания. - И.: Наука, 1984. С.276.

2 См. об этом также // Борисов В.Н. Уровни логического процесса и основные направления их исследования. - Новосибирск: Наука, 1967. C.I66.

к

них видах Бесконечного.

Из изучения в Древней Греции проблемы бесконечности вытекала необходимость постановки и исследования целого ряда философских проблем. Часто эти проблемы решались как бы "явочным" порядком, т.е. неосознанно, ибо казалось, что никакого иного решения и быть на может, и только в дальнейшем, с развитием науки возникали закономерные вопроси о правомерности таких решений, поскольку становилась очевидной возможность иного решения.данной проблемы. Это обусловливалось расширением социально-практического и научного кругозора, в том числе - новыми философскими идеями, т.е. изменением всего стиля мышления. Этим, например, объясняется то, что в средневековой философии и математика появился целый ряд новых мыслей, аспектов, аргументов, - в том числе и по поводу бесконечности. И это несмотря на новые могущественные факторы религиозно-идеологического порядка, которые часто препятствовали распространению передовых идей.

В Средневековье началась активная борьба внутри двух пар концепций бесконечности, которые в Древней Греции были лишь в зачатке: во-первых, является ли бесконечность богом*,'т.е. духовной сущностью, или материей; во-вторых, познаваема она или нет2. Таким образом, можно говорить об образовании в рассмотренный период пяти пар крайних концепций бесконечности, каздая из которых односторонне признавала только одну противоположную сторону в диалектических противоречиях: конечного и бесконечного, бесконечно малого к бесконечно большого, потенциально и актуально бесконечности, познаваемости и непознаваемости, материальной природа бесконечности и идеальности ее отражения. В зачаточной форме появилось здесь и расщепление на концепции, во-первых, единственности бесконечности и, во-вторых, множественности, т.е. признания существования различия внутри бесконечности.

В пятом параграфе - "развитие проблемы бесконечности в эпоху Возрождения и в Новое время" - рассмотрено дальнейшее развитие содержания понятий конечного и бесконечного в трудах философов и математиков. Уже в начале данного периода была совершена

1 См. Творения Августина блаженного. - Киев: изд. Киевск. дух. академии, 1905. С.268-270.

2 См. Сансур А.Ю. Математические труды Ибн Корры: Автореф. дис.

канд. физ.-мат. наук. - М., 1971. С.4, 10.

удачная попытка систематизировать концепции по проблеме бесконечности. Это сделал английский ученый Брадвардин (ок. 1290-1349). В своем "Трактате о континууме" он интересно классифицирует все существовавшие тогда концепции о бесконечности по парам, не объясняя, правда, почему они разделяются именно так1. При отом Врадвау-

дин боролся против абсолютизации финитистсного атомизма, расчищая

р

дорогу к созданию исчисления бесконечно малых .

Характерным для этого периода было то, что рассуждения о бесконечности все чаще не остаются в области абстракции, а теснейшим образом связываются с практическими возможностями человека и с движением, хотя и только механическим. Это обнаруживается не только у таких ученых, которые занимались физикой и механикой, как Леонардо да Винчи, например, но и у философов. Механицизм становился постепенно методолоческой основой всякого анализа, и Дж. Бруно, например, не смог увидеть сквозь метафизическую его ограниченность существование бесконечностей различного "вида, которое , уже обнаружил ранее Ибн Корра.

Естественно, что в связи с бурным развитием науки одним из важных философских вопросов стал вопрос о познаваемости, в том числе и даже особенно - о познаваемости .бесконечности. Вследствие этого финитизм появился в новой форме: стали отрицать возможность познания бесконечно' малых. Особенно яро выступал Дж.Беркли, который всячески пытался доказать, что бесконечно малое - это просто ничто.

В концепции непознаваемости бесконечного произошло разделение. Одни стали считать, что бесконечность непознаваема потому, что она недоступна нашим ощуценкям. Такой точки зрения придерживался как раз Беркли, а также Юм, Локк 3 и в определенной степе-* * ни - Лейбниц . Другие считали, что бесконечность не может быть

1 См. Историко-математические исследования. - В:'П,13. - М.: Физ-матгиз, 1960. С.152. ^

2 См. об этом, например, в статье В.П.Зубова "Трактат Брадвар-дина "0 континууме"" // Историко-математические исследования. - Вып. 13. - М.: Физматгиз, 1960. С.392.

3 Юм Д. Соч. - Т.2. - М.: Мысль, 1965. С.159-160; Локк Дл. Избр. филос. произв. - Т.1. - М.: Мысль, 1960. С,232.

4 Лейбниц Г.В. Новые опыты о человеческом разуме // Соч. - Т.2. ~М.: Мысль, 1983. С.153-154.

- и

позвана нами, ибр мы обладаем всего лишь конечным разумом *. Наметилась, - в явном виде начиная с Лот. и Лейбница, - новая концепция: признание познаваемости только для потенциальной бесконечности и отрицание ее для актуальной

Некоторые ученые из тех, которые считали бесконечно малое актуальным, подобно И.Бернулли, понимали ею как определенную величину, другие - как нуль. Но и здесь произошла существенная дифференциация взглядов. Ньютон считал, что это просто нуль, хотя в то же время называл бесконечно малые "исчезающими" и "нароздающи-мися" величинами Лейбниц же считал бесконечно малые нулями, но не в обычном, абсолютном смысле, а в "сравнительном смысле" 4 и подчеркивал, что бесконечно малая есть не "бескачественный" нуль, а такой, на котором как бы остается след исчезнувшей величины.

Общих положений было недостаточно ни для доказательства существования актуальной бесконечности, ни для опровержения его. Требовалось также конкретно-математическое исследование бесконечности, как "законченной", как суммы, существующей в определенном числе, и потому положение Декарта о конечной сумме бесконечного ряда чисел было.весьма значительным шагом вперед именно к признанию актуальной бесконечности.

В большей степени, чем его современники, глубину противоречивости актуальной бесконечности видел Лейбниц, но она его отпугивала, поскольку не отвечала требованиям общепризнанной методологии. Особенно трудно было принять, во-первых, совершенно особое соотношение частей и целого в бесконечности и, во-вторых, наличие различных бесконечностей. Уже многих ученых размышления о бесконечности наталкивали именно на эти препятствия, которые являлись предметом обсуждения го все последующие века, вплоть до XX в. Как видим, препятствий имели философский характер, и предмет обсуждения в сущности своей был проблемой смены метафизической

1 См. Галилей Г. Избр, труды. - Т.1.-- М.: Наука, 1964. С.202; Декарт Р. Избр. произв.—М.: Госполитиздат, 1950, С.363; ГЪббс Т. Избр; произв. - ТЛ. - М.: - Мысль, 1965. С.304, а также 392, 427; Т.2. С,64; Локк Дж. Избр. филос, произв. -ТЛ. -М.: Мысль, 1960. С.236.

2 Локк Дж. Избр. филос. произв. - ТЛ. - М.: Мысль, 1960. С.236; Лейбниц Г.В. Соч. - ТЛ, - М.: Мысль, 1982. С.402-403.

3 Ньютон И. Математические работы. - М.; 1, :ГТШ, 1937» С.169.

4 См. Успехи матем. наук. - Т.З. Вып. 1(23). - М., 1948, С.Г95. ' а также // История математики,.- Т.2. - М.: Наука, 1970. С.283.

методологии - диалектической, способной разрешить целую систему вопросов в науке, в частности, связанных с бесконечностью.

Произошло изменение в характере доводов. Совершился отход от схоластики. Стало обычным обращение к физике, к эксперименту. Быстрое накопление математических открытий и, в частности, в области бесконечного, Закономерно опережало их философское обоснование. Очевидно, логическая стройность математической теории и ее практическая применимость являются двумя необходимыми сторонами и движущими силами ее развития. Они всегда должны присутствовать . одновременно, как две стороны единого целого, и нарушение их един-, ства ощущается, как дисгармония в теории, заставляя ученых совершенствовать ее.

В шестом параграфе - "Вклад Канта и Гегеля в развитие проблемы бесконечности" - показано, что Кант впервые критикует довод "от воображения", ставший традиционным. Обнаружение противоречивости бесконечного хорошо известно Канту, но он его относил только к области условий чувственного созерцания. Рассудку же доступно постижение целостного бесконечного, при некоторых условиях. Наше движение в "эмпирическом созерцании" обусловлено, не актуальной бесконечностью в области трансцендентального, - чего быть не может, по Канту, - а только неограниченностью возможного "опыта Актуальная бесконечность "растворяется" в процессе "синтеза ряда" (до бесконечности и до "неопределенности") и исключается из области созерцания. Здесь Кант совершает абсолютизацию и отрыв возможности от действительности, не говоря уж о создании пропасти между опытом и мышлением. Соотношение конечного и бесконечного у

О

него обусловлено также процессом познания . •

Деление на область эмпирического и априорного дает возмож- , ность Канту "развести" противоположности по этим областям, чтобы они не соприкасались, '

Во всех сложных рассуждениях Канта о бесконечности просматриваются две диалектические идеи: во-первых, что "потенциальное" движение бесконечности возможно только тогда, когда уже заранее известно о существовании этой бесконечности всей целиком; во-вторых, что всякое движение к бесконечности, и."вширь" и "вглубь",-

1 Кант И. Соч. - Т.З. - М.: Мысль, 1964. С.466.

2 Там же. С.469, 474.

- к -

предполагает определенные качественные "пороги". Отсюда недалеко до признания многих разнокачественных бесконечностей, "перешагиваемых" в целом.

Гегель вводит деление на качественную и количественную бесконечности, говорит о метафизической, философской, отрицательной, утвердительной и математической бесконечностях. Выступая с позиций диалектики, Гегель утверждает, что негативного, обычного определения 'бесконечности недостаточно: чтобы преодолеть конечность, надо ее соединить с бесконечным. Он всесторонне рассматривает соотношение конечного и бесконечного, в качественном и количественном аспектах, критикует "дурную" бесконечность. Истинная бесконечность, под которой Гегель понимает явно актуальную, должна быт!» положительной, а не отрицательной. Очень глубоко его рассуждение о том, что простое увеличение конечного не приближает нас к бесконечному, которое отличается особым качеством, а не является чем-то

лишь во много раз больше конечного^. Истинное бесконечное - это

■ 2

внутреннее единство конечного и оехконечного .

Гегель подробно рассматривает бесконечность в математике, обнаруживая различения внутри этого понятия, а таете критикует неправомерное обращение в математике с бесконечностью по законам конечных величин.

Гегель первый открыто противопоставил концепции обязательности непротиворечивости бесконечности - диалектическую концепцию допустимости и даже необходимости противоречий в ней.

В седьмом параграфе - "Развитие проблемы бесконечности в XIX в." - содержив^материал, показывающий, что в XIX веке открыли многие различия внутри бесконечного, обнаружили принципиальную разницу между конечным и актуально бесконечным и стали постоянно соотносить конечное с бесконечным. Н.И.Лобачевский, К.Ф.Гаусс, Б.Риман, К.Вейерштрасс, Р.Дедекинд, Г.Фреге вынуждены были часто принимать в математическом материале актуальную бесконечность, как необходимую, хотя она и чревата противоречиями. Именно признание актуальной бесконечности и широкое использование этого понятия позволило Г.Кантору создать свою знаменитую теорию множеств.

1 Гегель Г.Ф.В. Наука логики. - Т.1. - М.: Мысль, 1970. С.306.

2 Там же. С.202.

В выводах первой главы объясняется, что "парность" развития концепций бесконечности определяется и определялась тем, что, во-первых, любое утверждение вызывает свое отрицание, а, во-вторых, тем, что односторонне абсолютизируя каждую из диалектических противоположностей в содержании данной проблемы, приходят также к "паре" концепций. Промежуточные концепции при этом должны или быть ■ последовательно диалектическими, чего в домарксистских концепциях не было, или быть компромиссными и малоустойчивыми. В течение рассмотренного периода образовалось и боролось между собой двенадцать' концепций по поводу проблемы бесконечности. Исторический процесс конкретизации проблемы бесконечности происходил по определенному закону. Его можно назвать законом "разветвления". В целом историческое развитие "разветвляющихся" концепций по поводу проблемы бесконечности шел как конкретизация закона отрицания отрицания, но в нескольких различных вариантах, которые излагаются.

Глава вторая - "Диалектические противоречия актуально бесконечного и формальная логика" - - содержит пять параграфов,

В первом параграфе - "философско-догическая сущность парадоксов теории множеств" ~ дается подробный философско-догический анализ парадоксов теории множеств.

Первый парадокс заключается в том, что и возможно, и невозможно создание множества всех порядковых чисел, поскольку вновь образованное множество должно быть само включено в это множество, образуя новый порядковый тип. Во втором парадоксе получается такая логическая ситуация, что одинаково последовательно доказываются два противоречащих положения: как то, что мощность всех подмножеств множества М больше мощности множества всех множеств М, так и то, что это неверно. Философская сущность парадоксальности ситуаций, описанных в данных парадоксах, заключается в том, что диалектическая противоречивость актуальной бесконечности (з данном случае - части и целого в ней) с необходимостью выражается в формально-логических противоречиях. Происходит совмещение двух противоречащих друг другу суждений.

Общее в двух описанных парадоксах - то, что они являются результатом изменения содержания понятия в процессе самого умозаключения, а также то, *."о здесь выступает в явной форме противоречивость абсолютного смысла понятия "всё", или актуальной

бесконечности, поскольку не только части, но и любые комбинации из элементов множества всех множеств должны вбираться в него, что противоречит нашим конечным представлениям. В парадоксах обнаруживается движение субъекта и предиката, не предусмотренное закона' ми формальной логики.

Раскрывается диалектическая сущность парадокса Рассела-Цер-мело: получается, что и возможно, и невозможно образовать правильное множество всех правильных множеств. В. результате соответствующих рассуждений, производимых со строгим соблюдением правил формальной логики, тем не менее образуются два противоречивых, несовместимых, - по закону исключенного третьего, - суждения. Здесь происходит "самодвижение" понятий, не предусмотренное законом тождества, а, наоборот, запрещенное юл: самим актом рассуждения мы создаем новое понятие, вернее - меняем содержание основного ■ понятия, участвующего в этом рассуждении. Как и в первых двух парадоксах, в третьем- обнаруживается глубокая диалектическая проти-,воречивость понятия актуальной бесконечности.

Затем освещаются парадоксы Ришара, Греллинга и Сколема. В анализе первого показано то диалектическое противоречие бесконечности, - в частности счетной, - что с прибавлением к ней конечного числа она не меняет своего характера, т.е. не перестает быть счетной. Нарушается "само собой разумеющееся" правило, вернее -молчаливая метафизическая установка, что от прибавления к чему бы то ни было положительного числа в результате должно быть получено увеличение. Обнаруживает также переход от одной качественно свое-образной бесконечности (счетной), - к другой - несчетной, или континууму. В своеобразной форме и в этом парадоксе процесс рассуждения рождает новые абстрактнее "объекты", которых.не было в начале. Это существенно меняет содержание исходных понятий, что никак не предусматривается законами формальной логики.

Парадокс Греллинга не имеет прямого отношения ^ бесконечности, поэтому он приводится лишь для того,, чтобы показать отсутствие в многочисленных его анализах философского аспекта/ т.е. указания по крайней мере на то, что следует различать понятие и слова, выражающие его (например, на разных языках).

В парадоксе Сколема обнаруживается относительность счетности и несчетности, а также конечности и бесконечности, упорядоченно-

- зэ

сти, нечеткость переходов между ниш

Во втором параграфе - "Цроблема отражения диалектики бесконечного в науке в связи с развитием вычислительной техники" - обнаруживается связь современной теории автоматов, во-первых, с поисками новых логак, а, во-вторых, с проблемой бесконечности, прерывности и непрерывности. Есть попытки разрешить парадоксы теории множеств с помощью вычислительных машин, в которые вводят фактор времени. Анализируется попытка также свести актуально бесконечное к конечному, с которым можно оперировать, как с целым. Продемонстрирована концепция фшштизма, существующая на основе современной вычислительной техники. Попытки ограничить логику в связи с ограничением, даже исключением понятия бесконечности из "конечной" математики могут иметь философские последствия, что не всегда осознается,

В уретьем параграфе - "Проблема отражения диалектики бесконечности в логике в связи с парадоксами бесконечности в теории множеств" - дается краткая характеристика тех логических течений, которые были порождены попытками преодолеть парадоксы теории множеств средствами формальной логики: логицизма, формализма, интуиционизма. Более подробно дан анализ сущности тех положений Г.Ген-цена, которые имеют своей целью элиминировать противоречия бесконечности в математике, а также теорем К.Гёделя. Делается вывод о том, что указанные авторы уходят в конструктивность, что не дает им возможность понять философский смысл парадоксов теории множеств. Особенно отмечены попытки устранить именно актуальную бесконечность, Попытки свести бесконечность к конечному дают иногда побочные положительные результаты, но искомой цели полностью не достигают. Показано, что логаки, владеющие диалектико-материалвс-тической методологией, гораздо более успешно приходят к результатам, пытаясь указать пути обхода противоречивости бесконечности (Ю.А.Петров, К.И.Бахтияров, Е.А.Сидоренко), различные формальнологические пути и методы устранения противоречий-парадоксов должны быть вторичными, после того как будет признана необходимость ■ данных противоречий как отражения диалектики объективных явлений

I См. Френкель А., Бар-Хиллел И, Основания теории шю&естз. -М.: Мир, 1966. С.139. ,

- 20 •

и сущностей, — как это мы и обнаруживаем в парадоксах бесконечного.

В четвертом параграфе ~ "Современный вариант средневековых философских течений" - рассматривается вопрос о том, почему и как в связи с парадоксами теории множеств математики снова поднимают вопрос о сущности абстракций и об отношении их к объектам. Современный "платонизм", или реализм, позволяет удалив бесконечность' в область "идеальных сущностей" и практически ив иметь с нею дела. Номинализм же современных математиков заключается в том, что они . признают только "индивидуумы" и отрицают общие понятия, "универсалии". Платонизм и номинализм - противоположные пути, ведущие к . одной цели, - к устранению бесконечности. Дана также характеристика неоконцептуалкс.'ов, которые в вопросе об отношении к бесконечности занимают позицию, близкую к конструктивистам

Сведение к индивидуумам не дает спасения от противоречий бесконечности, точно так же, как и уход в область "воображаемого", • Без- бесконечности вообще шагу нельзя ступить в современной математике, Даже если используется только потенциальная бесконечность, а актуальная отрицается, - и тогда наносится ущерб математике.

В пятом параграфе - "Диалектика бесконечного, и границы фор-'мальной логики" - анализируется соотношение трех основных зако- ■ нов формальной логики, - закона тождества, закона противоречия.и закона исключенного третьего. Делается вывод о том, что все три закона так логически мевду собой связаны, что нельзя устранять один из них, сохраняя другие, как это делали и делают■некоторые логики (интуиционисты и другие). Так же логически связаны с законами правила логического отрицания и дизъюнкции. Следовательно, их ограничение или полная элиминация (в аффирмативной логике) также не является средством, решающим все проблемы парадоксов. Различные деформации в логаке дают лишь способы обойти, избежать те противоречия, которые являются отражением объективных диалектических противоречий и потому закономерно будут всегда возникать в науке. Создавая лишь определенный искусственный логический забор, "предохраняющий от вторжения гнусных антиномий'1, по словам

I Слупецкий Е., Борковский Л. Элементы математической логики и теории множеств. - М., 1965. С.348.

известных современных математиков и логиков, нельзя иметь при этом, однако, ншЙ.'ой уверенности, что "некоторые из этих тварей не засели внутри"

Таким образом, законы формальной логики необходимы в научном мышлении везде и всегда, однако лишь в достаточно замкнутых рас-суздениях, предполагающих известную стабильность. Когда же их пытаются применить ic развивающемуся знанию, с изменяющимся содержанием понятий, они перестают работать.

Кроме того, в формальной логике имеются скрытые предпосылки методологического характера, что также способствует обнаружению диалектических противоречий в теории. В результате формальная логика наталкивается на свои границы в некоторых определенных случаях, из которых здесь удалось выявить в связи с отражением бес-конечностй следующие: I) когда в рассувдениях о бесконечности неявно применяют положение о том, что часть должна быть всегда меньше целого; 2) когда исходят из того, что внутри одного рассуждения не может быть никакого изменения ни содержания, ни объема понятий ни при каких обстоятельствах; 3) когда неявно принимают по отношению к содержанию бесконечности такое положение, что увеличивающаяся величина, рано или поздно, но, обязательно достигнет другой, большей, но постоянной величины; 4) когда происходит синтез противоположных характеристик в одном понятии или в одной теории; 5) когда суждения имеют такой характер, что своим содержанием меняют будущие поступки, поведение лвдей (в "парадоксах предсказания"); 6) когда в суждениях идет речь о соотношении теории и объективной реальности; 7) когда игнорируют конкретность содержания некоторых всеобщих понятий (в том числе бесконечности и "ничто"); 8) когда в предмете рассувдения, выраженном одним и тем же термином, приходится расчленять его внешнюю форму и содержание.

В выводах второй главы говорится о том, что парадоксы теории множеств - это одно из необходимых, закономерных проявлений диалектики бесконечности в математике, точно так же, как и проявление . диалектики процесса познания вообще. Их проявление в новом виде неизбежно будет порождать'острые проблемы в науке, иногда не

I Френкель A.A.,' Бар-Хиллел И. Основания теория множеств. - И.: Мир, 1966. С.26.

только способствующие ее развитию, но и уводящие в сторону, если не будут, наряду с законами формальной логики, приняты как обязательные для научного мышления и принципы диалектики. Иначе будут повторяться попытки устранить противоречия навсегда, не взирая на их природу, и будет продолжаться процесс "зряшного" отрицания глубоких диалектических противоречий, которые не препятствуют, а, наоборот, способствуют развитию науки, если ее рассматривать в' широком историческом масштабе.

Глава третья - "философские аспекты проблемы отражения диалектики бесконечности" - содержит три параграфа.

В первом параграфе' - "Проблема актуальной и потештальной бесконечности" - рассматривается современное положение по данной проблеме в марксистской философии.

Хотя открыто финигистской позиции нет в современной марксистской философии, однако в скрытом виде она встречается. В частности,' она содержится и в отрицании актуальной бесконечности. В результате анализа существующих точек зрения делаются следующие. Выводы.

В концепциях признания актуальной и потенциальной бесконечности появились новые "расщепления". Во-первых, одни авторы стали поьлмать актуальную бесконечность как содержащую в себе потенциальную, а другие считают, что потенциальная и актуальная бесконечности являются равноправными понятиями, характеризующими бес- • конечность с двух различных сторон. Во-вторых, одни понимают актуальную бесконечность как какую-то'застывшую "законченность"; другие же принимают ее как становящееся бесконечное множество бесконечностей, - в соответствии с современными положениями математики. В актуальной бесконечности движение предполагается ничуть не в меньшей степени, чем в потенциальной. Разница лишь в том, что в актуальной бесконечности имеются в виду рубежи пройденных бесконечных, а не только конечных величин, как в потенциальной.

В-третьих, появилось мнение, что кроме актуальной и потенциальной бесконечностей необходимо ввести новые типы бесконечности. Например, Г.И.Наан вводит понятия бесконечности топологической, аффинной, метрической и других. Однако эта точка зрения пока мало поддерживается тем более что сам ее автор признает

I См. критику этой точки зрения Г.И.Рузавиным // Бесконечность и Вселенная. - М.: Мысль, 1569. С.78.

возможным охватить все эти типы теоретико-множественным, т.е. актуальным видом бесконечности

По поводу существующих концепций и дискуссий необходимо добавить следующее. До сих пор в советской философской литературе сохраняется в основном представление о том, что то деление бесконечностей, которое существует фактически еще по крайней мере с античного времени, совсем или почти не изменилось до сих пор. Однако с этим согласиться никак нельзя. В содержание

указанных видов бесконечности давно уже внесено усилиями философов и математиков много нового, хотя иногда можно встретить еще в философских работах представление о потенциальной бесконечности как об отражающей движение более полно и точно,', чем актуальная. На самом же деле именно в понятии актуальной бесксйечности наиболее явно обнаруживается, отражается диалектика бесконечного и конечного. Понятие потенциальной бесконечности отражает определенный этап в изучении объективной бесконечности, определенную ступень постижения ее содержания, являясь односторонним и более бедным по сравнению с понятием актуальной бесконечности, в которой более адекватно отражается диалектическая противоречивость бесконечности. В понятии потенциальной бесконечности объективная бесконечность отражается, во-первых, только в виде возможности, во-вторых, качественно своеобразные ступени бесконечности здесь представлены лишь в виде конечных множеств и, в-третьих,' диалектическое противоречие здесь отражается весьма поверхностно. Бесконечное представлено только через конечное. Бесконечное как таковое, в своем актуальном виде здесь не присутствует.

Актуальная бесконечность отражает объективную диалектику гораздо глубже и полнее. Во-первых, в ней видна диалектика движения и покоя, возможности и действительности, так как, с одной стороны, она представляет нам бесконечность в целом, а, с другой стороны, дает возможность для бесконечно!« процесса всевозможных последовательностей. Во-вторых, она отражает прерывность и непрерывность в своем содержании, так как, с одной стороны, она складывается из различных ступеней, различных в своем качестве, как особые специфические величины. С другой же стороны, она сама

I См. Наан Г.И. Типы бесконечного // Эйнштейновский сборник. -М.: Наука, 1967. С.302. .

представляет'собой нечто целое и единое, неразличимое в себе,в отличие от других видов бесконечности. Да и те "ступени", из которых она состоит, если их рассмотреть как различающиеся только количественно и в совокупности, - представляют собой единый непрерывный поток, процесс. Однако эти количественные ступени существенно различаются: например, счетная и несчетная бесконечные совокупности. В-третьих, диалектика части и целого, существующая уже и в конечном,'здесь выступает особенно резко, поскольку для актуального бесконечного часть может быть в некотором смысле "равна", т.е. эквивалентна, своему целому. В-четвертых, противоположность актуальной бесконечности выявляется через отношение с нулем. С одной стороны, эти понятия имеют диаметрально противоположное содержание, поскольку бесконечность в абстрактном смысле охватывает всё, а нуль - н'кчто. Но, с другой стороны, бесконечность, как и нуль, не следует понимать бессодержательной и абстрактной. Бесконечность всегда так же конкретна, как и ничто, она всегда является бесконечностью чего-то.

. В-пятых, бесконечность всегда обременена конечностью, всегда складывается из конечных величин, элементов. Но в то же время бесконечность не совместима с конечным, ибо имеет противоположные ей свойства. Именно актуальная бесконечность, на которой основана теория множеств Г.Кантора, явилась камнем преткновения для многих ученых.

Кроме того, в потенциальной бесконечности не предполагается, что может быть различная "скорость" движения по.направлению к бесконечности, - а. от этого зависит и то, к какому конечному числу в каждый данный момент мы придем и какова "величина", т.е. тип, степень получаемой бесконечности, а также и то, какова сумма бесконечного потенциального вроде бы ряда (например, - I, 1/2, 1/4 и т.д.), - а ведь она идет иногда к конечной сумме! Следовательно, давно необходимо сообразовываться о данными математики, конкретизировать понятие потенциальной и актуальной бесконечности, разделить их на ступени, дать название их направленности (например, может быть, - прогрессивная, регрессивная, нисходящая, восходящая к т.п.). Ведь за многие сотни лет содержание понятий конечного и бесконечного обогатилось и философией, и математикой.

. Во втором параграфе - "Проблема соотношения конечного и бесконечно го и познаваемости бесконечного - отмечается, что в вопросе о соотношении конечного и бесконечного в целом имеются положения, во-первых, о единстве и противоположности конечного и бесконечного, и, во-вторых, о том, что конечное, с одной стороны, содержит в себе бесконечное, а, с другой стороны, является элементом, частицей бесконечного, т.е. что материя бесконечна и "вширь", и "вглубь".

Речь может идти только о конкретизации этих положений. Одни виТ '2 дат путь к этому через математику , а другие - через физику . И '

то, и другое правомерно, на наш взгляд, если не забивать при этом

о философском аспекте проблемы бесконечности. В конкретизации

этого вопроса возможны различия.

Ясно, что признавая диалектику конечного и бесконечного, следует признавать и познаваемость бесконечного, которое не является потусторонним по отношению к конечным вещам, а существует в них, через них. Но возникает вопрос о необходимости отражения противоречий бесконечности в частных науках. Большинство советских философов считает, что диалектические противоречия должны отражаться, например, в математике 3. Однако и среди них есть различие во взглядах. Одни считают, что противоречиями бесконечности должны заниматься только в философии, а в математике никаких противоречий быть не должно Некоторые стремятся лишь извне дополнить формальную логику методологическим принципом диалектического материализма о неисчерпаемости материи Т.А.Горолевич высказывает предположение, что решение вопроса об отражении противоречивости бесконечности может лежать на пути использования "нестрогих"

1 Наан Г.И. Понятие бесконечности в математике и космологии // Бесконечность и Вселенная. - М.: Мысль, 1969. С.49-50.

2 Мелюхин С.Т. Материя в ее единстве, бесконечности и развитии. - М.: Мысль, 1966. С.172.

3 Яшин Б.Л. Диалектическое и формально-логическое противоречие // Диалектический материализм и философские вопросы естествознания. - М., 1982. С.157; Султакгузин Т.Г., Колоколъцева A.A. Категория противоречия в научном познании // Категории диалектики и научное познание. - Уфа: изд. Башк. унив., 1985. C.8I-82 и др.

4 Протопопов Ю.К. Диалектика конечного и бесконечного // Ленинская теория познания и соврёменная наука. - Саратов, 1970.

С.123.

5 Чудинов э.М. Логико-гносеологические аспекты проблемы бесконечности Вселенной и релятивистской космологии: Автореф. дис. ... докт. филос. н. - М., 1968. С.26, 31.

математических методов Последователен в этом вопросе болгарский философ С.Петров, который считает необходимым введение критерия различения формально-логических противоречий и диалектических.• Подобные предложения есть и в других работах2. Нам кажется, что для выявления характера противоречия, которое обнаруживается в науке, необходим комплексный анализ, и конкретно-научный, и фило-софско-методологический, и, - если это возможно, - практический." Последний, конечно, является самым существенным, и беда лишь в том, что он не всегда доступен, особенно в наиболее абстрактных областях науки, как это бывает в философии, математике и других подобных науках. Следовательно, лишь всесторонний научный, логический и.методологический анализ может дать правильный вывод о том, что за противоречие имеем мы в каждом данном случае и, соответственно, - что с ним можно и нужно делать. Разумеется, выход из противоречивой, парадоксальной ситуации, - если признано, что она есть отражение диалектического противоречия, - зависит от мировоззрения и методологии того, кто приходит к такому выводу.

Гносеологическим аспектом проблемы бесконечности является вопрос о доказательстве объективного содержания понятия бесконечности. Выводится ли оно из каких-то более общих положений, имеет ли опытное происхождение, или постулируется, как аксиома? Нам кажется важным подчеркнуть здесь необходимость связи понятия бесконечности с опытом, тем более, что некоторые авторы совершенно ее отрицают. Например, Н.М.Соловьев пишет, что идея бесконечности "лежит вне сферы непосредственной практической проверки" 3. Но вряд ли имеет смысл говорить о "непосредственной" практической

1 Горолевич Т.А. Современные концепции бесконечности и. реальность. -Минск: Наука и техника, 1984. С.77-79. ..

2 См. Петров С. Парадоксы в философской интерпретации // Вопросы филос. - 1972, № I. C.II0-1I7; Пузиков П.Д. О предмете диалектической логики // Филос. науки. - 1973. № 3. C.35-4I; Бахтия-ров К.И. Об одном подходе к формализации парадоксальных ситуаций // Филос. науки. - 1976. № I. С.52-62; Сидоренко Е.А. Принцип непротиворечия и парадоксальность формальэованных теории // • Вопр.филос. - 1983. К 6. C.9I-97; Молодцов A.B. Соотношение диалектического и формального аспектов противоречий в процессе познавательной деятельности // Филос. вопросы медицины и биологии, - Вып.17. - Киев: Эдоров'я, 1985, С.63 и др.

3 Соловьев Н.М. Философское и математическое понимание бесконечности и ее мировоззренческое значение // 0 коммунистич. воспитании и некоторых мировоззренческих проблемах философии, -Псков: Лениздат, 1975. C.I02.

проверке каких бы то ни било идей. Они, конечно, всегда проверяются опосредствованно, поскольку должны пройти процесс конкретизации. Включаясь в математические расчеты, применяемые непосредственно в материальной практике, бесконечность тем самым находит себе практическую проверку, поэтому безоговорочно исключить идею бесконечности из сферы непосредственной практической проверки вряд ли правомерно. Точнее было бы сказать, что истинность содержания бесконечности не может быть подтвервдена на практике целиком, окончательно. Но если признать, что идея бесконечности находится совершенно вне сферы практики, то тогда оказывается мистическим ее происхождение: ведь даже фантастические образы могут быть соотнесены с практической деятельностью! На самом деле понятие бесконечности использовалось многократно в течение многих веков в математических операциях, дававших расчеты для создания весьма практических вещей: мостов, машин, механизмов и т.п., так что связь бесконечности со сферой практики чрезвычайно многообразна и тесна.

Признавая существование и познаваемость философского содержания понятия бесконечности, можно по-разному трактовать соотношение его с частнонаучным содержанием этого же понятия. На наш взгляд, задача в этом направлении заключается в том, чтобы достичь такого единства философской методологии и науки, когда последняя вся будет соответствовать научной методологии, будет являться конкретным воплощением ее. Но, конечно, это - в идеале. В действительности же развивается не только наука, но и методология, хотя у некоторых авторов * получается так, будто методологические принципы будут всегда одними и теми же, - -не предполагается никакая их конкретизация, а наука, - о бесконечности в том числе, - будет постоянно развиваться. Следовательно, например, если принцип единства и противоположно ста конечного и бесконечного или диалектика потенциального и актуального в бесконечности не могут считаться методологическими регулятивами, а к математике их тоже не отнесешь, т.к. они не входят в ее предмет, то куда же отнести такие "промежуточные" положения?! А ведь к ним относятся все положения о философских категориях и их соотношениях! История развития знания свидетельствует в пользу того, что бесконечность может быть познана только совместными усилиями философов, математи-

I См. // Бесконечность и Вселенная, М.: Мысль, 1969. С.129, 1Г>6.

- 20 •

ков и естествоиспытателей,

В третьем параграфе - "О статусе попятим "крнечноо" и "бесконечное" как философских категорий" - решаются вопросы, касающиеся бесконечного и конечного как философских категорий.

. Философские категории диалектики должны обладать следующими признаками: I) они должны иметь всеобщность объема или объекта отражения; 2) они должны быть отражением определенной стороны диалектического закона единства и борьбы противоположностей; 3) они должны быть независимыми от других философских категорий, т.е. не 'быть заменяемыми с помощью уже существующих категорий или, иначе говоря, должны быть ближайшей конкретизацией категории "диалекти-' ческое противоречие". Даны выводы о четырех типах всеобщности категорий. Существуют: I) всеобщность понятия, объединяющего' в себе обе противоположности всеобщего диалектическою противоречия; 2) всеобщность-поштия, отражающего лишь одну из сторон всеобщего диалектического противоречия; 3) всеобщность, понятий, являющихся . непосредственной конкретизацией категорий первого и второго типа всеобщности; 4) всеобщность понятий, имеющих всеобщность объекта отражения. ■ •

Конечное и бесконечное обладают всеми перечисленными признаками статуса философский категорий диалектики.

Обосновывается положение о том, что в настоящее .время: не все существующие, признанные в диалектическом материализме парные категории выражают полностью диалектические противоположности.- Так, например, не являются такими категориями возможность и'действительность, которые можно было бы, как это ужо делают некоторые авторы, дополнить категорией "невозможность" "Линия" развития отношения в таком случае продлевается от возможности - через действительность -к невозможности. "Средняя", промежуточная категория, -в данном примере "действительность", - может иметь бесконечное число "степеней" выражения, поскольку она отражает всевозможные количественные вариации единства, сочетания обеих противоположностей: возможности и невозможности. Аналогично положение с категориями конечного и бесконечного. Бесконечное - это то, что не имеет ни нача-

I См., например: Тугаринов В.П. Соотношение категорий диалектического материализма. - Л.: изд. ЛГУ, 1956. С.Ю; Чернов В.И. Анализ философских понятий. -М,: Наука, 1966. С.151-153.

да, ни танца. Противоположностью его является как будто бы то, что имеет и начало, и конец. Но в таком случае у нас получаются внешние противоположности, которые только противостоят друг другу, не имея единства. Противоположностью бесконечного является, на атом основании, не конечное, 'а ничто, которое так же, как и бесконечное, не имеет ни начала, ни конца, но в то же время не имеет и никакого количества, отрицает его целиком, всё, в то время как бесконечное отражает все количество, всю количественную возможность чего-то данного. Конечное же на самом деле есть промежуточная категория, отражающая всевозможные сочетания "ничто" (нисколько) и "бесконечности" (всего). Ведь всякое конечное - это наличие чего-то, но в то же время и отсутствие, отрицание какой-то части, момента бесконечного, не урезанного никаким "ничто": конечное аналогично единичному, ибо любую отдельную вещь можно назвать конечной Конечное вовсе не является диалектически противоположным ни бесконечному, предельному наличию, ни нулю, как предельному количественному отсутствию чего-то, а представляет собой единство частичного количественного наличия и частичного количественного отсутствия, что и позволяет применять эту категорию к любому единичному явлению.

В параграфе сделаны еще два замечания. Во-первых, тремя категориями диалектики отражаются, обозначаются лишь три соотношения* противоположностей: два крайних и одно промежуточное. Но можно создавать категории и о других соотношениях противоположностей в явлениях. Относительно конечного и бесконечного это могло бы выражаться в числах, если брать математически абстрактное соотношение. Бели же брать какие-то качественно определенные предметы, явления, то а в них можно выделить и обозначить какими-то новыми, соответствующими категориями различные степени количественного соотношения отсутствия и присутствия в них определенных свойств.

Во-вторых, одна и та же категория может отражать одну из противоположных сторон не только одного противоречия, но и другого, а, может быть, и нескольких. Например, категория "необходимость" выступает противоположностью не только по отношению к категории "случайность", а также и к категории "свобода" - в отражении социальной области явлений, это объясняется тем, что противоположные

I См. об этом //"Маркс К», Энгельс ф. Соч. 2-е изд. - Т.20.

С. 548-549.

отношения существуют в различных аспектах: в одном аспекте необходимость противоположна случайности, в другом - свобода. Точно так же причина в одном аспекте является противоположностью следствия, а в другом - цели и т.п.

В заключении диссертации делаются выводы относительно того вклада, который внесен в исследование темы. Даны перспективы для дальнейшего философского анализа в области исследованной темы.

Основное содержание диссертации отражено в следующих публикациях автора

1. Некоторые законы развития научного понятия // Доклады научно-технической конференции МЭИ. - М.: изд. МЭИ, 1967. - 0,5 п.л.

2. К вопросу о фило'софском значении проблемы бесконечности в математике // Тезисы докладов научно-технической конференции МЭИ. - М.: изд. МЭИ, 1968. - 0,75 п.л.

3. Парадоксы теории множеств и диалектика. - М.: Наука, 1976. -11,0 п.л.

4. Диалектика развития концепций бесконечности (депонир.). -М.: ИНШН АН СССР, 2982. - 15,5 п.л.

5. Диалектические противоречия в познании бесконечности // Становление и структура сознания и познания. - Иваново: изд. Иван. гос. унив., 1983. - 0,75 п.л.

6. О диалектике и метафизике в современной науке // Актуальные проблемы диалектической логики. - М.: ротапр. ИФ АН СССР, 1984. - 0,5 п.л.

?, Информация о докладе "Остаточные явления в традиционной логике" // Информационные материалы 50 СССР № 6(45). - М., 1984. - 0,06 п.л. -

8. Диалектические закономерности в историческом развитии науки // Диалектика познания и активность сознания. - Иваново: изд. Иван. гос. унив., 1986. - 0,75 п.л.

9. Развитие проблемы бесконечности в истории науки. - М.:-Наука, 1987. - 10,8 п.л. *