автореферат диссертации по философии, специальность ВАК РФ 09.00.07
диссертация на тему: Логика с операторами истинности и ложности и ее соотношение с логиками Лукасевича, Клини, Белнапа и Вригта
- Год: 2000
- Автор научной работы: Павлов, Сергей Афанасьевич
- Ученая cтепень: кандидата философских наук
- Место защиты диссертации: Москва
- Код cпециальности ВАК: 09.00.07
Полный текст автореферата диссертации по теме "Логика с операторами истинности и ложности и ее соотношение с логиками Лукасевича, Клини, Белнапа и Вригта"
РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ФИЛОСОФИИ
На правах рукописи
РГБ ОД
11 ЩЕК 2111
ПАВЛОВ Сергеи Афанасьсппч
ЛОГИКА С ОПЕРАТОРАМИ ИСТИННОСТИ И ЛОЖНОСТИ И ЕЕ СООТНОШЕНИЕ С ЛОГИКАМИ ЛУКАСЕВИЧА, КЛШШ, БЕЛНАПА И ВРИГТА
Специальность - 09.00.07 - Логика
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени кандидата философских наук
Мое к к а 2000
Работа выполнена в секторе логики Института философии РАН
Научный руководитель - доктор философских наук Карпенко А С.
Официальные оппоненты:
Доктор философских наук, профессор Ледников Е.Е.
Кандидат философских наук Попов В.М.
Ведущая организация -
Кафедра логики философского факу льтета МГУ
Защита состоится « [2 » 2000 г.
в часов на заседании диссертационного Совета
Д.002.29.03 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора философских наук при Институте философии РАН по адресу: 119842, Москва, ул. Волхонка 14
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института философии РАН
Автореферат разослан « 11 » еыяЛ^ 2000 г.
Ученый секретарь Совета кандидат философских наук
Киященко Л.П.
-».'/с.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
туалыюсть темы. На рубеже ХХ-ХХ1 веков проблематика, связан-I с исследованием концепций истинности, продолжает оставаться ной из центральных для логики, философии и методологии науки.
Парадоксы, обнаруженные в основаниях теории множеств Расселом и другими), затронули и классическую концепцию истины, входящую к Аристотелю. Подразделение известных парадоксов на гические и семантические было предложено Ф.Рамсеем.
Начало XX века характеризуется активной исследовательской рабо-¡1 в области как оснований математики, так и логики. При этом были двергнуты критике традиционные законы логики (Л.Брауэр, Васильев. Я.Лукасевич, К.Льюис). Эти исследования, а также ряд об л ем, возникших в связи с семантическими парадоксами, привели к зданию неклассических логик и новых подходов к концепции истины.
Современный подход к теории истины обычно связывают с семан-ческой теорией истины Тарского. В ней А.Тарский предложил общий :тод построения формально корректного определения понятия «быть тинным предложением» для ряда формализованных языков.
Обнаруженные А.Тарским проблемы, связанные с определением тины для «достаточно богатых» языков, побуждали исследователей кать новые пути развития концепции истины. Интересные, югообещающие и оригинальные подходы содержатся в работах Крипке. Н.Белнапа, фон Вригта. Идея Н.Васильева о различении 1гики и металогики, то есть двухуровневых логик, продолжала развиться в работах А.Арруды. В.А.Смирнова. К ней примыкает идея Бочвара о различении внешних и внутренних связок. Идеи С. Крипке ¡язаны как с использованием частично определенного предиката ггины, так и с семантикой возможных миров.
Один из подходов к проблеме истинности и ложности, позволяю-нй выявить целый ряд важных аспектов этой проблемы, связан с пользованием многозначных логик. Начало такому подходу положено Бочваром.
Задачи, поставленные в связи с разработкой и применением искус-венного интеллекта, которые имеют отношение к обрабатываемой «формации и поэтому актуальные для развития современных компью-:рных систем, заставляют по-новому взглянуть на проблемы истинно-ги и ложности.
Существует ли определение термина «истинное предложение»? ссмотря на многочисленные исследования в этой области, до сих пор шальным остается проблема рассмотрения термина «истинное пред-
ложение» в общем случае. Это ло-прежнему открытый вопрос, на кс рый не получен общепризнанный ответ. Определение предиката исти имеется только для ряда частных случаев формализованных языков.
Этот вопрос может быть поставлен иначе: «Как употребляются в языке понятия истинности и ложности?», иди в более формальном виде:
«Как употребляются в языке логики понятия истинности и ложности?)
Таким образом, обоснование и построение логики с оператора истинности и ложности, учитывающей и содержательно н форма.и основные положения и следствия вышеуказанных концепций и лог представляется вполне актуальным.
Степень |1ял>а()ог;тност11 проблемы. Как уже отмечалось вьп исследование проблемы истины восходит своими корнями к античное Так, уже софистами в античности был сформулирован в числе дру[ парадокс лжеца. Подход к определению истины у Аристотеля задал понимание и стал доминирующим в последующие века. В начале ) века в логике и математике были открыты парадоксы, существснн! образом затронувшие основные положения наивной теории множес заставившие по-новому взглянуть на проблему истины и сыграет важную роль в развитии логики (в первую очередь - логико-семанти1 ских исследований и неклассических логик).
Новый этап в исследовании и развитии концепции истины связа1 теорией истины Тарского1, сразу ставшей классической. В ней А.Та[ кий установил, что существенными предпосылками, приводящими семантическим антиномиям, являются: (1) семантически замкнутый язык,
(И) допущение, что в этом языке действуют обычные законы логики.
Поэтому, чтобы не допустить появления парадоксов, он прин решение не пользоваться семантически замкнутым языком. Вмес последнего он использовал два разных языка - объектный язык и мет язык. Объектный язык он предложил отделить от метаязыка, тем самь сделав невозможным появление семантических парадоксов типа пар докса лжеца.
Сам А.Тарский утверждал, что основной результат его исследоЕ ния заключается в следующем: необходимое условие для удовлетвор тельного определения истины в метаязыке состоит в том, что метаяз! должен «быть существенно богаче» объектного языка. В случае нев!
1 Тарскии А. Понятие истины в языках дедуктивных наук. // Философия логика Лыювско-Варшавской школы. М., 1999. С.19-155.
мнения этого условия термин «истинно» необходимо включить в спи-с неопределяемых терминов метаязыка, а фундаментальные свойства иятия истины задавать аксиоматически.
Многие исследователи согласились с тем, что при проведении гических исследований необходимо различать объектный язык и таязык, и, в дополнение к этому, логики этих языков могут отлиться друг от друга. Идея двух уровней логики была намечена уже Васильевым.
Различные пути построения концепции истины могут быть класси-щированы в зависимости от того, какие логики принимаются для ъектного языка и метаязыка, а также какой подход был избран: финициальный или аксиоматический.
Поскольку формулы языка логики, как содержащие, так и не держащие семантические предикаты, могут рассматриваться как [ассически так и неклассически, то имеется 4 варианта их рассмот-ния. Перечислим эти варианты, записывая предложение «Формулы ыка логики, не содержащие семантические предикаты, рассмат-1ваются классически» сокращенно как «не семантические - класси-:ски» и т.д.
семантические - классически, не семантические - классически, i семантические - классически. не семантические - некласагчески. i семантические - неклассически, не семантические - классически, i семантические - неклассически, не семантические - неклассически.
Теория истины Тарского может быть отнесена к первому варианту, нему же относится концепция Гупга-Херцбергера.
О втором варианте имеет смысл говорить, когда для формул Зъектного языка применяется неклассическая логика, а для формул етаязыка - классическая логики. Такая трактовка метаязыка была прията в той или иной форме рядом логиков. Она обнаруживается в трех-начной логике Лукасевича для формул с модальными операторами Np Мр: в логике Бочвара для формул Ьр и "7р; в формализованной i. Аррудои логике Васильева VI для формулы -.р; в системе интенсио-ального следования Войшвилло для формул метаязыка Тр/а и Fp/а; в [етатеории логик первопорядкового следования Попова для формул ютаязыка Tip и Fip; в логиках истины фон Вригта для формулы Тр; в :омбинированном исчислении высказываний и событий Смирнова для рормулы 9р в системе СМ.
Из многозначных интерпретаций для логик, принимающих такую рактовку метаязыка, выделим четырехзначные интерпретации. Так, |юн Вригт для логики истины принимает четыре значения («univocally me», «univocally false», «true and false», «neither true nor false»). В
исследованиях по искусственному интеллекту Н.Белнап в статье «I нужно рассуждать компьютеру» предлагает оценивать поступающую компьютер информацию в терминах истины и лжи, используя четь оценки: только истинно, только ложно, оба (и то и другое), ни одно < то, ни другое), обозначенные как Т, Р, В, N. Для двух последних зна ний имеются определенные аналогии с пресыщенными оценками истиннозначными провалами в семантике для концепции возможн миров.
Отмечается также, что в индийской логике имеется традиция р; сматривать тезис с четырех сторон (чатушкотика), как, например, в л менигом вопросе к Будде «Мир или вечен, или невечен, или вечен невечен, или ни вечен, ни невечен?».
Таким образом, идеи логик с четырехзначной интерпретацией сходными по смыслу значениями истинности имеются как у древш так и у современных мыслителей, как на Востоке, так и на Запа.! Подобные логики могут предназначаться для рассуждений как естес венного, так и искусственного интеллекта.
В подходе Крмпке-Фефермана-Гилмора допускается использован предиката истины как частично определенного; формулы языка логик не содержащие семантических предикатов, рассматриваются ими кла сически, чем реализуется третий вариант.
К четвертому варианту относятся логические системы 1М, 1Н построенные В.А.Смирновым в комбинированном исчислении высказ! ваний и событий.
В исследованиях Е.Д.Смирновой, использующей семантику во можных миров, рассматриваются по отдельности все четыре указаннь выше варианта.
Особенностью исследуемой в диссертации логики, называемой И,-является то, что операторы истинности и ложности включены в объект ный язык исчисления, в отличие от подходов, требующих отделенк терминов, имеющих метаязыковое происхождение, от языка-объект; Логика РЬ4 характеризуется также и тем, что в ней классическая логик применима к высказываниям, префиксированным операторами истм ности и ложности, а к произвольным высказываниям применим неклассическая логика. Тем самым предлагаемая в диссертации логик с операторами истинности и ложности рассматривается в рамка второго варианта, при этом учитываются и другие подходы.
Подчеркнем, что построенное в диссертации исчисление являете вариантом логики, а не теории или концепции истины. Эта логик может быть использована в различных концепциях истины.
.ли и задач» исследования. Основная цель данной работы состоит в строении и исследовании логики с операторами истинности и ложно-и, в сопоставлении полученной логики и ее подлогик с рядом извест-IX логик, таких, как логика Белнапа и фон Вригта, трехзначные логики шни, Лукасевича, Бочвара, паранепротиворечивые логики Асенхо и эиста, классическая логика, а также в сопоставлении содержательных философских предпосылок вышеупомянутых логик.
Эта цель конкретизируется в следующих задачах: Посудить и сформулировать основные содержательные предпосылки и
положения логики с операторами истинности и ложности; построить логическое исчисление с операторами истинности и ложности:
исследовать металогические свойства логики ИЛ, включая ее дедуктивные свойства, интерпретацию, непротиворечивость и семантическую полноту;
исследовать соотношение логики с логиками истины фон Вригта, с
четырехзначной логикой Белнала; исследовать соотношения подлогик логики ¥Ь4 с трехзначными логиками Клини, Лукасевича, Бочвара, с паранепротиворечивыми логиками Асенхо, Приста. с классической логикой.
торстико-методологические основания исследования. Среди кон-)етных методов, использованных для решения поставленных задач, .мстим .методы построения и исследования логических исчислений: ссиомагический метод, табличный и алгебраический методы построена семантик, предложенное диссертантом обобщение метода Кальмара 1я доказательства семантической полноты.
Используется двухуровневый подход в соответствии с идеями .Васильева и А.Тарского. Исходные операторы и связки могут класси-ицироваться на внешние и внутренние, как у Д.Бочвара. Предикаты ггинности и ложности содержательно рассматриваются как частично ;феделенные как у С.Крипке, при этом выделяется ограниченная эласть, в которой они являются классическими, посредством введения граничения на область их определения, Особенностью исследуемой в иссертации логики является то, что операторы истинности и ложности ключены в объектный язык исчисления и допускают итерацию так же, 1к это имеет место в логиках истины фон Вригта.
В логико-философской литературе XX века активно обсуждались ¡пличные аспекты проблемы истинности. Особенно значимыми для роводимого исследования оказались методологические подходы и ре-ультаты следующих отечественных и зарубежных исследователей, из-
ложенные в статьях и монографиях: Анисова A.M., Бирюкова Б.В., Б( вара Д.А., Бродского И.Н., Васильева H.A., Войшвилло Е.К., Карт ко A.C., Попова В.М., Сидоренко Е.А., Смирнова В.А., Смирновой Е., Финна В.К., Барвайса Д., БелнапаН., фонВригта, Данна Д., Клини Крипке С., Лукасевнча Я, Рассела Б., Тарского А.
Основные положения, выносимые на защиту.
В диссертации получены следующие научные результаты:
- сформулированы основные содержательные положения логики
операторами истинности и ложности;
- построена логика FL4 с операторами истинности и ложности, в кот
рой можно корректно оперировать не только с двузначными высь зываниями, но также с высказываниями, принимающими друг значения (в частности с высказываниями, содержащими против речивую и неполную информацию);
- выявлены металогические свойства логики FL4:
доказана теорема дедукции,
найдена адекватная интерпретация для языка логики FL4 с 4-s истинностными значениями: Т - строгая истинность (истинно и не ложно), F - строгая ложность (ложно и не истинно), С (В) - противоречивость (истинно и ложно), I (N) - индифферентность (ни истинно, ни ложно), доказана теорема непротиворечивости для логики FL4, доказана теорема семантической полноты для логики FL4;
- исследованы соотношения логики FL4 с логиками истины фон Вригт
показано, что одна из его логик истины, а именно - T"LM фут ционально эквивалентна FL4; с четырехзначной логикой Белнап построено определение импликации для логики Белнапа;
- исследованы соотношения подлогик логики FL4 с трехзначными лоп
ками Клини. Лукасевнча. Бочвара, с паранепротиворечивыми лоп ками Асенхо, Приста, с классической логикой; показано, что по/ логика FL3N логики ложности FL4 функционально эквивалент« трехзначной логике Лукасевнча, а также логике Клини со связкам в сильном смысле, обогащенной связкой полной эквивалентности.
Научная ноши па исследования. В диссертации впервые в отечествен ной литературе последовательно и систематически реализуется фор мальный подход к исследованию операторов истинности и ложности.
Новизна подхода заключается во введении операторов истннносп и ложности, свойства которых задаются в работе аксиоматически, непо
едственно в объектный язык логики. В этой связи диссертантом было елано следующее:
построено новое исчисление, реализующее содержательные предпосылки логики с операторами истинности и ложности; впервые проведены формальные различия истинности и строгой
истинности, ложности и строгой ложности, юстроена новая семантика для языка логики характеризующаяся
тем, что она не является решеткой; для доказательства теоремы семантической полноты для логики РЬ4
обобщен метод Кальмара; федложено определение импликации для логики Белнапа; ювыми являются установленные взаимосоотношения подлогик логики РЬ4 с трехзначными логиками Клини, Лукасевича, Бочвара, функциональная эквивалентность логики БЬЗЫ трехзначной логике Лукасевича и логике Клини со связками в сильном смысле, обогащенной связкой полной эквивалентности; для паранепротиворечивых логик Асенхо и Приста показано, что в языке логики РЬЗВ возможны эквивалентные указанным логикам формулировки, для которых имеются адекватные интерпретации с одним выделенным значением.
горстнческая и практическая значимость работы. Результаты 1сеертационного исследования позволяют совершить новый важный аг в теоретическом развитии ряда направлений современной логики и илософии и представляют интерес как для философов, работающих в ¡ласти логики, философии и методологии науки, так и для представи-:лей специально-научных областей знания.
Результаты диссертационного исследования могут быть нспользо-1ны при разработке некоторых фундаментальных разделов общих рсов логики, а также ряда специальных курсов по логике.
Материалы диссертации были использованы автором при чтении :кций и проведении семинарских занятий на философском факультете [ГУ и на философском факультете Государственного университета манитарных наук.
Результаты проведенных исследований применимы также в области п|юрмационных систем и искусственного интеллекта.
Апробация работы. Диссертация обсуждалась и была рекомендован; защите на заседании сектора логики Института философии РАН.
Основные идеи диссертации отражены в публикациях и статы выступлениях на научных конференциях, симпозиумах и конгрессе как российских так и международных.
Отдельные идеи и результаты диссертационного исследован докладывались на научно-исследовательском семинаре логическо центра Института философии РАН, на объединенном научно-исследов тельском семинаре сектора логики Института философии РАН кафедры логики философского факультета МГУ, на научных конфере циях, в частности на следующих:
2-й Советско-финский коллоквиум по логике (Москва, 1979 г.),
X Всесоюзная конференция по логике, методологии и философ!
науки (Минск, 1990 г.),
XI международная конференция по логике, философии и методол
гии науки (Обнинск, 1995 г.), Международная конференция "Смирновские чтения" (Москв 1997 г.)
Международная конференция "'Развитие логики в России: Итоги
перспективы" (Москва, 1997 г.), Современная логика: проблемы теории, истории и применения науке. Материалы V Общероссийской научной конференци (С-Петербург, 1998 г.), 2 Международная конференция "Смирновские чтения". (Москв; 1999 г.),
Современная логика: проблемы теории, истории и применения науке. Материалы VI Общероссийской научной конференци (С-Петербург, 2000 г.), Некоторые из диссертационных задач разрабатывались в рамка исследовательского проекта, поддержанного РГНФ, грант № 99-03 00120.
Структура диссертации.
В соответствии с целью, задачами и характером исследования был выбрана следующая структура работы: введение, две главы, заключен» и список литературы.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
5о Введении обосновывается актуальность темы исследования, харак-еризуется степень ее разработанности, формулируются цель и задачи заботы, ее теоретико-методологические основы, выделяются положения, ;арактеризующие новизну исследования и положения, выносимые на а щит)'.
В первой главе «Логика с операторами истинности н ложлостн» усматриваются. семантические и философские предпосылки логики с шераторами истинности и ложности, приводятся формулировки этой юшки, анализируются и исследуются ее металогические и синтаксиче-кие свойства.
5 первом параграфе «Основные содержательные положения логики : операторами истинности п ложности» обсуждаются и формулиру-отся основные положения логики с операторами истинности и ложности I проводится сопоставление их с рядом положений известных концеп-шй истины, таких, как семантически теория истины Тарского и теория (стины Крипке.
Тонятия истинности и ложности рассматриваются и употребляются олько в высказываниях вида:
"Предложение истинно.", "Предложение 'Бг' ложно.", I которых имена предложений образованы с помощью функции цитиро-)ания и в которые вместо Б подставляются предложения.
Эти высказывания символизируем формулами ¡Б), -Бт. Символы | и -. отвечающие понятиям истинности и ложности, являются в этих выс-сазываниях метапредикагами или операторами истинности и ложности ия предложений Б3.
В этом положении введены два ограничения на рассматриваемые федложения. позволяющие избежать семантических парадоксов.
Основной тезис логики с операторами истинности и ложности состоит в :ледующем: высказывания -Б об истинности (ложности) предложены Б двузначны и для них применима классическая логика, в то время сак не всякое предложение Б должно быть либо истинным, либо южным.
Тонягия истинности и ложности играют в формальной системе роль югических операторов.
Условия истинности импликации задаются традиционно.
Во втором параграфе «Формулировки логики с операторами нети ности и ложности» сначала формулируется язык логики истинности ложности МЬ4 с тремя исходными логическими константами (операт рами истинности, ложности и импликацией), а затем формулирует эквивалентная ей более лаконичная формулировка языка логики РЬ4 двумя исходными константами: оператором ложности и импликацией.
В логике МЬ4 выводится соотношение |А = —А, означающее, ч высказывание об истинности предложения А эквивалентно высказыв нию о ложности отрицания этого предложения А, и показывающее, ч' оператор истинности можно определить через оператор ложности отрицание. Введение такого определения позволяет использовать л; формулировке языка логики РЬ4 две исходные константы: оператс ложности и импликацию.
Язык логики ГЬ4
Алфавит РЬ4:
в, 5Ь 52,... сентенциальные переменные; -> логические константы; (,) технические символы. Правила образования пиф. (1) Всякая сентенциальная переменная есть правильно построенн;
формула (ппф). (¡1) Если А , В есть ппф, то (-А), (А -> В), есть ппф. Метапсрсменные: А, В, С,... для ппф.
01.2.1 0 =а( - (-б -5) (формула, играющая роль константы «ложь»)
01.2.2 ~А=Л, (А->0) (отрицание).
01.2.3 |А =,и —А (Т содержательно означает «истинно»),
01.2.4 Га =,11- - ( |А -* -А) ('Г ' содержательно означает «истинно
неложно»). Определяется Э-импликация п.
01.2.5 (А=>В)=<ц-(ГА->ГВ)
Из всего класса ппф выделяем подкласс формул, для которых буд> иметь место аксиомы и теоремы классической логики СЬ, посредство определения в классе ппф подкласса Т.Р.-формул (Т.Р.-ф.) (ш) Если А есть ппф. то (-А) есть Т.Р.-ф. (iv) ЕслиРь Р2 есть Т.Р.-ф., то(Р, Р2). есть Т.Р.-ф. Пусть Р, Рь Р2,... есть метапеременные для Т.Р.-ф.
01.3.1 (Рг л Р2) =« - (Р, => -Р2)
01.3.2 (Р, v Р2) =м (-Р, з Рг)
01.3.3 (Р, н Р2) =„ (Р, з Р2) л (Р2 з Р,)
Схемы аксиом
1.1 (Р,з(Р2зР,))
1.2 (Р, з (Р2 з Рз)) з ((Р, з Рз) з (Р, з Р3))
1.3 ((-Р,з-Р2)з(Р2зР,))
К схемам аксиом С1_ добавлены специальные аксиомы.
1.4 |Р = Р (редукция оператора истинности)
2.1 | (А -» В) = -А V |В (редукция истинности импликации)
2.2 -(А -> В) = |А л -В (редукция ложности импликации)
А, (А з В)
Правило вывода -
В
Понятие вывода из гипотез Г формулы А определяется и обозначатся стандартно (Г А). Невыводимость обозначается как У-. Символы юдования в метаязыке (по отношению к языку' РЬ4) в одну и в обе сго-зны соответственно обозначаются =>, <=>.
третьем параграфе «Металогические свойства логики с опера-)]>ом ложности» доказывается теорема дедукции для исчисления РЪ4, осматривается адекватная интерпретация для ЕЬ4.
Несмотря на то, что исходная импликация задается традиционно, на имеет неклассические свойства. Так для нее не выполняется закон гждества 1.6.5 У- (А -»• А),
:ледствие чего относительно нее не имеет силы теорема дедукции.
В отличие от исходной импликации ->, Б-импликация з является иассической, и для нее закон тождества имеет место.
Доказана теорема дедукции в стандартной форме для системы РЬ4 гносительно Б-импликации з.
1.7 Г, А I-В => Г ь (А з В) (теорема дедукции).
Имеет место теорема, названная тетралеммой истинности и лож-ости.
2.1 Н у ((|А а - -А), (-|А л -А), (|А л -А), ( -|А л - -А)),
1е у символ исключающей дизъюнкции.
Построена интерпретация языка логики РЬ4 с истинностными зна-ениями Т, Р, В, N. содержательный смысл которых следующий: стинно и неложно; ложно и неистинно; ложно и истинно; ни истинно, и ложно (два последних значения в некоторых работах автора называйся противоречивость С и индифферентность I). Выделенное значение - Т.
Таблицы истинности для исходных и определенных выше связок:
А -А 0 ~А |А Га т р В N Т р в N
Т Р р V Т т Т т р В N т Т р р ?
Р Т р т Р р р т Т т Т р Т т Т т
В Т р в Т р в Т в в т в Т Т Т т
N ? N р р N Т N Т N N Т Т Т т
Таблицы истинности для связок л, V, = являются таблицами СЬ. Матрица ЭЯГЫ = <{Т,Р,В,Ы}, —>, {Т}> является характеристиче ской для логики ЕЬ4.
Подчеркивается, что в данном исследовании используются и разли чаются содержательно-философское истолкование, и точная семантичс екая интерпретация формул языка логики П>4 (в частности операторо истинности и ложности).
Понятие семантической общезначимости определяется и обознача ется стандартно 1=.
Доказывается теорема корректности для логики КЬ4. Т2.2 I- А=> 1= А.
Т2.3.1 ИЬ4 непротиворечиво относительно - и (Следствие Т2.2.)
Доказывается, что первому дизъюнктивным член)' тетралемм! соответствует формула Га. Следующая теорема поясняет смысл опреде ленияоператора 'Г': Т2.5 ГА = (|А а - -А).
Определяются унарные операторы, префиксирующие формулы 1а [А, которые соответствуют остальным дизъюнктивным члена« тетралеммы: оператор строгой ложности 'Т (содержательно означас «ложно и неистинно»), оператор противоречия 1' (содержательно озна чает «истинно и ложно»), оператор индифферентности (содержа тельно означает «ни истинно, ни ложно»). Эти унарные оператор! являются ^-операторами Россера и Тюркегга.
Т2.7.1 Логика ложности РЬ4 является ]-логикой, истинностно-полно\ и ^-расширяющей1.
Доказывается теорема о семантической полноте методом Кальмара обобщенным автором на четырехзначный случай. Т2.10 Если ппф А общезначима, то ппф А доказуема. (1= А => Ь А).
Понятия Л-логики, истинностно-полной и С-расширяющей логики введены 1 работе О.М.Аншакова, С.В.Рычкова «Об одном способе формализации 1 классификации многозначных логик» (Семиотика и информатика. Вып. 23 М„ 1984. С.78-106.).
В четвертом параграфе «Двухуровневый под ход и одноуровневая формулировка логики FL4» показано, что несмотря на исходную двухуровневую формулировку язык логики FL4 может быть сформулирован с использованием только одного сорта мегапеременных для ппф без метапеременных для Т. F.-формул. Тем самым получена одноуровневая формулировка языка FL4.
Во второй главе «Соотношение логики FL4 с логиками Белнапа, фон Вригта, Клини, Лукасевича и классической логикой в рамках шыка логики FL4» проведено детальное сопоставление на содержательном и формальном уровнях логики FL4 и ее подлогик с логиками, указанными в названии главы, а также с логиками Анисова, Бочвара, Асенхо, Приста, Сетте, отдельными положениями логики Васильева.
Определяются связки, включая конъюнкцию, дизъюнкцию и эквивалентно, через исходную импликацию и отрицание аналогично определениям в классической логике. D3.1.1 (А & В) =df ~(А -> ~В). D3.1.22 (А V В) =df (~А —> В) . D3.1.3 (А В) =df (А В) & (В А).
Эти связки необходимы для сопоставления логики FL4 с рядом известных логик. Отмечается при этом, что в языке логики FL4 можно построить 16777216 различных определений двухместных связок, область определения которых распространена на {T,F,B,N}. Тем самым выбор подходящих связок становится нетривиальной задачей.
В первом параграфе «Соотношение FL4 с четырехзначными логикам и (логикой истины фон Вригта, 4-значной логикой Белнапа)» проводится сопоставление логики FL4 с указанными логиками.
Рассмотрена последовательность логик истины фон Вригта: исходная логика истины, которую он называет "core system' CS. а также логики истины T"L и T"LM.
Для T"LM фон Вригт предложил четырехзначную интерпретацию со значениями истинности: «истинно и ложно» («true and false»), «истинно, но не ложно» («true but not false», «nnivocally true»), «ложно, но не истинно» («false but not true», «univocally false»), «ни истинно, ни ложно» («neither true пог false»).
Таблице оператора истины Т в T"LM соответствует таблица для | в логике FL4. Таблицам операторов ~ и & для T"LM соответствуют таблицы операторов ~ и & для логики FL4 и для логики Н.Белнапа.
2 Необходимо различать символ дизъюнкции V от v в D1.3.2.
13
Эти соответствия таблиц позволяют говорить о функциональной эквивалентности логики РЬ4 и логики Т"ЬМ. Существенное отличие логики истины фон Вригта Т"ЬМ от логики ложности Н,4 состоит в том, что для первой недоказуема георема дедукции.
Сопоставление четырехзначной логики Белнапа с логикой РЬ4 показывает, что истинностные значения логики Белнапа близки по смыслу истинностным значениям в интерпретации РЬ4. В логике Белнапа имеются следующие значения истинности: Т - «говорит только Истину», Р - «говорит только Ложь», В - «говорит и Истину и Ложь», N - «не говорит ни Истины, ни Лжи».
Связки четырехзначной логики Белнапа соотносятся со связками логики РЬ4 следующим образом: отрицанию, конъюнкции и дизъюнкции логики Белнапа соответствуют связки & и V логики Р1А
Содержательно понимаемые у Н. Белнапа знаки «говорит только Истину» и «по меньшей мере говорит Истину», которые он различает, соответствуют двум различным операторам строгой истинности Г и истинности | логики РЬ4.
Содержательным формулировкам условий истинности для оценок конъюнкции и дизъюнкции логики Белнапа отвечают соответствующие теоремы логики РЬ4.
Для анализа и обоснования своей логики Н.Белнап использует логическую решету Ь4.
(порядок /|\ истины) Т
< к ^(порядок знания)
В диссертации ребрам диаграммы этой решетки сопоставлены оси, соответствующие отношениям порядка истинности < и порядка неложности <_г и определены отвечающие им импликация истинности -+' и импликация неложносги — Б3.2.1 (А->'В) =д |А-» |В.
ТЯ2.2 (А->~ГВ) =ж—А.-*—В.
Отмечается, что В.М.Попов строит логику с таблицами для импликации =>° и для отрицания -1°, подобными таблицам для импликации -»', и для оператора ложности - логики РЬ4.
Н.Белнап пишет, что А влечет В, если этот вывод никогда не приводит нас от «Истины» к ее отсутствию (т.е. сохраняет истинность), а также никогда не приводит нас от отсутствия «Лжи» к «Лжи» (т.е. сохраняет не-ложность). Определяется соответствующая вышеуказанному положению Б-импликацкя —>ь для логики Белнапа (Н.Белнап согласился с таким определением). ОЗ.З (А ->3 В) = ,г ((А ->' В) л (А -Г1' В)).
Интересно отметить, что истинностная таблица для Б-импликации совпадает с таблицей, предложенной Т.Смайли для логики тавтологических следований ЕИе.
Показано, что достаточно обогатить логику Н.Белнапа оператором, подобным оператору ложности или оператору истинности, чтобы получить логику, функционально эквивалентную РЬ4.
Определена соответствующая Б-импликации Б-эквивалентность Э3.9 (А В) = к (А В) А (В -V А).
Во втором параграфе «Расширение области определения операторов утверждения, отрицания, противоречий и тавтологий» исследуются и классифицируются все возможные унарные операторы языка логики РЫ. сравниваются их свойства, даются различные формулировки законов логики, определяются подлогики логики РЬ4.
Область определения унарных операторов СЬ расширяется на область {Т,Р,В,М}, что ведет к увеличению числа унарных операторов в логике РЬ4.
Для сравнения и классификации унарных операторов используем рад выше определенных эквивалентностей, для которых установлены следующие положения, выражающие закон тождества или его нарушение:
Т6.1.1.1 (/■ (А<-> А), Т6.1.1.2 н (А=ЯА), Т6.1.1.3 н (Аэс А).
Теорема подстановочности эквивалентности имеет место только для Б-эквивалентности.
Проводится разбиение на классы эквивалентности формул, в которых имеются вхождения только одной метапеременной, (называемых далее 1-формулами).
Т6.2.1.1 Для 1 -формул имеется 36 классов Б -эквивалентности. Т6.2.1.2 Для I-формул имеется 16 классов О-эквивалеитноспш.
Рассмотрены четыре класса унарных операторов: 1) тавтология, 2) противоречие. 3) отрицание, 4) утверждение, таблицы истинности
которых являются продолжениями таблиц истинности соответствующих унарных операторов классической логики.
Проведено упорядочение операторов с помощью отношений порядка, соответствующих Б-импликации и Б-импликации.
Представлены таблицы истинности для всех 9 различных операторов отрицания в языке логики Р1А
Т6.2.2 РЪ4 непротиворечиво относительно всех операторов отрицания.
Показано, что для различных видов отрицания имеются несколько формулировок, выражающих закон двойного отрицания или его нарушение: Т6.2.3.1 I- (А —А), Т6.2.5.1 У- (- -А г> А).
С использованием обобщенного метасимвола п для всех видов отрицаний формулируются следующие схемы теорем: Т6.2.4.1 I- (пА пни А),. Т6.2.4.2 Н(АзппА),
Представлены таблицы истинности для всех 9 различных операторов утверждения в языке логики РЬ4.
Используя для всех видов утверждений обобщенный метасимвол I. получаем следующие схемы теорем: Т6.2.6.1 ЫР = Р, Т6.2.6.2 ЫА^ПА, Т6.2.6.3 I- А з 1А .
Т6.2.6.4 Каждому оператору утверждения I, возможно сопоставить оператор двойного отрицания па 1,А =ь паА.
Показано, что операторы утверждения |, Г, —, 11 в общем случае изменяют валентность предложения А, на которое они действуют. Поэтому ни один из них не может быть исключен из рассмотрения как тривиальный, в отличие от классической логики, в которой результат действия таких операторов утверждения на предложение Р эквивалентен предложению Р.
Неэлиминируемость операторов истинности из языка НЛ имеет место, в частности, для операторов | и Г. Т6.2.7.1 1/-(|Ае3А). Т6.2.7.3 (/- (ГА ^ А).
Различие операторов истинности и строгой истинности отображено в следующих теоремах:
Т6.2.7.5 И ГА => |А. Т6.2.7.6 У- |АзГА. •
Представлены таблицы истинности для всех 9 различных видов противоречий в языке логики Р1А
В языке логики РЬ4 выражаются различные формулировки закона непротиворечия, в том числе те, которые приводил Н.Васильев. Он различал две.
1-я формулировка закона противоречия, принадлежащего мета-логике, гласит: «Нельзя объявлять одно и то же суждение истинным и ложным». В языке логики РЬ4 ~ (|А л -А).
2-я формулировка закона непротиворечия гласит: «Закон противоречия высказывает несовместимость утверждения и отрицания». В языке логики РЬ4 ~ (А л ~А). Последняя формула соответствует формулировке этого закона в СЬ.
А.Тарскин отмечает, что семантический закон непротиворечия не следует отождествлять с родственным ему законом непротиворечия, не включающим в себя термин «истинно».
В языке логики ИЬ4 различаются ложь и противоречие, неразличимые в СЬ.
Имеем следующие утверждения для различных пар операторов утверждения и отрицания, выражающие закон непротиворечия или его нарушение:
Т6.2.8 Н 1(ГАл1А), Т6.2.9.1 и- ~(А &~А), Т6.2.9.2 М- -(|Ал-А).
Принцип, что из противоречия следует что угодно, соблюдается для следующих пар операторов: Т6.2. К). 1 I- (ГА л 1Л) З В, Т6.2.10.2 Н (А & ~А) з В.
Этот принцип не соблюдается для некоторых других пар операторов. как например: Т6.2.11.1 Н- (|А л -А) з В,
что позволяет использовать эти операторы для анализа и построения релевантных и паранепротиворечивых логик.
Представлены таблицы истинности для всех 9 различных видов тавтологий в языке логики РЬ4.
В языке логики РЬ4 можно построить аналоги различных формулировок закона исключенного третьего, эквивалентных между собой в классической логике, но различающиеся по силе в неклассических логиках.
Так, Аристотель формулировал закон исключенного третьего следующим образом: «Оба утверждения А и не-А не могут быть одновременно ложными». В языке FL4 ему соответствует формула ~ (-А л —А).
В другой формулировке, называемой tertium non datur, закон исключенного третьего выражается так: «Одно из утверждений А или не-А должно быть истинным». Символически (|А у | ~А).
Я. Лукасевич различал принцип исключенного третьего и «принцип, что каждое высказывание либо истинно, либо ложно». Последний он называл «принципом двузначности». Закон (принцип) бивалентности или двузначности символически записывается в FL4 как (|А у -А). Часто его записывают как (|А v -А). Эти формулы эквивалентны друг другу при наличии соответствующего закона непротиворечия.
А.Тарский отмечал, что семантический закон исключенного третьего не следует отождествлять с законом исключенного третьего, не включающим в себя термина «истинно». Последний в языке CL формулируется как (A v ~А).
Далее в диссертации определяется оператор классичности с. D6.2.2. С(А) =i((|А v -А).
Имеем следующие утверждения для различных пар операторов утверждения и отрицания, выражающие закон исключенного третьего или его нарушение: Т6.2.13.1 h- (НА vITA), Т6.2.14.1 У- (А V ~А), Т6.2.14.2 У- (|А v -А), Т6.2.14.3 ^(fAvlA).
В соответствии с утверждением А.Тарского, что из определения истины следуют семантические законы непротиворечия и исключенного третьего, в логике FL4 доказано, что из утверждения (|А =s А), аналогичного Т-схеме Тарского, следуют подобные вышеупомянутым законы:
H (|А =s А) з -(|А л -А),
I- (|A=SA)3(|A v-A),
Ь (|А =s A) :э (|А v -А).
Классификация 1-формул завершается следующим утверждением относительно подсистем логики FL4:
Тб.2.16 В качестве аксиом к FL4 могут быть непротиворечиво присоединены формулы только из трех различных классов D-эквивалентных \-формул, не выводимых в FL4. Формулами, представляющими эти три класса, являются следующие: (-|А v - -А), (|А v -А), (ГА v 1А).
В результате присоединений этих формул в качестве аксиом получаем следующие три логики: РЬЗК РЬЗВ, РЬ2, которые являются подлогиками логики ИЬ4.
С предыдущей теоремой коррелирует теорема о подалгебрах РА4-алгебры (алгебры ложности) характеристической матрицы 5Ш" . Т4.1 Для алгебры ложности РА.4 существует только три подалгебры:
РАЗЫ = <{Т,Р,Ы}. -, >. РАЗВ = <{Т,Р,В}, >, РА2 = <{Т,Р}. —>• >.
Подлогикам логики РЬЗЫ, РЬЗВ, ¥1Л соответствует подалгебры РА4: РАЗЫ, РАЗВ, РА2.
В третьем параграфе «Подлогики логики ¥1А и их соотношение с логиками Клшш, Лукасевнча, Бочвара, паранепротнворечпвымп логиками Асеньо, Приста, Сетте, классической логикой» проведено детальное сопоставление ряда известных логик, приведенных в названии параграфа, на содержательном и формальном уровнях, с подлогиками РЬЗЫ. РЬЗВ и логики ложности РЬ4.
Сопоставление логики РЬЗМ с логикой Клини со связками в сильном смысле Кьз показало, что третьему истинностному значению и («не определено», «нн истинность, ни ложность не установимы алго-рифмически») логики Кэ3 соответствует значение N («ни истинно, ни ложно») логики ГЬЗЫ.
Отмечено, что таблица истинности исходной импликации -> логики Клини соответствуют таблице исходной импликации —» логики РЬЗМ. Регулярным таблицам связок логики Клини К33 . &. V, = соответствуют таковые &, V, <-» логики РЬЗМ
В дополнение к соответствию с К:53 отмечается, что нерегулярно!! таблице связки полной эквивалентности Клини = соответствует таблица Б-эквивалентности =ь логики РЬЗЫ.
Показано, что присоединение связки = к связкам логики К53 позволяет определить в полученном языке формулу 0 и оператор, аналогичный оператору ложности, в соответствии с теоремой Т5.2.1.4 (-азы -А г (А 0).
Доказано, что трехзначная логика Клини с сильными связками, обогащенная связкой полной эквивалентности =, К'ч3 (=) функционально эквивалентна логике ложности РЬЗЫ.
Также в языке логики FLЗN определяются связки, таблицы истинности для которых соответствуют аналогичным связкам логики Клини К", со связками в слабом смысле.
Известно, что истинностные таблицы для связок , &, -> логики Клини К™3, эквивалентны таблицам внутренних связок о, з логики Бочвара с точностью до замены символов истинностных значений.
Сопоставление логики РЬЗЫ с логикой Бочвара показывает, что третьему истинностному значению Б («бессмыслица») соответствует значение N логики БЬЗК
Операторы внешнего утверждения ьА («А верно») и внешнего отрицания "7 А («А ложно») логики Бочвара соответствуют операторам истинности | и ложности - логики РЬЗЫ.
Имеется более тесная связь логики Бочвара с логикой Клини К*3 чем сходство внутренних связок логики Бочвара с аналогичными связками логики Клини. В диссертации показывается, что достаточно логику Клини со слабыми связками К\ обогатить связкой полной эквивалентности =, чтобы для полученной логики, которую обозначим К™3 (=). имела место функциональная эквивалентность ее логике Бочвара В3.
Для этого в языке логики К"3 (=) строятся определения
0=«(А = А),
7А=аг(А^0).
Третье истинностное значение 1/0 («неопределенность») логики неопределенности Анисова сопоставляется значению N логики РЬ31М. Табличным операторам отрицания -1 и неопределенности н соответствуют операторы отрицания ~ и индифферентности ] логики РЬЗЫ. Оператор неопределенности н можно рассматривать в языке РЬЗЫ как отрицание оператора классичности С.
На вопрос А.С.Карпенко о функциональной свойствах логики ложности РЬЗЫ был получен следующий ответ. Логика ложности РЬЗИ функционально предполна.
Логика РЬЗЫ сопоставлена трехзначной логике Лукасевича Ь,.
Третье значение истинности 112, которое вводит Я.Лукасевич. исходя из утверждения «существуют высказывания, которые не являются ни истинными, ни ложными, а лишь только безразличными», соответствует значению N (или индифферентности I) в логике ложности РЬЗГ^).
Определяется импликация Лукасевича в языке РЬЗЫ: 05.3.1 (А В) =аг (А -»■ В) V (А В).
Вопрос об интерпретации импликации Лукасевича обсуждается вплоть до настоящего времени. В вышеприведенном определении импликация Лукасевича выражается через исходную импликацию логики РЬЗЫ (импликацию Клини) и импликацию Белнапа (импликацию логики Е(уе).
Унарным операторам необходимости N и возможности М логики Лукасевича соответствуют оператор истинности | и оператор отрицания ложности — логики ЁЬЗМ. Доказана теорема:
Т5.3.1 Трехзначная логика Лукасевича Ь3 функционально эквивалентна
логике ложности РЬЗ]Ч.
Показано, что возможно обобщение трехзначной логики Лукасевича до четырехзначной в предложенной Е.Слупецким, Г.Брылем и Т.Пруцналем сигнатуре {V, Ы}, такое, что полученная четырехзначная логик» функционально эквивалентна логике ложности РЬ4. Тем самым проведено обобщение трехзначной логики Лукасевича до четырехзначной. отличающееся от собственного обобщения Я. Лукасевича.
Отмечается, что не для всякой четырехзначной логики ее связки могут быть определены в языке РЬ4. Такими, в частности, являются четырехзначная логика Лукасевича Ь., и четырехзначная модальная логика Ивлева.
Рассмотрены основные положения воображаемой логики Васильева и выражена их сентенциальная составляющая в языке РЬ4 (силлогистика при этом не затрагивается).
Отмечается, что логика РЬ4 относится, выражаясь языком Н. Васильева, кмегалогике.
В языке логики ложности РЬ4 выражаются две формулировки закона противоречия, различаемые Н.Васильевым (см. выше).
В соответствии с положениями Н.Васильева о воображаемой логике построена логика У3, в которой индифферентным суждениям Васильева соответствуют оператор индифферентности и истинностное значение «индифферентно» логики ложности РЬЗЫ.
Отмечается, что соотношения, полученные без дополнительных предположений, между рассмотренными неклассическими трехзначными логиками, построенными авторами из весьма несхожих соображений. возможно свидетельствуют об их более глубокой связи, чем их формальное выражение.
В.А.Смирнов поставил перед диссертантом вопрос о соотношении логики с операторами истинности и ложности с паранепротиворечивыми логиками. Ответом является найденные сопоставления логики РЬЗВ (с третьим истинностным значением В «истинно и ложно») трехзначным паранепротиворечивым логикам.
Логика РЬЗВ сопоставляется логике парадоксов Приста Рг3. Г.Прист строит логику, вводя в качестве третьего истинностного значения «парадоксально», эксплицируя его из определения: «Предложение
будем называть парадоксальным, если оно истинно и ложно одновременно».
Исходным связкам логики парадоксов [Триста Рг3 ->. л, v, соответствуют связки &, V логики FL3B.
Отмечается, что таблица истинности импликации логики парадоксов соответствует таблице исходной импликации логики ложности FL3B.
Аналогичные соотношения с логикой FL3B имеются и для логики антиномий Асенхо А3. Третье истинностное значение «антиномично» логики Асенхо соответствует значению В логики FL3B.
Таблица истинности импликации логики Асеньо соответствует таблице исходной импликации логики ложности FL3B.
В интерпретациях параненротиворечивых логик, которые рассматриваются в диссертации, принимаются два выделенных значения в отличие от интерпретации логики FL3B, для которой принимается одно выделенное значение. Обращается внимание на то, что формула |А языка FL3B принимает выделенное значение Т для двух значений Т и В, которые может принимать ппф А. Отсюда следует, что если формула А языка логики Приста общезначима, то формула |А логики FL3B также общезначима.
Для ппф А логики Приста и для логики Асенхо имеем теоремы Т8.2.3.1 t=PrA о FI3B |А, Т8.2.3.2 t=AAol= кьзв |А,
характеризующие взаимосвязь логик Приста и Асенхо с логикой FL3B.
Сопоставление логики FL3B с максимально паранепротиворечлвой трехзначной логикой Сетге показывает, что отрицанию ~ в логике Сетте соответствует оператор - логики FL3B.
В языке логики FL3B определяются связки, соответствующие связкам логики Сетте Se3. D8.2.3.1 (A ->Se В) =df (|А -> |В).
Импликация Сетте —>Se отвечает импликации истинности —>1 в FL3B. D8.2.3.2 (A ASe В) =df (|Ал |В). D8.2.3.3 (A vSe В) =<jf (|А v |В)
Для оператора истинности имеется следующее соотношение Т8.2.7 I- |А = (А А),
которое в логике Сетге может быть использовано для определения оператора истинности.
Также логика FL3B сопоставляется трехзначной логике Арруды VI. построенной для формализации идей Васильева.
Третьему истинностном)' значению 2 логики Арруды соответствует значение В логики РЬЗВ.
Связкам логики Арруды л, V, г> соответствуют связки лЬе, у8". ->Яс, определенные в языке логики РЬЗВ, многие из которых совпадают со связками логики Сетге.
В языке логики РЬЗВ определяется отрицание Васильева 08.2.4 ~У1А =(1г-|А.
Логика БЬ2 сопоставляется с классической пропозициональной логикой СЬ. Имеет место теорема: Т5.1.3 РЬ2 эквивалентна СЬ.
Соотношение логики ложности РЬ4 и ее подлогик с логиками фон Вригта, Клини, Лукасевича, Прясга, Асенхо и классической логикой выражается следующей диаграммой.
ИЬ4 (Т"ЬМ)
В Заключении подводятся итоги проделанной работы, указывается ее научная новизна, теоретическая и практическая значимость, намечаются перспективы дальнейших исследований по данной теме.
Основное содержание диссертационной работы отражено в следующих публикациях автора:
1. Павлов С.Л. Исчисление предикатов истинности и ложности. //
Логический анализ естественных языков. 2-й Советско-Финский коллоквиум по логике. М., 1979. С. 70-73.
2. Павлов С..4. Логика лолшости // X Всесоюзная конференции по
логике, методологии и философии науки. Тезисы, (секции 1-5), Минск, 1990. С. 82-83.
3. Павлов С.Л. Логика с терминами 'истинно' и 'ложно' //Философские
основания неклассических логик. Труды научно-исследовательского семинара по логике Института философии АН СССР. М., 1990.
4. Павлов С.А. Логика ложности FL4 /Труды научно-исследовательского
семинара логического центра Института философии РАН. 1993. М„ 1994
5. Павлов С.А. Логика высказываний и событий и логика ложности //
Международная конференция "Смирновские чтения" М., 1997 С. 65.
6. Павлов С.А. Итоги и перспективы исследования логик истинности и
ложности // Международная конференция "Развитие логики в России: Итоги и перспективы". М., 1997 С. 38-41.
7. Павлов С.А. Трехзначная логика Лукасевича и логика ложности FL4 //
Труды научно-исследовательского семинара логического центра Института философии РАН. М., 1997.
8. Павлов С.А. Отрицания в логике ложности // Современная логика:
проблемы теории, истории и применения в науке. Материалы V Общероссийской научной конференции С-Пб., 1998 С.264-267.
9. Павлов С.А. Логика ложности как обобщение трехзначной логики
Лукасевича // Логические исследования. Выпуск 5, М., 1998 С.206-220.
10. Павлов С.А. Метапредикат истинности и логика ложности// Логиче-
ские исследования. Выпуск 6, М., 1999 С. 170-185. 11 .Павлов С.А. Исчисление предикатов истинности и ложности: четверть века спустя // 2 Международная конференция "Смирновские чтения". М., 1999 С. 62-65.
12. Pawlow S.A. Einige nichttraditionelle Ideen in der Logik. II Philosophic
uiid Naturvvissenschaften in Vergangenheit und Gegenwart. Heft 5: Philosophishe Probleme der Logik, Berlin, 1978
13. Pavlov S.A. Falsehood logic FL4 // Institute for Logic, Cognitive
Science and Development of Personality, 93-04/, Moscow, 1993
14. Pavlov S.A. Logic For Computer Reasoning // International Conference
on Informatics and Control, St. Petersburg, 1997 P.496-499.
15. Pavlov S.A. Three-valued Lukasiewich's Logic and Falsehood Logic
FL4 // Bulletin of the Section of Logic, 1998. V.27, N1/2 , P.79-81
16. Pavlov S.A. Sentential Falsehood Logic FL4 // XX World Congress of
Philosophy, Boston, 11-16 August 1998. P.156
17. Pavlov S.A. Logic FL4 with Falsehood Operator // Multivalued Logics,
2000, V. 5, pp. 125-138
Оглавление научной работы автор диссертации — кандидата философских наук Павлов, Сергей Афанасьевич
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. ЛОГИКА С ОПЕРАТОРАМИ ИСТИННОСТИ И
ЛОЖНОСТИ
§ 1. Основные содержательные положения логики с операторами истинности и ложности
§2. Формулировки логики с операторами истинности и ложности
§3. Металогические свойства логики FL4 с оператором ложности
§3.1 Теорема дедукции
§3.2 Интерпретация языка логики FL4.
§3.3 Непротиворечивость и семантическая полнота логики FL
§4. Двухуровневый подход и одноуровневая формулировка логики FL
ГЛАВА 2. СООТНОШЕНИЕ ЛОГИКИ FL4 С ЛОГИКАМИ БЕЛНАПА, ВРИГТА, КЛИНИ, ЛУКАСЕВИЧА И КЛАССИЧЕСКОЙ ЛОГИКОЙ В РАМКАХ ЯЗЫКА ЛОГИКИ FL
§ 1. Соотношения FL4 с четырехзначными логиками логикой истины Вригта, 4-значной логикой Белнапа)
§2. Расширение области определения операторов утверждения, отрицания, противоречий и тавтологий.
§3. Подлогики логики FL4 и их соотношение с логиками Клини, Лукасевича, Бочвара, паранепротиворечивыми логиками Асенхо, Приста, Сетте классической пропозициональной логикой.
Введение диссертации2000 год, автореферат по философии, Павлов, Сергей Афанасьевич
Во введении обосновывается актуальность темы исследования, характеризуется степень ее разработанности, формулируются цель и задачи работы, ее теоретико-методологические основы, выделяются положения, характеризующие новизну исследования и положения, выносимые на защиту.
Актуальность темы.
На рубеже XX-XXI веков проблематика, связанная с исследованием концепций истинности, продолжает оставаться одной из центральных для логики, философии и методологии науки.
Парадоксы, обнаруженные в основаниях теории множеств (Б.Расселом и другими), затронули и классическую концепцию истины, восходящую к Аристотелю. Подразделение известных парадоксов на логические и семантические было предложено Ф.Рамсеем.
Начало XX века характеризуется активной исследовательской работой в области как оснований математики, так и логики. При этом были подвергнуты критике традиционные законы логики (Л.Брауэр, Н.Васильев, Я.Лукасевич, К.Льюис). Эти исследования, а также ряд проблем, возникших в связи с семантическими парадоксами, привели к созданию неклассических логик и новых подходов к концепции истины.
Современный подход к теории истины обычно связывают с семантической теорией истины Тарского. В ней А.Тарский предложил общий метод построения формально корректного определения понятия «быть истинным предложением» для ряда формализованных языков.
Обнаруженные А.Тарским проблемы, связанные с определением истины для «достаточно богатых» языков, побуждали исследователей искать новые пути развития концепции истины. Интересные, многообещающие и оригинальные подходы содержатся в работах С.Крипке, Н.Белнапа, фон Вригта. Идея Н.Васильева о различении логики и металогики, то есть двухуровневых логик, продолжала развиваться в работах А.Арруды, В.А.Смирнова. К ней примыкает идея Д.Бочвара о различении внешних и внутренних связок. Идеи С.Крипке связаны как с использованием частично определенного предиката истины, так и с семантикой возможных миров.
Один из подходов к проблеме истинности и ложности, позволяющий выявить целый ряд важных аспектов этой проблемы, связан с использованием многозначных логик. Начало такому подходу положено Д.Бочваром.
Задачи, поставленные в связи с разработкой и применением искусственного интеллекта, которые имеют отношение к обрабатываемой информации и поэтому актуальные для развития современных компьютерных систем, заставляют по-новому взглянуть на проблемы истинности и ложности.
Существует ли определение термина «истинное предложение»? Несмотря на многочисленные исследования в этой области, до сих пор актуальным остается проблема рассмотрения термина «истинное предложение» в общем случае. Это по-прежнему открытый вопрос, на который не получен общепризнанный ответ. Определение предиката истины имеется только для ряда частных случаев формализованных языков.
Этот вопрос может быть поставлен иначе: «Как употребляются в языке понятия истинности и ложности?», или в более формальном виде:
Как употребляются в языке логики понятия истинности и ложности?».
Таким образом, обоснование и построение логики с операторами истинности и ложности, учитывающей и содержательно и формально основные положения и следствия вышеуказанных концепций и логик, представляется вполне актуальным.
Степень разработанности проблемы.
Как уже отмечалось выше, исследование проблемы истины восходит своими корнями к античности. Так, уже софистами в античности был сформулирован в числе других парадокс лжеца. Подход к определению истины у Аристотеля задал ее понимание и стал доминирующим в последующие века. В начале XX века в логике и математике были открыты новые типы парадоксов, существенным образом затронувших основные положения наивной теории множеств, заставившие по-новому взглянуть на проблему истины и сыгравшие важную роль в развитии логики (в первую очередь - логико-семантических исследований и неклассических логик).
Новый этап в исследовании и развитии концепции истины связан с теорией истины Тарского [37], сразу ставшей классической. В ней А.Тарский установил, что существенными предпосылками, приводящими к семантическим антиномиям, являются:
I) семантически замкнутый язык,
II) допущение, что в этом языке действуют обычные законы логики.
Поэтому, чтобы не допустить появления парадоксов, он принял решение не пользоваться семантически замкнутым языком. Вместо последнего он использовал два разных языка - объектный язык и метаязык. Объектный язык он предложил отделить от метаязыка, тем самым сделав невозможным появление семантических парадоксов типа парадокса лжеца.
Сам А.Тарский утверждал, что основной результат его исследования заключается в следующем: необходимое условие для удовлетворительного определения истины в метаязыке состоит в том, что метаязык должен «быть существенно богаче» объектного языка. В случае невыполнения этого условия термин «истинно» необходимо включить в список неопределяемых терминов метаязыка, а фундаментальные свойства понятия истины задавать аксиоматически.
Многие исследователи согласились с тем, что при проведении логических исследований необходимо различать объектный язык и метаязык, и, в дополнение к этому, логики этих двух типов языков могут быть разными. Идея двух уровней логики была намечена уже Н.Васильевым.
Различные пути построения концепции истины могут быть классифицированы в зависимости от того, какие логики принимаются для объектного языка и метаязыка, а также какой подход был избран: дефинициальный или аксиоматический.
Поскольку формулы языка логики, как содержащие, так и не содержащие семантические предикаты, могут рассматриваться как классически так и неклассически, то имеется 4 варианта их рассмотрения. Перечислим эти варианты, записывая предложение «Формулы языка логики, не содержащие семантические предикаты, рассматриваются классически» сокращенно как «не семантические - классически» и т.д.
1) семантические - классически, не семантические - классически.
2) семантические - классически, не семантические - неклассически.
3) семантические - неклассически, не семантические - классически.
4) семантические - неклассически, не семантические - неклассически.
Теория истины Тарского может быть отнесена к первому варианту, к нему же относится концепция Гупта-Херцбергера.
О втором варианте имеет смысл говорить, когда для формул объектного языка применяется неклассическая логика, а для формул метаязыка - классическая логики. Такая трактовка метаязыка была принята в той или иной форме рядом логиков. Она обнаруживается в трехзначной логике Лукасевича для формул с модальными операторами Np и Мр; в логике Бочвара для формул hp и ~7р: в формализованной А.Аррудой логике Васильева VI для формулы -.р; в системе интенсионального следования Войшвилло для формул метаязыка Тр/а и Fp/а; в метатеории логик первопорядкового следования Попова для формул метаязыка Tip и Fip; в логиках истины фон Вригта для формулы Тр; в комбинированном исчислении высказываний и событий Смирнова для формулы 9р в системе СМ.
Из многозначных интерпретаций для логик, принимающих такую трактовку метаязыка, выделим четырехзначные интерпретации. Так, фон Вригт для логики истины принимает четыре значения («univocally true», «univocally false», «true and false», «neither true nor false»). В исследованиях по искусственному интеллекту Н.Белнап в статье «Как нужно рассуждать компьютеру» предлагает оценивать поступающую в компьютер информацию в терминах истины и лжи, используя четыре оценки: только истинно, только ложно, оба (и то и другое), ни одно (ни то, ни другое), обозначенные как Т, F, В, N. Для двух последних значений имеются определенные аналогии с пресыщенными оценками и истиннозначными провалами в семантике для концепции возможных миров.
Отмечается также, что в индийской логике имеется традиция рассматривать тезис с четырех сторон (чатушкотика), как, например, в знаменитом вопросе к Будде «Мир или вечен, или невечен, или вечен и невечен, или ни вечен, ни невечен?».
Таким образом, идеи логик с четырехзначной интерпретацией и сходными по смыслу значениями истинности имеются как у древних, так и у современных мыслителей, как на Востоке, так и на Западе. Подобные логики могут предназначаться для рассуждений как естественного, так и искусственного интеллекта.
В подходе Крипке-Фефермана-Гилмора допускается использование предиката истины как частично определенного; формулы языка логики, не содержащие семантических предикатов, рассматриваются ими классически, чем реализуется третий вариант.
К четвертому варианту относятся логические системы IM, IHW построенные В.А.Смирновым в комбинированном исчислении высказываний и событий.
В исследованиях Е.Д.Смирновой, использующей семантику возможных миров, рассматриваются по отдельности все четыре указанных выше варианта.
Особенностью исследуемой в диссертации логики, называемой FL4, является то, что операторы истинности и ложности включены в объектный язык исчисления, в отличие от подходов, требующих отделения терминов, имеющих метаязыковое происхождение, от языка-объекта. Логика FL4 характеризуется также и тем, что в ней классическая логика применима к высказываниям, префиксированным операторами истинности и ложности, а к произвольным высказываниям применима неклассическая логика. Тем самым предлагаемая в диссертации логика с операторами истинности и ложности рассматривается в рамках второго варианта, при этом учитываются и другие подходы.
Подчеркнем, что построенное в диссертации исчисление является вариантом логики, а не теории или концепции истины. Эта логика может быть использована в различных концепциях истины.
Цели и задачи исследования.
Основная цель данной работы состоит в построении и исследовании логики с операторами истинности и ложности, в сопоставлении полученной логики и ее подлогик с рядом известных логик, таких, как логика Белнапа и фон Вригта, трехзначные логики Клини, Лукасевича, Бочвара, паранепротиворечивые логики Асенхо и Приста, классическая логика, а также в сопоставлении содержательных и философских предпосылок вышеупомянутых логик.
Эта цель конкретизируется в следующих задачах:
- Обсудить и сформулировать основные содержательные предпосылки и положения логики с операторами истинности и ложности;
- построить логическое исчисление FL4 с операторами истинности и ложности;
- исследовать металогические свойства логики FL4, включая ее дедуктивные свойства, интерпретацию, непротиворечивость и семантическую полноту;
- исследовать соотношение логики FL4 с логиками истины фон Вригта, с четырехзначной логикой Белнапа;
- исследовать соотношения подлогик логики FL4 с трехзначными логиками
Клини, Лукасевича, Бочвара, с паранепротиворечивыми логиками Асенхо, Приста, с классической логикой.
Теоретико-методологические основания исследования.
Среди конкретных методов, использованных для решения поставленных задач, отметим методы построения и исследования логических исчислений: аксиоматический метод, табличный и алгебраический методы построения семантик, предложенное диссертантом обобщение метода Кальмара для доказательства семантической полноты.
Используется двухуровневый подход в соответствии с идеями Н.Васильева и А.Тарского. Исходные операторы и связки могут классифицироваться на внешние и внутренние, как у Д.Бочвара. Предикаты истинности и ложности содержательно рассматриваются как частично определенные как у С.Крипке, при этом выделяется ограниченная область, в которой они являются классическими, посредством введения ограничения на область их определения. Особенностью исследуемой в диссертации логики является то, что операторы истинности и ложности включены в объектный язык исчисления и допускают итерацию так же, как это имеет место в логиках истины фон Вригта.
В логико-философской литературе XX века активно обсуждались различные аспекты проблемы истинности. Особенно значимыми для проводимого исследования оказались методологические подходы и результаты следующих отечественных и зарубежных исследователей, изложенные в статьях и монографиях: Анисова A.M., Бирюкова Б.В., Боч-вараД.А., Бродского И.Н., Васильева Н.А., Войшвилло Е.К., Карпенко А.С., Попова В.М., Сидоренко Е.А., Смирнова В.А., Смирновой Е.Д., Финна В.К., БарвайсаД., БелнапаН., фон Вригта, ДаннаД., КлиниС., Крипке С., Лукасевича Я, Рассела Б., Тарского А.
Основные положения, выносимые на защиту.
В диссертации получены следующие научные результаты:
- сформулированы основные содержательные положения логики с операторами истинности и ложности;
- построена логика FL4 с операторами истинности и ложности, в которой можно корректно оперировать не только с двузначными высказываниями, но также с высказываниями, принимающими другие значения (в частности с высказываниями, содержащими противоречивую и неполную информацию);
- выявлены металогические свойства логики FL4: доказана теорема дедукции, найдена адекватная интерпретация для языка логики FL4 с 4-мя истинностными значениями: Т - строгая истинность (истинно и не ложно), F - строгая ложность (ложно и не истинно), С (В) - противоречивость (истинно и ложно), I (N) - индифферентность (ни истинно, ни ложно), доказана теорема непротиворечивости для логики FL4, доказана теорема семантической полноты для логики FL4;
- исследованы соотношения логики FL4 с логиками истины фон Вригта, показано, что одна из его логик истины, а именно - T"LM функционально эквивалентна FL4; с четырехзначной логикой Белнапа, построено определение импликации для логики Белнапа;
- исследованы соотношения подлогик логики FL4 с трехзначными логиками Клини, Лукасевича, Бочвара, с паранепротиворечивыми логиками Асенхо, Приста, с классической логикой; показано, что под-логика FL3N логики ложности FL4 функционально эквивалентна трехзначной логике Лукасевича, а также логике Клини со связками в сильном смысле, обогащенной связкой полной эквивалентности.
Научная новизна исследования.
В диссертации впервые в отечественной литературе последовательно и систематически реализуется формальный подход к исследованию операторов истинности и ложности.
Новизна подхода заключается во введении операторов истинности и ложности, свойства которых задаются в работе аксиоматически, непосредственно в объектный язык логики. В этой связи диссертантом было сделано следующее:
- построено новое исчисление, реализующее содержательные предпосылки логики с операторами истинности и ложности;
- впервые проведены формальные различия истинности и строгой истинности, ложности и строгой ложности,
- построена новая семантика для языка логики FL4, характеризующаяся тем, что она не является решеткой;
- для доказательства теоремы семантической полноты для логики FL4 обобщен метод Кальмара;
- предложено определение импликации для логики Белнапа;
- новыми являются установленные взаимосоотношения подлогик логики
FL4 с трехзначными логиками Клини, Лукасевича, Бочвара, функциональная эквивалентность логики FL3N трехзначной логике Лукасевича и логике Клини со связками в сильном смысле, обогащенной связкой полной эквивалентности;
- для паранепротиворечивых логик Асенхо и Приста показано, что в языке логики FL3B возможны эквивалентные указанным логикам формулировки, для которых имеются адекватные интерпретации с одним выделенным значением.
Теоретическая и практическая значимость работы.
Результаты диссертационного исследования позволяют совершить новый важный шаг в теоретическом развитии ряда направлений современной логики и философии и представляют интерес как для философов, работающих в области логики, философии и методологии науки, так и для представителей специально-научных областей знания.
Результаты диссертационного исследования могут быть использованы при разработке некоторых фундаментальных разделов общих курсов логики, а также ряда специальных курсов по логике.
Материалы диссертации были использованы автором при чтении лекций и проведении семинарских занятий на философском факультете МГУ и на философском факультете Государственного университета гуманитарных наук.
Результаты проведенных исследований применимы также в области информационных систем и искусственного интеллекта.
Апробация работы.
Диссертация обсуждалась и была рекомендована к защите на заседании сектора логики Института философии РАН.
Основные идеи диссертации отражены в публикациях и статьях, выступлениях на научных конференциях, симпозиумах и конгрессах, как российских так и международных.
Отдельные идеи и результаты диссертационного исследования докладывались на научно-исследовательском семинаре логического центра Института философии РАН, на объединенном научно-исследовательском семинаре сектора логики Института философии РАН и кафедры логики философского факультета МГУ, на научных конференциях, в частности на следующих:
2-й Советско-Финский коллоквиум по логике (Москва, 1979 г.),
X Всесоюзная конференция по логике, методологии и философии науки (Минск, 1990 г.),
XI международная конференция по логике, философии и методологии науки (Обнинск, 1995 г.),
Международная конференция "Смирновские чтения" (Москва, 1997 г.)
Международная конференция "Развитие логики в России: Итоги и перспективы" (Москва, 1997 г.),
Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке. Материалы Y Общероссийской научной конференции (С-Петербург, 1998 г.),
2 Международная конференция "Смирновские чтения". (Москва, 1999 г.),
Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке. Материалы VI Общероссийской научной конференции (С-Петербург, 2000 г.),
Некоторые из диссертационных задач разрабатывались в рамках исследовательского проекта, поддержанного РГНФ, грант № 99-03-00120.
Структура диссертации.
В соответствии с целью, задачами и характером исследования была выбрана следующая структура работы: введение, две главы, заключение и список литературы.
Заключение научной работыдиссертация на тему "Логика с операторами истинности и ложности и ее соотношение с логиками Лукасевича, Клини, Белнапа и Вригта"
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В заключении подводятся итоги проделанной работы, указывается ее научная новизна, теоретическая и практическая значимость, намечаются перспективы дальнейших исследований по данной теме. Перечислим полученные научные результаты.
В диссертации впервые в отечественной литературе последовательно и систематически реализуется формальный подход к исследованию операторов истинности и ложности. сформулированы основные содержательные, семантические и философские положения логики с операторами истинности и ложности.
Новый подход заключается во введении операторов истинности и ложности непосредственно в объектный язык логики, в отличие от подходов, требующих отделения терминов, имеющих метаязыковое происхождение, от языка-объекта. В этой связи диссертантом было сделано следующее:
- построено новое исчисление, реализующее содержательные предпосылки логики с операторами истинности и ложности;
- построена логика FL4 с операторами истинности и ложности; в которой можно корректно оперировать, в дополнение к двузначным высказываниям, с высказываниями, содержащими противоречивую и неполную информацию.
- выявлены металогические свойства логики FL4: доказана теорема дедукции, построена новая семантика для языка логики FL4, отличающаяся тем, что она не является решеткой. найдена адекватная интерпретация для языка логики FL4 с четырьмя истинностными значениями: Т - строгая истинность (истинно и не ложно), F - строгая ложность (ложно и не истинно), С (В) противоречивость (истинно и ложно), I (N) - индифферентность (ни истинно, ни ложно). проведены формальные различия операторов истинности и строгой истинности, ложности и строгой ложности; доказана теорема непротиворечивости для логики FL4; доказана теорема семантической полноты для логики FL4 для доказательства теоремы семантической полноты для логики FL4 обобщен метод Кальмара;
- исследованы соотношения логики FL4 с логиками истины фон Вригта, показано, что одна из логик истины, а именно T"LM функционально эквивалентна FL4; с четырехзначной логикой Белнапа,
- новым является построенное определение импликации для логики
Белнапа;
- найдены взаимосоотношения подлогик логики FL4 с трехзначными логиками Клини, Лукасевича, Бочвара, функциональная эквивалентность подлогики FL3N, логики ложности трехзначной логики Лукасевича и логики Клини со связками в сильном смысле, обогащенной связкой полной эквивалентности; показано, что логика Бочвара функционально эквивалентна логике Клини со связками в слабом смысле, обогащенной связкой полной эквивалентности; для паранепротиворечивых логик Асеньо и Приста показано, что в языке подлогики FL3B возможны эквивалентные указанным логикам формулировки, для которых имеются адекватные интерпретации с одним выделенным значением.
Рассмотренные соотношения, отметим, полученные без дополнительных предположений, между рассмотренными неклассическими трехзначными логиками, построенными авторами из весьма несхожих соображений, возможно, свидетельствуют о более глубокой связи этих логик между собой, чем их формальное выражение.
Теоретическая и практическая значимость работы состоит в следующем.
Результаты диссертационного исследования позволяют совершить новый важный шаг в теоретическом развитии ряда направлений современной логики и философии и представляют интерес как для философов, работающих в области логики, философии и методологии науки, так и для представителей специально-научных областей знания.
Результаты диссертационного исследования могут быть использованы при разработке некоторых фундаментальных разделов общих курсов логики, а также ряда специальных курсов по логике.
Материалы диссертации были использованы автором при чтении лекций и проведении семинарских занятий на философском факультете МГУ и на философском факультете Государственного университета гуманитарных наук.
Результаты проведенных исследований имеют практическое применение в области информационных систем и искусственного интеллекта.
Построенная логика FL4 с операторами истинности и ложности и результаты ее исследования открывают новые перспективы дальнейших исследований. Намечаются темы для разработки в следующих областях: классификация логик в рамках логики FL4, исследование алгебры для этого исчисления, нахождение условий применимости различных логик, формулировки законов логики с различными операторами, построение и исследование исчислений с предикатами истинности и ложности.
Список научной литературыПавлов, Сергей Афанасьевич, диссертация по теме "Логика"
1. Анисов A.M. Семантика неопределенности // Логические исследования. Выпуск 4, М., 1997. С.271-289.
2. Аншаков О.М. J-логики и соответствующие им классы алгебр //Логические исследования. Вып. 5. М., 1998. С.25-52.
3. Аншаков О.М., Рычков С.В. Об одном способе формализации и классификации многозначных логик // Семиотика и информатика. Вып. 23. М., 1984. С.78-106.
4. Арруда А. Воображаемая логика Васильева // Васильев Н.А. Воображаемая логика. Избранные труды. М. 1989.
5. Белнап Н. Как нужно рассуждать компьютеру // Белнап Н., Стил Т. Логика вопросов и ответов, М., 1981.
6. Бочвар Д.А. Об одном трехзначном исчислении //Математический сборник. 1938. Т.4. N2.
7. Бродский И.Н. Отрицательные высказывания, Ленинград, 1973.
8. Васильев Н.А. Воображаемая логика (конспект лекции) // Васильев Н.А. Воображаемая логика. Избранные труды. М. 1989.
9. Войшвилло Е.К. Семантика релевантных логик // Разум и культура. МГУ, 1983
10. Вригт Г.X. фон Логика истины. // Вригт Г.Х. Логико-философские исследования. М. 1986
11. Ивлев Ю.В. Модальная логика М., 1991.
12. Карпенко А.С. Фатализм и случайность будущего: логический анализ М., 1990.
13. Карпенко А. С. Многозначные логики М., 1997.
14. Карпенко А.С. ЛОЖЬ // Философская энциклопедия (в печати)
15. Клини С.К. Введение в метаматематику М.,1957.
16. Лукасевич Я. О детерминизме // Логические исследования. Вып. 2. М., 1993. С. 190-205
17. Маркин В. И. Погружение воображаемой логики Н.А.Васильева в кванторную трехзначную логику // Логические исследования. Выпуск 7, М., 2000.
18. Павлов СЛ. Исчисление предикатов истинности и ложности. // Логический анализ естественных языков. 2-й Советско-Финский коллоквиум по логике. М., 1979.
19. Павлов СЛ. Многозначные интерпретации для исчисления предикатов истинности и ложности. // Логика и теория познания, ЛГУ, Ленинград, 1990 С. 66-74.
20. Павлов СЛ. Логика с терминами 'истинно' и 'ложно' //Философские основания неклассических логик. Труды научно-исследовательского семинара по логике Института философии АН СССР. М., 1990.
21. Павлов СЛ. Логика ложности // X Всесоюзная конференции по логике, методологии и философии науки, Тезисы, (секции 1-5), Минск, 1990 С. 82-83.
22. Павлов СЛ. Логика ложности FL4 // Труды научно-исследовательского семинара логического центра Института философии РАН. 1993. М., 1994 С. 14-35
23. Павлов СЛ. Значения истинности в тетралектике // Истины и ценности на рубеже XX-XXI веков (материалы симпозиума). М., 1992 С. 168170.
24. Павлов СЛ. Логика высказываний и событий и логика ложности // Международная конференция "Смирновские чтения" М., 1997 С. 65.
25. Павлов СЛ. Итоги и перспективы исследования логик истинности и ложности // Международная конференция "Развитие логики в России: Итоги и перспективы". М., 1997 С. 38-41.
26. Павлов СЛ. Трехзначная логика Лукасевича и логика ложности FL4 // Труды научно-исследовательского семинара логического центра Института философии РАН. М., 1997.
27. Павлов С.А. Отрицания в логике ложности // Современная логика: проблемы теории, истории и применения в науке. Материалы V Общероссийской научной конференции С-Пб., 1998 С.264-267.
28. Павлов С.А. Логика ложности как обобщение трехзначной логики Лукасевича // Логические исследования. Выпуск 5, М., 1998 С.206-220.
29. Павлов С.А. Метапредикат истинности и логика ложности // Логические исследования. Выпуск 6, М., 1999 С. 170-185.
30. Павлов С.А. Исчисление предикатов истинности и ложности: четверть века спустя // 2 Международная конференция "Смирновские чтения". М„ 1999 С. 62-65.
31. Попов В.М. Аналитические формулировки и модели Крипке некоторых пропозициональных логик первопорядкового следования. // Релевантные логики и теории следования. // 2-й Советско-финский коллоквиум по логике М., 1979
32. Сидоренко Е.А. Релевантная логика (предпосылки, исчисления, семантика) М., 2000
33. Смирнов В.А. Утверждение и предикация. Логика высказываний и событий // Нестандартные семантики неклассических логик. М., 1986.
34. Смирнов В.А. Комбинированные исчисления предложений и событий и логика истины фон Вригта // Исследования по неклассическим логикам. IV Советско-финский коллоквиум. М.,1989
35. Смирнова Е.Д. Логическая семантика и философские основания логики. М., 1986.
36. Смирнова Е.Д Логика и философия. М., 1996.
37. Тарский А. Понятие истины в языках дедуктивных наук. // Философия и логика Львовско-Варшавской школы. М., 1999.
38. Тарский А. Семантическая концепция истины и основания семантики. // Аналитическая философия: становление и развитие. М., 1998.
39. Финн В. К. О критерии функциональной полноты для ЯЗ3. // Исследования по формализованным языкам и неклассическим логикам. М., 1974. С. 194-199.
40. Хомский Н. Синтаксические структуры. // Ельмслев Л. Можно ли считать, что значения слов образуют структуру? Хомский Н. Синтаксические структуры. Благовещенск, 1998.
41. Чёрч А. Введение в математическую логику. М., 1960.
42. Asenjo F.G. Logic of antinomies // Notre Dame J. Form. Log. 1966. V. 7, pp. 103-105.
43. Back R.J.R. A Computation Interpretation of Truth Logic // Synthese, v.66, N1, 1986 pp. 15-35.
44. Barwise J., Etchemendy J. The Liar. An essay on truth and circularity. -N.Y.-Oxford: Oxford University Press, 1987.
45. D'Ottaviano, Itala.M.L., da Costa Newton.C.A. Sur un probleme de Jaskovski. C.R.Acad.Sc. Paris. 270, Seria A, 1970, pp 1349-1351.
46. Dunn J.M. Intuitive Semantics for First-Degree Entailments and Coupled Trees //Philosophical Studies. Vol.29. 1976 P.149-168.
47. Dunn J.M. An Intiuitive Semantics for First-Degree Relevant Implication (abstract) // The Journal of Symbolic Logic. Vol.36. 1971 P.362 363.
48. Epstein R.L. The Semantic Foundation of Logic. Vol. 1: Propositional Logics, Dordrecht-Boston-London, 1990.
49. Fitting M. Bilattices and the semantics of logic programming. Preprint, 1988.
50. Kripke S. Outline of a Theory of Truth. // The Journal of Philosophy, 1975, vol. 72, pp. 690-716.
51. Muskens R.A. Meaning and partiality. Amsterdam, 1989
52. Pavlov S.A. Falsehood logic FL4 // Institute for Logic, Cognitive Science and Development of Personality, 93-04/, Moscow, 1993
53. Pavlov S.A. Logic For Computer Reasoning // International Conference on Informatics and Control, St. Petersburg, 1997 P.496-499.
54. Pavlov S.A. Three-valued Lukasiewich's Logic and Falsehood Logic FL4 // Bulletin of the Section of Logic, 1998. V.27, N1/2 , P.79-81
55. Pavlov S.A. Sentential Falsehood Logic FL4 // XX World Congress of Philosophy, Boston, 11-16 August 1998. P.156
56. Pavlov S.A. Logic FL4 with Falsehood Operator // Multivalued Logics, 2000, V. 5, pp. 125-138
57. Pawlow S.A. Einige nichttraditionelle Ideen in der Logik.//Philosophie und Naturwissenschaften in Vergangenheit und Gegenwart. Heft 5: Philosophishe Probleme der Logik, Berlin, 1978
58. Popov V.M. On the Logics Related to A.Arruda's System VI //
59. Priest G. Paraconsistence Logic, Miinchen, 1989.
60. Priest G. The logic of paradox. // J.Philos. Logic, 1979. Vol.8, N2.
61. Rosser J.В., Turquette A.R. Many-valued logics. Amsterdam- North-Holland, 1951.
62. Sette A.M. On propositional calculus P3 // Math. Jap. 1973. Vol.
63. SlupeckiJ., Bryll G., Prucnal T. Some Remarks on Three-valued Logic of J. Lukasiewicz. // Studia Logica. 1967. Vol. XXI, P.45-70
64. Turner R. Logics of Truth // Notre Dame Journal of Formal Logic, V.31, N2,1990.
65. Wright G.H. von Truth and Logic // The Truth, Knowledge & Modality. / Philosophical papers, vol. Ill, Basil Blackwell, Oxford 1984
66. Wright G.H. von Truth, negation and contradiction // Synthese, v.66, N1, 1986 pp. 3-14.
67. Wright G.H. von Truth-Logics // Logique et analyse. Nouvelle serie, 1987. Vol. 120.
