автореферат диссертации по истории, специальность ВАК РФ 07.00.10
диссертация на тему: Развитие теории цепных дробей в XVII —XVIII вв.

Полный текст автореферата диссертации по теме "Развитие теории цепных дробей в XVII —XVIII вв."

российская академия наук

институт истории естествознания и техники

На правах рукописи

ДОБРОВОЛЬСКАЯ

Элла Михайловна

УДК 51/091/

РАЗВИТИЕ ТЕОРИИ ЦЕПНЫХ ДРОБЕЙ В XVII — XVIII вв.

07.00.10 — история науки и техники

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 1992

Работа выполнена в Институте математики АН Украины.

Научный руководитель - член-корреспондент АН Украины,

доктор технических наук, профессор БСГОЛШав А.Н.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук

ДЕМИДОВ С.С.

доктор физико-математических наук,

¿кекс*«^Ссугесф^^ ЕАРАЖСВ А.С.

Ведущая организация - механик о-штемагический факультет Московского государственного университета им. М .В Ломоносова

Защита состоятся "¿9" ( г чт£ К 1992 г. в 15 часов на заседании специализированного совета К.003.П.04 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических .наук в Институте истории естествознания и техншш РАН по адресу Ю3012, г. Москва, К-12, Старопанскин пер., д. 1/5.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института исгории естествознания и техники РАН.

Автореферат разослан " ¿У" а£Г у С 1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физик о-ыатематиче ских наук

МАШШЕВ БЛ.

ОЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Теория цепных дробей является одним из важных: направлений* развития теории чисел, алгебры и математического анализа. Эта интересная математическая структура своими истоками уходит в далекую древность. Заметное развитие понятий цепной дроби наблю-> далось в оредние века. Изучение этого понятия в теоретическом плане тесно переплетается о его практическими применениями. Оообого расцвета эта теория и многие ее применения к различным отраслям математики достигла в ХУШ веке, когда она оформилась как самостоятельная математическая структура. Развитие теории цепных дробей и их приложений до конца ХУШ в. и является предметом данной диссертации.

Актуальность теми исследования по истории цепных /непрерывных/ дробей определяется преядз всего той ванной ролью, которую они играли в рассматриваемый период в процессе? становления и развития ряда фундаментальных направлений математической науки, а именно: приближенных вычислений иррациональных-величин, решения неопределенных уравнений, квадратуры круга, теории чисел и алгебры, интегрального исчисления, интегрирования дифференциальных уравнений, аппроксимации функций и других. Значение этой дисциплины еще больше возросло в последующие два столетия как в связи с расширением сферы ее применения, так и с новыми обобщениями, о чем речь идет во "Введении". Знание истории цепных дробей, основных источников- а путей развития их теории, роли практики в этом процессе и взаимодействия этой теории с другими разделами математики, ее влияния на них - дает возможность более полно понять закономерности и тенденции развития этой гео- ' рии и закономерность настоящего''ев состояния. В последние десятилетия интерес к теории цепных и, особенно, вегвящихоя дробей заметно возрос и этим объясняется усиление интереса и к истории этого раздела математики. В то же время эта проблема относился к числу наименее изученных в истории математики. Материал по этой тематике в веоьма краткой форме можно найти лишь в общих курсах истории математика и в ряде статей, касающихся отдельных периодов или отдельных аопектов данной теории, о чем сказано во "Введении". Особенно мало изученной оставалась теория цепных дробей за ХУП-ХУШ вв., хотя в этот период она была насыщена богатыми событиями и множеством ингереоннх фактов. До настоящего

времени как в отечественной, так и в зарубежной литературе по истории математики отсутствовало сколько-нибудь подробное исследование истории цепных дробей за указанный период. Этим обстоятельством и был определен выбор темы диссертация.

Цель исследования состоит в изучении процесса развития в ХУП-ХУШ веках важнейших фактов и результатов по двум основным аспектам теории цепных дробей. При этом ставилаоь задача:

I. Выявить с достаточной пмнотой все работы по теории и приложениям цепных дробей за рассматриваемый период и, частично, за последующий.

• 2. Ознакомиться о содержанием выявленных работ по первоисточникам, составить их аннотации и сравнительный анализ. При решении этой задача надо было преодолеть значительные технические трудности, связанные с малой доотуппостью и редкоотью многих источников.

3. Изучить историческую, обзорную и учебную литературу по данному предмету.

4. Ознакомиться с биографической и мемуарной литературой об ученых, деятельность которых изучается.

5. Составить общую схему развития предмета за указанный период и отметить особенности появления новых фактов, новых идей.

6. Ознакомиться с архивными материалами, относящимися к теме исследования.

7. Осмыслить я дать характеристику вклада отдельных ученых в изучаемую теорию.

8. При этом имелось ввиду изучить возникновение и развитие отдельных понятий и направлений теории, связь их с практикой вычислений или другими задачами прикладного значения.

9. Рассмотреть влияние теории цепных дробей на другие отрасли и разделы математики, их взаимосвязь.

10. Уяснить роль и значение работ отдельных ученых на развитие изучаемой теории, отдельных ее чаотей.

Метод исследования, применяемый в даосертации состоит, в соответствии с поставленными задачами, в использовании общих историко-научных и источниковедческих методов, то есть конкретно в проведении математического анализа рассматриваемых . трудов. Среди изученных первоисточников имеется ряд работ ма-

лоизвеотных или совсем неизвестных и ранее не упоминавшихся в историко-математической литературе. Содержащиеся в них результаты, введенные в научный оборот, дали возможность уточнить историю того или иного положения или факта.

Научная новизна работа. В диссертации ьпервые на русском языке изложена наиболее полно и конкретно целостная картина развития и распространения учения о цепных дробях, начиная о ее истоков и до конца ХУШ века, когда в основном била завершена классическая теория цепных дробей и наметились ооновнне направления ее развития и применений. Для полноты изложения вопроса в диссертации уделено внимание истокам понятия непрерывной дроби, рассмотрены различные варианты появления этого понятия а первые применения его к практике вычислений. Здесь же проведен обзор результатов по развитию изучаемого понятия в работах Леонардо Пизанского, Ал-Каласада, Р.Бомбелли, П.Ка-тальда, Д.Швентера и других, отмечены особенности их исследований. Основное внимание автора обращено на исследование вопроса за период ХУП-ХУШ Ееков, что явилось его главной задачей.. С такой полнотой и подробностью этот материал изложен впервые в историко-математической Литературе. Относящиеся сюда результаты Д.Валлиса и Х.Гюйгенса изложены более полно, чем в других известных источниках.

Главы Ш и 1У диссертации, посвященные соответственно построению теории цепных дробей ■■ в ХУШ веке а некоторым их применениям, до сих пор не имели аналога в исторяко-математи-ческой литературе, хотя в ряде работ предшественников разбирались иногда фрагментарно ила упоминалась некоторые аз основных достижений Л.Эйлера, Ж.Лагранжа, й.Ламберта по этой тематике.

На основе исследования была уточнена и впервые сформулирована периодика развития предмета /"см. "Заключение"/.

Было уотановлено, что зарождение понятия цепной дроби, было связано с практикой вычислений, извлечением корней, решением неопределенных уравнений. Важным стимулом развития теории была необходимость искать решения классических задач- о квадратуре круга, а также конкретные задачи астрономии, механики, физики и др. Во второй половине ХУШ в. все большее значение получила внутренняя логика развития предмета.

В процеосе изучения был установлен круг математических дисциплин, где находили применения цепные дроби - теория чисел, алгебра, дифференциальные уравнения и другие.

Б процессе исследования уточнен и конкретизирован вклад отдельных ученых в развитие теории. Многие принципиальные вопросы впервые были рассмотрены Л.Эйлером. В последовавших: довольно скоро трудах Я.Лагранжа те же идеи или метода нахо-' дили более корректное изложение, а в ряде случаев и принципиально новый, более современный подход.

. Установлено, что наиболее продуктивными периодами отно- ■' оигельно разработки теории цепных дробей у Эйлера били 50-е и 70-е года, у Лагронжа - '70-е, у Ламберта - 60-е года ХУШ в.

Практическая значимость исследования. Материалы диссертации могут быть использованы для написания более полных курсов по истории математики за рассматриваемый период по разделам теорий чисел, алгебры и математического анализа и смежных разделов, а также истории приложений математики к естествознанию, истории приближенных вычислений. Результаты данного исследования могуть быть полезными для подготовки специальных куроов истории математики по указанным разделам, как соотавная часть общего куроа по истории цепных дробей. Отдельные главы и параграфа дисоертации могут послужить основанием для докладов на кружках и семинарах, дня написания куроовых и дипломных работ по специальности математика и ее приложения. В целом работа является существенным дополнением к общим курсам истории математики ХУТ1-ХУШ-веков.

Аппробация работы. Содержание и основные результаты работы докладивалиоь на семинаре по истории математики Инотитута истории естествознания и техники АН СССР, где была утверждена ранее тема диссертации, на таких же семинарах механико-математического факультета МГУ, Института математики АН.УССР, Республиканского семинара по истории математических наук в г.Киеве, семинара по иотории математики Ленинградского педагогического института им. А.И.Герцена, на конференции историков естествознания и техники в г. Одессе, на ХХХ-ХХХ1У научных конференциях аспирантов и молодых специалистов в Институте, истории естествознания и техники АН СССР /1987-1992 гг./.

Объем а структура диссертации. Работа состоит из введения, четырех глав, охватывающих 16 параграфов, заключения и приложения со списком сокращений, где приведена библиография работ /всего 155/ по теме исследования. Основной текст охватывает 157 стр.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в ряде статей, указанных в конце автореферата.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается выбор темы диссертации, раскрывается ее актуальность, приводится историографический очерк, формулируются основные цели исследования, разбираются используемые подхода, дана общая характеристика работы.

Первая глава имеет подготовительный характер, где рассмотрено зарождение понятия цепной дроби, основные задачи, решение которых способствовало закреплению и развитию этого понятия. Здесь же дано описание первых работ по данной тематике.

Первый параграф содержит обзор задач, которые привели к понятию цепной дроби и различных подходов при его изучении. Отмечается тесная связь' появления аппарата непрерывных дробей с выполнением приближенных вычислений. Значительное внимание уделено исследованию связи известного алгоритма Евклида о разложением числа в непрерывную дробь. Упомянуто о методе решения Архимедом /ок. 287-212 г. до.н.э./ задачи об измерении, длины окружнооти, о приближенном правиле извлечения квадратного корня из числа, не являющегося точным квадратом /правило ■ Теона/, о различных подходах к решению неопределенных уравнений первой степени.

, Во втором параграфе речь идет об освоении понятия непрерывных дробей в раннем средневековье /ХП-ХШ вв./. Здесь кратко описана деятельность Леонардо Ф'ибоначчи-Пизанского /II80— 1240/, уделено внимание разбору его знаменитой "Книги абака" в той ее части /глава 9/, которая связано с построением алгоритма цепной дроби, в частности, о вариантом так называемых "восходящих дробей". Здеоь же изложены результаты хорошо разработанной сиотемы приближенного извлечения квадратных корней в работе ал-Каласади /ХУ е./.

Третий параграф посвящен построению аппарата цепных дробей в ХУ1, начале ХУЛ-в. Здесь изложены результаты итальян-

окого инженера Р.Бомбелли /ок. 1526-1573/, усовершенствовавшего схему извлечения квадратных корней из чисел при помощи непрерывных дробей.-Заметный прогресс в применении и исследовании аппарата цепных дробей наблюдается в работе итальянского математика П.Л.Катальди /1543-1626/. Именно он обособил поня- . тие цепной дроби, а также ввел некоторый символ для ее обозначения, который весьма сходен с современным. Некоторые историки математики считали его "первооткрывателем" цепных, дробей. Он уловил закономерность характера /по более поздней терминологии/ последовательности подходящих дробей. Он же'знал оценку ошибки приближения п-ой частичной дробью. Независимо от Катальди и чуть позже его, аппарат цепных дробей нашел применение и определенное развитие в работах Д.Швеятера /1585-1636/ из Альгдо|м>_ ского университета /близ Нюренберга/. Он, видимо, впервые дал описание предложенного, им метода применения цепной дроби для приближенного представления отношения больших чисел и построил соответственную таблицу для вычисления результата. Он умел уже вычислять числитель и знаменатель а-ой подходящей дроби по двум ей предшествующим с помощью известного рекуррентного соотя ношения. Замечается, что Д.Швентер и П.Катальди пришли к понятию цепной дроби независимо друг от друга. Таким образом, к концу ХУ1 века и в начале ХУЛ века понятие цепных дробей становилось рабочим инструментом для производства вычислений. Благодаря этому готовилась почва для разработки теории цепных дробей.

Вторая глава посвящена зарождению оонов теории цепных дробей во второй половине ХУТ1 века, когда внимание ученых постепенно переключалось от прямого использования цепных дробей для облегчения практичесгсого счета именно на исследование этого понятия. При этом эпицентр таких исследований.переместился в Англию.

Б параграфе первом рассмотрена связь аппарата цепных дробей о задачей о квадратуре круга. Здеоь-уделено внимание изложению результатов исследований по данному кругу вопросов в работах Дк.Баллиса /1616-1703/ и У.Броункера /1620-1684/, в частности о представлении величины

Бо втором параграфе разобран вопрос об основах теории цепных-дробей в трудах.выше упомянутых ученых. Здесь речь идет об интерпретации, данной Валлисом для дроби, указанной Броун-

кером, а также о методе Валлиса преобразования цепной дроби в обыкновенную. В схеме предложенной Валлисом впервые было установлено в общем виде соотношение между числителями и знаменателями трех сооедних подходящих дробей для любой непрер!вной дроби. Он рассмотрел также вопрос об улучшении уоловий ускорения сходимости подходящих дробей. Валлис же был первым автором, которнй впервые использовал термин "непрерывные дроби". Термин "цепная дробь" в нашем смысле пояеился лишь в конце ХУШ века.

. Третий параграф посвящен изложению вклада X.Гюйгенса /1629-1695/ в изучаемую теорию, связи ее с некоторыми задачами астрономии. Здесь, видимо впервые, на русском языке дано подробное описание "планетарной машины" Гюйгенса..Он был одним из основателей новой теории и весьма успешно использовал цепные дроби дая расчетов при конструкции указанной машины. Теоретически он решил, опираясь на понятие цепной дроби ранее упоминаемую задачу о выражении с большой степенью точности дробей о большими числителем и знаменателем через дроби с меньшими числителем и знаменателем. При этом им била обоснована эффективность его метода и показано, что из цепной дроби можно получить лучшее приближение, чем при любом другом известном подходе. Это / положение дополнено автором диссертации.

В четвертом параграфе изучена стимулирующая роль "Арифметики" Диофанта /Ш в./ на развитие учения о цепных дробях в ХУП, начале ХУШ века. Здесь рассмотрен вклад английских математиков Н.Саундероона /1682-1739/ и Р. Котеса /1683-1716/ в решение этого вопроса, а также в пополнение общей теории, в частности, в исследование точности приближений. Таким образом, к началу ХУШ века складавались благоприятные предпосылки для дальнейшего развития теории цепных дробей.

Глава третья посвящена обзору построения теории цепных дробей в ХУШ веке.

В параграфе первом рассмотрены вопросы о преобразовании цепных дробей, о связи этих дробей и рядов, об извлечении корней при помощи дробей. Тут проведен анализ первых трех работ Л.Эйлера и первой работы Ж.Лагранка по данной тематике. Установлено, что ими внесен фундаментальный вклад в развитие данной теории. Здесь имеются ввиду сочинения Эйлера: - "Рассуждения о непрерывных дробях" /1737/, "Наблюдения по непрерывным

дробям" /1739/ и глава ХУШ его "Введения в анализ бесконечно малых" /1748/. Вторая из указанных статей, однако, была опубликована лишь в 1750 г. Тематика, охватывающая круг вопросов данного параграфа, отражена в каждой из этих работ, но наиболее полно и систематически она изложена в указанной главе "Введения". В данных работах Эйлер практически подвел итог результатов,.полученных его предшественниками, систематизировал и обобщил некоторые из них и дал существенные дополнения. После определения цепной дроби, он вывел .основные соотношения, связывающие числители и знаменатели трех соседних подходящих дробей, разобрал механизм построения подходящих дробей. Далее Эйлер подробно изучает преобразование любого знакочередующееся ряда в непрерывную дробь, выводя соотношения для связи элементов дроби и членов ряда. В процессе эт^го получены разложения в цепные дробя известных величин: , —^—, /2~и др. При этом доказывается, 4 -чз - I

что цепными, дробями можно получить лучшие приближения для .данных иррациональных величин, чем при других известных способах. В следующих работах /конца 60-х гг./ Л.Эйлер /1707-1783/ использовал цепные дроби для представления величины аРс помощью рациональных дробей, далее он изучал вопроо о построении "оообо-го", как ой говорил, алгоритма, относящегося к правилу построения подходящих дробей.

Замечательным последователем и продолжателем идей Эйлера по теории цепных дробей был знаменитый французский ученый-энциклопедист К.Лагренж /1736-1813/. Его первая крупная работа из данной области "О решении числовых уравнений" была доложена уже весной 1769 года. Наряду с приложениями, Лагранж продумал четкую систему построения арифметической теории непрерывных дробей, изложив ее'также в своих "Дополнениях" ко второму тому "Алгебры" Эйлера. Это была вторая работа обзорного характера по данной теории, вышедшая через четверть века после "Введения" Эйлера. Многие положения были здеоь уточнены и дополнены, благодаря исследованиям самого Лагранжа. Он разобрал здесь, какие величины представляются конечной или бесконечной непрерывной дробью, подчеркивая, что в последнем случае изображаются иррациональные или трансцендентные величины. Он обосновал здесь и то, что цепные дробя, определяющие, корни уравнений второй степени должны быть периодическими. Здесь же уделено внимание

оценке'пределов, между которыми находится истинное значение данной величины, определяемой цепной дробью и тщательно разобраны и другие аопекты оценок приближений, в том числе и "задачи Гюйгенса" о разбором интересных примеров.

Параграф второй третьей главы посвящен разбору методов суммирования цепных дробей, исследованию их отдельных видов, преобразованиям;; в ряда. Особенности суммирования цепных дробей определенной формы рассмотрены Л.Эйлером в более поздней ста-.тье, где приведены три способа решения задачи. Несколько раньше он разобрал суммирование непрерывной дроби вида

3 а аг ■* ♦ § ♦

•««

слагаемые которой числа а, ъ, с, ... образуют арифметическую прогрессию. Задача сводится затем к суммированию некоторых рядов, а полученный результат используется для интегрирования дифференциальных уравнений. Эта тематика рассматривалась Эйлером в-других работах, где он получил весьма интересные по своей структуре новые вида цепных дробей, о также разобрал как прямую задачу о преобразовании непрерывной дроби в сходящийся ряд, так и ей обратной - о преобразовании рядов некоторого вида в цепные дроби. Полученные результаты использованы для разложения интегралов от некоторых функций. В результате получились конкретные вида цепных дробей для разложений функций: arctgt , L( е * и др. Здеоь же речь шла и об интегрировании дифференциального уравнения в связи с изучаемой теорией. В двух других отатьях Эйлер рассмотрел связь цепных дробей с бесконечными произведениями. По данной тематике работали и ученики и после--дователи Л.Эйлера - М;Софронов /1729-1760/, В.Висковатов /17801812/. Последний дал свое построение'репный'дробей для изображения функций (I + х)а, ln(l + х), &х, tgx, arctgx и других. Эта же тематика была предметов исследований К.Kayслера, Ф.Шуберта, Существенное дополнение теория суммирования и преобразования цепнах дробей нашла в работах Д.Бернули /1700-1782/. Видным последователем Эйлера в области теории цегошх дробей был Жан Трамблей /1749-1811/, предложивший в большой статье 1794 г. ряд существенных дополнений к результатам' Эйлера по теории суммирования. Здеоь им было построено множество разложений известных величин в цепные дроби и более простим способом получен ряд

выводов и формул Эйлера, Лагранда, Ламберта.

В параграфе третьем рассматривается связь интегралов и цепных дробей, изображение некоторых функций. Этим самым по существу закладывались основы аналитической теории цепных дробей. Задачи о представлении цепныш дробями интегралов от некоторых функций решались Эйлером уже в 1739 г. В записи Эйлера были построены цепные дроби дая различных значений шив общей форме для интеграла J дУ^где имелись ввиду пределы от 0 до

I/, и более сложных- Г(1 ¿ш)— б* • Здесь же разбирался и вопрос о связи беоконечных произведений и цепных дробей. Далее иоследовялиоь цепные дроби, выражающие отношения интегралов более сложного вида. Как отмечал Эйлер, отправной точкой его исследований, были соответственные работы Валлиса и Броункера*. Неудивительно поэтому, что здесь мы намдим новые подходы для разложений в цепные дроби величин ^ »^ и др. Аналогичный вопрос обсуждался Эйлером и в более поздней работе, где более кратко и ясно рассмотрено преобразование интегралов в бесконечные произведения, а затем в цепные дроби, Здеоь же Эйлер дал еще один вывод непрерывной дроби Броункера для ^ , Специальное исследование Эйлер поовятил вычислению интегралов вида

^а* - 2Ьх сх*- и некотоРих их частных случаев с помощью аппарата цепных, дробей. Та же тематика была'обсуждена еще в четырех работах Эйлера, где получен ряд новых рекуррентных фор^ мул новых разложения. В результате этих исследований были найдены аналитические представления многих известных функций в-' форме цепных дробей.

Важным этапом в развитии данного вопроса было построение цепнрй дроби для биноминальной функции. Эта тема была подробно изучена Н.Лагранжем в большой статье 1776 г. Здесь же Лагранж установил новые формы разложения в цепные дроби Е*, • 1п(1 +х), 61тоЬёХ . и др.

Параграф четвертый содержит продолжение разбора задачи о квадратуре круга, об иррациональности величин £ я в^и обзор вклада И.Ламберта /1728-1777/ в теорию цепных дробей. Уже из предыдущих результатов к началу ХУШ века у математиков сложилось мнение, что.числа & и £ принадлежат к области иррациональных. Доказательство этого предположения впервые провел не-' мецкий математик, аотроном, физик и философ И.Ламберт, занявший видное место среди исследователей по теории цепных дробей

и их приложений. Задачу о доказательстве иррациональности числа $ он рассмотрел на основе изучения цепной дроби для tgv, в объемном "Мемуаре о некоторых замечательных овойствах трансцендентных величин, круговых и логарифмических", представленном в 1761 г, Доказательство Ламберта основано на высказанной еще в" • 1719 г. французом де-Ланьи /1660-1734/ геореме о том, что тангенс всякой региональной дуги есть число иррациональное и, наоборот, воякая дуга, имеющая рациональный тангенс, иррациональна /отсюда исключалось дуга О/. Ламберт дал доказательство этой теоремы, опираясь на разложение в цепную дробь величины tg предполагая V и и} целыми, взаимно простыми числами. Вывод об иррациональности числа ДГ следовал из того что Ъй4^ = I есть число рациональное, Далее он показал иррациональность величины

для рационального т и Еерность положения о том, что все рациональные числа имеют иррациональный логарифм /не отмечая, правда, случая 1п1/. В одном из более поздних писем в 1768 г. он писал о возможности доказательства того, что круговые и логарифмические величины не могут быть корнями рациональных уравнений. Выше указанное доказательство Ламберта было дополнено А.Лежандром /1752-1833/ в одном из примечаний к его курсу геометрии. Чуть позже Доказательство иррациональности величины £ дал Ж.Фурье /1768-1880/, используя степенной ряд. Доказательство трансцендентности числа £дал Ш.Эрлит /1822-1906/ в 1873 г.,

числа ¿Г- Ф.Ляндеман /1852-1939/ в 1082 г. Существенный вклад в решение этого вопроса внес также и К.Лнувилль /18091882/, после работ которого был обособлен класс трансцендентных величин. Кроме, вышеуказанной, Ламберт опубликовал еще две крупные работы, относящиеся к теории цепных' дробей. В первой из них речь шля о построении и суммировании цепных дробей, об их преобразованиях. Значительное внимание он уделил здесь исследованию приближенных значений, получаемых при представлении данной величины цепной дробью. Здесь же дан оригинальный прием получения цепных дробей для некоторых величин и ряд частных дополнений и уточнений результатов Эйлера. Исторический обзор по. исследованию величины , ее представления цепной дробью, метод извлечения кубического корня и другие смежные вопросы рассмотрены в третьей статье.

Четвертая глава диссертации посвящена изучению применения

- 12 - -

аппарата цепных дробей для решения ряда фундаментальных задач . из некоторых разделов математики.

В параграфе первом разобрана одна из важнейших задач дио-фантова анализа о целочисленном решении уравнения ах2 - у2 в I, где а - не является точным квадратом. Первые результаты по изучению данной проблемы с помощью цепных дробей были доложены Эйлером в 1759 г. и в 1763 г. и опубликованы в большой статье 1765 г. о "проблеме Пелля". Здесь шла речь о решении уравнения Ферма вида' 1д2 + I = р2, Для получения приближенного значения дроби Ь, Эйлер ибпользует разложение в цепную дробь \/Т.. Далее устанавливается связь между ее подходящими дробями и наименьшим решением данного уравнения, с помощью которого могут быть построены все. остальные решения. При этом обнаруживается периодичность цепной дроби дая П , которая в 1768 г. была строго, доказана Лагранжем. В следующей работе по этой теме за 1773 г. Эйлер рассматривал решение в целых числах более общего уравнения Ах2 + ¿Вху + Су^ + гик + 2В7 + р = о, разобрав предварительно ту же задачу для уравнения" Ах2 + 2Вху + Оу2 в 0.Идея решения состояла в том, что для данных чисел А', В,'С нужно было подобрать такие р и д , чтобы выражение Ар2 + 2Врд + Од2 принимало наименьшее значение.' Эйлер получает формулы для определения х и у через коэффициенты А, В, С, известные решения х = а, у = Ь и введенные им величины р и д. Важную роль в • развитии теории цепных дробей сыграла работа Эйлера 1785 г., где рассматривалась задача, отыскания возможно меньших целых чисел а, Ь , о, когда выражение аА + ЪВ + сС, где А, В, С - данные целые чиола, становилось бы равным нулю. В процессе решения этой задачи намечалось некоторое обобщение известного алгоритма ■ цепных дробей. Этацатья послужила импульсом для известной посмертной статьи Якоби, разобравшего ту же задачу.

Этот же круг.вопросов привлек внимание Ж.Лагранжа, посвятившего ему две больших работы конца 60-х гг. и материал в "Дополнениях" к "Алгебре" Эйлера о чем упоминалось в гл. Ш, § I. Начав о изучения минимума формы у - а г , Лагранж подходит затем к выражению вида Арп + Вр11-3^ + Сра"2д2 + ... + Тдп , где А, В, С, ... данные целые числа", а р и д неизвестные, но целые положительные или отрицательные числа. Далее трактуется вопрос о решении в целых числах неопределенных уравнений более высокой, чем и= 2 степени и ряд аналогичных вопросов.

- 13 -

Параграф второй содержит обзор существенного вклада Ла-гранжа в приложения цепных дробей к решению числовых уравнений, изложенного в работах 1767 г. Через тридцать лет результаты этих исследований были дополнены и положены в основу монографии "О решении числовых уравнений любой степени" /1798/, которая о новыми дополнениями по теории алгебраических уравнений вышла отдельной книгой уже в 1808 г. После изложения предыдущих результатов, Лагранж предложил новый способ отыскания числовых значений вещественных корней алгебраических уравнений любой ■степени, весьма практичный я интересный в теоретическом плане. Однако в дальнейшем он оказалоя мало распространенным, видимо, в связи с тем, что был осноеэн на теории непрерывных дробей. Важной частью этих, исследований Лагранжа было изучение общей теории приближения числовых значения корней алгебраических уравнений через непрерывные дроби. Разработанный им прием давал лучшее приближение для подходящих дробей ^ .которые давали приближения дая корня с погрешностью, не превышающей -тсг-

Натеграй третий содержит обзор вклада Эйлера в решение^ дифференциальных уравнений о помощью цепных дробей. Уже в первой из упоминаемых ранее работ Эйлера по теория цепных дробей среди других, был изучен я вопрос п сведении задачи суммирования непрерывной дроби к интегрированию соответствующего уравнения Риккаги. Он показал, что значение некоторой непрерывной Дроби ч(р) должно удовлетворять уравнению сЦ} + qгdp » ар. Этот результат был установлен о помощью отыскания дифференциального уравнения, которому форлально удовлетворял бесконечный ряд, эквивалентный данной непрерывной дроби. Построение цепной дроби для решения уравнения псЛьс + су^<1х + ¿у = 0 для некоторых значений х, Эйлер рассматривает в конце'второй из ранее 'упоминаемых работ. Более подробно к изучению аналогичной задачи Эйлер возвратился в работе 1785 г. После множества преобразований он пришел здесь к уравнению а<1у + у^« = ^а' ^¡Ц'' решение которого связано с цепной дробью довольно простой конструкции. При этом он показал, что различным случаям интегрируемости соответствует различие конечного числа первых членов соответствующих непрерывных дробей. В заключительной части, работы, начиная с § 29, решается обратная задаче, а именно, предлагается "прямой метод" приведения интегрирования уравнения

Риккати относительно неизвестной функции z = z(t) к отысканию значения непрерывной дроби, элемента которой в этом случае являются функциями t. Заключительная работа Эйлера по данной теме была опубликована уже в начале XIX в. Она называлась "Легкий прием решения уравнения Риккати с помощью непрерывных дробей", что хорошо характеризует ее содержание. Здесь в довольно отчетливой форе ставилась проблема единственности решения.

В параграфе четвертом рассмотрен метод Лагранжа интегрирования дифференциальных уравнений с помощью непрерывных дробей, изложенный автором в 1776 г. Здесь отмечалось, что данный метод может быть применен тогда, когда другие не дают эффекта. Лагранж находит решение дифференциального уравнения в форме цепной дроби.определенного вида, куда входили величины когда х для соответственных приближений у полагается очень малым. Лагранж разработал специальную методику для выбора величин в форме-а х'к , когда надо искать коэффициенты а , ар &2 > 11 показатели ... После разбора этой

методика, дается решение конкретного примера, что упрощает понимание метода. В процессе дальнейшего исследования получен ряд разложений для известных функций.

Параграф пятый содержит результаты Эйлера по применению цепных дробей к. расходящимся рядам. Эта тема нашла отражение в статье "О расходящихся рядах" /1754-55/, первая часть которой посвлщалаоь изучению конкретных видов некоторых расходящихся рядов. Затем были рассмотрены преобразования этих рядов в другие ряда или в цепные дроби. Было уделено внимание исследованию конкретного знакочередующегося ряда, удовлетворяющего некоторому линейному уравнению и даже методика построения интегральной кривой. Вторично к данной теме Эйлер возвратился в статье "О преобразованиях расходящегося ряда в непрерывную дробь" /1784/, где был предложен новый алгорифм цепной дроби для построения суммы ряда. Таким образом открывался путь для оценки величины расходящегося ряда, которая,' по замечанию Эйлера /§ 8/, ограничена соответственными подходящими дробями.

В 'заключении подведены итога выполненной работы, отмечены основные результаты исследования, рассмотрена практическая значимость работы и связь изучаемой теории с другими математическими дисциплинами, отмечена основательность резуль-

- 15 -

татов данного периода развития, изучаемой теории, приведены кратко некото^е факты и результаты дальнейшего развития ооновных направлений теории цепных дробей в XIX в. И в следующий период, в XIX в., она привлекала внимание крупных математиков как отечественных, так и зарубежных и получила существенное развитие. Здесь же обсужден вопрос о применении метода цепных дробей и для дисциплин технического порядка.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

■ На защиту выносятся следующие "основные положения.

1. Теория цепных /непрерывных/ дробей является одним из весьма важных направлений развития теория чисел, алгебры и математического анализа-, уходящая своими истоками в далекую древность. В результате развития этой теории и ее приложений были решены многие принципиальные вопросы, стоявшие на порядке дня науки прошлой эпохи. Здесь можно указать такие проблемы, как квадратура круга, природа величин Си , решение неопределенных уравнений разных видов, решение численных уравнений, приближенные вычисления и ряд других. Наряду с другими математическими структурами - теорией рядов и бесконечными произведениями, теория цепных дробей стала третьей структурой, оперирующей с бесконечным числом элементов. Основы этой теории стали закладываться в ХУЛ в. трудами Дчс.Валляса,' Броункера,

X.Гюйгенса и были в основном построены во второй половине ХУШ в. благодаря трудам Л.Эйлера, И.Лагранжа, И.Ламберта и их последователей. Объем я значимость работ этих ученых гораздо шире и глубже, чем было принято считать до последнего времени. . .

2. В связи с относительной бедностью литературы по истории цепных дробей за изученный в диссертации период, представление об удельном весе этой теории и ее приложений к решению конкретных задач и "соучастию" в генезисе смежных дисциплин

в общем потоке развития математики представлялось в занижена/и плане, что не соотвествует истине.

3. В диссертации Епервые на руоском языке весьма полно

и обстоятельно изложена история учения о цепных дробях, начиная о его иотоков и до конца ХУШ века, когда, в основном, бы- ' ла заьерпена классическая часть этой теории и ^наметились оо~

новные направления дальнейшего ее развития и приложений.

4. Заметный вклад и дополнения изучаемая теория получила благодаря малоизвеотшш и малоизученным работам последователей и учеников Л.Эйлера и Ж.Лагтвнжа - Юямбертя,-

Д.Бернулли, В.Висковатова, Н.Тромблея, М.Софронова, К.Каусле-ра, Ф.Шуберта и др.

5. Изучение и анализ архивных материалов и переписки Л.Эйлера, К.Лагрранка и других ученых того времени показало, что все принципиально значущие результаты по изучаемой теории наши отражение в уже опубликованных работах.

6. На основании изучения иоторико-математической литературы и оригинальных работ многих математиков, работавших в области теории цепных дробей уточнена периодика развития предмета:

- Эмпирический период /от древности до раннего средневековья/;

- Построение аппарата цепных дробей /от ХУ века'до середины ХУЛ в./;

- Зарождение основ теории цепных дробей /вторая половина ХУЛ в., начало ХУШ в./;

- Построение основ теории цепных дробей /вторая половина ХУШ в./;

- Развитие теории в различных аспектах /XIX в./;

- Обобщение алгорифма непрерывных дробей /вторая полови. на XIX в., начало XX в./;

- Теория ветвящихся дробей /вторая половина XX в./.

?. Зарождение понятия цепной дроби было связано с практикой 'вычислений, извлечением корней, решением неопределенных уравнений. Важным стимулом развития теории была необходимость искать решение класоических задач о квадратуре круга, а также конкретные задачи астрономии и механики. Со временем вое большее значение получила внутренняя логика предмета.

8. Осказалось,'что важные задачи из алгебра, теории чисел, математического анализа нашли эффективное решение на основе аппарата цепных дробей. Решение их популяризовало значимость этой теории и содействовало дальнейшему ее совершенствованию.

- 17 -

Э. Наиболее продуктивными периодами относительно разработки теории цепных дробей у Эйлера были 50-е я 70-е, у Ла-гранжа - 70-е, у Ламберта - 60-е года ХУШ'в.

Основное содержание диссертации отражено в ал едущих работах:.

-I. Добровольская ЭЛ. Начало учения о цепных дробях. // Математическое естествознание в его развитии. К.: Наукова думка, 1987. - С. I6I-I64.

2. Добровольская Э.М. У истоков непрерывных дробей в древние времена. // Актуальные вопросы истории и методики преподавания математического анализа. Л., IS88. /Рук. деп.

J/ 36952 от IS.02.89. - 8 с.

3. Добровольская Э.М. Цепные дроби в работах Л.Эйлера. // В.И.Вернадский и отечественная наука. Тезисы докл. Всесо-¡dsh. науч. конф. по истории науки и техника. Одесса: Наукова думка, 1988. - С. 127-128.

4. Добровольская Э.М. Первые применения непрерывных дробей к дифференциальным уравнениям // Тезисы докл. ХХХП науч. конф. по истории естествознания и техники. М., I98S. - С. 2326.

-5. Добровольская Э.М. Становление учения о цепных дробях в XI-X7 вв. // Очерси истории естествознания и техники. К.: Наукова думка, 1990. - Вып. 38. - С. 44-47.

6. Добровольская Э.М. Цепные дроби в трудах Ламберта // Тезисы докл. ХХХШ научн. конф. по истории естествознания и техники.'М., 1991. - С. 14-15. .

7. Добровольская Э.М. К вопросу о приложениях цепных дробей // Математическое.естествознание: фрагмента истории. К.: Наукова думка, 1992. - С. 105-108.

8. Добровольская Э.М. Астрономия и цепные дроби. Вклад Х.Гюйгенса // Тезисы докл. ХХХ1У научн. конф. по истории естествознания и техники. М., 1992. - 2 о.