автореферат диссертации по философии, специальность ВАК РФ 09.00.08
диссертация на тему: Генезис теоретической математики как историко-научная и историко-философская проблема

Полный текст автореферата диссертации по теме "Генезис теоретической математики как историко-научная и историко-философская проблема"

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. Ломоносова

На правах рукописи

Бычков Сергей Николаевич

Генезис теоретической математики как историко-иаучная и историко-философская проблема

Специальность 09 00.08 - философия науки и техники

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора философских наук

Москва-2008 ии^1В781Б

С

003167815

Работа выполнена на кафедре философии естественных факультетов философского факультета Московского государственного университета имени М В Ломоносова

Официальные оппоненты:

Доктор физико-математических наук

С.С. Демидов

Доктор философских наук, профессор

В.И. Метлов

Доктор философских наук, профессор

А.А. Печенкин

Ведущая организация:

Московский педагогический государственный университет Защита состоится «18» июня 2008 г. в 1б25

на заседании Диссертационного совета по философским наукам Д.501.001.37 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119991, Москва, Ломоносовский проспект, 27, корпус 4, зал заседаний Ученого совета (ауд. А 518)

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале научной библиотеки Московского государственного университета имени М В Ломоносова (119991, Москва, Ленинские горы, 1-й корпус гуманитарных факультетов)

Автореферат разослан «14» марта 2008 г. Ученый секретарь

Диссертационного совета

Е В. Брызгалина

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования. Проблема генезиса теоретической математики неоднократно привлекала к себе внимание исследователей Особый интерес вопроса о происхождении математики в том, что в данном случае речь, по существу, идет не только о специальной науке, а о возникновении науки вообще, поскольку теоретическая математика, задав эталон строгости всему последующему точному знанию, фактически оказалась первой общепризнанной теоретической системой и идеал научности многие столетия формировался по математическому образцу.

Имеется и еще одна, более важная причина пристального внимания к проблеме возникновения теоретической математики Для современной математики не существует разделения на российскую математику, американскую математику, французскую математику и т.д Когда применяют эти словосочетания, то имеют в виду лишь то, что общими проблемами единой математической науки занимаются граждане России, США, Франции и т д Между тем в древние времена ситуация была существенно иной Математические знания в цивилизациях Вавилона, Египта, Индии и Китая объединял в целом практический характер, и с этой точки зрения, они представляли определенное единство Напротив, математические знания ученых Древней Греции отличались более систематизированным и абстрактным характером До сих пор геометрию во всём мире учат в соответствии с принципами, разработанными еще в евклидовых «Началах», а математика стран Востока представляет сегодня исключительно историко-научный интерес

Важно и то, что современная математика считает своей прародительницей именно греческую математику, которая по всем параметрам противоположна математике стран Востока В связи с этим выяснение и объяснение генезиса античной математики способствует более глубокому пониманию природы процессов, происходящих в современном математическом знании, рассматриваемом как часть общечеловеческой культуры

Степень разработанности проблемы. Зарождение теоретической математики в Древней Греции описывается в классических монографиях Б JI Ван дер Вардена и А Сабо1. Однако первым, кто правильно поставил проблему возникновения теоретической математики с присущим ей дедуктивным способом рассуждений и предложил оригинальную идею её решения, был А Н Колмогоров, в творчестве которого счастливым образом сочетались занятия математикой и интерес к истории В известной энциклопедической статье «Математика», опубликованной в 1938 г, он связал первые попытки систематического построения математической теории с более раз-

1 Ван дер Варден Б Л Пробуждающаяся наука Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции М, 1959, SzaböÄ Anfange der griechischen Mathematik Budapest, 1969

витой общественно-политической и культурной жизнью греческих государств, приведшей к высокому развитию диалектики, искусства спора, к привычке отстаивать свои утверждения в борьбе с противником И главное здесь не в конкретном содержании гипотезы, а в том, что Колмогоров первым осознал реконструкцию картины возникновения теоретической математики как проблему не внутриматематическую и не абстрактно-философскую, а как историко-научную проблему, которая именно так должна ставиться и решаться При этом подлинная причина возникновения теоретической математики оказывается определенной внешними по отношению к математике условиями

О нетривиальности подобного подхода говорит тот факт, что более чем двадцать лет спустя А Д Александров в одноименной статье в философской энциклопедии привлекает более традиционный - внутриматематический -способ объяснения, связывая появление теоретического способа вывода новых результатов и первых математических доказательств с накоплением математических знаний, с установлением зависимости между получаемыми результатами и унификацией правил решения задач

Тем не менее, последние полвека подход к проблеме генезиса теоретической математики, проложенный Колмогоровым, стал преобладающим Важный вклад в решение рассматриваемой проблемы внесли работы Ж-П Вернана, ИН Лосевой, А Г Барабашева, А И Зайцева, МК Петрова, В М Розина, В С Степина2

Среди исследователей данной проблемы, большинство которых являются представителями гуманитарного знания, возобладал подход, в соответствии с которым причины возникновения теоретической математики в Древней Греции VI—IV вв до н э следует искать в отличительных особенностях эллинской цивилизации Ищутся те или иные факторы социокультурного характера, наличествовавшие в Элладе и отсутствовавшие в цивилизациях Востока, которые и объявляются причинами возникновения теоретической математики именно в Греции В числе специфических предпосылок, обусловивших возможность зарождения теоретической науки в Древней Греции, в этих работах приводятся полисный тип общественного устройства, ненаследуемость профессий, особенный характер древнегреческого языка и другие факторы

2 Верная Ж -П Происхождение древнегреческой мысли М, 1988, Лосева И Н Теоретическое знание проблемы генезиса и различения форм Ростов-на-Дону, 1989, Барабашев А Г Диалектика развития математического знания М, 1983, Зайцев А И Культурный переворот в Древней Греции УЩ-У вв до н э Л , 1985, Петров МК Искусство и наука Пираты Эгейского моря и личность М , 1995, Розин В М Специфика и формирование естественных, технических и гуманитарных наук Красноярск, 1989, Степин В С Теоретическое знание Структура, историческая эволюция М, 2000

Значительное количество различающихся точек зрения свидетельствует не только об актуальности проблемы генезиса науки, но и об определенном кризисе, назревшем в процессе ее решения Дело в том, что все имеющиеся в распоряжении исторические сведения не связаны напрямую с поставленной проблемой и известны из вторых или третьих рук. В подобной ситуации исследователь поневоле вынужден прибегать к косвенному методу воссоздания исторической картины - реконструкции Поскольку каждая реконструкция основывается на более или менее осознанных субъективных установках методологического характера, предопределяющих выбор тех или иных факторов, то наличие нескольких конкурирующих концепций, в равной мере не противоречащих скудному запасу исторических сведений, представляется естественным, сопутствующим решению данной проблемы обстоятельством Вопрос, следовательно, в том, можно ли найти такой подход к реконструкции процесса возникновения теоретической математики, который исходил бы целиком из существа рассматриваемой проблемы и был бы в этом смысле объективным? Без ответа на него любой попытке реконструкции процесса возникновения древнегреческой дедуктивной геометрии так и суждено будет оставаться лишь более или менее правдоподобной гипотезой

Предмет диссертационного исследования - воссоздание процесса возникновения теоретической математики в Древней Греции У1-1У вв. до н э в его взаимосвязи с развитием философского мышления в исследованиях Сократа, Платона, Аристотеля и стоиков

Цель и задачи диссертационного исследования. Цель исследования -найти специфические факторы социокультурного характера, обусловившие возникновение теоретической математики с присущим ей аксиоматическим методом изложения материала в Греции в VI—IV вв. до н э ив то же время объясняющие отсутствие дедуктивной математики в древних цивилизациях Востока

Автор ставит перед собой следующие задачи-

• Найти подход к реконструкции генезиса теоретической математики, который не опирался бы на а рпоп выставленные гипотезы

• Выяснить взаимоотношение аксиоматического метода и практически ориентированных наук

• Определить роль геометрии как теоретической науки о свойствах фигур и тел в формировании аксиоматического метода изложения изучаемого материала

• Проанализировать процесс формирования идеала теоретического знания в древнегреческой математике

• Выяснить роль софистики в формировании строгости при изложении математического знания

• Определить степень влияния египетской геометрии на формирование греческой теоретической математики.

• Выяснить значение аксиоматического метода в современном преподавании математических дисциплин.

• Проанализировать степень эффективности аксиоматического метода в исследованиях по созданию искусственных интеллектуальных систем

• Продемонстрировать роль древнегреческой дедуктивной математики в формировании ключевых понятий античной философии. «Ум-перводвига-тель», «смысл», «символ», «метафора»

Методологическая основа исследования вытекает из его первоочередной задачи - попытки найти такой способ отыскания внешних по отношению к математике социокультурных предпосылок её возникновения, который, в то же время, был бы внешним по отношению к истории как таковой Такой способ можно взять только из анализа специфики дедуктивно-аксиоматического метода, выделяющего его среди всех других способов систематизации научного знания.

Подобный ход мысли также можно рассматривать как «наложение» некоторой априорной рамки на историко-научный материал, что автоматически сделало бы предпринимаемую реконструкцию чувствительной к критике Чтобы предупредить возможный упрек сама указанная методология нахождения предпосылок «дедуцируется» из наличного состояния историко-научной проблемы

Во главу исследования поставлен один-единственный факт - уникальность греческой дедуктивной математики, требующая поиска причин отсутствия аналогов в науке древневосточных цивилизаций Анализ этого исто-рико-научного факта и приводит последовательно сначала к обоснованию существования некоторых социокультурных предпосылок зарождения аксиоматического метода рассуждений в математике, а затем и к поиску подобных - названных формальными - предпосылок Данная идея возникает как бы способом «от противного» мы не имеем никаких гарантий, что в результате она позволит получить «правильную» реконструкцию, поскольку исторических фактов слишком мало, но иных вариантов достижения успеха в решении проблемы попросту нет

Побочным продуктом такого подхода оказывается отсутствие необходимости в привлечении извне каких-либо общих методологических представлений для анализа рассматриваемого историко-научного материала Последнее немаловажно по той причине, что формирование европейской философии, начиная с Аристотеля, шло под активным воздействием зарождавшейся в то же время теоретической математики Лишь отказавшись от использования современной методологии для решения рассматриваемой проблемы, удается сохранить критическую дистанцию и по отношению к доминирующим на сегодняшний день тенденциям развития теоретической математики, и по отношению к практикуемым в современной философии науки методологическим подходам в проведении конкретных историко-научных

исследований Возможно, тема настоящей диссертационной работы - единственный пример, когда подобная «методологическая» позиция оказывается оправданной и эффективной В проблеме генезиса теоретической математики методологическую функцию в состоянии взять на себя ключевые для рассматриваемой проблемы исторические факты, имеющие инвариантный по отношению ко всякой возможной методологии характер

Положения, выносимые на защиту, и их новизна.

1 Показано, что аксиоматический метод принципиально не может зародиться в рамках практически ориентированной системы знаний Следствием этого вывода является утверждение, что дедуктивный способ рассуждений может возникнуть только в теоретической системе знаний Это и есть первая из формальных предпосылок возникновения аксиоматического метода

Новизна полученного результата заключается в том, что впервые теоретический характер евклидовых «Начал» осознан не как сопутствующий историческому исследованию факт, а как формальная предпосылка возникновения дедуктивного способа доказательств на основе аксиом и постулатов

2 Аксиоматический способ рассуждений не мог появиться в качестве побочного продукта деятельности с целью, внешней по отношению к полученному результату (например, исходя из потребностей максимально компактного изложения материала в учебных целях) Преобразование науки в дедуктивную форму могло произойти только в результате последовательных целенаправленных действий по выявлению и формулированию тех простейших определений и утверждений, к которым сводятся в конечном счете все ее теоремы и предложения Краткость изложения и доступность понимания при этом не играют первенствующей роли

Новизна полученного результата заключается в том, что впервые на абстрактно-логическом уровне показана роль релятивистского мышления софистов как провоцирующей причины появления аксиоматического метода в качестве защитной меры

3 Утверждается, что аксиоматический метод мог возникнуть только в теоретической геометрии, где имеется раздел о свойствах углов Где бы и когда бы ни возник дедуктивный метод рассуждений, он, как и на земле Эллады, мог появиться только в форме постулата о параллельных прямых Именно этот постулат, с одной стороны, обосновывает в рамках планиметрии возможность построения прямоугольника на заданном основании, а с другой стороны, вместе с ним в геометрии появляются бесконечные углы, «корректность» представления о которых может быть обеспечена лишь заменой реальных предметных действий построениями, осуществляемыми в человеческом воображении

Новизна полученного результата заключается в том, что благодаря ему выявлена действительно фундаментальная роль геометрии в возникновении и развитии аксиоматического метода, место и значение которой с объектив-

ной точки зрения нисколько не уменьшилось даже после объявления Бур-баки данного метода основой для построения всего математического знания

4 Показано, что превращение прикладных геометрических знаний египтян в теоретическую науку произошло не в сознании греческих математиков, а в более широком целом - жизнедеятельности всей эллинской цивилизации. Если для египтян выполняемые на плане пирамиды построения были подчинены процессу её сооружения, то для греков, не возводивших подобных конструкций, свойства данных построений поневоле оказывались «знанием ради знания» Созерцательное рассмотрение достижений египетского землемерного искусства - единственно возможный способ усвоения мудрости древнейшего из народов молодой эллинской цивилизацией

Новизна полученного результата заключается в демонстрации ограниченности классической теории абстракции Аристотеля с точки зрения социокультурного подхода Абстракции геометрических фигур возникают не как следствие определенной онтологии - способности души воспринимать форму тела без его материи В действительности процесс формирования геометрических абстракций в эллинской геометрии имел гораздо более сложную природу Сначала геометрия должна была превратиться из измерительного искусства в теоретическую науку, изучающую свойства фигур не ради какого-либо практического дела, а исключительно ради них самих И лишь затем уже на этой основе сознательные усилия ученых, вызванные потребностями общественной жизни, могли привести к возникновению соответствующих представлений о невещественных геометрических объектах.

5 Превращение эллинской теоретической геометрии в дедуктивную науку было неизбежным в конкретных исторических условиях кризиса античного полиса Вместе с тем, само наличие геометрического искусства как «знания ради знания» в Древней Греции не связано с особенностями её политического устройства и объясняется сравнительно низким техническим уровнем эллинской цивилизации, несопоставимым с техническим уровнем Египта времен Древнего Царства, достигнутым за две с лишним тысячи лет до времени возникновения и расцвета греческой науки.

Новизна полученного результата заключается в пересмотре имеющегося взгляда на современную математику как на единственно возможную форму математического знания, отвечающего его «природе» и не зависящего от конкретно-исторических условий его возникновения В действительности, именно недостаток «знания» математики о себе самой и условиях своего возникновения делает ее особенно уязвимой для критики со стороны других наук (например, философии науки или физики).

6 Продемонстрирована неэффективность аксиоматического метода в качестве инструмента решения важнейшей педагогической задачи - овладения искусством самостоятельно мыслить в процессе обучения математике. Эта задача была сознательно поставлена Ж Дьедонне при пересмотре со-

держания курса геометрии во Франции в 60-х гг прошлого столетия и переводе его с языка евклидовой традиции на язык линейной алгебры.

Новизна полученного результата заключается в демонстрации преимуществ классического курса геометрии с точки зрения получения среднего образования перед «модернистским» его изложением на основе идей линейной алгебры Особая ценность классического курса с точки зрения развития мышления учащихся заключается в том, что геометрия благодаря наглядности как никакой другой школьный предмет способствует развитию умения находить опосредствующие звенья между областью наличного знания и тем, что предстоит найти

7 Показана невозможность создания искусственного интеллекта до тех пор, пока не будут найдены технические возможности моделирования способности естественного интеллекта производить операцию целенаправленного отбора имеющихся сведений в соответствии с предъявляемой для решения задачей

Новизна полученного результата заключается в отыскании одной из многих способностей человеческого мышления, отсутствие подходов к технической реализации которой сводит на нет в настоящее время все попытки создания эффективно работающих интеллектуальных систем Эта способность играет важнейшую роль в процессе создания нового знания, но не развивается при обучении математике на основе идей аксиоматического метода Слабости аксиоматического метода в качестве способа получения нового знания объясняют его неэффективность и как метода решения задач «искусственного интеллекта»

8 Показана роль дедуктивной математики в формировании в античной философии представления об идеальных объектах и таких ее понятий, как «смысл», «символ», «метафора»

Новизна полученного результата заключается в демонстрации социокультурной детерминированности наряду с дедуктивной математикой также и ряда важных понятий западной философии, представляющихся, на первый взгляд, неотъемлемыми инструментами философского мышления

Научно-теоретическая и практическая значимость исследования. Выводы диссертации определяют новую интерпретацию проблемы генезиса математики, что может стать отправным пунктом для последующих исто-рико-научных исследований Результаты работы могут быть использованы также в исследованиях по философии науки, философской компаративистике, а также в преподавании математики и написании учебных пособий по математике для студентов технических и гуманитарных специальностей Материалы диссертации могут стать теоретической основой для разработки специальных курсов по философии математики

Апробация работы. Основные положения и выводы диссертации нашли отражение в 39 научных публикациях автора Результаты работы неод-

нократно докладывались на различных научных конференциях и семинарах, использованы в чтении учебных курсов и написании учебного пособия по математике для студентов гуманитарных специальностей

Структура и объем работы. Диссертация изложена на 307 страницах машинописного текста; состоит из введения, 3 глав, заключения, списка литературы (на с 276-305), включающего 394 источника (из них 308 - на русском и 86 - на иностранных языках) и приложения.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение обосновывает актуальность темы и показывает степень и характер её разработанности, содержат постановку задачи исследования как историко-научной проблемы В этой части работы сформулированы элементы новизны и положения, выносимые на защиту, а также охарактеризована значимость проведенного исследования.

В первой главе «Формальные предпосылки возникновения дедуктивной науки» разрабатывается подход к построению реконструкции генезиса теоретической математики, исключающий необходимость обращения к тем или иным априорным гипотезам исторического характера, на которые обычно опираются исследования данной проблемы.

В первом параграфе «Исторические и формальные предпосылки возникновения древнегреческой геометрии» предметом анализа становится, прежде всего, сама целесообразность привлечения понятия предпосылки для построения исторической реконструкции процесса превращения математики в науку с присущим ей дедуктивным выведением теорем из определений и аксиом. Доминирование на протяжении тысячелетий в математике аксиоматического метода приучило к мысли о естественности подобного способа организации знания, что и было, по существу, зафиксировано А Д Александровым. « . наряду с накоплением математических знаний, с установлением связей между получаемыми результатами и унификацией правил решения задач складывались теоретические способы вывода новых результатов и первые математические доказательства В конечном итоге это привело к качественному скачку, сложилась чистая математика с ее дедуктивным методом»3 Ясно, что объяснение возникновения дедуктивной математики посредством применения закона перехода количественных изменений в качественные не требует отыскания каких-либо особых предпосылок исторического процесса преобразования математического знания на принципах логического вывода-все происходит совершенно автоматически под напором разрастающегося

3 Александров А Д Математика // Философская энциклопедия М, 1964 Т 3 С 331

10

объема сведений, вследствие чего конкретно-исторические особенности развития математики в той или иной цивилизации не должны играть никакой роли Вместе с тем, объем математических сведений, накопленных в средние века в Индии и Китае, был сопоставим с познаниями древних греков IV в до н э - времени возникновения аксиоматического способа построения знания Следовательно, в своем исходном виде гипотеза Александрова не в состоянии дать удовлетворительное объяснение сугубо греческому происхождению дедуктивной математики В параграфе показывается, что попытки модифицировать данную гипотезу неизбежно приводят к поиску причин, лежащих за пределами математики как таковой, а это и означает необходимость отыскания специфических «греческих» предпосылок возникновения дедуктивного способа рассуждений

Социокультурные концепции генезиса теоретической математики, наиболее ранняя из которых была предложена А Н Колмогоровым, в конечном счете, сводятся к выделению среди особенностей античной цивилизации одного или нескольких признаков, имеющих отношение к рассматриваемой проблеме и характерных для одной только Эллады. Таким способом можно надеяться одновременно объяснить как зарождение дедуктивной математики именно в Греции, так и отсутствие подобного способа систематизации математического знания в других древних цивилизациях

Этому способу присущ важный с методологической точки зрения недостаток. при абстрагировании из конкретной исторической ситуации Греции VI—IV вв до н э одного или нескольких признаков, внешних по отношению к математике, но являющихся существенными - по замыслу исследования - для ее преобразования в теоретическую дедуктивную науку, мы лишены в самый момент абстрагирования какого-либо объективного критерия для предпочтения одних признаков по отношению к другим возможным их выборам Данное обстоятельство и приводит к появлению множества более или менее правдоподобных реконструкций, ни одной из которых нельзя отдать решительного предпочтения перед остальными.

Выход из данной ситуации можно искать только на одном пути, стремясь произвести отбор тех или иных предпосылок из наличной картины исторической действительности Греции вв до н э на основе строго объективного критерия, внешнего по отношению к истории как таковой Подобный критерий можно «извлечь» только из анализа «идеи» дедуктивно-аксиоматического метода Иного «источника» просто не существует,

В качестве критерия для различения дедуктивно организованной системы знания от недедуктивной науки можно взять образную характеристику специфики аксиоматического метода, принадлежащую С А Яновской «Математик обязан точно указать все свойства определяемых им объектов и не имеет права пользоваться никакими свойствами их, не содержащимися в определении и не вытекающими из него В последнем случае он должен уметь

доказать (используя опять-таки только то, что ему дано, и применяя только заранее перечисленные, как позволенные ему, операции), что свойство, которым он воспользовался, действительно следует из свойств, непосредственно содержащихся в определении. В этом смысле он бывает иногда похож на игрока в кегли, который мог бы спокойно подойти и сбросить любое (из возможных) число кегель руками, но который имеет право сбивать их только издали и только катящимися по земле шарами, т е строго соблюдая все правила игры»4. Сущность приведенной характеристики аксиоматического метода заключается в том, что в соответствии с ней всякая дедуктивная наука должна «добровольно» ограничивать свою связь с внешним опытом только формулировкой исходных положений и не требовать впоследствии дополнительного подтверждения собственных предложений сравнением с действительностью Исходя из этого и можно попытаться отыскать интересующие нас предпосылки возникновения дедуктивной математики.

Так как целесообразная деятельность по воспроизведению и приращению содержания уже сформировавшейся дедуктивной науки не зависит от времени и места ее протекания, то и найденные на этом пути предпосылки будут лишены «исторической плоти» и потому будут носить сугубо формальный характер По этой причине их естественно назвать формальными предпосылками возникновения дедуктивной математики Вместе с тем их нельзя противопоставлять историческим предпосылкам в собственном смысле этого слова Каждая формальная предпосылка является потенциально также и исторической предпосылкой, но оказаться таковой она может только после дополнения теоретического анализа конкретным историческим исследованием. Формальные предпосылки призваны играть роль того самого критерия, на основе которого выбор исторических предпосылок может быть осуществлен объективным образом Самой простой и абстрактной среди них должна быть та, которая отражает связь (или отсутствие таковой) между дедуктивным способом построения теории, в максимальной степени изолирующим ее утверждения от воздействия чувственно воспринимаемой реальности, и практической деятельностью, которая в эту реальность погружена

Второй параграф «Дедуктивный метод и практика» посвящен анализу возможности зарождения идеи аксиоматического способа построения знания в рамках прикладной науки. Деятельность ученого, занимающегося исследованиями практической направленности, подчинена схеме- дело - понятие -дело И исходный, и конечный пункт работы исследователя-прикладника обращены к реальности, что исключает, казалось бы, саму возможность возникновения свойственной дедуктивным наукам противоположной установки на ограничение контактов с действительностью только стадией формулирования исходных основоположений теории Тем не менее, и здесь могут

4 Яновская С А Содержательная истинность и формально логическая доказуемость в математике // Практика и познание М, 1973 С 247

встретиться ситуации, когда будет востребована идеология аксиоматического метода

Во-первых, она может оказаться полезной на заключительной стадии проверки прикладных разработок, если логические рассуждения окажутся в состоянии заменить проведение реального эксперимента, который может быть затруднен из-за большой стоимости или каких-либо иных причин Во-вторых, не исключено, что она могла бы помочь в процессе проектирования новых разработок

В параграфе показывается, что, несмотря на возможную полезность логической дедукции в задачах прикладного содержания, зародиться идея вывода сложных утверждений из принятых без доказательства основоположений в рамках практической деятельности все же никак не может Косвенно на это указывает отсутствие на сегодняшний день успешных примеров применения аксиоматического метода как в первом, так и во втором перечисленных случаях

Действительной причиной отсутствия успехов в первом случае при этом оказывается принципиальная невозможность учета общей физической теорией всех особенностей поведения сконструированной технической новинки в сложных внешних условиях. Качественная новизна воплощенных в объекте технических идей вынуждает осуществлять проверку не в мысленном или компьютерном, а в реальном эксперименте А это и означает, что на стадии проверки правильности разработанных практических предписаний применение аксиоматического метода не сулит никаких реальных выгод Причиной неудач попыток применения аксиоматического метода в задачах проектирования оказывается максимально «недедуктивный» характер операции синтеза если построение проекта содержит 10 отдельных шагов, то на каждом шаге, т.е. 10 раз, приходится привлекать информацию, не заложенную с самого начала в исходные основоположения дедуктивной теории, построенной специально для осуществления синтеза плана

Тем самым показано, что подлинный источник становления дедуктивного метода может быть найден только в теоретической сфере деятельности, ценность и значение которой не зависят от наличия сиюминутной выгоды, определяясь факторами иного - не материального - характера Наличие теоретической сферы «знания ради знания» становится, таким образом, первой формальной предпосылкой возникновения дедуктивного метода

В третьем параграфе «Стихийность и сознательность в возникновении аксиоматического метода» рассматривается вопрос о возможности зарождения идеи аксиоматического способа построения знания в качестве побочного продукта действий, имеющих внешний характер по отношению к данному результату (именно так возникает дедуктивный метод согласно концепции АД Александрова).

В первой части параграфа показано, что исключение повторов в изложении учебного материала с целью достижения максимальной его компактности недостаточно для автоматического преобразования какой-либо области знания в дедуктивную науку

Во второй части параграфа показано, что в действительности основная функция дедуктивного метода не прагматическая (как выглядит дело в «учебной» концепции его возникновения), а идеологическая, когда на первый план выходит задача сужения возможностей для оспаривания предъявляемых выводов со стороны оппонентов теории Наиболее эффективным средством защиты конкретного утверждения теории является предварительная формулировка всех используемых в нем без доказательства фактов до формулировки результата и реального осуществления рассуждения

В случае, когда принятые без доказательства факты преподносятся оппоненту после формулировки неприемлемого для него утверждения, он просто переносит свою отрицательную установку с конечного вывода на одну (или несколько) из посылок Если же все указанные факты были сообщены ему до формулировки результата (в таком случае они просто формируют предметную область будущего рассуждения), то тогда оппонент должен определить свое к ним отношение исходя из них самих, а не из внешней по отношению к ним установки, связанной с критической оценкой рассматриваемого утверждения. Поскольку их отрицание равносильно отрицанию самой предметной области теории, то до спора по существу одного из ее конкретных результатов дело попросту не дойдет Коль скоро отрицание всей теории лишено смысла, то тогда оппонент будет вынужден согласиться и с неприятным для него выводом, избежать которого при иной линии поведения автора результата он всеми силами постарался бы Никакой лучшей стратегии в деле защиты результатов «чистой» теории от предполагаемых возражений не существует Дедуктивный метод построения науки предстает в этой связи как максимально эффективный способ защиты как отдельных, так и всех результатов теории от возможного их опровержения

Сомнение обычно вызывают лишь наиболее сложные вопросы теории В каждом из этих случаев речь идет о возможных спорах между специалистами, которым нет необходимости ставить под сомнение сами основы своей теории, а, следовательно, и требовать максимально возможной строгости с первых шагов её построения Последнее необходимо лишь в том случае, когда подозрение вызывают все результаты теории независимо от специфики их содержания. А это происходит тогда, когда критика ведется не изнутри, а с внешней по отношению к теории позиции Именно при наличии такого общего критического настроя и возникает потребность в преобразовании науки в форму дедуктивной теории

Охарактеризовав аксиоматический способ построения теории как максимально эффективное средство защиты ее результатов от внешней критики,

можно констатировать, что преобразование науки в дедуктивную форму могло произойти только в результате последовательных целенаправленных действий по выявлению и формулированию тех простейших определений и утверждений, к которым сводятся в конечном счете все ее теоремы и предложения Устранение повторов в изложении теории на основе выявленных постулатов и аксиом, что вполне может диктоваться и имеющими внешний характер по отношению к сущности логической дедукции учебными целями, и должно в итоге привести к расположению материала в соответствии с канонами аксиоматического метода Отказ от использования содержательных представлений об объектах в процессе построения теории, формализм его отдельных шагов гарантируют непреложность выводов для самого придирчивого критика, если только он имел неосторожность согласиться с исходными основоположениями

Тем самым мы получаем вторую формальную предпосылку возникновения дедуктивного метода в обществе должна возникнуть релятивистская установка, защищающая тезис у каждого - истина своя Доказательный вывод на основе предварительно сформулированных начальных положений становится в таком случае неизбежной защитной реакцией науки от разрушительного для неё софистического релятивизма.

Четвертый параграф «Роль геометрии в становлении дедуктивного метода» посвящен проблеме, имеется ли для дедуктивного метода какая-либо «предпочтительная» предметная область или же он может рассматриваться как универсальный способ построения математического знания? Для Д Гильберта и Н Бурбаки, безусловно, правильным является второй вариант ответа. Однако С А Яновская в 1956 г. поставила и дала ответ на вопрос о причинах, по которым арифметика более чем на два тысячелетия позже геометрии приняла аксиоматическую форму5 Тем самым геометрия оказывается более приемлемой кандидатурой на роль прародительницы аксиоматического метода, нежели арифметика, что, очевидно, противоречит универсалистским притязаниям дедуктивного метода построения научного знания

В первой части параграфа показано, что аксиоматический метод не может зародиться не только в естественнонаучных теориях, где существует «внешний» способ проверки утверждения теории, не сводящийся к удостоверению отсутствия ошибок в его выводе, но и в арифметике. Каждое предложение, выводимое из аксиом формализованной арифметики, обладает и «содержательным» доказательством, не уступающим по степени убедительности формальной дедукции Аксиоматический вывод всегда может быть преобразован в содержательное рассуждение с помощью интерпретации всех шагов вывода на «квазипредметной» модели Последнее возможно по той причине, что сами законы счета, служащие прообразом аксиом формальной

5 Яновская С А Из истории аксиоматики // Историко-математические исследования М, 1958 Выл XI С 63-96

арифметики, не только обладают подобной интерпретацией, но и исторически могли быть осознаны только благодаря рефлексии над фактически осуществляемым пересчетом предметов путем перевода этой деятельности в план мысленного созерцания и представления Так как вопрос об истинности аксиом не обсуждается в рамках дедуктивной теории, то справедливость любого формально выведенного арифметического утверждения обусловлена принятием исходных основоположений, в то время как после «квазипредметной» интерпретации этот момент условности полностью исчезает А это означает, что переход на точку зрения аксиоматики не дает никакого выигрыша в отношении степени убедительности обоснования арифметических утверждений Наличие независимой внешней проверки справедливости предложений теоретической арифметики лишает ее «внутреннего стимула» к преобразованию в дедуктивную форму Вследствие этого арифметика также ни при каких обстоятельствах не могла стать первой дедуктивной дисциплиной

В геометрии, напротив, наряду с утверждениями, не требующими обращения к логической дедукции (например, доказываемого путем перегибания равенства углов при основании равнобедренного треугольника), значительное количество предложений не может быть доказано «предметным» образом. Поэтому геометрия вправе претендовать на роль «прародительницы» аксиоматического метода Но это само по себе не означает, что никакая другая наука на подобную роль претендовать не может

Для того чтобы в какой-то теоретической дисциплине могла зародиться идея логической дедукции необходимо, чтобы утверждения о свойствах ее объектов не допускали иного способа проверки, кроме повторения процесса мысленного их конструирования в соответствии с заранее принятыми требованиями Такой дисциплиной могла бы, в принципе, стать и логика, предметная область которой вообще не ограничена никакими рамками Во второй части параграфа, однако, показано, что осмысление практики дискуссий не может привести к возникновению идеи аксиоматического метода.

Существо дискуссии требует выхода за рамки формализованных представлений о предмете спора, поскольку с точки зрения дедуктивного метода оппонентам пришлось бы иметь дело одновременно с двумя противоречащими друг другу системами аксиом Последний удобен тогда, когда излагается и, соответственно, оспаривается только одна точка зрения.

Если содержательная сторона дискуссии служит препятствием для её эффективной аксиоматизации, то формальный её аспект вполне поддается изложению в духе логической дедукции О чем бы ни шла полемика и кто бы в ней ни участвовал, в ее «структуре» содержатся такие элементы, отказ от которых равносилен разрушению всей «конструкции спора» Если один из оппонентов согласился с тем, что из утверждения А следует утверждение В, а затем признал справедливость А, то он будет вынужден принять и утвержде-

ние В, как бы это не было ему невыгодно или неприятно Поставить под сомнение заключительный вывод означало бы лишить в дальнейшем также и себя самого какого-либо способа принуждения противника Аналогичным образом, нельзя не согласиться с одним из двух взаимоисключающих высказываний при условии, что оба они не могут быть одновременно ложными, а также с другими подобными «метаутверждениями», обязательность которых вытекает не из специфики «материи» спора, а из одной лишь его формы, «предполагающей» равные права участников дискуссии

По мере накопления подобных универсальных правил и под напором критики вездесущих оппонентов рано или поздно придется поставить вопрос и об их обосновании И тогда придется выделить среди этих правил простейшие и показать, что все остальные к ним сводятся Но это и было бы дедуктивным построением «теории ведения спора», или, в современной терминологии, - логики высказываний При таком сценарии первой дедуктивной наукой оказалась бы не геометрия, а логика. Однако на пути его реализации также возникают трудности.

Формальные правила, регулирующие поведение спорящих сторон, не зависят не только от содержания дискутируемых вопросов, но и от способа вывода заключений. Совершенно не важно, имеет ли он форму дедуктивного вывода из заранее оговоренных посылок, апеллирует ли к реальности или является всего лишь более или менее правдоподобным, рассчитанным на неопытность оппонента рассуждением, - во всех этих случаях в узловые моменты спора нейтральный судья-наблюдатель в состоянии вынести вердикт по поводу отдельных утверждений, ссылаясь на один только факт согласия каждого из участников спора с некоторыми из предшествующих предложений. Апелляция к формальной схеме умозаключения может быть целесообразной лишь тогда, когда доказательство посылок вывода произошло достаточно давно и оппонент мог уже и позабыть о нём, однако эта схема никогда не приводится в абстрактно-логическом виде, но всегда только в ее содержательном «обрамлении» Поэтому те правила вывода, которые создатель «теории спора» мог бы извлечь из реальной практики дискуссий, расположив затем их в соответствии с канонами аксиоматического метода, всё равно использовались бы на деле в их неформальном, «дотеоретическом» виде, и особенности дедуктивного построения логики высказываний никак не отразились бы на реальном предмете теории. Для того чтобы подобная теория «работала», а только это и могло бы оправдать ее существование (и последующую ее аксиоматизацию), она должна способствовать отысканию таких новых способов умозаключений, которые в практике дискуссий прежде не встречались и появились в ней затем именно благодаря дедуктивной форме данной теории Но это в действительности невозможно

В дискуссии формальный момент всегда подчинен ее предметному содержанию Если открытая дедуктивно-теоретически новая схема вывода

«внедряется» в материальную ткань полемики, становясь ведущей стороной в одной из критических точек дискуссии, то это означает, что не зависящая ни от какого содержания схема в состоянии сформировать из «материи спора» адекватное себе содержательное умозаключение, способствующее достижению целей одного из участников диспута Само собой понятно, что детерминируемая своим собственным содержанием структура дискуссионного процесса не допустит «вторжение» в нее со стороны «вещи», никак с этим содержанием не связанной По этой причине если исторически дедуктивное изложение логики высказываний все же возникает (как это имело место у стоиков), то оно должно быть привнесено в неё извне Отсюда, в свою очередь, следует, что должна существовать особая предметная область, специфическое содержание которой, как и в геометрии, способно породить из себя идеи аксиоматики

Специфическая роль геометрии в историческом становлении идей аксиоматического метода объясняется парадоксальным сочетанием двух противоположных обстоятельств: хотя свойства геометрических объектов в силу их особой наглядности могут быть открыты и разъяснены независимо от какой бы то ни было аксиоматики и дедукции, доказательство их истинности в большинстве случаев невозможно без опоры на предварительно сформулированные аксиомы и постулаты. Равенство внешнего угла треугольника сумме внутренних не смежных с ним углов не предполагает для объяснения его смысла каких-либо особых познаний в геометрии, однако для его доказательства пришлось бы углубиться в основы аксиоматического метода.

В арифметике и догадка, и проверка истинности сделанного утверждения вполне могут обходиться без явного формулирования дедуктивных основоположений, касающихся свойств натуральных чисел, что, собственно, и делает в ней аксиоматический метод «излишней роскошью». В логике высказываний сложные правила умозаключений невозможно, как и в геометрии, обосновать вне рамок аксиоматического метода, но уже сам способ их получения, коль скоро они не извлечены из реальной практики рассуждений, фактически является также и их доказательством. Если помимо геометрии никакая другая наука не обладает указанными ранее свойствами, это и означало бы, что ставшее умозрительной дисциплиной искусство землемерия является единственной областью знания, в лоне которой способен зародиться аксиоматический метод. Двойственный характер объектов «первой дедуктивной науки», становящихся «идеальными» при окончательном изложении её результатов, но в процессе их обоснования не противополагаемых чувственной реальности и потому целиком принадлежащих ей, накладывает достаточно жесткие условия, чтобы отождествить их с геометрическими фигурами Обоснованию этого утверждения и посвящена заключительная часть параграфа

Пятый параграф «Дедуктивный метод и математика восточных цивилизаций» занимает промежуточное положение в диссертации Рассмотрение формальных предпосылок в первой главе представляет собой вспомогательное средство для реконструкции исторического процесса, при этом условия места и времени в их конкретной определенности не играют никакой роли (хотя то обстоятельство, что человеческая деятельность не может протекать вне пространства и времени, весьма существенно для полученных выводов). Это и дает основание для «применимости» их к любой цивилизации, будь то Индия, Китай или Вавилон Вместе с тем, даже самое поверхностное обращение к истории этих цивилизаций указывает на недостаточность найденных предпосылок для выявления причин уникального характера эллинской математики В Вавилоне и других восточных государствах с древнейших времен были известны многие свойства фигур, включаемые ныне в курс аксиоматически построенной геометрии А с появлением во второй половине I тыс до н. э. в Индии и Китае противостоящих друг другу философских школ неминуемо должна была возникнуть потребность в защите их базисных положений от нападок оппонентов. Тем не менее, несмотря на наличие необходимых формальных предпосылок, дедуктивный способ рассуждений так и не сформировался ни в индийской, ни в китайской науке А это означает, что для объяснения уникального характера греческой дедуктивной геометрии желательно более конкретно определить ее специфику по отношению к геометрическим знаниям стран Востока

Значение математики для философии вообще и философии науки в частности связывают, в первую очередь, с фактом открытия неевклидовой геометрии Создание на базе отрицания постулата о параллельных теории столь же непротиворечивой, сколь и «Начала» Евклида, выявило «недоказуемость» возможности построения на заданном отрезке самой простой и главной фигуры в землемерном искусстве - прямоугольника Существование прямоугольника на заданном основании, в свою очередь, логически эквивалентно утверждению о равенстве суммы углов треугольника двум прямым. А это свойство стало предметом изучения только у греческих ученых

Хотя формулировки обоих утверждений относятся к ограниченным фигурам, строгое их доказательство предполагает «выход в бесконечность», и то, и другое требуют использования понятия параллельности, а там, где в чертеже возникают параллельные линии, неотъемлемой его частью становятся и заключающиеся между ними части плоскости. Поскольку неограниченная часть плоскости может рассматриваться как корректно определенное целое лишь в предположении однозначности продолжения прямой (угол как неограниченное подмножество плоскости должен однозначно определяться любой своей конечной частью), важно знать, можно ли ее гарантировать в рамках предметно осуществляемых построений. В параграфе показано, что при помощи реальных циркуля и линейки прямую в действительности одно-

значно продолжить нельзя. Тем самым понятие бесконечного угла оказывается принадлежащим уже не «геометрии чертежей», а науке, изучающей свойства идеальных, невещественных объектов.

Ключевую роль у Евклида в доказательстве однозначности продолжения прямой играет предложение I, 14, обратное к предложению I, 13, утверждающему постоянство суммы двух углов, заданного угла и смежного с ним Уже сама формулировка этих двух предложений предполагает IV постулат о равенстве всех прямых углов Именно этот постулат и является «ответственным» за превращение геометрии из науки о реальных чертежах в теорию, исследующую фигуры и тела, существующие исключительно в человеческом воображении.

Если бы в древнегреческой математике не возник раздел, изучающий свойства углов в треугольнике, то не было бы необходимости в переходе от «предметной» геометрии Фалеса к идеальной евклидовой геометрии. В математике восточных цивилизаций геометрия углов не рассматривалась, вследствие чего все ее утверждения могли быть обоснованы наглядно-предметным образом при неявно и бессознательно принимаемой «аксиоме существования прямоугольника» - предположении, впервые поставленном под сомнение Ламбертом лишь в XVIII в

Утверждение об обязательности для преобразования геометрии в дедуктивную науку наличия в ней раздела, изучающего свойства углов, может быть обосновано и чисто логическими рассуждениями Поэтому её правомерно рассматривать в качестве формальной предпосылки возникновения аксиоматического метода. Обращение же к истории математики восточных цивилизации было использовано в работе исключительно с целью упрощения рассуждений

Приведенное объяснение уникального характера греческой геометрии является неполным, так как необходимо также понять причины, воспрепятствовавшие изучению свойств произвольных углов в науке восточных цивилизаций. Эти причины могут иметь только конкретно-исторический характер Их исследованию посвящена вторая глава «Исторические предпосылки формирования дедуктивной математики»

Первый параграф «Формирование идеала теоретического знания в древнегреческой математике» посвящен выяснению обстоятельств, способствовавших становлению геометрии как абстрактной науки о свойствах фигур и тел.

Проблемы чисто теоретического характера появились в математике задолго до возникновения аксиоматического метода В Вавилоне уже в эпоху Хаммурапи решались многочисленные задачи наподобие нахождения сторон прямоугольника по известным периметру и площади Такого рода проблемы, возникающие в качестве обратных к непосредственно связанным с хозяйственной деятельностью прямым вычислительным задачам, не имели никогда

никакого практического значения и относятся поэтому к теоретической математике Вместе с тем, вавилоняне не смогли выработать представления об абстрактных математических объектах В то же время Платон и Аристотель едины в том, что математические объекты относятся к области умопостигаемого и ни в коем случае не могут отождествляться с их чувственными изображениями Поэтому подразделение знаний на теоретические и практически ориентированные, послужившее основой для нахождения первой из формальных предпосылок возникновения дедуктивной науки, недостаточно для выявления исторической специфики древнегреческой геометрии

Поскольку ранее уже была установлена особая роль учения о свойствах углов в становлении дедуктивной математики, то естественно выяснить, каким образом в греческой геометрии закрепился такой его основополагающий факт, как равенство углов при основании равнобедренного треугольника. Подлинное значение данного утверждения в том, оно является единственным опосредующим звеном между свойствами сторон и свойствами углов в треугольнике, а следовательно, ни одна цивилизация, не зная его, не в состоянии приобщить к числу принадлежащих ее науке сведений неочевидный факт постоянства суммы углов в каждом треугольнике независимо от величин составляющих его элементов А без этого факта нет шансов и на создание дедуктивного способа построения математического знания силами «республики ученых» данной цивилизации

Первая часть параграфа посвящена анализу обстоятельств, способствовавших открытию и фиксации в «памяти цивилизации» свойства углов равнобедренного треугольника Показывается, что единственным «стимулом» для этого могло стать обеспечение симметрии при сооружении конструкций пирамидальной формы

Хотя данный анализ опирается на сообщение Прокла о египетском происхождении геометрических познаний Фалеса, тем не менее, его, по существу, логический характер позволяет задним числом рассматривать вывод о решающей роли архитектуры египтян в обнаружении равенства углов в равнобедренном треугольнике в качестве формальной предпосылки возникновения дедуктивной науки- где бы и когда бы ни появилось построение теоретической геометрии на основе постулатов и аксиом, этому обязательно должна была предшествовать практика строительства пирамид Тем самым отсутствие всюду кроме Древнего Египта построек, имеющих форму полной пирамиды, объясняет невозможность возникновения дедуктивной геометрии в Вавилоне, Индии и Китае.

Вместе с тем, являясь всего лишь необходимым условием возникновения аксиоматического метода, факт строительства пирамид сам по себе еще не предопределяет появление идеи логической дедукции Причины преобразования практических геометрических сведений египтян в науку о свойствах

абстрактных фигур могут быть найдены только в конкретных обстоятельствах жизни эллинской цивилизации VI—IVвв дон э.

Первая же попытка приступить к реализации данной программы наталкивается на препятствие, разрушающее рамки истории науки, внутри которых до сих пор велось исследование Дело в том, что для Платона наиболее совершенным созданием человеческого ума является диалектика, причем именно в том отношении, которое выделяет аксиоматическую геометрию среди прочих дисциплин Характеризуя специфику диалектического разума, Платон пишет в конце VI книги «Государства», что «бытие и все умопостигаемое при помощи диалектики можно созерцать яснее, чем то, что рассматривается с помощью только так называемых наук, которые исходят из предположений Правда, и такие исследователи бывают вынуждены созерцать область умопостигаемого при помощи рассудка, а не посредством ощущений, но поскольку они рассматривают ее на основании своих предположений, не восходя к первоначалу, то они и не могут постигнуть ее умом, хотя она вполне умопостигаема, если постичь ее первоначало»6.

Проводимые в диалектике рассуждения роднит с геометрическими доказательствами стремление отказаться от помощи недостоверных чувственных ощущений, в максимально возможной степени заменив их «идеями» самими по себе. Поскольку, согласно Аристотелю7, источником учения об идеях были проблемы поиска правильных определений «предметов нравственности», то именно этику допустимо, хотя бы гипотетически, рассматривать в качестве одной из исторических предпосылок возникновения дедуктивной геометрии. Причем «формальный прообраз» такой исторической предпосылки никак не мог быть обнаружен на предшествующей стадии исследования, поскольку между этикой, «предметы» которой не относятся к чувственно воспринимаемому, и аксиоматико-дедуктивной геометрией не просматривается никакой содержательной связи8 Проблема реконструкции исторической картины возникновения аксиоматического метода сводится, с учетом сделанных замечаний, к выбору между следующими альтернативами 1) дедуктивный метод зарождается внутри геометрии независимо от философии, 2) опыт «работы» с невидимыми и неосязаемыми объектами при обсуждении этической проблематики аккумулируется внутри философии, которая затем способствует «идеализации» и геометрии.

Недоступность области умопостигаемого для чувств можно интерпретировать с современной точки зрения по-разному: как свидетельство бестелесности идей справедливости и рассудительности или, напротив, как признание их особого совершенства в отношении «телесного состава» и место-

6 Государство, VI, 511с—с!

7 Метафизика, 1,6,987Ь 2-7

8 Спиноза, строя дедуктивным образом свою «Этику», сознательно ориентировался на геометрический образец

положения. Тексты Платона и Аристотеля дают достаточно указаний для выбора правильной интерпретации причин доступности эйдосов лишь «кормчему души - уму»9.

Слова элейца из фрагмента 13Ы-е диалога «Парменид». «Но, положим, кто-нибудь из нас будет иметь часть малого: малое будет больше этой своей части, таким образом, само малое будет больше, а то, к чему прибавится отнятая от малого часть, станет меньше, а не больше прежнего», - невозможно понять, если полагать эйдос малого бестелесным. Что касается естественного для нашего сознания отождествления идей с мыслями, то там же анализируется (132Ь-ч1) и после рассмотрения отбрасывается и эта попытка интерпретации10 Вывод напрашивается сам собой идеи в учении Платона столь же «вещественны», сколь и уподобляющиеся им предметы. И если аристотелевы аналоги Платоновых идей - «формы» - определяются Стагиритом как сущность без материи11, то, следовательно, именно Аристотелю, а не Платону принадлежит понимание общего как «бестелесного».

Аристотель прекрасно сознавал отличие собственного понимания форм-эйдосов от платоновских эйдосов-идей, замечая, что «нелепо утверждать, что существуют некие сущности помимо имеющихся в небе, а с другой - что эти сущности тождественны чувственно воспринимаемым вещам, разве лишь что первые вечны, а вторые преходящи. Действительно, утверждают, что есть сам-по-себе-человек, сама-по-себе-лошадь, само-по-себе-здоровье, и этим ограничиваются, поступая подобно тем, кто говорит, что есть боги, но они человекоподобны. В самом деле, и эти придумывали не что иное, как вечных людей, и те признают эйдосы не чем иным, как наделенными вечностью чувственно воспринимаемыми вещами»12 Признающие эйдосы «не в состоянии показать, каковы такого рода - непреходящие - сущности помимо единичных и чувственно воспринимаемых. Так вот, они объявляют их тождественными по виду с преходящими (эти-то сущности мы знаем), изобретают "самого-по-себе-человека" и "самое-по-себе-лошадь", присоединяя к чувственно воспринимаемым вещам слово "само-по-себе"»13.

Труды Аристотеля приоткрывают дверь в его творческую лабораторию, позволяя проследить ход его мысли в разрешении затруднений, из которых не могла выбраться мысль ортодоксальных последователей Платона. Так, для превращения эйдосов в бестелесные формы Аристотель строит для них «вместилище» «форму форм» (или «эйдос эйдосов») - Ум-перводвигатель Для обоснования его существования Стагирит замечает, что «в некоторых

9 Федр, 247с

10 О существенности данного обстоятельства для понимания Платона см Сергеев К.А, СлтинЯА Природа и разум Античная парадигма. JI, 1991 С 210-212,234-235

11 Метафизика, VH, 7,1032b 1,13-14

12 Ibid Ш, 2,997b 5-12

13 Ibid VH, 16,1040b 30-34

случаях само знание есть предмет [знания] в знании о творчестве предмет -сущность, взятая без материи, и суть бытия, в знании умозрительном -определение и мышление», вследствие чего раз «постигаемое мыслью и ум не отличны друг от друга у того, что не имеет материи, то они будут одно и

14

тоже» .

В «Метафизике» Аристотель ставит творческие и умозрительные науки на одну ступень, однако по другим его работам можно проследить, что «равноправия» здесь нет На основе VII и VIII книг «Метафизики», а также трактатов «Физика» и «О небе» в работе показывается, что представление о предмете «творческих наук» как о лишенном материи у Стагирита является производным от аналогичного представления о предмете теоретических наук (точнее - в силу установленного ранее - геометрии) Тем самым, ни диалектика Платона, ни «первая философия» Аристотеля не могли выполнить роль «катализатора» в процессе преобразовании геометрии в дедуктивную дисциплину Данный процесс протекал всецело в рамках «созревания» соответствующих формальных предпосылок, а именно - возникновения теоретической науки о свойствах фигур и углов, а также формирования «критической установки» по отношению к знанию вообще

Становление теоретической геометрии в Древней Греции VI-IV вв до н э могло происходить одним из двух способов. В случае, если заимствованные в Египте геометрические познания получали какие-либо практические приложения в новой цивилизации, теоретическая геометрия должна была развиваться наряду с практическим искусством землемерия Но возможен и другой вариант, когда по тем или иным причинам подобные применения оказались невозможны и геометрия на земле Эллады стала теоретической наукой поневоле

В Д Блаватский15 описывает следующие виды общественных работ в Древней Греции- вырубка лесов на склонах гор, создание в колониях Ю Италии и Сицилии в VIII—VII вв до н э садов и виноградников, осушение болот, строительство, разработка каменоломен и рудников, прокладка дорог, сооружение каналов и гаваней К этому списку можно добавить планировку наделов (клеров) в греческих колониях В Метапонте, к примеру, предположительно уже в VII вв до н. э применялась довольно сложная система планировки клеров, в которой наделы вместе образовывали поле в виде параллелограмма с перпендикулярными диагоналями Все это свидетельствует, казалось бы, в пользу широкого практического применения методов геометрии в античности.

Прокл в комментариях к Евклиду приписывает родоначальнику греческой геометрии Фалесу знание теорем о делении круга диаметром пополам, о равенстве углов в равнобедренном треугольнике, равенстве вертикальных

14 Ibid XII, 9,1075а 1-4

15 Блаватский ВД Природа и античное общество М , 1966

углов, а также признак равенства треугольников по стороне и двум прилежащим углам Но все эти предложения в задачах землемерия не играют существенной роли, поскольку основными при измерении земли являются фигуры с прямыми углами Острые и тупые углы не могут быть предметом специального интереса в практической геометрии Источником указанных фактов могло быть лишь египетское искусство строительства пирамид, в котором наряду с вопросами о величинах площадей и объемов важное значение придавалось также элементам возводившихся сооружений, имеющим треугольную форму

Форма объекта существенна лишь тогда, когда незначительная погрешность на отдельной стадии процесса его построения может обернуться непоправимыми потерями Греческий храм, например, хотя и содержит элементы треугольной формы (обладающие зеркальной симметрией фронтоны), однако в них вполне допустимы незначительные отклонения от симметрии в силу плоского характера конструкции, так что контроль за равенством углов при основании фронтона не должен быть таким же строгим, как в случае пирамиды. То обстоятельство, что для практических потребностей греческой цивилизации, по крайней мере на протяжении У1-ГУ вв до н. э, вполне достаточно было использования свойств прямоугольных фигур, в то время как заимствованная из Египта геометрия занималась изучением «произвольных углов», и обусловило теоретический характер последней

Последняя часть § 2.1 посвящена выяснению специфики древнегреческой геометрии в том виде, как она сформировалась на рубеже вв. до н.э., а также выяснению её роли в формировании логики стоиков.

В дедуктивной геометрии человек впервые сталкивается с ситуацией, когда оформленная в виде речи мысль оказывается замкнутой сама на себя И если в «творческих логосах» душа направлена в первую очередь на создаваемые при помощи них вещи, в то время как сопутствующие слова играют сугубо подчиненную роль, то в «теоретических логосах» слово становится решающим и единственным фактором утверждения их истинности. Хотя представления о геометрических объектах первоначально возникают в индивидуальной душе не без помощи чувственных восприятий, в доказательствах их свойств опираются не на эти впечатления, а исключительно на словесно сформулированные предположения. Поэтому именно геометрия вынудила стоиков подразделить представления на чувственные, которые воспринимаются посредством одного или нескольких органов чувств, и внечувст-венные, возникающие в человеке при помощи речи Последние стоики стали называть специально изобретенным термином Лектоу Существование подобного бестелесного лектон стоики обосновывали, ссылаясь на пример с восприятием речи «. обозначаемое - тот предмет, выражаемый звуком, ко-

торый мы постигаем своим рассудком, как уже заранее существующий, а варвары не воспринимают, хотя и слышат звук.. .»1б

Если Платон, имея в виду практическое назначение языка, уподоблял имена орудиям17, то стоики своим примером зафиксировали ситуацию «незаинтересованного», созерцательного отношения к иностранному языку, благодаря чему и смогли расширить свою концепцию «бестелесных высказываний» с предложений, касающихся свойств геометрических объектов, на суждения общего вида Подобным образом вместе с геометрическими предложениями статус бестелесных получают и все высказывания, служащие объектом изучения стоической логики

Во втором параграфе «Софистика и математическая строгость» предметом анализа является общественная атмосфера древнегреческих полисов с точки зрения наличия в ней условий, благоприятствовавших преобразованию теоретической геометрии в форму дедуктивной науки Обращение к источникам без труда позволяет найти «исторический аналог» найденной в первой главе формальной предпосылке Для выявленной при помощи сугубо логических рассуждений релятивистской установки, характеризующейся тезисом «у каждого - истина своя», имеется выразитель соответствующих взглядов - Протагор, полагавший, что «о всяком предмете можно сказать двояко и противоположным образом»18.

Распространение в греческих полисах практики словесных споров, в которых участники ради победы были готовы на самые изощренные ухищрения, не могло не затронуть и геометрию Стоило только поставить под сомнение само существование основной фигуры землемерного искусства -квадрата, и неявно принимавшаяся «аксиома прямоугольника» неизбежно должна была быть эксплицирована в виде требований, касающихся условия параллельности двух прямых и равенства всех прямых углов (V и IV постулаты Евклида), а вслед за этим обязательно должны были появиться и остальные постулаты геометрии.

Первые три геометрические постулата не только не являются очевидными, но, в каком-то смысле, даже противоречат обыденному опыту только приступающего к занятиям этой наукой- в реальной практике землемерных построений нельзя гарантировать ни проведение прямой между произвольными точками, ни проведения окружности малого или, напротив, очень большого радиуса Поэтому Аристотель и говорит про постулат, что он представляет собой «нечто противное мнению изучающего или нечто такое, что, будучи доказываемым, принимается или применяется недоказанным»19

16 Перевод Е П Ернштедта (Античные теории языка и стиля М -Л, 1936 С 69) соответствующего места (VIII, 11-12) сочинения Секста Эмпирика «Против ученых»

17 Кратил, 388а-ё

18 Диоген Лаэртский О жизни, учениях и изречениях знаменитых философов, IX, 51

19 Вторая аналитика, 1,10,76Ъ 32-34

Новая геометрия, имеющая дело с идеальными точками, линиями и поверхностями, включает в качестве составной части прежнюю геометрию чертежей, расширяя сферу ее применения в область сколь угодно больших и сколь угодно малых расстояний. При этом она может даже не затрагивать употреблявшиеся в ней прежде словесные обороты, за что платоновский Сократ не без основания упрекал геометров Именно это обстоятельство делает затруднительными нападки на ее утверждения со стороны последователей протагоровского релятивизма

Теоретический характер древнегреческой геометрии, наличие в её составе учения о свойствах углов делали неизбежным её превращение в дедуктивную науку в конкретных исторических условиях кризиса античного полиса То обстоятельство, что данное преобразование не вытекает из «природы» математики как таковой, а обусловлено внешними по отношению к ней причинами, было очевидно для Платона, на глазах которого происходил этот процесс Указывая математикам на недостаток способа изложения, когда при использовании предположений они не отдают в них отчета, Платон пытался исправить его, подчинив построение наук принципам диалектического метода Этот метод, исходящий из рассмотрения беспредпосылочного начала - Блага, по мнению философа, единственный в состоянии сделать геометрию и следующие за ней науки подлинным знанием20.

Аристотель, допуская возможность ниспровержения геометрии «на основании принципов, более достоверных, чем ее аксиомы»21, считал, в противоположность учителю, его космологические гипотезы менее достоверными, чем допущения математиков И именно геометрические постулаты он и положил в основание собственных философских построений

Третий параграф «Геометрия египтян и дедуктивная математика» посвящен оставшемуся открытым в § 1 5 вопросу о причинах отсутствия дедуктивного метода в египетской геометрии Вряд ли подлежит сомнению наличие теоретической установки относительно собственного землемерного искусства у жрецов Египта Кроме того, поскольку засвидетельствовано «ограбление гробниц Двадцатой династии, к которому . были с выгодой для | себя причастны высшие власти»22, указывающее на ослабление древних религиозных традиций, в Египте к концу первого тысячелетия до н.э сложились объективные предпосылки также для роста софистических умонастроений Могло ли в таком случае что-либо воспрепятствовать созданию египтянами аксиоматической геометрии?

Если бы египтяне построили свою геометрию на принципах дедукции, то в таком случае им пришлось бы, как и сделавшим это в IV в. до н.э. гре-I _

20 Государство, VII, 533Ъ-е1

21 О небе, Ш, 1,299а 5-6

22 Франкфорт Г, Франкфорт ГА, УилсонДж, Якобсен Т В преддверии философии Духовные искания древнего человека. М , 1984 С 93

кам, поставить под сомнение возможность построения прямоугольника Что же мог бы возразить хранитель египетской геометрической мудрости софистически настроенному оппоненту*? Достаточно сослаться на факт успешной постройки пирамид если бы при разметке основания вместо квадрата получился четырехугольник, имеющий только два или три прямых угла, то это с самого начала нарушило бы симметрию сооружения и не позволило бы свести вверху воедино все четыре боковых грани

Подобный ответ выглядит неубедительным только с позиций человека, различающего идеальные и реальные геометрические фигуры С подобной точки зрения любой, даже самым тщательным образом построенный, квадрат в действительности таковым не является, поскольку обязательно отклоняется от «совершенного образца» Но такое противопоставление идеальных и реальных объектов возможно только на базе уже возникшей дедуктивной геометрии и не должно приниматься во внимание в процессе анализа ее генезиса В действительной истории становления аксиоматического метода переход к постулированию «идеальных геометрических построений» приходится осуществлять тогда, когда критерий практики - в самом буквальном предметном смысле - перестает работать. Именно это и произошло в процессе обоснования греками «аксиомы прямоугольника», когда были сформулированы сначала пятый и четвертый, а затем и остальные постулаты евклидовых «Начал»

Заключительная часть параграфа посвящена объяснению причин невозможности стереометрического обоснования «аксиомы прямоугольника» в конкретных исторических условиях существования эллинской геометрии, чем и завершается историческая часть диссертационной работы.

То или иное объяснение причин возникновения определенного явления не может не отразиться на понимании его наличного состояния и оценке перспектив развития в будущем В третьей главе «Аксиоматический метод и современное научное познание» аксиоматический метод рассматривается прежде всего в аспекте настоящего, что выдвигает на первый план проблемы математического образования Будущее аксиоматического метода - это ширящиеся попытки создания эффективно действующих интеллектуальных систем Проблематика подобного рода естественным образом возникла в § 1 2 при анализе первой из формальных предпосылок возникновения аксиоматического метода, где она рассматривалась под углом зрения прошлого. В данной главе акцент переносится с прошлого на настоящее и будущее

Первый параграф «Аксиоматический метод и преподавание математики» посвящен педагогическим аспектам преподавания школьного курса геометрии Сомнение в целесообразности продолжения преподавания геометрии в классическом стиле евклидовых «Начал» высказал в 60-х гг прошлого столетия Ж Дьедонне Вместо изучения свойств треугольников, че-

тырехугольников и окружностей он предложил «попытаться научить детей думать на примере небольшого числа хорошо подобранных понятий. »23

Поскольку аксиоматика возникла как средство убеждения в истинности уже найденных каким-то образом утверждений, то нет никакой уверенности, что она может быть использована также и как эффективное эвристическое средство решения новых для учащихся задач В § 1.2 отмечалось, что реально проводимое доказательство является «максимально недедуктивным» из-за содержательного характера дели, «организующей» отбор релевантных логических посылок Дедукция из аксиом при решении задачи может оказаться полезной, если ученику посчастливилось выбрать среди множества всех утверждений теории те несколько предложений, от которых действительно зависит успех в её решении Поскольку в удачности выбора можно убедиться, только решив задачу, то подобный, опирающийся на аксиоматическую структуру теории, способ решения превращается в бессистемный набор проб и ошибок с далеко не гарантированным успешным результатом из-за большого количества возможных «стартовых предложений»

Главная польза от изучения геометрии не в тренировке дисциплины мышления, которую за пределами этой науки человеку, не собирающемуся посвятить себя теоретической математике, едва ли удастся когда-нибудь применить, а в развитии совсем иного искусства, связанного не с дедуктивной формой изложения, а с ее наглядным содержанием. Развитое теоретическое мышление предполагает умение находить связи между явлениями, недоступные обыденному взгляду Это достигается путем нахождения одной или нескольких «промежуточных ситуаций», совмещающих в себе характеристики двух, выглядящих на первый взгляд совершенно не связанными между собой, явлений. Такие новые явления находятся как бы «посередине» между исходными наличными явлениями, и потому их поиск называется опосредствованием Искусству нахождения подобного рода опосредующих звеньев геометрия способна учить как никакой другой школьный предмет

Если на место евклидовой геометрии в основу школьного геометрического курса положить понятия и методы абстрактной линейной алгебры, как предлагал Дьедонне, то возможность обучения на наглядном материале искусству опосредствования будет безвозвратно утеряна А обучение «линейному мышлению», которое действительно способен привить указанный курс, далеко не равнозначно обучению искусству самостоятельно думать Ссылки на важность линейной алгебры для теории чисел, теоретической физики, анализа, геометрии и топологии плохо коррелируют с возможностью эффективного использования её идей при обучении учащихся искусству правильно ставить и умело разрешать вопросы, постоянно возникающие в многообразной человеческой жизни «Линейное мышление» связано с математическим аппаратом научных дисциплин, а не с их действительным содержанием По-

23 Дьедонне Ж Линейная алгебра и элементарная геометрия М,1972 С 13

этому даже овладение школьником в полном объеме глубоким трудом Дье-донне не окажет ему впоследствии автоматической помощи в решении какой-то проблемы физики, биологии или экономики

Линейная алгебра отражает своими достоинствами не содержание использующих ее аппарат дисциплин, а лишь их формальную количественную сторону В то же время содержание курса евклидовой геометрии вполне соответствует свойствам реальных фигур и тел Поэтому успешное овладение идеями традиционного курса геометрии в не меньшей степени полезно с точки зрения развития универсальных мыслительных навыков, нежели овладение методами линейной алгебры, где до реальности надо еще уметь «добраться» посредством содержания той конкретной научной дисциплины, в которой используется ее элегантный аппарат Если же учащийся вообще не планирует заниматься в будущем научной деятельностью, то с точки зрения развития его мышления традиционная школьная геометрия должна иметь несомненное преимущество Курс геометрии Евклида в большей мере приспособлен для развития универсальных навыков творческого мышления, и с этой точки зрения оригинальный проект Дьедонне изначально был обречен на неудачу.

Во втором параграфе «Теоретическая математика как социокультурное образование» предметом анализа является место математики в современной культуре.

Упорядочение математического мира на основе понятия структуры, достигнутое в XX веке усилиями Н Бурбаки, не избавляет от основной проблемы, состоящей во взаимоотношении мира экспериментального и мира математического «В своей аксиоматической форме математика представляется скоплением абстрактных форм - математических структур, и оказывается (хотя по существу и неизвестно, почему), что некоторые аспекты экспериментальной действительности как будто в результате предопределения укладываются в некоторые из этих форм»24 Это признание Бурбаки возвращает нас, по сути, ко времени построения Аристотелем «первой философии», объяснившей эффективность применения математики к описанию движения небесных тел тем, что математические формы находятся в Уме-перводвигателе, а тот, в свою очередь, управляет посредством мышления движением обнимаемого им Космоса25 И в концепции Бурбаки, и в первой философии Аристотеля факт соответствия математических форм явлениям окружающего мира попросту констатируется, поскольку основная идея «объяснения» не подлежит дальнейшей конкретизации

Главный вывод, вытекающий из исторического рассмотрения проблемы возникновения принятого в математике способа рассуждений, состоит в том, что словесная дедукция частных утверждений науки из общих начальных

24 Бурбаки Н Архитектура математики / Очерки по истории математики М, 1963 С 258 сл

25 См Метафизика, ХП, 8

положений вызвана объективно происшедшим превращением прикладного землемерного искусства в сугубо теоретическую дисциплину, сопровождавшимся полным забвением «архитектурных» истоков Эта традиция была затем перенесена из геометрии в арифметику, а спустя многие столетия и на другие классические разделы математики, включая анализ бесконечно малых. Так постепенно и сформировалось то огромное здание математики, которое с позиций по-новому понятого аксиоматического метода перестроил в своем многотомном труде Бурбаки

Аксиоматический способ рассуждений оказал существенное воздействие не только на современную теоретическую математику, но и на весь стиль мышления европейской цивилизации. Данное обстоятельство может быть продемонстрировано на примере формирования понятий «смысл», «символ», «метафора».

Связь между представлением о «смысле» и аксиоматической геометрией может быть установлена достаточно просто Действительно, мы говорим, что понимаем смысл явления или кем-то сказанного тогда, когда имеющиеся у нас сведения не требуют для уяснения этого самого смысла обращения к «внешнему опыту», те пополнения наличных знаний. Иными словами, смысл - это мысль, обращенная сама на себя, а не на внешний мир Именно это и отличает дедуктивный способ построения знания, когда мы берем при формулировке основоположений науки из реальности все, что необходимо, как раз для того, чтобы впоследствии пользоваться исключительно данным, словесно сформулированным теоретическим базисом, не прибегая к помощи чувственного мира.

Аналогичным образом аксиоматический стиль мышления содействовал выработке представлений о символе и метафоре Важность понятия символа для современной математики отметил Г. Вейль «Математика - это наука о бесконечности, ее цель - символическое постижение бесконечности человеческим, то есть конечным»26

У Платона, как отмечал А Ф. Лосев, «символизм... в значительной степени дорефлективен»27 Рефлексивное понимание символа достигается тогда, когда мы противопоставляем значение символа его непосредственно наглядному выражению Подобное противопоставление может быть осуществлено только тогда, когда значение символа (например, бесконечность, постигаемая посредством конечных математических символов) принадлежит иному - внечувственному - миру. У Платона о противопоставлении идеальных объектов реальным не может быть и речи, поскольку вторые стремятся подражать и походить на первых Другое дело у Аристотеля, у которого идеальные числа и фигуры бестелесны и действительно противоположны вещественным «копиям». Но их бестелесность, как показано в § 2.1 диссертаци-

26 WeylH The Open World New Haven, 1932 P 8

27 Лосев А Ф История античной эстетики Софисты Сократ. Платон М, 1969 С 550

онной работы, есть следствие их бестелесности в дедуктивной греческой геометрии Таким образом, рефлексивное понимание символа, достигнутое позднеантичной мыслью, оказалось возможным лишь благодаря аксиоматически построенной математике.

Аналогичным образом обстоит дело и с понятием метафоры Аристотель определяет метафору как «несвойственное имя, перенесенное с рода на вид, или с вида на род, или с вида на вид, или по аналогии»28 Предпосылкой для выработки Аристотелем понятия метафоры является представление о значении имени, при этом в качестве значений имен Стагирит рассматривал только сущности В § 2 1 показано, что обоснование существования подобных "самобытных" вещей удалось Аристотелю только благодаря дедуктивному построению геометрии

Важность дедуктивной геометрии для выработки понятия метафоры становится понятней в контексте вопроса о причинах отсутствия данного понятия у Платона В то время как у Аристотеля связь имени с названным при его помощи предметом не играет никакой роли29, у Платона, напротив, имя является подражанием вещи30 Если у Аристотеля исходным в соотношении «имя - вещь» является эйдос вещи, находящийся в Уме-перводвигателе, так что значением «логоса» этого эйдоса оказывается вещь в подлежащем Космосе, то у Платона все наоборот первична вещь, а имя подбирается законодателем в стремлении как можно лучше подражать природе вещи. Но тогда значением (знаком) оказывается не предмет, а слово И это совершенно естественно не вещь должна указывать на слово, как это получается у Аристотеля, а слово должно служить знаком (значением) вещи.

Перевернуть это соотношение Аристотелю удалось, «сделав» эйдосы вещей, находящихся в извечно существующем Космосе, бестелесными Отсюда и безразличие Стагирита к разным наименованиям их у разных народов При телесном понимании эйдосов у Платона «места» для метафоры (а метафора может стать таковой только как рефлексивное понятие) попросту не остается имя во всей своей звуковой особенности слишком тесно привязано к именуемой посредством него вещи, чтобы возникала потребность в переносе «значений»

Поскольку в математике Индии и Китая не было аксиоматического метода, то в этих странах не было возможности перевернуть соотношение между словом и вещью, как это сделал при помощи дедуктивной геометрии Аристотель Поэтому философское мышление в этих цивилизациях не было в состоянии создать ни представления об идеальных объектах, ни понятий смысла, символа или метафоры.

28 Аристотель Поэтика, 21, 1457Ь 6-8

29 Об истолковании, 1,16а 5 - 8

30 Кратил, 430а-Ь

Заключительная часть параграфа посвящена попытке ограничить универсальность аксиоматического метода в математике средствами самой этой науки Речь идет о знаменитой теореме Гёделя о неполноте

В 1958 г Гёдель31 выделил в гильбертовской метаматематике две важных составных части конструктивную и собственно «финитистскую», в соответствии с которой для представляющих доказательства знаковых комбинаций существенными оказываются исключительно пространственные сходства и различия Из установленной в 1931 г теоремы Гёдель дедуцирует необходимость отказа в доказательствах непротиворечивости от второй компоненты, что предполагает обращение к смыслу закодированных специальными знаками математических конструкций. Поскольку представление о смысле знаковых комбинаций могло возникнуть в европейской цивилизации только благодаря дедуктивной геометрии, то его использование для доказательства непротиворечивости аксиоматических теорий сохраняло за подобным обоснованием лишь относительное, но никак не абсолютное значение, на что надеялся основоположник финитистской программы. Но и этим проблемы с реализацией программы Гильберта не ограничиваются

В формальных теориях первого порядка, рассматриваемых в теореме Геделя о неполноте, аксиомы подразделяются на логические и собственные, причем в чистом исчислении предикатов имеются только аксиомы первого типа, не связанные с особенностями какой-либо конкретной предметной области Можно показать, что в логических аксиомах, содержащих операцию отрицания, подразумевается при этом внешнее отрицание логических суждений, имеющее вид "А не есть В" В собственных же аксиомах используется внутреннее отрицание "А есть не-В", поскольку эти аксиомы «высекают» род из ничем не ограниченного универсума исчисления предикатов, в результате чего операция отрицания «незаметно» преобразуется из операции внешнего в операцию внутреннего отрицания

Тем самым на «объектном» уровне оказываются «смешанными» два, вообще говоря, различных вида отрицания, в то время как в метатеории, где исследуются расположенные в пространстве последовательности символов, представляющие собой доказательства различных теорем формальной теории, может использоваться только «обычная» родовидовая логика, которой пользуются и физики, и химики, и биолога Так как построение истинной, но недоказуемой формулы осуществляется Геделем при помощи «смешения» объектного и мета- уровней, то подобное рассогласование в понимании операции отрицания вполне может сказаться на конечном выводе теоремы.

Данное обстоятельство не осознается как затруднение, поскольку в теоретико-множественной математике после работ Г Кантора отождествление

31 Godel K. Über eme bisher noch nicht benützte Erweiterung des finiten Standpunktes // Dialectica. 1958 V 12 № 3/4 P 280-287

двух видов отрицания вошло в привычку32, так что у специалистов в области метаматематики, в отличие от «ориентирующихся» исключительно на внутреннее отрицание ученых-естествоиспытателей, подобные вопросы не возникают Но развеять недоумение неспециалистов могут только профессионалы, которые никаких проблем по указанной причине не замечают Парадокс в том, что конкретной ошибки в доказательстве Геделя указать нельзя, ибо в рамках господствующих идеализаций все выглядит достаточно гладко Но отсутствие полной ясности в «предметной интерпретации» финитных рассуждений Геделя оставляет вопросы, ответ на которые невозможен без специального исследования С социокультурной точки зрения это и означает, что теоретико-множественная математика (а вместе с ней и метаматематика) весьма удалена от других научных дисциплин, где повсеместно используется инструментарий родовидовой логики Аристотеля с присущим ей внутренним пониманием операции логического отрицания.

Третий параграф «Дедуктивный стиль мышления и искусственный интеллект» посвящен проблеме создания эффективно действующих интеллектуальных систем

В первой части параграфа описываются парадигмы, в рамках которых проводились исследования на начальных стадиях развития ИИ, при этом особое внимание уделяется парадигме «знания + логический вывод», доминировавшей на втором этапе разработок интеллектуальных систем Анализируются причины, в силу которых данная парадигма не могла стать основой для успешного создания эффективных ИС

В последующем предпринимались попытки разработки подходов, выходящих за рамки указанной парадигмы, однако и они не привели к значительным успехам Во второй части параграфа анализируется, существует ли вообще возможность выйти за рамки логической дедукции при построении интеллектуальных систем

Для ответа на этот вопрос вводится специальное понятие' «дедуктивный интеллект». Под ДИ понимается человек, запрещающий себе в процессе решения проблемы как приобретение новых знаний, так и целенаправленный выбор уже имеющихся у него сведений (в качестве ДИ можно представлять себе конструктора ИС, пытающегося воспроизвести ход «рассуждений» искусственной системы, приведший к решению некоторой задачи). Далее показывается, что ДИ в состоянии предоставить решение некоторой проблемы лишь в том случае, когда ее решение в той или иной форме известно ему заранее.

Все многообразие задач, могущих быть предложенными ИС, естественным образом подразделяется на два класса* процедурные и декларативные. В

32 Об этом см Бычков С Н, Зайцев Е А, Шашкин Л О Диагональная процедура Г Кантора и теория множеств (историко-научный и логический контекст) // Историко-математи-ческие исследования Вторая серия 1999 Вып 4(39) С 306-314

первый входят те, ответом в которых является объект, который еще только предстоит построить в процессе решения Ко второму относятся задачи, в которых достаточно ограничиться проверкой свойств объекта, заданного в самом условии Соответственно, на процедурные и декларативные подразделяются и сведения А, В, , Д имеющиеся в ИС на момент поступления новой задачи первые представляют собой решения задач, ответом в которых является объект, который строится в самом процессе решения, в то время как вторые представляют собой описания свойств объекта, заданного в изначальной формулировке утверждения

Формальный характер критериев ограничения полного перебора допустимых способов решения предполагает формализацию также и цели предпринимаемых действий - задачи Р, причем формализованная цель Р должна быть присоединена явным образом ко всем имеющимся в ИС формализованным знаниям А, В, , О Тогда полученная интеллектуальной системой процедурная задача «Найти программу действий Р, обеспечивающую выполнение заданного набора условий» может быть заменена на доказательство эквивалентного утверждения «При наличии сведений А, В, , £> задача Р разрешима». Лишь в таком виде ДИ мог бы надеяться решить выделенную ИС проблему

Разрешимость процедурной задачи Р может быть установлена ДИ только путем синтеза процедурных знаний, находящихся среди формализованных сведений А, В, , Ц причем в качестве основы синтеза он не может использовать ничего, кроме оставшихся сведений декларативного характера. Так как содержательная интерпретация результата каждого шага синтеза должна быть согласована с интерпретациями тех «кирпичиков» знания, с помощью которых производится данный синтез, а конечная цель синтеза -задача Р - представлена в декларативном виде, то все исходные и промежуточные знания процедурного характера также должны быть переписаны в виде утверждений о разрешимости соответствующих задач.

После декларативной переформулировки поставленной проблемы и наличных сведений встает вопрос о допустимых средствах теперь уже логического способа синтеза процедурных знаний Нетрудно проверить, что единственной логической операцией, пригодной для формального конструирования искомой программы Р, может быть только импликация В случае, если разрешимость задачи Р непосредственно следует из разрешимости более простых процедурных задач I, У, , Ь, алгоритмический характер действий ДИ по ее решению очевиден.

Сложности возникают только в том случае, когда хотя бы одна из задач 1,3, , Ь не имеет непосредственного процедурного решения, находящегося в памяти ИС Тогда для нее придется решать задачу разрешимости, аналогичную задаче для основной проблемы Р И так мы приходим к задаче отыскания логической схемы решения проблемы Р, благодаря которой решение

Р сводится к «простым» процедурным задачам, для решения которых уже не нужно привлекать никаких сведений декларативного характера

Задача построения логической схемы нахождения программы Р на основе наличных декларативных сведений является чисто синтаксической Если ДИ известен универсальный алгоритм «сборки» логических схем, то его привлечение дает искомый алгоритм решения процедурной задачи Р. В состоянии ли он самостоятельно его отыскать7

Так как операция синтеза, как указывалось в § 1 2, является «максимально недедуктивной», то ДИ остается использовать лишь операцию анализа, при этом единственными формальными ограничениями на всем протяжении процесса «поиска алгоритма» могут быть только исключение повторений отдельных импликаций при составлении последовательности, а также исключение повторений среди целых кандидатов-последовательностей на роль логической схемы нахождения программы Р Но тогда подобный способ построения логической схемы сведется к простому перебору, и никакого, даже самого малого, ограничения его получить не удастся. Поэтому и здесь ДИ вынужден будет воспользоваться готовым алгоритмом полного перебора последовательностей импликаций (способ нахождения этого алгоритма также требует многократного использования процедуры целенаправленного отбора сведений, недоступной ДИ).

В случае, когда задача Р является декларативной (когда достаточно проверки свойств объекта, уже заданного в её условии) ДИ также должен с самого начала отказаться от стремления построить решение, ограничившись попытками получить ответ косвенным образом Гарантией наличия определенных свойств 5, , IV у рассматриваемого в задаче объекта может быть только логическое доказательство этих свойств из исходного набора данных А, В, , О. Возможны следующие способы их проверки записав формально утверждение о выводимости свойств из аксиом А, В,. , Д преобразовать его к такому эквивалентному виду, в котором требуемая выводимость усматривалась бы очевидным образом, или, наоборот, предположив, что конъюнкция свойств Я, ., Ж неверна, придти в результате к противоречию

Этими двумя случаями все возможности косвенной проверки наличия свойств у заданного в задаче Р объекта полностью исчерпываются В этом легко убедиться, учитывая, что отказ от полного перебора всех возможных способов вывода формулы Р осуществим лишь при условии соединения в явном виде всех исходных данных А, В, , Б с формальным описанием данной задачи Имеется лишь два способа подобного соединения

В первом к начальным сведениям присоединяется само содержащееся в задаче Р утверждение, при этом содержательной интерпретацией формальной записи (А, В, , Д Р) в рассматриваемом контексте может быть только не доказанное пока предположение о существовании вывода утверждения Р из начальных аксиом Второй способ заключается в присоединении к на-

чальным аксиомам отрицания утверждения задачи Р. Так как помимо отрицания не существует каких-либо других возможностей формального преобразования высказывания с удержанием его исходного смысла (двойное отрицание высказывания декларативного характера тождественно первоначальному), то все возможные способы формального соединения сведений-аксиом с условием задачи тем самым исчерпаны.

Суть каждого из указанных подходов заключается в преобразовании исходной формальной записи, объединяющей аксиомы с доказываемым утверждением, к некоторому специальному виду В первом случае выражение вида (А, В, , D, Р) должно быть преобразовано в одно или несколько подобных выражений, в каждом из которых по обе стороны от точки с запятой должна оказаться одна и та же последовательность знаков Во втором случае в выражении (А, В, , D, Р') (символ Р' означает отрицание утверждения Р) должна появиться контрарная пара знаков/и/, наличие которой и означает получение противоречия Но, независимо от конкретного вида выражений, в которые стремятся преобразовать исходное формализованное условие задачи, в каждом из этих случаев приходится решать вспомогательную процедурную задачу, требующую построение нового, не заданного изначально объекта, удовлетворяющего некоторым строго определенным условиям А ее, как было показано ранее, ДИ может решить лишь при наличии в его памяти готового алгоритма. Иными словами, ни одна задача не может быть решена им самостоятельно

Тем самым показано, что для создания эффективно действующих интеллектуальных систем необходимо научиться воспроизводить искусственным образом целенаправленный отбор наличных сведений в соответствии с предъявляемой для решения системе задачей.

В четвертом параграфе «Логическая парадигма ИИ современные тенденции» анализируются тенденции последних лет в области искусственного интеллекта

В 1996 г. один из ведущих современных специалистов в области ИИ А Банди отмечал, что усилия исследователей, затраченные на создание нетрадиционных логических систем для построения новых вариантов автоматизированного вывода, не привели к существенным результатам Попытки же разработки нелогических систем автоматизированного вывода наподобие семантических сетей, фреймов и продукционных правил вызывали кратковременный всплеск интереса, вслед за которым наступало понимание того, что в действительности за ними скрывается «старый волк в овечьей шкуре»33. Поэтому основанный на классической логике автоматизированный вывод и сегодня остается ключевой техникой в ИИ

Заманчивую идею «укрупнения вывода» при помощи внесения корректив в стратегию поиска доказательства за счет извлечения позитивной ин-

33 BundyA Artificial Mathematicians May 23,1996 P 1

формации из неудачных попыток предложил недавно Б Бухбергер34 Существенную роль при этом играет то, что вместо стандартного языка логики предикатов он использует логику предикатов с переменными, являющимися последовательностями индивидных символов Последнее позволяет естественным образом описывать схемы алгоритмов

Для ряда задач (сортировка, слияние и разбиение наборов) демонстрируется схема автоматического синтеза алгоритмов, что, как будто, противоречит выводам § 3 3 диссертации Но и здесь более внимательный анализ показывает, что основной нетривиальный момент в рассматриваемом подходе, заключающийся в преобразовании негативной информации (неудача в доказательстве корректности спецификации) в позитивную, достигается за счет того, что отрицание понимается авторами «внутренним образом» - как альтернатива в схеме рекурсии. Поэтому «самообучаемая» часть алгоритмического синтеза в действительности оказывается фиктивной, так как для получения в явном виде полной схемы решения задачи к числу аксиом приходится добавлять части спецификаций рекурсивных алгоритмов, хранящихся в библиотеке схем алгоритмов ИС.

В Заключении подводится итог сделанной работы, резюмируется ее логика и основные выводы

По теме диссертации опубликованы следующие основные работы: В ведущих рецензируемых научных журналах:

1 Обоснование и культура // Философские науки. - 1992. - № 2 - С. 179-181 (в соавторстве с А.Ф Кудряшевым).

2. Конференция «"Науки о природе" и "науки о духе": предмет и метод на рубеже XXI века»//Философские науки -1995 -№2-4 -С 228-237

3 Гипотетико-дедуктивный метод и гуманитарное знание // Вестник РГГУ Вып. 3 Науки о природе и науки о духе предмет и метод на рубеже XXI века/ Отв ред. ЮН. Афанасьев -М. Российск гос гуманит ун-т - 1996. -№3 -С 121-126

4 Математика в историческом измерении // Вопросы истории естествознания и техники -2003 -№3 -С 95-110

Монография:

5 «Греческое чудо» и теоретическая математика. - Москва: Издательский центр РГГУ, 2007.-192 с (9,7 печ л.)

34 Buchberger B, CractunA Algorithm Synthesis by Lazy Thinking Using Problem Schemes // Proceedings of SYNASC 2004, 6th International Symposium on Symbolic and Numeric Algorithms for Scientific Computing P 90-106

В сборниках и коллективных монографиях:

6 К вопросу о возникновении дедуктивной математики // Современная математика методологические и мировоззренческие проблемы 4 2- Москва-Обнинск, 1987 - С 225-228

7 Об особенностях античного метода исчерпывания // Историко-математи-ческие исследования -1990 -Вып XXXII-XXXIII - С 11-20

8 Искусственный интеллект и формальные дедуктивные теории // Математические методы решения инженерных задач - M Ракетные войска стратегического назначения, 1993 -С 32-37

9 Математика как феномен культуры // Гуманитарные науки и новые информационные технологии Сб научн трудов / Отв ред Ю H Афанасьев -M Российск гос гуманит ун-т, 1994 -Вып 2 -С 143-148

10 Дедуктивный метод и обоснование математики // Обоснование и культура Сб научных статей - Уфа Башкирск ун-т, 1995 -С 134-141

11 Геометрия и аксиоматический метод // Историко-матемадические исследования Серия2- 1996 -Вып 1(36) -№2 - С 195-204

12 Четвертый постулат Евклида и потенциальная бесконечность // Бесконечность в математике философские и исторические аспекты / Под ред А Г Барабашева -М Янус-К, 1997 - С 35-39

13 К критике канторовской диагональной процедуры // Традиционная логика и канторовская диагональная процедура - M Янус-К, 1997 - С 22-29 (в соавторстве с JIО Шашкиным)

14 Математика и образование // Философско-педагогический анализ проблемы гуманизации образовательного процесса Сб научн статей Вып 1 / Под ред Г В Лобастова -М, 1998 - С 97-101

15 Дедуктивное мышление и древнегреческий полис // Стили в математике социокультурная философия математики / Под ред А Г Барабашева - СПб РХГИ, 1999 -С288-304

16 Диагональная процедура Г Кантора и теория множеств (историко-науч-ный и логический контекст) // Историко-математические исследования Вторая серия - 1999 - Вып 4 (39) - С 303-324 (в соавторстве с Е А Зайцевым и Л О Шашкиным)

17 Канторовская диагональная процедура и непротиворечивость теории множеств // Историко-математические исследования Вторая серия - 1999 -Вып 5 (40) - С 290-300 (в соавторстве с Л О Шашкиным)

18 Математическое образование студентов гуманитарных специальностей // Труды Международной конференции «Проблемы реализации многоуровневой системы образования Наука в вузах» M, 1999 - С 376-378 19.Египетская геометрия и греческая наука // Историко-математические исследования Вторая серия-2001 -Вып 6(41) - С 277-284

20 Как числа стали абстрактными9 // Историко-математические исследования Вторая серия -2002 -Вып 7(42) - С 190-201

21 Метаматематика и опыт // Математика и опыт / Под ред А Г Барабашева -М Изд-воМГУ, 2003 -С 354-365

22 Математика как теоретическая наука и как учебная дисциплина // Труды школы-семинара по проблемам фундирования профессиональной подготовки учителя математики. Посвящается 100-летию со дня рождения академика АН Колмогорова -Ярославль Изд-воЯГПУ, 2003. -С. 32-48

23 Математическое мышление и искусство управления // Ученые труды факультета государственного управления МГУ - 2003 - Вып 2. - С. 142-158 (в соавторстве с А А Григоряном и Е В Шикиным)

24 О роли строгости в преподавании математики и математическом творчестве взгляды А Н Колмогорова и В И Арнольда // Труды вторых Колмого-ровских чтений - Ярославль-Изд-во ЯГПУ, 2004 -С 25-33

25.0 методологических проблемах преподавания элементов комбинаторики и теории вероятностей студентам гуманитарных специальностей // Труды третьих Колмогоровских чтений - Ярославль Изд-во ЯГПУ, 2005 - С 8796

26 Природа математического мышления // Современные философские проблемы естественных, технических и социально-гуманитарных наук Учебник для аспирантов и соискателей ученой степени кандидата наук / Под ред В В Миронова -М Гардарики, 2006 -С. 13-25

27 Философские проблемы возникновения и исторической эволюции математики в культурном контексте // Современные философские проблемы естественных, технических и социально-гуманитарных наук Учебник для аспирантов и соискателей ученой степени кандидата наук / Под ред В В Миронова. - М Гардарики, 2006 - С. 25-34

Тезисы выступлений на международных и всероссийских конференциях:

28.С.А. Яновская о применении аксиоматического метода в геометрии // Единство онтологии, теории познания и логики // Тезисы докладов научной конференции, посвященной 400-летию Р Декарта и 100-летию С А Яновской Уфа, 31 мая - 1 июня 1996 г - Уфа1 Издание Башкирского университета, 1996 С. 114-117

29 Генезис объективного идеализма и геометрия // Ильенковские чтения: Тез выступл. 18-19 февр 1997 г./Под науч ред. Г.В Лобастова -М Академия печати, 1997 - С 37-38

30 Диалог как форма выражения содержания философии Платона // Когнитивное моделирование переговорного процесса. Тезисы докладов Всероссийской конференции (Москва, 17-18 декабря 1997 г ) - М, 1998 - С. 78-80

31 Абстрактно-общее и математика // Ильенковские чтения Тезисы докладов и сообщений межд научн. конф Зеленоград, 18-20 февр 1999/Подред. Г.В Лобастова -Москва-Зеленоград, 1999 - С. 105-108

32 Математические объекты в математике и за ее пределами // XXI век будущее России в философском измерении: Материалы II Российского философского конгресса (7-11 июня 1999 г) В 4 ч Т 1 Онтология, гносеология и методология науки, логика Ч 1 -Екатеринбург, 1999 -С. 207-208. 33.Естественнонаучное и гуманитарное образование в XXI веке // Стратегия опережающего развития для России XXI века. Тезисы докладов и сообщений межд научн конф Москва, 18-19 июня 1999 г. Т.З. Ч 1 - М, 1999. - С 5354.

34 Математическое и гуманитарное образование' общее и особенное // Всероссийская конференция «Математика и общество Математическое образование на рубеже веков», Дубна, сентябрь, 2000 - М • МЦНМО, 2000 -С.343-344

35 Два понятия идеального М А Лифшиц и Э В. Ильенков // Ильенковские чтения. Материалы 2-й (24-25 марта 2000) и 3-й (16-17 февраля 2001) Международных научных конференций Ч 1 - М Российский государственный институт интеллектуальной собственности, 2002 - С 16-20

36 Творчество в современной философии // Ильенковские чтения Материалы 2-й (24-25 марта 2000) и 3-й (16-17 февраля 2001) Международных научных конференций Ч. 1. - М . Российский государственный институт интеллектуальной собственности, 2002 - С 57-62

37 Формальная и диалектическая логика в зеркале истории науки // Ильенков и Гегель. Материалы IX Международной научной конференции (26-27 апреля 2007 г.). - Ростов-на-Дону, 2007 -С. 173-174.

В учебных пособиях:

38 Естественный и искусственный интеллект Проблемная лекция - М. РГГУ, 1995.-42 с

39.Математика в мировой культуре. - М РГГУ, 2006 - 228 с. (совместно с Е.А Зайцевым)

Напечатано с готового оригинал-макета

Издательство ООО "МАКС Пресс" Лицензия ИД N 00510 от 01 12 99 г Подписано к печати 03 03 2008 г Формат 60x90 1/16 Услпечл 2,5 Тираж 100 экз Заказ 086 Тел 939-3890 Тел/Факс 939-3891 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ им MB Ломоносова, 2-й учебный корпус, 627 к

Оглавление научной работы автор диссертации — доктора философских наук Бычков, Сергей Николаевич

Введение.

Глава 1. Формальные предпосылки возникновения дедуктивной науки

§1.1. Исторические и формальные предпосылки возникновения древнегреческой геометрии.

§1.2. Дедуктивный метод и практика.

§,1.3. Стихийность и сознательность в возникновении аксиоматического метода.

§ 1.4. Роль геометрии в становлении дедуктивного метода.

§ 1.5. Дедуктивный метод и математика восточных цивилизаций.

Глава 2. Исторические предпосылки формирования дедуктивной математики

§ 2.1. Формирование идеала теоретического знания в древнегреческой математике.

§ 2.2. Софистика и математическая строгость.

§ 2.3. Геометрия египтян и дедуктивная математика.

Глава 3. Аксиоматический метод и современное научное познание

§ 3.1. Аксиоматический метод и преподавание математики.

§ 3.2. Теоретическая математика как социокультурное образование.

§ 3.3. Дедуктивный стиль мышления и искусственный интеллект.

§ 3.4. Логическая парадигма ИИ: современные тенденции.

Введение диссертации2008 год, автореферат по философии, Бычков, Сергей Николаевич

Актуальность темы исследования. Проблема генезиса теоретической математики неоднократно привлекала к себе внимание исследователей. Особый интерес вопроса о происхождении математики в том, что в данном случае речь, по существу, идет не только о специальной науке, а о возникновении науки вообще, поскольку теоретическая математика, задав эталон строгости всему последующему точному знанию, фактически оказалась первой общепризнанной теоретической системой1 и идеал научности долгие столетия формировался по математическому образцу.

Имеется и еще одна, более важная причина пристального внимания к проблеме возникновения теоретической математики. Для современной математики не существует разделения на российскую математику, американскую математику, французскую математику и т.д. Когда применяют эти словосочетания, то имеют в виду лишь то, что общими проблемами единой математической науки занимаются граждане России, США, Франции и т.д. Между тем в древние времена ситуация была существенно иной. Математические знания в цивилизациях Вавилона, Египта, Индии и Китая объединял в целом практический характер, и с этой точки зрения, они представляли определенное единство. Напротив, математические знания ученых Древней Греции отличались более систематизированным и абстракт

1 Вслед за одним из ведущих специалистов в области истории античной математики И.Г. Башмаковой в отечественной историко-научной литературе установилась традиция отождествлять теоретический характер математического знания с его доказательностью (Гайденко 77.77. Эволюция понятия науки: Становление и развитие первых научных программ. М.: Наука, 1980. С. 18). С формально-логической точки зрения, это не совсем правильно, поскольку теоретическая физика, противопоставляемая физике прикладной, не становится от этого автоматически доказательной наукой. Точно так же отсутствие ориентации на приложения при изложении того или иного раздела математики (например, кубических уравнений) не означает необходимость его изложения в дедуктивно-аксиоматическом стиле. Мы будем придерживаться устоявшейся терминологии за исключением тех случаев, когда отличие термина «теоретический» от более узкого понятия «дедуктивный» не окажется существенным для изложения. 3 ным характером. До сих пор геометрию во всем мире учат в соответствии с принципами, разработанными еще в евклидовых «Началах», а математика стран Востока представляет сегодня исключительно историко-научный интерес.

Важно и то, что современная математика считает своей прародительницей именно греческую математику, которая по всем параметрам противоположна математике стран Востока. В связи с этим выяснение и объяснение генезиса античной математики способствует более глубокому пониманию природы процессов, происходящих в современном математическом знании, рассматриваемом как часть общечеловеческой культуры.

Степень разработанности проблемы. Зарождение теоретической математики в Древней Греции описывается в классических монографиях Б.Л. Ван дер Вардена и А. Сабо . Однако первым, кто правильно поставил проблему возникновения теоретической математики с присущим ей дедуктивным способом рассуждений и предложил оригинальную идею её решения, был А.Н. Колмогоров, в творчестве которого счастливым образом сочетались занятия математикой и интерес к истории. В известной энциклопедической статье «Математика», опубликованной в 1938 г., он связал первые попытки, систематического построения математической теории с более развитой общественно-политической и культурной жизнью греческих государств, приведшей к высокому развитию диалектики, искусства спора, к привычке отстаивать свои утверждения в борьбе с противником. И главное здесь не в конкретном содержании гипотезы, а в том, что Колмогоров первым осознал необходимость поиска решения реконструкции генезиса теоретической математики как проблемы не внутриматематической и не абстрактно-философской, а историко-научной проблемы, которая

2 Ван дер Вардеи Б.Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. М., 1959.

3 Szabö А. Anfänge der griechischen Mathematik. Budapest, 1969. 4 именно так должна ставиться и решаться. При этом подлинная причина возникновения теоретической математики оказывается определенной внешними по отношению к математике условиями.

О нетривиальности подобного подхода говорит тот факт, что более чем двадцать лет спустя А.Д. Александров в одноименной статье в философской энциклопедии привлекает более традиционный — внутриматема-тический - способ объяснения, связывающий появление теоретических способов вывода новых результатов и первых математических доказательств с накоплением математических знаний, с установлением связей между получаемыми результатами и унификацией правил решения задач.

Тем не менее, последние полвека подход к проблеме генезиса теоретической математики, проложенный Колмогоровым, стал преобладающим. Важный вклад в решение рассматриваемой проблемы внесли работы Ж.-П. Вернана4, И.Н. Лосевой5, А.Г. Барабашева6, А.И. Зайцева7, М.К. Петрова8, В.М. Розина9, B.C. Степина10.

Среди исследователей данной проблемы, большинство которых являются представителями гуманитарного знания, возобладал подход, в соответствии с которым причины возникновения теоретической математики в Древней Греции VI-IV вв. до н.э. следует искать в отличительных особенностях эллинской цивилизации. Ищутся те или иные факторы социокультурного характера, наличествовавшие в Элладе и отсутствовавшие в цивилизациях Востока, которые и объявляются причинами возникновения теоретической математики именно в Греции. В числе специфических предпосылок, обусловивших возможность зарождения теоретической науки в

4 Вернет Ж.-П. Происхождение древнегреческой мысли. М., 1988.

5 Лосева И.Н. Теоретическое знание: проблемы генезиса и различения форм. Ростов-на-Дону, 1989.

6 Барабашев А.Г. Диалектика развития математического знания. М., 1983.

7 Зайцев А.И. Культурный переворот в Древней Греции VIII-V вв. до н.э. Л., 1985.

8 Петров М.К. Искусство и наука. Пираты Эгейского моря и личность. М., 1995.

9 Розин В.М. Специфика и формирование естественных, технических и гуманитарных наук. Красноярск, 1989.

10 Степан B.C. Теоретическое знание. Структура, историческая эволюция. М, 2000. 5

Древней Греции, в этих работах приводятся полисный тип общественного устройства, ненаследуемость профессий, особенный характер древнегреческого языка и другие факторы.

Значительное количество различающихся точек зрения свидетельствует не только об актуальности проблемы генезиса науки, но и об определенном кризисе, назревшем в процессе её решения. Дело в том, что все имеющиеся в распоряжении исторические сведения не связаны напрямую с поставленной проблемой и известны из вторых или третьих рук. В подобной ситуации исследователь поневоле вынужден прибегать к косвенному методу воссоздания исторической картины — реконструкции. Поскольку каждая реконструкция основывается на более или менее осознанных субъективных установках методологического характера, предопределяющих выбор тех или иных факторов, то наличие нескольких конкурирующих концепций, в равной мере не противоречащих скудному запасу исторических сведений, представляется естественным, сопутствующим решению данной проблемы обстоятельством. Вопрос, следовательно, в том, можно ли найти такой подход к реконструкции процесса возникновения теоретической математики, который исходил бы целиком из существа рассматриваемой проблемы и был бы в этом смысле объективным? Без ответа на него любой попытке реконструкции процесса возникновения древнегреческой дедуктивной геометрии так и суждено будет оставаться лишь более или менее правдоподобной гипотезой.

Предмет диссертационного исследования - воссоздание процесса возникновения теоретической математики в Древней Греции У1-1У вв. до н.э. в его взаимосвязи с развитием философского мышления в исследованиях Сократа, Платона, Аристотеля и стоиков.

Цель и задачи диссертационного исследования. Цель исследования — найти специфические факторы социокультурного характера, обусловившие возникновение теоретической математики с присущим ей аксиоматическим методом изложения материала в Греции в VI—IV вв. до н.э. и в то же время объясняющие отсутствие дедуктивной математики в древних цивилизациях Востока.

Автор ставит перед собой следующие задачи:

• Найти подход к реконструкции генезиса теоретической математики, который не опирался бы на a priori выставленные гипотезы.

• Выяснить взаимоотношение аксиоматического метода и практически ориентированных наук.

• Определить роль геометрии как теоретической науки о свойствах фигур и тел в формировании аксиоматического метода изложения изучаемого материала.

• Проанализировать процесс формирования идеала теоретического знания в древнегреческой математике.

• Выяснить роль софистики в формировании строгости при изложении математического знания.

• Определить степень влияния египетской геометрии на формирование греческой теоретической математики.

• Выяснить значение аксиоматического метода в современном преподавании математических дисциплин.

• Проанализировать степень эффективности аксиоматического метода в исследованиях по созданию искусственных интеллектуальных систем.

• Продемонстрировать роль древнегреческой дедуктивной математики в формировании ключевых представлений античной философии: понятий «Ума-перводвигателя», «смысла», «символа», «метафоры».

Методологическая основа исследования вытекает из- его первоочередной задачи - попытки найти такой способ отыскания внешних по отношению к математике социокультурных предпосылок её возникновения, который, в то же время, был бы внешним по отношению к истории как таковой. Таксш способ можно взять только из анализа специфики дедуктивно-аксиоматического метода, выделяющего его среди всех других способов систематизации научного знания.

Подобный ход мысли также можно рассматривать как «наложение» некоторой априорной рамки на историко-научный материал, что автоматически сделало бы предпринимаемую реконструкцию чувствительной к критике. Чтобы предупредить возможный упрек сама указанная методология нахождения предпосылок «дедуцируется» из наличного состояния ис-торико-научной проблемы.

Во главу исследования поставлен один-единственный факт - уникальность греческой дедуктивной математики, требующая поиска причин отсутствия аналогов в науке древневосточных цивилизаций. Анализ этого историко-научного факта и приводит последовательно сначала к обоснованию существования некоторых социокультурных предпосылок зарождения аксиоматического метода рассуждений в математике, а затем и к поиску подобных - названных формальными - предпосылок. Данная идея возникает как бы способом «от противного»: мы не имеем никаких гарантий, что в результате она позволит получить «правильную» реконструкцию, поскольку исторических фактов слишком мало, но иных вариантов достижения успеха в решении проблемы попросту нет.

Побочным продуктом такого подхода оказывается отсутствие необходимости в привлечении извне каких-либо общих методологических представлений для анализа рассматриваемого историко-научного материала. Последнее немаловажно по той причине, что формирование европейской философии, начиная! с Аристотеля, шло под активным воздействием зарождавшейся в то же время теоретической математики. Лишь отказавшись от использования современной методологии для решения рассматриваемой проблемы, удается сохранить критическую дистанцию и по отношению к доминирующим на сегодняшний день тенденциям развития теоретической математики, и по отношению к практикуемым в современной философии науки методологическим подходам в проведении конкретных историко-научных исследований. Возможно, тема настоящей диссертационной работы — единственный пример, когда подобная «методологическая» позиция оказывается оправданной и эффективной. В проблеме генезиса теоретической математики методологическую функцию в состоянии взять на себя ключевые для рассматриваемой проблемы исторические факты, имеющие инвариантный по отношению ко всякой возможной методологии характер.

Положения, выносимые на защиту, и их новизна.

1. Показано, что аксиоматический метод принципиально не может зародиться в рамках практически ориентированной системы знания. Следствием этого вывода является утверждение, что дедуктивный способ рассуждений может возникнуть только в теоретической системе знания. Это и есть первая из формальных предпосылок возникновения аксиоматического метода.

Новизна полученного результата заключается в том, что впервые теоретический характер евклидовых «Начал» осознан не как сопутствующий историческому исследованию факт, а как формальная предпосылка возникновения дедуктивного способа доказательств на основе аксиом и постулатов.

2. Аксиоматический способ рассуждений не мог появиться в качестве побочного продукта деятельности с целью, внешней по отношению к полученному результату (например, исходя из потребностей максимально компактного изложения материала в учебных целях). Преобразование науки в дедуктивную форму могло произойти только в результате последовательных целенаправленных действий по выявлению и формулированию тех простейших определений и утверждений, к которым сводятся в конечном счете все её теоремы и предложения. Краткость изложения и доступность понимания при этом не играют первенствующей роли.

Новизна полученного результата заключается в том, что впервые на абстрактно-логическом уровне показана роль релятивистского мышления софистов как провоцирующей причины появления аксиоматического метода в качестве защитной меры.

3. Утверждается, что аксиоматический метод мог возникнуть только в теоретической геометрии, где имеется раздел о свойствах углов. Где бы и когда бы ни возник дедуктивный метод рассуждений, он, как и на земле Эллады, мог появиться только в форме постулата о параллельных прямых. Именно этот постулат, с одной стороны, обосновывает в рамках планиметрии возможность построения прямоугольника на заданном основании, а с другой стороны, вместе с ним в геометрии появляются бесконечные углы, «корректность» представления о которых может быть обеспечена лишь заменой реальных предметных действий построениями, осуществляемыми в человеческом воображении.

Новизна полученного результата заключается в том, что благодаря ему выявлена действительно фундаментальная роль геометрии в возникновении и развитии аксиоматического метода, место и значение которой с объективной точки зрения нисколько не уменьшилось даже после объявления Бурбаки данного метода основой для построения всего математического знания.

4. Показано, что превращение прикладных геометрических знаний египтян в теоретическую геометрию произошло не в головах греческих геометров, а в теле древнегреческой цивилизации. Если для египтян выполняемые на плане пирамиды построения были подчинены процессу её сооружения, то для греков, не возводивших подобных конструкций, свойства данных построений поневоле оказывались «знанием ради знания». Созерцательное рассмотрение достижений египетского землемерного искусства - единственно возможный способ усвоения мудрости древнейшего из народов молодой эллинской цивилизацией.

Новизна полученного результата заключается в демонстрации ограниченности классической теории абстракции Аристотеля с точки зрения социокультурного подхода. Абстракции геометрических фигур возникают не как следствие определенной онтологии — способности души воспринимать форму тела без его материи. В действительности процесс формирования геометрических абстракций в эллинской геометрии имел гораздо более сложную природу. Сначала геометрия должна была превратиться из измерительного искусства в теоретическую науку, изучающую свойства фигур не ради какого-либо практического дела, а исключительно ради них самих. И лишь затем уже на этой основе сознательные усилия ученых, вызванные потребностями общественной жизни, могли привести к возникновению соответствующих представлений о невещественных геометрических объектах.

5. Превращение эллинской теоретической геометрии в дедуктивную науку было неизбежным в конкретных исторических условиях кризиса античного полиса. Вместе с тем, само наличие геометрического искусства как «знания ради знания» в Древней Греции не связано с особенностями её политического устройства и объясняется сравнительно низким техническим уровнем эллинской цивилизации, несопоставимым с техническим уровнем Египта времен Древнего Царства, достигнутым за две с лишним тысячи лет до времени возникновения и расцвета греческой науки.

Новизна полученного результата заключается в пересмотре имеющегося взгляда на современную математику как на единственно возможную форму математического знания, отвечающего его «природе» и не зависящего от конкретно-исторических условий его возникновения. В действительности, именно недостаток «знания» математики о себе самой и услоп виях своего возникновения делает её особенно уязвимой для критики со стороны других наук (например, философии науки или физики).

6. Продемонстрирована неэффективность аксиоматического метода в качестве инструмента решения важнейшей педагогической задачи — овладения искусством самостоятельно мыслить в процессе обучения математике. Эта задача была сознательно поставлена Ж. Дьедонне при пересмотре содержания курса геометрии во Франции в 60-х гг. прошлого столетия и переводе его с языка евклидовой традиции на язык линейной алгебры.

Новизна полученного результата заключается в демонстрации преимуществ классического курса геометрии с точки зрения получения среднего образования перед «модернистским» его изложением на основе идей линейной алгебры. Особая ценность классического курса с точки зрения развития мышления учащихся заключается в том, что геометрия благодаря наглядности как никакой другой школьный предмет способствует развитию умения находить опосредствующие звенья между областью наличного знания и тем, что предстоит найти.

7. Показана невозможность создания искусственного интеллекта до тех пор, пока не будут найдены технические возможности моделирования способности естественного интеллекта производить операцию целенаправленного отбора имеющихся в интеллектуальной системе сведений в соответствии с предъявляемой для решения системе задачей.

Новизна полученного результата заключается в отыскании одной из многих способностей человеческого мышления, отсутствие подходов к технической реализации которой сводит на нет в настоящее время все попытки создания эффективно работающих интеллектуальных систем. Эта способность играет важнейшую роль в процессе создания нового знания, но не развивается при обучении математике на основе идей аксиоматического метода. Слабости аксиоматического метода в качестве способа получения нового знания объясняют его неэффективность и как метода решения задач «искусственного интеллекта».

8. Показана роль дедуктивной математики в формировании в античной философии представлений об идеальных объектах и таких её понятий, как «смысл», «символ», «метафора».

Новизна полученного результата заключается в демонстрации социокультурной детерминированности наряду с дедуктивной математикой также и ряда важных понятий западной философии, представляющихся, на первый взгляд, неотъемлемыми инструментами философского мышления

Научно-теоретическая и практическая значимость исследования. Выводы диссертации определяют новую интерпретацию проблемы генезиса математики, что может стать отправным пунктом для последующих ис-торико-научных исследований. Результаты работы могут быть использованы также в исследованиях по философии науки, философской компаративистике, а также в преподавании математики и написании учебных пособий по математике для студентов технических и гуманитарных специальностей. Материалы диссертации могут стать теоретической основой для разработки специальных курсов по философии математики.

Заключение научной работыдиссертация на тему "Генезис теоретической математики как историко-научная и историко-философская проблема"

Выводы авторов этой работы, как будто противоречат рассуждениям предыдущего параграфа. Действительно, здесь построение алгоритма происходит не на основе его готовой схемы, а сама схема как бы достраивается на наших глазах путем преобразования негативной информации, связанной с неудачами в попытках доказательства корректности спецификации проблемы, в информацию позитивного характера. Не указывает ли это на пробелы рассуждения, основывающегося на копировании действий интеллектуальной системы при помощи ДИ?

Степень общности рассуждений предыдущего параграфа такова, что делает необязательным рассмотрение деталей конструирования алгоритма сортировки, описанного в указанной работе. Достаточно лишь отметить, что основной нетривиальный момент в рассматриваемом подходе заключается в преобразовании негативной информации (неудача в доказательстве корректности спецификации) в позитивную (добавление дополнительных аксиом чисто формальным способом, пополняющим наличные аксиомы новой аксиомой, совпадающей по форме с недоказанной промежуточной целью). Это достигается за счет того, что отрицание понимается авторами «внутренним образом» — как альтернатива в схеме рекурсии. Поэтому «самообучаемая»119 часть алгоритмического синтеза в действительности оказывается фиктивной: для получения в явном виде полной схемы решения задачи к числу аксиом следует просто добавить правые части спецификаций рекурсивных алгоритмов, хранящихся в библиотеке схем алгоритмов.

Создание все более и более удобного для пользователя «дружественного интерфейса», в которые облачаются «умные компьютерные программы», можно только приветствовать, но это ни йоту не приближает к цели, которая вдохновляла многих пионеров ИИ — созданию таких интеллектуальных систем, которые могли снять с человека хотя бы часть его творческих забот, связанных не с копированием старого, а с созданием действительно нового, доселе не существовавшего в совокупной человеческой культуре. А может быть, это не так уж и необходимо, и лучше оставить машине - «машинное», а человеку - «человеческое»? В свете того, что математику не обязательно рассматривать как естественное хранилище доказанных при помощи аксиоматического метода утверждений, эта мысль не выглядит совсем уж неуместной.

На этом рассмотрение аксиоматического метода в аспектах его прошлого, настоящего и будущего существования подошло к концу. Главный его вывод, пожалуй, в том, что математика, вопреки Аристотелю, как и все остальное в нашем мире ограничена историческим горизонтом. То обстоятельство, что горизонт этот едва просматривается в дымке Истории, не отменяет всеобщности не менее давней истины: «Все течет, все изме

118 • •

Buchberger В., Craciun A. Algorithm Synthesis by Lazy Thinking: Using Problem

Schemes // Proceedings of SYNASC 2004, 6th International Symposium on Symbolic and Numeric Algorithms for Scientific Computing. P. 90-91.

119 По идее - самая интересная, так как именно здесь имеется заявка на попытку компьютера сделать самостоятельно то, о чем заранее не побеспокоился конструктор интеллектуальной системы. В языке Пролог, использующем логику предикатов первого порядка с обычными переменными, с преобразованием негативной информацией в позитивную так просто справиться не удается, что и приводит к утрате им «чистой декларативности». няется». И если это действительно так, то и математике настало время снять с себя царственный венок Вечности, примеренный ею двадцать пять веков назад. Осознание этой древнейшей наукой своего действительного места в совокупной мировой культуре не должно принести вреда ни математику-профессионалу, ни использующему её методы в других научных дисциплинах. А для человека, который вообще никогда не планирует применять математику в своей творческой деятельности, знание и понимание реальной пользы математического знания будет естественной частью общечеловеческой культуры, помогающей с уважением относится к труду тех, чьи достижения никак не пересекаются с его личными профессиональными интересами. И компьютерам, наверное, лучше все же оставаться помощниками людей в их разнообразных делах. Стремление же поменять местами машину и человека должно сохраниться в памяти как дерзкая мечта120, без которой едва ли могла зажечься заря новой компьютерной эры.

120Bledsoe W.W. I Had a Dream: AAAI Presidential Address, 19 August 1985 // AI Magazine. 1986. V. 7. № 1. P. 57-61.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Ответ на вопрос о причинах появления теоретической математики с присущим ей дедуктивным методом получен, и в этом смысле исследование может считаться завершенным. Процесс абстрагирования, в результате которого в эллинской математике стали изучать треугольники, четырехугольники и окружности «сами по себе», произошел не в головах греческих геометров, а в гораздо большем организме - теле древнегреческой цивилизации. Если для египтян свойства построенных на плане пирамиды линий не имели самостоятельного значения, будучи подчиненными реальному процессу возведения сооружения, то для греков, не возводивших подобных конструкций, эти свойства оказывались исключительно «знанием ради знания». Абстрагирование от практики и переход к созерцательному рассмотрению достижений египетского землемерного искусства

- единственно возможный способ усвоения мудрости древнейшего из народов молодой, энергично развивающейся цивилизацией.

Забвение собственных исторических корней лишило греческую геометрию возможности отстаивать под напором критики софистов истинность своих утверждений при помощи аргументов «от практики». Если для египетского геометра верность утверждения о возможности построения квадрата на заданном основании могла быть продемонстрирована указанием на построенную симметричную пирамиду, то грек-теоретик, вынужденный обходиться планиметрическими аргументами, не смог бы этого сделать иначе, как потребовав выполнение постулата о параллельных линиях. С этим постулатом в геометрию врывается бесконечность, и она из учения о свойствах построенных на земле чертежей неизбежно превращается в науку о существующих лишь в воображении - идеальных

- объектах, каковой она и продолжает оставаться до настоящего времени. Отсутствие идеальных объектов в геометрии Вавилона, Индии и Китая объясняется ненужностью изучения свойств углов в цивилизациях, не проявлявших интереса к возведению построек в форме полных пирамид.

Никаких иных причин отсутствия аксиоматического метода в восточной математике не существует. Поставить под сомнение это выглядящее чересчур категоричным утверждение можно только одним способом: проверить весь ход рассуждений с начала до конца.

Попытка ответа на вопрос о причинах отсутствия аксиоматического метода в математике всех древних цивилизаций Востока приводит к выводу, что причины эти лежат не внутри, а вне математики, т.е. в конкретно-исторических обстоятельствах жизни целых народов. В то же время поиск каких-либо специфических особенностей эллинской цивилизации наподобие демократического устройства городов-полисов или пристрастия греков к состязаниям в различных сферах человеческой деятельности, способствовавших взрыву интеллектуальной активности в VI - IV вв. до н. э., может привести к формулировке лишь более или менее правдоподобных гипотез. Гипотезу же, как известно, можно лишь опровергнуть, но доказать со стопроцентной уверенностью никогда нельзя.

Обойтись без гипотез в вопросе возникновения аксиоматического метода можно попытаться лишь единственным способом, начав исследование с анализа используемых в научном знании приемов логического вывода из принятых без доказательства начальных основоположений. Так как исследуемая проблема относится не к математике, а к истории этой науки, то и сам аксиоматический метод приходится рассматривать не в виде полученных на его основе результатов (так он изучается в математической логике), а как производимую людьми целесообразную деятельность особого рода. Эта деятельность весьма необычна с точки зрения так называемого «здравого смысла» и настолько отличается от приемов рассуждений в физике, психологии или истории, что проведенный анализ дает возможность локализовать место её зарождения одной единственной областью теоретического знания — разделом планиметрии, изучающей свойства углов. А этого вывода, найденного посредством одних только логических рассуждений, вкупе с имеющимися историческими сведениями уже достаточно, чтобы получить ответ на поставленный вопрос.

Хотя рассматриваемая проблема может рассматриваться и с абстрактно-научной точки зрения, основной её интерес и актуальность связаны с преподаванием математики. Об авторитете математики говорит тот факт, что Б. Паскаль в свое время рассматривал «геометрический метод» как образец для рассуждений во всех областях знания. Эта идея и сегодня имеет немало сторонников, отстаивающих первостепенную роль математических дисциплин для полноценного школьного образования независимо от будущей профессии. Верен или не верен подобный подход — зависит не от личных пристрастий и пожеланий, а исключительно от объективной роли дедуктивного способа рассуждений в ряду наук и, более общо, во всей системе человеческой деятельности. А роль эта довольно-таки специфическая.

Паскаль отмечал, что геометрия преуспела как в искусстве открытия новых, так и в доказательстве уже найденных истин, однако геометрический метод в качестве образца он привлекал только для задач второго рода. С необходимостью, как показано при анализе формальных предпосылок аксиоматического метода, такого рода задачи возникают лишь при защите предложений геометрии от софистического релятивизма, суть которого сводится к тезису: «У каждого - истина своя».

С тем, что любая наука как-то должна справляться с настроениями подобного рода, спорить не приходится. Но все дело в том, что «геометрический метод» в состоянии этого добиться только в самой же геометрии. В других же науках первостепенное значение имеет умение обращаться с фактами, среди аксиом и постулатов не содержащимися и из них логически не вытекающими. Эти факты требуется находить в самой действительности и восполнять ими нехватку «аксиоматической» части фундамента научной теории. А вот этому геометрия не учит и учить не может, поскольку она в подобного рода искусстве при изложении своих теорем потребности не испытывает. Последнее означает, что проблема приоритетов в школьном образовании в соответствии с ролью и значением различных дисциплин не должна решаться на основе одной лишь традиции, которая, как мы стремились показать, далеко не безусловна и не бесспорна. Каждая наука хороша в своем роде, но этот род должен быть для любой из них точно определен. Даже применительно к ней самой подобная задача в компетенцию математики не входит.

Именно так оборачивается для теоретической математики непрояс-ненность условий её собственного исторического возникновения в «аспекте настоящего». В «аспекте будущего» она проявляется как завышенные ожидания касательно успехов «искусственного интеллекта».

Теоретическую математику и ИИ объединяет представление об особом характере аксиоматического метода, при этом успехи, достигнутые математикой за многие столетия её развития, оказываются как бы авансом будущих достижений в области «интеллектуализации» компьютеров. Нельзя, однако, забывать, что логическая дедукция играет в данных областях исследования принципиально различную роль. В математике вывод теорем из аксиом знаменует заключительную фазу исследования, когда полученные с помощью совершенно иных мыслительных приемов (включающих обязательно и интуицию ученого) результаты излагаются способом, максимально приспособленным к проверке отсутствия пробелов в рассуждениях. В ИИ дедукция фактически оказывается способом открытия нужных результатов.

Само по себе автоматическое получение новых теорем в формальной дедуктивной теории совсем не сложно. Но ИИ, будучи ориентирован на решение практически полезных задач, должен уметь доказывать не какие-то более или менее случайные теоремы, а ту одну единственную, в доказательстве которой должно быть закодировано решение поставленной перед интеллектуальной системой проблемы. Доказываемая теорема служит как бы «целью» работы интеллектуальной системы. Если бы эту теорему доказывал человек, то для него она была бы настоящей целью, в соответствии с которой он строит свою деятельность и, в частности, производит целенаправленный отбор сведений, действительно необходимых для решения задачи. Процесс отбора человеком релевантных задаче знаний является сугубо неформальным, поскольку в практической деятельности впервые выдвинутая цель всегда является внешней по отношению к находящимся в голове человека знаниям и потому не может быть достигнута сразу, непосредственным образом. Как минимум, требуется комбинирование наличных сведений, а следовательно и их целенаправленный отбор. Отбор этот осуществляется человеком путем сравнения имеющихся у него сведений с поступившей к нему извне целью, и подобное сравнение всегда осуществляется содержательным, а не формальным образом, поскольку формальное сравнение путем сличения знаков никогда их готовую комбинацию, пригодную для решения новой задачи, в голове не обнаружит. В диссертации показано, что человек (например, конструктор интеллектуальной системы), запретивший себе использовать операцию целенаправленного отбора сведений, подобно компьютеру, сможет предъявить решение задачи лишь в случае, если её решение, в той или иной форме, уже было ему известно заранее. А отсюда следует, что без научения машин искусству целенаправленного отбора сведений нечего и надеяться на создание эффективно действующих интеллектуальных систем.

Анализ возникновения теоретической математики в древнегреческой цивилизации показал, что открытый в ней новый способ построения знания оказал существенное воздействие на развитие древнегреческой философии. Так, казалось бы, сугубо историко-научная по своему происхождению проблема оказалась в то же время и проблемой историко-философского характера. В диссертации показано, что в преобразовании учения о телесных эйдосах Платона в бестелесные идеи Аристотеля определяющую роль сыграла как раз незадолго до того возникшая дедуктивная геометрия с её постулатами и аксиомами. Именно геометрия дала толчок Стагириту для создания учения о мыслящем самого себя бестелесном Уме-перводвигателе, в который он и поместил находившиеся у Платона в Занебесье хотя и вечные, но все же телесные эйдосы.

Геометрия же привела и к возникновению представления о бестелесном «лектон» у стоиков, которые отказались от учения платоников и перипатетиков об эйдосах. Учение о «лектон» позволило стоикам придать логическому учению форму, гораздо более близкую современной формальной логике, нежели пионерские исследования законов мышления Аристотелем.

Тем самым мы имеем право утверждать, что благодаря лучшему пониманию процесса зарождения теоретической математики можно более глубоко понять логику развития древнегреческой философской мысли в тех её аспектах, которые оказались тесно связанными с развитием современной ей геометрии и арифметики. Можно даже выдвинуть гипотезу, что именно математика позволила - благодаря созданию существующих только в человеческом мышлении идеальных математических объектов -значительно раздвинуть поле древнегреческого (а тем самым, и вообще западного) философского мышления, на что оказалась неспособной философская мысль Индии и Китая, где геометрия по объективным основаниям не могла быть преобразована в дедуктивную науку. Тем самым социокультурная философия науки может поставить новые вопросы в области философской компаративистики, ставя под сомнение возможность чересчур сильного сближения учений европейских философов и философов Индии и Китая, ввиду невозможности последними заимствования техники оперирования идеальными мысленными образами из их собственной математики.

Еще одно возможное поле применения результатов диссертационной работы - анализ возможности эффективного использования количественных методов в антикризисном управлении. В классическом менеджменте, где управление осуществляется в условиях экономической и политической стабильности, применяются различные математические методы, правомерность использования которых гарантирована предшествующей управленческой практикой в сходных условиях. Ситуации стабильного развития легче поддаются классификации, что предоставляет возможность предварительного отбора математических моделей, ранее уже успешно себя зарекомендовавших. Даже при отсутствии подобных моделей менеджер обладает достаточным ресурсом времени для «отладки» новой или недостаточно проработанной «старой» модели, когда путем «ограниченного эксперимента» проверяется приемлемость для данных конкретных обстоятельств принятых общих идеализаций и допущений. Чрезвычайные ситуации гораздо хуже поддаются классифицирующим обобщениям, а возможность «экспериментирования» с целью выбора подходящей модели нельзя даже всерьез рассматривать — слишком велика цена ошибки. Приходится оставить и идею имитационного моделирования, «проигрывающего» различные варианты развития событий (и использующего, в случае необходимости, различные модели их описания), для которого в условиях кризиса нет ни времени, ни средств.

В антикризисном управлении, таким образом, налицо положение, когда стандартный способ применения математических методов, успешно работающий в естественных науках и при описании стабильно развивающихся экономических процессов, не срабатывает, причем не срабатывает именно из-за специфики предметной области, «сопротивляющейся» самой возможности «укладывания» многообразных уникальных ситуаций кризисного характера в жесткие рамки готовых математических форм. Когда характер динамики развития чрезвычайной ситуации в существенной степени оказывается зависящим от принятых предшествующих решений, ни на какое единообразное математическое описание кризисной фазы управляемого процесса рассчитывать не приходится. В то же время ясно, что совсем без математических методов в процессе преодоления кризисных явлений никак не обойтись, поскольку именно в оптимизации соотношения количественных характеристик управляемого процесса и лежит ключ к успеху.

Для того чтобы составить самое общее представление о характере возможного применения математических методов «идеальным специалистом по антикризисному управлению», следует более внимательно проанализировать способ его действий в типичной ситуации.

Всякий специалист, претендующий на успех в конкретной чрезвычайной ситуации, должен сначала идентифицировать её именно как кризисную в противоположность ситуации стабильного развития, в которой система должна находиться в нормальном состоянии и достижение которой он будет рассматривать как основную цель своей деятельности. Это дает возможность выявить соответствующие специфические признаки, т.е. зафиксировать качественную определенность управляемого процесса. Легко видеть, что качественная определенность стабильного конечного состояния управляемого процесса должна отличаться от качественной определенности исходного кризисного состояния, т.е. ищущий выход из кризиса должен перейти от одного «качества» к иному «качеству». Средством же качественного изменения состояния системы у него может быть только количественное изменение существенных параметров.

Главная трудность в практической реализации описанной абстрактной схемы заключается как раз в выборе подобных «существенных параметров». Математика сама по себе не в состоянии отделить существенные количественные параметры, определяющие на деле развитие управляемого процесса, от несущественных. Объясняется это тем, что изменение существенных параметров может привести к изменению качественного состояния процесса, в то время как изменение несущественных параметров ни к каким качественным изменениям не приводит. Так как предметом математики являются количественные отношения, а качественную определенность должны фиксировать другие — содержательные (типа физики или экономики) - науки, то и получается, что достичь успеха в определении существенных параметров одна математика не в состоянии. И если в технических науках, а также в традиционном менеджменте повторяемость (воспроизводимость) ситуаций позволяет опереться на прошедший успешный опыт, закрепленный в соответствующих моделях, то в антикризисном управлении идеология математического моделирования должна во многом измениться.

Если своеобразие чрезвычайной ситуации и сопутствующий ей дефицит времени не позволяют идти проторенным путем адаптации известных моделей, то остается рассчитывать на отыскание таких приемов математического моделирования, которые заранее исключали бы возможность усугубления кризисных явлений в случае их применения. Иными словами, необходим содержательный математический инструментарий, который с самого начала опирался бы на анализ качественной специфики кризисной ситуации и предлагал бы модели, не внешним образом накладываемые на неё, а количественным образом уточняющие её предварительное понимание. Значительный формализм в преподавании математических дисциплин, затрудняющий не только их усвоение, но и последующее применение в управленческой деятельности, как следует из результатов диссертации, объясняется не природой математики как таковой, а многовековыми конкретно-историческими условиями её развития и сложившимися в соответствии с этими условиями традициями её преподавания.

Нет ничего удивительного в том, что фактическая ориентация в преподавании математики студентам технических и экономических специальностей на древнегреческий образец облегчает усвоение ими теоретической части её аппарата, но мало что дает для умения строить математические модели. По этой причине математическое моделирование и остается скорее искусством, нежели наукой. Особый характер антикризисного управления заключается в том, что в нем существует объективный запрос на обучение каждого будущего специалиста умению строить в ограниченные сроки полезные математические модели, способствующие успешному разрешению чрезвычайной ситуации.

Существует только один способ рассматривать количественные характеристики управляемого объекта как уточнение его качественной определенности, когда качество и количество понимаются как категории. При помощи категорий описываются как процессы, протекающие в мышлении, так и процессы, происходящие в окружающем мире (например, описание процесса возникновения теоретической математики под воздействием внешних по отношению к науке причин). Первым на исключительную роль категорий в процессе реально осуществляемого мышления указал И. Кант, определив их в «Критике чистого разума» как условия возможности опыта, вследствие чего мышление о предметах возможно не иначе, как с помощью категорий. Именно категории являются «точками совпадения» мышления и бытия, благодаря чему только и возможен успех в научном предсказании явлений действительности. Лишь при категориальном понимании количественных методов и можно надеяться на успех математического моделирования без «предварительной отладки» построенной модели. В частности, только такое понимание способно гарантировать успешное применение какой-либо известной модели математической экономики или менеджмента в новой, чрезвычайной ситуации. Не исключено, что в XXI веке, когда в связи с исчерпанием природных ресурсов число кризисных ситуаций будет только нарастать, разработка принципов количественного анализа кризисных ситуаций стала бы наиболее актуальным применением идей, представленных в данной диссертационной работе.

Список научной литературыБычков, Сергей Николаевич, диссертация по теме "Философия науки и техники"

1. Абрамян JLA. Кантова философия математики: старые и новые споры. — Ереван: Айастан, 1978. 86 с.

2. Аверинцев С.С. Два рождения европейского рационализма // Вопросы философии. 1989. - № 3. - С. 3-13.

3. Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики. Пер. с фр. -М.: Советское радио, 1970. 152 с.

4. Аистов H.H., Васильев Б.Д., Иванов В.Ф. и др. История строительной техники. Л- М.: Гос. издательство по строительству, архитектуре и строительным материалам, 1962. - 560 с.

5. Александров А. Д. Математика // Философская энциклопедия. — М., 1964. Т. З.-С. 329-335.

6. Александров А.Д., Вернер B.JL, Рыжик В.И. Геометрия. Пробный учебник для 6 класса. М.: Просвещение, 1984. - 176 с.

7. Алкиной. Учебник Платоновский философии // Платон. Соч. в 4 т. Т. 4. -М.: Мысль, 1994. С. 625-663.

8. Андреев Ю.В. Цена свободы и гармонии. Несколько штрихов к портрету греческой цивилизации. СПб.: Алетейя, 1998. - 431 с.

9. Андреев Ю.В. Рец. на кн.: А.И. Зайцев. Культурный переворот в Древней Греции VIII-V вв. до н.э. JL, 1985 // Вестник древней истории. 1988. № 3. С. 161-167.

10. Аникеев В.Н. Развитие понятия доказательства в дедуктивных теориях: Автореф. дис. канд. филос. наук: 09.00.07 / Ленингр. гос. ун-т. Л., 1974. -25 с.

11. Античная музыкальная эстетика / Под. общ. ред. В.П. Шестакова. М.: Музгиз, 1960.-304 с.

12. Античные теории языка и стиля / Под общей редакцией О. М. Фрейден-берг. М - Л.: Соцэкгиз, 1936. - 342 с.

13. Аристотель. Афинская политая. Государственное устройство афинян / Под ред. B.C. Сергеева. — М — Л.: Соцэкгиз, 1936. 198 с.

14. Аристотель. Соч. в 4 т. М.: Мысль, 1976-1984.

15. Арнольд В.И. О преподавании математики // Успехи математических наук. 1998. - Т. 53. - Вып. 1. С. 229-235.

16. Асмус В.Ф. Проблема интуиции в философии и математике. Очерк истории: XVII начало XX в. - М.: Соцэкгиз, 1963. - 312 с.

17. Ахутин A.B. «Фюсис» и «Натура». Понятие «природа» в Античности и в Новое время. М.: Наука, 1988. - 208 с.

18. Ахутин A.B. История принципов физического эксперимента: От античности до XVII в. М.: Наука, 1976. - 292 с.

19. Ахутин A.B. Тяжба о бытии. М.: РФО, 1997. - 304 с.

20. Барабашев А.Г. Будущее математики. Методологические аспекты прогнозирования. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1991. - 160 с.

21. Барабашев А.Г. В поддержку метода интерпретаций // Историко-матема-тические исследования. Серия 2 1996. - Вып. 1 (36). - № 2. - С. 204-235.

22. Барабашев А.Г. Диалектика развития математического знания. Закономерности эволюции способа систематизации. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1983.- 166 с.

23. Барабашев А.Г. О проблеме возникновения теоретической математики // Методологические проблемы развития и применения математики. М., 1985.-С. 177-187.

24. Башмакова И.Г. О возникновении математики как науки // Методологические проблемы развития и применения математики. М., 1985. -С. 173-177.

25. Беллюстин В. Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики. — М.: Учпедгиз, 1940. 200 с.

26. Белова Г.А. Загадки древнеегипетских пирамид // Вопросы истории. -1983.-№ 5. С. 92-101.

27. Беляев Е.А., Киселева H.A., Перминов В.Я. Некоторые особенности развития математики. М.: Изд-во Моск. Ун-та, 1975. — 112 с.

28. Беляев Е.А., Перминов В.А. Философские и методологические проблемы математики. М.: Изд-во МГУ, 1981. - 215 с.

29. Бирюков Б.В. Крушение метафизической концепции универсальной предметной области в логике. М.: Высшая школа, 1963. — 74 с.

30. Бирюков Б.В., Гутчин И.Б. Машина и творчество. Результаты, проблемы, перспективы. -М.: Радио и связь, 1982. 152 с.

31. Блаватский В.Д. Природа и античное общество. М.: Наука, 1976. - 80 с.

32. Блехман И.И., Мышкис А.Д., Пановко Я.Г. Механика и прикладная математика: Логика и особенности приложений математики. — М.: Наука, 1983.-328 с.

33. Бобынин В.В. Древнеиндусская математика и отношение к ней древней Греции // Известия Казанского физико-математического общества. — 1917.-Т. 22.-С. 128-157.

34. Бобынин В.В. Математика древних египтян (по папирусу Ринда). М.: Математический листок. 1882. - 198 с.

35. Боголюбов A.A., Роменко Н.М. Опыт внедрения диалектики в математику // Вопросы философии. 1991. - № 9. - С. 36^12.

36. Боголюбов Н.М. Кризис мифологического сознания в Индии и в Древней Греции. -Нежин: Типо-лит. наел. В.К. Меленевского, 1912. 60 с.

37. Бубнов Н.М. Арифметическая самостоятельность европейской культуры. Культурно-исторический очерк. Исследования по истории науки в Европе. Т. 1. К.: Тип. C.B. Кульженко, 1908. - 409 с.

38. Будущее искусственного интеллекта. М.: Наука, 1991. — 302 с.

39. Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М.: ИЛ, 1963. - 292 с.

40. Бургин М.С., Кузнецов В.И. Введение в современную точную методологию науки: Структуры систем знания. М.: Аспект Пресс, 1994. - 304 с.

41. Бычков С.Н. Абстрактно-общее и математика // Ильенковские чтения: Тезисы докладов и сообщений межд. научн. конф. Зеленоград, 18—20 февр. 1999 / Под ред. Г.В. Лобастова. Москва-Зеленоград, 1999. -С. 105-108.

42. Бычков С.Н. Генезис объективного идеализма и геометрия // Ильенковские чтения: Тез. выступл. 18-19 февр. 1997 г. / Под науч. ред. Г.В. Лобастова. М.: Академия печати, 1997. - С. 37-38.

43. Бычков С.Н. Геометрия и аксиоматический метод // Историко-математи-ческие исследования. Серия 2- 1996. Вып. 1 (36). - № 2. - С. 195-204.

44. Бычков С.Н. Гипотетико-дедуктивный метод и гуманитарное знание // Вестник РГГУ. Вып. 3. Науки о природе и науки о духе: предмет и метод на рубеже XXI века / Отв. ред. Ю.Н. Афанасьев. М.: Российск. гос. гу-манит. ун-т. -1996. - № 3. - С. 121-126.

45. Бычков С.Н. "Греческое чудо" и теоретическая математика. М.: Российск. гос. гуманит. ун-т, 2007. — 192 с.

46. Бычков С.Н. Дедуктивное мышление и древнегреческий полис // Стили в математике: социокультурная философия математики / Под ред. А.Г. Барабашева. СПб.: РХГИ, 1999. - С.288-304.

47. Бычков С.Н. Дедуктивный метод и обоснование математики // Обоснование и культура: Сб. научных статей. Уфа: Башкирск. ун-т, 1995. - С. 134-141.

48. Бычков С.Н. Диалог как форма выражения содержания философии Платона // Когнитивное моделирование переговорного процесса: Тезисы докладов Всероссийской конференции (Москва, 17-18 декабря 1997 г.). -М., 1998.-С. 78-80.

49. Бычков С.Н. Египетская геометрия и греческая наука // Историко-математические исследования. Вторая серия- 2001. Вып. 6 (41). -С. 277-284.

50. Бычков С.Н. Естественнонаучное и гуманитарное образование в XXI веке // Стратегия опережающего развития для России XXI века: Тезисы докладов и сообщений межд. научн. конф. Москва, 18-19 июня 1999 г. Т.З. 4.1. М., 1999. - С. 53-54.

51. Бычков С.Н. Естественный и искусственный интеллект: Проблемная лекция. М.: РГГУ, 1995. - 42 с.

52. Бычков С.Н. Искусственный интеллект и формальные дедуктивные теории // Математические методы решения инженерных задач. — М.: Ракетные войска стратегического назначения, 1993. С. 32-37.

53. Бычков С.Н. К вопросу о возникновении дедуктивной математики // Современная математика: методологические и мировоззренческие проблемы. Ч. 2. -Москва-Обнинск, 1987. С. 225-228.

54. Бычков С.Н. Как числа стали абстрактными? // Историко-математи-ческие исследования. Вторая серия. 2002. - Вып. 7 (42). - С. 190-201.

55. Бычков С.Н. Конференция «"Науки о природе" и "науки о духе": предмет и метод на рубеже XXI века» // Философские науки. 1995. № 2—4. -С. 228-237.

56. Бычков С.Н. Математика в историческом измерении // Вопросы истории естествознания и техники. 2003. - № 3. - С. 95-110.

57. Бычков С.Н. Математика и образование // Философско-педагогический анализ проблемы гуманизации образовательного процесса. Сб. научн. статей. Вып.1. /Под ред. Г.В. Лобастова. М., 1998. - С. 97-101.

58. Бычков С.Н. Математика как феномен культуры // Гуманитарные науки и новые информационные технологии: Сб. научн. трудов / Отв. ред. Ю.Н. Афанасьев. М.: Российск. гос. гуманит. ун-т, 1994. — Вып. 2. — С. 143-148.

59. Бычков С.Н. Математическое и гуманитарное образование: общее и особенное // Всероссийская конференция «Математика и общество. Математическое образование на рубеже веков», Дубна, сентябрь, 2000. М.: МЦНМО, 2000. - С. 343-344.

60. Бычков С.Н. Математическое образование студентов гуманитарных специальностей // Труды Международной конференции «Проблемы реализации многоуровневой системы образования. Наука в вузах». М., 1999. -С. 376-378.

61. Бычков С.Н. Метаматематика и опыт // Математика и опыт / Под ред. А.Г. Барабашева. М.: Изд-во МГУ, 2003. - С. 354-365.

62. Бычков С.Н. О методологических проблемах преподавания элементов комбинаторики и теории вероятностей студентам гуманитарных специальностей // Труды третьих Колмогоровских чтений. — Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2005. С. 87-96.

63. Бычков С.Н. О роли строгости в преподавании математики и математическом творчестве: взгляды А.Н. Колмогорова и В.И. Арнольда // Труды вторых Колмогоровских чтений. Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2004. -С.25-33.

64. Бычков С.Н. Об особенностях античного метода исчерпывания // Исто-рико-математические исследования. 1990. - Вып. ХХХ11-ХХХШ. -С. 11-20.

65. Бычков С.Н. Формальная и диалектическая логика в зеркале истории науки // Ильенков и Гегель. Материалы IX Международной научной конференции (26-27 апреля 2007 г.). Ростов-на-Дону, 2007. - С. 173-174.

66. Бычков С.Н. Четвертый постулат Евклида и потенциальная бесконечность // Бесконечность в математике: философские и исторические аспекты / Под ред. А.Г. Барабашева. М.: Янус-К, 1997. - С. 35-39.

67. Бычков С.Н., Григорян А.А., Шикин Е.В. Математическое мышление и искусство управления // Ученые труды факультета государственного управления МГУ. 2003. - Вып. 2. - С. 142-158.

68. Бычков С.Н., Зайцев Е.А. Математика в мировой культуре. М.: РГГУ, 2006.-228 с.

69. Бычков С.Н., Зайцев Е.А., Шашкин Л.О. Диагональная процедура Г. Кантора и теория множеств (историко-научный и логический контекст) // Историко-математические исследования. Вторая серия. 1999. -Вып. 4 (39).-С. 303-324.

70. Бычков С.Н., Шашкин Л.О. К критике канторовской диагональной процедуры // Традиционная логика и канторовская диагональная процедура. М.: Янус-К, 1997. - С. 22-29.

71. Бычков С.Н., Шашкин Л.О. Канторовская диагональная процедура и непротиворечивость теории множеств // Историко-математические исследования. Вторая серия. 1999. - Вып. 5 (40). - С." 290-300.

72. Варден ван дер. Пробуждающаяся наука: Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции / Перев. с голл. М.: Физматгиз, 1959. - 459 с.

73. Васильев A.A. К вопросу об исследовании пирамиды Хеопса // Вопросы истории естествознания и техники. — 1982. № 4. - С. 87-96.

74. Васильева Т.В. Беседа о логосе в платоновском «Теэтете» (201 с 210 Ь) / Платон и его эпоха. - М.: Наука, 1979. - С. 278-300.

75. Васюков B.JI. Автоматическое доказательство теорем // Логика и компьютер. 2: Логические языки, содержательные рассуждения и методы поиска доказательств. М.: Наука. 1995. - С. 24-62.

76. Ващенко-Захарченко М.Е. Исторический очерк математической литературы индусов. К.: Императорский университет Св. Владимира, 1882. -76 с.

77. Ващенко-Захарченко М.Е. История математики. Исторический очерк развития геометрии. Т.1. К.: Императорский университет Св. Владимира, 1883.-694 с.

78. Ващенко-Захарченко М.Е. Характер развития математических наук у различных народов древнего и нового мира до XV века. — К.: Императорский университет Св. Владимира, 1882. 49 с.

79. Вейценбаум Дж. Возможности вычислительных машин и человеческий разум. От суждений к вычислениям. Пер. с англ. М.: Радио и связь, 1982. - 368 с.

80. Вернан Ж.-П. Происхождение древнегреческой мысли / Пер. с фр. Пре-дисл. А.П. Юшкевича. Послесл. Ф.Х. Кессиди. М.: Прогресс, 1988. -224 с.

81. Веселовский И.Н. Египетская наука и Греция. Из истории древней математики и астрономии // Труды Института истории естествознания. Т. II. М.-Л., 1948. - С. 426-498.

82. Визгин В.П. Проблема истины в историко-научных исследованиях // Вопросы истории естествознания и техники. 2007. - № 1. — С. 3-19.

83. Виннер Д.И. Виды отрицания и исчисление предикатов первого порядка // Математические методы решения инженерных задач. М., 1999. С. 51-53.

84. Виннер Д.И. О различении внешнего и внутреннего отрицания в традиционной логике // Традиционная логика и канторовская диагональная процедура. М.: Янус-К, 1997: - С. 5-21.

85. Виппер Б.Р. Искусство Древней Греции. М.: Искусство, 1972. — 268 с.

86. Войцехович В.Э. Становление и развитие математической теории // Фи-лос. науки. 1990. - № 12. - С. 52-64.

87. Володарский А.И! Очерки истории средневековой индийской математики. -М.: Наука, 1977. 180 с.

88. Габриэлян О. Математика как феномен культуры. Ереван: Изд-во АН Армянской ССР, 1990. - 175 с.

89. Гадамер Г. Истина и метод: Основы философской герменевтики / Пер. с нем. Общ. ред. и вступ. ст. Б. Н. Бессонова. М.: Прогресс, 1988. - 704 с.

90. Гайденко П.П. Эволюция понятия науки: Становление и развитие первых научных программ. М.: Наука, 1980. - 567 с.

91. Гегель Г.В.Ф. Лекции по истории философии. Книга вторая. — СПб.: Наука, 1994.-423 с.

92. ЮО.Гегель Г.В.Ф. Энциклопедия философских наук. Т. 1. Наука логики. -М.: Мысль, 1974.-452 с.

93. Гёдель К. Об одном еще не использованном расширении финитной точки зрения // Математическая теория логического вывода. — М.: Наука, 1967. -С. 299-310.

94. Гейберг И.Л. Естествознание и математика в классической древности / Пер. с нем. С.П. Кондратьева под ред. с предисл. А.П. Юшкевича — М. — Л.: ОНТИ, 1936. 194 с.

95. ЮЗ.Гейтинг А. Интуиционизм. Введение. Перев. с англ. М.: Мир, 1965. -199 с.

96. Генезис категориального аппарата науки / Отв. ред.: К.Х. Рахматуллин, А.Н. Нысанбаев. Алма-Ата: Наука КазССР, 1990. -320 с.

97. Геродот. История в девяти книгах / Пер. Г.А. Стратановского. Общ. ред. С. Л. Утченко. Л.: Наука, 1972. - 600 с.

98. Гильберт Д. Аксиоматическое мышление // Методологический анализ оснований математики: Отв. ред. М.И. Панов. М., 1988. - С. 97-104.

99. Гильберт Д. Основания геометрии / Пер. с нем. М.-Л.: Гостехиздат, 1948.-492 с.

100. Гильберт Д., Аккерман В. Основы теоретической логики / Пер. с нем. -М., 1947.-304 с.

101. Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики / Пер. с нем. М.: Наука, 1979. - 557 с.

102. ПО.Глебкин В.В. Наука в контексте культуры. «Начала» Евклида и "Цзю чжан суань шу». М.: Интерпракс, 1994. - 190 с.

103. Горолевич Т.А. Взаимоотношение математики и философии (логико-диалектические и социальные аспекты) // Современное естествознание в системе науки и практики. Минск, 1990. - 214 с.

104. Григорян A.A. О гносеологическом механизме возникновения нового математического знания // Методологический анализ математических теорий.-М., 1987.-С. 33-41.

105. ПЗ.Гринцер Н.П., Гринцер П.А. Становление литературной теории в Древней Греции и Индии. М.: РГГУ, 2000. - 424 с.

106. Грязнов Б.С. Логика. Рациональность. Творчество. — М.: Наука, 1982. -256 с.

107. Гуссерль Э. Начало геометрии / Введение Жака Деррида. М.: Ad Marginem, 1996. - 267 с.

108. Пб.Гутнер Г.Б. Онтология математического дискурса. Сущность и структура в математическом рассуждении. М.: Изд-во Моск. культуролог, лицея, 1999.-119 с.

109. Давыдов B.B. Виды обобщения в обучении: Логико-психологические программы построения учебных предметов. М.: Педагогика, 1972. — 423 с.

110. Деймлих Ф. Геодезическое инструментоведение. Пер с нем. — М., 1970.

111. Декарт Р. Сочинения в двух томах. М.: Мысль, 1989-1994.

112. Демидов С.С. Презентизм и антикваризм в историко-научном исследовании // Вопросы истории естествознания и техники. 1994. - № 3. -С. 3-12.

113. Дильс Г. Античная техника / Пер. с нем. под ред. и с предисл. С.И. Ковалева. — М Л.: Труды Института истории науки и техники АН СССР, 1934.-215 с.

114. Диоген Лаэртский. О жизни, учениях и изречениях знаменитых философов / Перевод с древнегреч. М.Л. Гаспарова. 2-е изд. М.: Мысль, 1986. -571 с.

115. Доватур А.И. Рабство в Аттике в VI V вв. до н. э. - Л.: Наука, 1980. -135 с.

116. Долгоруков B.C. История эллинского градостроительства (VIII — II вв. до н. э.): Автореф. дис. канд. ист. наук: 07.575 / АН СССР. Ин-т архитектуры.-М., 1970.-31 с.

117. Дорофеев Г.Ф., Розов Н.Х. О философском освещении некоторых вопросов математики // Вопросы философии. -1968. -№ 6. С. 132-142.

118. Древнекитайская философия. Собрание текстов: В 2 т. /Под ред. Я. Хин Шун.-М., 1972-1973.

119. Древняя Греция / Сборник статей. Под ред. В.В. Струве, Д.П. Каллисто-ва. М.: Изд-во АН СССР, 1956. - 614 с.

120. Дрейфус X. Чего не могут вычислительные машины. Критика искусственного разума / Пер. с англ. М.: Прогресс, 1978. — 334 с.

121. Дьедонне Ж. Линейная алгебра и элементарная геометрия / Пер. с фр. М.: Наука, 1972.-336 с.

122. Евклид. Начала. Пер. и комм. Д. Д. Мордухай-Болтовского. Т.1. М - Л.: ОГИЗ-ГИТТЛ, 1948. - 446 с.

123. Еганян A.M. Греческая логистика. Ереван: Айастан, 1972. — 309 с.

124. Елачич В. Как считали люди в древние времена. СПб.: Изд. книж. магазина П.В. Луковникова, 1912. - 47 с.

125. Жмудь Л.Я. Зарождение истории науки в античности. СПб.: РХГИ, 2002. - 424 с.

126. Жмудь Л.Я. Наука, философия и религия в раннем пифагореизме. -СПб.: Алетейя, 1994. -376 с.

127. Жмудь Л.Я. Пифагор и его школа. Л.: Наука, Ленинградское отд-ние, 1990.-191 с.

128. Жог В.И., Коломейцев А.Е. Инвариантный мир Платона и развитие математического естествознания // Теория развития и естествознание. М., 1989.-С. 63-73.

129. Жоль К.К. Сравнительный анализ индийского логико-философского наследия. К.: Наукова думка, 1981. — 208 с.

130. Зайцев А.И. Культурный переворот в Древней Греции VIII-V вв. до н.э.- Л.: Издательство Ленинградского университета, 1985. 208 с.

131. Зиновьев A.A. Основы логической теории научных знаний. М.: Наука, 1967.-261 с.

132. МО.Зинченко В.П. Искусственный интеллект и парадоксы психологии // Будущее искусственного интеллекта. М.: Наука, 1991. - С. 185 — 193.

133. Зубов В.П. Аристотель. М.: Изд-во Академии Наук СССР, 1963. - 367 с.

134. Ильенков Э. Количество // Философская энциклопедия. М., 1962. - Т.2.- С. 552-560.

135. История математики с древнейших времен до начала Нового времени / Под ред. А.П. Юшкевича. М.: Наука, 1970. - 352 с.

136. Каган В.Ф. Основания геометрии. Учение об обосновании геометрии в ходе его исторического развития. Ч. 1: Геометрия Лобачевского и ее предыстория. М. Л.: ГТТИ, 1949. - 492 с.

137. Кадыржанов Р.К. Проблемы социально-культурной природы математического познания. Алма-Ата: Гылым, 1992. -125 с.

138. Нб.Казарян В.П., Лолаев Т.П. Математика и культура. М.: Научный мир, 2004.-288 с.

139. Каменцева Е.И. Историческая метрология. М.: Ист.-архив. ин-т, 1978. -57 с.

140. Кант И. Соч. в шести тт. Т. 3. - М.: Мысль, 1964. - 799 с.

141. Касавин И.Т. Социальные структуры математического знания: гносеологический анализ // Познавательная традиция: философско-методологи-ческий анализ. М., 1989. - С. 45-62.

142. Кассирер Э. Познание и действительность. Понятие о субстанции и понятие о функции / Перевод Б. Столпнера и П. Юшкевича. СПб.: Шиповник, 1912.-454 с.

143. Кассирер Э. Философия символических форм. Тт. 1-3. / Пер с нем. М — СПб.: Университетская книга, 2002.

144. Касьян A.A. Контекст образования: наука и мировоззрение. — Н. Новгород: Изд-во НГПУ, 1996. 184 с.

145. Касьян A.A. Математический метод: проблема научного статуса. Куйбышев: Куйбышевск. гос. пед. ин-т им. В.В. Куйбышева, 1990. - 96 с.

146. Катречко С.Л. Логика и теория поиска вывода // Наука и философия на рубеже тысячелетий: перспективы и горизонты (тезисы докл. и выст. на Всерос. научн. конф.). Курск, 1995. - С. 54-56.

147. Кауфман И.С. Геометрический метод и геометрический объект в философии Спинозы // История философии: проблемы и темы. К 60-летию профессора Ю.В. Перова. СПб., 2001. - С. 114-134.

148. Кахро М.И, Калья А.П., Тыугу Э.Х. Инструментальная система программирования ЕС ЭВМ (ПРИЗ). М.: Финансы и статистика, 1981. -158 с.

149. Кедровский О.И. Взаимосвязь философии и математики в процессе исторического развития. К.: Вища школа, 1974. - 342 с.

150. Кессиди Ф.Х. От мифа к логосу. М.: Мысль, 1972. - 312 с.

151. Кибернетика — неограниченные возможности и возможные ограничения. Итоги развития / Ред.-сост. В.Д. Пекелис. М.: Наука, 1979. - 200 с.

152. Кибернетика: Неограниченные возможности и возможные ограничения. Перспективы развития. М.: Наука, 1981. 192 с.

153. Клайн М. Математика: утрата определенности. М.: Мир, 1984. - 434 с.

154. Клайн М. Математика: Поиск истины. М.: Наука, 1988. - 250 с.

155. Клини С. Математическая логика. -М.: Мир, 1973. -480 с.

156. Кобзев А.И. Учение о символах и числах в китайской классической философии. М.: Мысль, 1994. - 225 с.

157. Колмогоров А.Н. Математика // Большая Советская Энциклопедия. 1-е издание. Т. 38. М., 1938. С. 359-402.

158. Коуэн Г.Дж. Мастера строительного искусства: История проектирования сооружений и среды обитания со времен Древ. Египта до XIX в. Пер. с англ. Д.Г. Копелянского. М.: Стройиздат, 1982. - 240 с.

159. Кричевец А.Н. Априорность и адаптивность. М.: Российское психологическое общество, 1998. - 130 с.

160. Крушинский A.A. Логика древнего Китая: Автореф. дис. докт. филос. наук: 09.00.07 / Моск. гос. ун-т. М., 2006. - 42 с.

161. Крушинский A.A. Логика «И цзина»: Дедукция в древнем Китае. М.: Изд. фирма «Восточная литература» РАН, 1999. - 176 с.

162. Ксенофонт. Сократические сочинения. — СПб.: АО Комплект, 1993. 416 с.

163. Кудрявцев Л.Д. Современная математика и ее преподавание. М.: Наука, 1985.-170 с.

164. Кудряшев А.Ф. О соотношении предмета и метода математики // Современная математика: методологические и мировоззренческие проблемы. Ч. II. М.-Обнинск, 1987. - С. 221-225.

165. Кузнецова И.С. Гносеологические проблемы математического знания. -Л.: Изд-во ЛГУ, 1984. 136 с.

166. Кузнецова Н. И. Наука в ее истории: (Методологические проблемы). — М., 1982.-127 с.

167. Куторга М.С. О счетах у древних греков. История слова «камешек» // Русский вестник. -1872. Т. 102. - С. 901-922.

168. Ладенко И.С. Формирование теоретического знания в истории математики / АН СССР. Сиб. отд. Ин-т истории, филологии и философии СО АН СССР. Препринт. - Новосибирск, 1989. - 64 с.

169. Лакатос И. Бесконечный регресс и основания математики // Современная философия науки. М., 1996. С. 106-136.

170. Лакатос И. Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы / Пер. с англ. И.Н. Веселовского. М., Наука, 1967. - 152 с.

171. Лауэр Ж.Ф. Загадки египетских пирамид / Пер. с франц. М.: Наука, 1966.-224 с.

172. Лафарг П. Материалистическое понимание истории и математики // Вестник знания. -1909. № 5. - С. 662-665.

173. Лебедев A.B. Геометрический стиль и космология Анаксимандра // Культура и искусство античного мира. М., 1980. - С. 100-124.

174. Лейбниц Г.-В. Об универсальной науке, или философском исчислении // Лейбниц Г.-В. Соч. в четырех томах. Т. 3. М., 1984. - С. 494-500.

175. Лобачевский Н.И. Геометрические исследования по теории параллельных линий / Пер., комм., вступ. ст. и прим. проф. В.Ф. Кагана. — M-Л.: АН СССР, 1945.-176 с.

176. Логика и компьютер. Моделирование рассуждений и проверка правильности программ / H.A. Алешина, A.M. Анисов, П.И. Быстров и др. М.: Наука, 1990.-240 с.

177. Лосев А.Ф. Античный космос и современная наука. М.: Издание автора, 1927.-550 с.

178. Лосев А.Ф. История античной эстетики. М.: Искусство, 1963-1994. В 8 т.

179. Лосев А.Ф. Очерки античного символизма и мифологии / Сост. A.A. Та-хо-Годи; Общ. ред. A.A. Тахо-Годи и И.И. Маханькова. М.: Мысль, 1993. - 959 с.

180. Лосев А.Ф. Проблема символа и реалистическое искусство. — 2-е изд., испр. -М.: Искусство, 1995. 320 с.

181. Лосева И.Н. Теоретическое знание: проблемы генезиса и различения форм. Ростов-на-Дону: Изд-во Рост, ун-та, 1989. - 109 с.

182. Луканин Р.К. «Органон» Аристотеля. М.: Наука, 1984. 303 с.

183. Лукас А. Материалы и ремесленные производства Древнего Египта / Пер. с англ. яз. Общ. ред. и вступит, статья В.И. Авдиева. М.: Издательство иностранной литературы, 1958. - 747 с.

184. Лукьянец B.C. Философские основания математического познания. К.: Наукова думка, 1980. - 192 с.

185. Лукьянов А.Е. Становление философии на Востоке (Древний Китай и Индия). Изд. 2-е, испр. и доп. М.: ИНСАН, 1992. - 208 с.

186. Лурье С.Я. Вавилонская математика // Математическое просвещение. -1937.-Вып. 11.-С. 44-50.

187. Лурье С.Я. К вопросу о египетском влиянии на греческую геометрию // Архив истории науки и техники. 1933. - Вып. 1. - С. 45-70.

188. Майданский А.Д. Геометрический порядок доказательства и логический метод в «Этике» Спинозы // Вопросы философии. 1999. - № 11. - С. 172-180.

189. Маковельский А.О. Софисты. Баку, 1940-41. Вып. 1-2.

190. Малеваный A.M. Находка строительного чертежа пирамиды // Вопросы истории.-1982.-№2.-С. 172-174.

191. Мамчур Е.А. Проблемы социокультурной детерминации научного знания. М.: Наука, 1987. - 125 с.

192. Манин Ю.И. Доказуемое и недоказуемое. М.: Сов. радио, 1979. - 168 с.

193. Мареев С.Н. Диалектика логического и исторического и конкретный историзм К. Маркса. М.: Наука, 1984. - 158 с.

194. Марк Витрувий Поллион. Десять книг об архитектуре. — М.: Всесоюзн. Академия Архитектуры, 1936. 331 с.

195. Маркузон В.Ф. Современные проблемы древнегреческой архитектуры // Культура и искусство античного мира. М., 1980. - С. 183 - 207.

196. Маслов С.Ю. Обратный метод установления выводимости в классическом исчислении предикатов // ДАН СССР. 1964. - Вып. 159. — № 1. -С. 17-20.

197. Маслов С.Ю: Теория дедуктивных систем и ее применения. М.: Сов. радио, 1986. - 136 с.

198. Математика в девяти книгах / Пер., статья и примеч. Э.И. Березкиной7/ Историко-математические исследования. 1957. - Вып. X. - С. 427-584.,

199. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М.: Наука, 1984. -319 с.

200. Методологические проблемы математики / Сб. статей. Сост. А.Т. Москаленко. — Новосибирск: Наука, 1979.-302 с.

201. Методологические проблемы преподавания математики / Сб: научных трудов. М.: Центр, совет филос. (методол.) семинаров при Президиуме АН СССР, 1987.-152 с.

202. Методологический анализ математических теорий; Сб. научных трудов / Отв. ред. М.И. Панов. М.: Центр, совет филос. (методол.) семинаров при Президиуме АН СССР, 1987. 296 с.

203. Методологический анализ оснований математики / Отв. ред. М.И. Панов. -М.:-Наука, 1988,- 174 с.

204. Миллер Дж., Галантер Е. и Прибрам К. Планы и структура поведения / Пер. с англ. М.: Прогресс, 1965. - 238 с.

205. Михайлова Э.М. Начало превращения математики в дедуктивную науку // Вопросы истории естествознания и техники. М., 1973. — Вып. 3. — С. 19-25.

206. Молодший В.Н. Очерки по философским вопросам математики. М.: Просвещение, 1969.—303 с.

207. Мордухай-Болтовской Д.Д. Четыре лекции по философии математики, прочитанные на курсах для преподавателей средней школы летом 1912 г. Варшава: Тип: Варшавского учебного округа, 1913: - 78 с.

208. Моров ВЛ'. История математики эпохи позднего эллинизма: Автореф: дис. канд. физ.-мат. наук: 07.00.107 Ин-т истории естеств. и техн. — М:, 1989. 20 с.

209. Мочалова И.Н. Метафизика Ранней Академии и проблемы творческого наследия Платона и Аристотеля // АКААНМЕ1А: Материалы и исследования по истории платонизма. Вып. 3 / Под ред. A.B. Цыба. СПб., 2000. С. 226-349.

210. Науменко JI.K. Монизм как принцип диалектической логики. Алма-Ата: Изд-во «Наука» Каз. ССР, 1968. - 327 с.

211. Нейгебауэр О. Лекции по истории античных математических наук. Т. 1: Догреческая математика / Пер. с нем. С .Я. Лурье. М- Л.: ОНТИ, 1937. - 244 с.

212. Нейгебауэр О. Точные науки в древности / Пер Е.В. Гохман. М.: Наука, 1968.-224 с.

213. Никифоров А.Л. От формальной логики к истории науки. Критический анализ буржуазной методологии науки. М.: Наука, 1983. 174 с.

214. Николко В.Н. Кант и современная математика // Вопросы теоретического наследия И. Канта. 1975. - Вып. 1. - С. 88-94.

215. Новиков А.Г. Философские проблемы возникновения и начального этапа развития математики. Красноярск: Изд-во Краснояр. ун-та, 1992. - 160 с.

216. Нуждин Г.А. Доказательство // Вопросы философии. -1998. № 9. - С. 138-149.

217. Ньюэлл А., Саймон Г. GPS программа, моделирующая процесс человеческого мышления // Вычислительные машины и мышление. - М.: Мир, 1967.-С. 283-301.

218. Орлов Е.В. Кафолическое в теоретической философии Аристотеля. -Новосибирск: Наука, 1996.-219 с.

219. Паев М.Е. Решение двух античных проблем. К.: Наукова Думка, 1987. -217 с.

220. Панов М.И. Основные направления гуманитаризации современной математики // Проблема гуманитаризации математики и естественнонаучного знания.-М.: Знание, 1991.-С. 115-125.

221. Панфилов В.А. Философия математики Платона. — Дншропетровськ: ДДУ, 1997.- 112 с.

222. Паршин А.Н. Путь. Математика и другие миры. М.: Добросвет, 2002. -240 с.

223. Перминов В .Я. Развитие представлений о надежности математического доказательства. М.: Изд-во Московского ун-та, 1986. - 240 с.

224. Перминов В.Я. Философия и основания математики. — М.: Прогресс-Традиция, 2001. -320 с.

225. Петров М.К. Искусство и наука. Пираты Эгейского моря и личность. -М.: РОССПЭН, 1995.-238 с.

226. Петрунин Ю.Ю. Искусственный интеллект: история, методология, философия. М.: Звездопад, 2002. - 247 с.

227. Печенкин A.A. Математическое обоснование в развитии физики. М.: Наука, 1984.-252 с.

228. Пидоу Д. Геометрия и искусство / Пер. с англ. Ю.А. Данилова под ред. и с предисл. И.М. Яглома. М.: Мир, 1979. - 332 с.

229. Платон. Соч. в 4 т. -М.: Мысль, 1990-1994.

230. Пойа Д. Математика и правдоподобные рассуждения / Пер. с англ. М.: Изд-во Иностр. лит., 1957. - 536 с.

231. Понтрягин JI.C. Жизнеописание Льва Семеновича Понтрягина, математика, составленное им самим. Рождения 1908, г. Москва. М.: ИЧП Прима В, 1998.-304 с.

232. Попович М.В. Очерк развития логических идей в культурно-историческом контексте. К.: Наукова думка, 1979. 243 с.

233. Поспелов Д.А. Ближайшее будущее искусственного интеллекта // Всесоюзная конференция по искусственному интеллекту. Тезисы докладов. Переславль-Залесский, 1988. С.28-35.

234. Прокл. Комментарий к первой книге "Начал" Евклида. Введение / Перевод, вступ. статья и комм. Ю.А. Шичалина. М.: Греко-латинский кабинет, 1994.-224 с.

235. Риккерт Г. Науки о природе и науки о культуре / Пер. со втор. нем. изд. С. Гессена. Спб.: Образование, 1911. - 196 с.

236. Родин A.B. Математика Евклида в свете философии Платона и Аристотеля. М.: Наука, 2003. - 211 с.

237. Розин В.М. Анализ знаковых средств геометрии // Вопросы психологии. 1964. -№5. -С. 74-90.

238. Розин В.М. Как решали математические задачи в Вавилоне // Природа. -1980.-№6.-С. 94-102.

239. Розин В.М. Семиотический анализ знаковых средств математики // Семиотика и восточные языки. — М.: Наука, 1967. — С. 66-92.

240. Розин В.М. Специфика и формирование естественных, технических и гуманитарных наук. Красноярск: Изд-во КГУ, 1989. - 200 с.

241. Розин В.М. Этапы генезиса математических знаний (до «Начал» Евклида) // Системные исследования. Методологические проблемы. Ежегодник, 1986.-М.: Наука, 1987. - С. 426-440.

242. Розов М.А. О природе идеальных объектов науки // Философия науки. Вып. 4.-М., 1998.-С. 40-51.

243. Розов М.А. Теория социальных эстафет и проблемы анализа знания // Теория социальных эстафет: История Идеи — Перспективы. Новосибирск: НГУ, 1997. - С. 9-67.

244. Розов М.А. Теория социальных эстафет и проблемы эпистемологии. -Смоленск: Смол. гор. тип., 2006. 439 с

245. Романенко Ю.М., Чулков O.A. Метафора и символ в культурном обращении // Метафизические исследования. 1997. - Вып. 5. - С. 46-59.

246. Рузавин Г.И. Дискуссия по актуальным философским проблемам математики // Вопросы философии. 1969. - № 2. - С. 159-162.

247. Рузавин Г.И. Математизация научного знания. М.: Мысль, 1984. -207 с.

248. Рузавин Г.И. Философские проблемы оснований математики. М.: Наука, 1983.-302 с.

249. Рыбников К.А. Очерки методологии математики. — М.: Знание, 1982. — 64 с.

250. Сабо А. О превращении математики в дедуктивную науку и о начале ее обоснования // Историко-математические исследования. — 1959. — Вып. 12.-С. 321-392.

251. Садовничий В.А. Математика в современном мире // Вестник МГУ. Математика, механика. 1987. - № 5. - С. 71-75.

252. Салихов М.В. К вопросу о возникновении теоретической математики (методологический аспект) // Методологический анализ закономерностей развития математики. М., 1989. - С. 210-219.

253. Сервэ В. Преподавание математики в средних школах // Математическое просвещение. 1957. - Вып. 1. С. 22-31.

254. Сергеев К.А., Слинин Я.А. Природа и разум: Античная парадигма. — JL: Изд-во Ленинградского университета, 1991. — 240 с.

255. Смирнова Е.Д. Логика и философия. М.: РОССПЭН, 1996. - 304 с.

256. Сноу Ч.П. Две культуры / Сокр. пер. с англ. М.: Прогресс, 1973. - 144 с.

257. Сокулер Э.А. Проблема обоснования знания: Гносеологические концепции Л. Витгенштейна и К. Поппера. М.: Наука, 1988. - 177 с.

258. Сравнительная философия. М.: Изд. фирма «Восточная литература» РАН, 2000. - 344 с.

259. Стеклов В.А. Математика и ее значение для человечества. — Берлин: Гос. изд. РСФСР, 1923.-138 с.

260. Степанова A.C. Философия Древней Стой. СПб.: Алетейя, 1995. -272 с.

261. Степин B.C. Становление научной теории. Минск.: БГУ, 1976. - 319 с.

262. Степин B.C. Теоретическое знание. Структура, историческая эволюция. М.: Прогресс-Традиция, 2000. - 743 с.

263. Страбон. География в 17 кн. / Пер. и предисл. Г.А. Стратановского. -М.: Наука, 1964.-944 с.

264. Стройк Д. Краткий очерк истории математики. Изд. 2-е. Перев. с нем. -М.: Наука, 1969.-328 с.

265. Тайны египетских пирамид / Р.Ч. Валеев. М.: Знание, 1991. - 48 с.

266. Теребилов О.Ф. Логика математического мышления. — Л.: Издательство Ленинградского университета, 1987. 191 с.

267. Техника в ее историческом развитии: От появления ручных орудий до становления техники машинно-фабричного производства / Отв. ред. C.B. Шухардин. М.: Наука, 1979. - 416 с.

268. Традиция в истории культуры / Отв. ред. В.А. Карпушин. М.: Наука, 1978.279 с.

269. Финн В.К. Интеллектуальные системы: проблемы их развития и социальные последствия // Будущее искусственного интеллекта. М., 1991. — С.157-177.

270. Фихте И.Г. Факты сознания // Соч. в двух томах. Т. 2. СПб., 1993. - С. 621-769.

271. Фрагменты ранних греческих философов. Часть I. От эпических теокос-могоний до возникновения атомистики / Изд. подгот. A.B. Лебедевым. — М.: Наука, 1989.-576 с.

272. Франкфорт Г., Франкфорт Г.А., Уилсон Дж., Якобсен Т. В преддверии философии. Духовные искания древнего человека / Пер. с англ. — М.: Наука, 1984.-236 с.

273. Фройденталь Г. Математика в науке и вокруг нас. М.: Мир, 1977. - 261 с.

274. Фройденталь Г. Математика как педагогическая задача. Ч. I. Пособие для учителей / Сокр. пер. с нем под ред. Н.Я. Виленкина М.: Просвещение, 1982.-208 с.

275. Фройденталь Г. Математика как педагогическая задача. Ч. II. Пособие для учителей / Сокр. пер. с нем под ред. Н.Я. Виленкина М.: Просвещение, 1983.- 192 с.

276. Фурнье Л. Чудеса строительного искусства / Пер. с франц., с дополн. -М.: Транспечать, 1926. 232 с.

277. Фурре Е. Очерк истории элементарной геометрии / Перев. с франц. — Одесса: Матезис, 1912. 48 с.

278. Хвостова К.В., Финн В.К. Гносеологические и логические проблемы исторической науки: Учебное пособие для вузов. М.: Наука, 1995. - 176 с.

279. Хинчин А.Я. Педагогические статьи: Вопросы преподавания математики. Борьба с методическими штампами. Изд. 2-е. М.: УРСС, 2006. - 208 с.

280. Цейтен И.Г. История математики в древности и в средние века / Пер. с нем. 2-е изд. M.-JL: ОНТИ, 1938. - 231 с.

281. Целлар К. Архитектура страны фараонов. Жилище живых, усопших и богов / Перевод с венг. под ред. B.JI. Глазычева. М.: Стройиздат, 1990. - 160 с.

282. Цицерон. Философские трактаты. М.: Наука, 1985. - 382 с.

283. Черняк B.C. История. Логика. Наука. М.: Наука, 1986. - 371 с.

284. Черняк B.C. Оппозиция арифметики и геометрии в античной философии и математике // Научный прогресс: когнитивный и социокультурный аспекты. М., 1993. - С. 43-72.

285. Шапошников В.А. Математическая мифология и пангеометризм // Стили в математике: социокультурная философия математики / Под ред. А.Г. Барабашева. СПб.: РХГИ, 1999. - С. 139-161.

286. Шейнман-Топштейн С.Я. Платон и ведийская философия. М.: Наука, 1978.- 199 с.

287. Шереметевский В.П. Очерки по истории математики. Изд.2-е. М.: УРСС, 2004.-184 с.

288. Шидер Т. Возможности и границы сравнительных методов в исторических науках // Философия и методология истории / Сб. перев. под ред. И.С. Кона. М.: Прогресс, 1977. - С.143-167.

289. Шичалин Ю.А. Историческая преамбула / Прокл. Комментарий к первой книге «Начал» Евклида. Введение. М.: Греко-латинский кабинет, 1994. -С. 6-41.

290. Шичалин Ю.А. История античного платонизма в институциональном аспекте. М: Греко-латинский кабинет, 2000. - 439 с.

291. Шляхин Г.Г. Математика и объективная реальность. Ростов-на-Дону: Изд-во Рост, ун-та, 1977. — 140 с.

292. Эллинистическая техника / Сб. ст. под ред. акад. И.И. Толстого. М-Л.: Изд-во АН СССР, 1948. - 365 с.

293. Юшкевич А.П. История математики в средние века. — М.: Физматгиз, 1961.-448 с.

294. Юшкевич А.П. О математике Древнего Востока и Древней Греции // Методологические проблемы развития и применения математики. М.: Центр, совет филос. (методол.) семинаров при Президиуме АН СССР, 1985.-С. 168-173.

295. Яглом И.М. Математика и реальный мир. М.: Знание, 1978. - 63 с.

296. ЯНКОВ В.А. Становление доказательства в ранней греческой математике (гипотетическая реконструкция) // Историко-математические исследования. Вторая серия.- 1997. Вып. 2 (37). - С. 200-236.

297. ЯНКОВ В.А. Гиппас и рождение геометрии величин // Историко-математические исследования. Вторая серия.-2000. Вып. 5 (40). - С. 192-222.

298. ЯНКОВ В.А. Геометрия последователей Гиппаса // Историко-математические исследования. Вторая серия.- 2000. Вып. 6 (41). — С. 285-318.

299. Яновская С.А. Из истории аксиоматики // Историко-математические исследования. 1958. - Вып. XI. - С. 63 - 96.

300. Яновская С.А. Содержательная истинность и формально логическая доказуемость в математике // Практика и познание. М., 1973. - С. 247272.

301. Adamesteanu D. Problèmes de la zone archéologique de Metaponte // Revue Archéologique, 1967. P. 3 38.

302. Adamesteanu D., Vatin Cl. L'Arriéré pays de Métaponte // Comptes rendus de l'Académie des Inscriptions et Belles-Lettres. 1976. P. 110-123.

303. Allman G.F. Greek geometry from Thaïes to Euclid. Dublin, 1889.

304. Apollonii Pergaei Conicorum libri octo, et Sereni Antissensis de sectione cylindri et coni libri duo. Conicorum libri IV priores cum Pappi Alexandrini lemmatis et Eutocii Ascalonitae commentariis. Oxonia: Theatro Sheldoniano, 1710.

305. Austin M.M., Vidal-Naquet P. Economic and Social History of Ancient Greece: An Introduction. Berkeley; Los Angeles, 1977.

306. Badawy A. Architecture in Ancient Egypt and the Near East. Cambridge, 1966.

307. Basin D.A., Deville Y., Flener P., Hamfelt A., Nilsson J.F. Synthesis of Programs in Computational Logic // Program Development in Computational Logic. Lecture Notes In Computer Science. 2004. V. 3049. P. 30-65.

308. Baum R.J. Philosophy and mathematics from Plato to present. San Francisco, 1973.

309. Becker O. Die diairetische Erzeugung tier platonischen Idealzahlen // Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik, Astronomie und Physik. 1931. Bd. l.H. 4. S. 464-501.

310. Bernal M. Animadversions on the Origins of Western Science // Isis. 1992. V. 83. №4. P. 596-607.

311. Beth E. W. Semantical Entailment and Formal Derivability // Mededelingen der Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen, afd.Letterkunde, Nieuwe Reeks. 1953. V. 18. P. 309-342.

312. Bibel W. Let's plan it deductively! // Artificial Intelligence. 1998. V. 103. № 1. P. 183-208.

313. Bishop E. Mathematics as a Numerical Language // Intuitionism and Proof Theory. Ed. by Myhill J. et al. Amsterdam, 1970. P. 53-71.

314. Black A. The story of Tunnels. N.-Y., 1937.

315. Bledsoe W.W. I Had a Dream: AAAI Presidential Address, 19 August 1985 // AI Magazine. 1986. V. 7. № 1. P. 57-61.

316. Bogaert R. Banques et banquiers dans les cités grecques. Leyden, 1968.

317. Bos H.J.M., Mehrtens H. The interactions of mathematics and society in history. Some exploratory remarks // Historia Mathematica. 1977. V. 4. № 1. P. 7-30.

318. Buchberger B., Craciun A. Algorithm Synthesis by Lazy Thinking: Using Problem Schemes // Proceedings of SYNASC 2004, 6th International Symposium on Symbolic and Numeric Algorithms for Scientific Computing. P. 90-106.

319. Bundy A. A Critique of Proof Planning // Computational Logic: Logic. Programming and Beyond. Lecture Notes In Computer Science. 2002. V. 2408. P. 160-177.

320. Bundy A. Artificial Mathematicians. May 23, 1996. P. 1-5.

321. Bundy A. The use of explicit plans to guide inductive proofs // 9th International Conference on Automated Deduction. Proceedings. Lecture Notes In Computer Science. 1988. V. 310. P. 111-120.

322. Burkert W. Lore and Science in Ancient Pythagoreanism. Cambridge, MA, 1972.

323. Burns A. The Tunnel of Eupalinus and the Tunnel Problem of Hero of Alexandria // Isis. 1971. V. 62. № 2. P. 172-185.

324. Cadastres et espace rural. Approches et réalités antiques / Ed. M. Clavel-Lévêque. P., 1983.

325. Calhoun G.M. The Business Life of Ancient Athens. Chicago, 1926 (repr. N. -Y., 1968).

326. Carathéodory C. Untersuchungenuber die Grundlagen der Thermodynamik // 1909. Mathematische Annalen. Bd. 67. H. 3. S. 355-386.

327. Chinese Science: Exploration of an Ancient Tradition / Ed. by S. Nakayama and N. Sivin. Cambridge, MA, 1973.

328. Classics in the history of Greek mathematics / Ed. by J. Christianidis. Dordrecht, 2004.

329. Coulton J J. Ancient Greek Architects at Work. N.Y., 1977.

330. Coulton J.J. Towards Understanding Greek Temple Design: General Considerations // The Annual of the British School of Athens. 1975. V. 70. P. 59-99.

331. Diodorus Siculus. Library of History / Translated by C.H. Oldfather. Cambridge, MA, 1935.

332. Ernsbach M. Sophistik als Aufklärung: Zur Wissenschafts- und Geschichtsauffassung des Sophisten Protagoras. Würzburg, 1980.

333. Gandz S. The Origin of Angle-Geometry II Isis. 1929. V. 12. № 3. P. 452481.

334. Gillings R.J. Mathematics in the Time of the Pharaohs. Cambridge, MA, 1972.

335. Gödel K. Über eine bisher noch nicht benützte Erweiterung des finiten Standpunktes // Dialectica. 1958. V. 12. № 3/4. P. 280-287.

336. Gödel K. Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I // Monatshefte für Mathematik und Physik. 1931. Bd. 38. S. 173-198.

337. Goodfield J., Toulmin S. How Was the Tunnel of Eupalinus Aligned? // Isis. 1965. V. 56. № i.p. 46-55.

338. Gordon M.J., Milner R., Wadsworth C.P. Edinburgh LCF: A Mechanized Logic of Computation. Lecture Notes in Computer Science. V. 78. 1979.

339. Grabiner J.V. The mathematician, the historian and the history of mathematics // Historia Mathematica. 1975. V. 2. № 4. P. 439-447.

340. Hamel G. Theoretische Mechanik. Berlin, 1949.

341. Hankel H. Zur Geschichte der Mathematik im Alterthum und Mittelalter. Leipzig, 1874.

342. Heath T. A. History of Greek Mathematics. 2 vols. N.-Y., 1981.

343. Hilbert D. Axiomatisches Denken // Mathematische Annalen. 1918. Bd. 78. S. 405-415.

344. Hintikka J. Form and content in quantification theory // Two papers on symbolic logic. Acta philosophica Fennica. Helsinki, 1955. Fase. VIII. P. 755.

345. Hogan E.R. The beginnings of mathematics in a howling wilderness // Historia Mathematica. 1974. V. 1. № 2. P. 151-166.

346. H0yrup J. Algebra and naive geometry: An investigation of some basic aspects of Old Babylonian mathematical thought // Altorientalische Forschungen. 1990. B. 17. H. 1. S. 27-69; H. 2. S. 262-354.

347. Jenkins G.K. Ancient Greek Coins. L., 1972.

348. Kanger S. A simplified proof method for elementary logic // Computer Programming and Formal Systems. Studies in Logic. Amsterdam , 1963. P. 87-93.

349. Kamareddine F., Monin F., Ayala-Rincón M. On automating the extraction of programs from proofs using product types // Revista Colombiana de Computación. 2003. V. 4. № 2. P. 29-^8.

350. Kitcher Ph. The Nature of Mathematical Knowledge. N.-Y.; Oxford, 1984.

351. Kline M. Mathematical Thought From Ancient to Modern Times. N.-Y., 1972.

352. Knorr W.R. On the Early History of Axiomatics: the Interaction of Mathematics and Philosophy in Greek Antiquity // Proceedings of the 1978 Pisa Conference on the History and Philosophy of Science . Vol. I. P. 145-196.

353. Knorr W.R. On the Transmission of Geometry from Greek into Arabic // Historia Mathematica. 1983. V. 10. № 1. p. 71-78.

354. Knorr W.R. The Evolution of the Euclidean Elements: A Study of the Theory of Incommensurable Magnitudes and its Significance for Early Greek Geometry. Dordrecht, 1974.

355. Kolmogoroff A. Zur Deutung der Intuitionistischen Logik // Mathematische Zeitschrift. 1932. Bd.35. S. 58-65.

356. Kraay C.M. Archaic and Classical Greek Coins. Berkeley; Los Angeles, 1976.

357. Kreisis A. Greek town building. Athens, 1965.

358. Lambert J.H. Theorie der Parallellinien // Leipziger Magazin flir reine und angewandte Mathematik. 1786. № 2. S. 137-164, 325-358.

359. Le Charlier B., Flener P. Specifications are necessarily informal, or: Some more myths of formal methods // Journal of Systems and Software. 1998. V. 40. №3. P. 275-296.

360. Lloyd G.E.R. Early Greek Science: Thales to Aristotle. N.-Y., 1970.

361. Lutovac T., Harland J. Issues in the Analysis of Proof-Search Strategies in Sequential Presentations of Logics // Electronic Notes in Theoretical Computer Science. 2005. V. 125. № 2. P. 115-147.

362. Melis E., Bundy A. Planning and Proof Planning. Presented at the ECAI-96 workshop on Cross-Fertilization in Planning. http://homepages.inf.ed.ac.uk/bundy/

363. Menninger K. Number words and number symbols: A cultural history of numbers / Translated by P. Broneer. Cambridge, 1969.

364. Needham J. Science and civilization in China. V. 3: Mathematics and the sciences of the heavens and the earth. Cambridge, 1959.

365. Neuenschwander E.A. Die ersten vier Bucher der Elemente Euklids: Untersuchungenuber den mathematischen Aufbau, die Zitierweise und die Entstehungsgeschichte // Archive for History of Exact Sciences. 1973. V. 9. № 4/5. P. 325-380.

366. Proclus: A commentary on the first book of Euclid's elements. Translated by G. R. Morrow. Princeton, 1970.

367. Rihll T.E., Tucker J.V. Greek Engineering. The Case of Eupalinos' Tunnel // The Greek World / Ed. A. Powell. Routledge, 1995. P. 402-431.

368. Robinson J.A. A machine-oriented logic based on the resolution principle // Journal of the Association for Computing Machinery. 1965. V. 12. № 1. P. 23-41.

369. Rossi C. Architecture and Mathematics in Ancient Egypt. Cambridge, 2004.

370. Rostovtzeff M. The Social and Economic History of the Hellenistic World. Oxford, 1964.

371. Seltman C.T. Athens: Its History and Coinage before the Persian invasion. Cambridge, 1924.

372. Seltman C.T. Greek coins. A history of metallic currency and coinage down to the fall of Hellenistic Kingdoms. L., 1933.

373. Slavery in classical antiquity; views and controversies / Ed. M.I. Finley. Cambridge, 1960.

374. Stone P. Learning and Multiagent Reasoning for Autonomous Agents // The 20th International Joint Conference on Artificial Intelligence, January 2007. P. 13-30.

375. Szabo A. The Beginnings of Greek Mathematics. Budapest, 1978.

376. Theory Change, Ancient Axiomatics and Galileo's Methodology. Proceedings of a conference on the history and philosophy of science held in Pisa, Italy, Sept. 4-8, 1978. V. 1. Dordrecht-Boston-London, 1981.

377. Unguru S. History of Ancient Mathematics: Some Reflections on the State of the Art // Isis. 1979. V. 70. P. 555-564.

378. Unguru S. On the need to rewrite the history of Greek mathematics // Archive History of Exact Sciences. V. 15. P. 67-114.

379. Uvanovic D. The Indian Prelude to European Mathematics // Osiris. 1936. V. 1. P. 652-657.

380. Waerden B. L. van der. Geometry and Algebra in Ancient Civilizations. N— Y., 1983.

381. Waerden B.L. van der. Die Postulate und Konstruktionen in der frahgriechi-shen Geometrie // Archives for History of Exact Sciences. 1978. V. 18. № 4. P. 343-357.

382. Wang Hao. From Mathematics to Philosophy. L., 1974.

383. Westermann W.L. The Slave Systems of Greek and Roman Antiquity. Philadelphia, 1955.

384. Weyl H. The Open World. New Haven, 1932.

385. Wilder R.L. Hereditary stress as a cultural force in mathematics // Historia Mathematica. 1974. V. 1. № 1. P. 29-^6.

386. Wilder R.L. Mathematics as a Cultural System. Oxford, 1981.