автореферат диссертации по философии, специальность ВАК РФ 09.00.07
диссертация на тему: Отношение следования и нестандартные семантики

Полный текст автореферата диссертации по теме "Отношение следования и нестандартные семантики"

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ.М.В.ЛОМОШ 'СОВА

Диссертационный совет Д.053.05.20 п.> философским наукам при МГУ

на правах рукописи НевдобенкоОксана Ивановна Р) В ОД

1 гш ; :л

ОТНОШЕНИЕ СЛЕДОВАНИЯ И НЕСТАНДАРТНЫЕ СЕМАНТИКИ

I

Специальность 09.00 07-логика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата философских наук

Москва -200О

Диссертация выполнена на кафедре логики философского факультета Московского государственного университета им.М В.Ломоносова.

Научный руководитель: доктор философских нлук, проф. Смирнова Е.Д.

Официальные оппоненты;

доктор философских наук, проф. Анисов А.М

кандидат философских наук Фримучкова Е.В

Ведущая организация: ИНИОН.

Диссертационного Совета Д.053.05.20 по философским наукам при МГУ им.М.В.Ломоносова по адресу:

119899, Москва, Воробьёвы горы, 1-й корпус гуманитарных факультетов МГУ, философский факультет, 11 этаж, аудитория _.

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале библиотеки 1-го корпуса гуманитарных факультетов МГУ им. М.В.Ломоносова. Автореферат разослан

Защита состоится

с

Учс-'ныи секретарь Диссертационного Совета

Маркин В.И.

г

Общая характеристика исследования.

Актуальность темы. Важнейшее назначение логики - быть аппаратом проверки кор-| ректностн выводов, а также порождения« нового знания, т.е. формальными средствами получать приращение содержания. В этой связи вопросы выяснения природы логических структур и их обоснования можно представить дилеммой: что такое логика как техника, которую мы вибираем, и логика как техника, которую мы не выбираем - в силу её необходимой присущности нашему мышлению. Существуют да фигуры заключения, a priori присущие человеческому разуму? Если да, то как это согласовать с многообразием альтернативных логик (конструктивные - неконструктивные, монотонные - немонотонные и т.д.). Если таковых нет, как определять приоритетность тех или даых логических систем? Как отличать их по степени значимости? Каковы были бы критерии такого отбора?

Актуальность этих вопросов, рассматриваемых в диссертации на более формальном

уровне, как представляется нам, не снимается наличием целых классов логик континуальном I !

' мощности, т.е. тем. что заведомо существуют логики и целые их множества, которые никогда не будут подвергнуты специальному рассмотрению. Есть целые направления в современной логике, потерявшие связь с первоначальной трактовкой логики как науки о правильных, или слабее - допустимых, способах рассуждения. Предметом исследования многих из них являются не собственно логики как формально строго заданные системы дедуктивных принципов, но - фактически - логики как множества слов некоторого алфавита, определённым образом организованные, либо как алгебры, либо как системы функций. Не ставя под сомнение теоретическую значимость такого рода исследований, мы считаем и законным, и актуальным вопрос, каким образом из необозримого семейства множеств слов, обычно замкнутых относительно каких-то преобразований, выбирать те, которым соответствуют какие-то | вразумительные системы рассуждения-. В диссертации мы изучаем вопрос обоснования логических систем с семантической точки зрения, рассматривая те допущения, которые лежат в основе различных типов систем. В этих допущениях и заключается ответ - относительно данной логической системы - на вопрос, почему принимаются (считаются правильными) эти, а не другие формы заключения. Интуитивно, различные логики охватывают различные типы рассуждений, и с философской точки зрения интересен и актуален вопрос, от каких пресуппозиций зависят последние. Это одна из главных исследуемых нами проблем, определяющая актуальность диссертационной работы. Поскольку структура и формальный смысл всякого рассуждения Яержится на условных переходах "если - то", то из сказанного естест-

вснно вытекает, что центральным для нашего исследования является отношение логического следования.

Понятие следования наряду с понятиями логической формы и истинностного значения - наиболее фундаментальны для логики. Есть вполне почтенные логики с пустым классом тавтологий (например, трёхзначная логика Клини), но нет логик, у которых был бы также пуст класс выводимостей. Понятие следования фундаментально для логики по самому замыслу этой науки. (Ср. у Н.Васильева: "Где есть суждения и выводы, там есть и логика, где нет суждений и вывода, там нет и логики. Законы суждения и вывода есть минимум логического" или у Н.Белнапа: "...ясно, что коль скоро нет необходимости в рассуждении, вряд ли возникает потребность в логике".)

Степень разработанности проблемы. В последние десятилетия проблема следования стала объектом пристального изучения логиков. В связи с намеченным кругом интересующих нас вопросов в диссертации рассматриваются различные подходы к анализу концепции следования. Выделяя направления исследования, задачи, концептуальный аппарат, мы проводим определённую стратификацию этих подходов. У каждого автора проблема следования (также общезначимости импликации) погружена в свой специфический крут вопросов: модальные логики (К.Сегерберг), релевантное следование (Н.Белнап, М.Данн, Е.К.Войшвилло), методы построения логик, основанных на различных семантических допущениях (Е.Д.Смирнова), симметрии отрицания (Б.Хёсли, Г.Ягер) и др.

Тем не менее можно выделить некоторое общее у всех авторов поле исследования.

Почти всеми тем или иным образом затрагивается вопрос построения семантик различного типа (и соответственно определение следования), использующих только два истинностных значения - "истина", "ложь", который имеет два наиболее принципиальных уточнения. Первое: построение логик, в которых понятия истины и лжи задаются независимо (Д.Нельсон, И.ДЗаславский, Е.Д.Смирйова). Второй фундаментальный ракурс этой проблемы формулируется Д.Скотгом как тезис о том, что любая логическая система обладает некоторой двузначной семантикой, а Р.Раутли и Р.Мейер показывают его справедливость для очень'широкого класса систем.

Следующий естественно возникающий общий момент в различных исследованиях: проблема введения аналога метаязыко^ого следования в объектный язык и связанный с этим вопрос о теореме дедукции. Вообще вопрос о следовании этих двух уровней может ставится двояко: либо кандидат на объектное следование уже заранее известен и проблема заключается в нахождении такого определения вывода (определения отношения логического следования). при котором редукционная теорема значима, либо исходно располагаем определением

4 5

вывода из непустого множества формул (определением следования) и проверяем, выполняет ли импликация системы теорему, если - нет (или если её не было среди исходных связок), питаемся подыскать такую, либо переопределяем понятие вывода, либо налагаем какие-то ограничения на условие теоремы. Рассматривается также вопрос, как семантика языка детерминирует принятие тех или иных правил вывода в логике, в первую очередь - теорем)' дедукции. Тогда одни семантические допущения и определения (оценки, следования, тавтологии) делают ее значимой, другие - проваливают. Важно проследить такого рода зависимости. (Вопрос о теореме дедукции можно поставить и по-другому, именно: найти определение вывода (для целого класса логических систем), инвариантное относительно значимости теоремы дедукции. Так этот вопрос разбирается Е.А.Сидоренко-для всех пропозициональных систем, замкнутых относительно modus ponens).

Из вышесказанного вытекает ещё одна проблема: как определять импликацию (объектное следование). Хорошо известно, что эта задача и по содержательным, и по чисто техническим соображениям! может решаться самыми разнообразными способами (речь идет не о различных, но в некотором смысле эквивалентных, заданиях одной связки, а о различных неклассических импликациях). Кроме того, при содержательном подходе часто неклассически трактуются и другие связки (в первую очередь, отрицание), что прямо или косвенно может изменить смысл следования в системе.

Обратим внимание на тот способ введения импликаций, когда сначала в объектный язык вводятся операторы оценок - одноместные функторы с интуитивным прочтением "истинно ф", "ложно q>", "противоречиво <р", "истинно и не ложно <р" и т.д.. Тогда новые импликаций1 мОгут определяться на базе исходной (если она есть) по типу: "Если <р истинно, то у истинно и не ложно", "Если <р истинно и не ложно, то vy истинно" и т.д. Если использованные при определении операторы истины (соответственно ложности, противоречивости) не эквивалентны, то получаем разные импликации.

Наконец многими авторами рассматривается вопрос введения отношений следования различных типов. Исходный круг задач, используемый концептуальный аппарат определяют характер и содержание получаемых при этом результатов: общие принципы типологии следований, построение иерархии отношений следования, детерминируемой принимаемой семантикой языка (М.Данн, Е.К.Войшвилло, Е.Д.Смирнова), установление связи между типом семантики и допускаемым им классом неэквивалентных следований, построение семейства логик варьированием исходных параметров (функции оценки, отношение следования -

М.Данн, ЕД Смирнова), связь между типом следования и специфическими свойствами адекватного ему формализма (Б.Хбсли, ГЛгер) и др. ...-., .

I ■ '............■...-!■•: Hi.

' '' Цель и задачи исследования. Главная цель настоящей работы - анализ и уточнение

понятия логического следования, выяснение вопроса, от каких предпосылок (параметров) зависит определение следования, как их варьирование модифицирует следование и импликацию; наконец, какие характеристики отношения следования детерминируют логики различного типа. В диссертации мы в основном сосредоточим внимание на нестандартных се-

i

мантиках с истиннозначными провалами и пресыщенными оценками. . :

В соответствии с поставленной целью в диссертации решаются следующие задачи:

• . проанализировать различные методы задания отношения логического следования, выявить основные принципы, лежащие в их основе, а также те параметры, от которых зависит введение целого спектра отношений типа следования и соответствую-

I jfl , ЩНХлогик; Г- • - v :-,;•■> • , , ,

: представить метод построения определённой иерархии логик (в которую войдут и ряд известных систем: де Моргана, Хао Вана и др.) варьированием некоторого перечня исходных семантических параметров; liirr.

- ' рассмотреть алгебраический аспект этой проблемы, обращение к которому позволяет прояснить некоторые результаты в области нестандартных семантик и общие принципы построения иерархии логик;- рассмотреть возможность приложения предложенного метода задания семейства логик к другим типам алгебр, в первую очередь ГейтингаиБрауэра; ; < - •,.

- f проанализировать основные метатеоретические свойства и характеристики получениих логик (наличие тавтологий, значимость дедукционной теоремы, modus ро-

I J ч • i ' ■ ' пмвитд.); •• ;• . ......... .

....... ' -■-';..;■• J..

формализовать построенные системы следования; -

- выявить, как принятие тех или иных соотношений меЩ^оЗластями истинности и ложности высказывания юменяет (или не изменяет) схему Тарского; Методологической и теоретической основой решения поставленных задач являются методы построения «мантик, используемые в современной логической науке, работы российских и зарубежных логиков в области неклассических логик, в первую очередь, работы Д.Бочвара, Д.Нельсона,, Н.Белнапа,. М.Данна, Х.Вригта, Е.К.Войшвилло, В.А.Смирнова, Е.Д.Смирновой, Б.Хёсли, ГЛгера. ..-

Научная новизна исследования Предложен метод построения иерархий отношений

I '1 . следования Ii логик, основанный на введённом понятии типа истинностного значения. На '

6 *

этой основе построена иерархия отношений типа следования и базирующаяся на ней иерархия логических систем, обобщающая построения, предложенные М.Данном н Е.Д.Смирновой.

В процессе исследования получены следующие новые результаты, выносимые на за-

I щиту.

1. Обобщены подходы к заданию отношения типа следования; предложена их трансформация, на основе которой удалось более систематично и единообразно получать различные иерархии логик и доказать для них полноту и непротиворечивость.

2. Разработан общий метод задания иерархии лргик варьированием исходных семантических понятий; в нашем случае основными параметрами варьирования являются типы истинности и ложности. В соответствии со сделанным уточнением (обобщением) понятия области истинности и ложности высказывания введено семейство отношений типа следования, на котором введён порядок (задано отношение сравнимости).

3. Предлагается определённая иерархия логических систем, у которых множество значений атомарных высказываний есть (какой-то) элемент множества-степени {t, f, gaps, gluts}; в

■ I

И •' результате получена иерархия более богатая, чем рассмотренная при подходах М.Данна и Е.Д.Смирновой, а также отличная по классу теорем от предложенных X. фон Вригтом и С.А.Павловым.

4. Введено полезное, на наш взгляд, понятие коммутирующих параметров варьирования для логики: если тип логики задается через п параметров (xi,...,x„), х,еХ„ к, и yi есть

конкретные значения параметра х,, то говорим, что параметры (xSi.....xsi) коммутируют

для некоторых (всех) значений из X5j,...,Xsk соответственно!'если найдутся такие значения (если для всех значений) для '. • 'х^рс*: (хь— х«..... xst.—,Хп) я

(xi.....у«,—, Ул,—Дп) = (о, Ь. с), т.е. если они задают одну и ту же логику; показано, для

\;i к11, •

каких логик какие условия (при нашем подходе) являются связанными. При нашем под. ходе определение коммутирующих условий для логики детерминируется, в отличие от остальных авторов, общей процедурой сопоставления генценовского исчисления данному типу следования. ' 'J

5. Все введенные отношения следования формализованы; изучены их метатеорегические свойства; показано, какие семантические условия коммутируют для данной логики, т.е. при каких именно допущениях и определениях различные семантики задают одну и ту же логику; в частности, обоснован тезис о том, что релевантная семантика (с gaps и gluts)

может быть формализована различными нерелевантными исчислениями в зависимости от принимаемого определения следования.

6. Показано, как принятие тех или иных соотношений между областями истинности и ложности высказывания влияет на принятие, или непринятие, схемы Тарского.

7. Предложены системы конструктивного и неконструктивного типа, обобщающие рассмотренные М.Данном;

8. Указан общий метод построения иерархии следований для алгебр, отличных от рассмотренных - булевой, де Моргана и т.д.

В результате проведённого исследования обоснованы следующие тезисы.

Типы различных логик можно определить варьированием некоторых исходных семантических параметров, в первую очередь - истинности и ложности.

Суть нестандартных семантик заключается не в абстрактной многозначности, введении модальностей и т.д., а именно в реконструкции целой системы ме-тапонятий: истины, лжи, следования, отрицания и т.д.

С одной логикой может быть ассоциировано несколько типов семантик. Последнее поднимает вопрос, насколько с данным исчислением действительно связана та или иная интуиция (как это нередко делается). Говоря об "интуиции", предполагаемой данным формализмом, следует иметь в виду не один параметр (например, тип функции оценки), а систему взаимосвязанных семантических условий и определений. С одним и тем же исчислением не просто могут быть связаны разные типы оценок, их варьирование также связано с параметризацией других метапоняткй. Именно последнюю мы положили в основу-предлагаемой типологии следования и иерархии логик.

Практическая значимость диссертации определяется возможностью использования её результатов в логико-теоретических исследованиях, а также в учебно-педагогической работе при чтении спецкурсов по неоассическим логикам и логической семантике.

Апробация работы. Основные идеи и результаты диссертаций излагались на первой и второй международной конференции "Смирновские чтения" (1997, !999) и на конференции "Развитие лотки в России: итоги и перспективы" (1997). По теме диссертации опубликовано шесть печатных работ.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух: глав, заключения и списка литературы.

I

г

П. Основное содержание работы.

1>

Во введении обосновываются выбор темы, её актуальность, цели исследования, определяются новизна работы и полученные результаты.

В первой главе анализируются различные схемы определений отношения следования, принципы их получения различными авторами, методы построения иерархии систем следования. • - -

В §1 выделяются основные вопросы, возникающие в связи с анализом логического следования: его модификация при различных системах истинностных значений (например, gaps или gluts), релевантное следование, конструктивное, связь между типом следования и специфическими свойствами адекватного ему формализма, введение метаязыкового следования в объектный язык (теорема дедукции), погружение (фрагмента) семантики языка в объектный язык (введение J-операторов). В этом плане в §2 анализируется широкий пласт работ, исследующих эти вопросы. В первую очередь следует указать на работы К.Сегерберга, Д.Скотта, Р.Раутли, Р.Мейера, да Косты, Д.Батенса, М.Данна и (независимо) идущие в их русле исследования Е.К.Войшвилло и Е.Д.Смирновой*. Интересные результаты получены Б.Хёсли и Г.Ягером2. У М.Данна, Е.Д.Смирновой, Б.Хёсли и Г.Ягера имеются результаты о двойственности, или дуальности, некоторых типов следования.

Типологию отношения следования находим у М.Данна. Его интересуют логики с нестандартными оценками противоречивости и неопределенности, а также различные типы неклассических определений связок. Рассматривая различные условия, которые могут выпол-I няться или не выполняться в конкретной семантике (данный порядок на шкале, конструктивное-неконструктивное условие ложности для импликации и т.д.), он получает некоторый спектр' логик релевантного типа с содержательно прозрачными семантиками. Различные типы следования возникают за счет варьирования определения функции оценки и тем, какой переход (от истинности посылки х истинности заключения или от ложности заключения - к посылке) фигурируют в определении следования.

' Segerberg К.. Some modal logics based on a three-valued //Theoria, vol. 33.1967; Scott D. Background of Formalization // Truth, Syntax and Modality. North Holland. 1973., Routly R., Meyer R. Every sentential Logic haj a two-valued semantics; da Costa N.. Alves E. A semantical analysis of the calculi C, // Notre Dame Journal of Formal Logic, vol. 18, pp.621-630.1977; Batens D. Paraconsistent Exetentional Propositinal Logic // Logique et Analyse, vol.90-91, pp. 195-234; Dunn M. A Comparative Study of Various Model-theoretic Treatment of Negation J A History ! of Formal Negation II What is Negation? Dordrecht. 1997, Partiality and its Dual (druft). 1997; ЕХВойшвилло Символическая логика (классическая и релевантная). 1989, Е.Д.Смирнова Логическая семантика и философские основания логики. М. 1986.

2 Hosli В., Jager G. On Some Symmetries of Negation // Journal of Symbolic Logic, vol. 59, №2.

У Е.Д.Смирновой вопрос о типах следования связан с проблемой обоснования логических систем. Логика при ее подходе конституируется в соответствии с двумя параметрами: отношение (типа) следования и соотношение между областью истинности и ложности высказывания. Понятно, что в этом случае понятие следования становится центральным.

Для Е.ЬС.Войшвилло главный предмет исследования - релевантное следование.

Задание некоторого множества отношений типа следования у него оказывается возможным по причинам, аналогичным тем, что у М.Данна и Е.Д.Смирновой3, но ввиду приоритетности релеваитного следования (для автора), значение остальных типов следования более-менее факультативно и они специально не изучаются.

Определение следования, как следует из перечисленных работ, напрямую зависит от принимаемой "концепции истинности", т.е. определения функции оценки (класса допустимых оценок). Поэтому первое, что следует указать, имея в виду дальнейшие определения следования, - как понимается истинностное значение (строго формально и (желательно) интуитивно4).

В гл.1, §2 мы вводим несколько общих схем, используя которые можно определять отношение следования в логике и подробно рассматриваем ряд подходов к заданию различных типов следования, анализируя, какие из указанных вначале схем использованы, какие нет и почему. Особое внимание в этом разделе уделяется методам задания различных логик, в которых (методах) решающей оказывается типология следования. Главная задача этого раздела - проследить возможные типологии следования, способы его определения и основные результаты, которые удаётся получить, работая с тем или иным концептуальным и техническим аппаратом.

Построение логик(и) с полной системой связок обычно осуществляется либо заданием спервд её первопорядкового-фрагмента, а затем его расширения до системы с "многоуровневой" импликацией, либо определением имликативного фрагмента логики, а после расширение его, до импликативно-негагивной и наконец полной системы.

У М.Данна находим типологию первопорядкового следования и классификацию логик, в основе которой лежит варьирование семантических условий для импликации и отрицания. Исходными семантическими понятиями являются множество ситуаций, в которых ■ атомарное высказывание истинно, и другое - в которых оно ложно. Посредством ряда определений М.Данн переходит от информационных пар к "обычной" функции оценки. Раз-

3 Подробный сравнительный анализ изложен в этой главы.

4 Ибо что означает 1309 как значение, допустим, 1973-значной логики? Вопросы в таком духе - как интерпретировать значения многозначных дсгик—как «заестно, неоднократно ставились и обсуждаются и поныне.

10

личные первопорядковые системы получаются варьированием двух условий: определения оценки (допущение нефункциональности или не всюду определённости) и условие наследования при определении следования (истины, лжи или обоих значений). Комбинаторно таким образом задано девять систем. Дани однако показывает, что для релевантного типа оценки все три типа следования склеиваются, при gaps, также как при gluts, имеем три различных первопорядковые системы, но класс систем, задаваемых при gluts, совпадает с классом систем при gaps. В итоге имеем четыре"типа следования и первопорядковых систем (де Морга' на, Хао Вана,-двойственная ей (= Присга) и соответствующая фрагменту трёхзначной логики Лукасевича).

Классификация полных логик - в рамках семантик Крипке - осуществляется парамет-■ ризацией следующихх условий: порядок на шкале (частичный, линейный), оценка (gaps, gluts), условие истинности (наследование истины, лжи или обоих значений) и ложности (конструктивное, неконструктивное) для импликации и условие для отрицания (конструктивное, неконструктивное). В результате имеем семейство логик, некоторые из них отвергаются автором ввиду содержательной непрояснённости их семантик. Среди известных получаем таким образом интуиционистскую логику, логики конструктивной ложности Нельсона . N и S, систему RM. В §3 гл.1 мы проводим сравнительный "метаанализ" всех рассмотренных концепций, получая в итоге некоторую общую идею построения целых классов логик за счёт варьирования семантических определений. Таким образом проведённый в первой главе анализ создаёт достаточный базис для введения читателя в интересующую нас проблематику с точки зрения того, что в этом поле уже сделано и какие идеи и соображения напрашиваются на дальнейшее изучение и реализацию. I

Во второй главе мы разрабатываем некоторые идеи к типологии отношения следования и 'логик систематическим образом. В основных чертах эта- задача - представить общий подход к заданию типологии следования и логик (и получить некоторое семейство отношений следования и соответственно логик) - решается в §1 гл.2.

Построение ведется в рамках семантики возможных миров, строятся логики с нестан-

^дартными (небулевыми) условиям» истинности и ложности. При построении (семейства) ло-ч . -. - ,

•' гик мы исходим из чёткого различения параметризуемых и константных семантических понятий (функции оценки, отношения следования и т.д.) и явного указания, какие из них считаем конститутивными для логики.5 К последним мы относим тавтологичность, отношение

5 Разумеется, выбор варьируемых понятий и даже конституирующих логику всегда остается за нами.

П

' следования и (возможно) неопровержимость. При нашем подходе каждое из них является параметром.

Выделим основные моменты подхода Е.Д.Смирновой и М.Данна, которые для нас значимы понятия истины и лжи на метауровне задаются независимо; вводится не одно, а целый спектр отношений типа следования; при рассмотрении логик с неклассическим отношением между истиной и ложью такое различение отношений следования нетривиально: различные отношения типа следования могут задавать различные классы выводимостей6.

В нашем случае процедура, или стратегия, задания семейства логик приобретает чёткую структуру, в которой существенно выделяются два пласта.,Первый:

• задание общих схем определений типов (истинностных) значений ';

»А 1 • задание предварительных определений, или схем, отношения типа следования, тавтологии, неопровержимой формулы;

• достаточно естественным образом вводится порядок на отношениях типа следования; при нашем подходе он детерминируется принимаемым условием для логики (т.е. принимаемым отношением между истиной я ложью).

Заметим, что никакой логики, ни отношения следования (конкретного класса выводимостей) мы ещё не имеем. Однако мы сразу получим семейство логик, как только зададим конкретную функцию оценки.

Результатом построения первой части семантики (условно - "определения предварительных схем и отношений") является введение понятий типа значения и типа логики.

I Второй пласт семантики имеет дело с конкретными логиками, которые получаются

с ■ •

варьированием значений исходных параметров, конституирующих тип логики; исходные параметры варьирования мы выбираем из следующих: (1)тип 1 автологичности, (2) тип,не-опровержимости, (3) тип отношения следования, (4) функция оценки. Для каждого параметра указывается область пробега; тип логик определяется как четверка <1к,1к,(1',1'),усл>, где 1к, ^ - (выбираемый) тип тавтологичности и неопровержимости, (М) - (выбираемый) тип отношения следования, усл. - (выбираемое) функция оценки; отметим, что все три выбора осуществляются независимо; собственно, это и есть наши критерии для построения различных логик, основа их классификации. ; -

^Выводимость как пара множеств формуя (Г, 4), таких что ГрА. есть сшггаксчческос понятие: к сожалению, для соот-' ветствуюшего ему семантического понятий ( пара множеств (Г. Л), таких что Г.сй) пет компактного термина, поэтому везде ниже (а также один раз выше)термнн "выводимость" употребляется также ^смысле ГКй (что не в слет к днусмыслпис) т.е. неформально говоря, уточняем, в скольких смыслах можем говорить, что высказывание истинно, в скольких, что оно ложно, противоречиво, неопределённо; под типом каждого значения (истина, ложь и т.д.) понимаем все эти Уточнённые смыслы"

Сначала мы вводим стандартно понятия истинности и ложности. Фиксируем язык с римитивными символами: пропозициональные переменные ро, qo, го, so, pi,...; пропози-иональные связки -i, &, v , -> ; технические символы: ( и ); и множеством формул Form, пределяемым обычным образом. Множество переменных обозначаем Var. W - множество эзможных миров, полагаем его не более, чем счётным, £ - функция типа Var -> (2W х 2W), ^поставляющая каждой переменной пару областей из W: область, на которой она истинна, и эласть, на которой она ложна - Ед(р)=(р , р~) а ~ ( р а> P а )» ct€/, / множество индексов, усть ta и fa - функции типа i;(Var) —> 2W, первая переменной р для каждой пары Ед(р) со-оставляет её первый элемент, вторая функция - второй элемент пары.

Вводим понятия истинности н ложности переменной в данном мире w при данном риписывании Ед:

w^fp о weta(p), <=> wefa(p).

Соотношение классов t(p) и f(p) в общем случае произвольно, то есть не исключаются гучаи f(p) с t(p), f(p) ь> t(p)*W и др.8

Определяем класс миров, в которых р строго истинно (истинно и не ложно) и строго

>жно:

t'(p) = t(p)/t(p)r.f(p) f'(p) = f(p)/t(p)nf(p)

t'(p) - псевдоразность f(p) относительно t(p), аналогично f' (р) - псевдоразность t(p) ■носительно f(p).

Индуктивно распространяем определения t(p), f(p), t'(p), f' (p) на сложные формулы ¡ычным образом (для отрицания: t(-icp) = f(<p), f(-><p) = t((p)).

Области t'(cp ) и f' (cp) определяются аналогично с заменой везде t на I' и f на f'. . t'(p) близко классическому значению "истинно", f'(р) - "ложно", в отличие от t(p) и )), они не могут оказаться противоречивыми: пересечение t'(p) и Г (р) всегда пусто. Но не ключается возможность t'(p)u f' (p)*W. Индукцией по длине формулы легко показать, что о справедливо для произвольной <р.

Затем обобщаем понятие истинностного значения, вводя типы значений. Кажется ес-ственным ввести следующее обобщение: X есть область истинности для р, если

(1) t'(p) с X и (2) не верно, что f '(р) с X;

1нже, если не оговорено противное, речь ндёт о произвольном фиксированном приписывании . поэтому аекс а опускаем (везде, где это не ведёт к двусмыслице).

и область ложности для р, если (1') Г '(р) е X и (2') не верно, что Г(р) £ X. Дополнительно можно потребовать: Х*0 и (или)

~ Тогда в качестве уточнения понятия истннности, или области истинности высказыв нняр имеем

• ^ - исходная область истинности, возможно, противоречивая, "слабая иста

1 ''

1 >' ность ;

• 1'р - "строгая истинность", непротиворечивая область;

• Тр - область слабой не-ложности (нет такого мира в ней, где р ложно, но, возможн есть мир, где р не получает оценки);

• ? 'р - (псевдодополнение Гр относительно !р) область нестрогой не-ложности р: I этой области р нет только мира, в котором р строго ложно.

Аналогично

• - слабая ложность,

• Г'-строгая ложность,

• Хр - слабая не-истинность,

I * * *- - • ?р - не-строгая не-истинность.

Через Т,, обозначим множество областей истинности р: ТР={ГР, 1'р, {р, Гр}. Аналоги» ноРр={ (р, Рр, V 1р}9

Введём; множества областей пресыщенных оценок и провалов значений следующш . образом (нижние индексы опускаем): ,

ч» В = {а» г'ч-»^! г'еТ.ГбР).10

Определения 'противоречивого типа оценки и типа провала значений интуитивно кажутс ' вполне естественными и приемлемыми. Далеко не столь приемлемым можно счесть та

факт, что для каждой переменной множества В и N совпадают: ^и^ = ? г> ?, но 1 I =?бРи ?=1кеТ, тем самым ? г» ?=1"п Р = { (см. последнюю сноску).

В качестве; множества областей "провалов значений" можно взять множеств« ТиРиВ, то есть множество таких областей, которые не являются ни областями истинь

' Более точно говорить Т„(р) и Р„(р).

10 Разные индексы в определении множеств В и N

условий 1-4) что и при введенной определении.

- ( и С - лают в точности те же области (при любом выборе

истинности), ни ложности, ни противоречивосги.ни "НИ истинности, ни ложности". Обо-

качнм Я = ТиГиВ.

Вместо N и В будем также писать ЫВ.

По индукции распространяем определения множеств Тр, Рр, ЫВр, Яр до Тф, Г», ЫВф, Я, 1а формулы произвольной сложности.

Типом истинностного значения "истина" для всякого. <р есть множество Т,,, истин-остного значения "ложь" - множество Б,,,, и т.д.

Теперь определяем типы тавтологичности и отношения следования. Обычное опреде-ение общезначимости .формулы как её истинности при любой ои:нке (и в любом мире) мы бобщаем следующим образом, коль скоро имеем четыре типа истинности.

ср - тавтологична (общезначима) о VI1, ( 1'ф = \У)."

Имеем таким образом четыре типа тавтологичности.12

Определим 7-следование (сохраняющее истину).

Ф^У о VI', У^С^с^),

(если посылка истинна в смысле 1'-го, то заключение истинно в смысле I*- го).

Сохраняющее ложность ¥-следование:

Легко видеть, что каждое Т-следование эквивалентно некоторому Б-тедов^ншо, поскольку ^ ?уС ^ а и Г^еР,, поэтому ниже будем говорить

олько о Т-следованиях. (

Множество отношений типа следования частично упорядочивается естественным об-азом: дусть (¡1,12) - сокращение для 11'ч,с и ТТ - семейство всех отношений,.ти-; а (Т-) следования для данных <р и ц/ (т.е. ТТ = Т„ хТц,), равенство понимается покомпо,-ентн6,-тогда(11.12)<(.Ь,]2)<».Ь£!| и \гс)2. г

Для несравнимых отношений рассматриваем также их конъюнкцию, которая яеобяза-гльно эквивалентна л решётки ТТ (при соответствующем её определении). т .. ,

' Этими пунктами, как было сказано, ещё не задана ни одна логика. Конкретные логики олучаем сразу, как только зададим какую-либо функцию оценки. Мы даём более широкий,

В определении подкванторная переменная пробегает не по элементам Т„ а по всевозможным оценхам (об-, |стям) ф данного t'-ro типа, т.е. по-другому это звучит: Vae/( t'„(v) = V).

Е.Смирнова Истшшость и обоснование логических систем И Неклассическне логик». M. 1989 дополиитель-> Вводит понятне неопровержимости формулы, в нашей системе записи: Vaе/ : f„(ip) = 0, но f,=0 о ¡Vf W, •м самым неопровержимость, даже обобщённая до f „(if>)=0, эквивалентна принятию некоторого типа тавтоло-

I4HOCT11. ,

II ' 'с 13

чем у Данна. Смирновой и др., перечень возможных оценок; в результате получаем ряд с цифических логик, но приоритет остаётся за т.н. нормальными оценками, соответствуют!! рассмотренным указанными выше авторами (gaps, gluts и их конъюнкция). Классы миров i fp13 могут удовлетворять или не удовлетворять следующим независимым условиям: 1. t'p=0 .2. fy=0'

3. tp n fp = 0

4. 1ри^=014

Условия 1 -4 выбраны так, что а) попарное пересечение областей, указанных в них, пусто; б) объединение всех областей, указанных в них, совпадает с универсумом:

1'риГри-0рПГр)и =Ш.

Будем, как у Смирновой, писать вместо условия пустоты какой-либо области (из условий ' I !

(' ■14) соответствующий номер, и номер с верхней чертой - вместо его отрицания; пусть 1* ест или I для всех условий 1-4,1< 1 < 4. Тогда условием для логики назовем множество { 1 *, 3*, 4* }. Понятно, что число всех возможных условий для логики - 16. Принятие того и иного условия для логики фактически равносильно принятию множества допустимых оцеп высказываний15. -

Мы рассматриваем вопрос, каким образом принятие тех или иных семантических ; ловий (в нашем случае - принятие класса допустимых оценок) определяет структуру М1 жеств Т, Р, В, К в смысле естественного аппроксимационного порядка (теорети: множественного включения), определяемого набором условий 1*- 4*. Этот порядок в св< очередь детерминирует порядок (по отношению "сильнее-слабее") на типах тавтологичное • | и отношения следования.

Мы различаем стандартные оценки - если улГр=0 и ¡¡¡^¡,=4/ (соответственно ) стандартные, если хотя бы одно из этих условий не выполнено) и нормальные (соответ! венно ненормальные) - когда для всякой переменной выполняется условие: *0 и Г V при некоторых приписываниях аир. Решающей характеристикой условия для логики, б; годаря которой оно детерминирует именно данный порядок на Т, Р, В и N является то, 1 кую оцекку оно определяет - стандартную или нестандартную. Критерий нормальности 01

" Используем записи I» и Г, (феРопп) наравне с 1(9) и

14 Предполается, конечно, что эти условия выполняются при любых ^(р) и Цр).

ж (который вводился как pal, чтобы отличать существенные условия от менее важных) сазывается здесь не значимым. Действительно, в Т (F, В, N) существуют несравнимые 1енки при условии 3 и 4, т.е. если допускаются и провалы значений, и пресыщенные 1енки. Если одно из этих условий не выполняется, оба множества упорядочены линейно, хли условие для логики допускает только нестандартные оценки (возможно, не обе), то леем T=F=B=Ñ".

Для каждого данного условия по решётке Т легко восстанавливается структура мно-гства ТТ. Самым слабым следованием (независимо от выбираемого условия для логики) гдет (sup Тф, inf Т,,), т.е. ( f%, f¥ ) (так как VxeT^ Vx :t'xcxc f'х), а самым сильным -едование (1'ф, f 'v), чем и объясняется, что следование типа [f] у ЕДСмирновой" всегда зрмализуется классической логикой). Отношение следования (t't1) пусто, если t' э t1 или [И не сравнимы.

Типом логики называем тройку <(t'lp,tív),tk,ycn.>, где упорядоченная пара (t^,^) ука-шает на (выбираемый) тип следования, tk - (выбираемый) тип тавтологичности, усл.- (вы-[раемое) условие для логики. Каждый выбор — (t*,,, tí^), tk и усл. - осуществляется незави-мо.

Логикой назовём упорядоченную пару (а, Ь ), где а - класс тавтологий логики, Ь -асс выводимостей (Г^ТД, с непустыми Г, Д). Таким образом мы получаем некоторое се-:йство логик.

i ' i

При подстановке конкретных значений Ci, с j, с з вместо соответствующих параметров ran логики, последний задаёт некоторую логику (а, Ь ), что будем записывать равенством !,с2,сз> = (а,Ь)."

Рассмотрим, например, логики типа (/E¡, t', gaps) (с нормальной оценкой). Для gaps, к же как у Е.Д.Смирновой и М.Данна, имеем четыре типа отношений следования (из ТТ) ижние индексы опускаем): (t t), (t fj, ( f t), ( f f). Пусть C=(t', gaps), тогда класс тавтоло-й пуст и имеем:

<(«), О = (0, KIflk), < ( f, f), С > = (0, Prfde),

<(t, f),C> = (0,CI), <( f,t),C> = (0,0),

Аналогичное построение уннверсума значения в объектном языке с помощью J-операторов имеется у ¡.Вригта Логики нсткны // ВрнггГ.Х. Логико-философские исследования. М. 1986, и С.А.Павлова Исчис-ше предикатов истинности и ложности // 2-ой Советско-финскиП коллоквиум по логике. М. 1979. ~аким образом, по распределению (например) областей истннности по силе не всегда можно судить, какое ювие такой порядок предполагает - может ли оно допускать недоопределенность или истинность каждого ментарного высказывания и т.д.

Д.Смирнова Логическая семантика и философские основания логики. М. 1986.

t I'"

<(tt)&( f, 0,0 = 10,1»*). Если теперь С = ( f, gaps ), то множество тавтологий образует классическую логику. 1 гда получаем логики, отличающиеся от предыдущих только классом тавтологий.

Для четырёхзначного случая имеем опять два типа тавтологичное™ ( f' даёт клао ческий класс тавтологий, остальные три области - пустой), и следующие непустые: ,

[1](t,t) = ( f, f ) = Rrdc, •

[2](t\ f') = Cl,

[3] (t', a), aeT.a* ?',

[4](cx, f'),a^t',

1 „!.- [5] [3] & [4] = L згйс-

По сравнению с М.Данном и Е.Д.Смирновой имеем два новых непустых следова!

- [3], [4]. Поскольку t'(tp&-icp) = 0, для (t', а) имеет место ср&^ср^Ьу. Это следование Кли

(Хао Вана), f ' (<р v-i<p) = W, поэтому для (a, f') значимо <pjЬч* v ""•V- Это следование П]

ста (двойственное хаовановскому)19. Таким образом, нерелевантные исчисления могут ф

мализовывать релевантную семантику.

Комбинируя типы тавтологичности и непустые следования, получаем восемь логик.

В следующем параграфе даётся формализация введённых отношений. Сначала мы

даём процедуру, которая каждому отношению следования (t111) при данном условии для _

гики сопоставляет определённое исчисление. Уже из результатов этого сопоставления бу.

. I видно, .что (а) некоторым следованиям при одном условии для логики соответствует о/ I || ■ ■ " • !

исчисление и, более того, (Ь) некоторым следованиям при различных условиях для лоп

соответствует одно исчисление. Как только мы докажем теорему адекватности, сразу-по

там .результаты Данна и Смирновой (гл.1 §2) о коммутирующих условиях и, кроме того/]

кажем, какие ещё типы следования (при релевантном условии) формализуются нерелева

' ' U: -is

ными исчислениями (а также получим результаты "двойственности" для логик с

' J it.1 Vv

нормальной оценкой).

В §3 этой главы вводится обобщение типов логик и рассматриваются семакгачес! условия, при которых в логике проходят modus ponens, теорема дедукции, частный слу монотонности (т.н. позитивный парадокс). ! ^'

1

" Иначе говоря, тип логики (а, Ь) есть указание на способ ев порождения. ' .

" Тем самым наша схема соотношений между следованиями (1)-{9) для релевантного случая отлична от пре ставленной в Смирнова Е.Д. Истинность и вопросы обоснования логических систем // Неклассические логи» М. 1989.

18 14

В §4 мы распространяем наш подход, с одной стороны, на логики, содержащие операторы истинностных оценок, сравниваем их с логиками истины Г.Х.Вригта и логиками ложности С.А.ГТайлова; с другой - на логики с конструктивными и неконструктивными опреде-'лешими отрицания и импликации (в семантихах типа Крипке), а также показываем, как проводимый подход к построенику семейств логик можно .применить к Другим, алгебрам на примере алгебр Г^йтинга и Брарра.

В общем случае новые отношения следования, детерминируемые порядком в данной алгебре (А, 5); которая также может быть представлена как (А,-ч,...,-1„, л, V, -», О, I)20, задаются следующим образом.

; Под типом значения истина понимаем Тл={->«1...-11п,а | аеА, ш=2к, к=0,!,..., ~ч>а=а, -Зк<т (-н|...-^ка = -1»1...-15та)}. Подтипом значения ложь - Рл={~ч|...->5та | аеА, ш=2к+1,

к-0,1А—}' ;

■ Соответственно получаем 1-•;>•!.>.' (1 следбвание, сохраняющее истинность) (5,) <р |= ^ о -,га ф21,

где (-ч^ф) есть (-1,|...-1ЯП<р), аналогично-IV-

•К'1 (П следование, сохраняющее ложность) {</) <р |= у о -■"ср 5 -.'*(/•

" Имеем два типа порядка на'семейстье следований, сохраняющих истинность - (<,): первый - обычное теоретико-множественнее включение, второй - определённый выше: РьЬУ^Оиг) о ^ 1| и ¡2^а 11,2, б Т ч; второй тип позволяет провести более тонкую дифференциацию отношений следования.

Если (¡|,Уи (¡1И2)2.---.(11.Ь)к - несравнимые отношения следования, то рассматриваем также отношения (<д) ¿^((Ыг)) и (£,) ¡1 Дг^.

Пойятно, что при таком подходе к типологии первопорядкоЬого следования (<,), (<г), есть ограничения исходного отношения Тем самым При построении иерархии отношений следованиязаранее-задано. мнтмальное.самое бедное, остальные.суть различные его обогащения. " —~.....—........

Также понятно возможное обобщение отрицаний, модальностей и импликаций22. Для импликаций конструктивного типа, напри»: ,-р, используя введённые выше определения и обозначения, это будет выглядеть так. V:' ае^ф-иу) о \7Ъ(аЯЬ => (Ье1'а(ф) =

* Допускаете* возможность определения одних из этих операций через другие.

21 Слева 9 и 41 - формулы, справа - элементы А.

пберйи стандартное определение связки (в крипковсюй семантике) и превращаем его в схему за сч{т подстановки ■ определяющей части вместо обычной истин мост» (0 - переменной области со значениями из ТА.

аеГа(ч>—» ае!'а((())& ав^оСу). где 1'(ф)еТл((р), 1'(у) е ТА(у), Р(ч/)еРА(ч<

Естественно спросить, насколько вводимые при данном подходе понятия логически содержательны. Логическая осмысленность определений следования и связок, получаемых таким образом, связана с наличием логической штерпретации у исходной алгебры. Если такая имеется, то предлагаемые конструирующие операции сохраняют семантическую осмыс-' лснность.

В заключении подводятся итоги диссертационного исследования, намечаются перспективы дальнейших исследований поданной ;сме.

Публикации. Основное содержание работ отражено в следующих публикациях автора: I. Семантическое построение логик истины И Тезисы докладов 1-ой международной конференции "Смирновские чтения". ИФРАН.М.. 1997, с.59-60." 1. Семантическое построение логик истины // Гезисы международной конференции "Развитие логики в России: итоги и перспективы" М., 1997, с.63-67.

3. Об одном подходе к построению логик, ос> ованных на различных семантических допущениях // "Современная лотка: проблемы теории, истории, применения в науке"// Материалы общероссийской конференции Санкт-Петербург. 1998,249-252.

4. Логики с различными типами следования и гавтологичности // 2-й российский философский конгресс. Т.1 "Онтология, гносеологи - . методология науки, логика". 4.1. Екатеринбург. 1999, с. 244.

5. Логики с различными типами следования и гавтологичности // Смирновские чтения. 2-ая международная конференция. ИФРАН. М- 1 '99, с. 132-134.

6. Допустимые оценки и отношения типа елс ювания // Труды научно-исследовательского семинара логического центра Института фи ософии РАН. 1998. М. 1999, с.60-70.