автореферат диссертации по истории, специальность ВАК РФ 07.00.10
диссертация на тему: К истории теории экстремальных задач

Полный текст автореферата диссертации по теме "К истории теории экстремальных задач"

■ ^

. РОССИЙСКАЯ АКЛДЕМШ НАУК

ИНСТИТУТ ИСТОРИИ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ И ТЕХНИКИ

На правах рукописи

Прохорова Ольга Михайловна

К ИСТОРИИ ТЕОРИИ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗАДАЧ

07.00.10 - история науки и техники

Авторефэрат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1993

Работа выполнена в Московском государственном университете им.М.В.Ломоносова.

Научный руководитель - кандидат физико-математических наук, доцент А.В.Дорофеева.

Официальные оппоненти: доктор физико-математических наук, профессор В.М.Тихомиров, кандидат физико-математических наук, доцент Н.В.Александрова.

Ведущая организация - Пермский государственный

педагогический университет.

■ • Защита состоится " ^^ " Ок^/гса^^А ' 1993р. в часов на заседании специализированного совета

К 003.11.04 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Институте истории естествознания и техники РАИ по адресу:

103012, Москва, К-12, Старопанокий пер., 1/5.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке института.

Автореферат разослан " "

Л

1993 г.

Ученый секретарь

¡У

специализированного совета | ^¡Р^ Б.М.Мариничев

ОБЩАЯ ЛАРАКГЕРИСТИКА. РАБОТЫ

Актуальность теш исследования связана, правде' всего, с той важной ролью, которую экстремальные задачи играют в нашей жизни. Людям свойственно искать наилучшие из возможных решений предстающих перед ниш вопросов. Многие из них сводятся к экстремальным задачам.

В середине Ж века в технике и экономике появились задачи управления, которые привели к созданию новых разделов теории экстремальных задач: математическое программирование, теория оптимального управления, численные методы оптимизации.

История теории экстремальных задач, в том числе и история.теории экстремумов функций многих переменных, как составной часта теории экстремальных задач, позволяет при разработке необходимого математического аппарата обозреть проблематику экстремальных задач о одной точки зрения, выделяя общие черти в методах их исследования. Потребность решать экстремальные задачи способствовала возникновению математического анализа и вариационного исчисления. Вариациошне принципы стали применяться в естественных науках.

В истории математики было известно, что начала теории экстремумов-функций многих переменных связаны с именами Л.Эйлера и Ж.-Л.Лагранжа. Однако теория экстремумов функций многих переменных в целом еще нэ была предметом иоторико-математического исследования.

Настоящая диссретационная работа позволяет проследить посредством анализа первоисточников процесс формирования и развития теории экстремумов функций многих переменных в ЛУП- '

XIX веках, определить место и роль ученых (И.Гудце, Л.Эйлер, Ж.-Д.Лагранж, О.Коши, К.Вейерштрасс, Дж.Нааыо и Др.), занимавшихся данной проблемой, а также выяснить вклад отечественных математиков в решение этого вопроса. В ходе работы над диссертацией выявилось много новых интересных фактов, в историко-математической литературе доныне не известных, при этом показано, что развитие методов решения экстремальных задач неразрывно связано с историей математического анализа, аналитической геометрии, механики, вариационного исчисления, линейной алгебры.

Совокупностью изложенных аспектов и определяется актуальность данного диссертационного исследования.

Цель работы - исследовать процесс возникновения и развития до начала XX века теории экстремумов функции многих независимых переменных. Для этого необходимо решить следующие задачи:

■- выяснить особенности развития теории в кавдом из ' трех столетии (ХУП-Х1Х);

- проанализировать процесс возникновения и совершенствования методов нахождения экстремумов функций многих переменных;

- отыскать труда учеши, занимавшихся этой проблемой, и провести их анализ;

- показать роль и место -,этих ученых в развитии теории;

- установить взаимосвязь и взаимовлияние полученных ими результатов; • .

- выявить вклад отечественных математиков в формирование теории экстремумов функций многих переменных;

- проследить, как постепенно теория экстремумов функций многих переманных вошла в учебники по математическому анализу.

Методы исследования, примененные в данной диссертации, включают в себя:

- историко-научный анализ, позволивший научные результаты ученых ХУП-Х1Х веков оценить как с позиций современной математики, так и в контексте исторического развития идей

и методов,

- историко-методологический анализ развития теории экстремальных задач во взаимосвязи с другими разделами математики.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми.

1. Настоящая диссертация - первое в историко-матема-тической литературе исследование истории теории экстремумов функций многих переменных, процесса зарождения и развития ее методов.

2. В работе установлено и показано своеобразие развития теории в ХУБ-Х1Х столетиях. Выявлено, что в ХУП столетии только И.1Удде обладал методом (алгебраическим) нахождения экстремумов функций многих переменных.'

3. Уточнен вклад Лагранжа в теорию условного экстремума и теорию экстремумов функций многих переменных:

а) впервые проанализирована первая печатная статья-Лаг-

ранжа (1759), где Лагранжем впервые получены необходимые и достаточные условия экстремума функций /г перемешай (п > £ ), и выделен при этом особый случай, ногда второй дифференциал обращается в нуль;

б) метод множителей Лагравк применял для нахождения условного экстремума функций нескольких переменных еще в 1773 г., то есть задолго до его публикации в 1788 г.; ,в) в работе "Аналитические решения некоторых задач о треугольных пирамидах" (1773) Лагранж применял векторы и их скалярное, векторное и смешанное произведения, а такяе определители, не пользуясь при этом самими терминами. В этой статье он решал задачи на условный экстремум.'

4. Также впервые выяснено влияние О.Коши, К.Вейерштрас-са,Лд.Пеано, Я.Шеффера на становление и развитие теории в XIX веке.

Наконец, исследована до сих пор нигде не рассмотренная история методов наховдения экстремумов функций многих переменных в частных случаях, когда второй дифференциал не явля-. ется ни положительно, ни отрицательно определенной квадратичной формой. В этой связи сравниваются результаты Пеано и Шеф-фера.

5. Среди первоисточников, на основе изучения которых выполнена диссертационная работа, имеются малоизвестные, а также на упоминавшиеся ранее в нсторшо-математической литературе статьи: Л.Шеффера (1886), М.Е.Ващенко-Захарчен-ко (1867), К.А.Поссэ (1890), а гакка статья В.Я.Зуняков-ского (1853) о нахождении условного экстремума функций многих переменных.

6, Впервые Сцанен вклад отечественных математиков в развитие теории экстремумов функций многих переменных. Подробно изучены работы П.А.Рахманова (1810), В.П.Ермакова (1892), Б.Я.Цукреева (1892, 1896), относящиеся в этой теме.

Практическая зиачимооть. Материалы диссертации иогут быть использованы:

- в дальнейших исследованиях по истории экстремальных задач;

- при составлении методических пособий по математическому анализу;

- при разработке учебников, учебных пособий и другой специальной литературы по истории математики;

- при написании курсовых и дипломных работ студентами;

- в курсах лекщг» по истории.« методологии математики, а также в спецкурсajc и спецсеминарах в университетах и педагогических институтах.

Апробация работы. Результаты исследований докладывались автором на :

- 34-й конференции аспирантов и молодых специалистов в ИИЕиТ РАН (1992, г.Москва);

- научно-исследовательоких семинарах по иотории и методологии математики на мвхакиво-математичвоком факультете Московского государственного университета им.М.В.Ломоносова (1992, 1993);

- научном семинаре по истории и методологии математики в Институте истории естествознания и техники Росснй-

а

ской Академии наук (1993).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора, перечень которых приводится в конце автореферата.

Объем и структура -работы. Диссертационная работа изложена на 175 страницах машинописного текста и состоит из введения, четырех глав и заключения, а также содержит иллюстрации. Список литературы вклотает 126 названий.

На защиту выносятся следующие положения.

1. Для ХУЛ века характерны лишь алгебраические методы исследования экстремумов функций многих переменных. Первоначально в задачах на нахождение максимумов и минимумов функций многих переменных речь шла об условных экстремумах. Особое место здесь занимает И.Гудце, который предполагал издать первую отдельную книгу, посвященную исследованию экстремумов функций нескольких переменных.

2. В ХУШ вехе Л.Эйлер положил начало формированию теории экстремумов функций многих переменных (1755), впервые . использовав для этого методы дифференциального исчисления. Он нашел необходимые условия существования экстремума функций двух переменных. Достаточные им были найдены не совсем точно.

3. Ж.-Л.Лагранж исправил ошибку Эйлера для случая двух переменны^' и нашел необходимые и достаточные условия экстремума для функций любого числа независимых переменных. Он попытался для случая двух и трех переменных сформули-

ровать свои результаты в терминах определителей (1759). Тем самым он построил достаточно общую теорию, выделив при втои особый случай, когда второй дифференциал обращается в нуль. С 1773г. он фактически владел своим методом множителей для нахождения условного экстремума функций нескольких переменных и свободно оперировал понятиями "вектор", "определитель" ; скалярное, векторное и смешанное произведения векторов, не употребляя при этом самих терминов.

4. В XIX века в развитие теории экстремумов функций многих незавийкмых переменных внес существенный вклад О.Ко-ши. В "Яглите с/гд к^олл. <>иг к сакЛ ^¡^¿китаЕ " (1823) он нашел достаточные условия существования экстремума функций многих переменных с помощью, как теперь говорят, критерия Сильвестра положительной (отрицательной) определенности квадратичных форм.

5. К.Вейерштрасс в лекциях (1865-1889) дал определение экстремума функций многих переменных с использованием окрестностей точек на языке " & , 8 ".

6. Важный вклад в дальнейшее совершенствование теории внес Дя.Пеано (1884), указав на неточность достаточных условий, используемых математиками (Лагранж, Копи, Бертран),

в случае, когда второй дифференциал обращается в нуль. Он впервые выделил две возможности обращения в нуль второго дифференциала: тождественное равенство нулю и при других условиях.

7. Независимо от Пеано к таким же результатам пришел молодой немецкий математик Я.Шеффер (1885, опубл. 1886). Он попытался провести исследования в этом случае, но до-

вести их до конца не позволила последовавшая вскоре его кончина.

8. Замечания Деаяо и Шеффера -привели н серии работ отечественных математиков по этому вопросу (К.А.Поссе, В.П.Ермаков, Б.Я.Букреев, 1890-1896), существенный вклад которых в развитие теории экстремумов функций многих переменных рассмотрен.

9. Помимо указанных работ отечественных математиков

в XIX' веке появился ряд статей по теории экстремумов функций многих переменных (И.А.Рахманов (1810), В.Я.Буняковский (1631, 1854, 1859, 1863), Н.Д.Брашман (I8J5). А.Н.Коркин (1857)). В работах Рахманова и Буняковского исследуется знак дифференциала порядка 2т. в случае, когда все дифференциалы до порядка 2m~i включительно обращаются в нуль. В частности, Буняковский еще в 1854г. отличал случай тождественного равенства нулю второго дифференциала и нашел достаточные условия экстремума функций многих переменных в этом случае. Но эта работа осталась незамеченной математик ками.

10. М.Е.Ващенхо-Захарченхо впервые применил (1867) к отысканию экстремумов функций многих переменных критерий Сильвестра.

11. В учебную литературу вхождение теории экстремумов началось с функций двух переменных. Затем к ним присоединены были функции трех переменных, и только в начале XX века появились исследования функций п. переменных ( п. > 3 ) в были отмечены возникающие особые случаи.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССКРТАЦШ

Во введении дана общая характеристика работы. Сформулированы цели исследования, обоснована' актуальность теш. Указана научная новизна диссертационного исследования, перечислены основные положения диссертации, выносимые на защиту. Приведено содержание диссертации с делением на главы.

В первой главе приводятся задачи на экстремум функций многих переменных, обнаруженные у И.Кеплера, И.Гудцэ, Ф.Схоотена, а научная биографа» 1Удд.в, неизвестная в отечественной историко-матеиатачесхой литературе.

Выявлено, что первыми задачами на.экстремум функций многих переменных были задачи на условный экстремум.

Изучен метод 1Удце для определения экстремумов, который, по словаи самого автора, щямвета ж нахождению экстремумов функций многих переменных, как зависимых, тах и независимых.

Выяснено, что методом ГУдае с успехом пользовались его современники, например, Схоотен.

Дан краткий обзор истории экстремальных задач, сводящихся к определенно максимумов и кгнямумов .функций одной переменной, и методов их решения от времен Древней Греции до Ферма.

Определены роль и место 1Узде в истории теории экстремумов функций многих переменных. Втэрэые изучены попытки формирования этой теории в ХУЛ веке ж выяснено значение творчества 1Удде. как центрально! фггуры в этом процессе. Показано, что Гудде.был першеи ж единственным в АУЛ зеке математиком, который попытался создать метод нахождения

экстремумов функций многих переменных и изложил в виде стройной программы свои соображения по атому вопросу.

Вторая глава посвящена изучешпо работ Лагранжа по теории экстремумов, В ней осве1цается также состояние теории экстремумов функций многих переменных в ХУШ веко.

Указывается, что впервые методы дифференциального исчисления к нахождению экстремумов функций многих переменных применил Л.Эйлер. Показано, что им были найдены необходимые условия экстремума функций двух независимых переменных, а достаточные - не совоем точно. Согласно Эйлеру, если функция двух переменных х, у) в некоторой точке удовлетворяет условиям

одновременно, то она имеет в этой точке максимум (минимум). Приводится пример, показывающий недостаточность полученных им условий.

Отмечено, что ошибка Эйлера была исправлена Лагранжам в его первой печатной статье (1759). Эта работа исследуется подробно в диссертации. Показано, как Лагранх получил достаточные условия в случае функций двух и трех независимых переменных и попытался их сформулировать в терминах определителей. Он указал, что его метод справедлив и в случав функций многих переменных. Здесь хе молодой Лагранх изложил план своей научной деятельности. Он намеревался метоп нахождения экстремумов функций многих перемен-

\

ных применить к решению задач на экстремум неопределенных интегралов (в современной терминологии - вариационным задачам), а затем, используя принцип наименьшего действия и теорию экстремумов, решать задачи механики.

Установлено, что эти результаты Лагранжа долгое время оставались незамеченными его современниками. Лишь в 1779г. появилась статья Ж.Ф.Фаньяно, в которой наряду с другими методами решения задач на экстремум используется и способ Лагранжа.

В завершение статьи Лаграня решает своим методом задачу, известную в историко-математической литературе и современной математической литературе как задача Гюйгенса.

Изучены и охарактеризованы также результаты Лагранжа по теории экстремумов, данные им в фундаментальных трудах: "Теория аналитических функций" (1797) и "Аналитическая механика" (17«8). Выяснено, что в "Теории аналитических функций" Лагранж нашел способ отыскания экстремумов функций п. переменных ( п. > 3 ), совпадающий с /потребляющимся в современной литература по математическому анализу.

Выявлено, что Лагранж первым обратил внимание на особый случай, возникающий при обращении в нуль второго дифференциала. Однако он не различал, обращается ли он тождественно в нуль или при каких-либо других условиях. Поэтому он дал для этого случая критерий, который выполняется не всегда. Это было отмечено Пеано, как установлено в третьей главе данной диссертации. Показано, чго в ХУШ веке на этот частный случай математики не обратили особого вни-

мания и вернулись к нему лишь в ИХ столетии после указания Паано.

Во второй главе также исследуется статья Лагранжа "Аналитические решения некоторых задач о треугольных пирамидах" (1773), упоминающаяся в всторико-математической ди-. тературе как одно из первых сочинений по геометрии чисел. В »той работа обнаружены задачи, при решении которых Лаг-ранж уже фактически пользуется своим методом множителей. Выявлено, что в этой статье автор свободно оперирует понятиями "вектор" и "определитель"; а также скалярным, векторным и смешанным произведениями векторов, с помощью которых находит объемы и площади, хотя эти термины им не употребляются. Впервые метод множителей был сформулирован Яагравжэм в "Аналитической механике" (1788).

В третьей главе прослеживается история развития теории экстремумов функций многих переменных в XIX веке. Анализ работ О.Коши, К.Вейершграсса, Дж.Паано, Л.Шеффера позволил оценить состояние теории в XIX веке.

Выяснено, что в начале века здесь выдающаяся роль принадлежит О.Коши.

Впервые охарактеризованы изыскания Коши по этому вопросу. Показано, что им бшш получены достаточные условия экстремума функций многих переменных в терминах, как мы сейчас окажем, определителей, хотя самим термином "определитель" ся не пользуется. В современной терминологии они соответствуют критерию Сильвестра положительной и отрицательной определенности квадратичных форм, который используется для определения знака второго дифференциала.

Однако этот новый прием остался незамеченным математиками.

Установлено, что достаточные условия существования экстремума функций многих независимых переменных впервые с должной полнотой исследована К.Вайерштрассом. Доказано, что в его лекциях (1865-1889), которые он регулярно читал в Берлинском университете, впервые появляется определение экстремума функций многих переменных, аналогичное современному, с привлечением окрестностей тс ек. По мнению Вейер-штрасоа, для исследования достаточных условий существования экстремумов функций многих переменных существенно требуется алгебраический аппарат, а тленно, критерий положительной (отрицательной) определенности квадратичных форм. Он появился только в XIX века (1852) и стал основным инструментом для четкого различения максимумов и минимумов функций многих переменных.

Выявлена роль Дд.Пеано в решении вопроса о существовании экстремума в случае, когда второй дифференциал обращается в нуль. Показано, что им впервые была замечена (1884) неточность в решении вопроса в этом частном случае в учебниках того времени. Этот критерий заключался в следующем. Если второй и третий дифференциалы функции двух переменных обращаются в нуль, то будет максимум или иинздум, если четвертый дифференциал сохраняет знак (отрицательный или положительный соответственно). Пеано на примере

где р>> с] > О , впервые показал, что этот критерий не

всегда верен.

Обнаружено, что одновременно с Пеано в независимо от него к такому же выводу пришел Л.Шеффер. Впервые изучаются и излагаются в оравнении результаты Пеано и Шэффера в этой области. В отличие от Пеано Шеффэр предложил штод изучения в атом частной случае вкотрецума функций двух переменных вида

Ч (*,})■ ЧГ(х.ц)

с поиощьв сечения атой поверхности плоскостью ху . Он также начал вести исследования с помощью разложения приращения К переменной х функции в ряд

А= | + + |3+

где - приращение переменной ^ , однако не довел

их до конца, возможно из-эа последовавшей вскоре омерти.

В атой главе прослеживается также, как постепенно теория экстремумов функций многих переменных вошла в учебники по математическому анализу, и дается обзор становления терминологии этой теории.

В четвертой главе описан вклад отечественных математиков в развитие теории экстремумов функций многих пере -манных.

Впервые глубоко и исчерпывающе проанализированы статьи Ц.А.Рахманова (1610), Н.Д.Брашмана (1835), В.П.Ермакова (1892), Б.Я.Букреева (1892,1896), относящиеся к этому вопросу.

Показано, что работы К.А.Поссе (1890), Ермакова, Бук-

реева явились продолжением исследований Пеано и Шеффера. Они привели к дальнейшему совершенствованию теории.

Впервые изучена и представлена также статья Вукреева, в которой автор с помощью функции Лагранжа находит оси . центрального конического сечения. Эта задача сейчас входит в учебную литературу по математическому анализу.

Освещен вклад В.Я.Буняковского и А.Н.Коркина в решение задач на экстремум.

Впервые рассмотрены, ранее в историко-математической литературе не упоминавшиеся, работы К.А.Поссе, М.Е.Ва-щенко-Захарченко об отыскании экстремумов функций многих переменных, а также статья Буняковского (1863), относящаяся к теории условного экстремума.

Выяснено, что Ващенко-Захарченко был первнм, кто применил критерий Сильвестра положительной (отрицательной) определенности квадратичных форд к определению достаточных условий экстремума функций многих переменных (1867).

Основные результат» диссертационной работы отражены в следумдих публикациях автора;

1. Теория экстремумов функций многих переменных 1Уд-де У/ XXXIУ научн. конф. ася. и мол. спец. по истории естеств. и техники. Секция истории математики и механики.-М.: ИИЕиТ РАН, 1992. - 4.1. - С.46-47.

2. О теории условного экстремума в работах Лагранжа.-М.; 1992. - 12 с. - Деп. в ВИНИТИ 08.06.92, X 1866-В92.

3. Теория экстремумов функций многих переменных в XIX,веке // Межвузовский сборник, изд-во Пермский унлвер-