автореферат диссертации по философии, специальность ВАК РФ 09.00.01
диссертация на тему: Культуро-исторический характер категорий

Полный текст автореферата диссертации по теме "Культуро-исторический характер категорий"

национальная академия нот респжлшп! казахстан

институт <шосошг

Но правах рукописи

X а и и д о в Александр Александрович

1СШЬТЛ50=ИСТ0Р}1ЧЕСШ ХАРАКТЕР КАТЕГОРИЙ

Специальность: 09. 00. 01 -диалектика и теория познания

Диссертация в форме доклада на соискание ученоП степени доктора философских нау'н

Алма=Ата - 1992

/

/ /

■ V

с-

АКАДЕМИЯ ндук ах? (рданл лшина 15 ардаа октаы-ьсШ1 ревшюцш

шжшшчеамй бсгигут иу.в.а.с1екшл ленин! радское 0тдк.чш1е

Ш{РИ'1Л03 Анатолий Николаевич

ТЛ'ЕДСТАВЛШИЯ КВАНТОВ!« ГРУПП, ц. -сгтсгашмнЕ папшсш, КОЖННАТОПША И ИНВАРИАНТЫ 5ЛЦЕШЮ1И11

(01.01.0:; - математическая физика)

Автореферат

диссертации на соискание ученой стспски доктора Физико-математических наук

На праьр.х рукописи ЬЗб.7 1 519.12

.'к-нииград Кл-Ч1

РчОо'га выполнена о лаборатории алгебры Ленинградского оч деглнид Катемотического института им.В.А.Стекловй АК СССР UOWJl;^

0("ициадьние оппоненты: доктор Я-игикс-математических наук профессор А.Л.Кириллов

доктор Физике-математических наук Л.Б.Венкоп

доктор физико- математических наук И.В.Чередник

Ведущлч организация - Ленинградский государстиенннй университет

Гзящита состоится часом на заседании специализированного сонета Д 002.3.04 при Ленинградском отделении Математического института АН СССР им.Ь.А Стоклоря по адресу: I9I0II, Ленинград, на6.р.Фонтанки, 27, к.ЗП.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ЛОМИ. къ горе^ьрат разослан

К oZ-te^y/lS__ШЛ г.

УчсннП секретарь п,

Сп'-ияали-п'рованного | U

совету, профессор \ А.П.Сскслков

« - О -

ОКМЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ АКТУАЛЬНОСТЬ В последние годы значительный интерес у

специалистов и самых различных областях магалатической и теоретической гизики к математики проявляется к теории квантовых групп. Возникшая в рамках квантового метода обратной задачи (Склянин, Тахтаддан, Фаддеев, ]{улиш, Гешетихин), теория квантовых групп (ДритЬзльд, Дзимбо, Люстиг, ...) Евделилась в самостоятельную, богатую результатами и приложениями область современной математики. Квантовые грулгш явились своеобразным связующим звеном между конформной теорией полл, вполне интегрируемыми моделями квантовг.Я теории поля, топологией, теорией ортогональных полиномов дискретной переменной и комбинаторикой представлений алгебр Ли. В основе таких приложений ледит теория представлений квантовых групп, в частности, теория квантовых коэффициентов Клебша-Горданл, Рнка--Вигнерэ, а также алгебраический анзац Бете. Алгебраический анзац Бете позволяет параметризовать спектр некоторой коммутативной подалгебры в янгиане (Дриш'ельд) решениями системы алгебраических уравнений (уравнения Бете). Уравнения Бете играют важную роль при описании интегрируемых систем, поскольку они содержат в себе всю информацию о спектре и состояниях рассматриваемой системы. С другой сторпны, перевод на комбинаторный язык свойств решений системы уравнений Бете позволяет получить новне результаты в классической теории представлений. В частности, на этом пути удается получить явную Формулу и доказать важные свзйства полиномов Костки--Г'рина-Фулкса С -аналогов кратности веса), играющих большую роль в комбинаторике и теории представлений. Отметим, что теория квантовых коойДициентон Кпебша-Гордана и -Вигнера позволяет с единой теоретик.о-представлен"есной точки зрения построить теория -ортогональных полиномов (Хмна, Лски-Вильссна. ...). При этом вскрьшяс ГСЯ | НО СТМ^'^Ш*!/) в классический литературе по 7 -специалI;ньад фикциям,

- А -

роль, которук играют б этой теории универсальная К- -матрица и квантовое уравнение Янга-Бакстера. При покоил символов можно построить инварианты зацеплений и трехмерных нногоооразий (Бирс, Гураеэ). Этик объясняется особенны* интерес как к теории представлений квашеных групп, так и к алгебраическому анзэцу Бете.

Ц5Л1-. РАБОТЫ. Построить ^ -аналог группы Вейля и получить ьгультиг.яикативиуе формулу для универсальной Г?, -».;аг''рИ1ы; получить явное выражение для квантовых ксэг[<"иииенгоэ Клебыа--Г'ордана, Рака-Вигнера и указать на сеязь этих кооМицисчтое с -ортогональными полиномами; применить конструкции, боз-никакиж при анализе уравнений Бете, к теории предстаьлени« групп Ли (на примере Сг1-(Ы) ), и к комбинаторике, связанной с этими представлениями.

ОН]'ДЯ ЖТОДШ. В работе испэльзумтск методы линейной алгебры, теории функций, комбинаторные конструкции, квантовый кчтод обратной задали и теория представлений.

ГЕОРИУ.ЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ I {И А ОСТЬ. В диесергецпк предложен новый подход к теории Я -ортогональных полиномов дискретной переменно!*. на основе теории представлений алгебры ^ (5 1/.(.А)). Построен новый класс инвариантов зацепленнй.

В диссертации построен ^ -аналог группы Вейля и поручена мультипликативная Формула для универсальной Г\ -мат-рицп.

В диссертации предложен ногк/ подход к комбинаторна: задача!! теории представлений алгебр Ни, основанный на исследовании решений уравнений Бете. Доказывается ко^бчнатерньк пол-нога йетевских векторов; даемся новс.1 комбинаторная формула для рэалеяенуя тензорных произведений некоторого класса не-ариьормлс предстинлений алгебры Ли О^(Р-) ; гилучэна но-пь'. .'ориула для к|№ТН0СТИ вео^ неприводимых представлений с,по].алгеирк С'^с (и | ХП-) \ построено биективное соответствен (а>аду стъчдаг/.чади ('5(0 *а блицами Снгс данного веса и •Юр'ы и инояееезд осподенкик кон$иг>ра::иЙ определенного "И-П'*; получена даи^я длг, ккогч-члелос! Кбсткв-Гранч-^утздо

С ^-аналогов кратности еса); дается явное вычисление обобщенных показателей для алгебры ; доказана гипотезе Р.Гупта о росте полиномов Костки; получена новая rf-ормула для чисел Литтлвуда-Ричирдсона.

Все основные результату диссертации являются новыми.

Предложенный в диссертации подход к теории ^ -ортогональных полиномов дискретной переменной на основе изучения квантовых коэффициентов Клсбшо-Гсрдана и Рака-Вигнэрэ является общим и может быть применен, например, для алгебры Ц (SiLiK-)) . В этом случае мы приводим к теории базисных гипергеометрических рядов для S (J (и) .

Предложенный в диссертации метод подсчета числа решений системы уравнений Бете носит общий характер и применим ко многим другим интегрируемым системам, таким как ХХ2 -модели высшего спина £бЗ, X YS -модели, -инвариантные

магнетики Гейзенберга QlOj ( ^J. - алгебра Ли) и т.д. Полнота бетевских секторов, доказанная в диссертации, имеет большое значение для описания спектра интегрируемых систем и изучения их термодинамических свойств. Она позволяет использовать бе-тевский базис, как полный набор состояний при вычислении функций Грина. Полученные (Тормули для кратностей неприводимых компонент в тензорном произведении представлений простых алгебр Ли£ регулярны по числу сомножителей. Зто их свойство может оказаться полезным в задачах спектроскопии. Полученные в диссертации квнне формулы дня .;вантоиих коэффициентов Клей-ша-Гордана и Рака-Вигнера уже нашли многочисленные применения в топологии, конформной теории псля и других областях Физики и математики.

Построенная в диссертации биекцкя между стандартными (¿«.^таблицами Юнга и оснащенными конунгу рациями открывает новое направление в классической комбинаторной теории таблиц Юнга. Дальнейшее изучение комбинаторных г-boüctp зтой биекции несомненно прольет ковий свет кс комбинат о pm.e ;i ¿v>o • метрические аспекты теория предотинлений симнетричгссоН и полной линейной групп.

- б "АПРОБАЦИЯ РАБОТУ. Результаты диссертации докладывались на общегородском алгебраическом семинаре Ленинградского отделения- Математического института им.В.А.СтеклоЕЗ AI! СССР, нь семинаре по теории представлений б Московском государственном университете им.М.В.Ломоносова (1986), на Всесоюзных школах-соыинарех но алгебраической геометрии (Ярославль, 1984) г пс теории нелинейных еолн (Солнечногорск, I98S), на Всесоюзной конференции по теории солитоьов (Ленинград, Mlüi, НВ4, 1986, 1988, 1990), w Институте Математики Польской АН ■ (Полыпа, Торунь, 1969), р Институте Макса Планка (ФРГ, Бонн, 1990), кс Мездународном Конгрессе Математиков (Япония, Киото, ISSO'), на Международной конференции по специальным г'гушгцккм (Япония, Окалма, 1990', ки Международной конференции по квантовал групплм (Ленинград, Е1Ы1, 1990).

ЯУ'БНИ^ДЙИ. По теме диссертации опубликовано 16 работ

С i]-l>].

СОДЕРЖАНИЕ РАБО'Ш

Во введении дан oöoop литературы, сформулированы основные результаты и дак обадИ план работы.

Первая главе диссертации посвящена построению -аналога группы ЕЗейля для алгебры СЛ , получении чульти-пликатиано{1 Формулы для универсальной R, -матриц и приложению теории предегагленнй алгебры ('iu (i.-)^ к теории ^ -ортог онрльикпе полиномов и построению инвариантов зацеплений-В 5 I излагаются основдь.е <?акты, относящиеся к теор/и прс-д-стиалищй и сьо-ис^яв!.; алгебрн Uj Б 5 >'■ на основе

ИЗУ"Е!"ИЯ KBrlHГОЬОГО ПрИСОГДМНОННОГО ЦСйСТЗИЧ Ум алгебре ХсГ/й

Ü-, {'-J \ , И СВоЙСГ я ц (Sc(.i/) - троек, приводится конструкция | -ачалта групп; Еейля, докаж.теаютсп некоторые ез свойства, недранер, cs.«.jb с преобразованиями Яюсгига1', и

Т.'Дoivtf; г,. Qüc-rt^itr. grouus t-.t. r\.ois uf 1. iVao'-irti

выводится мультипликативна (Торцула для универсальной -матрицы для ^ -деформации универсальной обертывающёй простой ' конечномерной алгебры Ли ^ .

ТЕОРЕМ I. Имеет место равенство (

^ - ортонормированннй базис ^ ,

= 7кгТ . .

5 3 главы I диссертации посвящен вычислению квантовых гс*э<?-('ичиентов Клебша-Гордана и Рака-Вигнера для алгебры Ц]($1Л«)). Устанавливаются их свойства симметрии, зклвчая симметрии Редже, рекуррентные соотноыения и связь с базисными гипергеометрическими рядами.

ТЕОРЕМА П. Для квантовых коэффициентов Клебша-Гордмьа

справедливы соотношения:

Ж

р» аи 1

I (рЧ, м ^

^ -аналог полиномов Хана ^ кг , ^ 11-, / как вышв' /ну).-г У ¿"'Д \

Г 8

- 1 -аналог двойственных полиномов Хана, п.,л/£- ,

Здесь - вес, - норма соответствующих полиномов

Хана (их точное значение приведено в тексте диссертации).

ТЕОРЕМА Ш. Длг. квантовых коэффициентов Рака-Зигнера

Г л 4 flM

I - г спроведливо соотношение:

1 л с 4 *Ч У

rev 6e)RW

M.cfL =• —iV^^.^Mjj),

n.

где kl-- <u <?-e , , я-

полиномы степени ^ Р? оХ-М ( С| -аналог по- .

линомов Аски-Вильсонг). '

В § 4 изучаются свойства квянтових коэффициентов Клебла--Гсрдьша и Река-Вигнера и развивается графическая техника для описания их свойств. В § £) дается конструкции инвариантов зацеплений.

Еторак глава диссертации пссэлцсна доказательству комбинаторной полноты системы нультиплетсн, порожденных бзтевскими нокторауи для обобщенных магнетиков Гейзенберга. В 5 I излагается основные определения и конструкции, связашшэ с инвариантной моделью Гейзеиберга. В основе изложения лежит^ конструкция, некоторой алгебры Копфа (янгичн в терминологии14') и описание простейших ее представлений. Основное внм/лние

Е-Г'.

с .IU.u-iU4.

- Доил. АН СССР, 1С-В5, тЛОЗ, if- .>,

уделено описанию бизиса собственных зеэторов следа магрипп монодромии, гыводу уравнений Бете, теореме о старшинстве бете век их векторов. Результаты и конструкции, изложенные в § I главы П играк>т пентральнуп роль при применении алгебреическо-го Ензспа Бете к задачам теории представлений симметрической и полной линейной групп. Изложение результатов 5 I основано на работах^'и на совместной статье автора и Н.Ю-Решети-х.чна£ 53- § 2 главы Л посвящен анализу системы уравнений Бете на основе "струнной" гипотеза и точней формулировке гипотезы о . комбинаторной полноте системы ¡лультиплетоЕ, порожденных бе-тевскими векторами дтя обобщенного магнгтика Гейсенберга, 5 3 главы П посглщен доказательству некоторого тождества, предс^авлйвдего самостоятельный интерес в связи с перечисли-' тельными задачами комбинаторики таблиц Юнга. 5 4. содерямг основные результаты глави Л.

TFOPEiiA 1У. Система мультиллетов, порождении.. бетевски-ми векторами для обобщенного магнетик» ГеРзечбергэ, является полнея.

ТЕОРКА* У. Кратность Ехожденчя неприводимого представления сигнатуры /л группы S U (fv ) и тензорное произведение неприводимых представлений , отвечающих прямоугольным диаграммам вида I m*4 ), вычисляется по «¡.орьуле

-Л ■ П п r^fXp

'' ":s иг} "»i "»А к.. '

где Р^ (У) — П^лЬ

Ретс-тихин И.Г>. - Зап.нагчм.семи.ч.ЛОМК, I9St>, т. 150, с .196-213.

Kulish P.P., Raahctikhin ЯЛи. - J.Phya.A., 1903. v. 16, Ъ5Ч1-ЪПЭГ>.

--jvj fj ;[t . ч

Суммирование з (I) вздегея по всевозможны.) целочисленным наборам таким, что М ~ , V'n > О >

С да всех |< , я, • Набор чисел ^ И.к j связан с сигнатурой уЧ соотношением

К

ч1, S

i-1 S

Глаза Ш диссертации посвящена приложению результатов второй главы к различным комбинаторным задачам. В § I напоминаются основные определения, связанные с комбинаторикой диаграмм и (би)тьблкц Инга. В § 2 главы II! собраны комбинаторные следствия из доказанной в главе П диссертации теоремы У: получены явные формулы для числе стандартных (би)таблиц Юнга дькной формы к веса; получены явные йормулы для функций и cynepí'i'HKnuti Uiypa, играющих важную роль в теории представлений; получена новая формула для краткости веса:

ТЬСРЕМА УI. Кратность вхождения веса (/Ч*!) в неприводимый тензорный Ct L. №l M ) -модуль "у вычисляется

no <;iOf>M>'jre ^

« ^

/к!

суммирование в (Л ведется но наб.орш диаграмм Юнга | V"h,j таким, что

Рроимуэ.естьо л'ормулц {?.) перед ияяео-гними формулами для крат-гости веса Фрейдентлля и Костактс З5кл:о"ое.'ся з то», что сууиа (2) оодержчч' гелко положигеглные слатекые. В 5 о со--держится Формула дли вычисления нолиноксв Костки-Гринр-фулкен, отвечающих супертаблнцам, « приведены некоторые следствия кз нее, Ст,метим, что ото многочлены играют Бйжчую рчль ь теории представлений и комбинаторике"^ . .

'• ТЕОРЕМА УП. Пусть X , § , ул , - Пйабченгя и £ имеет в/д г_ ( м е) . Имеет ме^то равенство

Чм^-Л 1 п

" 1 ь) М'-

/

суммирование в (3) гедотск по каборбм диаграмм Юнга £ те км, что ""

т;

Р (1;) >Г о для всех к , И >, 1. , где

'*' .Чакдеизльд !). С:-:м.ге,"'рг:?л,;.ис> .'уги-пии « шчго'мдо* Х:>г.Я'\. - Мир, 1ъ6г .

. . . .

¿л и. - а.-з-лч" ¡«чи, *о<, р. Iго-»

с И

| . ! - О -биномиальный'кооихрициенг Гаусса, 4 (

Б качестве следствий формулы (3) получены следующие результаты:

1) неравенства кежду полиномами Костки, обобщаювде результат А.Ласку (пример 5, § 5. гл.Ш);

2) новы/ вариант правила Литтлвуда-Ричярдсона (пример 8);

3) доказательство гипотезы Р.Гупта о росте полиномов Костки (пример У);

4) вычисление обобщенных показателей для (при-. , мер 10);

... 5) новые свойства соответствия Робинсона-Шенстеда (пример И). . . В § 4 содержится основной результат главы Ш. Приведем сначала иаобходиыыз определения.^Пусть X >,/>/*> ^ "" разбиения и ^ : имеет вид . Набор диаграмм Юнга { V1*'} ньэовем конфигурацией типа ( \\ Р * Г}) • если Для всех К

^----- д 1 \ N

имее:/. 1 ^ 2_ ^•)• Оснащением конфигурации

| V | назовем заполнение первых столбцов строк длины Ц. диаграмм числами ^^ , И> 1 . -1 £ ки

тьк, чтобы выполнялись неравенства . *

ГЧ<-К' , V

где величины га ( Ю определены в теореме УП. Обозначим через Q М •> /И1/ ) М!1;;*'е-тво всех оснащенных конфигу-

раций типа ( входит в определение чисел

(и) ). Пусть 3 8 У /г У1' '7) - тожество стандартных битяблиц Юнга формы \чу и веса (н •

ТЕОРЕМА УШ. Существует естественное взаимнооднозначное соответствие ,

ьвуям^ь/^).^

В § 4 глазь' Ш содержится конструкция соответствия (4) и дано описаниа некоторых его кокбннеторних овойстч. Из теоремы УШ следует независимое от результатов главы Г! диссертации доказательство полноты системы мультиплетов, порокденннх бетев-екчми векторами ддл обобщенной модели Гейэенберга. Теорема >17 есть следствие комбжа торных свочсть соответствия (4).

3 $ 5 глоеы 0 содержится доказательство тождества для дилогари.^мической функмии Р о дм ер о а, которое возникло при изучении термодинамических ср.ойотз xx '¿Ь Гейоонбсргв

---------- — - • ■ * , >и\_н)

ТЕОРЕМА ;х. Пусть

{I 1-л

4

к&

А

У

дилог.зра1'ми«ес::эя (функция Роджерса_ V/ . Тогдс

1 ~ / г'-нь

Vi "I р

v v / klf ^Ж___\ - o'lr о £~.

k^, иТ^ ^ \ ХСЙ / Sw ^ ~ r-e К ^

3 заключение г.одведенн итоги; Hw-e«eHiA персие'ггнгн развития презлое иного п диссертации подхода как к ропьчям комбинаторики у, теории представлений и к проблеме лзлнотн оетег-ских векторов для других вполне интегрируемых моделей, так и аадачяч теории -специалвкнх (ТучкияЕ.

РАБОТЫ АВТОРА ПО -ГШ: ДКССЕРТАЦГЛ

1. Кириллов А.Н. Кикйкнатсрпыо гоадосхве и полнот? состояний мвгнйтикн Гейзенберга. - В кн.: Допросы кзвитавсй теории поля и статистической сизики. 4. Зап.¡мучн.семин.ЛОЖ, т.ТЗГ, 1983, с.еЗ-105. £, Кириллов А.Н. Полкото состояний сообщенного нвгьетпка ГеЯсспбергя. В mi. г Авго«ор'';т;е аункики и теория чисел П. Зап.нг«у*;и.секин.Лта!,' >.134, Ï964, c.Jôï-l&Ç. 3. Кириллов А.Н., Керов C.B., Реке>ч:хин Н.Г). Ксм5и.'"л орнке, низм; Бете и ир-ггстчцления слм-стрчиссчлой гру¡."н:. - И ян.; Ду^среиииз/ьнвя гес-мятрхг., группы Ли и кехявдка. УШ. Зап.

u -

на.учи.семин.ЛО?,М, v.155, 1936, с.ЬО-54.

4. Кириллов А.П., Решетихин H.ÎO. Аноац Боте и комбинаторика таблиц Шгр. - В кн.: Дифференциальная геометрия, группы Ли и ноханика.УЕ]. Зап.научн.семии.ЛСШ, т. 155, 1986,

с.65-115.

5. К1?ГИог \,Н., Heshetikliïn lî.ïu. ïangiane, Bothe-eneatz and ccxbin&torics. - Lett'. In Math.Pixya, v.12, M 7,

p. 139-208.

6. Kiriliov A.II., Healietikhin U.Yu. Exaot solution of the integrahlo XX2 Heieenterjî :nodel with aiibitrary opin: I, xï. - J.PhycuA.: Math,Gen. 20, 1907, p. 1565-1585, p.1587-1597.

7. Ki7.-i"J.lov A ,H., Heahotifchin N'.Yu. Representation!) of tho algetra \J^(SUt))

, <j -orthogonal polynomials and invariants cf links. - Preprints LOMI, E-9-8B, Leningrad, 1986, 58 p.

a. KLrillov A ,1!., Eeohetikhin N.Yu. Hapresentationa of the algebra Ujj(sd(i) ) , <J -orthogonal polynoa>iala and in-vuriaiiti; o? links. - in: Advanced Series in Ztoth.ïhys. vol.7, 1989, World Scientific, p.235-339.

9. Кириллов A.H. Квантовые коэффициенты Клебша-Гордона. -В кн.:' Аналитическая теория чисел и теория функций. 9. З.чп.научн.семии.JKM, т.168, 1988, с.67-84.

10. Кириллов А.К., реиетихин H.1). Представления янгианов и кратности, вхождения неприводимых компонент тензорного проилЕедения представлений простых алгебр Ли. - Зап.научи. солшн.ЛОШ, t.IGv- 1987, C.2JI-22I.

11. Кириллов А.Н. Тождества для дилогаригмическсй функции Родкерса, связанные с простыми олгеб^ми Ли. - В кн.: Дй'Т^оренг.иальнаА геометрия, группы Jill и механика. Зап. научи.семин.Jl^fll'i," T.I64, IS87, с.121-104.

le. .Кириллов АЛ!., Реаетихт Н.Ю. Кратность весов в неприводимых гонэоршк представлении полной линейной супералгебри.-функц.анализ и прид., т.ИР., 1908, $ 4, с.84-85.

IS. KiriHov A.if. On the Ko3i.k4~C'<i4>r!U-icii.l)o53 polyncmlnla iu;d thf Cle'occh-Oordan пигаЪегя» - Jour.Ceom, and riiya., vol.5, 19П8» И Р.З&5-ЗВД.

14. Кириллов A.H., Корепин З.Е. Резонансная. велентная связь « хиазикристеллэх. - Алгебра и янзли.з, т.1, I9H9, > 2, е..<Р- "о.

15. Кирилина А.Н. Тождество Лагранжо и (орм.улп крюков. -

В ; ,Ци'Гч'еренциалы«я геометрия, группы Ли и механика. 10. Ззп.ксучн.сшич.ЛОМИ, т.172, 1989, с.78-87.

16. Kiriliov A.W., Reshutikliir* N.Yu. -Weyl croup сшЛ

«д raultiplic/ifclve iormula for universal -raatricos. -Gorman, fiat Whys., vol.120, 1990, U 2,

Бесллат;ю