автореферат диссертации по истории, специальность ВАК РФ 07.00.10
диссертация на тему: Роль Л. Эйлера в разработке основ математического анализа: теория гамма- и бета-функций в его печатных и неопубликованных работах

Полный текст автореферата диссертации по теме "Роль Л. Эйлера в разработке основ математического анализа: теория гамма- и бета-функций в его печатных и неопубликованных работах"

На правах рукописи

ИГНАТУШИНА Инесса Васильевна

РОЛЬ Л. ЭЙЛЕРА В РАЗРАБОТКЕ ОСНОВ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА: ТЕОРИЯ ГАММА- И БЕТА-ФУНКЦИЙ

В ЕГО ПЕЧАТНЫХ И НЕОПУБЛИКОВАННЫХ РАБОТАХ

07.00.10 - история науки и техники

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Оренбург - 2004

Работа выполнена на кафедре математического анализа и методики преподавания математики Оренбургского государственного педагогическо! о университета.

Научный руководитель: доктор физико-матема гаческих наук,

профессор Магвиевская Г, П.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Малых А. Ь.

кандидат физико-математических наук, доцент Ьычков С. Н.

Ведущая организация - механико-математический факультет Московского государственного университета им, М. В. Ломоносова.

диссер1ашюнного совета КР 002.051 04 при Институте истории естествознания и техники РАН им. С. И. Вавилова по адресу • 103012, Москва, К-12, Старопанский пер., 1/5.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИИЬиТ РАН им. С. И. Вавилова

Автореферат разослан 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук

Защита состоится

2004 г. в часов на заседании

А. В. Андреев

216 /Ш

3

Обшая харакп еристика работы

Великому ученому Леонарду Эйлеру (1707-1783), одному т основоположников современной математики, принадлежит решающая роль в формировании основ математического анализа и создании ряда его ветвей, в том числе, некоторых разделов теории специальных функций. В частности, им были введены понятия функций гамма (Г) и бета (В) и получены важные результаты относительно их свойств, которые находят широкое применение в различных отраслях современной науки.

В обзорах по истории математики всегда отмечаются заслуги Эйлера в становлении теории специальных функций. Содержание его мемуаров, в которых речь идет о функциях гамма и бета, рассматривалось во вводных статьях Г. Фабера и А. Крацера к соответствующим томам полного собрания сочинений Л.Эйлера ("Leonhardi Euleri opera omnia"), в магистерской диссертации Л. Жбиковского "Об Эйлеровых интегралах" (1867) и работах по истории теории специальных функций И.А. Головинского, А.Н. Гусева, В.В. Гуссова, Д. Дэйвиса, А.И.Курдюмовой, Н.Нильсена и др. Однако мно[ие вопросы, касающиеся возникновения и ранней истории гамма- и бета- функций, остались неизученными.

Настоящая диссертация посвящена творчеству Эйлера- в указанной области математического анализа. Помимо мемуаров, вошедших в тома "Opera omnia" (1419, 23, 28), и опубликованной переписки ученого, при исследовании были также использованы неопубликованные материалы из его записных книжек, которые хранятся в Санкт-Петербургском филиале Архива РАН (ПФА РАН, фонд 136, опись 1, №№ 129-140). В эти книжки (двенадцать тетрадей разного объема) Эйлер на протяжении всей своей жизни вносил заметки, отражающие ход его творческой работы в различных областях науки и прежде всего в математике. Поэтому их исследование дает возможность проследить развитие мысли Эйлера при решении той или иной проблемы и уточнить датировку его научных открытий. В диссертации приводится анализ записей, касающихся функций гамма и бета.

Актуальность темы исследования определяется важностью для истории математики изучения научного наследия Эйлера, особенно материалов, до сих пор остающихся неопубликованными.

Цель диссертационного исследования состоит в выявлении и систематизации полученных Эйлером результатов, которые относятся к теории функций гамма и бета.

РОС. '»"мчльнля

<

кобру

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи'

изучение опубликованных сочинений Эйлера, касающихся теории функций гамма и бета- "Дифференциальное исчисление" , "Ишегральное исчисление" (т. 1-II) , "Механика, т.е. наука о движении, изложенная аналитическим методом" , мемуары EI9, Е43, Е47, Е59.Е60, Е122,Е123, Е254, Е302, Е313, E32I, Е352, Е368, Е393, Е421, Е432, Е499, Е583, Е588, Е594, Е629, Е640, Е652, Е661, Е662, Е663, Е675, Е681, Е745, Е768, Е816 (согласно общепринятым обозначениям Г. Энестрема);

изучение переписки Эйлера с учеными (Хр Гольдбахом , И. Вернулли, Д. Бернулли , Дж. Стерлингом , Ж. Лагранжсм , Ф. Ноле, К. Л. Г. Элером ) в той часш, которая относится к теории функций гамма и бета;

отбор и классификация заметок из записных книжек Эйлера, имеющих отношение к рассматриваемой теории;

анализ содержания неопубликованных заметок Эйлера и их сопоставление с печатными работами и перепиской;

выяснение применявшихся Эйлером методов решения задач, связанных с функциями гамма и бета.

Метод исследования , применявшийся в диссертации, основан на историко-научном и математическом анализе оригинального текста опубликованных сочинений Эйлера и неопубликованных заметок из его записных книжек.

Научная новизна работы определяется, во-первых, постановкой вопроса, до сих пор не получившего достаточного освещения в исгорико-математической литературе, и во-вторых, тем, что объектом исследования являются неопубликованные заметки из записных книжек Эйлера и его мемуары, хотя и опубликованные в "Opera omnia", но малоизученные.

Практическая ценность результатов диссертационного исследования состоит в том, что они могу г быть использованы:

1) при продолжающемся изучении научного наследия Эйлера;

2) при исследовании возникновения и развития теории специальных функций;

3) при подготовке курсов и спецкурсов по истории математики в педагогическом вузе.

Основные положения, выносимые на защиту:

- выяснение роли Эйлера в создании теории специальных функций;

- установление на основании изучения печатных трудов, переписки и записных книжек Эйлера исходных моментов формирования теории функций гамма и бета;

- обзор основных результатов, полученных Эйлером в теории функций гамма и бета.

Апробация результатов диссертационного исследования. Основные результаты докладывались на следующих конференциях и семинарах:

- объединенный Московский семинар по истории и методологии математики и механики (Москва, февраль, ноябрь, 2002);

- научная конференция "Петербургская математическая школа в период реформ XIX века" (Санкт-Петербург, сентябрь, 2001);

- межвузовский семинар по истории математики Пермского государственного университета (Пермь, апрель, 2001);

- IV международная школа-семинар, посвященная 100-летию со дня рождения А.Н. Колмогорова (Ярославль, апрель, 2003);

- XXIII научно-ирактическая конференция преподавателей Оренбургского государственного педагогического университета (Оренбург, апрель, 2001);

- семинар по истории математики Оренбургского государственного педагогического университета (Оренбург, 2001-2004).

Объем и структура диссертации. Диссертация содержит 153 страницы текста и состоит из введения, трех глав, заключения, списка использованной русской и иностранной литературы (218 наименований) и приложения. В приложении приводя 1ся копии страниц записных книжек Эйлера, письма Эйлера к И. Бернулли от 20.6.1740, выдержки из мемуара Эйлера "О гипергеометрической кривой, заданной уравнением у = 1 -2-3-...-Л-" и из гл. IX первого тома "Интегрального исчисления".

Содержание и основные результаты диссертационной работы

Во введении дано обоснование актуальности темы исследования, приведен обзор относящейся к ней литературы. Сформулированы цель исследования и задачи, которые решались для ее достижения. Показана новизна поставленной темы и намечены возможные приложения результатов исследования. Кратко изложено содержание диссертации с делением на главы.

Первая глава посвящена трактовке Эйлером ряда основных понятий математического анализа, на которые он опирался при разработке теории функций гамма и бета. На основе трилогии Л Эйлера , включающей "Введение в анализ бесконечно малых" (1748), "Дифференциальное исчисление" (1755) и трехтомное "Интегральное исчисление" (1768-1770), показано, как формировались его представления о понятиях функции, суммы ряда, производной, дифференциала, интеграла. Эйлер был первым, кто попытался изложить математический анализ в чисто

аналитической форме, независимо от геометрии и механики. С его именем связан целый этап истории математического анализа. Именно в работах Эйлера этот раздел матемагики был представлен как единая система, объединенная концепцией функции, и стал основой для дальнейших исследований ученых конца XVIII и ХТХвв.

Вторая глава диссертации посвящена трудам JI. Эйлера, в которых затрагиваются вопросы теории Г-функции, и заметкам из его записных книжек, касающимся этой теории.

В первом параграфе рассмотрено понятие функции Г и её свойства, которые в дальнейшем использованы при изложении материала. Указаны некоторые примеры приложения эгой функции. Здесь же дан обзор литературы по исследуемому вопросу.

Во втором параграфе показано, что основы теории Г-функции были заложены в работах JI. Эйлера, который ввел в математику понятие этой специальной функции и впервые исследовал ее свойства Появление Г-функции было связано с поиском решения проблемы интерполирования последовательностей и рядов, поставленной в математике XVTI-XVIII вв. для некоторых частных случаев. При этом интерполяцию понимали как нахождение такой непрерывной функции F(x) , которая при \~1, 2, 3,... принимает значения /, J), f3,... данной числовой последовательности f„, соответствующие членам ряда /} ~f2 + /,+...

Другими словами, если дана функция натурального аргумента f(n), где n=i,2,3,..., то ищется такая непрерывная функция Fix), для которой при любом натуральном значении х=п оказывается F(n)=f(n). Это позволяет, по выражению Эйлера, интерполировать последовательность f(l), f(2),f(3),.., получив значения данной функции для дробных и иррациональных значений аргумента.

Внимание математиков XVIIIb привлекала проблема "интерполирования ряда". Согласно существовавшим в то время воззрениям , сумма бесконечного ряда, члены которого суть функции своего номера, т.е. ряда /'(!)+f(2)+ *-f(n)+.. , (1)

h

рассматривалась как значение суммы его первых п членов ^ f(k) = F(n) при бесконечно большом п Требовалось найти непрерывную функцию Fin), которая при пв.1,2,3... принимала бы значения, соответствующие членам последовательности

частичных сумм ряда (1): /(1),Х/Ш>Х/Щ— (2)

t-i A«t

Таким образом, задача сводилась к интерполированию последовательности (2).

В начале параграфа дан исторический обзор результатов, полученных в этом направлении предшественниками Эйлера - Джоном Валлисом (1616-1703), Исааком Ньютоном (1643-1727), Бруком Тейлором (1685-1731), Христианом Гольдбахом (1690-1764).

В 1722 г. Хр. Гольдбах поставил задачу об интерполировании последовательности членов ряда факториалов 1 + 1-2 + 1-2-3+...+.*!+... (3) на дробные значения х, которая сыграла главную роль в появлении Г-функции, Решение этого вопроса было получено Даниилом Берпулли( 1700-1782) и Л. Эйлером. Найденное в его записной книжке № 129 представление общего члена ряда (3)

1 У • 2'"т * 3м • З1*"'" • 4™ *4' м • • б"1

в виде бесконечного произведения---———---—„ —- (4)

(1 + тХ2+mtf3+п%4+ni)(5+т)...

позволяет заключить, что решение данной задачи Эйлер получил, возможно, даже раньше Д. Бернулли, но, по крайней мере, независимо от него. Эта заметка позволяет также примерно установить время начала исследований Эйлера по теорий Г-функции (1725-1727).

Общую постановку и решение задачи интерполирования рядов в указанном выше смысле Эйлер дал намного позднее в главе XVII ("Об интерполировании рядов") своего "Дифференциального исчисления" (1755). Проблеме интерполирования последовательности факториалов он посвятил отдельный мемуар Н652 ("Об обшем члене гипергеометрических рядов", 1793), где дал другой способ получения разложения(4).

В 1729 г. , используя идею Валлиса, Эйлер в мемуаре Е19 ("О трансцендентных рядах, т.е. о рядах, общий член которых не может быть выражен алгебраически") нашел "конечное выражение" для общего члена последовательности факториалов. Другими словами, он получил представление Г-функции в виде опреде-

1

ленного интеграла га +z) =/<-1п*)гл-

о

В дальнейших исследованиях по теории Г-функции Эйлер вывел и второе её

л

представление в интегральной форме Г( 1 + г) = | х~"e~xdx, которое опубликовал в

о

мемуарах Е368 ("О гипергеометрической кривой, заданной уравнением

у = 1 •2-3-...-Д. ", 1769), Е594 ("Методы нахождения инигральных формул...", 1785) и Е675 ("О значениях интегралов, распространенных от значения г=0 до х=<х!\ 1794) Далее приведена задача по механике, при решении которой Эйлер также пришел к необходимости использования Г-функции.

В третьем параграфе дан краткий обзор результатов, полученных Эйлером по теории Г-функции. Анализ его опубликованных исследований, переписки и записных книжек позволил установить следующее:

1. Не позднее 1730 г. Эйлер дал представление Г-функции через произведение В-функций

2 3 '¡(х-ъГ^-хУ^х1 хфсь. {(х*-1 ХУЛ-

о I ч А^ / \ ^ /0 д 0 ^

2. Распространив известное свойство факториалов на случай нецелых значений г, Эйлер получил функциональное уравнение, которое в современных обозначениях имеет вид: Г(:+\)"гГ(:). Доказательство этого свойства Г-функции приведено в мемуаре Е662 ("О величине интегральной формулы

|, где х изменяется от *=0 дох=Г, 1794), где оно получается интегрированием по частям выражения <&• Символом / Эйлер обозначал натуральный

логарифм. Из этого свойства следует, что если известны значения Г(:) , скажем, в интервале 0<г< 1, то можно найти ее значения во всех интервалах п<: < 1 и - п<:< - п+\, где леМ

3. В 1740-1744 гг. Эйлер вывел асимптотическое разложение логарифма Г-функции в ряд Стерлинга

I

откуда установил приближенное равенство г(х+\)*~

и вывел разложение логарифмической производной для Г-функции

¿у 1 1 1___1_

усЬс 2х 2-3-2*2 + 4-5-бх* 6-7-6*'+'"'

Для установления соотношения (5) он использовал формулу суммирования Эйлера-Маклорена, которую получил еще в 1735 г.

4. В главе XVI "Дифференциального исчисления" (1755) Эйлер опубликовал разложение логарифма Г-функции в степенной ряд:

-х 057721 ">664901 >125 ♦

1 «С, 1 1 1 1 1

2 Ч 2 3- 4 51 1 (6) 1п I = 1пГ(х +1) = 1 >(, 1 1 1 1 1

1,1 I I I 1 |

откуда вывел аналогичное представление для логарифмической производной этой

функции ^ Здесь фигурирует эйлерова постоянная (=0,5772156649..., которая бы-у<Ь

ла получена им еще в 1736 г.

Отметим, что формула (6) устанавливает связь между гамма-функцией и дзе-00 1

та-фушошей = - , играющей важную роль в теории чисел. Кроме того, ряд »-Iи

(6) сходится при 0<х<1 и позволяет определить значения 1пГ(хЧ) на указанном промежутке.

5. В мемуаре Е352 ("Заметки о красивом отношении между рядами как прямых, так и обратных степеней", 1768) Эйлер ввел специальный символ [X], который

применил для обозначения интеграла ^ ¿х, т.е. функции Г(Х+1).

В этом же мемуаре он вывел формулу дополнения для Г-функции:

[Я] [ Л] - Г(Л+1) Г( 1-Д) = -~у •

Яд

6. В мемуаре Е421 ("Разложение интегральной формулы |л/-'<й.(/л)" , где ин-

те1"рирование распространяется от значения л=0 до л=1". 1772) с помощью разложения соответствующих интегралов в бесконечные произведения установлено соотношение между функциями Г и В. В современных обозначениях оно имеет вид

Г (а+/?) '

7. В мемуаре Е816 ("Рассуждения о некоторых интегральных формулах, величины которых могут быть выражены в некоторых случаях через квадратуру круга", 1862) Эйлер получил частный случай теоремы умножения Гаусса для Г-

функции, выражаемый равенством: ^| = (2гг) 2 пг.

8. Вопросам исследования Г-функции и построению её графика Эйлер посвятил отдельный мемуар Е368 ("О гипергеометрической кривой, заданной уравнением у = 1 • 2-3'...'Л ", 1769), куда включил следующие результаты

а) таблицу значений функции Г(л+1) с шагом ~;

б) график функции Г(д:+1), построенный на промежутке от -1 до +°о;

в) все известные к тому времени выражения для Г-функции;

г) уравнение производной функции Г и таблицу значений тангенсов углов касательных, проведенных к графику этой функции, с осью абсцисс;

д) координаты точки минимума для функции Г(\-+|), где *е(-1; +со).

Изучение истории возникновения теории Г-функции показывает, что, действительно, основные результаты в этой области принадлежат Л. Эйлеру. Все его исследования по данному вопросу можно условно разделить на два периода: в первый (1725-1739 гг.) при решении различных задач анализа и механики накапливались факты, касающиеся Г-функции, а во второй (1740-1783 гг.) они обобщались и систематизировались, что привело к созданию основ теории этой функции. Роль других ученых, занимавшихся разработкой данного направления после Эйлера, заключалась главным образом в дальнейшей систематизации полученных им результатов, изложении теории с единой точки зрения , а также в распространении её на случай комплексного переменного.

В четвертом параграфе описаны и проанализированы заметки из записных книжек Л. Эйлера (ПФА РАН, ф. 136, оп. 1, №129-133), относящиеся к теории Г-функции. Поскольку материал разбросан в разных местах одной или нескольких записных книжек, то работа по исследованию заметок состояла из следующих этапов:

1) расшифровка и первичная классификация записей;

2) перевод с латинского языка;

3) установление математического содержания заметок и уточнение классификации;

4) сопоставление материала заметок с письмами и мемуарами Эйлера.

Такой подход позволил установить примерную дату появления и причинно-

следственные связи тех или иных результатов Эйлера, а также выяснить, был ли опубликован данный материал из записной книжки или же он не вошел в напечатанные работы. После каждой заметки в диссертации дан краткий комментарий.

Исследование записных книжек показало, чго наиболее интенсивно творческая деятельность Эйлера по теории Г-функции проявилась в период 1725-1753 гг. Все обнаруженные нами замегки вошли в опубликованные сочинения Эйлера, кроме записи на листе 170-170 об. из книжки №133 (1749-1753), где имеется ошибка.

Третья глава диссертации посвящена исследованиям JI. Эйлера по теории В-функции.

В современных руководствах по математическому анализу функция Г всегда рассматривается вместе с другой важной специальной функцией - В, Такой подход в изложении материала оправдан исторически, так как теории этих функций возникли практически в одно и то же время и развивались параллельно, взаимно дополняя друг друга.

В первом параграфе сформулировано определение В-функции, указаны некоторые её свойства и возможные приложения. Далее рассмотрены вопросы, которые привели Эйлера к необходимости введения этой функции в математику:

1. Вопрос об интегрируемости в конечном виде различных дифференциалов и , в том числе, так называемого биномиального дифференциала хт(а + 0х ")pdx, (7) где а и р - произвольные постоянные, отличные от нуля, а показатели т.п.р - рациональные числа.

В первом томе "Интегрального исчисления" Эйлер отмечал, что интегралы от биномиальных дифференциалов зависят от некоторой трансцендентной функции. Если рассмотреть определенный интеграл на отрезке [0;1] от выражения (7) при

условии, что а= 1, р= -1, то ею будет .

2, Задача об интерполировании последовательности биномиальных коэффициентов, определяемых формулой С" =—г-———, если m и п - натуральные; требу-

т\(п- т)\

ется найти конечное выражение для общего члена этой последовательности в случае, когда тип являются действительными положительными числами.

К решению Эйлер вплотную подошел еще в 1729 г. в мемуаре Е19 и продолжал заниматься ею на протяжении всей жизни. Об этом свидетельствуют записные книжки ученого и его поздние мемуары, например, Е768( "Об интерполировании последовательности биномиальных коэффициентов с дробными индексами"), поя-

вившсмся в печати только в 1824 г., где найдено представление для С™ в интегральной форме С™ = ■—j--'-(при т>0 и п-т>-\). (8)

т\хтА(Х'.хУ~тс1х

о

Определенный интеграл , стоящий в знаменателе (8), соответствует В(/и, и-тя+1).

J'y

3. Поиск решения дифференциального уравнения вида : —т = q\ х*~я, (9)

ах

где р и q не обязательно являются целыми числами.

Для целых неотрицательных р и q , удовлетворяющих условию p-qzO, ре-

q\(p-q)\

шением уравнения (9) является функции у = — ^ — хр. Если жер н q - действи- ,

тельные неотрицательные числа и p-q>-1, то решение уравнения (9) можно запи-

I >

сать в виде- у = qx'j (1 - zY^dz, что равносильно ymqjfB(q;p-q+1 ).

о

Эти результаты Эйлер изложил в мемуаре Е681 ("Решение дифференциального уравнения с неопределенными коэффициентами с помощью интегралов"), сданном

в печать в 1781 г. Однако идея обобщения понятия производной порядка q для произвольного показателя дифференцирования привлекла внимание Эйлера в самом начале его творческой деятельности. Так, в § 28 мемуара Е19 (1729) он получил выражение для производной q-ro порядка от степенной функции у*х?, т.е.

—- = xp-i , где р и q ограничены только условиями р+1^0, p-q+1>0.

dx9 Г(р-<7+1)

В своих исследованиях Эйлер рассматривал интегралы вида

(Ш)

{ф-х")"" » nJ

Для этих функций он ввел специальное обозначение и установил ряд свойств. ,

В-функция является частным случаем (при п-1) для этого класса функций. Поэтому Эйлера смело можно назвать основателем теории В-функции. »

Во втором параграфе предложен обзор результатов Эйлера по теории В-функции. Ему принадлежит открытие многих свойств интеграла (10), а следовательно и В-функции. Перечислим некоторые из них:

1. Свойство симметричности относительно своих аргументов:

2. Если один из аргументов р или ц равен п, ю

ч \р) Р

3. В случае, когда , выполняется

п

4. Все интегралы ^, где р или ц больше п. можно при помощи формулы

(р\_ р-п (/>-"]_ Р-" ( Я (р-п) (д-п) (ч-п\ \д) р-п+д{ д ) р-п + дКр-п) (р+д-п) (д + р-2п) Iр-п)

свести к таким , у которых эти аргументы будут принимать одно значение из ряда чисел 1, 2,... п.

5. Для всех значений переменных р,д,г,ч, при которых определены соответствующие интегралы, справедливы следующие равенства:

и

(р{1»-<Нр+Ч+г\(рУ/м-гУ/н->-+5| (((Нд+гУд+1ч-.^ г А $ ) чгА ¡Ад) ^А д А г ) \гА з А р )

На основе этих свойств в мемуаре Е321 ("Рассмотрение интегральной формулы ] - л")" сЬс,где после интарирования полагается х 0", 1766) , а также в первом томе "Интегрального исчисления" Эйлер получил алгоритм для выражения интеграла ^ в случае, когда р,ц и п -натуральные, через комбинации основных

видов интегралов. У него их три:

1. , где 1 < р< п ; 2. ("Г-?), где 1 <р<~; 3. (^М], где 1 < р< Значения интегралов первого и второго вида находятся по следующим формулам:

п

Вычисление третьего вида интегралов Эйлер свел к нахождению сумм рядов, которые получаются в результате разложения подынтегральных выражений по

формуле бинома Ньютона и последующего их почленного интегрирования. Найденный Эйлером алг оритм позволяет вычислять значения В-функции для положительных рациональных аргументов, так как ,-j - «(-j •

В мемуаре Е768 Эйлер сформулировал утверждение, которое по сути является критерием сходимости интегралов первого рода. Он пишет- "Интегральная

формула jx" 'dx(l - х)м, взятая от л=0 до л=1, имеет величину, если q 0 и

p-q -1" [ Е768, с. 267 ].

Полученные Эйлером результаты, касающиеся В-функции, были оформлены им в стройную теорию, которая изложена в первом томе "Интегрального исчисления'^ 1768). Её анализу и посвящен третий параграф данной главы.

Весь материал первого тома "Интегрального исчисления", связанный с теорией В- функции, можно условно разбить на четыре части: в первой собраны сведения по неопределенным интегралам, которые необходимы для построения этой теории, во второй рассматриваются эйлеровы интегралы первого рода и устанавливаются их свойства; в третьей вводится специальный символ для обозначения этого класса интегралов и доказывается ряд новых соотношений; в четвертой решается в общем виде задача о сведении эйлеровых интегралов первого рода к наименьшему числу основных видов, которая подкрепляется удачно подобранными примерами.

Во втором томе "Интегрального исчисления" (1769) Эйлер установил, что ин-

I

теграл 1 - и)'"10 - хи) "du,

о

удовлетворяющий гипергеометрическому дифференциальному уравнению .v(l - x)d: v+[í -(tí + /) +1 )xtyyd\ -abydx" = 0,

разлагается в ряд

B(b,c-b)

, ab а(а + ЩЬ+\) , ' + ■;—+ ——г—-— ic l-2-c(c+l)

Таким образом, здесь Эйлер показал связь в-функции с гипергеометрической функцией. В XIX в. к аналогичным результатам пришел К. Ф. Гаусс (1777-1855). Работы Эйлера, связанные с вопросами теории В-функции, можно условно

разделить на две группы. В первую входят мемуары 1729-1768 и , где выражение

.! I рассматривается только в качестве интеграла первого рода, устанав-

0 л/С ~ х")""1

ливаклея различные соотношения между такими интегралами и тем самым накапливаются отдельные факты, которые затем легли в основу теории 5-функции. Основные результаты , полученные в этот период, Эйлер опубликовал в "Интегральном исчислении".

Во второй период (после 1768 г.) выражение | ,' . — выступает уже как

IV« -хпГ"

аналитический способ задания особого рода функции, которая непосредственно связана с й-функцией. В это время Эйлер не только получил основные положения теории й-функции в действительной области, но и сделал попытку распространить её на комплексную область. Об этом свидетельствует мемуар Е745("0 бесконечных дробях Ваштиса"), сданный в печать в 1780 г. Здесь, решая задачу о выражении членов последовательности А, В, С, Д..., где

А В—/+с; ВС-@+-а)2+с; С1Щ(+1а)2+с; ...

через известные / и а, Эйлер получил: Г) если с«- Ъ2, то

2) если с~ь\ то

В четвертом параграфе этой главы собраны заметки из записных книжек Эйлера, в которых рассматриваются вопросы теории В-функции.

Анализируя эти материалы, можно с уверенностью сказать, что практически все они являются подготовительными к исследованиям, результаты которых были опубликованы в "Интегральном исчислении" и мемуарах Е19("0 трансцендентных рядах, т.е. о рядах, общий член которых не может быть выражен алгебраически"), Е59("Теоремы выражающие интегральные формулы через квадратуры окружности" ), Е60("0 нахождении интегралов, если после интегрирования изменяются пределы изначальной величины" ), Е122 ("Бесконечные произведения дробей"), Е123(" Наблюдения о бесконечных дробях") , Е254( "О представлении интегралов

дробями" ), К321(" Рассмотрение интегральной формулы с!х.те по-

сле интегрирования полагается х-0 "), Е499(" Об ин1ефальной формуле [,

-1 VI - хх

где переменная изменяется от х=() до х=■/ "), Е768 ("Об интерполировании последовательности биномиальных коэффициентов с дробными индексами").

Однако в записной книжке №131 (1736-1740) были обнаружены записи на листах 9 об.-11 об.. 95 об., которые не вошли ни в одну из печатных работ Эйлера. Здесь приведено разложение:

£__I _ Ц2пн-2) Цк-Щ2пн-%2т+п+2)

2А пп 1 (Ън гкт+2)(ппп+1) ЦЪи+Ж+"ЦЪтгк +2п+2^т+2п+\)

I I

где Е = ¡х"(\ -х*)ксЬс , А = /л2яМ(1 -х")ксЬ.,

о о

1 1 У

и рассмотрены примеры этого разложения при л*2, к=— — и тв.0; 1; 2; - —; —.

Е2

Неясно, почему Эйлер рассмотрел именно разложение —, и откуда возникла

1А

эта задача.

Анализ записных книжек показал, что все основные результаты по теории В-функции Эйлер получил в период с 1736 но 1757гг. Было установлено, что в исследованиях Эйлера ряды, бесконечные произведения, интегралы и непрерывные дроби находятся в тесной взаимосвязи.

В заключении приведены основные выводы, полученные в результате проведенного исследования.

Основные результаты диссертации

Проведенный в диссертации анализ творчества Эйлера в области теории специальных функций позволяет точнее определить его роль как основоположника этой дисциплины. Установлено, что Эйлер ввел в науку функции гамма и бета, которые являются наиболее ранними примерами неэлементарных функций. Он рассматривал их в действительной области и сделал попытку распространить бета-функцию на случай комплексного переменного.

На основе печатных трудов, переписки и записных книжек Эйлера были установлены исходные моменты формирования теории гамма и бета функций Выявлено, что факты, на которых базировалась эта теория, накапливались у Эйлера

при решении разнообразных задач механики и математики Важную роль при пом сыграло исследование вопросов об интегрируемости функций, интерполировании рядов, решении некоторых видов дифференциальных уравнений.

В работе впервые представлены и проанализированы заметки из записных книжек Эйлера, касающиеся теории гамма- и бета- функций. Исследование их и переписки ученого, а также опубликованных мемуаров позволило уточнить соотношение между временем установления основных фактов этой теории и и\ публикацией. В частности, удалось доказать, что Эйлер независимо от Д. Бернулли получит первый результат по теории Г-функции (выражение этой функции в виде бесконечного произведения), и отодвинуть начало его изысканий в этой области на период 1725-1727 гг.

В диссертации представлен обзор основных результатов Эйлера по теории гамма- и бета- функций с указанием примерной датировки их получения и мемуаров, в которых эти результаты опубликованы.

Установлено, что теории гамма- и бета- функций разрабатывались ученым параллельно, взаимно дополняя друг друга.

Выявлено, что многие утверждения, касающиеся гамма- и бета- функций, Эйлер старался доказать несколькими способами. Это служило для него подтверждением правильности результата.

Основные результаты опубликованы в следующих работах автора:

1. Прокина-Игнатушина И. В. Теория бета-функции в "Интегральном исчислении" Л. Эйлера // Из истории математики XVIII века. К предстоящему 300-летнему юбилею Леонарда Эйлера (1707-1783). Оренбург: Изд-во ОГПУ, 2001. Вып. 2. - С. 57-85.

2. Прокина-Игнатушина И. В. О некоторых результатах Л. Эйлера по теории гамма-функции // Из истории математики Х\ИЛТ века. К предстоящему 300-летнему юбилею Леонарда Эйлера (1707-1783). Оренбург: Изд-во ОГПУ, 2001. Вып. 2, -С.86-100.

3. Прокина-Игнатушина И. В. Возникновение теории гамма-функции в ХУТТТв. // Наука и техника: вопросы истории и теории. Тезисы XXII конференции Санкт-Петербургского отделения Российского Национального комитета по истории и философии науки и техники.(5-9 ноября 2001 г.). СПб.: СПбФ ИИЕТ РАН, 2001. Вып. XVII.-С, 79.

4. Прокина- Игнатушина И. В. О возникновении теории Г-функцин в исследованиях Л. Эйлера // Магериалы XXIII преподавательской научно-праюической конференции ОГПУ. Оренбург: Изд-во ОП1У, 2001. - С. 13-18.

5. Игнатушина И. В. Вопросы теории Г-функции в записных книжках JI. Эйлера // Из истории математики XVIII века. К предстоящему 300-летнему юбилею Леонарда Эйлера (1707-1783). Оренбург: Изд-во ОГПУ, 2002. Вып. 3. - С. 30-53.

6. Игнатушина И. В. Возникновение начал теории бета-функции в работах Л.Эйлера // Из истории математики XVIII века. К предстоящему 300-летнему юбилею Леонарда Эйлера (1707-1783) Оренбург: Изд.-во ОГПУ, 2002. Вып. 3. - С. 5468.

7. Шнатушина И. В. Возникновение 1еории В-функции в работах Л. Эйлера// История и философия науки. Сборник научных статей. Оренбург: Изд.-во ОГПУ, 2002. Вып. З.-С. 166-170.

8. Игнатушина И, В. Возникновение теории гамма-функции в работах Л. Эйлера // История и методология науки. Межвузовский сборник научных трудов. Пермь: Изд-во ПГУ, 2002. Вып. 9. - С. 32 - 44.

9. Игнатушина И.В. Об основных понятиях математического анализа в работах Леонарда Эйлера // История и философия науки. Сборник научных статей. Оренбург: Изд.-во ОГПУ, 2003. Вып. 4. - С. 130-142.

10. Игнатушина И.В. Формирование основ теории гамма-функции в трудах, переписке и записных книжках Л. Эйлера // Историко-математические исследования. М„ 2003. Вып. УШ (43). - С. 140-161.

\

I

t

i I

s

i \

)

í ¡

!

i

РНБ Русский фонд

2006-4 10141

â

s

/ /

/ / / / / ;

(

0 5 ДПР 2004

Оглавление научной работы автор диссертации — кандидата физико-математических наук Игнатушина, Инесса Васильевна

Введение.

Глава I. Трактовка основных понятий математического анализа у Леонарда Эйлера.

Глава И. Формирование теории гамма-функции в исследованиях Л. Эйлера

§ 1. Понятие гамма-функции и некоторые её свойства.

§ 2. Возникновение понятия гамма-функции.

§ 3. Некоторые результаты Л. Эйлера по теории гамма-функции.

§ 4. Заметки из записных книжек Л. Эйлера, относящихся к теории гамма-функции.

Глава III. Теория бета-функции в исследованиях Л. Эйлера

§ 1. Возникновение начал теории бета-функции в работах

Л. Эйлера.

§ 2. Обзор результатов Л. Эйлера по теории бета-функции.

§ 3. Теория бета-функции в "Интегральном исчислении"

Л. Эйлера.

§ 4. Заметки из записных книжек Л. Эйлера, в которых рассматриваются вопросы теории бета-функции.

Введение диссертации2004 год, автореферат по истории, Игнатушина, Инесса Васильевна

Великому ученому Леонарду Эйлеру (1707-1783), одному из основоположников современной математики, принадлежит решающая роль в формировании основ математического анализа и создании ряда его ветвей, в том числе, некоторых разделов теории специальных функций. В частности, им были введены понятия функций гамма (Г) и бета (В) и получены важные результаты относительно свойств этих функций, которые находят широкое применение в различных отраслях современной науки.

В обзорах по истории математики [5, 6,31,32,60, 88,92,136, 151,215 и др.] всегда отмечаются заслуги Эйлера в становлении теории специальных функций. Содержание его мемуаров, в которых речь идет о функциях гамма и бета, рассматривалось во вводных статьях Г. Фабера и А. Крацера [199,200] к соответствующим томам полного собрания сочинений JI. Эйлера ("Leonhardi Euleri opera omnia"), в магистерской диссертации А. Жбиковского [30] и в работах по истории теории специальных функций И.А. Головинского [11,12, 13], А.Н. Гусева [19,20], В.В. Гуссова[21,22,23], Т Дэйвиса [155], А.И. Курдюмовой [43,44], Н. Нильсена [208] и др. Однако многие вопросы, касающиеся возникновения и ранней истории теории гамма- и бета- функций, остались неизученными.

Настоящая диссертация посвящена творчеству Эйлера в указанной области математического анализа. Помимо мемуаров, вошедших в "Opera omnia" (тт. 14-19, 23, 28), и опубликованной переписки ученого, при исследовании были также использованы неопубликованные материалы из его записных книжек [94], которые хранятся в Санкт-Петербургском филиале Архива РАН (ПФА РАН, фонд 136, опись 1, №№ 129-140).

В эти книжки (двенадцать тетрадей разного объема) Эйлер на протяжении всей своей жизни вносил заметки, отражающие ход его творческой работы в различных областях науки и прежде всего в математике [35,62,64,66,67, 71,72,75, 89, 141, 157]. Поэтому их исследование дает возможность проследить развитие мысли Эйлера при решении той или иной проблемы и уточнить датировку его научных открытий. В диссертации приводится анализ записей, касающихся функций гамма и бета.

Актуальность темы исследования определяется важностью для истории математики изучения научного наследия Эйлера, особенно материалов, до сих пор остающихся неопубликованными.

Цель диссертационного исследования состоит в выявлении и систематизации полученных Эйлером результатов, которые относятся к теории функций гамма и бета.

Для достижения поставленной цели решались следующие задачи:

- изучение опубликованных сочинений Эйлера, касающихся теории функций гамма и бета: "Дифференциальное исчисление" [126], "Интегральное исчисление"[127] (т. I-II), "Механика, т.е. наука о движении, изложенная аналитическим методом" [128], мемуары 1 Е19, Е43, Е47, Е59,Е60, Е122,Е123, Е254, Е302, Е313, Е321, Е352, Е368, Е393, Е421, Е432, Е499, Е583, Е588, Е594, Е629,Е640, Е652, Е661, Е662, Е663, Е675, Е681, Е745, Е768, Е816, опубликованные в "Opera omnia";

- изучение переписки Эйлера [7,36,38,42,57, 64, 122, 123, 134, 146, 157, 190, 192, 196] с учеными (Хр. Гольдбахом , И. Бернулли, Д. Бернулли , Дж. Стерлингом ,

Ж. Лагранжем, Ф. Ноде, К. JT. Г. Элером) в той части, которая относится к теории функций гамма и бета;

- отбор и классификация заметок из записных книжек Эйлера, имеющих отношение к рассматриваемой теории; Обозначение мемуаров приведено в соответствии со списком Г. Энестрёма, опубликованным в [158].

- анализ содержания неопубликованных заметок Эйлера и их сопоставление с печатными работами и перепиской;

- выяснение применявшихся Эйлером методов решения задач, связанных с функциями гамма и бета.

Метод исследования , применявшийся в диссертации, основан на историко-научном и математическом анализе оригинального текста опубликованных сочинений Эйлера и неопубликованных заметок из его записных книжек.

Научная новизна работы определяется, во-первых, постановкой вопроса, до сих пор не получившего достаточного освещения в историко-математической литературе, и во-вторых, тем, что объектом исследования являются неопубликованные заметки из записных книжек Эйлера и его мемуары, хотя и опубликованные в "Opera omnia", но малоизученные.

Практическая ценность результатов диссертационного исследования состоит в том, что они могут быть использованы:

1) при продолжающемся изучении научного наследия Эйлера;

2) при исследовании возникновения и развития теории специальных функций;

3) при подготовке курсов и спецкурсов по истории математики в педагогическом вузе.

Основные положения, выносимые на защиту:

- выяснение роли Эйлера в создании теории специальных функций;

- установление на основании изучения печатных трудов, переписки и записных книжек Эйлера исходных моментов формирования теории функций гамма и бета;

- обзор основных результатов, полученных Эйлером в теории функций гамма и бета.

Апробация результатов диссертационного исследования. Основные результаты докладывались на следующих конференциях и семинарах:

- объединенный Московский семинар по истории и методологии математики и механики (Москва, февраль, ноябрь, 2002);

- научная конференция "Петербургская математическая школа в период реформ XIX века" (Санкт-Петербург, сентябрь, 2001);

- межвузовский семинар по истории математики Пермского государственного университета (Пермь, апрель, 2001);

- IV международная школа-семинар, посвященная 100-летию со дня рождения А.Н.Колмогорова (Ярославль, апрель, 2003);

- XXIII научно-практическая конференция преподавателей Оренбургского государственного педагогического университета (Оренбург, апрель, 2001);

- семинар по истории математики Оренбургского государственного педагогического университета (Оренбург, 2001-2004).

Объем и структура диссертации. Диссертация содержит 153 страницы текста и состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной русской и иностранной литературы (218 наименований) и приложения. В приложении приводятся копии страниц записных книжек Эйлера, письма Эйлера к И. Бернулли от 20.6.1740 , выдержки из мемуара Эйлера Е368 ("О гипергеометрической кривой, заданной уравнением у -1 -2-3-.-Д: 1769г. [189]) и из гл. IX первого тома "Интегрального исчисления" [127].

Заключение научной работыдиссертация на тему "Роль Л. Эйлера в разработке основ математического анализа: теория гамма- и бета-функций в его печатных и неопубликованных работах"

Выводы

В ходе проведенного исследования получены следующие выводы:

1. Г- и В- функции были введены в науку JI. Эйлером, который заложил основы теории этих функций в действительной области;

2. Факты, на которых базировалась теория Г- и В- функций, накапливались у Эйлера при решении разнообразных задач математики и механики;

3. Эйлер получил выражения функций Г и В как в интегральной форме, так и в виде бесконечных произведений. Он нашел разложение в ряды функций \х\Г(1+х), InB(a,b) и их производных;

4. Для интегралов, выражающих Г- и В- функции, у Эйлера имеются утверждения, которые по сути являются критериями сходимости этих интегралов в действительной области;

5. Эйлер установил зависимость между Г- и В- функциями, а также связь этих функций с тригонометрическими функциями. Он получил формулы, показывающие связь функции гамма с функцией дзета и функциями Бесселя, а бета-функции — с гипергеометрической функцией;

6. Эйлером проведено достаточно полное исследование функции Г(1+х) в действительной области и построен её график для хе(-1;+ос)\

7. Эйлер установил ряд свойств В-функции в действительной области, указал алгоритм вычисления её значений для положительных рациональных аргументов и сделал попытку распространить эту функцию в комплексную область.

Заключение

Полученные Эйлером результаты положили начало теории специальных функций. Введенные им дзета-, гамма-, бета- функции, а также цилиндрические функции п-то порядка первого и второго рода являются наиболее ранними примерами неэлементарных функций. В историко-математической литературе освещен вопрос о роли Эйлера в создании теории дзета-функции [15 ,16 ] и цилиндрических функций [21,22,24]. Проведенный нами анализ его работ, касающихся Г- и В- функций, позволяет заключить, что Эйлер рассматривал эти функции в действительной области и сделал попытку распространить бета-функцию на случай комплексного переменного.

Факты, которые легли в основу этой теории, накапливались у Эйлера при решении разнообразных задач математики и механики. Важную роль при этом сыграло исследование вопросов об интегрируемости функций, интерполировании последовательностей, решении некоторых видов дифференциальных уравнений. При построении теории Г- и В- функций Эйлер использовал различные методы, в частности, разложение функций в ряды, бесконечные произведения и цепные дроби, которые в его исследованиях находились в тесной взаимосвязи. Такое разнообразие используемых подходов позволяло получать новые пути решения различных задач. Большинство утверждений относительно функций Г и В Эйлер старался доказать несколькими способами. Это служило для него подтверждением правильности результата.

На основе изучения опубликованных работ Эйлера, его переписки и записных книжек было установлено, что теории Г- и В- функций разрабатывались им параллельно, взаимно дополняя друг друга.

Все исследования Эйлера по этой тематике можно условно разделить иа два периода. В течение первого периода в ходе решения задач математического анализа и механики накапливались отдельные факты, касающиеся Г- и В- функций; для теории Г-функции этот период охватывает 1725-1739 гг., для теории В-функции 1729-1768 гг. Во второй период, который продолжался до 1783г., Эйлер обобщил и систематизировал полученные факты, создав основы теории Г- и В- функций в действительной области и рассмотрел задачу, где В есть функция комплексного переменного.

Список научной литературыИгнатушина, Инесса Васильевна, диссертация по теме "История науки и техники"

1. Артин Е. Введение в теорию гамма-функции / Пер. с нем. Д.А. Райкова. M.-J1., Гостехиздат, 1934. - 36 с.

2. Башмакова И.Г., Юшкевич А.П. Леонард Эйлер // Историко-математические исследования. М., 1954. Вып. VII. С. 453-512.

3. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция. Функции Лежандра / Пер. с англ. Н.Я. Виленкина. М., 1965. 294 с.

4. Бете Г.А., Бечер Р.Ф. Физика ядра / Пер. с англ. Г.Д. Латышева. Харьков., 1938. Ч. I. -251 с.

5. Бурбаки Н. Очерки по истории математики / Ред. К.А. Рыбников; пер. с фр. И.Г. Башмаковой. М., 1963 292 с.

6. Вилейтнер Г. История математики от Декарта до середины XIX столетия / Ред. А.П. Юшкевич. М., 1966. 467 с.

7. Винтер Э., Юшкевич А.П. О переписке Л.Эйлера с Петербургской Академией наук с 1726 по1774 г. (К 250-летию Академии наук СССР) // Вопросы истории естествознания и техники. М., 1973. Вып 3(44). С.14-19.

8. Выгодский М.Я. Вступительное слово к "Дифференциальному исчислению" Л. Эйлера // Л. Эйлер. Дифференциальное исчисление. М.-Л., 1949. С.5-34.

9. Гельфонд А.О. О некоторых характерных чертах Л. Эйлера в области математического анализа и его "Введение в анализ бесконечно малых" // Успехи математических наук. М.,1957. Т. 12. Вып. 4. С.29-39.

10. Головинский И.А. Развитие исчислений конечных разностей в XVIII в. первой трети XIX в. Дисс. канд. физ.-мат. наук. М.,1978.

11. Головинский И.А. Развитие исчислений конечных разностей в XVIII в. первой трети XIX в. Автореф. дисс. канд. физ.-мат. наук. М.,1978.

12. Головинский И.А. Об интерполировании последовательностей у Валлиса и Эйлера// История и методология естественных наук. М., 1978. Вып.20. С.62-68.

13. М.Головинский И.А. Из истории интерполяционных рядов // Историко-математические исследования. М.,1977. Вып. XXII. С. 65-81.

14. Горлова В.Д. Неопубликованные материалы Эйлера по аналитической теории чисел. Элементы теории дзета-функции в его записных книжках. Дисс. канд. физ.-мат. наук. Оренбург, 1998.

15. Горлова В.Д. Неопубликованные материалы Эйлера по аналитической теории чисел. Элементы теории дзета-функции в его записных книжках. Автореф. дисс. канд. физ-мат. наук. Оренбург, 1998.

16. Григорьян А.Т. Л. Эйлер (к 250-летию со дня рождения) // Труды Института истории естествознания и техники. М., 1957. Т. 17. С.312-319.

17. Григорьян А.Т., Ковалев Б.Д. Даниил Бернулли. М., 1981. 314 с.

18. Гусев А.Н. Бесконечные ряды у Л. Эйлера. Дисс. канд. физ.-мат. наук. Кострома, 1963.

19. Гусев А.Н. Бесконечные ряды у Л. Эйлера. Автореф. дисс. канд. физ-мат. наук. Кострома, 1963.

20. Гуссов В.В. Из истории трансцендентных функций в России и СССР. Дисс. канд. физ.-мат. наук. М., 1950.

21. Гуссов В.В. Из истории трансцендентных функций в России и СССР. Автореф. дисс. канд. физ-мат. наук. М., 1950.

22. Гуссов В.В. Работы русских ученых по теории гамма-функции // Историко-математические исследования. М., 1952. Вып. V. С.421-472.

23. Гуссов В.В. Развитие теории цилиндрических функций в России и СССР// Историко-математические исследования. М., 1953. Вып. VI. С.355-475.

24. Демидов С.С. О понятии решения дифференциальных уравнений с частными производными в споре о колебании струны в XVIII в. // Историко-математические исследования. М., 1976. Вып. XXI. С. 158-181.

25. Демидов С.С. Развитие исследований по уравнениям с частными производными первого порядка в XVIII-XIX вв. // Историко-математические исследования. М., 1980. Вып. XXV. С. 71-103.

26. Демидов С.С. "Закон непрерывности" Г.В. Лейбница и понятие непрерывности функции у Л. Эйлера // Историко-математические исследования. М.,1990. Вып. XXXII-XXXIII. С. 34-39.

27. Демидов С.С. Феномен непрерывности функции от Г.-В. Лейбница до П.А. Флоренского // Нариси з юторип математики i математичного природознавства. Пращ 1нституту математики НАН УкраТни Математика та iY застостовання. Кшв, 2001. Т. 39. С.21-30.

28. Дорофеева А.В. Формирование понятия непрерывной функции // История и методология естественных наук. М.,1971. Вып. XI. С.37-50.

29. История отечественной математики с древнейших времен до конца XVIII в., T.I / Ред. Штокало И.З. Киев, 1968. 492 с.

30. Кановей В.Г. О корректности Эйлерова метода разложения синуса в бесконечное произведение//Успехи мат. наук. Вып. 4(262), М.,1983.Т.43. С.57-81.

31. Кановей В.Г. О суммировании JI. Эйлером ряда знакочередующихся факториалов // Историко-математические исследования. М., 1993. Вып.34. С. 16-46.

32. Кноблох Э. Математические записные книжки Леонарда Эйлера // Развитие идей Л.Эйлера и современная наука / Ред. Н.Н. Боголюбов, Г.К. Михайлов, А.П.Юшкевич. М., 1988. С.102-121.

33. Копелевич Ю.Х., Красоткина Т.А. Эпистолярное наследие Леонарда Эйлера в архивах СССР// Вестник истории мировой культуры. М.,1957,№3. С.108-114.

34. Крамар Ф.Д. Вопросы обоснования анализа в трудах Валлиса и Ньютона //

35. Историко-математические исследования. М.,1950. Вып. III. С. 486-508.37а. Крамар Ф.Д. Интеграционные методы Джона Валлиса// Историко-математическиеисследования. М.,1961. Вып. XIV. С. 11-100.

36. Красоткина Т.А. Переписка Л.Эйлера и Дж. Стерлинга // Историко-математические исследования. М.,1957. Вып. X. СЛ17-158.

37. Кропотов А. И. Николай Яковлевич Сонин. М., 1967. 135 с.

38. Крылов А.Н. Леонард Эйлер // Леонард Эйлер. Сборник статей в честь 250-летия со дня рождения / Ред. М.А. Лаврентьев, А.П. Юшкевич, А.Т. Григорьян. M.-JI., 1935. С. 1-28.

39. Кузнецов Д.С. Специальные функции. Изд.2. М., 1965. 419 с.

40. Кузнецова-Фетисова В.В. Вопросы расходимости рядов в переписке математиков XVIII в. // Вопросы истории естествознания и техники. М.1986. Вып. 13. С.441-475.

41. Курдюмова А.И. Развитие теории гамма-функции после Эйлера. Дисс. канд. физ.-мат. наук., М., 1975.

42. Курдюмова А.И. Развитие теории гамма-функции после Эйлера. Автореф. дисс. канд. физ.-мат. наук., М., 1975.

43. Курдюмова А.И. Экстраординарные интегралы Коши // Историко-матсматические исследования. М.,1977. Вып. XXII. С.82-84.

44. Летников В. А. Об определенных интегралах, содержащих функции, удовлетворяющие гипергеометрическому уравнению // Математический сборник. T.XI. 1883. С. 327-414.

45. Лихин В.В. Теория функций и чисел Бернулли и её развития в трудах отечественных математиков//Историко-математические исследования. М.,1959. Вып. XII. С.59-134.

46. Лихин В.В. Исследования Эйлера и Лагранжа по теории конечных разностей // История и методология естественных наук. М. 1966. Вып. V. С. 35-44 .

47. Лихин В.В. Первый период развития теории суммирования функций // Вопросы истории естествознания и техники. М. 1969. Вып. 1(26). С.27-30.

48. Лобачевский Н.И. Полное собрание сочинений / Ред. В.Ф. Каган. T.V. М.-Л., 1951. 499 с.

49. Лузин Н.Н. Ньютонова теория пределов//Исаак Ньютон( 1648-1727). Сборник статей к трехсотлетию со дня рождения / Ред. С.И.Вавилов. М.-Л., 1943. С.53-74.

50. Лузин Н.Н. Дифференциальное исчисление // Лузин Н.Н. Собрание сочинений. Т. Ill. М. 1959. С.292-318.

51. Лузин Н.Н. Функция//Лузин Н.Н. Собрание сочинений. Т. Ill. М. 1959. С.319-341.

52. Лузин Н.Н. Эйлер (По поводу 150-летия со дня смерти) // Лузин Н.Н. Собрание сочинений. Т. Ill. М. 1959. С.351-372.

53. Лунц Г.Л. О работах Н.И. Лобачевского по математическому анализу// Историко-математические исследования. М.-Л. 1949, Вып. И. С. 10-71.

54. Лурье С.Я. Эйлер и его "исчисление нулей"// Леонард Эйлер 1707-1783. Сборник статей и материалов к 150-летию со дня смерти. М.-Л., 1935, С.50-79.

55. Лурье С.Я. Неопубликованная научная переписка Леонарда Эйлера // Леонард Эйлер. М.-Л., 1935. С.111-162.

56. Лурье С.Я. Вступительная статья в кн. Л. Эйлера " Введение в анализ бесконечно малых". T.I. М.-Л., 1936. С.5-6.

57. Маркушевич А.И. Основные понятия математического анализа и теории функций в трудах Эйлера // Леонард Эйлер. Сборник статей в честь 250-летия со дня рождения. М., 1958, С.98-132.

58. Маркушевич А.И. Очерки по истории теории аналитических функций. М.-Л., 1951. 127с.

59. Маркушевич А.И. Некоторые вопросы истории теории аналитических функций // Историко-математические исследования. М., 1980. Вып. XXV. С.52-70.

60. Матвиевская Г.П. О неопубликованных рукописях Л. Эйлера по диофантову анализу // Историко-математические исследования. М., 1960. Вып. XIII. С. 107-186.

61. Матвиевская Г.П. Учение о числе на средневековом Ближнем и Среднем Востоке. Ташкент, 1967.241 с.

62. Матвиевская Г.П. О рукописном наследии и записных книжках Эйлера // Развитие идей Л. Эйлера и современная наука / Ред. Н.Н. Боголюбов, Г.К. Михайлов, А.ПЛОшкевич. М., 1988. С. 122-129.

63. Матвиевская Г.П., Ожигова Е.П., Невская Н.И., Копелевич Ю.Х. Неопубликованные материалы Л. Эйлера по теории чисел. СПб., 1997. 254 с.

64. Матвиевская Г.П., Горлова В.Д. Записные книжки Эйлера: заметки, относящиеся к аналитической теории чисел, рядам и цепным дробям // Историко-математические исследования. М., 1999. Вып.3(38). С.315-361.

65. Матвиевская Г.П., Ожигова Е.П. Рукописные материалы по теории чисел// Развитие идей Л. Эйлера и современная наука / Ред. Н.Н. Боголюбов, Г.К. Михайлов, А.П.Юшкевич. М.,1988. С. 130-138.

66. Математика XIX века. Геометрия. Теория аналитических функций / Ред. Л.Н.Колмогоров и А.П. Юшкевич. М., 1981. 269 с.

67. Медведев Ф.А. Развитие понятия интеграла. М., 1974. 423 с.

68. Мельников И.Г. Леонард Эйлер о математической строгости // Историко-математические исследования. М.,1966. Вып.ХУИ. С.289-298.

69. Михайлов Г.К. Записные книжки Эйлера в Архиве АН СССР // Историко-математические исследования. М., 1957, Вып.Х. С.67-94.

70. Михайлов Г.К., Смирнов В.И. Неопубликованные материалы Леонарда Эйлера в Архиве Академии наук СССР // Леонард Эйлер. Сборник статей в честь 250-летия со дня рождения. М., 1958, С.17-49.

71. Мордухай-Болтовской Д.Д. Вводная статья // И. Ньютон. Математические работы. M.-JI., 1937. С. VII-XV.

72. Остроградский М.В. О функции гамма 1859. /Публикация и комментарии И. Б. Погребысского//Историко-математические исследования. М. 1961. Вып. XIV. С. 529538.

73. Отрадных Ф.П. Математика XVIII в. и академик Леонард Эйлер. М., 1954. 40 с.

74. Очерки по истории математики / Под. ред. Б.В. Гнеденко. М.: МГУ, 1997. 496 с.

75. Павлидис (Горлова) В.Д. Рекуррентные ряды в сочинениях и записных книжках Л.Эйлера // Из истории математики XVIII в. К предстоящему 300-летнему юбилею Леонарда Эйлера. Оренбург, 2000. Вып.1. С.22-37.

76. Павлидис (Горлова) В.Д. Непрерывные дроби в исследованиях Л.Эйлера// Из истории математики XVIII в. К предстоящему 300-летнему юбилею Леонарда Эйлера. Оренбург, 2001. Вып.2. С. 10-50.

77. Паплаускас А.Б. Тригонометрические ряды от Эйлера до Лебега. М., 1966.

78. Петрова С.С. Формула суммирования Эйлера-Маклорена и асимптотические ряды // История и методология естественных наук. М., 1989. Вып. XXXVI. С. 103-108.

79. Петрова С.С. О суммировании Эйлером ряда // Вопросы истории естествознания и техники. М.,1969. Вып. 1(26). С. 30-33.

80. Петрова С.С. О суммировании расходящихся рядов у Ньютона// Проблемы истории математики и механики. М.,1972. Вып. 1. С. 10-17.

81. Петрова С.С., Соловьев А.Д. Об истории создания метода перевала// Историко-математические исследования. М., 1994. Вып. XXXV. С. 148-164.

82. Петрова С.С., Демидов С.С. Развитие математического анализа// Очерки по истории математики. / Ред. Гнеденко Б.В. М.,1997. С.71-93.

83. Рукописные материалы Леонарда Эйлера в Архиве Академии наук СССР. Научное описание / Сост. Ю. X. Копелевич, М.В. Крутикова, Г.К. Михайлов, Н.М. Раскин. М.-Л., 1962.

84. Рыбников К.А. О так называемых творческих и критических периодах в истории математического анализа//Историко-математические исследования. М., 1955. Выи. VII. С. 643-655.

85. Рыбников К.А. О роли алгоритмов в истории обоснования математического анализа // Труды Института истории естествознания и техники. М.1957.Т. 17, С.287-299.

86. Рыбников К.А. История математики. М.,ТЛ., 1960, 190 е., Т.Н., 1974. 334 е.; 2-е издание М., 1974. - 455 е.; 3-е издание М., 1994. - 496 с.

87. Рыжик И.М., Градштейн И.С. Таблицы интегралов, сумм рядов и произведений. 3-е, переработ, изд. M.-JI., 1951.

88. Санкт-Петербургский филиал Архива РАН. Ф. 136, on. 1, №№ 129-140.

89. Симонов Н.И. О научном наследии JI. Эйлера в области дифференциальных уравнений// Историко-математические исследования. М.,1954. Вып.УИ. С.513-595.

90. Симонов Н.И. Развитие теории дифференциальных уравнений Леонардом Эйлером. Дисс. докт. физ.-мат. наук., М., 1956.

91. Симонов Н.И. Развитие теории дифференциальных уравнений Леонардом Эйлером. Автореф. дисс. докт. физ.-мат. наук., М., 1956.

92. Симонов Н.И. Об исследованиях Л. Эйлера по интегрированию линейных уравнений и систем линейных уравнений с частными производными// Историко-математические исследования. М., 1957. Вып. X. С. 327-362.

93. Симонов Н. И. Об исследованиях Л. Эйлера по обыкновенным дифференциальным уравнениям математической физики// Труды Института Истории Естествознания и Техники. М.,1959. Т. 28. С. 138-187.

94. ЮО.Слуцкий Е.Е. О таблицах обратной неполной бета-функции // Труды ип-та матем. и мех.

95. АНУзб. ССР. Вып.1, 1946. Ю1.Слуцкий Е.Е. Таблицы для вычисления неполной Г-функции и функции вероятности . М.-Л.,1950.

96. Стеклов В.А. Замечания о формулах суммирования Эйлера и Буля // Сообщ. Харьк. матем. общ., серия 2, т. VIII, №2-5. Харьков, 1902.

97. Юб.Тимченко И.Ю. Исторические сведения о развитии понятий и методов, лежащих в основании теории аналитических функций. Одесса, 1899. 655 с.

98. Тюлина И. А. Жозеф Луи Лагранж. М., 1977. 221 с.

99. Ю8.Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа. Т. II./ Пер. с англ. и ред. Ф.В. Широкова. М., 1963. 515 с.

100. Фихтенгольц Г.М. О преобразовании переменных в кратных интегралах // Историко-математические исследования. М., 1952. Вып. V. С. 241-268.

101. Ю.Фихтенгольц Г.М. Исторический очерк //Основы математического анализа. Т.2. М., 1968. С.424-455.

102. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.2. СПб., 1997. 795 с.

103. Франкль Ф.И. Об исследованиях Л. Эйлера в области теории уравнений в частных производных// Историко-математические исследования. М., 1954. Вып. VII. С. 596-624.

104. Харди Г. Расходящиеся ряды / Пер с англ. Д.А. Райкова. Предисл. С.Б. Стечкина. (Две первые главы содержат исторические сведения). М.,1951. 504 с.

105. Хованский А.Н. Работы Л.Эйлера по теории цепных дробей // Историко-математические исследования. М., 1957. Вып. X. С. 305-326.

106. Цейтен Г.Г. История математики в XVI и XVII веках / Пер. с нем. П.Новикова; обработка, примечания и предисл. М.Я. Выгодского. М.-Л., 1938. 456 с.

107. Черток С.И. Развитие теории рядов в России в XVIII-XIX вв. Дисс. канд. физ-мат. наук. Гомель, 1991.

108. Черток С.И. Развитие теории рядов в России в XVIII-XIX вв. Автореф. дисс. канд. физмат. наук. Гомель, 1991. 118.Чириков М.М. Из истории асимптотических рядов// Историко-математические исследования. М., 1960. Вып. XIII. С. 441-472.

109. Шостак Р.Я. Алексей Васильевич Летников // Историко-математические исследования. М., 1952. Вып.У. С. 163-238.

110. Леонард Эйлер 1707-1783. Сборник статей и материалов к 150-летию со дня смерти. М.-Л„ 1935. 283 с.

111. Леонард Эйлер. Сборник статей в честь 250-летия со дня рождения / Ред. М.АЛаврентьев, А.П. Юшкевич, А.Т. Григорьян. М. 1958. 610 с.

112. Эйлер Л. Письма к ученым / Ред. Смирнов В.И. М.-Л., 1967. 397 с. 123.Эйлер Л. Переписка. Аннотированный указатель / Ред. В.И. Смирнов и А.П.Юшкевич. М., 1967.-391 с.

113. Юшкевич А.П. Лейбниц и обоснование исчисления бесконечно малых// Успехи математических наук. М., 1948. Т.З. Вып. 1(23). С.150-165.

114. Юшкевич А.П. Эйлер и русская математика в XVIII в. // Труды Института истории естествознания и техники. М., 1949, Т. 3. С. 45-116.

115. Юшкевич А.П. Жизнь и математическое творчество Л. Эйлера // Успехи математических наук. М.,1957. Т. 12. Вып. 4. С.3-28.

116. Юшкевич А.П. Леонард Эйлер о квадратуре круга // Историко-математические исследования. М., 1957. Вып. X. С. 159-210.

117. Юшкевич А.П., Винтер Э. О переписке Леонарда Эйлера с Петербургской Академией наук в 1741-1757 гг. // Труды Института истории естествознания и техники. М., 1960, Г. 34. С. 373-411.

118. Юшкевич А.П. О развитии понятия функции // Историко-математические исследования. М., 1966. Вып. XVII. С. 123-150.

119. Юшкевич А.П. История математики в России до 1917 г. М., 1968. 591 с.

120. Юшкевич А.П. О революции в математике нового времени // Вопросы истории естествознания и техники. М., 1969. Вып. 2(27). С. 14-22; Вып. 4(33). С. 3-13.

121. Юшкевич А.П. Понятие функции у Кондорсе // Историко-математические исследования. М., 1974. Вып. XIX. С. 158-166.

122. Юшкевич А.П. К истории спора о колеблющейся струне // Историко-математические исследования. М., 1975. Вып. XX. С. 221-231.

123. Юшкевич А.П. О неопубликованной рукописи JI. Эйлера "Дифференциальное исчисление"//Историко-математические исследования. М., 1983. Вып. XXVII. С. 79-87.

124. Юшкевич А.П. Развитие понятия предела до К. Вейерштрасса // Историко-математические исследования. М., 1986. Вып. XXX. С. 11-80.

125. Юшкевич А.П. Леонард Эйлер. Жизнь и творчество // Развитие идей Л.Эйлера и современная наука / Ред. Н.Н. Боголюбов, Г.К. Михайлов, А.П. Юшкевич. М., 1988. С. 1546.

126. Юшкевич А.П. О возникновении понятия об определенном интеграле Коши // Математика в её истории. М., 1996. С. 115-165.

127. Юшкевич А.П., Григорьян А.Т. Леонард Эйлер и его научная переписка// Вопросы истории естествознания и техники. М., 1975. Вып.2(51). С.69-77.

128. Юшкевич А.П., Копелевич Ю.Х. Христиан Гольдбах. 1690-1764. М., 1983. 221 с.

129. Яковлев А.Я. Леонард Эйлер. М., 1983. 45 с.

130. Янке Е., Эшде Ф., Лёш Ф. Специальные функции. Формулы, графики, таблицы. М., 1968.-344 с.

131. Binet J. M£moire sul les integrates Euleriennes., Comptes rendus Ac. Sc., IX, Paris, 1839.

132. Cantor M. Vorlesungen iiber Geschichte der Mathematik. Leipzig, 1897. Bd.1-4.

133. Cauchy A. L. Memoires sur les integrales definies prises entre des limites imaginaires. Paris ,1825.

134. Cauchy A. L. Sur un nouveau genre d'integrales // Exercices de Mathematiques. Т. I. Paris,1826.

135. Cauchy A. L. Memoire sur diverses formules relatives a la theorie des integrales definies // Journ. Ec. Pol., XVII, Paris, 1841.

136. Davis P. J. Leonhard Euler's integral profile of the Gamma funcion // Amer. Math. Mon. v.66, № 10,1959, P. 849-869.

137. Detlef L. On the historical development of infinitesimal mathematics // Amer. Math. Mon.-1997, №5, P.447-455; №7, P. 654-663.

138. Enestrom G. Bericht an die Eulerkommission der Schweizerischen naturforschender Gesellsschaft iiber die Eulerschen Manuskripte der Petersburger Akademie // Jahresbericht der Deutchen Mathematiker-Vereinigung. Leipzig, 1913, Bd.22. S. 191 -205.

139. Enestrom G. Verzeichnis der Schriften Leonhard Eulers //Jahresbricht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. Erganzungsbande. Leipzig, 1909.Bd.IV. S. 1-388.

140. Euler L. De progressionibus transcendentibus, seu quarum termini generales algebraici dari nequent 1738.//Opera omnia. Ser. I. VoI.14.1925.S.l-24. (El9).

141. EuIer L. De progressionibus harmonicis observationes 1740.// Opera omnia. Ser. I. Vol.l4.1925.S.87-100.(E43).

142. Euler L. Inventio summae cuisques ex dato termino generali 1741.// Opera omnia. Ser. I. Vol.14.1925. (E47).

143. EuIer L.De productis ex infinitis factoribus ortis 1750.// Opera omnia. Ser. I. Vol. 14.1925.S.260-289. (E122).

144. Euler L. De fractionibus continuis observationes1750.// Opera omnia. Ser. I. Vol.14.1925. S.32-81. (E123).

145. Euler L. Sur l'avantage du hanquier au jeu de Pharaon1766.// Opera omnia. Ser. I. Vol. 7. 1923. S.144-164. (E313).

146. Euler L. De summis serierum numeros Bernoullianos involventium 1770.// Opera omnia. Ser. I. Vol.15.1927. S.91-130. (E393).

147. Euler L. Remarques sur un beau rapport entre les series des puissances tant directes que reciproques 1768.//Opera omnia. Ser. I. Vol.15. 1927. S. 70-90. (E352).

148. Euler L. Exercitationes analyticae1773.// Opera omnia. Ser. I. Vol. 15.1927.S. 131-167. (E432).

149. EuIer L. De numero memorabili in summatione progressionis harmonicae naturalis occurrente1785.//Opera omnia. Ser. I. Vol.15.1927.(E583).

150. Euler L. De termino generali serierum hypergeometriearium1793.// Opera omnia. Ser. I. Vol. 16a. 1935.S. 139-162.(E652).

151. Euler L. Variae considerationes circa series hypergeometricas1794J// Opera omnia. Scr. I.S

152. Vol. 16a. 1935.S.178-192.(E661).

153. Euler L. Plenior expositio serierum illarum memorabilium quae ex unciis potestatum binoniii formatur 1794.//Opera omnia. Ser. I. Vol.l6a. 1935. S.193-234. (E663).

154. Euler L. De unciis potesta binomii earumque interpolatione1824.// Opera omnia. Ser. I. Vol. 16 6.1935. S.241-266. (E 768).

155. Euler L.De fractionibus continuis Wallisiil 815.// Opera omnia. Ser. I. Vol.166. 1935. S.178-199. (E745).m

156. Euler L. Evolutio formulae integralis jx f~xdx(bc)" integratione a valore x=0 ad x=/extensa1772.// Opera omnia. Ser. I. Vol. 17. 1914. S.316-357. (E421).Г

157. Euler L. Observationes circa integralia formularum ^x^dxQ-x")" posito postintegrationem x=l 1766.//Opera omnia. Ser. I. Vol.17. 1914. S.268-288. (E321).

158. Euler L.De expressione integralium per factores 1756.// Opera omnia. Ser. I. Vol. 17.1914. S.233-267. (E 254).

159. Euler L.Theoremata circa reductionem formularum integralium ad quadraturam circuli 1743.//Opera omnia. Ser. I. Vol.17. 1914. S.l-33. (E59).

160. Euler L.De inventione integralium, si post integrationem variabili quantitati detcrminatus valor tribuatur 1743.// Opera omnia. Ser. I. Vol. 17.1914. S. 129-171.(E60).t dxlx

161. Euler L. De integratione formulae I , -,abx=Q adx=l extensa 1776.// Opera omnia.1. V(1-xx)

162. Ser. I. Vol.18.1920. S. 3-28. (E499).f xm dx

163. Euler L. Investigatio formulae integralis J--—, casu quo post integrationem statuitur1. U+**)x=a> 1785. //Opera omnia. Ser. I. Vol.18.1920. S.2-54. (E588).

164. EuIer L. Methodus inveniendi formulas integrales, quae certis casidus datam inter se teneant rationem, ubi simul methodus traditur fractiones continuas summandi 1785. //Opera omnia. Ser. I. Vol.18.1920. S.209-219. (E594).r x^dx

165. Euler L. Comparatio valorum formulae integralis , = a termino x=0 usque ad x=l3Щ-х")"-4extensae 1789.// Opera omnia. Ser. I. Vol.l8.1920.S.392-423. (E640).г x^dx

166. Euler L. Additamentum ad dissertationem de valorum formulae integralis . = abx=0 ad x=l extensae 1789.// Opera omnia. Ser. I. Vol.l8.1920.S.424-434.

167. Euler L. Evolutio formulae integralis jflk^ * ■ + -j^j a termino x=0 usque ad x=J extensae1789.//Opera omnia. Ser. I. Vol.18.1920. S. 61-74. (E629).

168. Euler L. Considerations sur quelques formules integrales dont les valeurs peuvent etre exprimees en certains cas par la quadrature du cercle 1862.// Opera onmia. Ser.I. Vol.19. 1932.S.439-490. (E816)

169. Euler L. De valoribus integralium a termino variabilis x=0 usque ad x=oo extensorum 1794.// Opera omnia. Ser. I. Vol.19. 1932. S. 217-227. (E675).

170. EuIer L. De vero valore formulae integralis a termino x=0 usque ad terminum x=l extensae 1794.//Opera omnia. Ser. I. Vol.19.1932. S.63-83.(E662).

171. Euler L.Specimen aequationum diflferentialium indefiniti gradus earumquc intcgrationis 1794.// Opera omnia. Ser. I. Vol.23. 1938. S.281-294. (E681).

172. Euler L. De curvahypergeometrica hac aequatione expressa у = 1 -2-3-.-X 1769.// Opera omnia. Ser. I. Vol. 28.1955.S.6-98. (E368).

173. Euler L. Briefwechsel // Leonhardi Euleri Opera omnia. Ser. IV.A.:Commercium epistolieum. Vol.II. Basel, Boston, Berlin, 1980.

174. Euler L. De motu vibratorio tympanorum 1766.// Opera omnia. Ser. II. Vol.10. 1947. S. 243260.Leipzig, Berlin. (E302).

175. Fuss P. Correspondanee mathematique et physique de quelques celebres geometres du XVIII-eme sieele. СПб., 1843. Т. I-II.

176. Gauss C. F. Disquisitiones generales circa seriem infinitam.1812. Werke, III, Gottingen, 1876.

177. Goldbach C. De terminis generalibus serierum 1728.// Comment. Act. Acad.sci. Imp.Petrop. 1732. T.3. P. 164-173.

178. Hankel H. Die Eulerschen Integrale bei unbeschrankter Variability des Arguments. Diss. Leipzig 1863 //Zeitschrift fur Math, und Physik. 1864. Bd. 9. P. 1-21.

179. Ju$kevic A.P., Winter E. Leonhard Euler und Christian Goldbach. Briefwechsel 1729-1764. Berlin. Akademie-Verlag, 1965.

180. Kramp C. Analyse des refractions astronomiques et terrestres, Leipzig, 1798, Strassburg, 1799.

181. Kramp C. Memoire sur les facultes numeriques. Annales de Mathematiques pures et appliques. T.III. Nismes, 1812-13.

182. Krazer A, Faber G. Obersicht Uber die Bande 14,15,16,16* der ersten Serie // Opera omnia Ser. I. Vol. 16 б. § II Interpolation. Die Gammafunktion. Die Eulershe Konstante. Basileae (Basel), 1935. S.XL-LXXIII.

183. Krazer A, Faber G. Obersicht Qber die Bande 17,18,19 der ersten Serie // Opera omnia Ser. I. Vol. 19, §V Betafiinktionen. S.XLVII-LVII, §VI Gammafunktion. S.LVIII-LXV. Turici (ZUrich), 1932.

184. Laplace P.S. Memoire sur la probabilite des causes par evenements. Mem. Acad. Roy. Sci. Paris, 1774.

185. Laplace P.S. Memoire sur les probabilites. Mem. Ac. Paris, 1780.

186. Laplace P.S. Theorie analytique des probabilites. Paris, 1814.

187. Legendre A.M. Exercices de calcul integral. Т. I. Paris, 1811.

188. Legendre A.M. Exercices de calcul integral. Т. II. Paris, 1817.

189. Legendre A.M. Traite des fonctions elliptiques et des integrates Euleriennes. Т. II, Paris,1826.

190. LiouviIle J. Memoire sur l'usage Ton peut faire.// Journal fur die reine und angew. Math., XIII, Berlin, 1835.

191. Nielsen N. Handbuch der Teorie der Gamma-fiinktion. Leipzig, 1906, 326 s.

192. Pochhammer L. Zur Theorie der Eulerchen Integrale // Math. Annalen. 1890. Bd. 35. P. 495526.

193. Riemann B. Berliner Monatsberichte .1859. S. 671-680; Ges. Werke .1876. S.136-144.21 l.W. Romanovsky. On certain expansions in series of polynomials of incomplete p-functions // Матем. сб. 33, вып.2,1926.

194. Sonine N. Note sur une formule de Gauss, Bulletin de la Soc. Mathematique de France, publie par les seretaires, Т. IX, Paris, 1881, P. 162-166.

195. Sonine N. Sur les termes complementaires de la formule sommatoire d'Euler et de celle de Stirling // Ann. de L'Ecole Norm. Sup., 3e serie. T. 3, 1889. P. 258-262.

196. StekIoff W. Sur une formule generale d'Analyse et ses diverses applications // Annali di matematica pura et applicata, III serie, т.21,1913

197. Weil A. Number Theory. An approach through history. From Hammurapi to Lcgendre. Boston, Basel, Stuttgart. Birkhauser. 1984,374 p.

198. Weierstrass K. Ober die Theorie der analytischen Fakultaten // Juomal fur die reine und angew, Math. 51, Berlin, 1856.

199. Страница из письма JI. Эйлера к И. Бернулли от 20 июня 1740 г., где получено значение эйлеровой постоянной.

200. Страницы из мемуара JI. Эйлера "О гипергеометрической кривой, заданной уравнением у = l-2-З.-х содержащие некоторые значения тангенса угла наклона касательной,проведенной к гипергеометрической кривой--154 иг. ч uva uyrurcf.omuthk'a i 16-17

201. V. Sit .r 4, rt ob у = 24 fit .= 24(1 ,4+ J)liinc(|iietang <f 3G.I4G824040 ct у— 8SJ 2.V.1. gcncrc igitiir, si abscissa x acquctur mimoru inlcgro cuicunque w, ob у 1-2.n eriti -.-I- i—Л).

202. Dcfiniamus hint- ctiam tangcutes pro locis intcrnioiliis. at- priino qiii-ilctn ad abscissas (icsitivas relatis:

203. V'.■*•("-'(! —'-) — A) = 0.0323383073,crit pro his cnsilcis:

204. Jte-i.»/- О.Я80221Й), tang <p= 0,0323384,1,3203404, tang f = 0,0347345,x=r j. ./= .4.323350!), tang7 = 3,6661767.;/ — 11,<1317284. tang = 10,1549694,4r.'/ = ">2.3427777. tang у = 84,3290907. etc.

205. Anteqiiani ultcrius progrecliar, obscrvo, si fuerit pro abscissa qua-{•linquor := p, у <., tang <F—r, turn ]то abscissa scqucnto fore

206. X =» г» + 1.'/ ■-= q(v + I) ct tang <p = r(p -f- 1)4-9, pro abscissa aulem antccedcntex — тп — 1, и=Х et tang w = L---'L- .y P YPPP.10—20J IIAt; AKQUATIOSE F.XPHESSA y I • 2 • Я • . • «undo supcriorcs valorcs facile retro «ontinnare polcriniux:

207. X — 1 i * у --- 0,88(5226!», tang tp

208. X — 1 — 2 ' У = 1,7724538, tang q — 3,1811>3( i,s,

209. X 3 i ' У = — 3,5449077, tang 7 --. — 0,129353»,

210. X — 5 9 у = -г 2,3632718, tang ip — + l.l >617 504.

211. X. — 7 2 * У — 0,9453087, tang 9 = — 1,'1428230,

212. X = 9 --2 ' у = + 0,2700882, tang <f ~ 4- 0,3751171»,

213. X = 11 2 ' .'/ = — 0,0600196, tang 9> = — 0,ii9GG971.

214. X = 13 -Г t у = + 0,0109126, tang <f = + 0,0195054,etc.

215. Ф. 136. On. 1. № 134. Л. 169 об.