автореферат диссертации по философии, специальность ВАК РФ 09.00.08
диссертация на тему: Проблема рационализации математической эвристики

Полный текст автореферата диссертации по теме "Проблема рационализации математической эвристики"

имени М.В.Ломонооова

V

\

Специализированный оовзт Д 053.05.72

На пррвах рукопиои

СУЛТАНОВА Линера Баяршговна ПРОБЛЕМА РАЦИОНАЛИЗАЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЭВРИСТИК!!

Специальность - ф1лоооф!я: 0.00.00.- £илооофокие вогроои естествознания и техник»

Автореферат дяосерташи на еоискакяе ученой Ьтепеьи кандидата ф1яооофоких наук

Москва -

Работа выполнена на кафедре философии и методологии науки естественных факультетов центра социально-гуманитарного образования Московского государственного университета имени {1,В.Ломоносова

Научный руководитель - профессор, доктор философских наук

В.Я.Перминов.

Официальные оппоненты -профессор« доктор философских наук

Ч.И.Панов,

- старший научный сотрудник, кандидат

- физико-математических наук А.Н.Кричевец.

Ведущая организация - Институт истории естествознания и

техники РАН* сектор история науки и логика.

Защита состоится " 1994 года в_

часов на заседании Специализированного Совета / Д 053.05.72 / по философским наукам в Московском государственном университете имени И.В.Ломоносова по адресу: г.Москва, Воробьёвы Горы, 1-й,корпус гуманитарных факультетов МГУ, ауд. 1161.

С диссертацией можно ознакомиться в читальном зале библиотеки гуманитарных факультетов ЫГУ.

Автореферат разослан »12. » НОЯБРЯ 1994 года.

Учёный секретарь Специализированного Совета доцент

В.В.Миронов

ОРЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОИ

Актуальность теми исследования. Устойчивый интерео к эврю-тическии исследованиям в области математики зародился еде в античности. Тач, э историко-иатематичесчой литература нотио найти упоминание о так называемой Патовой эвристике, т.е. об исследованиях в области математического доказательства д'рзвнеалексан-дрийскогэ математика Паппа. Еще во времена Архимеда термин "зарю тика" связыЕалоя с ситуацией намного открытия.

В дальнейсем эвристикой занимались многое математики. Однако лиаь немногие подойно Декарту или Лейбницу оставили фундаментальные философские сочинения о формировании и развитии математических понятий и методов. Именно эти вопроон был!' в центра эвристических исследований по математике вплоть до сороковых годов насего столетия, когда положение вецей суаеотвенно измеш-лось.

Это изменение овязававт с возникновением таких ва-чсиэйснх областей современной науки.как кибернетика, эвристическое программирование, искусственный интеллект, базирующиеся на исследованиях методов и процессов ревения нестандартна* математических задач. Зти отрасли современной науки вызвали живой интерес к эвристическим исследованиям и вывел! их за рамки методологии математики. Так, одна из ранних работ в этой 'области В.Н.Пушкина называлась "Эвристика - наука о творческом мыилении". Вообие в науке начал формироваться новый аспект эвристических »«¡следований, связанный с проблемами творчеотва. Он включает в себя исследование вопросов соотношения эвристики и интуиции, а также изучение эвриотичес.;ого процесса в математике.

В последнее время в связи с активизацией исследований по проблемам искусственного интеллекта возросла необходимость выработки гносеологически верного отношения к достижениям этой

науки. В этой связи необходимо исследовать вопросы соотношения эвристики, интуиции и неявного знания в математике. Понятно, что предварительно необходимо выявить структуру и статус неяЕного знания в математике, а такхе его роль в разрешении вопротов рационализации математической эвристики. Ма считаем, что эти выводы могут бить распространены и на проблемы искусственного интеллекта.

Кроме того, необходимо выявить истинное содержание термина эвристическая деятельность как включающего моменты неосознанной продуктивной деятельности. Актуальным, на наш взгляд, является рассмотрение всех аспектов эвристических исследований в области математики.

Степень разработанности теми. В настоящее время в философии и математике проведена серьезная подготовительная работа для получения новых выводов по проблеме диссертационного исследования, однако вначале необходимо обобщить предварительные результаты и интерпретировать их с точки зрения этой проблемы.

В истории математики - ото фундаментальные исследования

A.П.КщкеЕича, И.Баишаковой, К.А.Рыбникова, Бан-дер-Вардена, Клейна и др. В психологии математики и области эвристических

исследований - ото работы Дункера, Г.Биркгоффа, Дж.Брунера,

B.Н.Пущина, Ди.Пойа, Л.Гуровой, Ю,Н.Кулоткина, М.Вартофского и др. В философии математики - ого исследования ИЛакатоса, А.Пуанкаре, Е.Адамара, а такке В.Я.Парминова, М.А.Розова, М.И,Панова, А.Г.Барабешева и др. Кроме того, мы будем обращаться к работам ввдавнегося философа и математика ХЛ1 века Рене Декарта.

Для успешного исследования диссертационной проблемы необходимо проанализировать, во-первых, само содержание современных эвриотических исследований в области математики во всей их исторически слоги в сейся многсаопектности, как возникших на стыке та-

кнх наук как история математики, психология математики, Залоао-фия математики, а ток га методология математики и теория обучения математике. Само понятие математической эорнотики обозначает совокупность эвристических средств иатенатики, т.е. средств, наводящих на решение нестандартной математической задачи и включающих элемент догадки. В облаоть современных эвристических исследований в математике прежде всего входят изучение и классификация эврютических средств математики. Также изучаются исторические пут» формирования этих эвристических средотв, их связи со строго-математическими методшг, эвристические процессы в математике, т.е. психические процессы продуцирования этих эвристических средотв.

Во-вторнх, следует обосновать необходимость включения в папе исследование аиалиэа эвристического процесса в математике, а также исследовать епды, методы к пределнше формы рационализации математической эврютики. При эгом под рзшмнаизашеп математической эвристики понимается ее перевод с неявного уровня на яз-ныП или вербализации, и последующее уточнение вербализованной эвристики в математических понятиях и терминах на основе дедуктивных принципов.

Неразработанными или мало разработанными в историко-натема-■гической и философской Л1тературе являются: I) понятие о факторах, вл!я»щих на рани он али запив эврютики, и ее границах, 2) понятие о предельнйх формах раин она лизашш математической эвристики, ее особенностях и гидах.

В этой связи необходимо обратить внимание на понятия мато-матическоп интуиции, неявного знания в математике и его структуру, а также на связи этих понятой с понятием математической эвристики.

Отметим, что ранее в ф1лософско-нетодологическои литерату-

ре по натенатихе иоследование проблемы рационализашш математической эвр!сткки ке сглзавалось с вопросами изучения математической интуищи и теорией неявного знания.

Цеди я задачи исследования, Цели настоящего диссертационного исследования является изучение проблем, возникающих при рани одаги задан зврютнчесннх средств математики, а также при рани спаги зелии эвристического процесса в математике, которая заключается в интерпретации результатов экспериментальной эвристики н психологии математики э философском аспекте.

Интуитивно ясно, что рационализация эвристического процесса в математике ограничена. Однако, поскольку раскрытие интуитивно ясных фахтов математики часто приводит к интересным результатам, мы посчитали здесь необходимым дать гносеологическое обоснование зтшу утверждению. Кроме того, это положение является здесь ба-зисиин.

Реализация цели настоящего диссертационного исследования предполагает ресение следующих взаимосвязанных задач: I) выявление факгорсв, ограничивавших рационализацию и обоснование их указанного статуса относительно проблемы рационализации матема-

таческся охрю тики; 2) выявление граши указанной рационализации ■

л усяошп их достижения; 3) рассмотрение предельных форм, гидов и кетодсв рационализации эвриотеческих средств и эвристического процесса в математике; к") выявление услопй, при которых эвристические сре-стаа математики становятся принципиально нераииона-янгирусмыми, то есть иррациональными.

Тесретако-методолошческие основания исследования. В насто-яцем диссертационном исследовании ми опирались на следующие теоретико-методологические предпосылки:

I) Ло-охения теории неявного знания М.Полани. Они были существенно доработаны и' дополнены, а некоторые из них - крити-

чески пересмотрены. В частности, это касается утверждения М.Пола-га о принципиальной перши снах» зируемоогн неявного знания. Еде а намечена у И.Полани и его структура, выявление яогороЛ необходимо для успешного иссяедовшшя теми диссертации.

Важнни в свете теми диссортац»!: является пологгние о дая-тельнозтиог! природе натематичэскся интуиции.

2) Кроне того, ии опиралась на яюяохгиие о возможности совпадения внутренней легшш исторического процесса развития математических методов и внутренней логами рациональной реконструкции этого исторического процеоса.

3) Важнейшим георегико-мзгодолотческим положением дкссер- • таиии является утверждение-о невозможности разделения изучения развития эвристических и строгих-математических методов. Для полноты методологической кертпни, как ми считаем, необходимо изучать математические методы иа протяжении вссп истории их развития - от иелвиол эвристики до формольно-матегатичгскнх методов.

Все эти теоретико-иетодолотческие установки раскрыты непосредственно в самой диссертации. Также в диссертации используются достижения и результаты развития научной мысли в области философии математики, психологии математики, а такте историко-математическоя и .математической наук.

Научная новизна исследования соетопт в следуших, полученных автором, результатах: I) Раскрнти свяач эвристики и интуй-иии з математике, а именно выявлены следущие номеиты необходимого вклпчения математической интуиции в эвристический процесс: а) пр1 переносе эврютики друглх наук на математику, б) при переносе эврюгаки в математике на другой тип задач, в) при конкретизации эвристических методов, г) при смене эвристических • методов и приемов.

б

2) Показано, что структура неявного знания в математике такова: а) неявные эвриотеческие метсди и приеиц, применяющиеся математиками на неосознанночштуитивном уровне; б) неявьие опт о« логические предпосылки, на которых строятся понятия языка, и те гносеолошчеокие предпосылки, ни которых отроится математика как наука, т.е. первоначальные математические интуиции; в) фундаментальный общий элемент структуры неявного знания, присущего конкретной личности, состоящей из психологического "комглекоа неосознанных ощущений", а такке физических и метафизических представлений личнооти.

3) Построена концепция эволюции эвриотических методов от неявных к явниы как реальная рационализация математической эвристики . При этом показаьо, что> эвристический метод в математике в своем историческом развитии, проходит этап и неявной (неосознанной) эвристики, выявленной эвристики, алгоритмизации, в ¡>эзультате котдвго мы получаем строгай математический метод; и этап формализации, в результате коирого получаем формальный математический метод.

4) Показано, чта поисковая эврютика, т.е. эвристика, имеющая рекомендательный характер, в отлично от эвристики специфически матеыатпчеокол не подвержена, иоторичеокой рационализации, а представляет о об ой процесс налиоания программ для компьютеров на основа этой поисковой эвристики как некоторых индуктивных приемов. Предельной формой поисковой эвристики будет компьютерной алгоритм.

5) Показано, что: предельными формами рационализации эвристических приемов и методов в математике являются алгоритм и обратимая процедура. Предел рационализация поисковой эвристики -компьютерная программа.

6) Выявлены следующие границы рационализации эБристаче°ких

нетодоз в математике: а) точка наавдения математической строгости - когда нет од удовлетворяет требовании к уровню математической строгости конкретного иоторичоского периода, б) неявная эвристика, в) границы, обуоловлонныз прибиванием в математику но-воп эвристики.

Последняя х^аница позволяет нам здесь сформулировать выгод об обцеи усложнении математики, вследствие чего усложняется и рационализация эвристических средств математики.

7) Теоретической градишеп рационализации математических методов является такой слой net зцого знания как порвоначалыша математические интуиции.

8) Обосновано, что эгристачзские средства математики принципиально иерапиоиаллгируема на этапе неяэнол эвристики кончеп*» иии эволкйии математических методов от неявных к явным и в слу-' чае отсутствия этапа прохерки в структура эврютического процесса по Лдаиару как индиЕ'лдуально-пснхолотческоП оообетюст!! конкретных математиков.

Теоретическая и практическая значимость работы. Полученные в диссертации выводи имеют существенное значение для исследования в области математического творчества и философских вопросов математики. Общефилософское значение имеют выводы диссертации относительно неявного знания в математике для дальнейшего раз« вития представления о по значат ел ьпол деятельности человека. Материалы диссертации могут использоваться в висвеп школе при разработке спецкурсов по философм математики.

Научная апргбаиия работы. Некоторые выводы излагались на научной конферон'ии студентов, аспирантов и молодых ученых (Уфа, апрель J99'-'), а также на заседаниях кафедры философии естег:тленных фак 'льтетор МГУ.

Структура хоботы. Диссертаиия состоит из введения, трех

глав, заклочешя я библиографии.

ОСНОВНОЕ СОД.ЕРЕЛШЛЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обосновывается актуальность выбранной темы, характеризуется степень ее разработанности, формируются цель и задачи исследования, опрэделявтся его методологические основания и научная новизна.

Первая глава диссертации называется "Взаимосвязь эвристики и интуиции в математике". Б порвем параграфе раскрываются особенности и основные понятия современных эврютических исследований в области математики через их исторически сложившуюся мкогоаспектность. Предикат "эвристический" здесь вообще означает "вклэчающий элемент догадки", кзобратмий, т.е. ловагоЕо неповторимый, неалгоритмизуемый.

Вообде под математической эвристикой в диссертации понимается вся совокупность эвристических средств математики, для которых в целях удобства нами была предложена следующая классифи-• кааня. К оврютическим средствам математики относятся преяде всего собственно математические эврютичеокие методы и пр!еми математики - такие, как метод интерпретаций, метод доказательства от противного, метод дополнительного построения в геометрии и т.д. Кроме этого, это так называемая поисковая эвристика,

1

представляющая собой рекомендации, пожелания, которые как бы дает сам себе каэдый, ревающип задачу, в процессе этого решения. Крупные математики, как правило, на езнове этой поисковой эвристики вырабатывают собственную эвристическую стратега», которая предполагает применение эвристических средств в определенной п ос лед овате л ьн оо то.

Одним из аспектов эвристических исследований является иэу-. чение методов ревения задач в целях получения методологических

выводов и обобщении. В качества пршера в параграфе приводятся некоторые стратегия решения математических задач без участия интуиции, когда не происходит глубокого преткновения в процесс реиз-ния. Догадка, которая является необходимым элементом стратепш решения нестандартных задач, при этом объявляется чисто случайным элементом. Никакая подлинная, ведущая к действительному уточнению понятий и развитию математических методов рационализация математической эвристики, по нашему глубокому убежденно, невознохиа без участия интуиции.

Изучением психологического аспекта эврютичеоких процессов занимается когнитивная психология, в результате исследований которой было установлено, что эвристические средства выр^бативоатся в результате так называемой эвристической деятельности, под которой в науке понимается психический процесо, посредством которого рева-ется задача. Другой аспект эвристических исследований заклочается в изучении этой эвристической деятельности в математике.

Ванным в свете исследования диссерташинной проблемы нам. представляется четкое разведение понятий "эвриотичеокая деятельность" и "эвристические принципы". Из исследований экспернмснталь-ноп эЕристики и когнитивной психологии следует, что эвристические принципы вырабатываются в результате эвристической деятельности и вследствие этого они несводимы одно к другому. Пр1 противоположном мнении можно прийти к выводу о возможности полной рационализации эврютических средств математики как имеющей цельо поваговое объяснение всех моментов эвристического процесса и детален эвристики^. В действительности это невозможно, по крайней мере, из-за участия в эвристическом процессе интуиции, деятельность которой является спонтанной.

I) О.Ф. Серебря ник он. Эвристические принципы и логические исчисления. М., - 1979. - стр.82.

Вакнш аспектом эвристических исследований в области математики является рациональная реконструкция математики.

Кроме того, историко-ыатематический аспект эвристики в сочетании с исследованиями в области эвристического программировала и искусственного интеллекта позволил сформироваться еще одному аспекту эвристических исследований - как области науки, в которой фиксируется, обобщается к систематизируется опыт математического ыышле-ния. Всего мы вццелили три аспекта эвристических исследований в об- • лвстк математики как изучающих эвристические средства математики и их формирование.

Никакие исследования проблемы рационализации математической ьвристики невозможны без анализа основных особенностей эвристического подхода в математике. В отличие от естественных наук, где велика роль лабораторного эксперимента, в математике приоритет принадлежит мысленному эксперименту, то есть эвристическому подходу. В этой связи предпочтительно именно в математике ведвикение дедуктивной догадки, поскольку математика по природе своей тяготеет к строгости. Особенностью современной математики является тот факт, что в ней изучены и полостью проанализированы отрицательные последствия как дедуктивизма, так и эмпиризма. Современные математики придерживаются той точки зрения, что, если эвристика в математике может быть самой разнообразной, то окончательное доказательство должно бить строгим. Уровень строгости в современной математике очень высок, поскольку разработаны методы формализации, доводящие уровень математической строгости до предела.

Основным направлением нашего дальнейшего анализа является рассмотрение связей эвристики, интуиции и неявного знания в математике.

Основная задача второго параграфа - выяснение роли интуиции в продуцировании и развитии эвристических средств математики. Ин-

туииия подразумевает os? схгагивагая значения ваглооти структуры задачи или ситуации баз опоры на развернутые аналитические оред-отва. Правильность или опибочнооть интутши в конечном счете устанавливается методса<и проверки. Интуиция позволяет бистро выдвинуть гипотезу или выделить существенное понятие до того, как становится известной их ценность. Отиетим, что нас интереоует не просто эвриотичеокая, то есть исследовательская интуиция, а интуиция математическая, которая по сравнения о физической, имеет ряд особенностей.

Основная особенность заключается в различном действии этих интуиция при формировали всеобщих цеобходимых суздений, то есть при индуктивных заклпчеииях. В суще ним по индукции в математике мы опираемся только на могущество разума, то есть на свои соображения, a'D (физике еце и на данные экспериментов.

Вообще чисто математическая интуиция - это интуиция чистого числа или чистых логических форм, которую А.Пуанкаре характеризовал как головокружительную, то есть требующую налбольпей степени абстрагирования.

Матекатичеокая интуиция "держит" математическое доказательство, то есть обеспечивает связь различных этапов и их последовательность. Непосредственный момент действия математической интуиции известен как "озарение". Это один из этапов эвристического

процесса в математике, структура которого хороао выявлена Адпма-р

ром ). Он выделяет следующие этапы эвристического процесса в математике: этап подготовки, когда происходит .изучение больших массивов литературы, относящейся к поставленной задаче; этап инкубации, когда подсознание? активно работает над материалом, как

1) Л.мупнкаре. Ценность науки //0 науке. - M., 1990.

2) F.Ativ j - Ис.ледотание психологии изобретения в области нато-мат*<;.. - , 1970.

бы поставляемы ему сознанием. Далее следует этап озарения, который был охарактеризован Здесь ранее. В результате мы получаем некоторый результат-эстафету, который передается сознанию для проверки результатов и их завершения.

Основой математической эврютики является так называемое эвристическое узнавание аналогий. Его механизм практически не отличается от жизненного узнавания нами, например, знакомого лииа.

Кроме указанной интуиции как эвристической, в математике существует интуиция как наглядное созерцание, посредством которой осуществляется математическая символизация, то есть узнавание наш математических символов.

Вообще эвристический процесс в математике - это эвристическая деятельность конкретного математика по решению конкретной математической задачи. Чем сложнее задача, тем более длительным будет эврютический процесс ее решения. Важнейшим моментом эярюти-ческого процесса является момент действия эврютической интуиции, в результате которого продуцируется некоторая догадка, относящаяся к решаемой задаче.

Сила и длительность эврютического процесса в математике зависят от конкретной задачи, либо мы просто выбираем некоторую подстановку в алгоритме, либо идем к математическому открытию. Однако в любом случае при этом мы не можем обойтись без участия математической интуиции.

• На конкретном пршере математики по наховдению формулы общего члена последовательности мы показали те конкретные моменты эвристического процесса, когда в него необходимо включается математическая интуиция. Эго следующие моменты: смена эвристических приемов, их перенос на другой тип задач или из другой научной области на математику, и конкретизация эвристических приемов и методов. Это следует из вывода экспериментальной эвристики о неосознарае-

мости перечисленных моментов решения задач.

По результатам действия эрратического процесса мы можем.построить так называемую эврютическую иепь. Элементами эврютичес-кой иепи являптся результаты эврютаческого процесса, среди которых мы ножен выделить подлежащие рационализации рациональные моменты и не подлежащие ради опали заиии интуитивные момента. Причем эти интуитивные и расиспальные элементы эврютичеокой иепи не могут быть разделены даже теоретически. Эвристическая цепь представляет собой их переплетение. На основании исследований экспериментальной эвристики ми ножен сделать ецвсд о действительной невозможности полной рационализации, эвристического процесса, поскольку она долша включать в себя и рационализации интуитивных моментов, а также алгор:тмизацив всех элементов эвристической цепи. Таким образом иатематическая эвристика есть продукт математической интуиции.

Вторая глава диссертационного исследования называется "Взаимосвязь неявного знания и эврютики в математике". Основной задачей второй главы является рассмотрение сущности и структуры неявного; знания в математике как важного фактора определения границы раиионализашв эврютических средств математики.

В порядке разрешения этой задачи в первом параграф главы мн рассмотрели понятие неявного знания как таковое, выделили его свойства в соответствии с теорией неявного знания М.Полани. Зятпм мн, опираясь на замечания М.иолани, выяв!1ли структуру неявного знания в математике.

Вамюйиим свойством неявного знания, определяющим его неясность, М.Полани считает его неспсцифицируемооть, то есть нейоз^п^--ность сознательно!' реконструкции неосознаваемых периферических элементов знаниг.

В качестве аналогии М.Полани проводит параллель о имсг{ути-

тами, как бы являющимися продолжением человеческого тела, отроение и принцип действия которых интересует человека исключительно о точки зрения их полезности, а не сами по себе.

Основываясь на расоувдениях М.Полани, мы полагаем, что неявное знание в математике - ото неосознаваемый продукт деятельности математической интуиции. Дело в том, что вновь генерируемое неявное знание встраивается в уже существующее, то есть в опыт, посредством интеграшвных процессов, которые не Есегда поддаются рационализации. Такое встраивание невозможно без личной причастности ученого, поэтому неявное знание имеет личностную природу и содержи некоторый психологический остаток.

М.Полани выделяет следующие элементы этого психологического остатка: интеллектуальная убежденность, которая есть "последнее основание наших убеждений"; гера- важнейший элемент психологической составляющей, а также воля и страстность, которая осуществляет эвристическув функцию выбора*^.

Важнейшим для наших исследований здесь является положение теории неявного знания о том, что интуитивный элемент является частью лябой научной теосии.

Конкретно обоснование этого положения для математики может

■

быть дано при рассмотрении символизации в математике. Символизация осуществлютоя по интуиции. Неопределяемые математические символы называются первоначальными интуиииями. Это числа и некоторые геометрические понятая. В евклидовой геометрии это понятия прямой, точки и т.д. Такая символизация производится нами всегда при занятиях математикой, в том числе и при решении задач.

В этом параграфе мы построили следующую структуру неявного знания в математике:

1) М.Полани. Личностное знание. - М., 1985.

- во-первых, ото неявные математические приемы и методы, применяющиеся математикам» бессознательно на чиото интуитивном уровне. Элементы этой составляющей неявного знания в.математике стали предметом рационализации в математической лотке;

- во-вторых, к неявному знанию в математике относятся онтологические предпосылки, на которых строя гзл понятия' языка, а такке те гносеологическиз предпосылки, на которых отроится математика . как наука, то есть первоначальное математические интуиции;

- в-третьих, это фундаментальный общий элемент структуры неявного знания, присущего какой-либо конкретной личности. Эта составляющая неявного знания такгге моггт быть разделена на двз подструктуры со свободной грапнией. Самым базисным элементом всей структуры по теории неявного знания является "комплекс неосознанных ошуцений", проявления которого находятся в сфорз психологаи и не могут быть рационализированы в нашем с масле. Непосредственно над этим элементом располагается второй элемент рассматриваемого базиса, содержание которого составляют физические и метафизические представления личности. Среди них мы выделяем та« называемые общечеловеческие онтолотческие предпосылки личности. В частности, это представления о трехмерности пространства.

Все эти предпосылки третьего слоя неявного знания оказывают действие на весь комплекс неявного знания отдельной личности и через этот комплекс "внедряются" во все научные теории в качестве основы интуитивного элемента. Об этом и дает представление построенная нами структура неявного знания в математике.

Мы считаем, что такие общечеловеческие онтологические предпосылки являются основой для возможной рационализации каких-либо ; элементов неявного знания. Это отрииаетоя теорией неявного знания, но является для нас здесь принципиальным, поскольку дает нам основание для построения нами концепции эволюции неявного знания в ма-

тематике, то есть эволюции неявных математических методов в явные в результате сложнейших историко-математических процессов.

Мы здесь утверждаем, что элементы неявного знания могут дол-гее Еремя использоваться чисто интуитивно, бессознательно. Такое знание, как правило, продуцируется математиками с сильной математической интуицией (например, Коши). Однако рационализация верхних слоев неявного знания, то есть неявных математических понятий и методов вполне возможна. При этом применяются различные формы и методы, и, как свидетельствует история математики, эта рационализация представляет собой длительный исторический процесс. В результате этого процесса происходит уточнение и усиление рационализируемых математических понятий и методов. Важно отметить, что рационализация глубинных элементов неявного знания в математике, таких, например, как первоначальные математические интуиции, строго говоря, является предметом непосредственно самой математической науки.

Во Есей полноте этот статуо неявного знания был осознан (но не сформулирован) только в современной науке после создания такой научной области как эвристическое программирование. Дело здесь в том, что одним из важнейших направлений эвристического программирования является формализация обычных доказательств с целью их проверки. При этом и было установлено, что некорректность этих доказательств обычно связана с наличием явно не сформулированных, недоказанных или ложных посылок.

О важности анализа понятия неявного знания и его связей с другоми гносеологическими понятиями свидетельствуют отдельные комментарии историко-математаческой науки. Они являются необходимым и а тори к о-матеиа ти чески м обоснованием концепции эволвиии математических методов от неявных к явным. В частности, в древнегреческой математике неявное знание передавалось посредством устной традиции, а поскольку обозначения в древнегреческой математике не были

общепринятыми, роль устной традиции в развитии древнегреческой математики, била велика, настолько, что, когда эта устная традиция оборЕалаоь, древнегреческая математика прнала в упадок^.

Итак, согласно насей концепции эволпиин математической эвристики, на первом ее этапе эвристический метод не иожпт быть да-

I

ке назвал частной эврютакой, поскольку применяется неосознанно. Это так называемая неявная эвристика. Понятно, что такая эврюти-ка необратима (повагозс неповторяема) и, следовательно, нерацио-н&лизнруема.

На втором этапа эволюции " результате практического применения происходит выявление этой оврютики. Эвристика становится выявленной и яи:о участвует в эвристическом процессе. Выявленная эврютика потенциально вербализуема,- хотя еце и неалгоритмизируе-ма. Интуитивный элемент такой эвристики еще очень силен, fio долгий и сложный процесо его ослабления уке начался.

Следующий, третий этап эволюции эврютического метода - это этап его алгоритмизации. При этом эвристический метод преобразуется в строгий. Иначе говоря, посредством практической алгоритмизации метода осуществляется его рационализация. В дальнейшем метод функционирует уже как строго-математический. Степень его интуитивности при этом неуклонно уненьыается.

Теперь для полноты методологической картины нам необходимо включить в нашу концепции эволюции математических методов еще один этап - этап формализации строгих математических методов. 3 результате формализации математический метод приобретает вид формального алгоритма-или формальной обратимой процедуры.

Здесь важно отметить, что математические методы вообще о в г; да • ииокируют по-разному в зависимости от их применимости в одний ¡'ли нескольких областях математики. Так называемые эвристические идеи,

I) См.: Впн-дер-Варден. Пробуждающаяся неука. - М. , 1959.

которые примени»«! буквально во всех областях математики, в своей эволюции:'проходят еще ч с ran формализации. Например, эвристическая идея интерпретации формализована в математической логике как математический метод интерпретаций. Рационализация эволюиии этой эвристической идеи проводится в настоящей диссертации в качестве закрепляющего наиболее полного истор1ко-матенатического примера.

На основе изменения степени интуитивности математического метода в процессе рассмотренной эволюции мы мокем сформулировать понятие математического ..етода в конкретный исторический период развития математики. Iii можем сказать, что па данном конкретном отрезке развития математики сосуществуют, Ео-первых, явные математические методы, имеющие вид алгоритмов или обратимых процедур, или елгортюв с обратимыми элементами; Ео-вторых, явныл эЕристачес-кие методы, ннеецие гид процедур, содержащих некоторые необратимые элементы; и, в-третьих; неявные эвристические методы, применяющиеся на неосознанно-интуитивном уровне. Эвристические методы в отличие от строгих имеют гораздо больщуп. степень интуитивности.

Проводя построение такой концепции эволллш математических методов, мы по существу занимались рационализацией эвристических

средств математики. С точки зрешл такой концепции эволюции ыате-»

маткческих мзгодов строте и даке формализованные математические методы содержат интуитивный элемент как объединяющий их с эвристическими методами математики и позволявший ргссматривать эвожшию математических методов от неявных эвристических до строгих формализованных как единый эвблвиушшый процесс.

Поскольку построение концепции эволюиии математической эЕрис-тики является рациональной реконструкцией ее истории, конечные форма эволюции математической эЕристаки мы можем рассматривать как пределы ее рационализации. Анализ этих пределов производится на основе различных классификаций эврютических методов математи-

ки. В процесса этого анализа пани вдяонвно; что:

1. Эволюция эвристической идеи в математике обладает следующими особенностями:

а) эвристическая идея, эволюционируя ножот дать болзс одного математического метода. Эвристическая идея интерпретация, эволюционируя, дает акс и амати чес кип метод и метод интерпретаций,.

б) эволюиия эврютичеокой идеи заканчивается'этапов формализации,

в) эврютическая идея вследствие своего обцематемагического характера эволюционирует в метод математической лотки,

г) предельной формоя эволюции эврмгнчеокоя идеи является ' формализованная обратимая процедура,

2. Многие математические методы, в частности, методы дифференциального и интегрального исчислений, эволюционирую? по общей охеме концепции эволюции математической эврисгнки. В пределе такой эволюции мы получаем либо математический алгоритм, либо алгоритм с элементами обратимой процедуры.

3. Геометрическая эврютика в процессе исторического развития математики подвергается только слабой рационализации, которая выражается в усилении эвристической функции наглядности чертежей и обозначений.

Поисковая (общенаучная) эвристика эволюшюнкрует следующим образом. Вообще она может дать начало эволюции эвр»стическо-го метода или идеи. В этом случае она эволюционирует по общим законам нашей концепции эволюции математической эврюсики. Параллельно она может продолжать применяться по-прежнему как поисковая . эвристика. Как таковая она эволюционирует в общеметааологическом контексте. Однако в современно.", науке такая поисковая эврютика рассматривается как основа для эвристических программ, которые ми здесь рассматриваем как предельную форму рационализации поисковой

эвристики в математике. От представляет собой компьвтернуто программу, которая содержит алгоритм-о элементами обратимой процедуры.

Третья глава диссертации называется "Границы и виды рационализации математической эвристики". В ее первом параграфе на материале первых двух глав диссертации рассматршавтся методы и виды рационализации математической эвристики, а также делаются методологические обобщения относительно рационализации как таковой.

Вообще под рационализацией эвристических средств математики ми здесь понимаем их вербализацию с последующим уточнением в математических понятиях и терминах на основе дедуктивных принципов. Одним из видов такой рационализации в области эвристических средств математики является рациональная реконструкция истории математики. Она имеет следующие особенности:

I) При рациональной реконструкции мы выдвигаем некоторую гипотезу относительно исторического развив»я математических методов, подкрепляем ее соылками на историко-математическуа литературу и затем уже детально проверяем на иоториго-математических примерах. 2) Эта форма рационализации носит ретроспективный характер. Понятно, что ги поте за при этом отратает тенденцию исследуемого явления. Вам«о,' чтобы детали исторического процесса не противоречили этой тенденции. Вообще ни одна гипотеза не может описать развитие математических методов настолько подробно как г реальной иотории. Это целиком и полностью относится к пашой гипотезе эволюции математической эвристики. Главное в этом случае, чтобы совпадала внутренняя лотка выдвигаемой гипотезы реконструкции и реального исторического процесса развития математических методов. 3) Рациональная реконструкция истории математики ограничена недоступностью необходимых исторических документов.

Второй формой рационализации эврютических средств в математике является становление и развитие мате.' дтических мртодое как

таковое, поскольку вполне правомочно рассматривать развитое математики как рационализацию ео эврютичеоких средств. При этом мы молем сослаться на наяу концепцию эзояиики математичеоких методов. Методами рационализации здесь будут алгоритмизация эвриотики и формализация математических методов, происходящие в ходе истории развития математической науки. Такая форма раци окализации эвристических строгих методов в математике представляет собой мощный источник эвристических средстз в математике. Разумеется, формализованы могут 1) ть только строгие математические методы, но никак не эвристические. Формализация ограничена первоначальном, математически«! интуицитя.

Третьей форнбй рационализации математической эвристики является рационализация эвристического процесса в математике. При этом используются методы экспериментальной эвристики - протокольный интроспективный метод и ретроспективная метод - возможное восстановление мыслей человека, продуцирующего эвристику.

Целью рационализации эвристики является ее экспликация, то есть раскрытие свойств объекта через его отношение к другому дополнительному объекту. При экспликации вскрываются верхние слои неявного знания е математике, а его "онтологические" слои - объект уже не математического, а философского анализа.

Как анализ доказательства, рационализация в математике имеет лингвистическую границу, за которой но происходит увеличения математического содержания-понятия и терминов, а только уточнение смысла этих понятия и терминов в языковом отношении. Кроме того, при рационализации математических понятий и соотнопений нас подстерегает оггаснс.чть иррационализма. Суть здесь в том, что расширение понятий не оставляет истинного утверждения вообще.

Точка нао ни гс математической строгости как бы разделяет эвристические и спогие методы т? математике, и в отличие от лингпис-

тачесяоя границы являетоя траншей рационализации эвристики в математике.

Во второй параграфе третьей главы диссертации на примере топологической овристики, связанной с топологией, анализируется граница рационализации математической овристики, обусловленная прибиванием в-математику новой эвристики. Вообще такой процесс прибывания ново!? овристики происходит в математике постоянно вследствие се развития. Следовательно, невозможна частичная рационализация всех математачыких методол и эврютических оредотг. Всегда а математике будут существовать неявные эвристики» а также выявленные эвристические методы, эводоция которых еще не завершена.

На примера топологической эРрастики, которая усложнена по сравнении о обычной, показано, что истор!чески рационализация математической эврютики усложняется, но при этом; в ней появляются иоше методы (топологическое перемножение) как средство ее саморационализации.

В третьем параграфе отмечено, что в эрратическом, процессе вообще суцествупг моменты интуитивные и не поддающиеся рационализации, то есть моменты ирраииональныэ. Кроме того, иррациональным являе^я кагдый метод «а этапе неявной эврютики. Однако эта иррациональность относительна и преодолевается на последующих этапах эволвшш математической эвристики.

Кроме того, существуют методы, иррациональные вообще. Они

являются настолько глубокой личностной эвристикой, что не оголю»

ционируют далее .этапа выявленной эврютики. Такие методы становятся известными по результатам. В параграфе подробно разбираются исторические аспекты формирования таких методов на примере исто-рш эврютики Д.Буля к С.Гамануцяана.

Корень иррационализма этих методов содержится в особенностях

эвристического процесса математиков, прод^тдирупщих эти математические чотодь-. Рассматривая структуру эвристического процесса по Адамару, мы видим, что в нем отсутствует этап проверки. При этом не происходит перевода интуитивных ра^сутвденкй в дискурсивные. Реконструкция подобных математических методов весьма проблематична.

Таким образом, мы четко выделили иррациоиальныэ моменты, существующие в эвристическом процессе, и иррациональные математические методы как случаи невозмонности рационализации математической эвристики.

В заключении обобщаются основное выводы, получекниз в ходе диссертационного исследования.

Некоторые идеи диссертации нашлн отражение в публикации автора: Рациональная реконструкция эволюции математического метода интерпретации // Материалы научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых / ХХХХУ /. - Уфа.: Изд. Уфклск. нефт. кн-та, 1994.

Креме этого некоторые вопросы изл сигни п статье автора

ь

"Взаимосвязь неявного знания и эвристической интуиции", принятой к печати в Вестник ИГУ, серия философия.

Су

Плдплсан к тчат;: ¿5.1С.&4 уортча? 0у1:.ап: 60x84 1/18 Ткрак 100 экз. Ьаказ 755.

Ротапринт Уфимского государств?иного нефтяного гйашческого укквврсягета

450052. г. Косжоааа?о&, I