автореферат диссертации по истории, специальность ВАК РФ 07.00.10
диссертация на тему: Развитие идей математической физики в творчестве Хевисайда

Оглавление научной работы автор диссертации — кандидата физико-математических наук Прменко, Лариса Александровна

ВВЕДЕНИЕ.4

ГЛАВА I. ЖИЗНЬ И.ТВОРЧЕСТВО ХЕВИСАЙДА . 23

1.1. Образование,.научное сотрудничество с Ч.Уитстоном. . 23

1.2. Влияние работ Максвелла.на направленность исследований Хевисайда . 28

1.3. Систематизация Хевисайдом теории Максвелла 37 -

ГЛАВА II. МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АППАРАТ ХЕВИСАЙДА . , 65 -102 2Л. Операционное исчисление Хевисайда . 65

2.2. Универсальное свойство оператора . 77

2.3. Единичная и импульсная функции Хевисайда 78

2.4. Применение Хевисайдом оператора tf. . 87

2.5. Примеры результата дифференцирования оператора 7. 92

2.6. Расширение и обобщение области применения интегралов. Эйлера и показательной функции . 95

2.7. Теория линейных операторов Хевисайда . 98 -

ГЛАВА III. РАЗВИТИЕ ИДЕЙ.МАКСВЕЛЛА В ТВОРЧЕСТВЕ

ХЕВИСАЙДА.102

3.1. Запись уравнений Максвелла в векторной форме 102 -III

3.2. Общее решение уравнений Максвелла Хевисайдом III -118 . 3.3. Вектор потока электрической энергии и его интерпретация в операционной и кватернионной формах . . 118

ГЛАВА 1У. ДАЛЬНЕЙШЕЕ РАЗВИТИЕ ИДЕЙ ХЕВИСАЙДА В ОБЛАСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ В ТВОРЧЕСТВЕ СОВЕТСКИХ И ЗАРУБЕЖНЫХ МАТЕМАТИКОВ.124

4.1. Развитие идей операционного исчисления Хевисайда в работах Н.М.Крылова,Н.Н.Боголюбова и их учеников . . 124

4.2. Развитие идей Хевисайда в творчестве зарубежных математиков.133

Введение диссертации1984 год, автореферат по истории, Прменко, Лариса Александровна

Значительный интерес представляют методы операционного исчисления Хевисайда: метод степенных рядов, теорема разложения,метод дробного дифференцирования, единичная и импульсная функции, переводной оператор, теория линейных операторов, теория электрических операторов. Эти методы Хевисайда имели ряд недостатков и вызывали критику и возражения его современников. Существенное возражение вызывало не введение Хевисайдом символа р для производных и р'1 для интегралов по времени, а обращение с символами, как с алгебраическими величинами, которые он отделял от функции времени. Только после строгого обоснования операционного исчисления Хевисайда Дж.Карсоном, П.Леви, Г.В.Марчем, Т.Дж.Бромвичем, другими математиками и развития советскими учеными Н.М.Крыловым и Н.Н.Боголюбовым, это исчисление оказалось весьма ценным и актуальным в XX веке, вплоть до настоящего времени.

Операционное исчисление Хевисайда имеет ряд достоинств ( дает возможность избежать решение характеристических уравнений, облегчает получение точных решений, дает ряд способов для нахождения приближенных решений и другие ).

Операционное исчисление применяют в прикладной математике [б], математической физике [14,23,47,58,59,148], в приложениях к зада -чам механики [16,17], в нестационарных явлениях в электрических цепях [8,11,12], в переходных процессах в электрических цепях Ц2,131 в теплотехнике [7,49-51,60,165 , включают в спектральную теорию максимальных операторов [22], к анализу [30], других направлениях фундаментальной и прикладной науки.

Если раньше операционное исчисление применяли для изучения явлений, описываемых функциями одного аргумента ( например, для определения токов или других величин электрической цепи в период переходного режима )» то в настоящее время представляется возможным использование операционного исчисления для случаев нескольких переменных. Операционное исчисление, как более удобный математический аппарат, применили для решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами - как однородными, так и со свободными членами, являющимися функциями времени и характеризующими линейные колебания. В случае колебательных систем с бесконечным числом степеней свободы ( с распределенными параметрами ), описываемых уравнениями в частных производных, где, кроме дифференцирования по времени содержится также дифференцирование и по другим независимым переменным, операционный метод приводит к уравнениям с меньшим числом переменных, что уже представляет весьма существенное упрощение.

- Близкими к нелинейным считают колебания, для которых соответствующие дифференциальные уравнения,хотя и являются нелинейными, содержат некоторый параметр € , входящий в эти уравнения так, что при нулевом значении 6 они вырождаются в линейные дифференциальные, уравнения с. постоянными коэффициентами. Для таких систем Н.М.Крылов, Н.Н.Боголюбов, Ю.А.Митропольский и их ученики разработали эффективные методы асимптотического разложения. С помощью

- б этих методов в большинстве случаев удается получить сравнительно простые расчетные схемы и детально выяснить характер колебаний.

Заслуга Хевисайда в том, что он внес существенный вклад в разработку векторного анализа (1885г.) [75,117,Ш] , позже ввел в | физику. Он взял из теории кватернионов векторы и ту часть теории, I которая содержит операции над ними, а затем согласовал ее с декартовой схемой построения* Одним из первых он в 1885г. записал уравнения Максвелла в векторной форме [11^ а в 1889г. нашел возможные их решения [131] • Значительный вклад в развитие математической физики Хевисайд внес в 1876г.Он одним из первых вывел основные уравнения математической физики - телеграфные уравнения [97] . Позже, в 1885г., Хевисайд независимо от Пойнтинга ввел вектор [£И]ъ электродинамику.

Большой научный интерес представляет данная проблема в исследовании электромагнитной теории Хевисайда, так как многие ее по -ложения стали впоследствии классическими ( распространение электромагнитных волн в разных средах, открытие Хевисайдом скин-эффекта, теория потенциала, теория движения электрических зарядов и исследование энергии, излучаемой зарядами, теория передачи сигналов вдоль телеграфных линий ).

Представляет интерес оригинальное решение Хевисайдом задачи В.Гиббса о нахождении энтропии. Он обобщил и расширил области применения интеграла Эйлера, показательной функции и применил их в электромагнитной теории.

В научной литературе вопрос исследования влияния идей Хеви -сайда на развитие классических методов математической физики конца XIX и начала XX века освещен недостаточно, хотя есть ряд работ, посвященных исследованию истории возникновения и развития операционного исчисления. Со школами ранних символистов знакомят.С.С.Петрова и Л.А.Люстерник[21] Д.А.Киселев и Е.П.Ойсигова [10] . Е.Т.Белл исследовал [39] развитие символического исчисления в Англии с начала ХУШв. до 30-х годов XX века, В работе А.Н.Боголюбова [1]"Хе-висайд и возникновение операционного исчисления" отражена история развития символического С операционного ) исчисления от Лейбница до 60-х годов XX века. Однако все эти работы не отражают истин -ной картины эволюции математической физики. Отсутствуют работы историко-математического характера, в которых были бы систематизированы методы математической физики Хевисайда, а также установлена взаимосвязь научных изысканий в этой области. Недостаточно исследованы работы 0.Хевисайда. Таким образом, исследование влияния идей математической физики 0.Хевисайда на развитие классических методов математической физики конца XIX и начала XX века и дальнейшее их развитие являются актуальной задачей.

Основной целью исследований в диссертационной работе является историко-научный анализ влияния идей Хевисайда на развитие классичеЪях методов математической физики конца XIX и начала XX века,- освещение роли советских и зарубежных математиков в обосновании, усовершенствовании и дальнейшем их развитии.

В настоящей работе дан.историко-научный анализ работ 0.Хевисайда по электричеству, [137,138], монографии "Электромагнитная теория " [141-143] »библиографических материалов. В ранних работах (1872-1873гг.) Хевисайд [89-92,94] рассмотрел усовершенствование измерительных приборов,.методы измерения ими, усовершенствование мостика Уитстона, применение дифференциального гальванометра, рациональную расстановку принимающих и передающих приборов телеграфа. 3 этих работах он использовал элементарную математическую теорию. Уже с 1874г. в его работах введены: дифференциальное и интегральное исчисление, векторный.анализ, часто встречается теория Максвелла, математический анализ, операторы Гамильтона и Лапласа, цилиндрические функции, прямоугольные и криволинейные системы координат, элементы тензорной алгебры и другие методы математической физики. Работа Хевисайда [97] (1876г.) имеет большое историко-научное значение, поскольку в йей он впервые вывел основные уравнения математической физики - телеграфные уравнения,а также применил уравнения в частных производных» методы Фурье, интегралы с бесконечным пределом. Работы Хевисайда [108-124] посвящены теории передач сигналов, устранению недостатков кабелей и увеличению скорости сигнализации» Работа [115] включает уравнения Максвелла, впервые записанные Хевисайдом в 1885г. в векторной форме. Общее решение уравнений Максвелла рассмотрено в работе 1131]. Работы [124-134!, [136-138,141-144]включают теорию Хевисайда электромагнитных волн» которая до настоящего времени считается классической. О поверх -ностной проводимости или скин-эффекте Хевисайд сообщает в [132-133] и вспоминает в [141-1431« Сопротивление-оператор и проводимость-оператор Хевисайд ввел в 1878г. в [124], позже создал теорию электрических операторов [142] и успешно пользовался ею.

Многие из указанных работ включены Хевисайдом в двухтомник [137-138] . Цель этого издания: представить новую теорию электро -магнетизма с применением классических методов математической физики, дать новую интерпретацию уже известных явлений, ввести для характеристики электромагнитного поля векторный и скалярный потенциалы, дать их уравнения, ввести новые величины - импеданс, самоиндукция, утечка, магнитный ток проводимости (физически несуществующая величина),' адмитанс и другие. Зтот двухтомник включает: работу с основными уравнениями математической физики - телеграфными уравнениями, новые методы - теорему разложения, ее вывод и применение, векторный анализ, систематизированные.разделы теории Максвелла, уравнения Максвелла в векторной форме, сопротивление-оператор, проводимость-оператор* другие.

Наибольшую ценность представляет монография "Электромагнит- ная теория " [141-143] . В предисловии к первому тому Хевисайд писал, что ".изложение электромагнитной теории выполнено с точки зрения Фарадея-Максвелла с некоторыми изменениями и обобщениями урав^ нений Максвелла" [141,с.I]. В монографии он использовал векторный анализ, рперационное исчисление, ввел рациональные электромагнитные единицы,которые в соединении с практическими единицами легли в основу Международной системы единиц СИ, применил оператор Га -мильтона и Лапласа, первым указал и применил симметрию электрических, магнитных и электромагнитных явлений, дал примеры операции в преобразовании криволинейного интеграла к поверхностному и примеры действия дифференцирования оператора 7 [142] , ввел элементы тензорной алгебры, прямоугольные и криволинейные системы координат, кватернионы, использовал теорию линейных операторов.

Одно из центральных мест в монографии Хевисайда уделено теории электромагнитных волн и теории распространения сигналов в кабелях. Хевисайд рассмотрел вопросы отражения, поглощения и наложения волн, исследовал движение электрических зарядов по круговым, эллиптическим орбитам и излучение зарядами энергии. При изучении часшиц, движущихся со скоростями близкими скорости света, Хевисайд пришел к зависимости * , а также рассчитал массу т=у===£ и ввел понятие "электромагнитная масса" частиц, опередив исследования Эйнштейна по этому вопросу лет на

15 [140,143].

До настоящей работы были исследованы труды 0.Хевисайда в области операционного исчисления и подведена научная основа его методов. Такой основой было интегральное преобразование Лапласа. До настоящего времени распространенным был подход Ф.Бернштейна и Г.Де-ча, в котором интеграл Лапласа рассматривался как некоторый оператор в операторном функциональном пространстве, а операционное исчисление строилось как исчисление для такого оператора. Советский математик А.Ф.Медведев установил, что более чем на три десятилетия раньше, когда функционального анализа еще не существовало,аналогичный подход был реализован в трудах Пинкерле [20,с.83] .

Изучением работ Хевисайда занимался Т.Дж.Бромвич [46-5(3 .Он не пользовался понятием оператора в смысле Хевисайда, а исходил из теории аналитических функций и из классической теории интеграла Фурье, перестроил операционное исчисление и расширил область применения. Он исходил из интеграла в комплексной области:

Зтот интеграл был известен еще Риману в 1859г. Одновременно этими же проблемами занимался Дж.Каре он

60-64] . Он показал, что операционные методы Хевисайда можно полностью обосновать, исходя из преобразования Лапласа, которое сводит функцию jlP) к функции hit) с помощью интегрального уравнения

Ш* pi kit) Л . ( 2 ) о

В этом выражении h(t)- оригинал, изображение.

К.Вагнер [200-201] основал свою работу на интеграле (I). Дальнейший толчок развитию операционного исчисления дал П.Леви [161] . Им указано, что решение уравнения (2), рассматриваемого как интегральное уравнение относительно A(t), дается формулой (I) и наоборот, т.е. он показал, что две различные точки зрения можно соединить в согласованной теории.

Заслуживают внимания исследования Г.Дж.Джеффриза [148,149], Л.Каспера [66,67] ,Л.Коэна [68-73] ,Дж. Купера [75],. Д.П.Далзела [76], Фак Ки [84] ,Й.Фокке.[85] ,Г.Дж.Джозепса f50-152],Дж.Б.Поми [I79-I8I] , Т.Сакураи [84-87] ,В.Сампнера([94-196] ,Г.С.Валларты £97-198], Н.Винера [20^, Г.Вунша [206] отдельных методов операционного исчисления Хевисайда, дальнейшего их развития. Б.Зан дер Поль [175,176] отдельно и вместе с К.Ниссеном [177,178] основали свои исследования на преобразовании Лапласа (2) с нулевым нижним пределом интегрирования.

Преобразование (2) - одностороннее преобразование Лапласа. Дальнейшие исследования Б.Ван дер Поля и Х.Бреммера [3] основаны на двустороннем преобразовании Лапласа*

Р)= р Т ер*к(*)Ы*. С 3 ) (ОО

Это расширяет основания операционного исчисления. Двусторонний интеграл Лапласа имеет нижний предел интегрирования равный—вместо 0 , Это обобщение является выгодным и включает формулу (2)как частный случай. При этом обобщении упрощаются операционные правила и является доступным для изучения.операционными методами значительно более широкий класс функций.

Г.Деч в своих работах подверг критике операционные методы Хе-висайда. Его мнение во многих случаях было несправедливым и совпадало со взглядами математиков, видевших в.этой науке только теоретическую сторону. Г.Деч [82,83]»подобно Б.Ван дер Полю, вместо понятия оператора вводит функциональное отображение, основанное на преобразовании Лапласа и его обратном интеграле (I].

С.Коисуми [153-156] предложил метод определения оригинала по заданному.изображению. В этом методе неизвестная функция умножается на е* . При достаточно большом эта функция оказывается сведенной к нулю. Построив затем периодическую функцию в виде ряда Фурье в выбранном промежутке (09Ъ) с коэффициентами, вычисляемыми по заданному изображению,.можно получить искомую функцию.

Н.М.Крылов и Н.Н.Боголюбов [14] внесли большой вклад в развитие операционного исчисления Хевисайда и обобновали его для применения к решению задач, приводящих к дифференциальным уравнениям в частных производных, а также к нелинейным задачам математической физики. .

А.М.Эфрос и А.М.Данилевский [29,30] в своих исследованиях исходили из операционного исчисления Хевисайда в том виде, который предложен Дж.Каре оном. Они дополнили соотношения, выведенные Кар-соном, Б.Ван дер Полем, Г.Дечем и другими математиками.

Обсуждение электромагнитной теории телеграфа и телефона, теории электрических цепей, а также применение в них методов операционного исяисления Хевисайда даны в работах [77-80,32,35,40,41-441 [46,54-57,61-65,69,71,88,160,171,172,181,147,202] ,. электродинамика Хевисайда исследована в .£[93. .Жизнь и творчество 0.Хевисайда исследованы в работах [33,34,37,45,53,145,160,201,204] . Настоящая работа состоит из.введения, четырех глав и заключения» изложенных на 160. страницах. Список цитированной литературы содержит ,207 наименований, в том числе на иностранных языках 176.

Во.введении дается характеристика методов операционного исчисления 0.Хевисайда, обоснование их советскими и зарубежными математиками, их применение, обосновывается актуальность проводимых в диссертации исследований, дается анализ первоисточников и обзор литературы, приводится краткое резюме диссертации по главам.

Первая глава посвящена жизни и творчеству 0.Хевисайда, становлению, его как исследователя и ученого.

В краткой характеристике работ 0.Хевисайда по электричеству ■ показано усовершенствование им классической математической теории. В частности, в первых работах [89-92,94] (1872-1873гг.) Хевисайд применил элементарные математические методы, позволяющие ему ре -шить проблемы.усовершенствования измерительных приборов, методов измерения ими, усовершенствования мостика Уитстона и его применение, использование дифференциального гальванометра, "нуль-метода" для определения сопротивлений и другия вопросов, связанных с нуждами телеграфа. Направленность исследований 0.Хевисайда этого периода совпадает с тематикой исследований Ч.Уитстона.

Влияние работ Д.К.^аксвелла на направленность исследований 0.Хевисайда прослеживается в работах [97-144] . В диссертации отмечено, что после.изучения О^Хевисайдом "Трактата об электричестве и магнетизме" Д.Максвелла, содержание его работ изменилось: он начал пользоваться методами математического анализа и математичес -кой физики, обращался к теории Максвелла. Работа Хевисайда (1876) [91] имеет большое историко-научное значение, так как в ней он впервые вывел основные уравнения математической физики - телеграфные уравнения, а также использовал дифференциальные уравнения в частных производных, интегралы .с бесконечным пределом, двойные интегралы, методы Фурье и другие. Хевисайд применил операционное исчисление к решению ряда вопросов, связанных с телеграфными уравнениями. Это дало возможность упростить их решение.

Телеграфные уравнения 0.Хевисайда: КС ¿7 * I О ¿¿г * С 5 )

Уравнение (5)- дифференциальное гиперболического типа. Если рас -смотреть кабель без утечки, то (5) примет вид уравнения параболического типа, О -ток, I/-напряжение, ^-сопротивление, ^-емкость, ¿-индуктивность, 0-утечка. . .

Телеграфные, уравнения были предметом исследования Г.Р.Кирхгофа, В.^омсона, А.Пуанкаре, а в 1887г. французский ученый А.Ваши в журнале "¿а 1итСеге "еЫс1щиеп [45] вновь вывел их, не ссылаясь на работы своих предшественников. А.Ваши применил телеграфные уравнения в телефонном деле при расчетах эффективности одной секции подземного.кабеля,. воздушной линии и кабелях передающих аппаратов. . . . Телеграфные уравнения сейчас применяют при распространении электрических колебаний.в системах с распределенными постоянными, в проводниках и кабелях. Они имеют аналоги уравнений в акустике ( при решении задач о распространении звука в одном направлении ), в механике ( уравнения продольных колебаний стержня ). Подобные аналоги уравнений указаны О.Хевисайдом в [142] .

В работе [117] (1885г.) Хевисайд дал элементы векторного анализа, векторного 1/ГЛ и скалярного произведений записал в векторной форме уравнения электрической и магнитной напряженностей, дал выражения электрического и магнитного токов в векторной форме, векторного и скалярного потенциалов и их уравнения, ввел оператор V , дал основы теории плоских волн, рассмотрел методы Тэта ис -следования волновых поверхностей, ввел жирную печать для обозначения векторов.

В диссертационной работе дано исследование систематизации теории Максвелла в работах О.Хевисайда. В [122] Хевисайд указывает, что существует в проводниках при пропускании по ним переменных токов явление зкин-эффекта, которое приводит.к изменению эффективное го сопротивления.и самоиндукции проводника. Позже этим вопросом занимался О.Лодж., Экспериментально проверил это явление Юг, В этой же работе Хевисайд при определении напряженности магнитного поля круглого проводника (сердцевина кабеля) записал уравнение МаксвелЛа 101Н = 4/г Г г учел удельное сопротивление, ввел криволинейные координаты, получил дифференциальное уравнение:

2- расстояние от оси проводника до точки, в которой определяется напряженность магнитного поля. Хевисайд вывел уравнения напряженности проводника, диэлектрика и проводникового шара, уравнения составляющих токов ( приводятся уравнения для сердцевины проводника) Н, = к<']1(4<г)с(н(п1г*0]бр\ 4 Л Ж* ( 8 )

ЦП Г,

Ш,- Те, где А« определяется из соотношения к\- * и01 и взаимные электрическая и магнитная энергии, поля, а (/н и Ун - полные электрическая и магнитная энергии поля.

Хевисайд ввел новые понятия сопротивление-оператор, проводимое ть-оператор (1887г.$24] ( позже назвал импеданс ). Катушка сопротивлением Л , индуктивностью I , имеет сопротивление-опера j тор Z*R+.Lp »где р-^ . Для конденсатора емкостью S , проводимое-тью U } Хевисайд рассчитал значение проводимости-оператора Позже в [142] он предложил теорию электрических операторов и пользовался ею.

Исследованию свойств электромагнитных волн и их распространению Хевисайд посвятил работы [125-130,133,134,136], затем результаты обобщил в [142]. Он ввел криволинейные координати, элементы тензорной алгебры ( £ -продольная компонента ^, F -радиальная ком-» —> понента Е ,//тензор И )$ связанные дифференциальными уравнениями

9) с/г ¿tz, ^r

Хевисайд учел, что.в пространстве ни внешняя электрическая, ни внешняя магнитная силы ( напряженности ) не имеют ротора, поэтому (9) он записал в виде

4 к * Й * 0-С""*1 ( 10 ) к i к ££ - /ш, J

Им было введено обозначение Первое уравнение из

9) становится уравнением » второе - .

Хевисайд получил первого рода цилиндрическую функцию Фурье /« - - /- - • • • . СП)

Применив свойство

6U, с 12 ) он получил формулу Стокс.а .для -fa*. , когда ¿г является действительным, Л и Si - функции it- , 3 исследовании цилиндрических волн Хевисайд принял И -продольной, Т имеет две компоненты В и F , ввел в и i , тогда уравнение (8) для этого случая:

-Я-Ч1 • • СИ)

Характеристическое уравнение //из (14) • (15) если/=-^и тг=-щг, , то (15) примет вид:

Н= ///»* - СМ т0* румумг . (16)

Когдат*сом1 и 4-оператор,, 7„гили Х^-функции Бес" н Утг-уСтг а ^ селя первого рода отрицательного т-го порядка, все / означают^. Хевисайд экспериментально пришел к выражению

17) подтверждающему, что он был знаком с дробным дифференцированием в 1888г. Эта формула была известна С.Лакруа (1819г.), но Хевисайд, по-видимому, пришел к ней самостоятельно [125]. В России идея дробного дифференцирования принадлежала А.З.Летникову (1868г.) [15].Его "Теория дифференцирования с дробным указателем" появилась раньше, чем этим вопросом занялся Хевисайд ( о работах А.З.Летникова он, возможно, не знал). Уравнение (17) он применил в электромагнитной теории подводного кабеля.

Хевисайд ввел понятия"самоиндукция"и"утечка" рассмотрел влияние их на передачу сигналов. При этом он обратил внимание, что и Н имеют постоянную скорость распространения, а значит и одинаковые фазы. Согласно теории Максвелла, в пустоте они совпадают, а в проводнике сдвинуты по фазе друг относительно друга на 90°. Хеви -сайд сравнил этот случай с телефонной линией на далекие расстояния с незначительным сопротивлением. Понижая сопротивление на милю длины, Хевисайд тем самым приблизил проводник к состоянию электромагнитных волн в пустоте. При изменении сопротивления самоиндукция линии менялась. ЕЕ изменение заставило Хевисайда задуматься над вопросом создания линии без искажения. Если электрические постоянные удовлетворяют условию , то линия( близка к идеальной) считается без искажения, Я-сопротивление, ¿-индуктивность, ¿-емкость, №-утечка на единицу длины, В такой линии волны тока распространяются со скоростью V без деформации.

Вторая глава посвящена историко-математическому анализу методов операционного исчисления Хевисайда, созданных им для упрощения решений дифференциальных и интегральных уравнений: метода степенных рядов, единичной и импульсной функций, "импульсной теоремы" (Г.Джеффриз назвал ее последней теоремой Хевисайда^ В.Буш и Н.Винер - интегральной теоремой), метода дробного дифференцирования, теоремы разложения, теории линейных операторов, векторного анализа. Проанализировано расширение области применения интегралов Эйлера, показательной функции в электромагнитной террии.

Хевисайду одному из первых удалось создать эффективный метод для решения.дифференциальных уравнений обыкновенных и в частных производных. Он формально ввел символ р для обозначения оператора дифференцирования, p~f- оператора интегрирования. Если # функция/, то

-> = Р- Sdt С 18 )

О.Хевисайд решал дифференциальные уравнения,не применяя интегрирования. Он превращал дифференциальное уравнение e=zc + ¿g (19) в алгебраическое ( операционное ) е= с (R + Lp) ( 20 ), находил величину тока как функцию от оператора

Затем,разложив выражение в скобках в ряд по убывающим степеням р , L в полученное уравнение вводил замену T=-g , п - кратное интегриро

J ¿1 вание заменял обратной функцией факториала -р; = -¿р , откуда следовало: или ( 22 ) можно записать

И2 где Г- ток, сопротивление, е-напряжение, /.-индуктивность. Теорема разложения, ее вывод даны Хевисайдом в 1887г. в [124], - Она дает возможность сразу записать решение в общем виде [142,с .12 С=# + (24) Ра? .еР* где е-напряжение, оП*-, £ -установившийся ток,е!-^--свободные г ¡Сц 'ар токи, изменяющиеся апериодически в зависимости от того,являются ли корни р действительными или комплексными числами. В диссертации исследованы возможные случаи применения теоремы разложения,ее доказательства, пояснения, указаны примеры идентичных решений применением теоремы разложения и функций Бесселя.

Исследовано предложенное Хевисайдом универсальное свойство х)= ек*1(Ф (25) оператора, его применения, возможность разложения в ряд' Тейлора

- //*+^ ( 26 ) Изучена единичная функция Хевисайда, ее свойства, применение в.теории электрических цепей. Рассмотрена импульсная функция,как производная единичной функции Хевисайда, ее свойства. Он записал импульсную функцию в виде бесконечного ряда,»-? £ с 2ба }

Ван дер Поль и Х.Бреммер, рассматривая ряд (2ба) в виде суммы Чезаро первого порядка, записали: [ЗСх-у- &пС) - 8С*<Уоткуда следует, что"это просто функция в достаточно малом интервале,.содержащем , В работе рассмотрена идентичность свойств импульсной функции Хевисайда и П.Дирака, выяснено ее применение в квантовой механике.

Хевисайд использовал интеграл Эйлера, функции Бесселя и,вы--полнив преобразования,получил о

3 главе приведена краткая история генезиса этой теоремы. Джозепс [151] утверждал, что "импульсная теорема" Хевисайда (27) является частным случаем знаменитой теоремы, введенной Лапласом в 1812г. и впоследствии примененной Гаусом, Стильтьесом и Гильбертом. Некоторые современные авторы называют/,/¿//функцией, полученной из (27) трактовкой как параметра "преобразования" Лапласа Другие авторы считают /«^"изображением" оригинала функции ¿М . Джеффриз отмечает, что Лаплас записал свой интеграл без -множителя Хеви-сайдовой "импульсной теоремы"; о° о

Соответственно оригинал интеграла Лапласа не идентичен с формулой Хевисайда, так как размерности ^Н) и различны.

В теории линейных операторов основным является запись Хеви-сайдом оператора вида

Ф ^ а.Г^ у- ¿Г/Г .

Умножив его на он получил оператор = Я??-* ( 28 ) линейный, применяемый в таком виде и сейчас. Его называют аффинором и томографией. Выражение (28) Хевисайд переписывает [142] в виде

Ф- /¿Г«'- . ( 29 >

Хевисайд отмечает, что он применил методы З.Гиббса, положенные в основу афинной теории.

Глава третья посвящена развитию идей Максвелла в творчестве Хевисайда. 3 ней освещена основополагающая роль Хевисайда в развитии электродинамики: запись уравнений Максвелла в векторной форме, общее решение уравнений Максвелла, введение им вектора//^в электродинамику, интерпретация его в операционной и кватернионной формах. Одним из основных вкладов Хевисайда в развитие электродинамики и электромагнитной теории - запись Хевисайдом уравнений Максвелла в векторной форме [П5]: электрической индукции магнитной индукции полного тока закон Ампера закон Фарадея и

- закон Ома . .

J-e*

D = с £. 30 ) С 31 ) ( 32 ) ( 33 ) (34 ) С 35 ) и вспомагательных уравнений, исключающих униполярный магнетизм. oiitr/3= О (36), а также уравнения = (37) [122,с.1317.

Хевисайд внес существенный вклад в симметрию электрических, магнитных и электромагнитных явлений,"симметричных относительно электрической и магнитной сторон. Но это не только метод выявления ранее известных соотношений путем введения вектор-потенциала и паразитных формул, а представляет собой рабочий метод" [9J. Он ввел магнитный ток проводимости д аналогичный 6" ,

10Í fT= KpJ - %oi£

Исследовано общее решение уравнений Ма'ксвелла Хевисайдом.

В этой же главе освещается открытие Хевисайдом и Пойнтингом вектора [fffjn введение его в электродинамику независимо друг от друга. Оба они основывали свои.рассуждения на анализе уравнений Максвелла, в результате которого им удалось получить выражение плотности энергии и выражение для потока мощности. Это так называемая теорема Хевисайда-Пойнтинга,применяемая за рубежом до настоящего времени .[27J. Следует указать, что понятие вектора потока энергии было введено в 1874г. в работах Н.А.Умова .о движении энергии в различных средах, а выражение [еН] для специального случая электромагнитного поля было получено Пойнтингом. Поэтому вектор потока электрической энергии следует.называть вектором Умова-Пойнтинга '( что является более верным ). Применив кватернионную теорию Гамильтона и операционное исчисление, Хевисайд записал теорему Пойнтинга для частного случая:

•( & + V) > < 38 ) а затем, применив даламбериан, получил уравнение непрерывности; $ = С 39) где р - объемная плотность зарядов.

В четвертой главе изучен вклад советских и зарубежных математиков в развитие идей Хевисайда в области математической физики. Излагаются фундаментальные результаты Н.М.Крылова и Н.Н.Боголюбова в усовершенствовании операционного исчисления Хевисайда и обосновании его для применения к решению задач, приводящих к дифференциальным уравнениям в частных производных, а также к нелинейным задачам математической физики. Н.М.Крылов и Н.Н.Боголюбов отметили, что наибольшее преимущество операционного исчисления состоит в удобстве и быстроте вычисления. Они подчеркнули, что метод степенных рядов Хевисайда дает возможность избежать необходимости решения характеристических уравнений, которые во многих случаях бывают.уравнениями высоких степеней. Операционные методы облегчают получение точного решения и дают ряд способов для нахождения приближенного решения ( такими способами есть метод степенных рядов и теорема.разложения Хевисайда ). Н.М.Крылов и Н.Н.Боголюбов рассмотрели особенно важный случай для приложений, когда все решения Ф(р)-0 имеют действительные части отличные от нуля и притом отрицательные, доказав, что теорема разложения Хевисайда в таких случаях незаменима. Они отметили, что метод степенных рядов Хевисайда можно прменить для исследования явлений распада группы урановых элементов для очень малых значений времени. ^ .

А.М.Эфрос и А.М.Данилевский в своих исследованиях исходили из операционного исчисления Хевисайда в той форме, которая была разработана Дж.Карсоном. Они дополнили соотношения,выведенные Дж.Карсо-ном, Ван дер Полем и другими математиками. А.М.Эфрос,в частности, применил теорему Бореля, обобщенную теорему Бореля, произвел суммирование изображений и начальных функций, внес ряд усовершенствований 29,30 .

В 30-х - 40-х годах операционное исчисление стали применять для решения практических проблем математической физики, механики, электротехники, теплотехники, горного дела. Одной из таких проблем, требовавшей удобного математического аппарата, были линейные колебания, характеризуемые линейными дифференциальными уравнениями с постоянными коэффициентами, так и со свободными членами,являющимися функциями времени. Эффективными средствами для исследований нелинейных колебаний являются асимптотические методы Н.М.Крылова, Н.Н.Боголюбова, Ю.А.Митропольского и их учеников.

В работе исследованы направления развития идей Хевисайда в творчестве зарубежных математиков Я.Микусинского, Т.Сакураи.С.Кои-суми, Л.Коэна, Дж. .Каре она, С.Беллерта и других математиков.

3 заключении указаны результаты проведенного исследования и те основные направления, з которых можно использовать их.

Выношу искреннюю благодарность своему научному руководителю члену-корреспонденту АН УССР, профессору А.Н.Боголюбову за подбор интересной темы исследований диссертационной работы и оказанную мне помощь в ее выполнении.

ПАВА I ЖИЗНЬ И ТВОРЧЕСТВО ХЕВИСАЙДА

Заключение научной работыдиссертация на тему "Развитие идей математической физики в творчестве Хевисайда"

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Диссертационная работа посвящена историко-научному анализу творчества одного из классиков науки 0.Хевисайда, внесшего существенный вклад в развитие математической физики конца XIX и начала XX века и ставшего одним из оснований современной математической физики.

Основные научные результаты диссертации состоят в следующем:

- установлена основополагающая роль 0.Хевисайда в развитии математической физики конца XIX и начала XX века. Изучены и систематизированы .основные математические методы 0.Хевисайда;

- проведено исследование творчества 0.Хевисайда;

- выполнен историко-научный анализ исследований Хевисайда по электромагнитной теории;

- проведен анализ методов операционного исчисления Хевисайда, изучен процесс их создания и совершенствования в трудах советских и зарубежных математиков.

Список научной литературыПрменко, Лариса Александровна, диссертация по теме "История науки и техники"

1. Боголюбов А.Н. Хевисайд и возникновение операционного исчисления, В кн.: Штокало И.З. Операционное исчисление,-Киев.:Hay«, думка, 1972, с.18-22.

2. Борк A.M. Максвелл, ток смещения и симметрия. 3 кн.: Максвелл Д.К. Статьи и речи. М.: Наука, 1968, с.305-317.

3. Ван дер Поль, Бреммер X. Операционное исчисление на основе двустороннего преобразования Лапласа. М.: Изд-во иностр.лит., 1952. -506 с.

4. Защенко-Захарченко Н.Е. Символическое исчисление и приложение его к интегрированию линейных дифференциальных уравнений.-Киев, 1862. 145 с.

5. Карман Т., Био М. Математические методы в инженерном деле. М., Л.: Гостехиздат, 1946. - 423 с.

6. Карслоу X., Егер Д.Операционные методы в прикладной математике. М.: Изд-во иностр.лит., 1948. - 290 с.

7. Карслоу X. Теория теплопроводности. М., Л.: Гостехиздат, 1947. - 288 с. .

8. Карсон Д.Р. Электрические нестационарные явления и операционное исчисление. Харьков, Киев. ОНТИ, 1934. - 232 с.

9. Келли Э. Уравнения Максвелла как свойство вихревой губки. В кн.:.Максвелл Д.К,.Статьи и речи. М.: Наука, 1968, - с.328-338.

10. Крылов Н.М. Методы приближенного и символического решения дифференциальных уравнений математической физики и техники. В кн.: Крылов Н.М. Избранные труды. -т.З Киев.: Изд-во АН УССР, 1961. с.7-147.

11. Летников A.B. Теория дифференцирования с дробным указателем. М., 1868. с.69-72.

12. Лурье А.И.Операционное исчисление и его приложения к задачам механики. М., Л. 1951. - 432 с.

13. Лурье А.И. Операционное исчисление а приложениях к зада-' чам механики. Л., М. ОНТИ НКТП СССР, Г938. 222 с.

14. Лыков А.З. Теплопроводность нестационарных процессов. -Л., 1948. 232 с.

15. Лыков А.З. Основы операционного исчисления и его применение к решению задач теплопроводности. В кн.: Лыков A.B. Теория теплопроводности. М., 1952. с.337-370.

16. Медведев Ф.А. Первая монография по функциональному анализу. В сб.:Историко-математич.исследования. Вып.ХУШ.- М.: Наука, 1973, с.71-93.21, Петрова С.С., Люстерник Л.А. Из ранней истории символи -ческого.исчисления. М.: Наука. 1971.

17. Плеснер А.И., О включении операционного исчисления Хеви -сайда в спектральную теорию максимальных операторов. ДАН СССР,1. Т.26,1, с.10 12.

18. Повзнер А.И., Агранович З.С. Применение операционных методов к решению некоторых задач математической физики. Харьков.: Из-во Харьковского унив-та, 1954. -56 с.

19. Применко Л.А. Математические идеи Хевисайда. В кн.: Из истории развития физ.-мат.наук. Сб.научн.труд. Киев.:Наук.думка.1981. с.37-44.

20. Применко Л.А. О некоторых методах математической физики Хевисайда. Из истории физ.-мат. наук. Препринт 83.64. Институт математики АН УССР,- Киев, 1983. с.13-24.

21. Тихонов А.H.»Самарский А.А. Уравнения математической физики. Изд.5-е.-М.: Наука. 1977. -736 с.

22. Харнвелл 1.Р. Физические основы электротехники. -М.,Л.1950.

23. Шпильрейн Я.Н. Символический метод Хевисайда. В кн. : Френкель А. Теория переменных токов. -М.,Л.,1936. с.414-440.

24. Эфрос A.M.»Данилевский A.M. Операционное исчисление и контурные интегралы. -Харьков,Киев, 1937. -384 с.

25. Эфрос A.M. О некоторых применениях операционного исчисления к анализу. -Мат.Сб.,-М.,Л. 1935, -т.42, 6, с.699-705.

26. Юрьев М.Ю. Устанавливающийся режим в четырехполюсниках с сосредоточенными постоянными на основе операционного исчисления Хевисайда. -М.,Л.: ОНТИ, 1936. -149 с.

27. Adams Е.Р. Some Applications of Heaviside's Operational Methods. Proc.Amer.Phil.Soc. 1923,VI«XII, № 2,p.26-47.

28. Appleyard B. Oliver Heaviside. In: Dictionary of National Biography (1922-1930).-bondon,1937,p.412-414.

29. Appleyard B. Oliver Heaviside. In: Pioneers of Electrical Communication. London. 1930,p.211-260.

30. Baker B. An extention of Heaviside*s Operational Methods of Solving Differential Equations. Phil.Mag. 1924,v.42, p.95-103.

31. Barnett S.J. A Eeport on Electromagnetic Induction.Transactions of the American Institute of Electrical Engineer, 1919,v.XXXVIII,part.II

32. Behrend В.A. Career of Oliver Heaviside.Electrical World.1925,February 21,v.85, Ni 8,p.405-407.

33. Behrend B.A. The work of Oliver Heaviside. The Electrical journal. 1928,v.25, N? 1-6,p.26-31,p.71-77.

34. Berg E.J. More About Heaviside. Electrical World. 1925, v.85, № 9, P.475

35. Berg E.J. Heaviside's Operators in Engineering and Physics.Franklin Inst. 1924,v.198,p.647-702.

36. Bethenod M.J. Notes sur Oliver Heaviside.Bulletin de la Société Française des Electriciens,1925,v.5,p.232-239.

37. Bloemsma J. ,Burch C.R. On an Application on the Periodo-gram to Wireless Telegraphy.Phil.Magazine.1925,v.49,p.480-503.

38. Bromwich T.J. Symbolical Methods in Theory on Conduction Heat. Proc.Cambridge Philos.Soc. 1921,v.20,p.4-11.

39. Bromwich T.J. The Application of Operational Methods. Proc.London,Mathem.Soc.(2),1930,v.31,p.209.

40. Bromwich T.J. Examples of Operational Methods of Solving-Problems in the Conduction of Heat.Phil.Mag.(ser.$),1919.

41. Brough U.S. On Wheatstone's Bridge. Phil.Mag.(4) ,1874-, v.XLVII, N? CCCIX,p.22-24.

42. Buckley O.E. Addresses at the Heaviside centenary meeting. In: The Heaviside centenary volume, L.1950,p.6-10.54.. Bush V.,Wiener N. Operational circuit analysis.-New York,1.,1929,-391p.

43. Bush V. Oscillating-current Circuit "by the Method of ge-' « neralized Angular Velocities. Amer.Inst.Electr.Engineer. 1917,v.36,p.207-234.

44. Bush V. Summary of Wagner's proof of Heaviside's formula , Proc.Inst.Roy.Eng. 1916,sec.(2),v.15,p.401.

45. Bush V. Note on Operational Calculus.Journ.Math. and Physics. 1924.

46. Carslaw H.S.,Jaeger J.C. Operational Methods in Applied Mathematics.2-edit,Oxford University Press, 1948,p.359.

47. Carslaw H.S. Operational Methods in Mathematical Physics. Mathem.Gazette,1928-1929,v.14, № 199-214.,p.216-228.

48. Carslaw H.S. Introduction to the mathematical theory of the conduction of heat in solids. New York,1945.

49. Carson J.R. Theory of the Transient Oscillating of Electrical Networks and Transmission Lines.Proc.Amer.Inst.Electr.Engineer. 1919,v.XXXVIII,p.407-489.

50. Carson J.R. Electric circuit Theory and the Operational Calculus.-New York,L.»second impression,McGraw-Hill Book Company. 1926,p.197.

51. Carson J.R. Notes on the Heaviside operational calculus. Bell System Technical Journal. 1930,v.IX,p.150-162.

52. Carson J.R. On a general Expantion Theorem for the Transient oscillations of a connected system. Phys.Rev.ser.(2),september 1917,v.X, N? 3, p.217-225".

53. Carson J.R. The Heaviside Operational Calculus.Bulletin of the American Mathematical Society. 1926,p.43-68.

54. Casper L. Zur Forme1 von Heaviside fur Einschaltvorgange. Arch.fur Elektrotechnik,Berlin,1925,Bd XV, S.95-96.

55. Casper L. Zum Beweis der Formel von Heaviside. Arch.fur Elektrotechnik,Berlin,1926,Band XV, S.491->602.

56. Cohen L. The Heaviside Expansion Theorem.Journ.Franklin Inst. 1922,v.194,p.765-770.

57. Cohen L. Heaviside's Electrical Circuit Theory.New York, London, 1928.-167P

58. Cohen L. Applications of Heaviside Expansion Theorem. Journ.Franklin Inst. 1923,v.195,N? 3,p.319-326.

59. Cohen L. Electrical oscillations on Lines.Journ.Franklin Inst. 1923,v.195, № 1,p.45-58.

60. Cohen L. Alternating Current Cable Telegraphy. Journ. Franklin Inst. 1923,v.195, № 2,p.165-182.

61. Cohen L. Derivation of the Expansion Theorem.Journ. Franklin Inst. 1922, v. 194,N? 6.7^. Cooper J.B.L. Heaviside and the Operational Calculus. Mathem. Gazette,1952,v.36,p.5-19.

62. Crowe M.J. A History of Vector Analysis.University of Notr Dame Press. Notr Dame,London,1967,p.270.

63. Dalzell D.P. Heaviside's operational Method. Proc. Phys. Soc. L. 1930,v.42,p.75-81.

64. Dirac P. The Physical Interpretation of the Quantum Dynamics.Proc.Royl.Soc. ser.A, 1926,v.113,p.621-641.

65. Discussion on "Oscillating-current circuit by the Methods of generalized Angular Velocities(Bush) ".New York,February 15,1917,Transactions of the American Institute of Electrical

66. Engineer. 1917,v.XXXVI,p.222-234.

67. Discussion on "Electromagnetic Theory of the Telephone Receiver (Kennely and Nukiyama)" and "On Absolute Measurement ofv the Intensity of Sound" (Webster). Bos ton, Mass, March 14-,1919. Trans.Amer.Electr.Engin. 1919, v. XXXVII I, part I,p.713-723.

68. Discussion on "Heaviside's proof of His Expansion Theorem (Vallart a)" , New York,februargr 11,1926,journal A.I.E.E. May 1926,New York,p.471-472.

69. Doetsch G. Theorie und Anwendung der Laplace-Transformation. Berlin,1937,S.436.

70. DoetscJ; G. Besprechung von J.R.Carson. Elektrische Ausgleichsvorgänge und Operatorenrechnung. Jahresber.Deut. Math. Ver.1930,v.39,S.105-109.

71. Pak Ky. Expose sur le calcul symbolique de Heaviside. Rev.Scient. 1942,v.80,p.147-153.

72. Pocke J. Distributionen und Heaviside-Kalkul-.Wiss.L. Univ. Leipzig,1962,Bd11,S.627-639.

73. Freudenthal H. Operatorenrechnung von Heaviside bis 'Minusinski. Überblicke Mathematik, 1969, v.2,( Simon Stevin , '1959» Bd 33, S.3-19.

74. Pry T.C. The Solution of Circuit Problem.Phys.Review, 1919,v.4,p.115-136.

75. Fujiwara M. Asymptotic expansion in the Heaviside's Operational Calculus.Proceeding of the Imperial Academy,Japan,Tokyo,

76. November 1939,v.XV, № 9,p.233-238.

77. Heaviside 0. On the Best Arrangement of Wheatstone»s Bridge for Measuring a Given Reristance with a Civen Galvanometer and Battery.Phil.Mag.(4) 1873,v.XLV,№ CCXCVIII,p.114-121.

78. Heaviside 0. Comparing Electromotive Forces.IntHeaviside 0. Electrical Papers.-L-1892,v.1,p.1.

79. Heaviside 0. On an Advantageous Method of Using the Differential Galvanometer for Measuring Small Resistences.Phil.Mag. (4-) ,1873 ,v.XLV,N? CCC,p.245-248.

80. Heaviside 0. Voltaic Constans.In:Heaviside 0. Electrical -Papers, L. 1892,v.1,p.2-3.

81. Heaviside 0. On Duplex Telegraphy.Phil.Mag.(4),1873, v.XLV,Ni CCCII,p.426-432; (5) ,1876,v.IN? 1,p.32-44.94.. Heaviside 0. On the Differential Galvanometer.Phil.Mag. (1873 ,v.XLVI CCCVIII,p.469-4-72.

82. Heaviside 0. On Telegraphic Signalling with Condensers. Phil.Mag.(5),1874,v.XLVII, № CCCXIV,p.426-434.

83. Heaviside 0. On Wheatstone's Bridge. Phil.Mag.(4),1874, ' v.XLVII,p.93-94.

84. Heaviside 0. On the Extra Current.Phil.Mag.(5),1876, v.II ,N? 9,p.135-145.

85. Heaviside 0. On the Speed of Signalling through Heterogevneous Telegraph Circuits.Phil.Mag.(5),1877,v.HI,N? XVII,p.211-221 99* Heaviside 0. On Electromagnets. In: Heaviside 0. Electrical Papers,L.1892,v.1,-560p.

86. Heaviside 0. On a Test for Telegraph Lines.Phil.Mag.(5), 1878,v.VL, W XXXIV,p.436-438.

87. Heaviside 0. On the resistance of Telegraphic Electromagnets. Phil.Mag. (5),1878,v.VI,N? XXXVI,p.177-185.

88. Heaviside 0. On the Theory of Faults in Cables. Phil.

89. Mag.(5),1879,v.VIljp.60-74; 1879,v.VIII,p.163-177.

90. Heaviside 0. Sensitiveness of Wheatstone's Bridge.In: Heaviside 0. Electrical Papers,L.1892,v.1,-560p.

91. Heaviside 0. On the Resistence of Galvanometers'.In:Hea-^ viside 0. Electrical Papers.L.1892,v.1,-560p.

92. Heaviside 0,. On the Electrostatic Capacity of Suspended Wires. In: Heaviside 0. Electrical Papers,!.1892,v.1,-560p.

93. Heaviside 0. Magneto-Electric Current Generators.In:> • '

94. Heaviside 0. Electrical Papers,L.1892,v.1,-560p.

95. Heaviside 0. On Induction between Parallel Wires.In :•

96. Heaviside 0. Electrical Papers,!. 1892,v.1,-560p.

97. Heaviside 0. Dimensions of the Magnetic Pole.In: Heaviside 0. Electrical Papers,L.1892,v.1,-560p,

98. Heaviside 0. The Earth as a Return Conductor.In: Heaviside 0. Electrical Papers,L.1892,v.1,-560p.

99. Heaviside 0. The Energy of the Electric Current.In:Heaviside 0. Electrical Papers,L.1892,v.1,-560p.

100. Heaviside 0. Theory of Microphone and Resistence of Carbon Contacts.In:Heaviside 0.Electrical Papers,L.1892,v.1,-560p.

101. Heaviside 0. Some Electrostatic and Magnetic Relations. In: Heaviside 0. Electrical Papers,L.1892,v.1,-560p.

102. Electrician,1886,v.XV,p.6-7,78-79,134-135,170-172,23 0-231,270-272290.2'91,306-307,408-410.

103. Heaviside 0. Some Remarks on the Volta-Force etc.In: Heaviside 0. Electrical Papers,!.1892,v.1,-560p.

104. Heaviside 0. On the Electromagnetic Wave-Surface.Phil. Mag.(5),1885,v.XIX,p.397-419,№ CXXI.

105. Heaviside 0. Notes on Nomenclature^ parts.In:Heavisi-de 0. Electrical Papers,L.1892,v.1,-560p.

106. Heaviside 0. Electrostatic Capacity of Overground Wires.In: Heaviside 0. Electrical Papers,L.1892,v.1,560p.

107. Heaviside 0. Notes of Self-induction of Wires.In:Hea-viside 0. Electrical Papers,L.1892,v.1,-560p.

108. Heaviside 0. On the Use of the Bridge as an Induction Balance.In:Heaviside 0. Electrical Papers,L.1892,v.1,-560p.

109. Heaviside 0. On the Self-induction of Wares. Phil.Mag. 1886, v.XXII,p.118-138,273-282,332-352,419-442,544; 1887,v.XXIV, p.63-85.

110. Heavisicie 0. Some Notes on the Theory of the Telephone—and on Husteresis. In: Heaviside 0. Electrical Papers, L. 1892, v.1,-560p^

111. Heaviside 0. On Resistence and Conductance Operators, and their Derivatives,Inductance and Permittance»especially in connection with Electric and Magnetic Energy.Phil.Mag.1887,v.24.

112. Heaviside 0. On Electromagnetic Wares and the Forced Vibrations of Electromagnetic Systems. Phil.Mag. 1888,№ 161,•p.360-382, № 26,p.446-469.

113. Heaviside 0. Lightning Discharges. In: Heaviside 0. Electrical Papers,L.1S92,v.II,p.486-488.

114. Heaviside 0. Practice versus Theory-Electromagnetic Wares.In:Heaviside 0. Electrical Papers,L.1892,v.II,p.488-490.

115. Heaviside 0. Electromagnetic Wares,the Propagation of

116. Potential,and J;he Electromagnetic Effects of a Moving Charge.In: Heaviside 0. Electrical Papers,L.1892,v.II,p.490-500.

117. Heaviside 0. The Mutual Action of a Pair of Rational Current-Elements.In:Heaviside 0. Electrical Papers,L.1892,v.II, p.500-502.

118. Heaviside 0. Note on a Paper on Electromagnetic Waves. Phil.Mag. 1888,v.XXV, № 154,p.202-210.

119. Heaviside 0. The General Solution of Maxwell's Electromagnetic Equations in a Homogeneous Isotropic Medium,especially in regard to the derivation of Special Solutions,and the Formulate for Plane Waves. Phil.Mag. 1889,v.27, № 164,p.29-50.

120. Heaviside 0. On the Electromagnetic Effects due to Motion of Electrification through a Dielectric.Phil.Mag, 1889,v.27, p.324-339.

121. Heaviside 0. Deflection of an Electromagnetic Wave by

122. Motion of the medium.In: Heaviside 0. Electrical Papers,L. 1892, •;v. II, p. 502-504.i

123. Heaviside 0. On Electromagnetic Waves,especially in re" lation to the Vorticity of the Impressed Forces; and the Forced

124. Vibrations of Electromagnetic Systems.Phil.Mag,1888,v.XXV,N3CLIII, p.130-156, 1888,v.XXV,N? CLIV,p.202-210; 1888,v.XXV,N? CLXII,p.379-406; 1888, v.XXVI, NS CLXI,p.360-382; 1888,v.XXVI,N§ CLXII,p.434-450; ~ 1888,v.XXVT, № CLXII,p.488-500.

125. Heaviside 0. Note on Electromagnets in Telegraphy.Phil. Mag. 1879,v.VII,№ XLI,p,143.

126. Heaviside 0. Note on a Paper on Electromagnetic Waves. -'Phi l'.Mag. 1888, v. 25, № 154,p.202-210.

127. Heaviside 0. Electrical Papers.-MacMillan;New York, 1892;v.1,p.560.1 * .

128. Heaviside 0. Electrical Papers.-MacMillan.New York,1892,v.2,p.587.

129. Heaviside 0. Electromagnetic Theory.-L.1899,v.2,p.542.

130. Heaviside 0. Electromagnetic Theory.-L.1912,v.3,p.519. 144-. Heaviside 0. Electromagnetic Waves and Pulses.Phil.Mag.1922,v.13,p.1049.

131. Heaviside Centenary Volume .-L.1950,p.98.

132. Highton H. On duplex Telegraphy. Phil. Mag. 18?3y.XLVI,p.88.

133. Jackson W. An Appreciation of Heaviside's contribution to Electromagnetic Theory.In: The Heaviside centenary Volume.-L. 1950,p.53-69.

134. Jeffreys H.J. Operational Methods in Mathematical Physics. 2 ed. L. 1931,-111p. ' '

135. Jeffreys H.J. Heaviside's pure mathematics.In:The Heaviside centenary Volume.-L.1950,p.90.

136. Josephs H.J. Heaviside»s Electrical Theory.L.1946,p.115.

137. Josephs H.J. Some unpublished notes of Oliver Heaviside. In: The Heaviside centenary Volume.-L.1950,p.18-52.

138. Josephs H.J. An introduction to the Heaviside calculus. -L. 1934.

139. Koizumi S. A new Method of Evaluation of the Heaviside's Operational Expression by Fourier Series. Phil. Mag. 1935, v.19, № 130,p.1061-1076.

140. Koizumi S. On Heaviside's Operational Calculus. Phil.1. Mag. 1.931,P.432.

141. Koizumi S. On Heaviside's Operational Solution of a Vol-terra's Integral Equation when its is a Function of / f /. Phil.Mag. 1931,v.II, № 69,P.432-441.

142. Koizumi S. Notes on the Asymptotic Evalution of Operational Expression. Phil. Mag. 1936,v.21,p.265-274.

143. Koppelman E. The Calculus of Operations and the Rise of Abstract Algebra. Arch.Hist.Ex.Sci. 1971-1972,v.8,p.155-242.

144. Kuhn T.S. The Structure of Scientific Revolution.-Chicago: L. 1962,p.172.

145. Lacroix S. Traite du Calcul Différentiel et du Calcul Integral. Paris,1819,p.409-410.

146. Lee G. Oliver Heaviside and the Mathematical Theory of Electrical Communications. -L.1947,p.29.

147. Levy P. Le calcul symbolique de Heaviside. Bull.Sei.Ma-them. /2/,1926,v.50,p.174-192.

148. Lodge 0. Oliver Heaviside. Electrician,1925, v.94,p.174175. • •

149. Lodge 0. Oliver Heaviside,F.R.S. Electrical World,1925,v.85, NS 8,p.403-405.

150. Lodge 0. On Opacity.Phil.Mag.1899,v.47,№ 287,p.385-415.

151. Luikov A.V. The Application of the Heaviside-Bromwich Operational Method to the Solution of a Problem in heat Conduction. Phil.Mag. 1936,v.145,p.7-239,p.239-248.

152. Lützen J. Heaviside's Operational Calculus and the Attempts to Rigorise it. Archive for History of Exact Sciences.

153. Mainra Y.P. On certain operational images of infinite series. Bull.Calcutta Math.Soc.-1958,v.50,p.34-52.

154. March H.W. The Heaviside Operational Calculus. Phil.Mag. 1927,v.33,p.311-318.

155. Mason W.P. A new Method for Obtaining Transient Solutions of Electrical Networks. Bell Syst. Thehn.Journal.1929,v.8, P.109-139.

156. Neufeld J. Extention of the Methods of Heaviside's Calculus in Calculation of Circuits containing Parameters Varying with Time. Phil.Mag. -1930,v.15,№ 96,p.170-177.

157. Neufeld J. Extention of Heaviside's Calculus to Circuits whose parameters vary with time.Phil.Mag.1933,v.15,p.170-177.

158. Nichols H.W. Theory of Variable Dynamical Electrical Systems. Review.-1917,v.X,№ 1,p. 171-193.

159. Peres J. Calculus symbolique d »Heaviside at calculus de composition de Vito Volterra.Compt.rend.Acad.Sci.Paris,194-3,v.27, p.517-520.

160. Pierce G.W. Electric Oscillation and Electric Wares.New York,1920,book 1,p.1-345,book 2,p.347-43'4.

161. Pol B. van der. Heaviside*s Operational Calculus.In:The Heaviside Centenary Volume.-L.1950,p.70-75.

162. Pol B. van der. Simple proof and an Extention of Heavi-side's Operational Calculus for Invariable Systems. Phil. Mag.1929,v.7,№ 46,p.1153-1162.* • ■

163. Pol B. van der.,Niessen K.F. Symbolic Calculus.PhiI.Mag. 1932,p.70-75.

164. Pol B. van der.,Niessen K.F. On Simultaneous Operational Calculus. Phil.Mag. 1931,^.1, № 69,p.368-376.

165. Pomey J.B. A propos du Theoreme de 0.Heaviside dit^'Expansion Theorem". Revue Generale de 1'electricity,-1928,v.XXIV,'NS 18,p.699.

166. Pomey J.B. Le calcul symbolique d'Heaviside.Revue generale de l'electricite. 1923,v.XIII, № 20,p.813-863.— * *

167. Pomey J.B. Sur le theoreme du developpment de Heaviside.

168. Ross B. Development of Fractional Calculus,1695-1900. Historia Mathematica. New York,L.Academic Press,1977,v.4,p.75-89.

169. Rüssel A. Mr Oliver Heaviside,F.R.S. Orbituary Nature.--1925,v.115,N? 2885,p.237-238.

170. Sakurai T. Notes on the Finite Calculus. Proc.Physic-Mathem.Soc. Japan./3/,1937,v.19,№ 1,p.13-28.

171. Sakurai T. A new Conception of the Expanential Functionv.of Differential Operator and its Application of Physical Problems. Proc.Phys.Soc. Japan,1937,v.196,p.511-541.

172. Sakurai T. On the complementary Heaviside's Operators. Proc. Phys.Mathem.Soc. Japan,1938,v.20,1 5,p.355-364.

173. Sakurai T. An Extention of Heaviside*s Operational Method. Proc.Phys.Mathem.Soc. Japan,1936, v.18,№ 8,p.356-371.

174. Salinger H. Die Heavisidesche Operatorenrechnung.E.N.T. 1925,B.2, S.365-376.

175. Smith J.J. An Analogy between Pure Mathematics and. the Operational Mathematics of Heaviside by means of the Theory ofn H-Functions". Journ.Franklin Inst. 1925,v.200,N? 4,p.519-534, 1925,v.200,№ 5,P.635-672; v.200,№ 6,p.775-814.

176. Smith J.J. The solution of Differential Equations by a \ Method Similar to Heaviside's. Journ. Franklin Inst. 1923,v.195,rn 6,p.815-850.

177. Smith J.J.,Alger P.L. A Derivation of Heaviside's Operational Calculus on the Generalized Functions of Schwartz.Transact .Amer.Inst.Ele ctr.Engin. 1949,v.68,p.93 9-946.

178. Steinmetz C.P. The General Equation of the Electric Circuits. Transact.Proc.Amer.Inst.Electr.Engin. New York,1919,v. XXXVIII, N? 3,P.249-319.

179. Sumpner W.E. The Twenty-Third Kelvin Lecture:"The Workof Oliver Heaviside". Journ.Inst.Electr.Engin. 1932,v.71,432,p.837-852. .

180. Sumpner W.E. Impulsive Functions. Phil.Mag. 1931,v.II,m 69, p.345-368.

181. Sumpner W.E, Index Operators. Phil.Mag. 1931,v.12,№ 76 p.201-224.

182. Sumpner W.E. Heaviside1s fractional differentiation. Proc. Phys.Soc. L.1929,v.41,p.404-425.

183. ITallarta H.S. Heaviside's Proof of his Expansion Theo-' rem. Journ. A.I.E.E. 1926,v.XLV,N? 4,p.383-387.

184. Vallarta H.S. Notes on Heaviside's Operational Method. Mimeographed notes for use of Massachsetts Institute of Tecnolo-gy. 1923.

185. Viney I.E. Magnetism and Electrodynamics. Phil.Mag.1931 v.11 ,K2 70,p.539-552.

186. Wagner K.W. Über eine Formel von Heaviside zur Berechnung von Einschaltvorgängen. Arch.E.T.1915-1916,v.4,S.159-193.

187. Wagner K.W. Oliver Heaviside. Elektr.Nachricht.Technik, 1925,v.2, № 11,S.345-350.

188. Wehster A.G. The Theory of Electricity and Magnetism.--L.1897,P,507.

189. Wiener N. The Operational Calculus. Mathem.Annal. 1926,v.95,№ 109,p.557-584.• • • . *

190. Wittaker E.T. Oliver Heaviside. Bull.Calcutta Math.Soc. 1928,v.XX,p.199-221.

191. Woodruff M.S. Principles of Electric Power Transmission and Distribution.-New York,1925,p.237.

192. Wunsch G. Die Heavisidesche Operatorenrechnung in neuer begründung. Wissenschaftliche Zeitschrift der Technischen Hochschule »Dresden, 1956-1960, H.4, S.991-998.

193. Stephens E. The Elementary Theory of Operational Mathematics. New York, 1937,-300 p.