автореферат диссертации по истории, специальность ВАК РФ 07.00.10
диссертация на тему: Из истории учения о бинарных квадратичных формах в XVII-XVIII веках

Полный текст автореферата диссертации по теме "Из истории учения о бинарных квадратичных формах в XVII-XVIII веках"

АКАДЕМИЯ НАУК СССР ИНСТИТУТ ИСТОРИИ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ И ТЕХНИКИ

На правах рукописи

АНТРОПОВ Александр Александрович

УДК 5П.42(09Я+ 611.46(091)

ИЗ ИСТОРИИ УЧЕНИЯ О БИНАРНЫХ КВАДРАТИЧНЫ! ЙОРИАХ В ХУИ - ХУШ ВЕКАХ

07.00.10 - история науки и техники

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1990

Работа выполнена в Московском государственном университете им. М.В.Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор И.Г.Башмакова Официальные оппоненты: заслуженный деятель науки РСФСР, доктор физико-математических наук, профессор А.П.Юшкевич, кандидат физико-математических наук, доцент А.А.Панчишкин Ведущая организация - Математический институт им. В.А.Стеклова АН СССР

Защита соотоится ^^^^¡Ьь^ 1990 г.

в 15 часов на заседании специализированного совета К 003.11.04 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Институте истории естествознания и техники АН СССР по адресу: 103012, Москва, К-12, Старопанский пер., 1/5.

С диссертацией можно ознакомиться в.библиотеке Института истории естествознания и техники АН СССР. , г~.

Автореферат разослан О^УЬмА&аэО г.

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат физико-математических . .

наук А.И.Володарский

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

В оонове современного лодпэда К взузению арифметики квад-«пчиых форм лежат слодукцяе пршщшш:

. - исследовании форм с целки ковффидаентами и относнталь-> целой эквивалентности предпосылается изучение форм с рацво-иши коэффициентами н относительно рациональной эквива-¡нтности, тек как теория форм над дохяш логически проще и шее полна, чем соответствующая теория над кольцами,

- применяется р-адическая точка зрения, позволяющая су-ютвэнно упростить логическую структуру излагаемого материа-

- используется теория линейных алгебраических групп, диссертации прослеживается история формирования этих прин-лов..........

Актуальность темы. Арифметика квадратичных форм является рим из активно разрабатываемых в настоящее время разделов временной теории чисел. Между тем её история не налисана.

. Кет полного и ясного освещения вклада английского матека-ка X7II века Дж.Валлиса в решение уравнения Пелля

. . X^Y*-1 • . (I)

д кольцом целых, чисел Ж . Предложенный им способ отыскания иыеньшаго решения уравнения (I) Ж.Л.Лагратж1, Г.Цейтен2, Кантор*5 сочли довольно неопределенным, громоздким, трудоем-U. Л.Диксон* ограничился замечанием.о том, что П.Ферма, при-ав этот способ, впоследствии заявил, что Вашшо рассмотрел зличные частные случаи уравнения (I), общее же решение по-

1 звйхушпуи. 1А Oeuvvu.. Р 1867. Т. I. С. 671.

2 Цейтен Г.Г. История математики.в древности и средние

века / Пер. с франц. М.:Г0НТИ, 1938. С. 177.

3 Ccuttot Н. MorleJunqen ¡Цел- &&fchicUz, dm. tfatematik.

feip-zif.Teulner, №0. Ы1 Z, Bd.Z. t.n?.

4 5)1склсп- S, RUitct^ o(f ifu theiAif c£ mtdvU-.

W&utujton, 1920. Vol. 2. C. 353.

следнего основано на методе бесконечного спуска. По мнению й.Гофмана®, Ферма лишь из вежливости высказался уважительно до поводу успеха Валлиса. Ближе к истине А.Вейль и Г.Эдвард признавкие эффективность предложенного Вашисом способа отнс кания наименьшего реиения уравнения fl) и рассмотревшие его точки зрения современной теории квадратичных форм. Но и они конечном счете не отступили от общепринятой трактовки этого способа как разложения "/сГ в непрерывную дробь (ВеЗль . сравни вал его также с методом бесконечного спуска), не обратив вни мание на подмеченное K.Ö.Гауссом®его сходство с выделением п риода в цепочке соседних приведенных форм. Вейль и Эдварде н придали значения, и сглаживающему различие этих двух трактово: замечанию П.Г.Лехена-Дирихле®, согласно которому существует тесная связь между построением цепочек соседних приведенных, форм и разложением квадратических иррациональностей в непрерывные дроби. По их мнению, Валлис не осознавал.и необходимо ть доказательства.того, что применяемый, им способ всегда приводит к цели. Не обратили Ва2ль и Эдварде внимание и на то, что он располагал формулами двух *ипов для получения лвбого целого решения уравнения (Ii по наименьшему или двум первым. Утвердилась в корне неверная оценка подхода Валлиса к решеш: уравнения (I), основанная на противопоставлении методов его решения над полом рациональных чисел CL и над Ж. . Ссылаясь на то, что в форхулировке вопроса о разрешимости уравнения (: в целых: числах Оерма проводит "четкое различие между дисфан-товой традицией решения в рациональных числах и традицией, о кс-'проЯ он теперь ассоциирует самого себя, решения в целых

5 Ио^тлпп 3.6. ¿Studien zur ZaAUntfieorce Terrnat'3.

В., 19ЧЧ. С, 5".

6 Weil А СаШЫ püf&tд. MX., 1919. Ш. 3. С.Ц15.

7

Эдварде.Г. Последняя теорема йерма / Пер. о англ.

М. :Мир, 1980. С. 42, 372.•

8

Гаусс К.Ф. Труды по теории чисел / Пер. с лат.

М.: Изд-во АН СССР, 1959. С. 242.

а

Дирихле Лежел П.Г. Лёкции по теории чисап / Пер. с Hei

К.; Л.: ГОНТИ, I93S. С. 168.

....- 5 -

п

слахм, Эдварде веклшавт, что Валлис по недоразумению, начал решения этого уравнения над О, , признав якобы впоследствии кой подход на имекщкм "никакой ценности" для решения (I) над Ж..

Л.Кронекер10,. П.ЛЛебышев11, Б.А.Банков12, А.О.Гельфонд13, Вейль , Г.Эдварде7, касаясь работ Эйлера о квадратичном за-не взаимности, не обратили внимания ка то, что при изучении следнего он по существу пользовался понятием рода форм. Под-д Эйлера к вопросу о существовании квадрата 0,1«С1<, пред-авгагаго, над О- данной т чратичиоЯ £1--формой!^) не расставался до сих пор о точки зрения полей р -адических чисел р п локального метода. Результата Эйлера но сопоставлялись о ндаментальной теоремой Хассе-Минковского о представимости ля над. & -данной квадратичной 0.-формой ("связь здесь такая: е форды из. класса О. -эквивалентности, формы £ . представляют Д €1 одни и те да числа и среда них всегда.найдется диаго-льная форш но О^хЫ^г2" равносильно предста-

мостп.нуля-над О..тернарной формой

Цель работы состоит в том, чтобы: . показать, что исторически методы реаения вопроса о гдставпыости чисел бинарными квадратичными формами над зникли из методов решения этого вопроса над О, ,

- доказать, что у.древних вавилонян, Диофанта, средневесах индийских ученых* Валлиса и Эйлера подход к решении авнения

10 Иг£7кесЯег Ъг ск>м и \Crcnederl \Jerk. Щгц, И9Г. Ы, г. 11-10.

11 Чебыпев П.1. Полн. собр. соч. И.; Л.: Изд-во АН СССР,

1944. Т. I. .

^ Венков Б.А.' О работах Л. Эйлера по теории чисел // Леонард Эйлер. Сборник статей и.материалов к 150-летию со дня смерти. М.; Л.: Изд-во АН СССР, 1935. Гельфопд.А.О. Роль I.Эйлера в развитии теорпи чисел// Эйлер Л. К 250-летию со дня рождения. М.: Изд-во АН СССР, 1958.

14 \fletf Л. (/шгЬегИквощк п^гоик ¥иМсгу; кот. Лиш/щр!

(с Аукике,. 19!3.

>

над ©. или над "Ж по существу один и тот же и с современной точки зрения заключается в построении соответственно рациона ных или целых автоморфизмов формы

F(X,Y)~X2-dYf Сз

причем правило построения автоморфизмов над 22 выводится из правила их построения над О. ,

- сравнить подход Эйлера к изучению (Й, -представимости чисел рациональными квадратичными формами с современной, трак товкой этого вопроса,

- исследовать возможность интерпретации подхода Эйлера указанной проблеме в терминах полей р-адических чисел 0,р ,

- выяснить вопрос о том, пользовался ли Эйлер локальным методом,

- исследовать связь предложенной Эйлером классификации примитивных целых, .бинарных квадратичных форм

+ (4

данного дискриминанта Б с.его подходом к изучении квадратич ного закона взаимности.

Методы исследования, использ;' мне в диссертации, включают в себя:

- историко-научный анализ работ, касающихся учения о би нарных квадратичных формах,

- историко-матодологический анализ развития и обобщения идей и методов теории рациональных квадратичных форм,

- современную интерпретация изучаемых методов.

Научная новизна. Совершенно по-новому исследованы работ:

Валлиса и Эйлера, касающиеся арифметики бинарных квадратичны: форм, что позволило получить следующие новые результаты:

-вопреки распространенной трактовке развития учения о бинарных квадратичных формах, противопоставляющая методы исс, дования таких форм над Ж методам их исследования над ¡IX , у тановлено, что исторически первые были порождены последними, этом смысле современная теория следует историческому пути ра вития^,

15 Касселс Дж. Рациональные квадратичные форш / Пер. с англ. М.: Мир, 1982. С. 7.:"...теория форм над полям логически проще и более полна, чем соответствующая теор]

- показано, что при изучении Л-представимости чисел ра-оншгышми квадратичными форма?,я Эйлер по сущеотву использо-п язык оравнений по модули степени простого р , равносиль-8 р -адической терминологии. На этой основе выявлено, что щод Эйлера к названной проблеме тесно связан с лекальным годом, а полученные им при втом результаты связаны с фунда-ятальной теоремой Хассе-Минковского о представимости нуля

ц ¡X данной рациональной квадратичной формой. В атом смысле Зоты Эйлера подготовили лву для примзнения р -адической чки ярения16,

- установлено, что все методы Валлиса для отыскания наи-иьпего репеиия уравнения (I), а по нему - любого другого того решения этого уравнения, с современной точки зрения ключаютоя в построении целых автоморфизмов целой формы

{(Ъ^-ЬХ^ + г+ ("5)

1 фор!лы (3), прячем источником этих методов послужил способ зтроения рациональных автодарфаздав форьш (3),

- выяснено значение указанных методов Валлиса дм дальнего развития арифметики квадратичных форм, связанного с гмояностьи отождествления автоыорфизшв квадратичных форм о даштршоа соответствующих квадратичных пространств на себя и злэдувдим применением теории линейных алгебраических групп17,

над кольцами. Следовательно,... нужно изучать формы о ра-юналмпига коэффициентам а относительно рациональной экви-ментпоотн, преядо чем исследовать формы с целыми коэф$ици-етами п относительно целой ("целочисленной) эквлвалентноо-I."

Тем го. С. 7. :"...ваяноо достижение, прянпдлажйщее знзалэ и Хассз, состоит в применении р -адической точки рения. Око приводит к радикальному упрощенна логачзокой груктуры."

Там яе. С. 8.:"...важным достижением, которое огнссят-к двадцатому веку, можно очитать открытие того, что квздра-оша пространства являится однородными пространствами отпо-гельно своих ортогональных групп, так что многое из их тео-

I оказывается аспектом обшей теория линейных алгебраических гпп."

г

- показано, что при изучении квадратичного закона взад яости Эйлер по существу использует разбиение множества цела примитивных бинарных квадратичных форм (4) данного даскриш налта D на роды, причем его определение рода форм равносш; но современному.

Практическая ценность работы. Результаты диссертации & гут быть использованы

- для дальнейших исследований в области истории арифые тики квадратичных форм, . . . .

т при разработке учебников, монографий, учебных nocoöi п курсов по истории и методологии математики.

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались:

- на XIX-XXXII научных конференциях аспирантов н молод специалистов по истории естествознания и техники ИИЕаХ АН СССР (1987-89 хт.),

- на семинарах по истории и методологии математики и t ханики МГУ и ИИЕиТ АН СССР.

Публикации. Основные результаты диссертации одубликов; в работах автора, перечень которых приведен в конца авторес рата.

Объем работы. Диссертация содерзит 114 страниц машинописного текста..В списке литературы 79 наименований.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введена трех глав, заключения и списка литературы.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту;

I. От древних вавилонян и до Эйлера решение уравнения над Q, (над Ж) при заданных d и rn,, где d - цалоо свобод от квадратов положительное или отрицательное число, fil ф О га G й (те Ж) , основывалось на подстановках

где (X - извео.ное решение уравнения (2) над U- (над й 9 Л - параметры, р Де Ж , гей , - применение кото;

уравнении (2) дает

(Wh

элучения целых решений (X,Y)

(7)

- А П*- i W Л

ачем для. получения целых решений"1' (X,Y) параиатр-j р я q, f7) .выбирают тая, чтобы 2рф делилось на k- pl- d^1 частности, чтобы Jt » +1,+2), что в силу тоядества

.....ЖЧШ'1

раятлрует делимость и p^+dctf- на к . С современной точка вши речь здесь идет о построения рациональных ( целых при q, , дающемся па И) автоморфизмов (7) форны (31.

2. Формулу __^

+ И-1,2,3,..., (9)

я.получения бесконечного числа целых репеаиЗ уравнения (2") одному, известному , где ft ,0.) - налыеяьиев целое

пение уравнения

. (Ю)

дер выводит из (7), обозначав

рассмотрев формула (7) о верхшш янаяом как рекуррентные этлоиеная типа

^-tX^+ttu^, + «-»1.2,3..... (12)

реписагатао в вида

fe^^nin-a' lt-2,3..... (13)

i i аВ- удовлетворяют условии (10) а сплу тождества ("0). I репешш той до задачи в отпоизнни уравнения

ахА+ ¿êxy m. (14)

применяет фош^лу

CLZb+b^+^'foX'+h^ïMKt + êti+uidf (15)

з (t»w) - наименьпее реиение ураглвния

t* -*-ZUlL+CLCU.l~i (К)

:овреивнной точка зрения формулы ( 9) а (15) задает цежнэ гоморфизмы форм (3) и (5).

3. Показало, что соотношения для вычисления любого цоло-реяення уравнения (I) по паиыеньаеыу или двум первым, рав~

- 10 -

носильные соответственно форцуле_ ^

= , К- 2,3..... (з

ш (13), Валлио вывел, вероятнее всего, тем ее способом, ч: и Эйлер, а имение, с помощью формул типа (7), ведающих обще( решение уравнения (I) в рациональных числах.

4. Для решения уравнения (I) в целых числах Вадлио по < цеству строит целые автоморфизмы форш (5), а именно: находа ряд уиимодуляряых подстановок вида

зс -«¿зс,*^, (]

последовательное применение которых к форме (5) в конечном очете преобразует её и самоё себя. Установлено, что втему ш тоду Валлис придавал исключительное вначошге как инструмент} исследования бинарных квадратичных; форц.

5. Показано, что применение рациональных (целых) автоморфизмов в исследовании рациональных (целых) бинарша квад ратичныг форм прослеживается иа протязении всей истории учения о таких формах. Установлено, что этот метод ншал дальнейшее развитие и обобщение с появлением г двадцатом веке кзыка квадратичных пространств. •

Б. Эйлер доказал, что вопрос о существовании рационального числа Г * 0, квадрат с2" которого представим в рациональнее числах рациональной бинарной квадратичной формой

Р = + + С*2 (I

с определителем <Ы Г ■АС » , где (Я- - целоо

свободное от квадратов число, 0 4 ц, - рационально о число,

одинаково решается для всех форм, связанных о (19) линейным обратимыш заменами переменных с рациональными коай кадетами. Говоря современным языком, он показал, что решение етогс вопроса зависит только от класса рациональной эквивалентности форш. (19), а не от выбора представителя в этом класс о. Опираясь на указанный факт, Эйлер свел проблему к вопросу о разрешимости в рациональных числах уравнение

ах^+Жу2-- (20

где 0. - целое свободное от квадратов число из однозначного представления первого ко »¡/Пациента форьш (19) в виде к •*йА3~ О ± 0., В свою очередь, для решения г того вопроса он исследовал разрешимость сравнений

и^+Жц1 ъ я3-( тек р) (21,

для всех простых нечетных делителей р числа dt , а также разрешимость сравнений .

ах' - ¿l(md 4), a x^df Е ?2(mcd в) (22) соответответо при нечетных и четных значениях ct . С оовремен-пой точки зрения такой подход равносилен применении локального метода, поскольку разрешимость сравнений (21) и (22) эквивалентна разрешимости уравнения (20) соответственно над (Цр и над

. Саш же результаты Эйлера тесно связаны о теоремой Хао-се-Минковского о представимости нуля данной рациональной квадратичной формой в рациональных чиолах.

7. При изучении квадратичного закона взаимности Эйлер по существу использовал разбиение множества целых собственно примитивных форм (б) данного дискриминанта 4с1 на роды (нри cL< 0 ом рассматривал только положительно оиределенние формы) Две такие формы и он относит к одному роду, ооли из справедливости равенств и ПРИ некоторых нату ральных ц целых . следуот справедливость равенства |Пхта» X2-cLY2 при некоторых рациональных X и Y , или, если множество взаимно простых с 4ct значений L формы по trwd 4cL совпадает о множеством таких % для формы ^ . Показано, что ото определение равносильно современному, соглаоно которое названные форм и | принадлежат одному роду, если они рационально вквивалентны.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дала общая характеристика работы, обоснована актуальность темы, сформулированы цели исследования, указана научная новизна работы, перечислены основные положения диссертации, выносимые на защиту, дан обзор литературы по теме, приведено описание содержания диссертации о делением на главы.

В перпа.1 гдаво рассматривается истерия методов решения уравнений (I) и (2) над Q. и над Ж при целом свободном от квадратов положительном или отрицательном d .

В 5 I о современных позиций раскрывается роль уравнения (l) в теории квадратичных форм. Обращено внимание на то, что линейные преобразования (7) являются рациональными (целыми при 2рс^ , делящемся на рг - City2") автоморфизмами формы (У) благодаря memo тому, что t и и. цз (П) в силу тождества (В) удовлет-

- 12 -.

воряют уравнению (I). Показано( чго с геометрической точки зрения формулы ('7) гадают отрагениа координатной плоскости ¡к. в неподвижном диаметре конического сечения ('г), в диаметре, который сопряжен хордам втого сечения, параллельным вектору ■ Рассмотрены различные опособы .задания рациональных (целых) автоморфизмов баночных квадратичных форм. Показано, в. частности, что один из таких способов для формы (3) дает формула композиции форм ,,, ,

± (23)

где - решение уравнения (I). С помощью языка квадратичных пространств выявлена значимость автоморфизмов форм как инструмента исследования для дальнейшего развития арифметики квадратичных форм.

В § 2 разбирается предложенный Эйлером вывод формул (12) , (13) и (9) (в частности, (17)) о помощью подстановок (6), приводящих к (7). Показано, что о современной точки зрения речь, здесь лет о получении общего правила построения целых морфизмов формы (3), иохгдо из правила построения её рациональных автоморфизмов.

В § 3 показано, что начиная с древних вавилонян и до середины ХУП века, методы решения уравнения (2) в рациональных (целых) числах'основывались, говоря современным языком, на построении рациональны (целых) автоморфизмов формы (3). В частности,..присутствие такого подхода выявлено.в методе последовательных. приближений Диофанта и в циклическом методе средневековых индийских ученых.

В § 4 рассматривается переписка по поводу, уравнения Пел-ля (случай сС.^* 0 в (I)) между французскими и английскими математиками, 'Ореди.которых П.Ферма и Дж.Валлио. Приводятся высказывания историков науки о вкладе последнего в решение этого уравнения в целых числах.

В § 5 показано, что для вычадлекия любого целого решения уравнения Пелдя по наименьшему или двум первым Валлио иополь-эовал соотношения, равносильные соответственно форцулам (17) и (13).

В § 6 говорится <~ "рвом методе Валлиса для отыскания . наименьшего решения ) лшя Пелля. Выяснено, что етот метод, говоря совремешшм языком, есть специальный прием построения

- 13 -

целого автоморфизма формы (3).

В § 7.рассматривается второй метод Валяиса для отыскания наименьшего репенпя.уравнения Пелля, Показано, что с современной точки зрения этот метод заключается в построении целого автоморфизма. форма. (5).

Во второй, главе о точке зречгз локального метода рассматривается подход Эйлера к вопросу о иредставимооти чисел рациональными бинарными квадратичными формами над (¡X .

В § I дано современное представление о локальном методе а показана обоснованность зго применения для интерпретации под-кода Эйлера я названной проблеме.

В § 2 говорится о понятии характера рациональной бинар.нсЦ ПЕадрзтичноа формы в .монографии Эйлера * УоМдШтЬуг Ап£е11мл$-2иг ЩАгси п (источником служит пятая глава второго.тома ей французского.лерезода*®). Показано, что о современной тички зрения установление характера форма по Эйлеру равносильно вычислении инварианта Хасое-Мшшовского соответствующего класса (Яр-Екапвадептпооти зтсЛ формы. Выяснено, что решение вопроса о Л, -представимости квадрата нг, геО^ , рациональной формой (19) с определителем » , ¿е О* , где (И- целое сво-

бодное от квадратов число, он сводит к исследования разревт-рэоти конечного. таола сравнения типа (21) , (22).

В § 3 показано, что зекоя распределения простых делителей ф формы (3) для составного значения (1 «* + .. ^ по арифметические прогрессиям вэда

Ш + О, , tsz:, (24)

гдэ н а. взаимно просты о'4<£; /э »..../^ - простые, Эйлер строит.по известным законам распределения для простых значений

2, ,..., (а такяо для ¿- -I, еоли исходное

ооставноа значениа & отрицательно). Установлено, что при заданном сб во множестве арифметических- прогрессий типа (24) он наделяет конечное число равномогщьк. подмножеств, каядое из которых, говоря современным языком, определяет свой аласо £1-эквивалентности рациональных форм вида (19) о определителями • {¡лХ Р * , ^Ш", Выяснено, что с Современной точки зрения это равносильно установлении соответствия между классами

16 £и£л 3?. ^"(шЛ ¿'оЦ^ЯЛ: 1774. Т. I.

(Я -»эквивалентности форм и наборами: инвариантов Хаоое-Минково-кого классов (^-эквивалентности этих форм, которые, взятые в оовокупнооти, определяют принадлежность указанных форм тоцу или иному классу &-эквивалентности.

В третьей главе говорится о понятия рода бинарных квадратичных форм в рг"отах Эйлера.

В § I излагается современный подход в проблеме.

В § 2 речь идет о понятии рода форм у К.Ф.Гауоса, которое, как показано в диссертации, последний вводит через понятие характера формы. Установлено, что характер формы по Гауссу в сущности имеет тот же смысл, что и инвариант Хаосе-Минковокого соответствующего класса (Йр-эквивалентности этой формы. Т.е. под характером формы Эйлер и Гаусс понимают по существу одно и то же.

В § 3 показано, что уже в работе 1744-46 гг. при изучении квадратичного закона взаимности Эйлер фактически пользуется разбис яем множества целых примитивных бинарных квадрат, .их форм данного дискриминанта на роды. У него же впервые, появляется и сами термины "взаимность" 'геиргосаЬСо) и "род Установлено, что современное определение рода форм равносильно определениям по Эйлеру и по Гаусоу.

В заключении подытожены результаты проведенного в диссертации исследования.

вывода

I. Историчеоки методы исследования .¿Г-предотаыщасти чисел целыми бинарными квадратичными формами тесно связаны о методами исследования & -представимости чисел рациональными формами, причем во многих случаях первые непосредственно выводились из последних. От древних вавилонян в до Эйлера прослеживается по существу один и ют же подход к решении уравнения (2) над (Я или над Ж, заключавшийся, говоря современным языком, в построения соответственно рациональных или целых автоморфизмов формы (3), причем правило построения автоморфизмов этой формы над Ж выводите« из правила их построения над ИХ . При решении уравнения Пеллд (I) в целых числи Вадлис впервые применил метод, который с современной точки зрения состоит в построении целых автоморфизмов целой формы общего мша (5). С открытием в двадцатом веке того, что квадратичные пространства

являются однородными пространствами.относительно.своих ортогональных групп, и благодаря воаможности отождествления рациональных- и целых автоморфизмов квадратичных, форм.о элементами таких групп, автоморфизмы фору как инструмент исследования на-пши дальнейшее развитие и обобщение уже в терминах общей теории линейных алгебраических групп.

... ,2. При изучении ИХ-представимости чисел, рациональными квадратичными формами Эйлер по сущеотву использовал язык сравнений по модулю степени простого р . равносильный . р-адичес-кой терминологии. Полученные им при этом результаты о такой точки зрения тесно связаны о фукдшчитальной теоремой Хассе-Минковского о представимости нуля над (¡1 рациональной квадр^. ■ тичной-формой. Говоря современным языком, Эйлер .решает вопрос о представимости числа классом (D.-эквивалентных-форм, а не отдельно ззятой формой. Установление характера формы по Эйлеру по отношению к проотому нечетному р или по отношению к числен 4 и'.8 с современной точки зрения равносильно-выяснению того, какому.классу соответственно fip- или О^-зквивалентности принадлежит эта форт. Решая по существу систем! сравнений

. cl* a,L(mcci рс), (o&i^n.), . (25) где £ =«.4 или 8; /э ,,,,, рп - все простые нечетные делители заданного целого свободного от квадратов числа & ; Р;) = I, Эйлер находит арифметические прогрессии типа (24), содержащие вое взаимно простые с 4сб проотые числа Q , представимыэ над (Q, формами из класса (Ü-экеивалентности данной рациональной форш (19) о определителем dlt-F= С современной

точки зрения это равносильно отысканию класса (R. -эквивалентных форм по его локальным свойства!.!. ...

. .3. При изучении квадратичного закона взаимности.Эйлер по существу пользуется разбиением множества целых примитивных бинарных квадратичных форм данного дискриминанта на роды.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

I. Антропов A.A. Об уравнении Пелля в работах Броункера-н Баллиса // Труды XX-XIII научных конференций аспирантов и молодых специалистов. Секция истории математики и механики. Институт истории естествознания и техники АН СССР.-М.: ВИНИТИ,

-16 -

09.07.81, № 3416-81 Дел. С. 8-12......

2. Антропов A.A. Кошоаиция форм в работах Валлиса. М.: ВИНИТИ, 03.03.83, & 1122-83 Дев. С. I-I5. ..

3. Антропов А,А» Метод "приближений" Валлиса в применении к решению уравнения х2 - Ау2 ■ I в целых числах // Иоторшкн-иа-твматичеокие.иос."чдования. М.: Наука, 1985. Вып. 29 . 0. 177-189.

4. Антропов A.A., О двух методах, решения уравнения Пелля'в работах Дя. Валлиса // Которая и катедология естественных :наук. U.: ЩУ, 1986. Вып. 32. С. 12-23. 1 .

5. Антропов A.A. К которая понятая рода бинарной квадратичной. формы // Tau зе. 1989. Вып. 36. С. 17-27.

6. Антропов A.A. О квадратишоы законе взаимности в работах Л..Эйлера. .М.! ВИНИТИ, I2.0a.88, JS I2I7-B88. С. 1-14.

7. Антропов A.A. Разбиенва форм на роды и яакон взаимпоо-ти в работав Л. Эйлера // Вопросы истории естествознания и техники. М.j Изд-во АН СССР, 1989. * I. С. 6S-57.

Заказ 597. Тираж 100, Объем 0,6 уч. над.л. Бесплатно.

Отпечатано на мноки те лысом учаотке 25 (ШЭТ)

Jj^